九章算術 (四部叢刊本)/卷第九

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卷第八 九章算術 卷第九
魏 劉徽 注 唐 李淳風 等奉敕注釋 宋 李籍 撰音義 景上海涵芬樓藏微波榭刊本
音義一卷

九章算術卷九          算經十書之二

            魏 劉 徽 注

   唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋

句股以御高深廣遠

今有句三尺股四尺問爲弦幾何

     荅曰五尺

今有弦五尺句三尺問爲股幾何

     荅曰四尺

今有股四尺弦五尺問爲句幾何

    荅曰三尺

  句股短面日句長面日股相與結角日弦句短其股股短其弦將以施於諸率

  故先具此術以見其源也

  術曰句股各自乘并而開方除之卽弦

  乘爲朱方股自乘爲靑方令出入相補各從其類因就其餘不移動也合成弦方之

  幂開方除之卽弦

  又股自乘以減弦自乘其餘開方除之卽

  句臣淳風等謹按此術以句股幂合成弦幂句方於内則句短於股令股自乘以

  弦自乘餘者卽句幂也故開方除之卽句也

  又句自乘以減弦自乘其餘開方除之卽

  股句股幂合以成弦幂令去其一則餘在者皆可得而知之

今有圓材徑二尺五寸欲爲方版令厚七寸問

廣幾何

    荅曰二尺四寸五分

  術曰令徑二尺五寸自乘以七寸自乘減

  之其餘開方除之卽廣此以圓徑二尺五寸爲弦版厚七寸

  爲句所求廣爲股也

今有木長二丈圍之三尺葛生其下纒木七周

上與木齊問葛長幾何

    荅曰二丈九尺

  術曰以七周乘三圍爲股木長爲句爲之

  求弦弦者葛之長據圍廣木長求葛之長其形葛卷裏袤以筆管

  靑線宛轉有似葛之纒木解而觀之則每周之間自有相間成句股弦則其間木長

  爲股圍之爲句葛長爲弦弦七周乘三圍是并合衆句以爲一句則句長而股短故

  術以木長謂之句圍之謂之股言之倒互句與股求弦亦如前圖句三自乘爲朱幂

  股四自乘爲靑幂合朱靑二十五爲弦自乘幂出上第一圖句股幂合爲弦幂明

  矣然二幂之數謂倒在於弦幂之中而已可更相裏者則成方幂其居表者則成矩

  幂二表裏形訛而數均又按此圖句幂之矩靑卷白表是其幂以股弦差爲廣股弦

  并爲袤而股幂方其裏股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦差爲廣句弦并爲袤而

  句幂方其裏是故差之與并用除之短長互相乘也

今有池方一丈葭生其中央出水一尺引葭赴

岸適與岸齊問水深葭長各幾何

    荅曰

    水深一丈二尺

    葭長一丈三尺

  術曰半池方自乘此以池方半之得五尺爲句水深爲股葭長爲

  弦以句及股弦差求股弦故令句自乘先見矩幂也以出水一尺自

  乘減之出水者股弦差減此差幂於矩幂餘爲倍股弦差乘股長之矩幂

  餘倍出水除之卽得水深倍差爲矩幂之廣水深是股欲

  先見葭長者出水一尺自乘以加於半池方自乘倍出水除之卽得令此幂得出水

  一尺爲袤故爲矩而得葭長也加出水數得葭長臣淳風等謹按

  此葭本出水一尺旣見水深故加出水尺數而得葭長也

今有立木繫索其末委地三尺引索郤行去本

八尺而索盡問索長幾何

    荅曰一丈二尺二十一分尺之一

  術曰以去本自乘此以去本八尺爲句所求索者弦也引而索盡

  與開門去閫者句及股弦差求股弦同一術去本自乘者先張矩幂令如委

  數而一委地者股弦差也以除矩幂卽是股弦并也所得加委

  地數而半之卽索長子不可半者倍其母加差於并則成兩索

  長故又半之其減差於并而半之得木長也

今有垣高一丈倚木於垣高與垣齊引木郤行

一尺其木至地問木幾何

    荅曰五丈五寸

  術曰以垣高十尺自乘如郤行尺數而一

  所得以加郤行尺數而半之卽木長數

  垣高一丈爲句所求倚木者爲弦引郤行一尺爲股弦差其爲術之意與繫索問同

  

