勾股引蒙 (四庫全書本)/全覽
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欽定四庫全書
數度衍附錄
桐城方中通 撰
幾何約
名目一
〈名目二〉
〈名目三〉
名目四
〈名目五〉
〈名目六〉
度說
設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等
有多度等若所加之度等則合併之度亦等
有多度等若所減之度等則所存之度亦等
有多度不等若所加之度等則合併之度不等
有多度不等若所減之度等則所存之度不等
有多度俱倍於此度則彼多度俱等
有多度俱半於此度則彼多度亦等
有二度自相合則二度必等以一度加一度之上也全大於其分如一尺大於一寸寸乃全尺十之一也
有幾何度等若所加之度各不等則合併之差與所加之差等
有幾何度不等若所加之度等則合併所贏之度與原所贏之度等
有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減去所贏之度等
有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與原所贏之度等
全與諸分之並等
有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全所減之度則此較亦倍於彼較如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較十四彼較七
度各形之髙皆以垂線之亘為度兩形同在兩平行線內其髙必等凡度物髙以頂底為界以垂線為度不論物之偏正也蓋物之定度有一無二自頂至底垂線一而已偏線無數也
線說
有二橫直線任加一縱線或正或偏若三線之間同方兩角小於兩直角則此二橫直線愈長愈相近必至相遇如甲乙丙丁二橫直線任意作戊巳線交於二橫直線之上而戊巳線或正或偏若戊巳線旁同方兩角俱小於直角或並之小於兩直角則甲乙丙丁二線必有相遇之處
兩直線不能為有界之形
兩直線止能於一㸃相遇
凡圜內直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距心逺近之度如甲乙丙丁圜內甲乙線丙丁線其去戊心逺近等因己戊戊庚兩垂線等故也若辛壬線去戊心近矣因戊癸垂線小故也
凡一㸃至直線上惟垂線至近垂線之兩旁漸逺平行方形不滿一線為形小於線若形有餘線不足為形大於線
角說
凡直角俱相等
直線上立垂線則兩旁皆直角若立偏線則一為鈍角
其一必為銳角如子丑線上甲乙
垂線也丙丁偏線也
比例說
比例者兩幾何以幾何相比之理幾兩幾何相比以此幾何比他幾何則此幾何為前率所比之他幾何為後率如以六尺之線比三尺之線則六尺為前率三尺為後率也反用之以三尺之線比六尺之線則三尺為前率六尺為後率也
凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合如二十尺之線比十尺之線是也其非數可明者為小合如直角方形之兩邊與其對角線可以相比而非數可明者是也其大合線為有兩度之線其小合線為無兩度之線
凡大合有二種有等者如二十比二十十比十是也有不等者如二十比十八比四十是也
凡等者為相同之比例其不等者又有二種有以大不等者如二十比十是也有以小不等者如十比二十是也
大合比例之以大不等者又有五種一為幾倍大二為等帶一分三為等帶幾分四為幾倍大帶一分五為幾倍大帶幾分其一為幾倍大者如二十與四是二十內為四者五如三十尺與五尺是三十尺內為五尺者六則二十與四名為五倍大之比例也三十尺與五尺名為六倍大之比例也其二為等帶一分者如三與二是三內既有二別帶一以為二之半如十二與九是十二內既有九別帶三以為九之三分之一則三與二名為等帶半也十二與九名為等帶三分之一也其三為等帶幾分者如八與五是八內既有五別帶三一每一各為五之分而三一不能合而為五之分也他如十與八其十內既有八別帶二一雖每一各為八之分與前例相似而二一卻能為八之四分之一是為帶一分屬在第二不屬三也則八與五名為等帶三分也又如二十二與十六即名為等帶六分也其四為幾倍大帶一分者如九與四是九內既有二四別帶一一為四之四分之一則九與四名為二倍大帶四分之一也其五為幾倍大帶幾分者如十一與三是十一內既有三三別帶二一每一各為三之分而二一不能合而為三之分也則十一與三名為三倍大帶二分也
大合比例之以小不等者亦有五種俱與右相反為名一為反幾倍大二為反等帶一分三為反等帶幾分四為反幾倍大帶一分五為反幾倍大帶幾分凡諸數俱有書法有全數有分數全數依本數書之分數有二一為命分數一為得分數如分一以三而取其二則書為三分之二三為命分數二為得分數也其一幾倍大以全數書之如二十與四為五倍大之比例即書五是也若反幾倍大則用分數書之而以大比例之數為命分之數以一為得分之數如大為五倍大之比例則此書五之一是也其二等帶一分之比例有全數有分數其全數恆為一其分數則以分率之數為命分數恆以一為得分數如三與二名為等帶半即書一又二之一也若反等帶一分則全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數加一為此之命分數如大為等帶二之一即此書三之二也又如等帶八分之一反書之即書九之八也其三等帶幾分之比例亦有全數有分數其全數亦恆為一其分數亦以分率之數為命分數以所分之數為得分數如十與七名為等帶三分即書一又七之三也若反等帶幾分亦全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數如大之得分數為此之命分數如大為等帶七之三命數七得數三七加三為十即書十之七也又如等帶二十之三反書之二十加三即書二十三之二十也其四幾倍大帶一分之比例則以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數恆以一為得分數如二十二與七二十二內既有三七別帶一一為七分之一名為三倍大帶七分之一即以三為全數七為命分數一為得分數書三又七之一也若反幾倍大帶一分則大比例之命分數為此之得分數以大之命分數乗大之倍數加一為此之命分數如大為三帶七之一即以七乗三得二十一又加一為命分數書二十二之七也又如五帶九之一反書之九乗五得四十五加一為四十六即書四十六之九也其五幾倍大帶幾分之比例亦以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數以所分之數為得分數如二十九與八二十九內既有三八別帶五一名為三倍大帶五分即以三為全數八為命分數五為得分數書三又八之五也若反幾倍大帶幾分則以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數乗大倍數加大之得分數為此之命分數如大為三帶八之五即以八乗三得二十四加五為二十九書二十九之八也又如四帶五之二即書二十二之五也通曰右皆化整為零之法也法詳竒零
兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身即大於八尺之線是為有比例之線也又如直角方形之一邊與其對角線雖非大合之比例可以數明而直角方形之一邊一倍之即大於對角線是亦有小合比例之線也又圜之徑四倍之即大於圜之界則徑與界亦有小合比例之線也又曲線與直線亦有比例如以大小兩曲線相合為初月形別作一直角方形與之等即曲線直線兩視有大有小亦有比例也又方形與圜不能為等形然相視有大有小亦不可謂無比例也又直線角與曲線
角亦有比例如上圖直
角鈍角銳角皆有與曲
線角等者如甲乙丙直
角在甲乙乙丙兩直線內而其間設有甲乙丁與丙乙戊兩圜分角等即於甲乙丁角加甲乙戊角則丁乙戊曲線角與甲乙丙直角等矣因知壬庚癸曲線角與己庚辛鈍角等也又知卯丑辰曲線角與子丑寅銳角各減同用之子醜醜辰內圜小分即兩角亦等也他若有窮之線與無窮之線雖則同類實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之線也又線與面面與體及切圜角與直線銳角皆無比例也
四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第一第三之幾倍偕第二第四之幾倍其相視或等或俱為大俱為小恆如是如有四幾何第一曰三第二曰二第三曰六第四曰四今以第一之三第三之六同加四倍為十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍為十四為二十八其倍第一之十二既小於倍第二之十四則倍第三之二十四必小於倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍為十八為三十六次以第二之二第四之四同加四倍為十八為三十六其倍第一之十八既等於倍第二之十八則倍第三之三十六必等於倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為八其倍第一之九既大於倍第二之四則倍第三之十八必大於倍第四之八也乃知三與二偕六與四得為同理之比例也此斷比例之法若連比例則以中率兩用之既為第二又為第三也若第一之幾倍大於第二之幾倍而第三之幾倍不大於第四之幾倍則第一與二之比例大於第三與四之比例矣
三幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例四幾何為同理之連比例則第一與四為三加之比例倣此以至無窮如甲與乙若乙與丙乙與丙若丙與丁丙與丁若丁與戊五幾何為同理之連比例其一甲與三丙為
再加之比例其一甲與四丁為三加之比例其一甲與五戊為四加之比例若反用之以戊為首則一戊與三丙為再加與四乙為三加與五甲為四加也再以數明之如此直角方形之邊三尺彼直角方形之邊一尺若九與一夫九與一之間有三為同理之連比例則此九三一之三數既有三與一為比例又以九比三三比一為再加之比例也故彼直角方形當為此形九分之一不止為此形三分之一也大約第一與二之比例若線相比第一與三若平面相比第一與四若體相比第一與五若少廣之三乗方與六則若四乗方與七則若五乗方也
同理之幾何前與前相當後與後相當
比例以比例相結者以多比例之命數相乗除而結為一比例之命數蓋中率相結者於不同理之中求其同
理也如十二倍
之此比例則以
彼二倍六倍兩
比例相結也二
六相乗為十二故也或以彼三倍四倍兩比例相結三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例則以彼二倍三倍五倍三比例相結也二乗三為六六乗五為三十故也大約以三率為始三率則兩比例相乗除而中
率為紐也若四率則先以前
三率之兩比例相乗除而結
為一比例又以此與第三比
例相乗除而總結為一比例也若五率則先以前三率之兩比例乗除相結又以此與第三比例乘除相結又以此與第四比例乗除相結而為一比例也或如下圖亦可
三幾何為二比例不同理而合為一比例則以第一與二第二與三兩比例相結也如第一圖三幾何二比例皆以大不等者其甲乙與丙丁為二倍大丙丁與戊己為三倍大則甲乙與戊己為六倍大二乗三為六也若以小不等戊己為第一甲乙為第三三乗二亦六則戊己與甲乙為反六倍大也又
如次圖前以大不等後以小不等者中率小於前後兩率也其甲乙與丙丁為三倍大丙丁與戊己為反二倍大則甲乙與戊己為等帶半三乗半得等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三反
推之半除三為反等帶半也又如末圖前以小不等後以大不等者中率大於前後兩率也其甲乙與丙丁為反二倍大丙丁與戊己為等
帶三分之一即甲乙與戊己為反等帶半何者如甲乙二即丙丁當四丙丁四即戊己當三是甲乙二戊己當三也又法以命數三帶得數一為四半除得二二比三為反等帶半也若戊己為首則為等帯半矣
若多幾何各帶分而多寡不等者當用通分法如設前比例為反五倍帶三之二後比例為二倍大帶八之一即以前命數三通其五倍為十五得分數從之為十七是前比例為三與十七也以後命數八通其二倍為十六得分數從之為十七是後比例為十七與八也即首尾二幾何之比例為三與八得二倍大帶三之二也右說連比例之不同理者用中率以結矣若不同理之斷比例異中率而無可結者當於其所設幾何之外別立三幾何二比例而同中率者乗除相結即得如所設幾何十六為首十二為尾卻雲十六與十二之比例若
八與三及二與四之比例八為前之
前四為後之後三為前之後二為後
之前此二比例無可結乃別立同中率之二比例如其八與三二與四之比例如三其八得二十四為前之前三其三得九為前之後即以九為後之前又求得十八為後之後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四也則十六與十二若二十四與十八俱為等帶半之比例矣
通曰十六內去十二餘四為十二三之一當曰等帶三之一也
論三角形
一於有界直線上求立平邊三角形如甲乙線先以甲為心乙為界作丙乙丁圜次以乙為心甲為界作丙甲丁圜兩圜相交於丙於丁末自甲至丙丙至乙各作直線即成甲乙丙平邊三
角形
二一直線線或內或外有一㸃求以㸃為界作直線與元線等如甲㸃乙丙線先以丙為心乙為界作丙乙圜
次觀甲㸃若在丙乙外則自
甲至丙作線如上圖或在丙
乙內則截取甲至丙一分線
如下圖俱以甲丙為底作甲丁丙平邊三角形次引丁丙至丙乙圜界為丙戊引丁甲出丙乙圜外至己為甲己乃以丁為心戊為界作丁戊圜其甲己線與丁戊圜相交於庚即甲庚線與乙丙線等
三兩直線一長一短求於長線減去短線之度如甲短線乙丙長線先引乙至別界作乙丁線與甲等乃以乙為心丁為界作圜交乙丙線於戊
則戊丙為餘也
四兩三角形若兩腰線各等各兩腰間之角等則底必等
五三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出之其底外兩角必等
六三角形若底線兩端之兩角等則兩腰必等
七一線為底出兩腰線其相遇止一㸃不得別有腰線與元腰線等如甲乙底於甲於乙各出一線至丙相遇此一定之處也若至丁則不與元
腰線甲丙等矣
八兩三角形若兩腰兩底俱等則兩腰間角必等九有直線角求兩平分如乙甲丙角先於甲乙線任截一分為甲丁亦截甲戊與甲丁等作丁戊直線次以丁戊為底倒立丁戊己平邊三角形
再作甲己直線即得
通曰乙丙底作甲己垂線亦得
十有界線求兩平分如右圖乙丙線以乙丙為底作甲乙丙兩邊等三角形兩平分之得甲己直線即分乙丙線於己
十一一直線任於一㸃上求作垂線如甲乙線上任指一㸃於丙先於丙之左右各截一界為丁為戊次以丁戊為底作丁己戊兩邊等角形再作己
丙直線即己丙為甲乙之垂線若欲於甲㸃立垂線則任取丙㸃立丁丙垂線乃以甲丙丁角平分得丙己線次以甲丙為度截戊丙又於戊上立垂
線與己丙線相遇於庚再作庚甲直線即得
十二無界直線外有一㸃求於㸃上作垂線至直線上如甲乙線外有丙㸃先以丙為心作圜令兩交於甲乙線為丁為戊次從丁戊各作直線至丙
又兩平分丁戊線於己作丙己線即甲乙之垂線也又法於甲乙線上近甲近乙任取一㸃為心以丙為界作一圜界於丙㸃及相望
處各稍引長之次於甲乙線上視前心或相望如上圖或進或退如下圖任移一㸃為心以丙為界作一圜界交處得丁乃作丙丁垂線
十三一直線至他直線上所作兩角非直角即等於兩直角如甲線下至丙丁線遇於乙其甲乙丙鈍角與甲乙丁銳角相併必等於戊乙丙戊乙丁
兩直角
十四一直線於線上一㸃出不同方兩直線偕元線毎旁作兩角若每旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直線如甲乙線於丙㸃左出丙丁線右
出丙戊線若甲丙戊甲丙丁兩角與兩直角等則丁丙丙戊必成丁戊一直線
十五凡兩直線相交作四角每兩交角必等如甲乙與丙丁兩線相交於戊則甲戊丙角與丁戊乙角必等甲戊丁角與丙戊乙角必等
十六凡三角形之外角必大於相對之各角如甲乙丙角形引乙甲至丁則外角丁甲丙必大於相對之內角甲乙丙甲丙乙引丙甲至戊其外角戊甲乙亦大
通曰此不論乙甲丙角也葢有時丁甲丙角反
小於乙甲丙角故不論
十七凡三角形之每兩角必小於兩直角如甲乙丙角形甲乙丙甲丙乙兩角並小於戊乙丁戊乙丙兩直角丙甲乙甲乙丙兩角亦小甲丙乙丙甲
乙兩角亦小
十八凡三角形大邊對大角小邊對小角如甲乙丙角形甲乙邊大於甲丙丙乙兩邊則甲乙邊所對之甲丙乙角必大甲丙邊所對之乙角乙丙邊
所對之甲角皆小
十九凡三角形大角對大邊小角對小邊
二十凡三角形之兩邊並之必大於一邊
二十一凡三角形於一邊之兩界出兩線作小三角形於內則內形兩腰並必小於外相對兩腰而內所作角必大於外相對角如甲乙丙角形於乙
丙邊之兩界作丁乙丙小角形則丁丙丁乙兩線並必小於甲乙甲丙並而乙丁丙角必大於乙甲丙
角
二十二三直線求作三角形其每兩線並大於一線如甲乙丙三邊先任作丁戊線長於三線並次以甲為度截丁己以乙為度截己庚以丙為度截庚辛乃以己為心丁為界作丁壬癸圜
以庚為心辛為界作辛壬癸圜兩圜相遇於壬於癸再以庚己為底作癸庚癸己兩直線即得己癸庚三角形若兩線並與其一線或等或小即不能成三角形也
通曰若庚㸃在丁壬圜內及庚㸃雖在
丁壬圜外而兩圜不交皆不能成三角形也
二十三一直線任於一㸃上求作一角與所設角等如
甲乙線與設丁戊己角先於戊丁任
取庚㸃於戊己任取辛㸃作庚辛線
次將甲乙線依庚戊戊辛辛庚度用右法作壬丙癸角形與丁戊角等
通曰壬丙等庚戊丙癸等戊辛癸壬等辛庚即右之甲乙丙三線也
二十四兩三角形相當兩腰各等若一形腰間角大則底亦大如甲乙甲丙兩腰與丁戊丁己兩腰左右各等若甲角大於丁角其乙丙底必大於戊己底
二十五兩三角形相當兩腰各等若一形底大則腰間角亦大
二十六兩三角形相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之內及一角之對
二十七兩直線有他直線交加其上若相對內兩角等則兩直線必平行如甲乙丙丁兩線加戊己線交於庚辛而甲庚辛角與丁辛庚角等則甲乙丙丁兩線必平行
二十八兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之內角等或同方兩內角與兩直角等其兩直線必平行如甲乙丙丁兩線加戊己線
交於庚辛其戊庚甲外角與庚辛丙內角等或甲庚辛丙辛庚兩內角與兩直角等則甲乙丙丁兩線必平行二十九兩平行線有他直線交加其上則內相對兩角必等外角與同方相對之內角亦等同方兩內角亦與兩直角等
三十兩直線與他直線平行則元兩線亦平行〈此論同面不同面線後別有論〉如甲乙丙丁兩線與戊己平行則甲乙
與丙丁亦平行
三十一一㸃上求作直線與所設直線平行如甲㸃與乙丙線先從甲向乙丙線任指丁㸃作甲丁線成甲丁乙角次於甲作戊甲丁角與甲丁乙角
等再引戊甲至己則己戊線與乙丙平行又法作甲丁線以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長於戊己乃取戊己為度截取庚辛再作甲辛線各引長之即得用法設丙角甲乙兩線求作有法四邊形先作丁己庚角與丙角等次截己庚與甲等丁己與乙等再依丁己平
行作戊庚己庚平行作丁戊即得
三十二凡三角形之外角與相對之內兩角並等三角形之內三角並與兩直角等如甲乙丙角形引乙丙至丁則甲丙丁外角與內甲乙兩角並等
又甲乙丙三角並如甲丙丁角既等於甲乙兩角又加丙甲豈不與戊丙乙戊丙丁兩直角等乎從此推之如後圖甲當兩直角乙當四直角丙當六直角
丁當八直角自此可至無窮其多
邊求當幾直角者以其所有之邊內減二倍其餘即得如丁形六邊減二存四倍八故知當八直角也 凡諸種角形之三角並俱相等 凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角每當直角之半腰間鈍角則餘兩角俱小於半直角腰間銳角則餘兩角俱大於半直角 平邊角形每角當直角三分之二 平邊角形若從一角向對邊作垂線分為兩角形此分形各有一直角在垂線下兩旁則垂線上兩旁角毎當直角三分之一其餘兩角每當直角三分之二
三十三兩平行相等線之界有兩線聫之其兩線亦平行亦相等如甲丙乙丁兩平行相等線有甲乙丙丁兩線聫之則甲乙丙丁亦平行相等線
三十四凡平行線方形毎相對兩邊線各等每相對兩角各等對角線分本形兩平分
