律呂精義/內篇卷一

內篇卷一

○總論造律得失第一

律非難造之物，而造之難成何也？推詳其弊，蓋有三失：王莽偽作原非至善，而歷代善之，以為定制，根本不正，其失一也；劉歆偽辭全無可取，而歷代取之，以為定說，考據不明，其失二也；三分損益舊率疏舛，而歷代守之，以為定法，算術不精，其失三也。欲矯其失，則有三要：不宗王莽律度量衡之制，一也；不從《漢志》劉歆班固之說，二也；不用三分損益疏舛之法，三也。以此三要，矯彼三失，《律呂精義》所由作也。或曰：大泉之寸，黍之分，非莽歆遺法乎？今乃取之何也？答曰：大泉之徑，漢尺以為寸，黍之長，古尺以為分，而莽歆之尺則不然，所以與新法不同也。

漢書王莽傳曰：「天鳳六年初，獻新樂於明堂太廟。或聞其樂聲，曰：清麗而哀，非興國之聲也。」根本不正，此之謂也。《宋書律志》曰：「班氏所誌，未能通律呂本源，徒訓角為觸，徵為祉，陽氣施種於黃鍾，如斯之屬，空煩其文，而為辭費。又推九六，欲符劉歆三統之數，假托非類，以飾其說，皆孟堅之妄矣。」考據不明，此之謂也。《宋書律志》又曰：三分益一為上生，三分損一為下生，此其大略，猶周天鬥分四分之一耳。京房不思此意，引而伸之，仲呂上生執始，執始下生去滅，至於南事，為六十律，竟復不合，彌益其疏。」算術不精，此之謂也。大泉之寸，黍之分，詳見《審度篇中。》

○不宗黃鍾九寸第二

律由聲製，非由度出，製律之初，未有度也。度尚未有，則何以知黃鍾乃九寸哉！以黃鍾為九寸，不過漢尺之九寸耳，周尺則不然也，商尺又不然也，虞夏之尺皆不然也，黃帝之尺亦不然也。

先儒謂：「夏禹十寸為尺。成湯十二寸為尺。武王八寸為尺。」三代之尺不同。尺雖不同，而黃鍾則無不同也。解釋黃鍾之義，遷就九寸之說，自漢儒為始耳。漢儒以前，《周》禮、《左傳》、《國語》、《管子》、《呂覽》之類，皆未嘗以黃鍾之長為九寸也。此說臣聞諸臣父云：「蓋黃帝之尺，以黃鍾之長為八十一分者，法洛書陽數也。」

黃帝時，洛出書，見沈約《符》《瑞》《志》，猶禹時洛書三一也。洛書數九，自乘得八十一，是為陽數。蓋十二者，天地之大數也；百二十者，律呂之全數也，除去三十九，則八十一耳。故《呂氏春秋》曰：「斷兩節間，三寸九分。」後學未達，遂指三寸九分為黃鍾之長者，誤矣。八寸一分，三寸九分，合而為十二寸，即律呂之全數。全數之內，斷去三寸九分，餘為八寸一分，即黃鍾之長也。《管子》曰：「凡將起五音，先主一而三之，四，開以合九九，以是生黃鍾。」蓋謂算術，先置一寸為實，三之為三寸，又四之為十二寸也。「開以合九九」者，八十一分開方得九分，九分自乘得八十一分，為黃鍾之長也。

「虞夏之尺皆以黃鍾之長為十寸者，法河圓中數也。」

《書》稱舜：「同律度量衡」。堯舜禹相憚，未嘗改制度。然則禹以十寸為尺，即舜所同之度尺也。舊謂：「度本起於黃鍾之長。」又謂：「黃鍾之長九寸，外加一寸為尺。何瑭嘗辨之曰：「《漢志》謂黃鍾之律九寸，加一寸以為尺。夫度量權衡所以取法於黃鍾者，蓋貴其與天地之氣相應也。若加一寸以為尺，則又何取於黃鍾？殊不知黃鍾之長，固非人所能為。至於九其寸而為律，十其寸而為尺，則人之所為也。《漢志》不知出此，乃欲加黃鍾一寸為尺，謬矣。」臣按：黃鍾之律長九寸，縱黍為分之九寸也。寸皆九分，凡八十一分，洛書之奇自相乘之數也，是為律本。黃鍾之度長十寸，橫黍為分之十寸也。寸皆十分，凡百分，河圖之偶自相乘之數也，是為度母。縱黍之律，橫黍之度，名數雖異，分劑實同。孰使之然哉？天地自然之理耳。

