新法算書 (四庫全書本)/卷009

新法算書　卷九

　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九　　　　明　徐光啟等　撰大測卷一
　　因明篇第一
　　總論三十二條
　　三角形者一形而三邊容有三角也
　　如上圖甲乙丙為平面三角形丁戊己為球面三角形
　　三角形各以兩邊容一角此兩邊為角形之兩腰第三邊為角形之底如前甲乙丙形若以甲乙甲丙為兩腰則容乙甲丙角〈第二字為所指角〉乙丙其底也餘二同丁戊己亦同
　　各邊向一角者名為對角
　　如前甲乙線向丙角者名為對丙角甲丙向乙名為對乙角
　　角以何為尺度一弧之心在交㸃從心引出線為兩腰而弧在兩腰之間此弧即此角之尺度
　　如上乙甲丙角其尺度則丁丙或戊己皆是其法甲為心其界或近如丁丙或逺如戊巳
　　大測法分圏三百六十為度度析百分〈中厯〉或六十分〈逺西〉分或百析為秒遞析為百至纎而止〈中厯〉或析為六十秒遞析為六十至十位而止〈逺西〉
　　圏愈大其度分亦愈大
　　兩弧之分數等其圏等則弧亦等其圏不等弧亦不等
　　其不等之兩弧名相似弧
　　如上丁丙雖小於戊己而同對甲角即同為若干度分之弧也
　　圏四分之一為九十度
　　有弧不足九十度則其外至九十者名餘弧亦曰較弧亦曰差弧
　　如甲丁弧四十度則丁至丙五十度為餘弧
　　有弧大於象限〈在九十以上〉名為過弧
　　如甲乙弧大於甲丁過九十度則丁乙為過弧
　　半圏界一百八十度
　　有弧小於半圏則其外至百八十度者名為半圏之較弧如甲乙弧小於甲乙丙半圏則乙丙為其較弧

　　凡交角俱相等
　　如甲與乙丙與丁皆交角相等〈見㡬何第一卷十五題〉如戊與己亦交角相等
　　角有二類一直角一斜角
　　凡直角其度皆九十
　　斜角有二類一鋭角一鈍角
　　鈍角者其度大於象限
　　鋭角者其度小於象限
　　角之餘與弧同理〈或曰較角或曰差角〉
　　有兩角並在一線上為同方角並之等於兩直角
　　如上甲與乙丙與丁皆是