三十五兩平行方形若同在平行線內又同底則兩形等如甲乙丙丁兩平行線內有丙丁戊甲丙
丁乙己兩平行方形同丙丁底則此二形等或戊己同㸃其甲戊丁丙戊乙丁丙兩形亦等或己在戊外其丙丁戊甲丙丁乙己兩
形亦等此言形等者非腰等角等乃所函之地等也後言形等者倣此
三十六兩平行線內有兩平行方形若底等則形亦等三十七兩平行線內有兩三角形若同底則兩形必等如甲乙丙丁兩平行線內有甲丙丁乙丙丁兩三角形
同丙丁底則兩形等
三十八兩平行線內有兩三角形若底等則兩形必等又凡角形任於一邊任作一㸃求從㸃分本形為兩平分如取丁㸃先向甲角作直線次平分
乙丙於戊作戊己線與甲丁平行末作己丁直線即分本形為兩平分
三十九兩三角形其底同其形等必在兩平行線內如甲乙丙形與丁丙乙形同乙丙底而兩形復等則自丁
至甲作直線必與乙丙平行
四十兩三角形其底等其形等必在兩平行線內四十一兩平行線內有一平行方形一三角形同底則方形倍大於三角形如甲乙丙丁兩平行線內有甲丙戊丁方形乙丁丙三角形同丙丁底則
方形必倍大於角形
四十二有三角形求作平行方形與之等而方形角與所設角等如甲乙丙角形先兩平分乙丙邊於戊作丙戊己角與所設丁角等次自甲作直線與乙丙平行而遇戊己線於己末自丙作直線與戊己
平行為丙庚得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等四十三凡方形對角線旁兩餘方形自相等如甲乙丙丁方形有甲丙對角線則兩旁之乙壬庚戊與庚己丁辛兩形必等
四十四一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角有與所設角等如甲線乙角形丙角先作丁戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚角與丙角等次引庚己至辛作己辛線與甲線等次作辛壬線與戊己平行又引丁戊至壬次自壬至己作對角線引出至癸又引丁
庚至癸相遇再作癸子線與庚辛平行又引壬辛至子引戊己至丑得巳丑子辛平行方形如求與乙角形等四十五有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有與所設角等如甲乙丙五邊形丁角先分五邊形為甲乙丙三其三角形次作戊己庚辛平行方形與甲等而有丁角次於戊
辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形與乙等又引前線作壬癸子丑平行方形與丙等並為戊己子丑平行方形與五邊形等而有丁角
又甲與乙兩直線形不等甲大乙小以乙減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行方
形與甲等次於丙丁線上依丁角作丁丙辛庚平行方形與乙等得辛庚戊己平行方形為相減之較矣四十六一直線上求立直角方形如丙丁線上兩界各立垂線甲丙乙丁與丙丁等再作甲乙線即得
四十七凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊上所作兩直角方形並等如甲乙丙角形甲為直角對甲之乙丙邊上作子直角
方形與甲丙甲乙兩邊所作丑寅兩直角方形並等通曰此
冪內有勾股二冪也乙丙也
又凡直角方形之對角線如甲丙則甲丙線上
所作直角方形必倍大於甲乙丙丁形
又設不等兩直角方形一以甲為邊一以乙為邊求別作兩直角方形自相等並之又與
元設兩形並等先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直角而丙丁與乙等作戊丁線相聫再於丁戊兩角各作一角皆半於直角者為己戊己丁相等而遇於己則己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而並之又與丙戊丙丁兩線上所作兩直角方形並等其曰半直角者己戊丁半於庚戊丁己丁戊半於辛丁戊也
又多直角方形求並作一直角方形
與之等如五直角方形以甲乙丙丁
戊為邊先作己庚辛直角而己庚線
與甲等庚辛線與乙等次作己辛線即作己辛壬直角而壬辛與丙等次作壬己線即作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線即作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線於此線上作直角方形如求
四十八凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作兩直角方形並等則對一邊之角必直角
論線
一兩直線任以一線任分為若干分其兩元線矩內直角形與不分線偕諸分線矩內直角形並等如甲乙乙丙兩線以乙丙三分之為乙庚庚戊戊丙則甲乙偕乙丙之矩線內直角形與甲乙偕乙
庚甲乙偕庚戊甲乙偕戊丙三矩線內直角形並等二一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩內直角形並必等如甲乙線任兩分於丙則甲乙上直角方形與甲乙偕甲丙甲乙
偕丙乙兩矩線內直角形並等
三一直線任兩分之其元線任偕一分線矩內直角形與分餘線偕一分線矩內直角形及一分線上直角方形並等如甲乙線分於丙甲乙偕甲丙矩內直角形與分餘丙乙偕甲丙矩內直角形及甲丙上直角方形並必等或如後圖甲乙偕丙乙矩內直角形與分餘甲丙偕丙乙矩內直角形及
丙乙上直角方形並亦等
四一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直角方形及兩分互偕矩線內直角形並等如甲乙線分於丙甲乙線上直角方形與甲
丙丙乙線上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍,附録 幾何約>甲丙上及分內線丙丁上兩直角方形相併成庚辛丁磬折形蓋子與子等丑寅與丑寅等卯辰與卯辰等故也
十一直線兩平分之又任引增一線共為一全線其全線上及引増線上兩直角方形並倍大於平分半線上及分餘半線偕引增線上兩直角方形並
通曰如甲乙線平分於丙又任引增為乙丁則甲丁線上直角方形如丁戊者與乙丁線上直角方形如乙己者相併成戊己乙磬折形倍大於甲丙線上直角方形如甲庚者與丙丁線上直角方形如辛丙者相併成辛庚甲磬折形蓋子丑與子丑等寅卯與寅卯等故也
十一 一直線求兩分之而元線偕初分線矩內直角形與分餘線上直角方形等如甲乙線先作甲丙直角方形次以甲丁平分於戊作戊乙線
從戊甲引至己令戊己與戊乙等乃於甲乙線截取甲庚與甲己等則甲乙偕庚乙矩線內直角形與甲庚上直角方形等
十二三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大於餘邊上兩直角方形並之較為鈍角旁任用一邊偕其引増線之與對角所下垂線相遇者矩內直角形二如甲乙丙形乙為鈍角從餘角如甲下一垂線與鈍角旁一邊如丙乙引長之遇於丁為直角則對鈍角之甲丙邊上直角方形大於甲乙乙丙邊上兩
直角方形並之較為丙乙偕乙丁矩內直角形二反說之則甲乙乙丙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線內直角形二相併與甲丙上直角方形等
十三三邊銳角形之對銳角邊上直角方形小於餘邊上兩直角方形並之較為銳角旁任用一邊偕其對角所下垂線旁之近銳角分線矩內直角形二如甲乙丙三邊銳角形從一角如甲向對邊乙丙下一垂線分乙丙於丁則甲丙乙銳角
之相對甲乙邊上直角方形小於乙丙甲丙邊上兩直角方形並之較為乙丙偕丁丙矩線內直角形二反說之則乙丙甲丙上兩直角方形並與甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩線內直角形二並等
十四有直線形求作直角方形與之等如甲無法四邊形先作乙丁形與之等而直角次任用一邊引長之如丁丙引至己而丙己與乙丙等次以丁己兩平分於庚其庚㸃若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣若庚㸃在
丙外則以庚為心丁己為界作丁辛己半圜再從乙丙線引長之遇圜界於辛即丙辛上直角方形與甲等又直角方形之對角線所長於本形邊之較為甲乙而求本形邊先於甲乙上作甲丙直
角方形次作乙丁對角線又引長之為丁戊線而丁戊與甲丁等即得乙戊線如求
論圜
一有圜求㝷其心如甲乙丙丁圜先於圜之兩界任作一甲丙直線次兩平分於戊再於戊上作乙丁垂線兩平分於己己即圜心因顯圜內有直線
分他線為兩平分而作直角即圜心在其內
二圜界任取二㸃以直線相聨則直線全在圜內三直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角為兩直角必兩平分如乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁線為兩平分則己旁必兩直角
甲己為垂線故也
四圜內不過心兩直線相交不得俱為兩平分如甲丙乙丁圜內有甲乙丙丁兩直線俱不過己心而交於戊若甲乙為兩平分則丁丙不得兩平分
若一過心一不過心即兩線亦不得俱為兩平分五兩圜相交必有同心
六兩圜內相切必不同心
七圜徑離心任取一㸃從㸃至圜界任出幾線其過心最大不過心最小餘線愈近心者愈大愈近不過心者愈小諸線中止兩線等如甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離心任取一㸃為庚從庚至圜界
任出幾線為庚丙庚丁庚戊庚乙庚甲惟過心庚甲最大不過心庚乙最小庚丙大於庚丁庚丁大於庚戊而庚乙兩旁止可出兩線等如庚辛等庚戊庚壬等庚丁也
八圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規內則過圜心線最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止兩線等
如乙己壬圜之外從甲㸃任出幾
線其一為過癸心之甲壬其餘為
甲辛甲庚甲己皆至規內則過心
之甲壬最大近心之甲辛大於甲
庚甲己最小規外之甲乙為乙壬徑餘者最小近徑餘之甲丙小於甲丁甲戊為大矣甲乙丙旁止可出兩線等如甲子等甲丙也
九圜內從一㸃至界作三線以上皆等即此㸃必圜心如從甲㸃至乙丙丁作三線為甲乙甲丙甲丁若三線等則甲㸃必圜心
十兩圜相交止於兩㸃
十一兩圜內相切作直線聫兩心引出之必至切界如甲乙丙甲丁戊兩圜內切於甲己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心作己庚直線聫兩心又引
己至圜界必至相切之甲㸃
十二兩圜外相切以直線聫兩心必過切界如甲乙兩圜外切於丁甲心為丙乙心為戊作丙戊直線聫之必過丁界
十三圜相切不論內外止於一㸃
十四圜內兩直線等即距心之逺近等距心逺近等即兩直線等如甲乙丙丁圜心戊圜內甲乙丁丙兩線等則庚戊己戊逺近必等
十五徑為圜內之大線其餘線近心大於逺心
十六圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊角不得更作一直線入其內其半圜分角大於各直線銳角切邊角小於各直線銳角如甲丙徑末之甲戊垂線全在圜外戊甲垂線偕乙甲圜
界所作切邊角不得更作一直線入其內丙甲線偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大於各直線銳角而戊甲線偕乙甲圜界所作切邊角小於各直線銳角又有兩種幾何一大一小以小率半増之遞增至於無窮以大率半減之遞減至於無窮其元大者恆大元小者恆小
如後圖直線切圜之戊甲乙切邊角
為小率壬庚辛直線銳角為大率今
別作甲丙甲丁各圜俱切戊己線於
甲其切邊角愈增愈大別以庚癸庚子線作角分壬庚辛角於庚愈分愈小恆大恆小終不得相比
又甲丙徑甲不動引丙線向己漸移其所經乙丁戊中間無數凡割圜皆為銳角即小於半圜
分角纔離銳角便為直角即大於半圜分角是所經無數線終無有相等線也又直線銳角皆小於半圜分角直角鈍角皆大於半圜分角是大小終無等也
十七設一㸃一圜求從㸃作切線如甲㸃與乙丙圜其圜心丁先從甲作甲丁直線截圜於乙次以丁為心甲為界作甲戊圜乃作甲丁之垂線為乙戊遇甲戊圜於戊又作戊丁直線截乙丙圜於丙再作甲丙直線即切乙丙圜於丙也
十八直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線
十九直線切圜圜內作切線之垂線則圜心必在垂線之內
二十負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍大於負圜角如甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負圜角同以乙丙圜分為底
則乙丁丙角倍大於乙甲丙角
又乙丁丁丙不作角於心或如上圖為半圜或如下圖為小半圜則丁心外餘
地為乙丁戊戊丁丙兩角倍大於同乙丁丙之底負圜角為乙甲丙角也
二十一凡同圜分內所作負圜角俱等如丁甲乙丙圜
分內不論此為大分小分函心不函
心但分內任作丁甲丙丁乙丙兩角
必等
二十二圜內切界四邊形每相對兩角並與兩直角等如圜心為戊圜內有甲乙丙丁四邊形則甲乙丙丙丁甲兩角並或乙丙丁丁
甲乙兩角並與兩直角必等
二十三一直線上作兩圜分不得相似而不相等二十四相等兩直線上作相似兩圜分必等如甲乙丁戊兩等直線上作甲丙乙丁己戊兩相似
圜分必等
二十五有圜之分求成圜如甲乙丙圜分先作甲丙線
次作乙丁為甲丙之垂線丁即分甲
丙為兩平分次作甲乙線須視丁乙
甲角或大於丁甲乙角或小或等若大則甲乙丙當為圜小分也即作乙甲戊角與丁乙甲角等次引乙丁至戊戊即圜心若丁乙甲角小於丁甲乙角則甲乙丙當為圜大分也即作乙甲戊角與丁乙甲角等戊即圜心若乙甲兩角正等則甲乙丙當為半圜分丁即圜心矣又法於甲乙丙圜分任取三㸃於甲於乙於丙以兩直線聫之各兩平分於丁於戊從丁從戊作甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇於己即己為圜心又法任取四㸃為甲為乙為丙為丁每兩㸃各自為心相向各任作圜分四圜分兩相交於戊於己於庚於辛從戊己從庚辛各作
直線引長之交於壬即壬為圜心
二十六等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等如在心者為甲庚丙丁辛己兩角等在界者為甲乙丙丁戊己兩角
等其甲丙丁己兩圜分必等
二十七等圜之角所乗圜分等則其角或在心在界俱等此反前題也如甲丁乙丙兩直線在一圜內而不相交其相去之甲乙丁丙兩圜分等則兩
線必平行
二十八等圜內之直線等則其割本圜之分大與大小與小各等
二十九等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等三十有圜之分求兩平分之如甲乙丙圜分先作甲丙線次兩平分於丁作乙丁線為甲丙之垂線即分甲乙丙圜為兩平分
三十一負半圜角必直角負大分角小於直角負小分角大於直角大圜分角大於直角小圜分角小於直角如甲乙戊丙圜其心丁徑甲丙於半圜分內任作甲乙丙角負半圜分乙甲丙角負乙甲丙大
分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分則負半圜之甲乙丙為直角負大分之乙甲丙為銳角負小分之乙戊丙為鈍角丙乙甲大圜分角大於直角丙乙戊小圜分角小於直角
又凡角形之內一角與兩角並等其一角必直角何者其外角與內相對之兩角等則與外角等之內交角豈非直角
三十二直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分內各任為負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等如甲乙線切圜於丙從丙任作丙戊直線不論過己心與不過己心
割圜兩分兩分內任作丙丁戊丙庚戊兩負圜角則甲丙戊角與丙庚戊角等乙丙戊角與丙丁戊角等通曰割線正則左與左等右與右等割線偏則左與右等右與左等蓋切線在外割線在內故也
三十三一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等如甲乙線丙直角先以甲乙兩平分於丁以丁為心甲乙為界作半圜圜分內作甲戊乙角
即負半圜角為直角而與丙等若丙係銳角先於甲㸃上作丁甲乙銳角與丙等次作戊甲為甲丁之垂線次作己乙甲角與己甲乙角等乙己線遇甲戊線於己即己乙己甲兩線等以己
為心甲為界作圜則甲庚乙圜分內所作負圜角必為銳角而與丙等若丙係鈍角如辛者即作壬甲乙鈍角與辛等又作戊甲為壬甲之垂線餘倣銳角法而於甲乙線上作甲癸乙角即與辛等
三十四設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等如甲乙丙圜丁角先作戊己線切圜於甲次作己甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上所
作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等
三十五圜內兩直線交而相分各兩分線矩內直角形等如甲乙丙丁兩線圜內交於戊若兩線俱過心者其各分四線等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩內直角形等或丙丁線過心
而甲乙線不過心者或
兩線俱不過心者其甲
戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩內直角形亦等
三十六圜外任取一㸃從㸃出兩直線一切圜一割圜其割圜全線偕規外線矩內直角形與切圜線上直角方形等如甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙切圜線而切於乙作丁甲割
線毋論過心不過心而截圜界於丙則甲丁偕丙丁矩內直角形與丁乙上直角方形等
又從圜外甲㸃作數線至規內各全線偕各規外線如甲戊偕甲丁甲己偕甲丙兩矩內直角形必等
又從圜外甲㸃作兩直線切圜如甲乙甲丙
必等亦止可作兩線切圜無三線也
三十七圜外任於一㸃出兩直線一至規外一割圜其割圜全線偕割圜之規外線矩內直角形與至規外之線上直角方形等則至規外者必切圜線此反前題也
論圜內外形
一有圜求作合圜線與所設線等此設線不大於圜之徑線如甲乙丙圜與丁線其丁線不大於徑線若大則不可合矣先作圜徑為乙丙若乙丙與丁等者即是合線若丁小於徑者即乙丙上截取乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙
丙圜於甲末作甲乙合線即與丁等
通曰甲乙與乙戊等凡兩圜相交毋論深淺其一圜之半徑必與合圜線等
二有圜求作圜內三角切形與所設三角形等角如甲乙丙圜與設角形先作庚辛線切圜於甲次作庚甲乙角與己角等次作辛甲丙角
與戊角等末作乙丙線即圜內三角切形與所設形之三角各等甲等丁乙等戊丙等己也
通曰凡三角形並三角為一處必成直線蓋圜外切線自切界出兩線入規內分切處為
三角並此三角必與設形三角相併等也
三有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角如圖先於戊己一邊引長之為庚辛次於圜界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚
角等次作乙壬丙角與丁己辛角等次於甲乙丙上作癸子子醜醜癸三垂線切圜而令角上相遇則癸子丑三角與設形之丁戊己三角各等
四三角形求作形內切圜如圖先以甲乙丙角甲丙乙角各兩平分作乙丁丙丁兩直線遇於丁自丁至角形之三邊各作垂線為丁己丁庚丁
戊以丁為心戊庚己為界作圜切甲乙丙角形之三邊五三角形求作形外切圜如圖先平分兩邊分甲丙於
戊甲乙於丁各作垂線為丁己
戊己而遇於己其己㸃或在形
內或在形外或在乙丙邊上再作己甲己丙己乙三線等以己為心甲為界作圜切三角
