几何论约 (四库全书本)/全览
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钦定四库全书 子部六
几何论约 天文算法类二〈算书之属〉提要
〈臣〉等谨案几何论约七卷
国朝杜知耕撰知耕字临甫号伯瞿柘城人是编取利玛窦与徐光启所译几何原本复加删削故名曰论约考光启于几何原本之首冠杂议数条有云此书有四不必不必疑不必揣不必试不必改有四不可得欲脱之不可得欲驳之不可得欲减之不可得欲前后更置之不可得知耕乃刊削其文似乎蹈光启之所戒然读古人书者往往各有所会心当其独契不必喻诸人人并不必印诸著书之人几何原本十五卷光启取其六卷萨几里得以绝世之萟传其国递校之秘法其果有九卷之冗赘待光启去取乎亦各取其所欲取而已知耕之取所欲取不足异也梅文鼎算术造微而所著几何摘要亦有所去取于其间且称知耕是书足以相证则是书之删繁举要必非漫然矣乾隆四十六年九月恭校上
总纂官〈臣〉纪昀〈臣〉陆锡熊〈臣〉孙士毅
总 校 官〈臣〉陆费墀
原序
凡物之生有理有形有数三者妙于自然不可言合何有于分顾从来语格物者毎详求理而略形与数其于数虽有九章之术求其精确已苦无𫝊书至论物之形则绝无及者孟子曰继之以规矩凖绳以为方圆平直不可胜用意古者公输墨翟之流未尝不究心于此而特未及勒为一家之言与然不可考矣尝窃论之理为物原数为物纪而形为物质形也者理数之相附以立者也得形之所以然则理与数皆在其中不得其形则数有穷时而理亦杳𣺌而不安非理之不足恃盖离形求理则意与象暌而理为无用即形求理则道与器合而理为有本也㡬何原本一书创于西洋欧吉里斯自利玛窦携入中国而上海徐元扈先生极为表章译以华文中国人始得读之其书囊括万象包罗诸有以为物之形有短长有阔狭有厚薄短长曰线阔狭曰面厚薄曰体以三者提其大纲而曲直相参斜正相求方员相凖多寡相较轻重相衡以虚例实用小该大自近测远参之伍之错之综之物之形得而无阂数无遁理矣顾其书虽存而习者卒鲜即稍窥其籓亦仅以为历学一家之言不知其用之无所不可也友人杜子端甫束发好学于天文律历轩岐诸家无不该览极深湛之思而归于平实非心之所安事之所验虽古人成说不敢从也其于是书九沛然有得以为原书义例条贯已无可议而解论所系间有繁多读者难则知者少矣于是为之删其冗复存其节要解取诂题论取发解有所未明间以已意附之多者取少迂者取径使览者如指掌列眉庶人不苦难而学者益多既成征序于予予谫陋何能为役然念先君子尝精研此书弗释卷不肖总角时毎闻其略今愧不能绍前业读杜子书而附名末议尤所欣愿者故为述其大意以应杜子之请而因为之言曰今艺学之榛荒久矣即以律历论二者虽同出于数然各有本末不必强同汉魏以来务为牵合了无确义至天文一家尤多穿凿凡日月交食五星凌犯有所弗通不咎推步之失反诬天行之错以致批根人事除翦无辜翕张政刑不可殚述盖不徒时刻愆期分秒失算而已是岂非学而不实之过哉若舍去一切傅会揣合之说而以㡬何之学求之则数以象明理因数显涣然冰释无往不合即推而广之凡量高测远授土工治河渠以及百工技艺之巧日用居室之微无一之可离者然则此书诚格致之要论艺学之津梁也今夫释迦之学亦来自西域中更刘宋萧梁诸人翻演妙谛转渉悬𣺌然终属搏沙无禆实用中国人犹嗜之不啻饥渴㡬何一书绝非其伦徐利二公一本平实杜子所述更归捷简学者辍其章句词赋之功假十一于千百数日间可得之亦何惮而不一观与杜子先有数学钥六卷已行于世正与㡬何家相为表里合二书评之皆洁浄精实㡬于不能损益一字语不云乎言之无文行之不远吾以为言之不简不可为文简而不该不可为简请以此语赞两书读之者既得其简即得其该其于是道也庶㡬哉吴学颢序
原序
几何原本者西洋欧吉里斯之书自利氏西来始𫝊其学元扈徐先生译以华文历五载三易稿而后成其书题题相因由浅入深似晦而实显似难而实易为人不可不读之书亦人人能读之书故徐公尝言曰百年之后必人人习之即又以为习之晚也书成于万历丁未至今九十馀年而习者尚寥寥无㡬其故何与盖以毎题必先标大纲继之以解又继之以论多者千言少者亦不下百馀言一题必绘数图一图必有数线读者须凝精聚神手志目顾方明其义精神少懈一题未竟已不知所言为何事习者之寡不尽由此而未必不由此也若使一题之蕴数语辄尽简而能明约而能该篇幅既短精神易括一目了然如指诸掌吾知人人习之恐晩矣或语余日子盍约之余曰未易也以一语当数语聪颕者所难而况鲁钝如余者乎虽然试为之于是就其原文因其次第论可约者约之别有可发者以已意附之解已尽者节其论题自明者并节其解务简省文句期合题意而止又推义比类复缀数条于末以广其馀意既毕事爰授之梓以就正四方倘摘其谬删其繁补其遗漏尤余所厚望焉杜知耕序
钦定四库全书
几何论约卷一之首
柘城杜知耕撰
界说三十六则〈凡造论先当分别解说论中所用名目故作界说〉
一界点无长短广狭厚薄
二界线有长短无广狭厚薄〈线有曲有直〉
三界线之界是点
四界直线止有两端两端之间上下更无一点
五界面有长短广狭而无厚薄
六界靣之界是线
七界平面一面平在界之内
八界平角两直线于平靣纵横相遇处如甲乙乙丙两线所作不以线之大小较论〈凡言角连用三字中间一字为所指之角如称甲乙丙角乃指乙角而言也〉
九界直线相遇作角为直线角本书中所论皆是直
线角角有三等一直线角
二曲线角三杂线角
十界甲乙纵线加丙丁横线上乙左右作两角相等
而直〈角方中矩曰直〉则甲乙为丙丁之垂线
十一界凡角大于直角曰钝角〈如甲乙丙角〉
十二界凡角小于直角曰锐角〈如前图甲乙丁角〉
十三界界者一物之始终今所论有三界点为线之界线为面之界面为体之界体不可为界
十四界形或在一界〈如平圎立圎等形〉或在多界之间〈如平方立方及平立三角六角八角等形〉
十五界圜自界至心任作几许直线俱等
十六界圜之中处为心
十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜为两平分
十八界径线与半圜界所作形为半圜
十九界在直线界中之形为直线形
二十界在三直线界中之形为三边形
二十一界在四直线界中之形为四边形
二十二界在多直线界中之形为多边形
二十三界三边形三边线等为平边三角形
二十四界三边形两边线等为两边等三角形
二十五界三边形三边俱不等为三不等三角形二十六界三边形有一直角为三边直角形
二十七界三边形有一钝角为三边钝角形
二十八界三边形三角皆锐为三边锐角形〈凡三边形恒以在下者为底两旁者为腰〉
二十九界四边形四边俱等而角直为直角方形三十界直角形其角皆直其边两两相等
三十一界斜方形四边等而非直角
三十二界长斜方形其边两两相等而非直角
三十三界已上四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形
三十四界两直线〈如甲乙丙丁两线〉于同面行至无穷不相
离亦不相远而不相遇为平行线
三十五界一形每两边有平行线〈甲丙与乙丁平行甲乙与丙丁平行〉
为平行方形
三十六界凡平行方形于对角作直线又于两边纵横各作平行线遇对角线于壬即分此形为四平行方形其两形有对角线者〈己辛庚戊两形〉为
角线方形其两形无角线者〈丁壬壬乙两形〉为馀方形〈甲乙丙丁方形今止称为丁乙方形省文也〉
求作四则〈求作者不得言不可作〉
一求自此点至彼点求作一直线
二求一有界直线求从一界引长之成一直线
三求不论大小以点为心求作圜
四求设一度于此求作彼度较此度或大或小〈凡言度者或线或面或体皆是〉
公论十九则〈公论者不可疑〉
一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等
七论有多度俱半于此度则彼多度俱等
八论有二度自相合〈谓以此度加于彼度之上而自相合〉则两度必等九论全大于其分
十论直角俱相等
十一论有甲乙丙丁两横线任作一戊己纵线或正或偏若戊己线旁同方两角俱小于直角或两角并小于两直角则两横线愈长愈相近
必有相遇处
十二论两直线不能为有界之形
十三论两直线止能于一点相遇
十四论有甲乙丙丁两度等若于甲乙加乙戊于丙丁加丁己所加两度不等则合并之差与所
加之差等谓甲戊之大于丙己与乙戊之大于丁己同一戊庚也
十五论有戊乙丁己两度不等若于戊乙加乙甲于己丁加丁丙所加两度等则合并所赢之度
与元所赢之度等谓戊甲之大于己丙与戊乙之大于己丁同一庚戊也
十六论有甲乙丙丁两度等若于甲乙减戊乙于丙丁减己丁所减两度不等则馀度所赢之度
与减去所赢之度等谓乙戊之大于己丁与丙己之大于甲戊同一庚戊也
十七论有甲戊丙己两度不等若于甲戊减甲乙于丙己减丙丁所减两度等则馀度所赢之度
与元所赢之度等谓乙戊之大于丁己与甲戊之大于丙己同一庚戊也
十八论全与诸分之并等
十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较〈相减之馀曰较〉亦倍于彼较〈设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七〉
钦定四库全书
几何论约卷一
柘城杜知耕撰
一题
有界直线上求立平边三角形
法曰甲乙直线上求立平边三角
形先以甲为心乙为界作丙乙丁
圜次以乙为心甲为界作丙甲丁
圜两圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙两线即甲乙丙为平边三角形
论曰两圜既等甲乙乙丙丙甲三线皆圜之半径故等〈界说十五〉
用法不必作全圜但作短界线相交处即得丙〈下图〉二题
一直线或内或外有一点求以点为界作直线与元线等
法曰有甲点及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界作乙戊圜次观甲点若
在丙乙之外则作甲丙线
如上图或甲点在丙乙之
内则截取甲丙线如下图
两法俱以甲丙线为底作甲丁丙平边三角形〈本卷一〉次引丁丙至乙戊圜界为丙戊引丁甲出圜界外稍长为甲己末以丁为心戊为界作辛戊圜其丁己线与辛戊圜相交于庚即甲庚与乙丙等论曰丁戊丁庚同为外圜半径故等丙戊丙乙同为内圜半径亦等于丁庚减丁甲于丁戊减丁丙其所减两腰等则所存必等〈公论三〉夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣
若所设甲点在丙乙线之一界其法尤易若甲点在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求三题
长短两直线求于长线减去短线之度
法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先作乙丁线与甲等次以乙为心丁为
界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜故也〈界说十五〉
四题
两三角形若相当之两腰各等各两腰间角等则两底必等而两形亦等其馀各两角相当者俱等
解曰甲乙丙丁戊己两角形甲与丁两角等甲丙
与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底必等而两角
形亦等乙与戊两角丙与己两角俱等〈三角形称为角形省文也〉
五题
三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
解曰甲乙丙角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又引甲丙
至戊引甲乙至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
増凡三边等形其三角俱等
六题
三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
七题
一线为底出两腰线其相遇止有一点不得别有腰线与元腰线等而于此点外相遇
解曰乙丙线为底于乙于丙各出一线至甲点相遇不得于乙上更出一线与甲乙等丙
上更出一线与甲丙等而不于甲相遇
八题
两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙
与戊己两底亦等题言甲丁两角必等
糸本题止论甲丁两角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等角必等不可疑也
九题
有直线角求两分之
法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙截甲戊与甲丁等次作丁戊线次以丁戊为底立丁己戊
平边三角形〈本卷一〉末作甲己线即乙甲丙角为两平分
用法如前截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间作一短界线次用元度以戊
为心亦如之两界线交处即得己〈本卷一〉
十题
一有界线求两平分之
法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形〈本卷一〉次平分丙角〈本卷九〉作丙丁线即平分甲乙于丁
用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙
丁线即平分甲乙于戊
十一题
一直线任于一点上求作垂线
法曰甲乙直线任指丙点求作垂线先任用一度于丙左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两边等角形〈本卷一〉末作己丙线即为甲乙之垂线
用法于丙点左右如前截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界
线交处即己
増若所欲立垂线之点在线末甲界上甲外无馀线可截则于甲乙线上任取丙点如前法于丙上立丁丙垂线次平分甲丙丁角为己丙线次于丁丙线截取戊丙与甲丙等次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚末自庚作庚甲线为所求
论曰庚丙甲庚丙戊两角形等甲与戊两角必等戊既直角则甲亦直角故庚甲为甲乙之垂线〈界十〉用法甲点上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界为丙次用元度以丙为心作大半圜圜界遇甲乙线于丁次自丁至丙作直线引长至戊遇圜界于己末作己甲线为所求
耕曰丁己既过丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也丁甲己角既负半圜必为直角〈三卷三一〉故己甲为甲乙之垂线
十二题
有无界直线之外有一点求自点作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙点求自丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁戊次作丙丁丙戊两线次平分丁戊于
己〈本卷十〉末作丙己为所求
用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用一度以甲为心向丙点相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末作丙丁交直线于戊即丙戊为垂线
又用法于甲乙线上近甲或近乙任取一点为心以丙为界作一圜界于丙点及相望处各稍引长
之次于甲乙线上视前心或相
望如上图或进或退如下图任
移一点为心以丙为界作一圜
界与前圜界交处得丁末作丙丁线交甲乙线于戊即丙戊为垂线〈若近界作垂线无可截取亦用此法〉
十三题
一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角
解曰甲乙线至丙丁线上作甲乙丙甲乙丁两角题言此两角若非直角即一锐一钝而并之等于两直角
论曰试作戊乙垂线〈本卷十一〉则成戊乙丁戊乙丙两直角甲乙丁角加一戊乙甲角与戊乙丁直角等甲乙丙角减一戊乙甲角与戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙两角并与两直角等
十四题
一直线于线上一点岀不同方两直线偕元线毎旁作两角若旁两角与两直角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线于丙点上左岀一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两
直角等题言丁丙与丙戊是一直线〈论同前题〉
十五题
凡两直线相交作四角毎两交角必等
解曰甲乙丙丁两线相交于戊题言甲戊丙丁戊
乙两角甲戊丁丙戊乙两角各等
论曰两直线相交则甲戊丁丁戊乙必等于
两直角甲戊丁甲戊丙亦等于两直角〈本卷十三〉是甲戊丁丁戊乙两角并与甲戊丁甲戊丙两角并等矣试减同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙两角必等馀两角亦同此论
一糸推显两直线相交作四角与四直角等
二糸凡直线相交于一点不论几许线几许角定与四直角等
増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线〈理同本题反言之〉
十六题
凡三角形之外角必大于相对之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲线引至丁题言丁甲丙外角必大于相对之甲乙丙甲丙乙内角
论曰试以甲丙平分于戊作乙戊线引长之从戊截取戊己与乙戊等次作甲己线成甲戊己戊乙丙两角形其戊己与戊乙戊甲与戊丙各等甲戊己乙戊丙两交角又等〈本卷十五〉则甲己与乙丙两底亦等〈本卷四〉而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前
推显庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又与丁甲丙两交角相等〈本卷十五〉是丁甲丙亦大于辛乙丙矣
十七题
凡三角形之毎两角必小于两直角
解曰甲乙丙角形题言毎两角并俱小于两直角
论曰试引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁两角并与两直角等〈本卷十三〉而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角〈本卷十六〉是甲乙丙与甲丙乙两角并小于两直角矣馀二角仿此
十八题
凡三角形大边对大角小边对小角
解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于甲丙两角
论曰试于甲丙线上截甲丁与甲乙等作乙丁线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣〈本卷五〉夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角〈本卷十六〉则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则甲角亦大于丙角依此推显十九题
凡三角形大角对大边小角对小边
二十题
凡三角形之两边并必大于一边
二十一题
凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并必小于相对两腰并而后两线所作角必大于相对角
