欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第一百十八卷目錄
算法部彙考十
算法統宗六〈少廣章第四上〉
曆法典第一百十八卷
算法部彙考十
《算法統宗六》
少廣章第四上
此章如田截縱之多，益廣之少，故曰「少廣。」如方田還 原之意，以方法除積冪而求方，以圓法除方實而求 圓，所註開平方平圓頭緒繁穴，初學者難，今註釋簡 明，列於後。
開平方法認商歌
一百一十定無疑，一千三十有零，餘九千九九，不離 十一萬，纔為一百，推得商方，除倍作廉，次商名隅，併 廉除餘數，續商隅。又倍。只依此法，取空虛。
解曰：平方者，乃方面自乘之積也。開者，以求方面之數也。「一百一十定無疑」 者，謂如積一百步，可約方面十步，已無疑矣。「一千三十有零餘」 者，謂積一千步，可約方面三十步有零也。「九千九九不離十」 者，謂如積九千步，約方面九十步，自乘，九九八十一也。一萬纔為一百步，自乘得一萬步也。此言約《初商》之訣，再具《商積》於後。
「開平方」初商定首位訣是自乘之數也。
商一步，積一步， 商一十步，積一百步。
商二步，積四步。 商二十步，積四百步。
商三步，積九步。 商三十步，積九百步。
商四步，積一十六步。 商四十步，積一千六百步。 商五步，積二十五步。 商五十步，積二千五百步。 商六步，積三十六步。 商六十步，積三千六百步。 商七步，積四十九步。 商七十步，積四千九百步。 商八步，積六十四步。 商八十步，積六千四百步。 商九步，積八十一步， 商九十步，積八千一百步。 法曰：「置積為實，別置一算，名曰『《下法》』。」於實數之下，〈自末 位至首常超一位〉約實，一下定一數，千百下定十數；萬下定 百數，百萬下定千數。實。上商置第一位，得若干，下位 亦置上商若干，名曰「方法」，與上商相呼，除實若干，餘 實若干。乃以二乘方法。〈即倍法也〉得若干，為廉法。續商 置第二位，於上商之次，得若干。下法亦置續商若干， 為隅法。〈隅法者乃曲尺樣二廉之角為隅則小方也〉於倍方之次，共若干， 皆與續商相呼，除實盡，得平方一面數。如不盡，仍前 再商之，或數不足，以法命之。何謂之《命若》餘實若干 不盡，卻以所商得平方數若干倍之，再添一箇，共得 若干，便商得面方多一數也。因此數不足而為之命 平圓，不盡數亦倣此，但立方、立圓於此不同。
若要還原，如算方田法，以面方數自乘，即見積也。 若還原遇面方下原有不盡數者，以面方數自乘，併 入不盡數，便可見積也。
開方求率作法本源圖
右圖吳氏《九章》內雖有自開平方至五乘方，卻不云 如何作用，註釋未見詳明。今依圖式，自上一得二 為平方率，又併。〈三三〉得三三，為「立方率」，又併。〈四六四〉得 四、六四，為三乘方率，向下求出三十餘乘方，皆取自 然生率之妙。今略具五乘方圖式，可為求廉率之梯 階也。
又考其平方形如方田，以平方面自乘，得平方積數， 是一乘方。
其立方形如骰子樣，以平方面自乘，得平方積；再以 高方面乘之，得立方積數，是二乘方。
其三乘方，以平方面自乘，得平方積數；再以高方面 乘，得立方積數；又以方面乘，得三乘方積數。故曰「三 乘方。」然其形不知如何模樣，只是取數而已。或至十 乘方，三十餘乘方，皆是先賢取生率之妙，以明開方 正律亦不可廢。
《開平方》。〈「有實而無法」 ，《商約》而除之也。〉
今有平方積三百二十四步，問每方面若干？
答曰：「得每方面一十八步
