欽定古今圖書集成
曆象彙編第一百四卷

姊妹计划: 数据项

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百四卷目錄

　測量部彙考五

　新法曆書二〈大測下〉

曆法典第一百四卷

測量部彙考五

《新法曆書二》

大測下

表法篇第四

既得前六宗率，更用《三要法》作表。

要法一

「前後兩弦」，其能等於半徑。〈圖說系法俱見本篇總論第十二條〉

要法二

圖

有各弧之前後兩弦求倍本弧之正弦

如上甲戊弧三十五度其正弦為戊己得五七三五七六四其餘弦即乙己得八一九一五二○今以此二弦求倍甲戊而為甲丁弧之正弦其法以乙戊半徑千萬為第一率以戊己

正弦為第二率，以乙壬餘弦為第三率，即得壬庚第四率與辛癸等，為四六九八四六二。倍之得丁癸，為九三九六九二四。其弧甲丁七十度。

論曰：「乙戊己與乙壬甲兩三角形比例等，則乙己與乙壬等，而戊己與甲壬亦等，乙己與乙壬等，故乙壬為餘弦也。而乙壬庚乙戊己兩形之比例等，故第四率為壬庚。壬庚與辛癸同為直角形之邊，故等。又丁壬戊戊壬甲同為直角，則甲戊戊丁兩弧等。甲壬壬丁兩弦亦等，而丁辛與壬庚亦等，故倍辛癸得丁癸」也。又丁辛壬壬庚甲兩形之三邊俱等，依句股法得甲庚邊。倍之為甲癸，以減半徑得癸乙為餘弦。

要法三

各弧之全弦上方，與其正半弦上偕，其矢上兩方，并等句股術也。

如左甲丁弧之正弦為丁辛，其矢為甲辛。此兩線上方并與甲丁上方等。

系法有一弧之正弦及其餘弦，而求其半弧之正弦。如左甲丁弧，其正弦為丁辛，餘弦為乙辛，而求甲戊。

圖

弧之甲己半弦其法於甲乙半徑減乙辛餘弦得甲辛矢其上方偕丁辛半弦上方并與甲丁通弦上方等開方得甲丁線半之得甲己為甲戊弧之正弦其數如上甲丁弧三十度其半弦丁辛為五○○○○○○乙辛餘弦為八六六

○二五四以減全半徑，得甲辛矢一三三九七四六，丁辛上方為二五○○○○○○○○○○○○，甲辛上方為一七九四九。一九三四四五一六，并之得二六七九四九，一九三四四五一六，開方得甲丁線五一七六三八○，即甲丁弧三十度之弦也。半之為甲己半弦，得二五八八一九○。其弧十五度。

用前三要法，即《大測表》，大略可作。又有《簡法》二題，其用甚便，但非恆有。

簡法一

圖

兩正弦之較與六十度左右距等弧之正弦等〈見本卷第二篇〉

解曰甲乙丙象限內有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊丁兩弧等其前兩正弦一為己辛一為丁庚其較丁癸題言丁癸較與己壬壬

圖

丁兩正弦各等

論曰試作一己子線則丁己子成三邊等角形何也此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己兩底亦等子丁己子己丁兩

圖

角亦等又丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十度而乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁既平行甲戊線截二線於子即內外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六十度角也丁與全己全子三角既等兩直角

圖

〈一之三十二〉則共為一百八十度。於中減全子角六十度，則丁己兩全角百二十度。而此兩角既等，即各得六十度，則此形之三角三邊俱等。夫丁己己子兩線等，則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等，而己癸同腰，則丁癸與癸子必等。

丁癸為丁子之半，丁壬為丁己之半，全線等，則所分必等，是丁癸與丁壬等，與壬己亦等。

《系題》兩弧，各有其正半弦，兩半弦至弧之點，在六十度之左右；而距度點等，則前兩正半弦之較，即後兩半弦。

如圖丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十度，丙己之正半弦，己辛先得七千六百六十。丙丁弧七十度，丁戊弧亦十度，丙丁弧之正半弦為丁庚先得九千三百九十六。今求丁戊弧之半弦，其法以己辛、丁庚兩半弦相減，得丁癸較一千七百三十六，即丁戊弧十度之丁壬半弦。〈此數半徑設一萬〉

