普通高中數學課程標準

普通高中數學課程標準
中華人民共和國教育部制定

前言

黨的十九大明確提出：「要全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，發展素質教育，推進教育公平，培齊德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人。

基礎教育課程承載着黨的教育方針和教育思想，規定了教育目標和教育內容，是國家意志在教育領域的直接體現，在立德樹人中發揮着關鍵作用。

2003年，教育部印發的普通高中課程方案和課程標準實驗稿，指導了十餘年來普通高中課程改革的實踐，堅持了正確的改革方向和先進的教育理念，基本建立起適合我國國情、適應時代發展要求的普通高中課程體系，促進了教育觀念的更新，推進了人才培養模式的變革，提升了教師隊伍的整體水平，有效推動了考試評價制度的改革，為我國基礎教育質量的提高作出了積極貢獻。但是，面對經濟、科技的迅猛發展和社會生活的深刻變化，面對新時代社會主要矛盾的轉化，面對新時代對提高全體國民素質和人才培養質量的新要求，面對我國高中階段教育基本普及的新形勢，普通高中課程方案和課程標準實驗稿還有一些不相適應和亟待改進之處。

2013年，教育部啟動了普通高中課程修訂工作。本次修訂深入總結21世紀以來我國普通高中課程改革的寶貴經驗，充分借鑑國際課程改革的優秀成果，努力將普通高中課程方案和課程標準修訂成既符合我國實際情況，又具有國際視野的綱領性教學文件，構建具有中國特色的普通高中課程體系。

一、修訂工作的指導思想和基本原則

（一）指導思想

以馬克思列寧主義、毛澤東思想、鄧小平理論、「三個代表」重要思想、科學發展觀、習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，深入貫徹黨的十八大、十九大精神，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，發展素質教育，推進教育公平，以社會主義核心價值觀統領課程改革，着力提升課程思想性、科學性、時代性、系統性、指導性，推動人才培養模式的改革創新，培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人。

（二）基本原則

1．堅持正確的政治方向。堅持黨的領導，堅持社會主義辦學方向，充分體現馬克思主義的指導地位和基本立場，充分反映習近平新時代中國特色社會主義思想，有機融入堅持和發展中國特色社會主義、培育和踐行社會主義核心價值觀的基本內容和要求，繼承和弘揚中華優秀傳統文化、革命文化，發展社會主義先進文化，加強法治意識、國家安全、民族團結、生態文明和海洋權益等方面的教育，培養良好政治素質、道德品質和健全人格，使學生堅定中國特色社會主義道路自信、理論自信、制度自信和文化自信，引導學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀。

2．堅持反映時代要求。反映先進的教育思想和理念，關注信息化環境下的教學改革，關注學生個性化、多樣化的學習和發展需求，促進人才培養模式的轉變，着力發展學生的核心素養。根據經濟社會發展新變化、科學技術進步新成果，及時更新教學內容和話語體系，反映新時代中國特色社會主義理論和建設新成就。

3．堅持科學論證。遵循教育教學規律和學生身心發展規律，貼近學生的思想、學習、生活實際，充分反映學生的成長需要，促進每個學生主動地、生動活潑地發展。加強調查研究和測試論證，廣泛聽取相關領域人員的意見建議，重大問題向權威部門、專業機構、知名專家學者諮詢，求真務實，嚴謹認真，確保課程內容科學，表述規範。

4．堅持繼承發展。對十餘年普通高中課程改革實踐進行系統梳理，總結提煉並繼承已有經驗和成功做法，確保課程改革的連續性。同時，發現並切實面對改革過程中存在的問題，有針對性地進行修訂完善，在繼承中前行，在改革中完善，使課程體系充滿活力。

二、修訂的主要內容和變化

（一）關於課程方案

1．進一步明確了普通高中教育的定位。我國普通高中教育是在義務教育基礎上進一步提高國民素質、面向大眾的基礎教育，任務是促進學生全面而有個性的發展，為學生適應社會生活、高等教育和職業發展作準備，為學生的終身發展奠定基礎。普通高中的培養目標是進一步提升學生綜合素質，着力發展核心素養，使學生具有理想信念和社會責任感，具有科學文化素養和終身學習能力，共有自主發展能力和溝通合作能力。

2．進一步優化了課程結構。一是保留原有學習科目，調整外語規劃語種，在英語、日語、俄語基礎上，增加德語、法語和西班牙語。二是將課程類別調整為必修課程、選擇性必修課程和選修課程。在保證共同基礎的前提下，為不同發展方向的學生提供有選擇的課程。三是進一步明確各類課程的功能定位，與高考綜合改革相銜接：必修課程根據學生全面發展需要設置，全修全考；選擇性必修課程根據學生個性發展和升學考試需要設置，選修選考；選修課程由學校根據實際情況統籌規劃開設，學生自主選擇修習，學而不考或學而備考，為學生就業和高校招生錄取提供參考。四是合理確定各類課程學分比例，在畢業總學分不變的情況下，對原必修課程學分進行重構，由必修課程學分、選擇性必修課程學分組成，適當增加選修課程學分，既保證基礎性，又兼顧選擇性。

3．強化了課程有效實施的制度建設。進一步明確課程實施環節的責任主體和要求，從課程標準、教材、課程規劃、教學管理，以及評價、資源建設等方面，對國家、省（自治區、直轄市）、學校分別提出了要求。增設「條件保障」部分，從師資隊伍建設、教學設施和經費保障等方面提出具體要求。增設「管理與監督」部分，強化各級教育行政部門和學校課程實施的責任。

（二）關於學科課程標準

1．凝練了學科核心素養。中國學生發展核心素養是黨的教育方針的具體化、細化。為建立核心素養與課程教學的內在聯繫，充分挖掘各學科課程教學對全面貫徹黨的教育方針、落實立德樹人的根本任務、發展素質教育的獨特育人價值，各學科基於學科本質凝練了本學科的核心素養，明確了學生學習該學科課程後應達成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力，對知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀三維目標進行了整合。課程標準還圍繞核心素養的落實，精選、重組課程內容，明確內容要求，指導教學設計，提出考試評價和教材編寫建議。

2．更新了教學內容。進一步精選了學科內容，重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實。結合學生年齡特點和學科特徵，課程內容落實習近平新時代中國特色社會主義思想，有機融入社會主義核心價值觀，中華優秀傳統文化、革命文化和社會主義先進文化教育內容，努力呈現經濟、政治、文化、科技、社會、生態等發展的新成就、新成果，充實豐富培養學生社會責任感、創新精神、實踐能力相關內容。

3．研製了學業質量標準。各學科明確學生完成本學科學習任務後，學科核心素養應該達到的水平，各水平的關鍵表現構成評價學業質量的標準。引導教學更加關注育人目的，更加注重培養學生核心素養，更加強調提高學生綜合運用知識解決實際問題的能力，幫助教師和學生把握教與學的深度和廣度，為階段性評價、學業水平考試和升學考試命題提供重要依據，促進教、學、考有機銜接，形成育人合力。

4．增強了指導性。本着為編寫教材服務、為教學服務、為考試評價服務的原則，突出課程標準的可操作性，切實加強對教材編寫、教學實施、考試評價的指導。課程標準通俗易懂，邏輯更清晰，原則上每個模塊或主題由「內容要求」「教學提示」「學業要求」組成，大部分學科增加了教學與評價案例，同時依據學業質量標準細化評價目標，增強了對教學和評價的指導性。

本次修訂是深化普通高中課程改革的重要環節，直接關係育人質量的提升。普通高中課程方案和課程標準必須在教育教學實踐中接受檢驗，不斷完善。可以預期，廣大教育工作者將在過去十餘年改革的基礎上，在豐富而生動的教育教學實踐中，不斷提高課程實施水平，推動普通高中課程改革不斷深化，共創普通高中教育的新輝煌，為實現國家教育現代化、建設教育強國作出新貢獻。

一、課程性質與基本理念

（一）課程性質

數學是研究數量關係和空間形式的一門科學。數學源於對現實世界的抽象，基於抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關係和規律。數學與人類生活和社會發展緊密關聯。數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數學承載着思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數學是自然科學的重要基礎，並且在社會科學中發揮越來越大的作用，數學的應用已滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面。隨着現代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發展，人們獲取數據和處理數據的能力都得到很大的提升，伴隨着大數據時代的到來，人們常常需要對網絡、文本、聲音、圖像等反映的信息進行數字化處理，這使數學的研究領域與應用領域得到極大拓展。數學直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展。

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮着不可替代的作用。數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養。

數學教育承載着落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能。數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界；促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，探尋事物變化規律，增強社會責任感；在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用。

高中數學課程是義務教育階段後普通高級中學的主要課程，具有基礎性、選擇性和發展性。必修課程面向全體學生，構建共同基礎；選擇性必修課程、選修課程充分考慮學生的不同成長需求，提供多樣性的課程供學生自主選擇；高中數學課程為學生的可持續發展和終身學習創造條件。

（二）基本理念

1.學生發展為本，立德樹人，提升素養

高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。高中數學課程面向全體學生，實現：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。

2.優化課程結構，突出主線，精選內容

高中數學課程體現社會發展的需求、數學學科的特徵和學生的認知規律，發展學生數學學科核心素養。優化課程結構，為學生發展提供共同基礎和多樣化選擇；突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法；精選課程內容，處理好數學學科核心素養與知識技能之間的關係，強調數學與生活以及其他學科的聯繫，提升學生應用數學解決實際問題的能力，同時注重數學文化的滲透。

3.把握數學本質，啟發服考，改進教學

高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性。不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審關價值。

4.重視過程評價，聚焦素養，提高質量

高中數學學習評價關注學生知識技能的掌握，更關注數學學科核心素養的形成和發展，制定科學合理的學業質量要求，促進學生在不同學習階段數學學科核心素養水平的達成。評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程。開發合理的評價工具，將知識技能的掌握與數學學科核心素養的達成有機結合，建立目標多元、方式多樣、重視過程的評價體系。通過評價，提高學生學習興趣，幫助學生認識自我，增強自信；幫助教師改進教學，提高質量。

二、學科核心素養與課程目標

（一）學科核心素養

學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特徵的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體。

1.數學抽象

數學抽象是指通過對數量關係與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關係、圖形與圖形關係中抽象出數學概念及概念之間的關係，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，並用數學語言予以表徵。

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特徵，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。

數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。

通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁；運用數學抽象的思維方式思考並解決問題。

2.邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比，一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。

邏輯推理主要表現為：掌握推理基本形式和規則，發現問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流。

通過高中數學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；能夠在比較複雜的情境中把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡；形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力。

3.數學建模

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。

數學模型搭建了數學與外部世界聯繫的橋梁，是數學應用的重要形式。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。

數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題。

通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯；學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗；認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神。

4.直觀想象

直觀想象是指藉助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：藉助空間形式認識事物的位置關係、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯繫，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。

直觀想象主要表現為：建立形與數的聯繫，利用幾何圖形描述問題，藉助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物。

通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質。

5.數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。

數學運算是解決數學問題的基本手段。數學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎。

數學運算主要表現為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果。

通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力；有效藉助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發展，形成規範化思考問題的品質，養成一絲不苟、嚴謹求實的科學精神。

6.數據分析

數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關於研究對象知識的素養。數據分析過程主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論。

數據分析是研究隨機現象的重要數學技術，是大數據時代數學應用的主要方法，也是「互聯網+」相關領域的主要數學方法，數據分析已經深入到科學、技術、工程和現代社會生活的各個方面。

數據分析主要表現為：收集和整理數據，理解和處理數據，獲得和解釋結論，概括和形成知識。

通過高中數學課程的學習，學生能提升獲取有價值信息並進行定量分析的意識和能力；適應數字化學習的需要，增強基於數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質，積累依託數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗。

（二）課程目標

通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱「四基」）；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱「四能」）。

在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養。

通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力；樹立敢於質疑、善於思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創新意識；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。

三、課程結構

（一）設計依據

1．依據高中數學課程理念，實現「人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展」，促進學生數學學科核心素養的形成和發展。

2．依據高中課程方案，借鑑國際經驗，體現課程改革成果，調整課程結構，改進學業質量評價。

3．依據高中數學課程性質，體現課程的基礎性、選擇性和發展性，為全體學生提供共同基礎，為滿足學生的不同志趣和發展提供豐富多樣的課程。

4．依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯，重視數學實踐和數學文化。

（二）結構

高中數學課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程。高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線，它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程。數學文化融入課程內容。高中數學課程結構如下：

說明：數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。

（三）學分與選課

1．學分設置

必修課程8學分，選擇性必修課程6學分，選修課程6 學分。

選修課程的分類、內容及學分如下。

A 類課程包括微積分、空間向量與代數、概率與統計三個專題，其中微積分2.5學分，空間向量與代數2學分，概率與統計1.5 學分。供有志於學習數理類(如數學、物理、計算機、精密儀器等)專業的學生選擇。

B類課程包括微積分、空間向量與代數、應用統計、模型四個專題,其中微積分2學分，空間向量與代數1學分，應用統計2學分，模型1學分。供有志於學習經濟、社會類(如數理經濟、社會學等)和部分理工類(如化學、生物、機械等) 專業的學生選擇。

C 類課程包括邏輯推理初步、數學模型、社會調查與數據分析三個專題，每個專題2學分。供有志於學習人文類(如語言、歷史等)專業的學生選擇。

D類課程包括美與數學、音樂中的數學、美術中的數學、體育運動中的數學四個專題，每個專題1學分。供有志於學習體育、藝術(包括音樂、美術) 類等專業的學生選擇。

E 類課程包括拓展視野、日常生活、地方特色的數學課程，還包括大學數學先修課程等。大學數學先修課程包括三個專題:微積分、解析幾何與線性代數、概率論與數理統計，每個專題6 學分。

2．課程定位

必修課程為學生發展提供共同基礎。是高中畢業的數學學業水平考試的內容要求，也是高考的內容要求。

選擇性必修課程是供學生選擇的課程，也是高考的內容要求。

選修課程為學生確定發展方向提供引導,為學生展示數學才能提供平台，為學生發展數學興趣提供選擇,為大學自主招生提供參考。

3．選課說明

如果學生以高中畢業為目標，可以只學習必修課程，參加高中畢業的數學學業水平考試。

如果學生計劃通過參加高考進入高等學校學習，必須學習必修課程和選擇性必修課程。參加數學高考。

如果學生在上述選擇的基礎上，還希望多學習一些數學課程，可以在選擇性必修課程或選修課程中，根據自身未來發展的需求進行選擇。

在選修課程中可以選擇某一類課程，例如，A 類課程; 也可以選擇某類課程中的某個專題，例如，E 類大學先修課程中的微積分;還可以選擇某些專題的組合，例如，D 類課程中的美與數學、C類課程中的社會調查與數據分析等.

四、課程內容

（一）必修課程

必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。數學文化融入課程內容。

必修課程共8學分144課時，表1給出了課時分配建議，教材編寫、教學實施時可以根據實際作適當調整。

四、課程內容

（一）必修課程

必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。數學文化融入課程內容。

必修課程共8學分144課時，表1給出了課時分配建議，教材編寫、教學實施時可以根據實際作適當調整。

表1　必修課程課時分配建議表

主題	單元	建議課時
主題一 預備知識	集合	18
	常用邏輯用語
	相等關係與不等關係
	從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式
主題二 函數	函數概念與性質	52
	冪函數、指數函數、對數函數
	三角函數
	函數應用
主題三 幾何與代數	平面向量及其應用	42
	複數
	立體幾何初步
主題四 概率與統計	概率	6
	統計
主題五 數學建模活動與數學探究活動	數學建模活動與數學探究活動	6
機動		6

主題一　預備知識

以義務教育階段數學課程內容為載體，結合集合、常用邏輯用語、相等關係與不等關係、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內容的學習，為高中數學課程做好學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備，幫助學生完成初高中數學學習的過渡。

【內容要求】

內容包括：集合、常用邏輯用語、相等關係與不等關係、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式。

1．集合

在高中數學課程中，集合是刻畫一類事物的語言和工具。本單元的學習，可以幫助學生使用集合的語言簡潔、準確地表述數學的研究對象，學會用數學的語言表達和交流，積累數學抽象的經驗。

內容包括：集合的概念與表示、集合的基本關係、集合的基本運算。

（1）集合的概念與表示

①通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的「屬於」關係。

②針對具體問題，能夠在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合。

③在具體情境中，了解全集與空集的含義。

（2）集合的基本關係

理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。

（3）集合的基本運算

①理解兩個集合的併集與交集的含義，能求兩個集合的併集與交集。

②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集。

③能使用Venn圖表達集合的基本關係與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用。

2．常用邏輯用語

常用邏輯用語是數學語言的重要組成部分，是數學表達和交流的工具，是邏輯思維的基本語言。本單元的學習，可以幫助學生使用常用邏輯用語表達數學對象，進行數學推理，體會常用邏輯用語在表述數學內容和論證數學結論中的作用，提升交流的嚴謹性與準確性。

內容包括：必要條件、充分條件、充要條件，全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定。

（1）必要條件、充分條件、充要條件

①通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關係。

②通過對典型數學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關係。

③通過對典型數學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數學定義與充要條件的關係。

（2）全稱量詞與存在量詞

通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義。

（3）全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

①能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定。

②能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定。

3．相等關係與不等關係 相等關係、不等關係是數學中最基本的數量關係，是構建方程、不等式的基礎。本單元的學習，可以幫助學生通過類比，理解等式和不等式的共性與差異,掌握基本不等式。

內容包括：等式與不等式的性質、基本不等式。

（1）等式與不等式的性質 梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質。

（2）基本不等式 理解基本不等式。結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題。

4．從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式 用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法。本單元的學習，可以幫助學生用一元二次函數認識一元二次方程和一元二次不等式。通過梳理初中數學的相關內容，理解函數、方程和不等式之間的聯繫，體會數學的整體性。

內容包括：從函數觀點看一元二次方程、從函數觀點看一元二次不等式。

（1）從函數觀點看一元二次方程 會結合一元二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及根的個數，了解函數的零點與方程根的關係。

（2）從函數觀點看一元二次不等式

①經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義；能夠藉助一元二次函數求解一元二次不等式；並能用集合表示一元二次不等式的解集。

②藉助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯繫（參見案例1）。 【教學提示】 初中階段數學知識相對具體，高中階段數學知識相對抽象。教師應針對這一特徵幫助學生完成從初中到高中數學學習的過渡，包括知識與技能、方法與習慣、能力與態度等方面。 在集合、常用邏輯用語的教學中，教師應創設合適的教學情境，以義務教育階段學過的數學內容為載體，引導學生用集合語言和常用邏輯用語梳理、表達學過的相應數學內容。應引導學生理解屬於關係是集合的基本關係，了解元素A與元素A組成的集合{A}的差異，即,A與{A}不相同。在梳理過程中，可以針對學生的實際布置不同的任務，採用自主學習與合作學習相結合的方式組織教學活動。 在相等關係與不等關係的教學中，應引導學生通過類比學過的等式與不等式的性質，進一步探索等式與不等式的共性與差異。 在從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式的教學中，可以先以討論具體的一元二次函數變化情況為情境，引導學生發現一元二次函數與一元二次方程的關係，引出一元二次不等式概念；然後進一步引導學生探索一般的一元二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關係，歸納總結出用一元二次函數解一元二次不等式的程序。 教學中，要根據內容的定位和教育價值，關注數學學科核心素養的培養。要讓學生逐漸養成藉助直觀理解概念，進行邏輯推理的思維習慣，以及獨立思考、合作交流的學習習慣，引導學生感悟高中階段數學課程的特徵，適應高中階段的數學學習。學科+網 【學業要求】 能夠在現實情境或數學情境中，概括出數學對象的一般特徵，並用集合語言予以表達。初步學會用三種語言（自然語言、圖形語言、符號語言）表達數學研究對象，並能進行轉換。掌握集合的基本關係與基本運算。在數學表達中的作用。 能夠從函數的觀點認識方程和不等式，感悟函數學知識之間的關聯，認識函數的重要性。掌握等式與不等式的性質。 重點提升數學抽象、邏輯推理和數學運算素養。 主題二　函數 函數是現代數學中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關係和規律的最為基本的數學語言和工具，在解決實際問題匯總發揮重要作用。函數是貫穿高中數學課程的主線。

【內容要求】 內容包括：函數概念與性質，冪函數、指數函數、對數函數，三角函數，函數應用。 1．函數概念與性質 本單元的學習，可以幫助學生建立完整的函數概念，不僅把函數理解為刻畫變量之間依賴關係的數學語言和工具，也把函數理解為實數集合之間的對應關係；能用代數運算和函數圖象揭示函數的主要性質；在現實問題中，能利用函數構建模型，解決問題。

內容包括：函數概念、函數性質、*[1]函數的形成與發展。

（1）函數概念 ①在初中用變量之間的依賴關係描述函數的基礎上，用集合語言和對應關係刻畫函數，建立完整的函數概念（參見案例2），體會集合語言和對應關係在刻畫函數概念中的作用。了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域。 ②在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數，理解函數圖象的作用。 ③通過具體實例，了解簡單的分段函數，並能簡單應用。 （2）函數性質 ①藉助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義。 ②結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義。 ③結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義。 （3）*函數的形成與發展（[1]標有*的內容為選學內容，不作為考試要求。） 收集函數概念的形成與發展的歷史資料，撰寫論文，論述函數發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。 2．冪函數、指數函數、對數函數 冪函數、指數函數與對數函數是最基本的、應用最廣泛的函數，是進一步研究數學的基礎。本單元的學習，可以幫助學生學會用函數圖象和代數運算的方法研究這些函數的性質；理解這些函數中所蘊含的運算規律；運用這些函數建立模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數在解決實際問題中的作用。 內容包括：冪函數、指數函數、對數函數。

（1）冪函數 通過具體實例，結合的圖象，理解它們的變化規律，了解冪函數。

（2）指數函數 ①通過對有理指數冪 、實數指數冪（a>0,且，a≠1，x∈R）含義的認識，了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質。 ②通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念。 ③能用描點法或藉助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索並理解指數函數的單調性與特殊點。

（3)對數函數 ①理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數。 ②通過具體實例，了解對數函數的概念。能用描點法或藉助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索並了解對數函數的單調性與特殊點。 ③知道對數函數與指數函數 互為反函數（a＞0，且a≠1）。　 ④*收集、閱讀對數概念的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述對數發明 的過程以及對數對簡化運算的作用。

3．三角函數 三角函數是一類最典型的周期函數。本單元的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關係的基礎上，藉助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最大（小）值等性質；探索和研究三角函數之間的一些恆等關係；利用三角函數構建數學模型，解決實際問題。 內容包括：角與弧度、三角函數概念和性質、同角三角函數的基本關係式、三角恆等變換、三角函數應用。 （1）角與弧度 了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性（參見案例3）。

（2）三角函數概念和性質 ①藉助單位圓理解任意角三角函數（正弦、餘弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數的圖象，了解三角函數的周期性、奇偶性、最大（小）值。藉助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式（α ±，α ±π的正弦、餘弦、正切）。 ②藉助圖象理解正弦函數在、餘弦函數上、正切函數在 上的性質。 ③結合具體實例，了解的實際意義；能藉助圖象理解參數ω，φ，A的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響。

（3）同角三角函數的基本關係式 理解同角三角函數的基本關係式。

（4）三角恆等變換 ①經歷推導兩角差餘弦公式的過程，知道兩角差餘弦公式的意義。 ②能從兩角差的餘弦公式推導出兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式，二倍角的正弦、餘弦、正切公式，了解它們的內在聯繫。 ③能運用上述公式進行簡單的恆等變換（包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）。

（5）三角函數應用 會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型（參見案例4）。

4．函數應用 函數應用不僅體現在用函數解決數學問題，更重要的是用函數解決實際問題。本單元的學習，可以幫助學生掌握運用函數性質求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函數構建數學模型的基本過程；運用模型思想發現和提出、分析和解決問題。 內容包括：二分法與求方程近似解、函數與數學模型。

（1）二分法與求方程近似解 ①結合學過的函數圖象，了解函數的零點與方程解的關係。 ②結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路並會畫程序框圖，能藉助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。

（2）函數與數學模型 ①理解函數是描述客觀世界中變量關係和規律的重要數學語言和工具。在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律。 ②結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異，理解「對數增長」「直線上升」「指數爆炸」等術語的現實含義。 ③收集、閱讀一些現實生活、生產實際或者經濟領域中的數學模型，體會人們是如何藉助函數刻畫實際問題的，感悟數學模型中參數的現實意義。

【教學提示】 教師應把本主題的內容視為一個整體，引導學生從變量之間依賴關係、實數集合之間的對應關係、函數圖象的幾何直觀等角度整體認識函數概念；通過梳理函數的單調性、周期性、奇偶性（對稱性）、最大（小）值等，認識函數的整體性質；經歷運用函數解決實際問題的全過程。 函數概念的引入，可以用學生熟悉的例子為背景進行抽象。例如，可以從學生已知的、基於變量關係的函數定義入手，引導學生通過生活或數學中的問題，構建函數的一般概念，體會用對應關係定義函數的必要性，感悟數學抽象的層次。 函數單調性的教學，要引導學生正確地使用符號語言刻畫函數最本質的性質——單調性（參見案例5）。在函數定義域、值域以及函數性質的教學過程中，應避免編制偏題、怪題，避免繁瑣的技巧訓練。 指數函數的教學，應關注指數函數的運算法則和變化規律，引導學生經歷從整數指數到有理指數冪、再到實數指數冪的拓展過程，掌握指數函數的運算法則和變化規律。 對數函數的教學，應通過比較同底數的指數函數和對數函數（例如和），認識它們互為反函數。 三角函數的教學，應發揮單位圓的作用，引導學生結合實際情境，藉助單位圓的直觀，探索三角函數的有關性質（參見案例6）。在三角恆等變換的教學中，可以採用不同的方式得到三角恆等變換基本公式；也可以在向量的學習中，引導學生利用向量的數量積推導出兩角差的餘弦公式。 函數應用的教學，要引導學生理解如何用函數描述客觀世界事物的變化規律，體會冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等函數與現實世界的密切聯繫（參見案例7）。 鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決問題。例如，利用計算器、計算機畫出冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等的圖象，探索、比較它們的變化規律，研究函數的性質，求方程的近似解等（參見案例8）。 可以組織學生收集、閱讀函數的形成與發展的歷史資料，結合內容撰寫報告，論述函數發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。

【學業要求】 能夠從兩個變量之間的依賴關係、實數集合之間的對應關係、函數圖象的幾何直觀等多個角度，理解函數的意義與數學表達；理解函數符號表達與抽象定義之間的關聯，知道函數抽象概念的意義。 能夠理解函數的單調性、最大（小）值，了解函數的奇偶性、周期性；掌握一些基本函數類（一元一次函數、反比例函數、一元二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等）的背景、概念和性質。 能夠對簡單的實際問題，選擇適當的函數構建數學模型，解決問題；能夠從函數的觀點認識方程，並運用函數的性質求方程的近似解；能夠從函數觀點認識不等式，並運用函數的性質解不等式。 重點提升數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養。 主題三　幾何與代數 幾何與代數是高中數學課程的主線之一。在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解。

【內容標準】 內容包括：平面向量及其應用、複數、立體幾何初步。 1．平面向量及應用 向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景。向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁。向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮重要作用。本單元的學習，可以幫助學生理解平面向量的幾何意義和代數意義；掌握平面向量的概念、運算、向量基本定理以及向量的應用；用向量語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題。 內容包括：向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標表示、向量應用。

（1）向量概念 ①通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義。 ②理解平面向量的幾何表示和基本要素。

（2）向量運算 ①藉助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義。 ②通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算規則，理解其幾何意義。理解兩個平面向量共線的含義。 ③了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義。 ④通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積。 ⑤通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）。 ⑥會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關係。

