勾股引蒙 (四库全书本)/全览
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钦定四库全书
数度衍附录
桐城方中通 撰
几何约
名目一
〈名目二〉
〈名目三〉
名目四
〈名目五〉
〈名目六〉
度说
设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
有多度等若所加之度等则合并之度亦等
有多度等若所减之度等则所存之度亦等
有多度不等若所加之度等则合并之度不等
有多度不等若所减之度等则所存之度不等
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
有多度俱半于此度则彼多度亦等
有二度自相合则二度必等以一度加一度之上也全大于其分如一尺大于一寸寸乃全尺十之一也
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与原所赢之度等
有几何度等若所减之度不等则馀度所赢之度与减去所赢之度等
有几何度不等若所减之度等则馀度所赢之度与原所赢之度等
全与诸分之并等
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
度各形之高皆以垂线之亘为度两形同在两平行线内其高必等凡度物高以顶底为界以垂线为度不论物之偏正也盖物之定度有一无二自顶至底垂线一而已偏线无数也
线说
有二横直线任加一纵线或正或偏若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇如甲乙丙丁二横直线任意作戊巳线交于二横直线之上而戊巳线或正或偏若戊巳线旁同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁二线必有相遇之处
两直线不能为有界之形
两直线止能于一点相遇
凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心远近之度如甲乙丙丁圜内甲乙线丙丁线其去戊心远近等因己戊戊庚两垂线等故也若辛壬线去戊心近矣因戊癸垂线小故也
凡一点至直线上惟垂线至近垂线之两旁渐远平行方形不满一线为形小于线若形有馀线不足为形大于线
角说
凡直角俱相等
直线上立垂线则两旁皆直角若立偏线则一为钝角
其一必为锐角如子丑线上甲乙
垂线也丙丁偏线也
比例说
比例者两几何以几何相比之理几两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也
凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而非数可明者是也其大合线为有两度之线其小合线为无两度之线
凡大合有二种有等者如二十比二十十比十是也有不等者如二十比十八比四十是也
凡等者为相同之比例其不等者又有二种有以大不等者如二十比十是也有以小不等者如十比二十是也
大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分其一为几倍大者如二十与四是二十内为四者五如三十尺与五尺是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也其二为等带一分者如三与二是三内既有二别带一以为二之半如十二与九是十二内既有九别带三以为九之三分之一则三与二名为等带半也十二与九名为等带三分之一也其三为等带几分者如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八之四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也其四为几倍大带一分者如九与四是九内既有二四别带一一为四之四分之一则九与四名为二倍大带四分之一也其五为几倍大带几分者如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也
大合比例之以小不等者亦有五种俱与右相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分凡诸数俱有书法有全数有分数全数依本数书之分数有二一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则书为三分之二三为命分数二为得分数也其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若反几倍大则用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也其二等带一分之比例有全数有分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一又二之一也若反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也其三等带几分之比例亦有全数有分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一又七之三也若反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数如大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三又七之一也若反几倍大带一分则大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乘大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乘三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又如五带九之一反书之九乘五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三又八之五也若反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乘大倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也通曰右皆化整为零之法也法详奇零
两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则径与界亦有小合比例之线也又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等即曲线直线两视有大有小亦有比例也又方形与圜不能为等形然相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线
角亦有比例如上图直
角钝角锐角皆有与曲
线角等者如甲乙丙直
角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣因知壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又知卯丑辰曲线角与子丑寅锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也他若有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线也又线与面面与体及切圜角与直线锐角皆无比例也
四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是如有四几何第一曰三第二曰二第三曰六第四曰四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四则倍第三之二十四必小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加四倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八则倍第三之三十六必等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四则倍第三之十八必大于倍第四之八也乃知三与二偕六与四得为同理之比例也此断比例之法若连比例则以中率两用之既为第二又为第三也若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例矣
三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同理之连比例则第一与四为三加之比例仿此以至无穷如甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊五几何为同理之连比例其一甲与三丙为
再加之比例其一甲与四丁为三加之比例其一甲与五戊为四加之比例若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也再以数明之如此直角方形之边三尺彼直角方形之边一尺若九与一夫九与一之间有三为同理之连比例则此九三一之三数既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也故彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大约第一与二之比例若线相比第一与三若平面相比第一与四若体相比第一与五若少广之三乘方与六则若四乘方与七则若五乘方也
同理之几何前与前相当后与后相当
比例以比例相结者以多比例之命数相乘除而结为一比例之命数盖中率相结者于不同理之中求其同
理也如十二倍
之此比例则以
彼二倍六倍两
比例相结也二
六相乘为十二故也或以彼三倍四倍两比例相结三四相乘亦十二故也又如三十倍之此比例则以彼二倍三倍五倍三比例相结也二乘三为六六乘五为三十故也大约以三率为始三率则两比例相乘除而中
率为纽也若四率则先以前
三率之两比例相乘除而结
为一比例又以此与第三比
例相乘除而总结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乘除相结又以此与第三比例乘除相结又以此与第四比例乘除相结而为一比例也或如下图亦可
三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如第一图三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乘三为六也若以小不等戊己为第一甲乙为第三三乘二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也又
如次图前以大不等后以小不等者中率小于前后两率也其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大则甲乙与戊己为等带半三乘半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反
推之半除三为反等带半也又如末图前以小不等后以大不等者中率大于前后两率也其甲乙与丙丁为反二倍大丙丁与戊己为等
带三分之一即甲乙与戊己为反等带半何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也又法以命数三带得数一为四半除得二二比三为反等带半也若戊己为首则为等帯半矣
若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也右说连比例之不同理者用中率以结矣若不同理之断比例异中率而无可结者当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乘除相结即得如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若
八与三及二与四之比例八为前之
前四为后之后三为前之后二为后
之前此二比例无可结乃别立同中率之二比例如其八与三二与四之比例如三其八得二十四为前之前三其三得九为前之后即以九为后之前又求得十八为后之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣
通曰十六内去十二馀四为十二三之一当曰等带三之一也
论三角形
一于有界直线上求立平边三角形如甲乙线先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直线即成甲乙丙平边三
角形
二一直线线或内或外有一点求以点为界作直线与元线等如甲点乙丙线先以丙为心乙为界作丙乙圜
次观甲点若在丙乙外则自
甲至丙作线如上图或在丙
乙内则截取甲至丙一分线
如下图俱以甲丙为底作甲丁丙平边三角形次引丁丙至丙乙圜界为丙戊引丁甲出丙乙圜外至己为甲己乃以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等
三两直线一长一短求于长线减去短线之度如甲短线乙丙长线先引乙至别界作乙丁线与甲等乃以乙为心丁为界作圜交乙丙线于戊
则戊丙为馀也
四两三角形若两腰线各等各两腰间之角等则底必等
五三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底外两角必等
六三角形若底线两端之两角等则两腰必等
七一线为底出两腰线其相遇止一点不得别有腰线与元腰线等如甲乙底于甲于乙各出一线至丙相遇此一定之处也若至丁则不与元
腰线甲丙等矣
八两三角形若两腰两底俱等则两腰间角必等九有直线角求两平分如乙甲丙角先于甲乙线任截一分为甲丁亦截甲戊与甲丁等作丁戊直线次以丁戊为底倒立丁戊己平边三角形
再作甲己直线即得
通曰乙丙底作甲己垂线亦得
十有界线求两平分如右图乙丙线以乙丙为底作甲乙丙两边等三角形两平分之得甲己直线即分乙丙线于己
十一一直线任于一点上求作垂线如甲乙线上任指一点于丙先于丙之左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两边等角形再作己
丙直线即己丙为甲乙之垂线若欲于甲点立垂线则任取丙点立丁丙垂线乃以甲丙丁角平分得丙己线次以甲丙为度截戊丙又于戊上立垂
线与己丙线相遇于庚再作庚甲直线即得
十二无界直线外有一点求于点上作垂线至直线上如甲乙线外有丙点先以丙为心作圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙
又两平分丁戊线于己作丙己线即甲乙之垂线也又法于甲乙线上近甲近乙任取一点为心以丙为界作一圜界于丙点及相望
处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如上图或进或退如下图任移一点为心以丙为界作一圜界交处得丁乃作丙丁垂线
十三一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角如甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙钝角与甲乙丁锐角相并必等于戊乙丙戊乙丁
两直角
十四一直线于线上一点出不同方两直线偕元线毎旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线如甲乙线于丙点左出丙丁线右
出丙戊线若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等则丁丙丙戊必成丁戊一直线
十五凡两直线相交作四角每两交角必等如甲乙与丙丁两线相交于戊则甲戊丙角与丁戊乙角必等甲戊丁角与丙戊乙角必等
十六凡三角形之外角必大于相对之各角如甲乙丙角形引乙甲至丁则外角丁甲丙必大于相对之内角甲乙丙甲丙乙引丙甲至戊其外角戊甲乙亦大
通曰此不论乙甲丙角也盖有时丁甲丙角反
小于乙甲丙角故不论
十七凡三角形之每两角必小于两直角如甲乙丙角形甲乙丙甲丙乙两角并小于戊乙丁戊乙丙两直角丙甲乙甲乙丙两角亦小甲丙乙丙甲
乙两角亦小
十八凡三角形大边对大角小边对小角如甲乙丙角形甲乙边大于甲丙丙乙两边则甲乙边所对之甲丙乙角必大甲丙边所对之乙角乙丙边
所对之甲角皆小
十九凡三角形大角对大边小角对小边
二十凡三角形之两边并之必大于一边
二十一凡三角形于一边之两界出两线作小三角形于内则内形两腰并必小于外相对两腰而内所作角必大于外相对角如甲乙丙角形于乙
丙边之两界作丁乙丙小角形则丁丙丁乙两线并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙
角
二十二三直线求作三角形其每两线并大于一线如甲乙丙三边先任作丁戊线长于三线并次以甲为度截丁己以乙为度截己庚以丙为度截庚辛乃以己为心丁为界作丁壬癸圜
以庚为心辛为界作辛壬癸圜两圜相遇于壬于癸再以庚己为底作癸庚癸己两直线即得己癸庚三角形若两线并与其一线或等或小即不能成三角形也
通曰若庚点在丁壬圜内及庚点虽在
丁壬圜外而两圜不交皆不能成三角形也
二十三一直线任于一点上求作一角与所设角等如
甲乙线与设丁戊己角先于戊丁任
取庚点于戊己任取辛点作庚辛线
次将甲乙线依庚戊戊辛辛庚度用右法作壬丙癸角形与丁戊角等
通曰壬丙等庚戊丙癸等戊辛癸壬等辛庚即右之甲乙丙三线也
二十四两三角形相当两腰各等若一形腰间角大则底亦大如甲乙甲丙两腰与丁戊丁己两腰左右各等若甲角大于丁角其乙丙底必大于戊己底
二十五两三角形相当两腰各等若一形底大则腰间角亦大
二十六两三角形相当之两角等及相当之一边等则馀两边必等馀一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
二十七两直线有他直线交加其上若相对内两角等则两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线交于庚辛而甲庚辛角与丁辛庚角等则甲乙丙丁两线必平行
二十八两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等其两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线
交于庚辛其戊庚甲外角与庚辛丙内角等或甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等则甲乙丙丁两线必平行二十九两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等
三十两直线与他直线平行则元两线亦平行〈此论同面不同面线后别有论〉如甲乙丙丁两线与戊己平行则甲乙
与丙丁亦平行
三十一一点上求作直线与所设直线平行如甲点与乙丙线先从甲向乙丙线任指丁点作甲丁线成甲丁乙角次于甲作戊甲丁角与甲丁乙角
等再引戊甲至己则己戊线与乙丙平行又法作甲丁线以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己乃取戊己为度截取庚辛再作甲辛线各引长之即得用法设丙角甲乙两线求作有法四边形先作丁己庚角与丙角等次截己庚与甲等丁己与乙等再依丁己平
行作戊庚己庚平行作丁戊即得
三十二凡三角形之外角与相对之内两角并等三角形之内三角并与两直角等如甲乙丙角形引乙丙至丁则甲丙丁外角与内甲乙两角并等
又甲乙丙三角并如甲丙丁角既等于甲乙两角又加丙甲岂不与戊丙乙戊丙丁两直角等乎从此推之如后图甲当两直角乙当四直角丙当六直角
丁当八直角自此可至无穷其多
边求当几直角者以其所有之边内减二倍其馀即得如丁形六边减二存四倍八故知当八直角也 凡诸种角形之三角并俱相等 凡两腰等角形若腰间直角则馀两角每当直角之半腰间钝角则馀两角俱小于半直角腰间锐角则馀两角俱大于半直角 平边角形每角当直角三分之二 平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线下两旁则垂线上两旁角毎当直角三分之一其馀两角每当直角三分之二
三十三两平行相等线之界有两线聫之其两线亦平行亦相等如甲丙乙丁两平行相等线有甲乙丙丁两线聫之则甲乙丙丁亦平行相等线
三十四凡平行线方形毎相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分
三十五两平行方形若同在平行线内又同底则两形等如甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲丙
丁乙己两平行方形同丙丁底则此二形等或戊己同点其甲戊丁丙戊乙丁丙两形亦等或己在戊外其丙丁戊甲丙丁乙己两
形亦等此言形等者非腰等角等乃所函之地等也后言形等者仿此
三十六两平行线内有两平行方形若底等则形亦等三十七两平行线内有两三角形若同底则两形必等如甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两三角形
同丙丁底则两形等