次系有六十度，左右相離弧之正弦一率，又有其原正弦一率，而求其相對之彼正弦，其法有二：一以大求小，一以小求大。以大求小者，用大弧之正弦與相離弧之正弦相減，其較為小弧之正弦。

餘則稱餘倒則稱倒

以小求大者，用《相離弧》之半弦，加小弧之半弦，即大弧之半弦。

圖

如上丁壬離弧之正弦即九度與丁癸較等為一千七百三十六丁庚大弦為九千三百九十六相減得癸庚七千六百六十即己丙弧之己辛小弦反之丁癸較為一千七百三十六〈即丁壬離弦〉以加於癸庚。〈即辛己小弦〉七千六百六十，得《丁庚》

大弦，九千三百九十六。

用此法，於象限內，先得半弦六十率，用加減法，即得。其餘三十率。

簡法二

有兩弧不等之各正弦，又有其各餘弦，而求兩弦相加相減弧之各正弦，其法有二，一相加，一相減。相加者，以前弧之正弦乘後弧之餘弦，以後弧之正弦乘前弧之餘弦，各得數并之，為實，以半徑為法而一，得兩弧相加為總。弧之正弦。相減者，亦如前法互乘得。

圖

各數相減餘為實以半徑為法而一為兩弧相減弧之正弦

如上甲乙前弧二十度乙丙後弧十五度總三十五度其差五度甲乙弧之半弦為三四二○二○一其餘弧甲丁之半弦為九三九六九二六乙丙弧之半

弦為二五八八一九○。其餘弧乙丁之半弦，為九六五九二五八。以甲乙半弦與丙丁餘弦之半乘，得三三○三六六○三八七○八五八；以乙丙半弦與甲丁餘弦乘，得二四三三二一○二九九○五七四○；以相加，得五七三三七六三。

以下滿半收為一，不滿去之。

三七七六五九八，以半徑為法而一，得五七三五七六三，即三十五度弧之半弦。若以相減，則餘八七一五五七三九六五一一八，以半徑為法而一，得八七一五五七，即○五度弧之半弦。此題多羅某所用全弦，故說中云「半弦，而圖與數皆全弦。」然全與全，半與半比例等，則亦未有異也。

有前六宗率為資，有後三要法為具。

「資為材料」，具如器械。

即可作《大測》全表。

如用前法，求得十二度弧之正半弦率，而求其相通之他率。

弧　　　　　　　　　度分　　　　　用法得半弦數正弧　　　　　　　　一二　　　　　　　　　　　　　　　　二○七九一一七。〈半之〉　　　　　　○六　　　　　　　　　　　　　　　　一○四五二八五。〈又半之〉　　　　　○三　　　　　　　　　　　　　　　　五二，三三六○。〈又半之〉　　　　　○一三○　　　　　　　　　　　　　　二六，一七六九。〈又半之〉　　　　　○○四五　　　　　　　　　　　　　　一三○八九六，其餘弧　　　　　　　八四。　　　〈六度之餘第一〉　　　　　九九四五二一九。

八七　　　〈一度之餘〉　　　　　　　九九八六二，九五八八三○。〈一度半之餘〉　　　　　　九九九六五七三八九一五。〈○度四十五分之餘〉　　　九九九九一四三

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦數。〈半其餘八十四度〉　四二　　　　　　　　　　　　　　　　六六，九一三○六。〈半之〉　　　　　　二一　　　　　　　　　　　　　　　　三五八三六七九。〈又半之〉　　　　　十○三○　　　　　　　　　　　　　　一八二二三五五。〈又半之〉　　　　　○五一五　　　　　　　　　　　　　　九，一五○一六。〈半其餘八十七度〉　四三三○　　　　　　　　　　　　　　六八，八三五四六。〈又半之〉　　　　　二一四五　　　　　　　　　　　　　　三，七○五五七四。〈半其餘八八○三○〉四十四　　十五　　　　　　　　　　　六九七，七九○五，又用前七率之餘弧而求其正弦。

四八　　　〈四十二之第餘　　　一〉　七四三一四四八六九。　　　〈二十一之餘〉　　　　　　九三三五八○四七九三○。　〈十度半之餘〉　　　　　　九八三二五，四九八四四五。　〈八度十五分之餘〉　　　　九九五八○四九四六三○。　〈四十三度半之餘〉　　　　七二五三七四四六八一五。　〈二十一四十五分餘〉　　　九二八八○九，六四五四五。　〈四十四十五分之餘〉　　　七一六三○一九

