幾何論約 (四庫全書本)/表卷05

幾何論約　表巻五

　　欽定四庫全書
　　幾何論約巻五
　　柘城杜知耕撰
　　一題
　　此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍于彼之各率則此之并率亦幾倍于彼之并率
　　解曰甲乙此二幾何大于丙丁彼二幾何各若干倍題言甲乙并大于丙丁并亦若干倍
　　二題
　　六幾何其第一倍第二之數等于第三倍第四之數而第五倍第二之數等于第六倍第四之數則第一第五并倍第二之數等于第三第六并倍第四之數解曰一甲乙倍二丙之數如三丁戊倍四巳之數又五乙庚倍二丙之數如六戊辛倍四巳之數題言一甲乙五乙庚并倍二丙之數若三丁戊六戊辛并倍四巳之數
　　三題
　　四幾何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其數等則第一所倍之與第二若第三所倍之與第四
　　解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳兩幾何同若干倍于甲于丙題言以平理推戊倍乙若巳倍丁
　　四題
　　四幾何第一與二偕第三與四比例等第一第三同任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍與第二所倍第三所倍與第四所倍比例亦等解曰甲與乙偕丙與丁比例等次作戊與巳同任若干倍于一甲三丙别
　　作庚與辛同任若干倍于二乙四丁題言一甲所倍之戊與二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳與四丁所倍之辛比例亦等
　　論曰試以戊巳同任
　　倍之為壬為癸别以
　　庚辛同任倍之為子
　　為丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也〈本巻三〉依顯子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲與乙偕丙與丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三試之若倍甲之壬小于倍乙之子則倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑〈本巻界六〉不論幾許倍其等大小恒如是也則戊與庚偕巳與辛之比例必等
　　一糸凡四幾何一與二偕三與四比例等即可反推二與一偕四與三比例亦等
　　二糸若甲與乙偕丙與丁比例等則甲之或二或三倍與乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍與丁之或二或三倍比例俱等倣此以至無窮五題
　　大小兩幾何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分則此全之分餘所倍于彼全之分餘亦如之
　　解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己題言甲戊分餘之戊乙所倍于丙己分餘之己丁亦如其數
　　六題
　　此兩幾何各倍于彼兩幾何其數等于此兩幾何每減一分其一分之各倍于所當彼幾何其數等則其分餘或各與彼幾何等或尚各倍于彼幾何其數亦等
　　解曰甲乙丙丁各倍于戊己其數等毎減一倍戊己相等之甲庚丙辛題言分餘庚乙辛丁或與戊己等或尚各倍于戊己其數亦等
　　七題
　　此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與此相等之兩幾何各為比例亦等
　　解曰甲乙兩幾何等彼幾何丙不論等大小于甲乙題言甲與丙偕乙與丙各為比例必
　　等又反上言丙與甲偕丙與乙各為比例亦等八題
　　大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大于小與他之比例而他與小之比例大于他與大之比例
　　解曰不等兩幾何甲大乙小又有他幾何丙不論等大小于甲于乙題言甲與丙大于乙
　　與丙之比例又反言丙與乙大于丙與甲之比例九題
　　兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等
　　十題