三十八两平行线内有两三角形若底等则两形必等又凡角形任于一边任作一点求从点分本形为两平分如取丁点先向甲角作直线次平分
乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作己丁直线即分本形为两平分
三十九两三角形其底同其形等必在两平行线内如甲乙丙形与丁丙乙形同乙丙底而两形复等则自丁
至甲作直线必与乙丙平行
四十两三角形其底等其形等必在两平行线内四十一两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形如甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊丁方形乙丁丙三角形同丙丁底则
方形必倍大于角形
四十二有三角形求作平行方形与之等而方形角与所设角等如甲乙丙角形先两平分乙丙边于戊作丙戊己角与所设丁角等次自甲作直线与乙丙平行而遇戊己线于己末自丙作直线与戊己
平行为丙庚得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等四十三凡方形对角线旁两馀方形自相等如甲乙丙丁方形有甲丙对角线则两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两形必等
四十四一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等如甲线乙角形丙角先作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等次引庚己至辛作己辛线与甲线等次作辛壬线与戊己平行又引丁戊至壬次自壬至己作对角线引出至癸又引丁
庚至癸相遇再作癸子线与庚辛平行又引壬辛至子引戊己至丑得巳丑子辛平行方形如求与乙角形等四十五有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等如甲乙丙五边形丁角先分五边形为甲乙丙三其三角形次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊
辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等又引前线作壬癸子丑平行方形与丙等并为戊己子丑平行方形与五边形等而有丁角
又甲与乙两直线形不等甲大乙小以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方
形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等得辛庚戊己平行方形为相减之较矣四十六一直线上求立直角方形如丙丁线上两界各立垂线甲丙乙丁与丙丁等再作甲乙线即得
四十七凡三边直角形对直角边上所作直角方形与馀两边上所作两直角方形并等如甲乙丙角形甲为直角对甲之乙丙边上作子直角
方形与甲丙甲乙两边所作丑寅两直角方形并等通曰此
幂内有勾股二幂也乙丙也
又凡直角方形之对角线如甲丙则甲丙线上
所作直角方形必倍大于甲乙丙丁形
又设不等两直角方形一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等并之又与
元设两形并等先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁与乙等作戊丁线相聫再于丁戊两角各作一角皆半于直角者为己戊己丁相等而遇于己则己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁两线上所作两直角方形并等其曰半直角者己戊丁半于庚戊丁己丁戊半于辛丁戊也
又多直角方形求并作一直角方形
与之等如五直角方形以甲乙丙丁
戊为边先作己庚辛直角而己庚线
与甲等庚辛线与乙等次作己辛线即作己辛壬直角而壬辛与丙等次作壬己线即作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线即作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线于此线上作直角方形如求
四十八凡三角形之一边上所作直角方形与馀边所作两直角方形并等则对一边之角必直角
论线
一两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等如甲乙乙丙两线以乙丙三分之为乙庚庚戊戊丙则甲乙偕乙丙之矩线内直角形与甲乙偕乙
庚甲乙偕庚戊甲乙偕戊丙三矩线内直角形并等二一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并必等如甲乙线任两分于丙则甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙
偕丙乙两矩线内直角形并等
三一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分馀线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等如甲乙线分于丙甲乙偕甲丙矩内直角形与分馀丙乙偕甲丙矩内直角形及甲丙上直角方形并必等或如后图甲乙偕丙乙矩内直角形与分馀甲丙偕丙乙矩内直角形及
丙乙上直角方形并亦等
四一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内直角形并等如甲乙线分于丙甲乙线上直角方形与甲
丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,附录 几何约>甲丙上及分内线丙丁上两直角方形相并成庚辛丁磬折形盖子与子等丑寅与丑寅等卯辰与卯辰等故也
十一直线两平分之又任引增一线共为一全线其全线上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上及分馀半线偕引增线上两直角方形并
通曰如甲乙线平分于丙又任引增为乙丁则甲丁线上直角方形如丁戊者与乙丁线上直角方形如乙己者相并成戊己乙磬折形倍大于甲丙线上直角方形如甲庚者与丙丁线上直角方形如辛丙者相并成辛庚甲磬折形盖子丑与子丑等寅卯与寅卯等故也
十一 一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分馀线上直角方形等如甲乙线先作甲丙直角方形次以甲丁平分于戊作戊乙线
从戊甲引至己令戊己与戊乙等乃于甲乙线截取甲庚与甲己等则甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等
十二三边钝角形之对钝角边上直角方形大于馀边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二如甲乙丙形乙为钝角从馀角如甲下一垂线与钝角旁一边如丙乙引长之遇于丁为直角则对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙边上两
直角方形并之较为丙乙偕乙丁矩内直角形二反说之则甲乙乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二相并与甲丙上直角方形等
十三三边锐角形之对锐角边上直角方形小于馀边上两直角方形并之较为锐角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二如甲乙丙三边锐角形从一角如甲向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁则甲丙乙锐角
之相对甲乙边上直角方形小于乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二反说之则乙丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等
十四有直线形求作直角方形与之等如甲无法四边形先作乙丁形与之等而直角次任用一边引长之如丁丙引至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚点若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚点在
丙外则以庚为心丁己为界作丁辛己半圜再从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等又直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直
角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊线如求
论圜
一有圜求㝷其心如甲乙丙丁圜先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分于戊再于戊上作乙丁垂线两平分于己己即圜心因显圜内有直线
分他线为两平分而作直角即圜心在其内
二圜界任取二点以直线相聨则直线全在圜内三直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分如乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分则己旁必两直角
甲己为垂线故也
四圜内不过心两直线相交不得俱为两平分如甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心而交于戊若甲乙为两平分则丁丙不得两平分
若一过心一不过心即两线亦不得俱为两平分五两圜相交必有同心
六两圜内相切必不同心
七圜径离心任取一点从点至圜界任出几线其过心最大不过心最小馀线愈近心者愈大愈近不过心者愈小诸线中止两线等如甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一点为庚从庚至圜界
任出几线为庚丙庚丁庚戊庚乙庚甲惟过心庚甲最大不过心庚乙最小庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊而庚乙两旁止可出两线等如庚辛等庚戊庚壬等庚丁也
八圜外任取一点从点任出几线其至规内则过圜心线最大馀线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之馀者最小馀线愈近径馀愈小而诸线中止两线等
如乙己壬圜之外从甲点任出几
线其一为过癸心之甲壬其馀为
甲辛甲庚甲己皆至规内则过心
之甲壬最大近心之甲辛大于甲
庚甲己最小规外之甲乙为乙壬径馀者最小近径馀之甲丙小于甲丁甲戊为大矣甲乙丙旁止可出两线等如甲子等甲丙也
九圜内从一点至界作三线以上皆等即此点必圜心如从甲点至乙丙丁作三线为甲乙甲丙甲丁若三线等则甲点必圜心
十两圜相交止于两点
十一两圜内相切作直线聫两心引出之必至切界如甲乙丙甲丁戊两圜内切于甲己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心作己庚直线聫两心又引
己至圜界必至相切之甲点
十二两圜外相切以直线聫两心必过切界如甲乙两圜外切于丁甲心为丙乙心为戊作丙戊直线聫之必过丁界
十三圜相切不论内外止于一点
十四圜内两直线等即距心之远近等距心远近等即两直线等如甲乙丙丁圜心戊圜内甲乙丁丙两线等则庚戊己戊远近必等
十五径为圜内之大线其馀线近心大于远心
十六圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线锐角切边角小于各直线锐角如甲丙径末之甲戊垂线全在圜外戊甲垂线偕乙甲圜
界所作切边角不得更作一直线入其内丙甲线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线锐角而戊甲线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线锐角又有两种几何一大一小以小率半増之递增至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小
如后图直线切圜之戊甲乙切边角
为小率壬庚辛直线锐角为大率今
别作甲丙甲丁各圜俱切戊己线于
甲其切边角愈增愈大别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小恒大恒小终不得相比
又甲丙径甲不动引丙线向己渐移其所经乙丁戊中间无数凡割圜皆为锐角即小于半圜
分角才离锐角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线也又直线锐角皆小于半圜分角直角钝角皆大于半圜分角是大小终无等也
十七设一点一圜求从点作切线如甲点与乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜乃作甲丁之垂线为乙戊遇甲戊圜于戊又作戊丁直线截乙丙圜于丙再作甲丙直线即切乙丙圜于丙也
十八直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线
十九直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内
二十负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角如甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底
则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
又乙丁丁丙不作角于心或如上图为半圜或如下图为小半圜则丁心外馀
地为乙丁戊戊丁丙两角倍大于同乙丁丙之底负圜角为乙甲丙角也
二十一凡同圜分内所作负圜角俱等如丁甲乙丙圜
分内不论此为大分小分函心不函
心但分内任作丁甲丙丁乙丙两角
必等
二十二圜内切界四边形每相对两角并与两直角等如圜心为戊圜内有甲乙丙丁四边形则甲乙丙丙丁甲两角并或乙丙丁丁
甲乙两角并与两直角必等
二十三一直线上作两圜分不得相似而不相等二十四相等两直线上作相似两圜分必等如甲乙丁戊两等直线上作甲丙乙丁己戊两相似
圜分必等
二十五有圜之分求成圜如甲乙丙圜分先作甲丙线
次作乙丁为甲丙之垂线丁即分甲
丙为两平分次作甲乙线须视丁乙
甲角或大于丁甲乙角或小或等若大则甲乙丙当为圜小分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引乙丁至戊戊即圜心若丁乙甲角小于丁甲乙角则甲乙丙当为圜大分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等戊即圜心若乙甲两角正等则甲乙丙当为半圜分丁即圜心矣又法于甲乙丙圜分任取三点于甲于乙于丙以两直线聫之各两平分于丁于戊从丁从戊作甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即己为圜心又法任取四点为甲为乙为丙为丁每两点各自为心相向各任作圜分四圜分两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作
直线引长之交于壬即壬为圜心
二十六等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等如在心者为甲庚丙丁辛己两角等在界者为甲乙丙丁戊己两角
等其甲丙丁己两圜分必等
二十七等圜之角所乘圜分等则其角或在心在界俱等此反前题也如甲丁乙丙两直线在一圜内而不相交其相去之甲乙丁丙两圜分等则两
线必平行
二十八等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等
二十九等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等三十有圜之分求两平分之如甲乙丙圜分先作甲丙线次两平分于丁作乙丁线为甲丙之垂线即分甲乙丙圜为两平分
三十一负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角如甲乙戊丙圜其心丁径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角负半圜分乙甲丙角负乙甲丙大
分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分则负半圜之甲乙丙为直角负大分之乙甲丙为锐角负小分之乙戊丙为钝角丙乙甲大圜分角大于直角丙乙戊小圜分角小于直角
又凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角
三十二直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等如甲乙线切圜于丙从丙任作丙戊直线不论过己心与不过己心
割圜两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角则甲丙戊角与丙庚戊角等乙丙戊角与丙丁戊角等通曰割线正则左与左等右与右等割线偏则左与右等右与左等盖切线在外割线在内故也
三十三一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等如甲乙线丙直角先以甲乙两平分于丁以丁为心甲乙为界作半圜圜分内作甲戊乙角
即负半圜角为直角而与丙等若丙系锐角先于甲点上作丁甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等乙己线遇甲戊线于己即己乙己甲两线等以己
为心甲为界作圜则甲庚乙圜分内所作负圜角必为锐角而与丙等若丙系钝角如辛者即作壬甲乙钝角与辛等又作戊甲为壬甲之垂线馀仿锐角法而于甲乙线上作甲癸乙角即与辛等
三十四设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等如甲乙丙圜丁角先作戊己线切圜于甲次作己甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上所
作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等
三十五圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等如甲乙丙丁两线圜内交于戊若两线俱过心者其各分四线等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等或丙丁线过心
而甲乙线不过心者或
两线俱不过心者其甲
戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形亦等
三十六圜外任取一点从点出两直线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等如甲乙丙圜外任取丁点从丁作丁乙切圜线而切于乙作丁甲割
线毋论过心不过心而截圜界于丙则甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
又从圜外甲点作数线至规内各全线偕各规外线如甲戊偕甲丁甲己偕甲丙两矩内直角形必等
又从圜外甲点作两直线切圜如甲乙甲丙
必等亦止可作两线切圜无三线也
三十七圜外任于一点出两直线一至规外一割圜其割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外者必切圜线此反前题也
论圜内外形
一有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线如甲乙丙圜与丁线其丁线不大于径线若大则不可合矣先作圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙
丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等
通曰甲乙与乙戊等凡两圜相交毋论深浅其一圜之半径必与合圜线等
二有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角如甲乙丙圜与设角形先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与己角等次作辛甲丙角
与戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设形之三角各等甲等丁乙等戊丙等己也
通曰凡三角形并三角为一处必成直线盖圜外切线自切界出两线入规内分切处为
三角并此三角必与设形三角相并等也