六有圜求作內切圜直角方形如圖作甲丙乙丁兩徑線直角相交於戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即成甲乙丙丁內切圜直角方形
七有圜求作外切圜直角方形如圖作甲丙乙丁兩徑線直角交於戊次於甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩徑之垂線而相遇於己
辛壬庚即成己庚壬辛外切圜直角方形
八直角方形求作形內切圜如圖以四邊各兩平分之於戊於己於庚於辛作辛己戊庚兩線交於壬以壬為心戊為界作圜如所求
九直角方形求作形外切圜如圖作甲丙丁乙對角兩線而交於戊以戊為心甲為界作圜如所求通曰方外圓內同徑圓外方內方斜為圓徑也
十求作兩邊等三角形而底上兩角各倍大於腰間角如圖先任作甲乙線次分之於丙其分法須甲乙偕丙乙矩內直角形與甲丙上直角方形等
次以甲為心乙為界作乙丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等末作甲丁線相聨其甲乙甲丁等成兩邊等三角形底上乙丁兩角各倍大於甲角
十一有圜求作圜內五邊切形其形等邊等角如圖先作己庚辛兩邊等角形而庚辛兩角各倍大於己角次於圜內作甲丙丁角形與己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分為
丙戊丁乙兩線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聫即得
十二有圜求作圜外五邊切形其形等邊等角如圖先用右法作圜內五邊等邊等角切形乃從己心作己甲己乙己丙己丁己戊五線再從此五線
作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂線各界相遇即得十三五邊等邊等角形求作形內切圜如圖先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分為己甲己乙兩線遇於己又自己作己庚為甲乙之垂線而平分甲
乙於庚再以己為心庚為界作圜如求
十四五邊等邊等角形求作形外切圜如圖分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分為己甲己乙兩線遇於己以己為心甲為界如求
十五有圜求作圜內六邊切形其形等邊等角如圖先作甲丁徑線庚為心次以丁為心庚為界作圜兩圜相交於丙於戊次從庚心作丙
庚戊庚各引長之為丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聫即得
又凡圜之半徑為六分圜之一之分庚丁與丙丁等也
十六有圜求作圜內十五邊切形其形等邊等角如圖先作甲乙丙內切圜平邊三角形與丁等角三邊等也次作甲戊己庚辛內切圜五邊形等角甲乙圜分之圜界為十五分之
五分甲戊圜分之圜界為十五分之三分戊乙為十五分之二分乙己為十五分之一分也依度作十五合圜線如求蓋甲乙圜分為三分圜之一即命三甲戊圜分為五分圜之一即命五三五相乗得十五即知兩分法可作十五邊形也又如甲乙命三甲戊命五三五相較得二即知戊乙得十五分之二也以此法為例
又從甲㸃作數形之各一邊如甲乙為六邊形之一邊甲丙為五邊形之一邊甲丁為四邊形之一邊甲戊為三邊形之一邊甲乙命
六甲丙命五較數一乗數三十即知乙丙圜分為所作三十邊等邊等角形之一邊也又如後圖甲乙丙與丁戊兩圜同己心求於甲乙丙大圜丙作多邊切形不至丁戊小圜其多邊為偶數而等先從己心作甲丙徑線截丁戊圜於戊
從戊作庚辛切線而為甲戊之垂線乃於甲庚丙圜分減半存乙丙又減半存壬丙又減半存癸丙小於庚丙而止作癸丙合圜線此即所求切圜形之一邊也
論比例
一此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍於彼之各率則此之並率亦幾倍於彼之並率如甲乙二幾何大於丙丁二幾何各三倍則
甲乙並亦大於丙丁並三倍
二六幾何其第一倍第二之數等於第三倍第四之數而第五倍第二之數等於第六倍第四之數則第一第五並倍第二之數等於第三第六並倍第四之數如甲乙〈一〉倍丙〈二〉之數若丁
戊〈三〉倍己〈四〉之數又乙庚〈五〉倍丙之數若戊辛〈六〉倍己之數則甲乙乙庚並倍丙之數若丁戊戊辛並倍己之數
三四幾何其第一之倍於第二若第三之倍於第四次
倍第一又倍第三其數等則第一所
倍之與第二若第三所倍之與第四
如甲〈一〉所倍於乙〈二〉若丙〈三〉所倍於丁〈四〉次作戊己兩幾何同若干倍於甲於丙則以平理推之戊倍乙之數若己倍丁
四四幾何其第一與二偕第三與四比例等第一第三同任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍與第二所倍第三所倍與第四所倍比例等如甲〈一〉與乙〈二〉偕丙〈三〉與丁〈四〉比
例等作戊與己同任若干倍於甲丙別作庚與辛同任若干倍於乙丁則戊與庚偕己與辛比例亦等
五大小兩幾何此全所倍於彼全若此全截取之分所倍於彼全截取之分則此全之分餘所倍於彼全之分餘亦如之如甲乙大幾何倍於丙丁小幾何若所截之甲戊倍於丙己則分餘之戊
乙亦倍於己丁
六此兩幾何各倍於彼兩幾何其數等於此兩幾何每減一分其一分之各倍於所當彼幾何其數等則其分餘或各與彼幾何等或尚各倍於彼幾何其數亦等如甲乙丙丁兩幾何各倍
於戊己兩幾何其數等減甲庚丙辛若所減之倍戊己等則所餘之倍等戊己亦等
七此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與此相等之兩幾何各為比例亦等如甲乙兩幾何等彼幾何丙不論其等大小於甲乙
則甲與丙偕乙與丙各為比例必等即丙與甲偕丙與乙各為比例亦等
八大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大於小與他之比例而他與小之比例大於他與大之比例如甲大乙小又有丙不論其等大小於甲乙則甲與丙之比例大於乙與丙之比例
丙與乙亦大於丙與甲
九兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等如甲乙兩幾何各與丙為比例等或丙幾
何與甲與乙各為比例等則甲與乙必等
十彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大於彼與他之比例則此幾何大於彼他幾何與彼幾何之比例大於他與此之比例則彼幾何小於此如甲乙兩幾何又有他幾何丙若甲與丙之比例大
於乙與丙則甲大於乙若丙與乙之比例大於丙與甲則乙小於甲
十一此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比例與此兩幾何之比例亦等如甲乙偕丙丁之比例各與戊己之比例等則甲乙
與丙丁之比例亦等
十二數幾何所為比例皆等則並前率與並後率之比例若各前率與各後率之比例如甲乙丙丁戊己數幾何所為比例皆等者甲與乙若丙與丁丙與丁若戊與己也則甲丙戊諸前率並與
乙丁己諸後率並之比例若甲與乙丙與丁戊與己各前各後之比例也
十三數幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第三與四之比例大於第五與六之比例則第一與二之比例亦大於第五與六之
比例如甲〈一〉與乙〈二〉之比例若丙〈三〉與丁〈四〉而丙丁之比例大於戊〈五〉與己〈六〉則甲乙之比例亦大於戊己十四四幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第一大於三則第二亦大於四第一或等小於三則第二亦等小於三
十五兩分之比例與兩多分並之比例等如甲與乙同任倍之為丙丁為戊己則丙丁與戊己之比例若甲與乙
十六四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等如甲乙丙丁四幾何甲與乙之比例若丙與丁更推之則甲與丙之比例亦
若乙與丁
十七相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等如甲乙合丁乙丙戊合己戊其甲乙與丁乙之比例若丙戊與己戊分之甲丁與丁乙亦若
丙己與己戊
十八兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等此即反前題之說也
十九兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例等則分餘之比例與兩全之比例亦等如甲乙全與丙丁全之比例若截甲戊與丙己則餘戊乙與己丁之比例亦若甲乙與丙丁又甲乙
與戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與丙己也
二十有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大於第三則第四亦大於第六第一或等小於第三則第四亦等小於第六如甲乙丙三幾何丁戊己三幾何
其甲與乙之比例若丁與戊乙與丙
之比例若戊與己如甲大於丙丁亦
大於己甲丙等丁己亦等甲小於丙
丁亦小於己
二十一有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之若第一幾何大於第三則第四亦大於第六第
一或等小於第三則第四亦等小於
第六如甲乙丙三幾何丁戊己三幾
何相為連比例不序不序者甲與乙
若戊與己乙與丙若丁與戊也以平理推之若甲大於於丙丁亦大於己甲丙等丁己亦等甲小於丙丁亦小於己
二十二有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以平理推如有甲乙丙又有丁戊己而甲與乙之比例若丁與戊乙與丙若戊與己
以平理推甲與丙之比例若丁與己
二十三若干幾何又若干幾何相為連比例而錯亦以平理推如甲乙丙又丁戊己相為連比例而錯者甲與乙若戊與己乙與丙若丁與戊以平理推甲與丙之比例亦若丁與己
二十四凡第一與二幾何之比例若第三與四幾何之比例而第五與二之比例若第六與四則第一第五並與二之比例若第三第六並與四如甲乙〈一〉與丙〈二〉若丁戊〈三〉與己〈四〉而乙庚〈五〉與
丙若戊辛〈六〉與己則甲乙乙庚並與丙若丁戊戊辛並與己
二十五四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何並大於餘兩幾何並如甲與乙若丙與丁甲最大丁最小則甲與丁並大於丙與乙並也
二十六第一與二之比例大於第三與四之比例反之則第二與一之比例小於第四與三之比例如甲〈一〉與乙〈二〉之比例大於丙〈三〉與丁〈四〉反
之則乙與甲之比例小於丁與丙
二十七第一與二之比例大於第三與四之比例更之則第一與三之比例亦大於第二與四之比例如甲〈一〉與乙〈二〉之比例大於丙〈三〉與丁〈四〉
更之則甲與丙之比例亦大於乙與丁
二十八第一與二之比例大於第三與四之比例合之則第一第二並與二之比例亦大於第三第四並與四之比例如甲乙〈一〉與乙丙〈二〉之比例大於丁戊三與戊己〈四〉合之則甲丙與乙丙之比例亦大
於丁己與戊己
二十九第一合第二與二之比例大於第三合第四與四之比例分之則第一與二之比例亦大於第三與四之比例此反前題之說也
三十第一合第二與二之比例大於第三合第四與四之比例轉之則第一合第二與一之比例小於第三合第四與三之比例如甲丙與乙丙之比例大於丁己與戊己轉之則甲丙與甲乙之比例小於
丁己於丁戊
三十一此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大於彼第一與二之比例此第二與三之比例大於彼第二與三之比例如是序者以平理推則此第一與三之比例亦大於彼第一與三之比
例如甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙之比例大於丁與戊乙與丙之比例大於戊與己如是序者以平理推則甲與丙之比例亦大於丁與己
三十二此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大於彼第二與三之比例此第二與三之比例大於彼第一與二之比例如是錯者以平理推則此第一與三之比例亦大於彼第一與三之比例如此甲乙丙彼丁戊己而甲與乙之比例大於戊與
己乙與丙之比例大於丁與戊如是錯者以平理推則甲與丙之比例亦大於丁與己
三十三此全與彼全之比例大於此全截分與彼全截分之比例則此全分餘與彼全分餘之比例大於此全與彼全之比例如甲乙全與丙丁全之比例大於兩截分甲戊與丙己則兩分餘戊乙與
己丁之比例大於甲乙與丙丁
三十四若干幾何又有若干幾何其數等而此第一與彼第一之比例大於此第二與彼第二之比例此第二與彼第二之比例大於此第三與彼第三之比例以後俱如是則此並與彼並之比例大於此末與彼末之比例亦大於此並減第一與彼並減第一之比例而小於此第一與彼第一之比例如甲乙丙又丁戊己其甲與丁之比例大於乙與戊乙與戊之比例大於丙與己則甲乙丙並與丁戊己並之比例
大於丙與己亦大於乙丙並與戊己並但小於甲與丁也
通曰比稱數等者是數等也凡稱比例等者非數等也數不等而比例等也
論線面之比例
一等髙之三角形方形自相與為比例與其底之比例等如甲乙丙丁戊己兩三角形等髙其底乙丙戊己如庚丙戊辛兩方形等髙其底乙丙戊己則甲乙丙與丁戊己之比例庚丙與戊辛之比例皆若
乙丙與戊己
又甲乙丙與丁戊己兩角形甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形其底乙丙與戊己
等則甲乙丙與丁戊己兩角形之比例甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形之比例皆若甲壬與丁癸之髙之比例也
二三角形任依一邊作平行線即此線分兩餘邊以為比例必等三角形內有一邊分兩邊以為比例而等即此線與餘邊為平行如甲乙丙角形作丁戊與乙丙平行線於形內則甲丁與丁乙之比例若甲戊與戊丙反言之甲丁與丁乙甲戊與戊丙比例若
等則丁戊與乙丙兩線必平行
三三角形任以直線分一角為兩平分而分對角邊為兩分則兩分之比例若餘兩邊之比例三角形分角之線所分對角邊之比例若餘兩邊則所分角為兩平分如甲乙丙角形以甲丁線分乙甲丙角
為兩平分則乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲丙反言亦可
四凡等角三角形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邊為相似之邊如甲乙丙丁丙戊兩角形各角俱等則甲乙與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲丙若丁丙與丁戊甲丙
與丙乙若丁戊與戊丙而每對等角之邊各相似相似者謂各前各後率各對本形之相當等角也
又凡角形內之直線如丁戊與乙丙平行則截一分之甲丁戊角形必與甲乙丙全角形相似又甲乙丙角形內作丁戊線與乙丙平行於乙丙邊任取己㸃向甲角作線則乙己與己丙之
比例若丁庚與庚戊
五兩三角形其各兩邊之比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等此反前題之說也
六兩三角形之一角等而等角旁之各兩邊比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等如兩角形之乙與戊兩角等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己則餘角丙與己甲與丁俱等
七兩三角形之第一角等而第二相當角各兩旁之邊比例等其第三相當角或俱小於直角或俱不小於直角即兩形為等角形而對各相似邊之角各等如兩角形之甲與丁角等而第二相當角如丙角兩旁之甲丙丙乙兩邊偕己角兩旁之丁
己己戊兩邊比例等其第三之相當角如乙與戊或俱小俱不小於直角則丙角與己等乙角與戊等
八直角三邊形從直角向對邊作一垂線分本形為兩直角三邊形即兩形皆與全形相似亦自相似如甲乙丙直角三邊形從乙甲丙直角作丁垂線則所分甲丁丙甲丁乙兩三邊形皆與全形相似亦
自相似同直角也
又從直角作垂線即此線為兩分對邊線比例之中率而直角旁兩邊各為對角全邊與同方分邊比例之中率也
九一直線求截所取之分如甲乙線欲取三分之一先從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也次作己乙直線末作丁庚線與己乙平行即甲庚為甲
乙三分之一
十有直線求截各分如所設之截分如甲乙線先任作甲丙線又作丙乙線相聨乃任分於丁於戊即從丁作丁己從戊作戊庚皆與丙乙平行即分
甲乙線於己於庚若甲丙之分於丁於戊又法如後圖甲乙線求五平分任作丙乙線次於乙丙上任取一㸃作丁戊線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己己庚庚辛辛壬壬癸令小於甲乙次作甲癸子線再作子壬子辛子庚子己四線各引長之即分甲乙於丑於寅於夘於辰為五平分也又法從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分次用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸
辛壬四線即分甲乙於午於辰於卯於寅為五平分又法先作丙丁戊己兩平行線任平分若干格今欲分甲線為五平分即觀甲線之度
以一角牴戊一角牴庚辛線如長於庚即漸移之至壬而合即戊壬之分為甲線之分
十一兩直線求別作一線相與為連比例如甲乙甲丙兩線而甲乙與甲丙之比例若甲丙與他線也先引甲乙為乙丁與甲丙等次作丙乙線次作
丁戊線與丙乙平行次引甲丙至戊即丙戊線為所求又法以甲乙乙丙兩線別作甲乙丙直角次以甲丙線聨之次作丙丁為甲丙之垂線末引甲
乙至丁即乙丁線為所求
十二三直線求別作一線相與為斷比例如甲乙乙丙甲丁三線而甲乙與乙丙之比例若甲丁與他線也先以甲乙乙丙作一直線為甲丙以甲丁線任作甲角次作丁乙線次作丙戊線與丁乙平行次
引甲丁至戊即丁戊線為所求
十三兩直線求別作一線為連比例之中率如甲乙乙丙兩線求甲乙與他線之比例若他線與乙丙也先以兩線作一直線為甲丙次兩平分於戊
次以戊為心甲丙為界作半圜次從乙至圜界作乙丁垂線即乙丁線為中率也
又凡半圜內之垂線皆為兩分徑線之中率線也又甲乙線大於甲丙二倍以上求兩分甲乙而以甲丙為中率者先以甲乙甲丙作丙甲乙直
角平分甲乙於丁以丁為心甲乙為界作半圜次作丙戊與甲乙平行遇圜界於戊次作戊己垂線分甲乙於己即戊己為甲己己乙兩分之中率戊己與甲丙等也通曰凡半圜外之切線自等半徑以下者皆為全徑兩分之中率也
十四兩平行方形等一角又等即等角旁之兩邊為互相視之邊兩平行方形之一角等而等角旁兩邊為互相視之邊即兩形等如甲乙丙丁乙戊己庚兩平行方形等甲乙丙戊己庚兩角又等此
兩角各兩旁之兩邊甲乙與乙庚之比例若戊乙與乙丙也反言之亦可
十五相等兩三角形之一角等即等角旁之各兩邊互相視兩三角形之一角等而等角旁之各兩邊互相視即兩三角形等如甲乙丙乙丁戊兩角形等兩乙角又等此等角旁之各兩邊甲乙與乙戊之
比例若丁乙與乙丙也反言之亦可
十六四直線為斷比例即首尾兩線矩內直角形與中兩線矩內直角形等首尾兩線與中兩線兩矩內直角形等即四線為斷比例如甲乙丙丁四線為斷比例甲與乙若丙與丁而戊形係甲丁首
尾兩線矩內直角形己形係乙丙中兩線矩內直角形則戊己兩形必等反言之亦可
十七三直線為連比例即首尾兩線矩內直角形與中線上直角方形等首尾線矩內直角形與中線上直角方形等即三線為連比例如甲乙丙三線為連比例甲與乙若乙與丙而丁形係甲丙首尾兩
線矩內直角形戊形係乙上直角方形則丁戊兩形必等反言之亦可
十八直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等如甲乙線先設丙丁戊己庚形任從一角向各對角各作直線而分本形為若干角形如作己丙己丁分為丙丁己丁己戊丙己庚
