新法算書 (四庫全書本)/卷010

新法算書　卷十

　　欽定四庫全書
　　新法算書卷十　　　　　明　徐光啟等　撰大測卷二
　　表法篇第四
　　既得前六宗率更用三要法作表
　　要法一　前後兩其能等於半徑〈圖説系法俱見本篇總論第十二條〉要法二　有各弧之前後兩求倍本弧之正如上甲戊弧三十五度其正為戊己得五七三五七六四其餘即乙己得八一九一五二○今以此二求倍甲戊而為甲丁弧之正其法以乙戊半徑千萬為第一率以戊己正為第二率以乙壬餘為第三率即得壬庚第
　　四率與辛癸等為四六九八四六二倍之得丁癸為九三九六九二四其弧甲丁七十度
　　論曰乙戊己與乙壬甲兩三角形比例等則乙己與乙壬等而戊己與甲壬亦等乙己與乙壬等故乙壬為餘也而乙壬庚乙戊己兩形之比例等故第四率為壬庚壬庚與辛癸同為直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同為直角則甲戊戊丁兩弧等甲壬壬丁兩亦等而丁辛與壬庚亦等故倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲兩形之三邉俱等依句股法得甲庚邉倍之為甲癸以減半徑得癸乙為餘
　　要法三各弧之全上方與其正半上偕其矢上兩方幷等
　　句股術也
　　如上甲丁弧之正為丁辛其矢為甲辛此兩線上方幷與甲丁上方等
　　系法有一弧之正及其餘而求其半弧之正弦如上甲丁弧其正為丁辛餘為乙辛而求甲戊弧之甲己半其法於甲乙半徑減乙辛餘得甲辛矢其上方偕丁辛半上方並與甲丁通上方等開方得甲丁線半之
　　得甲己為甲戊弧之正其數如上甲丁弧三十度其半丁辛為五○○○○○○乙辛餘為八六六○二五四以減全半徑得甲辛矢一三三九七四六丁辛上方為二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方為一七九四九一九三四四五一六並之得二六七九四九一九三四四五一六開方得甲丁線五一七六三六○即甲丁弧三十度之也半之為甲己半得二五八八一九○其弧十五度
　　用前三要法即大測表大畧可作又有簡法二題其用甚便但非恆有
　　簡法一　兩正之較與六十度左右距等弧之正等〈見本卷第二篇〉
　　解曰甲乙丙象限內有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊丁兩弧等其前兩正一為己辛一為丁庚其
　　較丁癸題言丁癸較與己壬壬丁兩正各等論曰試作一己子線則丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己
　　兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十度而乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁既平行甲戊線截二線於子即內外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六十度角也丁與全己全子三角既等兩直角〈一之三十二〉則共為一百八十度於中減全子角六十度則丁己兩全角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等
　　系題兩弧各有其正半兩半至弧之㸃在六十度之左右而距度㸃等則前兩正半之較即後兩半如圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半為丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半其法以己辛丁庚兩半相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半〈此數半徑設一萬〉
