明史/卷32

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志第八 曆二

  ▲大統曆法一上法原

  造曆者各有本原,史宜備錄,使後世有以考。如《太初》之起數鐘律,《大衍》之造端蓍策,皆詳本志。《授時曆》以測算術爲宗,惟求合天,不牽合律呂、卦爻。然其法所以立,數之所從出,以及晷影、星度,皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中,有書名可考。《元史》漫無採摭,僅存李謙之《議祿》、《曆經》之初稿。其後改三應率及立成之數,與夫割圓弧矢之法,平立定三差之原,盡削不載。使作者精意湮沒,識者憾焉。今據《大統因通軌》及《歷草》諸書,稍爲編次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股測望,曰弧矢割圓,曰黃赤道內外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰裏差刻漏。

  ▲句股測望

  北京立四丈表,冬至日午正,測得景辰七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半,爲半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半徑,截矢餘五十四度九十六分爲股,乃本地支戴日下之度。以弦股別句術,求得句二十六度一下七分六十六秒,爲日出地半弧弦。

  北京立四丈表,夏至日午正,測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半,爲半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半徑,截矢餘一十七度一十三分二十五秒爲句,乃本地去戴日下之度。以句弦別股術,求得股五十八度四十五分半,爲日出地半弧弦。

  以二至日度相併,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,爲北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一,餘四十度九十四分九十三秒七十五微,爲北京北極出地度。

  ▲弧矢割圓

  周天經一百二十一度七十五分少。少不用。半徑六十零度八十七分半。又爲黃赤道大弦。二至黃赤道內外半弧背二十四度。所測就整。二至黃赤道弧矢四度八十四分十二秒。黃赤道大句二十三度八十分七十秒。黃赤道大股五十六度零二分六十八秒。半徑內減去矢度之數。

  割圓求矢術 置半弧度自之,爲半弧背幕,周天徑自之,爲上廉。上廉乘半弧背幕,爲正實。上廉乘徑,爲益從方。半弧背倍之,乘徑,爲下廉。以初商乘上廉,得數以減益從方,餘爲從方。置初商自之以下廉,餘以初商乘之,爲從廉。從方、從廉相併,爲下法。下法乘初商,以減正實,實不足減,改初商。實有不盡,次第商除之。倍初商數,與次商相併以乘上廉,得數以減益從方,餘爲從方。並初商次商而自之,又以初商自之,並二數以減下廉,餘以初商倍數並次商乘之,爲從廉。從方、從廉相併,爲下法。下法乘次商,以減餘實,而定次商。有不盡者,如法商之,皆以商得數爲矢度之數。黃赤道同用。

  如以半弧背一度求矢。術曰:置半弧背一度自之,得一度,爲半弧幕。置周天徑一百二十一度太自之,得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒,爲上廉。上廉乘半弧背幕,得一萬四千八百二十三度零六分二五,爲正實。上廉又乘徑,得一百八十零萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五,爲益從方。半弧背一度倍之,得二度,以乘徑得二百四十三度五十分,爲下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,以減益從方一百八十零萬四千七百零七度八五九三七五,餘一百八十零萬四千五百八十九度二七四八七五,爲從方。又置初商八十秒自之,得六十四微,以減下廉餘二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,爲從廉。以從廉、從方並之,共得一百八十零萬四千五百九十一度二二二八七四四八八,爲下法。下法乘初商,得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四,以減正實,餘實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以減益從方,餘一百八十零萬四千四百六十七二五七六二五,爲從方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之數,得一秒三十一微,以減下廉,餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,爲從廉。以從廉、從方並,得一百八十零萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七八,爲下法。下法乘次商,得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以減餘實,仍餘二十五度四三八三八二九一二零二零四四。不足一秒葉不用,下同。

  凡求得矢度八十二秒,餘度各如上法,求到矢度,以爲黃赤相求及其內外度之根。數詳後。

  ▲黃赤道差

  求黃赤道各度下赤道積度術。 置周天半徑內減去黃道矢度,餘爲黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以黃赤道大股乘之大股見割圓爲實。黃赤道大弦半徑爲法。實如法而一,爲黃赤道小股。直黃道矢自乘爲實,以周天全徑爲法,實如法而一,爲黃道半背弦差。以差去減黃赤道積度,即黃道半弧背。餘爲黃道半弧弦。置黃赤道半弧弦自之爲股幕,黃赤道小股自之爲句幕,二幕並之,以開平方法除之,爲赤道小弦。置黃赤道半弧弦,以周天半徑亦爲赤道大弦乘之爲實,以赤道小弦爲法而一,爲赤道半弧弦。置黃赤道小股,亦爲赤道橫小句以赤道大弦即半徑乘之爲實,以赤道小弦爲法而一,爲赤道橫大句,以減半徑,餘爲赤道磺弧矢。橫弧矢自之爲實,以全徑爲法而一,爲赤道半背弦差。以差加赤道半弧,爲赤道積度。

