湛軒書/外集卷四
籌解需用
[編輯]籌解需用序
[編輯]孔子嘗爲委吏矣。曰會計當而已矣。當會計者。舍筭數奚以哉。史氏言孔門諸子之盛。以身通六藝稱之。古人之務實用也如此。孔氏之所以敎者。其可知已。筭法祖於九章。歷代演之。其術亦多矣。病其各自爲書。詳略不一。往往逞奇索隱。殆有近於迷藏之戱者。齋居無事。謹采其宜於今而適於用者。間附己意。錄爲一冊。其斛斗段匹之率。幷以時法通之。庶得其實用而當於會計也。且習是法者。其潛心攝慮。足以養性。探賾鉤深。足以益智。此其功豈異於琴瑟簡編哉。嗚呼。天有萬化而不外乎陰陽。易有萬變而不外乎剛柔。筭有萬術而不外乎乘除。陰陽正位而不亂。剛柔迭用而成章。正位法乎天。迭用則乎易者。其乘除之術乎。若由是而引而伸之。觀小道而悟大德者。存乎其人。
籌解需用總例
[編輯]九九數呼小數在上。大數在下。
[編輯]九九八十一。八九七十二。七九六十三。六九五十四。五九四十五。四九三十六。三九二十七。二九十八。一九九。
八八六十四。七八五十六。六八四十八。五八四十。四八三十二。三八二十四。二八十六。一八八。
七七四十九。六七四十二。五七三十五。四七二十八。三七二十一。二七十四。一七七。
六六三十六。五六三十。四六二十四。三六十八。二六十二。一六六。
五五二十五。四五二十。三五十五。二五十。一五五。
四四十六。三四十二。二四八。一四四。
三三九。二三六。一三三。
二二四。一二二。
一一一。
九歸歌呼大數在上。小數在下。
[編輯]一歸不須歸。逢一進一十。
二一添作五。逢二進一十。
三一三十一。三二六十二。逢三進一十。
四一二十二。四二添作五。四三七十二。逢四進一十。
五一倍作二。五二倍作四。五三倍作六。五四倍作八。逢五進一十。
六一下加四。六二三十二。六三添作五。六四六十四。六五八十二。逢六進一十。
七一下加三。七二下加六。七三四十二。七四五十五。七五七十一。七六八十四。逢七進一十。
八一下加二。八二下加四。八三下加六。八四添作五。八五六十二。八六七十四。八七八十六。逢八進一十。
九一下加一。九二下加二。九三下加三。九四下加四。九五下加五。九六下加六。九七下加七。九八下加八。逢九進一十。
斥下留數斤下。兩十六除之。爲留數。有兩下者。通除之。
[編輯]一退六二五。〈退者。斤下空一位也。〉二留一二五。三留一八七五。四留二五。五留三一二五。六留三七五。七留四三七五。八留單五。九留五六二五。十留六二五。十一留六八七五。十二留七五。十三留八一二五。十四留八七五。十五留九三七五。
石下留數石下斗十五除之。留數有四。其餘幷畸零。有斗下者。通除之。
[編輯]三留單二。六留單四。九留單六。十二留單八。
匹下留數匹下。尺四十除之爲留數。有尺下者。通除之。
[編輯]一退二五。二退單五。三退七五。四留單一。五留一二五。六留一五。七留一七五。八留單二。九留二二五。十留二五。〈下倣此。〉
石斗率
[編輯]量止於勺。十勺爲合。十合爲升。十升爲斗。十五斗爲石。〈私法。二十斗爲石。〉
斤兩率
[編輯]衡止於忽。十忽爲絲。十絲爲毫。十毫爲釐。十釐爲分。十分爲錢。十錢爲兩。一十六兩爲斤。一百斤爲秤。
匹尺率
[編輯]度止於忽。十忽爲絲。十絲爲毫。十毫爲釐。十釐爲分。十分爲寸。十寸爲尺。四十尺爲匹。〈或三十五尺爲匹。〉五十匹爲同。
田結率
[編輯]稅止於把。十把爲束。十束爲負。一百負爲結。八結爲夫。〈或四結爲夫。〉
乘除訣
[編輯]籌有衍數有約數。衍者。衍少爲多。乘法是也。約者。約多爲少。除法是也。如斤作兩石作斗。衍少爲多也。兩作斤斗作石。約多爲少也。〈乘亦有約尺乘寸。兩乘錢數降一位。除亦有衍寸除尺。錢除兩數降一位。〉
法實訣
[編輯]元數爲實。每數爲法。如有錢三兩。每兩貿米二斗。以求米數則錢三兩爲實。米二斗爲法以乘之。如有米六斗。每二斗作錢一兩。以求錢數則米六斗爲實。二斗爲法以除之。乘則法實可互用。除則法實有定不可易。
定位訣
[編輯]定位者。定得數頭位之某數也。位數未定。則千或爲萬。百或爲十而諸位俱亂矣。故定位。是籌法之門戶。爲術多歧。其要以每數爲主。如問有銀一千兩零。每兩得粟幾十斗。則以十斗呼起於實之兩位。逆數至實頭〈十兩呼百斗。百兩呼千斗。餘倣此。〉爲萬斗。則以萬斗定位。〈乘數有十。則越位而爲十萬斗。〉
上少下多。次一位。謂除法之實少法多者。布法。次一位以照實之第二位也。定位逆數。亦下一位以照法頭。
法頭當實尾數至實頭位。法尾當實頭數至法頭位。俱得。
十一，百二，千三，萬四，十萬五。〈餘倣此。〉亦定位訣也。乘則逆數。除則順數。單數當位。如銀三千作兩。每斤十六兩。自實位逆上一位。〈兩爲十六。則當用十一法。〉以十兩定位。〈實位爲單數。則上一位爲十。〉如銀四十八兩作斤。每十六兩爲斤。自實位順下一位。〈十六兩爲斤。則當用十一法。〉以單斤定位。〈實頭爲十數。則下一位爲單數。〉
撞歸訣
[編輯]見一無除作九一。無除起一下還一。〈凡歸除實頭法頭同數而上少下多。歸除不行者。以一見一。則以實一作九。又加一於下。若除數不足則起九之一。加於下位。適足爲度。見二則作九二。起一下還二。餘倣此。〉
方圓乘除率籌數有精有粗。精數析微細分。無內治。曆審律之屬是也。粗數從簡。少差無礙。量田商功之屬是也。精數從簡則術疎而謬大。粗數析微。則策繁而功寡。此籌術之通變。隨數而異用也。如經一周三方五斜七之類。具有畸零。實非定法。故方圓弧角之率從簡而術疎。宜於粗而不宜於精。籌學所當知也。
[編輯]徑求周三因。〈圓法之周三徑一。古率也。微率密率。比古差精而猶不免盈朒。蓋粗數。不如古率之簡。精數。莫如西法之密。學者詳之。〉
周求徑三歸。
徑求積自乘。三因四歸。〈卽方內圓。積四分之三。亦根於古圓率。〉
周求積自乘。十二除。〈十二圓積。與周自乘同數。〉
周徑求積。相乘四歸。〈周徑相乘。爲四圓積。〉
半周求積。自乘三歸。〈半周自乘。爲三圓積。〉
半徑求積。自乘三因。〈半徑自乘。爲方積四分之一。〉
半周半徑。求積相乘。〈半周徑相乘。爲全周徑相乘四分之一。〉
方內圓積。四歸三因。〈四分之三。〉
圓內方積三歸二因。〈三分之二。〉
三角內圓積。七歸四因。〈七分之四。〉
圓內三角積。十六除七因。〈十六分之七。〉
六角內圓積。七歸六因。〈七分之六。〉
圓內六角積。七歸六因。〈七分之六。〉
弧矢求積。弦乘矢。四歸三因。〈弧矢爲直積四分之三。又並弦矢自乘六歸之。又並弦矢折半。乘矢俱得。〉
立圓徑求積。再自乘。又九因十六除。〈再自乘。爲立方體。是立方內容立圓。以平面率。各自乘爲體率。〉
方求斜。七因五歸。〈方五斜七。下同。〉
斜求方五因七歸。
三角面長求中長。七因六歸。〈中長爲面長。七分之六。下同。〉
三角中長求面長。六因七歸。
平地粟。三十六除。〈周自乘爲十二圓積。取粟尖體積爲長圓。體積三分之一。以十二乘三爲率。〉
倚壁粟。十八除。〈爲平地半。〉
內角粟。九歸。〈爲平地四分之一。〉
方錐。三歸。〈爲長立方三分之一。〉
圓錐。三十六除。〈與平地粟同體。〉
圓積求徑四。因三歸平方開。〈求積還原。下同。〉
圓積求周十二乘。平方開。
圓積求半周三因。平方開。
圓積求半徑三歸。平方開。
立圓積求徑十六乘九歸。立方開。
直田求較。和自乘減四積。平方開。〈和自乘。爲四直積。一較羃共數。〉
引用書目
[編輯]數學啓蒙。〈元朱世傑撰。〉
數學統宗。〈明程大位撰。〉
數法全書。〈淸蔣守誠撰。〉
摘奇數法。〈宋揚輝撰。〉
渾蓋通憲。〈西洋利瑪竇口授明李之藻演。〉
詳明數訣。〈本國慶善徵撰。〉
數原。〈本國朴▣撰。〉
律曆淵源。
數理精蘊。〈康煕製。〉
籌解需用內編上
[編輯]乘法八題
[編輯]乘法者。俗稱影籌。其法爲三格。實數在上。法數在下。兩位相照。先以實頭遍呼〈九九數〉法位。列數於中。各照其位爲得數。乃去實頭。法退一位。又照位遍乘。加於得數。以下倣此。〈法實之格。或實頭與法尾相照。或實尾與法頭。相照俱得。〉
錢三十五兩。每兩貿米二斗五升。問米幾何。
答曰。八十七斗五升。
術曰。列錢三五於上格爲實。列米二五於下格爲法。〈每數爲兩。故以法頭起於實兩。逆數至頭爲十斗。〉以法之諸位。乘實之頭位。〈二三六○三五十五。〉中格得數。爲七十五斗。乃去經乘。〈三。〉法退一位。與實餘位相照。又以法之諸位。乘實之次位。〈二五十○五五二十五。〉得數爲一十二斗五升。〈十數上陞零數當位。〉各照位加之。合爲八十七斗五升。
米五十四石三斗。每斗價錢三錢四分七釐。問錢幾何。
答曰。二百八十二兩一錢一分一釐。