「成湯以夏尺之十二寸有半寸為尺，則黃鍾之長乃商尺之八寸。武王以夏尺之八寸為尺，則黃鍾之長乃周尺之十二寸有半寸。黃鍾無所改，而尺有不同。彼執著九寸為黃鍾之律，然則商之黃鍾太長，周之黃鍾太短，豈不謬哉？」

起度之法，十寸為尺，八寸為咫。商之咫，復之尺也；夏之咫，周之尺也。十寸自乘為實，八寸為法除之，得十二寸有半寸也。○不用三分損益第三

律家三分損其一，三分益其一；曆家四分度之一，四分日之一；與夫方則直五斜七，圓則周三徑一等率：皆舉大略而言之耳，非精義也。新法算律與方圓皆用句股術，其法本諸《周禮》桌氏為量，「內方尺而圓其外」（有圖見後）「內方尺而圓其外」，則圓徑與方斜同，知方之斜，則知圓之徑矣。

度本起於黃鍾之長，則黃鍾之長即度法一尺。命平方一尺為黃鍾之率。東西十寸為句，自乘得百寸為句冪；南北十寸為股，自乘得百寸為股冪：相並共得二百寸為弦冪。乃置弦冪為實，開平方法除之，得弦一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖二三七三○九五○四八八○一六八九為方之斜，即圓之徑，亦即蕤賓倍律之率。以句十寸乘之，得平方積一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三絲七十三忽○九五○四八八○一六八九為實，開平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纖五○○二七二一○六六七一七五，即南呂倍律之率。仍以句十寸乘之，又以股十寸乘之，得立方積一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一絲○六十六忽七一七五為實，開立方法除之，得一尺○五分九厘四毫六絲三忽○九纖四三五九二九五二六四五六一八二五，即應鍾倍律之率。蓋十二律黃鍾為始，應鍾為終，終而復始，循環無端，此自然真理，猶貞後元生，坤盡復來也。是故各律皆以黃鍾正數十寸乘之為實，皆以應鍾倍數十寸○五分九厘四毫六絲三忽○九纖四三五九二九五二六四五六一八二五為法除之，即得其次律也。安有往而不返之理哉！舊法往而不返者，蓋由三分損益算術不精之所致也。是故新法不用三分損益，別造密率，其詳如左。

積算旁通圖【此條命尺為京，後條或命寸為兆，或命寸為億，蓋欲多列位數，見開方之妙也。】

二【本是二尺，進作二百寸為實，以上文所載應鍾倍律之數十寸五分有奇為法除之，餘條仿此。】

右乃黃鍾倍律積算【置黃鍾倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得大呂】一八八七七四八六二五三六三三八六九九三二八三八二六

右乃大呂倍律積算【置大呂倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得太蔟。】一七八一七九七四三六二八○六七八六○九四八○四五二

右乃太蔟倍律積算【置太蔟倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得夾鍾。】一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○六二二五一

右乃夾鍾倍律積算【置夾鍾倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得姑洗。】一五八七四○一○五一九六八一九九四七四七五一七○六

右乃姑洗倍律積算【置姑洗倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得仲呂。】一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七九九二八一

右乃仲呂倍律積算【置仲呂倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得蕤賓。】一四一四二一三五六二三七三○九五○四八八○二八八九

右乃蕤賓倍律積算【置蕤賓倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得林鍾。】一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八三○八三二

右乃林鍾倍律積算【置林鍾倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得夷則。】一二五九九二一○四九八九四八七三一六四七六七二一一

右乃夷則倍律積算【置夷則倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得南呂。】一一八九二○七一一五○○二七二一○六六七一七五○○

右乃南呂倍律積算【置南呂倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得無射。】一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三三五三三

右乃無射倍律積算【置無射倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得應鍾。】一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五

