數學鑰 (四庫全書本)/卷03下

數學鑰　巻三下

　　欽定四庫全書
　　數學鑰巻三下
　　柘城杜知耕撰
　　衰分〈諸分附〉
　　一則
　　合率差分
　　設有銀一百二十一兩一錢七分五釐買稻麥菽三等糧買稻一分每斗價九分二釐麥二分毎斗價八分五釐菽三分每斗價三分六釐求三色糧各若干法曰置共銀為實另二因麥價〈得一錢七分〉三因菽價〈得一錢零八釐〉與稻價並〈共三錢七分〉為法除實得三十二石七斗五升為稻數二因稻數得六十五石五斗為麥數三因稻數得九十八石二斗五升為菽數
　　解曰稻一麥二菽三共六衰而稻為六分之一麥為六分之二菽為六分之三二因麥價者令麥二倍于稻也三因菽價者令菽三倍于稻也合二與三得五是麥菽得五而稻得一則稻為六分之一矣故並價除實即得稻數也麥原二倍于稻故二因稻數得麥數菽原三倍于稻故三因稻數得菽數○如求各銀數則以各價乘各數即得
　　二則
　　折半差分
　　設銀六百七十二兩令甲乙丙三等人折半納之求各應納銀數法曰置共銀為實定丙為一衰乙倍丙為二衰甲倍乙為四衰並之共七衰為法除實得九十六兩為丙數二因丙數得一百九十二兩為乙數二因乙數得三百八十四兩為甲數
　　解曰所謂折半者令乙半於甲丙半於乙以一為丙衰倍一得二為乙衰乙倍于丙即丙半於乙也倍二得四為甲衰甲倍于乙即乙半于甲也並之共得七衰而丙為七分之一故以七除實得丙數餘同前解三則
　　四六差分
　　設銀八百一十二兩五錢令甲乙丙丁四等人四六納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丁為四衰以一五乘四得六為丙衰再以一五乘六得九為乙衰再以一五乘九得十三衰五分為甲衰並之共三十二衰五分為法除實得二十五兩為一衰之數四因二十五兩得一百兩為丁數六因二十五兩得一百五十兩為丙數九因二十五兩得二百二十五兩為乙數以十三衰五分乗二十五兩得三百三十七兩五錢為甲數
　　解曰定衰之法當六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一與一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之與九九之與六皆若六之與四也並四數共三十二衰半除實所得銀數即原銀三十二分五釐之一而丁應納者則三十二分五釐之四故四因一衰之數得丁數也餘同前解四則
　　三七差分
　　設有銀一千九百七十五兩令甲乙丙三等人三七納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丙為九衰七因三歸得二十一為乙衰再七因三歸得四十九為甲衰並之共七十九衰為法除實得二十五兩為一衰之數九因之得二百二十五兩為丙數以二十一乘之得五百二十五兩為乙數以四十九乘之得一千二百二十五兩為甲數
　　解曰不以三為丙衰而以九為丙衰者以三為丙衰則不能得甲衰也何也試定三為丙衰七為乙衰七因三歸則得一六三三不盡定九為丙衰正為甲衰地也若甲乙丙丁四位則九又不可為丁衰必三倍之得二十七為丁衰若五位又三倍二十七得八十一為戊衰位多者倣此
　　五則
　　二八差分
　　設有銀一千零五十兩令甲乙丙三等人二八納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定二為丙衰四因二得八為乙衰四因八得三十二為甲衰並之共四十二衰為法除實得二十五兩為一衰之數二因之得五十兩為丙數八因之得二百兩為乙數三十二乘之得八百兩為甲數
　　解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也
　　六則
　　逓減差分一法
