幾何論約 (四庫全書本)/全覽
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欽定四庫全書 子部六
幾何論約 天文算法類二〈算書之屬〉提要
〈臣〉等謹案幾何論約七卷
國朝杜知耕撰知耕字臨甫號伯瞿柘城人是編取利瑪竇與徐光啟所譯幾何原本復加刪削故名曰論約考光啟於幾何原本之首冠雜議數條有云此書有四不必不必疑不必揣不必試不必改有四不可得欲脱之不可得欲駁之不可得欲減之不可得欲前後更置之不可得知耕乃刋削其文似乎蹈光啟之所戒然讀古人書者往往各有所會心當其獨契不必喻諸人人併不必印諸著書之人幾何原本十五卷光啟取其六巻薩幾里得以絶世之萟傳其國遞校之秘法其果有九巻之冗贅待光啟去取乎亦各取其所欲取而已知耕之取所欲取不足異也梅文鼎算術造微而所著幾何摘要亦有所去取於其間且稱知耕是書足以相證則是書之刪繁舉要必非漫然矣乾隆四十六年九月恭校上
總纂官〈臣〉紀昀〈臣〉陸錫熊〈臣〉孫士毅
總 校 官〈臣〉陸費墀
原序
凡物之生有理有形有數三者妙於自然不可言合何有於分顧從来語格物者毎詳求理而略形與數其於數雖有九章之術求其精確已苦無𫝊書至論物之形則絶無及者孟子曰繼之以規矩凖繩以為方圓平直不可勝用意古者公輸墨翟之流未嘗不究心於此而特未及勒為一家之言與然不可考矣嘗竊論之理為物原數為物紀而形為物質形也者理數之相附以立者也得形之所以然則理與數皆在其中不得其形則數有窮時而理亦杳𣺌而不安非理之不足恃蓋離形求理則意與象暌而理為無用即形求理則道與器合而理為有本也㡬何原本一書創於西洋歐吉里斯自利瑪竇攜入中國而上海徐元扈先生極為表章譯以華文中國人始得讀之其書囊括萬象包羅諸有以為物之形有短長有濶狹有厚薄短長曰線濶狹曰面厚薄曰體以三者提其大綱而曲直相參斜正相求方員相凖多寡相較輕重相衡以虚例實用小該大自近測逺參之伍之錯之綜之物之形得而無閡數無遁理矣顧其書雖存而習者卒鮮即稍窺其籓亦僅以為厯學一家之言不知其用之無所不可也友人杜子端甫束髮好學於天文律厯軒岐諸家無不該覽極深湛之思而歸於平實非心之所安事之所騐雖古人成説不敢從也其於是書九沛然有得以為原書義例條貫已無可議而解論所繫間有繁多讀者難則知者少矣於是為之刪其冗複存其節要解取詁題論取發解有所未明間以已意附之多者取少迂者取徑使覽者如指掌列眉庶人不苦難而學者益多既成徵序於予予謭陋何能為役然念先君子嘗精研此書弗釋巻不肖總角時毎聞其略今愧不能紹前業讀杜子書而附名末議尤所欣願者故為述其大意以應杜子之請而因為之言曰今藝學之榛荒乆矣即以律厯論二者雖同出於數然各有本末不必强同漢魏以来務為牽合了無確義至天文一家尤多穿鑿凡日月交食五星凌犯有所弗通不咎推歩之失反誣天行之錯以致批根人事除翦無辜翕張政刑不可殫述蓋不徒時刻愆期分秒失算而已是豈非學而不實之過哉若捨去一切傅會揣合之説而以㡬何之學求之則數以象明理因數顯涣然氷釋無往不合即推而廣之凡量髙測逺授土工治河渠以及百工技藝之巧日用居室之㣲無一之可離者然則此書誠格致之要論藝學之津梁也今夫釋迦之學亦来自西域中更劉宋蕭梁諸人翻演妙諦轉渉懸𣺌然終屬搏沙無禆實用中國人猶嗜之不啻饑渴㡬何一書絶非其倫徐利二公一本平實杜子所述更歸㨗簡學者輟其章句詞賦之功假十一於千百數日間可得之亦何憚而不一觀與杜子先有數學鑰六巻已行於世正與㡬何家相為表裏合二書評之皆潔浄精實㡬於不能損益一字語不云乎言之無文行之不逺吾以為言之不簡不可為文簡而不該不可為簡請以此語賛兩書讀之者既得其簡即得其該其於是道也庶㡬哉吳學顥序
原序