　　次系有六十度左右相離弧之正一率又有其原正一率而求其相對之彼正其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正與相離弧之正相減其較為小弧之正〈餘則稱餘倒則稱倒〉以小求大者用相離弧之半加小弧之半即大弧之半如上丁壬離弧之正即己壬與丁癸較等為一千七百三十六丁庚大為九千三百九十六相減得癸庚七千六六○即
　　己丙弧之己辛小反之丁癸較為一千七百三十六〈即丁壬離〉以加於癸庚〈即辛己小〉七千六百六十得丁庚大九千三百九十六
　　用此法於象限內先得半六十率用加減法即得其餘三十率
　　簡法二　有兩弧不等之各正又有其各餘而求兩弧相加相減弧之各正其法有二一相加一相減相加者以前弧之正乘後弧之餘弦以後弧之正乘前弧之餘各得數並之為實以半徑為法而一得兩弧相加為總弧之正相減者亦如前法互乘得各
　　數相減餘為實以半徑為法而一為
　　兩弧相減弧之正
　　如上甲乙前弧二十度乙丙後弧十
　　五度總三十五度其差五度甲乙弧之半為三四二○二○一其餘弧甲丁之半為九三九六九二六乙丙弧之半為二五八八一九○其餘弧乙丁之半為九六五九二五八以甲乙半與丙丁餘之半乘得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半與甲丁餘乘得二四三三二一○二九九○五七四○以相加得五七三五七六三〈以下滿半收為一不滿去之〉三七七六五九八以半徑為法而一得五七三五七六三即三十五度弧之半若以相減則餘八七一五五七三九六五一一八以半徑為法而一得八七一五五七即○五度弧之半此題多羅某所用全故説中雲半而圖與數皆全然全與全半與半比例等則亦未有異也
　　有前六宗率為資有後三要法為具〈資為材料具如器械〉即可作大測全表
　　如用前法求得十二度弧之正半率而求其相通之他率
　　弧　　　度　分　　　　用法得半數
　　正弧　　一二　　　　　　　　二○七九一一七
　　〈半之〉　　○六　　　　　　　　一○四五二八五
　　〈又半之〉　○三　　　　　　　　　五二三三六○
　　〈又半之〉　○一三○　　　　　　　二六一七六九
　　〈又半之〉　○○四五　　　　　　　一三○八九六其餘弧　八四　　〈六度之餘〉第一九九四五二一九八七　　〈三度之餘〉　　九九八六二九五八八三○〈一度半之餘〉　　九九九六五七三八九一五〈○度四十五分之餘〉　　九九九九一四三
　　弧　　度　分　　　　　用法得正數
　　〈半其餘八十四度〉四二　　　　　　　　六六九一三○六
　　〈半之〉　　二一　　　　　　　　三五八三六七九
　　〈又半之〉　十○三○　　　　　　一八二二三五五
　　〈又半之〉　○五一五　　　　　　　九一五○一六
　　〈半其餘八十七度〉四三三○　　　　　　六八八三五四六
　　〈又半之〉　二一四五　　　　　　三七○五五七四
　　〈半其餘八八三○〉四十四　十五　　　　六九七七九○五又用前七率之餘弧而求其正
　　四八　　〈四十二之餘〉第一七四三一四四八六九　　〈二十一之餘〉　　九三三五八○四七九三○〈十度半之餘〉　　九八二二五四九八四四五〈五度十五分之餘〉　　九九五八○四九四六三○〈四十三度半之餘〉　　七二五三七四四六八一五〈二十一四十五分餘〉　　九二八八○九六四五四五〈四十四十五分之餘〉　　七一六三○一九
　　又半前七率而求其正
　　二四　　〈四十八之半〉　　四○六七三六六
　　弧　　度　分　　　　用法得正數
　　三四三○〈六十九之半〉　　五六六四○六二一七一五〈三十四三十分之半〉　　二九六五四一六三九四五〈七十九三十分之半〉　　六三九四三九○二三一五〈四十六三十分之半〉　　三九四七四三九
　　又用前五率之餘弧而求其半