（3）向量基本定理及坐標表示 ①理解平面向量基本定理及其意義。 ②藉助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示。 ③會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算。 ④能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角。 ⑤能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件。

（4）向量應用與解三角形 ①會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用。 ②藉助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關係，掌握餘弦定理、正弦定理。 ③能用餘弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題。

2．複數 複數是一類重要的運算對象，有廣泛的應用。本單元的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入複數的必要性，了解數系的擴充，掌握複數的表示、運算及其幾何意義。 內容包括：複數的概念、複數的運算、*複數的三角表示。

（1）複數的概念 ①通過方程的解，認識複數。 ②理解複數的代數表示及其幾何意義，理解兩個複數相等的含義。

（2）複數的運算 掌握複數代數表示的四則運算，了解複數加、減運算的幾何意義。

（3）*複數的三角表示 通過複數的幾何意義，了解複數的三角表示，了解複數的代數形式與三角表示之間的關係，了解複數乘、除運算的三角表示及其幾何意義。 3．立體幾何初步 立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關係。本單元的學習，可以幫助學生以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關係；用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，並對某些結論進行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念。 內容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關係、*幾何學的發展。

（1）基本立體圖形 ①利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、台、球及簡單組合體的結構特徵，能運用這些特徵描述現實生活中簡單物體的結構。 ②知道球、稜柱、稜錐、稜台的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。 ③能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、稜柱及其簡單組合）的直觀圖。

（2）基本圖形位置關係 ①藉助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關係的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關係的定義，了解以下基本事實（基本事實1~4也稱公理）和定理。 基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面。 基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那麼這條直線在這個平面內。 基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線。 基本事實4：平行於同一條直線的兩條直線平行。 定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那麼這兩個角相等或互補。 ②從上述定義和基本事實出發，藉助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關係，歸納出以下判定定理，並加以證明。 ◆一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那麼該直線與交線平行。 ◆兩個平面平行，若果另一個平面與這兩個平面相交，那麼兩條交線平行。 ◆垂直於同一個平面的兩條直線平行。 ◆兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直於這兩個平面的交線，那麼這條直線與另一個平面垂直。 ③從上述定義和基本事實出發，藉助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關係，歸納出以下性質定理，並加以證明。 ◆若果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那麼該直線與此平面平行。 ◆如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那麼這兩個平面平行。 ◆如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那麼該直線與此平面垂直。 ◆如果一個平面過另一個平面的垂線，那麼這兩個平面垂直。 ④能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關係的簡單命題。 （3）*幾何學的發展 收集、閱讀幾何發展的歷史資料，撰寫小論文，論述幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。

【教學提示】 在平面向量及其應用的教學活動中，應從力、速度、加速度等實際情境入手，從物理、幾何、代數三個角度理解向量的概念與運算法則，引導學生運用類比的方法探索實數運算與向量運算的共性與差異，可以通過力的分解引出向量基本定理，建立基底的概念和向量的坐標表示；可以引導學生運用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所作的功，利用向量解決與平面內兩條直線平行或垂直有關的問題等。對於向量的非正交分解只要求學生作一般了解，不必展開。 在複數的教學中，應注重對複數的表示及幾何意義的理解，避免繁瑣的計算與技巧訓練。對於有餘力的學生，可以安排一些引申內容，如複數的三角表示等。可以適當地融入數學文化，讓學生體會數系擴充過程中理性思維的作用（參見案例10）。 立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特徵，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。通過對圖形的觀察和操作，引導學生發現和提出描述基本圖形平行、垂直關係的命題，逐步學會用準確的數學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，並證明其中一些命題，對相應的判定定理只要求直觀感知、操作確認，在選擇性必修課程中將用向量方法對這些定理加以論證。 可以使用信息技術展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質（包括證明）提供直觀。教師可以指導和幫助學生選擇一些立體幾何問題作為數學探究活動的課題（參見案例11）。 可以組織學生收集、閱讀幾何學發展的歷史資料，結合內容撰寫報告，論述幾何學發展過程中的重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。

【學業要求】 能夠從多種角度理解向量概念和運算法則，掌握向量基本定理；能夠運用向量運算解決簡單的幾何和物理問題，知道數學運算與邏輯推理的關係。 能夠理解複數的概念，掌握複數代數表示式的四則運算。 能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特徵，解決簡單的實際問題。能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關係和基本結果。能夠證明簡單的幾何命題（平行、垂直的性質定理），並會進行簡單應用。 重點提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和教學抽象素養。 主題四 概率與統計 概率的研究對象是隨機現象，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法。統計的研究對象是數據，核心是數據分析。概率為統計的發展提供理論基礎。

【內容要求】 內容包括：概率、統計。 1．概率 本單元的學習，可以幫助學生結合具體實例，理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件，會計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現象的認識和理解。 內容包括：隨機事件與概率、隨機事件的獨立性。

（1）隨機事件與概率 ①結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關係（參見案例12）。了解隨機事伴的並、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的並、交運算。 ②結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率。 ③通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則。 ④結合實例，會用頻率估計概率。

（2）隨機事件的獨立性 結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義。結合古典概型，利用獨立性計算概率。 2．統計 本單元的學習，可以幫助學生進一步學習數據收集和整理的方法、數據直觀圖表的表示方法、數據統計特徵的刻畫方法，通過具體實例，感悟在實際生活中進行科學決策的必要性和可能性；體會統計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異；通過實際操作、計算機模擬等活動，積累數據分析的經驗。 內容包括：獲取數據的基本途徑及相關概念、抽樣、統計圖表、用樣本估計總體。

（1）獲取數據的基本途徑及相關概念 ①知道獲取數據的基本途徑，包括：統計報表和年鑑、社會調查、試驗設計、普查和抽樣、互聯網等。 ②了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數據的隨機性。

（2）抽樣 ①簡單隨機抽樣 通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽籤法和隨機數法。會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關係。 ②分層隨機抽樣 通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用範圍，了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法。結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差（參見案例13）。 ③抽樣方法的選擇 在簡單的實際情境中，能根據實際問題的特點，設計恰當的抽樣方法解決問題。

（3）統計圖表 如根據實際問題的特點，選擇恰當的統計圖表對數據進行可視化描述，體會合理使用統計圖表的重要性。

（4）用樣本估計總體 ①結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數（平均數、中位數、眾數），理解集中趨勢參數的統計含義。 ⑦結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數（標準差、方差、極差），理解離散程度參數的統計含義。 ③結合實例，能用樣本估計總體的取值規律。 ④結合實例，能用樣本估計百分位數，理解百分位數的統計含義（參見案例14）。

【教學提示】 在概率的教學中，應引導學生通過日常生活中的實例了解隨機事件與概率的意義。在隨機事件和樣本空間的教學中，應引導學生通過古典概型，認識樣本空間，理解隨機事件發生的含義；理解古典概型的特徵，試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，知道只有在這種特徵下，才能定義出古典概型中隨機事件發生的概率。教學中要適當介紹基本計數方法（如樹狀圖、列表等），計算古典概率中隨機事件發生的概率。 在統計的教學中，應引導學生根據實際問題的需求，選擇不同的抽樣方法獲取數據，理解數據蘊含的信息，根據數據分析的需求，選擇適當的統計圖表描述和表達數據，並從樣本數據中提取需要的數字特徵，估計總體的統計規律，解決相應的實際問題．對統計中的基本概念（如總體、樣本、樣本量等），應結合具體問題進行描述性說明，在此基礎上適當引入嚴格的定義，並利用數字特徵（平均值、方差等）和數據直觀圖表（直方圖、散點圖等）進行數據分析。 統計學的教學活動應通過典型案例進行。教學中應通過對一些典型案例的處理，使學生經歷較為系統的數據處理全過程，在此過程中學習數據分析的方法，理解數據分析的思路，運用所學知識和方法解決實際問題。 可以鼓勵學生儘可能運用計算器、計算機進行模擬活動，處理數據，更好地體會概率的意義和統計思想。例如，利用計算器產生隨機數來模擬擲硬幣試驗等，利用計算機來計算樣本量較大的數據的樣本均值、樣本方差等。

【學業要求】 能夠掌握古典概率的基本特徵，根據實際問題構建概率模型，解決簡單的實際問題。能夠藉助古典概型初步認識有限樣本空間、隨機事件，以及隨機事件的概率。 能夠根據實際問題的需求，選擇恰當的抽樣方法獲取樣本數據，並從中提取需要的數字特徵推斷總體，能夠正確運用數據分析的方法解決簡單的實際問題。 能夠區別統計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異。能夠結合具體問題，理解統計推斷結果的或然性，正確運用統計結果解釋實際問題。 重點提升數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養。 主題五 數學建模活動與數學探究活動

【內容要求】 數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。數學建摸活動是基本數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容。 數學建模活動的基本過程如下：

數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究並最終解決問題的過程。具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容。 數學建模活動與數學探究活動以課題研究的形式開展，在必修課程中，要求學生完成其中的一個課題研究． 【教學提示】 課題可以由教師給定，也可以由學生與教師協商確定，課題研究的過程包括選題、開題，做題、結題四個環節。學生需要撰寫開題報告，教師要組織開展開題交流活動，開題報告應包括選題意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結果等。做題是解決問題的過程，包括描述問題、教學表達、建立模型、求解模型、得到結論、反思完善等。結題包括撰寫研究報告和報告研究結果，由教師組織學生開展結題答辯。根據選題的內容，報告可以採用專題作業、測量報告、算法程序、製作的實物、研究報告或小論文等多種形式（參見案例15）

在數學建模活動與數學探究活動中，鼓勵學生使用信息技術。

【學業要求】 經歷數學建模活動與數學探究活動的全過程，整理資料，撰寫研究報告或小論文，並進行報告、交流。對於研究報告或小論文的評價，教師應組織評價小組，可以邀請校外專家、社會人士、家長等參與評價，也可以組織學生互評。教師要引導學生遵循學術規範，堅守誠信底線。研究報告或小論文及其評價應存入學生個人學習檔案，為大學招生提供參考和依據。學生可以採取獨立完成或者小組合作（2~3人為宜）的方式，完成課題研究（參見案例19）。 重點提升數學建模、數學抽象、數據分析、數學運算、邏輯推理和直觀形象素養。

（二）選擇性必修課程 選擇性必修課程包括四個主題，分別是函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。數學文化融入課程內容。 選擇性必修課程共6學分108課時，表2給出了課時分配建議，教材編寫、教學實施時可以根據實際作適當調整。 表2選擇性必修課程課時分配表 主題 單元 建議課時 主題一 函數 數列 30 一元函數導數及其應用 主題二 幾何與代數 空間向量與立體幾何 44 平面解析幾何 主題三 概率與統計 計數原理 26 概率 統計 主題四 數學建模活動 與數學探究活動 數學建模活動 與數學探究活動 4 機動 4 主題一 函數 在必修課程中，學生學習了函數的概念和性質，總結了研究函數的整本方法，掌握了一些具體的基本函數類，探索了函數的應用。在本主題中，學生將學習數列和一元函數導數及其應用。數列是一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，是研究其他類型函數的基本工具，在日常生活中也有着廣泛的應用。導數是微積分的核心內容之一，是現代數學的基本概念，蘊含微積分的基本思想，導數定量地刻畫了函數的局部變化，是研究函數性質的基本工具。

【內容要求】 內容包括：數列、一元函數導數及其應用。 1．數列 本單元的學習，可以幫助學生通過對日常生活中實際問題的分析，了解數列的概念；探索並掌握等差數列和等比數列的變化規律，建立通項公式和前n項和公式：能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題，感受數學模型的現實意義與應用；了解等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯繫，感受數列與函數的共性與差異，體會數學的整體性。 內容包括，數列概念、等差數列、等比數列、*數學歸納法。

（1）數列概念 通過日常生活和數學中的實例，了解數列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數。

（2）等差數列 ①通過生活中的實例，理解等差數列的概念和通項公式的意義。 ②探索並掌握等差數列的前n項和公式，理解等差數列的通項公式與前n項和公式的關係。 ③能在具體的問題情境中，發現數列的等差關係，並解決相應的問題。 ④體會等差數列與一元一次函數的關係。

（3）等比數列 ①通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義。 ②探索並掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關係。 ③能在具體的問題情境中，發現數列的等比關係，並解決相應的問題。 ④體會等比數列與指數函數的關係。

（4）*數學歸納法 了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題。 2.一元函數導數及其應用 本單元的學習，可以幫助學生通過豐富的實際背景理解導數的概念，掌握導數的基本運算，運用導數研究函數的性質，並解決一些實際問題。 內容包括：導數概念及其意義、導數運算、導數在研究函數中的應用、

*微積分的創立與發展。

（1）導數概念及其意義 ①通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道導數是關於瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵與思想。 ②體會極限思想。 ③通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義。 （2）導數運算 ①能根據導數定義求函數y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的導數。 ②能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數；能求簡單的複合函數（限於形如f（ax+b））的導數。 ③會使用導數公式表。

（3）導數在研究函數中的應用 ①結合實例，藉助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關係，能利用導數研究函數的單調性；對於多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間。 ②藉助函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；能利用導數求某些函數的極大值、極小值以及給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值，體會導數與單調性、極值、最大（小）值的關係。