右乃應鍾倍律積算【置應鍾倍律積算進一位為實，以應鍾倍律積算為法除之，得黃鍾。】

新造密率二種【倍律命寸為兆，正律命寸為億，欲初學者知命法之變通云耳。】黃鍾之率二十兆【本是二十寸，命作二十兆。】

大呂之率十八兆八千七百七十四萬八千六百二十五億三千六百三十三萬八千六百九十九

太蔟之率十七兆八千一百七十九萬七千四百三十六億二千八百○六萬七千八百六十○

夾鍾之率十六兆八千一百七十九萬二千八百三十億○五千○七十四萬二千九百○八

姑洗之率十五兆八千七百四十萬○一千○五十一億九千六百八十一萬九千九百四十七

仲呂之率十四兆九千八百三十萬○七千○七十六億八千七百六十六萬八千一百四十九

蕤賓之率十四兆一千四百二十一萬三千五百六十二億三千七百三十萬○九千五百○四

林鍾之率十三兆三千四百八十三萬九千八百五十四億一千七百萬○○三千四百三十六

夷則之率十二兆五千九百九十二萬一千○四十九億八千九百四十八萬七千三百一十六

南呂之率十一兆八千九百二十萬○七千一百一十五億○○二十七萬二千一百○六

無射之率十一兆二千二百四十六萬二千○四十八億三千○九十三萬七千二百九十八

應鍾之率十兆○五千九百四十六萬三千○九十四億三千五百九十二萬九千五百二十六黃鍾之率十億【本是十寸，命作十億。】大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二

太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八

蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七

無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七

論曰：造率始於黃鍾，必先求蕤賓者，猶冬夏二至也；次求夾鍾及南呂者，猶春秋二分也。「太極生兩儀，兩儀生四象」，此之謂也。始於黃鍾者，履端於始也，中於蕤賓者，舉正於中也；終於應鍾者，歸餘於終也：律與曆一道也。黃鍾為宮，蕤賓為中，應鍾為和，此三律者，律呂之綱紀也；尤見變宮變徵有益於樂，而不可妄廢也。

○不拘隔八相生第四

新法不拘隔八相生，而相生有四法，或左旋，或右旋，皆循環無端也，以證三分損益往而不返之誤。所謂四法者，開列於後。

其一：黃鍾生林鍾，林鍾生太蔟，太蔟生南呂，南呂生姑洗，姑洗生應鍾，應鍾生蕤賓，蕤賓生大呂，大呂生夷則，夷則生夾鍾，夾鍾生無射，無射生仲呂，仲呂生黃鍾。長生短，五億乘之；短生長，十億乘之。皆以七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之。

其二：黃鍾生仲呂，仲呂生無射，無射生夾鍾，夾鍾生夷則，夷則生大呂，大呂生蕤賓，蕤賓生應鍾，應鍾生姑洗，姑洗生南呂，南呂生太蔟，太蔟生林鍾，林鍾生黃鍾。長生短，五億乘之；短生長，十億乘之。皆以六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之。

其三：黃鍾生大呂，大呂生太蔟，太蔟生夾鍾，夾鍾生姑洗，姑洗生仲呂，仲呂生蕤賓，蕤賓生林鍾，林鍾生夷則，夷則生南呂，南呂生無射，無射生應鍾，應鍾生黃鍾半律。此係長生短，皆以五億乘之，皆以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之。

其四：黃鍾半律生應鍾，應鍾生無射，無射生南呂，南呂生夷則，夷則生林鍾，林鍾生蕤賓，蕤賓生仲呂，仲呂生姑洗，姑洗生夾鍾，夾鍾生太蔟，太蔟生大呂，大呂生黃鍾。此係短生長，皆以十億乘之，皆以九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之。

橫黍百分律，依新法算。黃鍾長十寸

新法置黃鍾之率十億為實，五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得林鍾。林鍾長六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖

新法置林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實，十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得太蔟。太蔟長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖

新法置太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八為實，五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得南呂。南呂長五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖

新法置南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實，十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得姑洗。姑洗長七寸九分三厘七毫○○五微二纖

新法置姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五為實，五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得應鍾。應鍾長五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖

新法置應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實，十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得蕤賓。蕤賓長七寸○七厘一毫○六忽七微八纖