三有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角如图先于戊己一边引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚
角等次作乙壬丙角与丁己辛角等次于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线切圜而令角上相遇则癸子丑三角与设形之丁戊己三角各等
四三角形求作形内切圜如图先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分作乙丁丙丁两直线遇于丁自丁至角形之三边各作垂线为丁己丁庚丁
戊以丁为心戊庚己为界作圜切甲乙丙角形之三边五三角形求作形外切圜如图先平分两边分甲丙于
戊甲乙于丁各作垂线为丁己
戊己而遇于己其己点或在形
内或在形外或在乙丙边上再作己甲己丙己乙三线等以己为心甲为界作圜切三角
六有圜求作内切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即成甲乙丙丁内切圜直角方形
七有圜求作外切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径之垂线而相遇于己
辛壬庚即成己庚壬辛外切圜直角方形
八直角方形求作形内切圜如图以四边各两平分之于戊于己于庚于辛作辛己戊庚两线交于壬以壬为心戊为界作圜如所求
九直角方形求作形外切圜如图作甲丙丁乙对角两线而交于戊以戊为心甲为界作圜如所求通曰方外圆内同径圆外方内方斜为圆径也
十求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角如图先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等
次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等末作甲丁线相聨其甲乙甲丁等成两边等三角形底上乙丁两角各倍大于甲角
十一有圜求作圜内五边切形其形等边等角如图先作己庚辛两边等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分为
丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聫即得
十二有圜求作圜外五边切形其形等边等角如图先用右法作圜内五边等边等角切形乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线再从此五线
作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂线各界相遇即得十三五边等边等角形求作形内切圜如图先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己又自己作己庚为甲乙之垂线而平分甲
乙于庚再以己为心庚为界作圜如求
十四五边等边等角形求作形外切圜如图分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己以己为心甲为界如求
十五有圜求作圜内六边切形其形等边等角如图先作甲丁径线庚为心次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙
庚戊庚各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相聫即得
又凡圜之半径为六分圜之一之分庚丁与丙丁等也
十六有圜求作圜内十五边切形其形等边等角如图先作甲乙丙内切圜平边三角形与丁等角三边等也次作甲戊己庚辛内切圜五边形等角甲乙圜分之圜界为十五分之
五分甲戊圜分之圜界为十五分之三分戊乙为十五分之二分乙己为十五分之一分也依度作十五合圜线如求盖甲乙圜分为三分圜之一即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三五相乘得十五即知两分法可作十五边形也又如甲乙命三甲戊命五三五相较得二即知戊乙得十五分之二也以此法为例
又从甲点作数形之各一边如甲乙为六边形之一边甲丙为五边形之一边甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲乙命
六甲丙命五较数一乘数三十即知乙丙圜分为所作三十边等边等角形之一边也又如后图甲乙丙与丁戊两圜同己心求于甲乙丙大圜丙作多边切形不至丁戊小圜其多边为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊
从戊作庚辛切线而为甲戊之垂线乃于甲庚丙圜分减半存乙丙又减半存壬丙又减半存癸丙小于庚丙而止作癸丙合圜线此即所求切圜形之一边也
论比例
一此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率如甲乙二几何大于丙丁二几何各三倍则
甲乙并亦大于丙丁并三倍
二六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数如甲乙〈一〉倍丙〈二〉之数若丁
戊〈三〉倍己〈四〉之数又乙庚〈五〉倍丙之数若戊辛〈六〉倍己之数则甲乙乙庚并倍丙之数若丁戊戊辛并倍己之数
三四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次
倍第一又倍第三其数等则第一所
倍之与第二若第三所倍之与第四
如甲〈一〉所倍于乙〈二〉若丙〈三〉所倍于丁〈四〉次作戊己两几何同若干倍于甲于丙则以平理推之戊倍乙之数若己倍丁
四四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例等如甲〈一〉与乙〈二〉偕丙〈三〉与丁〈四〉比
例等作戊与己同任若干倍于甲丙别作庚与辛同任若干倍于乙丁则戊与庚偕己与辛比例亦等
五大小两几何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分则此全之分馀所倍于彼全之分馀亦如之如甲乙大几何倍于丙丁小几何若所截之甲戊倍于丙己则分馀之戊
乙亦倍于己丁
六此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分馀或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等如甲乙丙丁两几何各倍
于戊己两几何其数等减甲庚丙辛若所减之倍戊己等则所馀之倍等戊己亦等
七此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等如甲乙两几何等彼几何丙不论其等大小于甲乙
则甲与丙偕乙与丙各为比例必等即丙与甲偕丙与乙各为比例亦等
八大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例如甲大乙小又有丙不论其等大小于甲乙则甲与丙之比例大于乙与丙之比例
丙与乙亦大于丙与甲
九两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等如甲乙两几何各与丙为比例等或丙几
何与甲与乙各为比例等则甲与乙必等
十彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此如甲乙两几何又有他几何丙若甲与丙之比例大
于乙与丙则甲大于乙若丙与乙之比例大于丙与甲则乙小于甲
十一此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等如甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等则甲乙
与丙丁之比例亦等
十二数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例如甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己也则甲丙戊诸前率并与
乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之比例也
十三数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之比例亦大于第五与六之
比例如甲〈一〉与乙〈二〉之比例若丙〈三〉与丁〈四〉而丙丁之比例大于戊〈五〉与己〈六〉则甲乙之比例亦大于戊己十四四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一大于三则第二亦大于四第一或等小于三则第二亦等小于三
十五两分之比例与两多分并之比例等如甲与乙同任倍之为丙丁为戊己则丙丁与戊己之比例若甲与乙
十六四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等如甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若丙与丁更推之则甲与丙之比例亦
若乙与丁
十七相合之两几何为比例等则分之为比例亦等如甲乙合丁乙丙戊合己戊其甲乙与丁乙之比例若丙戊与己戊分之甲丁与丁乙亦若
丙己与己戊
十八两几何分之为比例等则合之为比例亦等此即反前题之说也
十九两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分馀之比例与两全之比例亦等如甲乙全与丙丁全之比例若截甲戊与丙己则馀戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁又甲乙
与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己也
二十有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等小于第三则第四亦等小于第六如甲乙丙三几何丁戊己三几何
其甲与乙之比例若丁与戊乙与丙
之比例若戊与己如甲大于丙丁亦
大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙
丁亦小于己
二十一有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一几何大于第三则第四亦大于第六第
一或等小于第三则第四亦等小于
第六如甲乙丙三几何丁戊己三几
何相为连比例不序不序者甲与乙
若戊与己乙与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于于丙丁亦大于己甲丙等丁己亦等甲小于丙丁亦小于己
二十二有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推如有甲乙丙又有丁戊己而甲与乙之比例若丁与戊乙与丙若戊与己
以平理推甲与丙之比例若丁与己
二十三若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推如甲乙丙又丁戊己相为连比例而错者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊以平理推甲与丙之比例亦若丁与己
二十四凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四如甲乙〈一〉与丙〈二〉若丁戊〈三〉与己〈四〉而乙庚〈五〉与
丙若戊辛〈六〉与己则甲乙乙庚并与丙若丁戊戊辛并与己
二十五四几何为断比例则最大与最小两几何并大于馀两几何并如甲与乙若丙与丁甲最大丁最小则甲与丁并大于丙与乙并也
二十六第一与二之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例如甲〈一〉与乙〈二〉之比例大于丙〈三〉与丁〈四〉反
之则乙与甲之比例小于丁与丙
二十七第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例如甲〈一〉与乙〈二〉之比例大于丙〈三〉与丁〈四〉
更之则甲与丙之比例亦大于乙与丁
二十八第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例如甲乙〈一〉与乙丙〈二〉之比例大于丁戊三与戊己〈四〉合之则甲丙与乙丙之比例亦大
于丁己与戊己
二十九第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例此反前题之说也
三十第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例如甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己转之则甲丙与甲乙之比例小于
丁己于丁戊
三十一此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比
例如甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己
三十二此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例如此甲乙丙彼丁戊己而甲与乙之比例大于戊与
己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己
三十三此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分馀与彼全分馀之比例大于此全与彼全之比例如甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己则两分馀戊乙与
己丁之比例大于甲乙与丙丁
三十四若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例如甲乙丙又丁戊己其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己则甲乙丙并与丁戊己并之比例
大于丙与己亦大于乙丙并与戊己并但小于甲与丁也
通曰比称数等者是数等也凡称比例等者非数等也数不等而比例等也
论线面之比例
一等高之三角形方形自相与为比例与其底之比例等如甲乙丙丁戊己两三角形等高其底乙丙戊己如庚丙戊辛两方形等高其底乙丙戊己则甲乙丙与丁戊己之比例庚丙与戊辛之比例皆若
乙丙与戊己
又甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己
等则甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸之高之比例也
二三角形任依一边作平行线即此线分两馀边以为比例必等三角形内有一边分两边以为比例而等即此线与馀边为平行如甲乙丙角形作丁戊与乙丙平行线于形内则甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙反言之甲丁与丁乙甲戊与戊丙比例若
等则丁戊与乙丙两线必平行
三三角形任以直线分一角为两平分而分对角边为两分则两分之比例若馀两边之比例三角形分角之线所分对角边之比例若馀两边则所分角为两平分如甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角
为两平分则乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙反言亦可
四凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边如甲乙丙丁丙戊两角形各角俱等则甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙
与丙乙若丁戊与戊丙而每对等角之边各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角也
又凡角形内之直线如丁戊与乙丙平行则截一分之甲丁戊角形必与甲乙丙全角形相似又甲乙丙角形内作丁戊线与乙丙平行于乙丙边任取己点向甲角作线则乙己与己丙之
比例若丁庚与庚戊
五两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等此反前题之说也
六两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则馀角丙与己甲与丁俱等
七两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等如两角形之甲与丁角等而第二相当角如丙角两旁之甲丙丙乙两边偕己角两旁之丁
己己戊两边比例等其第三之相当角如乙与戊或俱小俱不小于直角则丙角与己等乙角与戊等
八直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直角三边形即两形皆与全形相似亦自相似如甲乙丙直角三边形从乙甲丙直角作丁垂线则所分甲丁丙甲丁乙两三边形皆与全形相似亦
自相似同直角也
又从直角作垂线即此线为两分对边线比例之中率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例之中率也
九一直线求截所取之分如甲乙线欲取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即甲庚为甲
乙三分之一
十有直线求截各分如所设之截分如甲乙线先任作甲丙线又作丙乙线相聨乃任分于丁于戊即从丁作丁己从戊作戊庚皆与丙乙平行即分
甲乙线于己于庚若甲丙之分于丁于戊又法如后图甲乙线求五平分任作丙乙线次于乙丙上任取一点作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸令小于甲乙次作甲癸子线再作子壬子辛子庚子己四线各引长之即分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分也又法从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸
辛壬四线即分甲乙于午于辰于卯于寅为五平分又法先作丙丁戊己两平行线任平分若干格今欲分甲线为五平分即观甲线之度
以一角抵戊一角抵庚辛线如长于庚即渐移之至壬而合即戊壬之分为甲线之分
十一两直线求别作一线相与为连比例如甲乙甲丙两线而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先引甲乙为乙丁与甲丙等次作丙乙线次作
丁戊线与丙乙平行次引甲丙至戊即丙戊线为所求又法以甲乙乙丙两线别作甲乙丙直角次以甲丙线聨之次作丙丁为甲丙之垂线末引甲
乙至丁即乙丁线为所求
十二三直线求别作一线相与为断比例如甲乙乙丙甲丁三线而甲乙与乙丙之比例若甲丁与他线也先以甲乙乙丙作一直线为甲丙以甲丁线任作甲角次作丁乙线次作丙戊线与丁乙平行次
引甲丁至戊即丁戊线为所求
十三两直线求别作一线为连比例之中率如甲乙乙丙两线求甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次两平分于戊
次以戊为心甲丙为界作半圜次从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁线为中率也
又凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率线也又甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率者先以甲乙甲丙作丙甲乙直
角平分甲乙于丁以丁为心甲乙为界作半圜次作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊次作戊己垂线分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率戊己与甲丙等也通曰凡半圜外之切线自等半径以下者皆为全径两分之中率也
十四两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相视之边即两形等如甲乙丙丁乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊己庚两角又等此
两角各两旁之两边甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也反言之亦可
十五相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即两三角形等如甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等此等角旁之各两边甲乙与乙戊之
比例若丁乙与乙丙也反言之亦可