　　同方兩角等於兩直角故彼角為此角之較
　　如前乙角即甲之較甲亦乙之較
　　三角形或三邊等或兩邊等或三不等
　　三角形兩腰等其底線上兩角亦等底上兩角等則兩腰亦等〈見㡬何一卷第五〉
　　三邊形之三角等則三邊亦等
　　三角形之角有二類一為直角三邊形一為斜角三邊形直角三邊形形內止有一直角
　　直角三邊形之對直角邊名兩腰名句股〈逺西句股俱名垂線互用之〉
　　斜角形其角皆斜
　　斜角形有二類一曰鋭角一曰鈍角
　　鈍角形止有一鈍角
　　鋭角形三皆鋭角
　　三角形有二類一曰平面上形一曰球上形
　　論平面上三角形　十一條
　　平面上三角形有三種一直線一曲線一雜線大測所論皆直線也
　　凡等角兩三邊形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邊為相似邊〈㡬何六卷第四題〉
　　凡兩三角形其角兩邊之比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等〈㡬何六卷第五　此二題為大測之根本不用開方直以比例得之法至簡用至大也〉
　　如上圖甲乙丙丁戊己兩形甲與丁
　　乙與戊丙與己皆等角其旁各兩腰
　　之比例等者十與六若五與三也更
　　之則十與五若六與三也反之則六與十若三與五也凡兩形中各對相當等角之邊皆相似之邊如甲丙對乙丁己對戊而乙戊為等角者即甲丙丁己為相似之邊也
　　三角形之外角與相對之內兩角並等〈㡬何一卷之三十二〉如上甲乙丙形之乙甲兩角並與甲丙丁角等
　　三角形之三角並等於兩直角
　　如上圖丁己庚直角與乙角等其甲
　　丙二角並與丁己戊角等
　　平面上三角形止有一直角或一鈍角其餘二必皆鋭角三邊形內之第三角為前兩角之餘角何者為前兩角不滿二直角故
　　直角旁之兩腰其能與等能等者謂兩腰上兩方形並與上方形等也〈㡬何一卷之四七〉
　　此理之用為先得二邊以求第三邊
　　如甲乙丙形先得甲乙乙丙兩邊而
　　求第三邊法以甲乙三自之為九乙
　　丙四自之為十六並得二十五與甲丙之實等開方得甲丙五若先得直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙五而求乙丙則以甲丙自之得二十五乙甲自之得九相減之較十六開方得乙丙四
　　直角形之兩等邊有數則其無數可推若有數則兩等邊無數可推
　　如上甲乙甲丙各三自之各九並之得十八乙丙上實十八開方得四餘實二分之或為八分之二或為九分之二八分之二
　　則大於其真率九分之二則小於真率其乙丙真率無數可得更細分之亦復不盡
　　直角三邊形之兩鋭角彼鋭為此鋭之餘
　　如乙丙二鋭角丙為餘角為三角並等二直角此二鋭
　　應等一直角乙一角不足一直角故
　　丙角為乙角與直角相減之較
　　平邊三角形在圏內其各角之度數皆為其對弧度數之半
　　如上甲乙丙形三邊等分圏為三各
　　弧俱一百二十度本形之三角等二
　　直角並得一百八十則對弧百二十
　　度倍於對角六十也
　　平面兩三角形在圏內同底兩形之頂相連成一四邊形此形內有兩對角線則此形相對之各兩邊各相偕為兩直角形並與兩對角線相偕為直角形等
　　如上甲乙丙甲丁丙兩三角形
　　在甲乙丁丙圏內甲丙同底其
　　頂乙丁相連成甲乙丁丙四邊
　　形形內有甲丁乙丙兩對角線
　　以此兩線相偕為直角形次以
　　乙丁甲丙兩相對邊以甲乙丁丙兩相對邊各相偕為直角形題言後兩形並與前一形等
　　其用為先得五線以求第六線〈多羅某之法〉
　　論球上三角形　二十條
　　凡球上三角形皆用大圏相交之角
　　大測所用三角形之各弧必小於大圏之半
　　球大圏分球為兩平分離於兩極各九十度
　　彼大圏過此大圏之極此兩圏必相交為直角兩大圏相
　　交為直角必彼大圏過此大圏之極如甲丙大圏其極乙丁有乙戊丁己大圏過兩極其交處如戊如己各成四直角
　　球上角之處必從交引出為兩弧各九十度而遇一象限之弧兩遇處相去之度即此角之大
　　如甲乙丙球上三角形欲知甲角之大為㡬何度分不得用己庚弧為其尺度必從甲引出至乙至丙各為一象限之弧而戊
　　丁亦大圏之一象限弧也丁戊弧與甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大為甲角之大
　　球上角之兩邊引出之至相遇即兩弧俱成半圏而兩對角必等
　　如甲乙丙三角形從兩腰各引出之至丁則甲丙丁甲乙丁兩弧皆成半圏而甲與丁兩角等
　　球上三角形有相對彼三角形與同底而對角等即彼形之兩腰為此形兩腰之餘腰〈初腰不足一百八十度故後腰為半圏之餘〉其彼此之同方兩角亦等兩直角而彼角為此角之餘角如上甲乙丙三角形與相對之乙丙丁同乙丙底而甲丁兩角等即乙丁為甲乙之餘弧丙丁為甲丙之餘弧丁乙丙角為甲乙丙之
　　餘角〈為甲乙丙不足兩直角故〉乙丙丁角為甲丙乙之餘角
　　球上直角三邊形或有一直角或二直角或三俱直角球上三邊形有一直角者或有兩鋭角或有兩鈍角或一鈍一鋭角
　　如上甲乙丙形甲為直角其乙丙為兩鋭角乙丁丙形丁為直角其乙丙為兩鈍角若丁戊己形則其戊為鋭角其己為鈍角甲戊己
　　形則其戊為鈍角其己為鋭角
　　球上直角三邊形有兩鋭角則其對直角之直角三邊形有兩鈍角
　　如前圖甲乙丙之甲直角與乙丁丙之丁直角相對者是
　　球上直角三邊形有兩鋭角其三弧皆小於象限如前甲乙丙是
　　球上直角三邊形有兩鈍角其兩腰皆大於象限而第三弧必小於象限
　　如前乙丁丙是
　　球上直角三邊形有一鋭一鈍角其鋭角之相對三角形亦有一直角兩鋭角
　　如上圖丁乙丙三邊形丙為直角丁為鋭角乙為鈍角即丁鋭角之相對乙丙戊形其丙為直角〈與乙丙丁並等兩直角〉其乙與戊為兩鋭角
　　球上三邊形有多直角其對直角之各弧皆為一象限如甲為直角乙丙弧對之為一象限餘二同〈此圖為三直角題言多者以該二直角也〉
　　球上三邊形有二直角若第三為鋭角即對角之弧小於象限若鈍角即對角之弧大於象限
　　如上丁戊己形丁戊皆直角己為鋭
　　角即對己之丁戊弧小於象限甲乙
　　丙形甲丙皆直角乙為鈍角則對乙
　　之甲丙弧大於象限
　　球上斜三角形有三類或俱鋭角或俱鈍角或雜鋭鈍角球上斜三角形俱鋭角者其相對三角形有兩鈍角一鋭
　　角
　　如上甲乙丙形三皆鋭角即相對丁乙丙形其乙丙為兩鈍角丁為鋭角
　　球上三邊形俱鈍角者其相對三角形有兩鋭角一鈍角如上甲乙丙形三皆鈍角即相對乙丙丁形其乙丙為鋭鋭角丁為鈍角