（4）*微積分的創立與發展 收集、閱讀對最積分的創立和發展起重大作用的有關資料，包括一些量要歷史人物（牛頓、萊布尼茨、柯西、魏爾斯特拉斯等）和事件，採取獨立完成或者小組合作的方式。完成一篇有關微積分創立與發展的研究報告。 【教學提示】 在數列的教學中，應引導學生通過具體實例（如購房貸款、放射性物質的衰變、人口增長等），理解等差數列、等比數列的概念、性質和應用，引導學生掌握數列中各個量之間的基本關係。應特別強調數列作為一類特殊的函數在解決實際問題中的作用，突出等差數列、等比數列的本質，引導學生通過類比的方法探索等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯繫，加深對數列及函數概念的理解。 在教學中可以組織學生收集、閱讀數列方面的研究成果，特別是我國古代的優秀研究成果，如「楊輝三角」、《四元玉鑒》等，撰寫小論文，論述數列發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻，感悟我國古代數學的輝煌成就。 在一元函數導數及其應用的教學中，應通過豐富的實際背景和具體實例引入導數的概念，例如斜率、增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等，應引導學生經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數是如何刻畫瞬時變化率的，感悟極限的思想；應引導學生通過具體實例感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數的意義。學生對導數概念的理解不可能一步到位，導數概念的學習應該貫穿在一元函數導數及其應用學習的始終。一般地，在高中階段研究與導數有關的問題中，涉及的函數部是可導函數。 在教學中可以組織學生收集、閱讀微積分創立與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述微積分創立與發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。 【學業要求】 能夠結合具體實例，理解通項公式對於數列的重要性，知道通項公式是這類函數的解析表達式；通過等差數列和等比數列的研究，感悟數列是可以用來刻畫現實世界中一類具有遞推規律事物的數學模型。掌握通項公式與前n項和公式的關係；能夠運用數列解決簡單的實際問題。 能夠通過具體情境，直觀理解導數概念，感悟極限思想，知道極限思想是人類深刻認識和表達現實世界必備的思維品質。理解導數是一種藉助極限的運算，掌握導數的基本運算規則，能求簡單函數和簡單複合函數的導數。能夠運用導數研究簡單函數的性質和變化規律，能夠利用導數解決簡單的實際問題。知道微積分創立過程，以及微積分對數學發展的作用。 重點提升數學抽象、數學運算、直觀想象、數學建模和邏輯推理素養。 主題二 幾何與代數 在必修課程學習平面向量的基礎上，本主題將學習空間向量，並運用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關係和度量關係。解析幾何是數學發展過程中的標誌性成果，是微積分創立的基礎。本主題將學習平面解析幾何，通過建立坐標系，藉助直線、圓與圓錐曲線的幾何特徵，導出相應方程；用代數方法研究它們的幾何性質，體現形與數的結合。 【內容要求】 內容包括：空間向量與立體幾有、平面解析幾何。 1．空間向量與立體幾何 本單元的學習，可以幫助學生在學習平面向量的基礎上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面向量和空間向量的共性和差異，運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關係和度量關係，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運用向量方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。 內容包括：空間直角坐標系、空間向量及其運算、向量基本定理及坐標表示、空間向量的應用。 （1）空間直角坐標系 ①在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置。 ②藉助特殊長方體（所有被分別與坐標軸平行)頂點的坐標。 探索並得出空間兩點間的距離公式。 （2）空間向量及其運算 ①經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念。 ②經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程。 （3）向量基本定理及坐標表示 ①了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。 ②掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。 ③掌握空間向量的數量積及其坐標表示。 ④了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）。 （4）空間向量的應用 ①能用向量語言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量。 ②能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關係。 ③能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關係的判定定理。 ④能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題（參見案例16）和簡單夾角問題，並能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 2．平面解析幾何 本單元的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中，認識直線、圍、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特徵，建立它們的標準方程；運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關係，運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想。 內容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發展。 （1）直線與方程 ①在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。 ②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。 ③能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。 ④根據確定直線位置的幾何要素，探索並掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）。 ⑤能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。 ⑥探索並掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。 （2）圓與方程 ①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索並掌握圓的標準方程與一般方程。 ②能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關係。 ③能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題。 （3）圓錐曲線與方程 ①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。 ②經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質。 ③了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質。 ④通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想。 ⑤了解橢圓、拋物線的簡單應用。 （4）*平面解析幾何的形成與發展 收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文、論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。 【教學提示】 本主題的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數方法。 在空間向量與立體幾何的教學中，應重視以下兩方面；第一，引導學生運用類比的方法，經歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程，探素空間向量與平面向量的共性和差異，引發學生思考維數增加所帶來的影響：第二，鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離間題），通過對比體會向量方法的優勢。在上述過程中，引導學生理解向量基本定理的本質，感悟「基」的思想，並運用它解決立體幾何中的問題。 在平面解析幾何的教學中，應引導學生經歷以下過程：首先，通過實例了解幾何圖形的背景，例如，通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用；進而，結合情境清晰地描述圖形的幾何特徵與問題，例如，兩點決定一條直線，橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡等，再結合具體問題合理地建立坐標系，用代數語言描述這些特徵與問題；最後，藉助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數運算得到結果，並給出幾何解釋，解決問題。 應充分發揮信息技術的作用，通過計算機軟件向學生演示方程中參數的變化對方程所表示的曲線的影響，使學生進一步理解曲線與方程的關係。在教學中，可以組織學生收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。 【學業要求】 能夠理解空間向量的概念、運算、背景和作用；能夠依託空間向量建立空間圖形及圖形關係的想象力；能夠掌握空間向量基本定理，體會其作用，並能簡單應用；能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的想路。 能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運用代數方法得到結論，給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題。 能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程，能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關係，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題。 重點提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養。 主題三　概率與統計 本主題是必修課程中概率與統計內容的延續，將學習計數原理、概率、統計的相關知識。計數原理的內容包括兩個基本計數原理、排列與組合、二項式定理。概率的內容包括隨機事件的條件概率、離散型隨機變量及其分布列、正態分布。統計的內容包括成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、2×2列聯表。 【內容要求】 內容包括：計數原理、概率、統計。 1．計數原理 分類加法計數原理和分步乘法計數原理是解決計數問題的基礎，稱為基本計數原理。本單元的學習，可以幫助學生理解兩個基本計數原理，運用計數原理探索排列、組合、二項式定理等問題。 內容包括：兩個基本計數原理、排列與組合、二項式定理。 （1）兩個基本計數原理 通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義。 （2）排列與組合 通過實例，理解排列、組合的概念，能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式。 （3）二項式定理 能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理（參見案例17，18），會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。 2．概率 本單元的學習，可以幫助學生了解條件概率及其與獨立性的關係，能進行簡單計算；感悟離散型隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現象；理解伯努利試驗，掌握二項分布，了解超幾何分布；感悟服從正態分布的隨機變量，知道連續型隨機變量；基於隨機變量及其分布解決簡單的實際問題。 內容包括，隨機事件的條件概率、離散型隨機變量及其分布列、正態分布。 （1）隨機事件的條件概率 ①結合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率。 ②結合古典概型，了解條件概率與獨立性的關係。 ③結合古典概型，會利用乘法公式計算概率。 ④結合古典概型，會利用全概率公式計算概率。*了解貝葉斯公式。 （2）離散型隨機變量及其分布列 ①通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布及其數字特徵（均值、方差）。 ②通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特徵，並能解決簡單的實際問題。 ③通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，並能解決簡單的實際問題。 （3）正態分布 ①通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量。通過具體實例、藉助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特徵。 ②了解正態分布的均值、方差及其含義。 3．統計 本單元的學習，可以幫助學生了解樣本相關係數的統計含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯表，運用這些方法解決簡單的實際問題。會利用統計軟件進行數據分析。 內容包括：成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、2×2列聯表。 （1）成對數據的統計相關性 ①結合實例，了解樣本相關係數的統計含義，了解樣本相關係數與標準化數據向量夾角的關係。 ②結合實例，會通過相關係數比較多組成對數據的相關性。 （2）一元線性回歸模型 ①結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件。 ②針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測。 （3）2×2列聯表 ①通過實例，理解2×2列聯表的統計意義。 ②通過實例，了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用。 【教學提示】 教師應通過典型案例開展教學活動，案例的情境應是豐富的、有趣的、學生熟悉的。在案例教學中要重視過程，層次清楚，從具體到抽象，從實際到理論。 在計數原理的教學中，應結合具體情境，引導學生理解許多計數問題可以歸結為分類和分步兩類問題，引導學生根據計數原理分析問題、解決問題。 在概率的教學中，應引導學生通過具體實例，理解可以用隨機變量更好地刻畫隨機現象，感悟隨機變量與隨機事件的關係；理解隨機事件獨立性與條件概率之間的關係；通過二項分布、超幾何分布、正態分布的學習，理解隨機變量及其分布。在教學過程中，應在引導學生利用所學知識解決一些實際問題的基礎上，適當進行嚴格、準確的描述。 在統計的教學中，應通過具體案例，引導學生理解兩個隨機變量的相關性可以通過成對樣本數據進行分析；理解利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關係，進行預測；理解利用2×2列聯表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性。在教學過程中，應通過具體案例引導學生參與數據分析的全過程，並鼓勵學生使用相應的統計軟件。 【學業要求】 能夠結合具體實例，識別和理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理及其作用，並能夠運用這些原理解決簡單的實際問題。 能夠結合具體實例，理解排列、組合、二項式定理與兩個計數原理的關係，能夠運用兩個計數原理推導排列、組合、二項式定理的相關公式，並能夠運用它們解決簡單的實際問題，特別是概率中的某些問題。 能夠結合具體實例，理解隨機事件的獨立性和條件概率的關係，理解離散型隨機變量在描述隨機現象中的作用，掌握兩個基本概率模型及其應用，了解正態分布的作用，進一步深入理解隨機思想在解決實際問題中的作用。 能夠解決成對數據統計相關性的簡單實際問題。能夠結合具體實例，掌握運用一元線性回歸分析的方法。掌握運用2×2列聯表的方法，解決獨立性檢驗的簡單實際問題。 重點提升數據分標、數學建模、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養。 主題四　數學建模活動與數學探究活動 【內容要求】 數學建模活動與數學探究活動以課題研究的形式開展。在選擇性必修課程中，要求學生完成一個課題研究，可以是數學建模的課題研究，也可以是數學探究的課題研究。課題可以是學生在學習必修課程時已完成課題的延續，或者是新的課題。 【教學提示】 選題可以在教師的指導下，自主選題，也可以在必修課程中數學建模活動或數學探究活動的研究基礎上繼續進行深入探究。類似必修課程的要求，課題研究應經歷選題、開題、做題、結題四個環節。如果選題不變，需要在研究報告中說明與必修課程中研究的差異，深入研究的新思路、新方法，得到的新結果。根據選題的內容，報告可以採用專題作業、測量報告、算法程序、製作的實物或研究論文等多種形式。 【學業要求】 參考必修課程的主題五。 （三）選修課程 選修課程是由學校根據自身情況選擇設置的課程，供學生依據個人志趣自主選擇，分為A,B,C,D,E五類。 這些課程為學生確定發展方向提供引導，為學生展示數學才能提供平台，為學生發展數學興趣提供選擇，為大學自主招生提供參考。學生可以根據自己的志向和大學專業的要求選擇學習其中的某些課程。 A類課程是供有志於學習數理類（如數學、物理、計算機、精密儀器等）學生選擇的課程。 B類課程是供有志於學習經濟、社會類（如數理經濟、社會學等）和部分理工類（如化學、生物、機械等）學生可以選擇的課程。 C類課程是供有志於學習人文類（如語言、歷史等）學生選擇的課程。 D類課程是供有志於學習體育、藝術（包括音樂、美術）類學生選擇的課程。 E 類課程包括拓展視好、日常生活、地方特色的數學課程，還包括大學數學的先修課程等。大學數學先修課程包括: 微積分、解析幾何與線性代數、概率論與數理統計。 數學建模活動、數學探究活動、數學文化融入課程內容。 選修課程的修習情況應列為綜合素質評價的內容。不同高等院校、不同專業的招生，根據需要可以對選修課程中某些內容提出要求。國家、地方政府、社會權威機構可以組織命題考試。考試成績應存入學生個人學習檔案，供高等院校自主招生參考。 A類課程 A類課程包括微積分、空間向量與代數、概率與統計三個專題，其中微積分2.5學分，空間向量與代數2學分，概率與統計1.5學分。 微積分 本專題在數列極限的基礎上建立函數極限和連續的概念；在具體的情境中用極限刻畫導數，給出藉助導數研究函數性質的一般方法；通過極限建立微分和積分的概念，闡述微分和積分的關係（微積分基本定理）及其應用。本專題要考慮高中學生的接受能力，重視課程內容的實際背景，關注數學內容的直觀理解，培養學生的數學抽象、數學運算、數學建模和邏輯推理素養，為進一步學習大學數學課程奠定基礎。 內容包括：數列極限、函數極限、連續函數、導數與微分、定積分。 1．數列極限 （1）通過典型收斂數列的極限過程（當時，，，），建立並理解數列極限的定義。 （2）探索並證明基本性質：收斂數列是有界數列。 （3）通過典型單調有界數列的收斂過程，理解基本事實：單調有界數列必有極限。 （4）掌握數列極限的四則運算法則。 （5）通過典型數列的收斂性，理解e的意義。 2．函數極限 （1）通過典型函數的極限過程（當時，；當時，；當時，，且），理解函數極限的ε-δ定義。 （2）掌握基本初等函數極限的四則運算。 （3）掌握兩個重要函數極限：，並會求其簡單變形的極限。 3．連續函數 （1）理解連續函數的定義。 （2）了解閉區間上連續函數的有界性、介值性及其簡單應用（例如，用二分法求方程近似解）。 4．導數與微分 （1）藉助物理背景與幾何背景理解導數的意義，並能給出導數的嚴格數學定義。 （2）通過導函數的概念，掌握二階導數的概念，了解二階導數的物理意義與幾何意義。 （3）了解複合函數的求導公式。 （4）理解並證明拉格朗日中值定理，並能用其討論函數的單調性。 （5）會利用拉格朗日中值定理，證明一些函數不等式（例如，當時，有，）。 （6）會利用導數討論函數的極值問題，利用幾何圖形說明一個點是極值點的必要條件與充分條件（不要求數學證明）。 （7）了解微分的概念及其實際意義，並會用符號表示。 5．定積分 （1）通過等分區間求特殊曲邊梯形面積的極限過程，理解定積分的概念及其幾何意義與物理意義。 （2）在單調函數定積分的計算過程中，通過微分感悟積分與導數的關係，理解並掌握牛頓-萊布尼茨公式。 （3）會利用導數表和牛頓-萊布尼茨公式，求一些簡單函數的定積分。 （4）會利用定積分計算某些封閉圖形的面積，計算球、圓錐、圓台和某些三稜錐、三稜台的體積；能利用定積分解決簡單的作功問題和重心問題。 空間向量與代數 本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上，通過系統學習三維空間的向量代數，表述各種運算的幾何背景，實現幾何與代數的融合。引入矩陣與行列式的概念，利用矩陣理論解三元一次方程組；利用向量代數，討論三維空間中點、直線、平面的位置關係與度量；利用直觀想象建立平面和空間的等距變換理論。將空間幾何與線性代數融合在一起，把握問題的本質，為代數理論提供幾何背景，用代數方法解決幾何問題，進而解決實際問題，為大學線性代數課程的學習奠定直觀基礎。 內容包括：空間向量代數、三階矩陣與行列式、三元一次方程組、空間中的平面與直線、等距變換。 1．空間向量代數 （1）通過幾何直觀，理解向量運算的幾何意義。 （2）探索並解釋空間向量的內積與外積及其幾何意義。 （3）理解向量的投影與分解及其幾何意義，並會應用。 （4）掌握向量組的線性相關性，並能加以判斷。 （5）掌握向量的線性運算，理解向量空間與子空間的概念。 2．三階矩陣與行列式 （1）通過幾何直觀引入矩陣概念，掌握矩陣的三種基本運算及其性質。 （2）了解正交矩陣及其基本性質，能用代數方法解決幾何問題。 （3）掌握行列式定義與性質，會計算行列式。 3．三元一次方程組 （1）通過實例，探索三元一次方程組的求解過程，理解三元一次方程組的常用解法（高斯消元法），會用矩陣表示三元一次方程組。 （2）掌握三元齊次線性方程組的解法，會表示一般解。 （3）掌握非齊次線性方程組有解的判定，建立線性方程組的理論基礎。 （4）探索三元一次方程組解的結構，會表示一般解。 （5）理解克拉默（Cramer）法則，會用克拉默法則求解三元一次方程組。 4．空間中的平面與直線 （1）通過向量的坐標表示，建立空間平面的方程。 （2）掌握空間直線方程的含義，會用方程表示空間直線。 （3）理解空間點、直線、平面的位置關係，會用代數方法判斷空間點、直線、平面的位置關係，會求點到直線（平面）的距離。 5．等距變換 （1）了解平面變換的含義，理解平面的等距變換，特別是三種基本等距變換：直線反射、平移、旋轉。 （2）了解平面對稱圖形及變換群概念。 （3）掌握常見平面等距變換及其矩陣表示。 （4）了解空間變換的含義，理解空間的等距變換，特別是三種常見等距變換：平面反射、平移、旋轉。 （5）了解空間對稱圖形及變換群。 （6）掌握常見空間等距變換及其矩陣表示。 概率與統計 本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上展開。在概率方面，通過具體實例，進一步學習連續型隨機變量及其概率分布，二維隨機向量及其聯合分布，並運用這些數學模型，解決一些簡單的實際問題。在統計方面，結合一些具體任務，學習參數估計、假設檢驗，並運用這些方法解決一些簡單的實際問題；在一元線性回歸分析的基礎上，結合具體實例，進一步學習二元線性回歸分析的方法，解決一些簡單的實際問題。在教學活動中，要重視課程內容的實際背景，關注學生對數學內容的直觀理解；要充分考慮高中學生接受能力，更要注重學生數學學科核心素養的提升。 內容包括：連續型隨機變量及其分布、二維隨機變量及其聯合分布、參數估計、假設檢驗、二元線性回歸模型。 1．連續型隨機變量及其分布 （1）藉助具體實例，了解連續型隨機變量及其分布，體會連續型隨機變量與離散型隨機變量的共性與差異。 （2）結合生活中的實例，了解幾個重要連續型隨機變量的分布：均勻分布、正態分布、卡方分布、t-分布，理解這些分布中參數的意義，能進行簡單應用。 （3）了解連續型隨機變量的均值和方差，知道均勻分布、正態分布、卡方分布、t-分布的均值和方差及其意義。 2．二維隨機變量及其聯合分布 （1）在學習一維離散型隨機變量的基礎上，通過實例，了解二維離散型隨機變量概念及其分布列、數字特徵（均值、方差、協方差、相關係數），並能解決簡單的實際問題。了解兩個隨機變量的獨立性。 （2）在學習一維正態隨機變量的基礎上，通過具體實例，了解二維正態隨機變量及其聯合分布，以及聯合分布中參數的統計含義。 3．參數估計 藉助對具體實際問題的分析，知道矩估計和極大似然估計這兩種參數估計方法，了解參數估計原理，能解決一些簡單的實際問題。 4．假設檢驗 （1）了解假設檢驗的統計思想和基本概念。 （2）藉助具體實例，了解正態總體均值和方差檢驗的方法，了解兩個正態總體的均值比較的方法。 （3）結合具體實例，了解總體分布的擬合優度檢驗。 5．二元線性回歸模型 （1）了解二維正態分布及其參數的意義。 （2）了解二元線性回歸模型，會用最小二乘原理對模型中的參數進行估計。 （3）運用二元線性回歸模型解決簡單的實際問題。 B類課程 B類課程包括微積分、空間向量與代數、應用統計、模型四個專題，其中微積分2學分，空間向量與代數1學分，應用統計2學分，模型1學分。 微積分 本專題在數列極限的基礎上建立函數極限的概念；在具體的情境中用極限刻畫導數，給出藉助導數研究函數性質的一般方法；通過極限建立微分和積分的概念，闡述微分和積分的關係（微積分基本定理）及其應用。在學習一元函數的基礎上，了解二元函數及其偏導數的概念。本專題要考慮高中學生接受能力，重視課程內容的實際背景，關注數學內容的直觀理解，培養學生的運算能力，為進一步學習大學相關課程奠定基礎。 內容包括：極限、導數與微分、定積分、二元函數。 1．極限 （1）通過典型數列，了解數列的極限，掌握極限的符號，了解基本事實：單調有界數列必有極限。 （2）通過具體函數犳，且，，了解函數極限和連續的概念，掌握極限的符號，了解閉區間上連續函數的性質。 2．導數與微分 （1）通過導數概念，理解二階導數的概念，了解二階導數的物理意義與幾何意義；掌握一些基本初等函數的一階導數與二階導數。 （2）理解拉格朗日中值定理，了解它的幾何解釋。 （3）能利用導數討論函數的單調性，並證明某些函數不等式（例如，當時，，）。 （4）會利用導數討論函數的極值問題，利用幾何圖形說明一個點是極值點的必要條件與充分條件（不要求數學證明）。 （5）藉助導數，會求閉區間上一元一次函數、一元二次函數、一元三次函數的最大值與最小值。 （6）了解微分的概念及其實際意義，會用符號表示。 3．定積分 （1）了解閉區間上連續函數定積分的概念，理解其幾何意義與物理意義。 （2）能用等分區間方法計算特殊的黎曼和。 （3）利用的單調性、等分區間的方法、拉格朗日中值定理，推導牛頓-萊布尼茨公式。 （4）會利用定積分計算某些封閉平面圖形的面積，計算球、圓錐、圓台和某些三稜錐、三稜台的體積；了解祖暅原理。 4．二元函數 （1）通過簡單實例，掌握二元函數的背景。 （2）了解偏導數的定義，能計算一些簡單函數的偏導數。例如，已知與分別是基本初等函數，會求，的偏導數。 （3）會求一些簡單二元函數的駐點，並能求相應的實際問題中的極值。 （4）利用等高線法，會求一次函數在閉凸多邊形區域上的最大值和最小值。 （5）會求閉圓域、閉橢圓域上二元二次函數的最大值和最小值。 空間向量與代數 本專題在必修課程和選擇性選修課程的基礎上，比較系統地學習三維空間的整體結構———向量代數，感悟幾何與代數的融合。引入矩陣與行列式的概念，並討論三元一次方程組解的結構。本專題中強調幾何直觀，把握問題的本質，培養學生數學運算、數學抽象、邏輯推理和直觀想象等素養，為大學線性代數課程的學習奠定直觀基礎。 內容包括：空間向量代數、三階矩陣和行列式、三元一次方程組。 1．空間向量代數 （1）通過幾何直觀，理解向量運算的幾何意義。 （2）探索並解釋空間向量的內積與外積及其幾何意義。 （3）理解向量的投影與分解及其幾何意義，並會應用。 （4）掌握向量組的線性相關性，並能加以判斷。 （5）掌握向量的線性運算，理解（低維）向量空間與子空間的概念。 （6）會求點到直線、點到平面的距離，兩條異面直線的距離，直線與平面的夾角。 2．三階矩陣與行列式 （1）通過幾何直觀引入矩陣概念，掌握矩陣的三種基本運算及其性質。 （2）掌握行列式定義與性質，會計算行列式。 3．三元一次方程組 （1）通過實例，探索三元一次方程組的求解過程，理解三元一次方程組的常用解法（高斯消元法），會用矩陣表示三元一次方程組。 （2）掌握三元齊次線性方程組的解法，會表示一般解。 （3）掌握非齊次線性方程組有解的判定，建立線性方程組的理論基礎。 （4）探索三元一次方程組解的結構，會表示一般解。 （5）理解克拉默（Cramer）法則，會用克拉默法則求解三元一次方程組。 應用統計 本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上展開。在概率課程方面，通過具體實例，進一步學習連續型隨機變量及其概率分布，二維隨機向量及其聯合分布，並運用這些數學模型，解決一些簡單的實際問題。在統計方面，結合一些具體任務，學習參數估計、假設檢驗和不依賴於分布的統計檢驗，並運用這些方法解決一些簡單的實際問題；學習數據分析的兩種特殊方法——聚類分析和正交設計。在教學活動中，要關注學生對數學內容的直觀理解，充分考慮高學生接受能力；要重視課程內容的實際背景，更要重視課程內容的實際應用；要注重全面提升學生數學核心素養。 內容包括：連續型隨機變量及其分布、二維隨機變量及其聯合分布、參數估計、假設檢驗、二元線性回歸模型、聚類分析、正交設計。 1.連續型隨機變量及其分布 （1）藉助具體實例，了解連續型隨機變量及其分布，體會連續型隨機變量與離散型隨機變量的共性與差異。 （2）結合生活中的實例，了解幾個重要連續型隨機變量的分布：均勻分布、正態分布、卡方分布、τ-分布，理解這些分布中參數的意義，能進行簡單應用。 （3）了解連續型隨機變量的均值和方差，知道均勻分布、正態分布、卡方分布、τ-分布的均值和方差及其意義。 2.二維隨機變量及其聯合分布 （1）在學習一維離散型隨機變量的基礎上，通過實例，了解二維離散型隨機變量概念及其分布列、數字特徵（均值、方差、協方差、相關係數），並能解決簡單的實際問題。了解兩個隨機變量的獨立性。 （2）在學習一維正態隨機變量的基礎上，通過具體實例，了解二維正態隨機變量及其聯合分布，以及聯合分布中參數的統計含義。 3.參數估計 藉助對具體實際問題的分析，知道矩估計和極大似然估計這兩種參數估計方法，了解參數估計原理，能解決一些簡單的實際問題。 4.假設檢驗 （1）了解假設檢驗的統計思想和基本概念。 （2）藉助具體實例，了解正態總體均值和方差檢驗的方法，了解兩個正態總體的均值比較的方法。 （3）結合具體實例，了解總體分布的擬合優度檢驗。 5.二元線性回歸模型 （1）了解假設檢驗的 統計思想和基本概念。 （2）藉助具體實例，了解正態總體均值和方差檢驗的方法，了解兩個正態總體的均值比較的方法。 （3）結合具體實例，了解總體分布的擬合優度檢驗。 6.聚類分析 （1）藉助具體實例，了解聚類分析的意義。 （2）藉助具體實例，了解幾種聚類分析的方法，能解決一些簡單的實際問題。 7.正交設計 （1）藉助具體實例，了解正交設計原理。 （2）藉助具體實例，了解正交表，能用正交表進行實驗設計。 模型 本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上，通過大量的實際問題，建立一些基本的數學模型，包括線性模型、二次曲線模型、指數函數模型、三角函數模型、參變數模型。在教學中，要重視這些模型的背景、形成過程、應用範圍，提升數學建模、數學抽象、數學運算和直觀想象素養，提升應用能力和創新能力。 內容包括：線性模型、二次函數模型、指數函數模型、三角函數模型、參變數模型。 1.線性模型 （1）結合實際問題，了解一維線性模型，理解一次函數與均勻變化的關係，並能發現生活中均勻變化的實際問題。 （2）結合實際問題，了解二維線性模型，探索平面上一些圖形的變化，並能理解一維線性模型與二維線性模型的異同（例如，矩陣A是對角矩陣）。 （3）結合實際問題，了解三維線性模型，如經濟學上的投入產出模型。 2.二次函數模型 藉助實例（如光學模型、自由落體、邊際效應），了解二次曲線模型的含義和特徵，體會二次曲線模型的實際意義。 3.指數函數模型 藉助有關増長率的實際問題（如種群增長、放射物衰減），理解指數函數模型，感受增長率是常數的事物的單調變化。 4.三角函數模型 藉助具體實例，理解一類波動問題（如光波、聲波、電磁波）等周期現象可以用三角函數來刻畫。 5.參變數模型 （1）藉助具體實例，理解平面上的參變數模型，如彈道模型。 （2）藉助具體實例，理解空間上的參變數模型，如螺旋曲線。 （3）藉助一些用參變數方程描述的物理問題與幾何問題，理解參變數的意義，掌握參變數變化的範圍。 C類課程 C課程包括邏輯推理初步、數學模型、社會調查與數據分析三個專題，每個專題2學分。 邏輯推理初步 本專題內容以數學推理為主線展開，將相關邏輯知識與數學推理有機融合。通過本專題的學習，能進一步認識邏輯推理的本質，體會其在數學推理、論證中的作用；能運用相關邏輯知識正確表述自己的思想、解釋社會生活中的現象，提高邏輯思維能力，發展邏輯推理素養。 內容包括：數學定義、命題和推理，數學推理的前提，數學推理的類型，數學證明的主要方法，公理化思想。 1.數學定義、命題和推理 通過實例，了解數學定義和數學命題，知道數學定義的基本方式，了解數學命題的表達形式，了解數學定義、數學命題和數學推理之間的關係。能理解數學命題中的條件和結論；結合實例，能對充分條件、必要條件、充要條件進行判斷。 2.數學推理的前提 理解同一律、矛盾律、排中律的含義，通過實例認識它們在數學推理中的作用，能在數學推理中認識推理前提的重要性。能通過實例，區分排中律與矛盾律，能在推理中正確運用排中律。 3.數學推理的類型 結合學過的數學實例和生活中的實例，理解演繹推理、歸納和類比推理，在這些推理的過程中，認識數學推理的傳遞性。知道利用推理能夠得到和驗證數學的結果。通過數學和生活中的實例，認識或然性推理和必然性推理的區別。 4.數學證明的主要方法 通過數學實例，認識一些常用的數學證明方法，理解這些證明方法在數學和生活中的意義。 5.公理化思想 通過數學史和其他領域的典型事例，了解數學公理化的含義，了解公理體系的獨立性、相容性、完備性，了解公理化思想的意義和價值。 數學模型 本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上，通過具體實例，建立一些基於數學表達的經濟模型和社會模型，包括存款貸款模型、投入產出模型、經濟增長模型、凱恩斯模型、生產函數模型、等級評價模型、人口増長模型、信度評價模型等。在教學活動中，要讓學生知道這些模型形成的背景、數學表達的道理、模型參數的意義、模型適用的範圍，提升數學建模、數學抽象、數學運算和直觀想象素養；知道其中的有些模型（以及模型的衍生）獲得諾貝爾經濟學獎的理由，理解數學的應用，提高學習數學的興趣，提升實踐能力和創新能力。 內容包括：經濟數學模型、社會數學模型。 1.經濟數學模型 （1）存款貸款模型（指數函數模型） 通過對存款等實際問題的分析，抽象出複利模型；通過對住房貸款等實際問題的分析，抽象出等額本金付款模型。了解這些模型各自的特點，能用該樣的模型解決簡單的實際問題。 （2）投入產出模型（線性方程組模型） 了解投入產出模型的背景和意義，理解模型是如何通過線性方程組中的係數的解約束自變量、從而實現組合生產的計劃，能用投入產出模型分析並解決簡單的實際問題。 （3）經濟增長模型（線性回歸模型） 利用我國改革開放以後經濟發展數據，通過實踐與GDP（或者人均GDP）之間的關係建立線性回歸模型（或者分段的線性回歸模型），估計其中的參數，理解參數的意義。能用同樣的方法分析簡單的經濟現象。 （4）凱恩斯模型（經濟理論模型） 了解如何通過收入、消費和投資之間的關係建立數學模型，體會模型中係數的乘數效應，體會擴大消費與經濟發展、增加國民收入之間的關係，能用模型解釋簡單的經濟現象。 （5）生產函數模型（對數線性模型） 了解生產理論中柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生產函數，知道如何用數學語言表達生產與勞動投入、資本投入之間的關係，知道如何把這樣的表達轉化為對數線性模型、如何對其中的參數進行估計，能解決簡單的實際問題。 2.社會數學模型 （1）等級評價模型（平均數模型） 結合具體實例（如產品質量評價、熱點問題篩選、跳水等技能或全能等綜合性體育運動評分），了解加權平均、調和平均、穩健平均等評價模型的特點及適用範圍，能用這樣的模型解決簡單實際問題。 （2）人口增長模型（指數函數模型） 結合實例（如我國人口增長數據），了解為什麼可以用指數增長模型刻畫人口變化的規律，知道模型中參數的意義，知道如何用模型擬合實際數據，並能判斷擬合的有效性。 （3）信度評價模型（Logostic回歸模型） 對於銀行貸款用戶、信用卡用戶等涉及信度的問題，知道用Logostic回歸模型進行信度評級的道理，知道構造兩級（好、差）或者三級（好、中、差）進行評價的方法，並會簡單應用。 社會調查與數據分析 社會調查是學生進入社會要掌握的基本能力。本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎上，結合社會調查的實際問題和在社會調查中的一些關鍵環節，引導學生經歷社會調查的全過程，包括社會調查方案的設計、抽樣設計、數據分析、報告的撰寫，並結合具體社會調查案例，分析在社會調查實施過程中可能遇到的問題，以及解決這些問題的對策。本專題的基本特點是實用、具體、有效、有趣。在完成社會調查任務的過程中，要注意引導學生充分運用概率與統計知識，避免採用不科學的社會調查方法與數據分析方法，全面提升學生數學學科核心素養。 內容包括：社會調查概論、社會調查方案設計、抽樣設計、社會調查數據分析、社會調查數據報告、社會調查案例選講。 1.社會調查概論 （1）結合實例，了解社會調查的使用範圍、分類和意義。 （2）針對具體問題，了解社會調查的基本步驟：項目確定、方案設計、組織實施、數據分析、形成報告。 2.社會調查方案設計 （1）結合實例，了解調查方案設計的基本內容：目的、內容、對象、項目、方式、方法及其他。 （2）結合實例，探索調查方案的可行性評估。 （3）結合實例，了解問卷設計的主要問題：問卷的結構與常用量表、問卷設計的程序與技巧。 （4）結合實例，掌握社會調查基本方法：文案調查法、觀察法、訪談法、德爾菲法、電話法等。 3.抽樣設計 在必修課程學習的抽樣方法（簡單隨機抽樣、分層抽樣）的基礎上，了解二階與多階抽樣，能根據具體情境選擇合適的抽樣方法。 4.社會調查數據分析 （1）結合具體實例，整理調查數據，了解常用統計圖表（頻數表、交叉表、直方圖、莖葉圖、扇形圖、雷達圖、箱線圖）及常用統計量（均值、眾數、中位數、百分位數），能夠確定各種抽樣方法的樣本量。 （3）結合具體實例，了解相關分析、回歸分析、多元統計分析。 5.社會調查數據報告 掌握社會調查報告的基本要求及基本內容，能夠做出簡單的、完整的社會調查數據報告。 6.社會調查案例選講 通過典型案例的學習，理解社會調查的意義。 D類課程 D課程包括美與數學、音樂中的數學、美術中的數學、體育運動中的數學四個專題，每個專題1學分。 美與數學 學會審美不僅可以陶冶情操，而且能夠改善思維品質。本專題嘗試從數學的角度刻畫審美的共性，主要包括：簡潔、對稱、周期、和諧等。通過本課程的學習，學生對美的感受能夠從感性走向理性，提升有志於從事藝術、體育事業學生的審美情趣和審美能力，在形象思維的基礎上増強理性思維能力。 內容包括：美與數學的簡潔、美與數學的對稱、美與數學的周期、美與數學的和諧。 1.美與數學的簡潔 數學可以刻畫現實世界中的簡潔美。例如，太陽、滿月、車輪、井蓋形狀等美的共性與圓相關，拋物運動、行星運動軌跡等美的共性與二次曲線相關，DNA結構、向日葵花盤、海螺等美的共性與特殊曲線相關，家具、日用品、冷卻塔、建築物外形等美的共性與簡單曲面相關，雪花、雲彩、群山、海岸線、某些現代設計等美的共性與分形相關。 2.美與數學的對稱 數學可以刻畫現實世界中的對稱美。例如，某些動物形體、飛機造型、某些建築物外形等美的共性與空間反射對稱相關；剪紙、臉譜、風箏等傳統藝術美的共性與軸對稱相關；晶體等美的共性與中心對稱相關，帶飾、面飾等美的共性與平移對稱、中心對稱、軸對稱相關。循環賽制、守恆定律也具有對稱美。 3.美與數學的周期 數學可以刻畫現實世界中的周期美。例如，晝夜交替、四季循環、日月星辰運動規律、海洋波浪等美的共性與周期相關，樂曲創作、圖案設計中美的共性與周期相關。 4.美與數學的和諧 數學可以刻畫現實世界中的和諧美。例如，人體結構、建築物、國旗、繪畫、優選法等美的共性與黃金分割相關，苗木生長、動物繁殖、向日葵種子排列規律等美的共性與斐波那契數列相關。 音樂中的數學 音樂的要素——音高、音響、音色、節拍、樂音、樂曲、樂器等都與數學相關，特別是音的律制與數學的關係十分密切。通過本專題的學習，學生能夠更加理性地理解音樂，鑑賞音樂的美，可以提升有志於從事音樂事業學生的數學修養，増強理性思維能力。 內容包括：聲波與正弦函數，律制、音階與數列，樂曲的節拍與分數，樂器中的數學，樂曲中的數學等。 1.聲波與正弦函數 純音可以用正弦函數來表達，音高與正弦函數的頻率相關，響度與正弦函數的振幅相關，和聲、音色與正弦函數的疊加相關。 2．律制、音階與數列 音的律制用以規定音階，三分損益律、五度相生律、純律的音階均與頻率比、弦長比相關，十二平均律與等比數列相關。五線譜能夠科學地記錄樂曲。 3．樂曲的中拍與分景 樂面的小節、拍、拍號與分數相關。套曲的鋼琴演奏與最小公倍數相關。 4．樂器中的數學 鍵盤樂器（如鋼琴）、弦樂器（如小提琴、二胡）、管樂器（如長笛）的發聲、共鳴等，都與數學相關。 5．樂曲中的數學 樂曲中的高潮點、樂曲調性的轉換點，常與黃金分割相關；樂曲的創作既與平移、反射、伸縮等變換相關，也與排列、組合相關。 美術中的數學 美術主要包括繪畫、雕塑、工藝美術、建築藝術，以及書法、篆刻藝術等。通過本專題的學習，可以幫助學生了解類術中的平移、對稱、黃金分割、透視幾何等數學方法，了解計算機美術的基本概念和方法，了解美術家在創作過程中所蘊含的數學思想，體會數學在美術中的作用，更加理性地鑑賞美術作品，提升直觀想象和數學抽象素養。在教學過程中，應以具體實例為主線展開，將美術作品與相關的數學知識有機聯繫起來。 內容包括：繪畫與數學、其他美術作品中的數學、美術與計算機、美術家的數學思想。 1．繪畫與數學 名畫中的數學元素，繪畫中的平移與對稱，繪畫中的黃金分割，繪畫中的透視幾何。 2．其他美術作品中的數學 雕塑中的黃金分割，建築中的對稱，工藝品中的對稱，郵票中的數學，書法中的黃金分割。 3．美術與計算機 計算機繪畫的發展背景，計算機繪畫所需的硬件和軟件，計算機繪畫實例。 4．美術家的數學思想 達芬奇、畢加索、埃舍爾等的數學思想。 體育運動中的數學 在體育運動中，無論是運動本身還是與運動有關的事都蘊含着許多數學原理。例如，田徑運動中的速度、角度、運動曲線，比賽場次安排、運動器械與運動場館設計等。通過本專題的學習，學生能運用數學知識探索提高運動效率的途徑，能運用數學方法合理安排賽事，提升有志於從事體育事業學生的數學修養，增強理性思維能力。 內容包括：運動場上的數學原理、運動成績的數據分析、運動賽事中的運籌帷幄、體育用具及設施中的數學知識。 1．運動場上的數學原理 了解與田徑運動、球類運動、體操運動、水上運動等相關的數學原理，探索如何提高運動效率和運動成績。例如，根據向量分解的原理指導運動員進行跳高、跳遠和投擲。 2．運動成績的數據分析 通過健康指標和運動成績的數據，運用概率與統計知識尋求規律、探索合理方案。例如，通過日常運動和健康狀況的數據，分析運動與健康的關係。 3．運動賽事中的運籌帷幄 知道能藉助圖論、運籌等數學知識分析體育賽事的規律，進行合理安排，提升教練員的指揮策略，改善運動員賽場上的應對策略。 4．體育用具及設施中的數學知識 知道在大多數體育運動用具和場館的設計中都運用了數學知識，例如，足球、乒乓球的製作，網球拍的構造，標準跑道的規劃；通過數學曲面感悟「鳥集」「水立方」等體育設施的設計原理。 E類課程 E類課程是學校根據自身的需求開發或選用的課程，包括拓展視野、日常生活、地方特色的數學課程，還包括大學數學的先修課程等。 拓展視野的數學課程 例如，機器人與數學、對稱與群、球面上的幾何、歐拉公式與閉曲面分類、數列與差分、初等數論初步。 日常生活的數學課程 例如，生活中的數學、家庭理財與數學。 地方特色的數學課程 例如，地方建築與數學、家鄉經濟發展的社會調查與數據分析。 大學數學的先修課程 包括：微積分、解析幾何與線性代數、概率論與數理統計。