術曰。五十四石通斗〈以問每斗價錢。通斗以石。率十五加之。法在下。〉內子。〈三斗。〉爲八百一十三斗爲實。以錢三四七爲法。〈起錢於單斗。逆數至頭爲十兩。則以十兩定位。○單鬥起錢百斗爲十兩。〉乘實。〈三八二十四。○四八三十二。○七八五十六。〉得二百七十七兩六錢。〈定位爲十兩而頭位相乘。爲二十四十數。上陞而爲百。〉乃去經乘。法退一位。照位相乘。〈一三三○一四四○一七七。〉得三兩四錢七分。〈定位爲十兩。頭位之次。當爲單兩。〉又去乘經。法退一位乘。〈三三九○三四十二○三七二十一。〉得一兩四分一釐。各照位加之爲得數。
田六夫七結八十九負。每結納白木一疋五尺六寸七分。問白木幾何。
答曰。六十三疋三十二尺四寸九分六釐三毫。
術曰。夫通結內子。以五五八九爲實。疋通尺內子。以四五六七爲法。〈疋下當以四十除而留之數煩就通尺以就簡亦可。○起十尺於結。百尺爲位。越位爲千。〉乘得二千五百五十二尺零。以四十歸之〈九歸法在下〉爲疋。
布七疋三十三尺。每疋易粟一石七斗三升九合七勺。問粟幾何。
答曰。十一石十斗二升五合六勺五二五。
術曰。布疋下。以四十歸之。〈疋法四十尺。凡布籌。以十爲率。今疋尺之法。四十尺乘爲疋。故以四十除之。以就十率之法。凡石下斗斤下兩。並除而留之。其義同。〉得八二五。乃以七八二五爲實。粟石下。十五除之。畸零不盡。故通斗內子。以二二三九七爲法。乘之得一百七十五斗零。以十五除之爲石。〈以求還原斗。下存其數。〉
束伍七十五營四司三哨二旗一隊。每軍一人給火藥六斤六兩七錢四分。問火藥幾何。〈束伍法。一隊銃手十人。三隊爲旗。三旗爲哨。五哨爲司。五司爲營。〉
答曰。一百九萬七千三百二十七斤六兩六錢。
術曰。七十五營。通司〈五〉內子爲三百七十九。又通哨〈五〉爲一千八百九十八。又通旗〈三〉爲五千六百九十六。又通隊〈三〉爲一萬七千八十九。又以每隊十人通之。得一十七萬八百九十爲實。火藥斤下。十六除之。得四二一二五。乃以六斤四二一二五爲法。乘之得一百九萬七千三百二十七斤。斤下。四一二五十六加之。〈斤下得數。乃十率之數。故以十六加之。以就斤下兩法。乃爲斤下兩眞數。凡石下疋下倣此。〉得六兩六錢。
牛黃八斤三兩五錢。每斤易人蔘七斤十三兩六分。問人蔘幾何。
答曰。六十四斤三兩八錢三分六釐八毫七絲五忽。
術曰。斤下。並十六除之。以八斤二一八七五爲實。以七斤八一六二五爲法。乘得六十四斤。二三九八空四六八七五。斤下加之。
綿花二十四秤六十八斤一兩。每秤易綿布八疋二十五尺七寸八分九釐。問布幾何。
答曰。二百十三疋十四尺二寸八分八釐六毫三絲八忽一二五。
術曰。以綿花二四六八空六二五〈一兩爲空六二五〉爲實。以綿布八六四四七二五〈疋下留〉爲法。乘得二百十三疋。三五七二一五九五三一二五。疋下。四十〈布疋尺率〉因之。
銀一萬三百四十斤六兩八錢四分。每斤貿鉛九十五斤一十兩四錢八分一釐。問鉛幾何。
答曰。九十八萬九千一百一十四斤三兩八錢二分六毫二絲七忽半。
術曰。以銀一空三四空四二七五爲實。以鉛九五六五五空六二五爲法。乘得九八九一一四。二三八七八九二一八七五。斤下加之。
因法八題
[編輯]因法者。法之單位者。去中下二格。就實呼乘。因其位而變之。十數升上。零數當位。從頭而下。此單乘之捷法也。
正租四十六石。每石和法二十鬥法。問爲斗幾何。
答曰。九百二十斗。
術曰。列四六爲實。〈起十斗於單石。至頭爲百。以百斗爲位。〉以二爲法。〈不列格。〉從頭而乘之。〈二四八○二六十二。〉變四爲八。變六爲十二。十陞於上。幷八爲九。
歲一十二月。每月三十日。問爲日幾何。
答曰。三百六十日。
周天三百六十五度四分度之一。通分內子。問爲數幾何。
答曰。一千四百六十一。
布二十三同。每同五十疋。問爲疋幾何。
答曰。一千一百五十疋。
易六十四卦。每卦六爻。問爲爻幾何。
答曰。三百八十四爻。
周天三百六十度。每七十年。恆星行一度。問恆星一周天。爲年幾何。
答曰。二萬五千二百年。
日十二時。每刻八刻。問爲刻幾何。
答曰。九十六刻。
周田四十六井。每井九百畝。問爲畝幾何。
答曰。四萬一千四百畝。
加法八題
[編輯]加法者。法頭爲一數者。去頭一。以餘數爲法。就實呼乘。加於本位。十數當位。〈滿十者。姑留本位。以待畢加。〉零數下加。從尾而上。此頭一乘之捷法。但三位以上。易錯不可用也。
歲三百五十四日。每日一十二時。問爲時幾何。
答曰。四千二百四十八時。
術曰。列三五四爲實。〈起十時於單日。至頭爲千。以千時爲位。〉以時一十二。去頭一。餘二爲法。從尾而乘之。〈二四八○二五十○二三六。〉八加於四之下。十加於五之當位。六加於三之下。
麻布三十三疋。每疋價錢一兩三錢。問錢幾何。
答曰。二十九兩九錢。
天銀三百四十五兩。每兩換錠銀一兩四錢。問錠銀幾何。
答曰。四百八十三兩。
米二十七石。每石一十五斗。問爲斗幾何。
答曰。四百五斗。
南草四十八斤。每斤一十六兩。問爲兩幾何。
答曰。七百六十八兩。
良馬行三十五日。每日行一百七十里。問合行里幾何。
答曰。五千九百五十里。
銀二十三兩。每兩換錢一兩八錢。問錢幾何。
答曰。四十一兩四錢。
月行十三度十九分度之七。通分內子。問爲數幾何。
答曰。二百五十四。
商除法八題
[編輯]商除者。商量而除之。其法爲三格。中置實數。下數法數。量法實。任置商數於上。法商相乘。以除實數。不足則減商。有餘則添商。取其適足。有不滿法者。〈實之餘數。不滿法數。〉法退一位。以商除之。此乘法之還原也。
軍布錢八十七兩五錢。每人二兩五錢。問人幾何。
答曰。三十五人。
術曰。列錢八七五於中爲實。列二五於下爲法。〈起人於單兩。至頭爲十。以十人爲位。〉任置四十於上爲商數。法商相呼〈二四八○四五二十〉實數。不足爲十二兩五錢。乃減商爲二。法商相呼。〈二二四○二五十。〉合除五十而實數多於法數。爲實數。有餘。乃更添商爲三。法商相呼。〈二三六○三五十五。〉合除七十五。不滿法者。爲一十二兩五錢。法退一位。又任置六於初商三十之下。法商相呼。〈二六十二○五六三十。〉實數不足爲二兩五錢。乃減商爲五。〈二五十○五五二十五。〉合除十二兩五錢。實數恰盡。
車行八十里。輪周一十六尺。問輪轉幾何。〈一千八百尺爲里。〉
答曰。九千轉。
術曰。八十里通尺。得一十四萬四千尺。以一四四空空空爲實。輪周一六爲法。但法位下實一位。以一當實之第二位。〈定位法。上少下多。次一位。凡法數多於實數者。倣此。○起單轉於單尺空。位至法頭相當之第二位爲千。以千轉爲位。〉乃置商數九於實數第二位之上。與法數頭位三位相當。法商相呼。〈一九九○六九五十四。〉除實恰盡。
錢一百五兩三錢。欲貿米每斗價四錢五分。問米幾何。
答曰。二百三十四斗。
術曰。錢一空五三爲實。四五爲法。四空相當〈亦次一位。○起單斗於錢。至法頭相當第二位爲百。以百斗爲位。〉置商。以法商相呼。〈二四八○二五十。〉除實九十兩。餘一十五兩三錢。爲不滿法。法退一位。更置商三。法商相呼。〈三四十二○三五十五。〉除實一十三兩五錢。餘一兩八錢。爲不滿法。法又退更置商四。法商相呼。〈四四十六○四五二十。〉除實恰盡。
粟七百七十四斗三升。每五斗三升四合作錢一兩。問錢幾何。
答曰一百四十五兩。
術曰。粟七七四三爲實。五三四爲法。得商一四五。除實恰盡。
綿布三十六疋二十尺五寸。每六十三尺五寸易綿紬一疋。問綿紬幾何。
答曰。二十三疋。
術曰。綿布通尺內子。以一四六空五爲實。六三五爲法。得商二三。
結役錢四百二十兩七錢五分。每田一夫納錢七十六兩五錢。問田幾何。
答曰。五夫四結。
術曰。錢四二空七五爲實。七六五爲法。得尙五五爲五夫。半夫下。以八〈八結爲夫〉因之。
麻布二十七疋二十九尺五寸五分。每二疋五尺三寸五分。易金箔一錢。問金箔幾何。
答曰。一兩三錢。
術曰。麻布通尺內子。以一一空九五五爲實。以八五三五爲法。除之。
銀二十斤一十。兩每九兩九錢。易硃砂一兩。問硃砂幾何。
答曰。一斤一兩三分兩之一。
術曰。以三三空〈銀通兩〉爲實。以九九爲法。得商二斤一兩。兩下畸零。以之分命之。得九十九分兩之三十三〈法數爲分母實。餘爲分子。法有二位。故分母頭位爲十實。餘頭位與法位相當。故亦爲十。〉約之。〈約分法。在下。〉
歸除法八題
[編輯]歸除者。歸其頭位而除其下位也。其法爲二格。實數在上。法數在下。先以法頭呼實頭。九歸以歸之爲得數。以法之次位以下。與得數九九相呼照位。除實。法退一位。以次歸除之。恰盡而止。蓋商除之捷法也。
大洋海路九萬里。舶行每日量得二百五十里。問到大洋爲日幾何。
答曰。三百六十日。
