新元史/卷034

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新元史 卷三十四·志第一·曆一·治曆本末

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曆一 治曆本末

治曆本末

自《三統術》以後七十餘家，至郭守敬之《授時》，測驗愈精，析理愈微，立數俞簡信，可謂度越前古者矣。然曰月星辰之高遠，而以一人之智力窮之，欲其事事物合，永無差忒，此必不可得之數也。明之《大統》，實本《授時》，至成化以後，交食已往往不驗。

皇朝宣城梅文鼎、婺源江水，皆深通數理。其生時《授時》疏舛凡數事：一曰增損歲餘、歲差。一歲小餘，古強今弱，一由日輪徑差，一由最卑動移。《授時》考古，則增歲餘而損歲差；推來，則增歲差而損歲餘。乃末得其根，而以法遷就之。似密實疏，不足為法。一曰歲實消長。天行盈縮，進退以漸，無驟增、驟減之理。《授時》百年消長一分，是百年之內皆無所差，逾一年則驟增減一分，又積百年則平差一分，逾一年又驟增減一分，無此推算之法。一曰二十四氣用恆氣。當時高衝與冬至同度，最高與夏至同度，冬至為盈初，夏至為縮初，以為盈縮之常限如此。故以兩冬至相距之日，均為二十四氣，謂合於天之平分數也。設如五十餘年之後，高卑兩點各東移一度，則平冬至與定冬至不相值，及其極也，平冬至與定冬至相差兩日，猶能以兩定冬至相距之日，均為二十四氣乎？且其求冬至也，自丙子年立冬後。依每日測景取對冬至前後日差同者為準，得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半後三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半後五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻，辛已冬至在己末日夜半後六刻。其求歲餘也，自宋大明以來得冬至時刻真數者有六，用以相距，各得其時，合用歲餘，考驗四年相符不差，仍自大明壬寅年距今八百一十九年，每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分，減大明術一十二秒，其二十五分為今律歲餘合用之數。以此二事考之，則《授時》當年所定之歲實，已有微差。稽之於史，又多牴牾。夫一歲小餘二十四刻二十五分，積之四歲王得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半後八刻，則辛巳冬至宜在己未夜半後五刻，不應有六刻也。如以辛巳之六刻為是，則丁丑之冬至宜在九刻，不應為八刻半也。此四年既皆實測所得，則已多半刻矣。而云相符不差，何也？又考大明五年十一月三日乙酉夜半後三十二刻七十分辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年，以《授時》歲實積之，凡二十九萬九千一百三十三日六十刻七十五分，以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻，凡二十九萬九千一百三十三日九十二刻，較多三十三刻。而云自大明壬寅距今每歲合得此數，何也？又云減大明術一十一秒。考大明術紀法與周天一歲小餘二十四刻二十八分一十四秒。《授時》減去三分一十四秒，非一十一秒也。又古時太陽本輪、均輪半徑之差，大於今日，則加減均數亦大。而冬至歲實宜更增矣。至元辛巳間高衝約與冬至同度，則歲實尤大，其小餘刻下之分約有三十分。而《授時》定為二十五分，宜其自丁丑至於辛巳四年之間，即有年刻之差，而守敬未之覺也。

凡此數事，皆足訂《授時》之誤。今撮大要著於篇，以備治曆者之參考焉。

至《授時》用平方、立方以求盈縮遲疾差，猶開方之舊術，用天元一御弧矢起數於圍三徑一，亦失之疏。若以弦矢求弧背，前後失均，象限以內差而多，象限以外差而少，此又不能為前人諱者也。

