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割圜密率捷法/卷一

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  割圜密率捷法
卷一
卷二 

割圜密率捷法卷一

步法

圜径求周

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法置通径,三因之,为第一条;次置第一条,四除之,又二除之,又三除之或三数连乘得二十四为法除之亦可后仿此,得数为第二条;次置第二条,九因之,四除之,又四除之,又五除之,得数为第三条;次置第三条,二十五乘之,四除之,又六除之,又七除之,得数为第四条;次置第四条,四十九乘之,四除之,又八除之,又九除之,得数为第五条;次置第五条,八十一乘之,四除之,又十除之,又十一除之,得数为第六条;次置第六条,一百二十一乘之,四除之,又十二除之,又十三除之,得数为第七条;次置第七条,一百六十九乘之,四除之,又十四除之,又十五除之,得数为第八条;次置第八条,二百二十五乘之,四除之,又十六除之,又十七除之,得数为第九条;次置第九条,二百八十九乘之,四除之,又十八除之,又十九除之,得数为第十条;次置第十条,以三百六十一乘之,四除之, 又二十除之,又二十一除之,得数为第十一条。并十一条之数得总数,即圜周。

按此即后通弦求弧背法也。三因通径,即圜内容六等边之周数也。圆内容六等边,每边与半径等,故省比例乘、除之数。其四除各次所通用也。初次加二除、三除,二次加四除、五除,皆依次递加一数以为法也;初次用九乘,二次用二十五乘,皆依次递加二数自乘以为法也。三自乘为九,三加二得五,五自乘为二十五,下仿之。此以通径,数至亿者为例,故递求至十一条,遇通径数小者,次数可省。若依各数递加为法,求至无穷,皆能得其密数也。

弧背求正弦

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法以弧背本数为第一条,次以半径为连比例第一率,弧背为连比例第二率,求得连比例第三率;次置第一条,以三率乘之,一率除之,得第四率数,二除之,又三除之,得数为第二条,应减另书之;次置第二条,以三率乘之,一率除之,得第六率数,四除之,又五除之,得数为第三条,应加书于第一条之下;次置第三条,以三率乘之,一率除之,得第八率数,六除之,又七除之,得数为第四条,应减书于第二条之下。第一条、第三(条)相并,第二条、第四条相并,两总数相减,得数即正弦。

按此以连比例递求四、六、八率以加减二率也。四率用二除、三除,六率用四除、五除,皆依次递加一数以为法也。四率为减,六率为加,八率又为减,相间以为消息也。数小者尚可省,数大者依次求之。建功案:此加减乃西法通例也。若援古开方例,以正负别加减于二、四、六、八等,应减之条为负数,用斜画作志,似较另书之例,甚便且无混淆之虑。

弧背求正矢

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法以半径为连比例第一率,弧背为连比例第二率,求得连比例第三率,二除之,得数为第一条;次置第一条,以三率乘之,一率除之,得第五率数,三除之,又四除之,得数为第二条,应减另书之;次置第二条,以三率乘之,一率除之,得第七率数,五除之,又六除之,得数为第三条,应加书于第一条之下;次置第三条,以三率乘之,一率除之,得第九率数,七除之,又八除之,得数为第四条,应减书于第二条之下。第一条、第三条相并,第二条、第四条相并,两数相减得数即正矢。

按此以连比例,递求五、七、九率,以加减三率也。三率用二除,五率用三除、四除,亦依次递加一数以为法也。加减亦相间为消息也。其法大概与求正弦同。

弧背求通弦

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法以弧背本数为第一条,次以半径为连比例第一率,弧背为连比例第二率,求得连比例第三率;次置第一条,以三率乘之,一率除之,得第四率数,四除之,又二除之,又三除之,得数为第二条,应减另书之;次置第二条,以三率乘之,一率除之,得第六率数,四除之,又四除之,又五除之,得数为第三条,应加书于第一条之下;次置第三条,以三率乘之,一率除之,得第八率数,四除之,又六除之,又七除之,得数为第四条,应减书于第二条之下。第一条、第三条相并,第二条、第四条相并,两总数相减得数即通弦。

按此法与求正弦法同,但通加一、四除耳。若四除第三率为常用之数,则每次之四除可省。通弦求弧背同此。

弧背求矢

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法以半径为连比例第一率,弧背为连比例第二率,求得连比例第三率,四除之,又二除之,得数为第一条;次置第一条,以三率乘之,一率除之,得第五率数,四除之,又三除之,又四除之,得数为第二条,应减另书之;次置第二条,以三率乘之,一率除之,得第七率数,四除之,又七除之,又八除之,得第四条,应减书于第二条之下。第一条、第三条相并,第二条、第四条相并,两总数相减得数即矢。

按此法与弧背求正矢同,但通加一、四除耳。若四除第三率为常同之数,则每次之四除可省。矢求弧背亦同。

通弦求弧背

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法以通弦本数为第一条,次以半径为连比例第一率,通弦为连比例第二率,求得连比例第三率;次置第一条,以三率乘之,一率除之,得第四率数,四除之,又二除之,又三除之,得数为第二条;次置第二条,九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第六率数,四除之,又四除之,又五除之,得数为第三条;次置第三条,二十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第八率数,四除之,又六除之,又七除之,得数为第四条;次置第四条,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十率数,四除之,又八除之,又九除之,得数为第五条;次置第五条,八十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十二率数,四除之,又十除之,又十一除之,得数为第六条;次置第六条,一百二十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十四率数,四除之,又十二除之,又十三除之,得数为第七条;次置第七条,一百六十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十六率数,四除之,又十四除之,又十五除之,得数为第八条。并诸条得总数即弧背。