今有圓材埋在壁中不知大小以鐻鐻之深一

寸鐻道長一尺問徑幾何

    荅曰材徑二尺六寸

  術曰半鐻道自乘此術以鐻道一尺爲句材徑爲弦鐻深一寸爲

  弦差之一半故鐻長亦半之也 臣淳風等謹按下鐻深得一寸爲半股弦差注

  云爲股弦者鐻道也如深寸而一以深寸增之卽

  材徑亦以半增之如上術去本當半之今此皆同半差不復半也

今有開門去閫一尺不合二寸問門廣幾何

    荅曰一丈一寸

  術曰以去閫一尺自乘所得以不合二寸

  半之而一所得增不合之半卽得門廣

  閫一尺爲句門廣爲股不合二寸以半之得一寸爲股弦差求弦故當半之今卽以

  弦爲廣數故不復半之也

今有戸高多於廣六尺八寸兩隅相去適一丈

問戸高廣各幾何

    荅曰

    廣二尺八寸

    高九尺六寸

  術曰令一丈自乘爲實半相多令自乘倍

  之減實半其餘以開方除之所得減相多

  之半卽戸廣加相多之半卽戸高令戸廣爲句高

  爲股兩隅相去一丈爲弦高多於廣六尺八寸爲句股差按圖爲位弦幂適滿萬寸

  倍之減句股差幂開方除之其所得卽高廣并數以差減并而半之卽戸廣加相多

  之數卽戸高也今此術先求其半一丈自乘爲朱幂四黃幂一半差自乘又倍之爲

  黃幂四分之二減實半其餘有朱幂二黃幂四分之一其於大方棄四分之三適得

  四分之一故開方除之得高廣并數之半減差半得廣加得戸高又按此圖幂句股

  并自乘加差幂爲兩弦幂半之開方得弦今倍弦幂減差幂求句股并葢先見其弦

  然後知其句與股也句股適等者并而自乘卽爲兩弦幂皆各爲方先見其弦然後

  知其句與股者倍弦幂卽爲句股適等者并而自乘之幂半相多自乘倍之又半股

  并自乘亦倍之合爲弦幂其無差數者句股各自乘并之爲實與句股相乘倍之爲

  實皆開方得弦弦幂半之爲實開方卽得句股及股長句短同源而分流焉假令句

  股各五弦幂五十開方除之得七尺有餘一不盡假令弦十其幂有百半之爲句股

  二幂各得五十當亦不可開故曰圓三徑一方五斜七雖不正得盡理亦可言相近

  耳其句股合而自乘之幂令弦自乘倍之爲兩弦幂以減之其餘開方除之爲句股

  差加差於合而半之爲股減差於合而半之爲句股弦卽高廣袤其出此圖也其倍

  弦爲廣袤合矩句卽爲幂得廣卽句股差其矩句之幂倍爲從法開之亦句股差其

  餘以句股幂減半其餘差爲從法開方除之卽句也

今有戸不知高廣竿不知長短橫之不出四尺

從之不出二尺邪之適出問戸高廣袤各幾何

    荅曰

    廣六尺

    高八尺

    衺一丈

  術曰從橫不出相乘倍而開方除之所得

  加從不出卽戸廣此以戸廣爲句戸高爲股戸袤爲弦凡并句股

  之幂卽爲弦幂或矩於表或方於裏連之者舉表矩而方之又從句方裏令爲靑矩

  之表未滿黃方满此方則兩端之亷重於隅中各以股弦差爲廣句弦差爲袤故兩

  端差相乘又倍之則成黄方之幂開方除之得黃方之面其外之靑知亦以股弦

  爲廣故以股弦加之則爲句也加橫不出卽戸高兩不

  出加之得戸袤

今有竹高一丈末折抵地去本三尺問折者高

幾何

    荅曰四尺二十分尺之十一

  術曰以去本自乘此去本三尺爲句折之餘高爲股末折抵地爲

  弦以句及股弦并求股故先令句自乘見矩幂令如高而一竹高一丈

  爲股弦并以除此幂得差所得以減竹高而半其餘卽