三三角形次於甲乙上作甲壬乙角形與丙己丁等角次作乙壬辛與丁己戊等角又作甲壬癸與丙己庚等
角則甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚相
似而體勢等矣凡設多角形俱倣此
又法如設甲乙丙丁戊己形求於庚
線上作相似而體勢等形先引甲乙
至辛甲丑亦然次從甲向角各作直線為甲壬甲癸甲子次於甲乙線上截取甲辛與庚線等不論其在乙內外末作辛壬與乙丙平行作壬癸與丙丁平行作癸子與丁戊平行作子丑與戊己平行即所求
十九相似三角形之比例為其相似邊再加之比例如甲乙丙丁戊己兩角形等角乙與戊丙與己相當之角各等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己則兩形之比例為乙丙與戊己兩邊再加
之比例也
又凡三直線為連比例即第一線上角形與第二線上角形之比例若第一線與第三線之比例也
二十以三角形分相似之多邊直線形則分數必等而相當之各三角形各相似其各相當兩三角形之比例若兩元形之比例為兩相似邊再加之比例如此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸兩多邊直線形其乙甲戊庚己癸兩角等餘相當之各
角俱等而各等角旁各兩邊之比例各等則各以角形分之其分數必等如題所云
又甲線倍大於乙線則甲上方形與乙上方形為四倍大之比例
又凢三直線為連比例其線上多邊形一與二之比例若一與三
二十一兩直線形各與他直線形相似則自相似二十二四直線為斷比例則兩比例線上各任作自相似之直線形亦為斷比例兩比例線上各任作自相似之直線形為斷比例則四直線為斷比例
二十三等角兩平行方形之比例以兩形之各兩邊兩比例相結如甲丙丙己兩平行方形之乙丙丁戊丙庚兩角等則兩比例之前率在此形兩比
例之後率在彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙與丙戊相結也或以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結此乃不同理之比例也
二十四平行線方形之兩角線方形自相似亦與全形相似如甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線任作戊己庚辛兩線與丁丙乙丙平行而與對角
線交相遇於壬則戊庚己辛兩角線方形自相似亦與全形相似
二十五兩直線形求作他直線形與一形相似與一形相等如甲乙兩形先於甲形任取一邊如丙丁上作平行方形與甲等為丙戊次於丁戊邊上作平行方形與乙等而丙丁庚己戊辛
俱為直線也次作壬癸線為丙丁丁庚之中率次於壬癸上作子形與甲相似而與乙等
通曰似者形似也等者容等也體勢等者非容等也二十六平行方形之內減一平行方形其減形與元形相似而體勢等又一角同則減形必依元形之對角線如乙丁形內減戊庚形元形減形相似而體勢等又戊甲庚同角則戊庚形必依乙丁形之對
角線
二十七凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線上之闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕依形必大於此有闕依形如甲乙線平分於丙於半線丙乙上任作丙丁戊乙平行方形
對角線乙丁次作甲乙戊辛滿元線平行方形即甲丁為甲丙半線上之有闕依形丙戊為丙乙半線上之闕形此兩形相似相等體勢又等則甲乙線上凡作有闕依形不滿線者其闕形與丙戊相似而體勢等即甲丙半線上之甲丁有闕依形必大於此有闕依形
二十八一直線求作依線之有闕平行方形與所設直線形等而其闕形與所設平行方形相似其所設直線形不大於半線上所作平行方形與所設平行方形相似者如甲乙線平分於戊於戊乙半線上作戊己庚乙平行方形與丁相似而體勢
等次作甲辛庚乙滿元線平行方形若甲己平行方形與丙等者即得所求甲己依線之有闕平行方形也戊庚闕形也
二十九一直線求作依線之帶餘平行方形與所設直線形等而其餘形與所設平行方形相似如甲乙線平分於戊於戊乙半線上作戊己庚乙平行方形與丁相似別作平行方形與丙及戊庚並相等為辛形又別作平行方形與辛
等又與丁相似為壬癸子丑形乃引己戊至卯與壬丑等引己庚至寅與壬癸等作夘寅平行方形與申等又引甲乙至酉引庚乙至午引午卯至未又作甲未與己卯平行得甲辰帶餘平行方形依甲乙線與丙等而酉午為其餘形與戊庚形相似即與丁相似也
三十有直線求作理分中末線如甲乙線上作甲丙直角方形次依丁甲邊作丁己帶餘平行方形與甲丙形等而甲己為其餘形又與甲丙形相似
則戊己線分甲乙於辛為理分中末線也謂甲乙與甲辛若甲辛與辛乙也
三十一三邊直角形之對直角邊上一形與直角旁邊上兩形若相似而體勢等則一形與兩形並等如甲乙丙三邊直角形乙甲丙為直角於乙丙
上任作直線形為丁於甲乙甲丙上亦作己戊兩形與丁相似而體勢等則丁形與戊乙兩形並必等
通曰此勾股半冪相併與半冪等也
三十二兩三角形此形之兩邊與彼形之兩邊相似而平置兩形成一外角若各相似之各兩邊各平行則其餘各一邊相聨為一直線如甲乙丙丁丙戊兩角形甲乙甲丙邊與丁丙丁戊邊相似則甲乙與甲丙之比例若丁丙與丁戊也試平置兩形令相切
成甲丙丁外角而甲乙與丁丙甲丙與丁戊各平行則乙丙丙戊必一直線
三十三等圜之乗圜分角或在心或在界其各相當兩乗圜角之比例皆若所乗兩圜分之比例而兩分圜形之比例亦若所乗兩圜分之比例如兩圜等其心為丁為辛各任割一圜分為乙丙為己庚其乗圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界者為
乙甲丙己戊庚則乙丙與己庚兩圜分之比例若乙丁丙與己辛庚兩角又乙甲丙與己戊庚兩角之比例若乙丙與己庚又乙丁丁丙兩腰偕乙丙圜分內乙丁丙分圜形與己辛辛庚兩腰偕己庚圜分內己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚
又凡在圜心兩角之比例皆若兩分圜形
又在圜心角與四直角之比例若圜心角所乗圜分與全圜界
増題
一圜與圜為其徑與徑再加之比例如甲乙丙丁戊己兩圜其徑甲丙丁己則甲乙丙與丁戊己為甲丙與丁己再加之比例
又全圜與全圜半圜與半圜相當分與相當分任相與為比例皆等蓋諸比例皆兩徑再加之比例故也又三邊直角形對直角邊為徑所作圜與餘兩邊為徑所作兩圜並等半圜與兩半圜並等圜分與相似兩圜分並等
又三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求各圜之相與為比例者
二直線形求減所命分其所減所存各作形與所設形相似而體勢等如甲形求減三分之一先作丙丁形與甲等與乙相似次任於一邊如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊為三分而取其庚戊
一分從庚作己庚為丙戊之垂線次作己丙己戊兩線次於己丙己戊上作己辛己壬兩形各與乙相似又若於大圜求減所設小圜以圜徑當形邊法如右又依此可作直角方形與初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一為乙壬丙戊初
月形先從乙丙作甲乙丙丁內切圜直角方形次用方形法四平分之即其一為所求方形
三兩直線形求別作一直線形為連比例如甲子兩形先作戊己庚直線形與甲等與子相似以相似兩形之各一邊如戊己乙丙為前率中率
線而求其連比例之末率線為辛壬於辛壬上作辛壬癸形與子丑兩形相似如求
四三直線形求別作一直線形為斷比例如甲丁辛三形先作戊形與甲等與丁相似次以三形之任各一邊如壬癸乙丙己庚求其斷比
例之末率線為寅卯於寅卯上作寅卯辰形與辛相似如求
五兩直線形求別作一形為連比例之中率如甲丁兩形先作戊己庚直線形與甲等與丁相似次求戊己乙丙兩線之中率為辛壬於辛壬上
作辛壬癸形與戊己乙丙上兩形相似即為戊己乙丙兩形之中率又法如後圖甲乙兩形先作丁丙戊己平行線形與甲等次作庚己辛壬平行線形與乙等與丁戊相似以所作兩形己角相聨令
丁己壬戊己庚俱成直線再引各邊成丙子辛癸平行線形即兩餘方形俱為丁戊庚壬兩形之中率
六一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其比例若所設兩幾何之比例此與二題之法相同但多乙丙兩線之比例耳如先取戊己邊兩分之於庚令戊庚與庚己之比
例若乙與丙也餘用前法
七一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其兩分形兩相似邊之比例若所設兩幾何之比
例如甲形求分兩形俱與丁相似其
兩分形兩相似之邊又與乙與丙之
比例相若先以乙丙兩線求其連比例之末率為戊次作己庚辛形與甲等與丁相似次分己辛於壬令己壬與壬辛若乙與戊餘同二題之法
八兩直線形求並一直線形與所設形相似而體勢等如甲乙兩形先作戊丁己形與甲等作己庚辛形與乙等又各與所設丙相似次令兩形
相似之戊己己辛兩邊聨為直角次作戊辛線聨之於戊辛上作戊辛壬形與丙相似即與上兩形並等也又法作一平行方形與甲乙兩形並等又作戊辛壬角形與平行方形等又與丙相似即所求
九圜內兩合線交而相分其所分之線彼此互相視如圜內有甲丙乙丁兩合線交而相分於戊則所分之甲戊戊丙乙戊戊丁為互相視之線謂甲
戊與戊丁若乙戊與戊丙也又甲戊與乙戊若戊丁與戊丙也
通曰兩等線交亦等兩不等線交亦不等
十圜外任取一㸃從㸃出兩直線皆割圜至規內其兩全線與兩規外線彼此互相視若從㸃作一切圜線則必為各割圜全線與其規外線之各中率如任取戊㸃作戊丁戊丙兩割圜線則戊丙與戊丁若戊甲與戊乙又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也或有
戊己切圜線則戊丙偕戊乙矩內直角形與戊己上直角方形等即戊丁偕戊甲亦然
十一兩直線相遇作角從兩腰之各一界互下垂線而每方為兩線一自界至相遇處一自界至垂線則各相對之兩線皆彼此互相視如甲乙丙乙兩線相遇於乙作甲乙丙角從甲作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為鈍角如甲丁丙戊兩垂線至甲乙丙乙之各引出線上而甲戊丙丁交而
相分於乙也若甲乙丙為銳角如甲丁丙戊兩垂線在甲乙丙乙之內交而相分於己也則兩圖之甲乙乙戊丙乙乙丁皆互相視者謂甲乙與乙丙若丁乙與乙戊又甲乙與丁乙若乙丙與乙戊也
十二平行線形內兩直線與兩邊平行相交而分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆等如甲丙平行線形內戊己庚辛兩線與甲丁丁丙各平行而交於壬則所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形
任相與為比例皆等
十三凡四邊形之對角兩線交而相分其所分四三角形任相與為比例皆等如甲乙丙丁四邊形之甲丙乙丁兩對角線交相分於戊則所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆
等
十四三角形任於一邊任取一㸃從㸃求作一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾何之比例如甲乙丙角形任於一邊如乙丙上任取一㸃求丁上作線分本形為兩形其兩形之比例若所設戊與己也先兩分乙丙於庚令乙庚與庚丙之
比例若戊與己其庚與丁若同㸃即作丁甲線則乙丁甲與丁丙甲兩角形之比例若戊與己也假若庚㸃在丁丙之內亦作丁甲線從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若戊與己也又若庚㸃在乙丁之內亦作丁甲線從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛相聫即丁辛線分本形為兩形其比例若戊與己也
又凡角形任於一邊任取一㸃從㸃求減命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍數每少於命分之一如求減四分之一即作三倍大之比例減五分之一即作四倍大之比例也則全形與所減分之比例其倍數若命分之數也
十五一直線形求別作一直線形相似而體勢等其小大之比例如所設兩幾何之比例如甲形先以所設乙丙及任用甲之一邊如丁戊三線求其斷比例之末率為己次求丁戊及己之中率線為
庚辛乃於庚辛上作壬形與甲相似甲與壬之比例若乙與丙
用此法可依此直線形加作兩倍大三四五倍以至無窮之他形亦可減作二分之一三四五分之一以至無窮之他形其此形與他形皆相似而體勢等也如甲乙丙丁直角方形求別作五倍大之他形先以甲乙線引長之以甲乙為度截取五分至戊令乙至戊五倍大於甲乙也次以甲戊兩平
分於己次以己為心甲戊為界作甲庚戊半圜其乙丙線引之至圜界於庚即乙庚為所求方形之一邊也再作庚辛壬乙直角方形即五倍大於甲丙
又凡甲乙上不論何等與乙庚上形相似而體勢等者其乙庚上形皆五倍大於甲乙上形相加相減俱倣此以至無窮
十六諸三角形求作內切直角方形如甲乙丙銳角形
先從甲角作甲丁為乙丙之垂線次
以甲丁線兩分於戊令甲戊與戊丁
之比例若甲丁與乙丙末從戊作己
庚線與乙丙平行從己從庚作己辛庚壬兩線皆與戊丁平行即得己壬形如所求若直角鈍角則從直角甲鈍角甲作垂線餘法同前
又若直角三邊形求依乙角作內切直角方形則以垂線甲乙兩分於丁令甲丁與丁乙之比
例若甲乙與乙丙次從丁作丁戊線與乙丙平行從戊作戊己線與甲乙平行即得丁己形如求
通曰西學莫精於象數象數莫精於幾何余初讀三過不解忽秉燭玩之竟夜而悟明日質諸穆師極𫎇許可凡制器尚象開物成務以前民用以利出入盡乎此矣故約而記之於此
數度衍附錄
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙>
欽定四庫全書 子部六
勾股引𫎇 天文算法類二〈算書之屬〉提要
〈臣〉等謹案勾股引𫎇五卷
國朝陳訏撰訏字言楊海寧人由貢生官淳安縣教諭是書成於康熈六十一年壬寅首載加減乗除之法雜引諸書如加法則從同文算指列位自左而右減法則從梅文鼎筆算列位自上而下易橫為直乗法則用程大位算法統宗鋪地錦法畫格為界除法則用梅文鼎籌算直書列位至定位則又用西人橫書之式葢兼採諸法故例不畫一至開帶縱平方但列較數而不列和數開帶縱立方但列帶一縱而不列帶兩縱相同及帶兩縱不同皆為未備所論勾股諸法謂勾股和自乗方與絃積相減所餘之積轉減積為股較不知以勾股和自乗積與倍積相減所餘為勾股較積不得為勾股較也又謂勾股相乗以勾股較除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾積股相乗矣則用此一勾股相乗之積而勾股和與勾股較除之皆得容方無是理也又謂勾股相乗之積為容方者四斜內為容方者兩不知勾股形內以為界止容一方試以勾三股四之容方積較尚不及勾股積四分之一而股愈長則容方愈小者更無論矣又謂勾股之長恆兩倍於容圓之周不知平圓積以半周除之而得半徑勾股相乗積以總和除而得半徑根既不同不得牽混為一也如斯之類亦多未協其三角法則全録梅文鼎平三角舉要畧加詮釋所用八線小表以餘線可以正正切正割三線加減得之故不備列其半徑止用十萬亦測量全義所載泰西之舊表無所發明然算法精㣲猝不易得其門徑此書由淺入深循途開示於初學亦不為無功觀其名以引𫎇宗㫖可見録存其説亦足為發軔之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上
總纂官〈臣〉紀昀〈臣〉陸錫熊〈臣〉孫士毅
總校官〈臣〉陸 費 墀
欽定四庫全書
句股引𫎇
海寜 陳訏 撰
凡例
六藝數居其一句股又九章之一古周髀積羃今三角八線皆句股法也但不得其門每多望洋是編如𫎇童初識之無漸至握管作文或析其數或明其理為入門之始故名勾股引𫎇
自籌算法行珠算可廢至専用筆算籌亦似可不用宣城梅定九先生有筆算一書備極諸用然其要不過加減乘除四字今止發其端餘不辭費葢全帙中皆加減乗除故也
籌算剙自逺西較珠算最為雅便但定位置○殊費推𫾣今有訣法有假如簡明易曉庶無悞用並列製籌之法用時即不必𢹂籌便楮可代
數學之有開方為勾股之所必需平方易立方難今不厭其詳務使開卷易明至𢃄縱方雖於勾股法不恆用然法尤㣲奧不可不知故併載焉
勾股為測量諸法之原變化神妙不外叅互一定之數今載唐荊川先生論李涼菴水部論為註釋數條足以括其變化有志之士亦在熟之而已
測量法西刻備有成書實與中法無異但文義簡奧是編顯淺明晰且先列中法後列西法知中法自有勾股以來未嘗禮失而求諸野但製器之巧當推西法耳
三率為西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附測量之末三角法之前一覽瞭然俾習者易如反掌
三角法即測量全義中所載測三角直線法至梅刻三角舉要尤明顯矣今備錄梅本而於取邊取線之所以然或附管見或補圖明之
三角八線必檢表得度雖弧三角〈即西法三角曲線〉與平三角㣲有不同未可據平三角遽為步厯之準然算三角若不得表將何印証但八線表未能備刻今附八線小表雖具體而微然與八線全表無異
元李欒城測圓海鏡明顧箬溪為之注釋宣城梅定九先生謂止容圓一術引而伸之遂如五花八門想昔時視為絶學今昌運作人算學設館肄習然
天府之書無從窺見即梅刻諸書亦購覓甚難是編不辭固陋視李顧二書似各法具備且由淺入深人易曉悉譬之江河濫觴之始可涓涓不已以至於海雲爾
欽定四庫全書
句股引𫎇卷一
海寜 陳訏 撰
筆算
〈古用珠算今資毫穎凡寫法俱左為大右為小其法不外加減乗除其用視籌格〉
加
如先有幾百幾十尺〈舉尺以例其餘〉又幾百幾十幾尺又幾十幾尺俱平寫寫完用橫畫為界併之從末小位起每留零數寫於本位每滿十數即於前位加一㸃其前位仝先所寫數又所加一㸃直下併之留零數進十數如前法一路併向左去凡滿十者不論或百或千或萬總之左位比本位多十倍俱稱為十也假如一百三十四尺 又九十六尺 又一百七十八尺
四六八八 〈從末位併起如四六八為一十八進一㸃於前左位留八零數寫本位〉三九七○ 〈此三九七同所進一㸃併之得二十進兩㸃於前左位而本位無零置○〉一 一四 〈此首位有一一又連兩㸃併之得四竟寫四字於下〉右共四百○八尺〈從左首位至末小位〉
減
先從左大位減至右末小位
假如四百○八尺先減一百七十八尺〈存二百三十尺〉
八 四
○ 三四三
四三二一
又減九十六尺〈存一百三十四尺如右〉
如再減若干亦同此法
乗
有自乗如以一百七十八乗一百七十八有相乗如以一百七十八乗九十六之類依位數畫或方或長格各管所乗之位為縱橫式俱左為大右為小又每格斜界從末小位界起為斜式亦左為大右為小斜界之末格為最小之位無可併進其餘斜界一路併去留零數於本位而以滿一十者進一㸃於前滿二十者進二㸃如前加法倒併至左寫完看末位應是尺是寸逆推而上即得所乗之萬千百十
假如自乗以一百七十八乗一百七十八
先寫一七八於上〈平寫〉再寫一七八於側〈直寫〉依平位側位畫縱橫格〈或平位多畫長方格或側位多畫直方格〉再畫斜格〈末小位起〉
先從右邊末位乗起以末位之八乗平寫之末位八得六十四寫六字於末位斜格之左寫四字於右
再以右邊之八乗平寫中位之七得五十六寫五字於下格斜界之左寫六字於右
再以右邊之八乗平寫首位之一得八寫八字於下格斜界之右〈以上右邊之八乘完〉
次以右邊中位之七乗平寫末位之八得五十六寫五字於中位斜格之左寫六字於右次以右邊之七乗平寫中位之七得四十九寫四字於中格斜界之左寫九字於右
次以右邊中位之七乗平寫之一得一七如七寫七字於中格斜界之右〈以上右邊之七乗完〉又以右邊之一乗平寫末位之八得八寫八字於上位斜格之右
次以右邊之一乗平寫中位之七得七寫七字於上位斜格之右
次以右邊之一乗平寫首位之一得一寫一字於上位斜格之右〈以上右邊之一乗完〉
各位俱乗畢將斜界各數併之圖具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺從尺逆推而上至三字是萬位得三萬一千六百八十四尺〈若以尺乗寸則末位之四是四寸凡兩錢斤之類俱同此〉