　　設米一千一百三十四石令五等人户逓減納之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸應納銀數法曰置共米為實先定五等六十戸為六十衰二因四等戸數得一百零二衰三因三等戸數得一百二十六衰四因二等戸數得一百三十二衰五因一等戸數得一百二十衰五數並共五百四十衰為法除實得二石一斗為第五等每戸納數以五等六十戸乘之得一百二十六石為第五等共納數以二因二石一斗得四石二斗為第四等毎戸納數以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗為第四等共納數以三因二石一斗得六石三斗為第三等毎戸納數以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗為第三等共納數以四因二石一斗得八石四斗為第二等每户納數以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗為第二等共納數以五因二石一斗得十石零五斗為第一等每戸納數以一等二十四戸乘之得二百五十二石為第一等共納數
　　解同本巻一則
　　七則
　　逓減差分二法
　　設有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人納之定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數等求各應納米數法曰置共米為實先以一為戊衰二為丁衰三為丙衰四為乙衰五為甲衰次並戊一丁二丙三得六並乙四甲五得九以六減九餘三于每人衰數各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰並之共三十衰為法除實得八石為一衰之數四因之得三十二石為戊數五因之得四十石為丁數六因之得四十八石為丙數七因之得五十六石為乙數八因之得六十四石為甲數
　　解曰若六位令丙丁戊己四人與甲乙二人納數等則並己一戊二丁三丙四共十並乙五甲六共十一兩數相減餘一為實另以甲乙二人與丙丁戊己四人相減餘二人為法歸之得五各加入每人衰數己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人與甲乙二人納數等並庚一己二戊三丁四丙五共十五並乙六甲七共十三是四人衰數反多于二人衰數前法不行矣則置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五並之共五十五乙得三十六甲得四十九並之共八十五兩數相減餘三十為實另以甲乙二人與丙丁戊己庚五人相減餘三人為法歸之得十各加入每人衰數庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九餘倣此
　　八則
　　逓減差分三法
　　設米二百六十五石令三等人戸納之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各應納米數法曰置共米為實並七斗五斗〈共一石二斗〉乘上等尸數〈得二十四石〉以五斗因中等尸數〈得二十五石〉兩數並〈共四十九石〉減實餘二百一十六石並三等尸數〈共一百八十戸〉為法除之得一石二斗為下等納數加五斗共一石七斗為中等納數再加七斗共二石四斗為上等納數以每等納數乘每等戸數得每等共納數
　　解曰共米内減去上中兩等多于下等米數所餘即一百八十戸均平公納之米除實得一石二斗即每戸均納之數均納之數即下等每戸應納之數也故加五斗得中等每戸納數再加七斗得上等每戸納數
　　九則
　　帶分子母差分一法
　　設甲乙丙三人納銀令乙納甲數六分之五丙納甲數四分之三乙多丙納銀八兩求共銀及各應納銀數法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八減二十餘二為法另以乙多丙八兩乘二十四〈得一百九十二兩〉以法除之得九十六兩即甲
　　數以八兩乘二十〈得一百六十兩〉以法除之得八十兩即乙
　　數以八兩乘十八〈得一百四十四
　　兩以法除之得七十二兩〉
　　即丙數並之得二百四十
　　八兩即共銀數
　　解曰此借比例以求真數也二十四與二十六分之五也二十四與十八四分之三也六分之五之二十較四分之三之十八多二六分之五之乙數較四分之三之丙數却多八兩則二十四之與甲數二十之與乙數十八之與丙數其比例必皆若二與八也故八乘二除各得真數也
　　十則
　　帶分子母差分二法
　　設布一十二萬四千四百八十五疋給散軍士每三名給襖布七疋每四名給褲布五疋求軍數法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下〈得十五〉左上互乘右下〈得二十八〉並之〈共四十三〉為法另以左上右上