術曰。九空空空空爲實。二五爲法。〈法頭爲百。下實二位。以百日爲位。○定數訣。十一百二千三萬四法之二百當實之九萬。順萬而下。一爲千二爲百也。〉以二歸九。〈逢六進三十。○卽逢二進一十。凡三次也。〉進得三百於原九之上位。實餘爲三萬。乃以法之次位與得三相呼〈三五十五〉以除實。餘一萬五千爲不滿法。法退一位。以二歸之。〈二一添作五。〉爲五當位五千。又過於法數。則又以二歸五。〈卽實之五千。○逢二進一十。〉以二爲一十而進於上。與原添作之五。合得六實。餘爲三千。乃以法五與得六相呼。〈五六三十。〉除實恰盡。
白木八百五尺。作大同木。問爲疋幾何。〈三十五尺爲疋。〉
答曰。二十三疋。
術曰。八空五爲實。三五爲法。〈八下空位爲十。以十疋爲位。〉以三歸八。〈逢六進二十。○卽逢三進一十。凡二次也。〉進得二十於原八之上位。實餘爲二百五尺。乃以法五呼。得二〈二五十〉以除實。餘一百五爲不滿法。法退一位。以三歸一。〈三一三十一。〉以一爲三。〈爲得數。〉加一於下空位。實餘爲一十五。乃以法五呼得三。〈三五十五〉除實恰盡。
錢一千一十七兩。令四十五人分之。問人得錢幾何。
答曰。二十二兩六錢。
術曰。錢一空一七爲實。四五爲法。次一位〈上少下多〉歸除之。得二二六。
綿布五十五同三十一疋。每一同雇價一疋半。問原布幾何。
答曰。五十四同。
術曰。綿布通疋內子以二七八一爲實。以五一五〈卽一同五十疋幷雇價一疋半也〉爲法。歸除之。
粟米三十二斗五升。每粟一斗舂。精米六升五合。問原粟幾何。
答曰。五十斗。
術曰。粟三二五爲實。六五爲法。歸除之。
銀四十兩八錢八分。欲貿貢緞。每尺價七錢三分。問貢緞幾何。
答曰。五十六尺。
術曰。銀四空八八爲實。七三爲法。歸除之。
糶米二千三百三十四石四斗。每戶八斗二升。問民戶幾何。
答曰。四千二百七十戶。
術曰。米通斗內子以三五空一四爲實。八二爲法。歸除之。
錢二百三十一兩二錢六分。共貿甘草九十三斤。問斤價幾何。
答曰。二兩四錢八分三分分之二。
術曰。錢二三一二六爲實。九三爲法。歸除之。不滿分者爲之分〈九十三分分之六十二〉約之。
附作九下還法
[編輯]凡歸除法。實頭位同數而上少下多。雖次一位而歸除不行者。變實頭作九。又加頭數於實之次位〈頭數一則作九加一。頭數二則作九加二。以至頭數九則因九加九。所謂見一無除作九一也。〉而除之。除實不足。則起九之一。作頭數而下還於次位。〈頭數一則下還亦一。頭數二則下還亦二。以下倣此。所謂撞歸法也。〉猶不足則至再至三。適足而至。
錢二兩一錢。令二十二人分之。問人得錢幾何。
答曰。九分一十一分分之六。
術曰。二一爲實。二二爲法。歸除之。〈逢二進一十。〉法次一位。二又進十。則越二位。歸除不行。乃就實變二作九。加二於下。倂一爲三而除之。〈二九十八。〉實餘一錢二分之分命之。
布三千四百五十六尺。每三十五尺爲疋。問爲疋幾何。
答曰。九十八疋二十六尺。
術曰。三四五六爲實。三五爲法。歸除之。〈見三無除作九三○五九四十五。〉變三作九。加三於下。倂四爲七。除四而爲三。下五除五而爲空。得數爲九。實餘爲三空六。法次一位。又歸除之。〈見三無除作九三○起一下還三○五八四十。〉變三作九。加三於下。起九之一作三而加於下。幷三爲六。得數爲八除四十。實餘二六。
米九十一斗。令九十二戶分之。問戶得米幾何。
答曰。九升八合九勺二十三分勺之三。
術曰。九一爲實。九二爲法。歸除之。〈見九無除作九九○二九十八。〉因九爲九。加九於下。倂一爲十除十八。得數爲九。實餘爲八二。法次一位。又歸除之。〈九八下加八○二八十六。〉得數爲八。實餘爲八四。法次一位。〈九八下加八○逢九進一十○二九十八。〉得數爲九。實餘爲一合二勺之分命之。
九歸法八題
[編輯]九歸者。九歸以歸之也。法之單位者。只列實一格。以法數九歸以歸之。當其位而變之。此單除之捷法而因法之還原也。
米一百二十斗。令二十戶分之。問戶得米幾何。
答曰。六斗。
術曰。米一二爲實。以二爲法。就實位而歸之。〈二一添作五○逢二進一十。〉變一作五。進二作一。倂五而爲六。
路程一千一百一十里。每三十里爲息。問爲息幾何。
答曰。三十七息。
術曰。一一一爲實。以三歸之。〈三一三十一○三二六十二○逢三進一十。〉變一爲三。加一於下爲二。變二爲六。加二於下爲三。進三作一。倂六而爲七。得三七。
布一萬三百二十尺。每四十尺爲疋。問爲疋幾何。
答曰。二百五十八疋。
術曰。一空三二爲實。以四歸之。〈四一二十二○四二添作五○四三七十二○逢四進一十。〉變一爲二。加二於下。變二作五。變三爲七。加二於下。爲四作一。倂七而爲八。
人蔘一十二斤五兩五錢二分。每五斤。易牛黃一斤。問得牛黃幾斤。
答曰。二斤七兩五錢四釐。
術曰。一二三四五〈斤下留〉爲實。以五歸之。〈五一倍作二○五二倍作四○五三倍作六○五四倍作八○逢五進一十。〉斤下加之。
軍一十萬一千一十六人。欲作六花陣。問每陣得軍幾何。
答曰。一萬六千八百三十六人。
術曰。一空一空一六爲實。以六歸之。〈六一下加四○六四六十四○六五八十二○六二三十二○六三添作五○逢六進一十。〉
粟一千三百斗二升一勺。每七斗易麻布一疋。問布幾何。
答曰。一百八十五疋二十九尺七寸二分。
術曰。一三空空二空一爲實。以七歸之。〈七一下加三○七六八十四○七四五十五○七五七十一○七三四十二○七二下加六○逢七進一十。〉疋下四十因之。
田一千三結一負五束二把。每八結納米一石。問米幾何。
答曰。一百二十五石五斗六升五合三勺半。
術曰。一空空三空一五二爲實。以八歸之。〈八一下加二○八二下加四○八四添作五○八三下加六○八六七十四○八五六十二○八七八十六○逢八進一十。〉石下十五加之。
錢一千一百一十一兩一分一釐一毫二絲。令九人分之。問人得錢幾何。
答曰。一百二十三兩四錢四分五釐六毫八絲。
術曰。以錢爲實。以九歸之。〈九一下加一○九二下加二○九三下加三○九四下加四○九四下加四○九五下加五○九六下加六○九七下加七○逢九進一十。〉
定身除法六題
[編輯]定身除者。一曰求一除。先定身而後除之也。法之有兩位而頭位爲一數者。亦列實一格。取其頭位。商定身數。去法頭一耴。其餘與身相呼。〈九九數。〉照位除實。此商除之捷法。加法之還原也。三位以上亦可用。但爲二格。法數在下。以頭一呼實而商身。〈凡六題。逢一進一十。用歸除亦可。撞歸法。見一無除作九一。亦歸除之用。〉
米四百八十斗。每一十五斗作一石。問爲石幾何。
答曰。三十二石。
術曰。四八爲實。以五爲法。就實商定。定身三而除之。〈三五十五。〉實餘三十斗。定身二而除之。〈二五十。〉恰盡。
銀七百六十八兩。每一十六兩作一斤。問爲斤幾何。
答曰。四十八斤。
術曰。七六八爲實。以六爲法定身。四而除之。〈四六二十四。〉實餘十。〈十者滿十而留在本位也。〉二八〈十二同位〉定身。八而除之。〈六八四十八。〉恰盡。
米七百五十一石六斗。每一石船價三斗。問元米幾何。
答曰。六百二十六石二斗五升。
術曰。米通斗內子以一一二七一爲實。以八爲法。〈米一石幷船價爲一十八斗去頭一以八爲法。〉以實頭一作十退。加於次位爲十一。〈以一一數少定除不得也。〉定身六而除之。〈六八四十八。〉身得六。實餘四七一。又定身二而除之。〈二八十六。〉身得六百二十。實餘十一一。〈十一同位。〉定身六而除之。〈六八四十八。〉合得六百二十六石。餘三斗畸零。先以十五加之爲四五。定二而除之。〈二八十六。〉爲餘九。定身五而除之。〈五八四十。〉恰盡。〈石下當先除之得數。以石率十五加之。爲眞數。此以畸零先加後除。下倣此。〉一法。七五一四〈石下留〉爲實。以二〈米一石並船價爲一石三斗。石下留去頭一。〉爲法定身而除之。亦得六百二十六石。餘二斗畸零。先以十五加之爲三而除之。亦得。
錢二百三十二兩。每一十二兩五錢。貿人蔘一錢。問人蔘幾何。
答曰。一兩八錢五分六釐。
術曰。二三二爲實於上。一二五爲法於下。以法頭一呼。實定身〈一一一〉除之。〈一二二○一五五。〉身得一。實餘十七。又定身〈一八八〉而除之。〈二八十六○五八四十。〉身得八。實餘七。又定身〈一五五〉而除之。〈二五十○五五二十五。〉身得五。實餘七五。又定身〈一六六〉而除之。〈二六十二○五六三十。〉恰盡。
官倉糴米四百五十五石一十一斗四升。每石耗一斗二升。問元糴米幾何。
答曰。四百二十二石。
術曰。四五五七六〈石下留〉爲實一。空八〈一石幷耗石下留〉爲法。定身而除之。
一法。六八三六四〈通斗內子〉爲實。一六二〈一石通斗幷耗〉爲法。除之亦得。
當歸二十五斤一十三兩。每一斤一十五兩易甘草一斤。問甘草幾何。
答曰。一十三斤三十一分斤之一十。
術曰。二五八一二五〈斤下留〉爲實。一九三七五〈斤下留〉爲法。除之得一十三斤。實餘六二五之分命之。
四率法六題
[編輯]四率法者。西學之比例也。其用浩博。令耴貿易小數。以資恆用。所謂異乘同除是也。二率與三率。相乘爲實。一率爲法。除之得四率。