解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小
于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二题
三直线其毎两线并大于一线求作三角形
法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线〈若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本卷二十〉求作三角形先任作丁戊线长于三线并次截丁己与甲等截己庚与乙等
截庚辛与丙等次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚己为底作癸庚癸己两线即得己癸庚三角形〈壬点亦可作 若两圜不相交即是两线或等或小于第三线不成三角形〉
用法先作丁戊线与乙等次以丁为心甲为度向上作短界线次以戊为心丙为度亦如
之交处得己末作己丁己戊两线为所求〈若设一三角形求别作一形与之等亦用此法〉
二十三题
一直线任于一点上求作一角与所设角等
法曰甲乙线于丙点求作一角与丁戊己角等先任作庚辛线成庚戊辛角形
次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛等〈本卷二二〉二十四题
两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大
解曰甲乙丙与丁戊庚两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁庚两腰各等若
甲角大于戊丁庚角题言乙丙底亦大于戊庚底耕曰设丁戊己与甲乙丙形等则角与底必俱等若丁己线开至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己线敛至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底
二十五题
两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大
二十六题
两三角形有相当之两角等及相当之一边等则馀两边必等馀一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
解曰甲乙丙形之乙丙两角与丁戊己形之戊己两角各等或两角内之乙丙边与戊己边等或对丙角之甲乙边与对己角之
丁戊边等题言两形之馀两边一角必俱等
二十七题
两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行
解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行
论曰如不平行两线必相遇于壬成庚辛壬三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角〈本卷十六〉若两角等则两线必平行
二十八题
两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行
解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛题言若戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等则两线必平行又言若甲庚辛与丙辛庚同方两内角并与两直角等则两线必平行
二十九题
两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等〈义同上二题反言之〉
三十题
两直线与他直线平行则元两线亦平行〈此题所指线在同面者不同面线后别有论〉
三十一题
一点上求作直线与所设直线平行
法曰甲点求作直线与乙丙平行先从甲向乙丙线任作甲丁线即乙丙线上成甲丁乙角次于甲点上作一角与甲丁乙等〈本卷二三〉为
戊甲丁引长戊甲至己即己戊为所求
论曰戊甲丁甲丁乙相对之两内角等两线必平行〈本卷二八〉
用法先从甲点作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界少长于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛
末作甲辛线为所求
又用法以甲点为心于乙丙线近乙处任作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙线向丙作短界线为戊次用元度以戊为心向
上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一点为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一点为心作短界线于丁末作
丁甲线为所求〈出几何要法〉
増从此题生一用法设一角两线求作四边形有
角与所设角等
法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚
依丁己平行作庚戊为所求
三十二题〈二支〉
凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等
先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁
外角与甲乙两内角并等
论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲
乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等〈本卷二九〉又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等〈本卷二九〉故甲丙丁外角与甲乙两内角并等
后解曰甲乙丙三角并与两直角等
论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等〈本卷十三〉又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等
増从此推知第一形当两直角第二形〈可分三角形二〉当
四直角第三形〈可分三角形三〉当六
直角第四形〈可分三角形四〉当八直
角从此可推至无穷
耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷
一糸凡诸种角形之三角并俱相等
二糸凡两腰等角形若腰间直角则馀两角毎当直角之半腰间钝角则馀两角俱小于半直角腰间锐角则馀两角俱大于半直角
三糸平边角形毎当直角三分之二
四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎
当直角三分之二
増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形〈本卷一〉次平分甲丁于戊〈本卷九〉末作乙戊线
三十三题
两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等
三十四题
凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分
解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线
即分本形为两平分
三十五题
两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等〈等者谓所函之地等后言形等者多仿此〉
先论己点在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊馀甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等〈本卷四〉次于两角
形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等
次论己戊同点曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等
后论己点在甲戊之外曰甲戊己乙两线等
而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等
三十六题
两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底
等题言两形亦等
论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等〈本卷三五〉即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等
三十七题
两平行线内有两三角形若同底则两形必等
三十八题
两平行线内有两三角形若底等则两形必等
耕曰三角形当等高等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形
増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线
即分本形为两平分
论曰试于甲角上作直线与乙丙平行则甲
乙丁甲丁丙两角形在平行线内两底等则两形亦等
二増甲乙丙角形从丁点求两平分法先作丁甲线次平分乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作
己丁线即分本形为两平分
论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在平行线内同己戊底必等而毎加一己
戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等夫甲戊丙为甲乙丙之半则己丁丙亦甲乙丙之半
三十九题
两三角形其底同其形等必在两平行线内
四十题
两三角形其底等其形等必在两平行线内
四十一题
两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形
四十二题
有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙边于戊次作丙戊己角与丁等〈本卷十〉次作甲庚直线与乙丙平行末作
丙庚线与戊己平行即得己戊丙庚方形为所求四十三题
凡方形对角线旁两馀方形自相等
解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之壬戊与丁庚两馀方形自相等
论曰甲乙丙甲丙丁两角形等又甲戊庚甲庚辛两角形庚壬丙庚丙己两角形各等于甲乙丙形内减甲庚戊庚壬丙两形
于甲丙丁形内减甲庚辛庚丙己两形则所存壬戊丁庚两馀方形安得不等
四十四题
一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等
法曰求于甲线上作平行方形与乙等而有丙角先作己丁方形与乙等而戊己庚角与丙等次引
长丁戊庚己两线为戊壬己辛令各与甲等次作壬己对角线引出之次引长戊己丁庚两线而丁庚遇对角
线于癸末作癸子与庚辛平行作壬子与戊丑平行即己丑子辛平行方形为所求〈论同本卷四二四三〉
四十五题
有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙五边形等而有丁
角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形与甲等而有丁角次引长戊辛己庚作庚辛壬癸方
形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑方形与丙等而有丁角即此三形并成一平行方形为所求〈自五以上仿此法论同本卷四二四四〉
増题甲乙两形甲大乙小以乙减甲求较几何法先任作丁丙己戊方形与甲等次于丙丁线上作丁丙辛庚方形与乙等即得辛庚戊己为甲乙相减之较
四十六题
一直线上求立直角方形
法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丙甲丁乙皆与甲乙线等末
作丙丁聨之即直角方形
四十七题
凡三边直角形对直角边上所作直角方形与馀两边上所作直角方形并等
解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙边上作乙丙丁戊方形题言此方形与甲乙边上所作甲乙己庚及甲丙边上所作甲丙辛壬两方形并
等
曰试从甲作甲癸直线
与乙戊平行分乙丙边于
子次自甲至丁至戊各作
直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线〈本卷十四〉又丙乙戊与甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两边与丙乙己角形之己乙乙丙两
边等甲乙戊与丙乙己两
角既等则对等角之甲戊
与丙己两边亦等而此两
角形亦等矣夫乙庚方形
倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则乙庚方形不与戊子直角形等乎依显丙壬与癸丙两形亦等是戊丙一形与乙庚丙壬两形并等矣
一増凡直角方形之对角线上所作直角方形倍大于元形
二増设不等两方形一以甲为边一以乙为边求别作两方形自相等而并之又与元设两形并等法先作丙丁戊形令丙丁与甲等
丙戊与乙等而直角末于丁戊两端各作半直角两腰遇于己而等则己必直角〈本卷三二〉即己戊己丁上两方形自相等并之又与甲乙上两方形并等论曰丁戊上方形与丁丙丙戊上两方形并等又与丁己己戊上两方形并等是丁己己戊上两方形并与丁丙丙戊上两方形并亦等
三増多直角方形求并作一方形设不等五方形其边为甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚与甲等辛庚与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角令辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角令壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角令癸子与戊等末作己子线即己子线上所作方形为所求
论曰辛己上方形与甲乙上两方形并等己壬上方形与甲乙丙上三方形并等馀仿此
四増甲乙丙三边直角形以两边求第三边长短之度如先得甲乙数六甲丙数八求乙丙之数其甲乙甲丙上两方形并既与乙丙上方形等甲乙之羃三十六〈方形自乘之数曰羃〉甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百开方
得十即乙丙之数也又设先得甲乙六乙丙十而求甲丙之数乙丙之羃百减甲乙之羃三十六馀六十四开方得八即甲丙之数也求甲乙仿此四十八题
凡三角形之一边上所作直角方形与馀边上所作两直角方形并等则对一边之角必直角
几何论约卷一
钦定四库全书
几何论约卷二
柘城杜知耕撰
一题
两直线任于一直线分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等
解曰甲与乙丙两线任于乙丙三分之为乙丁戊丙题言甲偕乙丙矩内形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等
论曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并与全形等
二题
一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等
三题
一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分馀线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙任偕一分线甲丙矩内形〈不论甲丙为大分为小分〉与分馀丙乙偕甲丙
矩内形及甲丙上方形并等
论曰甲己为元线甲乙偕分线甲
丙矩内形甲丁为分线甲丙上方
形丙己为甲丙偕分馀线丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形并与甲己全形等
四题
一直线任两分之其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等
解曰甲乙线任分于丙题言甲乙线上方形与甲丙丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
两矩内形并等
论曰甲丁为甲乙元线上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲庚
庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并与甲乙元线上甲丁方形等
糸凡直角方形之角线形皆直角方形
五题
一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内形及分内线上方形并与平分半线上方形等
解曰甲乙线平分于丙又任分于丁其丙丁为分内线〈丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线〉题言甲丁丁乙矩内形及分内线丙丁上方形并与丙乙线上方形等论曰癸庚为丙丁上方形丁壬为丁乙
上方形丙辛辛己为两馀方自相等辛己加一丁壬则与丙壬等即与甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形岂不与卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形与丙乙线上方形等
六题
一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内形及半元线上方形并与半元线偕引増线上方形等
解曰甲乙线平分于丙又从乙引増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形并与丙丁上方形等论曰甲癸与丙辛等又丙辛与辛戊等〈一卷〉
〈四三〉即辛戊与甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形与卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形与丁丙上丙戊方形等
七题