假如相乗圖算俱同自乗
除
除與減相似而不同猶加與乗亦相似而不同葢加減止用小九數如二與三為五而乗與除則兩字合呼如二三得六也除即九歸法列籌除實西法始創先列籌式如左
籌算〈附籌式〉
〈籌每副九根每根九格左為大數右為小數以第一格右邊字為某號籌如一字即為一號籌二字即為二號籌算時照為法之數列籌從左而右看列實數近少除之其每籌之背俱合九數面一背必八面二背必七第九號籌之背則虛界斜格無字為法數之○用其除法用法另詳〉
右每籌九格每格已備所乘之數如一號籌一
一如一 一二如二如第二號籌則第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字寫在斜格之左為大數第六格即二六得一十二以一字寫斜格之左二字寫斜格之右凡籌俱左為大數右為小數也其列籌亦分左大右小如法數或係一十九則一號籌列左九號籌列右也凡兩籌相並成斜方格其斜方格內之數須合併算滿十即進於左位而留零數於本位其在斜方外者不可合也
除取近少
除即珠算之歸法如以物求價物為法照物之數列籌價為實共若干價橫寫數目〈亦左邊起寫至右邉〉視列籌某格近少除之〈如在第一格除即寫一字如在第二格除即寫二字為商除之數〉所以取近少者蓋以法除實必非一除可盡故留餘實以便再除
假如做工三百八十四丈用銀三千五百七十一兩二錢求每丈該銀若干以做工為法列三八四籌以銀為實橫寫三五七一二取格之近少除之
右列三八四號籌除實視每格自一格至八格
俱少惟九格之 三四五六與實近少除之因在第九格為初商九餘實一一五二視列籌第三格之
〈為十一進一㸃於前〉一一五二除實盡為次商三按初商之九寫於實首位者因在三號籌左邊之字除起〈左邊是大數即是十位〉遇十在本身故第一次除寫實之第一位所謂在本身也
右工每丈該銀九兩三錢
按定位〈詳後〉凡法小實大者從實首順尋法首而法前得令如工三百較之銀三千是為法小實大應實上順尋法首今實之第二位是百即為法之首位而法前得令則實之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九兩蓋令者兩斤尺石之所由起也九既為兩則三為錢無疑故貴定位也詳後法
置○〈開方置○不用此法〉
逢單須進位 遇十在本身
退位單仍十 兩一位還升
各籌俱右為單位左為十位其左邊無字而兩籌斜格相併如五與六併為一十一之類則進於十位亦謂之十也此進位之位與本身之身俱指所商之數應寫實數上之第幾位如初商在第一位次商在二位之類為一定之位而進位則從本位而進於左位也依此寫法有不相連接中間空一位者是商數大小相懸應置○也
退位單仍十句即補首句逢單須進位之所未盡蓋如同是籌上之單位除實而所除之實位或有用退位除者則雖在籌右格之單位除仍作遇十在本身其所寫商數初商在首位次商在次位也
假如實一十一兩七錢二分 法二十三石〈列籌〉列三號三號籌視五格至九格俱浮於實惟退位除則第四格 之九二是零數與一之大數相近故從實首除籌之一十為九除十而於次位還一則所除乃在第二位而書商數於實首位是為單仍十耳然次位除起而實首書商數則依然逢單進位也
兩一位還升句承上退位句以申明逢單須進位也謂惟退位除者雖單亦同十耳若實首是一法首亦是一而恰用第一格除實則逢單應書商數於實首一之前位上葢總以籌之左大右小為逢單遇十故前句是退位除者雖在單格亦作十論而在本身置商此句兩一是雖或一十一百而在籌格之單位除者亦作單論而在本身前一位置商也
假如實一百五十七兩 法一百二十六石列一二六籌在第一格右小位除實則應置商於實本位之前一位
若法實俱是一在左大格除者不宜進位置商假如實一七八二 法一八
列一八籌初次商俱在九格除實俱籌上併進左大位是十位是遇十在本身其商數不宜進位也
右依前法寫商數而中間空缺不接連者即○位也
定位
法小實大順尋法首而於法前得令
假如人參三十五兩用價共二百二十七兩五錢
求每參一兩價若干〈以銀為實 以參為法〉
五 列三號五號籌〈此即參為法〉除實
七 籌第六格除二十一是遇十在本身寫
五 二 六字於實之第一位上餘實一七五除第六 二 五格亦遇十在本身寫五字於實之第
二位上〈除盡〉
順尋法首者如上所列實二百二十七兩五錢人參為法是三十五兩則十為法首而實之第二位是十為法首位直上所寫商數之五即法首位而法前得令令者兩也實首直上之六為法前法前得令為六兩六既為兩則五為錢矣答曰每參一兩價銀六兩五錢
法大實小逆尋法首而於法前得令
假如堤工三百五十用銀二十二兩七錢五分求每一工該銀若干〈以銀為實以工為法〉
列三號五號籌除實同前
法之首是百實之首乃是十是為法大實小當實首十逆推法首百則實之前位即法首位而實前第二位是法前位以之得令為兩而順逓推下則初商之六乃是分位次商之五乃是釐矣答曰每人一工該銀六分五釐
又如法愈大實愈小則實前逆尋法首或二○三四○法前得令仝前
假如隄三千四百工共銀一十五兩三錢求每工該銀若干〈以銀為實以工為法〉
實 列三號四號籌除實
三 初商四次商五俱籌上左邊除實商數各依遇十在本身寫法數千銀數十為法大實小從實首十數逆尋法首則實前二位為法首而又於法前得令起兩退右挨數則實首上之四為四釐挨右之五為五毫矣
答曰每工四釐五毫
法實等者實首即為法首而於法前得令
法實相等如同是千同是百之類
命分
凡除至單位而止故曰實如法而一所謂一者即單也其除之至單位仍有不盡之餘實則以分命之其一除之至盡如錢分釐毫絲忽以次求之其一以法數為分母不盡者為分子命為幾分之幾
假如十九人分銀二百五十四兩依商除法已各該一十七兩矣不盡七兩命之曰十九分兩之七〈葢以不盡之七剖為七個十九分得一百三十三分以十九人分之各得七分併整數零數為每人分得十七兩○十九分兩之七〉
附約法〈厯法用之便於積算餘可不必〉
凡命分可約者約之古法曰可半者半之不可半者以少減多更相減損求其有等者以等約之西法謂之紐數以等數約母子數則皆除盡〈如八十一人分銀二十七兩不能各得一兩並不能各得五錢依命分法命為八十一分兩之二十七今以法約之為三之一葢八十一是三個二十七若剖兩為八十一分即各得二十七分是三之一也〉
〈均分法曰置分母八十一用逓減法以分子二十七減之餘五十四復以二十七減之餘仍二十七兩數相同是有等也即用此二十七轉除分母得三除分子得一如此不用細分但以每兩均剖為三而各得其一分即三人共一兩也〉
〈若分子是五十四則用轉減法以子五十四轉減母八十一餘二十七又以母餘二十七轉減子五十四亦餘二十七是相等也即以此等數為法除母得三除子五四得二是為約得三之二又㨗法八十一乃九九相乗之數二十七乃三九相乗之數皆九也即可為紐數約之為九分兩之三〉
當位
籌算求兩斤尺石之類竟除近少或即除盡不用當位法惟開方每商後應取兩廉約數故如餘實一百先取長廉時雖或籌之第一格是一百寜可取第九格除九十以便取長廉也今開方依西法用籌故先附此
右各法俱籌算入門之始從此開方句股三角握算推步無慮紊悞矣〈惟開方置○與此不同〉
句股引𫎇卷一
欽定四庫全書
句股引𫎇卷二
海寜 陳訏 撰
開方
開方為句股積冪測量步算之源其法取積實歸除使均齊方正知每邊得若干數其用籌除實視某格為某商若干等類俱如前法有平方大籌立方大籌置廉用散籌
平方開面立方開體皆開除所積之實平方則開平面所積之方故大籌每格止一自乗立方則開立體所積之方故大籌每格其右邊直行先平列一自乘數其中左兩行雖有斜格而平行每格又以自乗之數與每格之一二三四五六七八九相乗蓋如圍棋子平方則四邊十九而三百六十一為十九個十九也立方則十九個三百六十一也又平方立方俱以第一次大籌除實之格為方根後各依法加廉其大籌所除之格其實即隅積其平行之數即隅數且隅積即在平廉約法中並列並除此天然之巧也凡測算雖極逺極大其所測中心止憑一㸃其逺近多少相距亦止憑一㸃從此㸃至彼㸃則有線線即有所積之面面即有所積之體故平方開面立方開體皆因其所積之面與體以求其所距之線與所測之㸃為句股三角之用也〈此所測之㸃非開方㸃定開位之㸃〉
開平方法
先㸃定開位從末單位㸃起〈如積實尾無單位者於尾位置○㸃起〉隔一位㸃以至實首一㸃一開二㸃二開開不盡者命分
一㸃者根必單二㸃者根必十〈俱以次増〉先從左大數視平方籌相近之格除之開數定則方根之十百千萬亦定矣〈立方同〉
凡初商除至前第一㸃止次商除至前第二㸃止如次商㸃位前原止二位而籌格有三位不得除至第二㸃後便須置○於次商為次商○三商以下皆然
初商法
平方籌取近少除實至前第一㸃止在第幾格即為初商若干此第一次除之商數名為方根
㸃前無餘者從籌上一二三格之單位除㸃前有餘者從籌上四五六七八九格之雙位除如實少於籌者用退位法除
次商法
以初商所得數倍之為廉以所倍之廉數列籌於平方籌左取某格近少除之為次商若干
三商法
以次商所得數倍之為廉列籌於次商籌之右平方籌之左除實同前法〈各商同此〉
每商置○定位三則〈開方定位依㸃逓加不用順尋逆尋法立方同〉
三商式
如列實三㸃為三開〈從末零位㸃起每開一位〉㸃前無餘該大籌單位除實三格內除九為初商三寫三字在首㸃積實之
二 上
三 九 次商應倍初商之三列六號籌為廉除○ 實若取近少莫如三格但次㸃位前實止有二位而籌有三位不得除至次㸃位後便須置○是為次商得○寫○於次㸃位積實上隔○籌於平方籌左三商既列六號籌○籌於平方籌之左便應統取近少除至末㸃位止今四格恰除盡為三商得四寫四於末㸃位積實之上
三商根必百故初商之三為三百
四商式
㸃前無餘大籌單位除九初商得三書商數及置○與三商俱同前法
四商倍三商之四列八號籌於大籌之左及前六號籌與○籌之右四格除盡
為四商四
四商根必千故初商之三為三千
四商○○式
初商視平方籌取三格除九為初商得三次商倍方根列六號籌於表左應除至次㸃位止但次㸃前實止一位而法之一格兩位下俱三位便須置○隔○籌於前列籌右平方籌左為次商得○
三商應除至三㸃位止但三㸃前止三位取近少在三格法有四位便須置○隔〈○〉籌於前列籌右平方籌左為三商得〈○〉四商四格恰除盡為四商得四四商根必千故初商之三為三千
加籌
凡商除之後如兩廉必倍前商之數如前商一加二號籌前商二加四號籌之類此易明惟前商五倍之加一十則加一號○號兩籌葢五加一籌○籌方是一十若不𢃄○籌則一為單數矣若前商之廉是十數又當為升籌
升籌
凡商除之後如有加兩籌者當用升籌法葢同位則升也如平方三開其初商二是為二百次商倍之為廉是四百應列四號籌矣其次商六是為六十三商倍之為廉是一百二十似應再列一號二號籌於前商四號籌之右然從四號籌挨次而來似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故應將一百與四百併之為五百連二十為五百二十升作五二籌列於平方籌左而前商之四號籌去之
隔籌
每商必加倍數籌以為廉法故前商既置○矣亦須隔○籌於前列籌之右以為後商之廉法而取近少除實為後商其前列籌固倍數也而○不必倍者葢置一○只應隔一○籌耳〈立方每隔○○兩籌與平方異〉
命分
見前籌算法視末商籌之第一格為若干分視所餘不盡之實命為若干分之若干分
如餘積五十七如末商兩廉列八號四號籌〈連前商籌在內〉視第一格八四一命為八百四十一分之五百七十分葢第一格是兩廉每加一分之全數故止視第一格而命其全數與現在不盡之分也
求分杪
凡有開不盡者或不命分欲知若干分杪於餘實下增兩○位為○○則多開一位而分杪可得矣〈平方隔一位㸃是每開兩位故増○○〉
右皆開平方法其平方帶縱者開方附左
平方𢃄縱
列積實依開方商除法每商除實得商數以乘縱數除餘實其次商倍初商數除實以次商數乗縱數除餘實但倍商不倍縱餘商同法合每商之數為闊〈即正方〉加縱數即𢃄縱之長方
如縱數有比例可求者先以比例分其積而餘積以平方開之得闊因以知其長
開方得闊加縱式
假如長田六百二十四步 闊不及長二步
初商得二除四百步 又以商數二乗縱二步〈二二如四〉除四十步 餘一百八十四步又倍初商列四號籌次商四格除一百七十六步 又以商數四乘縱二步〈二四如八〉 共一百八十四步除盡為次商四
開得闊二十四步 加縱二步為長二十六步
比例分積式
假如直田積四百五十步 長多闊一倍法平分其積得二百二十五步平方開之得闊一十五步倍之得三十步即長
假如長田積二百五十二步 長比闊多四分〈分母〉之三〈分子〉
法以分子三加分母四共七為法以分母四乗積為實法除實得一百四十四步開方得闊一十二步又以闊一十二步七因四除之得二十一步為長〈長比闊多九步較之十二步為四分之三〉
開立方法
從末單位㸃起每㸃隔二位視列實位一㸃一開二㸃二開餘同
凡一㸃者方根必單二㸃者方根必十以次而増先從列實左大位視立方籌取近少除之
㸃前無餘除一二格之單位㸃前餘一除三四格之十位㸃前餘二除五六七八九之百位
立方根單其積實必從單至幾百止如九之所積其平面自乗得八十一而立體則九與八十一相乗得七百二十九故根單必積實至百位而單位㸃起隔兩位至百也
立方根十其積實必從幾千至幾萬幾十萬止如九十之所積其平面自乗得八千一百而立體則九十與八千一百相乗得七十二萬九千故根十其積實必從千位萬位至十萬位止而㸃亦隔兩位也餘以類推
立方積實必得三位故一㸃一開二㸃二開而開數定於此矣一㸃者根必單二㸃者根必十方根定於此矣初商除至左首㸃位止次商除至次㸃位止置○肇於此矣若尾位列實止於十則實右補一○列實止於百則實右補○○以便從單位㸃起若列實不至單位止則㸃位一錯而開數方根置○俱因之以錯矣故列至單位開方之異於籌除者在此
初商
法同平方視列實用立方大籌視單位十位百位依法取近少除之至前首㸃位止在第幾格為初商若干為方根
次商
以初商方根自之〈即自乗〉又三倍自乗之實得若干列某號籌於立方籌之左為平廉法
再以初商方根竟三倍之列某號籌於立方籌之右為長廉法
視平廉籌及大籌某格近少列為平廉約數
將平廉約數在某格之隅數〈即大籌兩行平寫之數〉乗立方大籌右之長廉〈如九格之八一為隅數即將長廉籌八格一格所列之數依大小次併之〉得若干數為長廉約法
併平廉長廉兩約數若干以減初商所餘之實至次㸃位止為次商若干
如併兩廉數浮於實須退位改商如位多於實應置○不得除至次㸃位後
右立方有平廉三長廉三與平方異
三商
去前商左右列籌
以初商兩商自之又三倍之為平廉列籌於立方籌左
再以初次兩商竟三倍之為長廉列籌於立方籌右如前商法除至三㸃位止
四商〈以下皆同〉
去前商籌依法列平廉長廉籌除至末㸃位止為四商若干如尚有餘實依命分法
右前法俱前商之後即將前各商數自之又三倍之為平廉列籌視某格與餘實近少列為平廉約數再以前各商竟三倍之為長廉列籌〈俱依前法分列大籌左右〉視平廉約數在某格之隅數取以乗長廉得若干數為長廉約數其萬千百十各依位數附於平廉之本位併之而除餘實其隅數即在大籌之除格其廉積即在散籌之每格仍是於全數中除兩廉應除之餘實而隅數亦不煩再乗再除也梅定九先生籌算仍依古法先以前商三倍之為廉法以前商數自之又三倍之為方法以方法除餘積得次商既得次商用其數以乗方法為三平廉積又次商自乗以乗廉法為三長廉積再以次商為隅法以隅法自乗再乗得小立方形為隅積三共併之除餘積不知既列籌除則籌之每格即乗有廉之全積何必多此一乗且大籌在初商為方根在每商即為隅積今用籌倂除何必又自乘再乗耶
立方籌右行隅數定位
二開 次商三格以上是單位 四格以下是
十位
三開 三商三格以上是單位 四格以下是
十位
次商三格以上是百位 四格以下是千位
四開 四商三格以上是單位 四格以下是
十位
三商三格以上是百位 四格以下是千位
次商三格以上是萬位 四格以下是十萬位
右隅數以末商三格以上是單四格以下是十起層累逓加
法式
二開商式
假如積實六千八百五十九
兩㸃兩開
兩㸃根必十
㸃前無餘從單位
㸃俱隔二位〈連本位共三位〉
初商 列立方大籌視第四格之六四雖係近少然㸃前無餘必從單位除寜可在第一格除一蓋第二格雖亦單位然八浮於六不可除實故除一格之一為近少除去一千為初商一〈兩㸃根必十此初商一為方根一十〉
次商 以方根一十自之又三倍自乗之實得三百列三號籌於立方籌左為平廉籌又以方根竟三倍之得三十列三號籌於立方籌右為長廉籌前商餘實五八五九視平廉籌之九格三四二九相近列為平廉約數其九格之隅數八一乗長廉之三十得二千四百三十為長廉約數
併兩廉約數共五千八百五十九除實盡在第九格為次商九
次商在九格除盡即次商隅數九亦在除內葢隅在長平兩廉相湊之角故次商之隅即同次商之商數其在大籌之第幾格者為隅之邊數而在第幾格之自乗者為隅之實數今與大籌並列同除故隅亦在其中也
三平廉貼於前商方形之正面側面及或上或下而後成四方平等之方故次商先以方根自乗者乗平廉一面之全數也三倍之則所貼方根三面之平廉全數也但全數與方根等方而全數之積多於現在之餘積故於此三平廉全數中視某格與餘實近少而為平廉約數然此三平廉者與方根闊狹厚薄相等今三面貼湊止能悉照方根之方而不能湊合成方根外加廉之方故又有長廉三一縱二橫補於平廉不能合縫之際始得湊合成方法以方根又三倍之者成三個長廉之全數也再以平廉之隅數乗長廉則為現在平廉貼身應得之數為長廉約數併之除餘實而隅亦在所除之中而此四面之方湊合無缺矣葢平廉以方根為準長廉以平廉為準而隅數與平廉長廉又互相為準數藏大籌巧在與大籌並列同除法精密矣
初商次商退位除式
假如積實一萬九千六百八十三
初商二十 積實兩㸃兩開方根必十㸃前餘一位應從立方籌之十位除實但籌之三格四格俱大於積實應退在第二格之八除八千〈籌格退位〉餘一一六八三
此退位不用三四格除實而退至二格者籌數浮於實數用退位除恰除至㸃位止故取二格之八為近少也此初商止退籌格不退商位
次商七 先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一號二號籌列立方籌左為平廉以方根二十竟三倍之得六十取六號籌列立方籌右為長廉 雖九格一萬一千五百二十九相近然再加長廉便浮於實故不取九格〈凡平廉籌格與除至㸃位之實位數相當者則萬千十百之數亦必相符今㸃位前實係一萬一千六百八十三平廉九格恰五位便是一萬一千五百二十九矣蓋二開次商得九以九乗平廉法得廉約數一萬○八百加隅約數七百二十九共數如前以此推算即得實數然不如即視位數更為簡㨗故比㸃位少一位則其數必小多一位便須置○也〉八格之一○五一二雖更相近然若以八格之隅數六十四乗長廉之六十得三千八百四十併平廉八格之一○五一二為一萬四千三百五十二亦浮於現在之餘實故又應退格取七格之八千七百四十三單為平廉約數取七格之四九隅數乗長廉之六十得二千九百四十為長廉約數俱係千數可併進而除首位次位之一 一矣於是併兩廉約數共一萬一千六百八十三單除盡為次商七
〈此退格約廉因籌數雖浮籌位不多於餘實故止退格而不改商也〉自乗再乗還原
次商置○式 三商加○籌式
假如積實一億二千九百五十五萬四千二百一十六
三㸃三開
㸃前餘二位
初商㸃前餘二位視立方大籌百位除實第五格之一二五近少除之得初商五百
次商以方根五百自之得二十五萬又三倍之得七十五萬為平廉列七號五號籌於立方籌左以方根竟三倍之得一千五百為長廉列一號五號籌於立方籌右若取平廉籌相近莫如第六格之四五二一六相近然次商應除至次㸃位止今籌位多實位少若依籌位即平廉巳除至㸃位後何況更有長廉是必變商之大位為小位則有後商㸃前之實應除而不患除至㸃位之後故應商數置○為次商○〈前二商式是退格併亷此處次商是退位再商故有置○不置○之別〉
三商 因前平廉籌巳備三廉實數尚未商除而前商之○又無實數可三倍故不去前籌不將前商自之又三倍之止於立方籌左前平廉籌右加○○兩籌蓋立方毎㸃隔二位今加○○籌則前商變為後商變次商之十為三商之單矣故平廉籌仍照前七十五萬而七五列籌之第六格之四百五十萬相近又立方大籌六格之二百一十六單共四五○○二十六列為平廉約數
再以隅數之三六在三開次商為三千六百者今為三開三商之三十六〈見前隅數定位〉以之乗三倍方根之一千五百為五萬四千列為長廉約數併之共四百五十五萬四千二百一十六除餘實盡為三商六
右共開方得五百○六
自乘再乘還原
五開
三商列籌不隔○ 商數置○式
四商隔○籌式 又商數置○式
五商又隔○籌式
假如積實一萬七千三百一十八億〈即萬萬〉九千○百九十一萬六千七百二十九