五、學業質量 （一）學業質量內涵 學業質量是學生在完成本學科課程學習後的學業成就表現。學業質量標準是以本學科核心素養及其表現水平為主要維度（參見附錄1），結合課程內容，對學生學業成就表現的總體刻畫。依據不同水平學業或就表現的關鍵特徵，學業質量標準明確將學業質量劃分為不同水平，並描述了不同水平學習結果的具體表現。數學學科學業質量是應該達成的數學學科核心素養的目標，是數學學科核心素養水平與課程內容的有機結合。學業質量是學生自主學習與評價、教師教學活動與評價、教材編寫的指導性要求，也是相應考試命題的依據。 （二）學業質量水平 數學學業質量水平是六個數學學科核心素養水平的綜合表現。每一個數學學科核心素養劃分為三個水平（詳述參見附錄1)，每一個水平是通過數學學科核心素養的具體表現和體現數學學科核心素養的幾個方面進行表述的。數學學科核心素養的具體表現參見「學科核心素養與課程目標」，體現數學學科核心素養的四個方面知下： 情境與問題 情境主要是指現實情境、數學情境、科學情境。問題是指在情境中提出的數學問題； 知識與技能 主要是指能夠幫助學生形成相應數學學科核心素養的知識與技能； 思維與表達 主要是指數學活動過程中反映的思維品質、表述的嚴謹性和準確性； 交流與反思 主要是指能夠用數學語言直觀地解釋和交流數學的概念、結論、應用和思想方法，並能進行評價、總結與拓展。 水平 質量描述 水平一 能夠在熟悉的情境中，直接抽象出數學概念和規則；能夠用歸納或類比的方法，發現數量或圖形的性質、數量關係或圖形關係，形成簡單的數學命題；能夠抽象出實物的幾何圖形，建立簡單圖形與實物之間的聯繫，體會圖形與圖形、圖形與數量的關係；了解隨機現象及簡單的概率或統計問題；了解熟悉的數學模型的實際背景及其數學描述，了解數學模型中的參數、結論的實際含義，能夠在熟悉的數學情境中了解運算對象，提出運算問題。 能夠在熟悉的數學情境中，解釋數學概念和規則的含義，了解數學命題的條件與結論之間的邏輯關係，抽象出數學問題；能夠通過熟悉的例子理解歸納推理、類比推理和演繹推理的基本形式，識別歸納推理、類比推理、演繹推理；掌握一些基本命題與定理的證明，並有條理地表述論證過程；能夠藉助圖形的性質和變換（平移、對稱、旋轉）發現數學規律；能夠推述簡單圖形的位置關係和度量關係及其特有性質，能夠了解運算法則及其適用範圍，正確進行運算，能夠根據問題的特徵形成合適的運算思路；能夠對熟悉的概率問題，選擇合適的概率模型；能夠對熟悉的統計問題，選擇合適的抽樣方法收集數據，掌握描述、刻畫、分析數據的基本統計方法；能夠解決簡單的數學應用問題，知道數學建模的過程包括：提出問題、建立模型、求解模型、檢驗給果、完善模型，能夠在熟悉的實際情境中，模仿學過的數學建模過程解決問題。 能夠了解用數學語言表達的推理和論證；能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法；能夠用圖形描述和表達熟悉的數學問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數形結合；能夠體會運算法則的意義和作用，運用運算驗證簡單的數學結論：能夠用概率和統計的語言表達簡單的隨機現象；能夠結合熟悉的實例，體會概率的意義，感悟統計方法的作用；對於學過的數學模型，能夠舉例說明數學建模的意義，體會其蘊含的數學思想。 能夠在交流的過程中，結合實際情境解釋相關的抽象概念；能夠在日常生活中利用圖形直觀進行交流；能夠用統計圖表和簡單概率模型解釋熟悉的隨機現象：能夠用運算的結果、藉助或引用已有數學建模的結果說明問題；能夠明確所討論問題的內涵，有條理地表達觀點。 （參見案例20～35） 水平二 能夠在關聯的情境中，抽象出一般的數學概念和規則，確定運算對象和隨機現象，發現問題並提出或轉化為數學問題；能夠想象並構建相應的幾何圖形，發現圖形與圖形、圖形與數量的關係，探索圖形的運動規律；能夠理解歸納、類比是發現和提出數學命題的重要途徑；能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形；能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題。 能夠用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則；能夠理解數學命題的條件與結論，通過分析相關數學命題的條件與結論，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯繫；能夠通過舉反例說明某些數學結論不成立；能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量之間關係的基本方法，藉助圖形性質探索數學規律，解決實際問題成數學問題；能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序，運算求解；能夠選擇合適的數學模型表達所要解決的數學問題，理解模型中參數的意義，知道如何確定參數，建立模型，求解模型，能夠根據問題的實際意義檢驗結果，完善模型，解 決問題；能夠針對具體問題，選擇離散型隨機變量或連續型隨機變量刻畫隨機現象，理解抽樣方法的統計意義，運用適當的概率或統計模型解決問題。 能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證，理解相關概念、命題、定理之間的邏輯關係，提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想，初步建立網狀的知識結構；能夠用圖形探索解決問題的思路，形成數形結合的思想；能夠理解運算是一種演繹推理，在綜合運用運算方法解決問題的過程中，形成規範化思考問題的品質；能夠在關聯的情境中，經歷數學建模的過程，運用數學語言，表述數學建模過程中的問題以及解決問題的過程和結果，形成研究報告，展示研究成果；能夠在運用統計方法解決問題的過程中，解釋統計結果，感悟歸納推理的作用，能夠用概率或統計模型表達隨機現象的統計規律。 在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現象；能夠利用直觀想象、數學運算探討數學問題；能夠用數據呈現的規律解釋隨機現象；能夠用模型的思想說明問題。能夠在交流的過程中，圍繞主題，觀點明確，論述有理有據，並能用準確的數學語言表述論證過程。 （參見案例20~35） 水平三 能夠在綜合的情境中，發現其中蘊含的數學關係，用數學的眼光找到合適的研究對象，用恰當的數學語言予以表達，並運用數學思維進行分析，提出數學問題；能夠藉助圖形探索解決問題的思路；能夠在得到的數學結論基礎上形成新命題。 能夠通過數學對象、運算或關係理解數學的抽象結構；能夠掌握不同的邏輯推理方法；能夠對較複雜的數學問題，通過構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題，能夠對較複雜的運算問題，設計算法，構造運算程序，解決問題；能夠綜合利用圖形與圖形、圖形與數量的關係，理解數學各分支之間的聯繫；能夠藉助直觀想象建立數學與其他學科的聯繫，並形成理論體系的直觀模型，感悟高度概括、有序多級的數學知識體系；能夠在現實世界中發現問題。運用數學建模的一般方法和相關知識，創造性地建立數學模型，解決問題；能夠針對不同的問題，綜合或創造性地運用概率統計知識，構造相應的概率或統計模型，解決問題。 在實際情境中，能夠把握研究對象的數學特徵，感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想；能夠運用數學語言，清晰、準確地表達數學論證和數學建模的過程和結果；能夠理解建構數學體系的公理化思想；能夠用程序思想理解與表達問題，理解程序思想與計算機解決問題的聯繫；能夠通過想象對複雜的數學問題進行直觀表達，抓住數學問題的本質，形成解決問題的思路，能夠理解數據蘊含着信息，可以通過對信息的加工，得到數據所提供的知識和規律，理解數據分析在大數據時代的重要性。 在交流的過程中，能夠用數學原理解釋自然現象和社會現象；能夠利用直觀想象探討問題的本質及其與數學的聯繫；能夠用程序思想理解和解釋問題；能夠辨明隨機現象，並運用恰當的數學語言進行表述；能夠通過數學建模的結論和思想闡釋科學規律和社會現象；能夠合理地運用數學語言和思維進行跨學科的表達與交流。 （參見案例25，28，30，31，34）

（三）學業質量水平與考試評價的關係 數學學業質量水平一是高中畢業應當達到的要求，也是高中畢業的數學學業水平考試的命題依據； 數學學業質量水平二是高考的要求，也是數學高考的命題依據； 數學學業質量水平三是基於必修、選擇性必修和選修課程的某些內容對數學學科核心素養的達成提出的要求，可以作為大學自主招生的參考。 關於教學與評價的具體要求可參照「教學與評價建議」，關於學業水平考試與高考命題的具體要求可參照「學業水平考試與高考命題建議」，關於教材編寫的具體要求可參照「教材編寫建議」。

六、實施建議 （一）教學與評價建議 在教學活動中，教師應準確把握課程目標、課程內容、學業質量的要求，合理設計教學目標，並通過相應的教學實施，在學生掌握知識技能的同時，促進數學學科核心素養的提升及水平的達成。在教學與評價中，要關注學生對具體內容的掌握情況，更要關注學生數學學科核心素養水平的表現；要關注數學學科核心素養各要素的不同特徵及要求，更要關注數學學科核心素養的綜合性與整體性（參見案例23）。教師應結合相應的教學內容，落實「四基」，培養「四能」，促進學生數學學科核心素養的形成和發展，達到相應水平的要求，部分學生可以達到更高水平的要求。 1．教學建議 全面落實立德樹人要求，深入挖掘數學學科的育人價值，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿於教學活動的全過程。在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生會學數學，養成良好的學習習慣，要努力激發學生數學學習的興趣，促使更多的學生熱愛數學。學科+網 （1）教學目標制定要突出數學學科核心素養 數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的。教師在制定教學目標時要充分關注數學學科核心素養的達成；要深入理解數學學科核心素養的內涵、價值、表現、水平及其相互聯繫；要結合特定教學任務，思考相應數學學科核心素養在教學中的孕育點、生長點：要注意數學學科核心素養與具體教學內容的關聯；要關注數學學科核心素養目標在教學中的可實現性，研究其融入教學內容和教學過程的具體方式及載體，在此基礎上確定教學目標。 學生數學學科核心素養水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續性、整合性等特點。教師應理解不同數學學科核心素養水平的具體要求，不僅關注每一節課的教學目標，更要關注主題、單元的教學目標（參見案例36），明晰這些目標對實現數學學科核心素養發展的貢獻。在確定教學目標時，要把握好學生數學學科核心素養發展的各階段目標之間的關係，合理設計各類課程的教學目標。 數學學科核心素養是「四基」的繼承和發展。「四基」是培養學生數學學科核心素養的沃土，是發展學生數學學科核心素養的有效載體，教學中要引導學生理解基礎知識，掌握基本技能，感悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗，促進學生數學學科核心素養的不斷提升。 （2）情境創設和問題設計要有利於發展數學學科核心素養 基於數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考與交流，形成和發展數學學科核心素養。 教學情境和數學問題是多樣的、多層次的。教學情境包括：現實情境、數學情境、科學情境，每種情境可以分為熟悉的、關聯的、綜合的。數學問題是指在情境中提出的問題，分為簡單問題、較複雜問題、複雜問題。數學學科核心素養在學生與情績、問題的有效互動中得到提升。在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題。在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，使進學生數學學科核心素養的形成和發展。 設計合適的教學情境，提出合適的數學問題是有挑戰性的，也為教師的實踐創新提供了平台。教師應不斷學習、探索、研究、實踐，提升自身的數學素養，了解數學知識之間、數學與生活、數學與其他學科的聯繫，開發出符合學生認知規律、有助於提升學生數學學科核心素養的優秀案例。 （3）整體寶物教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展 數學學科核心素養的發展具有連續性和階段性。教師要以數學學科核心素養為導向，抓住函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動等內容主線，明晰數學學科核心素養在內容體系形成中表現出的連續性和階段性，引導學生從整體上把握課程，實現學生數學學科核心素養的形成和發展。 數學建模活動與數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體。教師應整體設計、分步實施數學建模活動與數學探究活動，引導學生從類比、模仿到自主創新、從局部實施到整體構想，經歷「選題、開題、做題、結題」的活動過程，積累發現和提出問題、分析和解決問題的經驗，養成獨立思考與合作交流的習慣。應引導學生遵守學術規範，堅守誠信底線。 數學文化應融入數學教學活動。在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養，將數學文化融入教學，還有利於激發學生的數學學習興趣，有利於學生進一步理解數學，有利於開拓學生視野、提升數學學科核心素養。 （4）既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習 教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利於促進學生學習的多樣化教學方式，不僅限於講授與練習，也包括引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，教師要善於根據不同的內容和學習任務採用不同的教學方式，優化教學，抓住關鍵的教學與學習環節，增強實效。例如，豐富作業的形式，提高作業的質量，提升學生完成作業的自主性、有效性。 教師要加強學習方法指導，幫助學生養成良好的數學學習習慣，敢於質疑、善於思考，理解概念、把握本質，數形結合、明晰算理，釐清知識的來龍去脈，建立知識之間的關聯。教師還可以根據自身教學經驗和學生學習的個性特點，引導學生總結出一些具有針對性的學習方式，因材施教。 （5）重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合 在「互聯網+」時代，信息技術的廣泛應用正在對數學教育產生深刻影響。在數學教學中，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機交流搭建了平台，為學習和教學提供了豐富的資源。因此，教師應重視信息技術的運用，優化課堂教學，轉變教學與學習方式。例如，為學生理解概念創設背景，為學生探索規律啟發思路，為學生解決問題提供直觀，引導學生自主獲取資源。在這個過程中，教師要有意識地積累數學活動案例，總結出生動、自主、有效的教學方式和學習方式。（參見案例37） 教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果。例如，利用計算機展示函數圖象、幾何圖形運動變化過程，利用計算機探究算法、進行較大規模的計算，從數據庫中獲得數據，繪製合適的統計圖表；利用計算機的隨機模擬結果，幫助學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發生的概率。 2．評價建議 教學評價是數學教學活動的重要組成部分。評價應以課程目標、課程內容和學業質量標準為基本依據，日常教學活動評價，要以教學目標的達成為依據。評價要關注學生數學知識技能的掌握，還要關注學生的學習態度、方法和習慣，更要關注學生數學學科核心素養水平的達成。教師要基於對學生的評價，反思教學過程，總結經驗、發現問題，提出改進思路。因此，數學教學活動的評價目標，既包括對學生學習的評價，也包括對教師教學的評價。 （1）評價目的 評價的目的是考查學生學習的成效，進而也考查教師教學的成效。通過考查，診斷學生學習過程中的優勢與不足，進而診斷教師教學過程中的優勢與不足，通過診斷，改進學生的學習行為，進而改進教師的教學行為，促進學生數學學科核心素養的達成。 （2）評價原則 為了實現上述評價目的，教師應堅持以學生發展為本，以積極的態度促進學生不斷發展，日常評價應遵循以下原則。 ①重視學生數學學科核心素養的達成 教學評價要以數學學科核心素養的達成作為評價的基本要素。 基於數學學科核心素養的教學要創設合適的教學情境、提出合適的數學問題。在設計教學評價工具時，應着重對設計的教學情境、提出的問題進行評價。評價內容包括：情境設計是否體現數學學科核心素養，數學問題的產生是否自然，解決問題的方法是否為通性通法，情境與問題是否有助於學生數學學科核心素養的達成。基於數學學科核心素養的教學評價具有挑戰性，可以採取教研組集體研討的方式設計評價工具和評價準則。 在設計學習評價工具時，要關注知識技能的範圍和難度，要有利於考查學生的思維過程、思維深度和思維廣度（例如，設計好的開放題是行之有效的方法)，要關注六個數學學科核心素養的分布和水平；應聚焦數學的核心概念和通性通法，聚焦它們所承載的數學學科核心素養。 ②重視評價的整體性與階段性 基於學業質量標準和內容要求制定必修、選擇性必修和選修課程的評價目標，關注評價的整體性。 數學學科核心素養的達成是循序漸進的，基於內容主線對數學的理解與把握也是日積月累的。因此，應當把教學評價的總目標合理分解到日常教學評價的各個價段，關注評價的階段性。既要關注數學知識技能的達成，更要關注相關的數學學科核心素養的提升；還應依據必修、選擇性必修和選修課程內容的主線和主題，整體把握學業質量與數學學科核心素養水平。 對於基於數學學科核心素養的教學評價，建立一個科學的評價體系是必要的，學校可以組織教師與有關人員，進行專門的研討，積累經驗，特別是積累通過階段性評價不斷改進教學活動的經驗，最終建立適合本學校的科學評價體系。 ③重視過程評價 日常評價不僅要關注學生當前的數學學科核心素養水平，更要關注學生成長和發展的過程；不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發展和變化。學生的知識掌握、數學理解、學習自信、獨立思考等是隨着學習過程而變化和發展的，只有通過觀察學生的學習行為和思維過程，才能發現學生思維活動的特徵及教學中的問題，及時調整學與教的行為，改進學生的學習方法和思維習慣。此外，教師還要注意記錄、保留和分析學生在不同時期的學習表現和學業成就，跟蹤學生的學習進程，通過過程評價使學生感受成長的快樂，激發其數學學習的積極性。 ④關注學生的學習態度 良好的學習態度是學生形成和發展數學學科核心素養的必要條件、也是最終形成科學精神的必要條件。在日常評價中應把學生的學習態度作為教學評價的意要目標。 在對學生學習態度的評價中，應關注主動學習、認真思考、善於交流、集中精力、堅毅執着、嚴謹求實等。與其他目標不同，學習態度是隨時表現出來的、與心理因素有關的，又是日積月累的、可以變化的。在日常教學活動中，教師要關注每一個學生的學習態度，對於特殊的學生給予重點關注。可以記錄學生學習態度的變化與成長過程，從中分析問題，尋求解決問題的辦法。 形成良好的學習態度，需要對學生提出合適的要求，更需要教師的引導與鼓勵、同學的幫助與支持，還需要良好學習氛圍的激勵與薰陶，需要數學教師與班主任以及其他學科教師的協同努力。 （3）評價方式 教學評價的主體應多元化，評價形式應多樣化。評價主體的多元化是指除了教師是評價者之外，同學、家長甚至學生本人都可以作為評價者，這是為了從不同角度獲取學生發展過程中的信息，特別是日常生活中關鍵能力、思維品質和學習態度的信息，最終給出公正客觀的評價。合理利用這樣的評價，可以有針對性地、有效地指導學生進一步發展。在多元評價的過程中，要重視教師與學生之間、教師與家長之間、學生與學生之間的溝通交流，努力營造良好的學習氛圍。 評價形式的多樣化是指除了傳統的書面測驗外，還可以採用課堂觀察、口頭測驗、開放式活動中的表現、課內外作業等評價的形式。這是因為一個人形成的思維品質和關鍵能力通常會表現在許多方面，因此需要通過多種形式的評價才能全面反映學生數學學科核心素養的達成狀況。 在日常評價中，可以採用形成性評價的方式。在本質上，形成性評價是與教學過程融為一體的。在教學過程中，教師既要獲取學生的整體學習情況，也要關注個別學生的學習進展，在評價反思的同時調整教學活動，提高教學質量。基於數學學科核心素養的教學，在形成性評價的過程中，不僅要關注學生對知識技能掌握的程度，還要更多地關注學生的思維過程，判斷學生是否會用數學的眼光觀察世界，是否會用數學的思維思考世界，是否會用數學的語言表達世界。 在數學建模活動與數學探究活動的教學評價中，應引導每個學生都積極參加，可以是個體活動，也可以是小組活動。教學活動包括，對於給出的問題情境，經歷發現數學關聯、提出數學問題、構建數學模型、完善數學模型、得到數學結論、說明結論意義的全過程；也包括根據現實情境，反覆修改模型或者結論，最終提交研究報告或者小論文。無論是研究報告還是小論文，都要闡明提出問題的依據、解決問題的思路、得到結論的意義，遵循學術規範，堅守誠信底線。可以召開小型報告會，除了教師和學生之外，還可以邀請家長、有關方面的專家，對研究報告或者小論文作出評價。可以把學生完成的研究報告或者小論文以及各方評價存入學生個人檔案，為大學招生提供參考。 （4）評價結果的呈現與利用 評價結果的呈現和利用應有利於增強學生學習數學的自信心，提高學生學習數學的興趣，使學生養成良好的學習習慣，促進學生的全面發展。應更多地關注學生的進步，關注學生已經掌握了什麼，得到了哪些提高，具備了什麼能力，還有什麼潛能，在哪些方面還存在不足等。 要儘量避免終結性評價的「標籤效應」——簡單地依據評價結果對學生進行區分。評價的結果應該反映學生的個性特徵和學習中的優勢與不足，為改進教學的行為和方式、改進學習的行為和方法提供參考。 教師要充分利用信息技術，收集、整理、分析有關反映學生學習過程和結果的數據，從而了解自己教學的成績和問題，反思教學過程中影響學生能力發展和素養提高的原因，尋求改進教學的對策。 除了考查全班學生在數學學科核心素養上的整體發展水平外，更需要根據學生個體的發展水平和特徵進行個性化的反饋，特別是要以適當的方式將學生的一些積極變化及時反饋給學生。個性化的評價反饋不僅要系統、全面、客觀地反映學生在數學學科核心素養發展上的成長過程和水平特徵，更要為每個學生提供長期、具體、可行的指導和改進建議。 （二）學業水平考試與高考命題建議 對高中畢業的數學學業水平考試、數學高考的命題提出以下建議。 1．命題原則 命題應依據學業質量標準和課程內容，注重對學生數學學科核心素養的考查，處理好數學學科核心素養與知識技能的關係，要充分考慮對教學的積極引導作用。在傳統評分的基礎上，可以根據解題情況對學生的數學學科核心素養水平的達成進行評價（參見案例20~35）。 考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧；融入數學文化。 命題時，應有一定數量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性同題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識，問題情境的設計應自然、合理。開放性問題和探究性問題的評分應遵循滿意原則和加分原則，達到測試的基本要求視為滿意，有所拓展或創新可以根據實際情況加分（參見案例20~35）。在命制應用問題、開放性問題和探究性問題時，要注意公平性和閱卷的可操作性。 在高中畢業的數學學業水平考試與數學高考的考試命題中，要關注試卷的整體性。處理好考試時間和題量的關係，合理設置題量，給學生充足的思考時間；逐步減少選擇題、填空題的題量；適度增加試題的思維量：關注內容與難度的分布、數學學科核心素養的比重與水平的分布；努力提高試卷的信度、效度和公平性。 除了上述要求外，數學高考命題還應依據人才選拔要求，發揮數學高考的選拔功能。 2．考試命題路徑 基於數學學科核心素養的考試命題，應注意以下幾個重要環節。 （1）構建數學學科核心素養的評價框架。依據數學學科核心素養的內涵、價值和行為表現的描述，參照學業質量的三個水平，構建基於數學學科核心素養測試的評價框架。評價框架包括三個維度： 第一個維度是反映數學學科核心素養的四個方面，它們分別為情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思； 第二個維度是四條內容主線，它們分別為函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動； 第三個維度是數學學科核心素養的三個水平（參見附錄1）。 （2）依據評價框架，統籌考慮上述三個維度，編制基於數學學科核心素養的試題，每道試題都有針對性的考查重點。 （3）對於每道試題，除了給出傳統評分標準外，還需要給出反映相關數學學科核心素養的水平劃分依據。 3．說明 在命題中，選擇合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體。情境包括：顯示情境、數學情境、科學情境，每種情境可以分為熟悉的、關聯的、綜合的，數學問題是指在情境中提出的問題，從學生認識的角度分為：簡單問題、較複雜問題、複雜問題。這些層次是構成數學學科核心素養水平劃分的基礎，也是數學學科核心素養評價等級劃分的基礎。 對於知識與技能，要關注能夠承載相應數學學科核心素養的知識、技能，層次可以分為了解、理解、掌握、運用以及經歷、體驗、探素。在命題中，需要突出內容主線和反應數學本質的核心概念、主要結論、通性通法、數學應用和實際應用。 在命題中，應特別關注數學學習過程中思維品質的形成，關注學生會學數學的能力。 （三）教材編寫建議 數學教材為「教」與「學」活動提供學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養重要的教學資源。 數學教材的編寫要全面落實立德樹人的基本要求，充分體現數學學科特有的育人價值與功能。要貫徹高中數學課程的基本理念與要求，貫穿發展學生數學學科核心素養的主線，要體現數學內容的邏輯體系，揭示數學內容的發生、發展過程；要遵從學生認知規律，合理安排學習內容，形成教材的編排體系以及相應的特色和風格，積極探索教材的多樣化。教材應有利於教師創造性教學，有利於學生自主性學習。 1．教材編寫要以發展學生數學學科核心素養為宗旨 （1）全面體現並落實課程標準提出的基本理念和目標要求 教材編寫應全面體現並落實課程標準提出的基本理念和目標要求，以學生發展為本，培養和提高學生的數學學科核心素養。為「人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展」提供優質的、可供學生多樣選擇的數學學習資源。 教材編寫要注重將課程標準提出的課程目標轉化為實際的教學要求。應突出發展學生數學學科核心素養的目標要求，幫助學生在獲得必要的基礎知識和基本技能、感悟數學基本思想、不斷積累數學基本活動經驗的過程中，逐步提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，發展數學實踐能力及創新意識，樹立科學精神，促進學生學會學習。 （2）促進學生數學學科核心素養的發展 發展學生數學學科核心素養是數學課程的核心目標，是教材編寫的宗旨。編寫者應深入理解數學學科核心素養，用以指導內容的選擇和編排，應遵循學生認知規律，創設合適的問題情境，設計有效的數學學習活動，展示數學概念、結論、應用的形成發展過程。教材編寫者需要以創新的精神，積極探索新的途徑和方式，促進學生數學學科核心素養的發展。 （3）準確把握內容要求和學業質量標準 教材編寫者不僅要認真研究內容要求，還要深入研究學業質量標準，準確把握學生經過學習應當達到的要求；要很好地把握學業質量標準的整體性和階段性，統籌考慮學生的整個學習過程，設計出有利於學生達成學業目標的教材。 在編寫相關內容時，要把握好內容所涉及的範圍，關注內容中蘊含的數學學科核心素養水平要求；也要把握好用「了解」「理解」「掌握」「運用」等行為動詞所表達的內容程度要求的不同，確定教材內容的難度。 2.教材編寫應體現整體性 （1）凸顯內容和數學學科核心素養的融合 教材編寫時要凸顯內容和數學學科核心素養的相互融合。內容要求中沒有對內容呈現的順序提出要求，因此編寫者要認真思考內容主線的邏輯結構，合理設計教材的體系。六個數學學科核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體。編寫者既要深刻理解每一個數學學科核心素養，又要把握數學學科核心素養之間的關聯。特別重要的是，編寫者要認真研究如何在數學內容的表述中體現數學學科核心素養，編寫出數學內容與數學學科核心素養融為一體的教材。 （2）注重教材的整體結構 教材編寫必須遵從課程標準設定的課程結構，要充分注意到必修課程是學生高中畢業的內容要求，必修和選擇性必修課程是學生高考的內容要求，選修課程是供學校自主設定、學生自主選修的課程。要整體設計必修和選擇性必修課程的體系，處理好數學內容的層次性與數學學科核心素養水平發展的連續性與階段性的關係，使教材形成一個整體的結構體系。 （3）體現內容之間的有機銜接 高中數學內容主要分為四條主線，它們既相對獨立，又相互聯繫。教材各個章節的設計要體現三個關注：關注同一主線內容的邏輯關係，關注不同主線內容之間的邏輯關係，關注不同數學知識所蘊含的通性通法、數學思想。數學內容的展開應循序漸進、螺旋上升，使教材成為一個有機的整體。 （4）落實數學建模活動與數學探究活動 數學建模活動與數學探究活動是數學內容的主線之一。這條主線不僅能夠幫助學生更好地掌握知識技能，更能幫助學生學會數學地思考和實踐，是學生形成和發展數學學科核心素養的有效載體。教材的編寫要重視這條主線的設計，按照課程內容的要求通盤考慮、分步實施。基於這條主線的多樣性和靈活性，應當在教師教學用書中提出比較詳細的教學建議，使這條主線的活動能夠收到實效。 （5）實現內容與數學文化的融合，體現時代性 教材應當把數學文化融入到學習內容中，可以適當地介紹數學和科學研究的成果，開拓學生的數學視野，激發學生的學習興趣與好奇心，培養學生的科學精神。「課程內容」中在相應的地方給出了數學文化的提示，供編寫者參考。希望教材編寫者重視中國傳統文化中的數學元素。 （6）整體設計習題等課程資源 習題是教材的重要組成部分，要提高習題的有效性，科學、準確地把握習題的容量、難度，防止「題海戰術」。應開發一些具有應用性、開放性、探究性的問題，解決這樣的問題有助於學生數學學科核心素養的提升。 習題是課堂教學內容的鞏固和深化，也應當為學生發展數學學科核心素養提供平台。要重視習題編寫的針對性，也要重視習題編排的整體性。例如，練習題要關注習題的層次性、由淺入深，幫助學生在掌握知識技能的同時，進一步感悟數學的基本思想，積累數學思維的經驗；思考題要關注情境和問題的創設，有利於學生理解數學知識的本質，提升數學學科核心素養；複習題要關注單元知識的系統性，幫助學生理解數學的結構，增進複習的有效性，達到相應單元的「學業要求」；複習題也要關注數學內容主線之間的關聯以及六個數學學科核心素養之間的協調，有利於學生整體理解、系統掌握學過的數學內容，實現學業質量的相應要求。 為了體現教材的整體特色和風格，教材的支撐性資源也應當一體設計，形成多樣的課程資源。 3.教材編寫應遵循「教與學」的規律 （1)教材編寫要有利於教師的教 編寫者要認真研究教學建議，教材的編寫要有利於教師實現教學建議中對教師教學提出的要求。要便於教師把握知識本質，駕馭課程內容，要便於教師把握知識結構，統籌教學安排；要便於教師教學設計，創設教學情境、提出合適問題、有效組織教學；要為教師自主選擇、增補和調整教學內容預留必要空間。 （2）教材編寫要有利於學生的學 編寫者要認真研究學業質量標準，教材的編寫要有利於學生達成學業質量標準提出的要求。教材應具備可讀性，深入淺出，易於學生理解，激發學習興趣；應具有探索性，啟發學生思考，提供思維空間；要為學生提供學習方法的指導，促進學生形成良好的學習習慣和思維習慣。 （3）要處理好幾個關係 遵循學生數學學習規律要處理好以下幾個關係。 處理好數學的科學形態與教育形態之間的關係。教材的編寫既要充分反映數學的本質，體現數學應有的邏輯性和嚴謹性，也要符合高中學生的認知規律，有利於學生自主學習、直觀理解。 處理好過程與結果的關係。教材不能只是數學結論的簡單表述，應該體現結論產生的背景和形成發展過程，引導學生在背景和過程中主動探究、認識建構、理解結論。 處理好直接經驗與間接經驗的關係。教材的編寫要加強課程內容與學生生活以及現代社會和科技發展的聯繫，提高學生的學習興趣，幫助學生積累獲取知識的經驗。 4.教材內容呈現方式應豐富多樣 內容呈現方式豐富多樣可以增強教材的可讀性與親和力，更好地引導學生自主學習。多樣化的設計可以體現在教材編寫的各個方面，如素材選取、欄目設計、活動方式、情境類型、思路引領、習題選擇、圖文表達形式等。呈現方式的豐富多樣，還可以通過信息技術與課程的深度融合以及課程資源開發的多樣化實現。 教材應具有一定的彈性，適應學生學習個性化需求，為學校、教師拓展和開發課程內容資源提供可能。例如，提供具有不同層次要求的習題供學生選用，通過特定設計的問題（非常規問題、開放性問題），引導學生展示數學理解力，滿足學生自主探究的欲望，拓展學生的數學視野；也可以設定一些活動環節，讓學生自己收集整理資料，形成研究成果等。 5.注重教材特色建設 為提高數學教材的編寫質量，應當突出所編寫數學教材的特色。要認真總結課改以來數學實驗教材編寫的實踐經驗，借鑑國外優秀數學教材編寫案例，廣泛聽取教材使用者的意見和建議，精心設計、反覆修訂，凝練並形成所編寫教材的風格與特色。教材編寫者應銳意創新、勇於實踐，編寫出能夠經得起檢驗的、把數學內容與數學學科核心素養有機融合的數學教材。 （四）地方與學校實施課程標準的建議 1.地方實施課程標準應注意的幾個問題 地方應重點關注本地區高中數學課程實施的整體推進，突出重點。通過評價，推動本地區教育的全面發展。 （1）重視頂層設計，建立有效的數學教研體系 逐步完善國家、省（自治區、直轄市）、地（市、縣）、學校四級教研體系，重視教研頂層設計，加強與大學、研究機構等的合作，以研促教，建立合理有效的數學教研體系，由專職教研員、兼職教研員、骨幹教師組成合作共同體。 （2）示範引領，整體推進數學課程的實施 建立一批數學課程實施的實驗學校，不斷探索，總結經驗，引領、推動本地區整個高中數學課程的實施。 （3）集中力量研究解決課程標準實施中的關鍵問題 抓住本地區具有普遍性、全局性的關鍵問題，集中力量深入研究，總結經驗，推廣經驗。例如，解決初高中過渡問題時，不僅要關注知識技能，也要關注學生學習習慣的養成，還要關注初高中學生心理的差異，等等。 （4）重視過程性評價 要加強對數學教學、教研、學習過程的評價，即評價數學教學經驗形成的過程、數學教學研究深入的過程、數學學習規律把握的過程。 日常評價與考試要根據學生的學習規律，對於重要的概念、結論和應用的評價，要循序漸進，不要一步到位。 2.學校實施課程標準應注意的幾個問題 （1）加強學校課程建設 學校應根據自身的情況，推動國家課程的全面落實，建設有特色的校本課程，適應學生多樣化發展的需求，促進學生全面發展。 （2）形成有效的課程管理機制 學校實施課程標準時，要形成有效的機制，處理好備課組和教研組的關係，使得備課組與教研組協同、高效工作，為數學課程的實施提供保障。學校要為課程的選擇提供必要的教學條件，形成相應的管理制度，充分利用社會資源以滿足學生的學習需求。 （3）加強數學教師的專業發展和團隊建設 教師專業發展是實施課程標準的關鍵，學校要加強對數學教師的培訓，提升教師的專業水平。學校要加強培養數學骨幹教師，充分發揮骨幹教師的作用，關注青年教師的成長，注重發展教師的數學教育理論、實踐能力等，形成高效、專業的教師團隊。 （4）開展有針對性的數學教研活動 教研組應定期開展教研活動，除了解決日常教學中的問題，每年還要確定需要集中研究、突破的教學難題。 3.教師實施課程標準應注意的幾個問題 （1）以教師專業標準的理念為指導，提升自身的專業水平 《中學教師專業標準》提出了「育人為本，師德為先，能力為重，終身學習」的基本理念，從專業理念與師德、專業知識、專業能力三個維度提出了教師專業發展的基本要求。數學教師要以《中學教師專業標準》的理念為指導，以數學學科核心素養為依託，終身學習，不斷實踐，掌握教學所需基礎知識，提升教書育人基本能力，達到《中學教師專業標準》對教師專業發展提出的基本要求。 （2）數學教師要努力提升通識素養 教師應主動提升自身的通識素養，包括科學素養、人文素養和信息技術素養等。應養成良好的自主學習習慣，能學習、會學習、善學習，努力成為學生主動學習、不斷進取的榜樣。在教學活動中，應勇於創新，包括教學方式的創新，也包括從教學實踐中總結經驗；包括指導學生學習方式的創新，也包括對學生認知規律的探索；包括對數學知識更為深刻的理解，也包括對數學結構的梳理。實現對自身數學教學經驗的不斷反思和超越。 （3）數學教師要努力提升數學專業素養 教學建議強調：「『四基」是培養學生數學學科核心素養的沃土，是發展學生數學學科核心素養的有效載體。」因此，為了培養學生的數學學科核心素養，數學教師必須提升自身的「四基」水平、提升數學專業能力，自覺養成用數學的眼光發現和提出問題、用數學的思維分析和解決問題、用數學的語言表達和交流問題的習慣。可以關注以下幾個方面。 把握高中數學的四條主線脈絡，理解知識之間的關聯。 把握數學核心概念的本質，明斷什麼是數學的通性通法。 理解與高中數學關係密切的高等數學的內容，能夠從更高的觀點理解高中數學知識的本質。例如，通過導函數理解函數的性質，通過運算法則理解初等函數，通過矩陣變換和不變量理解幾何與代數，通過樣本空間和隨機變量理解概率與統計。 理解數學知識產生與發展過程中所蘊含的數學思想，能夠通過實例理解和表述數學抽象與數學的一般性、邏輯推理與數學的嚴謹性、數學模型與數學應用的廣泛性之間的必然聯繫，具有在數學教學中滲透數學基本思想的意識和能力。 （4）數學教師要努力提升數學教育理論素養 數學教師要有良好的數學教育理論素養，能把握數學教育的價值取向，有效落實數學教育的育人目標。可以關注以下幾個方面。 結合教育教學實踐，閱讀和理解教育與數學教育經典著作，關注前沿進展的要求。 認真研讀課程標準，理解和把握高中數學課程的目標，深入思考教與學的關係。 基於課程標準，認真研讀教材，把握「四基」與數學學科核心素養的關聯。 基於理論與實踐，不斷探索數學教學的規律，特別是學生學習高中數學的規律，探索如何把科學形態的數學轉化為教育形態的數學。 理解和把握評價的作用，思考如何通過評價鼓勵學生學習的自覺性、如何通過評價調整自己的教學。 （5）數學教師要努力提升教學實踐能力 數學教師應用理論指導實踐，不斷總結與反思自己的教學實踐，不斷提高教學能力，最終落實到課堂、落實到學生。可以關注以下幾個方面。 一是提升教學設計和實施能力。首先要把握數學知識的本質、理解其中的教育價值，把握教學中的難點，理解學生認知的特徵；在此基礎上，探索通過什麼樣的途徑能夠引發學生思考，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟知識的本質，實現教育價值；最後能夠創設合適的情境、提出合適的問題，設計教學流程、寫好教案。在實施過程中，能夠有效處理預設和生成的關係，積極啟發學生思考，關注每一個學生的成長。 二是提升教學案例的分析能力。教學活動是不斷實踐的過程，實踐能力的提升本質上是一種經驗的積累，除自我反思之外，與同事或者教研組共同分析教學案例也是一種有效手段，同時還能促進數學教師團隊的共同成長。要注意不斷積累教學資源，掌握基本的教學策略。 三是提升信息技術的使用能力。基於信息技術的教育資源和教學手段日新月異，正在改變着數學教與學的方式。教師要適應時代的發展，按照課程標準的要求，發揮信息技術直觀便捷、資源豐富的優勢，幫助學生發展數學學科核心素養。 四是提升數學教育研究的能力。數學教育研究要落實到課堂，落實到學生。一方面要善於發現自己教學過程中、學生學習過程中的問題，另一方面要善於借鑑其他教師的教學經驗，把這些問題或經驗作為自己的研究課題，實現教學活動的理性思考，不斷提升理論水平和教學能力。 高中數學課程標準修訂的重點是落實數學學科核心素養，這對數學教師提出了新的要求。通過校本教研、學習討論、教學實驗、展示交流等途徑，數學教師要深刻認識數學學科核心素養的育人價值，把握數學學科核心素養與知識技能之間的關聯，理解數學學科核心素養的內涵和水平劃分，將數學學科核心素養的落實變成自己的自覺行動。要通過創設合適的學習任務、學習情境、學習活動等，把學生數學學科核心素養的養成滲透到日常教學中；要創新評價的形式和方法，把知識技能的評價與數學學科核心素養達成狀況的評價有機融合，完成課程標準中提出的學業質量的要求，落實立德樹人根本任務。