又半前七率而求其正弦，

二四　　　〈四十八之半〉　　　　　　四○六七三六六

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦數。

三四三○　〈六十九之半〉　　　　　　五六六四○六，二一七一五。　〈三十四三十分之半〉　　　二九六五四一六三九四五。　〈七十九三十分之半〉　　　六三九四三，九○二三一五。　〈四十六三十分之半〉　　　「三九四七四三九」，

又用前五率之餘弧，而求其半弦，

六六　　　〈二十四之第餘一〉　　　　九一三五四，五五五五三○。　〈三十四三十分之餘〉　　　八二四，一二六，二七二四五。　〈十七度十五分之餘〉　　　九五五○一九九五○《一五》。　〈三十九四十五分餘〉　　　七六八，八四一，八六，六四五。　〈二十三度十五分餘〉　　　九一八七九一二

又半前五率，而求其正弦，

三三　　　〈六十六之半〉　　　　　　五四四六三九○一六三○。　〈三十三之半〉　　　　　　二八四○一五三○八一五。　〈一十六三十分之半〉　　　一四三四九二六二七四五。　〈五十五三十分之半〉　　　四六五六一四五，

又用前四率之餘弧而求其正弦。

五七　　　〈三十三之第餘一〉　　　　八三八六七○六

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦數。

七三三○　〈十六度三第十分之餘一〉　九五八，八一九七八一四五。　〈八度十五分之餘〉　　　　九八九六五一，四六二一五。　〈二十七四十五分餘〉　　　八八四九八七六

又半前四率，而求其正弦，

二八三○　　〈五十七度之半〉　　　　　四七七一五八八一四一五。　〈二十八三十分之半〉　　　二四六一五三三三六四五。　〈七十三三十分之半〉　　　五九八三二四六，

又用前三率之餘而求其正弦；

六一三○　〈二十八度第三十分餘一〉　八七八八一一一七五四五。　〈十四度十五分之餘〉　　　九六九二三○，九五三一五。　〈三十六四十五分餘〉　　　八○一二五三八

又半前六十一度三十分，而求其正弦。

三○四五　　　　　　　　　　　　　　五一一二九三一

又用前三十○度四十五分之餘，而求其正弦，

五九一五　　　　　　　　　　〈第一〉八、五、九、四○、六四

以上，皆十二度所生之率。再用其餘弧七十八度推之，亦如前法。又十二度之弧，為前六宗率之十五邊形也。其餘五形，如三邊、四邊、五邊、六邊、十邊形，亦如前法。作此既畢，即《大測表》之大段全具矣。何者？首得者四十五分，其次為一度三十分，又次為二度一十五分，如此常越四十五分而得一率，乃至九十度皆然。所少者，其中之各第一以至四十四分也。今欲求初度一分以至四十五分如何？其法以四十五分弧之半弦一三○八九六，用第二、第三法半之，得二十二分三十秒之弧，其半弦為六五四四九。又半前弧，得一十一分一十五秒之弧，其半弦為三二七二四半。夫二十二分三十秒之前弧，倍於一十一分十五秒之後弧，而前半弦亦倍於後半弦，蓋繇初度之弦與弧切近，略似相合為一線故也。則用同比例法。〈即三率法〉以二十二分三十秒之弧為第一率，以其半弦六五四四九為第二率，設十分之弧為第三率，而得第四率為二九○八八。再用此法，得一分之弧，為二九 ○九弱。既得一分，即用前法推之，可至一十五分。此外更用前三要法推之，以至九十度。

其求切線，皆用三率法

圖

以餘半弦為第一率以半弦為第二率以半徑為第三率而得第四率切線如三十度之弧其餘半弦八六六○二五四為第一率其半弦五○○○○○○為第二率半徑一○○○○○○○為第三率則得第四率五七七三五○