〈按他書十萬曰億算學書萬萬曰億後同〉五開列實如左
五㸃五開
五㸃根必萬
㸃前無餘從單位
初商 㸃前無餘從立方籌單位一格除實一萬億為初商方根一萬
次商 以初商一萬自之得一億又三倍之得三億列三號籌於立方籌左為平廉
以方根一萬竟三倍之得三萬列三號籌於立方籌右為長廉
視第二格之六○八近少為平廉約數
以此三號籌二格之隅數四乗長廉之四得一二為長廉約數〈按隅數五開次商三格以上是百萬位〉併之除七千二百八十億為次商二千
三商 以前初商除一萬億次商除七千二百八十億餘實三八九○九一六七二九
去前所列籌以初次兩商〈共一萬二千〉自之得一四四又三倍之得四三二列籌於立方籌左為平廉
〈凡乗大數各存○餘位則從單位逆推乗數定位不紊〉
上圖如兩商一十二
萬自之得一億四千
四百○○萬
再以初次兩商一萬二千竟三倍之得三萬六千列立方籌右為長廉法
如法列兩廉約數取近少莫如九格〈三八九五二九〉但三商應除至三㸃位止今籌格六位而第三㸃前連㸃位亦止四位法實不符應商除退位不但變大數商為小數商又有後商㸃前之實可合籌格之多位應本商置○為三商○百
四商 立方凡前商置○則後商應隔○○兩籌以當每㸃之隔二位列於平方籌左前商平廉四三二號籌之右為平廉再如法列長廉籌取兩廉約數併除餘實又莫如九格〈三八八○七二九〉但五開四商應除至第四㸃止今第四㸃之前止七位而籌格有八故又應置○為四商○十
五商 依立方法後商應去前商之廉籌另依商法置平長兩廉籌約數除實今前三四兩商俱未除實俱退商數置有○○今五商仍存前商廉籌及○○籌再加○○籌以當每㸃之隔二位列於立方籌左廉籌及○○籌之右為五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九為平廉約數〈此約數首位三係十億位〉
再以九格之隅數八十一〈五開五商次格以下是十位〉乗長廉之三萬六千得二百九十一萬六千為長廉約數併之除餘實至五開尾㸃位止為五商九
右五商共一萬二千○○九
〈末商平廉 三八八八○○○七二九長廉 二九一六
併之 三八九○九一六七二九〉
右五開式末商九是單數凡立方積不過至十位百位止今何以能除至三十八億九千○百萬各位之多葢三商○四商○雖兩商無除而○無定位列實未除之三八九○萬即皆前商平廉之所應有之數改商而未嘗改廉但因籌數位多實數位少故知三四商之皆應置○而前商未除之平廉其約數仍在至五商則但以五商之隅數乗前商原有之長廉以為長廉約數葢隅因亷為升降而亷依方限不因商為升降特借五商之九同格幷除非單九能除至十億位也
立方帶縱
方為闊加縱為長法與開方無異先視某格與方根近少為商數乗縱數再乗得縱積併入方積以減原實為初商
次商以下更加縱積縱廉積除餘實為次商〈餘商同〉併兩商數得闊因闊以知長
〈用㸃定開位悉依立方 縱積除至㸃後〉
如初商視立方大籌某格近少之格數取為方根依定位列於原實之下又以方根之數因縱數若干即以因得之數再乗方根數得若干為縱積依定位列方根之下併減原實為初商若干
〈按方根悉如開方法但未即除實如併縱積多於原實應退位或改商或退格在方根不可除至㸃後其併縱積則除至㸃位之後葢縱在立方之外積非立方之積不可以每㸃之位為定也〉
如次商列平廉長廉法悉如立方先取平廉約數依定位列餘實之下再取長廉約數列平廉約數之下次以次商之商數〈有兩廉約數在某格即某格是商數〉因縱數得若干再以商數乗之為次商縱積依定位列兩廉約數之下又以縱數倍之為縱廉法乗初商數得若干以乗得之數與次商數乗之得若干為縱廉積依位列於約數之下共併之減原實為次商若干
右𢃄縱方兩開者次商之平廉必列至次㸃位止如有三開者則加縱積縱廉積除至次㸃位之後〈與開方不同〉止兩開者即併積亦必次㸃位止若併積之位浮於餘實應退格改商以除實若平廉各格多於㸃前之實或應退格或應置○同前開方置○法
三商以下列廉法悉如前其縱廉法應乗上初商次商再以乗得之數乗末商為縱廉積併除實〈四商以下同〉
如積實九萬七千二百○十○尺但云闊不及長三尺
初商近少在四格即方根四十闊不及長三尺即三為縱法乗初商之四十得一百二十〈此縱靣〉再以初商四十乗一百二十得縱積四千八百〈此縱體〉先以方根積六萬四千照位列實下又以縱積四千八百列方根積之千位下併之得六萬八千八百減原實為初商四十餘實二萬八千四百不先除方根者恐加縱積多於原實故先併後除
次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百為平廉列大籌左再以方根四十竟三倍之得一百二十為長廉列大籌右取平廉第五格〈二四一二五〉為近少為平廉約數以五格之隅數〈二五〉乗長廉之一百二十得三千〈兩開次商四格以下隅數是十〉為長廉約數列於平廉下之千位
以縱法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五為次商縱積照定位列於兩廉之下又以縱法之三竟三倍之得六為縱廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百為縱廉積照定位列於縱積之下
併之共除餘實二萬八千四百盡為次商五右共開方四十五尺加長三尺為長四十八尺
如積實二百萬○○○○○○尺 但云闊不及長三尺
三㸃三開 初商是百
㸃前無餘
初商一〈在大籌單位除實〉以三為縱法乗商數一百得三百〈此縱靣〉又以商數一百乗三百得三萬〈此縱體〉合方根積共一百○三萬減積實為初商闊之一百按此初商除方根並除長三尺之縱但止除方根等形之縱未除次商後加縱廉積之縱
次商依立方法平廉三萬長廉三百取近少〈三格九二七以相近因𢃄縱有縱積應加故退格約廉〉二格之六○八相近為平廉約數
以第二格隅數四〈三開次商三格以上是百位〉乗長廉得一十二萬為長廉約數
以縱法三尺乗次商二十〈取平廉長廉約數俱在二格即是二十〉得縱面六十又以商數二十乗縱面六十得縱積一千二百
以縱法三尺倍之得六為縱廉〈次商方根加廉則所𢃄之縱亦應加廉但次商之縱是小於方根加廉之縱而非短於方根之縱止縱旁兩邊有廉而縱頂無廉故法止倍之〉乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得縱廉積一萬二千
併之
平廉約數六十○萬八千
長廉約數一十二萬
縱積一千二百
縱廉積一萬二千
共七十四萬一千二百減餘積仍餘二十二萬八千八百○十○單
為次商二十
三商平廉三千二百長廉三百六十依開方法置籌取第五格近少二十一萬六千一百二十五為平廉約數
以第五格隅數二十五乗長廉三百六十得九千為長廉約數
以縱法三尺乗商數五得一十五又以商數五乗一十五得七十五為縱積
以縱廉六〈縱法三尺倍之得六〉乗初次兩商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百為縱廉積
依法併之共二十二萬八千八百○○除實盡為三商五
右共開方一百二十五尺加縱三尺為一百二十八尺
按立方𢃄縱初商未開之前其所開之方未有定數而縱長三尺則有定數然雖有定數而如三開者其方闊必等於每開立方之邊或匾縱或長縱故每商必先依開方法開本身立方之方再以縱之三尺乗商數得縱之面更以商數乗縱之面而得縱之積在初商無廉故止併方根積與縱積除實為初商若干也至於次商則方根有廉而所立之方其形更大於方根今𢃄縱方則其長雖定於三尺而其方之大小應與次商之方相等但立方之廉有三而此𢃄縱方則縱首無廉止應兩旁有廉故廉止於二但此兩廉亦止如方根之方其合縫之處亦如立方平廉之不能湊合必有一長廉焉於是以縱法乗次商而得𢃄縱長廉之面又以次商商數乗縱面而得𢃄縱長廉之積此所謂縱積也其實乃𢃄縱之長廉積也於是𢃄縱之兩平廉以縱法倍之即以乗初商之數為𢃄縱平廉之面以此𢃄縱平廉之面乗次商商數而得𢃄縱平廉之積於是所𢃄之縱其縱則定於三尺而其方之形與次商之方等矣葢其法與開立方同而立方則先有平廉後有長廉今開所𢃄之縱乃先有長廉後有平廉此為異耳至三商與次商同惟縱廉積以縱法乗初商次商之商數而以乗得之數再乗三商之商數葢必連初商次商再乗三商方是三商𢃄縱之平廉其廉比初商次商較薄而其方之形則初商次商後之三商其闊狹與三商有廉之方相等其理一也
附立方減縱法
假如立方積五千七百七十六尺 但云長不及闊三尺
㸃前無餘除單格
初商除一格之單位因二格之八浮於列實故止除一格之一為商數以三尺為縱法乗商數一十〈兩㸃根必十〉得三十再以三十乗商數一十得縱積三百以初商方根積一千減去縱積三百餘七百以減原實為初商一十
餘實五千○七十六尺
次商依開立方法列平廉長廉籌近少取三號籌〈次商以初商自之又三倍之〉之九格三千四百二十九為平廉約數以隅乗長廉得二千四百三十尺為長廉約數合之為五千八百五十九〈其數稍浮於實者立方積也後以縱積等減之乃成匾方形故凡減縱之末商必約數浮於實以待後減〉為立方兩廉約數次以縱法三尺乗次商九得二十七尺為縱面又以次商九乗縱面之二十七得二百四十三尺為立方減縱之長廉積今名縱積
次以縱法三尺倍之得六尺為縱廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺為立方減縱之兩平廉積今名縱廉積
合縱積縱廉積共七百八十三尺以減立方之兩廉約數餘廉積五千○七十六尺減餘實盡為次商九〈此餘廉積即前立方兩廉不浮之約數葢既先於前所稍浮之立方廉約中除縱廉等積則所餘者乃方根應有各廉之真數因本商未除故末後除之而合也〉
右共開得闊一十九尺減長不及闊三尺為十六尺長
以上𢃄縱方開法初商方根積必至首㸃位止次商平廉長廉共約數必至次㸃位止不得除至㸃位之後惟減縱每商之廉其約數應稍浮於列實以待後減縱廉等積
句股引𫎇卷二
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙>
欽定四庫全書
句股引𫎇卷三
海寜 陳訏 撰
句股法
句股名義
直者為股
橫者為句
斜者為
句股併減名義
句股和〈句與股相併〉 句和〈句與相併〉
股和〈股與相併〉
句股較〈句與股相較〉 句較〈句與相較〉
股較〈股與相較〉
和和〈與句股和相併〉 較和〈與句股較相併〉和較〈與句股和相減〉 較較〈與句股較相減〉右和較等名凡句股書多用此以從簡便故備列於前庶一覽瞭然
句股準數
句三股四五
句股無一定之數然必先有一定相差之數以參互之為千變萬化之準則不外乎句三股四五而變化由此起焉後俱依此立法
句股求
句自乗股自乗兩積實相併開方得
句股各自乗之實必合自乗之實故併積開方得
〈按句股開方俱平方後同〉
如句〈三〉自乗得九股〈四〉自乗得一十六併之共二十五平方開之得五即〈五〉
句求股
句自乗自乗兩積實相減開方得股
股求句
股自乗自乗兩積實相減開方得句
自乗之積實必合一句一股自乗之積實故於積內減句積開方得股於積內減股積開方得句
如〈五〉自乗得二十五為積內減句積九餘一十六為股〈四〉之積若積減股積一十六餘九為句〈三〉之積俱用開方得所求
較求股
句自乗股較自乗兩積實相減倍較為法除之得股股又加較得
句積中除股較之積則所餘必倍於股之長故以倍較為法除餘積得股之長
如句〈三〉自乗得九減長於股之較一〈積亦一〉則餘積八必倍於股長故倍較〈一〉為二除之得四即得股四
若不倍較為法但以較除相減之餘積則除較之外必尚存倍於股長之數故於減餘之積去較折半亦得股長
如句餘積八以較一除之仍是八必倍於股〈四〉故去較又折半亦得股〈四〉
以上二法於股之長加較即得於股之長減較即得句故不再立求句法
股和求股
句自乗以股和為法除之得數以減股和折半得股股和內減股即得
股和除句則所得數必長於股之較數故於股中去長於股之較則股等長而折半得股
如股〈四〉五共九除句積〈九〉得一即股〈四〉〈五〉之較〈一〉去較〈一〉存〈八〉則與股齊故折半得股〈四〉
句和求句
股自乗句和自乗兩積實相減折半以句和為法除之得句〈句和內減句即得〉
句和自乗之積必倍於句與句和相乗之積而尚多一股積故於和積內減股積則所餘者為句乗句和之倍積故折半使止存一句乗句和之積而以句股和為法除之得句如股〈四〉自乗得一十六句和自乗得六十四內減十六餘四十八折半餘二十四以句〈三〉〈五〉為法除之得三為句句既得即於句和除句得五
句和求
股自乗以句和為法除股積得數加句和折半得於之長減句較亦即得句
句和除股積則所得之數即長於句之較數句較既得則加句之長使句長與長等故折半得
如股四自乗得十六以句和八為法除之得二加句和之八為一十折半即五
句股和求句股
自乗句股和自乗兩積實相減再以餘積減積以平方開之加句股和半之得股股內減商數得句句股和之積幾倍於積止少一句股之較積故以句股和積與積相減再以減餘之積減積則所存者為長於股之較積於是開方得較而再加句股和則句股等長故折半得股如句〈三〉股〈四〉得和七自乗得四十九以自乗得二十五減之存二十四再以二十四減積之二十五存一為長於股之較積開方仍得一加句股和共八折半得股〈四〉股得亦可依法得句〈按此所得之較乃句股較作股較者誤〉
句股較求句股
句較乗股較倍積實開方加股較得句句加句較得股股又加股較得
如句較〈二〉乗股較〈一〉仍得二倍之得四開方得二加股較〈一〉得句三於句三加股較一得股四於股四又加股較一得五
句股和求句股
句和乗股和得積實倍之開方減股和得句減句和得股減句股和得
如句〈三〉〈五〉為句和八乗股〈四〉〈五〉之股和九得七十二倍之為一百四十四開方得一十二合句股之長於一邊矣故於十二減句和八得股〈四〉於十二減股〈四〉〈五〉之股和九得句〈三〉於十二減句〈三〉股〈四〉之句股和七得〈五〉
句股求容方
句股相乗以句股併為法除之得容方徑若句股較為法除之亦得容方徑〈按若勾股較二句有誤〉
容方外餘句餘股相乗平方開之亦得容方徑
以容方徑自乗得實以餘句為法除之得餘股以餘股為法除之得餘句
句股相乗之實為容方者四斜內為容方者兩故容方之實必等於餘句餘股之實雖長短不齊極致而句伸則股縮股伸則句縮有參互之準此即測望之法所由起也
句股求容圓
句股相乗倍積實併句股為法除之得容圓徑句股相乗併句股減半為法除之亦得容圓徑圓周恆三倍於圓徑而句股之長恆兩倍於容圓之周故於句股相乗之稍或倍之而併句股為法或不倍之而以句股折半為法俱得容圓徑而容圓徑即和較也〈按勾股之長兩倍於容圓周語誤〉
句股論〈李之藻〉
句股三合成形錯綜立義句股相減其差曰較句股相併其名曰和股之差曰股較句之差曰句較併句股與較其差曰和較句股之差與相減其差曰較較股相併曰股和句相倂曰句和句股之差併曰較和句股併曰和和句股各自乗併之為實故開之得句自乗減餘為股實故開之得股股各自乗減餘為句實故開之得句句股和自乗倍實相減開其餘即句股較也句股較自乗以減倍實開其餘即句股和也併句以除股實得句較若以句較除股實即得句和矣併股以除句實得股較若以股較除句實即得股和矣句股和自乗減實除以較較得較和矣除以較和非即較較乎句股較自乗減實除以和和則得和較矣除以和較非即和和乎句乗股為實併句股為法除得容方徑句乗股倍之併句股除之得容圓徑而容圓之徑即和較也又錯綜論之句為主以加股較即較較以減股較即和較若加較和又即股和也股為主以加句較即較和以減句較即和較若加較較又即句和也句股較為主以加股較即句較若減股和亦即句和也句股和為主以加股較復得句和若減股和亦得句較也至若諸較諸和法相因配連綴減半恆得所求若取句股較以加句股和半之得股以減句股和半之得句若取股較以加股和半之得以減股和半之得股取句較者以加句和半之得以減句和半之得句取和較者以加和和半之得和以減和和半之得勾股取較較者以加較和半之得以減較和半之得較加減乗除圓變不滯神而明之存乎其人逺近髙深方圓弧矢準此而推亦在乎熟之而已
觧註〈以句三股四五為準〉
句股和自乗倍實相減開其餘即句股較
如句〈三〉股〈四〉和七自乗四十九如〈五〉實二十五倍之五十以四十九減五十餘一即句三股四之較一
句股較自乗以減倍實開其餘即句股和
如句股較一以減倍實之五十餘四十九開方得七即句三股四之和七
併句以除股實得句較
如句〈三〉〈五〉併之得八以除股〈四〉之實一六得二為句〈三〉〈五〉之較二
句較除股實即得句和
如句〈三〉〈五〉之較二以股〈四〉之實一六除之得八為句〈三〉〈五〉之和八
併股以除句實得股較
如股〈四〉〈五〉併得九以句三之實九除之得一為股〈四〉〈五〉之較一
以股較除句實即得股和
如股〈四〉〈五〉之較一以句三之實九除之為股〈四〉〈五〉之和九
句股和自乗減實除以較較得較和
如句〈三〉股〈四〉之和七自乗得四十九減〈五〉之實二十五餘二十四以句股差〈一〉與〈五〉相減之較較四除之得六為句股之差〈一〉與〈五〉併之較和六
除以較和即得較較
如二十四以較和之六除之得四為句股之差一減五之較較四
句股較自乗減實除以和和則得和較
如句〈三〉股〈四〉之較一自乗仍得一減〈五〉之實二十五為二十四以句三股四五之和和除之得二為併句〈三〉股〈四〉與〈五〉較之和較
除以和較即和和
如二十四除以和較之二得一十二為句三股四五相併之和和
句股測望論〈唐荊川先生〉
句股所謂矩也古人執數寸之矩而日月運行朓朒遲速之變山谿之髙深廣逺凡目力所及無不可知葢不能逃乎數也句股之法橫為句縱為股斜為句股求句股自乗相併為實平方開之得句求股句自乗相減為實平方開之得股股求句同法葢一實藏一句一股之實一句一股之實併得一實也數非兩不行因句股而得因股而得句因句而得股三者之中其兩者顯而可知其一者藏而不可知因兩以得三此句股法之可通者也至如逺近可知而高下不可知如卑則塔影髙則日影之類塔影之在地者可量而人足可以至於戴日之下而日與塔髙低之數不可知則是有句而無股三者缺其二數不可起而句股之法窮矣於是有立表之法葢以小句股求大句股也小句股每一寸之句為股長幾何則大句股每一尺之句其長幾何可知矣此以人目與表與所望之高三相值而知之也人目至表小也人目至所望之髙大也又法表為小股其髙幾何與至塔下之數相乗以小句除之則得塔髙葢橫之則小股至塔之積縱之則為小句至塔頂之積縱橫之數恰同是變句以為股因橫而得縱者也句股三者有一可知則立表之法可得而用若其高與逺之數皆不可知而但目力可及如隔海望山之類則句股三者無一可知而立表之法又窮矣於是有重表之法葢兩表相去幾何為影差者幾何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之窮也重表者以通一表之窮也其實重表一表也一表句股也無二法也
句股容方圓論
凡竒零不齊之數準之於齊圓準之於方不齊之圓準於齊之圓不齊之方準於齊之方句股容圓準於句股容方假令句五股五七有竒此為整方均齊無較之句股其容方徑該得句之半蓋容方積得句股全積四分之一其取全積時句股分在兩亷則句五股五五五二十五內一半為句積一半為股積其求容方則併句股為縱一亷得十為長之數得闊二五與原句相半蓋始初則一半句積一半股積橫列之而為正方及取容方則股積在上句積在下而為長方矣其容方所以止得半句者則以句股之數均也若句短股長則容方以漸而闊不止於半句矣故大半為股積小半為句積其始橫列時句積與股同長而不同闊其縱列時則股積之闊如故而句積截長以為闊則闊與股積同而長與股積異與橫列正相反此變長為闊而取容方之法也其謂之句積股積者從容方徑與句股相乗之數而名之也若取容圓徑則用句股自之而倍其數以句股與併為法蓋容圓之徑多於容方方有四角與相礙故其數少圓宛轉故其數多若以求容方與求容圓相比則積中恰少一叚圓徑與半和較相乗之數和較者句股併與相較之數也假令句五股五相乗亦倍之得五十如求容方則亦倍句股為法得二十亦恰得二寸五分之徑如求容圓則不用倍句股為法而用一句股併與一是以一代一句股倂也以一代一句股併恰少一和較加一和較則亦兩句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之徑一句股得十一得七恰少和較三是取容圓之徑其所以少一和較者圓徑多於方徑也假令取容圓不用句股倍積而止用句股本積則宜句股併為亷而除去半和較亦得或約得圓徑之後與半和較相乗添積而以句股併為亷不除亦得或用句股倍積用兩句股相併為亷而以全和較與約得圓徑相乗添積亦得此改方為圓之妙其機括只寓之於和較間也至於句股積與積亦只於句股較中求之蓋數起於參伍參伍起於畸零不齊也假令句五股五齊數之句股則句股冪倍之即得冪蓋兩句股積而成積也至於句短股長相乗之積則成一長方倍之而側不當中徑亦不成冪維以一句股較積補之乃能使長方為一正方而得積蓋句股之差愈逺則長方愈狹長方愈狹則句股之差積愈多故句股差者所以權長方不及正方之數以相補輳此補狹為方之法也右荊川先生論句股測望論句股求容方圓詳矣盡矣愚按句股測望即句股求容方法而變化用之但容方則以句股求容方而測望則以容方求句股非有二法也蓋凡平方形若中間十字界之則為容方者四若斜界之則此一半平方之內其為完全容方者一而完全容方之外兩角湊成亦必與此完全之容方相等此就句股等長而言也至句股不必等長而同此一容方則句長者股必短股長者句必短亦千變萬化自有一定之盈縮也於是通之為測望之法以表代容方邊以表前積實代容方之積實若所容為長方則必句短股長若所容為匾方則必股短句長股為縱為髙句為橫為逺以或句或股為法除之即得所求之或髙或逺故望髙測逺即變化於句股求容方之一法也