一直线任两分之其元线上及任用一分线上两方形并与元线偕一分线矩内形二及分馀线上方形并等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用
一分线甲丙上两方形并〈不论甲丙
为大分为小分〉与甲乙偕甲丙矩内形
二及分馀线丙乙上方形并等
论曰甲丁为甲乙上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也两矩内形及丙壬方形并与甲丁方形较多一辛己方形故与甲乙及甲丙上两方形并等八题
一直线任两分之其元线偕初分线矩内形四及分馀线上方形并与元线偕初分线上方形等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四〈不论丙乙为大分为小分〉及分馀线甲丙上方形并与甲乙偕丙乙〈通作一线〉上方形等
论曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子为甲丙上方形此五形并与甲乙偕丙乙上方形
等甲乙偕丙乙上方形即癸己
全形也
九题
一直线两平分之又任两分之任分线上两方形并倍大于平分半线上及分内线上两方形并
解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两方形并倍大于平分半线甲丙上分馀线
丙丁上两方形并
论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆两腰等而直角末作甲己线成己戊甲甲丁己角形二
皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方与戊己甲戊上两方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲己上方与甲丁丁己上两方形并等即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等夫甲丁丁乙上两方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上两方形并十题
一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引增线上两直角方形并倍大于平分半线上及分馀半线偕引増线上两直角方形并
解曰甲乙线平分于丙又任引増乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并
论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又引长戊乙相遇于庚次作戊己线
与丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各两腰等而直角末作甲庚线成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方与甲戊戊庚上两方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等是甲丁丁乙上两方形并亦倍大于甲丙丙丁上两方形并矣
十一题
一直线求两分之而元线偕初分线矩内形与分馀线上方形等
法曰甲乙线求两分之令元线偕初分小线矩内形与分馀大线上方形等先
于甲乙线上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙线次引戊甲线至己令戊己与戊乙等末截甲乙于庚令甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等为所求
论曰从庚作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行庚丙为甲乙乙庚矩内形己庚为甲庚上方形己壬为丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必与等戊己之戊乙上方形等〈本卷六〉戊乙上方形又与戊甲甲乙
上两方形并等是戊甲甲乙上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣次各减同用之戊甲上方形所存甲丙己壬两形不亦等乎再各减同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形〈即庚丙形〉与甲庚上方形〈即己庚形〉必相等〈此题所求即理分中末线详六卷三十〉
十二题
三边钝角形其对钝角边上方形大于馀边上两方形并其较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二
解曰甲乙丙钝角形乙为钝角从馀角下一垂线
与钝角旁一边丙乙引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙边上方
形大于甲乙乙丙两边上方形并其较为丙乙偕乙丁矩内形二
论曰丙丁线任分于乙即丙丁上方形与丙乙乙丁上两方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等〈本卷四〉
甲丙上方形与甲丁丙丁上两方形并等即与甲丁乙丁丙乙上三方形
及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而与甲丙上方形较仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也
十三题
三边锐角形其对锐角边上方形小于馀边上两方形并其较为锐角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内形二
解曰甲乙丙锐角形从甲角向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对
丙锐角之甲乙边上方形小于甲丙乙丙边上两方形并其较为乙丙偕丁丙矩内形二
论曰乙丙线任分于丁即乙丙及丁丙上两方形并与乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等〈本卷七〉又甲丙上方形与甲丁丁丙上两方形并等若甲丙乙丙上两方形并必与乙丙偕丁丙矩内
形二及甲丁乙丁上两方形并等又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形
并等即甲乙上方形与甲丙乙丙上两方形较则朒乙丙偕丁丙矩内形二矣
十四题
有直线形求作直角方形与之等
法曰甲无法四边形求作方形与
之等先作乙丁形与甲等而直角
〈一卷四五〉任以丁丙边引之至己令丙
己与乙丙等次平分丁己于庚其庚点若在丙则乙丁即是方形若在丙外即以庚为心丁为界作丁辛己半圜末于乙丙线引长抵圜界于辛即丙辛上方形与甲等
论曰自庚作庚辛线庚辛上方形与庚丙丙辛上两方形并等又等庚辛之庚己上方形与庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形〈即乙丁形〉并等〈本卷五〉此二率毎减去同用之庚丙上方形所存乙丁形与丙辛上方形安得不等
増题若先得方形之对角线所长于本形边之较而求本形边其较为甲乙先于甲乙上作甲丙方
形次作乙丁对角线引长至
戊令丁戊与甲乙等即得乙
戊线为所求
论曰依乙戊线作戊庚方形次引乙甲线至己末作戊甲线其己甲丁己戊丁两角必等〈两皆直角〉同减去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲两角亦等角等则己甲己戊两腰必等故乙己角线大于戊己边之较为甲乙
耕曰前论止言当然而未及所以然今补一论以明之另作辛壬为乙己角线上方形次作癸子丑寅两形皆与庚戊等错综加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等两方形凡两方形并与角线上一方形等〈一卷四七増〉则丑子一形必与两缺形并等次作辛未为卯午缺形之角线而辛未上方形必亦与两缺形并等则丑子形之未丑边与辛未线必等夫午未为方边小于角线之较与上图甲乙等即与上图丁戊等未丑与辛未等即与上图丁乙等故并两线为方边
几何讑约卷二
钦定四库全书
几何论约卷三之首
柘城杜知耕撰
界说十则
一界凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜如
甲乙戊己两径等或丁丙辛庚从心至圜界等即两圜等
二界凡直线切圜界过之而不与界交为切圜线甲乙在圜外为切圜线若丙丁入圜内则交线也
三界凡两圜相切而不相交为切圜甲乙两圜相切
于外丙丁两圜
相切于内俱曰
切圜戊己庚辛则交圜也
四界凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心远近之度如甲乙距丁心近则丙丁垂线小戊己距心远则丁庚垂线大
五界凡直线割圜之形为圜分如丁乙线割圜其乙甲丁乙丙丁皆为圜分圜分有三等过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者
为圜小分又割线为
圜分为弧
六界凡圜界偕直线作角为圜分角其在半圜内为
半圜角在大分内为大分角在小分内为小分角
七界凡圜界任于一点出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙点出两直线作甲
乙丙角为负甲乙丙圜分角
八界若两直线之角乘圜之一分为乘圜分角甲乙
丙丁圜内于甲点出甲乙甲丁
两线作乙甲丁角为乘乙丙丁
圜分角圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜如己庚辛或两圜相切于外如辛壬癸或两圜相切于内如癸壬子俱为切边角
九界凡从圜心以两直线作角偕圜界为三角形曰
分圜形
十界两负圜角相等即所负之圜分相似甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负丙丁戊与乙甲己两圜分相似又两圜或不等其负
圜分角等即两圜分相似〈相似者同为几分圜之几也〉
钦定四库全书
几何论约卷三
柘城杜知耕撰
一题
有圜求心
解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之两界任作一甲丙直线平分于戊次于戊作乙丁
垂线平分于己即己为圜心
糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角即圜心在其内
二题
圜界任取两点以直线相聨则直线全在圜内
三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
解曰甲乙丙丁圜有丙丁线过戊心平分甲乙线于己题言戊己必是垂线而己旁
为两直角又言己旁既为两直角则戊己必分甲乙为两平分
四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁两直线俱不过已心而交于戊题言两直线或有一
线为两平分不得俱为两平分
五题
两圜相交必不同心
六题
两圜内相切必不同心
七题
圜径离心任取一点从点至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小馀线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲戊辛圜其径甲乙其心巳离心任取一点为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸
线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁如庚戊庚辛止可出两线等不得有三线等
八题
圜外任取一点从点任出几线其至规内则过心线最大馀线愈离心愈小其至规外则过心线最小馀线愈近径愈小而诸线中止两线等
解曰乙己壬圜之外从甲点任出几线其一过心为甲壬馀为甲辛甲庚甲己皆至规内题先言过
心之甲壬最大次言近心之甲辛
大于离心之甲庚甲庚又大于甲
己三言规外之甲乙为乙壬径馀
者最小四言甲丙近径馀小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线如甲丙甲子相等不得有三线等
九题
圜内从一点至界作三线以上皆等此点必是圜心论曰三线皆半径故等若非圜心所出止有两线等不得有三线等
十题
两圜相交止于两点
十一题
两圜内相切作直线聨两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁两圜内相切于甲两心为巳为庚题言作直线聨庚己两心引
抵圜界必至甲
十二题
两圜外相切以直线聨两心必过切界
十三题
圜相切不论内外止以一点
十四题
圜内两直线等即距心之远近等距心之远近等即两直线等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距心远近亦等又言两
线距心远近等则两线亦等
十五题
径为圜内之大线其馀线近心大于远心
解曰甲丙己圜其心庚其径甲己其近心线为乙戊远心线为丙丁题言甲己最大
乙戊近心大于丙丁远心
十六题
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线锐角切边角小于各直线锐角
解曰甲乙丙圜其心丁甲丙为径从甲作甲戊为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
不得更作一直线入其内若作甲己线必割圜为分又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线锐角而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角小于各直线锐角
论曰甲戊下有直线既云必割圜为分即此直线偕戊甲所作角必大于切边角偕丙甲所作角必小于分圜角
糸戊甲线必切圜以一点
増题有两种几何一大一小以小率半増之逓増至于无穷以大率半减之逓减至于无穷其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线锐角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大别以庚癸庚子分壬庚
辛角愈分愈小然直线角恒大切边角恒小乃至终古不得相比
又増题旧有一说以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一说有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论若用以律本题即不可得故今斥为不公论如甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向己其所经丁
戊己及中间逐线所经无数凡割圜时皆为锐角即小于半圜分角才离锐角便为直角即大于半圜分角终无相等线可见前一旧说未为公论又直线锐角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧说未为公论
十七题
设一点一圜求从点作切线
法曰甲点求作直线切乙丙圜其心丁先从甲作甲丁直线截圜界于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁线而截乙丙圜于丙末作甲丙线为所求
论曰甲丙丁与戊丁乙两角形各等戊乙丁既直角则甲丙偕丙丁半径亦直角故甲丙为切线十八题
直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
十九题
直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线内
二十题
负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言
乙丁丙角倍大于乙甲丙角
先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰从甲作甲戊线其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角等〈一卷五〉而乙丁戊外角与相对两内角并等〈一卷三二〉即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰丁甲丙形两腰等则两角亦等而乙丁丙外角与甲丙两内角并等是乙丁
丙角倍大于乙甲丙角
后论分圜角在负圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙负圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊过心线依前论推显戊丁丙分圜角倍
大于戊甲丙负圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角于戊甲丙角减戊甲乙角所馀乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙负圜角
増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或大于半圜则心外馀地亦倍大于同底之负圜角
论曰作甲戊过心线即心外馀地
分为乙丁戊戊丁丙依前论推显
此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
二十一题
凡同圜分内所作负圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊
于丁甲乙丙圜分丙任作
丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等
论曰若函心大分所作如第一图则依丁丙作丁戊丙分圜角此角既倍大于甲角又倍大于乙角是甲乙两角自相等或半圜分所作如第二图则依二十题増言心外馀地倍大于同底各负圜角即各角自相等或不函心小分所作如第三图则作戊丙戊丁两线再作乙庚甲己两过心线丁戊己己戊丙两角并既倍大于丁甲丙角而丁戊庚庚戊丙两角并又倍大于丁乙丙角则甲乙两角必自相等
二十二题
圜内切界四边形毎相对两角并与两直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有
甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙
丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等
