割圜密率捷法/卷一

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割圜密率捷法 卷一

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割圜密率捷法卷一

步法

圜徑求周

法置通徑，三因之，為第一條；次置第一條，四除之，又二除之，又三除之〈或三數連乘得二十四為法除之亦可後仿此〉，得數為第二條；次置第二條，九因之，四除之，又四除之，又五除之，得數為第三條；次置第三條，二十五乘之，四除之，又六除之，又七除之，得數為第四條；次置第四條，四十九乘之，四除之，又八除之，又九除之，得數為第五條；次置第五條，八十一乘之，四除之，又十除之，又十一除之，得數為第六條；次置第六條，一百二十一乘之，四除之，又十二除之，又十三除之，得數為第七條；次置第七條，一百六十九乘之，四除之，又十四除之，又十五除之，得數為第八條；次置第八條，二百二十五乘之，四除之，又十六除之，又十七除之，得數為第九條；次置第九條，二百八十九乘之，四除之，又十八除之，又十九除之，得數為第十條；次置第十條，以三百六十一乘之，四除之， 又二十除之，又二十一除之，得數為第十一條。併十一條之數得總數，即圜周。

按此即後通弦求弧背法也。三因通徑，即圜內容六等邊之周數也。圓內容六等邊，每邊與半徑等，故省比例乘、除之數。其四除各次所通用也。初次加二除、三除，二次加四除、五除，皆依次遞加一數以為法也；初次用九乘，二次用二十五乘，皆依次遞加二數自乘以為法也。〈三自乘為九，三加二得五，五自乘為二十五，下仿之。〉此以通徑，數至億者為例，故遞求至十一條，遇通徑數小者，次數可省。若依各數遞加為法，求至無窮，皆能得其密數也。

弧背求正弦

法以弧背本數為第一條，次以半徑為連比例第一率，弧背為連比例第二率，求得連比例第三率；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第四率數，二除之，又三除之，得數為第二條，應減另書之；次置第二條，以三率乘之，一率除之，得第六率數，四除之，又五除之，得數為第三條，應加書於第一條之下；次置第三條，以三率乘之，一率除之，得第八率數，六除之，又七除之，得數為第四條，應減書于第二條之下。第一條、第三(條)相併，第二條、第四條相併，兩總數相減，得數即正弦。

按此以連比例遞求四、六、八率以加減二率也。四率用二除、三除，六率用四除、五除，皆依次遞加一數以為法也。四率為減，六率為加，八率又為減，相間以為消息也。數小者尚可省，數大者依次求之。〈建功案：此加減乃西法通例也。若援古開方例，以正負別加減于二、四、六、八等，應減之條為負數，用斜畫作誌，似較另書之例，甚便且無混淆之慮。〉

弧背求正矢

法以半徑為連比例第一率，弧背為連比例第二率，求得連比例第三率，二除之，得數為第一條；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第五率數，三除之，又四除之，得數為第二條，應減另書之；次置第二條，以三率乘之，一率除之，得第七率數，五除之，又六除之，得數為第三條，應加書于第一條之下；次置第三條，以三率乘之，一率除之，得第九率數，七除之，又八除之，得數為第四條，應減書于第二條之下。第一條、第三條相併，第二條、第四條相併，兩數相減得數即正矢。

按此以連比例，遞求五、七、九率，以加減三率也。三率用二除，五率用三除、四除，亦依次遞加一數以為法也。加減亦相間為消息也。其法大概與求正弦同。

弧背求通弦

法以弧背本數為第一條，次以半徑為連比例第一率，弧背為連比例第二率，求得連比例第三率；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第四率數，四除之，又二除之，又三除之，得數為第二條，應減另書之；次置第二條，以三率乘之，一率除之，得第六率數，四除之，又四除之，又五除之，得數為第三條，應加書于第一條之下；次置第三條，以三率乘之，一率除之，得第八率數，四除之，又六除之，又七除之，得數為第四條，應減書于第二條之下。第一條、第三條相併，第二條、第四條相併，兩總數相減得數即通弦。

按此法與求正弦法同，但通加一、四除耳。若四除第三率為常用之數，則每次之四除可省。通弦求弧背同此。

弧背求矢

法以半徑為連比例第一率，弧背為連比例第二率，求得連比例第三率，四除之，又二除之，得數為第一條；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第五率數，四除之，又三除之，又四除之，得數為第二條，應減另書之；次置第二條，以三率乘之，一率除之，得第七率數，四除之，又七除之，又八除之，得第四條，應減書于第二條之下。第一條、第三條相併，第二條、第四條相併，兩總數相減得數即矢。

按此法與弧背求正矢同，但通加一、四除耳。若四除第三率為常同之數，則每次之四除可省。矢求弧背亦同。

通弦求弧背

法以通弦本數為第一條，次以半徑為連比例第一率，通弦為連比例第二率，求得連比例第三率；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第四率數，四除之，又二除之，又三除之，得數為第二條；次置第二條，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第六率數，四除之，又四除之，又五除之，得數為第三條；次置第三條，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率數，四除之，又六除之，又七除之，得數為第四條；次置第四條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率數，四除之，又八除之，又九除之，得數為第五條；次置第五條，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率數，四除之，又十除之，又十一除之，得數為第六條；次置第六條，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率數，四除之，又十二除之，又十三除之，得數為第七條；次置第七條，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率數，四除之，又十四除之，又十五除之，得數為第八條。併諸條得總數即弧背。