測量法
句股之術可御髙深廣逺法本周髀中法用表測西法用矩測
立表測高
設甲㸃為髙自丙至乙逺二丈求甲乙髙幾何
法依地平線立一丈之表為丁丙〈逺乙二丈〉與地平為直角〈凡立表以線
下試之三靣附表即與地平為直角〉依地平線退行〈八尺〉為辛巳〈巳為人日望處人目以下六尺若立竿為準亦可〉視己丁甲三㸃
令成斜以丁丙表〈一丈〉減己戊人目以下之六尺餘丁辛〈四尺〉與等戊乙之巳庚〈二丈八尺〉乗之得〈一十一丈八尺〉為實以等戊丙之巳辛〈八尺〉為法除之得甲庚〈一丈四尺〉加等己戊人目以下之庚乙〈六尺〉得甲乙髙二丈按此以丁辛與已庚相乗得實以巳辛為法除之得甲庚之髙即已以上之髙若以丁辛乗壬庚得實以已辛為法除之得甲壬之髙即丁以上之髙
附西法三率算術〈西法三角八線全用三率算術其法詳三角前此先附其略〉
三率算術詳西法三角八線書中其法同類為比例列一二三四率而二率三率相乗得實一率為法除之四率為所求之數凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率如前立表測髙以己辛〈小句〉比丁辛〈小股〉若己庚〈大句〉與庚〈甲大股〉
一率 己辛八尺 為法
二率 丁辛四尺 與三率相乗得實三率 己庚二丈八尺
四率 庚甲一丈四尺〈加庚乙人目以下得甲乙髙〉
按右法以己庚為三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬為三率則得丁以上之髙即甲壬之髙變而通之若以之測遠以小股〈辛丁〉比小句〈己辛〉若大股〈或甲庚或甲壬〉與大句〈大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁〉總之同類比例以二率三率相乗得實以一率為法除之即得所求之四率也餘詳本法〈後省文依西法以比若與不更列三率〉
立表測深測逺
設甲乙為壁立深谷甲至丙廣二丈七尺求甲乙深㡬何
法依甲丙線於地立〈六尺〉之表為戊丁距丙〈五尺〉人目從表端〈戊〉窺〈乙〉使戊丙乙三
㸃成斜直線以丁戊〈六尺〉與甲丙〈二丈七尺〉相乗〈得一十六丈二尺〉為實以丁丙〈五尺〉為法除之得甲乙深〈三丈二尺四寸〉是為以丙丁〈小句〉比丁戊〈小股〉若丙甲〈大句〉與甲乙〈大股〉
設井一口其徑甲乙五尺欲測深㡬何
法立表於井口為戊甲髙〈五尺〉從戊視
丙截甲乙徑於己〈得四寸〉減井徑〈五尺〉餘
己乙〈四尺六寸〉以乗戊甲〈五尺〉得〈二千三百寸〉為實以甲己〈四寸〉為法除之得乙丙井深〈五丈七尺五寸〉是為以己甲比甲戊若己乙與乙丙 又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁與丁戊
設地平有甲㸃不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺幾何
法依地平立丁表於戊高〈四尺五寸〉距丙〈九尺〉人目從表端窺甲令乙丁甲成斜直線次以乙丙〈六尺〉減丁戊表〈四尺五寸〉餘乙己〈一尺五寸〉乃以乙丙〈六尺〉乗等丙戊之己丁〈九尺〉得〈五十四尺〉為實以乙巳〈一尺五寸〉為法除之得丙甲逺〈三丈六尺〉是為以乙己比己丁若乙丙與丙甲
重表測髙測逺測深
設不知髙之逺不知逺之髙各得幾何
欲測甲乙之高而不知逺欲測丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙於丙地立丁丙表高〈十尺〉退
後〈五尺〉立竿於戊高四尺人目在
巳視表末令己丁甲成斜直
線次從丁丙前表退後〈十五尺〉立
癸壬表亦髙〈十尺〉退後〈八尺〉立竿於
子亦高〈四尺〉人目在丑視表末令
丑癸甲成斜直線以癸壬表
減人目丑子〈四尺〉餘癸辛〈四尺〉與兩表相距〈舊名表間〉等丙壬之丁癸〈十五尺〉乘之得〈九十尺〉為髙實以等丙戊之寅巳減等壬子之辛丑〈八尺〉餘卯丑較〈三尺〉為法〈舊名影差〉除高實得甲辰髙〈三十尺〉是為以丑卯比辛癸若癸丁與甲辰加等癸壬表之〈十尺〉得甲乙總髙〈四十尺〉
次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯〈五尺〉與表間相距之丁癸〈十五尺〉乗之得〈七十五尺〉為逺實亦以寅巳與辛丑之較卯丑〈三尺〉為法除之得等丙乙之丁辰〈二十五尺〉是為以丑卯比卯辛若癸丁與丁辰
右測量法積實除實余昔刻句股述繪圖系説已詳其數茲不再贅錢唐毛宗旦扆再氏著九章蠡測於測望法論西法比例之理尤明晰詳盡今併錄於左
毛扆再氏曰測量之理知逺而不知髙以逺測髙知髙而不知逺以髙測逺若髙逺兩不知所謂無逺之髙無髙之逺必用重表測之也既有等髙之二表〈皆十尺〉又有等髙之二人目竿〈皆四尺〉則甲庚丑大句股形內必函大小六句股形其甲辰丁形為甲庚巳之分形兩形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形兩形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳兩形之比例既皆等於甲庚巳是甲辰丁與丁寅巳兩形之比例亦等矣後表所得甲辰癸與癸辛丑形之比例皆等於甲庚丑亦同此論夫丁寅巳之比例既同於甲辰丁而癸辛丑之比例亦同於甲辰癸則辰丁與寅巳必若辰癸與辛丑反之則辰癸與辰丁必若辛丑與寅巳也今辰癸與辰丁之較為丁癸而辛丑與寅巳之較為卯丑則卯丑與丁癸兩較之比例則必俱等於各線相當之比例即可知辰丁與寅巳〈皆句〉及甲辰與丁寅〈皆股〉俱若兩較之丁癸與卯丑矣法置辛癸乗癸丁為髙實而以丑卯除得辰甲者是借丑卯與癸丁之比例因寅丁以求辰甲也〈寅丁與辛癸等〉又置卯辛乗癸丁為逺實而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯與癸丁之比例因巳寅以求丁辰也〈巳寅與卯辛等〉辰甲為表外之髙丁辰亦表外之逺
設不知廣之深不知深之廣重表測之各得幾何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知廣先求乙甲之深自谷岸乙㸃退行〈四尺〉至戊地立人目表為巳戊髙〈二尺七寸〉依乙岸窺谷底丙㸃令巳乙丙成斜直
線次於谷旁立表為壬乙髙〈五尺〉復
依巳戊線立人目表為辛戊髙〈八尺
二寸〉人目依壬表末望丙令辛壬丙
成斜直線以辛戊〈八尺二寸〉減壬乙
表〈五尺〉餘辛庚〈三尺二寸〉再與巳戊〈二尺七寸〉
相減餘辛癸較〈五尺〉乃以等巳戊之癸庚〈二尺七寸〉與壬表〈五尺〉乗之得〈一百三十五寸〉為深實以辛癸較〈五寸〉為法除之得乙甲深〈二丈七尺〉是為以辛癸比癸庚若壬乙與乙甲次求甲丙之廣以等戊巳之庚壬〈四尺〉與壬乙表〈五尺〉相乘〈得二十尺〉為廣實亦以辛癸較〈五寸〉為法除之得甲丙廣〈四丈〉是為以辛癸比庚壬若壬乙與甲丙
設甲乙不知逺以矩尺〈即木工曲尺〉測之
欲知甲乙之逺先立丙表於甲與地平為直角次以矩尺內直角加於丙表之末以丙戊尺向逺視乙令丙戊乙成斜直線次從丙丁尺視巳以甲丙表自乘而以甲
巳相距之逺為法除之得甲乙之逺是為以巳甲比甲丙若甲丙與甲乙則丙甲為連比例之中率按矩尺為直角形若兩邊等平則甲丙表兩平地之句必等今矩尺一昻一俯則巳甲必小於丙甲而丙甲必小於甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲與甲乙葢皆以小比大以小大同類為比例而不執句股縱橫為同類故三率法應二率三率相乘而此用二率自乘而以一率為法除之非另有連比例之中率也若變而通之以丙子比子戊若丙甲與甲乙
西法矩度測量
矩度代表度有直景倒景有一矩測重矩測積實與為法除悉如中法亦可三率法求之
造矩度用堅木或銅版為之依上圖從矩極均分十二度〈陳䃤庵止用一十度省一乘法〉或每度更細分之從通光耳視所測相參直以權線所切何度何分比例推算與立表測量等
變景法
景即直景倒景也變景者視權線所切直景不變而倒景必變爲直景也一矩測量即倒景可不必變而重矩測量則倒景必變其法以矩度自乗〈如矩度十二自乗得一百四十四為矩冪〉以景度〈即權線所切之度如幾度幾分則矩度景度通照幾分度分之〉為法除之〈其變景之理詳句股述〉
直景必高多逺少如一象限人望四十五度〈半象限九十度〉以上權線必切直景
倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下權線必切倒景
變景者變倒景之少度為直景之多度葢測物愈逺則矩愈平其權線所切必在倒景故必變之如上丁戊變乙壬也
矩度測髙
直景以矩度乗逺得積實以景度為法除之
設所測不知其髙距所逺三十尺權線切直景八度法以矩度〈十二〉與逺〈三十〉相乗得三百六十為積實以直景八度為法除之〈如籌算檢八號籌視某格與積實近少除之〉得四十五尺為矩乙角以上之髙即所測之髙是為以小句〈景度〉比小股〈矩度〉若大句〈逺〉與大股〈髙〉
倒景以景度乗逺得積實以矩度為法除之
設逺六十尺權線切倒景七度又五分度之一法以景度〈七〉通五分之得〈三十六〉分以乗逺〈六十〉得積實二千一百六十以矩度〈十二〉通五分之得〈六十〉為法除之得三十六尺為矩乙角以上之髙〈此倒景不必變但變其法以景度乘逺以矩度為法除之亦同〉是為以小句比大句若小股與大股
重矩測髙〈測髙先不知其逺則用重矩如重表測法〉
前矩直景後矩直景以矩度乗表間得積實以兩景較為法除之〈表間即懸矩之幹兩矩相距之間〉
設前直景〈五度〉後直景〈十度〉兩矩相距〈十尺〉法以矩度〈十二〉乗表間〈十尺〉得〈一百十尺〉 為實以兩景較〈五度〉為法除之得二十四尺為矩乙角以上之髙以小句比小股若大句與大股同前首條
前矩直景後矩倒景以矩度乗表間得積實以倒景變直景與前直景較以景較為法除之
設前直景〈十一度〉後倒景〈九度〉兩矩相距〈二十二尺〉法以矩度〈十二〉乗表間二十得〈二百四十〉為積實又以倒景〈九度〉為法除矩冪〈一百四十四〉得變景十六與前矩直景較餘〈五〉為法除積實得〈四十八〉為矩乙角以上之髙是為以小句〈景較〉比小股〈矩度〉若大句〈表間相距〉與大股〈所測之髙〉
前矩倒景後矩倒景將兩倒景俱變為直景仍以矩度乗表間得積以兩變景較為法除之得所測之髙仝前按測望即容方求餘句餘股法其矩測之倒景必變者葢立表測髙人目退望使參相直若所測愈髙則人目距表愈近所測愈低則人目距表愈逺表即容方之邊而人目退望之處即餘句也今矩之甲角愈髙則倒景反多矩之甲角愈低則倒景反少故必變景而後合於人目退望之餘句余舊刻句股述論之詳矣但舊刻於前後俱倒景一條悞以景較乗逺以矩度為法於三率以小句比大股若大句與大股法不合若依前一表測髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度為法則此兩倒景巳俱變直景矣豈可仍用倒景法乎特為改正
測逺
按測無髙之逺先用重矩測得髙〈巳壬〉次以矩度〈甲〉為一率以後矩所變之
景〈乙戊〉為二率以高〈巳壬〉為三率即得四
率之逺是為以小股〈甲乙〉比小句〈乙戊〉若大股〈巳壬〉與大句〈壬乙〉
右高〈巳壬〉得四八變景〈乙戊〉得一六矩度〈甲乙〉十二度依三率法得逺六十四葢倒景既變直景則甲乙戊成直角小句股形與巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例
以測髙法還原
設逺〈六十四尺〉倒景〈一六〉矩度〈一二〉以矩度乗逺〈六四〉以變景度〈一六〉為法除之得高〈四八〉與前重矩測高第二條相合按重矩測無高之逺西法測量法義同文算指俱未論及錢唐毛扆再氏補論一則但干支字様與圖互異且比例之法辨晰各較相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易曉然便於初學故創為此圖
測深
設井口或徑廣十二尺求至水面深幾何
用矩度視深〈辛〉使甲巳辛叅相直
視權線在直景乙戊〈三度〉以矩度〈十二〉
乘等庚巳之辛壬水面〈十二尺〉得〈一百四十四尺〉為實以乙戊〈三度〉為法除之得〈巳壬〉深〈四十八尺〉是為以〈乙戊〉比〈乙甲〉若〈壬辛〉與〈壬巳〉
設池面不知廣就池岸設垂線至水得一丈三尺測廣幾何
權線切倒景丁戊〈三度〉依法變為直景〈四十八度〉以乗巳壬〈十三尺〉得〈六百二十四尺〉為實以甲乙矩度〈十二〉為法除之得庚巳廣〈五十二尺〉是為以甲乙比乙癸若巳壬與等〈壬辛〉之巳庚
又倒景不變以矩度乘〈巳壬〉得積以倒景丁戊〈三度〉為法除之亦得巳庚廣〈五十二尺〉
按倒景必變直景若止一矩測廣則倒景亦可不變然在直景則景度乗深而矩度為法除之若在倒景則矩度乗深而景度為法除之固兩不相混也至於測髙則必矩度乗取積實而景度為法除之此兩矩測一定不易之法也
附三率算術
古名異乗同除西法變為三率
原有丁戊股十四尺
丙戊句十一尺二寸
今截丁乙股十尺
求乙甲截句幾何
西法三率
一率 〈以〉原有股十四尺 為法
二率 〈比〉原有句十一尺二寸 〈相乗為實〉三率 〈若〉今截股十尺
四率 〈與〉求得截句八尺 法除實所得術以原股比原句若截股與截句
凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率
二率三率常相乘為實一率為法除實故名三率而求得之數為四率
按西法三率算術専為比例之用如右所求在截句則以原股比原句若截股與截句如所求在截股則以原句比原股若截句與截股又如所求在原句則以截股比截句若原股與原句再如所求在原股則以截句比截股若原句與原股隨所比例各視所求而以同類比之如前測望諸法或以小句比小股若大句與大股或以大句比大股若小句與小股之類其縱橫大小不相紊亂後三角法悉依此術縱橫大小相為比例而又線與線為類邊與邊為類法益加宻矣
勾股引𫎇卷三
欽定四庫全書
勾股引蒙卷四
海寧 陳訏 撰
三角法
八線全圖
〈周天三百六十度兩分之為半
周四分之為一象限 每一象
限各九十度又名弧度 六〉
凡正方角〈乙〉即直角即象限之角其所對弧必九十度
凡在一象限不及九十度者為鋭角〈如丙〉
凡過一象限多於九十度者為鈍角
凡言角以中一字為所指之角〈如甲乙癸〉
凡求某角者求其角之對弧度與分
凡求某角即本角之弧矢割切為正其外為餘凡半徑為全數為一○○○○○八線有增減半徑無増減常為十萬弧中旋轉可如如句
凡正角以半徑全數為正
凡鈍角以外角之正餘為正餘
直角〈即正方角一名勾股形〉
有角有邊求餘角餘邊〈直角之一〉
假如〈壬癸丁〉勾股形有丁角〈五十七度〉壬丁〈九十一丈八尺〉求餘角餘邊
先求癸丁邊
術曰以半徑全數比丁角之餘
若壬丁與癸丁句
一率〈原設〉半徑 一○○○○○ 為法二率〈原設句〉丁角〈五十七度〉餘 五四四六四 〈相乗〉三率〈今有〉壬丁邊 九十一丈八尺 〈為實〉四率〈今所求句〉癸丁邊 五十丈 〈法除實得所求〉右三率法後同 半徑即乙丁餘即甲丁
求壬癸邊
以半徑比丁角之正若壬丁與壬癸股
一率〈原設〉半徑 一○○○○○
二率〈原設股〉丁角〈五十七度〉正 ○八三八六七
三率〈今有〉壬丁邊 九十一丈八尺
四率〈所求股〉壬癸邊 七十七丈
求壬角
以丁角五十七度與象限九十度相減得餘三十三度為壬角
右例先得以求勾股
假如〈壬癸丁〉勾股形有丁角〈六十二度〉癸丁勾〈二十四丈〉求餘角餘邊
求壬角
以丁角〈六十二度〉與象限相減得餘〈二十八度〉為壬角 平面弧止容一正方角兩鋭角今既有勾股形〈癸〉則於一象限內減丁角之度其餘度自必壬角
戊丙丁勾股形以戊丙
切線為股丙丁半徑為
勾戊丁割線為是丁
角原有之線 今壬癸丁勾股形與戊丙丁勾股形既同丁角則其比例等
求壬丁邊
以半徑比丁角之割線若癸丁勾與壬丁
一率〈原設勾〉半徑 一○○○○○二率〈原設〉丁角〈六十二度〉割線 二一三○○五
三率〈今有勾〉癸丁邊 二十四丈
四率〈所求〉壬丁邊 五十一丈一尺
求壬癸邊
以半徑比丁角之切線若癸丁勾與壬癸股
一率〈原設勾〉半徑 一○○○○○二率〈原設股〉丁角〈六十二度〉切線 一八八○七三
三率〈今有勾〉癸丁邊 二十四丈
四率〈所求股〉壬癸邊 四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同
按半徑隨弧旋轉無有増減故可為為勾為股各隨比例之所取用視邊與線之縱橫小大為比例
有邊求角〈直角之二〉
假如〈壬癸丁〉勾股形有壬丁〈一百○二丈二尺〉癸丁勾〈四十八丈〉求二角一邊
求丁角
以丁壬比癸丁勾若半徑乙丁與丁角之餘甲丁
一 壬丁邊 一百○二丈二尺
二 癸丁邊 ○四十八丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘 四六九六六
以所得餘檢表得六十二度為丁角度
右壬角癸角俱止一邊無兩邊不能以邊比邊為以線比線之例惟丁角有兩邊故先求丁角得丁角而丁角度之八線即可為餘角之比例矣然丁角必求餘為四率者蓋若求正正切之股則壬癸無邊可例若求正割則雖可以癸丁邊比壬丁邊若餘〈甲丁〉與正割〈壬丁〉之例然餘尚未求得又無可為比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半徑與甲丁勾之丁角餘相比例也宣城梅定九氏曰得其角度則諸數歴然可於無句股中尋出勾股余亦曰知四率應求之線之故則一率二率三率瞭然可於無比例中尋出比例矣
求壬角
以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為壬角
求壬癸邊
以半徑比丁角之正若壬丁與壬癸股
一 半徑 一○○○○○
二 丁角〈六十二度〉正 ○八八二五九
三 壬丁邊 一百○二丈二尺
四 壬癸邊 ○九十丈○二尺三寸右例以邊求角而先知方角故止用二邊此先有之邊是與勾故求壬癸邊之股者以壬丁邊之斜為比而正如股半徑旋轉如可線與線相比以為邊與邊相比之例也若先有者是股邊勾邊則求切線者以股邉為例而勾之比股者又可以半徑為勾如下求丁角法
假如壬癸丁三角形有壬丁邊一百○六丈壬癸邊九十丈癸丁邊五十六丈求角
求癸角
以壬丁大邊與丁癸邊相加得〈一百
六十二丈為總又相減得〉〈五十丈〉為較以
較乘總得〈八千一百丈〉為實以壬癸邊
〈九十丈〉為法除之仍得〈九十丈〉與壬癸
邊數等即知癸角為正方角
求丁角
以丁癸邊比壬癸邊若半徑與丁角切線
一 丁癸勾 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角切線 一六○七一四
以所得切線檢表得五十八度○六分為丁角
有一角必有一弧每一弧必有八線今求丁角而壬癸邊如丁角弧之切線可以半徑相比故先以丁癸邊比壬癸邊為例若半徑與丁角之切線
求壬角
以丁角〈五十八度○六分〉與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角
右例亦以邊求角而先不知其為勾股形故兼用三邊
鋭角
有兩角一邊求餘角餘邊〈鋭角之一〉
假如〈乙丙丁〉鋭角有丙角〈六十度〉丁角〈五十度〉丙丁邊〈一百二十尺〉
求乙角
以丙角〈六十度〉丁角〈五十度〉相併得〈一百一十
度〉以減半周一百八十度餘七十度
為乙角
右丙角丁角有度而無邊乙角有邊
而無度先以兩角之度除半周而乙
角之弧度得矣既得乙角之度即可