十六四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例如甲乙丙丁四线为断比例甲与乙若丙与丁而戊形系甲丁首
尾两线矩内直角形己形系乙丙中两线矩内直角形则戊己两形必等反言之亦可
十七三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例如甲乙丙三线为连比例甲与乙若乙与丙而丁形系甲丙首尾两
线矩内直角形戊形系乙上直角方形则丁戊两形必等反言之亦可
十八直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等如甲乙线先设丙丁戊己庚形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如作己丙己丁分为丙丁己丁己戊丙己庚
三三角形次于甲乙上作甲壬乙角形与丙己丁等角次作乙壬辛与丁己戊等角又作甲壬癸与丙己庚等
角则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚相
似而体势等矣凡设多角形俱仿此
又法如设甲乙丙丁戊己形求于庚
线上作相似而体势等形先引甲乙
至辛甲丑亦然次从甲向角各作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线等不论其在乙内外末作辛壬与乙丙平行作壬癸与丙丁平行作癸子与丁戊平行作子丑与戊己平行即所求
十九相似三角形之比例为其相似边再加之比例如甲乙丙丁戊己两角形等角乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则两形之比例为乙丙与戊己两边再加
之比例也
又凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例也
二十以三角形分相似之多边直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例为两相似边再加之比例如此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线形其乙甲戊庚己癸两角等馀相当之各
角俱等而各等角旁各两边之比例各等则各以角形分之其分数必等如题所云
又甲线倍大于乙线则甲上方形与乙上方形为四倍大之比例
又凡三直线为连比例其线上多边形一与二之比例若一与三
二十一两直线形各与他直线形相似则自相似二十二四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例
二十三等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结如甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等则两比例之前率在此形两比
例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结此乃不同理之比例也
二十四平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似如甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角
线交相遇于壬则戊庚己辛两角线方形自相似亦与全形相似
二十五两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等如甲乙两形先于甲形任取一边如丙丁上作平行方形与甲等为丙戊次于丁戊边上作平行方形与乙等而丙丁庚己戊辛
俱为直线也次作壬癸线为丙丁丁庚之中率次于壬癸上作子形与甲相似而与乙等
通曰似者形似也等者容等也体势等者非容等也二十六平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线如乙丁形内减戊庚形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角则戊庚形必依乙丁形之对
角线
二十七凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形如甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形
对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半线上之阙形此两形相似相等体势又等则甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形
二十八一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似而体势
等次作甲辛庚乙满元线平行方形若甲己平行方形与丙等者即得所求甲己依线之有阙平行方形也戊庚阙形也
二十九一直线求作依线之带馀平行方形与所设直线形等而其馀形与所设平行方形相似如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似别作平行方形与丙及戊庚并相等为辛形又别作平行方形与辛
等又与丁相似为壬癸子丑形乃引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等作卯寅平行方形与申等又引甲乙至酉引庚乙至午引午卯至未又作甲未与己卯平行得甲辰带馀平行方形依甲乙线与丙等而酉午为其馀形与戊庚形相似即与丁相似也
三十有直线求作理分中末线如甲乙线上作甲丙直角方形次依丁甲边作丁己带馀平行方形与甲丙形等而甲己为其馀形又与甲丙形相似
则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也谓甲乙与甲辛若甲辛与辛乙也
三十一三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形若相似而体势等则一形与两形并等如甲乙丙三边直角形乙甲丙为直角于乙丙
上任作直线形为丁于甲乙甲丙上亦作己戊两形与丁相似而体势等则丁形与戊乙两形并必等
通曰此勾股半幂相并与半幂等也
三十二两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两形成一外角若各相似之各两边各平行则其馀各一边相聨为一直线如甲乙丙丁丙戊两角形甲乙甲丙边与丁丙丁戊边相似则甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切
成甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各平行则乙丙丙戊必一直线
三十三等圜之乘圜分角或在心或在界其各相当两乘圜角之比例皆若所乘两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乘两圜分之比例如两圜等其心为丁为辛各任割一圜分为乙丙为己庚其乘圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为
乙甲丙己戊庚则乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角又乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚又乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚
又凡在圜心两角之比例皆若两分圜形
又在圜心角与四直角之比例若圜心角所乘圜分与全圜界
増题
一圜与圜为其径与径再加之比例如甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己则甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例
又全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故也又三边直角形对直角边为径所作圜与馀两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
又三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
二直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等如甲形求减三分之一先作丙丁形与甲等与乙相似次任于一边如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊为三分而取其庚戊
一分从庚作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线次于己丙己戊上作己辛己壬两形各与乙相似又若于大圜求减所设小圜以圜径当形边法如右又依此可作直角方形与初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一为乙壬丙戊初
月形先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形次用方形法四平分之即其一为所求方形
三两直线形求别作一直线形为连比例如甲子两形先作戊己庚直线形与甲等与子相似以相似两形之各一边如戊己乙丙为前率中率
线而求其连比例之末率线为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与子丑两形相似如求
四三直线形求别作一直线形为断比例如甲丁辛三形先作戊形与甲等与丁相似次以三形之任各一边如壬癸乙丙己庚求其断比
例之末率线为寅卯于寅卯上作寅卯辰形与辛相似如求
五两直线形求别作一形为连比例之中率如甲丁两形先作戊己庚直线形与甲等与丁相似次求戊己乙丙两线之中率为辛壬于辛壬上
作辛壬癸形与戊己乙丙上两形相似即为戊己乙丙两形之中率又法如后图甲乙两形先作丁丙戊己平行线形与甲等次作庚己辛壬平行线形与乙等与丁戊相似以所作两形己角相聨令
丁己壬戊己庚俱成直线再引各边成丙子辛癸平行线形即两馀方形俱为丁戊庚壬两形之中率
六一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例此与二题之法相同但多乙丙两线之比例耳如先取戊己边两分之于庚令戊庚与庚己之比
例若乙与丙也馀用前法
七一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似边之比例若所设两几何之比
例如甲形求分两形俱与丁相似其
两分形两相似之边又与乙与丙之
比例相若先以乙丙两线求其连比例之末率为戊次作己庚辛形与甲等与丁相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊馀同二题之法
八两直线形求并一直线形与所设形相似而体势等如甲乙两形先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等又各与所设丙相似次令两形
相似之戊己己辛两边聨为直角次作戊辛线聨之于戊辛上作戊辛壬形与丙相似即与上两形并等也又法作一平行方形与甲乙两形并等又作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似即所求
九圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视如圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊则所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线谓甲
戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
通曰两等线交亦等两不等线交亦不等
十圜外任取一点从点出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从点作一切圜线则必为各割圜全线与其规外线之各中率如任取戊点作戊丁戊丙两割圜线则戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也或有
戊己切圜线则戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等即戊丁偕戊甲亦然
十一两直线相遇作角从两腰之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视如甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如甲丁丙戊两垂线至甲乙丙乙之各引出线上而甲戊丙丁交而
相分于乙也若甲乙丙为锐角如甲丁丙戊两垂线在甲乙丙乙之内交而相分于己也则两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
十二平行线形内两直线与两边平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等如甲丙平行线形内戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬则所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形
任相与为比例皆等
十三凡四边形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等如甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊则所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆
等
十四三角形任于一边任取一点从点求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例如甲乙丙角形任于一边如乙丙上任取一点求丁上作线分本形为两形其两形之比例若所设戊与己也先两分乙丙于庚令乙庚与庚丙之
比例若戊与己其庚与丁若同点即作丁甲线则乙丁甲与丁丙甲两角形之比例若戊与己也假若庚点在丁丙之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也又若庚点在乙丁之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聫即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也
又凡角形任于一边任取一点从点求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也
十五一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例如甲形先以所设乙丙及任用甲之一边如丁戊三线求其断比例之末率为己次求丁戊及己之中率线为
庚辛乃于庚辛上作壬形与甲相似甲与壬之比例若乙与丙
用此法可依此直线形加作两倍大三四五倍以至无穷之他形亦可减作二分之一三四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等也如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平
分于己次以己为心甲戊为界作甲庚戊半圜其乙丙线引之至圜界于庚即乙庚为所求方形之一边也再作庚辛壬乙直角方形即五倍大于甲丙
又凡甲乙上不论何等与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆五倍大于甲乙上形相加相减俱仿此以至无穷
十六诸三角形求作内切直角方形如甲乙丙锐角形
先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次
以甲丁线两分于戊令甲戊与戊丁
之比例若甲丁与乙丙末从戊作己
庚线与乙丙平行从己从庚作己辛庚壬两线皆与戊丁平行即得己壬形如所求若直角钝角则从直角甲钝角甲作垂线馀法同前
又若直角三边形求依乙角作内切直角方形则以垂线甲乙两分于丁令甲丁与丁乙之比
例若甲乙与乙丙次从丁作丁戊线与乙丙平行从戊作戊己线与甲乙平行即得丁己形如求
通曰西学莫精于象数象数莫精于几何余初读三过不解忽秉烛玩之竟夜而悟明日质诸穆师极𫎇许可凡制器尚象开物成务以前民用以利出入尽乎此矣故约而记之于此
数度衍附录
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
钦定四库全书 子部六
勾股引𫎇 天文算法类二〈算书之属〉提要
〈臣〉等谨案勾股引𫎇五卷
国朝陈𬣙撰𬣙字言杨海宁人由贡生官淳安县教谕是书成于康熙六十一年壬寅首载加减乘除之法杂引诸书如加法则从同文算指列位自左而右减法则从梅文鼎笔算列位自上而下易横为直乘法则用程大位算法统宗铺地锦法画格为界除法则用梅文鼎筹算直书列位至定位则又用西人横书之式盖兼采诸法故例不画一至开带纵平方但列较数而不列和数开带纵立方但列带一纵而不列带两纵相同及带两纵不同皆为未备所论勾股诸法谓勾股和自乘方与弦积相减所馀之积转减积为股较不知以勾股和自乘积与倍积相减所馀为勾股较积不得为勾股较也又谓勾股相乘以勾股较除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾积股相乘矣则用此一勾股相乘之积而勾股和与勾股较除之皆得容方无是理也又谓勾股相乘之积为容方者四斜内为容方者两不知勾股形内以为界止容一方试以勾三股四之容方积较尚不及勾股积四分之一而股愈长则容方愈小者更无论矣又谓勾股之长恒两倍于容圆之周不知平圆积以半周除之而得半径勾股相乘积以总和除而得半径根既不同不得牵混为一也如斯之类亦多未协其三角法则全录梅文鼎平三角举要略加诠释所用八线小表以馀线可以正正切正割三线加减得之故不备列其半径止用十万亦测量全义所载泰西之旧表无所发明然算法精微猝不易得其门径此书由浅入深循途开示于初学亦不为无功观其名以引𫎇宗旨可见录存其说亦足为发轫之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上
总纂官〈臣〉纪昀〈臣〉陆锡熊〈臣〉孙士毅
总校官〈臣〉陆 费 墀
钦定四库全书
句股引𫎇
海宁 陈𬣙 撰
凡例
六艺数居其一句股又九章之一古周髀积羃今三角八线皆句股法也但不得其门每多望洋是编如𫎇童初识之无渐至握管作文或析其数或明其理为入门之始故名勾股引𫎇
自筹算法行珠算可废至専用笔算筹亦似可不用宣城梅定九先生有笔算一书备极诸用然其要不过加减乘除四字今止发其端馀不辞费盖全帙中皆加减乘除故也
筹算创自远西较珠算最为雅便但定位置○殊费推𫾣今有诀法有假如简明易晓庶无悮用并列制筹之法用时即不必𢹂筹便楮可代
数学之有开方为勾股之所必需平方易立方难今不厌其详务使开卷易明至带纵方虽于勾股法不恒用然法尤微奥不可不知故并载焉
勾股为测量诸法之原变化神妙不外参互一定之数今载唐荆川先生论李凉庵水部论为注释数条足以括其变化有志之士亦在熟之而已
测量法西刻备有成书实与中法无异但文义简奥是编显浅明晰且先列中法后列西法知中法自有勾股以来未尝礼失而求诸野但制器之巧当推西法耳
三率为西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附测量之末三角法之前一览了然俾习者易如反掌
三角法即测量全义中所载测三角直线法至梅刻三角举要尤明显矣今备录梅本而于取边取线之所以然或附管见或补图明之
三角八线必检表得度虽弧三角〈即西法三角曲线〉与平三角微有不同未可据平三角遽为步历之准然算三角若不得表将何印证但八线表未能备刻今附八线小表虽具体而微然与八线全表无异
元李栾城测圆海镜明顾箬溪为之注释宣城梅定九先生谓止容圆一术引而伸之遂如五花八门想昔时视为绝学今昌运作人算学设馆肄习然
天府之书无从窥见即梅刻诸书亦购觅甚难是编不辞固陋视李顾二书似各法具备且由浅入深人易晓悉譬之江河滥觞之始可涓涓不已以至于海云尔
钦定四库全书
句股引𫎇卷一
海宁 陈𬣙 撰
笔算
〈古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右为小其法不外加减乘除其用视筹格〉
加
如先有几百几十尺〈举尺以例其馀〉又几百几十几尺又几十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起每留零数写于本位每满十数即于前位加一点其前位仝先所写数又所加一点直下并之留零数进十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也假如一百三十四尺 又九十六尺 又一百七十八尺