　　彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大于彼與他之比例則此幾何大于彼他幾何與彼幾何之比例大于他與此之比例則彼幾何小于此
　　解曰甲乙兩幾何又有丙幾何甲與丙之比例大于乙與丙題言甲大于乙又言丙與乙
　　之比例大于丙與甲則乙小于甲
　　十一題
　　此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比例與此兩幾何之比例亦等
　　解曰甲乙偕丙丁之比例各與戊己等題言甲乙與丙丁之比例亦等
　　十二題
　　數幾何所為比例皆等則并前率與并後率之比例若各前率與各後率之比例
　　解曰甲乙丙丁戊己數幾何甲與乙若丙與丁丙與丁若戊與己題言甲丙戊
　　諸前率并與乙丁己諸後率并之比例若甲與乙丙與丁戊與己各前與各後也
　　十三題
　　數幾何第一與二之比例若第三與四而第三與四之比例大于第五與六則第一與二之比例亦大于第五與六
　　解曰一甲與二乙之比例若三丙與四丁而三丙與四丁之比例大于五戊與
　　六己題言甲與乙之比例亦大于戊與己
　　十四題
　　四幾何第一與二之比例若第三與四而第一大于第三則第二亦大于第四第一或小或等于第三則第二亦等亦小于第四
　　解曰甲與乙之比例若内與丁題言甲大于丙則乙亦大于丁若等亦等若小亦小
　　十五題
　　兩分之比例與兩多分并之比例等
　　解曰甲與乙同任倍之為丙為丁題言丙與丁之
　　比例若甲與乙

　　十六題〈更理〉
　　四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等
　　解曰甲與乙之比例若丙與丁題言更推之甲與丙之比例亦若乙與丁
　　十七題〈分理〉
　　相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等解曰甲乙丁乙與丙戊己戊相合兩幾何
　　甲乙與丁乙若丙戊與己戊題言分之甲丁與丁乙若丙己與己戊也
　　十八題〈合理〉
　　兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等
　　解曰甲丁丁乙與丙己己戊兩分幾何其
　　甲丁與丁乙若丙己與己戊題言合之甲乙與丁乙若丙戊與己戊也
　　十九題〈其糸為轉理〉
　　兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例等則分餘之比例與兩全之比例亦等
　　解曰甲乙丙丁兩幾何其甲乙全與丙丁
　　全之比例若截取之甲戊與丙己題言分餘戊乙與己丁之比例亦若甲乙與丙丁
　　糸從此題可推界説十六之轉理如上甲乙與戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與丙己
　　二十題
　　有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大于第三則第四亦大于第六第一或等或小于第三則第四亦等亦小于第六
　　解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何其甲與乙若丁與戊乙與丙若戊與己題言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于
　　丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己
　　二十一題
　　有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之若第一大于第三則第四亦大于第六若第一或等或小于第三則第四亦等亦小于第六
　　解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何相為連比例不序不序者甲與乙若戊與
　　己乙與丙若丁與戊以平理推之若甲大于丙題言丁亦大于己
　　論曰甲既大于丙即甲與乙大于丙與乙〈本巻八〉而甲與乙若戊與己即戊與己亦大于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也〈本巻四〉則戊與己大于戊與丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙題言丁亦等于己論曰甲丙既等即甲與乙若丙與乙〈本巻〉
