割圜密率捷法/卷一

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  割圜密率捷法
卷一
卷二 

割圜密率捷法卷一

步法

圜徑求周[编辑]

法置通徑,三因之,為第一條;次置第一條,四除之,又二除之,又三除之或三數連乘得二十四為法除之亦可後仿此,得數為第二條;次置第二條,九因之,四除之,又四除之,又五除之,得數為第三條;次置第三條,二十五乘之,四除之,又六除之,又七除之,得數為第四條;次置第四條,四十九乘之,四除之,又八除之,又九除之,得數為第五條;次置第五條,八十一乘之,四除之,又十除之,又十一除之,得數為第六條;次置第六條,一百二十一乘之,四除之,又十二除之,又十三除之,得數為第七條;次置第七條,一百六十九乘之,四除之,又十四除之,又十五除之,得數為第八條;次置第八條,二百二十五乘之,四除之,又十六除之,又十七除之,得數為第九條;次置第九條,二百八十九乘之,四除之,又十八除之,又十九除之,得數為第十條;次置第十條,以三百六十一乘之,四除之, 又二十除之,又二十一除之,得數為第十一條。併十一條之數得總數,即圜周。

按此即後通弦求弧背法也。三因通徑,即圜內容六等邊之周數也。圓內容六等邊,每邊與半徑等,故省比例乘、除之數。其四除各次所通用也。初次加二除、三除,二次加四除、五除,皆依次遞加一數以為法也;初次用九乘,二次用二十五乘,皆依次遞加二數自乘以為法也。三自乘為九,三加二得五,五自乘為二十五,下仿之。此以通徑,數至億者為例,故遞求至十一條,遇通徑數小者,次數可省。若依各數遞加為法,求至無窮,皆能得其密數也。

弧背求正弦[编辑]

法以弧背本數為第一條,次以半徑為連比例第一率,弧背為連比例第二率,求得連比例第三率;次置第一條,以三率乘之,一率除之,得第四率數,二除之,又三除之,得數為第二條,應減另書之;次置第二條,以三率乘之,一率除之,得第六率數,四除之,又五除之,得數為第三條,應加書於第一條之下;次置第三條,以三率乘之,一率除之,得第八率數,六除之,又七除之,得數為第四條,應減書于第二條之下。第一條、第三(條)相併,第二條、第四條相併,兩總數相減,得數即正弦。

按此以連比例遞求四、六、八率以加減二率也。四率用二除、三除,六率用四除、五除,皆依次遞加一數以為法也。四率為減,六率為加,八率又為減,相間以為消息也。數小者尚可省,數大者依次求之。建功案:此加減乃西法通例也。若援古開方例,以正負別加減于二、四、六、八等,應減之條為負數,用斜畫作誌,似較另書之例,甚便且無混淆之慮。

弧背求正矢[编辑]

法以半徑為連比例第一率,弧背為連比例第二率,求得連比例第三率,二除之,得數為第一條;次置第一條,以三率乘之,一率除之,得第五率數,三除之,又四除之,得數為第二條,應減另書之;次置第二條,以三率乘之,一率除之,得第七率數,五除之,又六除之,得數為第三條,應加書于第一條之下;次置第三條,以三率乘之,一率除之,得第九率數,七除之,又八除之,得數為第四條,應減書于第二條之下。第一條、第三條相併,第二條、第四條相併,兩數相減得數即正矢。

按此以連比例,遞求五、七、九率,以加減三率也。三率用二除,五率用三除、四除,亦依次遞加一數以為法也。加減亦相間為消息也。其法大概與求正弦同。

弧背求通弦[编辑]

法以弧背本數為第一條,次以半徑為連比例第一率,弧背為連比例第二率,求得連比例第三率;次置第一條,以三率乘之,一率除之,得第四率數,四除之,又二除之,又三除之,得數為第二條,應減另書之;次置第二條,以三率乘之,一率除之,得第六率數,四除之,又四除之,又五除之,得數為第三條,應加書于第一條之下;次置第三條,以三率乘之,一率除之,得第八率數,四除之,又六除之,又七除之,得數為第四條,應減書于第二條之下。第一條、第三條相併,第二條、第四條相併,兩總數相減得數即通弦。

按此法與求正弦法同,但通加一、四除耳。若四除第三率為常用之數,則每次之四除可省。通弦求弧背同此。

弧背求矢[编辑]

法以半徑為連比例第一率,弧背為連比例第二率,求得連比例第三率,四除之,又二除之,得數為第一條;次置第一條,以三率乘之,一率除之,得第五率數,四除之,又三除之,又四除之,得數為第二條,應減另書之;次置第二條,以三率乘之,一率除之,得第七率數,四除之,又七除之,又八除之,得第四條,應減書于第二條之下。第一條、第三條相併,第二條、第四條相併,兩總數相減得數即矢。

按此法與弧背求正矢同,但通加一、四除耳。若四除第三率為常同之數,則每次之四除可省。矢求弧背亦同。

通弦求弧背[编辑]

法以通弦本數為第一條,次以半徑為連比例第一率,通弦為連比例第二率,求得連比例第三率;次置第一條,以三率乘之,一率除之,得第四率數,四除之,又二除之,又三除之,得數為第二條;次置第二條,九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第六率數,四除之,又四除之,又五除之,得數為第三條;次置第三條,二十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第八率數,四除之,又六除之,又七除之,得數為第四條;次置第四條,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十率數,四除之,又八除之,又九除之,得數為第五條;次置第五條,八十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十二率數,四除之,又十除之,又十一除之,得數為第六條;次置第六條,一百二十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十四率數,四除之,又十二除之,又十三除之,得數為第七條;次置第七條,一百六十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十六率數,四除之,又十四除之,又十五除之,得數為第八條。併諸條得總數即弧背。