四六八八 〈从末位并起如四六八为一十八进一点于前左位留八零数写本位〉三九七○ 〈此三九七同所进一点并之得二十进两点于前左位而本位无零置○〉一 一四 〈此首位有一一又连两点并之得四竟写四字于下〉右共四百○八尺〈从左首位至末小位〉
减
先从左大位减至右末小位
假如四百○八尺先减一百七十八尺〈存二百三十尺〉
八 四
○ 三四三
四三二一
又减九十六尺〈存一百三十四尺如右〉
如再减若干亦同此法
乘
有自乘如以一百七十八乘一百七十八有相乘如以一百七十八乘九十六之类依位数画或方或长格各管所乘之位为纵横式俱左为大右为小又每格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜界之末格为最小之位无可并进其馀斜界一路并去留零数于本位而以满一十者进一点于前满二十者进二点如前加法倒并至左写完看末位应是尺是寸逆推而上即得所乘之万千百十
假如自乘以一百七十八乘一百七十八
先写一七八于上〈平写〉再写一七八于侧〈直写〉依平位侧位画纵横格〈或平位多画长方格或侧位多画直方格〉再画斜格〈末小位起〉
先从右边末位乘起以末位之八乘平写之末位八得六十四写六字于末位斜格之左写四字于右
再以右边之八乘平写中位之七得五十六写五字于下格斜界之左写六字于右
再以右边之八乘平写首位之一得八写八字于下格斜界之右〈以上右边之八乘完〉
次以右边中位之七乘平写末位之八得五十六写五字于中位斜格之左写六字于右次以右边之七乘平写中位之七得四十九写四字于中格斜界之左写九字于右
次以右边中位之七乘平写之一得一七如七写七字于中格斜界之右〈以上右边之七乘完〉又以右边之一乘平写末位之八得八写八字于上位斜格之右
次以右边之一乘平写中位之七得七写七字于上位斜格之右
次以右边之一乘平写首位之一得一写一字于上位斜格之右〈以上右边之一乘完〉
各位俱乘毕将斜界各数并之图具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而上至三字是万位得三万一千六百八十四尺〈若以尺乘寸则末位之四是四寸凡两钱斤之类俱同此〉
假如相乘图算俱同自乘
除
除与减相似而不同犹加与乘亦相似而不同盖加减止用小九数如二与三为五而乘与除则两字合呼如二三得六也除即九归法列筹除实西法始创先列筹式如左
筹算〈附筹式〉
〈筹每副九根每根九格左为大数右为小数以第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九数面一背必八面二背必七第九号筹之背则虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另详〉
右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一
一如一 一二如二如第二号筹则第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字写在斜格之左为大数第六格即二六得一十二以一字写斜格之左二字写斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格其斜方格内之数须合并算满十即进于左位而留零数于本位其在斜方外者不可合也
除取近少
除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列筹价为实共若干价横写数目〈亦左边起写至右边〉视列筹某格近少除之〈如在第一格除即写一字如在第二格除即写二字为商除之数〉所以取近少者盖以法除实必非一除可尽故留馀实以便再除
假如做工三百八十四丈用银三千五百七十一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三八四筹以银为实横写三五七一二取格之近少除之
右列三八四号筹除实视每格自一格至八格
俱少惟九格之 三四五六与实近少除之因在第九格为初商九馀实一一五二视列筹第三格之
〈为十一进一点于前〉一一五二除实尽为次商三按初商之九写于实首位者因在三号筹左边之字除起〈左边是大数即是十位〉遇十在本身故第一次除写实之第一位所谓在本身也
右工每丈该银九两三钱
按定位〈详后〉凡法小实大者从实首顺寻法首而法前得令如工三百较之银三千是为法小实大应实上顺寻法首今实之第二位是百即为法之首位而法前得令则实之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两则三为钱无疑故贵定位也详后法
置○〈开方置○不用此法〉
逢单须进位 遇十在本身
退位单仍十 两一位还升
各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位也依此写法有不相连接中间空一位者是商数大小相悬应置○也
退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身其所写商数初商在首位次商在次位也
假如实一十一两七钱二分 法二十三石〈列筹〉列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退位除则第四格 之九二是零数与一之大数相近故从实首除筹之一十为九除十而于次位还一则所除乃在第二位而书商数于实首位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数则依然逢单进位也
两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首一之前位上盖总以筹之左大右小为逢单遇十故前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除者亦作单论而在本身前一位置商也
假如实一百五十七两 法一百二十六石列一二六筹在第一格右小位除实则应置商于实本位之前一位
若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商假如实一七八二 法一八
列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进位也
右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位也
定位
法小实大顺寻法首而于法前得令
假如人参三十五两用价共二百二十七两五钱
求每参一两价若干〈以银为实 以参为法〉
五 列三号五号筹〈此即参为法〉除实
七 筹第六格除二十一是遇十在本身写
五 二 六字于实之第一位上馀实一七五除第六 二 五格亦遇十在本身写五字于实之第
二位上〈除尽〉
顺寻法首者如上所列实二百二十七两五钱人参为法是三十五两则十为法首而实之第二位是十为法首位直上所写商数之五即法首位而法前得令令者两也实首直上之六为法前法前得令为六两六既为两则五为钱矣答曰每参一两价银六两五钱
法大实小逆寻法首而于法前得令
假如堤工三百五十用银二十二两七钱五分求每一工该银若干〈以银为实以工为法〉
列三号五号筹除实同前
法之首是百实之首乃是十是为法大实小当实首十逆推法首百则实之前位即法首位而实前第二位是法前位以之得令为两而顺逓推下则初商之六乃是分位次商之五乃是釐矣答曰每人一工该银六分五釐
又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三四○法前得令仝前
假如堤三千四百工共银一十五两三钱求每工该银若干〈以银为实以工为法〉
实 列三号四号筹除实
三 初商四次商五俱筹上左边除实商数各依遇十在本身写法数千银数十为法大实小从实首十数逆寻法首则实前二位为法首而又于法前得令起两退右挨数则实首上之四为四釐挨右之五为五毫矣
答曰每工四釐五毫
法实等者实首即为法首而于法前得令
法实相等如同是千同是百之类
命分
凡除至单位而止故曰实如法而一所谓一者即单也其除之至单位仍有不尽之馀实则以分命之其一除之至尽如钱分厘毫丝忽以次求之其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之几
假如十九人分银二百五十四两依商除法已各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两之七〈盖以不尽之七剖为七个十九分得一百三十三分以十九人分之各得七分并整数零数为每人分得十七两○十九分两之七〉
附约法〈历法用之便于积算馀可不必〉
凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等者以等约之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽〈如八十一人分银二十七两不能各得一两并不能各得五钱依命分法命为八十一分两之二十七今以法约之为三之一盖八十一是三个二十七若剖两为八十一分即各得二十七分是三之一也〉
〈均分法曰置分母八十一用逓减法以分子二十七减之馀五十四复以二十七减之馀仍二十七两数相同是有等也即用此二十七转除分母得三除分子得一如此不用细分但以每两均剖为三而各得其一分即三人共一两也〉
〈若分子是五十四则用转减法以子五十四转减母八十一馀二十七又以母馀二十七转减子五十四亦馀二十七是相等也即以此等数为法除母得三除子五四得二是为约得三之二又捷法八十一乃九九相乘之数二十七乃三九相乘之数皆九也即可为纽数约之为九分两之三〉
当位
筹算求两斤尺石之类竟除近少或即除尽不用当位法惟开方每商后应取两廉约数故如馀实一百先取长廉时虽或筹之第一格是一百宁可取第九格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先附此
右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角握算推步无虑紊悮矣〈惟开方置○与此不同〉
句股引𫎇卷一
钦定四库全书
句股引𫎇卷二
海宁 陈𬣙 撰
开方
开方为句股积幂测量步算之源其法取积实归除使均齐方正知每边得若干数其用筹除实视某格为某商若干等类俱如前法有平方大筹立方大筹置廉用散筹
平方开面立方开体皆开除所积之实平方则开平面所积之方故大筹每格止一自乘立方则开立体所积之方故大筹每格其右边直行先平列一自乘数其中左两行虽有斜格而平行每格又以自乘之数与每格之一二三四五六七八九相乘盖如围棋子平方则四边十九而三百六十一为十九个十九也立方则十九个三百六十一也又平方立方俱以第一次大筹除实之格为方根后各依法加廉其大筹所除之格其实即隅积其平行之数即隅数且隅积即在平廉约法中并列并除此天然之巧也凡测算虽极远极大其所测中心止凭一点其远近多少相距亦止凭一点从此点至彼点则有线线即有所积之面面即有所积之体故平方开面立方开体皆因其所积之面与体以求其所距之线与所测之点为句股三角之用也〈此所测之点非开方点定开位之点〉
开平方法
先点定开位从末单位点起〈如积实尾无单位者于尾位置○点起〉隔一位点以至实首一点一开二点二开开不尽者命分
一点者根必单二点者根必十〈俱以次増〉先从左大数视平方筹相近之格除之开数定则方根之十百千万亦定矣〈立方同〉
凡初商除至前第一点止次商除至前第二点止如次商点位前原止二位而筹格有三位不得除至第二点后便须置○于次商为次商○三商以下皆然
初商法
平方筹取近少除实至前第一点止在第几格即为初商若干此第一次除之商数名为方根
点前无馀者从筹上一二三格之单位除点前有馀者从筹上四五六七八九格之双位除如实少于筹者用退位法除
次商法
以初商所得数倍之为廉以所倍之廉数列筹于平方筹左取某格近少除之为次商若干
三商法
以次商所得数倍之为廉列筹于次商筹之右平方筹之左除实同前法〈各商同此〉
每商置○定位三则〈开方定位依点逓加不用顺寻逆寻法立方同〉
三商式
如列实三点为三开〈从末零位点起每开一位〉点前无馀该大筹单位除实三格内除九为初商三写三字在首点积实之
二 上
三 九 次商应倍初商之三列六号筹为廉除○ 实若取近少莫如三格但次点位前实止有二位而筹有三位不得除至次点位后便须置○是为次商得○写○于次点位积实上隔○筹于平方筹左三商既列六号筹○筹于平方筹之左便应统取近少除至末点位止今四格恰除尽为三商得四写四于末点位积实之上
三商根必百故初商之三为三百
四商式
点前无馀大筹单位除九初商得三书商数及置○与三商俱同前法
四商倍三商之四列八号筹于大筹之左及前六号筹与○筹之右四格除尽
为四商四
四商根必千故初商之三为三千
四商○○式
初商视平方筹取三格除九为初商得三次商倍方根列六号筹于表左应除至次点位止但次点前实止一位而法之一格两位下俱三位便须置○隔○筹于前列筹右平方筹左为次商得○
三商应除至三点位止但三点前止三位取近少在三格法有四位便须置○隔〈○〉筹于前列筹右平方筹左为三商得〈○〉四商四格恰除尽为四商得四四商根必千故初商之三为三千
加筹
凡商除之后如两廉必倍前商之数如前商一加二号筹前商二加四号筹之类此易明惟前商五倍之加一十则加一号○号两筹盖五加一筹○筹方是一十若不带○筹则一为单数矣若前商之廉是十数又当为升筹
升筹
凡商除之后如有加两筹者当用升筹法盖同位则升也如平方三开其初商二是为二百次商倍之为廉是四百应列四号筹矣其次商六是为六十三商倍之为廉是一百二十似应再列一号二号筹于前商四号筹之右然从四号筹挨次而来似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故应将一百与四百并之为五百连二十为五百二十升作五二筹列于平方筹左而前商之四号筹去之
隔筹
每商必加倍数筹以为廉法故前商既置○矣亦须隔○筹于前列筹之右以为后商之廉法而取近少除实为后商其前列筹固倍数也而○不必倍者盖置一○只应隔一○筹耳〈立方每隔○○两筹与平方异〉
命分
见前筹算法视末商筹之第一格为若干分视所馀不尽之实命为若干分之若干分
如馀积五十七如末商两廉列八号四号筹〈连前商筹在内〉视第一格八四一命为八百四十一分之五百七十分盖第一格是两廉每加一分之全数故止视第一格而命其全数与现在不尽之分也
求分杪
凡有开不尽者或不命分欲知若干分杪于馀实下增两○位为○○则多开一位而分杪可得矣〈平方隔一位点是每开两位故増○○〉
右皆开平方法其平方带纵者开方附左
平方带纵
列积实依开方商除法每商除实得商数以乘纵数除馀实其次商倍初商数除实以次商数乘纵数除馀实但倍商不倍纵馀商同法合每商之数为阔〈即正方〉加纵数即带纵之长方
如纵数有比例可求者先以比例分其积而馀积以平方开之得阔因以知其长
开方得阔加纵式
假如长田六百二十四步 阔不及长二步
初商得二除四百步 又以商数二乘纵二步〈二二如四〉除四十步 馀一百八十四步又倍初商列四号筹次商四格除一百七十六步 又以商数四乘纵二步〈二四如八〉 共一百八十四步除尽为次商四
开得阔二十四步 加纵二步为长二十六步
比例分积式
假如直田积四百五十步 长多阔一倍法平分其积得二百二十五步平方开之得阔一十五步倍之得三十步即长
假如长田积二百五十二步 长比阔多四分〈分母〉之三〈分子〉
法以分子三加分母四共七为法以分母四乘积为实法除实得一百四十四步开方得阔一十二步又以阔一十二步七因四除之得二十一步为长〈长比阔多九步较之十二步为四分之三〉
开立方法
从末单位点起每点隔二位视列实位一点一开二点二开馀同
凡一点者方根必单二点者方根必十以次而増先从列实左大位视立方筹取近少除之
点前无馀除一二格之单位点前馀一除三四格之十位点前馀二除五六七八九之百位
立方根单其积实必从单至几百止如九之所积其平面自乘得八十一而立体则九与八十一相乘得七百二十九故根单必积实至百位而单位点起隔两位至百也
立方根十其积实必从几千至几万几十万止如九十之所积其平面自乘得八千一百而立体则九十与八千一百相乘得七十二万九千故根十其积实必从千位万位至十万位止而点亦隔两位也馀以类推
立方积实必得三位故一点一开二点二开而开数定于此矣一点者根必单二点者根必十方根定于此矣初商除至左首点位止次商除至次点位止置○肇于此矣若尾位列实止于十则实右补一○列实止于百则实右补○○以便从单位点起若列实不至单位止则点位一错而开数方根置○俱因之以错矣故列至单位开方之异于筹除者在此
初商
法同平方视列实用立方大筹视单位十位百位依法取近少除之至前首点位止在第几格为初商若干为方根
次商
以初商方根自之〈即自乘〉又三倍自乘之实得若干列某号筹于立方筹之左为平廉法
再以初商方根竟三倍之列某号筹于立方筹之右为长廉法
视平廉筹及大筹某格近少列为平廉约数
将平廉约数在某格之隅数〈即大筹两行平写之数〉乘立方大筹右之长廉〈如九格之八一为隅数即将长廉筹八格一格所列之数依大小次并之〉得若干数为长廉约法
并平廉长廉两约数若干以减初商所馀之实至次点位止为次商若干
如并两廉数浮于实须退位改商如位多于实应置○不得除至次点位后
右立方有平廉三长廉三与平方异
三商
去前商左右列筹
以初商两商自之又三倍之为平廉列筹于立方筹左
再以初次两商竟三倍之为长廉列筹于立方筹右如前商法除至三点位止
四商〈以下皆同〉
去前商筹依法列平廉长廉筹除至末点位止为四商若干如尚有馀实依命分法
右前法俱前商之后即将前各商数自之又三倍之为平廉列筹视某格与馀实近少列为平廉约数再以前各商竟三倍之为长廉列筹〈俱依前法分列大筹左右〉视平廉约数在某格之隅数取以乘长廉得若干数为长廉约数其万千百十各依位数附于平廉之本位并之而除馀实其隅数即在大筹之除格其廉积即在散筹之每格仍是于全数中除两廉应除之馀实而隅数亦不烦再乘再除也梅定九先生筹算仍依古法先以前商三倍之为廉法以前商数自之又三倍之为方法以方法除馀积得次商既得次商用其数以乘方法为三平廉积又次商自乘以乘廉法为三长廉积再以次商为隅法以隅法自乘再乘得小立方形为隅积三共并之除馀积不知既列筹除则筹之每格即乘有廉之全积何必多此一乘且大筹在初商为方根在每商即为隅积今用筹倂除何必又自乘再乘耶
立方筹右行隅数定位
二开 次商三格以上是单位 四格以下是
十位
三开 三商三格以上是单位 四格以下是
十位
次商三格以上是百位 四格以下是千位
四开 四商三格以上是单位 四格以下是
十位
三商三格以上是百位 四格以下是千位
次商三格以上是万位 四格以下是十万位
右隅数以末商三格以上是单四格以下是十起层累逓加
法式
二开商式
假如积实六千八百五十九
两点两开
两点根必十
点前无馀从单位
点俱隔二位〈连本位共三位〉
初商 列立方大筹视第四格之六四虽系近少然点前无馀必从单位除宁可在第一格除一盖第二格虽亦单位然八浮于六不可除实故除一格之一为近少除去一千为初商一〈两点根必十此初商一为方根一十〉
次商 以方根一十自之又三倍自乘之实得三百列三号筹于立方筹左为平廉筹又以方根竟三倍之得三十列三号筹于立方筹右为长廉筹前商馀实五八五九视平廉筹之九格三四二九相近列为平廉约数其九格之隅数八一乘长廉之三十得二千四百三十为长廉约数
并两廉约数共五千八百五十九除实尽在第九格为次商九
次商在九格除尽即次商隅数九亦在除内盖隅在长平两廉相凑之角故次商之隅即同次商之商数其在大筹之第几格者为隅之边数而在第几格之自乘者为隅之实数今与大筹并列同除故隅亦在其中也
三平廉贴于前商方形之正面侧面及或上或下而后成四方平等之方故次商先以方根自乘者乘平廉一面之全数也三倍之则所贴方根三面之平廉全数也但全数与方根等方而全数之积多于现在之馀积故于此三平廉全数中视某格与馀实近少而为平廉约数然此三平廉者与方根阔狭厚薄相等今三面贴凑止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加廉之方故又有长廉三一纵二横补于平廉不能合缝之际始得凑合成方法以方根又三倍之者成三个长廉之全数也再以平廉之隅数乘长廉则为现在平廉贴身应得之数为长廉约数并之除馀实而隅亦在所除之中而此四面之方凑合无缺矣盖平廉以方根为准长廉以平廉为准而隅数与平廉长廉又互相为准数藏大筹巧在与大筹并列同除法精密矣
初商次商退位除式
假如积实一万九千六百八十三
初商二十 积实两点两开方根必十点前馀一位应从立方筹之十位除实但筹之三格四格俱大于积实应退在第二格之八除八千〈筹格退位〉馀一一六八三
此退位不用三四格除实而退至二格者筹数浮于实数用退位除恰除至点位止故取二格之八为近少也此初商止退筹格不退商位
次商七 先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一号二号筹列立方筹左为平廉以方根二十竟三倍之得六十取六号筹列立方筹右为长廉 虽九格一万一千五百二十九相近然再加长廉便浮于实故不取九格〈凡平廉筹格与除至点位之实位数相当者则万千十百之数亦必相符今点位前实系一万一千六百八十三平廉九格恰五位便是一万一千五百二十九矣盖二开次商得九以九乘平廉法得廉约数一万○八百加隅约数七百二十九共数如前以此推算即得实数然不如即视位数更为简捷故比点位少一位则其数必小多一位便须置○也〉八格之一○五一二虽更相近然若以八格之隅数六十四乘长廉之六十得三千八百四十并平廉八格之一○五一二为一万四千三百五十二亦浮于现在之馀实故又应退格取七格之八千七百四十三单为平廉约数取七格之四九隅数乘长廉之六十得二千九百四十为长廉约数俱系千数可并进而除首位次位之一 一矣于是并两廉约数共一万一千六百八十三单除尽为次商七