　　球上三角形之三角並大於兩直角
　　有二直角即大何況一直一鈍以上



　　割圓篇第二
　　總論二十六條
　　三角形有六率三角三邊是也測三角形者於六率中先得其三而測其餘三也〈測三角形者止測其線非測其容測或作推或作解下文通用〉
　　測三角形必籍同比例法〈亦曰三率法〉同比例者四率同比例先有三而求第四也故三角形之六率其比例欲定其分數欲明
　　三角形六率之比例其中用弧者最為難定何者圓線與直線之比例從古至今未有其法故
　　三角形何以有弧曰球上三角形其三邊皆弧也其三角皆弧角也即平面三角形其可以直線測者三邊耳欲測其角非弧不得而弧為圓線無數可測故測弧者必求其與弧相當之直線
　　與弧相當之直線者割圓界而求其直線之分與弧分相當者是也
　　割圓之直線有四一曰一名通二曰半皆在圓界內三曰切線在圓界外四曰割線在圓界之內外
　　者直線在圏內從此㸃至彼㸃分圏為兩分
　　凡皆對兩弧一上一下
　　如上圖甲乙為分甲丙乙丁圏為兩分甲丁乙為大分甲丙乙為小分則甲乙上當甲丙乙小弧下當甲丁乙大弧
　　正弧者從弧作垂線至全徑上
　　如上圖從丁作甲乙之垂線若從丁直至戊則為通故丁丙為半