按此即前圜径求周所用之法也。若二率与一率等,则比例可省。诸法不论求弧线、求直线,但视第几条得数。首位已在单位下便可住,若首位尚在单位前者,须依次再推方密。

正弦求弧背

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法以正弦本数为第一条,次以半径为连比例第一率,正弦为连比例第二率,求得连比例第三率;次置第一条,以三率乘之,一率除之,得第四率数,二除之,又三除之,得数为第二条;次置第二条,九因之,又以三率乘之,一率除之,得第六率数,四除之,又五除之,得数为第三条;次置第三条,二十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第八率数,六除之,又七除之,得数为第四条;次置第四条,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十率数,八除之,又九除之,得数为第五条;次置第五条,八十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十二率数,十除之,又十一除之,得数为第六条;次置第六条,一百二十一乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十四率数,十二除之,又十三除之,得数为第七条;次置第七条,一百六十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十六率数,十四除之,又十五除之,得数为第八条。并诸条得总数即弧背。

按此法与通弦求弧背法同,但通省一、四除耳。

正矢求弧背

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法位正矢为第一条,次以半径为连比例第一率,倍正矢为连比例第三率,三率自乘,一率除之,得第五率数,三除之,又四除之,得数为第二条;次置第二条,四因之,又以三率乘之,一率除之,得第七率数,五除之,又六除之,得数为第三条;次置第三条,九因为,又以三率乘之,一率除之,得第九率数,七除之,又八除之,得数为第四条;次置第四条,十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十一率数,九除之,又十除之,得数为第五条;次置第五条,二十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十三率数,十一除之,又十二除之,得数为第六条;次置第六条,三十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十五率数,十三除之,又十四除之,得数为第七条;次置第七条,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十七率数,十五除之,又十六除之,得数为第八条。并诸条得总数,又为连比例第三率与连比例第一率半径相乘,开平方,得连比例第二率,即弧背。

按此法与通弦、正弦求弧背之理同,惟多一开平方耳。除法始于三、四,乘法递加一数,以自乘用数小异焉。

矢求弧背

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法置矢,八乘之即四乘又二乘,得数为第一条;次以半径为连比例第一率,第一条为连比例第三率,三率自乘,一率除之,得第五率数,四除之,又三除之,又四除之,得数为第二条;次置第二条,四乘之,又以三率乘之,一率除之,得第七率数,四除之,又五除之,又六除之,得数为第三条;次置第三条,九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第九率数,四除之,又七除之,又八除之,得数为第四条;次置第四条,十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十一率数,四除之,又九除之,又十除之,得数为第五条;次置第五条,三十五乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十三率数,四除之,又十一除之,又十二除之,得数为第六条;次置第六条,三十六乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十五率数,四除之,又十三除之,又十四除之,得数为第七条;次置第七条,四十九乘之,又以三率乘之,一率除之,得第十七率数,四除之,又十五除之,又十六除之,得数为第八条。并诸条得总数,又为连比例第三率与连比例第一率半径相乘,开平方,得连比例第二率,即弧背。

按此法与正矢求弧背同。但第一条加一、四因,馀加一、四除耳。以上九法皆至精、至密任,有圜线求直线,有直线求圜线。虽推至无穷靡不合也,但遇设数大者,推算次数较多,故增后法。

馀弧求正弦、正矢

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视所设之弧,过四十五度者,与象限弧相减,得馀弧。次用馀弧,按弧背求正矢、正弦法,求得馀弧正矢,为本弧馀矢,与半径相减,即得本弧正弦;求得馀弧正弦,为本弧馀弦,与半径相减,即得本弧正矢。

馀矢、馀弦求本弧

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视所设正弦、正矢,数大于四十五度者,与半径相减,得馀矢、馀弦。次用馀矢、馀弦,按正矢、正弦求弧背法,求得弧背为馀弧,与象限弧相减,即得本弧。

以上二法施之弧背求正、弦正矢已为省便。施之正矢、正弦求弧背尚有不能省便者,故又设后法。

借弧求正弦、馀弦

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馀弦即半径正矢之,较三角形,用正矢甚少,故借弧求馀弦。

视设弧过三十度至六十度内者,借四十五度之弧背,与所设弧背相减得较弧背,按前法求得较弧之正弦、正矢。次以半径为一率,借弧之弦线正弦、馀弦数同为二率,较弧之正弦、正矢相加、减设弧小于借弧,求正弦则加,求馀弦则减;设弧大于借弧,求正弦则减,求馀弦则加为三率,求得四率为弦较,与借弧弦线相加、减设弧小于借弧,求正弦则减,求馀弦则加;设弧大于借弧,求正弦则加,求馀弦则减,得数为设弧正弦、馀弦。

借正弦、馀弦求弧背

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有正弦求弧背,视正弦在十分半径之三之内者,用本法求之;过十分半径之九者,用馀矢求本弧法求之;若过十分半径之三至十分半径之六者,借三十度之正弦、馀弦用之;若过十分半径之六至十分半径之八者,借四十五度之正弦、馀弦用之;若过十分半径之八至十分半径之九者,借六十度之正弦、馀弦用之。法先求得本弧馀弦,然后以本弧正弦与借弧正弦相减,得正弦较,为股;以本弧馀弦与借弧馀弦相减,得馀弦较,为勾,求得弦为较弧通弦。次按前通弦求弧背法,求得弧背为较弧,与借弧相加减本弧正弦大于借弧正弦为加,小于借弧正弦为减,即得本弧。有馀弦求弧背,以馀弦为馀弧正弦,如前求得弧背,为本弧之馀弦,与象限弧相减,即得本弧。

割圜密率捷法卷一终

本清朝作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年。

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