〈此退格约廉因筹数虽浮筹位不多于馀实故止退格而不改商也〉自乘再乘还原
次商置○式 三商加○筹式
假如积实一亿二千九百五十五万四千二百一十六
三点三开
点前馀二位
初商点前馀二位视立方大筹百位除实第五格之一二五近少除之得初商五百
次商以方根五百自之得二十五万又三倍之得七十五万为平廉列七号五号筹于立方筹左以方根竟三倍之得一千五百为长廉列一号五号筹于立方筹右若取平廉筹相近莫如第六格之四五二一六相近然次商应除至次点位止今筹位多实位少若依筹位即平廉巳除至点位后何况更有长廉是必变商之大位为小位则有后商点前之实应除而不患除至点位之后故应商数置○为次商○〈前二商式是退格并廉此处次商是退位再商故有置○不置○之别〉
三商 因前平廉筹巳备三廉实数尚未商除而前商之○又无实数可三倍故不去前筹不将前商自之又三倍之止于立方筹左前平廉筹右加○○两筹盖立方毎点隔二位今加○○筹则前商变为后商变次商之十为三商之单矣故平廉筹仍照前七十五万而七五列筹之第六格之四百五十万相近又立方大筹六格之二百一十六单共四五○○二十六列为平廉约数
再以隅数之三六在三开次商为三千六百者今为三开三商之三十六〈见前隅数定位〉以之乘三倍方根之一千五百为五万四千列为长廉约数并之共四百五十五万四千二百一十六除馀实尽为三商六
右共开方得五百○六
自乘再乘还原
五开
三商列筹不隔○ 商数置○式
四商隔○筹式 又商数置○式
五商又隔○筹式
假如积实一万七千三百一十八亿〈即万万〉九千○百九十一万六千七百二十九
〈按他书十万曰亿算学书万万曰亿后同〉五开列实如左
五点五开
五点根必万
点前无馀从单位
初商 点前无馀从立方筹单位一格除实一万亿为初商方根一万
次商 以初商一万自之得一亿又三倍之得三亿列三号筹于立方筹左为平廉
以方根一万竟三倍之得三万列三号筹于立方筹右为长廉
视第二格之六○八近少为平廉约数
以此三号筹二格之隅数四乘长廉之四得一二为长廉约数〈按隅数五开次商三格以上是百万位〉并之除七千二百八十亿为次商二千
三商 以前初商除一万亿次商除七千二百八十亿馀实三八九○九一六七二九
去前所列筹以初次两商〈共一万二千〉自之得一四四又三倍之得四三二列筹于立方筹左为平廉
〈凡乘大数各存○馀位则从单位逆推乘数定位不紊〉
上图如两商一十二
万自之得一亿四千
四百○○万
再以初次两商一万二千竟三倍之得三万六千列立方筹右为长廉法
如法列两廉约数取近少莫如九格〈三八九五二九〉但三商应除至三点位止今筹格六位而第三点前连点位亦止四位法实不符应商除退位不但变大数商为小数商又有后商点前之实可合筹格之多位应本商置○为三商○百
四商 立方凡前商置○则后商应隔○○两筹以当每点之隔二位列于平方筹左前商平廉四三二号筹之右为平廉再如法列长廉筹取两廉约数并除馀实又莫如九格〈三八八○七二九〉但五开四商应除至第四点止今第四点之前止七位而筹格有八故又应置○为四商○十
五商 依立方法后商应去前商之廉筹另依商法置平长两廉筹约数除实今前三四两商俱未除实俱退商数置有○○今五商仍存前商廉筹及○○筹再加○○筹以当每点之隔二位列于立方筹左廉筹及○○筹之右为五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九为平廉约数〈此约数首位三系十亿位〉
再以九格之隅数八十一〈五开五商次格以下是十位〉乘长廉之三万六千得二百九十一万六千为长廉约数并之除馀实至五开尾点位止为五商九
右五商共一万二千○○九
〈末商平廉 三八八八○○○七二九长廉 二九一六
并之 三八九○九一六七二九〉
右五开式末商九是单数凡立方积不过至十位百位止今何以能除至三十八亿九千○百万各位之多盖三商○四商○虽两商无除而○无定位列实未除之三八九○万即皆前商平廉之所应有之数改商而未尝改廉但因筹数位多实数位少故知三四商之皆应置○而前商未除之平廉其约数仍在至五商则但以五商之隅数乘前商原有之长廉以为长廉约数盖隅因廉为升降而廉依方限不因商为升降特借五商之九同格幷除非单九能除至十亿位也
立方带纵
方为阔加纵为长法与开方无异先视某格与方根近少为商数乘纵数再乘得纵积并入方积以减原实为初商
次商以下更加纵积纵廉积除馀实为次商〈馀商同〉并两商数得阔因阔以知长
〈用点定开位悉依立方 纵积除至点后〉
如初商视立方大筹某格近少之格数取为方根依定位列于原实之下又以方根之数因纵数若干即以因得之数再乘方根数得若干为纵积依定位列方根之下并减原实为初商若干
〈按方根悉如开方法但未即除实如并纵积多于原实应退位或改商或退格在方根不可除至点后其并纵积则除至点位之后盖纵在立方之外积非立方之积不可以每点之位为定也〉
如次商列平廉长廉法悉如立方先取平廉约数依定位列馀实之下再取长廉约数列平廉约数之下次以次商之商数〈有两廉约数在某格即某格是商数〉因纵数得若干再以商数乘之为次商纵积依定位列两廉约数之下又以纵数倍之为纵廉法乘初商数得若干以乘得之数与次商数乘之得若干为纵廉积依位列于约数之下共并之减原实为次商若干
右带纵方两开者次商之平廉必列至次点位止如有三开者则加纵积纵廉积除至次点位之后〈与开方不同〉止两开者即并积亦必次点位止若并积之位浮于馀实应退格改商以除实若平廉各格多于点前之实或应退格或应置○同前开方置○法
三商以下列廉法悉如前其纵廉法应乘上初商次商再以乘得之数乘末商为纵廉积并除实〈四商以下同〉
如积实九万七千二百○十○尺但云阔不及长三尺
初商近少在四格即方根四十阔不及长三尺即三为纵法乘初商之四十得一百二十〈此纵靣〉再以初商四十乘一百二十得纵积四千八百〈此纵体〉先以方根积六万四千照位列实下又以纵积四千八百列方根积之千位下并之得六万八千八百减原实为初商四十馀实二万八千四百不先除方根者恐加纵积多于原实故先并后除
次商以方根四十自乘得一千六百尺又三倍之得四千八百为平廉列大筹左再以方根四十竟三倍之得一百二十为长廉列大筹右取平廉第五格〈二四一二五〉为近少为平廉约数以五格之隅数〈二五〉乘长廉之一百二十得三千〈两开次商四格以下隅数是十〉为长廉约数列于平廉下之千位
以纵法三尺乘次商五得一十五再以五乘一十五得七十五为次商纵积照定位列于两廉之下又以纵法之三竟三倍之得六为纵廉法乘次商四十得二百四十再以二百四十乘次商五得一千二百为纵廉积照定位列于纵积之下
并之共除馀实二万八千四百尽为次商五右共开方四十五尺加长三尺为长四十八尺
如积实二百万○○○○○○尺 但云阔不及长三尺
三点三开 初商是百
点前无馀
初商一〈在大筹单位除实〉以三为纵法乘商数一百得三百〈此纵靣〉又以商数一百乘三百得三万〈此纵体〉合方根积共一百○三万减积实为初商阔之一百按此初商除方根并除长三尺之纵但止除方根等形之纵未除次商后加纵廉积之纵
次商依立方法平廉三万长廉三百取近少〈三格九二七以相近因带纵有纵积应加故退格约廉〉二格之六○八相近为平廉约数
以第二格隅数四〈三开次商三格以上是百位〉乘长廉得一十二万为长廉约数
以纵法三尺乘次商二十〈取平廉长廉约数俱在二格即是二十〉得纵面六十又以商数二十乘纵面六十得纵积一千二百
以纵法三尺倍之得六为纵廉〈次商方根加廉则所带之纵亦应加廉但次商之纵是小于方根加廉之纵而非短于方根之纵止纵旁两边有廉而纵顶无廉故法止倍之〉乘初商一百得六百即以六百乘次商二十得纵廉积一万二千
并之
平廉约数六十○万八千
长廉约数一十二万
纵积一千二百
纵廉积一万二千
共七十四万一千二百减馀积仍馀二十二万八千八百○十○单
为次商二十
三商平廉三千二百长廉三百六十依开方法置筹取第五格近少二十一万六千一百二十五为平廉约数
以第五格隅数二十五乘长廉三百六十得九千为长廉约数
以纵法三尺乘商数五得一十五又以商数五乘一十五得七十五为纵积
以纵廉六〈纵法三尺倍之得六〉乘初次两商之一百二十得七百二十又以七百二十乘三商五得三千六百为纵廉积
依法并之共二十二万八千八百○○除实尽为三商五
右共开方一百二十五尺加纵三尺为一百二十八尺
按立方带纵初商未开之前其所开之方未有定数而纵长三尺则有定数然虽有定数而如三开者其方阔必等于每开立方之边或匾纵或长纵故每商必先依开方法开本身立方之方再以纵之三尺乘商数得纵之面更以商数乘纵之面而得纵之积在初商无廉故止并方根积与纵积除实为初商若干也至于次商则方根有廉而所立之方其形更大于方根今带纵方则其长虽定于三尺而其方之大小应与次商之方相等但立方之廉有三而此带纵方则纵首无廉止应两旁有廉故廉止于二但此两廉亦止如方根之方其合缝之处亦如立方平廉之不能凑合必有一长廉焉于是以纵法乘次商而得带纵长廉之面又以次商商数乘纵面而得带纵长廉之积此所谓纵积也其实乃带纵之长廉积也于是带纵之两平廉以纵法倍之即以乘初商之数为带纵平廉之面以此带纵平廉之面乘次商商数而得带纵平廉之积于是所带之纵其纵则定于三尺而其方之形与次商之方等矣盖其法与开立方同而立方则先有平廉后有长廉今开所带之纵乃先有长廉后有平廉此为异耳至三商与次商同惟纵廉积以纵法乘初商次商之商数而以乘得之数再乘三商之商数盖必连初商次商再乘三商方是三商带纵之平廉其廉比初商次商较薄而其方之形则初商次商后之三商其阔狭与三商有廉之方相等其理一也
附立方减纵法
假如立方积五千七百七十六尺 但云长不及阔三尺
点前无馀除单格
初商除一格之单位因二格之八浮于列实故止除一格之一为商数以三尺为纵法乘商数一十〈两点根必十〉得三十再以三十乘商数一十得纵积三百以初商方根积一千减去纵积三百馀七百以减原实为初商一十
馀实五千○七十六尺
次商依开立方法列平廉长廉筹近少取三号筹〈次商以初商自之又三倍之〉之九格三千四百二十九为平廉约数以隅乘长廉得二千四百三十尺为长廉约数合之为五千八百五十九〈其数稍浮于实者立方积也后以纵积等减之乃成匾方形故凡减纵之末商必约数浮于实以待后减〉为立方两廉约数次以纵法三尺乘次商九得二十七尺为纵面又以次商九乘纵面之二十七得二百四十三尺为立方减纵之长廉积今名纵积
次以纵法三尺倍之得六尺为纵廉以乘初商一十得六十即以六十乘次商九得五百四十尺为立方减纵之两平廉积今名纵廉积
合纵积纵廉积共七百八十三尺以减立方之两廉约数馀廉积五千○七十六尺减馀实尽为次商九〈此馀廉积即前立方两廉不浮之约数盖既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积则所馀者乃方根应有各廉之真数因本商未除故末后除之而合也〉
右共开得阔一十九尺减长不及阔三尺为十六尺长
以上带纵方开法初商方根积必至首点位止次商平廉长廉共约数必至次点位止不得除至点位之后惟减纵每商之廉其约数应稍浮于列实以待后减纵廉等积
句股引𫎇卷二
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
钦定四库全书
句股引𫎇卷三
海宁 陈𬣙 撰
句股法
句股名义
直者为股
横者为句
斜者为
句股并减名义
句股和〈句与股相并〉 句和〈句与相并〉
股和〈股与相并〉
句股较〈句与股相较〉 句较〈句与相较〉
股较〈股与相较〉
和和〈与句股和相并〉 较和〈与句股较相并〉和较〈与句股和相减〉 较较〈与句股较相减〉右和较等名凡句股书多用此以从简便故备列于前庶一览了然
句股准数
句三股四五
句股无一定之数然必先有一定相差之数以参互之为千变万化之准则不外乎句三股四五而变化由此起焉后俱依此立法
句股求
句自乘股自乘两积实相并开方得
句股各自乘之实必合自乘之实故并积开方得
〈按句股开方俱平方后同〉
如句〈三〉自乘得九股〈四〉自乘得一十六并之共二十五平方开之得五即〈五〉
句求股
句自乘自乘两积实相减开方得股
股求句
股自乘自乘两积实相减开方得句
自乘之积实必合一句一股自乘之积实故于积内减句积开方得股于积内减股积开方得句
如〈五〉自乘得二十五为积内减句积九馀一十六为股〈四〉之积若积减股积一十六馀九为句〈三〉之积俱用开方得所求
较求股
句自乘股较自乘两积实相减倍较为法除之得股股又加较得
句积中除股较之积则所馀必倍于股之长故以倍较为法除馀积得股之长
如句〈三〉自乘得九减长于股之较一〈积亦一〉则馀积八必倍于股长故倍较〈一〉为二除之得四即得股四
若不倍较为法但以较除相减之馀积则除较之外必尚存倍于股长之数故于减馀之积去较折半亦得股长
如句馀积八以较一除之仍是八必倍于股〈四〉故去较又折半亦得股〈四〉
以上二法于股之长加较即得于股之长减较即得句故不再立求句法
股和求股
句自乘以股和为法除之得数以减股和折半得股股和内减股即得
股和除句则所得数必长于股之较数故于股中去长于股之较则股等长而折半得股
如股〈四〉五共九除句积〈九〉得一即股〈四〉〈五〉之较〈一〉去较〈一〉存〈八〉则与股齐故折半得股〈四〉
句和求句
股自乘句和自乘两积实相减折半以句和为法除之得句〈句和内减句即得〉
句和自乘之积必倍于句与句和相乘之积而尚多一股积故于和积内减股积则所馀者为句乘句和之倍积故折半使止存一句乘句和之积而以句股和为法除之得句如股〈四〉自乘得一十六句和自乘得六十四内减十六馀四十八折半馀二十四以句〈三〉〈五〉为法除之得三为句句既得即于句和除句得五
句和求
股自乘以句和为法除股积得数加句和折半得于之长减句较亦即得句
句和除股积则所得之数即长于句之较数句较既得则加句之长使句长与长等故折半得
如股四自乘得十六以句和八为法除之得二加句和之八为一十折半即五
句股和求句股
自乘句股和自乘两积实相减再以馀积减积以平方开之加句股和半之得股股内减商数得句句股和之积几倍于积止少一句股之较积故以句股和积与积相减再以减馀之积减积则所存者为长于股之较积于是开方得较而再加句股和则句股等长故折半得股如句〈三〉股〈四〉得和七自乘得四十九以自乘得二十五减之存二十四再以二十四减积之二十五存一为长于股之较积开方仍得一加句股和共八折半得股〈四〉股得亦可依法得句〈按此所得之较乃句股较作股较者误〉
句股较求句股
句较乘股较倍积实开方加股较得句句加句较得股股又加股较得
如句较〈二〉乘股较〈一〉仍得二倍之得四开方得二加股较〈一〉得句三于句三加股较一得股四于股四又加股较一得五
句股和求句股
句和乘股和得积实倍之开方减股和得句减句和得股减句股和得
如句〈三〉〈五〉为句和八乘股〈四〉〈五〉之股和九得七十二倍之为一百四十四开方得一十二合句股之长于一边矣故于十二减句和八得股〈四〉于十二减股〈四〉〈五〉之股和九得句〈三〉于十二减句〈三〉股〈四〉之句股和七得〈五〉
句股求容方
句股相乘以句股并为法除之得容方径若句股较为法除之亦得容方径〈按若勾股较二句有误〉
容方外馀句馀股相乘平方开之亦得容方径
以容方径自乘得实以馀句为法除之得馀股以馀股为法除之得馀句
句股相乘之实为容方者四斜内为容方者两故容方之实必等于馀句馀股之实虽长短不齐极致而句伸则股缩股伸则句缩有参互之准此即测望之法所由起也
句股求容圆
句股相乘倍积实并句股为法除之得容圆径句股相乘并句股减半为法除之亦得容圆径圆周恒三倍于圆径而句股之长恒两倍于容圆之周故于句股相乘之稍或倍之而并句股为法或不倍之而以句股折半为法俱得容圆径而容圆径即和较也〈按勾股之长两倍于容圆周语误〉
句股论〈李之藻〉
句股三合成形错综立义句股相减其差曰较句股相并其名曰和股之差曰股较句之差曰句较并句股与较其差曰和较句股之差与相减其差曰较较股相并曰股和句相倂曰句和句股之差并曰较和句股并曰和和句股各自乘并之为实故开之得句自乘减馀为股实故开之得股股各自乘减馀为句实故开之得句句股和自乘倍实相减开其馀即句股较也句股较自乘以减倍实开其馀即句股和也并句以除股实得句较若以句较除股实即得句和矣并股以除句实得股较若以股较除句实即得股和矣句股和自乘减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎句股较自乘减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎句乘股为实并句股为法除得容方径句乘股倍之并句股除之得容圆径而容圆之径即和较也又错综论之句为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加句较即较和以减句较即和较若加较较又即句和也句股较为主以加股较即句较若减股和亦即句和也句股和为主以加股较复得句和若减股和亦得句较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取句股较以加句股和半之得股以减句股和半之得句若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取句较者以加句和半之得以减句和半之得句取和较者以加和和半之得和以减和和半之得勾股取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乘除圆变不滞神而明之存乎其人远近高深方圆弧矢准此而推亦在乎熟之而已
觧注〈以句三股四五为准〉
句股和自乘倍实相减开其馀即句股较
如句〈三〉股〈四〉和七自乘四十九如〈五〉实二十五倍之五十以四十九减五十馀一即句三股四之较一
句股较自乘以减倍实开其馀即句股和
如句股较一以减倍实之五十馀四十九开方得七即句三股四之和七
并句以除股实得句较
如句〈三〉〈五〉并之得八以除股〈四〉之实一六得二为句〈三〉〈五〉之较二
句较除股实即得句和
如句〈三〉〈五〉之较二以股〈四〉之实一六除之得八为句〈三〉〈五〉之和八
并股以除句实得股较
如股〈四〉〈五〉并得九以句三之实九除之得一为股〈四〉〈五〉之较一
以股较除句实即得股和
如股〈四〉〈五〉之较一以句三之实九除之为股〈四〉〈五〉之和九
句股和自乘减实除以较较得较和
如句〈三〉股〈四〉之和七自乘得四十九减〈五〉之实二十五馀二十四以句股差〈一〉与〈五〉相减之较较四除之得六为句股之差〈一〉与〈五〉并之较和六
除以较和即得较较
如二十四以较和之六除之得四为句股之差一减五之较较四
句股较自乘减实除以和和则得和较
如句〈三〉股〈四〉之较一自乘仍得一减〈五〉之实二十五为二十四以句三股四五之和和除之得二为并句〈三〉股〈四〉与〈五〉较之和较
除以和较即和和
如二十四除以和较之二得一十二为句三股四五相并之和和
句股测望论〈唐荆川先生〉
句股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟速之变山谿之高深广远凡目力所及无不可知盖不能逃乎数也句股之法横为句纵为股斜为句股求句股自乘相并为实平方开之得句求股句自乘相减为实平方开之得股股求句同法盖一实藏一句一股之实一句一股之实并得一实也数非两不行因句股而得因股而得句因句而得股三者之中其两者显而可知其一者藏而不可知因两以得三此句股法之可通者也至如远近可知而高下不可知如卑则塔影高则日影之类塔影之在地者可量而人足可以至于戴日之下而日与塔高低之数不可知则是有句而无股三者缺其二数不可起而句股之法穷矣于是有立表之法盖以小句股求大句股也小句股每一寸之句为股长几何则大句股每一尺之句其长几何可知矣此以人目与表与所望之高三相值而知之也人目至表小也人目至所望之高大也又法表为小股其高几何与至塔下之数相乘以小句除之则得塔高盖横之则小股至塔之积纵之则为小句至塔顶之积纵横之数恰同是变句以为股因横而得纵者也句股三者有一可知则立表之法可得而用若其高与远之数皆不可知而但目力可及如隔海望山之类则句股三者无一可知而立表之法又穷矣于是有重表之法盖两表相去几何为影差者几何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之穷也重表者以通一表之穷也其实重表一表也一表句股也无二法也
句股容方圆论
凡奇零不齐之数准之于齐圆准之于方不齐之圆准于齐之圆不齐之方准于齐之方句股容圆准于句股容方假令句五股五七有奇此为整方均齐无较之句股其容方径该得句之半盖容方积得句股全积四分之一其取全积时句股分在两廉则句五股五五五二十五内一半为句积一半为股积其求容方则并句股为纵一廉得十为长之数得阔二五与原句相半盖始初则一半句积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上句积在下而为长方矣其容方所以止得半句者则以句股之数均也若句短股长则容方以渐而阔不止于半句矣故大半为股积小半为句积其始横列时句积与股同长而不同阔其纵列时则股积之阔如故而句积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之句积股积者从容方径与句股相乘之数而名之也若取容圆径则用句股自之而倍其数以句股与并为法盖容圆之径多于容方方有四角与相碍故其数少圆宛转故其数多若以求容方与求容圆相比则积中恰少一叚圆径与半和较相乘之数和较者句股并与相较之数也假令句五股五相乘亦倍之得五十如求容方则亦倍句股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍句股为法而用一句股并与一是以一代一句股倂也以一代一句股并恰少一和较加一和较则亦两句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之径一句股得十一得七恰少和较三是取容圆之径其所以少一和较者圆径多于方径也假令取容圆不用句股倍积而止用句股本积则宜句股并为廉而除去半和较亦得或约得圆径之后与半和较相乘添积而以句股并为廉不除亦得或用句股倍积用两句股相并为廉而以全和较与约得圆径相乘添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于和较间也至于句股积与积亦只于句股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令句五股五齐数之句股则句股幂倍之即得幂盖两句股积而成积也至于句短股长相乘之积则成一长方倍之而侧不当中径亦不成幂维以一句股较积补之乃能使长方为一正方而得积盖句股之差愈远则长方愈狭长方愈狭则句股之差积愈多故句股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也右荆川先生论句股测望论句股求容方圆详矣尽矣愚按句股测望即句股求容方法而变化用之但容方则以句股求容方而测望则以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中间十字界之则为容方者四若斜界之则此一半平方之内其为完全容方者一而完全容方之外两角凑成亦必与此完全之容方相等此就句股等长而言也至句股不必等长而同此一容方则句长者股必短股长者句必短亦千变万化自有一定之盈缩也于是通之为测望之法以表代容方边以表前积实代容方之积实若所容为长方则必句短股长若所容为匾方则必股短句长股为纵为高句为横为远以或句或股为法除之即得所求之或高或远故望高测远即变化于句股求容方之一法也