　　半又有二種有正有倒
　　正半是直線在半圏內從弧作垂線至徑上分半圏為不等之兩分一大弧一小弧此半當小弧亦當當大弧〈當者為小弧之半亦為大弧之半〉
　　如上圖從己弧下至甲乙全徑上作己庚垂線分甲丙乙半圏為不等兩分乙己弧為小分己丙甲弧為大分則己庚為己乙
　　小弧之半又為己丙甲大弧之半
　　正半從一㸃作兩半第一為前半第二為從半又為餘弧又為較又為差
　　如前圖先論己庚即為前半其己戊即為後半又為餘為較者乙己丙弧九十度乙己不足九十度則己丙為餘弧亦為較弧故己戊為其餘較也
　　前後兩半其能等於半徑
　　如上圖庚己為前當乙己弧己戊為後當己丙餘弧戊己等於丁庚〈㡬何一卷三十四〉則丁己半徑上方與庚己己戊上兩方
　　並等故云兩半之能等於半徑
　　論曰兩半互為垂線則己庚丁為直角而對直角之己丁上方與勾股上兩方並等〈㡬何一卷四十七〉
　　系直角三邊形內有半徑亦有一半即可求後半法曰半徑上方形實減半上方形實其較即後半上方形之實開方得後半
　　如丙乙半徑十甲乙前半六而有丙
　　甲乙直角今求丙甲後半其法丙乙
　　自之為百甲乙自之為三十六相減餘六十四即甲丙方之實平方開之得八
　　兩正之較與紀限左右距等弧之半等〈六十度為紀限〉解曰甲乙丙象限內有丙己小弧丙己
　　戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊
　　丁兩弧等其兩半一為己辛一為丁
　　庚兩半之較為丁癸題言丁癸較與己壬半壬丁半各等
　　論曰試作一己子線則丁己子成三邊等角形何也此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也子戊同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又
　　丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十
　　度其乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁
　　既平行甲戊線截二線於子即內外角
　　等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六十度角也丁與己與全子三角既等兩直角〈一卷三十二〉則共為一百八十度於中減全子角六十度則丁己兩角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等
　　系題兩弧各有其正半兩半至弧之㸃在六十度之左右而距度㸃等其前兩正半之較即後兩半如前圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半己辛簡表先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半為丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半其法以己辛丁庚兩半相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半〈此設數半徑一萬〉
　　倒者餘與全數之較本名為矢
　　如上圖甲丙徑以乙丁正半分徑為二分一為甲丁一為丁丙其丁丙即乙丁正半之倒也
　　矢有二有大有小
　　如上圖甲丁為大矢與甲乙弧相當丁丙為小矢與乙丙弧相當
　　矢加於餘半即半徑
　　如上圖乙己為乙丁正之餘以加丁丙即半徑為乙己與丁戊等故
　　切線者弧之外有線為徑一端之垂線半徑為底線而交於截弧之線〈線者勾股之非弧矢之也〉
　　如上圖戊丙弧乙丙為半徑從丙出垂線至丁又從乙出線截戊丙弧於戊而與丁丙線交於丁即丁丙為切線與戊丙弧相
　　當也
　　割線者從心過弧之一端而交於切線
　　如上圖乙戊丁線為割線與戊丙弧相當也故戊丙弧在三角形內其句為半徑其股為切線其為割線皆與戊丙弧相當
　　之直線
　　又戊丙一弧其相當之直線有四一丁丙切線一乙丁割線一戊己正半一己丙矢
　　定割圓之數當作割圓線之立成表〈一名三角形表一名度數表今名大測表〉大測表不過一象限
　　古用則須半周
　　如上圖用則乙丙弧必得乙丙乃至乙庚弧必得乙庚故百八十度之弧必得百八十度之也因此術既繁且難後從簡便
　　則以半當之為各半可當上下兩弧故不過一象限而足也
　　如上圖辛壬半當乙壬小弧亦當壬己甲大弧庚己半當乙己小弧亦當己甲大弧且一象限之外無切線亦無割線故
　　用半圏之全不如象限之半也
　　大測表不止有各弧之各度數亦有其各分數〈欲極詳亦可析分為十為六也但少用耳〉
　　作大測表先定半徑為若干分愈多愈細
　　凡割圓四線大抵皆不盡之數無論全數不盡即以畸零法命其分亦不能盡故大測表不得謂其不差但所差甚少不至半徑全數中之一耳
　　假如半徑為千萬表中諸線中不至差千萬分之一分自一以內或半或大或少不能無差而微乎微矣故作表中半徑必用極大之數最少者一萬以上或至百萬千萬或至萬萬可也〈七位即千萬八位即萬萬〉
　　定半徑之全數即可求一象限內各弧各度分之半以此半可求得其切線割線
　　凡半徑用數少即差多〈如用千則差千之一用萬則差萬之一〉用極大之數即難推〈如用萬萬以上數極繁矣〉今定為㡬何則可曰凡半徑之數其中之小分與半弧度分之小分大約相等而上之即是中數
　　假如欲測有分之弧問半徑應定㡬何分曰一象限九十度毎度六十分則一象限五千四百分又古率圓與徑之比例大畧為二十二與七則象限弧與半徑之比例若十一與七
　　如上圖周二十二四分之則一象限為五又半徑七二分之則三又半此二比例有畸零之數故各倍之為十一與七也
　　今用同比例法〈即三率法〉以象限十一為第一數以半徑七為第二數以象限五千四百分為第三數而求得第四數為三千四百三十六故半徑分為三千四百三十六則半徑之各分略象等於一象限之各分五千四百也故用大數最少一萬為與五千相近用此乃可推有分之弧也
　　欲推弧分之秒亦用此法其象限為三十
　　二萬四千秒依三率法十一與七若三十二萬四千與二十○萬六千一百八十二其半徑細分與象限之分秒相等而上之必用百萬