《曆經》、《曆議》，皆守敬所撰。世祖招李謙為《曆議》，潤色其書而已，謙不能作也。札馬魯丁之《萬年曆》，實即明人所用之回回曆，《明史》詳矣，不具論。

蒙古初無曆法。太祖十五年，駐蹕撒馬爾干城，回鶻人奏五月望月蝕。中書令耶律楚材以《大明曆》推之，太陰當虧二分，食甚在子正，乃未盡初更而月已蝕。是年二月、五月朔，微月見於西南。楚材以舊曆不驗，遂別造《庚午元曆》。據《大明曆》減周天七十三秒，歲差亦減七十三秒。以中元庚午歲，國兵南伐，天下略定，推上元庚午歲天正十一月壬戌朔子王冬至，為太祖受命之符。又以西域、中原地逾萬里，依唐僧一行裏差之說，以增損之。東西測侯，不復差式。乃表上於行在曰：「漢、唐以來，經元創法不啻百家，其氣候之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之起伏，疏密無定，先後不同。蓋都邑之各殊，或曆年之漸遠，不得不差也。唐曆八徒，宋曆九更，金《大明曆》百年才經一改。此去中原萬里，以昔程今，昔密今疏，東微西著。今二月、五月朔，微月見於西南，較之於曆，悉為先天。」自漢、唐以來曆算之書備矣。俱無此說。是年正月、四月雖皆為小盡，然亦未有朔日見月者也。是時，太祖方用兵西域，其書不果頒用。

楚材嘗言，西域曆五星密於中國，又作《麻荅曆》，今不傳。楚材父履在金末作《乙未元曆》，楚才益本其文之書，更名為《庚午元曆》云。

至世祖至元四年，西域人札馬魯丁用回回法撰《萬年曆》，帝稍採用之。其法為默特納國王馬哈麻所造曆，元起西域阿刺必年，即隨開皇己未，不置閏月，以三百六十五日為一歲。歲十二宮，宮有閏日，凡百二十八年宮閏三十一日，以三百五十四日為一周，周十二月，月有閏日，凡三十年月閏十一日。曆千九百四十一年，宮月日辰再會。此其立法之大概也。

十三年，世祖平宋，詔前中書左丞許衡、太子贊善王恂、工部郎中郭守敬，立局改治新曆。先是，太保劉秉忠以《大明曆》遼、金承用歲久，浸以後天，議修正之。已而秉忠卒，事遂寢。至是，世祖思用其言，遂命詢與守敬率南北日官陳鼎臣、鄧元麟、毛鵬翼、劉巨源、王素、嶽鉉、高敬等，分掌測驗、推步，以衡能推明曆理，俾參預之。

守敬首言：「曆之本在於測驗，而測驗之器莫先儀表。今司天渾儀，宋皇佑中汴京所造，不與此處天度相符，比量南北二極，約差四度。表百年深，亦復欹側不可用。」乃盡考其失，而移置之。既又別圖爽塏，以木為重棚，創作簡儀、高表，用相比覆。又以為天樞附極而動，昔人嘗展管望之，末得其的，作候極儀。極辰既位，天體斯正，作渾天象。象雖形似，莫適所用，作玲瓏儀。以表之測天之正圓，莫若以圓求圓，作仰儀。古有經緯，結而不動，守敬則易之，作立運儀。日有中道，月有九行，守敬則一之，作証理儀。表高景虛，罔象非真，作景符。月雖有明，察景則難，作窺幾。曆法之驗，在於交會，作日月食儀。天有赤道，輪以當之，兩極低昂，標以指之，作星晷定時儀。以上凡十三等。又作正方案、九表、懸正儀、座正儀，凡四等，為四方行測者所用。又作仰規、覆矩圖、異方、渾蓋圖、日出入永短圖，凡五等，與上諸儀互相參考。

十六年，改局為太史院，以贊善王恂為太史令，守敬為同知太史院事，給印章，立官府。是年，奏進儀表式樣，守敬對御指陳理致，一一周悉。自朝至於日晏，上不為倦。

守敬奏：唐一行開元間令天下測景，書中見者凡十三處。今疆宇比唐尤大，苦不遠方測驗，日月交食分數時刻不同，晝夜長短不同，日月星辰去天高下不同；可先南北立表，取直測景。上可其奏。遂設監候官一十四員，分道相繼而出。