原錢二兩五錢。貿米七斗五升。令錢七十五兩。問米幾何。
答曰。二百二十五斗。
術曰原錢二兩五錢爲一率。原米七斗五升爲二率。令錢七十五兩爲三率。二率三率相乘〈錢米相乘爲異乘〉爲實。一率爲法除之。〈以錢除錢爲同除。〉得四率。〈三率乘二率。則鬥起於兩。至十而位十。過上則位百。一率除實則起兩於斗。至百而位百。○斗兩相代。二兩爲單。當位而位百。亦可。〉
原米七斗五升價錢二兩五錢。今米二百二十五斗。問價錢幾何。
答曰。七十五兩。
術曰。原米爲一率。原錢爲二率。今米爲三率。
原錢七十五兩。貿米二百二十五斗。今錢二兩五錢。問米幾何。
答曰。七斗五升。
術曰。原錢爲一率。原米爲二率。今錢爲三率。
原米二百二十五斗價錢七十五兩。今米七斗五升。問價錢幾何。
答曰。二兩五錢。
術曰。原米爲一率。原錢爲二率。今米爲三率。
原夫工七十五人。八日墾田一百五十畝。今夫工一百五十人。一十六日。問墾田幾何。
答曰。六百畝。
術曰。原夫工乘八日。得六百人爲一率。原田一百五十畝爲二率。今夫工乘一十六日。得二千四百人爲三率。
原白木一百二十疋運九十里。雇錢七錢五分。今白木二千四百疋運一千八百里。問雇錢幾何。
答曰。三百兩。
術曰。原木乘原運爲一率。原雇錢爲二率。今木乘今運爲三率。
一率一十萬。欲作相連比例率。使一率倂四率之數。與二率三倍之數適等。問二率三率四率各爲數幾何。〈益實歸除法。〉
答曰。二率三萬四千七百二十九。
三率一萬二千零六十一。
四率四千一百八十七。
術曰。求二率則一率自乘。再乘〈一千萬億〉爲甲實。一率自乘。又三因〈三百億〉爲甲法。以除甲實爲甲得。〈三萬。〉自乘再乘。〈二十七萬億。〉益於甲實。爲甲益實。〈一千零二十七萬億。〉甲得乘甲法爲甲乘。〈九百萬億。〉反減甲益實。餘〈一百二十七萬億〉爲乙實。甲法除乙實爲乙得。〈四千。〉倂甲得〈三萬四千〉自乘再乘。〈三十九萬三千零四十億。〉益於甲實。爲乙益實。〈一千零三十九萬三千零四十億。〉乙得乘甲法爲乙乘。倂甲乘反減乙益實。餘〈一十九萬三千零四十億〉爲丙實。甲法除丙實爲丙得。〈七百○原得六百零以零數太多進爲七百。〉倂甲乙兩得。〈三萬四千七百。〉自乘再乘。〈四十一萬七千八百一十九億二千三百萬。〉益於甲實。爲丙益實。〈一千零四十一萬七千八百一十九億七千三百萬。〉丙得乘甲法爲丙乘。倂甲乙兩乘。反減丙益實。餘〈七千八百一十九億二千三百萬〉爲丁實。甲法除丁實爲丁得。〈二十。〉倂甲乙丙三得。〈三萬四千七百二十。〉自乘再乘。〈四十一萬八千五百四十二億一千零四萬八千。〉益於甲實。爲丁益實。〈一千零四十一萬八千五百四十二億一千零四萬八千。〉丁得乘甲法爲丁乘。倂甲乙丙三乘。反減丁益實。餘〈二千五百四十二億一千零四萬八千〉爲戊實。甲法除戊實爲戊得。〈九○原得八零數太多進爲九。〉倂甲乙丙丁四得。〈三萬四千七百二十九。〉自乘再乘。〈四十一萬八千八百六十七億六千六百四十萬零二千四百八十九。〉益於甲實。爲戊益實。〈一千零四十一萬八千八百六十七億六千六百四十萬零二千四百八十九。〉戊得乘甲法爲戊乘。倂甲乙丙丁四乘。反減戊益實。〈餘一百六十七億六千六百四十萬零二千四百八十九不盡。〉共除得三萬四千七百二十九。求三率則二率自乘。一率除之。
求四率則二率三倍之內。減一率。〈又三率自乘。二率除之。〉
一率一十萬。欲作相連比例率。使一率倂四率之數。與兩二率倂三率之數適等。問二率三率四率各爲數幾何。〈益實兼減實歸除法。〉
答曰。二率四萬四千五百零四。
三率一萬九千八百零六。
四率八千八百一十四。
術曰。求二率則一率自乘。再乘〈一千萬億〉爲甲實。一率自乘。又二因〈二百億〉爲甲法。以除甲實爲甲得。〈四萬○原得五萬爲盡數因減實大於益實退爲四萬。〉自乘再乘。〈六十四萬億。〉益於甲實。爲甲益實。〈一千零六十四萬億。〉復以甲得自乘。〈一十六億。〉以一率再乘。〈一百六十四萬億。〉反減甲益實。餘〈九百零四萬億〉爲甲正實。甲得乘甲實爲甲乘。〈八百萬億。〉反減甲正實。餘〈一百零四萬億〉爲乙實。甲法除乙實爲乙得。〈四千○原得五千退爲四千。〉倂甲得〈四萬四千〉自乘再乘。〈八十五萬一千八百四十億。〉益於甲實。爲乙益實。〈一千零八十五萬一千八百四十億。〉復以甲乙兩得〈四萬四千〉自乘。〈一十九億三千六百萬。〉以一率再乘。〈一百九十三萬六千億。〉反減乙益實。餘〈八百九十一萬五千八百四十億〉爲乙正實。乙得乘甲法爲乙乘。〈八十萬億。〉倂甲乘反減乙正實。餘〈一千一萬五千八百四十億〉爲丙實。甲法除丙實爲丙得。〈五百。〉倂甲乙兩得。〈四萬四千五百。〉自乘再乘。〈八十八萬一千二百一十一億二千五百萬。〉益於甲實。爲丙益實。〈一千零八十八萬一千二百一十一億二千五百萬。〉復以甲乙丙三得〈四萬四千五百〉自乘。〈一十九億八千零二十五萬。〉以一率再乘。〈一百九十八萬零二百五十億。〉反減丙益實。餘〈八百九十萬零九百六十一億二千二百萬〉爲丙正實。丙得乘甲法爲丙乘。〈一十萬億。〉倂甲乙兩乘。反減丙正實。餘〈九百六十一億二千五百萬〉爲丁實。甲法除之。上少下多。乃以丁爲空。次一位除之爲戊得。〈四。〉倂甲乙丙丁四得。〈四萬四千五百零四。〉自乘再乘。〈八十八萬一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四。〉益於甲實。爲戊益實。〈一千零八十八萬一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四。〉復以甲乙丙丁四得自乘。〈一十九億八千零六十萬零六千零一十六。〉以一率再乘。〈一百九十八萬零六百零六億零一百六十萬。〉反減戊益實。餘〈八百九十萬零八百四十二億八千八百五十三萬六千零六十四〉爲戊正實。戊得乘甲法爲戊乘。〈八百億。〉倂甲乙丙丁四乘。反減戊正實。〈餘四十二億八千八百五十三萬六千零六十四不盡。〉共除得四萬四千五百零四。
求三率。則二率自乘。一率除之。
求四率。則二率倍之。倂三率內減一率。〈又三率乘。二率除之。〉
連比例首率一十萬。欲分爲中末兩率。問各爲數幾何。〈理分中末線。〉
答曰。中率六萬一千八百零三。
末率三萬八千一百九十七。
術曰。求中率則首率自乘爲長方積。仍以首率爲長廣。較以帶縱較數直方開之。
求末率。則中率反減首率。
又首率爲股。首率折半爲胊。推得弦內減勾餘爲中率。反減首率。爲末率。
之分法二十六題
[編輯]除法之有畸零者之分以通之。法數爲分母。實餘爲分子。通分以還原。合分以稽數。約分而就簡。古人云。不患乘除而患通分。蓋籌學之奧妙也。
錢四兩。令三人分之。問人得錢幾何。
答曰。一兩三錢三分三分分之一。
術曰。四爲實。以三歸之。得一三。三餘一畸零。至於無窮。故以法爲分母。實餘爲分子而命之。
甲出錢二分兩之一。乙出錢五分兩之二。問合錢幾何。
答曰。一十分兩之九。
術曰。兩分母相乘。〈二五十。〉得一十。爲合分母。兩分子互乘兩母。〈一五五○二二四。〉倂得九。爲合分子。
甲出米三分斗之二。乙出米五分斗之四。問合米幾何。
答曰。一斗十五分斗之七。
術曰。兩分無相乘。〈三五十五。〉爲合分母。兩分子互乘兩母。〈二五十○三四十二。〉倂得二十二。爲合分子。子多於母。以母除子爲斗。餘分爲子。
甲出銀二分斤之一。乙出銀四分斤之三。丙出銀九分斤之八。問合銀幾何。
答曰。二斤三十六分斤之五。
術曰。三分母轉乘。先以甲母乘乙母〈二四八〉得八。再以乘丙母〈八九七十二〉得七十二。爲合分母。三分子互轉乘兩母。甲子轉乘。〈一四四○四九三十六。〉得三十六。乙子轉乘。〈二三六○六九五十四。〉得五十四。丙子轉乘。〈二八十六○一四四○四六二十四。〉得六十四。三子倂得一百五十四。爲合分子。子多於母。以母除子爲斤。餘分爲子約之。
麻布四十五疋。每疋價錢三分兩之二。問合錢幾何。
答曰。三十兩。
術曰。布疋乘分子〈無通分故只▣分子〉爲實。分母爲法。除之。
粟三十二斗七分斗之五。每斗價錢三分。問錢幾何。
答曰。九錢八分七分分之一。
術曰。粟通分內子。乘斗價爲實。分母除之。不滿法者命之。
南草一十斤三分斤之一。每斤價錢一錢九分錢之七。問合價錢幾何。
答曰。一兩八錢三分二十七分分之一十九。
術曰。南草通分內子斤價。通分內子相乘爲實。兩分母相乘爲法。除之。
原錢二兩三分兩之一。貿米一十四斗。今錢七兩。問米幾何。〈以下四率。〉
答曰。四十二斗。
術曰。原錢通內爲一率。原米爲二率。今錢乘原錢分母爲三率。
原米一十四斗價錢二兩三分兩之一。今米四十二斗。問價錢幾何。
答曰。七兩。