论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等〈本卷二一〉依显丙甲丁丙乙丁两角亦等〈以同负丙乙甲丁圜分故〉则甲乙丁丙乙丁两角并〈即一甲乙丙角〉与甲丙丁丙甲丁两角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲两角并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等〈一卷三一〉则甲乙丙丙丁甲两角并亦与两直角等依显乙丙丁丁甲乙两角并亦与两直角等二十三题
一直线上作两圜分不得相似而不相等
二十四题
相等两直线上作相似两圜分必等
二十五题
有圜分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线视丁乙甲角或大或小或等于丁甲乙角若等即丁为圜心
何也两角等则对等角之乙丁丁甲两边必等又丁丙元与甲丁等是从丁出三线至圜界皆等故丁为圜心
次法曰若丁乙甲角大于丁甲乙角当为圜之小分即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引
乙丁线与甲戊线遇于戊即戊为圜心
论曰试作戊丙线成甲丁戊丙丁戊相等两角形而甲戊戊丙两线必等又戊乙甲戊甲乙两角等而对等角之戊乙戊甲两线必亦等今戊甲戊乙戊丙三线至界皆等故戊为圜心
后法曰若丁乙甲角小于丁甲乙角甲乙丙当为圜之大分即作乙甲戊角与丁乙
甲角等而甲戊遇丁乙线于戊即戊为圜心论曰试作戊丙线依前推知甲戊与戊丙等又与戊乙等是从戊至界三线皆等而戊为圜心増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三点于甲于乙于丙以两线聨之各平分于丁于戊从丁戊各作垂线相遇于己即己
为圜心
用法圜界上任取四点各为心相向作界线两两相交为戊己庚辛各作直线交于
壬即壬为心
二十六题
等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等
解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心
为庚为辛有甲庚丙丁辛己两乘
圜角等或甲乙丙丁戊己两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等〈乘圜角之在心即分圜角在界即负圜角随类异名〉
二十七题
等圜之角所乘圜分等则其角或在心或在界俱等増题从此推显有甲丁乙丙两直线不相交而在一圜之内若甲乙与丁丙两圜分等则甲丁乙丙两线必平行若两线平行则甲乙
丁丙两圜分必等
二十八题
等圜内两直线等所割圜分大与大小与小各等
二十九题
等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
三十题
有圜分求两平分之
法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次平分于丁作乙丁垂线即
分圜分为两平分
三十一题
负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙角为直角二言负大分之乙甲丙
角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚〈谓丙乙直线偕乙庚曲线所作角〉大圜分角大于直角后言丙乙辛〈谓丙乙直线偕乙辛曲线所作角〉小圜分角小于直角
耕曰试作乙壬过心线其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙负圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬负圜角甲丁壬壬丁丙两角并与两直角等则甲乙壬壬乙丙两角并必为一直角矣〈本卷二十〉
次论曰试作甲壬线成乙甲壬角与甲乙丙直角等而乙甲丙为其分故小于直角
三论曰甲乙戊丙四边形在圜内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角〈本卷二二〉而乙甲丙小于直角则乙戊丙必大于直角
四论曰甲乙丙直角为丙乙庚大圜分角之分则丙乙庚角大于直角
后论曰试引甲乙线至已成丙乙巳直角而丙乙辛角为其分故小于直角
一糸凡角形之内一角与两角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角与相对之甲乙两角等而甲丙乙内角又与外角等〈一卷三二〉
非直角而何
二糸大分之角大于直角小分之角小于直角终无等于直角
三十二题
直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙
己戊两负圜角题言甲丙戊角与丙己戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等
先论割圜线过心者曰甲丙戊乙丙戊两皆直角〈一卷十八〉而丙己戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角〈本卷〉故交互相等
后论割圜线不过心者曰试作丙庚过心线次作戊庚线相聨丙戊庚为直角〈以负半圜〉
〈故〉即戊丙庚戊庚丙两角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各减同用之戊丙庚角即所存甲丙戊与戊庚丙等也而丙己戊与丙庚戊元等〈以所负之圜分等故〉故甲丙戊与丙己戊交互相等又丙丁戊巳四边形之丙丁戊丙己戊两对角并等两直角〈本卷二二〉而甲丙戊乙丙戊两交角并亦等两直角〈一卷十三〉此二率各减一相等之甲丙戊丙己戊则所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
三十三题
一直线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜角与丙等或直或锐或钝若直角即
平分甲乙于丁以丁为心甲为界作半圜内作乙戊甲即直角〈本卷三一〉
次法曰若设丙锐角先依甲乙线作丁甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲
丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与戊甲线遇于己即以己为心甲为界作甲庚乙圜圜内依甲乙线作甲庚乙锐角即与丙等论曰甲戊线过己心又为丁甲之垂线丁甲线必切圜于甲〈本卷十六之糸〉则丁甲乙与甲庚乙两角必交互相等
后法曰若设辛钝角依甲乙线作壬甲乙钝角与辛等馀仿次法作甲癸乙钝角与辛等
三十四题
设圜求割一分而负圜分角与所设角等
法曰设甲乙丙圜求割一分作负圜角与丁等先作戊己线切圜于甲次作己
甲乙角与丁等末依甲乙线作甲丙乙角与丁等论曰己甲乙与甲丙乙两角交互相等〈本卷三二〉三十五题
圜内两直线交而相分各两分线矩内形等
解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁两线或俱过心或一过心一不过心或俱不过心
交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内形等若俱过心其各分四线等即两矩内形亦等
先论曰圜内线独丙丁过心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊试从心作己乙线其丙丁线既平分于己又任分于戊即丙戊
偕戊丁矩内形及己戊上方形并与等己丁之己乙上方形等〈二卷五〉又己戊戊乙上两方形并亦与己乙上方形等〈一卷四七〉是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并与己戊戊乙上两方形并亦等矣次每减一同用之戊己上方形则所存丙戊偕戊丁矩内形不与戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形〈以甲戊戊两线等故〉 也
次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即平分甲乙线于庚次从心作己庚己乙两线即己庚为甲乙之垂线其丙戊偕戊丁矩内形及己
戊上方形并与等己丁之己乙上方形等〈二卷五〉己戊上方形与己庚庚戊上两方形并等〈一卷四七〉己乙上方形与巳庚庚乙上两方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上两方形并与己庚庚乙上两方形并等次毎减同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不与庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦与庚乙上方形等〈二卷五〉此相等两率毎减同用之庚戊上方形则所馀两矩内形等矣
后论曰甲乙丙丁两线俱不过心
相交于戊或一线平分如上图或
俱任分如下图皆自戊作庚辛过心线依上论推显甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁两矩内形皆与庚戊偕戊辛矩内形等即两矩内形自相等
三十六题
圜外任取一点从点出两线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内形与切圜线上方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁点从丁作丁乙线切圜于乙作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
先论丁甲过心者曰试作乙戊为乙丁之垂线其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并与戊丁上方形等〈二卷六〉又戊丁上方形与戊乙丁乙上两方形并等〈一卷四七〉即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并与戊乙丁乙上两方形并等毎减同用之戊乙上方形则所存甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
后论丁甲不过心者曰试平分甲
丙于己次从戊心作戊己戊丙戊
丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线戊己为甲丙之垂线其甲丙线既平分于己又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并与己丁上方形等〈二卷六〉次毎加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上两方形并与己丁戊己上两方形并等夫己戊丙己上两方形并与戊丙上方形等又戊己己丁上两方形并与戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
与戊丁上方形等又戊丁上方形
与丁乙及等戊乙之戊丙上两方
形并等每减同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形与丁乙上方形不亦等乎
一糸若从圜外一点任作几线各全线偕规外线
矩内形俱等
论曰各矩内形俱与乙丁线上方形等即
各矩内形自相等
二糸从圜外丁点作丁甲丁乙两切圜线两线必相等
论曰两线俱与丙丁偕丁戊矩内形等即两线自相等
三糸从圜外一点止可作两直线切圜
三十七题
圜外任于一点出两直线一至规外一割圜止规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内形与至规外之线上方形等则止规外之线必切线
解曰甲乙丙圜其心戊从丁点作丁乙至规外遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内
而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形与丁乙上方形等题言丁乙必切圜线〈同前题反言之〉
几何论约卷三
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
钦定四库全书
几何论约卷四
柘城杜知耕撰
一题
有圜求作合圜线与所设线等
法曰甲乙丙圜求作合圜线与所设丁线等先作丙乙圜径若与丁等即是合线若丁小于径〈若大于径即不可合〉即于乙丙截
乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙线为所求〈耕日当任指乙为心丁为度向圜界作短界线为甲即作甲乙线〉
二题
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先
作庚辛切圜线次作庚甲乙角与所设己角等次作辛甲丙角与所设戊角等末作乙丙线为所求论曰甲丙乙与庚甲乙两角甲乙丙与辛甲丙两角各交互相等〈三卷三一〉两角既等馀一角必亦等三题
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先引长戊己边为庚辛次自圜界
抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于三线各作垂线成三角形为所求
论曰甲壬乙子四边形之四角与四直角等〈一卷三二〉而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊庚丁戊己亦等两直角〈一卷十三〉毎减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙必等依显五与己癸与丁角俱等〈一卷三二〉四题
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙两角各平分之作乙丁丙丁两线相遇于丁次自丁至各边作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙
丁同边即丁戊丁己两边亦等〈一卷二六〉依显丁己丁庚两边亦等夫三线俱等丁必圜心即以丁为心戊为界在己戊庚圜为所求〈耕曰两分角线相遇处即圜心任作一垂线便可作圜不必更作馀两线馀两线为论理而设非作法所需也〉
五题
三角形求作形外切圜
法曰甲乙丙角形求作形
外切圜先平分两边〈若直角钝
角则分直钝两旁之边〉于丁于戊作
丁己戊己为两边之垂线相遇于己其己点或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己形之乙丁两腰等丁己同腰丁之两旁俱直角即甲己己乙两底必等〈一卷四〉依显甲己己丙两底亦等夫三线俱等己必圜心即以己为心甲为界作乙甲丙圜为所求
耕曰两垂线相遇处为心即可作圜不必更作馀线
一糸若圜心在三角形内必锐角形在一边必直角形在形外必钝角形
二糸若锐角形圜心必在形内直角形必在一边钝角形必在形外
増任设三点不在一直线可作过三点之圜其法于三点各作直线相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三点先以甲乙各自为心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚两线引
长相交于辛即辛为圜心
六题
有圜求内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
次作甲乙乙丙等四线为所求
论曰四角皆负半圜分故皆直角〈三卷三一〉
七题
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
次作庚己己辛等四线各与两径平行为所求八题
直角方形求作形内切圜
法曰辛庚方形求作内切圜先平分四边作甲丙乙丁两线相交于戊即以戊为心甲为界作甲乙丙丁圜为所求
九题
直角方形求作形外切圜
法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁对角线相交于戊即以戊为心甲为界
作圜为所求
十题
求作两边等三角形底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等〈二卷十一〉次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等〈本卷一〉末作甲丁线相聨即两
边等三角形而乙丁两角倍大于甲角
论曰试作丙丁线成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜〈本卷五〉其甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等亦与乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切线〈三卷二七〉即乙丁丙角与甲角交互相等〈三卷三二〉于两角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等又乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲两内角并等〈一卷三二〉即乙丙丁角与甲丁乙角等而与相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁两角既等则丙丁乙丁两线必等又乙丁元与甲丙等是丙丁与甲丙亦等两线既等则甲与甲丁丙两角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一题
有圜求作圜内五边切形其形等边等角
法曰甲丙戊圜求作等边等角五边内切形先作己庚辛两边等角形而庚辛两角俱倍大于己角〈本卷十〉次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙两角作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙等四线为所求
论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角今平分两角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乘之五圜分亦等五圜分等则五边等矣又甲乙丙丁圜分与乙丙丁戊圜分等则乘两圜分之甲戊丁与乙甲戊两角亦等依显馀三角俱等而五角等矣
十二题
有圜求圜外五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五边外切形等边等角先作圜内五边切形次从巳心作已甲巳乙等五线次从此五线作庚辛辛壬
等五垂线为所求
十三题
五边形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五边形求作内切圜先平分甲戊边于庚平分乙丙边于辛次作庚丙辛戊两垂线相交于己末以己为心