　　〈七〉而甲與乙若戊與己即丙與乙亦若戊與己也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也〈本巻四〉則戊與己若戊與丁是丁己等也後解曰若甲小于丙題言丁亦小于己論曰甲既小于丙即甲與乙小于丙與
　　乙〈本巻八〉而甲與乙若戊與己即戊與己亦小于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙若戊與丁〈本巻四〉則戊與己小于戊與丁是丁小于己也
　　二十二題〈平理之序〉
　　有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以平理推之
　　解曰有若干幾何甲乙丙又有若干幾何丁戊己而甲與乙若丁與戊乙
　　與丙若戊與己題言以平理推之甲與丙若丁與己如更有庚辛二幾何其丙與庚若己與辛依顯甲與庚亦若丁與辛〈四以上倣此〉
　　二十三題〈平理之錯〉
　　若干幾何又若干幾何其數等相為連比例而錯亦以平理推
　　解曰甲乙丙若干幾何丁戊己若干幾何相為連比理而錯者其甲與乙
　　若戊與己乙與丙若丁與戊題言以平理推之甲與丙亦若丁與己如更有庚辛兩幾何其戊與辛若甲與丙丙與庚若丁與戊即以甲丙庚作三幾何丁戊辛作三幾何相為連比例而錯則甲與庚亦若丁與辛〈四以上倣此〉
　　耕曰以數明之甲設十八乙設九丙設六丁設四十八戊設三十二己設十六甲與丙若丁與己其故何也蓋甲與乙若六與三
　　乙與丙若三與二則甲與丙若六與二矣又丁與戊若六與四戊與己若四與二則丁與己亦若六與二矣兩前兩後俱若六與二故比例等也庚辛兩幾何亦依此推顯
　　二十四題
　　凡第一與二之比例若第三與四而第五與二之比例若第六與四則第一第五并與二之比例若第三第六并與四
　　解曰一甲乙與二丙若三丁戊與四己而五乙庚與二丙若六戊辛與四己題言一
　　甲乙五乙庚并與二丙若三丁戊六戊辛并與四己
　　増題此兩幾何與彼兩幾何比例等于此兩幾何毎截取一分其截取兩幾何與彼兩幾何比例等則分餘兩幾何與彼兩幾何比例亦等〈此増與六題大同但六題言幾倍此不言倍其意稍廣矣〉
　　二十五題
　　四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何并大于餘兩幾何并
　　解曰甲乙與丙丁若戊與己甲乙最大己最小題言甲乙己并大于丙丁戊并
　　論曰試于甲乙截取甲庚與戊等于丙丁截取丙辛與己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙與丙丁也夫甲乙與丙丁既若甲庚與丙辛即亦若分餘之庚乙與辛丁也〈本巻十九〉而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚兩率必等而又加不等之庚乙辛丁則甲乙己并豈不大于丙丁戊并二十六題
　　第一與二之比例大于第三與四反之則第二與一之比例小于第四與三
　　解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁題言反之二乙與一甲之比例小于四
　　丁與三丙
　　二十七題
　　第一與二之比例大于第三與四更之則第一與三之比例亦大于第二與四
　　解曰一甲與二乙大于三丙與四丁題言之則一甲與三丙亦大于二乙與四丁
　　論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙大于戊與乙是甲大于戊則甲與丙必大于戊與丙矣夫戊與乙既若丙與丁更之則戊與丙亦若乙與丁則甲與丙大于乙與丁
　　二十八題
　　第一與二之比例大于第三與四合之則第一第二并與二之比例亦大于第三第四并與第四
　　解曰一甲乙與二乙丙大于三丁戊與四戊己題言合之則甲丙與乙丙亦大于丁
　　己與戊己
　　論曰試作庚乙與乙丙之比例若丁戊與戊己即甲乙與乙丙大于庚乙與乙丙是甲乙大于庚乙矣此兩率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙與乙丙大于庚丙與乙丙即大于丁己與戊己二十九題
　　第一合第二與二之比例大于第三合第四與四分之則第一與第二之比例亦大于第三與四
　　解曰甲丙與乙丙大于丁己與戊己題言
　　分之則甲乙與乙丙亦大于丁戊與戊己〈論同前〉三十題