術曰。原米乘原錢分母爲一率。原錢通內爲二率。今米爲三率。
原錢七兩貿米四十二斗。今錢二兩三分兩之一。問米幾何。
答曰。一十四斗。
術曰。原錢乘今錢分母爲一率。原米爲二率。今錢通內爲三率。
原米四十二斗價錢七兩。今米一十四斗。問價錢幾何。
答曰。二兩三分兩之一。
術曰。原米爲一率。原錢爲二率。今米爲三率。
原開河三日三分日之一。開積四十五尺五分尺之一。今五十日。問積幾何。
答曰。六百七十八尺。
術曰。原日通內乘原積分母爲一率。原積通內爲二率。今日乘原日分母爲三率。
原開河積四十五尺五分尺之一。用日三日三分日之一。今開積六百七十八尺。問用日幾何。
答曰。五十日。
術曰。原開積通內乘原日分母爲一率。原日通內爲二率。今開積乘原開積分母爲三率。
原開河五十日積六百七十八尺。今三日三分日之一。問開積幾何。
答曰。四十五尺五分尺之一。
術曰。原日乘今日分母爲一率。原開積爲二率。今日通內爲三率。
原開河積六百七十八尺。用日五十日。今開積四十五尺五分尺之一。問用日幾何。
答曰。三日三分日之一。
術曰。原開積乘今開積分母爲一率。原日爲二率。今開積通內爲三率。
原車行三十五里三分里之二。雇價二兩七分兩之六。今車行九十六里九分里之八。問雇價錢幾何。
答曰。七兩二千二百四十七分兩之一千七百一十一。
術曰。原車行通內乘原雇錢分母。轉乘今車行分母爲一率。原雇錢通內爲二率。今車行通內乘原車行分母爲三率。
原車行九十六里九分里之八。雇錢七兩二千二百四十七分兩之一千七百一十一。今車行三十五里三分里之二。問雇錢幾何。
答曰。二兩七分兩之六。
術曰。原車行通內乘今車行分母。轉乘原雇錢分母爲一率。原雇錢通內爲二率。今車行通內乘原車行分母爲三率。
原雇錢二兩七分兩之六。車行三十五里三分里之二。今雇錢七兩二千二百四十七分兩之一千七百一十一。問車行幾何。
答曰。九十六里九分里之八。
術曰。原雇錢通內乘今雇錢分母。轉乘原車行分母爲一率。原車行通內爲二率。今雇錢通內乘原雇錢分母爲三率。
原雇錢七兩二千二百四十七分兩之一千七百一十一。車行九十六里九分里之八。今雇錢二兩七分兩之六。問車行幾何。
答曰。三十五里三分里之二。
術曰。原雇錢通內乘今雇錢分母。轉乘原車行分母爲一率。原車行通內爲二率。今雇錢通內乘原雇錢分母爲三率。
正方面積一十尺。問每方尺幾何。〈以下開方之分。〉
答曰。三尺七分尺之一強。
術曰。置爲實平方開之餘實一尺。不盡倍商。〈商爲方倍之爲兩方。〉添八廉一。〈爲兩方之隅角。〉共七爲分母。實餘一爲分子。〈廉乘商。加方添廉爲分母。亦得。○開方之分。可見大較。終有盈朒。實非精率。還原則原尺自乘。添入餘尺乃準。〉
正方面積四萬五千六百七十八尺。問每方尺幾何。
答曰。二百一十三尺四百二十七分尺之三百九。
術曰。置積爲實平方開之餘實三百九尺。倍商添廉爲分母。實餘爲分子。
正立方積二十八尺。問每方尺幾何。
答曰。三尺三十七分尺之一。
術曰。置積爲實立方開之餘實一尺。商自乘。〈商爲一方線自乘。爲一方面。〉三因之。〈爲三方面。〉得二十七。又三因之商。〈商爲一方三因之爲三方。〉得九。倂之添廉一。〈爲三方之隅角。〉共三十七爲分母。實餘一爲分子。〈廉乘商加隅。隅乘商加方。三因商幷方添廉爲分母。亦得。〉
正立方積一萬五千七百三十六尺。問每方尺幾何。
答曰。二十五尺一千九百五十一分尺之一百一十一。
術曰。置積爲實立方開之餘實一百一十一尺。商自乘。又三因之。得一千八百七十五。又三因商。得七十五。倂之添廉爲分母。實餘爲分子。
句股面句八十二尺股二百五十七尺。問弦尺幾何。
答曰。二百六十九尺五百三十九分尺之四百一十二。
術曰。句股各自乘。倂之得七萬二千七百七十三平方開。餘實四百一十二。倍商添廉爲母。實餘爲分子。
附約分法二題
[編輯]子母相減得等數〈等數得一者無約分〉爲法。除原母爲約母。除原子爲約子。
有三十六分之一十二。問約之爲幾何。
答曰。三分之一。
術曰。以原分子減原分母。得一十二。爲子母等數。再以原分母爲實。等數爲法。除之爲約分母。原分子爲實。等數爲法。除之爲約分子。
有七十二分六十四。問約之爲幾何。
答曰。九分之八。
術曰。以子減母母餘八。再以母減子得八爲法。除原母爲約母。除原子爲約子。
量田法五題
[編輯]量田多形。本國惟用五種。凡不等之形。作各形。故有二作三作之名。其求積之法。各有其率。
方田一畝九十六尺。問積幾何。
答曰。九千二百一十六尺。
術曰。自乘。
直田長四十九尺廣二十四尺。問積幾何。
答曰。一千一百七十六尺。
術曰。長廣相乘。
句股田。句三十六尺。股六十二尺。問積幾何。
答曰。一千一百一十六尺。
術曰。句股相乘折半。
圭田長九十三尺。廣三十四尺。問積幾何。
答曰。一千五百八十一尺。
術曰。長廣相乘折半。
梯田東廣四十六尺。西廣八十六尺。長一百二十五尺。問積幾何。
答曰。八千二百五十尺。
術曰。倂二廣折半乘長。
先乘後折半亦得。
附解負法一題
[編輯]國典。以六等分田。舊法。六等各有量尺。長短有差。積一百尺爲稅一負。中古均其尺別爲法。以十五差之。其率二等八五。三等單七。四等五五。五等單四。六等二五。置原積。各以等率乘之爲實稅。六把以上陞爲束。五把以下乘之。假如田積一萬尺。一等爲一結。二等爲八十五負。三等爲七十負。四等爲五十五負。五等爲四十負。六等爲二十五負。
方田一面一百二十八尺。問都積及六等各稅幾何。
答曰。都積一萬六千三百八十四尺。
一等。一結六十三負八束。
二等。一結三十九負三束。
三等。一結一十四負七束。
四等。九十負一束。
五等。六十五負五束。
六等。四十一負。
術曰。方面田自乘。得都積一等。依本稅。二等以下。各以率乘之。
衰分法五題
[編輯]衰分者。分等差配之法。各等乘差數而倂之曰拋差。反減原數。以餘爲實。以各等共戶爲法。除得末戶該分。各以率乘之。
糶米九百四十七斗六升。民戶分三等差配之。大戶多中戶三斗八升。中戶多小戶三斗五升。大戶四十二。中戶三十六。小戶二十五。問每等及每戶該分各幾何。
答曰。大戶五百一十六斗六升。每戶一十二斗三升。
中戶三百六斗。每戶八斗五升。
小戶一百二十五斗。每戶五斗。
術曰。置大戶倂兩多〈七斗三升〉乘之。得三百六斗六升。置中戶以多〈三斗五升〉乘之。得一百二十六斗。倂之得四百三十二斗六升。爲拋差反減原米。餘五百一十五斗爲實。以共戶〈一百三〉除之。得五斗爲小戶該分。各以率添之。各以戶乘之。
還粟九千六百三十石一十四斗。民戶分四等。各差四斗。大戶三千七百二。中戶二千九百四十七。小戶二千四百九十三。殘戶一千九百四十。問每等及每戶該分各幾何。
答曰。大戶一石三斗。共四千四百四十二石六斗。
中戶十四斗。共二千七百五十石八斗。
小戶一十斗。共一千六百六十二石。
殘戶六斗。共七百七十六石。
術曰。大戶三因之。中戶二因之。小戶一因之。倂得一萬九千四百九十三。以差四斗乘之。得七萬七千九百七十二爲拋差。還粟通內。內減拋差。餘六萬六千四百九十二爲實。以四等共戶〈一萬一千八十二〉除之。得六斗爲殘戶該分。各加差數。各乘其戶。
賑糓五千二百八十三石九斗。飢戶分六等。各差一斗五升賑之。甲等六百六十六戶。乙等五百五十五戶。丙等四百四十四戶。丁等三百三十三戶。戊等二百二十二戶。己等一百一十一戶。四朔分賑。原糓恰盡。問每等及每戶每朔該分各幾何。
答曰。甲等一十一斗。共四百八十八石六斗。
乙等九斗五升。共三百五十一石七斗五升。
丙等八斗。共二百三十六石一十二斗。
丁等六斗五升。共一百四十四石四斗五升。
戊等五斗。共七十四石。
己等三斗五升。共二十五石一十三斗五升。
術曰。甲等五因之。〈分六等而將求己等該分。故五因之。若分五等則當四因之。餘倣此。〉乙等四因之。丙等三因之。丁等二因之。戊等一因之。倂五數共得七千七百七十。以差一斗五升乘之。得一萬一千六百五十五爲拋差。原糓通內四歸之。得一萬九千八百一十三斗五升。〈此每朔六等共糓之數。〉內減拋差。餘八千一百五十八斗五升爲實。以六戶共戶〈二千三百三十一〉爲法。除之得三斗五升爲己等。每戶每朔該分。各加差數。各乘其戶。各以四因之。
北京至廣東邊徼。設一百站。第一站。置驛馬二百匹。第二站以下。挨次各減一匹。問合馬匹幾何。
答曰。一萬五千五十匹。
術曰。一百站。減第一站以一匹。因之以減第一站馬匹餘一百。一匹爲第一站百馬匹。倂入第一站數。以乘一百站。得數折半。
糶米四百八十斗。分大中小殘獨五等人。戶欲大中二戶合分。與小殘獨三戶合分等數。問各該分幾何。
答曰。大戶一百二十八斗。
中戶一百一十二斗。
小戶九十六斗。
殘戶八十斗。
獨戶六十四斗。