幾何原本者西洋歐吉里斯之書自利氏西来始𫝊其學元扈徐先生譯以華文厯五載三易稿而後成其書題題相因由淺入深似晦而實顯似難而實易為人不可不讀之書亦人人能讀之書故徐公嘗言曰百年之後必人人習之即又以為習之晚也書成於萬厯丁未至今九十餘年而習者尚寥寥無㡬其故何與蓋以毎題必先標大綱繼之以解又繼之以論多者千言少者亦不下百餘言一題必繪數圗一圗必有數線讀者須凝精聚神手誌目顧方明其義精神少懈一題未竟已不知所言為何事習者之寡不盡由此而未必不由此也若使一題之藴數語輒盡簡而能明約而能該篇幅既短精神易括一目了然如指諸掌吾知人人習之恐晩矣或語余日子盍約之余曰未易也以一語當數語聰頴者所難而况魯鈍如余者乎雖然試為之於是就其原文因其次第論可約者約之别有可發者以已意附之解已盡者節其論題自明者併節其解務簡省文句期合題意而止又推義比類復綴數條於末以廣其餘意既畢事爰授之梓以就正四方倘摘其謬刪其繁補其遺漏尤余所厚望焉杜知耕序
欽定四庫全書
幾何論約巻一之首
柘城杜知耕撰
界説三十六則〈凡造論先當分别解説論中所用名目故作界説〉
一界㸃無長短廣狹厚薄
二界線有長短無廣狹厚薄〈線有曲有直〉
三界線之界是㸃
四界直線止有兩端兩端之間上下更無一㸃
五界面有長短廣狹而無厚薄
六界靣之界是線
七界平面一面平在界之内
八界平角兩直線于平靣縱横相遇處如甲乙乙丙兩線所作不以線之大小較論〈凡言角連用三字中間一字為所指之角如稱甲乙丙角乃指乙角而言也〉
九界直線相遇作角為直線角本書中所論皆是直
線角角有三等一直線角
二曲線角三雜線角
十界甲乙縱線加丙丁横線上乙左右作兩角相等
而直〈角方中矩曰直〉則甲乙為丙丁之垂線
十一界凡角大于直角曰鈍角〈如甲乙丙角〉
十二界凡角小于直角曰鋭角〈如前圖甲乙丁角〉
十三界界者一物之始終今所論有三界㸃為線之界線為面之界面為體之界體不可為界
十四界形或在一界〈如平圎立圎等形〉或在多界之間〈如平方立方及平立三角六角八角等形〉
十五界圜自界至心任作幾許直線俱等
十六界圜之中處為心
十七界自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜為兩平分
十八界徑線與半圜界所作形為半圜
十九界在直線界中之形為直線形
二十界在三直線界中之形為三邊形
二十一界在四直線界中之形為四邊形
二十二界在多直線界中之形為多邊形
二十三界三邊形三邉線等為平邊三角形
二十四界三邊形兩邉線等為兩邊等三角形
二十五界三邉形三邊俱不等為三不等三角形二十六界三邉形有一直角為三邉直角形
二十七界三邊形有一鈍角為三邊鈍角形
二十八界三邊形三角皆鋭為三邊鋭角形〈凡三邊形恒以在下者為底兩旁者為腰〉
二十九界四邊形四邊俱等而角直為直角方形三十界直角形其角皆直其邊兩兩相等
三十一界斜方形四邊等而非直角
三十二界長斜方形其邉兩兩相等而非直角
三十三界已上四種謂之有法四邉形四種之外他方形皆謂之無法四邉形
三十四界兩直線〈如甲乙丙丁兩線〉于同面行至無窮不相
離亦不相逺而不相遇為平行線
三十五界一形每兩邊有平行線〈甲丙與乙丁平行甲乙與丙丁平行〉
為平行方形
三十六界凡平行方形于對角作直線又于兩邊縱横各作平行線遇對角線于壬即分此形為四平行方形其兩形有對角線者〈己辛庚戊兩形〉為
角線方形其兩形無角線者〈丁壬壬乙兩形〉為餘方形〈甲乙丙丁方形今止稱為丁乙方形省文也〉
求作四則〈求作者不得言不可作〉
一求自此㸃至彼㸃求作一直線
二求一有界直線求從一界引長之成一直線
三求不論大小以㸃為心求作圜
四求設一度于此求作彼度較此度或大或小〈凡言度者或線或面或體皆是〉
公論十九則〈公論者不可疑〉