先測得：南海：北極出地一十五度。夏至景在表南長一尺一寸六分，晝五十四刻，夜四十六刻。衡嶽：北極出地二十五度。夏至日在表端無景，晝五十六刻，夜四十四刻。嶽臺：北極出地三十五度，夏至景長一尺四寸八分，晝六十刻，夜四十刻。和林：北極出地四十五度，夏至景長三尺二寸四分，晝六十四刻，夜三十六刻。鐵勒：北極出地五十五度，夏至景長五尺一分，晝七十刻，夜三十刻。北海：北極出地六十五度，二至景長六尺七寸八分，晝八十二刻，夜一十八刻。繼又測得：上都：北極出地四十三度少。大部：北極出地四十二度強，夏至晷景長一丈二尺三寸六分，晝六十二刻，夜三十二刻。益部：北極出地三十七度少。登州：北極出地三十八度少。高麗：北極出地三十八度少。西京：北極出地四十度少。太原：北極出地三十八度少。安西府：北極出地三十四度半強。興元：北極出地三十三度半強。成都：北極出地三十一度半強。西涼州：北極出地四十度強。東平：北極出地三十五度太強。大名：北極出地三十六度。南京：北極出地三十四度太強。陽城：北極出地三十四度太。揚州：北極出地三十三度。鄂州：北極出地三十一度半。吉州：北極出地二十六度半。雷州：北極出地二十度太。瓊州：北極出地十九度太。

十七年，新曆告成。守敬上奏曰： 臣等竊聞帝王之事，莫重於曆。自黃帝迎日推策，帝堯以閏月定四時成歲，舜在璇璣玉衡以齊七政。爰及三代，曆無定法，周秦之間，閏餘乖次。西漢造《三統曆》，百三十年而後是非始定。東漢造《四分曆》，七十餘年而儀式備。叉百二十一年，劉洪造《乾象曆》，始悟月行有遲速。又百八十年，姜岌造《三紀甲子曆》，始悟以月食衝檢日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉曆》，始悟以朔望及弦定大小餘。又六十五年，祖衝之造《大明曆》，始悟太陽有歲差之數，極星去不動處一度餘。又五十二年，張子信始悟日月交道有表裏，五星有遲疾留逆。又三十三年，劉焯造《皇極曆》，始悟日行有盈縮。又三十五年，傅仁均造《戊寅元曆》，頗採舊儀，始用定朔。又四十六年，李淳風造《麟德曆》，以古曆章對首分度不齊，始為總法，用迸朔以避晦晨月見。又六十三年，僧一行造《大衍曆》，始以朔有四大三小，定九服交食之異。又九十四年，徐昂造《宣明曆》，始悟日食有氣刻時三差。又二百三十六年，姚舜輔造《紀元曆》，始悟食甚泛餘差數。以上計千一百八十二年，曆經七十，改其創法者十有三家。

自是又百七十四年，欽惟聖朝統一六合，肇造區夏，專命臣等改治新曆。臣等用創造簡儀、高表，憑其測到實數所考正者凡七事：一曰冬至。自丙子年立冬後，依每日測到晷景，逐日取對，冬至前後日差同者為準，得丁丑年冬至在戌日夜半後八刻半。又定丁丑夏至，得在庚子日夜半後七十刻。又定戊寅冬至，在癸卯日夜半後三十三刻；己卯冬至、在戊申日夜半後五十七刻半；庚辰冬至，在癸丑日夜半後八十一刻半。各減大明曆十八刻，遠近陽符，前後應準。二曰歲餘。自劉宋《大明曆》以來，凡測景驗氣得冬至時刻真數者有六，用以陽距，各得其時合用歲餘。今考驗四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分為今曆歲餘合用之數。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道箕九度有畸。仍憑每日測到太陽躔度，或憑星測月，或憑月測日，或徑憑星度測日，立術推算。起自丁丑正月，至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔於箕，與月食相符。四曰月離。自丁丑以來至今，憑每日測得逐時太陰行度推算變，從黃道求入轉極疾並平行處，前後凡十三轉。計五十一事，內除去不真的外，有三十事。得大明曆入轉後天，又因考驗交食加大明曆三十刻，與天道合。五曰入交。自丁丑五月以來，憑每日測到太陰去極度數，比擬黃道去極度，得月道交於黃道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分得入時刻，與大明所差不多。六曰二十八宿距度。自漢代初曆以來，距度不同，互有損益。大明曆則於度下餘分附以太半少，皆私意牽就，未嘗實測其數，今新儀皆細刻周天度分，每度為三十六分，以距線代管窺宿度餘分，並依實測，不以私意牽就。七曰日出入晝夜刻。《大明曆》日出入晝夜刻，皆據汁京為準，其刻數與大都不同。今更以本方北極出地高下、黃道出入內外度，立術推求每日日出入晝夜刻，得夏至極長，日出寅正二刻，日入戌初二刻，晝六十二刻，夜三十八刻，冬至極短，日出辰初二刻，日入申正二刻，晝三十八刻，夜六十二刻；永為定式。