術曰。置摠米爲實。另以虛衰數一二三四五。分配五等。戶大五中四小三殘二獨一。乃倂大五中四得九。又倂小三殘二獨一得六。以減九餘三。卻於前五衰內。各增三。大得八。中得七。小得六。殘得五。獨得四。倂得三十爲法。除實得一十六斗。爲各戶衰數。以乘各戶虛衰增數。得各戶該分。
盈朒法五題
[編輯]盈朒者。卽所謂盈不足也。隱其數。作盈朒而索之。各有其率。
有人買物。每人出錢五兩。盈六兩。每人出錢三兩。朒四兩。問人錢各幾何。〈盈不足。〉
答曰。人五。
錢一十九兩。
術曰。盈朒互乘。以出五乘朒四。出三乘盈六。倂得三十八兩爲錢實。倂盈朒共十兩爲人實。兩出相減。餘二兩爲法。除人實得人數。除錢實得錢數。
有人買物。人出錢三兩五錢。盈六兩。人出錢三兩三錢。盈二兩八錢。問人錢各幾何。〈兩盈。〉
答曰。人一十六。
錢五十兩。
術曰。互乘相減。餘十兩爲錢實。兩盈相減爲人實。兩出餘爲法。除人實得人數。除錢實得錢數。
有人買物。人出錢五兩。朒四兩。人出錢五兩四錢。朒二兩。問人錢各幾何。〈兩不足。〉
答曰。人五。
錢二十九兩。
術曰。同兩盈。
有人買物。人出錢二兩五錢。盈六兩。人出錢三兩三錢。適足。問人錢各幾何。〈盈適足。〉
答曰。人三十。
錢六十九兩。
術曰。盈六兩爲人實。兩出相減。餘二錢爲法。除之得人數。各以每人二兩三錢。乘之得錢數。
有人買物。人出錢七兩。不足一十四兩。人出錢九兩。適足。問人錢各幾何。〈不足適足。〉
答曰。人七。
錢六十三兩。
術曰。同盈適足。
面積法五題
[編輯]面積者。平面之積。量田之類也。長一尺廣一尺謂之積一尺。如口字是也。長二尺廣二尺謂之積四尺。如田字是也。長三尺廣三尺謂之積九尺。如井字是也。長二尺廣一尺謂之積二尺。如日字是也。長三尺廣一尺謂之積三尺。如目字是也。長三尺廣二尺謂之積六尺。如用字是也。
正方面一方一十九尺。問積幾何。
答曰。三百六十一尺。
術曰。自乘加方田法。
長方面長三十五尺。廣一十八尺。問積幾何。
答曰。六百三十尺。
術曰。長廣相乘。如直田法。
圓面周八十四尺。徑二十八尺。問積幾何。
答曰。五百八十八尺。
術曰。周徑各折半相乘。又周自乘十二除之。又徑自乘。更以七五乘之。又周徑相乘四歸之。又徑自乘。三因之四歸之並得。
弧矢面。弦長五十六步。矢濶一十八步。問積幾何。
答曰。七百五十六步。
術曰。弦矢相乘。四歸之三因之。
三角面。每方一十四尺。問積幾何。
答曰。八十四尺。
術曰。置尺六因之七歸之得中。長一十二尺。更以面尺折半以乘之。
體積法十八題
[編輯]體積者。物之有長有廣兼有高厚之形也。長一尺廣一尺高一尺謂之積一尺。正方形如斗是也。長方形如升是也。正圓形如球是也。長圓形如竹筒是也。
正方體。每面二十五尺。問積幾何。
答曰。一萬五千六百二十五尺。
術曰。再自乘。〈先以廿五乘廿五得六百廿五尺。再以廿五乘六百廿五尺。乃合問。〉
長方體。長二十八尺。廣一十五尺。高一十八尺。問積幾何。
答曰。七千五百六十尺。
術曰。長廣相乘又乘高。〈先以一十五乘二十八。得四百二十尺。再以一十八乘四百二十尺。乃合問。○乘用加法可。〉
臺方體。上方二十八尺。下方三十二尺。高四十六尺。問積幾何。
答曰。四萬一千四百〇〇尺。〈四萬一千四百六十一尺三分尺之一。〉
術曰。上下方各自乘又相乘。倂三以乘高。得數以三歸之。〈先以上方二十八乘二十八。得七百八十四。再以下方三十二乘三十二。得一千〇二十四。又以上方二十八。乘下方三十二。得八百九十六。倂合三次所得之數。爲二千七百〇四。以乘高四十六。乃得一十二萬四千三百八十四。以三歸之。卽合。余之所答。若欲如本方所答。則合三得數。只爲二千七百乃可。寧有是理。必是誤筭。亦非誤書也。〉
方錐下方二十五尺。高二十八尺。問積幾何。
答曰。五千八百三十三尺三分尺之一。
術曰。下方自乘又乘高。得一萬七千五百尺。以三歸之。〈下方自乘得六百二十五。乃以高二十八乘之。得一萬七千五百〇〇尺。餘一尺歸之不得。以之分法分之。今法數爲三實數。所餘只一。故曰三分尺之一。〉
方箭一束外周四十四箇。問積幾何。
答曰。一百四十四箇。
術曰。外周添四箇自乘。得二千三百四箇。以一十六除之。〈假如碁盤。自外周而數之。則爲七十二孔。仍添四箇。合爲七十六孔。乃以七十六自乘之。得五千七百七十六孔。復以一十六除之。正是三百六十一孔。○蓋添四之意。若使每面各自數之。則各爲十九。合四面爲七十六。若使周圍數之。則乃縮四孔故耳。〉
正圓體徑一十六尺。問積幾何。
答曰。二千三百四尺。
術曰。徑再自乘。又以九因之。得三萬六千八百六十四尺。以一十六除之。〈先以一十六自乘一十六。得二百五十六。再以一十六乘二百五十六。得四千〇八十六。又以九因之。得三萬六千八百六十四。乃以十六除之。合所答。○自乘再乘。皆用加法可。〉
長圓體周三十七尺。高一十四尺。問積幾何。
答曰。一千五百九十七尺六分尺之一。
術曰。周自乘又乘高。得一萬九千一百六十六尺。以一十二除之。〈先以三十七自乘三十七。得一千三百六十九。又以一十四乘一千三百六十九。○乘用加法可矣。〉
墩圓體上周二十九尺。下周四十二尺。高三十八尺。問積幾何。
答曰。四千〇〇三十五尺一十八分尺之七。
術曰。上下周各自乘又相乘。倂三以乘高。得一十四萬五千二百七十四尺。以三十六除之。〈上周自乘。得八百四十一。下周得一千七百六十四。上下相乘。一千二百一十八。倂三合爲三千八百二十三。〉
圓錐下周五十四尺。高三十七尺。問積幾何。
答曰。二千九百九十七尺。
術曰。下周自乘又乘高。得一十萬七千八百九十二尺。以三十六除之。〈下周得二千九百一十六。○除法。用撞歸法。見三無除作九三是也。〉
圓箭一束外周五十四箇。問積幾何。
答曰。二百七十一箇。
術曰。外周添六箇。仍乘外周。得三千二百四十。以一十二除之。加心箭一箇。〈外周添六爲六十。以六十乘乘五十四。得三千二百四十。除得二百七十箇。更加一箇。始合答。○乘用因法乃可。定位不可不審。〉
積粟長一十五石。廣九石。高一十七石。問積幾何。〈以下雜體積。〉
答曰。二千二百九十五石。
術曰。長廣相乘又乘高。〈置一十五石。以九因之。得一百三十五石。以一十七乘之。合答。○亦用加法甚便。〉
平地聚粟。下周二十五尺五寸。高八尺。問積幾何。
答曰。一百四十四尺五寸。
術曰。下周自乘又乘高。得五千二百二尺。以三十六除之。〈二十五五乘。二十五五得。六百五十〇二寸五分。以八因之。得五千二百〇二尺〇〇。除之合答。〉
倚壁聚粟。下周一十二尺七寸五分。高八尺。問積幾何。
答曰。七十二尺二寸五分。
術曰。周自乘又乘高。得一千三百尺五寸。以一十八除之。〈以下周一十二尺七寸五分。乘一十二尺七寸五分。得一百六十二尺五寸六分二里五毫。以高八尺因之。得一千三百〇〇尺五寸。○除用撞歸法。卽見一無除作九一。又九一下還一者也。次用歸除。合所答。○十八除之者。蓋用三十六之折半也。〉
內角聚粟。下周六尺三寸七分五釐。高八尺。問積幾何。
答曰。三十六尺一寸二分五釐。
術曰。周自乘又乘高。得三百二十五尺一寸二分五釐。以九除之。〈以下周自乘得四十〇尺六寸五分〇六毫二絲五忽。乃乘高得三百二十五尺一寸二分五里。除之合所答。○除用歸除法。〉
築城。上廣一十八尺。下廣三十六尺。高四十六尺。長一萬一千五百二十尺。問積幾何。
答曰。一千四百三十萬七千八百四十尺。
術曰。倂上下廣折半。〈梯田求積之意。〉以乘高又乘長。〈倂上下廣合五十四尺內折半。則爲二十七尺。以廿七尺乘高四十六尺。得千二百四十二尺。以乘長。卽合答。〉
築垣。上廣三尺。下廣四尺。高九尺。長三千八百五十尺。問積幾何。
答曰。一十二萬一千二百七十五尺。
術曰。倂兩廣折半。以乘高又乘長。〈倂兩廣合七尺內折半。爲三尺五寸。以三尺五寸乘高。得三十一尺五寸。以乘長合答。〉
開河。廣二十六尺。下廣一十八尺。深一十五尺。長五千四百尺。問積幾何。
答曰。一百七十八萬二千尺。
倂兩廣折半。以乘深又乘長。〈倂兩廣合四十四折半二十二。以二十二乘深。得三百三十。以乘長合答。〉
築堤。上廣六尺四寸。下廣一十二尺四寸。高九尺二寸。長三千八百尺。問積幾何。
答曰。三十二萬八千六百二十四尺。
術曰。同築垣。〈倂兩廣合一十八尺八寸折半爲九尺四寸。以九尺四寸乘高九尺二寸。得八百六十四尺八寸。乃乘長合所答。○蓋此定位。或爲初學之疑難。其乘高時則法實尾數皆零。故法首數起於實之寸。故得數首位。當爲百尺。乘長時則法首數起於實之尺。故得數首位當爲三十萬也。此等處。不可不先審定位。〉
開方法十四題