测量法
句股之术可御高深广远法本周髀中法用表测西法用矩测
立表测高
设甲点为高自丙至乙远二丈求甲乙高几何
法依地平线立一丈之表为丁丙〈远乙二丈〉与地平为直角〈凡立表以线
下试之三靣附表即与地平为直角〉依地平线退行〈八尺〉为辛巳〈巳为人日望处人目以下六尺若立竿为准亦可〉视己丁甲三点
令成斜以丁丙表〈一丈〉减己戊人目以下之六尺馀丁辛〈四尺〉与等戊乙之巳庚〈二丈八尺〉乘之得〈一十一丈八尺〉为实以等戊丙之巳辛〈八尺〉为法除之得甲庚〈一丈四尺〉加等己戊人目以下之庚乙〈六尺〉得甲乙高二丈按此以丁辛与已庚相乘得实以巳辛为法除之得甲庚之高即已以上之高若以丁辛乘壬庚得实以已辛为法除之得甲壬之高即丁以上之高
附西法三率算术〈西法三角八线全用三率算术其法详三角前此先附其略〉
三率算术详西法三角八线书中其法同类为比例列一二三四率而二率三率相乘得实一率为法除之四率为所求之数凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率如前立表测高以己辛〈小句〉比丁辛〈小股〉若己庚〈大句〉与庚〈甲大股〉
一率 己辛八尺 为法
二率 丁辛四尺 与三率相乘得实三率 己庚二丈八尺
四率 庚甲一丈四尺〈加庚乙人目以下得甲乙高〉
按右法以己庚为三率故得己以上之高即甲庚之高若以丁壬为三率则得丁以上之高即甲壬之高变而通之若以之测远以小股〈辛丁〉比小句〈己辛〉若大股〈或甲庚或甲壬〉与大句〈大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁〉总之同类比例以二率三率相乘得实以一率为法除之即得所求之四率也馀详本法〈后省文依西法以比若与不更列三率〉
立表测深测远
设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深㡬何
法依甲丙线于地立〈六尺〉之表为戊丁距丙〈五尺〉人目从表端〈戊〉窥〈乙〉使戊丙乙三
点成斜直线以丁戊〈六尺〉与甲丙〈二丈七尺〉相乘〈得一十六丈二尺〉为实以丁丙〈五尺〉为法除之得甲乙深〈三丈二尺四寸〉是为以丙丁〈小句〉比丁戊〈小股〉若丙甲〈大句〉与甲乙〈大股〉
设井一口其径甲乙五尺欲测深㡬何
法立表于井口为戊甲高〈五尺〉从戊视
丙截甲乙径于己〈得四寸〉减井径〈五尺〉馀
己乙〈四尺六寸〉以乘戊甲〈五尺〉得〈二千三百寸〉为实以甲己〈四寸〉为法除之得乙丙井深〈五丈七尺五寸〉是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙 又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊
设地平有甲点不知其远人目在乙高丙地六尺求丙甲远几何
法依地平立丁表于戊高〈四尺五寸〉距丙〈九尺〉人目从表端窥甲令乙丁甲成斜直线次以乙丙〈六尺〉减丁戊表〈四尺五寸〉馀乙己〈一尺五寸〉乃以乙丙〈六尺〉乘等丙戊之己丁〈九尺〉得〈五十四尺〉为实以乙巳〈一尺五寸〉为法除之得丙甲远〈三丈六尺〉是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲
重表测高测远测深
设不知高之远不知远之高各得几何
欲测甲乙之高而不知远欲测丙乙之远而不知高用重表法先求甲乙之高于丙地立丁丙表高〈十尺〉退
后〈五尺〉立竿于戊高四尺人目在
巳视表末令己丁甲成斜直
线次从丁丙前表退后〈十五尺〉立
癸壬表亦高〈十尺〉退后〈八尺〉立竿于
子亦高〈四尺〉人目在丑视表末令
丑癸甲成斜直线以癸壬表
减人目丑子〈四尺〉馀癸辛〈四尺〉与两表相距〈旧名表间〉等丙壬之丁癸〈十五尺〉乘之得〈九十尺〉为高实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑〈八尺〉馀卯丑较〈三尺〉为法〈旧名影差〉除高实得甲辰高〈三十尺〉是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之〈十尺〉得甲乙总高〈四十尺〉
次求丙乙之远以等寅巳之辛卯〈五尺〉与表间相距之丁癸〈十五尺〉乘之得〈七十五尺〉为远实亦以寅巳与辛丑之较卯丑〈三尺〉为法除之得等丙乙之丁辰〈二十五尺〉是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰
右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系说已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏著九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左
毛扆再氏曰测量之理知远而不知高以远测高知高而不知远以高测远若高远两不知所谓无远之高无高之远必用重表测之也既有等高之二表〈皆十尺〉又有等高之二人目竿〈皆四尺〉则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳〈皆句〉及甲辰与丁寅〈皆股〉俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乘癸丁为高实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也〈寅丁与辛癸等〉又置卯辛乘癸丁为远实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也〈巳寅与卯辛等〉辰甲为表外之高丁辰亦表外之远
设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙点退行〈四尺〉至戊地立人目表为巳戊高〈二尺七寸〉依乙岸窥谷底丙点令巳乙丙成斜直
线次于谷旁立表为壬乙高〈五尺〉复
依巳戊线立人目表为辛戊高〈八尺
二寸〉人目依壬表末望丙令辛壬丙
成斜直线以辛戊〈八尺二寸〉减壬乙
表〈五尺〉馀辛庚〈三尺二寸〉再与巳戊〈二尺七寸〉
相减馀辛癸较〈五尺〉乃以等巳戊之癸庚〈二尺七寸〉与壬表〈五尺〉乘之得〈一百三十五寸〉为深实以辛癸较〈五寸〉为法除之得乙甲深〈二丈七尺〉是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬〈四尺〉与壬乙表〈五尺〉相乘〈得二十尺〉为广实亦以辛癸较〈五寸〉为法除之得甲丙广〈四丈〉是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙
设甲乙不知远以矩尺〈即木工曲尺〉测之
欲知甲乙之远先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向远视乙令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲
巳相距之远为法除之得甲乙之远是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙盖皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙
西法矩度测量
矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之
造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度〈陈䃤庵止用一十度省一乘法〉或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等
变景法
景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变为直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乘〈如矩度十二自乘得一百四十四为矩幂〉以景度〈即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之〉为法除之〈其变景之理详句股述〉
直景必高多远少如一象限人望四十五度〈半象限九十度〉以上权线必切直景
倒景必高少远多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景
变景者变倒景之少度为直景之多度盖测物愈远则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也
矩度测高
直景以矩度乘远得积实以景度为法除之
设所测不知其高距所远三十尺权线切直景八度法以矩度〈十二〉与远〈三十〉相乘得三百六十为积实以直景八度为法除之〈如筹算检八号筹视某格与积实近少除之〉得四十五尺为矩乙角以上之高即所测之高是为以小句〈景度〉比小股〈矩度〉若大句〈远〉与大股〈高〉
倒景以景度乘远得积实以矩度为法除之
设远六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度〈七〉通五分之得〈三十六〉分以乘远〈六十〉得积实二千一百六十以矩度〈十二〉通五分之得〈六十〉为法除之得三十六尺为矩乙角以上之高〈此倒景不必变但变其法以景度乘远以矩度为法除之亦同〉是为以小句比大句若小股与大股
重矩测高〈测高先不知其远则用重矩如重表测法〉
前矩直景后矩直景以矩度乘表间得积实以两景较为法除之〈表间即悬矩之干两矩相距之间〉
设前直景〈五度〉后直景〈十度〉两矩相距〈十尺〉法以矩度〈十二〉乘表间〈十尺〉得〈一百十尺〉 为实以两景较〈五度〉为法除之得二十四尺为矩乙角以上之高以小句比小股若大句与大股同前首条
前矩直景后矩倒景以矩度乘表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之
设前直景〈十一度〉后倒景〈九度〉两矩相距〈二十二尺〉法以矩度〈十二〉乘表间二十得〈二百四十〉为积实又以倒景〈九度〉为法除矩幂〈一百四十四〉得变景十六与前矩直景较馀〈五〉为法除积实得〈四十八〉为矩乙角以上之高是为以小句〈景较〉比小股〈矩度〉若大句〈表间相距〉与大股〈所测之高〉
前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乘表间得积以两变景较为法除之得所测之高仝前按测望即容方求馀句馀股法其矩测之倒景必变者盖立表测高人目退望使参相直若所测愈高则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈远表即容方之边而人目退望之处即馀句也今矩之甲角愈高则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之馀句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乘远以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测高所切倒景之法亦以景度乘远矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正
测远
按测无高之远先用重矩测得高〈巳壬〉次以矩度〈甲〉为一率以后矩所变之
景〈乙戊〉为二率以高〈巳壬〉为三率即得四
率之远是为以小股〈甲乙〉比小句〈乙戊〉若大股〈巳壬〉与大句〈壬乙〉
右高〈巳壬〉得四八变景〈乙戊〉得一六矩度〈甲乙〉十二度依三率法得远六十四盖倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例
以测高法还原
设远〈六十四尺〉倒景〈一六〉矩度〈一二〉以矩度乘远〈六四〉以变景度〈一六〉为法除之得高〈四八〉与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之远西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图
测深
设井口或径广十二尺求至水面深几何
用矩度视深〈辛〉使甲巳辛参相直
视权线在直景乙戊〈三度〉以矩度〈十二〉
乘等庚巳之辛壬水面〈十二尺〉得〈一百四十四尺〉为实以乙戊〈三度〉为法除之得〈巳壬〉深〈四十八尺〉是为以〈乙戊〉比〈乙甲〉若〈壬辛〉与〈壬巳〉
设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何
权线切倒景丁戊〈三度〉依法变为直景〈四十八度〉以乘巳壬〈十三尺〉得〈六百二十四尺〉为实以甲乙矩度〈十二〉为法除之得庚巳广〈五十二尺〉是为以甲乙比乙癸若巳壬与等〈壬辛〉之巳庚
又倒景不变以矩度乘〈巳壬〉得积以倒景丁戊〈三度〉为法除之亦得巳庚广〈五十二尺〉
按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乘深而矩度为法除之若在倒景则矩度乘深而景度为法除之固两不相混也至于测高则必矩度乘取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也
附三率算术
古名异乘同除西法变为三率
原有丁戊股十四尺
丙戊句十一尺二寸
今截丁乙股十尺
求乙甲截句几何
西法三率
一率 〈以〉原有股十四尺 为法
二率 〈比〉原有句十一尺二寸 〈相乘为实〉三率 〈若〉今截股十尺
四率 〈与〉求得截句八尺 法除实所得术以原股比原句若截股与截句
凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率
二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率
按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加密矣
勾股引𫎇卷三
钦定四库全书
勾股引蒙卷四
海宁 陈𬣙 撰
三角法
八线全图
〈周天三百六十度两分之为半
周四分之为一象限 每一象
限各九十度又名弧度 六〉
凡正方角〈乙〉即直角即象限之角其所对弧必九十度
凡在一象限不及九十度者为锐角〈如丙〉
凡过一象限多于九十度者为钝角
凡言角以中一字为所指之角〈如甲乙癸〉
凡求某角者求其角之对弧度与分
凡求某角即本角之弧矢割切为正其外为馀凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无増减常为十万弧中旋转可如如句
凡正角以半径全数为正
凡钝角以外角之正馀为正馀
直角〈即正方角一名勾股形〉
有角有边求馀角馀边〈直角之一〉
假如〈壬癸丁〉勾股形有丁角〈五十七度〉壬丁〈九十一丈八尺〉求馀角馀边
先求癸丁边
术曰以半径全数比丁角之馀
若壬丁与癸丁句
一率〈原设〉半径 一○○○○○ 为法二率〈原设句〉丁角〈五十七度〉馀 五四四六四 〈相乘〉三率〈今有〉壬丁边 九十一丈八尺 〈为实〉四率〈今所求句〉癸丁边 五十丈 〈法除实得所求〉右三率法后同 半径即乙丁馀即甲丁
求壬癸边
以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一率〈原设〉半径 一○○○○○
二率〈原设股〉丁角〈五十七度〉正 ○八三八六七
三率〈今有〉壬丁边 九十一丈八尺
四率〈所求股〉壬癸边 七十七丈
求壬角
以丁角五十七度与象限九十度相减得馀三十三度为壬角
右例先得以求勾股
假如〈壬癸丁〉勾股形有丁角〈六十二度〉癸丁勾〈二十四丈〉求馀角馀边
求壬角
以丁角〈六十二度〉与象限相减得馀〈二十八度〉为壬角 平面弧止容一正方角两锐角今既有勾股形〈癸〉则于一象限内减丁角之度其馀度自必壬角
戊丙丁勾股形以戊丙
切线为股丙丁半径为
勾戊丁割线为是丁
角原有之线 今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等
求壬丁边
以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁
一率〈原设勾〉半径 一○○○○○二率〈原设〉丁角〈六十二度〉割线 二一三○○五
三率〈今有勾〉癸丁边 二十四丈
四率〈所求〉壬丁边 五十一丈一尺
求壬癸边
以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股
一率〈原设勾〉半径 一○○○○○二率〈原设股〉丁角〈六十二度〉切线 一八八○七三
三率〈今有勾〉癸丁边 二十四丈
四率〈所求股〉壬癸边 四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同
按半径随弧旋转无有増减故可为为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例
有边求角〈直角之二〉
假如〈壬癸丁〉勾股形有壬丁〈一百○二丈二尺〉癸丁勾〈四十八丈〉求二角一边
求丁角
以丁壬比癸丁勾若半径乙丁与丁角之馀甲丁
一 壬丁边 一百○二丈二尺
二 癸丁边 ○四十八丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角馀 四六九六六
以所得馀检表得六十二度为丁角度
右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为馀角之比例矣然丁角必求馀为四率者盖若求正正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若馀〈甲丁〉与正割〈壬丁〉之例然馀尚未求得又无可为比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半径与甲丁勾之丁角馀相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数历然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣
求壬角
以丁角六十二度与象限相减得馀二十八度为壬角
求壬癸边
以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一 半径 一○○○○○
二 丁角〈六十二度〉正 ○八八二五九
三 壬丁边 一百○二丈二尺
四 壬癸边 ○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜为比而正如股半径旋转如可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股边为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法
假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角
求癸角
以壬丁大边与丁癸边相加得〈一百
六十二丈为总又相减得〉〈五十丈〉为较以
较乘总得〈八千一百丈〉为实以壬癸边
〈九十丈〉为法除之仍得〈九十丈〉与壬癸
边数等即知癸角为正方角
求丁角
以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线
一 丁癸勾 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角切线 一六○七一四
以所得切线检表得五十八度○六分为丁角
有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线
求壬角
以丁角〈五十八度○六分〉与象限相减得馀三十一度五十四分为壬角
右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边