  折者之高也此術與繫索者之類更相反覆也亦可如上術令高自乘

  爲股弦并幂去本自乘爲矩幂減之餘爲實倍高爲法則得折之高數也

今有二人同所立甲行率七乙行率三乙東行

甲南行十步而邪東北與乙會問甲乙行各幾

    荅曰

    乙東行十步半

    甲邪行十四步半及之

  術曰令七自乘三亦自乘并而半之以爲

  甲邪行率邪行率減於七自乘餘爲南行

  率以三乘七爲乙東行率此以南行爲句東行爲股邪行

  弦弦并七欲知弦者當以股自乘爲幂如并而一所得爲句弦差加差於并而

  半之爲弦弦減差餘爲句如是或有分當通而約之乃定術以句弦并爲分母差

 爲分子故令句弦并自乘爲朱黄相連之方股自乘爲靑幂之矩令其矩引之直

 損同之以句弦并爲袤差爲廣其圖大體以兩弦爲袤句弦并爲廣引黃斷其半爲

  弦率七自乘者句弦并之率故弦減之餘爲句率同立處是中停也列用率皆句弦

  并爲袤弦與句各爲之廣故亦以股率同其袤也置南行十步以

 甲邪行率乘之副置十步以乙東行率乘

 之各自爲實實如南行率而一各得行數

 南行十步者所有見句求見弦股故以弦股率如句率而一

今有句五步股十二步問句中容方幾何

    荅曰方三步十七分步之九

  術曰并句股爲法句股相乘爲實實如法

  而一得方一步句股相乘爲朱靑黃幂各二令黃幂連於下隅朱靑

  各以類合共成修幂中方黃爲廣并句股爲袤故并句股爲法幂圖方在句中則方

  之兩亷各自成小句股而其相與之勢不失本率也句面之小股股面之小句從横

  相連合而成中方令股爲中方率并句股爲廣率據見句五步而今有之得中方也

  復令句爲中方率以并句股爲袤率據股十二步而今有之則中方又可知此則雖

  不效而法實有法由生矣不容圓率以今有衰分言之可以見之也

今有句八步股十五步問句中容圓徑幾何

    荅曰六步

  術曰八步爲句十五步爲股爲之求弦

  位并之爲法以句乘股倍之爲實實如法

  得徑一步句股相乘爲圖之本體朱靑黃幂各二則倍之爲各四可用畫

  於小𥿄分裁邪正之會令顛倒相補各以𩔖合成脩幂圓徑爲廣并句股弦爲袤故

  并句股弦以爲法又以圖之大體言之股中靑必令立規於橫廣句股又邪三徑均

  而復連規從橫量度句股必合而成小方矣又畫中弦以觀其會則句股之中成小

  句股弦者四句面之小股股面之小句皆小方之面皆圓徑之半其數故可衰以句

  弦爲列衰副并爲法以小句乘未并者各自爲實實如法而一得句面之小股可

  知也以股乘列衰爲實則得股面之小句可知言雖異矣及其所以成法之實則同

  歸矣則圓徑又可以句乘之差并句弦減股爲圓徑又弦減句股并餘爲圓徑以

  弦差乘股弦差而倍之開方除之亦圓徑也

今有邑方二百步各中開門出東門十五步有

木問出南門幾何步而見木

    荅曰六百六十六步太半步

  術曰出東門步數爲法以句率爲法也半邑方自

  乘爲實實如法得一步此以出東門十五步爲句率東門南

  至隅一百步爲股率南門東至隅一百步爲見句步欲以見句求股以爲出南門數

  正合半邑方自乘者股率當乘見句此二者數同也

今有邑東西七里南北九里各中開門出東門

十五里有木問出南門幾何步而見木

    荅曰三百一十五步

  術曰東門南至隅步數以乘南門東至隅

  步數爲實以木去門步數爲法實如法而