　　六六　　〈二十四之餘〉第一九一三五四五五五五三○〈三十四三十分之餘〉　　八二四一二六二七二四五〈十七度十五分之餘〉　　九五五○一九九五○一五〈三十九四十五分餘〉　　七六八八四一八六六四五〈二十三度十五分餘〉　　九一八七九一二
　　又半前五率而求其正
　　三三　　〈六十六之半〉　　五四四六三九○一六三○〈三十三之半〉　　二八四○一五三○八一五〈一十六三十分之半〉　　一四三四九二六二七四五〈五十五三十分之半〉　　四六五六一四五
　　又用前四率之餘弧而求其正
　　五七　　〈三十三之餘〉第一八三八六七○六
　　弧　　度　分　　　用法得正數
　　七三三○〈十六度三十分之餘〉第一九五八八一九七八一四五〈八度十五分之餘〉　　九八九六五一四六二一五〈二十七四十五分餘〉　　八八四九八七六
　　又半前四率而求其正
　　二八三○〈五十七度之半〉　　四七七一五八八一四一五〈二十八三十分之半〉　　二四六一五三三三六四五〈七十三三十分之半〉　　五九八三二四六
　　又用前三率之餘而求其正
　　六一三○〈二十八度三十分餘〉第一八七八八一一一七五四五〈十四度十五分之餘〉　　九六九二三○九五三一五〈三十六四十五分餘〉　　八○一二五三八
　　又半前六十一度三十分而求其正
　　三○四五　　　　　　五一一二九三一
　　又用前三十○度四十五分之餘而求其正
　　五九一五　　　　第一八五九四○六四
　　已上皆十二度所生之率再用其餘弧七十八度推之亦如前法又十二度之弧為前六宗率之十五邉形也其餘五形如三邊四邉五邉六邊十邉形亦如前法作此既畢即大測表之大段全具矣何者首得者四十五分其次為一度三十分又次為二度一十五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧之半一三○八九六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半為六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之弧其半為三二七二四半夫二十二分三十秒之前弧倍於一十一分十五秒之後弧而前半亦倍於後半蓋繇初度之與弧切近畧似相合為一線故也則用同比例法〈即三率法〉以二十二分三十秒之弧為第一率以其半六五四四九為第二率設十分之弧為第三率而得第四率為二九○八八再用此法得一分之弧為二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此外更用前三要法推之以至九十度
　　其求切線皆用三率法
　　以餘半為第一率以半為第二率以半徑為第三率而得第四切線
　　如三十度之弧其餘半八六六○二五四為第一率其半五○○○○○○為第二率半徑一○○○○○○○為第三
　　率則得第四率五七七三五○二
　　其求割線亦用三率法
　　以餘半為第一率半徑為第二率又為第三率而得割線第四率
　　如前戊乙為三十度之弧其餘半甲丙八六六○二五四為一率半徑甲戊一○○○○○○○為二率又以半徑甲乙為第三率而得甲丁一一五四七○○五為三十度弧之割線
　　其求割線之約法不用三率而用加減法
　　如上乙己弧二十度其切線為乙戊餘
　　弧為己丙七十度半之得己丁三十五
　　度即截乙庚弧與己丁等次作乙辛切
　　線得數以加乙戊切線即兩切線並為戊乙辛切線與甲戊割線等
　　其求矢法以餘半減半徑得小矢
　　如丙丁弧五十度餘弧甲丁四十度其餘半丁戊即己乙為六四二七八七六以減乙丙千萬得己丙矢
　　已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析為六十今中厯遞用百析為便故須會通前表為百分之表其會通法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又半之十五分即二十五分以五為法西三分即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十分如是以至六十