附錄1 數學學科核心素養的水平劃分

水平 素養 數學抽象 水平一 能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則，能夠在特例的基礎上歸納並形成簡單的數學命題，能夠模仿學過的數學方法解決簡單問題。 能夠解釋數學概念和規則的含義，了解數學命題的條件與結論，能夠在熟悉的情境中抽象出數學問題。 能夠了解用數學語言表達的推理和論證；能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想。 在交流的過程中，結合實際情境解釋相關的抽象概念。 水平二 能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則，能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題。 能夠用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則；理解數學命題的條件與結論；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯繫。 能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證；能夠提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想。 在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現象。 水平三 能夠在綜合的情境中抽象出數學問題，並用恰當的數學語言予以表達；能夠在得到的數學結論基礎上形成新命題；能夠針對具體問題運用或創造數學方法解決問題。 能夠通過數學對象、運算或關係理解數學的抽象結構，能夠理解數學結論的一般性，能夠感悟高度概括、有序多級的數學知識體系。 在現實問題中，能夠把握研究對象的數學特徵，並用準確的數學語言予以表達；能夠感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想。 在交流的過程中，能夠用數學原理解釋自然現象和社會現象。

水平 素養 邏輯推理 水平一 能夠在熟悉的情境中，用歸納或類比的方法，發現數量或圖形的性質、數量關係或圖形關係。 能夠在熟悉的數學內容中，識別歸納推理、類比推理、演繹推理；知道通過歸納推理、類比推理得到的結論是或然成立的，通過演繹推理得到的結論是必然成立的。能夠通過熟悉的例子理解歸納推理、類比推理和演繹推理的基本形式。了解熟悉的數學命題的條件與結論之間的邏輯關係；能夠證明簡單的數學命題並有條理地表述論證過程。 能夠了解熟悉的概念、定理之間的邏輯關係。 能夠在交流過程中，明確所討論問題的內涵，有條理地表達觀點。 水平二 能夠在關聯的情境中，發現並提出數學問題，用數學語言予以表達；能夠理解歸納、類比是發現和提出數學命題的重要途徑。 能夠對與學過的知識有關聯的數學命題，通過對條件與結果的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，並能用準確的數學語言表述論證過程；能夠通過舉反例說明某些數學結論不成立。 能夠理解相關概念、命題、定理之間的邏輯關係，初步建立網狀的知識結構。 能夠在交流的過程中，始終圍繞主題，觀點明確，論述有理有據。 水平三 能夠在綜合的情境中，用數學的眼光找到合適的研究對象，提出有意義的數學問題。 能夠掌握常用邏輯推理方法的規則，理解其中所蘊含的思想。對於新的數學問題，能夠提出不同的假設前提，推斷結論，形成數學命題。對於較複雜的數學問題，通過構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題，並會用嚴謹的數學語言表達論證過程。 能夠理解建構數學體系的公理化思想。 能夠合理地運用數學語言和思維進行跨學科的表達與交流。

水平 素養 數學建模 水平一 了解熟悉的數學模型的實際背景及其數學描述，了解數學模型中的參數、結論的實際含義。 知道數學建模的過程包括：提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結果、完善模型。能夠在熟悉的實際情境中，模仿學過的數學建模過程解決問題。 對於學過的數學模型，能夠舉例說明建模的意義，體會其蘊含的數學思想；感悟數學表達對數學建模的重要性。 在交流的過程中，能夠藉助或引用已有數學建模的結果說明問題。 水平二 能夠在熟悉的情境中，發現問題並轉化為數學問題，知道數學問題的價值與作用。 能夠選擇合適的數學模型表達所要解決的數學問題；理解模型中參數的意義，知道如何確定參數，建立模型，求解模型；能夠根據問題的實際意義檢驗結果，完善模型，解決問題。 能夠在關聯的情境中，經歷數學建模的過程，理解數學建模的意義；能夠運用數學語言，表述數學建模過程中的問題以及解決問題的過程和結果，形成研究報告，展示研究成果。 在交流的過程中，能夠用模型的思想說明問題。 水平三 能夠在綜合情境中，運用數學思維進行分析，發現情境中的數學關係，提出數學問題。 能夠運用數學建模的一般方法和相關知識，創造性地建立數學模型，解決問題。 能夠理解數學建模的意義和作用；能夠運用數學語言，清晰、準確地表達數學建模的過程和結果。 在交流的過程中，能夠通過數學建模的結論和思想闡釋科學規律和社會現象。 水平 素養 直觀想象 水平一 能夠在熟悉的情境中，建立實物的幾何圖形，能夠建立簡單圖形與實物之間的聯繫；體會圖形與圖形、圖形與數量的關係。 能夠在熟悉的數學情境中，藉助圖形的性質和變換（平移、對稱、旋轉）發現數學規律；能夠描述簡單圖形的位置關係和度量關係及其特有性質。 能夠通過圖形直觀認識數學問題；能夠用圖形描述和表達熟悉的數學問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數形結合。 能夠在日常生活中利用圖形直觀進行交流。 水平二 能夠在關聯情境中，想象並構建相應的幾何圖形；藉助圖形提出數學問題，發現圖形與圖形、圖形與數量的關係，探索圖形的運動規律。 能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量之間關係的基本方法，能夠藉助圖形性質探索數學規律，解決實際問題或數學問題。 能夠通過直觀想象提出數學問題；能夠用圖形探索解決問題的思路；能夠形成數形結合的思想，體會幾何直觀的作用和意義。 在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數學問題。 水平三 能夠在綜合情境中，藉助圖形，通過直觀想象提出數學問題。 能夠綜合利用圖形與圖形、圖形與數量的關係，理解數學各分支之間的聯繫；能夠藉助直觀想象建立數學與其他學科的聯繫，並形成理論體系的直觀模型。 能夠通過想象對複雜的數學問題進行直觀表達，反映數學問題的本質，形成解決問題的思路。 在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討問題的本質及其與數學的聯繫。

水平 素養 數學運算 水平一 能夠在熟悉的數學情境中了解運算對象，提出運算問題。 能夠了解運算法則及其適用範圍，正確進行運算；能夠在熟悉的數學情境中，根據問題的特徵建立合適的運算思路，解決問題。 在運算過程中，能夠體會運算法則的意義和作用，能夠運用運算驗證簡單的數學結論。 在交流的過程中，能夠用運算的結果說明問題。 水平二 能夠在關聯的情境中確定運算對象，提出運算問題。 能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序，解決問題。 能夠理解運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用。 在交流的過程中，能夠藉助運算探討問題。 水平三 在綜合情境中，能把問題轉化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向。 能夠對運算問題，構造運算程序，解決問題。 能夠用程序化的思想理解與表達問題，理解程序化與計算機解決問題的聯繫。 在交流的過程中，能夠用程式化思想理解和解釋問題。 水平 素養 數據分析 水平一 能夠在熟悉的情境中了解隨機現象及簡單的統計或概率問題。 能夠對熟悉的概率問題，選擇合適的概率模型，解決問題；能夠對熟悉的統計問題，選擇合適的抽樣方法收集數據，掌握描述、刻畫、分析數據的基本統計方法，解決問題。 能夠結合熟悉的實例，體會概率是對隨機現象發生可能性大小的度量，可以通過定義的方法得到，也可以通過統計的方法進行估計；能夠用統計和概率的語言表達簡單的隨機現象。 在交流的過程中，能夠用統計圖表和簡單概率模型解釋熟悉的隨機現象。 水平二 能夠在關聯情境中，識別隨機現象，知道隨機現象與隨機變量之間的關聯，發現並提出統計或概率問題。 能夠針對具體問題，選擇離散型隨機變量或連續型隨機變量刻畫隨機現象，理解抽樣方法的統計意義，能夠運用適當的統計或概率模型解決問題。 能夠在運用統計方法解決問題的過程中，感悟歸納推理的思想，理解統計結論的意義；能夠用統計或概率的思維來分析隨機現象，用統計或概率模型表達隨機現象的統計規律。 在交流的過程中，能夠用數據呈現的規律解釋隨機現象。 水平三 能夠在綜合情境中，發現並提出隨機問題。 能夠針對不同的問題，綜合或創造性地運用統計概率知識，構造相應的統計或概率模型，解決問題；能夠分析隨機現象的本質，發現隨機現象的統計規律，形成新的知識。 能夠理解數據分析在大數據時代的重要性。能夠理解數據蘊含着信息，可以通過對信息的加工，得到數據所提供的知識和規律，並用統計或概率的語言予以表達。 在交流的過程中，能夠辨明隨機現象，並運用恰當的語言進行表述。

附錄2 教學案例與評價案例 本附錄提供了一些案例，是為了幫助教師更好地理解課程標準的要求，特別是理解數學核心素養與內容、教學、評價、考試命題的關係，為教學、評價、考試命題。案例按照標準中出現的順序排列，有些案例是說明內容、教學、評價、考試命題中的一個問題，有些案例是說明兩個或兩個以上問題；有些案例體現某個數學核心素養，有些案例綜合體現了幾個數學學科核心素養，案例中素養表述的順序反映了所體現素養的主次。有些案例針對在教學過程中容易出現的一些問題，是為了幫助教師答疑解惑。每一個案例前有簡短說明，說明本案例針對的問題及其蘊含的數學核心素養，以及如何使用該案例。 案例1　藉助一元二次函數，求解一元二次不等式 【目的】學習用函數統一理解初中學過的函數、方程與不等式的聯繫，逐漸學會利用函數解決相關的數學問題，體會數學內容之間的聯繫，提升直觀想象與數學運算素養。 【情境】基於不等式，給出相應函數圖象，分析求解的程序。 【分析】以下在實數範圍內進行討論。當一個問題有不同的解決方法時，需要對這些方法進行分析、比較，選擇能夠體現數學本質的、試用範圍更廣的方法。 求解一元二次不等式通常有兩種基本方法，一種是代數方法，先對二次三項式進行因式分解，把一元二次不等式轉化為一元一次不等式組，通過求解一元一次不等式組，得到一元二次不等式的解集；另一種是函數方法，藉助一元二次函數圖象的直觀，得到求解一元二次不等式的通性通法。後者是一種程序思想方法，具體分析如下， 對於一元二次不等式，根據係數的不同，一元二次函數的圖象與軸的位置關係可以分為六類，如圖1所示。用函數方法求解的程序為：通過係數的符號，判定函數圖象開口方向，通過一元二次方程根的判別式，判定函數圖象與軸的位置關係；通過計算方程的根得到不等式的解集。

圖1 六類一元二次函數圖象 上述兩種方法的共性是都與一元二次方程的根有關，差異是函數方法考慮了函數的變化規律。因此，函數方法時具有一般性的，特別是，類比上述函數方法的思維過程，還可以討論其他類型函數的相關求解問題。 案例2　函數的概念 【目的】理解基於對應關係的函數概念，感悟函數概念進一步抽象的必要性。 【情境】在高中函數概念的教學中，為什麼要強調函數是實數集合之間的對應關係？ 【分析】初中學習的函數概念表述為：如果在一個變化過程中有兩個變量和，對於變量的每一個值，變量都有唯一的值與它對應，那麼稱是的函數。它強調的是用函數描述一個變化過程。例如，在勻速直線運動中（速度為），路程隨着時間的變化而變化，因此路程是時間的函數，記為。再如，在單價、數量、總價的關係中，總價隨着數量的變化而變化，因此總價是數量的函數，記為，通常把這樣的表述稱為函數的「變量說」。 但是，上述兩個函數自變量的單位不同，不能進行加、減等運算。若捨去其具體背景進一步抽象，可以得到一般的正比例函數為非零常數。於是，兩個正比例函數就可以進行運算了，所得結果還是一般的函數。 到了高中，函數的概念表述為：給定兩個非空實數集合A和B，以及對應關係f，若對於集合A中的每一個實數，集合B中有唯一實數與對應，則稱為集合A上的函數，這個概念更強調實數集與實數集間的對應關係，通常把這樣的表述成為函數的「對應關係說」。這樣，不同的函數可以進行加、減、乘、除等運算，函數研究的內涵和應用的範圍得以擴展。 對應關係強調的是對應的結果，而不是對應的過程。例如，藉助高中函數的表達式，可以認定函數，與函數 ，表示同一個函數。更一般地，可以判斷兩個函數是否相同：如果兩個函數的定義域相同，且相同的變量值對應的函數值也相同，那麼，這兩個函數就是同一個函數。直觀地說，如果兩個函數的圖象重合，這兩個函數是同一個函數，此外，函數，，，，，，使用的字母不同，但它們表示的是同一個函數，因為它們的定義域和對應關係分別對應相同；反之，函數，，，，的對應關係相同，但它們是不同的函數，因為它們的定義域不同。因此，函數的表達與字母的使用無關。 使用對應關係刻畫函教還有更為深刻的含義，這是因為有些函數很難用解析式表示。側如，狄利克雷函數

因此，對函數概念的進一步抽象是必要的。 註：1851年，德國數學家黎曼（Bernhard Riemanm，1826-1866）給出函數定義[1]， 假定x是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數值。如果對它的每一個值，都有未知量w的唯一的一個值與之對應，則w稱為x的函數。 人們通常稱這樣的定義為函數的「對應說」，因為定義中採用了「唯一的一個值與之對應」的說法。法國布爾巴基學派（Nicolas Bourbaki）的宗旨是在集合論的基礎上，用形式化的方法重新構建數學最基本的概念和法則。1939年，布爾巴基學派給出函數的定義[2]。（[1]Dieter Ruthing．函數概念的一些定義——從Joh．Bernoulli到N．Bourbaki[J]．數學譯林，1986，3，261 [2] Dieter Ruthing．函數概念的一些定義——從Joh．Bernoulli到N．Bourbaki[J]．數學譯林，1986，3，263） 設E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的變元x和變元y之間的一個關係稱為一個函數關係，如果對於第一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與x給定的關係。稱這樣的運算為函數，它以上述方式將與x有給定關係的元素y∈F與每一個元素x∈E相聯繫。稱y是函數在元素x處的值，函數值由給定的關系所確定。兩個等價的函數關係確定同一個函數。 人們通常稱這樣的定義為「關係說」，由此可以看到，高中函數定義的表述是黎曼對應說與布爾巴基學派關係說的融合，採納了「對應」和「關係」的表述方式。後來，有些學者把布爾巴基學派的定義進一步符號化。 設F是定義在集合X和Y上的一個二元關係，稱這個關係為函數，如果對於每一個x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得（x，y）∈F。 這樣，函數的定義九完全用數學的符號形式化了，在這個定義中，已經很難找到變量、甚至對應的影子了，進而完全擺脫了函數的物理背景。雖然這種完全形式化的定義更為一般化，卻是以喪失數學直觀為代價的，因此不適於基礎教育階段的數學教育。 案例3 引入弧度制的必要性 【目的】理解弧度制的本質是用線段長度度量角的大小，這樣的度量統一了三角函數自變量和函數值的單位；進一步理解高中函數概念中為什麼強調函數必須是實數集合與實數集合之間的對應，因為只有這樣才能進行基本初等函數的運算（四則運算、複合、求反函數等），使函數具有更廣泛的應用性。 【情境】對於三角函數的教學，為什麼初中數學通過直角三角形講述，而高中數學要通過單位圓講述？這是必要的嗎？ 【分析】基於對應關係的函數定義，要求函數是實數與實數的對應關係，稱前者的取值範圍為定義域，後者的取值範圍為值域。初中三角函數是對直角三角形中的邊角關係的刻畫，其中自變量的取值是60進位制的角度、不是10進位制的實數，不符合對應關係的函數定義。事實上，初中學習三角函數是為了解直角三角形，並不討論三角函數的基本性質。在高中階段，藉助單位圈建立角度與對應弧長的關係，用對應弧長刻畫角的大小；因為長度單位與實數單位一致，這就使得三角函數的自變量與函數值的取值都是實數，符合對應關係的函數定義。 用角度作為自變量表示三角函數，還存在着一個突出的問題，就是自變量的值與函數值不能進行運算（例如，60°與 sin 60°不能相加，阻礙了三角函數通過運算法則形成其他初等函數。此外，微積分中重要極限成立，也依賴自變量x為實數。特別是，利用三角函效能夠較好地描述鐘擺、潮汐等周期現象，這時的自變量不一定是角度，可以是時間或其他的量。通過這樣的教學，可以讓學生感悟數學抽象的層次性。 案例4 用三角面數刻面事物同期變化的實例 【目的】通過三角函數刻畫周期變化現象的實例，體會三角函數在表達和解決實際問題中的作用。 【情境】用正弦函數刻畫三種周期變化的現象：簡諧振動（單擺、彈簧等），聲波（音叉發出的純音），交變電流。 【分析】單擺、彈簧等簡諧振動可以用三角函數表達為y=Asin（ωx+φ），其中x表示時間，y表示位移，A表示振幅，表示頻率，φ表示初相位。 圖2是單擺的示意圖。點O為擺球的平衡位置，如果規定擺球向右偏移的位移為正，則當擺球到達點C時，據球的位移y達到最大值A，當擺球到達點O時，擺球的位移y為0；當擺球到達點D時，擺球的位移y達到反向最大值-A；當擺球再次到達點O時，擺球的位移y又一次為0；當擺球再次到達點C時，擺球的位移y又一次達到最大值A。這樣周而復始，形成周期變化。