  一此以東門南至隅四里半爲句率出東門十五里爲股率南門東至隅三里半

  爲見股所問出南門卽見股之句爲術之意與上同也

今有邑方不知大小各中開門出北門三十步

有木出西門七百五十步見木問邑方幾何

    荅曰一里

  術曰令兩出門步數相乘因而四之爲實

  開方除之卽得邑方按前術半邑方自乘出東門步數除之卽

  出南門步數今兩出門相乘爲半方邑自乘居一隅之積分因而四之卽得四隅之

  積分故以爲實開方除之卽邑方也

今有邑方不知大小各中開門出北門二十步

有木出南門十四步折而西行一千七百七十

五步見木問邑方幾何

    荅曰二百五十步

  術曰以出北門步數乘西行步數倍之爲

 實此以折而西行爲股自木至邑南十四步爲句以出北門二十步爲句率北門

  至西隅爲股率卽半廣數故以出北門句率乘西行股得半廣股率乘句之幂然此

  幂居半以西故又倍之合半以東也并出南門步數爲從法

  開方除之卽邑方此術之幂東西廣如邑方南北自木盡邑南十

  四步爲袤合南北步數爲廣袤差故連并兩步數爲從法以爲隅外之幂也

今有邑方十里各中開門甲乙俱從邑中央而

出乙東出甲南出出門不知步數邪向東門磨

邑適與乙會率甲行五乙行三問甲乙行各幾

    荅曰

    甲出南門八百步邪東北行四千八

    百八十七步半及乙

    乙東行四千三百一十二步半

  術曰令五自乘三亦自乘并而半之爲邪

  行率邪行率減於五自乘者餘爲南行率

  以三乘五爲乙東行率求三率之意與上甲乙同置邑

  方半之以南行率乘之如東行率而一卽

  得出南門步數邑半方自南門至東隅五里以爲小股求出南門步

  數爲小股之句以東行爲股率南行爲句率故置邑方半之以南行句率乘之如股

  率而以增邑方半卽南行半邑者謂從邑心中停也

  南行步求弦者以邪行率乘之求東者以

  東行率乘之各自爲實實如南行率得一

 步此術與上甲乙同

有木去人不知遠近立四表相去各一丈令左

兩表與所望參相直從後右表望之入前右表

三寸問木去人幾何

    荅曰三十三丈三尺三寸少半寸

  術曰令一丈自乘爲實以三寸爲法實如

  法而一此以入前右表三寸爲句率右兩表相去一丈爲股率左右兩表相

  去一丈爲見句所問木去人者見句之股股率當乘見句此二率俱一丈故曰自乘

  以三寸爲法實如法得一寸

有山居木西不知其高山去木五十三里木高

九丈五尺人立木東三里望木末適與山峯斜

平人目高七尺問山高幾何

    荅曰一百六十四丈九尺六寸太半

    寸

  術曰置木高減人目高七尺餘以乘五十

  三里爲實以人去木三里爲法實如法而

  一所得加木高卽山高此術句股之義以木高減人目高七

  尺餘有八丈八尺爲句率去人目三里爲股率山去木五十三里爲見股以句率乘

  見股如股率而一得句加木之高故爲山高也

今有井徑五尺不知其深立五尺木於井上從

木末望水岸入徑四寸問井深幾何

    荅曰五丈七尺五寸

  術曰置井徑五尺以入徑四寸減之餘以

  乘立木五尺爲實以入徑四寸爲法實如

  法得一寸此以入徑四寸爲句率立木五尺爲股率井徑四尺六寸爲見

  句問井深者見句之股也


九章算術卷之九終    錢唐莫濰校字





大淸乾隆三十八年癸巳秋闕里孔氏依汲古閣影宋刻本重雕