　　表原篇第三
　　表原者作表之原本也測圓無法必以直線直線與圓相準不差又極易見者獨有六邊一率而已古雲徑一圍三是也然此六弧之非六弧之本數自此以外雖分至百千萬億皆耳故測弧必以愈細數愈宻其法仍由六邊之一準率始自此又推得五率此六率皆相準不差但後五率其理難見推求乃得是名為六宗率其法先定半徑為若干數〈今用一千萬〉則作圏內六種多邊形〈俱見㡬何第四卷〉推此六形各等邊之數得此六數即為六通各當其本弧因以為作表原本
　　宗率一　圏內六邊等切形求邊數
　　㡬何原本四卷十五題言六邊等形在圏內者其各邊俱與半徑等半徑既定為千萬即邊亦千萬凡邊皆也圏分三百六十度此各相當之弧各六十度各與千萬相當矣相當者千萬即六十度弧之也如上乙丙圏內有六邊等形其半徑甲乙既定為千萬即乙丙為六邊形之一邊亦千萬而相當之乙丙弧六十度
　　宗率二　內切圏直角方形求邊數
　　㡬何四卷第六言一線在圏內對一象限為方形邊其上方形等於兩半徑上方形並〈㡬何一卷四七〉此句股法也故用兩半徑之實並而開方而得本形邊
　　如上乙丙圏內方形甲乙為半徑句股法甲乙甲丙上兩方並與乙丙上方等即以之開方而得乙丙邊今兩半徑上方形並
　　為二○○○○○○○○○○○○○○〈此數為二百萬萬萬旁作㸃者萬也末○為單數〉以開方得其邊一千四百一十四萬二千一百九十六此為乙丙弧之也乙丙弧為四分圏之一九十度則乙丙數為乙丙九十度弧相當之數
　　宗率三　圏內三邊等切形求邊數
　　㡬何十三卷十二題言三邊等形內切圏其各邊上方形三倍於半徑上方形〈丁乙方與丙丁丙乙兩方等而四倍於　　　丙丁形則丙乙為丁乙四之三而三倍於丙丁〉如上乙丙圏甲乙為半徑乙丙上方三倍大於甲乙上方即三因半徑上方為三○○○○○○○○○○○○○○〈此數為二百萬〉
　　〈萬萬有奇〉開方得一千七百三十二萬○五○八弱
　　宗率四圏內十邊等切形求邊數
　　㡬何十三卷九題言以比例分半徑為自分連比例線其大分則十邊等形之一邊
　　如上圖甲乙半徑與戊己等
　　用自分連比例法〈㡬何六卷三十
　　稱理分中末線〉分為大小分其大
　　為丁己與十邊形之乙丙邊等蓋戊己線與己癸等己癸線既兩平分於庚則戊己己庚線上兩方並與庚戊上方等〈㡬何一卷四十七〉今以庚戊上方開得庚戊線為一千一百一十八萬○四百三十○次減去己庚五百萬餘六百一十八萬○四百三十○即丁己線亦即乙丙而乙丙弧為全圏十分之一得三十六度是乙丙為三十六度弧之也
　　宗率五　圏內五邊等切形求邊數
　　㡬何十三卷第十題言圏內五邊等切形其一邊上方形與六邊等形十邊等形之各一邊上方形並等如上圏內甲乙戊為五邊等形甲丙己為六邊等形甲丁乙為十邊等形題言甲丁甲丙上兩方並與甲乙上
　　方等者前言甲丙半徑為萬萬甲丁
　　線為六百一十八萬○四百三十○
　　各自之並得數開方得甲乙線為一
　　千一百七十五萬五千七百○四弱
　　其弧五分全圏得七十二即甲乙為七十二度弧之度
　　宗率六　圏內十五邊等切形求邊數
　　㡬何四卷十六題言圏內從一㸃作一三邊等形又作一五邊等形同以此㸃為其一角從此角求兩形相近之第一差弧即十五邊形之一邊
　　如上圖從甲㸃作甲乙丙三邊形甲丁戊五邊形求得兩形相近之第一差為乙戊即十五邊等形之一邊乃丁乙全差之半其
　　數先有三邊形之乙丙一百二十度之為一千七百三十二萬○五百○八弱又有五邊形之戊子七十二度之為一千一百七十五萬五千七百○四弱則乙庚六十度之正為乙丙之半得八百六十六萬○二百五十四弱戊辛三十六度之正為戊子之半得五百八十七萬七千八百五十二兩相減餘為乙癸得二百七十八萬二千四百○二夫乙己半徑上方減壬乙六十度之正乙庚上方餘己庚依開方法為五百萬己子半徑上方與己辛三十六度之正辛子上兩方並等依前法亦得己辛八百○九萬○一百七十○己辛己庚兩相減餘為庚辛得三百○九萬○一百七十○庚辛即戊癸也既得乙癸二百七十八萬二千四百○二今得戊癸三百○九萬○一百七十○用句股術求得乙戊為四百一十五萬八千二百三十四為十五邊等形之一邊其乙戊弧為全圏十五分之一得二十四則乙戊為二十四度弧之相當
　　六題總表
　　邊　　　　弧度　　　　數
　　三　　　　一百二十　　一七三二○五○八
　　四　　　　九十　　　　一四一四二一九六
　　五　　　　七十二　　　一一七五五七○四
　　六　　　　六十
　　十　　　　三十六　　　　六一八○三四○
　　十五　　　二十四　　　　四一五八二三四既得全數今推半弧〈即半角〉半
　　弧度　　　　半
　　六十　　　　八六六○二五四
　　四十五　　　七○七一○九八
　　三十六　　　五八七七八五二
　　三十　　　　五○○○○○○
　　十八　　　　三○九○一七○
　　十二　　　　二○七九一一七









　　新法算書卷九