一論設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等二論有多度等若所加之度等則合并之度亦等三論有多度等若所減之度等則所存之度亦等四論有多度不等若所加之度等則合并之度不等五論有多度不等若所減之度等則所存之度不等六論有多度俱倍于此度則彼多度俱等
七論有多度俱半于此度則彼多度俱等
八論有二度自相合〈謂以此度加于彼度之上而自相合〉則兩度必等九論全大于其分
十論直角俱相等
十一論有甲乙丙丁兩横線任作一戊己縱線或正或偏若戊己線旁同方兩角俱小于直角或兩角并小于兩直角則兩横線愈長愈相近
必有相遇處
十二論兩直線不能為有界之形
十三論兩直線止能于一㸃相遇
十四論有甲乙丙丁兩度等若于甲乙加乙戊于丙丁加丁己所加兩度不等則合并之差與所
加之差等謂甲戊之大于丙己與乙戊之大于丁己同一戊庚也
十五論有戊乙丁己兩度不等若于戊乙加乙甲于己丁加丁丙所加兩度等則合并所贏之度
與元所贏之度等謂戊甲之大于己丙與戊乙之大于己丁同一庚戊也
十六論有甲乙丙丁兩度等若于甲乙減戊乙于丙丁減己丁所減兩度不等則餘度所贏之度
與減去所贏之度等謂乙戊之大于己丁與丙己之大于甲戊同一庚戊也
十七論有甲戊丙己兩度不等若于甲戊減甲乙于丙己減丙丁所減兩度等則餘度所贏之度
與元所贏之度等謂乙戊之大于丁己與甲戊之大于丙己同一庚戊也
十八論全與諸分之并等
十九論有二全度此全倍于彼全若此全所減之度倍于彼全所減之度則此較〈相減之餘曰較〉亦倍于彼較〈設此度二十彼度十于二十減六于十減三則此較十四彼較七〉
欽定四庫全書
幾何論約卷一
柘城杜知耕撰
一題
有界直線上求立平邊三角形
法曰甲乙直線上求立平邊三角
形先以甲為心乙為界作丙乙丁
圜次以乙為心甲為界作丙甲丁
圜兩圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙兩線即甲乙丙為平邊三角形
論曰兩圜既等甲乙乙丙丙甲三線皆圜之半徑故等〈界説十五〉
用法不必作全圜但作短界線相交處即得丙〈下圖〉二題
一直線或内或外有一㸃求以㸃為界作直線與元線等
法曰有甲㸃及乙丙線求以甲為界作一線與乙丙等先以丙為心乙為界作乙戊圜次觀甲㸃若
在丙乙之外則作甲丙線
如上圗或甲㸃在丙乙之
内則截取甲丙線如下圗
兩法俱以甲丙線為底作甲丁丙平邊三角形〈本卷一〉次引丁丙至乙戊圜界為丙戊引丁甲出圜界外稍長為甲己末以丁為心戊為界作辛戊圜其丁己線與辛戊圜相交于庚即甲庚與乙丙等論曰丁戊丁庚同為外圜半徑故等丙戊丙乙同為内圜半徑亦等于丁庚減丁甲于丁戊減丁丙其所減兩腰等則所存必等〈公論三〉夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣
若所設甲㸃在丙乙線之一界其法尤易若甲㸃在丙即以丙為心作乙戊圜從丙至戊即所求三題
長短兩直線求于長線減去短線之度
法曰甲短線乙丙長線求于乙丙減甲先作乙丁線與甲等次以乙為心丁為
界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊與等甲之乙丁等蓋乙丁乙戊同心同圜故也〈界説十五〉
四題
兩三角形若相當之兩腰各等各兩腰間角等則兩底必等而兩形亦等其餘各兩角相當者俱等
解曰甲乙丙丁戊己兩角形甲與丁兩角等甲丙
與丁己兩線甲乙與丁戊兩線各等題言乙丙與戊己兩底必等而兩角
形亦等乙與戊兩角丙與己兩角俱等〈三角形稱為角形省文也〉
五題
三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出之其底之外兩角亦等