音叉發出的純音振動可以用三角函數表達為y=Asin（ωx），其中x表示時間，y表示純音振動時音叉的位移，表示純音振動的頻率（對應音高），A表示純音振動的振幅（對應音強）。 交變電流可以用三角函數表達為y=Asin（ωx+φ），其中x表示時間，y表示電流，A表示最大電流，表示頻率，φ表示初相位。 圖3是交變電流產生的示意圖。線圈在勻強磁場中按逆時針方向勻速旋轉產生交變電流（電刷及迴路等部分省略），當線圈處於圖3所示的位置時，線圈中的感應電流y達到最大值A；當線圈由此位置逆時針旋轉90°後到達與此平面垂直的位置時，線圈中的感應電流y為0；當線圖繼續逆時針旋轉90°後再次到達水平位置時，線圈中的感應電流y達到反向最大值-A，當線圈繼續逆時針旋轉90°後再次到達垂直位置時，線圈中的感應電流y又一次為0；當線圈繼續逆時針旋轉90°後再次到達圖示位置時，線圈中的感應電流y又一次達到最大值A。這樣周而復始，形成周期變化。 對於這樣的案例，可以藉助計算機軟件做出動畫，形象化地說明周期變化。 案例5 函致單調性概念的抽象過程 【目的】結合實例，經歷從具體的直觀描述到形式的符號表達的抽象過程，加深對函數單調性概念的理解，體會用符號形式化表達數學定義的必要性，知道這樣的定義在討論函數單調性問題中的作用。 【情境】在初中階段，學生已經初步了解一元一次函數、反比例函數、一元二次函數的圖象具有單調性的特徵。在高中階段引入函數單調性概念時，可以從直觀認識出發，提出合適的課堂討論問題，使學生經歷函數單調性概念的抽象過程。例如，可以提出如下問題。 問題1 在初中階段已經學過一元一次函數、反比例函數、一元二次函數，請根據函數圖象（如圖4)，分別述說x在哪個範圍變化時，y隨着x的增大而增大或者減小？

圖4 一元一次方程、反比例函數、一元二次方程示意圖 問題2 在日常生活中，哪些函數關係具有上述特徵？ 問題3 如圖5，f（-2）<f（2）<f（8），能否據此得出「f（x）在[-2，8]遞增」的結論？為什麼？

問題4 依據函數單調性的定義，證明函數，x∈（2，+∞）是遞增的。 【分析】初中階段，學生是經過從直觀圖形語言到數學自然語言的過程來認識函數的單調性的。到了高中階段，需要在此基礎上進一步用符號語言來表述函數的單調性。在使用符號語言的過程中，「任意」兩字是學生遇到的一個難點，需要注意。另外，函數單調性證明過程中的運算也是一個難點。 在函數單調性概念的形成中，經歷由具體到抽象、由圖形語言和自然語言到符號語言表達的過程，發展學生的數學抽象素養。在把握函數單調性定義時，體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，發展學生的邏輯推理素養。在函數單調性證明的過程中，發展學生的數學運算素養。 案例6 利用單位圓的對稱性探索三角函數的誘導公式 【目的】藉助單位圓對稱性的幾何直觀，探索三角函數的誘導公式，提升直觀想象和邏輯推理素養。 【情境】通過單位圓定義正弦、餘弦函數，結合正弦、餘弦函數的概念繪製正弦、餘弦函數的圖象。探索正弦、餘弦函數的對稱性，得到三角函數的誘導公式。 教學片段 探索正弦、餘弦函數的對稱性。 教學過程如圖6，在單位圓中，角a的終邊與單位圓的交點記為P，角—α的終邊與單位圓的交點記為P′，通過點P與P′關於x軸成軸對稱，探索與角—α有關的誘導公式。

如圖7，在單位圓中，角α的終邊與單位圓的交點記為P，角α+π的終邊與單位圓的交點記為P′，通過點P與P關於點O成中心對稱，即角a的終邊繞點O旋轉x以後得到角a+x的終邊，探索與角α+π有關的誘導公式。 引導學生通過類比，發現其他形式的對稱性以及與旋轉變換相關的坐標關係，嘗試建立數學公式，並驗證公式的正確性。 引導學生自己給出記憶公式的方法，理解其中的道理。例如，理解「奇變偶不變、符號看象限」的含義。 【分析】重要的數學結論往往都是「看」出來的，會「看」需要直觀想象素養，誘導公式的教學內容提供了發展學生直觀想象素養的平台。以上教學設計的情境，能夠通過數學緒論的直觀背景和數學語言的清晰表達，揭示數學結論的本質，提升學生的直觀想象和邏輯推理素養。 案例7 停車距離問題 【目的】在數學建模活動中，經歷從現實問題中確定變量、探尋關係、建立模型、計算係數、分析結論的全過程，形成和發展數學建模素養。 【情境】根據現實背景，建立急剎車的停車距離數學模型，理解數學模型中係數的意義，並根據模型得到的結果，就行車安全提出建議。 數學建模活動是一個科學研究的過程，可以個人單獨進行，也可以組織研究小組共同開展。科學研究通常需要經歷選題、開題、做題、結題四個基本步驟。 選題。本案例活動的選題步驟略去。 開題。結合問題，查閱相關資料，檢索已有成果，用「頭腦風暴」的形式集思廣益，初步形成解決問題的大致思路和方案，並分析操作的可行性。嘗試撰寫開題報告。教師可以組織小組之間交流，請學生代表本小組介紹開題報告，交流反思後，改進並確定實施方案。 做題。實施建立模型、求解模型、檢驗結果的過程，寫出結題報告或寫成小論文。 結題。在班裡介紹建模過程、結果和收穫，由老師和其他同學給出評價。 【分析】本案例中，數學建模活動大體需要經歷以下幾個關鍵環節，確定影響停車距離的主要因素。例如，停車距離與剎車前汽車行駛的速度有關；與駕駛人員的反應時間有關，因人而異，與車輛的剎車性能有關，因車而異，還與道路狀況、天氣狀況等一些隨機因素有關。構建數學模型需要確定最為關鍵的因素，例如，在高速公路上，如果汽車剎車性能良好，則主要考慮前兩個因素。 第二，建立急剎車的停車距離模型。由上面的分析，可以得到一個用生活語言表述的模型： 停車距離-反應距離+制動距離。① 設d表示停車距離，d1表示反應距離，d2表示制動距離，用數學符號把上述模型表示為d=d1+d2。為了得到d1和d2的具體表達式，可以作下面的假設。 關於反應距離，假設反應距離是反應時間和汽車速度的函數。反應時間是指司機意識到應當急剎車到實施剎車所需要的時間，汽車速度是指司機在實施急剎車之前汽車的速度。在一般情況下，反應距離d1與反應時間t和汽車速度v都成正比，把這個關係表示為d1=αtv，其中α為正的特定係數。在現實生活中，可以知道反應時間t>0，但很難確定具體數值。因此，最終只能確認反應距離與汽車速度成正比，即把這個關係寫成d1=αv，可以認為用α替代了αt。 關於制動距離，假設剎車受力大小近似等於汽車輪胎與路面的摩擦力，制動距離是剎車受力與汽車速度的函教。 若F表示剎車受力，則汽車急剎車時所作的功為Fd1。根據能量守恆定律得Fd2=，其中m是汽車質量。另一方面，如果意剎車時的加速度是a，再根據牛頓第二定律得F=ma。綜合上面兩個式子，可以得到mad2=，即制動距離d2=。也就是說，制動距離與汽車速度平方成正比：d2=βv2，其中β是待定參數。依據①式，得 d=d1+d2=αv+βv2，② 第三，確定參數，計算求解。模型中的參數是至關重要的，一般來說不可能通過理論計算得到，因為在構建模型的過程中有許多因素沒有也不可能考慮清楚。在現實模型中，參數值通常是通過統計方法得到的，是通過現實數據估計出來的。大體上有三種方法可以得到現實數據：調查、實驗和試驗。 為了估計急剎車的停車距離模型中的參數，需要通過試驗的方法得到現實數據。表1是美國公路局公布的試驗數據[1]，通過正比例關係d1=αv和d2=βv2，可以計算出表1每一行中相應的α和β的值。它們的平均數分別為α=0.21，β=0.006，這組數據可以作為對參數α，β的一種估計。於是，通過試驗數據得到了停車距離模型 d=0.21v+0.006v2。③ 表1 通過試驗觀察到的反應距離、制動距高與停車距離

（[1]Frank R．Giordano，Maurice D．Weir，Willam P．Fox．數學建模[M]．葉其孝，姜啟源，等譯．3版．北京；機械工業出版社，2005：57-58． 說明：原始數據的單位是英里、英尺，通過計算得到的參數α和β的值分別為1.1和0.054。為了便於理解，此處把距離單位換算為千米、米，相應的參數值也有了變化。） 從③式可以看到，汽車停車距離模型是汽車速度的二次函數，因此從數學應用的角度可以認為，函數是構建數學模型的有力工具。 由於模型中的參數來源於實際，在一般情況下，這個模型能夠經受實踐的檢驗。因此，急剎車的停車距離模型③普遍應用於汽車剎車設計和路面交通管理。 為了便於查閱，除了構建模型、製作表格外，人們也給出直觀圖形。圖8直觀地給出了急剎車的停車距離模型。

案例8 「指數爆炸」的感知和理解 【目的】通過觀察、計算（可利用作圖、計算工具），體會冪函數、指數函數、對數函數增長速度的差異，感知和理解「指數爆炸」的含義。 【情境1】使用工具進行計算,感知「指數爆炸」的含義。 【分析】課程標準中提到了「指數爆炸」這個名詞。如果局限於紙筆運算,在課堂上可以讓學生計算整數底數的某些冪。如果藉助計算工具,可以先讓學生計算1.01的平方和立方,進而提出問題：猜測大概是多少?同樣,可以讓學生猜測的值。實際上,它們的數值分別為：

這樣的學習方式,不僅使學生能夠直觀感知「指數爆炸」的含義,還能幫助學生理解底數對冪的影響。能夠幫助學生建立對指數函數變化的直觀認識,底數大於1時,隨着指數的增大冪變大；底數小於1時,隨着指數的增大冪變小。 【情境2】藉助計算機進行作圖,對指數函數、對數函數、冪函數的增長速度進行比較校,進一步理解「指數爆炸」的含義。 【分析】可以讓學生利用計算機作圖工具,畫出的函數圖象,通過比較圖象,分析這四個函數增長的快慢。特別是當x值比較大的時候,直觀感知這四個函數值的差異。 進一步,讓學生通過與圖象之間的比較、與圖象之間的比較,形成更一般的猜想。例如,交點的個數、變化的差異等。 藉助這樣的素材進行教學,可以讓學生體會指數函數、冪函數、對數函數增長速度的差異,比較這三種函數的變化勢；經歷通過圖形建立直觀猜想、通過計算驗證結論的思維與操作過程,提升學生的直觀想象和邏輯推理素養。 案例9 向量投影 【目的】理解投影的作用,體會投影是構建高維空間與低維空間之間聯繫的橋梁,形成直觀想象,了解投影與數量積運算規則的關係,體會「特殊情況」與「一般情況」的相互作用,提升邏輯推理素養。 【情境】空間向量向平面投影、向直線投影,一個向量向另一個向量投影,向量投影有什麼意義和作用? 【分析】向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的是低維空間向量,這裡是指正交變換。在高中數學中,如圖9(1),在空間中,向量向平面投影得到的是與平面x平行的向量;如圖9(2),在空間中,向量向直線l投影得到的是與直線l平行的向量;如圖9(3)，在空間中,向量向向量的投影,是指向量向與向量共線的向量構成的子空間的投影,得到的是與向量共線的向量。向量稱為投影向量。

如圖9(1),不難看出,向量與向量垂直。這就意味着，當向量與向量起點相同時,終點間的距離最小。此時,三個向量,和構成一個直角三角形,藉助勾股定理,可以通過幾何直觀更好地理解向量投影的本質。以上分析適用於高維空間到低維空間的正交投影。 向量標準正交分解定理是投影作用的另一個重要體現。如圖10,給定標準正交基,設向量在上的投影向量分別為,則。顯然,，,是向量在標準正交基下的坐標。

案例10 複數的引入 【目的】了解複數概念形成的重要發展階段,體會其中的理性思維、創新精神和數學文化。 【情境】複數的產生大致經歷了以下過程。 在古希臘學者丟番圖時代，人們已經知道一元二次方程式有兩個根，但其中有一個根為虛數時，寧可認為方程不可解。直到16世紀，人們普遍認同丟番圖的辦法。

虛數（imaginary）這個名稱是法國哲學家、數學家笛卡兒給出的，寫在1637年出版的《幾何》[2] （[1]書名原文為「Ars Magne（The Great Art）」）。本文參照：M·克萊因.數學，確定性的喪失[M].李宏魁，譯.長沙；湖南科學技術出版社，1999.[2]R·笛卡爾.幾何[M].袁向東，譯.武漢：武漢出版社，1992.）中。歐拉第一個使用符號i表示虛數，寫在1777年提交給聖彼得堡科學院的論文中，這篇論文直到1794年才發表。 只有給出複數的幾何表示，人們才真正感覺到了複數的存在，才心安理得地接受了複數。1797年，丹麥測量學家韋塞爾在丹麥皇家科學院宣讀了一篇關於複數的論文，文中引入了虛軸、並把複數表示為平面向量。但直到100年後的1897年，韋塞爾的丹麥文的論文被翻譯為法文後，複數幾何表示的工作才引起數學界的廣泛重視。瑞士數學家阿爾岡把複數對應的向量的長度稱為模，寫在1806年出版的著作《試論幾何作圖中虛量的表示法》中，他還進一步利用三角函數表示複數。 現在，複數已經被廣泛應用於流體力學、信號分析等學科，因此複數有着深厚的物理背景。在複數的基礎上，英國數學家哈密頓構造了四元數，並導致了物理學中著名的麥克斯韋方程的產生。 【分析】在數學史上，虛數以及複數概念的引入經歷了一個曲折的過程，其中充滿着數學家的想象力、創造力和不屈不饒、精益求精的精神。由此，在複數概念的教學中，可以適當介紹歷史發生發展過程，一方面可以讓學生感受數學的文化和精神，另一方面也有助於學生理解複數的概念和意義。 如何將數學史融入中小學的數學教學是數學教育領域的一個重要課題。通過數學概念和思想方法的歷史發生發展過程，一方面可以使學生感受豐富多彩的數學文化，激發數學學習的興趣；另一方面也有助於學生對數學概念和思想方法的理解。數學史在數學課堂中的融入方式可以是多種多樣的，相關的網絡資源也十分豐富，教師應該根據教學的需要選擇合適的資料和教學方式。 案例11　正方體截面的探究 【目的】結合正方體截面設計的問題串，引導學生完成探究、發現、證明新問題的過程，積累數學探究的經驗。 【情境】用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什麼樣的？啟發學生提出逐漸深入的系列問題，引導學生進行逐漸深刻的思考。學生可以自主或在教師引導下提出一些問題,例如: （1）給出截面圖形的分類原則,找到截得這些形狀截面的方法,畫出這些截面的示意圖。例如。可以按照截面圖形的邊數進行分類（如圖11）。

（2）如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什麼？ （3）如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什麼？ （4）還能截出哪些多邊形？為什麼？ 然後進一步探討： （5）能否截出正五邊形？為什麼？ （6）能否截出直角三角形？為什麼？ （7）有沒有可能截出邊數超過6的多邊形？為什麼？ （8）是否存在正六邊形的截面？為什麼？ 最後思考： （9）截面面積最大的三角形是什麼形狀的三角形？為什麼？ 【分析】這是一個跨度很大的數學問題串，可以針對不同學生，設計不同的教學方式，通過多種方法實施探究。例如，可以通過切蘿蔔塊觀察，啟發思路；也可以在透明的正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時的液體表面的形狀；還可以藉助信息技術直觀快捷地展示各種可能的截面。但是，觀察不能代替證明。探究的難點是分類找出所有可能的截面，並證明哪些形狀的截面一定存在或一定不存在。可以鼓勵學生通過操作觀 察，形成猜想，證明結論。經歷這樣逐漸深入的探究過程，有利於培養學生發現問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力，在具體情境中提升直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養，積累數學探究活動經驗。 案例12　投擲骰子問題 【目的】理解樣本點、樣本量、有限樣本空間的概念，以及有限樣本空間中隨機事件的相關運算，理解隨機時間的表達，體會隨機思想。 【情境】將一枚均勻骰子相繼投擲兩次，請回答以下問題： （1）寫出樣本點和樣本空間； （2）用A表示隨機事件「至少有一次擲出1點」，試用樣本點表示事件A； （3）用表示隨機事件「第一次擲出1點，第二次擲出點」，用B表示隨機事件「第一次擲出1點」，試用隨機事件表示隨機事件B； （4）用C表示隨機事件「點數之和為7」，並求C發生的概率。 【分析】上述四個問題，依次分析如下： （1）首先確定樣本點，用1，2，3，4，5，6表示擲出的點數，用（i，j）表示「第一次擲出i點，第二次擲出j點」，則相繼投擲兩次的所有可能結果如下： （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 注意到（1，2）和（2，1）是不同的樣本點，分別表示「第一次擲出1點，第二次擲出2點」和「第一次擲出2點，第二次擲出1點」這兩個隨機事件，因此樣本空間共有36個樣本點。把每個樣本點稱為基本事件。樣本空間為

。 （2）因為隨機事件A＝ 「至少有一次擲出1點」，則A包括上述樣本空間中所有出現1的樣本點，因此 。 （3）。因為這些事件任何一個發生事件B就發生，所以。 （4）因為，包括6個樣本點，樣本空間共有36個樣本點，所以。 通過上面的討論可以看到，樣本空間只與問題的背景有關。 案例13 分層抽樣 【目的】理解分層隨機抽樣的特點,了解分層隨機抽樣的應用,探索快速、有效計算分層抽樣數據均值和方差的方法。 【情景】在大數據時代,常常需要匯總分析來自不同層次的數據。例如,基於來自不同部門或者不同時期數據的均值和方差,計算全部數據的均值和方差。請看下面的例子。 某學校有高中學生有500人，其中男生320人，女生180人。希望獲得全體高中學生身高的信息。按照分層抽樣原則抽取了樣本,通過計算得到男生身高樣本均值為173.5 cm,方差為17，女生身高樣本均值為163.83 cm,方差為30.03。請回答以下問題： (1)根據以上信息,能夠計算出所有數據的樣本均值嗎?為什麼? (2)應當如何計算所有數據的樣本均值和方差? 【分析】按照傳統的統計方法,需要把所有的數據收集到一起進行計算。但是,在大數據時代,不僅數據量非常龐大,而且要求非常迅速地提供數據結論,因此不可能把所有的數據都收集好以後再進行計算,需要創造更為簡捷的方法。以上述問題為例進行分析。 (1)假設所有樣本身高的均值為,根據男女生的分層方法和樣本均值的定義,可以得到下面的關係式：

。 從上面的分析可以知道,僅僅依賴問題中提供的信息不能得到所有數據的樣本均值,因為缺少男生樣本量和女生樣本量。因此，在提供分層樣本均值的基礎上,還需要知道分層的樣本量,或知道男生樣本量權重、女生樣本量權重。 (2)假設男生樣本量為32,女生樣本量為18.記男生樣本為,均值為,方差為;記女生樣本為,勢值為,方差為，所有數據樣本均值為,方差為。樣本總量為50。 先求所有數據的樣本均值。根據樣本均值的定義, 。 雖然數據和是未知的，但在上面的計算中，只需要樣本數據之和，這可以通過樣本均值和樣本量的乘積得到，即

所以

。 下面計算所有數據的樣本方差，根據方差的定義，

因為其中的數據是未知的，根據同樣的道理，需要把上面的式子轉化為各層樣本方差、樣本均值和樣本量的函數。可以計算如下。

其中

同理 。 於是

。 【拓展】如果將總體分為k層,第j層抽取的樣本為,第j層的樣本量為,樣本均值為，樣本方差為，j=1,2,…,k。記,所有數據的樣本均值和方差為 ， 。 註：無論總體是分為兩層還是分為多居,計算方法沒有實質性差異。但需要注意的是,當層次較多時數學符號的表達比較複雜,要充分考慮到學生的理解能力。 這樣的問題是有普遍現實意義的。例如,針對某個問題,不同網站提供了各自調查的樣本均值和方差,應當如何得到所有數據的樣本均值和方差?再如,針對某個問題,連續幾天收集數據,得到了每天數據的樣本均值和方差,應當如何得到這幾天所有數據的樣本均值和方差? 案例14 階梯電價的設計 【目的】通過生活中的實例,理解百分位數的統計含義及其應用,讓學生體會用統計方法解決實際問題的全過程。 【情境】為了實現綠色發展，避免浪費能源，某市政府計劃對居民用電採用階梯式收費的方法。為此，相關部門在該市隨機調查了200戶居民六月份的用電量（單位：kW·h），以了解這個城市家庭用電量的情況。數據如下： 107 101 78 99 208 127 74 223 31 131 214 135 89 66 60 115 189 135 146 127 203 97 96 62 65 111 56 151 106 8 162 91 67 93 212 159 61 63 178 194 194 216 101 98 139 78 110 192 105 96 22 50 138 251 120 112 100 201 98 84 137 203 260 134 156 61 70 100 72 164 174 131 93 100 163 80 76 95 152 182 88 247 191 70 130 49 114 110 163 202 265 18 94 146 149 147 177 339 57 109 107 182 101 148 274 289 82 213 165 224 142 61 108 137 90 254 201 83 253 113 130 82 170 110 108 63 250 237 120 84 154 288 170 123 172 319 62 133 130 127 107 71 96 140 77 106 132 106 135 132 167 82 258 542 51 107 69 98 72 48 109 134 250 42 320 113 180 144 116 530 200 174 135 160 462 139 133 304 191 283 121 132 118 134 124 178 206 626 120 274 141 80 187 88 324 136 498 169 77 57 根據以上數據，應當如何確定階梯電價中的電量臨界值，才能使得電價更為合理？ 【分析】選取六月份進行調查，是因為這個城市六月份的部分時間需要使用空調，因此六月份的用電量在12個月中處於中等偏上水平，如果階梯電價臨界值的確定依賴於居民月用電量的分布，例如計劃實施3階的階梯電價，有人給出一個分布如下：75%用戶在第一檔（最低一檔），20%用戶在第二檔，5%用戶在第三檔（最高一檔）。這樣需要通過樣本數據估計第一檔與第二檔、第二檔與第三檔的兩個電量臨界值，即75%和95%這兩個電量臨界值。 通過樣本估計總體百分位數的要領是對樣本數據進行排序，得到有序樣本（在統計學中稱之為順序統計量）。利用電子表格軟件，對上面的樣本數據進行排序，可以得到下面的結果： 8 18 22 31 42 48 49 50 51 56 57 57 60 61 61 61 62 62 63 63 65 66 67 69 70 70 71 72 72 74 76 77 77 78 78 80 80 82 82 82 83 84 84 88 88 89 90 91 93 93 94 95 96 96 96 97 98 98 98 99 100 100 100 101 101 101 105 106 106 106 107 107 107 107 108 108 109 109 110 110 110 111 112 113 113 114 115 116 118 120 120 120 121 123 124 127 127 127 130 130 130 131 131 132 132 132 133 133 134 134 134 135 135 135 135 136 137 137 138 139 139 140 141 142 144 146 146 147 148 149 151 152 154 156 159 160 162 163 163 164 165 167 169 170 170 172 174 174 177 178 178 180 182 182 187 189 191 191 192 194 194 200 201 201 202 203 203 206 208 212 213 214 216 223 224 237 247 250 250 251 253 254 258 260 265 274 274 283 288 289 304 319 320 324 339 462 498 530 542 626 樣本數據總共有200個，其中最小值是8，最大值是626，說明200戶居民六月份的最小用電量為8 kW·h，最大用電量為626 kW·h，極差為618。初中統計內容中學過中位數，相當於50%分位數。因為數據量是200，那麼這組數據的樣本中位數就是有序樣本第100個數和第101個數的平均數，即130，說明這個城市六月份居民用電量的中間水平在130 kW·h左右。 下面確定75%和95%這兩個電量臨界值。類似中位數的計算，因為200×75% = 150，所以第一個臨界值為有序樣本中第150個數178和第151個數 178的均值，仍然是178。因為200×95% = 190，所以第二個臨界值為有序樣本中第190個數289和第191個數304的平均數，這個平均數為296.5（因為是對百分位數的估計，估計值可以是289和304之間任何一個數，為了便於操作可以取值為297）。 依據確定了的電量臨界值，階梯電價可以規定如下：用戶每月用電量不超過178kW·h（或每年用電量不超過2136kW·h），則按第一檔電價標準繳費；每月用電量（單位：kW·h）在區間內（或每年用電量在區間內），其中的178kW·h按第一檔電價標準收費，超過178kW·h的部分按第二檔電價標準收費；每月用電量超過297kW·h（或每年用電量超過3 564kW·h），其中的178kW·h按第一檔電價標準收費，（297–178=）119kW·h按第二檔電價標準繳費，超過297kW·h的部分按第三檔電價標準繳費。 社會上對這種制定階梯電價的原則和方法存在不同意見，教師可以引導學生討論制定合理階梯電價的原則和方法。 案例15測量學校內、外建築物的高度 【目的】運用所學知識解決實際測量高度的問題，體驗數學建模活動的完整過程。組織學生通過分組、合作等形式，完成選題、開題、做題、結題四個環節。（關於本案例的評價部分參看案例19） 【情境】給出下面的測量任務： （1）測量本校的一座教學樓的高度； （2）測量本校的旗杆的高度； （3）測量學校牆外的一座不可及，但在學校操場上可以看得見的物體的高度。 可以每2〜3個學生組成一個測量小組，以小組為單位完成；各人填寫測量課題報告表（見表2)，一周後上交。 表2測量課題報告表 項目名稱：___________________ 完成時間：___________________ 1.成員與分工 姓名 分工