秘書省

 九章算術一 部共九冊

   元豐七年九月 日校定降授宣德郎秘書省校書郞葉祖洽上進

           校定承議郎行秘書省校書郎王仲脩

           校定朝奉郎行秘書省校書郎錢長卿

        奉議郎守秘書郞丞韓宗古

        朝請郎試秘書少監趙彦若

元豐七年九月二十八日

進呈奉

御寶批宐依已校定鏤板

    朝奉郎祕書丞上騎都尉賜緋魚袋韓 治

    朝散郎試祕書少監上騎都尉賜緋魚袋顧臨

    朝議大夫守祕書少監上䕶軍賜紫金魚袋劉攽




   中大夫守尙書右丞䕶軍東平郡開國侯食邑貳千叁百戸賜紫金魚袋呂大防

   通議大夫守尙書左丞上柱國平原郡開國公食邑貳千捌百戸食實封伍伯戸李淸臣

   正議大夫守中書侍郞上柱國馮翊郡開國公食邑貳千叁百戸食實封伍伯戸張 璪

   正議大夫守門下侍郎上柱國南陽郡開國公食邑貳千壹百戸食實封壹阡戸韓 維

 金紫光祿大夫守尙書右僕射兼中書侍郎上柱國東平郡開國公食邑六千二百戸食實封壹阡玖伯戸呂公著

 正議大夫守尙書左僕射兼門下侍郎上柱國河内郡開國公食邑四千一百戸食實封壹阡伍伯戸司馬光

九章算術卷九訂訛補圖     算經十書之二

        休寧 戴 震 東原

句股弦互求圖

     注云句自乘爲朱方股自乘爲

     靑方令出入相補合成弦方之

     幂又李淳風等釋云句方於内

     則句短於股據此則劉徽注此

     章舊有圖而缺今並按注補圖

  

據圍廣木長求葛之長其形葛卷裏袤以筆管

靑線宛轉有似葛之纒木解而觀之則每周之

閒自有相閒成句股弦則其閒木長爲股圍之

爲句葛長爲弦弦七周乘三圍是并合衆句以

爲一句則句長而股短故術以木長謂之句圍

之謂之股言之倒互句與股求弦亦如前圖句

三自乘爲朱幂股四自乘爲靑幂合朱靑二十

五爲弦五自乘幂出上第一圖句股幂合爲弦

幂明矣然二幂之數謂倒在於弦幂之中而已

可更相裏者則成方幂其居表者則成矩幂二

表裏形訛而數均又按此圖句幂之矩靑卷白

表是其幂以句股弦差爲廣股弦并爲袤而股

幂方其裏股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦

差爲廣句弦并爲袤而句幂方其裏是故差之

與并用除之短長互相乘也據趙君卿注周髀算經云凡并句股

之實卽成弦實或矩於外或方於内形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股弦差爲廣股弦

并爲袤而股實方其裏股實之矩以句弦差爲廣句弦并爲袤而句實方其裏君卿漢人此注

葢用其說而傳寫失真加以後人竄改遂不可通

句股差句股并與弦互求之圖

    據注意滿大方卽句股并自乘之幂

    有朱幂八黃幂一内小方卽弦實有

    朱幂四黃幂一倍弦實滿外大方而

    多一黃幂於弦内減黃幂四分之

    二半其餘適得外大方四分之一朱

    幂者句股積也黃幂之面卽句股差

股實之矩圖

   

     趙君卿云股實之矩以句弦差爲廣

     弦并爲袤而句實方其裏劉注用

     弦差句弦并與句股弦互求本此

句實之矩圖

   