解曰甲乙丙角形其甲丙與甲乙兩腰等題言甲丙乙與甲乙丙兩角等又引甲丙
至戊引甲乙至丁其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等
増凡三邊等形其三角俱等
六題
三角形若底線兩端之兩角等則兩腰亦等
七題
一線為底出兩腰線其相遇止有一㸃不得别有腰線與元腰線等而于此㸃外相遇
解曰乙丙線為底于乙于丙各出一線至甲㸃相遇不得于乙上更出一線與甲乙等丙
上更出一線與甲丙等而不于甲相遇
八題
兩三角形若相當之兩腰各等兩底亦等則兩腰間角必等
解曰甲乙丙丁戊己兩角形其甲乙與丁戊兩腰甲丙與丁己兩腰各等乙丙
與戊己兩底亦等題言甲丁兩角必等
糸本題止論甲丁兩角若旋轉依法論之即三角皆同可見凡線等角必等不可疑也
九題
有直線角求兩分之
法曰乙甲丙角求兩平分之先于甲乙線任截一分為甲丁次于甲丙截甲戊與甲丁等次作丁戊線次以丁戊為底立丁己戊
平邊三角形〈本卷一〉末作甲己線即乙甲丙角為兩平分
用法如前截取甲丁甲戊即以丁為心向乙丙間作一短界線次用元度以戊
為心亦如之兩界線交處即得己〈本巻一〉
十題
一有界線求兩平分之
法曰甲乙線求兩平分先以甲乙為底作甲乙丙兩邊等三角形〈本巻一〉次平分丙角〈本巻九〉作丙丁線即平分甲乙于丁
用法以甲為心任用一度但須長于甲乙線之半向上向下各作一短界線次用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末作丙
丁線即平分甲乙于戊
十一題
一直線任于一㸃上求作垂線
法曰甲乙直線任指丙㸃求作垂線先任用一度于丙左右各截一界為丁為戊次以丁戊為底作丁己戊兩邉等角形〈本巻一〉末作己丙線即為甲乙之垂線
用法于丙㸃左右如前截取丁與戊即以丁為心任用一度但須長于丙丁線向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之兩界
線交處即己
増若所欲立垂線之㸃在線末甲界上甲外無餘線可截則于甲乙線上任取丙㸃如前法于丙上立丁丙垂線次平分甲丙丁角為己丙線次于丁丙線截取戊丙與甲丙等次于戊上立垂線與己丙線相遇于庚末自庚作庚甲線為所求
論曰庚丙甲庚丙戊兩角形等甲與戊兩角必等戊既直角則甲亦直角故庚甲為甲乙之垂線〈界十〉用法甲㸃上欲立垂線先以甲為心向元線上方任抵一界為丙次用元度以丙為心作大半圜圜界遇甲乙線于丁次自丁至丙作直線引長至戊遇圜界于己末作己甲線為所求
耕曰丁己既過丙心即是圜徑而己甲丁則全圜之半也丁甲己角既負半圜必為直角〈三巻三一〉故己甲為甲乙之垂線
十二題
有無界直線之外有一㸃求自㸃作垂線至直線上法曰甲乙線外有丙㸃求自丙作垂線至甲乙先以丙為心作一圜令兩交于甲乙線為丁戊次作丙丁丙戊兩線次平分丁戊于
己〈本巻十〉末作丙己為所求
用法以丙為心向直線兩處各作短界線為甲為乙次用一度以甲為心向丙㸃相望處作短界線乙為心亦如之兩界線交處為丁末作丙丁交直線于戊即丙戊為垂線
又用法于甲乙線上近甲或近乙任取一㸃為心以丙為界作一圜界于丙㸃及相望處各稍引長
之次于甲乙線上視前心或相
望如上圗或進或退如下圖任
移一㸃為心以丙為界作一圜
界與前圜界交處得丁末作丙丁線交甲乙線于戊即丙戊為垂線〈若近界作垂線無可截取亦用此法〉
十三題
一直線至他直線上所作兩角非直角即等于兩直角
解曰甲乙線至丙丁線上作甲乙丙甲乙丁兩角題言此兩角若非直角即一鋭一鈍而并之等于兩直角
論曰試作戊乙垂線〈本巻十一〉則成戊乙丁戊乙丙兩直角甲乙丁角加一戊乙甲角與戊乙丁直角等甲乙丙角減一戊乙甲角與戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙兩角并與兩直角等