　　〈三　六　九　　十二　十五　十八　二十一　二十四　二十七　三十五　十　十五　二十　二十五　三十　三十五　四十　四十五　五十〉〈三三　三六　三九　四二　四五　四八　五一　五四　五七　六十五五　六十　六五　七十　七五　八十　八五　九十　九五　百〉通表法書各度之四種割圓線中西法皆同所不同者分也其分數書五分用其三分之率書十分用其六分之率如是逓至於百所闕者每二率相距少其間四率耳則用加減法求之
　　如二十四度○三分即中五分也其小數〈小者十萬為半徑也〉四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小半四○八三三其差八十五分之得十六為一差以加於前小半即得四○七六九為中厯二十四度六分之半再加一差得四○七八五為七分之半三加得四○八○一為八分之半四加得四○八一七為九分之半五加得四○八三三為十分之半合前率矣如是逓加之得六十與百分相通之全表西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差數有畸零不盡者如西表二十四度二十七分之半為四一三九○又二十四度三十分之半為四一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之四為一差通之則從中表二十四度四十五分首加一差
　　二十四度四十五分　　　　　四一三九○
　　〈差法〉一五　五之四
　　四十六分　　〈加一差〉　四一四○五　五之四四十七分　　〈加二差〉　四一四二一　五之三四十八分　　〈加三差〉　四一四三七　五之二四十九分　　〈加四差〉　四一四五三　五之一五十○分　　〈加五差〉　四一四六九
　　如上有畸零者滿半收為一不滿去之








　　考表法　作表未必無誤其考之之法
　　如表書七十七度一十八分其切線為四四三七三四九九此率如屬可疑則以前後各二率考之













　　表用篇第五
　　表用一　有弧數求其正
　　如三十七度五十四分之弧求其正查本度本分表得六一四二八五三
　　又如三十七度五十四分四十六秒求其半查本度本分之半為六一四二八五三又取次率五十五分之半為六一四五一四八相減得差二二九五〈若表上有差率即取本差〉此差以當六十秒用三率法以六十秒為第一率以二二九五差為二率以四十六秒為三率而求四率得一七五九以加所取之前半六一四二八五三共得六一四四六一二即所求
　　系凡求切線割線同上法
　　次系有正弧求餘視本弧同位之餘度分向正弧表上取其正
　　如求三十度之餘視正弧表上與同位者為餘六十度即向正弧六十度取其八六六○二五四即三十度之餘〈表上逆列同位者為五十九度六十分而此言六十度蓋並其六十分為六十度其逆列六十度者則是六十一度何者凡所書弧分皆所書弧度之算外分故也〉
　　又如求五十度○分之餘本表逆列同位者為三十九度六十分即於正表上簡三十九度六十分之
　　得六四二七八七六即所求
　　三系測三角形欲得見弧〈見弧者有己得之弧而求其也隠弧者有己得之而求其弧也凡己得者稱見未得稱隠諸線諸角之屬皆倣此〉之各線查表之本度分直取之則各線咸在也如弧三十度求其割圓各線即查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左三十度〈初分〉正　　五○○○○○○
　　切線　　五七七三五○三
　　割線　　一一五四七○○五
　　餘〈五十九度六十分〉　　　八六六○三五四
　　切線　　一七三二○五○八
　　割線　　二○○○○○○○
　　四系有鈍角求其各線如鈍角一百四十二度六分其正則以一百四十二度六分減半周餘三十七度五十四分查表求其正得六一四三八五三