新法置蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一為實，十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得大呂。大呂長九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖

新法置大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實，五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夷則。夷則長六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖

新法置夷則之率六億二千九百九十六萵○五百二十四為實，十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夾鍾。夾鍾長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖

新法置夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五為實，五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得無射。無射長五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖

新法置無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四為實，十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得仲呂。仲呂長七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖

新法置仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實，十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得黃鍾。黃鍾長十寸（還元）

新法置黃鍾之率十億為實，五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得仲呂。仲呂長七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖

新法置仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實，五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得無射。無射長五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖

新法置無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四為實，十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得夾鍾。夾鍾長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖

新法置夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五為實，五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得夷則。夷則長六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖

新法置夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四為實，十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得大呂。大呂長九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖

新法置大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實，五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得蕤賓。蕤賓長七寸○七厘一毫○六忽七微八纖

新法置蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一為實，五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得應鍾。應鍾長五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖

新法置應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實，十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得姑洗。姑洗長七寸九分三厘七毫○○五微二纖

新法置姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五為實，五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得南呂。南呂長五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖

新法置南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實，十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得太蔟。太族長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖

新法置太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八為實，五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得林鍾。林鍾長六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖

新法置林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實，十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得黃鍾。黃鍾長十寸（還元）

新法置黃鍾之率十億為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得大呂。大呂長九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖

新法置大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得太蔟。太蔟長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖

新法置太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得夾鍾。夾鍾長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖

新法置夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得姑洗。姑洗長七寸九分三厘七毫○○五微二纖

新法置姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得仲呂。仲呂長七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖

新法置仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千四十七除之，所得億約為寸，得蕤賓。蕤賓長七寸○七厘一毫○六忽七微八纖

新法置蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得林鍾。林鍾長六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖

新法置林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得夷則。夷則長六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖

新法置夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得南呂。南呂長五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖

新法置南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得無射。無射長五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖

新法置無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得應鍾。應鍾長五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖

新法置應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實，五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得黃鍾半律。

黃鍾半律長五寸

新法置黃鍾半率五億為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得應鍾。應鍾長五寸二分九厘七毫三絲一忽五微四纖

新法置應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得無射。無射長五寸六分一厘二毫三絲一忽○二纖

新法置無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得南呂。南呂長五寸九分四厘六毫○三忽五微五纖

新法置南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得夷則。夷則長六寸二分九厘九毫六絲○五微二纖

新法置夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得林鍾。林鍾長六寸六分七厘四毫一絲九忽九微二纖

新法置林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得蕤賓。蕤賓長七寸○七厘一毫○六忽七微八纖

新法置蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得仲呂。仲呂長七寸四分九厘一毫五絲三忽五微三纖

新法置仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得姑洗。姑洗長七寸九分三厘七毫○○五微二纖

新法置姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得夾鍾。夾鍾長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纖

新法置夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得太蔟。太蔟長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纖

新法置太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得大呂。大呂長九寸四分三厘八毫七絲四忽三微一纖

新法置大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得黃鍾。黃鍾長十寸（還元）

以上橫黍百分之律，依新密率四法算竟。斜黍九十分律，依新法算。黃鍾長九寸【每寸十分，餘律做此。】

新法置黃鍾之率十億折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得林鍾。林鍾長六寸○○六毫七絲七忽九微三纖

新法置林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得太蔟。太蔟長八寸○一厘八毫○八忽八微四纖

新法置太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得南呂。南呂長五寸三分五厘一毫四絲三忽二微○

新法置南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得姑洗。姑洗長七寸一分四厘三毫三絲○四微七纖

新法置姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得應鍾。應鍾長四寸七分六厘七毫五絲八忽三微九纖

新法置應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得蕤賓。蕤賓長六寸三分六厘三毫九絲六忽一微○

新法置蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得大呂。大呂長八寸四分九厘四毫八絲六忽八微八纖

新法置大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夷則。

夷則長五寸六分六厘九毫六絲四忽四微七纖

新法置夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夾鍾。夾鍾長七寸五分六厘八毫○六忽七微七纖

新法置夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得無射。無射長五寸○五厘一毫○七忽九微二纖

新法置無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得仲呂。仲呂長六寸七分四厘二毫三絲八忽一微八纖

新法置仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得黃鍾。黃鍾長九寸【還元】

縱黍八十一分律，依新法算。黃鍾長八寸一分

新法置黃鍾之率十億，以八十一億乘之，折半退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得林鍾。林鍾長五寸四分○六毫一絲○一微四纖