庚为界作圜为所求
十四题
五边形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五边形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊两角作庚丙辛丁两线相交于己末以己为心丙为界作圜为所求
十五题
有圜求作圜内六边切形其形等边等角
法曰甲丙戊圜其心庚求作六边内切形等边等角先作甲丁径线次以丁为
心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作庚丙庚戊各引长为丙己戊乙末以甲乙乙丙等六线聨之为所求
耕曰两圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同为上圜之半径必等而庚丁丙丁同为下圜之半径亦等〈六三角形俱依此推显〉三边等故三角亦等也分角等故全角亦等也
一糸凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故也
二糸依前十二十三十四题可作六边形在圜外又六边形内外俱可作切圜
十六题
有圜求作圜内十五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙圜求作十五边内切形等边等角先作甲乙丙内切圜平边三角形〈本卷二〉毎一边当圜三分之一即当十五分之五次从甲作甲戊己
庚辛五边形毎一边当圜五分之一即当十五分之三平分戊乙于壬则壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜线为所求
一糸依前十二十三十四题可作外切圜十五边形又十五边形内外俱可作切圜
増题若圜内从一点设不等两内切形之各一边此两边各为若干分圜之一其两若干分相乘之数即后作形之分数其两若干分之较数即两边相距之圜分如甲丙戊圜从甲点作甲乙为六边形之一边甲丙为
五边形之一边甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为三十边形之一边何者五六相乘得三十故当为三十边也较数一故当为一边也又甲乙圜分为六分圜之一即三十分之五甲丙为五分圜之一即三十分
之六则乙丙得三十分之一也依显乙丁为二十四边形之二边何者甲乙命六甲丁命四四六相乘得二十四又较数二也因推乙戊为十八边形之三边丙戊为十五边形之二边丁戊为十二边形之一边也
二糸凡作形于圜之内等边则等角何者形之边所乘之圜分皆等故〈二卷二七〉凡作形于圜之外从圜心至角各作直线依本卷十二题可推各角等三糸凡等边形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜
四糸凡圜内有一形欲作他形其边倍于此边即分此一边所合之圜分为两平分而毎分各作一线即三边可作六边四边可作八边仿此以至无穷
又补题圜内有同心圜求作一多边形切大圜不至小圜其多边为偶数而等如甲乙丙丁戊两圜同以己为心先作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作庚辛为甲戊之垂线次平分甲乙丙于乙
再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合线即所求多边形之一边也
几何论约卷四
钦定四库全书
几何论约卷五之首
柘城杜知耕撰
界说十九则〈前四卷所论皆独几何也此下二卷所论皆自两以上多几何同例相比者也此卷以虚例相比绝不及线面体诸类六卷则论线角圜界诸类及诸形之同类相比者也〉
一界分者几何之几何也小能度大以小为大之分小能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙三分之一为丙七分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是不尽大则丁不能为戊己之分也〈本书所论皆指能尽分者〉
二界小几何能度大者则大为小之几倍
三界比例者两几何以几何相比之理凡两几何相比以此几何比他几何则此为前率他为后率反用之以他几何比此几何则他为前率此为后率凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合非数可明者为小合本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者有不等者等者谓相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五种一为几倍大谓大几何内有小几何或二或三或八或十也二为等带一分谓大几何内既有小之一别带一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三为等带几分谓大几何内既有小之一别带几分不能合为一尽分者也四为几倍大带一分五为几倍大带几分小不等者亦有五种俱与上五种相反为名
四界两比例之理相似为同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例同理又有二种一为连比例谓相连不断如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例谓居中两率一取不再用如前图甲自与乙比丙
自与丁比是也
五界两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而方边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜径四倍之即大于圜界则径与界亦有小合比例之线也又如初月形别作一方形与之等〈末卷一増附〉即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方与圜虽不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如丁乙戊角与甲乙丙直角等壬庚癸
角与己庚辛钝角等卯丑辰角与
子丑寅锐角等此五者皆疑无比
例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽为同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切圜角与直线锐角亦无比例何者毕世倍切圜角不能及至小之锐角故也此后诸篇中毎有倍此几何令至胜彼几何者故备著其理以需后论也
六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一与第三之几倍偕第二与第四之几倍其相视或等或俱大或俱小恒如是如第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第
四之四同加九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例〈连比例仿此〉
七界同理之几何为相称之几何
八界四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例此反上六界而释不同理之比例
九界同理之比例至少必三率
十界四几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例第一与四为三加之比例仿此以至无穷
十一界同理之几何前与前相当后与后相当上文六界八界谓几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍以一与三为两前二与四为两后故也
十二界有属理更前与前更后与后如甲与乙之比例若丙与丁今更推甲与丙若乙与丁为属理〈下言属理皆省曰更证见本卷十六〉此理可施于四率
同类之比例若两线与两面或两面与两数不为同类即不得相更也〈此下说比例六理皆后论所需也〉
十三界有反理取后为前取前为后如甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理〈证见本卷四之糸〉此理亦可施于异类
十四界有合理合前与后为一而比其后如甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为
一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙丙若丁己与戊己是合两前两后率而比两后率也〈证见本卷十八〉
十五界有分理取前之较而比其后如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较
甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊〈证见本卷十七〉
十六界有转理以前为前以前之较为后〈图同前界〉如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己〈证见本卷十九〉
十七界有平理此甲乙丙三几何彼丁戊己三几何相为同理之连比例者甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己也今平推首甲与尾丙若首丁与尾己〈平理之分又有二种如后二界〉
十八界有平理之序者甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙若后戊与他率己是序也今平推甲与丙若丁与己也〈此与十七界同重宣序义以别后界也证见本卷二二〉
十九界有平理之错者甲与乙若戊与己又此之后乙与他率丙若彼之他率丁与前戊是错也今平推甲与丙若丁与己也
〈戊证见本乙卷二三〉
増甲与乙为比例即此丙必有彼丁相与为比例若甲与乙也丙与丁为比例必有彼戊与此丙为比例若丙与丁也
钦定四库全书
几何论约卷五
柘城杜知耕撰
一题
此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率
解曰甲乙此二几何大于丙丁彼二几何各若干倍题言甲乙并大于丙丁并亦若干倍
二题
六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四巳之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四巳之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四巳之数
三题
四几何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙若巳倍丁
四题
四几何第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与巳同任若干倍于一甲三丙别
作庚与辛同任若干倍于二乙四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳与四丁所倍之辛比例亦等
论曰试以戊巳同任
倍之为壬为癸别以
庚辛同任倍之为子
为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也〈本卷三〉依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑〈本卷界六〉不论几许倍其等大小恒如是也则戊与庚偕巳与辛之比例必等
一糸凡四几何一与二偕三与四比例等即可反推二与一偕四与三比例亦等
二糸若甲与乙偕丙与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷五题
大小两几何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分则此全之分馀所倍于彼全之分馀亦如之
解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己题言甲戊分馀之戊乙所倍于丙己分馀之己丁亦如其数
六题
此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分馀或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等
解曰甲乙丙丁各倍于戊己其数等毎减一倍戊己相等之甲庚丙辛题言分馀庚乙辛丁或与戊己等或尚各倍于戊己其数亦等
七题
此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等
解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必
等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等八题
大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例
解曰不等两几何甲大乙小又有他几何丙不论等大小于甲于乙题言甲与丙大于乙
与丙之比例又反言丙与乙大于丙与甲之比例九题
两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等
十题
彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此
解曰甲乙两几何又有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙又言丙与乙
之比例大于丙与甲则乙小于甲
十一题
此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己等题言甲乙与丙丁之比例亦等
十二题
数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例
解曰甲乙丙丁戊己数几何甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己题言甲丙戊
诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前与各后也
十三题
数几何第一与二之比例若第三与四而第三与四之比例大于第五与六则第一与二之比例亦大于第五与六
解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与
六己题言甲与乙之比例亦大于戊与己
十四题
四几何第一与二之比例若第三与四而第一大于第三则第二亦大于第四第一或小或等于第三则第二亦等亦小于第四
解曰甲与乙之比例若内与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小
十五题
两分之比例与两多分并之比例等
解曰甲与乙同任倍之为丙为丁题言丙与丁之
比例若甲与乙
十六题〈更理〉
四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等
解曰甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁
十七题〈分理〉
相合之两几何为比例等则分之为比例亦等解曰甲乙丁乙与丙戊己戊相合两几何
甲乙与丁乙若丙戊与己戊题言分之甲丁与丁乙若丙己与己戊也
十八题〈合理〉
两几何分之为比例等则合之为比例亦等
解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其
甲丁与丁乙若丙己与己戊题言合之甲乙与丁乙若丙戊与己戊也
十九题〈其糸为转理〉
两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分馀之比例与两全之比例亦等
解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁
全之比例若截取之甲戊与丙己题言分馀戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁
糸从此题可推界说十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己
二十题
有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己题言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于
丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己
二十一题
有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与
己乙与丙若丁与戊以平理推之若甲大于丙题言丁亦大于己
论曰甲既大于丙即甲与乙大于丙与乙〈本卷八〉而甲与乙若戊与己即戊与己亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也〈本卷四〉则戊与己大于戊与丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙题言丁亦等于己论曰甲丙既等即甲与乙若丙与乙〈本卷〉
〈七〉而甲与乙若戊与己即丙与乙亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也〈本卷四〉则戊与己若戊与丁是丁己等也后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙小于丙与
乙〈本卷八〉而甲与乙若戊与己即戊与己亦小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁〈本卷四〉则戊与己小于戊与丁是丁小于己也
二十二题〈平理之序〉
有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推之
解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙若丁与戊乙
与丙若戊与己题言以平理推之甲与丙若丁与己如更有庚辛二几何其丙与庚若己与辛依显甲与庚亦若丁与辛〈四以上仿此〉
二十三题〈平理之错〉
若干几何又若干几何其数等相为连比例而错亦以平理推
解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比理而错者其甲与乙
若戊与己乙与丙若丁与戊题言以平理推之甲与丙亦若丁与己如更有庚辛两几何其戊与辛若甲与丙丙与庚若丁与戊即以甲丙庚作三几何丁戊辛作三几何相为连比例而错则甲与庚亦若丁与辛〈四以上仿此〉