所創法凡五事：一曰太陽盈縮。用四正定氣立為升降艱，立招差求得每日行分初末極差積度，比古為密。二曰月行遲疾。古曆皆用二十八限，今以萬分日之八百二十分為一限，凡析為三百三十六限，依垛疊招差，求得轉分進退，其遲疾度數逐時不用，蓋前所未有。三曰黃赤道差。舊法以一百一度相減相乘。今依算術勾股弧矢方圓斜直所容，求到度率積差差率，與天道實為吻合。四曰黃赤道內外度。據累年實測內外極度二十三度九十分，以圓容方直矢接勾股為法求每日去極，與所測相符。五曰白道交周。舊法黃道變推白道，以斜求斜。今用立渾比量，得用與赤道正交，距春秋二正黃赤道正交一十四度六十六分，擬以為法。推逐月每交二十八宿度分，於理為盡。

詔賜名曰授時曆。十八年，頒新曆於天下。

十九年，守敬以推步之式與立成之數皆無定稿，乃著《推步》七卷、《立成》二卷、《曆議擬稿》三卷、《轉神選擇》二卷、《上中下三曆注式》十二卷，表上之。二十年，又詔太子諭德李謙就守敬之《曆議稿》重加修訂，以闡新曆順天求合之理。

大德三年八月朔，時加巳依新曆日食二分有奇，至其時不應，臺官皆懼。保章正齊履謙曰：「日當食不食，古有之。況時近午，陽盛陰微，宜當食不食。」遂考唐開元以來當食不食者凡十事以聞。六年六月朔，時加戌依新曆日食五十七秒，眾以涉交既淺，且近濁，欲匿不報。履謙曰：「吾所掌者常數也。其食與否，則系於天。」獨以狀聞。及其時，果食。蓋高遠難窮之事，必積時累驗，乃見端倪。《授時曆》推日食之法，較前之十三家最密矣，然尚不能無數刻之差。故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而誤晝者一。履謙謂：食與否系於天，足猶泥前人當食不食，不當食而食之謬說，誣莫甚矣。

泰定間，履謙為太史院使，以《授時曆》行五十年未嘗推考，乃日測晷景並晨昏五星宿度，自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加時真數，各減見行曆書二刻，撰《二至晷景考》二卷。《授時》雖有經串，而經以著定法，串以紀成數；求共法之所以然，數之所從出，則略而不詳；作《經串演說》八卷，以發明其蘊焉。

時鄱陽人趙友欽推演《授時》之理，著《革象新書》五卷，號為新曆之學。

其《曆法改革篇》曰：「曆法由古及今，六十餘術矣。漢太初粗為可取，然猶疏略未密。唐一行作大衍術，當時以為密矣，以今觀之，猶自甚疏。蓋歲淺則差少未覺，久而積差漸多，不容不改，要當隨時測驗，以求真數。

其《日道歲差篇》曰：「統天術謂周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周歲三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，然又謂周歲漸漸不同，上古歲策多，後世歲策少，如此則上古歲差少，後世歲差多。當今術法謜之，立減加歲策之法，上考往古，百年加一秒，下驗將來，百年減一秒。」

其《黃道損益篇》曰：「二至之日，黃道平其度，斂狹每度約得十之九二分，斜行赤道之交。今之授時術步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度數最少，己亥度數最多，其餘則多寡稍近。

其《積年日法篇》曰：「前代造術者，逆求往古門上元，求其積年總會，是以必立日法。然有所謂截元術，但將推步定數為順算逆考，不求其齊。當今授時術採舊術截元之術，凡積年日法皆所不取。