      趙君卿云句實之矩以股弦差爲廣

      弦并爲袤而股實方其裏劉注用

      弦差股弦并與句股弦互求本此

臣淳風等謹按下鐻深得一寸爲半股弦差注

云爲股弦差者鐻道也案此言下鐻深得一寸爲半股弦差卽注所謂

鐻深一寸爲股弦差之一半也更綴注云爲股弦差者鐻道也十字舛誤不可通據割圓術鐻

深一寸卽可爲股弦差半鐻道五寸爲句材半徑爲弦若以此言之尤合術意

弦卽高廣袤其出此圖也其倍弦爲廣袤合

矩句卽爲幂得廣卽句股差弦卽高廣袤以下訛舛據趙君卿

注周髀算經云其倍弦爲廣袤合而令句股見者自乘其爲實四實以減之開其餘所得爲差

以差減合半其餘爲廣減廣於弦卽所求也此注似用其說而傳寫舛訛後人又妄加改竄遂

不可通就君卿說考之倍弦自乘得弦實四内有句實股實各四減四句實餘卽四股實開之

得倍股減四股實餘卽四句實開之得倍句所謂開其餘所得爲差也減倍股於倍弦半其餘

爲股弦差減倍句於倍弦半其餘爲句弦差所謂以差減合半其餘爲廣也減股弦差於弦

股減句弦差於弦卽句所謂減廣於弦卽所求也凡股弦差爲廣股弦并爲袤其幂卽句幂句

弦差爲廣句弦并爲袤其幂卽股幂合廣袤皆成倍弦故曰倍弦爲廣袤合而倍句倍股卽廣

其矩句之幂倍爲從法開之亦句股差其餘

以句股幂減半其餘差爲從法開方除之卽句

據趙君卿云減矩句之實於弦實開其餘卽股倍股在兩邊爲從法開矩句之角卽股弦

差減矩股之實於弦實開其餘卽句倍句在兩邊爲從法開矩股之角卽句弦差此注亦用其

說而殘缺失次遂不可通

句實廣袤合圖

 

    據注意句實以股弦差爲

    廣股弦并爲袤廣袤合亦

    卽倍弦減四句實於倍弦

    自乘之幂餘爲四股實開

    方得倍股卽句實之廣袤

    差也

 

    據注意倍弦自乘之幂容

    句實股實各四股實以句

    弦差爲廣句弦并爲袤廣

    袤合卽倍弦減四股實於

    弦自乘之幂餘爲四句

    實開方得倍句卽股實之

    廣袤差也

弦差股弦差求句股弦之圖

  弦差乘股弦差倍之爲

  兩亷其幂與黃方相等故

  開方除之得黃方之面加

   弦差卽句加句弦差卽

   股加兩差卽弦

 

 