  如黃道半弧背一度,求赤道積度。術曰:「置半徑六十零度八十七分五十秒,即黃赤道大弦。內減黃道矢八十二秒餘六十零度八六六八,爲黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以黃赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七二零三零二四爲實,以黃赤道大弦六十零度八七五爲法,實如法而一,得五十六度零一分九十二秒,爲黃赤道小股。又爲赤道小句。置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全徑一百二十一度七五爲法,除之得五十五纖,爲黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度,內減黃道半背弦差,餘爲半弧弦,因因差在微以下不減,即用一度爲半弧弦。置黃道半弧弦一度自之,得一度爲股幕。黃赤道小股五十六度零一矣二自之,得三千一百三十八度一五零七六八六四爲句幕。二幕並得三千一百三十九度一五零七六八六四爲弦實,平方開之,得五十六度零二八一,爲赤道小弦。置黃道半弧弦一度,以半徑即赤道大弦乘之,得六十零度八七五爲實,以赤道小股五十六度零二八一爲法除之,得一度零八分六十五秒,爲赤道半弧弦。置黃赤道小股五十六度零一九二,又爲赤道小句。以赤道大弦半徑六十零度八七五乘之,得三千四百一十零度一六八八爲實,以赤道小弦爲法除之,得六十零度八十六分五十三秒,爲赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒,內減赤道大句六十零度八十六分五十三秒,餘九十七秒,爲赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,以全徑爲法除之,得七十纖,爲赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤道背弦差,爲赤道積度,今差在微已下不加,即用半弧弦爲積度。

  凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。餘度各如上法,求到各黃道度下赤道積,兩數相減,即得黃赤道差,乃至後之率。其分後,以赤道度求黃道,反此求之,其數並同。

  ▲黃赤道相求弧矢諸率立成上

  表格略

  ▲黃赤道相求弧矢諸率立成下

  表格略

  按郭敬創法五端,內一曰黃道差,此其根率也。舊法以一百一度相減乘。《授時》立術,以句股、弧矢、方圓、斜直所容,求其數差,合於渾象之理,視古爲密。顧《至元曆經》所載略,又誤以黃道矢度爲積差,黃道矢差爲率,今正之。

  ▲割圓弧矢圖

  凡渾圓中剖,則成平圓。任割平圓之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,則有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧弦爲句,矢減半徑之餘爲股,半徑爲弦。句股內成小句股,則有小句、小股、小弦、而大小可互求,平側可互用,渾圓之理,斯爲密近。

  平者爲赤道,斜者爲黃道。因二至黃道赤之距,生大句股。因各度黃赤之距,生小句股。

  外大圓爲赤道。從北極平視,則黃道在赤道內,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大名股。又各有其相當之黃道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

  按舊史無圖,然表亦圖之屬也。今句股割弧矢之法,實爲歷家測算之本。非圖不明,因存其要者數端。

  ▲黃赤道內外度

  推黃道各度,距赤道內外及去極遠近術。置半徑內減去赤道小弦,餘爲赤道二絃差。又爲黃赤道小弧矢,又爲內外矢,又爲股弦差。置半徑內外減去黃道矢度,餘爲黃赤道小弦,以二至黃赤道內外半弧弦乘之爲實,以黃赤道大弦爲法,即半徑。除之爲黃赤道小弧弦。即黃赤道內外半弧弦,又爲黃赤道小句。置黃赤道小弧矢自之,即赤道二絃差。以全徑除之,爲半背弦差。以差加黃赤道小弧弦爲黃赤道小弧半背,即黃赤道內外度。置黃赤道內外度,視在盈初縮末限以加,在縮初盈天限以減,皆加減象限度,即各得太陽去北極度分。

  如冬至後四十四度,求太陽去赤道內外及去極度。術曰:「置半徑六十零度八十七分半,內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,餘二度五十一分八十一秒,爲黃赤道小弧矢。即內外矢。置半徑六十零度八七五,內減黃道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,餘四十四三十零分六十八秒,爲黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千零五十零度五十一分四二三八爲實,以黃赤道大弦六十零度八七五爲法除之,得一十七度二十五分十九秒爲黃赤道小弧弦。即內外半弧弦。置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之爲實,以全徑地百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒爲背弦差,以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十零分八十九秒,爲二至前後四十四度,太陽去赤道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以內外度一十七度三零八九加之,得一百零八度六十二分三十二秒七五,爲冬至後四十四度太陽去北極度。

  ▲黃道每度去赤道內外及去北極立成

  表格略

  ▲白道交周

  推白赤道正交,距黃赤道正交北極數。術曰:「置實測白道出入黃道內外六度爲半徑弧弦,又爲大圖弧矢,又爲股弦差。置半徑六十零度七五自之,得三千七百零五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分爲股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分爲大圓徑。依法求得容闊五度七十分,又爲小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分爲大句。以大句爲法,除大股五十六度零六分五十秒,得二度三十七分就整爲度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,爲容半長。置半徑六十零度八七五爲大弦,以乘小句五度七十分爲實,以大句二十三度七十一分爲法除之,得一十四度六十三分爲小弦,又爲白赤道正交,距黃赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分,爲白赤道正交距黃赤道正交極婁數。

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