其《日月盈縮筒》曰：「月行十三度餘十九之七，然或先期，或後期，有差至四五度者，後漢劉洪始考究之，知月有盈縮。隋之劉焯始覺太陽亦有盈縮，最多之時在於春秋二分，均差兩度有餘。李淳風有推步月孛法，謂六十二日行七度，六十二年七周天。所謂孛者，乃彗星之一種光芒，偏槊者則謂之彗，光芒四出如渾圓者乃謂之孛。然孛以月為名者，孛之所在，太陰所行最遲，太陰在孛星對衝處則所行最疾。孛星不常見，止以太陰所行最遲處測之。

其《月有九道篇》曰：「月行出入黃道之內外，遠於黃道處六度二分。月道與黃道相交處在二交之始，名曰羅喉，交之中，名曰計都。自交初至於交中，月在黃道外，名曰陽限。自交中至於交出，月在黃道內，名曰陰限。所謂九行者，當以畫圖比之。四圖各兩黃道，似一圓環，俱於環南定為夏至。環北定為冬至，環西定為春分，環東定為秋分。將一圖畫為青追，與黃道交於南北，南交為羅，北交為計。其青道二邊入在黃道西之東，是內青道；一邊出在黃道東之東，是外青道。又將一圖畫白道，亦與黃道交於南北，南交為計，北交為羅。其白道一邊入在黃道東之西，是內白道；一邊出在黃道西之西，是外白道。又將一圖畫朱道，與黃道交於東西，東交為計，西交為羅。其朱道一邊入黃道之南，是內朱道，一邊出在黃道南之南，是外朱道。又將一圖畫黑道，亦與黃道交於東西，東交為羅，西交為計。其黑道一邊入在黃道南之北，是內黑道；一邊出在黃道北之北，是外黑道。此雖畫四圖，然四圖之八道止是一道也。本八道而曰九行者，以北道之行，交於黃道，故道以九言也。八道常變易，不可置於渾儀上，亦不得畫於星圖。所可具者黃、赤二道耳。欲別於黃，故塗以赤。赤道近八道皆相交遠近。朱道止十八度遠，黑道至三十度遠，青白二道約二十四度遠。」

其《地域遠近篇》曰：「古者立八尺之表，以驗四時日景。地中夏至，景在表北一尺六寸，冬至，景在表北一丈三尺。南至交廣，北至鐵勒等處驗之，俱各不同。表高八尺，似失之短。至元以來，表長四丈，誠萬古之定法也。所謂土圭者，自古有之。然地上天多早晚，太陽與人相近，則景移必疾；日午與人相遠，則景移必遲。世間土圭均畫而已，豈免午侵己未，而早晚時刻俱差。地中差已如是，若以八方偏地驗之，土圭之不可準尤為顯。然偏東者，早景疾，而晚景遲，午景先至；偏西者，早景遲，而晚景疾，午景後期；偏北者，少其畫，而景遲；偏南者，多其畫，而景疾。若南越短，景南指，而子午反復，則又訛逆甚矣。」其《日月薄食篇》曰：「日之圓，體大，月之圓，體小。日道之周圍亦大，月道之周圍亦小。日道距天較近，月道距天較遠。日月之體與所行之道，雖有少廣之差，然月與人相近，日與人相遠。故月體因近視而可比日道之廣，日食、月食當以天度經緯而推。同經不同緯，止曰合朔。同經同緯合朔，而有食矣。人望日體，見為月之黑體所障，故云日食。然日體未嘗有損，所謂食者，強名而已。日月對躔，而望若不當二交前後，則不食。望在二交前後，則必食。或既或不既，當以距交遠近而推。日月之圓徑相倍。日徑一度，月徑止得日徑之半，然在於近視，亦準一度。是猶省秤出於復秤，斤兩雖同，其實則有輕重之異。日之圓徑倍於月，則暗虛之圓徑亦倍於月。月既準一度，則暗虛廣二度矣。月食分數止以距交近遠而論，別無四時加試。八方所見食分並同。日食則不然，舊曆云：假令中國食既戴，日之下所虧才半，化外反觀，則交而不食。何以言之？日月如大小二球，共懸一索。日上、月下，相去稍遠，人在其下正望之，黑球遮盡赤球，比若食既。若傍視，則分遠近之差，即食數有多寡也。」