　　相乘〈得一十二〉以乘共布〈得一百四
　　十九萬三千八百二十疋〉以法除之得
　　三萬四千七百四十名即
　　所求
　　解曰十二為三名者四當
　　給襖布二十八疋為四名者三當給褲布一十五疋是毎軍士十二名給布四十三疋也反之每給布四十三疋得軍士一十二名也故十二乘四十三除得軍數也
　　十一則
　　互和逓減差分一法
　　設米一百八十石令甲乙丙三人逓減納之定甲多丙米三十六石求各應納米數法曰置共米以人數歸之得六十石為乙數另置甲多丙數折半〈得一十八石〉加乙數得七十八石為甲數減乙數得四十二石為丙數
　　解曰甲多于乙數必為甲多于丙數之半丙少于乙數亦必為丙少于甲數之半兩相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三歸之得乙數加減之得甲與丙數也
　　十二則
　　互和逓減差分二法
　　設令甲乙丙丁四人逓減納銀定甲納六十九兩丁納五十一兩求乙丙應納數及共銀數法曰以丁數減甲數〈餘一十八兩〉三歸之得六兩加丁數得五十七兩為丙數加丙數得六十三兩為乙數並之共二百四十兩為共銀數
　　解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三數並與甲多于丁數等故三歸得每率逓差之數凡四位以上皆取首尾兩數相減五位則四歸之六位則五歸之七位則六歸之即得每率逓差之數餘同前
　　十三則
　　匿價差分一法
　　設銀一百八十兩零二錢五分買麥六十五石菽二十五石麥每石多菽價一兩零七分求各價法曰置麥以麥多菽價乗之〈得六十九兩五錢五分〉以減元銀〈餘一百一十兩零七錢〉並麥菽兩數除之得一兩二錢三分即菽價加麥多菽價得二兩三錢即麥價
　　解曰減去麥多菽價餘銀即菽九十石之共價故以九十石歸之得菽價
　　十四則
　　匿價差分二法
　　設稻一十八石稷二十二石其值適等交換五石則兩率差銀一兩六錢二分五釐求各價法曰置一兩六錢二分五釐以交換五石歸之得三錢二分五釐以乗稻一十八石〈得五兩八錢五分〉另以稻一十八石減稷二十二石餘四石為法除之得一兩四錢六分二釐五毫即稷價另以三錢二分五釐乗稷二十二石〈得七兩一錢五分〉以前法除之得一兩七錢八分七釐五毫即稻價
　　解曰交換五石兩率相差一兩六錢二分五釐則一兩六錢二分五釐必稻五石多稷五石之價也以五歸之得三錢二分五釐即稻稷每石相差之價稻稷既每石相差三錢二分五釐則一十八石必差五兩八錢五分矣今稷多稻四石而價適等是稷四石之價必五兩八錢五分也故四歸之得稷價又稻與稷價之比例原若十八與二十二既以三錢二分五釐乗稻一十八石得稷每四石之價則以三錢二分五釐乗稷二十二石必得稻每四石之價無疑矣故四歸之得稻價
　　十五則
　　二色差分
　　設銀六十七兩五錢共買稻菽一百石稻毎石價八錢菽毎石價三錢求稻菽各若干法曰以菽價乗共一百石〈得三十兩〉以減原銀〈餘三十七兩五錢〉為實以兩價相減〈餘五錢〉為法除之得七十五石即稻數以減共一百石餘二十五石即菽數
　　解曰原銀為稻菽共百石之價以菽價乗百石為菽百石之價兩率不等者以稻貴于菽也今稻毎石多菽價五錢是兩率毎相差五錢百石内必有稻一石兩率相減餘銀三十七兩五錢凡為五錢者七十五故得稻七十五石也
　　十六則
　　三色差分〈四色五色六色附〉
　　設銀十兩零五錢共買稻麥菽一十八石稻每石價八錢麥每石價六錢菽毎石價三錢求三色各若干法曰置共糧以三歸之得六石為麥數以麥價因之得三兩六錢為麥共價另以麥數減共糧〈餘一十二石〉以菽價因之〈得三兩六錢〉另以麥共價減原銀〈餘六兩九錢〉兩數相減〈餘三兩三錢〉為實稻菽兩價相減〈餘五錢〉為法除之得六石六斗為稻數以稻麥兩數減共糧餘五石四斗為菽數
　　解曰若四色則四歸共物得若干即第二色數亦即第三色數以第二色價乗之得第二色共價以第三色價乗之得第三色共價以兩數減共物兩共價減原銀餘依二色差分法求之五色則五歸六色則六歸之倣此○按三色以上亦可與共物共價相合無差然實非一定不易之數即前三色論之設稻九石共價七兩二錢麥二石共價一兩二錢菽七石共價二兩一錢亦與原銀共糧共價皆合而與上法所求三色之數不同
　　十七則
　　貴賤和率差分