新法置林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七，以八十一億乘之，退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得太蔟。

太蔟長七寸二分一厘六毫二絲七忽九微六纖

新法置太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八，以八十一億乘之，折半退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得南呂。

南呂長四寸八分一厘六毫二絲八忽八微八纖

新法置南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七，以八十一億乘之，退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得姑洗。

姑洗長六寸四分二厘八毫九絲七忽四微二纖

新法置姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五，以八十一億乘之，折半退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得應鍾。

應鍾長四寸二分九厘○八絲二忽五微五纖

新法置應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七，以八十一億乘之，退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得蕤賓。

蕤賓長五寸七分二厘七毫五絲六忽四微九纖

新法置蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一，以八十一億乘之，退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得大呂。

大呂長七寸六分四厘五毫三絲八忽一微九纖

新法置大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二，以八十一億乘之，折半退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夷則。

夷則長五寸一分○二毫六絲八忽○二纖

新法置夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四，以八十一億乘之，退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夾鍾。

夾鍾長六寸八分一厘一毫二絲六忽○九纖

新法置夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五，以八十一億乘之，折半退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得無射。

無射長四寸五分四厘五毫九絲七忽一微二纖

新法置無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四，以八十一億乘之，退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得仲呂。

仲呂長六寸○六厘八毫一絲四忽三微六纖

新法置仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八，以八十一億乘之，退位為實，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得黃鍾。

黃鍾長八寸一分【還元】

以上斜黍九十分律，及縱黍八十一分律，各具四法。今載其一，餘三法皆仿此，故不悉載。縱黍八十一分作九寸律，依新法算。

例曰：此法每寸九分，每分九厘，每厘九毫，每毫九絲，每絲九忽，每忽九微，每微九纖。皆以九為法，故與十不同。

算盤首位為寸位，第二位為分位，第三位為厘位，第四位為毫位，第五位為絲位，第六位為忽位，第七位微位，第八位為纖位。

初九因至寸位住，又九因至分位住，又九因至厘位住，又九因至毫位住，又九因至絲位住，又九因至忽位住，又九因至微位住，又九因至纖位住。雲至分位者，不許至寸位，雲至厘位者，不許至分位。餘仿此。

黃鍾長九寸新法置黃鍾之率十億為實，九因至寸位住，得九寸，為黃鍾。大呂長八寸四分四厘○六絲七忽四微五纖

新法置大呂之率九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實，初九因至寸位住，得八寸；又九因至分位住，得四分；又九因至厘位住，得四厘；又九因至毫位住，得○毫；又九因至絲位住，得六絲；又九因至忽位住，得七忽；又九因至微位住，得四微；又九因至纖位住，得五纖。凡九因八遍，共得八寸四分四厘○毫六絲七忽四微五纖，為大呂。

太蔟長八寸○一厘四毫一絲六忽○八纖

新法置太蔟之率八億九千○八十九萬八千七百一十八為實，初九因至寸位住，得八寸；又九因至分位住，得○分，又九因至厘位住，得一厘；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得六忽；又九因至微位住，得○微；又九因至纖位住，得八纖。凡九因八遍，共得八寸○分一厘四毫一絲六忽○微八纖，為太蔟。

夾鍾長七寸五分一厘○一絲○七微四纖

新法置夾鍾之率八億四千○八十九萬六千四百一十五為實，初九因至寸位住，得七寸；又九因至分位住，得五分；又九因至厘位住，得一厘；又九因至毫位住，得○毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得○忽；又九因至微位住，得七微；又九因至纖位住，得四纖。凡九因八遍，共得七寸五分一厘○毫一絲 ○忽七微四纖，為夾鍾。