　　如上丙丁正當丙乙小弧亦當丙戊大弧故當丙甲丁鋭角亦當丙甲戊鈍角何者甲上鋭鈍二角原當兩直角而表上無鈍角之弧與其正故減鈍角於百八十度得鋭角三十七度五十四分其半丙丁以當丙戊大弧即以當大弧之
　　鈍角也
　　表用二　有正求其弧
　　與前題相反如有正八八八八八三九欲求其弧查表上正格得此數即得本度為六十二本分為四十四也
　　又如正五七六五八三四求弧查表無此數即取其近而畧小者得三十五度十二分之為五七六四三二三與見相減餘一五一一又取其近而畧大者得五七六六七○○與前小相減餘二三七七以此大差當六十秒用三率法以二三七七大差為第一率以六十秒為第二率以一五一一小差為第三率而得第四率為三十五度十二分三十秒即所求他各線求俱倣此
　　表用三　有弧求其通
　　如七十五度四十八分之弧求通其法半之得三十七度五十四分求其正得六一四二八五二倍之得一二二八五七○四即所求
　　如甲乙弧七十五度四十八分半之為乙戊弧求得乙丁正倍之即乙丁甲通也因通無表故用半弧正倍之即是他準此
　　表用四　有弧求其大小矢
　　如乙丁弧三十七度五十四分求兩矢查表截矢數得乙丙小矢為二一○九一五九以減全徑二○○○○○○○得大矢一七八
　　九○八四一如表無小矢即求見弧之餘得七八九○八四一以減半徑得小矢







　　測平篇第六
　　測平者測平面上三角形也凡此形皆有六率曰三邊曰三角角無測法必以割圓線測之其比例甚多今用四法以為根本依此四根法可用大測表測一切平面三角形亦執簡御繁之術也凡測三角形皆用三率法〈即同比例〉三率法又以相似兩三角形〈幾何六卷四〉為宗下文詳之
　　根法一　各三角形之兩邊與其各對角兩正比例等一雲右邊與左邊若左角之與右角之
　　如上甲乙丙平面三角形其甲丙兩為鋭角即以甲為心甲乙為半徑作乙戊弧次作乙己垂線即乙戊弧之正亦即甲角之正也又以甲乙為度從丙截取丙庚從丙心庚界作庚辛弧又作垂線庚丁即庚辛弧與丙角之正
　　也題言乙角之甲乙右邊與乙丙左邉若左角丙之庚丁正與右角甲之乙己正
　　論曰乙丙己三角形有乙己庚丁兩平行線即乙丙與乙己若庚丙與庚丁而丙庚原與甲乙等即乙丙與乙己若甲乙與庚丁更之即甲乙與乙丙若庚丁與乙己如上甲乙丙形乙為直角有丙乙丁戊兩平行線即甲丙與丙乙若甲丁與丁戊而乙丙與甲丁等即甲丙與丙乙若丙乙與丁戊反之則丙角之丙乙右邊與丙甲左邊若左角
　　甲之丁戊與右角乙之丙乙
　　如上甲乙丙形乙為鈍角其正丙壬而甲戊線與乙丙等甲角之正為戊己題言丙角之甲丙右邊與丙乙左邊若左角乙之丙壬與右角甲之戊己何也試於形外引
　　甲乙至丁作丙丁線與丙乙等即丁角與乙鋭角等依首條甲丙與丙丁若丙壬與戊己即甲丙與丙乙亦若丙壬與戊己
　　總論之各三角形各兩邊之比例與兩對角之兩正比例等者何也試於形外作切圏則三邊為三而本形之各邊皆為
　　各對角之通即乙丙邉與甲乙邉若甲角之與丙角之也當已即是豈止同比例而已乎夫全與全半與半比例等則各半與各通之比例亦等此題為用對角根本
　　根法二　各三角形以大角為心小邊為半徑作圏而截兩邊各為圏內外兩線即底線與兩腰並若腰之外分與底之外分
　　如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以甲為心甲丙為半徑作圏截底於戊截大腰於庚題言乙丙底與乙甲甲丙兩腰並若腰外分乙庚與底外分乙戊
　　論曰試作乙己引出線即甲己與甲丙等而乙己與兩腰並等乙己乙庚矩內形與乙丙乙戊矩內形兩容等〈幾何三卷三五〉即兩形邉為互相視之邊而乙己與乙丙若乙戊與乙庚既得乙戊底外分以減全底得戊丙半之得垂線所至為丁丙
　　此題為用垂線根本
　　根法三　有兩角並之數又有其各正之比例求兩分角之數