2.測量對象 例如，某小組選擇的測量對象是：旗杆、教學樓、校外的XX大廈。

3.測量方法（請說明測量的原理、測量工具、創新點等）

4.測量數據、計算過程和結果（可以另外附圖或附頁）

5.研究結果（包括誤差分析）

6.簡述工作感受

【教學過程】 教師可以對學生的工作流程提出如下要求和建議。 （1）成立項目小組，確定工作目標，準備測量工具。 （2）小組成員查閱有關資料，進行討論交流，尋求測量效率高的方法，設計測量方案（最好設計兩套測量方案）。 （3）分工合作，明確責任。例如，測量、記錄數據、計算求解、撰寫報告的分工等。 （4）撰寫報告，討論交流。可以用照片、模型、 PPT等形式展現獲得的成果。 根據上述要求，每個小組要完成以下工作。 （1）選題 本案例活動的選題步驟略去。 （2）開題 可以在課堂上組織開題交流，讓沒一個項目小組陳述初步測量的方案，教師和其他同學可以提出質疑。例如： 如果有學生提出要測量仰角來計算高度，教師可以追問：怎麼測量？用什麼工具測量？目的是提醒學生，事先設計出有效的測量方法和實用的測量儀器。 如果有學生提出要通過測量太陽的影長計算高度，教師可以追問： 幾時測量比較好？如果學生提出比較測量物和參照物的影長時，教師可以追問：是同時測量好，還是先後測量好？目的是提醒學生注意測量的細節。 如果有學生提出用照相機拍一張測量對象和參照物（如一個已知身高的人) 的合影，通過參照物的高度按比例計算出樓的高度。教師可以追問：參照物應該在哪裡？與測量對象是什麼位置關係？目的是提醒學生注意現實測量與未來計算的關聯。 在討論的基礎上，項目小組最終形成各自的測量方案。討論的目的是讓學生仔細想清楚測量過程中將使用的數學模型，這樣可以減少實踐過程中的盲目性，培養學生良好的思維習慣；同時可以讓學生意識到，看似簡單的問題，也有許多需要認真思考、認真對待的東西，促進科學精神的形成。 （3）做題 一句小組的測量方案實時測量。儘量安排各個小組在同一時間進行測量，這樣有利於教師的現場觀察和管理。教師需要提醒學生，要有分工、合作、責任落實到個人。 在測量過程中，教師要認真巡視，記錄那些態度認真、合作默契、方法恰當的測量小組和個人，供講評時使用。特別要注意觀察和發現測量中出現的問題，避免因為測量方法不合理產生較大誤差，當學生出現類似的問題時，教師要把問題看做極好的教育契機，啟發學生分析原因，引導他們發現出現問題的原因、尋求解決問題的辦法。 （4）結題 在每一位學生都完成「測量報告」後，可以安排一次交流講評活動，遴選的交流報告最好有鮮明的特點，如測量結果準確，過程完整清晰，方法有創意，誤差處理得當，報告書寫規範等；或者測量的結果出現明顯誤差，使用的方法不當。交流講評往往是數學建模過程中最為重要的環節，可以使學生在這一過程中相互借鑑，共同提高。（有關測量評價的討論參見案例19) 【分析】測量高度是傳統的數學應用問題，這樣的問題有助於培養學生分析解決問題、動手實踐、誤差分析等方面的能力。測量模型可以用平面幾何的方法，例如，比例線段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考慮自由落體的時間；等等.應鼓勵學生在合作學習的基礎上，自主設計、自己選擇測量方法解決問題。 這樣的教學活動，因為問題貼近學生的生活，學生比較容易上手、採用選題、開題、做題、結題四個環節實施數學建模活動，能夠使學生在做中學、在學中做，從中體會數學的應用價值，並且展現個性，嘗試創新。 【拓展】鼓勵學生提出新的問題，積累數學建模資源。例如： 1.本市的電視塔的高度是多少米？ 2.—座高度為H m的電視塔，信號傳播半徑是多少？信號覆蓋面積有多大？ 3.找一張本市的地圖，看一看本市的地域面積有多少平方千米？電視塔的位置在地圖上的什麼地方？按照計算得到的數據，這座電視塔發出的電視信號是否能覆蓋本市？ 4.本市（外地）到北京的距離有多少千米？要用一座電視塔把信號從北京直接發送到本市，這座電視台的高度至少要多少米？ 5.如果採用多個中繼站的方式，用100 m高的塔接力傳輸電視信號， 問從北京到本地至少要建多少座100 m高的中繼傳遞塔？ 6.考慮地球大氣層和電離層對電磁波的反射作用，重新考慮問題2， 4，5。 7.如果一座電視塔（例如300 m高)不能覆蓋本市，請你設計一個多塔覆蓋方案。 8.至少發射幾顆地球定點的通訊衛星，可以使其信號覆蓋地球？ 9.如果我國要發射一顆氣象監測衛星，監測我國的氣象情況，請你設計一個合理的衛星定點位置或衛星軌道。 10. 在網上收集資料，了解有關「北斗衛星導航系統」的內容，在班裡做一個相關內容的綜述，並發表對這件事的看法。 案例16 用向量方法研究距離問題 【目的】針對距離問題，通過幾種研究方法的比較，提煉解決問題的通行通法。在教師的指導下，學生經歷梳理知識、提煉方法、感悟思想的研究過程，提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養。這樣的教學可以為空間向量與立體幾何的複習課提供素材。 【情境】在「幾何與代數」內容的闡述中強調：「通過幾何圖形建立直觀，通過代數公式表達規律。」正如希爾伯特所說[1]。（[1]摘自希爾伯特1900年在巴黎第二屆國際數學家代表大會上演說《數學問題》，刊在《美國數學會通報》卷8,1902。譯文參見：康斯坦絲·瑞德。希爾伯特：數學世界的亞歷山大[M]。袁向東，李文林，譯，上海：上海科學技術出版社，2003，116。） 算術符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖象化的公式。沒有一個數學家能缺少這些圖象化的公式，正如在數學演算中他們不能不使用加、脫括號的操作或其他的分析符號一樣。 距離問題是培養學生直觀想象、邏輯推理和數學運算素養的很好的載體。在基礎教育階段涉及的距離問題主要有：兩點間距離，點到直線距離，平行線之間距離，點到平面距離，直線到平面距離，平行平面之間距離，異面直線之間的距離 (選修)。 計算距離可以用綜合幾何方法，也可以用解析幾何方法，還可以用向量方法。 教學片段1：梳理求平面上點到直線距離的幾種方法。 綜合幾何方法。給定過點A，C的直線l，B為直線l外一點，求點B 到直線l的距離。因為過點A，B，C可以得到一個平面上的三角形，因此求距離就等價於求三角形的高。基本思路是：用餘弦定理確定∠A，再用正弦函數值求出AC邊上的高。 解析幾何方法。建立平面直角坐標系，確定點B的坐標和過點A，C 的直線l的方程，然後求點B到直線l的距離。基本思路是：求與直線l垂直的直線的斜率，再求過點B的點斜式直線方程，最後求這兩條相互垂直直線的交點。交點與點B的距離就是點B到直線l的距離。 向量方法：建立平面直角坐標系，確定點B的坐標和過點A，C 的直線l的法向量， 求點B到直線l的距離。基本思路是：求向量到法向量的投影向量，投影向量的長度就是所要求的距離。 教學片段2：比較求點到平面距離和求兩條異面直線距離的向量方法。 點到平面距離。用向量方法求點B到平面距離基本思路：確定平面法向量，在平面內取一點A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的長度即為所要求的距離。 異面直線距離。用向量方法求異面直線距離基本思路：求出與兩條直線的方向向量都垂直的法向量；在兩條直線上分別取點A和B，求向量到法向量的投影向量，投影向量的長度即為所要求的距離。 【分析】對於上述兩個片段，可以歸納出下面的結論。 片段1 通過處理距離問題三種方法的對比，可以得到垂直反映了距離的本質，垂直意味着線段長度最短，藉助勾股定理可以直觀、準確地揭示這個本質， 兩點間距離公式以及向量投影都可以看作是勾股定理的應用。可以讓學生在比較的過程中分析不同方法的共性與差異，進而發現解決問題的關鍵。 片斷2 無論是對於平面還是直線，法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現了幾個圖形直觀，又提供了代數定量刻畫。在這個過程中向量與起點無關的自由性為求距離帶來很大的便利。歸納用向量研究上述距離問題的方法，可以得到通性通法，即程序思想方法： 第一步，確定法向量； 第二步，選擇參考向量； 第三步，確定參考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的長度。 通過以上分析，可以體會藉助幾何直觀的必要性。可以啟發運算思路，甚至可以得到解決問題的程序。程序思想方法具有解決一類數學問題的功能，是計算（特別是運用計算機進行計算）的基本思想方法。 【拓展】引導學生用向量方法給出空間所有距離的求解程序，引導學有餘力的學生查閱高等數學中有關的距離問題。 案例17 二項式定理 【目的】根據多項式相乘的運算法則，探索二項式定理的構造性證明，體會運算法則的作用。感知運算是一種嚴格的邏輯推理，通過一般性運算可以發現和提出命題、掌握推理的基本形式和規則、探索和表述論證的過程，發展數學運算素養。 【情境】探索二項式定理的構造性證明。 【分析】首先，讓學生分析得到公式的運算過程。

。 中間的兩個步驟利用「乘法對加法的分配律」，得到的每一項都是關於a，b的二次項；最後一步利用「乘法交換律」合併同類項。在此基礎上，還可以進一步分析得到公式的運算過程，中間步驟得到的每一項都是關於a，b的三次項；最後一步依然利用「乘法交換律」合併同類項。嘗試讓學生歸納出多項式相乘的規律，然後運用規律推出二項式定理。例如下面的過程。 1.求出每一項。因為是n個（a+b）相乘，根據多項式相乘的規律，展開式中的每一項都是一個n次項，具有形式，其中0，1，2，…，n。 2.合併同類項。需要計算形如同類項的個數。由於k個b來自不同的k個二項式（a+b），個a來自剩餘的個二項式（a+b），因此同類項的個數是組合數。 3.得到展開式。根據加法原理，可以得到二項式的展開式為 =， 即. 【拓展】通過類比的方法，探索概率中的二項分布。 案例18　楊輝三角 【目的】通過楊輝三角，了解中華優秀傳統文化中的數學成就，體會其中的數學文化。 【情境】圖12中的表稱為楊輝三角，它出現在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中。這是我國數學史上的一個偉大成就。

【分析】楊輝三角有許多重要性質。 1．每行兩端的數都是1。 2．第n行的數字有n個。 3．第n行的第m個數可表示為，且（a+b）n的展開式中的各項係數依次對應楊輝三角的第n+1行中的各項。 4．每行數字左右對稱，即第n行的第m個數與第n行的第n-m+1個數相等。 5．相鄰的兩行中，除1以外的每個數等於塔「肩上」兩數的和，即第n+1行的第i個數等於第n行的第i-1個數與第i個數的和，可表示為，其中2≤i≤n。可用此性質寫出整個楊輝三角。 6．第n行數字和為2n-1。 案例19　測量學校內、外建築物的高度項目的過程性評價 【目的】本案例是案例15的深化。給出過程性評價，體現如何讓學生在交流過程中展現個性、學會交流、歸納總結，發現問題、積累經驗、提升素養。 【評價過程】在每一個學生都完成「測量報告」後，安排交流講評活動。安排講評的報告應當有所側重。例如，測量結果準確，測量過程消晰，測量方法有創意，誤差處理得當，報告書寫認真等；或誤差明顯而學生自己沒有察覺，測量過程中構建的模型有待商榷等。事實表明，這種形式的交流講評，往往是數學建模過程中學生收穫最大的環節。 附件：某個小組的研究報告的展示片段摘錄。 測量不可及「理想大廈」的方法 1．兩次測角法 （1）測量並記錄測量工具距離地面h m； （2）用大量角器，將一遍對準大廈的頂部，計算並記錄仰角α； （3）後退am，重複（2）中的操作，計算並記錄仰角β； （4）樓高x的計算公式為： ， 其中α，β，a，h如圖13所示．

2．鏡面反射法 （1）將鏡子（平面鏡）置於平地上，人後退至從鏡中能夠看到房頂的位置，測量人與鏡子的距離； （2）將鏡子後移a m，重複（1）中的操作； （3）樓高x的計算公式為 ， 其中a1，a2是人與鏡子的距離，a是兩次觀測時鏡面之間的距離，h是人的「眼高」，如圖14所示。根據光的反射原理，利用相似三角形的性質聯立方程組，可以得到這個公式。

實際數據測量和計算結果，測量誤差簡要分析： （1）兩次測角法 實際測量數據： 第一次 第二次 仰角 67° 52° 後退距離為25 m，人的「眼高」為1.5 m，計算可得理想大廈的高度約為71.5 m，結果與期望值（70 m~80 m)相差不大。誤差的原因是鉛筆在紙板上畫出度數時不夠精確。減少誤差的方法是幾個人分別測量高度及仰角，再求平均值，誤差就能更小。 （2）鏡面反射法 實際測量數據： 第一次 第二次 人與鏡子的距離 3.84 m 3.91 m 鏡子的相對距離為10 m，人的「眼高」為1.52 m。計算可得理想大廈的高度約為217 m，結果與期望值相差較大。 產生誤差有以下幾點原因： 鏡面放置不能保持水平； 兩次放鏡子的相對距離太短，容易造成誤差； 人眼看鏡內物像時，兩次不一定都看準鏡面上的同一個點； 人體不一定在兩次測量時保證高度不變。 綜上所述，要做到沒有誤差很難，但可以通過某些方式使誤差更小，我們準備用更多的測量方法找出理想的結果。 對上面的測量報告，教師和同學給出評價。例如，對測量方法，教師和同學評價均為「優」，因為對不可及的測量對象選取了兩種可行的測量方法；對測量結果，教師評價為「良」，同學評價為「中」，因為兩種方法得到的結果相差較大。 對測量結果的評價，教師和同學產生差異的原因是，教師對測量過程的部分項目實施加分，包括對自製測量仰角的工具等因素作了誤差分析；同學則進一步分析產生誤差的主要原因，包括： （1）測量工具問題。兩次測角法的同學，自製量角工具比較粗糙，角度的刻度誤差較大；鏡面反射法的同學，選用的鏡子尺寸太大，造成鏡面間距測量有較大誤差。 （2）間距差的問題。這是一個普通的問題。間距差a值是測量者自己選定的，因為沒有較長的捲尺測量距離，有的同學甚至選間距差a是1 m。由於間距太小，兩次測量的角度差或者人與鏡的距離差太小，最終導致計算結果產生巨大誤差。當學生意識到了這個問題後，他們利用運動場100 m跑道的自然長度作為間距差a，使得測量精度得到較大提高。 （3）不少學生用自己的審稿代替「眼高」，反映了學生沒有很好地理解測量過程中的「眼高」應當是測量的高度，如照片所示。 在結題交流過程中，教師通過測量的現場照片，引導學生發現問題，讓學生分析測量誤差產生的原因。學生們在活動中意識到，書本知識和實踐能力的聯繫與轉化是有效的學習方式。 測量現場的照片和觀察說明：

【分析】建模活動的評價要關注結果，更要關注過程。 對測量方法和結果的數學評價可以占總評價的60%，主要由教師作評價。評價依據是現場觀察和學生上交的測量報告，關注的主要評價點有： （1）測量模型是否有效； （2）計算過程是否清晰準確，測量結果是否可以接受； （3）測量工具是否合理、有效； （4）有創意的測量方法（可獲加分）； （5）能減少測量誤差的思考和做法（可獲加分）； （6）有數據處理的意識和做法（可獲加分）； …… 非數學的評價可以占總評價的40%，主要評價點有： （1)每一名成員在小組測量和計算過程中的工作狀態； （2）測量過程中解決困難的機智和辦法； （3）討論發言、成果匯報中的表現等。 非數學的評價主要是在同學之間進行，可以要求學生給出本小組以外其他匯報小組的成績，並寫出評價的簡單理由。 案例20　函數圖象 【目的】說明數學抽象素養的表現和水平，體會評價「在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則」的滿意原則和加分原則。 【情境】學校宿舍與辦公室相距a m。某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發，先勻速跑步3 min來到辦公室，停留2 min，然後勻速步行10 min返回宿含。在這個過程中，這位同學行進的速度和行走的路程都是時間的函數，畫出速度函數和路程函數的示意圖。 【分析】回顧課程標準的要求，在實際情境中能夠用圖象揭示圖數性質，整體反映函數的基本特徵。本題答案的示意圖如圖15所示。解答本題時，能給出速度函數或路程函數的大部分示意圖，根據滿意原則，可以認為達到數學抽象素養水平一的要求；能夠完整畫出速度函數和路程函數示意圖（二者自變量一致），可以認為達到數學抽象素養水平二的要求。這個問題也可以考查直觀想象等素養。

案例21 傳令兵問題 【目的】說明數學抽象素養的表現和水平，體會評價「分析數學命題的條件與結論，在具體的情境中抽象出數學問題」的滿意原則和加分原則。 【情境】有一支隊伍長Lm，以速度v勻速前進。排尾的傳令兵因傳達命令趕赴排頭，到達排頭後立即返回，往返速度不變。回答下列問題： （1）如果傳令兵行進的速度為整個隊伍行進速度的2倍，求傳令兵回到排尾時所走的路程； （2）如果傳令兵回到排尾時，全隊正好前進了Lm，求傳令兵行走的路程。 【分析】正確給出（1）的解答，可以認為達到數學抽象素養水平一的要求；正確給出（2）的解答，可以認為達到數學抽象素養水平二的要求。這個問題也可以考查邏輯推理、數學運算等素養。本題可以作如下解答。 （1）傳令兵往返速度為2v，從排尾到排頭所需時間為，從排頭到排尾所需時間為.故傳令兵往返共用時間為，往返路程為。 （2）設傳令兵的行進速度為，則傳令兵從排尾刻排頭所需時間為，從排頭到排尾所需時間為，往返共用時間為，往返所走路程為。由傳令兵回到排尾時全隊正好前進了L，則，故

傳令兵往返路程為。 【拓展】如果傳令兵從排尾到排頭的行進速度為整個隊伍行進速度的，從排頭再回到排尾的行進速度為整個隊伍行進速度的，求傳令兵行走的路程。 案例22跑道問題 【目的】說明數學直觀想象素養的表現和水平，體會評價「能夠在熟悉的情境中，建立實物的幾何圖形，能夠建立簡單圖形與實物之間的聯繫，體會圖形與圖形、圖形與數量的關係」的滿意原則、加分原則。 【情境】400 m標準跑道的內圈如圖16所示，其中左右兩邊均是半徑為36m的半圓弧。（註：400 m標準跑道最內圈約為400 m） （1）求每條直道的長度（圓周率取3.14，結果精確到1 m）； （2）建立平面直角坐標系xOy，寫出跑道上半部分對應的函數解析式。

圖16 標準跑道內圈示意圖 【分析】回顧課程標準的要求：「在平面直角坐標系中，探索並掌握圓的標準方程與一般方程。」「能根據給定直線，圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關係。」 如果能夠完成（1）的計算，可以認為達到直觀想象素養水平一的要求，能夠基本得到（2）所要求的表達式，可以認為達到直觀想象素養水平二的要求。這個問題也可以考查數學運算等素養。本題解答如下。 （1）因為跑道兩端的弧形合起來是一個完整的圓周，所以弧形部分跑道的長度為2×3.14×36=226.08（m)，兩條直道長度為400-226.08=173.92(m).所以每條直道長約為173.92÷2≈87（m）。 （2）建立如圖17所示的平面直角坐標系。 當0≤x<36時，圓的方程為，函數解析式為； 當36≤x<123時，函數解析或為y=36； 當123≤x≤159時，函數解析式為。 所以函數解析式為

圖17建立坐標系示意圖 【拓展】可以考虛以圖形的中心為原點建立平面直角坐標系。 案例23距離問題 【目的】說明如何考查學生數學抽象、直觀想象和數學運算等素養達成的綜合情況，體會「要關注數學學科核心素養各要素的不同特徵及要求，更要關注數學學科核心素養的綜合性與整體性。」 【情境1】在數軸上，對坐標分別為x1和x2的兩點A和B，用絕對值定義兩點間的距離，表示為d（A，B）=| x1- x2|。回答下面的問題： （1）在數軸上任意取三點A，B，C，證明 d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)。 （2）設A和B兩點的坐標分別為和2，找出滿足d（A，B)=d(A,C)+d(B,C)的點C的範圍，再找出滿足d（A,B)<d(A,C)+d(B,C)的點C的範圍。 【情境2】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走。如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系，對兩點A（x1，y1）和B（x2,y2),類比「情境1」中的方式定義兩點間距離為 d（A，B)= | x1- x2|+| y1- y2|, 回答類似的問題： （1）在平面直角坐標系中任意取三點A，B，C，證明 d（A，B)≤d（A,C)+d(B,C)。 （2）設A和B兩點坐標分別為（x1，y1）和（x2,y2),找出滿足d（A，B)=d（A,C)+d(B,C)的點C的範圍，再找出滿足d（A，B)< d（A,C)+ d(B,C)的點C的範圍。 【分析】考慮下面數學學科核心素養達成的等級劃分標準。 對於「情境1」中的問題，基本上給出（1)或（2)的證明，可以認為達到數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算素養水平一的要求。 對於「情境2」中的問題，關鍵點是通過理解特殊的「兩點間距離」定義，考查學生的直觀想象和數學抽象素養。對於問題（1），如果學生能夠對平面上固定的三點A，B，C，說明d（A，B)≤d（A,C)+d(B,C)，可以認為達到數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等素養水平一的要求，進一步地，如果學生對任意的三點A，B，C，得到該結果，可以認為達到相應素養水平二的要求。對於問題（2），只要學生畫出基本符合要求的圖形，就可以認為達到相應素養水平二的要求；進一步地，如果學生還能給出清晰的證明，可以適當加分。 【拓展】在「情境2」中的距離意義下，畫出到定點O（0，0）的距離等於1的點P（x，y）所形成的圖形。從上述距離的定義出發，給出「點到直線的距離」的定義，並計算已知點到已知直線的距離。 案例24 四稜錐中的平行問題 【目的】以空間中的平行關係為知識載體，以探索作圖的可能性為數學任務，依託判斷、說理等數學思維活動，說明邏輯推理素養水平一、水平二的表現，體會滿意原則和加分原則。 【情境】如圖18，在四稜錐P-ABCD的底面ABCD中，AB∥DC。回答下面的問題： （1）在側面PAB內能否作一條直線段使其與DC平行？如果能，請寫出作圖過程並給出證明；如果不能，請說明理由。 （2）在側面PBC中能否作出一條直線段使其與AD平行?如果能，請寫出作圖的過程並給出證明；如果不能，請說明理由。

圖18四稜錐示意圖 【分析】直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直等位置關係是高中立體幾何內容的重點，也是教學的難點。設計開放性問題，讓學生在運用與平行和垂直的相關定理進行判斷、說理的活動過程中，提升直觀想象和邏輯推理素養；通過這樣的活動也可以對學生達到的相應素養水平進行評價。 （1)能作出平行線。具體作法是，在側面PAB內作AB的平行線；因為AB與DC平行，依據平行公理，這條平行線也必然平行於DC。完成這個過程，說明學生知道在平面內作與平面外直線平行的直線，需要尋求平面外直線與這個平面之間的關聯，依據滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養水平一的要求。 （2）需要分別判斷。如果AD與BC平行，可以參照（1）的方法作出平行線。如果AD與BC不平行，不能作出平行線。用反證法進行說理如下：假設側面PBC內存直線與AD平行，可推證AD與側面PBC平行，依據性質定理，可推證AD與BC平行，這與條件矛盾。完成這個過程，說明學生能夠理解直線與平面平行的相關定理以及定理之間的邏輯關係，依據滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養水平二的要求。 案例25覆蓋問題 【目的】以平面幾何為知識載體，以證明「周長一定的四邊形中正方形所圍面積最大」為數學任務，說明邏輯推理素養水平一、水平二、水平三和數學抽象素養水平一、水平二的表現，體會滿意原則和加分原則。 【情境】設桌面上有一個由鐵絲圍成的封閉曲線，周長是2L。回答下面的問題： （1）當封閉曲線為平行四邊形時，用直徑為L的圓形紙片是否能完全覆蓋這個平行四邊形?請說明理由。 （2)求證：當封閉曲線是四邊形時，正方形的面積最大。 【分析】雖然問題涉及的知識不難，但由於問題中的封閉曲線是動態的、問題是開放的，因此需要一定的數學抽象和邏輯推理素養才可能抓住問題的本質。如果學生能夠構建過渡性命題、完成概念的抽象過程，並且論證途徑清晰、推理過程表述嚴謹，可以認為達到邏輯推理素養水平三的要求。 （1）首先，需要從生活語言到數學語言，表達清楚什麼是完全覆蓋。最初的生活語言可以是，周長為2L的平行四邊形包含的點都在直徑為L的圓面內，顯然這個層面的表達是無法進行論證的；用數學語言可以表述為，周長為2L的平行四邊形內的任意一點到圓心的距離不大於，可是，這樣的表述又脫離了完全覆蓋的背景；因此需要在表述中加上條件，例如讓平行四邊形的對稱中心與圓的圓心重合。鼓勵學生回顧並表述上面的思維過程。如果學生能夠完成前兩個過程，根據滿意原則，可以認為達到數學抽象素養水平一的要求，如果學生能夠完成三個過程，根據加分原則，可以認為達到數學抽象素養水平二的要求。 如果學生能夠得到可以完全覆蓋的結論，但只是證明了平行四邊形對角線的長度不大於L，說明學生已經有了論證的思路，但還沒有理解完全覆蓋的幾何本質，依據滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養水平一的要求。 如果學生進一步證明平行四邊形四個頂點到對稱中心距離不大於圓的半徑，但沒有說明平行四邊形內其他點的情況，說明學生理解了完全覆蓋的幾何本質，但證明過程還不夠嚴謹，依據滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養水平二的要求。 如果學生能夠完整證明平行四邊形上的點到對稱中心距離部不大於圓的半徑，說明學生基本掌握了數學證明，依據加分原則，可以認為達到邏輯推理素養水平三的要求。 （2）可以啟發學生，採用列舉、篩選的方法考察各種形式的四邊形，逐一排除面積較小的四邊形，構建一個遞進式的證明路徑，如圖19所示。

圖19探索證明路徑 如果學生能夠獨立完成上面的過程，說明對較複雜的新問題，能夠直觀想象、創造性地構建證明路徑，依據滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養水平二的要求，如果學生能夠進一步用數學語言嚴謹地論證所得到的結論，根據加分原則，可以認為達到邏輯推理素養水平三的要求。 案例26 鞋號問題 【目的】在尋求變量簡單變化規律的過程中，說明數學建模素養的表現和水平，體會評價過程中的滿意原則和加分原則。 【情境】網上購鞋常常看到下面的表格（表3）。 表3 腳長與鞋號對應表 腳長 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 鞋號 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 請解決下面的問題： （1）找出滿足表3中對應規律的計算公式，通過實際腳長a計算出鞋號b； （2）根據計算公式，計算30號童鞋所對應的腳長是多少? （3）如果一個籃球運動員的腳長為282mm，根據計算公式，他該穿多大號的鞋? 【分析】數學建模素養的一個基本表現，就是能夠針對具體的數據，選擇合適的函數表達數量之間的關係，解決實際問題。在這樣的活動中，可以體現數學建模素養不同水平的表現。 （1）可以把表中的兩行數據看成兩個數列，分別為和。仔細觀察可以知道，這兩個數列分別滿足下面的遞推關係： ,； ,b1=34。 由此得到=215+5n和=33+n，於是有=0.2-10。如果學生能夠找到並且準確表達腳長與鞋號之間的線性關係，根據滿意原則，可以認為達到數學建模素養水平一的要求。 進一步，將腳長和對應的鞋號記作（a，b)，在平面直角坐標系中描點，觀察到線性關係，然後建立關係式。這說明學生能夠藉助圖形直觀發現變化規律，並且能夠用函數清晰表達變化規律，根據加分原則，可以加分。 如果學生構建數據表，利用計算工具的電子表格作出散點圖，選擇幾種函數模型進行擬合；對比擬合結果，發現線性函數的擬合效果最好，相關係數為1，進而確定計算公式是一個線性模型，最後確定模型中的參數，如圖20所示。根據加分原則，可以針對「善於使用計算工具」加分。

圖20計算機模擬示意圖 （2）令b=30，代入公式，得a=200，腳的長度為200mm。雖然計算過程是套用已知結果，但由b求a涉及到簡單的反函數，可以認為達到數學建模素養水平二的要求。 （3）當a=282時，代入公式，得b=46.4。分兩種情況：如果簡單地進行「4舍5入」，選46號鞋或者直接選46.4號鞋，依然可以認為達到數學建模素養水平二的要求。如果知道作出的結論要符合實際，提出穿鞋要「不擠腳」，因此選47號鞋，或者提出要考慮腳型、鞋型，根據解答情況，可以加分。 案例27　包裝彩繩 【目的】在把實際問題轉化為數學問題的過程中，說明數學建模素養不同水平的表現，體會評價的滿意原則和加分原則。 【情境】春節期間，佳怡去探望奶奶，她到商店買了一盒點心，為了美觀起見，售貨員對點心盒做了一個綑紮（如圖21（1）），並在角上配了一個花結.售貨員說，這樣的綑紮不僅漂亮，而且比一般的十字綑紮方式（如圖21（2））包裝更節省彩繩。你同意這種說法嗎？請給出你的理由。（註：長方體點心盒的高小於長、寬）