[編輯]開方多術。平方立方。爲其要領。面積求方。爲開平方。體積求方。爲開立方。平方者。自乘之還原。立方者。再乘之還原。平方爲四格。商爲上格。實爲次格。又次格爲方。最下格爲廉。廉起於實。單數下進退。常超一位。先定商於上。以廉乘商爲方。商方相乘除實。乃以廉乘商加於方。一退廉再退續。商如前。立方爲五格。方下廉上。別有隅格廉進退超二位。以廉乘商爲隅。隅商相乘爲方商方相乘除實。乃以廉乘商加於隅。隅商相乘加於方。又以廉乘商再加於隅。方一退隅再退廉三退。續商如前。
平方面積。三百六十一尺。問每方幾何。
答曰。一十九尺。
術曰。列積爲實。借一籌於單尺下。名曰廉。隔位超進。至百尺下。〈實數有萬則再超。百萬則三超。一超商十。再超商百。三超商千。〉上商一十。以廉乘商。置一爲方。商方相乘〈一一一〉以除實。餘二十六十一尺。乃以廉乘商加於方爲二。一退廉再退續。商九尺。以廉乘商加於方。得二九。商方相乘〈二九十八○九九八十一〉除實。恰盡。
方營積七萬一千八百二十四步。問每方幾何。
答曰。二百六十八步。
術曰。置積爲實廉。再超至萬步下。上商二百方爲二。商方相乘〈二二四〉除實。餘三萬一千八百二十四步。乃以廉乘商加方爲四。一退廉再退續。商六十加方。爲四六。商方相乘〈四六二十四○六六三十六〉除實。餘四千二百二十四步。乃以廉乘商。加方爲一二。合得五。二退續商八步。加方爲五二八。商方相乘〈五八四十○二八十六○八八六十四〉除實恰盡。
長方面積二千五十二尺。只雲長廣和九十二尺。問長廣各幾何。
答曰。長五十四尺。
廣三十八尺。
術曰。列積以四因之。得八千二百八尺。又以和尺自乘。得八千四百六十四。內減四積之數。餘二百五十六尺爲實。平方開之。得一十六尺爲長廣。較倂和尺爲一百八尺。折半得五十四尺爲長。減較得二十八尺爲廣。
又列積爲實。以和爲方。以一爲廉。方一退廉再退。上商三十。廉商相乘〈一三三〉減方。餘六百二十。商方相乘〈三六十八○二三六〉除實。餘一百九十二。又廉商相乘〈一三三〉減方。餘三百二十。方一退廉再退。續商八步。廉商相乘〈一八八〉減方。餘二十四。商方相乘〈二八十六○四八三十二〉除實恰盡。亦得廣。〈蓋開方之以積與和求廣者。有帶縱益隅及帶縱負隅。減縱二術。減從卽有術。以積與和求長者。有帶縱負隅減縱飜法。以積與較求廣者。有帶縱減積二術。以積與較求長者。有負縱益積及帶減縱二術。此外隨變錯綜。備見諸書。並不具載。〉
直營積七萬一千八百二十四步。只雲長廣和六百七十步。問長廣各幾何。
答曰。長五百三十六步。
廣一百三十四步。
術曰。列積四因之。得二十八萬七千二百九十六。和步自乘。得四十四萬八千九百。內減四積之數。餘一十六萬一千六百四爲實。平方開之。得四百二爲長廣。較倂和步折半爲長。減較爲廣。
又以減從法求廣。則列積爲實。以和爲方。以一爲廉。方再進廉四進。上商一百。廉商相乘〈一一一〉減方。餘五萬七千。商方相乘〈一五五○一七七〉除實。餘一萬四千八百二十四。又廉商相乘〈一一一〉減方。餘四萬七千。方一退廉再退。續商三十。廉商相乘〈一三三〉減方。餘四千四百。商方相乘〈三四十二○三四十二〉除實。餘一千六百二十四。又廉商相乘〈一三三〉減方。餘四千一百。方一退廉再退。續商四步。廉商相乘〈一四四〉減方。餘四百空六。商方相乘〈四四十六○四六二十四〉除實恰盡。亦得廣。
今有直田積一千四百五十六步。只雲長廣較三十步。問長廣各幾何。
答曰。長五十六步。
廣二十六步。
術曰。列積爲實。以較爲方。一爲廉。方一進廉再退。上商二十。廉商相乘〈一二二〉加方。得五百。商方相乘〈二五十〉除實。餘四百五十六。又廉商相乘〈一二二〉加方。得七百。方一退廉再退。續商六步。廉商相乘〈一六六〉加方。得七十六。商方相乘〈六七四十二○六六三十六〉除實恰盡。得廣加較得長。
正圓面積五百八十八尺。問周徑各幾何。
答曰。周八十四尺。
徑二十八尺。
術曰。先求周則列積十二乘之。得七千五十六爲實。平方開之。得周三歸之爲徑。
先求徑則四因之三歸之。得七百八十四爲實。平方開之。得徑三因爲周。
圓營積七萬一千八百二十四步。問周徑各幾何。
答曰。周九百二十八步三分。〈餘一十二步二分五釐一十二分釐之一十一。〉
徑三百九步四分。〈餘二十七步七分三釐。〉
術曰。求周則置積十二乘之。得八十六萬一千八百八十八爲實。平方開之。得周餘一百四十七步一分一釐。十二除之。〈還原。〉爲餘實數。
求徑則置積四因之三歸之。得九萬五千七百六十五步三分步之一。通分內子。〈還四因原數。〉得二十八萬七千二百九十六爲實。平方開之。但以分母三爲廉。如初商三百。以廉乘商。以九爲方。商方相乘以二七除實也。得徑尺餘一百一十步九分二釐。三因之四歸之。〈本以四因三歸而得數。故三因四歸以還原。〉又以分母三歸之。〈本以通分得數。故歸之以還原。〉爲餘實數。
三角面積八十四尺。只雲每面中長和二十六尺。問每面中長各幾何。
答曰。每面一十四尺。
中長一十二尺。
術曰。置積倍之。〈爲長方面積。〉又四因之。得六百七十二。和自乘得六百七十六。內減積數餘四尺爲實。平方開之。得二尺爲面。中較加和。折半得每面尺。減較得中長尺。
三角營積一萬四千一百一十二步。只雲每面中長和三百四十尺。問每面中長各幾何。
答曰。每面一百九十六步。
中長一百四十四步。
術曰。置積倍之。又四因之。得一十一萬二千八百九十六。自和乘得一十一萬五千六百。內減積數。餘二千七百四爲實。平方開之。得五十二步爲面。中較加和。折半得面步。減較得中步。
弧矢面積二百四十尺。只雲弦矢和四十八尺。問弦矢各幾何。
答曰。弦四十尺。
矢八尺。
術曰。置積三歸之四因之。〈弧矢面爲長方面四分之三。〉又四因之。得一千二百八十。和自乘。得二千三百四。內減積數。餘一千二十四爲實。平方開之。得三十二尺爲弦矢。較加和折半。得弦減較得矢。
偃月營積七千八百六十四萬三千二百步。只雲弦矢和二萬九千六百九十六步。問弦矢各幾何。
答曰。弦二萬五千六百步。
矢四千九十六步。
術曰。置積三歸之四因之。又四因之。得四億一千九百四十三萬四百。和自乘。得八億八千一百八十五萬二千四百一十六。內減積數。餘四億六千二百四十二萬二千一十六爲實。平方開之。得二萬一千五百四步爲弦矢。較加和折半。得弦減較得矢。
正立方積一萬五千六百二十五尺。問每方幾何。
答曰。二十五尺。
術曰。置積爲實。借廉一於單尺下。隔二位超進至千尺下。〈實數有百萬。則再超。一超商十。再超商百。〉上商二十。以廉乘商。另置二於廉上爲隅。隅商相乘。置四於隅上爲方。商方相乘〈二四八〉以除實。餘七千六百二十五尺。乃以廉乘商加於隅。隅商相乘〈二四八〉加於方。又以廉乘商。再加於隅。方得一二隅得六。方一退隅再退廉三退。續商五尺加隅爲六五。隅商相乘〈五六三十○五五二十五〉加於方。合爲一五二五。商方相乘〈一五五○五五二十五○二五十五五二十五〉餘實。恰盡。
正方臺積九萬七千三百三十六步。問每方各幾何。
答曰。四十六步。
術曰。置積爲實。廉再超至千尺。下上商四十。隅爲四。方爲一六。商方相乘〈一四四○四六二十四〉除實。餘三萬三千三百三十六步。乃以廉乘商加於隅。隅商相乘〈四八三十二〉加於方。又以廉乘商。再加於隅方。得四八。隅得一二。方一退隅再退廉三退。續商六。加隅爲一二六。隅商相乘〈一六六○二六十二○六六三十六〉加方。爲五五六。商方相乘〈五六三十○五六三十○五六三十○六六三十六〉除實。恰盡。
立圓積六萬二千二百八尺。問徑幾何。
答曰。四十八尺。
術曰。置積以一十六乘之。得九十九萬五千三百二十八。以九除之。得一十一萬五百九十二爲實。立方開之。
西洋圓舶積三萬六千步。問徑幾何。
答曰。四十步。
術曰。置積以一十六乘之。以九除之。得六萬四千步爲實。立方開之。
軍營開方法
[編輯]今有軍摠一萬七千九百五十六人。每人縱橫占地四步。問積幾何。
答曰。七萬一千八百二十四步。
術曰。置軍數以四步因之。合問。
今有營積七萬一千八百二十四步。欲爲方營。問方面步幾何。
答曰。二百六十八步。
術曰。置積爲實。以一爲廉。平方開之。〈倍方之法一退者不再倍〉合問。
今有營積如上。欲爲圓營。問周徑各幾何。
答曰。徑三百零九步四分。〈餘二十七步七分三釐。〉
周九百二十八步三分。〈餘一十二步二分五釐十二分釐之十一。〉
術曰。求徑者。以圓田術置積數。四因之三歸之。得九萬五千七百六十五步三分步之一。通分內子。得二十八萬七千二百九十六爲實。以三爲廉。平方開之。合問。餘一百一十步零九分二釐。三因之歸之。得八十三步一分九釐。〈開方之實。以四因三歸而得數。故三因四歸。所以還原而求其本也。〉以分母三歸之。得二十七步七分三釐。〈本以通分得數。故亦還原以求本。〉爲餘實數。
求周者。置積數身外加二。〈圓田求周十二乘之。〉得八十六萬一千八百八十八爲實。以一爲廉。平方開之。合問。餘一百四十七步一分一釐身外減二。〈還原求本〉爲餘實數。