　　如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之數其兩分之大角為乙甲壬小角為壬甲丙未得數但知大角正乙丁小角正丙戊之比例亦未得數而求兩分角之數其法以乙辛丙弧兩平分於辛作甲辛線乙甲辛辛甲丙兩角等而辛甲壬
　　角為半弧與小弧之差又為大弧與小弧之半差次截辛庚弧與辛戊等作甲庚線即庚甲壬角為大小兩弧之差夫乙丙者總角之乙丑平分弧之正而己辛為乙辛半弧之切線辛癸為辛丙半弧之切線此二線等而辛壬辛庚各為半差弧之切線亦等又乙丁子子丙戊兩形為兩正上三角形此兩形之丁與戊皆直角又同底即兩正之對角為子上兩交角亦等〈幾何一卷十題〉而丁乙子子丙戊兩角亦等〈幾何一卷三二〉則兩形為相似形而乙丁正
　　與丙戊正若乙子與子丙〈幾何六卷四〉先既有乙丁丙戊兩正之比例即得乙子與子丙之比例而又得乙子與子丙之較為子寅夫乙丙己癸兩線同為甲辛半徑上之垂線即平行甲乙丙甲己癸兩形之各角等即為相似之形〈六卷四〉而兩形內所分之各兩三角形如甲庚癸甲寅丙之類俱相似即以兩線之並數乙丙為第一率以兩線之差數子寅為第二率以兩半弧之兩切線己癸為第三率則得兩差弧之切線庚壬為第四率矣而此比例稍繁別有簡者則半之曰丙丑與子丑若癸辛與壬辛也有更簡者則曰乙丙與子寅若辛癸與辛壬也今用第三法雲乙丙為兩邉之並數子寅其較數辛癸為兩角總數內半弧之切線而辛壬為大小兩角較弧之切線既得辛壬切線即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角以減辛甲丙半角即得壬甲丙小角
　　以數明之乙甲丙角為四十度所包大小兩隠角為乙甲壬壬甲丙其兩正乙丁丙戊之比例為七與四即乙子子丙之比
　　例亦七與四而乙丙之總數如十一平分之於丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙兩弧各二十度又以大線七與半線相減餘一有半以半線五有半與小線四相減亦餘一有半又甲辛為半徑即辛丙二十度弧之切線辛癸為三六三九七○二即以丑丙五有半為第一率以辛癸切線三六三九七○二為第二率以子丑一有半為第三率而得辛壬切線九九二六四六為第四率既得第四率即得辛壬所當辛甲壬角為五度四十○分八秒以減辛丙二十度餘壬甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒
　　此題為用切線根本
　　根法四　凡直角三邊形之各邉皆能為半徑
　　其一以線為半徑作弧即餘兩腰包直角者各為其對角之正
　　如上甲乙丙形其乙丙為對直角之線以為半徑作丁丙弧即甲丙小腰為對角乙之正甲乙大腰為對角丙之正
　　其二以大腰為半徑即小腰為小角之切線而線為
　　小角之割線
　　如上甲乙大腰為半徑即甲丙小腰為乙小角之切線而乙丙為乙角之割線
　　其三以小腰為半徑即大腰為大角之切線而線為大角之割線
　　如上甲丙小腰為半徑即甲乙大腰為丙大角之切線而乙丙線為其割線

　　此題為用割圓各線根本











　　新法算書卷十
　　測天約説敘目
　　測天者脩厯之首務約説者議厯之初言也不從測𠉀無縁推筭故測量亟矣即測𠉀推筭亦非甚難不可幾及之事所難者其數曲而繁其情密而隠耳欲御其繁曲宜自簡者始欲窮其密隠宜自顯者始約説之義則總厯家之大指先為簡顯之説大指既明即後來所作易言易知漸次加詳如車向康莊此為發軔已又古之造厯者不欲求明抑將晦之諸凡名義故為隠語諸凡作法多未及究論其所從來與其所以然之故牆宇既峻經途斯狹後來學者多不得其門而入矣此篇雖雲率略皆從根源起義向後因象立法因法論義亦復稱之務期人人可明人人可能人人可改而止是其與古昔異也或雲諸天之説無從考證以為疑義不知厯家立此諸名皆為度數言之也一切逺近內外遲速合離皆測𠉀所得舍此即推步之法無從可用非能妄作安所置其疑信乎若夫位置形模實然實不然則天載幽𤣥人靈淺尠誰能定之姑論而不議可矣都為二卷共八篇如左