耕曰以数明之甲设十八乙设九丙设六丁设四十八戊设三十二己设十六甲与丙若丁与己其故何也盖甲与乙若六与三
乙与丙若三与二则甲与丙若六与二矣又丁与戊若六与四戊与己若四与二则丁与己亦若六与二矣两前两后俱若六与二故比例等也庚辛两几何亦依此推显
二十四题
凡第一与二之比例若第三与四而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四
解曰一甲乙与二丙若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一
甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己
増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何毎截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分馀两几何与彼两几何比例亦等〈此増与六题大同但六题言几倍此不言倍其意稍广矣〉
二十五题
四几何为断比例则最大与最小两几何并大于馀两几何并
解曰甲乙与丙丁若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并
论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙与丙丁也夫甲乙与丙丁既若甲庚与丙辛即亦若分馀之庚乙与辛丁也〈本卷十九〉而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚两率必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并二十六题
第一与二之比例大于第三与四反之则第二与一之比例小于第四与三
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四
丁与三丙
二十七题
第一与二之比例大于第三与四更之则第一与三之比例亦大于第二与四
解曰一甲与二乙大于三丙与四丁题言之则一甲与三丙亦大于二乙与四丁
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙大于戊与乙是甲大于戊则甲与丙必大于戊与丙矣夫戊与乙既若丙与丁更之则戊与丙亦若乙与丁则甲与丙大于乙与丁
二十八题
第一与二之比例大于第三与四合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与第四
解曰一甲乙与二乙丙大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙亦大于丁
己与戊己
论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊己即甲乙与乙丙大于庚乙与乙丙是甲乙大于庚乙矣此两率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙与乙丙大于庚丙与乙丙即大于丁己与戊己二十九题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四分之则第一与第二之比例亦大于第三与四
解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言
分之则甲乙与乙丙亦大于丁戊与戊己〈论同前〉三十题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三
解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙小于丁己与丁戊
耕曰甲丙与乙丙若四与一丁己与戊己若三与一则四与一大于三与一矣甲乙与乙丙若三与一丁戊与戊己若二与一则三与一大于二与一矣甲丙与甲乙若四与三丁己与丁戊若三与二则四与三小于三与二矣
三十一题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二此第二与三之比例大于彼第二与三如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于丁与戊乙与丙大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙亦大
于丁与己
三十二题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三此第二与三之比例大于彼第一与二如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
解曰甲乙内此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于戊与己乙与丙大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙大于庚与丙而乙几何大于庚〈本卷十〉
是甲与小庚大于甲与大乙矣〈本卷八〉夫甲与乙既大于戊与己即甲与庚更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚亦大于辛与庚而甲几何大于辛〈本卷十〉是大甲与丙大于小辛与丙矣〈本卷八〉夫辛与丙以平理推之若丁与己也〈本卷二三〉则甲与丙大于丁与己
三十三题
此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分馀与彼全分馀之比例大于此全与彼全之比例
解曰甲乙全与丙丁全大于两截分甲戊
与丙己题言两分馀戊乙与己丁大于甲乙与丙丁
论曰甲乙与丙丁既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊亦大于丙丁与丙己也〈本卷二七〉又转之甲乙与戊乙小于丙丁与己丁也〈本卷三十〉又更之甲乙与丙丁小于戊乙与己丁也〈本卷二七〉若两全之比例小于截分则分馀之比例必小于两全
三十四题
若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末亦大于此并减第一与彼并减第一而小于此第一与彼第一
解曰甲乙丙三几何又丁戊己三几何其甲与丁大于乙与戊乙与戊大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并大
于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小
于甲与丁
论曰甲与丁既大于乙与戊更之即甲与乙大于丁与戊也〈本卷二七〉又合之甲乙并与乙大于丁戊并与戊也〈本卷二八〉又更之甲乙并与丁戊并大于乙与戊也〈本卷二七〉是甲乙全与丁戊
全大于减并乙与减并戊也既尔即减馀甲与减馀丁大于甲乙全与丁戊全也〈本卷三三〉依显乙与戊亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并大于丁与戊己并也〈本卷二七〉又合之甲乙丙全与乙丙并大于丁戊己全与戊己并也〈本卷二八〉又更之甲乙丙全与丁戊己全大于乙丙并与戊己并也〈本卷二七〉则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全既大于减并乙丙与减并戊己即减馀甲与减馀丁大于甲乙丙全与丁戊己全也〈本卷三三〉则得后解也又乙与戊既大于丙与己更之即乙与丙大于戊与己也〈本卷二七〉又合之乙丙全与丙大于戊己全与己也〈本卷二八〉又更之乙丙并与戊己并大于丙与己也〈本卷二七〉而甲乙丙并与丁戊己并既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也若两率各有四几何而丙与己亦大于庚与辛即与前论同理依上论乙与戊大于乙丙庚并与戊己辛并即甲与丁更大于乙丙庚并与戊己辛并也更之即甲与乙丙庚并大于丁与戊巴辛并也〈本卷十八〉又合之甲乙丙庚全与乙丙庚并大于丁戊己辛全与戊
己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并也〈本卷二七〉则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减馀甲与减馀丁大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也〈本卷三二〉则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上俱仿此
几何论约卷五
钦定四库全书
几何论约卷六之首
柘城杜知耕撰
界说六则
一界凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形如两角形之甲乙丙三角与丁戊己三角俱等其甲角旁之
甲乙与甲丙若丁角旁之丁戊与丁己馀两等角旁之各两线其比例俱等则两角形为相似之形依显平边角形皆相似之形
二界两形之各两边线互为前后率相与为比例而等为互相视之形如两方形之甲乙与戊己若己庚与乙丙而彼此互为前后率则此两形为互相视之形依显两角形之壬子与丑寅若丑卯与壬癸则两
形亦为互相视之形
三界理分中末线一线两分之其全与大分之比例若大分与小分〈此线为用甚广至量体尤所必需古人目为神分线也〉
四界度各形之高皆以垂线之亘为度如甲乙丙角形作甲丁垂线即甲丁为甲乙丙角形之高度
五界比例以比例相结以各比例不同理而相聚为一比例则用相结之法借象之术合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为相结如甲乙丙三几何甲二倍于乙乙三倍于丙而求甲与丙之比例则以二倍乘三倍得甲六倍
于丙也若丙为第一甲为第三亦以二乘三得丙反六倍于甲也若四率则先以前三率之两比例结为一比例复与第三比例相结也若五率则以第一第二第三率之两比例相结以第三第四第五率之两比例相结又以此所结之两比例乘除相结而为一比例也自六以上仿此曷谓借象如前所说三几何二比例皆以中率为关纽略如连比例之同用一中率也有不同理二比例而异中率者是不同理之断比例也无法可结当别立三几何二比例而同中率〈以中率当第二又当第三〉乘除相结依仿求之如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前之前四为后之后三与二为前之后后之前所谓异中率也欲乘除相结无法可通矣用是别立三几何则三其八得二十四为前三其三得九为前之后即以九为后之前以求九与何数若二与四得十八为后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八也三比例以上仿此逓结之
六界平行方形不满一线为形小于线若形有馀线不足为形大于线如甲丁形不满甲乙线而丙乙半线上无形即作甲己满甲乙线上方
形则甲丁为依甲乙线之有阙方形而丙己为甲丁之阙形又甲丙线上作甲己形其甲乙边大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之带馀方形而丙己形为甲己之馀形
钦定四库全书
几何论约卷六
柘城杜知耕撰
一题
等高之角形方形自相为比例与其底之比例等解曰甲乙丙丁戊己两角形乙辛戊庚两方形等高其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己乙辛与戊庚皆若乙丙与戊己之比例
増题凡两角形两方形等底自相为比例与其高之比例等
耕曰即前图以高为底以底为高其理自明二题
三角形任依一边作平行线即此线分两馀边为比例必等三角形内有一线分两边为比例而等即此线与馀边为平行
解曰甲乙丙角形内作丁戊与乙丙平行题言丁戊分甲乙于丁分甲丙于戊其甲丁与
丁乙之比例若甲戊与戊丙也又言甲丁与丁乙甲戊与戊丙为比例而等则丁戊乙丙必平行论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两形同丁戊底又在平行线内即等〈一卷三七〉而甲戊丁与丁戊乙两形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣〈五卷七〉夫甲戊丁与丁戊乙亦同在平行线内则甲戊丁与丁戊乙两形之比例必若甲丁丁乙两底也〈本卷一〉依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两形也是甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙矣〈五卷十〉
三题
三角形以一直线任分一角为两平分分对角边为两分则两分之比例若馀两边三角形分角线所分对角边之比例若馀两边则所分角为两平分解曰甲乙丙角形以甲丁线平分乙甲丙角题言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙又言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙则甲丁线分乙甲丙角必
为两平分
论曰试作乙戊与甲丁平行次引长丙甲线至戊其甲乙戊与乙甲丁相对两角必等外角丁甲丙与内角戊亦等〈一卷二九〉今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等而甲戊与甲乙两腰亦等矣〈一卷六〉则戊甲与甲丙必若乙甲与甲丙夫戊甲与甲丙又若乙丁与丁丙〈本卷二〉是乙甲与甲丙若乙丁与丁丙矣
四题
凡等角三角形其在等角旁之各两腰相与为比例必等而对等角之边为相似边
解曰甲乙丙丁丙戊两形相当之各角俱等题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁
戊与丙戊而毎对等角之边各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当角
论曰试并置两形令两底成一直线次引长乙甲戊丁两线相遇于己成乙己戊形其甲丙与己戊平行则戊丙与丙乙若己甲与甲乙即若等己甲之丁丙与甲乙也更之甲乙与乙
丙若丁丙与丙戊也又丁丙与己乙平行则乙丙与丙戊若己丁与丁戊即若等己丁之甲丙与丁戊也更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也依显甲乙与甲丙亦若丁丙与丁戊也
糸凡角形内之直线与一边平行而截一分为角形必与全形相似如甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊形必与
甲乙丙全形相似
増题凡角形之内任依乙丙边作丁戊平行线于乙丙边任取己点向甲角作甲己直线分丁戊于庚则乙己与己丙之比例必若丁庚与
庚戊
论曰甲巳乙甲庚丁两角形既相似即甲己与己乙若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也〈五卷十六〉依显甲己与甲庚若己丙与庚戊则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也〈五卷十一〉更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也〈五卷十六〉
五题
两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与乙丙若丁戊与戊己乙丙与甲丙若戊
己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊题言此两形为等角形而对各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等〈论同前题〉
六题
两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己
题言馀角丙与己甲与丁俱等〈论同四题〉
七题
两三角形第一角等第二相当角各两旁之边比例等第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其第一甲角与丁角等第二丙角两旁之甲丙乙丙两边偕相当己角两旁之丁己戊己两边比例
等其第三相当角乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形之丙与己乙与戊角俱等八题
直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直角三边形即两形皆与全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三边形从直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两形皆与全形
相似亦自相似
论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同其馀一角必等而两形为等角形等角旁之各两边比例必等依显甲丁乙与甲乙丙全形亦相似夫两形既各与全形相似即两形亦自相似
糸从直角作垂线即此线为两分对边线比例之中率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例之中率何者丙丁与甲丁若甲丁与乙丁也故甲丁为丙丁乙丁之中率又乙丙与丙甲若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率又乙丙与乙甲若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率
九题
一直线求截所取之分
法曰甲乙直线或截取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己为三分次
作己乙直线末作丁庚与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一
论曰丁庚既与己乙平行即己丁与丁甲若乙庚与庚甲合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也甲丁既为己甲三之一则庚甲亦乙甲三之一矣十题
一直线求截各分如所设之截分
法曰甲乙线求截各分如所设甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也
从此题作一用法甲乙直线求平分若干分即从甲任作甲丙为若干平分馀同前
又简法如甲乙线求五平分即从乙任作丙乙线为丙乙甲角次任作丁戊与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己庚辛壬癸令丁癸小于甲乙次从甲过癸作甲子线
遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引至甲乙线为丑寅卯辰五平分
