割圜密率捷法/卷一

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割圜密率捷法 卷一

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割圜密率捷法卷一

步法

圜径求周

法置通径，三因之，为第一条；次置第一条，四除之，又二除之，又三除之〈或三数连乘得二十四为法除之亦可后仿此〉，得数为第二条；次置第二条，九因之，四除之，又四除之，又五除之，得数为第三条；次置第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，又七除之，得数为第四条；次置第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，又九除之，得数为第五条；次置第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，又十一除之，得数为第六条；次置第六条，一百二十一乘之，四除之，又十二除之，又十三除之，得数为第七条；次置第七条，一百六十九乘之，四除之，又十四除之，又十五除之，得数为第八条；次置第八条，二百二十五乘之，四除之，又十六除之，又十七除之，得数为第九条；次置第九条，二百八十九乘之，四除之，又十八除之，又十九除之，得数为第十条；次置第十条，以三百六十一乘之，四除之， 又二十除之，又二十一除之，得数为第十一条。并十一条之数得总数，即圜周。

按此即后通弦求弧背法也。三因通径，即圜内容六等边之周数也。圆内容六等边，每边与半径等，故省比例乘、除之数。其四除各次所通用也。初次加二除、三除，二次加四除、五除，皆依次递加一数以为法也；初次用九乘，二次用二十五乘，皆依次递加二数自乘以为法也。〈三自乘为九，三加二得五，五自乘为二十五，下仿之。〉此以通径，数至亿者为例，故递求至十一条，遇通径数小者，次数可省。若依各数递加为法，求至无穷，皆能得其密数也。

弧背求正弦

法以弧背本数为第一条，次以半径为连比例第一率，弧背为连比例第二率，求得连比例第三率；次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第四率数，二除之，又三除之，得数为第二条，应减另书之；次置第二条，以三率乘之，一率除之，得第六率数，四除之，又五除之，得数为第三条，应加书于第一条之下；次置第三条，以三率乘之，一率除之，得第八率数，六除之，又七除之，得数为第四条，应减书于第二条之下。第一条、第三(条)相并，第二条、第四条相并，两总数相减，得数即正弦。

按此以连比例递求四、六、八率以加减二率也。四率用二除、三除，六率用四除、五除，皆依次递加一数以为法也。四率为减，六率为加，八率又为减，相间以为消息也。数小者尚可省，数大者依次求之。〈建功案：此加减乃西法通例也。若援古开方例，以正负别加减于二、四、六、八等，应减之条为负数，用斜画作志，似较另书之例，甚便且无混淆之虑。〉

弧背求正矢

法以半径为连比例第一率，弧背为连比例第二率，求得连比例第三率，二除之，得数为第一条；次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第五率数，三除之，又四除之，得数为第二条，应减另书之；次置第二条，以三率乘之，一率除之，得第七率数，五除之，又六除之，得数为第三条，应加书于第一条之下；次置第三条，以三率乘之，一率除之，得第九率数，七除之，又八除之，得数为第四条，应减书于第二条之下。第一条、第三条相并，第二条、第四条相并，两数相减得数即正矢。

按此以连比例，递求五、七、九率，以加减三率也。三率用二除，五率用三除、四除，亦依次递加一数以为法也。加减亦相间为消息也。其法大概与求正弦同。

弧背求通弦

法以弧背本数为第一条，次以半径为连比例第一率，弧背为连比例第二率，求得连比例第三率；次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第四率数，四除之，又二除之，又三除之，得数为第二条，应减另书之；次置第二条，以三率乘之，一率除之，得第六率数，四除之，又四除之，又五除之，得数为第三条，应加书于第一条之下；次置第三条，以三率乘之，一率除之，得第八率数，四除之，又六除之，又七除之，得数为第四条，应减书于第二条之下。第一条、第三条相并，第二条、第四条相并，两总数相减得数即通弦。

按此法与求正弦法同，但通加一、四除耳。若四除第三率为常用之数，则每次之四除可省。通弦求弧背同此。

弧背求矢

法以半径为连比例第一率，弧背为连比例第二率，求得连比例第三率，四除之，又二除之，得数为第一条；次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第五率数，四除之，又三除之，又四除之，得数为第二条，应减另书之；次置第二条，以三率乘之，一率除之，得第七率数，四除之，又七除之，又八除之，得第四条，应减书于第二条之下。第一条、第三条相并，第二条、第四条相并，两总数相减得数即矢。

按此法与弧背求正矢同，但通加一、四除耳。若四除第三率为常同之数，则每次之四除可省。矢求弧背亦同。

通弦求弧背

法以通弦本数为第一条，次以半径为连比例第一率，通弦为连比例第二率，求得连比例第三率；次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第四率数，四除之，又二除之，又三除之，得数为第二条；次置第二条，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第六率数，四除之，又四除之，又五除之，得数为第三条；次置第三条，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率数，四除之，又六除之，又七除之，得数为第四条；次置第四条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率数，四除之，又八除之，又九除之，得数为第五条；次置第五条，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率数，四除之，又十除之，又十一除之，得数为第六条；次置第六条，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率数，四除之，又十二除之，又十三除之，得数为第七条；次置第七条，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率数，四除之，又十四除之，又十五除之，得数为第八条。并诸条得总数即弧背。