　　第一合第二與二之比例大于第三合第四與四轉之則第一合第二與一之比例小于第三合第四與三
　　解曰甲丙與乙丙大于丁己與戊己題言轉之則甲丙與甲乙小于丁己與丁戊
　　耕曰甲丙與乙丙若四與一丁己與戊己若三與一則四與一大于三與一矣甲乙與乙丙若三與一丁戊與戊己若二與一則三與一大于二與一矣甲丙與甲乙若四與三丁己與丁戊若三與二則四與三小于三與二矣
　　三十一題
　　此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第一與二此第二與三之比例大于彼第二與三如是序者以平理推則此第一與三之比例亦大于彼第一與三
　　解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙大于丁與戊乙與丙大于戊與己如是序者題言以平理推則甲與丙亦大
　　于丁與己
　　三十二題
　　此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第二與三此第二與三之比例大于彼第一與二如是錯者以平理推則此第一與三之比例亦大于彼第一與三
　　解曰甲乙内此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙大于戊與己乙與丙大于丁與戊如是錯者題言以平理推則甲與丙亦大于丁與己
　　論曰試作庚與丙之比例若丁與戊即乙與丙大于庚與丙而乙幾何大于庚〈本巻十〉
　　是甲與小庚大于甲與大乙矣〈本巻八〉夫甲與乙既大于戊與己即甲與庚更大于戊與己也次作辛與庚之比例若戊與己即甲與庚亦大于辛與庚而甲幾何大于辛〈本巻十〉是大甲與丙大于小辛與丙矣〈本巻八〉夫辛與丙以平理推之若丁與己也〈本巻二三〉則甲與丙大于丁與己
　　三十三題
　　此全與彼全之比例大于此全截分與彼全截分之比例則此全分餘與彼全分餘之比例大于此全與彼全之比例
　　解曰甲乙全與丙丁全大于兩截分甲戊
　　與丙己題言兩分餘戊乙與己丁大于甲乙與丙丁
　　論曰甲乙與丙丁既大于甲戊與丙己更之即甲乙與甲戊亦大于丙丁與丙己也〈本巻二七〉又轉之甲乙與戊乙小于丙丁與己丁也〈本卷三十〉又更之甲乙與丙丁小于戊乙與己丁也〈本巻二七〉若兩全之比例小于截分則分餘之比例必小于兩全
　　三十四題
　　若干幾何又有若干幾何其數等而此第一與彼第一之比例大于此第二與彼第二此第二與彼第二之比例大于此第三與彼第三以後俱如是則此并與彼并之比例大于此末與彼末亦大于此并減第一與彼并減第一而小于此第一與彼第一
　　解曰甲乙丙三幾何又丁戊己三幾何其甲與丁大于乙與戊乙與戊大于丙與己題先言甲乙丙并與丁戊己并大
　　于丙與己次言亦大于乙丙并與戊己并後言小
　　于甲與丁
　　論曰甲與丁既大于乙與戊更之即甲與乙大于丁與戊也〈本巻二七〉又合之甲乙并與乙大于丁戊并與戊也〈本巻二八〉又更之甲乙并與丁戊并大于乙與戊也〈本巻二七〉是甲乙全與丁戊
　　全大于減并乙與減并戊也既爾即減餘甲與減餘丁大于甲乙全與丁戊全也〈本巻三三〉依顯乙與戊亦大于乙丙全與戊己全即甲與丁更大于乙丙全與戊己全也又更之甲與乙丙并大于丁與戊己并也〈本巻二七〉又合之甲乙丙全與乙丙并大于丁戊己全與戊己并也〈本巻二八〉又更之甲乙丙全與丁戊己全大于乙丙并與戊己并也〈本巻二七〉則得次解也又甲乙丙全與丁戊己全既大于減并乙丙與減并戊己即減餘甲與減餘丁大于甲乙丙全與丁戊己全也〈本巻三三〉則得後解也又乙與戊既大于丙與己更之即乙與丙大于戊與己也〈本巻二七〉又合之乙丙全與丙大于戊己全與己也〈本巻二八〉又更之乙丙并與戊己并大于丙與己也〈本巻二七〉而甲乙丙并與丁戊己并既大于乙丙并與戊己并即更大于末丙與末己也則得先解也若兩率各有四幾何而丙與己亦大于庚與辛即與前論同理依上論乙與戊大于乙丙庚并與戊己辛并即甲與丁更大于乙丙庚并與戊己辛并也更之即甲與乙丙庚并大于丁與戊巴辛并也〈本巻十八〉又合之甲乙丙庚全與乙丙庚并大于丁戊己辛全與戊
　　己辛并也又更之甲乙丙庚全與丁戊己辛全大于乙丙庚并與戊己辛并也〈本巻二七〉則得次解也又甲乙丙庚全與丁戊己辛全既大于減并乙丙庚與減并戊己辛即減餘甲與減餘丁大于甲乙丙庚全與丁戊己辛全也〈本巻三二〉則得後解也又依前論顯乙丙庚并與戊己辛并既大于庚與辛而甲乙丙庚全與丁戊己辛全大于乙丙庚并與戊己辛并即更大于末庚與末辛也則得先解也自五以上俱倣此












　　幾何論約巻五