姑洗長七寸一分二厘五毫四絲二忽○○

新法置姑洗之率七億九千三百七十萬○○五百二十五為實，初九因至寸位住，得七寸；又九因至分位住，得一分；又九因至厘位住，得二厘；又九因至毫位住，得五毫；又九因至絲位住，得四絲；又九因至忽位住，得二忽；又九因至微位住，得○微；又九因至纖位住，得○纖。凡九因八遍，共得七寸一分二厘五毫四絲二忽○微○纖，為姑洗。

仲呂長六寸六分六厘一毫一絲六忽八微一纖

新法置仲呂之率七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實，初九因至寸位住，得六寸；又九因至分位住，得六分；又九因至厘位住，得六厘，又九因至毫位住，得一毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得六忽；又九因至微位住，得八微；又九因至纖位住，得一纖。凡九因八遍，共得六寸六分六厘一毫一絲六忽八微一纖，為仲呂。

蕤賓長六寸三分二厘四毫二絲八忽四微七纖

新法置蕤賓之率七億○七百一十萬○六千七百八十一為實，初九因至寸位住，得六寸；又九因至分位住，得三分；又九因至厘位住，得二厘；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得二絲；又九因至忽位住，得八忽；又九因至微位住，得四微；又九因至纖位住，得七纖。凡九因八遍，共得六寸三分二厘四毫二絲八忽四微七纖，為蕤賓。

林鍾長六寸○○四毫八絲四忽二微七纖

新法置林鍾之率六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實，初九因至寸位住，得六寸；又九因至分位住，得○分；又九因至厘位住，得○厘；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得八絲；又九因至忽位住，得四忽；又九因至微位住，得二微；又九因至纖位住，得七纖。凡九因八遍，共得六寸○分○厘四毫八絲四忽二微七纖，為林鍾。

夷則長五寸六分○二毫一絲四忽七微五纖

新法置夷則之率六億二千九百九十六萬○五百二十四為實，初九因至寸位住，得五寸；又九因至分位住，得六分；又九因至厘位住，得○厘；又九因至毫位住，得二毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得四忽；又九因至微位住，得七微；又九因至纖位住，得五纖。凡九因八遍，共得五寸六分○厘二毫一絲四忽七微五纖，為夷則。

南昌長五寸三分一厘四毫一絲六忽六微三纖

新法置南呂之率五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實，初九因至寸位住，得五寸；又九因至分位住，得三分；又九因至厘位住，得一厘；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得六忽；又九因至微位住，得六微；又九因至纖位住，得三纖。凡九因八遍，共得五寸三分一厘四毫一絲六忽六微三纖，為南呂。

無射長五寸○四厘一毫二絲一忽一微五纖

新法置無射之率五億六千一百二十三萬一千○二十四為實，初九因至寸位住，得五寸；又九因至分位住，得○分；又九因至厘位住，得四厘；又九因至毫位住，得一毫；又九因至絲位住，得二絲；又九因至忽位住，得一忽；又九因至微位住，得一微；又九因至纖位住，得五纖。凡九因八遍，共得五寸○分四厘一毫二絲一忽一微五纖，為無射。

應鍾長四寸六分八厘一毫五絲一忽○五纖

新法置應鍾之率五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實，初九因至寸位住，得四寸；又九因至分位住，得六分；又九因至厘位住，得八厘；又九因至毫位住，得一毫；又九因至絲位住，得五絲；又九因至忽位住，得一忽；又九因至微位住，得○微；又九因至纖位住，得五纖。凡九因八遍，共得四寸六分八厘一毫五絲一忽○微五纖，為應鍾。

黃鍾半律長四寸四分四厘四毫四絲四忽四微四纖。

新法置黃鍾半率五億為實，八因九歸，億約為寸，得四寸四分四厘四毫四絲四忽四微四纖，為黃鍾半律。

謹按：約十為九主意，蓋為三分損益而設，使歸除無不盡數耳。夫律呂之理，循環無端，而秒忽之數，歸除不蓋，此自然之理也。因其天生自然，不須人力穿鑿，以此算律，何善如之！歷代算律，隻欲秒忽除之有盡，遂致律呂往而不返，此乃顛倒之見，非自然之理也。是以新法不用三分損益，不拘隔八相生，然而相生有序，循環無端，十二律呂，一以貫之。此蓋二千餘年之所未有，自我聖朝始也，學者宜盡心焉。