按此即前圜徑求周所用之法也。若二率與一率等，則比例可省。諸法不論求弧線、求直線，但視第幾條得數。首位已在單位下便可住，若首位尚在單位前者，須依次再推方密。

正弦求弧背

法以正弦本數為第一條，次以半徑為連比例第一率，正弦為連比例第二率，求得連比例第三率；次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第四率數，二除之，又三除之，得數為第二條；次置第二條，九因之，又以三率乘之，一率除之，得第六率數，四除之，又五除之，得數為第三條；次置第三條，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率數，六除之，又七除之，得數為第四條；次置第四條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率數，八除之，又九除之，得數為第五條；次置第五條，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率數，十除之，又十一除之，得數為第六條；次置第六條，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率數，十二除之，又十三除之，得數為第七條；次置第七條，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率數，十四除之，又十五除之，得數為第八條。併諸條得總數即弧背。

按此法與通弦求弧背法同，但通省一、四除耳。

正矢求弧背

法位正矢為第一條，次以半徑為連比例第一率，倍正矢為連比例第三率，三率自乘，一率除之，得第五率數，三除之，又四除之，得數為第二條；次置第二條，四因之，又以三率乘之，一率除之，得第七率數，五除之，又六除之，得數為第三條；次置第三條，九因為，又以三率乘之，一率除之，得第九率數，七除之，又八除之，得數為第四條；次置第四條，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率數，九除之，又十除之，得數為第五條；次置第五條，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率數，十一除之，又十二除之，得數為第六條；次置第六條，三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率數，十三除之，又十四除之，得數為第七條；次置第七條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率數，十五除之，又十六除之，得數為第八條。併諸條得總數，又為連比例第三率與連比例第一率半徑相乘，開平方，得連比例第二率，即弧背。

按此法與通弦、正弦求弧背之理同，惟多一開平方耳。除法始于三、四，乘法遞加一數，以自乘用數小異焉。

矢求弧背

法置矢，八乘之〈即四乘又二乘〉，得數為第一條；次以半徑為連比例第一率，第一條為連比例第三率，三率自乘，一率除之，得第五率數，四除之，又三除之，又四除之，得數為第二條；次置第二條，四乘之，又以三率乘之，一率除之，得第七率數，四除之，又五除之，又六除之，得數為第三條；次置第三條，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第九率數，四除之，又七除之，又八除之，得數為第四條；次置第四條，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率數，四除之，又九除之，又十除之，得數為第五條；次置第五條，三十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率數，四除之，又十一除之，又十二除之，得數為第六條；次置第六條，三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率數，四除之，又十三除之，又十四除之，得數為第七條；次置第七條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率數，四除之，又十五除之，又十六除之，得數為第八條。併諸條得總數，又為連比例第三率與連比例第一率半徑相乘，開平方，得連比例第二率，即弧背。

按此法與正矢求弧背同。但第一條加一、四因，餘加一、四除耳。以上九法皆至精、至密任，有圜線求直線，有直線求圜線。雖推至無窮靡不合也，但遇設數大者，推算次數較多，故增後法。

餘弧求正弦、正矢

視所設之弧，過四十五度者，與象限弧相減，得餘弧。次用餘弧，按弧背求正矢、正弦法，求得餘弧正矢，為本弧餘矢，與半徑相減，即得本弧正弦；求得餘弧正弦，為本弧餘弦，與半徑相減，即得本弧正矢。

餘矢、餘弦求本弧

視所設正弦、正矢，數大于四十五度者，與半徑相減，得餘矢、餘弦。次用餘矢、餘弦，按正矢、正弦求弧背法，求得弧背為餘弧，與象限弧相減，即得本弧。

以上二法施之弧背求正、弦正矢已為省便。施之正矢、正弦求弧背尚有不能省便者，故又設後法。

借弧求正弦、餘弦

〈餘弦即半徑正矢之，較三角形，用正矢甚少，故借弧求餘弦。〉

視設弧過三十度至六十度內者，借四十五度之弧背，與所設弧背相減得較弧背，按前法求得較弧之正弦、正矢。次以半徑為一率，借弧之弦線〈正弦、餘弦數同〉為二率，較弧之正弦、正矢相加、減〈設弧小于借弧，求正弦則加，求餘弦則減；設弧大于借弧，求正弦則減，求餘弦則加〉為三率，求得四率為弦較，與借弧弦線相加、減〈設弧小于借弧，求正弦則減，求餘弦則加；設弧大于借弧，求正弦則加，求餘弦則減〉，得數為設弧正弦、餘弦。

借正弦、餘弦求弧背

有正弦求弧背，視正弦在十分半徑之三之內者，用本法求之；過十分半徑之九者，用餘矢求本弧法求之；若過十分半徑之三至十分半徑之六者，借三十度之正弦、餘弦用之；若過十分半徑之六至十分半徑之八者，借四十五度之正弦、餘弦用之；若過十分半徑之八至十分半徑之九者，借六十度之正弦、餘弦用之。法先求得本弧餘弦，然後以本弧正弦與借弧正弦相減，得正弦較，為股；以本弧餘弦與借弧餘弦相減，得餘弦較，為勾，求得弦為較弧通弦。次按前通弦求弧背法，求得弧背為較弧，與借弧相加減〈本弧正弦大于借弧正弦為加，小于借弧正弦為減〉，即得本弧。有餘弦求弧背，以餘弦為餘弧正弦，如前求得弧背，為本弧之餘弦，與象限弧相減，即得本弧。

割圜密率捷法卷一終