其《五緯距合篇》曰：「古者止知五緯距度，未知有變數之加減。北齊張子信仰觀歲久，始知五緯又有盈縮之變，當加減常數以求其逐日之躔。所以然者，蓋五緯不由黃道，亦不由月之九道。乃出入黃道內外，各自有其道。視太陽遠近而遲疾者，如足力之勤倦又有變數之加減者。比如道里之徑直斜曲。其《勾股測天篇》曰：「古人測景，千里一寸之差，猶未親切。今別定表之制度，並述元有算法。就地中各去南北數百里，仍不偏於東西，俱立一表，約高四丈。於表首下數寸作一方竅，外廣而內狹，當中薄如連邊，兩旁如側置漏底之碗，形圓而竅方。以南北表景之數相減餘，名景差。兩表相距里路，各乘南北表景，各如景差而一即得。二表各與戴日之地相距數日，平遠各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一即得。日輪頂與戴日地相距數，以南北表景各加平遠所得自乘，名勾冪。日高自乘，名股冪。兩冪相並，名弦冪。開為平方，名曰日遠。乃南北表竅之景距日斜遠也。

其《乾象周髀篇》曰：「古人謂圓徑一尺，周圍三尺。後世考究則不然。圓一而周三，則尚有餘；圍三而徑一，則為不足。蓋圍三徑一，是六角之用也。或謂圓徑一尺，周圍三尺一寸四分；或謂圓徑七尺，周圍二十二尺；或謂圓徑一百一十三，周圍三百五十五。徑一而周三一四，猶自徑多圍少；徑七而周二十二，卻是徑少周多；徑一百一十三，周三百五十五，最為精密。其考究之術，兩百眼茶盤一，眼廣一寸，方圖之內，畫為圓圖，徑十寸，圓內又畫小方圖。小方以算術展為圓象，自四角之方，添為八角曲圓為第一次。若第二次，則為曲十六。第三次為，則曲三十二。第四次則為曲六十四。凡多一交，其曲必倍。至十二次，則其為曲一萬六千三百八十四。其初之小方，漸加漸展，漸滿漸實，角放愈多，而其為方者不復方，而變為圓矣。今先以第一次言之，內方之弦十寸，名大弦，自乘得一百寸，名大弦冪，內方之勾冪五十寸，名第一次大勾冪。以第一次大勾冪，減其大弦冪，餘五十寸，名大股冪，開方得七寸七釐一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股減其大弦，餘二寸九分二釐八毫有奇，名第一較，折半得一寸四分六釐四毫有奇，名第一次小勾。此小勾之數。乃內方之四邊與圓圍最相遠處也。以第一次小勾自乘，得二寸一分四釐四毫有奇，名第一次小勾冪。以第一次大勾冪，折半得二十五寸。又折半得十二寸五分，名第一次小股冪，並第一次小勾冪，得一十四寸六分四百四毫有奇，名第一次小弦冪，開方得三寸八分二釐六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，行三十寸六分一釐有奇，即是八曲之周圍也。此以小數求之，不若改為大數，將大弦改為一千寸，然後依法而求。若求第二次者，以第一次小弦冪，就名第二次大勾冪。以第一次大股冪減其大弦冪餘，為第二次大股冪。開方為第二次大股，以減其大弦餘為第二較，折半名二次小勾。此小勾之數，即是八曲之邊，與圓圍最相遠處也。以第二次小勾自乘，名第二次小勾冪。以第二次大勾冪兩折，名第二次小股冪。以第二次小股冪並第二次小勾冪，名第二次小弦冪，開方為第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周圍也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦遞次相仿。置第十二次之小弦，以第十二次之曲數一萬六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九釐二毫有奇，即是千寸徑之周圍也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方為數之始，圓為數之終。圓始於方，方終於圓。周髀之術，無出於此矣。

友欽闡明曆理，於授時術尤為深得，傳其學於龍遊人朱暉。有元一代，不為曆官，而知曆者，友欽一人而已。