《二》。

其求割線，亦用三率法。

以餘半弦為第一率，半徑為第二率，又為第三率，而得割線第四率。

如前戊乙為三十度之弧，其餘半弦甲丙八六六○ 二五四為第一率，半徑甲戊一○○○○○○○為第二率，又以半徑甲乙為第三率，而得甲丁一一五四七○○五為三十度弧之割線。

其求割線之約法，不用三率，而用加減法。

圖

如上乙己弧二十度其切線為乙戊餘弧為己丙七十度半之得己丁三十五度即截乙庚弧與己丁等次作乙辛切線得數以加乙戊切線即兩切線并為戊乙辛切線與甲戊割線等

其求矢法以餘半弦減半

圖

徑得小矢

如丙丁弧五十度餘弧甲丁四十度其餘半弦丁戊即己乙為六四二七八七六以減乙丙千萬得己丙矢

已上所述皆遠西法也彼自度以下遞析為六十今中曆遞用百析為便故須

《會通》前表為百分之表。其會通法，如西六十分即中之百分，半之三十分即五十分，又半之十五分即二十五分，以五為法，西三分即中五分，次用倍法，六分即十分，九分即十五分，十二分即二十分，如是以至六十。

〈三　六　九　十二　十五　十八　二十一　二十四　二十七　三十　五　十　十五　二十　二十五　三十　三十五　四十　四十五　五十三三　三六　三九　四二　四五　四八　五一　五四　五七　六十　五五　六十　六五　七十　七五　八十　八五　九十　九五　百〉《通表》法書各度之四種，割圓線中西法皆同，所不同者，分也。其分數書五分，用其三分之率；書十分，用其六分之率。如是逓至於百，所闕者每二率相距少其間四率耳，則用加減法求之。

如二十四度○三分，即中五分也；其小弦數。〈小弦者十萬為半徑也〉四○七五三，又二十四度○六分，即中十分也。其小半弦四○八三三，其差八十五。分之得十六為一差。以加於前小半弦，即得四○七六九，得《中曆》二十四度六分之半弦。再加一差，得四○七八五，為七分之半。弦三加得四○八○一，為八分之半。弦四加得四○八一七，為九分之半。弦五加得四○八三三，為十分之半。弦合前率矣。如是遞加之，得六十，與百分相通之全表。

西法每二率各有差，其差大抵半度而一更也。若差數有畸零不盡者，如西表二十四度二十七分之半，弦為四一三九○；又二十四度三十分之半，弦為四一四六九，其差得七十九。五分之得十五；又五分之四為一差。通之則從中表二十四度四十五分首加一差。

《二》。〈十四〉度四十五分　　　　　　　四一三九○。

〈差法〉一五　　　　　五之四

四十六分　。〈加一差。〉　四一四○五　　　　　五之四四十七分。　〈加二差〉　四一四二一　　　　　五之三四十八分。　〈加三差〉　四一四三七　　　　　五之二四十九分。　〈加四差〉　四一四五三　　　　　五之一五十○分。　〈加五差〉　四一四六九

如上有畸零者，滿半收為一，不滿去之。

「考表法　」作「表」未必無誤，故立考之之法。

如表書「七十七度一十八分」，其切線為四四三七三四九九，此率如屬可疑，則以前後各二率考之。

圖

表用篇第五

表用一　，有弧數，求其正弦。

如三十七度五十四分之弧，求其正弦，查本度本分表得六一四二八五三。

又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦，查本度本分之半弦為六一四二八五三。又取次率五十五分之半弦為六一四五一四八，相減，得差二二九五。〈若表上有差率即取本差〉此差以當六十秒，用三率法，以六十秒為第一率，以二二九五差為第二率，以四十六秒為第三率，而求第四率，得一七五九。以加所取之前半弦六一四二八五三，共得六一四四六一二，即所求。