十四題
一直線于線上一㸃岀不同方兩直線偕元線毎旁作兩角若旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直線
解曰甲乙線于丙㸃上左岀一線為丙丁右出一線為丙戊若甲丙戊甲丙丁兩角與兩
直角等題言丁丙與丙戊是一直線〈論同前題〉
十五題
凡兩直線相交作四角毎兩交角必等
解曰甲乙丙丁兩線相交于戊題言甲戊丙丁戊
乙兩角甲戊丁丙戊乙兩角各等
論曰兩直線相交則甲戊丁丁戊乙必等于
兩直角甲戊丁甲戊丙亦等于兩直角〈本巻十三〉是甲戊丁丁戊乙兩角並與甲戊丁甲戊丙兩角並等矣試減同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙兩角必等餘兩角亦同此論
一糸推顯兩直線相交作四角與四直角等
二糸凡直線相交于一㸃不論幾許線幾許角定與四直角等
増題一直線内出不同方兩直線而所作兩交角等即後出兩線為一直線〈理同本題反言之〉
十六題
凡三角形之外角必大于相對之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲線引至丁題言丁甲丙外角必大于相對之甲乙丙甲丙乙内角
論曰試以甲丙平分于戊作乙戊線引長之從戊截取戊己與乙戊等次作甲己線成甲戊己戊乙丙兩角形其戊己與戊乙戊甲與戊丙各等甲戊己乙戊丙兩交角又等〈本巻十五〉則甲己與乙丙兩底亦等〈本巻四〉而己甲戊與戊丙乙兩角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分則丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前
推顯庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又與丁甲丙兩交角相等〈本巻十五〉是丁甲丙亦大于辛乙丙矣
十七題
凡三角形之毎兩角必小于兩直角
解曰甲乙丙角形題言毎兩角并俱小于兩直角
論曰試引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁兩角并與兩直角等〈本巻十三〉而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角〈本巻十六〉是甲乙丙與甲丙乙兩角并小于兩直角矣餘二角倣此
十八題
凡三角形大邉對大角小邉對小角
解曰甲乙丙角形之甲丙邊大于甲乙邊乙丙邊題言甲乙丙角大于甲丙兩角
論曰試于甲丙線上截甲丁與甲乙等作乙丁線則甲乙丁與甲丁乙兩角等矣〈本巻五〉夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相對之丁丙乙内角〈本巻十六〉則甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙邊大于甲乙邊則甲角亦大于丙角依此推顯十九題
凡三角形大角對大邊小角對小邊
二十題
凡三角形之兩邊并必大于一邊
二十一題
凡三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其内則内形兩腰并必小于相對兩腰并而後兩線所作角必大于相對角
解曰甲乙丙角形于乙丙邊之兩界各出一線遇于丁題言丁丙丁乙兩線并必小
于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二題