按此即前圜徑求周所用之法也。若二率與一率等,則比例可省。諸法不論求弧線、求直線,但視第幾條得數。首位已在單位下便可住,若首位尚在單位前者,須依次再推方密。

正弦求弧背[编辑]

法以正弦本數為第一條,次以半徑為連比例第一率,正弦為連比例第二率,求得連比例第三率;次置第一條,以三率乘之,一率除之,得第四率數,二除之,又三除之,得數為第二條;次置第二條,九因之,又以三率乘之,一率除之,得第六率數,四除之,又五除之,得數為第三條;次置第三條,二十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第八率數,六除之,又七除之,得數為第四條;次置第四條,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十率數,八除之,又九除之,得數為第五條;次置第五條,八十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十二率數,十除之,又十一除之,得數為第六條;次置第六條,一百二十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十四率數,十二除之,又十三除之,得數為第七條;次置第七條,一百六十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十六率數,十四除之,又十五除之,得數為第八條。併諸條得總數即弧背。

按此法與通弦求弧背法同,但通省一、四除耳。

正矢求弧背[编辑]

法位正矢為第一條,次以半徑為連比例第一率,倍正矢為連比例第三率,三率自乘,一率除之,得第五率數,三除之,又四除之,得數為第二條;次置第二條,四因之,又以三率乘之,一率除之,得第七率數,五除之,又六除之,得數為第三條;次置第三條,九因為,又以三率乘之,一率除之,得第九率數,七除之,又八除之,得數為第四條;次置第四條,十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十一率數,九除之,又十除之,得數為第五條;次置第五條,二十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十三率數,十一除之,又十二除之,得數為第六條;次置第六條,三十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十五率數,十三除之,又十四除之,得數為第七條;次置第七條,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十七率數,十五除之,又十六除之,得數為第八條。併諸條得總數,又為連比例第三率與連比例第一率半徑相乘,開平方,得連比例第二率,即弧背。

按此法與通弦、正弦求弧背之理同,惟多一開平方耳。除法始于三、四,乘法遞加一數,以自乘用數小異焉。

矢求弧背[编辑]

法置矢,八乘之即四乘又二乘,得數為第一條;次以半徑為連比例第一率,第一條為連比例第三率,三率自乘,一率除之,得第五率數,四除之,又三除之,又四除之,得數為第二條;次置第二條,四乘之,又以三率乘之,一率除之,得第七率數,四除之,又五除之,又六除之,得數為第三條;次置第三條,九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第九率數,四除之,又七除之,又八除之,得數為第四條;次置第四條,十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十一率數,四除之,又九除之,又十除之,得數為第五條;次置第五條,三十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十三率數,四除之,又十一除之,又十二除之,得數為第六條;次置第六條,三十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十五率數,四除之,又十三除之,又十四除之,得數為第七條;次置第七條,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十七率數,四除之,又十五除之,又十六除之,得數為第八條。併諸條得總數,又為連比例第三率與連比例第一率半徑相乘,開平方,得連比例第二率,即弧背。

按此法與正矢求弧背同。但第一條加一、四因,餘加一、四除耳。以上九法皆至精、至密任,有圜線求直線,有直線求圜線。雖推至無窮靡不合也,但遇設數大者,推算次數較多,故增後法。

餘弧求正弦、正矢[编辑]

視所設之弧,過四十五度者,與象限弧相減,得餘弧。次用餘弧,按弧背求正矢、正弦法,求得餘弧正矢,為本弧餘矢,與半徑相減,即得本弧正弦;求得餘弧正弦,為本弧餘弦,與半徑相減,即得本弧正矢。

餘矢、餘弦求本弧[编辑]

視所設正弦、正矢,數大于四十五度者,與半徑相減,得餘矢、餘弦。次用餘矢、餘弦,按正矢、正弦求弧背法,求得弧背為餘弧,與象限弧相減,即得本弧。

以上二法施之弧背求正、弦正矢已為省便。施之正矢、正弦求弧背尚有不能省便者,故又設後法。

借弧求正弦、餘弦[编辑]

餘弦即半徑正矢之,較三角形,用正矢甚少,故借弧求餘弦。

視設弧過三十度至六十度內者,借四十五度之弧背,與所設弧背相減得較弧背,按前法求得較弧之正弦、正矢。次以半徑為一率,借弧之弦線正弦、餘弦數同為二率,較弧之正弦、正矢相加、減設弧小于借弧,求正弦則加,求餘弦則減;設弧大于借弧,求正弦則減,求餘弦則加為三率,求得四率為弦較,與借弧弦線相加、減設弧小于借弧,求正弦則減,求餘弦則加;設弧大于借弧,求正弦則加,求餘弦則減,得數為設弧正弦、餘弦。

借正弦、餘弦求弧背[编辑]

有正弦求弧背,視正弦在十分半徑之三之內者,用本法求之;過十分半徑之九者,用餘矢求本弧法求之;若過十分半徑之三至十分半徑之六者,借三十度之正弦、餘弦用之;若過十分半徑之六至十分半徑之八者,借四十五度之正弦、餘弦用之;若過十分半徑之八至十分半徑之九者,借六十度之正弦、餘弦用之。法先求得本弧餘弦,然後以本弧正弦與借弧正弦相減,得正弦較,為股;以本弧餘弦與借弧餘弦相減,得餘弦較,為勾,求得弦為較弧通弦。次按前通弦求弧背法,求得弧背為較弧,與借弧相加減本弧正弦大于借弧正弦為加,小于借弧正弦為減,即得本弧。有餘弦求弧背,以餘弦為餘弧正弦,如前求得弧背,為本弧之餘弦,與象限弧相減,即得本弧。

割圜密率捷法卷一終


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