以乙角之線比乙角相對之邊若他
角之線與他角之邊
求乙丁邊
以乙角正比丙丁邊若丙角正與乙丁邊一 乙角〈七十度〉正 九三九六九
二 丙丁邊〈即乙角對邊〉 一百二十尺
三 丙角〈六十度〉正 八六六○三
四 乙丁邊〈即丙角對邊〉 一百一十尺○六寸以前諸法俱線比線邊比邊互相為例此處以線比邊下求乙丙邊同
求乙丙邊
以乙角正比丙丁邊若丁角正與乙丙邊一 乙角〈七十度〉正 九三九六九
二 丙丁〈乙角對邊〉 一百二十尺
三 丁角〈五十度〉正 七六六○四
四 乙丙〈丁角對邊〉 ○九十七尺八寸右例先有之邊在兩角之間也若先有之邊與一角相對亦同
有一角兩邊求餘角餘邊〈鋭角之二〉
假如〈甲乙丙〉鋭角形有丙角〈六十度〉甲丙邊〈八千尺〉甲乙邊〈七千○三十四尺〉
求乙角
以甲乙邊比甲丙邊若丙角正
與乙角正
一 甲乙邊 七千○三十四尺
二 甲丙邊 八千尺
三 丙角〈六十度〉正 八六六○三
四 乙角 正 九八四九六
檢表得八十度○三分為乙角
凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割線之低昻也今丙角斜邊長近俯乙角斜邊短近仰則乙角必大於丙角故以小邊比大邊亦若正小之比大而可得角也此以小比大也
求甲角
以丙角乙角相併得〈一百四十度○三分〉以減半周餘三十九度五十七分為甲角
求乙丙邊
以乙角之正比甲角之正若甲丙邊與乙丙邊
一 乙角〈八十○度三分〉正 九八四九六二 甲角〈三十九度五十七分〉正 六四二一二
三 甲丙〈乙角對邊〉 八千尺
四 乙丙〈甲角對邊〉 五千二百一十五尺乙角以乙丙為底其正從甲下垂故長甲角以甲丙為底正從乙下垂故短今乙丙邊小於甲乙甲丙之兩邊故以最大之邉比之先以最大之線比最小之線用乙角甲角之正為例也
右例有兩邊一角而角與一邊相對
假如〈甲乙丙〉鋭角形有甲丙邊〈四百尺〉乙丙邊〈二百六十一尺○八分〉丙角〈六十度〉角在兩邊之中不與邊對求甲乙邊
先求中長線分為兩勾股形
以半徑比丙角正若甲丙邊
與甲丁中長線
〈此下四則皆為求甲乙邊與甲全角故先求分形之邊及
分形之角〉
一 半徑 一○○○○○
二 丙角〈六十度〉正 ○八六六○三
三 甲丙邊 四百尺
四 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
求丙丁邊〈求中長線專為分邊而求〉
以半徑比丙角餘若甲丙邊與丙丁邊
一 半徑 一○○○○○
二 丙角〈六十度〉餘 ○五○○○○
三 甲丙邊 四百尺
四 丙丁邊 二百尺
求角者須先審四率之線應求某線而以邊之可比例者為一二率求邊者須先審二率應用某線可與四率之邊相比例而以一率三率比之蓋邊有定在而線則隨所比例而變其所取也如右求丙丁邊乃分邊而非乙丙之全邊妙在八線餘限於正而不越於正之外與丁丙分邊限於中長線甲丁不能越丁而至乙故二率取為比例而得丙丁之分邊
求乙丁邊
以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁
求丁甲乙分角
以甲丁中長線比乙丁分邊若半徑與甲分角切線
一 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分邊 ○六十一尺○八分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角切線 ○一七六三三
檢切線表得一十度為甲分角
右求分角之線自必以分邊為例則所得之線乃分角之線而非甲全角之線惟切線即在角之對邊故分邊之線為分角之度
求甲乙邊
以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邊
一 半徑 一○○○○○
二 甲分角〈十度〉割線 一○一五四三
三 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙邊 三百五十一尺七寸五分右甲分角以中長線為底則割線即甲乙邊
求甲全角
以丙角〈六十度〉之餘角三十度〈即分形甲丁丙之甲分角〉與求得甲分角〈一十度〉相併得四十度為甲全角
求乙角
以甲分角〈一十度〉減象限得八十度為乙角〈或併丙甲二角減半周同〉
右例有兩邊一角而角在兩邊之中不與邊對故用分形以取勾股
用切線分外角〈梅本新増〉
假如〈甲乙丙〉鋭角形有甲丙邊〈四百尺〉乙丙邊〈二百六十一尺○八分〉丙角六十度
求甲角
以甲丙邊乙丙邊相併為總相減為較又以丙角〈六十度〉減半周得外角〈一百二十度〉半之得半外角〈六十度〉檢其切線依三率法求得半較角以減半外角得甲角
一 兩邊總 六百六十一尺○八分二 兩邊較 一百三十八尺九寸三分三 半外角切線 一七三二○五
四 半較角切線 ○三六三九七
檢切線表得二十度為半較角轉與半外角〈六十度〉相減得甲角四十度
求乙角
以甲丙二角相併共〈一百度〉以減半周得餘八十度為乙角
求甲乙邊
以甲角〈四十度〉正 六四二七九
比丙角〈六十度〉正 八六六○三
若乙丙邊 二百六十一尺○八分
與甲乙邊 三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角兩邊而角在邊中不與邊對之三角也但此不用求分邊分角之煩而徑求甲角之半較角葢一弧之中既有丙角則所餘之度皆甲乙之角為丙之外角應將外角中分為半外角以為甲乙兩角之地然甲角邊長鋭於乙角則乙角必大甲角必小又應於外角之半分出較角而後甲角始得其真在半外角既中分外角之半則此較角亦必中分較角之半為半較角故先以邊總比邊較為一二率蓋邊總如半外角之總猶之外角一百二十而半外角止六十也以邊較求甲角之半較角猶甲角小於乙角若干而此求得之較為小於乙角若干之半名半較角也所以求切線者蓋切線在各弧之貼際必與本角之底為直角形如勾股其線遇本角之割線而止今所求在所割之半較角則莫如半外角之切線比半較角之切線同在弧之貼際不煩更覓他線也梅刻増此一條簡捷巧便而所以然之理初學茫然為補圖明之如左
此平三角借弧以明其理
若弧三角所容三角不止
三個如平方立方有面體
之別後同
有三邊求角〈鋭角之三〉
假如〈甲乙丙〉鋭角形有乙丙邊〈二十丈〉甲丙邊〈一十七丈五尺八寸五分〉乙甲邊一〈十三丈○五寸〉
求兩勾相減之數為勾較
任以〈乙丙〉大邊為底從甲角作甲丁虛垂線至底分為兩勾股形
一甲丁丙形以甲丙邊為丁丙為勾一甲丁乙形以甲乙邊為丁乙為勾兩相併為總相減為較 兩勾相併〈即乙丙邊原數〉為勾總 求戊丙勾較
以勾總比總若較與勾較
一 兩勾之總〈即乙丙〉 二十丈
二 兩之總 三十丈○六尺三寸五分三 兩之較 四丈五尺三寸五分四 兩勾之較〈即丙戊〉 六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角無度則無線可比止乙至丙之勾似丙角之餘然餘長短必限於正今甲丁中垂線即丙角之正今若求丙角餘又多乙丁勾之長故先求勾較之丙戊既得勾較則可加分形之勾〈戊丁〉而得丁丙分邊與丙角之餘等以之比例而得丙角之餘即查表得丙角之度
求分形之兩勾
以勾較〈六丈九尺四寸六分〉減勾總〈二十丈即乙丙〉餘乙戊〈一十三丈○五寸四分〉半之得丁乙〈即戊丁〉六丈五尺二寸七分為甲丁乙分勾之形
又以戊丁〈六丈五尺二寸七分〉加勾較〈六丈九尺四寸六分 即戊丙〉得丁丙一十三丈四尺七寸三分為甲乙丙分勾之形
求丙角
以甲丙比丁丙勾若半徑與丙角餘
一 甲丙邊 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分邊 一十三丈四尺七寸三分三 半徑 一○○○○○
四 丙角餘 ○七六六一六
檢餘表得丙角四十度
求甲角
先求分形大半之甲角
以丙角〈四十度〉減象限餘五十度為〈丁甲丙〉分形甲角
次求分形小半之甲角
以甲乙比丁乙勾若半徑與分形甲角之正一 甲乙邊 一十三丈○五寸
二 丁乙分邊 ○六丈五尺二寸七分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角正 ○五○○一五
〈以甲丁為底則甲乙邊如半徑而乙丁邊如甲分角之正〉
檢正表得三十度為〈丁甲乙〉分形之甲角併分形兩甲角〈先得五十度次得三十度〉得共八十度為甲全角
求乙角
併丙甲二角共〈一百二十度〉以減半周得餘六十度為乙角
鈍角
有兩角一邊求餘角餘邊〈鈍角之一〉
假如〈乙丙丁〉鈍角形有丙角〈三十六度半〉乙角〈二十四度〉丁乙邊〈五十四丈〉
求丁角
以丙丁二角併共〈六十度半〉以減
半周得餘一百一十九度半為丁
鈍角
求乙丙邊
以丙角正比丁角正若乙丁邊與乙丙邊一 丙角〈三十六度三十分〉正 五九四八二二 丁角〈一百十九度三十分〉正 八七○三六
三 乙丁邊 五十四丈
四 乙丙邊 七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以鈍角度減半周用之凡鈍角同
求丁丙邊
以丙角正比乙角正若乙丁邊與丁丙邊一 丙角〈三十六度三十分〉正 五九四八二二 乙角〈二十四度〉正 四○六七四
三 乙丁邊 五十四丈
四 丁丙邊 三十六丈九尺二寸
凡鈍角以外角之正為正蓋即
此鈍角之外角也如圖丁為鈍角乙
丙為丁角所對之弧乙丁甲為丁角
之外角至於正皆以本角之勾為
底以割線〈半徑同〉與弧之相界處直線
垂下與本角之底為正方直角如圖
乙丁甲為丁角之外角乙丁如外角
之割線夘丁如外角之餘而夘乙
則外角之正也至如丙角以丙丁
為底其正丑丁近乙丁邊乙角以
乙丙為底其正子丁近乙丙邊也
補圖明之
有一角兩邊求餘角餘邊〈鈍角之二〉
假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分鈍角形〈此鈍角所對之弧度分〉甲丙邊四千尺甲乙邊三千五百一十七尺
〈前則用他角求鈍角此則用鈍角求他角〉
乙角為鈍角
甲丙為鈍角所對之弧度
乙丁為丙角正
甲戊為鈍角用外角之正
求丙角
以甲丙邊比甲乙邊若乙角正與丙角正
一 甲丙邊 四千尺
二 甲乙邊 三千五百一十七尺三 乙角〈九十九度五十七分〉正 九八四九六〈即八十度三分正度〉四 丙角 正 八六六○三
檢表得丙角六十度
按乙角為鈍角其所用外角之正即鈍角九十九度五十七分減半周一百八十度所餘八十度○三分之外角其所有之正也〈每度六十分〉求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙邊比甲乙邊為例俱以長比短而縱與縱為同類
求甲角
併乙丙二角共一百五十九度五十七分以減半周得餘二十度○三分為甲角
求乙丙邊
以乙角之正比甲角正若甲丙邊與乙丙邊一 乙角〈九十九度五十七分〉正 九八四六九二 甲角〈二十度○三分〉正 三四二八四
三 甲丙邊 四千尺
四 乙丙邊 一千三百九十二尺右甲角正以甲丙為底乙已即甲角正與甲已為正方角此二則皆以大比小右例有兩角一邊而先有對角之邊若兩邊一角而邊在角之兩旁不與角對又另法如左
假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊〈一千○八十尺〉乙丙邊〈一千五百八十二尺〉乙角〈二十四度〉
丙戊為虛股 戊丁為虛勾
乙角乙丁為底丑丁為正 乙丁
即餘 丙角丙丁為底子丁為正
先以半徑比乙角正若乙丙邊與丙戊邊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角〈二十四度〉正 ○四○六七四
三 乙丙邊 一千五百八十二尺四 丙戊邊〈即虛垂線〉 ○六百四十三尺
又以半徑比乙角餘若乙丙邊與乙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角〈二十四度〉餘 ○九一三五五
三 乙丙邊 一千五百八十二尺四 乙戊邊〈即乙丁引長線〉 一千四百四十五尺右以原邊乙丁〈一千○八十尺〉與引長乙戊邊相減得丁戊〈三百六十五尺〉為形外所作虛勾股形之勾〈先得丙戊垂線為股原有邊之丁丙為〉
求丁丙邊
依勾股求法以丙戊股自乘〈四十一萬三千四百四十九尺〉丁戊勾自乘〈一十三萬三千二百二十五尺〉併之得數〈五十四萬六千六百七十四尺〉為實平方開之得七百三十九尺為丁丙邊
求丙角
以丁丙邊比丁乙邊若乙角正與丙角正一 丁丙邊 ○七百三十九尺二 丁乙邊 一千○八十尺
三 乙角〈二十四度〉正 四○六七四
四 丙角 正 五九四四二
檢表得丙角三十六度二十九分
求丁角
以丙乙二角併之共〈六十度二十九分〉以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角
此三角形既有乙角度當先求丙角之鋭而後丁角之鈍可以半周相減即得但求丙角雖有乙丁邊可為丙角正之比例〈凡正必在本角相對之邊〉然丙丁無邊不能以邊比邊為乙角正比丙角正之例故又當先求丙丁邊但丙丁邊如勾股之斜當以勾股求法求之今丁戊無勾丙戊無股故先求丙戊邊以作虛股再求乙戊邊以作虛勾而後用勾股求法而得丙丁之邊三邊既得則每角之正必近本角所對之邊即可以所對之兩邊相比為兩角之正相比之例求之矣葢丙角以丙丁為底其正子丁近乙丁邊而乙角之正子丑近丙丁邊故必先得邊以為求線之比例也既先有乙角又求得丙角則丁角半周減之即得矣
右兩邊一角而角不與邊對
用切線分外角〈梅本新増〉
假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊〈五百四十尺〉丙乙邊〈七百九十一尺〉乙角〈二十四〉度
求丙角
以〈丁乙丙乙〉兩邊相併為總相減為較又以〈乙〉角〈二十四度〉減半周得外角〈一百五十六度〉半之得半外角〈七十八度〉
以邊總比邊較若半外角切線與半較角切線一 兩邊之總 一千三百三十一尺二 兩邊之較 ○二百五十一尺
三 半外角切線 四七○四六三
四 半較角切線 ○八八七一九
檢表得半較角〈四十一度三十五分〉以減半外角〈七十八度〉得餘〈三十六度二十五分〉為丙角
求丁角
併乙丙二角共〈六十度二十五分〉以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角
求丁丙邊
以丙角正比乙角正若乙丁邊與丁丙邊一 丙角〈三十六度二十五分〉正 五九三六五二 乙角〈二十四度〉正 四○六七四
三 乙丁邊 五百四十尺
四 丁丙邊 三百六十九尺九寸八
分
右新増一則亦角在兩邊之中不與邊對與前三角形無異亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁邊先補虛勾虛股以求丙丁邊邊得而丙角之線可比例以求丙角其法詳此新増法竟求丙角而求丙丁邊反在求得丙角之後更簡捷矣其邊總邊較半外角切線與半較角切線補圖明之如左
〈甲庚癸為半周子庚為半徑
甲壬為乙角度壬辛癸為外角
壬辛為半外角子夘為半外角割
線壬夘為半外角切
線己丑為半較角切
線己辛為半較角〉
新式三邊求角〈鈍角之三〉
假如〈乙丙丁〉鈍角形有乙丙邊〈三百五十尺〉乙丁邊〈六百○七尺〉丁丙邊〈三百尺〉
右有邊無角
術自乙角作虛垂線至甲又引丁丙線橫出遇於甲而成正方形為乙甲丁勾股形又橫線至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛為兩勾之總丁丙邊為兩勾之較乙丁邊為大形〈乙甲丁〉之乙丙邊為小形〈乙甲辛即乙甲丙〉之兩相併為總相減為較
先求勾總
此因將求丁角度而三角無度則無線可比唯丙丁句似丁角餘然丁角以乙丁為半徑則乙甲為正而餘應自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之餘故必先求甲丁勾始與丁角餘相等然欲求甲丁勾又必先求勾總以為分形之勾股而後甲丁之勾可比得丁角之餘以查表而得丁角也
一 勾較〈即丁丙邊〉 三百尺
二 較〈即乙丁邊減乙丙之餘〉二百三十二尺
三 總〈即乙丁乙丙二邊相併〉 九百八十二尺四 勾總〈即丁辛〉 七百五十九尺四寸以勾較〈三百尺〉減所得勾總〈七百五十九尺四寸〉餘數〈四百五十九尺四寸〉半之得數〈二百二十九尺七寸〉為小形之勾甲丙
以甲丙小形之勾加丁丙較〈三百尺〉得數〈五百二十九尺七寸〉為大形之勾甲丁
求丁角
以乙丁比丁甲勾若半徑與丁角之餘一 乙丁 六百○七尺
二 甲丁勾 五百二十九尺七寸
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘 ○八七二六五
檢表得丁角二十九度一十四分
求丙角〈用乙甲丙小形〉
鈍角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此鈍角丙之外角割線
以甲丙勾比乙丙若半徑與丙角之割線一 甲丙勾 二百二十九尺七寸二 乙丙 三百七十五尺
三 半徑 一○○○○○
四 丙角割線 一六三二五六
檢表得丙角〈五十二度一十四分〉為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜實即丙角之割線至於求丁角求丙角俱以半徑為三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半徑可勾可股可顧隨所取用耳
求乙角
併丁丙二角所得度分共〈一百五十七度〉以減半周得餘二十三度為乙角
右例鈍角形三邊求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邊為底從鈍角分中長線同鋭角之三
補圖 乙丙丁三角形 乙己為丙角
弧度 乙辛為丙外角 丙戊
即〈乙丙〉為丙外角割線 乙壬壬
辛為外角之丁角乙角
乙甲即中長線 乙甲丙即小
形勾股 乙甲丁即大形勾股
乙丙即虛勾虛股之 戊辛
為切線
右鈍角用割線宣城梅定九先生新増此式為割線求度分之法蓋割線乃象限中所割各度之線必與切線相遇以為増減割線割於弧內切線切於弧外彼増此減彼減此増如前鈍角之二己辛為半較角其切線即從己之弧外起今外角乙辛即從辛之弧外起此新式之用割線視前法無異也至鈍角之所以用外角者蓋大圜兩分之為半周四分之為象限凡象限止九十度而自一度至四十四度為平度自四十五度至八十九度為髙度其髙度之正線即平度之餘線而髙度之餘線即平度之正線故四十四與四十五同表四十三與四十六同表以至○度○分則與八十九度六十分同表此作八線表者因髙度平度如測望之直景倒景相反而實相通為此省文也今凡鈍角度必過象限之外在八線無半弧之表可查則用外角之線度以減半弧而所餘之度即鈍角所對之弧度明矣此因八線表而立鈍角用外角之法也
勾股引䝉卷四
欽定四庫全書
勾股引𫎇卷五
海寧 陳訏 撰
象限線度總目
正 正切 正割 正矢〈以餘減全〉
餘 餘切 餘割 餘矢〈以正減全〉
平度〈正線即髙度餘線〉髙度〈正線即平度餘線〉
初
一 八八
二 八七
三 八六
四 八五
五 八四
六 八三
七 八二
八 八一
九 八十
十 七九
十一 七八
十二 七七
十三 七六
十四 七五
十五 七四
十六 七三
十七 七二
十八 七一
十九 七十
二十 六九
二一 六八
二二 六七
二三 六六
二四 六五
二五 六四
二六 六三
二七 六二
二八 六一
二九 六十
三十 五九
三一 五八
三二 五七
三三 五六
三四 五五
三五 五四
三六 五三
三七 五二
三八 五一
三九 五十
四十 四九
四一 四八
四二 四七
四三 四六
四四 四五
求弧度之分秒
如設數與表相合即本度分也不合則表數與設數近少者相減得差乗六十得數為實再表中近多者與近少相減得差為法而一得數以加近少之弧度分即所求之弧度分秒
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法類,算書之屬,句股矩測解原>
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