系凡求切線、割線，同上法。

次系有正弧求餘弦，視本弧同位之餘度分，向正弧表上取其正弦。

如求三十度之餘弦，視正弧表上與同位者，為餘弦六十度，即向正弧六十度取。其弦八六六○二五四，即三十度之餘弦。

表上逆列同位者為五十九度六十分，而此言「六十度」，蓋並其六十分為六十度。其逆列六十度者則是六十一度。何者？凡所書弧分，皆所書弧度之算外分故也。

又如求五十度○分之餘弦，本表逆列同位者，為三十九度六十分。即於正弦表上簡三十九度六十分之弦，得六四二七八七六即所求。

《三系》測三角形，欲得見弧。

「見弧」者，有已得之弧而求其弦也。「隱弧」者，有已得之弦而求其弧也。凡已得者稱「見」，未得者稱「隱。」《諸線》《諸角》之屬皆倣此。

之各線，查表之本度分直取之，則各線咸在也。如弧三十度，求其割圓各線，即查表之三十度初分，又查其同位之六十度。所得如左：

三十度初分正弦　　　　　五○○○○○。

切線　：五七七三五○三割線　：一一五四七○○五。

餘。〈五十九度六十分〉弦　「八六六○三五四。」

切線　一七三二○五○八割線　二○○○○○○○。

四系有鈍角，求其各線，如鈍角，一百四十二度六分。

圖

其正弦則以一百四十二度六分減半周餘三十七度五十四分查表求其正弦得六一四三八五三如上丙丁正弦當丙乙小弧亦當丙戊大弧故當丙甲丁銳角亦當丙甲戊鈍角何者甲上銳鈍二角原當兩直角而表上無鈍角

之弧與其正弦，故減鈍角。於百八十度得銳角三十七度五十四分。其半弦丙丁以當丙戊大弧，即以當大弧之鈍角也。

表用二　，有正弦求其弧。

與前題相反，如有正弦八八八八八三九，欲求其弧，查表上正弦格，得此數，即得本度為六十二，本分為四十四也。

又如正弦五七六五八三四，求弧，查表無此數。即取其近而略小者，得三十五度十二分之弦，為五七六四三二三；與見弦相減，餘一五一一。又取其近而略大者，得五七六六七○○；與前小弦相減，餘二三七七。以此大差當六十秒。用三率法，以二三七七大差為第一率，以六十秒為第二率，以一五一一小差為第三率，而得第四率，為三十五度十二分三十秒，即所求他各線。求弦俱倣此。

表用三　有弧，求其通弦。

如七十五度四十八分之弧求通弦，其法半之，得三十七度五十四分，求其正弦，得六一四二八五二倍。

圖

之得一二二八五七○四即所求

如甲乙弧七十五度四十八分半之為乙戊弧求得乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因通弦無表故用半弧正弦倍之即是他準此

表用四　有弧求其

圖

大小矢

如乙丁弧三十七度五十四分求兩矢查表截矢數得乙丙小矢為二一○九一五九以減全徑二○○○○○○○得大矢一七八九○八四一如表無小矢即求見弧之餘弦得七八九○八四一以減半徑

得小矢。

測平篇第六

「測平」者，測平面上三角形也。凡此形皆有六率：曰「三邊」，曰「三角。」角無測法，必以割圓線測之，其比例甚多。今用四法以為根本。依此四根法，可用《大測表》測一切平面三角形，亦執簡御繁之術也。凡測三角形，皆用三率法。〈即同比例〉《三率》法又以相似兩三角形。〈幾何六卷四〉「為宗」，下文詳之。

根法一

圖

各三角形之兩邊與其各對角兩正弦比例等一云右邊與左邊若左角之弦與右角之弦

如上甲乙丙平面三角形其甲丙兩為銳角即以甲為心甲乙為半徑作乙戊弧次作乙己垂線即乙戊弧之正弦亦即甲角之正

弦也。又以甲乙為度，從丙截取丙庚，從丙心庚界，作庚辛弧，又作垂線，庚丁即庚辛弧與丙角之正弦也。《題》言乙角之甲乙右邊與乙丙左邊。若左角丙之庚丁正弦與右角甲之乙己正弦

《論》曰：「乙丙己三角形，有乙己庚丁兩平行線，即乙丙與乙己，若庚丙與庚丁，而丙庚原與甲乙等，即乙丙與乙己。若甲乙與庚丁，更之即甲乙與乙丙，若庚丁與乙己。」

如左甲乙丙形，乙與直角有丙乙丁戊兩平行線，即

圖

甲丙與丙乙若甲丁與丁戊而乙丙與甲丁等即甲丙與丙乙若丙乙與丁戊反之則丙角之丙乙右邊與丙甲左邊若左角甲之丁戊弦與右角乙之丙乙弦

如右甲乙丙形乙為鈍角其正弦丙壬而甲戊線與

圖

乙丙等甲角之正弦為戊己題言丙角之甲丙右邊與丙乙左邊若左角乙之丙壬弦與右角甲之戊己弦何也試於形外引甲乙至丁作丙丁線與丙乙等即丁角與乙銳角等依首條甲丙與丙丁若丙壬與戊己即甲丙與丙乙亦若