又简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分即用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线即分甲乙
于己辰卯寅为五平分
又用法先作一器如丙丁戊己任平分为若干格今欲分甲乙线为五平分即取甲乙之度一端抵
戊丙线一端抵庚辛线如甲乙大于戊庚即渐移之令合线若至壬即戊壬之分为甲乙之分
増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例〈法同前〉
又増题甲乙丙丁两线各三分于戊己于庚辛其甲戊与戊乙若丙庚与庚丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也即中率戊己庚辛各与前后率为比例亦等谓甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己
若辛丁与庚辛也
论曰试聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙
既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行而庚戊与辛己亦平行故甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也
十一题
两直线求别作一线相与为连比例
法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例谓甲乙与甲丙若甲丙与所求线也先
合两线作丙甲乙角以丙乙线聨之次引长甲乙线至丁令乙丁与甲丙等次作丁戊线与丙乙平行末引长甲丙线遇丁戊于戊即丙戊为所求论曰丙乙既与戊丁平行即甲乙与乙丁若甲丙与丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也〈五卷七〉
注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引长甲乙线末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为
所求
论曰甲丙丁既是直角而丙乙垂线即为甲乙乙丁之中率则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也〈本卷八之糸〉
十二题
三直线求别作一线相与为断比例
解曰甲乙乙丙甲丁三线求别作一线相与为断比例谓甲丁与所求线若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙为一直线次以甲丁线合甲丙
任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊与丁乙平行末引长甲丁遇丙戊于戊即丁戊为所求
论曰丁乙既与丙戊平行即甲丁与丁戊若甲乙与乙丙〈本卷二〉
十三题
两直线求别作一线为连比例之中率
法曰甲乙乙丙两线求别作一线为中率谓甲乙与所求线若所求线与乙丙也先并两线成一直线而平分于戊即以戊为心甲作界作
甲丁丙半圜末从乙至界作乙丁垂线即乙丁为所求
论曰试作甲丁丁丙两线成甲丁丙直角形〈三卷三十〉而丁乙垂线为对边两分线之中率〈本卷八之糸〉注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率何者半圜之内从垂线作角皆直角故也〈三卷三〉
増题有甲乙甲丙两线甲乙大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为直角平分甲乙于丁即以丁为心甲
为界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即甲丙为甲己己乙之中率何者戊己既半圜内垂线即为两分径线之中率而甲丙与戊己等故为甲己己乙之中率
十四题
两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相视之边即两形等
解曰辛乙乙己两方形等〈谓其容等〉甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角旁之各两边为互相视之边谓甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也又言等角旁之各两边为互相视
则辛乙乙己两形必等
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚成一直线而戊乙乙丙亦一直线〈一卷十五増〉次引长辛丙己庚遇于丁辛乙乙己两形既等即辛乙与乙丁若乙己与乙丁也而辛乙与乙丁两形等高即两形之比例若其底甲乙与乙庚也〈本卷一〉依显乙己与乙丁等高两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
十五题
相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即两三角形等
解曰甲乙丙丁乙戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两边互相视谓甲乙与乙
戊若乙丁与乙丙也又言等角旁之各两边为互相视则甲乙丙丁乙戊两角形必等
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊成一直线而丁乙乙丙亦一直线〈一卷十五増〉次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊两形既等即甲乙丙与丙乙戊之比例若丁乙戊与丙乙戊矣夫甲乙丙与丙乙戊两等高形之比例若其底甲乙与乙戊也而丁己戊与丙乙戊两等高形之比例亦若其底丁乙与乙丙也是甲乙与乙戊若丁乙与乙丙
十六题
四直线为断比例即首尾两线矩内形与中两线矩内形等首尾两线矩内形与中两线矩内形等即四线为断比例
解曰甲乙己庚戊己乙丙四线为断比例谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与己庚戊己矩内戊庚形等又言两矩内形等则甲
乙与己庚必若戊己与乙丙也
论曰两形之乙与己两角既等而等角旁之两边又互相视则两形必相等〈本卷十四 若平行斜方形而等角亦同此论〉十七题
三直线为连比例即首尾两线矩内形与中线上直角方形等首尾两线矩内形与中线上直角方形等即三线为连比例
解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例谓甲乙与戊己若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与戊己上戊庚方形等又言甲乙乙丙矩内形与戊己上
方形等则甲乙与戊己必若戊己与乙丙也论曰试作己庚线与戊己等即戊己己庚两线矩内形与甲乙乙丙两线矩内形等〈本卷十六 若平行斜方形而等角亦同此论〉
糸凡直线上方形与他两线矩内形等即此线为他两线之中率
十八题
直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于
设形任从一角向对角作直线分本形为若干角形如上形即分为角形三次于元线上作甲壬乙角形与丙己丁角形等次作乙壬辛甲壬癸两角形与丁己戊丙己庚两角形等则甲乙辛壬癸与所设形相似而体势等凡设多角形俱仿此増简法如设甲乙丙丁戊直线形求于癸线上作一形与所设形相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲戊引长之为甲己甲壬次从甲向各角作直线为甲庚甲辛次
于甲乙线上截取甲己与癸线等末从己作己庚与乙丙平行作庚辛辛壬与丙丁丁戊各平行即所求
十九题
相似三角形之比例为其相似边再加之比例解曰甲乙丙丁戊己两角形其相当之角各等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己再加之比
例
论曰若两形等则为相同之比例即再加仍相同之比例若乙丙大于戊己边即于乙丙截乙庚令乙丙与戊己若戊己与乙庚也次作甲庚线其甲乙与乙丙若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也亦若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两形有乙戊两角等而各两边又互相视即两形等〈本卷十五〉又甲乙丙与甲乙庚等高两形之比例若其底乙丙与乙庚即甲乙丙与丁戊己两形之比例亦若乙丙与乙庚矣乙丙己戊乙庚三线既为连比例则乙丙与乙庚为乙丙与戊己再加之比例
糸依本题可显凡三线为连比例即第一甲线上角形与第二乙线上角形之比例若第一甲线与第三丙线也第二乙线上角形与第三丙线上角形之比例亦若第一甲线与
第三丙线也皆再加之比例故也
二十题
以三角形分相似多边形则分数必等而相当各三角形各相似其各相似两三角形之比例若两元形其元形之比例为两相似边再加之比例
先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边形其相当各角俱等而等
角旁各两边之比例各等题言各以角形分之其角形之分数必等而相当之各角各相似
次解曰各相当角形之比例若两元形
论曰此角形之比例既若彼角形则此各角形并必若彼各角形并是此全形若彼全形矣
后解曰两元形之比例为两相似边再加之比例论曰两分形之比例既若两元形而两分形之比例为两相似边再加之比例则两元形亦为相似边再加之比例
増题甲直线倍大于乙直线则甲直线上方形与乙直线上方形为四倍大之比例若甲方形与乙方形为四倍大之比例则甲线必倍大于乙线何者相似两形之比例为
其边再加之比例故也
糸依此题可显三直线为连比例则第一线上多边形与第二线上相似多边形若第一线与第三线之比例
二十一题
两直线形各与他直线形相似则两形自相似
二十二题
四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线亦为断比例
解曰甲乙丙丁戊己庚辛四线为断比例谓甲乙与丙丁若戊己与庚辛也于甲乙丙丁线上任作两角形于戊己庚辛线上任作两方形题言四形亦为断比例谓甲
乙壬与丙丁癸若戊丑与庚卯又言若四形为断比例则甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断例何者角形与角形方形与方形皆为其相似边再加之比例故也
二十三题
等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结
解曰甲丙丙己两平行方形两丙角等题言两形之比例以各等角旁各两边之比例相结者谓两比例之前率在此形两比例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙
与丙戊偕丁丙与丙庚相结也
论曰试以两等角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线次引长甲丁己庚遇于辛次任作一壬线次以乙丙丙庚壬三线求断比例之末率线为癸〈本卷十二〉末以丁丙丙戊癸三线求断比例之末率线为子其甲丙丙辛两形等高既若乙丙丙庚两底即若壬与癸也依显丙辛丙己两形亦若癸与子也平之即丙甲与丙己若壬与子也〈五卷二十〉若以乙丙与丙戊偕丁丙
与丙庚相结以乙丙丙戊聨成一线依上推显注曰乙丙与丙庚丁丙与丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与子同中率而不同理之两比例以为象令相象之丙庚丁丙亦化两率为一率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相结所以通比例之穷也自三以上仿此二十四题
平行方形之两角线形自相似亦与全形相似
解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行交角线于壬题言戊庚己辛两角线方形自
相似亦与全形相似
二十五题
两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等法曰甲乙两直线形求作一形与甲相似与乙相等先于甲边丙丁上作丙戊方形与甲等〈一卷四四四五〉次依丁戊边作丁辛方形与乙等次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率〈本卷十二〉末于壬癸作子形与甲
相似即与乙相等
论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例则一丙丁与三丁庚若一丙丁上之甲与二壬癸之上之子相似两形
之比例又若丙戊与丁辛等高两形之比例则丙戊与丁辛若甲与子矣夫丙戊丁辛元若甲与乙今又若甲与子是乙与子等也
二十六题
平行方形之内减去一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线解曰乙丁平行方形内减戊己平行方形元形与减形相似而体势等又同甲角题
言戊己形必依乙丁形之对角线
二十七题
凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线之上阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形
解曰甲乙线平分于丙于甲丙半线上任作甲丁形为甲丙半线上有阙依形次作甲戊满元线形而丙戊为丙乙半线上阙形次作丁乙角线末任作己壬癸子两线与甲乙乙戊平行交角线于庚即得甲庚为甲乙
线上有阙依形而癸壬为阙形癸壬阙形既依乙丁角线则与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形必大于甲庚有阙依形
论曰己丁丁壬两形同高等底即两形等〈一卷三六〉而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较馀一庚丁形其大于丙庚亦如之〈丙庚庚戊两馀方相等故〉即等丁壬之己丁形大于丙庚亦较馀一庚丁形也次毎加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚点在丙戊形之外即引乙丁角线至庚作辛丑与癸戊平行次引甲癸乙癸聨之末作庚己与辛甲平行
得甲庚为甲乙线上有阙依形而己丑为阙形与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形亦大于甲庚有阙依形
论曰试引丙丁线至子即辛子子丑两线等而辛丁丁丑两形亦等其丁丑己丁两馀方亦等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既较馀一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较馀一庚丁形也此两率毎加一甲壬形则甲丁大于甲庚者亦较馀一庚丁形矣依显不论庚点在丙戊形内形外凡依角线作阙形而与丙戊相似者其有阙依形俱小于甲丁以必有庚丁之较故也
二十八题
一直线求作依线之有阙方形与所设直线形等而其阙形与所设方形相似其所设直线形不大于半线上所作方形与所设方形相似者
法曰甲乙线求作依线之有阙方形与丙等而其阙形与丁相似先平分甲乙于戊次于戊乙半线上作戊庚形与丁相似次作甲庚满线形若甲己形与丙等即得所求矣若甲己大于丙〈若甲己小于丙即不
可作〉即等甲己之戊庚亦大于丙也
则求戊庚大于丙之较为壬〈一卷四五
増〉即作癸丑形与壬等而与戊庚
相似次截取己巳己卯与癸子癸
寅等而作己卯方形必与癸丑相等相似而又与戊庚相似次引己辰抵元线又引卯辰两端作午未线即甲辰为甲乙线上有阙依形与丙等而乙辰阙形与丁相似
论曰辰庚与辰戊两馀方既等毎加一乙辰角线形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未亦等乙己与戊未既等又毎加一戊辰形即甲辰与申辰酉磬折形等矣夫磬折形为戊庚之分而戊庚与丙及癸丑并等戊庚既截去等癸丑之卯己则所馀磬折形与丙等矣即甲辰亦与丙等
二十九题
一直线求作依线之带馀方形与所设形等而其馀形与所设方形相似
法曰甲乙线求作依线带馀
方形与丙等而其馀形与丁
相似先平分甲乙于戊于戊
乙上作戊庚方形与丁相似
次别作辛方形与丙及戊庚
并等又别作癸丑方形与辛等又与丁相似癸丑既与辛等即大于戊庚次引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等而作寅卯方形即卯寅与癸丑等又与戊庚相似次引甲乙至己引庚乙至午引午卯至未末作甲未线与己卯平行即得甲辰带馀方形依甲乙线与丙等而己午为馀形与戊庚相似即与丁相似
论曰甲卯戊午既等戊午与乙寅两馀方又等是甲卯与乙寅亦等矣而毎加一卯己形则甲辰与申乙酉磬折形必亦等夫磬折形元与丙等〈卯寅即癸丑元与丙及戊庚并等毎减一戊庚即磬折形与丙等〉即甲辰亦与丙等三十题
一直线求理分中末线
法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲丙方形次依丁甲边作丁己带馀方形与甲丙形等而甲己为馀形又与甲丙相似则戊己分甲乙于辛即所求〈本卷界三〉
论曰丁己与甲丙两形既等毎减一甲戊形即甲己辛丙两形亦等矣此两形之两辛角既等即等角旁之各两边为互相视之线也〈本卷十四〉而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线其比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙为理分中末也
三十一题
三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形若相似而体势等则一形与两形并等
解曰甲乙丙三边直角形甲为直角各边上任作直线形相似而体势等题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
论曰甲丙上方形与乙丙上方形之比例若丙辛与乙丁甲乙上方形与乙丙上方形之比例若乙庚与乙丁夫甲丙甲乙上两方形并与乙丙上方形等〈一卷四七〉则丙辛乙庚两形并亦必与乙丁等増题角形之一边上形与馀边上相似两形并等则对一边角必直角
三十二题
两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两形成一外角若相似之各两边各平行则其馀各一边相聨为一直线
解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各相似之两边各平行题言乙丙丙戊为一直线
三十三题
等圜之乘圜分角或在心或在界其各相当两乘圜角之比例皆若所乘两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乘两圜分之比例