圖21 點心盒的兩種包裝 【分析】在數學建模的過程中，常常要把實際問題數學化。特別是，需要藉助幾何直觀才能論證的問題，這通常是學生數學建模的難點。因此，對於這樣一類問題，難點處理的差異能夠反映數學建模素養的不同水平。 如果學生能夠結合幾個具體的長方體盒子，通過綑紮操作、測量比較的方法，得到針對這幾個盒子的結論，並且能夠通過歸納提出一般長方體盒子下的猜想，即使不能給出證明，根據滿意原則，也可以認為達到數學建模水平一的要求。 如果學生能夠用字母表示各段繩長，將長方體盒子平面展開，把問題轉化為平面上的折線長度的比較，把「紮緊」的表述轉化為兩點間直線段，最後得出一般性的結論，可以認為達到數學建模水平二的要求。 如果不考慮花結用繩，或者認為兩種綑紮方法中花結的用繩長度相同，一個推理過程的返利可以表述如下， 設長方體點心盒子的長、寬、高分別為x，y，z，依據圖21（2）的綑紮方式，把彩繩的長度記作l，因為長方體的每個面上的那一段繩都與相交的棱垂直，所以。 依據圖21（1）的綑紮方式，可以想象將長方體盒子展開在一個平面上，則彩繩的平面展開圖是一條由A到A的折線；在「紮緊」的情況下，彩繩的平面展開圖是一條由A到A的線段，記為A′A″（如圖22），這時用繩最短，繩長記作m，則在△A′BA″中，由三角形中兩邊之和大於第三邊，得

， 即， 因此，圖21（1）所示的綑紮方式節省材料。

圖22 長方體盒子的平面展開示意圖 如果學生能夠完成以上工作，可以認為達到數學建模水平二的要求。如果思路清晰、表達準確，還可以適當加分。 案例28　體重與脈搏 【目的】在構建「比例模型」解決實際問題的過程中，給出數學建模素養水平二、水平三的表現，體會評價的滿意原則和加分原則。 【情境】生物學家認為，睡眠中的恆溫動物依然會消耗體內能量，主要是為了保持體溫。研究表明，消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比，並且根據生物學常識知道，動物的體重與體積成正比。 表4給出一些動物體重與脈搏率對應的數據。 表4 一些動物的體重和脈搏率

回答下面的問題： （1）請你根據生物學常識，給出血流量與體重之間關係的數學模型。 （2）從表4可以看到，體重越輕的動物脈搏率越高。請根據上面所提供的數據尋求數量之間的比例關係，建立脈搏率與體重關係的數學模型。 （3）根據表4，作出動物的體重和脈搏率的散點圖，驗證建立的數學模型。 【分析】為了建立數學模型，需要進一步理解一些生物學概念，例如，血流量Q是單位時間流過的血量，脈搏率是單位時間心跳的次數；還需要進一步知道一些生物學假設，例如，心臟每次收縮擠壓出來的血量與心臟大小成正比，動物心臟的大小與這個動物體積的大小成正比。 因為數學建模只用到「比例分析」，因此在知識層面上學生困難不大，但學生通常對比例模型的分析思路比較陌生；同時，這個數學活動體現了跨學科的應用，因此如果能很好地解決問題，可以認為達到數學建模素養水平二、甚至水平三的要求。例如，下面的建模過程， （1）因為動物體溫通過身體表面散發熱量，表面積越大，散發的熱量越多，保持體溫需要的能量也就越大，所以動物體內消耗的能量E與審題表面積S成正比，可以表示為。又因為動物體內消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比，可以表示為,因此得到，其中，和均為正的比例係數。 另一方面，因為體積V與體重W成正比，可以表示為，又因為表面積大約與體積的次方成正比，可以表示為，因此得到，其中，和均為正的比例係數。所以可以構建血流量與體重關係的數學模型，其中為正的比例係數。根據脈搏的定義，再根據生物學假設（為正的比例係數），最後得到，也就是，其中為正的待定係數。 （2）脈搏率與體重關係的數學模型說明，恆溫動物體重越大，脈搏率越低，脈搏率與體重的次方成反比。表4中的數據基本上反映了這個反比例的關係。 （3）圖23是原始數據的散點圖，圖24是以和為坐標的散點圖。可以看出，數據取對數之後基本滿足線性關係，因此得到體重和脈搏率的對數線性模型，可以把這個模型表達為。

圖23 脈搏率與體重W的散點圖

圖24 與的散點圖 如果學生在上述分析過程中思路清晰、表達準確，可以認為達到數學建模素養水平三的於鏊求，如果在分析或者論證過程中還有一些創意，例如，對脈搏率與體重關係的模型兩邊取對數，形成對數線性模型，能夠用相關係數進行線性相關性判斷；能夠用方差分析方法建議模型的是適合程度等，則根據加分原則，可以進行相應加分。 因為這個問題的分析線索比較長，學生在建模求解的過程中，可能會得到一些有價值的中間結論，或者有些學生最終也不能把整個過程進行到底，甚至有些學生不經過任何分析就給出擬合函數（如圖25所示）。這些情況都是數學建模和數據分析素養水平達成程度的表現，可以適度加分或者扣分。

圖25 案例29　估算地球周長 【目的】說明直觀想象素養水平的表現和水平，體會評價「在現實情境中，建立實物的幾何圖形，能夠根據圖形想象實物」的滿意原則和加分原則。 【情境】古希臘地理學家埃拉托色尼（Eratosthenes，前275—前193）用下面的方法估算地球的周長（即赤道周長）。他從書中得知，位於尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現在的阿斯旺，在北回歸線上），夏至那天正午立杆無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城，立杆可測得日影角大約為（如圖26），埃拉托色尼猜想造成這個差異的原因是地球是圓的，並且因為太陽距離地球很遠（現代科學觀察得知，太陽光到達地球表面需要8.3 s，光速300000 km/s），太陽光平行照射在地球上。根據平面幾何知識，平行線內錯角相等，因此日影角與兩地對應的地心角相等，他又派人測得兩地距離大約5000希臘里，約合800 km；因為大約為的50倍，於是他估算地球周長約為（km），這與地球實際周長40076 km相差無幾. （1）試畫出平面示意圖； （2）試由埃拉托色尼的估算結果，給出你的推理過程。

圖26 估算地球周長示意圖 【分析】如果學生能夠畫出基本合理的草圖，可以認為達到直觀想象素養水平一的要求；能夠畫出清晰合理的示意圖，可以認為達到直觀想象素養水平二的要求，本題也考查邏輯推理等素養。例如，下面的分析過程。 （1）如圖26，記塞伊尼為點A，亞歷山大城為點B。在兩個點處太陽光平行，因為內錯角相等得到對應的地心角為，的長度為800km。 （2）用的長乘可以近似得到地球周長。 案例30　影子問題 【目的】說明直觀想象素養的表現和水平，體會滿意原則和加分原則。 【情境】如圖27，廣場上有一盞路燈掛在高10 m的電線杆上，記電線杆的底部為A。把路燈看作一個點光源，身高1.5 m的女孩站在離點A5 m的點B處。回答下面的問題： （1）若女孩以5 m為半徑繞着電線杆走一個圓圈，人影掃過的是什麼圖形，求這個圖形的面積； （2）若女孩向點A前行4 m到達點D，然後從點D出發，沿着以BD為對角線的正方形走一圈，畫出女孩走一圈時頭頂影子的軌跡，說明軌跡的形狀。 【分析】回顧課程標準中相關內容的要求：從空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形。 如果學生能夠在問題（1）中回答出人影掃過的圖形是環形，或者在問題（2）的解答中提到稜錐，可以認為達到直觀想象素養水平二的要求。如果學生能夠清晰準確地回答兩個問題，可以認為達到直觀想象素養水平三的要求。例如，下面的回答。 （1）如圖28所示，S為路燈位置，C為女孩頭頂部，女孩的影子為線段BP。女孩繞着電線杆走一個圓圈，人影掃過的是一個環形。

已知SA=10 m，AB=5 m，BC=1.5 m。設BP=x，則由BC∥SA，得，即，解得x=。因此環形面積為π（AP2-AB2）=[(x+5)2-52]=≈30.166（m2）。

（2）如圖29，女孩頭頂運動的軌跡是以CE為對角線的正方形（CE與BD平行且相等），且該正方形平行於地面，則在點光源S的投射下，投影應與原圖形相似，因此女孩頭頂影子的軌跡也是一個正方形。 【拓展】如果這個女孩繞一個邊長為2 m的正六邊形走一圈，那麼人影掃過的圖形是什麼？人影掃過的面積是多少？ 案例31　圓柱體截面問題 【目的】說明直觀想象素養的表現和水平，體會滿意原則和加分原則。 【情境】在一個密閉透明的圓柱桶內裝一定體積的水。 （1）將圓柱桶分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內的水平面可能呈現出的所有幾何形狀，畫出直觀示意圖。 （2）參考圖30，對上述結論給出證明。

【分析】回顧課程標準中相關內容要求，「利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、台、球及簡單組合體的結構特徵，能運用這些特徵描述現實生活中簡單物體的結構。」 如果學生能夠比較完整地回答（1）的第一個問題，可以認為達到直觀想象素養水平一的要求；能比較完整地回答（1）的第二個問題，可以認為達到直觀想象素養水平二的要求；能比較完整地回答（2）的問題，可以認為達到直觀想象素養水平三的要求。此題也考查邏輯推理等素養。例如，下面的回答。 （1）圓柱桶豎直放置時，水平面為圓面；水平放置時，水平面為矩形面；傾斜放置時，水平面為橢圓面或者部分橢圓面。可能呈現的所有類型的幾何圖形，如圖31所示。

（2）圓柱桶豎直放置時，水平面相當於平行於底面的截面，因此水平面是圓面。 圓柱桶水平放置時，水平面與圓柱側面的兩條交線是圓柱的母線，它們平行且相等，且垂直於水平面與圓柱底面的兩條交線，所以水平面是矩形面。 圓柱桶傾斜放置時，水平面相當於用平面斜截圓柱時所得到的截面。如圖32所示，上下兩球與截面和圓柱側面均相切，兩球面與圓柱側面分別相切於以BC，DE為直徑且平行於圓柱底面的大圓O1和O2，兩球面與斜截面分別相切於點F和F′，斜截面與BD，CE分別交於點A和A′，P為所得截面邊緣上一點（即斜截面與圓柱側面交線上一點）。設過點P的圓柱的母線與圓O1和O2分別交於點M和N，則PM和PN分別是兩球面的一條切線。

由於PM和PF是同一個球面的切線，故PM=PF，同理PN=PF'，於是有PF+PF'=PM+PN=MN為定值，即點P到F和F'距離之和為定值，所以這時的截面是橢圓面。 案例32　過河問題 【目的】以平面向量的運算為知識載體，以確定遊船的航向、航程為數學任務，藉助理解運算對象、運用運算法則、探索運算思路、設計運算程序、實施運算過程等一系列數學思維活動，說明數學運算素養水平一、水平二和水平三的表現，體會滿意原則和加分原則。 【情境】長江某地南北兩岸平行。如圖33所示，江面寬度d=1 km，一艘遊船從南岸碼頭A出發航行到北岸。假設遊船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|=10 km/h，水流的速度v2的大小為|v2|=4 km/h．設v1和v2的夾角為θ（0<θ<180°），北岸的點A′在A的正北方向。回答下面的問題： （1）當θ=120°時，判斷遊船航行到達北岸的位置在A′的左側還是右側，並說明理由。 （2）當cosθ多大時，遊船能到達A′處？需要航行多長時間？

【分析】回答這個問題需要幾何直觀下的代數運算。 （1）首先要知道遊船航行速度是靜水速度與水流速度之和，然後會按比例畫示意圖判斷航行方向。如果學生能夠用向量加法的平行四邊形法則畫出示意圖、並給出合理解釋，根據滿意原則，可以認為達到數學運算素養水平一的要求。 如果學生把航行速度即速度之和表示為v，可以通過計算航行速度向量v與水流速度向量v2之間的夾角進行判斷，由 ， 判斷遊船到達的位置在A'的左側。說明學生不僅能夠理解向量的加法，還能夠根據題意，運用向量數量積運算求解向量之間的夾角，根據加分原則，可以認為達到數學運算素養水平二的要求。 （2）首先要將「遊船能到達A'處」抽象為遊船的實際航向與河岸垂直，即遊船的靜水速度和水流速度的合速度方向與相同，將合速度運算與平面向量的加法運算聯繫起來，畫出速度合成示意圖（如圖34）。根據滿意原則，學生能夠面出向量加法示意圖，可以認為達到數學運算素養水平一的要求。 通過解三角形，求得cosθ值為-；通過|v|=|v1|sinθ=2，得到航行時間 h。說明學生能夠將題目中提供的數據信息與幾何圖形有機聯繫，並且能夠明晰運算途徑、得到運算結果，根據加分原則，可以認為達到數學運算素養水平二的要求。

進一步地，如果學生能夠通過直角三角形計算出cosθ=-，由勾股定通，通過(10t)2-(4t)2=1解得t= h。說明學生能夠運用勾股定理建立方程求解，根據加分原則，可以認為達到數學運算素養水平三的要求。 【拓展】在本題背景下，可以設計數學運算素養拓展問題，例如當θ=120°時，遊船航行到北岸的實際航程是多少? 為了回答這個問題，可以先依據題意畫出向量加法的示意圖，如圖36所示，然後利用向量數量積運算求得 |tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+2×10×4×cos120°+42)=76t2。 在Rt△AA'C中，因為t|v1|cos30°=1，從而t=，所以AB=km。如果學生能夠完成這個過程，說明學生能夠綜合運用向量的加法、數乘、數量積運算和勾股定理，恰到好處地設計運算程序、完成問題求解，根據加分原測，可以在數學運算素養水平三的基礎上加分。 案例33 隧道長度 【目的】以解三角形為知識載體，以隧道測量為數學任務，藉助明確運算對象、探索運算思路、設計運算程序、實施運算等一系列數學思維活動，說明數學運算素養的水平一和水平二的表現，體會滿意原則。 【情境】如圖37所示，A，B，C為山腳兩側共線的三點，在山頂P處測得三點的俯角分別為α，β，γ。計劃沿直線AC開通穿山隧道，為求出隧道DE的長度，你認為還需要直接測量出AD，EB，BC中的哪些線段的長度？根據條件，並把你認為需要測量的線段長度作為已知量，寫出計算隧道DE長度的運算步驟。

【分析】由已經測料的三個角α，β，γ，依據平面幾何知識可以知道，△PAB，△PBC的三個內角已經確定，進而形狀已經確定，因此還需要通過確定三角形的邊長來確定三角形的大小。進一步，為了能夠計算隧道DE的長度，由解三角形的知識，可以推斷出還需要確定所有線段AD，EB，BC的長度。 首先在△PBC中進行運算，依據正弦定理寫出BC與PB（或PC）之間的等量關係式，表達出PB（或PC）。如果學生能夠完成這個步驟，說明學生已經熟悉常規的解三角形問題及其解法，根據滿意原則，可以認為達到數學運算素養水平一的要求。 如果學生能夠繼續在△PAB（或△PAC）中，由正弦定理寫出PB與AB（或PC與AC）之間的等量關係式，用已知角度α，β，γ和測量得的線段AD，EB，BC長度正確寫出線段DE長度的表達式，說明學生能夠清晰表達圖37中多個三角形之間的關係，並且能夠探索出運算程序、正確實施，根據滿意原則，可以認為達到數學運算素養水平二的要求。 案例34 迭代計算問題 .【目的】迭代方法縣現代計算教學的基本方法。藉助用「牛頓切線法」和「二分法」求一元二次方程解的問題，考查理解運算對象、把握運算規律、表達運算過程、設計運算程序等一系列數學運算的思維活動，說明數學運算素養水平三的表現，體會滿意原則和加分原則。 【情境】研究一元二次方程x2+x-1=0的求解問題，這是經典的求黃金分割的方程式。令f（x)= x2+x-1，對拋物線y= f（x)，持續實施下面「牛頓切線法」的步驟： 在點（1，1）處作拋物線的切線交x軸於（x1，0）； 在點（x1，f（x1))處作拋物線的切線，交x軸於點（x2，0）， 在點（x2，f（x2)）處作拋物線的切線，交x軸於點（x3，0）； …… 得到一個數列{xn}。回答下列問題： （1）求x1的值； （2）設xn+1=g（xn），求g（xn）的解析式； （3）用「二分法」求方程的近似解，給出前四步結果。比較「牛頓切線法」和「二分法」的求解速度。 【分析】在數值計算中，「牛頓切線法」和「二分法」是最為常用的兩種方法。 （1）求出拋物線在點（1，1）處切線方程y-1=f'（1）（x-1），得到y=3x-2。令y=0，得到x1=。如果完成這個步驟，說明學生能夠正確運用求導運算得到拋物線的切線方程，理解切線與x軸交點橫坐標是所要求的運算對象，根據滿意原則，可以認為達到數學運算素養水平一的要求， （2）求出拋物線在點（xn，f（xn)）處的切線方程y=（2xn +1）（x-xn）+（+xn-1）。說明學生能夠一般性地理解運算對象，並能夠正確地予以數學表達，根據滿意規則，可以認為達到數學運算素養水平二的要求。 令y=0，得到xn+1=，進而g（xn）=。如果完成這個步驟，說明學生能夠很好地理解選代運算，並且能夠正確地運用代數式予以表達，根據滿意原則，可以認為達到數學運算素養水平三的要求。 （3）用求根公式可以得到一元二次方程的正根為，近似解為0.518，就是著名的黃金分制數。用「二分法」求方程近似解的前四步為： 因為f（0）=-1；f（1）=1，所以f（x）在區間（0，1）內至少有一個零點； 因為f（0.5）=-0.25，所以f（x）在區間（0.5，1）內至少有一個零點； 因為f（0.75）=0.3125，所以f（x）在區間（0.5，0.75）內至少有一個零點； 因為f（0.625）=0.015625，所以f（x）在區閥（0.5，0.625）內至少有一個零點。 可以看到，用「二分法」計算前四步得到近似解為0.625，同樣從x=1出發，用「牛級切線法」解析式可求得第二步和第三步的近似解分別為x2≈0.619，x3≈0.618，比較「牛頓切線法」與「二分法」前幾步的結果，可以看到「牛頓切線法」要比「二分法」快得多。如果學生完成這個步驟，根據加分原則，可以在數學運算素養水平三的基礎上加分。 【拓展】對於函數f（x）=x2+x-1，由f（0）<0和f（1）>0，可知函數在（0，1）內至少有一個零點，設該零點為x0。若x0<x，求證x0<g（xn）<xn。 案例35估計考生總數 【目的】分別說明數學建模素養和數據分析素養水平一、水平二的表現，體會評價的滿意原則和加分原則。 【情境】某大學美術系平面設計專業的報考人數連創新高，今年報名剛結束，某考生想知道報考人數。考生的考號按0001，0002，…的順序從小到大依次排列。這位考生隨機地了解了50個考生的考號，具體如下：

請給出一種方法，根據這50個隨機抽取的考號，幫助這位考生估計考生總數。 【分析】用樣本空間的數字特徵估計總體的數字特徵或性質，是統計建模的基本思想和基本手法，既可以表現數學建模素養水平，也可以表現數據分析素養水平。 如果學生給出的方法體現了用樣本估計總體的思想，並且述說的理由合理，即使表述得不完整、不清楚、不到位，根據滿意原則，都可以認為達到數據分析素養水平一的要求。例如，用給出數據的最大值986（與0986對應）估計考生總數；用數據的最大值與最小值的和（986+17=1003)估計考生總數；藉助數據中的部分數據的信息（如平均值、中位數等）估計考生的總數；等等。 如果學生能夠理解數據分析的思想，過程述說比較清楚，數學表達比較到位，可以認為達到數據分析素養水平二的要求。例如： 設考生總數為N，即N是最大考號。 方法一 隨機抽取的50個數的平均值應該和所有考號的平均值接近，即用祥本的平均值估計總體的平均值。 這50個數的算術平均值是24 671÷50=493.42，它應該與接近。因此，估計今年報考這所大學美術系平面設計專業的考生總數為 N≈493.42×2≈987(人）。 類似地，可以通過樣本中位數得到N的估計。 方法二 把這50個數據從小到大排列，這50個數把區間[0，N] 分成51個小區間。由於N未知，除了最右邊的區間外，其他區間都是已知的。可以利用這些區間長度來估計N。 由於這50個數是隨機抽取的，一般情況下可以認為最右邊區間的長度近似等於[0，N]長的，並且可以用前50個區間的平均長度近似代替這個區間的長度。因為這50個區間長度的和，恰好是這50個數中的最大值986，因此得到 。 因為這是一道開放題，允許有不同的答案。只要學生能夠對自己提出的方法給出合理的解釋，可以認為達到相應水平的要求。 案例36 函數單調性主題教學設計 【目的】說明如何進行跨章節的主題教學沒計。 【情境】函數單調性是函數的重要性質之一,不僅與函數概念、函數的其他性質有關,也與基本初等函數、不等式、數列、導數等內容有關,在表述過程中還與常用邏輯用語中的量詞有關。所以，函數單調性可以作為跨章節的主題進行整體教學設計。 【分析】一來說,主題教學的整體設計可分為前期準備、開發設計、評價修改三個階段,具體可以包括以下幾個步驟,如圖38所示。 (1)確定主題內容； (2)分析教學要素； (3)編制主題教學目標； (4)設計主題教學流程； (5)評價、反思及修改。

作為案例,下面給出教學設計的具體方法。 為了確定主題內容,下面的兩種策略可供選擇。

無論採取哪種策略組織內容，在教學設計中，都要關注數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等素養水平的提升。 分析教學要素是確定主題教學目標的前提，是主題教學設計的重點環節。教學要素分析主要包括以下方面：數學內容分析、課程標準分析、學情分析、教材分析、重難點分析以及教學方式分析。 其體分析內容如表5所示。

表5 教學要素分析的內容

要素 內容 教學內容分析 1.本主題內容的數學本質、數學文化以及所滲透的數學思想等； 2.本主題內容在本學段數學課程中的地位； 3.本主題內容在整個中小學數學課程中的地位和作用； 4.本主題內容在數學整體中的地位； 5.本主題內容與本學段、前後學段以及大學其他知識之間的聯繫。 課程標準分析 1.課程標準中對本主題內容的要求； 2.課程標準中對本主題內不同內容要求的關聯。 學情分析 1,學生學習新知識的預備狀態； 2.學生對即將要學習的內容是否有所涉獵； 3.學生學習新知識的情感態度； 4.學生的學習方法、習慣以及風格。 教材分析 1.比較不同版本教材的對本主題內容在概念引入、情境創設、例題習題的編排方式等方面的異同,分析各自的特點； 2.根據學情選擇適當的內容及其處理方式。 重難點分析 1.主題整體教學重難點; 2.具體課時重難點。 教學方式分析 從主題整體角度出發,選擇合適的教學方式（體現學生的主體性)。 編制主題教學目標和設計教學流程。 因為是主題教學設計，教學內容將涉及若干節、甚至涉及若干章，因此在教學實施的過程中，可以劃分為幾個不同的階段。 例如，如果內容選取採用以函數單調性知識的前後邏輯為線索，其教學實施過程可分為以下幾個階段： 第一階段，從圖形語言到符號語言的過渡，讓學生感悟從直觀想象到數學表達的抽象的過程，感悟常用邏輯用語中的量詞與數學嚴謹性的關係； 第二階段，結合對幾種初等函數單調性的研究，理解用代數方法證明函數單調性的基本思路與論證方式，增強邏輯推理和數學運算能力； 第三階段，利用導函數一般性地研究函數的單調性，感悟導數是研究函數性質強有力的工具，理解函數單調性的本質； 第四階段，通過利用函數單調性刻畫現實問題的若干實例分析，理解為什麼函數可以成為構建數學模型的有效的數學語言，從而理解研究函數的單調性不僅僅是為了數學本身的需要，也是為了更好地表達現實世界的需要。 案例37 「互聯網+」促進高中生數學學科核心素養發展的路徑 【目的】闡述「互聯網+數學教育」背景下，教學、學習、評價一體化的實踐，體會「互聯網十數學教育」對教學帶來的變革，感受在「互聯網+」、大數據的支持下，數學教學由知識教學向核心素養教學轉化的路徑，實現課堂教學的精準化、高效化、個性化，提高學生數學學習的實際獲得感。 【分析】在有條件的地區或學校，可以藉助「互聯網+」、大數據等現代信息技術優化學科教育生態。採用「互聯網+數學教育」的思路破解數學課堂模式化培養與個性化學習之間的矛盾，在教學中落實數學學科核心素養。「互聯網+教育」的關鍵因素之一是用好在線教育平台，改善教師教學方式，促進學生線上線下（O2O）融合學習，使得學習更加豐富多彩、生動有趣，實線教學的精準化和個性化。學生、教師角色的在線平台界面如圖39，40所示。

圖40 教師界面 依據課程標準中數學學科核心素養內涵與水平劃分，實線數學教學、學習、評價一體化（如圖41），這是支撐測評和教學改進的關鍵。

【情境1】數學學習的個性化評價反饋系統 【分析】根據課程標準「除了考查全班學生在數學學科核心素養上的整體發展水平外，更需要根據學生個體的發展水平和特徵進行個性化的反饋」的要求，在線測評可以實現學生學習的精準化、個性化診斷（如圖42，43）。通過採集學生學習過程的大數據，可視化呈現學生數學學科核心素養，基於數據的學情分析，讓學生更加精準地了解自己的學習問題和學科優勢。

圖43 學生個性化診斷報告示例 課程標準要求「重視評價的整體性與階段性」。在線測評不僅實現了學生的個性化診斷反饋，而且同時兼顧了評價的整體性與階段性。整體性評價以學段、學年、學期為時間單位，測量學生的數學學科核心素養發展水平。階段性評價以知識單元為單位，測量每個知識單元的個體學習狀況。測評數據的積累反映了學生數學學科核心素養發展的成長過程（如圖44）。 客觀題的自動批閱為教師教學帶來了便利，提高了效率。未來，人工智能技術的發展將會實現主觀題的自動識別和批閱（如圖45）。宏、微結合的整體性和階段性測量診斷實現了學生數學學科核心素養水平診斷的精準化（如圖46）。通過期中、期末考試診斷出學生某個知識單元學習存在問題之後。進一步進行知識單元診斷，精準發現學習問題。

【情境2】基於精準診斷的個性化學習支持系統 【分析】由於學生數學學習問題的診斷落實到了核心素養水平,所以,可以按照核心素養水平智能推薦對應的微課程；也可以智能推薦在線教師(如圖47),學生在學習過程中連線,教師在線答疑(如圖48)。推薦的微課程可以分「問題改進型」「優勢增強型」等不同類型,以服務不同核心素養水平學生學習的需要。

【情境3】基於精準診斷的教學支持系統 【分析】在「互聯網+數學教育」中,在線教育平台上豐富的教學資源,為教學提供大量不同核心素養水平的教學素材,教師可參考創設教學問題情境。信息技術全程融合應用教學,有多種教學模式可供選擇。可以採用翻轉課堂教學模式,也可以採用其他的教學模式。教師在課前利用網絡平台,發布學習任務。學生通過微課程學習,網絡社區互動,自我測驗等環節,解決部分學習任務。通過在線教育平台中學生學習的數據報告,匯聚共性問題,線下課堂中採用合作探究等方式解決問題,課後利用在線平台以作業形式檢測學習效果,確保學習的針對性和高效率,優化教學。在具備信息技術條件的學校,教師還可以充分利用在線平台開展其他類型的、豐富多彩的教學活動,不斷探索創新，改進教學方式。