锐角
有两角一边求馀角馀边〈锐角之一〉
假如〈乙丙丁〉锐角有丙角〈六十度〉丁角〈五十度〉丙丁边〈一百二十尺〉
求乙角
以丙角〈六十度〉丁角〈五十度〉相并得〈一百一十
度〉以减半周一百八十度馀七十度
为乙角
右丙角丁角有度而无边乙角有边
而无度先以两角之度除半周而乙
角之弧度得矣既得乙角之度即可
以乙角之线比乙角相对之边若他
角之线与他角之边
求乙丁边
以乙角正比丙丁边若丙角正与乙丁边一 乙角〈七十度〉正 九三九六九
二 丙丁边〈即乙角对边〉 一百二十尺
三 丙角〈六十度〉正 八六六○三
四 乙丁边〈即丙角对边〉 一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同
求乙丙边
以乙角正比丙丁边若丁角正与乙丙边一 乙角〈七十度〉正 九三九六九
二 丙丁〈乙角对边〉 一百二十尺
三 丁角〈五十度〉正 七六六○四
四 乙丙〈丁角对边〉 ○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同
有一角两边求馀角馀边〈锐角之二〉
假如〈甲乙丙〉锐角形有丙角〈六十度〉甲丙边〈八千尺〉甲乙边〈七千○三十四尺〉
求乙角
以甲乙边比甲丙边若丙角正
与乙角正
一 甲乙边 七千○三十四尺
二 甲丙边 八千尺
三 丙角〈六十度〉正 八六六○三
四 乙角 正 九八四九六
检表得八十度○三分为乙角
凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割线之低昻也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大于丙角故以小边比大边亦若正小之比大而可得角也此以小比大也
求甲角
以丙角乙角相并得〈一百四十度○三分〉以减半周馀三十九度五十七分为甲角
求乙丙边
以乙角之正比甲角之正若甲丙边与乙丙边
一 乙角〈八十○度三分〉正 九八四九六二 甲角〈三十九度五十七分〉正 六四二一二
三 甲丙〈乙角对边〉 八千尺
四 乙丙〈甲角对边〉 五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正从甲下垂故长甲角以甲丙为底正从乙下垂故短今乙丙边小于甲乙甲丙之两边故以最大之边比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正为例也
右例有两边一角而角与一边相对
假如〈甲乙丙〉锐角形有甲丙边〈四百尺〉乙丙边〈二百六十一尺○八分〉丙角〈六十度〉角在两边之中不与边对求甲乙边
先求中长线分为两勾股形
以半径比丙角正若甲丙边
与甲丁中长线
〈此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及
分形之角〉
一 半径 一○○○○○
二 丙角〈六十度〉正 ○八六六○三
三 甲丙边 四百尺
四 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
求丙丁边〈求中长线专为分边而求〉
以半径比丙角馀若甲丙边与丙丁边
一 半径 一○○○○○
二 丙角〈六十度〉馀 ○五○○○○
三 甲丙边 四百尺
四 丙丁边 二百尺
求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线馀限于正而不越于正之外与丁丙分边限于中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边
求乙丁边
以丙丁与丙乙相减馀六十一尺○八分为乙丁
求丁甲乙分角
以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线
一 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分边 ○六十一尺○八分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角切线 ○一七六三三
检切线表得一十度为甲分角
右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度
求甲乙边
以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边
一 半径 一○○○○○
二 甲分角〈十度〉割线 一○一五四三
三 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙边 三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边
求甲全角
以丙角〈六十度〉之馀角三十度〈即分形甲丁丙之甲分角〉与求得甲分角〈一十度〉相并得四十度为甲全角
求乙角
以甲分角〈一十度〉减象限得八十度为乙角〈或并丙甲二角减半周同〉
右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股
用切线分外角〈梅本新増〉
假如〈甲乙丙〉锐角形有甲丙边〈四百尺〉乙丙边〈二百六十一尺○八分〉丙角六十度
求甲角
以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角〈六十度〉减半周得外角〈一百二十度〉半之得半外角〈六十度〉检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角
一 两边总 六百六十一尺○八分二 两边较 一百三十八尺九寸三分三 半外角切线 一七三二○五
四 半较角切线 ○三六三九七
检切线表得二十度为半较角转与半外角〈六十度〉相减得甲角四十度
求乙角
以甲丙二角相并共〈一百度〉以减半周得馀八十度为乙角
求甲乙边
以甲角〈四十度〉正 六四二七九
比丙角〈六十度〉正 八六六○三
若乙丙边 二百六十一尺○八分
与甲乙边 三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角盖一弧之中既有丙角则所馀之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长锐于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左
此平三角借弧以明其理
若弧三角所容三角不止
三个如平方立方有面体
之别后同
有三边求角〈锐角之三〉
假如〈甲乙丙〉锐角形有乙丙边〈二十丈〉甲丙边〈一十七丈五尺八寸五分〉乙甲边一〈十三丈○五寸〉
求两勾相减之数为勾较
任以〈乙丙〉大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形
一甲丁丙形以甲丙边为丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为丁乙为勾两相并为总相减为较 两勾相并〈即乙丙边原数〉为勾总 求戊丙勾较
以勾总比总若较与勾较
一 两勾之总〈即乙丙〉 二十丈
二 两之总 三十丈○六尺三寸五分三 两之较 四丈五尺三寸五分四 两勾之较〈即丙戊〉 六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之馀然馀长短必限于正今甲丁中垂线即丙角之正今若求丙角馀又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾〈戊丁〉而得丁丙分边与丙角之馀等以之比例而得丙角之馀即查表得丙角之度
求分形之两勾
以勾较〈六丈九尺四寸六分〉减勾总〈二十丈即乙丙〉馀乙戊〈一十三丈○五寸四分〉半之得丁乙〈即戊丁〉六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形
又以戊丁〈六丈五尺二寸七分〉加勾较〈六丈九尺四寸六分 即戊丙〉得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形
求丙角
以甲丙比丁丙勾若半径与丙角馀
一 甲丙边 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分边 一十三丈四尺七寸三分三 半径 一○○○○○
四 丙角馀 ○七六六一六
检馀表得丙角四十度
求甲角
先求分形大半之甲角
以丙角〈四十度〉减象限馀五十度为〈丁甲丙〉分形甲角
次求分形小半之甲角
以甲乙比丁乙勾若半径与分形甲角之正一 甲乙边 一十三丈○五寸
二 丁乙分边 ○六丈五尺二寸七分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角正 ○五○○一五
〈以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正〉
检正表得三十度为〈丁甲乙〉分形之甲角并分形两甲角〈先得五十度次得三十度〉得共八十度为甲全角
求乙角
并丙甲二角共〈一百二十度〉以减半周得馀六十度为乙角
钝角
有两角一边求馀角馀边〈钝角之一〉
假如〈乙丙丁〉钝角形有丙角〈三十六度半〉乙角〈二十四度〉丁乙边〈五十四丈〉
求丁角
以丙丁二角并共〈六十度半〉以减
半周得馀一百一十九度半为丁
钝角
求乙丙边
以丙角正比丁角正若乙丁边与乙丙边一 丙角〈三十六度三十分〉正 五九四八二二 丁角〈一百十九度三十分〉正 八七○三六
三 乙丁边 五十四丈
四 乙丙边 七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角同
求丁丙边
以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一 丙角〈三十六度三十分〉正 五九四八二二 乙角〈二十四度〉正 四○六七四
三 乙丁边 五十四丈
四 丁丙边 三十六丈九尺二寸
凡钝角以外角之正为正盖即
此钝角之外角也如图丁为钝角乙
丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角
之外角至于正皆以本角之勾为
底以割线〈半径同〉与弧之相界处直线
垂下与本角之底为正方直角如图
乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角
之割线卯丁如外角之馀而卯乙
则外角之正也至如丙角以丙丁
为底其正丑丁近乙丁边乙角以
乙丙为底其正子丁近乙丙边也
补图明之
有一角两边求馀角馀边〈钝角之二〉
假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形〈此钝角所对之弧度分〉甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺
〈前则用他角求钝角此则用钝角求他角〉
乙角为钝角
甲丙为钝角所对之弧度
乙丁为丙角正
甲戊为钝角用外角之正
求丙角
以甲丙边比甲乙边若乙角正与丙角正
一 甲丙边 四千尺
二 甲乙边 三千五百一十七尺三 乙角〈九十九度五十七分〉正 九八四九六〈即八十度三分正度〉四 丙角 正 八六六○三
检表得丙角六十度
按乙角为钝角其所用外角之正即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所馀八十度○三分之外角其所有之正也〈每度六十分〉求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类
求甲角
并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得馀二十度○三分为甲角
求乙丙边
以乙角之正比甲角正若甲丙边与乙丙边一 乙角〈九十九度五十七分〉正 九八四六九二 甲角〈二十度○三分〉正 三四二八四
三 甲丙边 四千尺
四 乙丙边 一千三百九十二尺右甲角正以甲丙为底乙已即甲角正与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左
假如乙丁丙钝角形有乙丁边〈一千○八十尺〉乙丙边〈一千五百八十二尺〉乙角〈二十四度〉
丙戊为虚股 戊丁为虚勾
乙角乙丁为底丑丁为正 乙丁
即馀 丙角丙丁为底子丁为正
先以半径比乙角正若乙丙边与丙戊边
一 半径 一○○○○○
二 乙角〈二十四度〉正 ○四○六七四
三 乙丙边 一千五百八十二尺四 丙戊边〈即虚垂线〉 ○六百四十三尺
又以半径比乙角馀若乙丙边与乙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角〈二十四度〉馀 ○九一三五五
三 乙丙边 一千五百八十二尺四 乙戊边〈即乙丁引长线〉 一千四百四十五尺右以原边乙丁〈一千○八十尺〉与引长乙戊边相减得丁戊〈三百六十五尺〉为形外所作虚勾股形之勾〈先得丙戊垂线为股原有边之丁丙为〉
求丁丙边
依勾股求法以丙戊股自乘〈四十一万三千四百四十九尺〉丁戊勾自乘〈一十三万三千二百二十五尺〉并之得数〈五十四万六千六百七十四尺〉为实平方开之得七百三十九尺为丁丙边
求丙角
以丁丙边比丁乙边若乙角正与丙角正一 丁丙边 ○七百三十九尺二 丁乙边 一千○八十尺
三 乙角〈二十四度〉正 四○六七四
四 丙角 正 五九四四二
检表得丙角三十六度二十九分
求丁角
以丙乙二角并之共〈六十度二十九分〉以减半周得馀一百一十九度三十一分为丁钝角
此三角形既有乙角度当先求丙角之锐而后丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正之比例〈凡正必在本角相对之边〉然丙丁无边不能以边比边为乙角正比丙角正之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜当以勾股求法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而后用勾股求法而得丙丁之边三边既得则每角之正必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正相比之例求之矣盖丙角以丙丁为底其正子丁近乙丁边而乙角之正子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣
右两边一角而角不与边对
用切线分外角〈梅本新増〉
假如乙丁丙钝角形有乙丁边〈五百四十尺〉丙乙边〈七百九十一尺〉乙角〈二十四〉度
求丙角
以〈丁乙丙乙〉两边相并为总相减为较又以〈乙〉角〈二十四度〉减半周得外角〈一百五十六度〉半之得半外角〈七十八度〉
以边总比边较若半外角切线与半较角切线一 两边之总 一千三百三十一尺二 两边之较 ○二百五十一尺
三 半外角切线 四七○四六三
四 半较角切线 ○八八七一九
检表得半较角〈四十一度三十五分〉以减半外角〈七十八度〉得馀〈三十六度二十五分〉为丙角
求丁角
并乙丙二角共〈六十度二十五分〉以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角
求丁丙边
以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一 丙角〈三十六度二十五分〉正 五九三六五二 乙角〈二十四度〉正 四○六七四
三 乙丁边 五百四十尺
四 丁丙边 三百六十九尺九寸八
分
右新増一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新増法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之后更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左
〈甲庚癸为半周子庚为半径
甲壬为乙角度壬辛癸为外角
壬辛为半外角子卯为半外角割
线壬卯为半外角切
线己丑为半较角切
线己辛为半较角〉
新式三边求角〈钝角之三〉
假如〈乙丙丁〉钝角形有乙丙边〈三百五十尺〉乙丁边〈六百○七尺〉丁丙边〈三百尺〉
右有边无角
术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形〈乙甲丁〉之乙丙边为小形〈乙甲辛即乙甲丙〉之两相并为总相减为较
先求勾总
此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角馀然丁角以乙丁为半径则乙甲为正而馀应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之馀故必先求甲丁勾始与丁角馀相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之馀以查表而得丁角也
一 勾较〈即丁丙边〉 三百尺
二 较〈即乙丁边减乙丙之馀〉二百三十二尺
三 总〈即乙丁乙丙二边相并〉 九百八十二尺四 勾总〈即丁辛〉 七百五十九尺四寸以勾较〈三百尺〉减所得勾总〈七百五十九尺四寸〉馀数〈四百五十九尺四寸〉半之得数〈二百二十九尺七寸〉为小形之勾甲丙
以甲丙小形之勾加丁丙较〈三百尺〉得数〈五百二十九尺七寸〉为大形之勾甲丁
求丁角
以乙丁比丁甲勾若半径与丁角之馀一 乙丁 六百○七尺
二 甲丁勾 五百二十九尺七寸
三 半径 一○○○○○
四 丁角馀 ○八七二六五
检表得丁角二十九度一十四分
求丙角〈用乙甲丙小形〉
钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此钝角丙之外角割线
以甲丙勾比乙丙若半径与丙角之割线一 甲丙勾 二百二十九尺七寸二 乙丙 三百七十五尺
三 半径 一○○○○○
四 丙角割线 一六三二五六
检表得丙角〈五十二度一十四分〉为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半径可勾可股可顾随所取用耳
求乙角
并丁丙二角所得度分共〈一百五十七度〉以减半周得馀二十三度为乙角
右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同锐角之三
补图 乙丙丁三角形 乙己为丙角
弧度 乙辛为丙外角 丙戊
即〈乙丙〉为丙外角割线 乙壬壬
辛为外角之丁角乙角
乙甲即中长线 乙甲丙即小
形勾股 乙甲丁即大形勾股
乙丙即虚勾虚股之 戊辛
为切线
右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为高度其高度之正线即平度之馀线而高度之馀线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因高度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所馀之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也
勾股引蒙卷四
钦定四库全书
勾股引𫎇卷五
海宁 陈𬣙 撰
象限线度总目
正 正切 正割 正矢〈以馀减全〉
馀 馀切 馀割 馀矢〈以正减全〉
平度〈正线即高度馀线〉高度〈正线即平度馀线〉
初
一 八八
二 八七
三 八六
四 八五
五 八四
六 八三
七 八二
八 八一
九 八十
十 七九
十一 七八
十二 七七
十三 七六
十四 七五
十五 七四
十六 七三
十七 七二
十八 七一
十九 七十
二十 六九
二一 六八
二二 六七
二三 六六
二四 六五
二五 六四
二六 六三
二七 六二
二八 六一
二九 六十
三十 五九
三一 五八
三二 五七
三三 五六
三四 五五
三五 五四
三六 五三
三七 五二
三八 五一
三九 五十
四十 四九
四一 四八
四二 四七
四三 四六
四四 四五
求弧度之分秒
如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乘六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
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<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
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<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
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<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原>
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