　　設銀一百二十七兩五錢共買稻麥一百零八石毎稻三石價四兩毎麥四石價三兩五錢求二色數及價各若干法曰列稻三石麥四石共稻麥一百零八石于右次列稻價四兩麥價三兩五錢原銀一百二十七兩五錢于左以右上互乘左中〈得十兩零五錢〉以左上互乘右中〈得一十六兩〉兩數相減餘五兩五錢為長法次
　　以右中互乗左下
　　〈得五百一十兩〉以左中互
　　乗右下〈得三百七十八兩〉兩數相減〈餘一百三十二
　　兩以長法除之得〉
　　二十四為短法以稻三石乗短法得七十二石即稻數以稻價乗短法得九十六兩即稻共價以稻數減共稻麥一百零八石餘三十六石即麥數以稻共價減原銀一百二十七兩五錢餘三十一兩五錢即麥共價
　　解曰此與前二色差分同但彼數齊此數不齊耳凡數之不齊者必假一數以齊之今稻三石麥四石則以十二齊之何為必齊之十二也十二為四倍稻三石三倍麥四石之數也以稻三乗麥價即得麥十二石之價以麥四乗稻價即稻十二石之價兩數相減為長法者即稻十二石多于麥十二石之銀數亦即稻四石多于麥四石之價又三倍之之數也以麥價乗共稻麥一百零八石即麥四百三十二石之價亦即一百零八石盡皆為麥而又四倍其價之數也以麥四乗原銀即稻麥四百三十二石之共價亦即稻麥一百零八石之原價而又四倍之之數也兩數相減之餘即麥四百三十二石少于稻麥共四百三十二石之價實即稻七十二石多于麥七十二石之價又四倍之之數也以之為實若以稻四石多于麥四石之價除之必得稻七十二石今稻四石多于麥四石之價不可得止得稻十二石多于麥十二石之價為長法除實得二十四二十四者即為稻三石者二十四也〈十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得數即減若干倍也〉故為短法以稻三石乗之得稻數以稻價乗之得共稻價○若欲先得麥數則以稻三石乗元銀以稻價乗共稻麥數兩數相減以長法除之得數為短法以麥四石乗之得麥數以麥價乗之得共麥價〈解同前〉○按此條當列稻三石價四兩共稻麥一百零八石于右列麥四石價三兩五錢共銀一百二十七兩五錢于左以左上互乗右中〈得一十六兩〉以右上互乗右中〈得十兩零五錢〉兩數相減〈餘五兩五錢〉為法次以左上右上相乗〈得一
　　十二石以乗左下〉〈得一
　　千五百三十兩以左中十〉
　　兩零五錢乗右下
　　〈得一千一百三十四兩〉兩數
　　相減〈餘三百九十六兩〉為
　　實以法除之得七十二石即稻數似較舊法更捷○舊法以十二倍之法除四倍之實故止得二十四以稻三石乗之方得稻數後法以十二倍之法除十二倍之實故一除即得稻數無須再乗也
　　十八則
　　首尾兩和差分
　　設十人挨次逓減納銀甲乙丙三人共納一十三兩八錢庚辛壬癸四人共納一十三兩求各應納銀數
　　法曰列三人于右
　　上定甲九衰乙八
　　衰丙七衰共二十
　　四衰列于右中三
　　人納數列于右下
　　次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人納數列于左下先以右上徧乗左行〈中得一十八衰下得三十九兩六錢〉次以左上徧乗右行〈中得九十六衰下得五十五兩二錢〉以兩下對減〈餘一十五兩六錢〉為實兩中對減〈餘七十八衰〉為法除之得二錢〈為十人挨次逓減之數〉另以右上歸右下得四兩六錢為乙數加乙二錢得四兩八錢為甲數减乙二錢得四兩四錢為丙數減丙二錢得四兩二錢為丁數以下各逓減二錢得應納銀數
　　解曰首三人尾四人兩數不齊不可相減以求首尾相差之數故互乗以齊之夫左下尾四人共納之銀數也以右上三人乗之得三十九兩六錢即三倍尾四人為一十二人之納數右下首三人共納之銀數也以左上四人乘之得五十五兩二錢即四倍首三人亦為一十二人之納數對減之餘即首十二人多于尾十二人之納數故以為實左中尾四人之衰數以右上三人乗之得十八即三倍尾四人為一十二人之衰數右中首三人之衰數以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦為一十二人之衰數對減之餘即首十二人多于尾十二人之衰數故以為法以法除實所得非一衰之銀數而何一衰之銀數即十人挨次逓減之數也以右上三人歸右下納數即得乙數何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也減甲之多補丙之少則成三平數乙居甲丙之中故三歸之得平數即得乙數也


　　數學鑰巻三下