解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心
为丁为辛两圜各任割一圜分为
乙丙为己庚其乘圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乘之圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乘之圜分
几何论约卷六
钦定四库全书
几何论约卷末
柘城杜知耕撰
増题〈利氏曰丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线竟不及有比例之面故因其义类増益数题补其未备窦复増一题窃弁于首仍以题旨从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也〉
今増题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言两圜为甲丙丁己再加之
比例
一糸全圜与全圜半圜与半圜圜分与相当圜分相为比例皆等皆两径再加之比例故也
二糸三边直角形对直角边为径所作圜与馀两边为径所作圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
三糸三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
一増题直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等
法曰甲形求减三分之一所减所存各作形与乙相似先作丙丁形与甲等与乙相似次依丙戊边作丙己戊半圜次截丙戊三分之一为戊庚次作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线末于己丙己戊
上作己辛己壬两形各与丙丁相似为所求耕曰丙丁己辛己壬三形既相似其比例必若其底与底再加之比例三底线负半圜为三边直角形其己庚丙己庚戊两分形又与全形相似则丙戊与己丙必若己丙与丙庚是丙戊与丙庚为再加之比例而丙丁己辛两形必若丙戊丙庚两线矣夫丙庚既为丙戊三分之二则辛己亦必丙丁三分之二依显己壬为丙戊三分之一
若所存所减不论何形其法更易如甲形求减三分之一先作乙丙形与甲等
次截乙丁三分之一为丁戊末作己戊即戊丙形为甲三分之一
今附有大圜求减小圜则以圜径当形边馀同前又附依此法可作一方形与初月形等如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一先作甲乙丙丁内切方形而四平分之其一分即与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜等即戊己半圜为半大圜之半而己庚分圜形亦为半大圜之半是己庚分圜形与戊己半圜等矣此两
率各减一同用之己形所存戊庚两形不亦等乎庚为甲乙丙丁方形四之一故甲乙丙丁方形四分之一之方形与初月形等
二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次以戊己为前率乙丙为中率而求连比例之末率为辛壬〈本卷十一〉末于辛壬上作辛壬癸形与两形相似为所求
论曰三线既为连比例即其上相似三形亦为连比例〈本卷二二〉
今附有两圜求别作一圜为连比例即以圜径当形边法同前
三増题三直线形求别作一直线形为断比例
法曰一甲二乙丁三己庚辛求别
作一形为断比例先作壬子形与
甲等与乙丁相似次以壬癸乙丙
己庚为三率求断比例之末率为
寅卯〈本卷十二〉末于寅卯上作寅卯辰形与己庚辛相似为所求
论曰四线既为断比例其线上相似形亦为断比例〈本卷二三〉
今附有三圜求别作一圜为断比例法同前
四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次求戊己乙丙两线连
比例之中率为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与乙丙丁相似为所求
又法曰甲乙两形求别作一形为连比例之中率先作丁巳形与甲等次作庚壬形与乙等与丁巳相似令两形戊角相聨而丁
壬巳庚各成直线末引各边作子癸直角形其子戊戊癸两馀方皆为甲乙之中率
论曰丁己与戊癸若子戊与庚壬何者两比例皆若丁戊与戊壬也故两馀方皆为等甲乙两角线形之中率今附两圜求别作一圜为连比例之中率法同前
五増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例
法曰一甲形求分为两形俱与丁相似与乙丙比例等先作戊庚形与甲等与丁相似次分戊辛边于壬令戊壬与壬辛若乙与丙次于戊辛上作
戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛两线末于戊癸癸辛上作戊子癸寅两形俱与戊庚形相似为所求
今附一圜求分作两圜与所设比例等法同前
六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似边之比例若所设两几何之比例
法曰一甲形求分作两形俱与丁相
似其两分形两相似边之比例若乙
与丙先以乙丙两线求连比例之末
率为戊次作己庚辛形与甲等与丁
相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊次于己辛线上作巳癸辛半圜次从壬作壬癸为巳辛之垂线次作巳癸癸辛两线末于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛俱与丁相似为所求
今附一圜求分作两圜两径若所设之比例法同前
七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等
法曰甲乙两形求并作一形与丙相似先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等次以两形相似边聨为直角次以戊辛聨之末于戊辛线作戊辛壬形与丙相似为所求
又法曰先作一方形与甲乙两形并等次作角形与方形等与丙相似
今附两圜求并作一圜法同前
八增题圜丙两合线交而相分其分线彼此互相视解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两线交而相分于戊题言甲戊与戊丁若乙戊与戊丙又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内形等〈三卷三五〉即等角旁之两边为互相视之边〈本卷十四〉
九増题圜外任取一点从点出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从点作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊点作戊丙戊丁两线割圜界于甲于乙题言戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也又言己戊切线为各割圜全线与规外线之各中率谓丙戊与己戊若己戊与戊
乙又丁戊与己戊亦若己戊与甲戊也
论曰丙戊偕乙戊矩内形与己戊上方形等〈三卷三六〉又丁戊偕甲戊矩内形与己戊上方形亦等即两矩内形自相等而等角旁之两边为互相视之边〈本卷十四〉又两矩内形各与戊己上方形等即戊丙戊己戊乙三线戊丁戊己戊甲三线俱为连比例而己戊为各中率
十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而毎方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视
解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如上图两垂线当
至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为锐角如下图甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也题言甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
论曰甲乙丁形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊形之丙乙戊丙戊乙两角皆等〈两为直角两于上图为交角于下图为同角故〉即两形为等角形故各相对之两线为彼此互相视
十一増题平行线形内两直线与两边平行分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等
解曰甲丙形内作戊己庚辛两线与甲丁丙丁平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙
壬壬丙四形任相与为比例皆等
论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也
十二増题凡四边形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等
解曰甲乙丙丁四边形有甲丙乙丁两对角线交而相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙
甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁与丁戊丙两形又若甲戊乙与乙戊丙两形即甲戊丁与丁戊丙两形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也
十三増题三角形任于一边任取一点从点求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何
法曰甲乙丙角形任于乙丙
边任取丁点求从丁作一线
分本形为两形其两形之比
例若戊与己先分乙丙于庚令乙庚与庚丙若戊与己如庚丁同点〈一图〉即作丁甲线为所求如庚在丁丙之内〈二图〉亦作丁甲线从庚作辛庚线与丁甲平行末作丁辛线即分乙丁辛甲无法四边形与丁丙辛角形其比例若戊与己也如庚在乙丁之内〈三图〉亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行末作辛丁线即分乙丁辛角形与丁丙辛甲无法四边形其比例若戊与己也〈详一卷三十八题第二増〉
十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其比例若所设两几何
法曰甲直线形求别作一形与甲相似令甲与所作形之比例若乙与丙先以乙丙及丁戊三线求断比例之末率为己次求
丁戊及己之中率为庚辛〈本卷十二十三〉末于庚辛上作壬形与甲相似为所求若先设大甲求作小壬若丙与乙仿此
论曰丁戊庚辛己三线为连比例即一丁戊与三己之比例若一丁戊上之甲与二庚辛上之壬有用法作各形之相加相减者如乙丁方形求别作五倍大方形先引长甲乙至戊令乙戊五倍于乙甲次平分甲戊于己即
以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长乙丙抵圜界于庚即依乙庚线作乙辛方形为所求耕曰甲乙偕戊乙矩内形与乙庚上方形等〈三卷三五〉矩内形既五倍于乙丁则乙辛方形亦必五倍于乙丁
又丁乙直线形求别作二倍大相似形先引长甲乙至戊令乙戊二倍于甲乙次平分甲戊于己即以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长丙乙抵圜界于庚次于甲戊线截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬与乙丙平
行次作甲丙对角线引长之遇辛壬于壬次自壬作壬癸与丙丁平行末引甲丁线聨之成癸辛形即二倍于丁乙而相似
用此法不论何形但两形相似其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形
今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此
十五増题诸三角形求作内切直角方形
法曰甲乙丙角形求作内切方形先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次分甲丁于戊
令甲戊与戊丁若甲丁与乙丙〈本卷十増〉次从戊作己庚与乙丙平行末自庚自己作庚壬己辛两线各与甲丁平行即得己壬形为所求〈若直角钝角则从直角钝角作垂线〉
耕曰己庚既与底线平行则甲丁与乙丙若甲戊与己庚今又若甲戊与戊丁是戊丁与己庚等矣而庚壬己辛又各与戊丁等即庚辛为方形又甲乙丙直角三边形求依乙角作内切方形先分甲乙于丁令甲丁与丁乙若甲
乙与乙丙末从丁作丁戊与乙丙平行从戊作戊己与甲乙平行即得丁己形为所求
耕曰丁戊既与底线平行则甲乙与乙丙若甲丁与丁戊今又若甲丁与丁乙是丁乙与丁戊等矣即乙戊为方形
今附如上三边直角形依乙角作内切方形其方边必为甲丁己丙两分馀边之中率何者甲丁与丁戊若戊己与己丙故也〈本卷四之糸〉
后附〈耕自为图论附之卷末其法似为本书所无其理实函各题之内非能于本书之外别生新义也称后附者以别于丁氏利氏之増题也计十条〉
一附直角三边形以直角旁两边求对直角边一卷四十七题第四増言直角三边形先得两边可求馀一边皆用筭数相求然亦可比量得之按直角三边形即算家所谓
勾股也乙丙即甲乙即勾甲丙即股乙丙之大于甲丙为丁丙曰股较乙丙之大于甲乙为乙戊曰勾较甲丙之大于甲乙为丙己曰勾股较凡六线先得两线皆可求馀线今先得甲乙甲丙两边求乙丙先作庚辛壬直角令辛壬与甲乙等辛庚与甲丙等末作庚壬即得乙丙边之度
二附以对直角边及直角旁一边求馀边
先得甲乙乙丙两边求甲丙先作庚壬与乙丙等平分于癸即以癸为心庚为界作半圜次以壬为心甲乙为
度向圜作短界为辛末作庚辛线为所求〈若先得甲丙乙丙两边求甲乙法同上〉
三附以对直角边与一边之较及一边求全边
先得甲乙边及甲丙乙
丙之较丙丁求馀边先
作庚辛与丙丁等次作
辛壬垂线与甲乙等次作庚壬次引长庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑线与乙丙等辛丑线与甲丙等何也庚癸线既以庚壬子直角线截之则庚辛偕辛子矩内形必与辛壬上方形等〈三卷三五〉按勾股法依股较为阔作直形而与勾羃等其长必一一股之度故加辛庚折半得乙丙〈若先得甲丙及甲乙乙丙之较乙戊求乙丙法同上〉
四附以直角旁两边之较及对直角边求全边
先得乙丙及甲乙甲丙之较
己丙先作庚辛与乙丙等次
平分于寅即以寅为心庚为
界向上作短界线次以庚为心己丙为度向上作短界线相交处为丑自丑作辛丑线次作庚辛壬直角令辛壬与辛丑等次作庚壬线末截庚壬于癸令壬癸与丙己等馀庚癸平分于子即庚子与甲乙等子壬与甲丙等按勾股法一勾一股并作方形当上方形二而朒一勾股较上方形今庚辛上方形即羃等辛丑之辛壬上方形当一羃而朒一勾股较上方形又庚壬上方形与庚辛辛壬上两方形并等则庚壬一线必为一勾一股之度
五附以直角旁两边与对直角边之两较线求各边先得甲丙乙丙之较丁丙及甲乙乙丙之较乙戊先倍乙戊加丁丙为庚辛壬癸线平分于子即以子为心庚为界作庚丑癸半圜次自壬作垂线抵圜界于丑
即壬丑线加壬癸即与甲乙等加辛壬即与甲丙等加辛癸即与乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二与戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即两较矩内形二也而又与壬丑上方形等则壬
丑垂线不与戊丁亦等乎故逓加之得勾股也〈若倍丙丁加乙戊所求亦同〉
六附又法以方边角线之较求方边
先得方边角线之较甲乙三倍
之为甲乙丙丁线平分于戊即
以戊为心甲为界作甲己丁半
圜自丙作垂线抵圜界于己即己丙线加丙丁为方边加甲丙为角线试作庚辛为角线上方形次作庚癸壬辛皆为元方形〈详二卷十四之増〉其子丑与丑壬两线之比例若丑壬与子丑寅卯两线并则丑壬为子丑及子丑寅卯两线并之中率今甲丙倍丙丁而己丙为中率其丙丁与己丙若己丙与甲丙也则己丙丑壬两线必等故加等子丑之丙丁得方边加等子丑寅卯两线并之甲丙得角线
七附等角两平行方形〈不同理〉不必借象即以相结如甲丙丙己两平行方形两丙角等即以两角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线〈六卷二三〉次引丙庚至壬令丙庚与
丙壬若丁丙与丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙与丙己两形之比例若乙丙与丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四线既为断比例前后两率矩内形与中两率矩内形必等〈六卷十六〉即丙己与丁壬等又丁壬与甲丙同丁丙边即两形等高两形之比例必若两底乙丙之与丙壬也故甲丙与丙己亦若乙丙与丙壬此以丁丙丙庚为前率之后复为后率之前化二为一作首尾两率之枢纽不必假借他象即以相结若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结仿此
八附又法求理分中末线
设甲乙线求理分中末〈详六卷三十〉即以甲乙当股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙聨之次截甲丙于丁令丙丁与乙丙等末截甲乙于戊令甲戊
与甲丁等即甲戊乙为理分中末
也何者勾股上两方形并与上
方形等〈一卷四七〉于方内减去等勾
方之己形所馀庚辛壬磬折形必与股方等又甲丁甲戊两线等即辛癸两形亦等再减辛癸两形所馀庚壬两形与子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等则癸子两形并〈当甲戊偕丙乙矩内形二〉与庚壬两形并〈即甲丁偕丙乙矩内形二〉亦等矣即癸子两形并与子丑寅磬折形亦等此二率毎减一同用之子形则所馀癸与丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙为理分中末也
九附求于三角形内作一线抵两腰与底线平行又与所设线等
甲乙丙三角形求作一线抵两腰与乙丙平行而与丁线等先作甲戊线次分
于己令甲戊与甲己若乙丙底与丁线末从己作庚辛线与乙丙平行为所求〈若设线大于乙丙即不可作〉
十附有多线求理分中末
设甲乙丙丁戊己庚辛多线各求理分中末先依前法〈八附〉分甲乙于壬次
任作甲癸乙角形次从壬作癸壬线次作丙丁戊己庚辛多线令两界各抵腰线而与底线平行〈九附〉末依癸壬线分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各为理分中末也
几何论约卷末
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
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