三廉開方。術曰。列通分數爲實。借分母三爲廉法。再超至萬步下。上商三百。以廉乘商。〈三三九。〉上置九萬爲方法。乃命上商除實。〈三九二十七。〉二十七萬餘一萬七千二百九十六倍方法。得一十八萬。方法再退。〈爲一千八百。法當一退。以上小下多。故次一位。〉商數亦隨方而退。〈只退其位不降其數。〉廉法四退。〈方再退故廉亦再超。〉至六步下。乃上商九步。〈商必從廉間一爲百位。此當爲零步。〉以廉乘商。〈三九二十七。〉上增二十七步於方法。合得一千八百二十七。乃命上商除實。〈一九九○八九七十二○二九十八○七九六十三。〉一萬六千四百四十三。餘八百五十三。倍增方爲五十四。合得一千八百五十四。方商一退。廉法再退。乃上商四分以廉乘商。〈三四十二。〉上增十二於方法。合得一百八十五步五分二釐。乃命上商除實。〈一四四○四八三十二○四五二十○四五二十○二四八。〉七百五十二步零八釐。餘一百一十步零九分二釐。〈三因徑以求周。三歸周以求徑。亦得。各求之而分數之或差。餘分之不齊也。〉
〈以徑還原自乘。而三因之四歸之。得數。以餘數添之。得原積。以周還原自乘。而身外減二得數。以餘數添之得原積。〉
今有營積如上。欲爲偃月營。問弦矢各幾何。
答曰。弦四百三十八步七分。〈餘二十六步七分九釐。〉
矢二百一十九步三分五釐。
術曰。置積八因之三歸之。得一十九萬一千五百三十步零三分步之二。通分內子。得五十七萬四千五百九十二爲實。以分母三爲廉。平方開之。合問。餘二百一十四步三分一釐。八歸之三因之。又以分母三歸之。求矢者折半弦步。
今有營積如上。欲爲三角營。問徑幾何。
答曰。三百七十九步。〈餘三步半。〉
術曰。置積倍之爲實。平方開之。合問。餘七步半之。
雜法二十一題
[編輯]高竿影長三十五尺二寸。傍立短竿長十尺。影長六尺四寸。問高竿長幾何。
答曰。五十五尺。
術曰。高竿影乘長竿長爲實。短竿影爲法除之。
金毬一隻。因無大秤。以小秤稱之不足。加錘稱得六十七斤。原錘重一斤十兩。加錘重一斤四兩八錢。問實斤幾何。
答曰。一百二十斤九兩六錢。
術曰。倂兩錘重通兩。爲四十六兩八錢。以乘稱得數。卽六十七斤。此則不通兩得三千一百三十五斤六。此爲斤下留之六數也。爲實。以原錘通兩二十六爲法除之。〈置三千一百三十五斤六。以二十六除之。初用歸除得一百二十斤。實餘一十五斤六。則用撞歸法。見一無除作九一。六九五十四除之。法退一位。逢二進一十。乃得九兩六錢。〉
原秤稱物。八斤二兩。因失去原錘。今欲買錘配之。不知輕重。另將別錘重二斤五兩稱之。原物只得六斤。問原錘重幾何。
答曰。一斤一十一兩三錢二分三釐一十三分釐之一。
術曰。只得重通兩爲九十六兩。與別錘重通兩爲三十七兩相乘。得三千五百五十二兩爲實。以原稱重通兩一百三十兩爲法除之。〈得二十七兩三錢二分三里除之不盡者。實餘一里。以之分法命之。當爲一百三十分里之一。而約之取簡。故曰一十三分里之一。○二十七兩內。以十六兩作一斤。餘十一兩零。始合答。〉
輕秤稱重物法。〈假如今之藥秤。只稱得二十兩。而有物重過三四十兩者。則用此法。○錘輕不能稱重物。故以他鐵。或錢加於錘上。至於稱得重物。爲幾兩然後依術除之。〉
大錘知本重法。〈今有秤。失其錘。忘其輕重。而曾以其錘稱此物。則爲八斤二兩。今借他錘稱此物。則爲六斤。當依術乘除。可知本錘重之幾何。〉
錢一文。日增一倍。至三十日。問爲數幾何。
答曰。一十億七千三百七十四萬一千八百二十四文。〈作錢爲一千〇七十三萬七千四百一十八兩二錢四分。〉
術曰。置一文八因之凡十次。〈八是三日倍數。○置一文。以八因之。凡十次因單八○二次六十四。○三次五百一十二○四次四千九十六○五次三萬二千七百六十八○六次二十六萬二千一百四十四○七次二百九萬七千一百五十二○八次一千六百七十七萬七千二百一十六○九次一億三千四百二十一萬七千七百二十八○十次卽合所答此其一法也。〉
又以三十二。〈乃五日倍數。〉乘之。凡三次得數。自乘。〈三十二三次乘。乃十五日。○置一文以三十二乘之。三次後自乘○三十一。○再次一千二十四○三次三萬二千七百六十六。是爲得數。以三萬二千七百六十六。乘三萬二千七百六十六。卽合答。此又捷法。〉
又以六十四乘之凡五次。〈六十四是六日倍數。〉倂得。〈三法俱可。○置一文。以六十四乘之初乘六十四。○再次四千九十六○三次二十六萬二千一百四十四。○四次一千六百七十七萬七千二百一十六。○五次卽合所答。〉
三人聚銀殖利。甲銀八兩三錢。乙銀六兩五錢。丙銀四兩八錢。今本利倂爲三十九兩二錢。問各該分幾何。
答曰。甲銀一十六兩六錢。
乙銀一十三兩。
丙銀九兩六錢。
術曰。以本利倂銀乘甲銀。得三百二十五兩三錢六分爲實。倂三本銀。得一十九兩六錢。爲法除之。得甲分。乙丙倣此。〈卽異乘同除術。〉
米窖方五十二尺。高三十尺。問米斛幾何。
答曰。六千七百六十斛。
術曰。方自乘又以高乘之。得八萬一千一百二十尺爲實。以斛法一十二尺爲法除之。〈斛法。以長三尺廣二尺高二尺積十二尺爲率。〉
紋銀五十兩。欲鎔作八成。問得銀幾何。
答曰。六十二兩五錢。
術曰。紋銀爲實。以八成爲法除之。
銀一十二兩五錢。足色金五十兩。同鍊作金。問分數幾何。
答曰。八成。
術曰。足色金爲實。倂金銀爲法除之。
甲銀九成二兩。乙銀七成二兩。一罏合鎔。問共銀成數及甲乙該分幾何。
答曰。共銀八成四兩。
甲該分一兩二錢五分。
乙該分一兩七錢五分。
術曰。甲銀二兩折紋銀一兩八錢。乙銀二兩折紋銀一兩四錢。倂得紋銀三兩二錢。以原銀共四兩除之。得八成。卽以八爲法。除甲乙各折。紋銀得各。
北京至杭州。四千二百七十五里。馬從北京往南。日行一百二十里。船從杭州往北。日行七十里。問船馬幾日相會。各行里幾何。
答曰。二十二日半。
馬行二千七百里。
船行一千五百七十五里。
術曰。原里爲實。倂船馬日行里數爲法除之。得日數。各以各行里數乘之。得各行都數。
駑馬發行七日後。良馬趕去六日。行一千一百七十里追及之。問良馬駑馬每日各行里幾何。
答曰。良馬日行一百九十五里。
駑馬日行九十里。
術曰。以六日除原里。得良馬行。倂先後日。得一十三。除原里。得駑馬行。
徑一百尺。問周古率徽率密率新率各幾何。
答曰。古率三百尺。
徽率三百一十四尺。
密率三百一十四尺二寸八分五釐七分釐之五。
新率三百一十四尺一寸五分九釐。
術曰。置徑三因之。得古率。
置徑一百五十七乘之。五十歸之。得徽率。
置徑二十二乘之。七歸之。得密率。
置徑三十一萬四千一百五十九乘之。一十萬歸之。得新率。〈徑一十萬尺。周三十一萬四千一百五十九尺。爲西法新率。〉
方一百尺。問斜弦古率新率各幾何。
答曰。古率一百四十尺。
新率一百四十一尺四寸二分。
術曰。置方七乘之。五歸之。得古率。〈方五斜七率。〉
置方以七尺空七一乘之。五歸之。得新率。〈依句股率。方五各自乘。倂之開方七空七一零。〉
正三角每面一百尺。問中長古率新率各幾何。
答曰。古率八十五尺七分尺之五。
新率八十六尺六寸二釐七分釐之三。
術曰。置面六因之。七歸之。得古率。〈面七中方爲古率。〉
置面以六空六二一七乘之。七歸之。得新率。〈依句股率。面七爲弦。半面三尺五寸爲句弦。羃減句羃。餘開方。得六尺空六二一七。〉
方田每方六十尺。內有圓田徑亦六十尺。問四隅方角剩積各幾何。
答曰。二百二十五尺。
術曰。方六十尺再折半。得十五尺。自乘。又方積減圓積。餘九百尺。爲方田四角剩積。四歸之亦得。
西瓜一枚。正圓中球。任割一面。面徑五寸。心厚五分。問西瓜本徑幾何。〈句及股弦較求弦。〉
答曰。一尺三寸。
術曰。面徑折半爲句。自乘爲實。心厚爲高弦。較爲除之。得一尺二寸五。爲股加較。
圓球徑二尺六寸。任割一面。心厚八寸。問面徑幾何。
答曰。二尺四寸。
術曰。本徑減心厚。以乘心厚爲實。開方倍之。
塔前八十五尺。有小方池。人立池上。望塔頂。恰射池心。人目至池爲三尺五寸。自足心至池心一尺八寸。問塔高幾何。
答曰。一百六十五尺二寸九分寸之七。
術曰。人目至池三尺五寸爲股定。心至池心一尺八寸爲小句。池心至塔底八十五尺爲大句。小股乘大句。得二百九十七尺五寸爲實。小句爲法除之。〈用鏡或水盂亦可。〉
立表長四尺。表上覆矩尺。稍俯上端。從矩角望野中人家。墻下有與尺端三除弦直。更從矩角。回望下端。與表後一寸五分地三除弦直。問人家遠幾何。
答曰。一百六尺三分尺之二。
術曰。表高四尺自乘。得一十六尺爲實。地距表一寸五分爲法除之。
臨河立表。上加短竿。射彼岸三際弦直。問河闊幾何。
術曰。固結表竿。勿令遊移。旋表竿回射手。除鍥其處而量之。卽得河濶。