圖

丙壬與戊己

總論之各三角形各兩邊之比例與兩對角之兩正弦比例等者何也試於形外作切圈則三邊為三弦而本形之各邊皆為各對角之通弦即乙丙邊與甲乙邊若甲角之弦與丙角之弦也當己即是豈止同

比例而已乎？夫「全」與「全」、「半」與半比例等，則各「半弦」與各《通弦》之比例亦等。

此題為用「《對角》根本。」

根法二

「各三角形」，以大角為心，小邊為半徑作圈，而截兩邊各為圈內外兩線，即底線與兩腰并，若腰之外分與底之外分。

如左甲乙丙形，其小邊甲丙，其底乙丙。以甲為心，甲丙為半徑作圈，截底於戊，截大腰於庚，題言「乙丙底。」

圖

與乙甲甲丙兩腰并若腰外分乙庚與底外分乙戊論曰試作乙己引出線即甲己與甲丙等而乙己與兩腰并等乙己乙庚矩內形與乙丙乙戊矩內形兩容等〈幾何三卷三五〉即兩形邊為互相視之邊，而乙己與乙丙。若乙戊與乙庚，即得乙

戊底外分。以減全底，得戊丙。半之，得垂線所至為丁丙。

此題為「用《垂線》根本。」

根法三

有「兩角并」之數，又有其各正弦之比例。求兩分角之數。

如左乙甲丙角有其弧乙辛丙之數，其兩分之大角為乙甲壬，小角為壬甲丙。未得數。但知大角正弦乙丁小角正弦丙戊之比例，亦未得數，而求兩分角之

圖

數其法以乙辛丙弧兩平分於辛作甲辛線乙甲辛辛甲丙兩角等而辛甲壬角為半弧與小弧之差又為大弧與小弧之半差次截辛庚弧與辛戊等作甲庚線即庚甲壬角為大小兩弧之差夫乙丙者總角之弦乙丑平分弧之正弦

而己辛為乙辛半弧之切線，辛癸為辛丙半弧之切線，此二線等，而辛壬辛庚各為半差弧之切線，亦等。又乙丁、子子丙戊兩形，為兩正弦上三角形，此兩形之丁與戊皆直角，又同底即兩正弦之對角，為子上兩交角，亦等。〈幾何一卷十題〉而丁乙子子丙戊兩角亦等。〈幾何一卷三二〉則兩形為相似形。而乙丁正弦與丙戊正弦。若乙子與子丙。〈幾何六卷四〉先既有乙丁丙戊兩正弦之比例，即得乙子與子丙之比例，而又得乙子與子丙之較為子寅。夫乙丙己癸兩線，同為甲辛半徑上之垂。

圖

線即平行甲乙丙甲己癸兩形之各角等即為相似之形〈六卷四〉而兩形內所分之各兩三角形，如甲庚癸、甲寅丙之類俱相似。即以兩線之并數乙丙為第一率，以兩線之差數子寅為第二率，以兩半弧之兩切線己癸為第三率，則得兩

差弧之切線庚壬為第四率矣。而此比例稍繁，別有簡者則半之，曰丙丑與子丑，若癸辛與壬辛也。有更簡者則曰乙丙與子寅，若辛癸與辛壬也。今用第三法，云：乙丙為兩邊之并數，子寅其較數，辛癸為兩角總數內半弧之切線，而辛壬為大小兩角較弧之切線。既得辛壬切線，即得辛甲壬角；以加乙甲辛半角，即得乙甲壬大角；以減辛甲丙半角，即得壬甲丙小角。

以數明之，乙甲丙角為四十度，所包大小兩隱角為

圖

乙甲壬壬甲丙其兩正弦乙丁丙戊之比例為七與四即乙子子丙之比例亦七與四而乙丙之總數如十一平分之於丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙兩弧各二十度又以大線七與半線相減餘一有半以半線五有半與小

線四相減，亦餘一有半。又甲辛為半徑，即辛丙二十度弧之切線。辛癸為三六三九七○二，即以丑丙五有半為第一率，以辛癸切線三六三九七○二為第二率，以子丑一有半為第三率，而得辛壬切線九九二六四六為第四率。既得第四率，即得辛壬所當辛甲壬角為五度四十○分八秒，以減辛丙二十度，餘壬甲小角一十四度一十九分五十二秒。以加半弧乙、辛，得乙、《甲》壬大角二十五度四十○分八秒。

此題為「用《切線》根本。」