術曰令七自乘三亦自乘并而半之以爲甲邪

行率邪行率減於七自乘餘爲南行率以三乘

七爲乙東行率據問意甲行率七者設句弦七也乙行率三者設股三也術

令七自乘三亦自乘并而半之爲甲邪行率者弦并自乘加股自乘半之卽弦乘句弦并所

得數以爲弦率邪行率減於七自乘餘爲南行率者句弦并自乘減弦乘句弦并餘卽句乘句

弦并所得數以爲句率弦率句率皆通之以句弦并則股三亦以乘句弦并七乃爲股率句股

弦三率皆句弦并通句股弦所得數然則七自乘卽句弦并之率三自乘卽句弦差之率合差

於并而半之爲弦弦并爲句其義一而已矣

   據注意句弦并自乘加股

   自乘成長方以兩弦爲袤

   弦并爲廣故半之爲弦

   率減股自乘弦率餘爲

   句率股自乘之矩損上橫

   幂益於下以弦并爲袤

   差爲廣

句股相乘爲朱靑黃幂各二令黃幂連於下隅

朱靑各以類合共成修幂中方黃爲廣并句股

爲袤故并句股爲法幂圖方在句中則方之兩

亷各自成小句股而其相與之勢不失本率也

句面之小股股面之小句從橫相連合而成中

方令股爲中方率并句股爲廣率據見句五步

而今有之得中方也復令句爲中方率以并句

股爲袤率據股一十二步而今有之則中方又

可知此則雖不效而法實有法由生矣此十三字舛誤

據上以粟米章今有術及衰分章列衰之意解此術大小句股互求并句股卽所有率中方率

卽所求率見句見股卽所有數於事雖不同而意相倣效實術所由生也注意當是如此

句股容方圖

 據注意句股相乘得兩黄幂兩朱幂兩靑

 幂令黃幂從黄幂朱幂從朱幂靑幂從靑

 幂兩朱在上兩黄在中兩靑合而横之在

 下則句股并爲幂容方之面爲廣其朱幂

 靑幂各成小股皆如大句股本率互求

句股相乘爲圖之本體朱靑黄幂各二則倍之

爲各四可用畫於小𥿄分裁邪正之會令顛倒

相補各以類合成修幂圓徑爲廣並句股弦

袤故并句股弦以爲法又以圖之大體言之股

中靑必令立規於橫廣句股又邪三徑均而復

連規此二十一字舛誤據容圓之徑卽減弦句股并之餘也取半徑規之又以半徑減

句股其餘并之適爲弦如是截句股弦各爲二三半徑均而復連於規之中央注意葢以此爲

言而殘缺失次遂不可通從橫量度句股必合而成小方矣

又畫中弦以觀其會則句股之中成小句股弦

四者句面之小股股面之小句皆小方之面皆

圓徑之半其數故可衰以句股弦爲列衰副并

爲法以小句乘未并者各自爲實實如法而一

得句面之小股可知也以股乘列衰爲實則得

股面之小句可知以小句乘未并者至此訛舛不可通或後人妄加改竄又

援衰分章之文入於此遂漫無辨别當是言令股爲列衰以見句乘之爲實實如法而一則句

面之小股可知也令句爲列衰以見股乘之爲實實如法而一則股面之小句可知此在粟米

章卽今有術以所求率乘所有數所有率除之古算家謂之異乘同除注以解大小句股互求

句率股率謂所有率及所求率見句或見股爲所有數不可以見句乘句率見股乘股率也

言雖異矣及其所以成法之實則同歸矣則圓

徑又可以句乘之差并此句亦訛舛當云則又可以股弦差減句爲圓

弦差減股爲圓徑此下有脫文當補云句弦差股弦差并之以減

弦餘爲圓徑

  據術意句股相乘半之爲句股積有朱靑

  黃幂各一則倍之有朱靑黃幂各四截朱

  靑幂各成小句股者二令倒順相補各成

  小長方合四朱四靑四黃而成大長方以

  容圓半徑爲廣并句弦爲袤

  九章之術乃算術之鼻祖囊括後賢胥不

  能度越範圍焉猶六經之臨百氏也周官

  保氏九數鄭君以九章之方田粟米衰分

  少廣商功均輸方程嬴不足旁要釋之綴

  曰今有重差夕桀句股也錢曉徵學士以

  爲夕桀乃互椉之脫誤良然蓋九章句股

  篇末有望遠度高測深七術或析之名曰

  九章重差互椉卽方程術所謂維椉是也

  句股卽旁要疏所云今九章以句股替旁

  要旁要云者不必實有是形可自旁假設

  以要取之祖冲之謂之綴術疏又引馬氏

  融注今有重差夕桀馬氏不連及句股者

  以句股替旁要故不重舉劉徽序云漢張

  蒼耿壽昌因舊文遺殘各稱刪補故校其

  目與古或異而所論多近語所謂目與古

  異者則句股替旁要是也至唐王孝通云

  校其條目頗與古術不合則妄而敢矣夫

  古今豈有異術哉劉徽因其有望遠諸術

  遂造重差綴於句股之下卽今海島算引

  而申之觸類而長之事之宜也舊有圖今

  缺余友休寧東原戴先生補之今分附諸

  篇之末亦猶劉徽之綴重差於句股焉乾

  隆癸巳闕里孔繼涵識於京師壽雲簃之

  敏事齋


九章算術卷九終