按此即前圜径求周所用之法也。若二率与一率等，则比例可省。诸法不论求弧线、求直线，但视第几条得数。首位已在单位下便可住，若首位尚在单位前者，须依次再推方密。

正弦求弧背

法以正弦本数为第一条，次以半径为连比例第一率，正弦为连比例第二率，求得连比例第三率；次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第四率数，二除之，又三除之，得数为第二条；次置第二条，九因之，又以三率乘之，一率除之，得第六率数，四除之，又五除之，得数为第三条；次置第三条，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率数，六除之，又七除之，得数为第四条；次置第四条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率数，八除之，又九除之，得数为第五条；次置第五条，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率数，十除之，又十一除之，得数为第六条；次置第六条，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率数，十二除之，又十三除之，得数为第七条；次置第七条，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率数，十四除之，又十五除之，得数为第八条。并诸条得总数即弧背。

按此法与通弦求弧背法同，但通省一、四除耳。

正矢求弧背

法位正矢为第一条，次以半径为连比例第一率，倍正矢为连比例第三率，三率自乘，一率除之，得第五率数，三除之，又四除之，得数为第二条；次置第二条，四因之，又以三率乘之，一率除之，得第七率数，五除之，又六除之，得数为第三条；次置第三条，九因为，又以三率乘之，一率除之，得第九率数，七除之，又八除之，得数为第四条；次置第四条，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率数，九除之，又十除之，得数为第五条；次置第五条，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率数，十一除之，又十二除之，得数为第六条；次置第六条，三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率数，十三除之，又十四除之，得数为第七条；次置第七条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率数，十五除之，又十六除之，得数为第八条。并诸条得总数，又为连比例第三率与连比例第一率半径相乘，开平方，得连比例第二率，即弧背。

按此法与通弦、正弦求弧背之理同，惟多一开平方耳。除法始于三、四，乘法递加一数，以自乘用数小异焉。

矢求弧背

法置矢，八乘之〈即四乘又二乘〉，得数为第一条；次以半径为连比例第一率，第一条为连比例第三率，三率自乘，一率除之，得第五率数，四除之，又三除之，又四除之，得数为第二条；次置第二条，四乘之，又以三率乘之，一率除之，得第七率数，四除之，又五除之，又六除之，得数为第三条；次置第三条，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第九率数，四除之，又七除之，又八除之，得数为第四条；次置第四条，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率数，四除之，又九除之，又十除之，得数为第五条；次置第五条，三十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率数，四除之，又十一除之，又十二除之，得数为第六条；次置第六条，三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率数，四除之，又十三除之，又十四除之，得数为第七条；次置第七条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率数，四除之，又十五除之，又十六除之，得数为第八条。并诸条得总数，又为连比例第三率与连比例第一率半径相乘，开平方，得连比例第二率，即弧背。

按此法与正矢求弧背同。但第一条加一、四因，馀加一、四除耳。以上九法皆至精、至密任，有圜线求直线，有直线求圜线。虽推至无穷靡不合也，但遇设数大者，推算次数较多，故增后法。

馀弧求正弦、正矢

视所设之弧，过四十五度者，与象限弧相减，得馀弧。次用馀弧，按弧背求正矢、正弦法，求得馀弧正矢，为本弧馀矢，与半径相减，即得本弧正弦；求得馀弧正弦，为本弧馀弦，与半径相减，即得本弧正矢。

馀矢、馀弦求本弧

视所设正弦、正矢，数大于四十五度者，与半径相减，得馀矢、馀弦。次用馀矢、馀弦，按正矢、正弦求弧背法，求得弧背为馀弧，与象限弧相减，即得本弧。

以上二法施之弧背求正、弦正矢已为省便。施之正矢、正弦求弧背尚有不能省便者，故又设后法。

借弧求正弦、馀弦

〈馀弦即半径正矢之，较三角形，用正矢甚少，故借弧求馀弦。〉

视设弧过三十度至六十度内者，借四十五度之弧背，与所设弧背相减得较弧背，按前法求得较弧之正弦、正矢。次以半径为一率，借弧之弦线〈正弦、馀弦数同〉为二率，较弧之正弦、正矢相加、减〈设弧小于借弧，求正弦则加，求馀弦则减；设弧大于借弧，求正弦则减，求馀弦则加〉为三率，求得四率为弦较，与借弧弦线相加、减〈设弧小于借弧，求正弦则减，求馀弦则加；设弧大于借弧，求正弦则加，求馀弦则减〉，得数为设弧正弦、馀弦。

借正弦、馀弦求弧背

有正弦求弧背，视正弦在十分半径之三之内者，用本法求之；过十分半径之九者，用馀矢求本弧法求之；若过十分半径之三至十分半径之六者，借三十度之正弦、馀弦用之；若过十分半径之六至十分半径之八者，借四十五度之正弦、馀弦用之；若过十分半径之八至十分半径之九者，借六十度之正弦、馀弦用之。法先求得本弧馀弦，然后以本弧正弦与借弧正弦相减，得正弦较，为股；以本弧馀弦与借弧馀弦相减，得馀弦较，为勾，求得弦为较弧通弦。次按前通弦求弧背法，求得弧背为较弧，与借弧相加减〈本弧正弦大于借弧正弦为加，小于借弧正弦为减〉，即得本弧。有馀弦求弧背，以馀弦为馀弧正弦，如前求得弧背，为本弧之馀弦，与象限弧相减，即得本弧。

割圜密率捷法卷一终