三直線其毎兩線并大于一線求作三角形
法曰甲乙丙三線其第一第二線并大于第三線〈若兩線比第三線或等或小即不能作三角形見本巻二十〉求作三角形先任作丁戊線長于三線并次截丁己與甲等截己庚與乙等
截庚辛與丙等次以己為心丁為界作丁壬癸圜以庚為心辛為界作辛壬癸圜其兩圜相遇下為壬上為癸末以庚己為底作癸庚癸己兩線即得己癸庚三角形〈壬㸃亦可作 若兩圜不相交即是兩線或等或小于第三線不成三角形〉
用法先作丁戊線與乙等次以丁為心甲為度向上作短界線次以戊為心丙為度亦如
之交處得己末作己丁己戊兩線為所求〈若設一三角形求别作一形與之等亦用此法〉
二十三題
一直線任于一㸃上求作一角與所設角等
法曰甲乙線于丙㸃求作一角與丁戊己角等先任作庚辛線成庚戊辛角形
次依甲乙線作丙壬癸角形與戊庚辛等〈本卷二二〉二十四題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之腰間角大則底亦大
解曰甲乙丙與丁戊庚兩角形其甲乙與丁戊兩腰甲丙與丁庚兩腰各等若
甲角大于戊丁庚角題言乙丙底亦大于戊庚底耕曰設丁戊己與甲乙丙形等則角與底必俱等若丁己線開至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己線斂至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底
二十五題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之底大則腰間角亦大
二十六題
兩三角形有相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之内及一角之對
解曰甲乙丙形之乙丙兩角與丁戊己形之戊己兩角各等或兩角内之乙丙邊與戊己邊等或對丙角之甲乙邊與對己角之
丁戊邉等題言兩形之餘兩邊一角必俱等
二十七題
兩直線有他直線交加其上若内相對兩角等即兩直線必平行
解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于庚于辛而甲庚辛與丁辛庚兩角等題言甲乙丙丁兩線必平行
論曰如不平行兩線必相遇于壬成庚辛壬三角形則甲庚辛外角宜大于相對之庚辛壬内角〈本巻十六〉若兩角等則兩線必平行
二十八題
兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之内角等或同方兩内角與兩直角等即兩直線必平行
解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于庚于辛題言若戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等則兩線必平行又言若甲庚辛與丙辛庚同方兩内角并與兩直角等則兩線必平行
二十九題
兩平行線有他直線交加其上則内相對兩角必等外角與同方相對之内角亦等同方兩内角亦與兩直角等〈義同上二題反言之〉
三十題
兩直線與他直線平行則元兩線亦平行〈此題所指線在同面者不同面線後别有論〉
三十一題
一㸃上求作直線與所設直線平行
法曰甲㸃求作直線與乙丙平行先從甲向乙丙線任作甲丁線即乙丙線上成甲丁乙角次于甲㸃上作一角與甲丁乙等〈本巻二三〉為
戊甲丁引長戊甲至己即己戊為所求
論曰戊甲丁甲丁乙相對之兩内角等兩線必平行〈本巻二八〉
用法先從甲㸃作甲丁線次以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界少長于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛
末作甲辛線為所求
又用法以甲㸃為心于乙丙線近乙處任作短界線為丁次用元度以丁為心于乙丙線向丙作短界線為戊次用元度以戊為心向
上與甲平處作短界線又用元度以甲為心向甲之平處作短界線兩界線交處為己末作己甲線為所求又用法取甲至乙丙線為度于乙丙線近乙處任指一㸃為心作短界線于甲次用元度近丙處任指一㸃為心作短界線于丁末作
丁甲線為所求〈出幾何要法〉
増從此題生一用法設一角兩線求作四邊形有
角與所設角等
法曰先作己丁戊角與丙等次截丁戊與甲等己丁與乙等末依丁戊平行作己庚
依丁己平行作庚戊為所求
三十二題〈二支〉
凡三角形之外角與相對之内兩角并等凡三角形之内三角并與兩直角等
先解曰甲乙丙角形乙丙邊引至丁題言甲丙丁
外角與甲乙兩内角并等
論曰試作戊丙線與甲乙平行即甲丙為甲
乙戊丙之交加線則乙甲丙角與相對之甲丙戊角等〈本卷二九〉又乙丁與兩平行線相遇則戊丙丁外角與相對之乙内角等〈本卷二九〉故甲丙丁外角與甲乙兩内角并等
後解曰甲乙丙三角并與兩直角等
論曰甲丙乙甲丙丁兩角并與兩直角等〈本巻十三〉又與甲乙丙三角并等是三角亦與兩直角等
増從此推知第一形當兩直角第二形〈可分三角形二〉當
四直角第三形〈可分三角形三〉當六
直角第四形〈可分三角形四〉當八直
角從此可推至無窮
耕曰不論何形凡形四邊可當四直角五邊可當六直角六邊可當八直角七邊可當十直角從此可推至無窮
一糸凡諸種角形之三角并俱相等
二糸凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角毎當直角之半腰間鈍角則餘兩角俱小于半直角腰間鋭角則餘兩角俱大于半直角
三糸平邊角形毎當直角三分之二
四糸甲乙丙平邊角形以甲丁垂線分之其丁甲丙丁甲乙兩角毎當直角三分之一乙丙兩角毎
當直角三分之二
増從三糸可分一直角為三平分如甲乙丙直角于甲乙線上作甲乙丁平邊角形〈本巻一〉次平分甲丁于戊〈本巻九〉末作乙戊線
三十三題
兩平行相等線有兩線聨之其兩線亦平行亦相等
三十四題
凡平行線方形毎相對兩邊線各等毎相對兩角各等對角線分本形兩平分
解曰甲乙丙丁平行方形題言甲乙與丙丁兩線甲丙與乙丁兩線各等又言乙與丙兩角丁與甲兩角各等又言若作甲丁對角線
即分本形為兩平分
三十五題
兩平行方形若同在平行線内又同底則兩形必等解曰甲乙丙丁兩平行線内有丙丁戊甲與丙丁乙己兩平行方形同丙丁底題言兩形等〈等者謂所函之地等後言形等者多倣此〉
先論己㸃在甲戊之内曰甲戊己乙兩線等試于兩線各減己戊餘甲己戊乙亦等因顯甲丙己戊丁乙兩角形亦等〈本巻四〉次于兩角
形毎加一丙丁戊己四邊形即丙丁戊甲丙丁乙己兩方形安得不等
次論己戊同㸃曰甲丙戊戊丁乙兩角形等次于兩角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲與丙丁戊乙兩方形故等
後論己㸃在甲戊之外曰甲戊己乙兩線等
而毎加一戊己線即甲己與戊乙兩線亦等因顯己甲丙乙戊丁兩角形亦等次毎減一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲與丙丁乙己兩方形故等
三十六題
兩平行線内有兩平行方形若底等則形亦等
解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊己與庚辛丁乙兩平行方形而丙戊與辛丁兩底
等題言兩形亦等
論曰試作丙庚戊乙兩線成庚丙戊乙方形此形與庚辛丁乙方形同庚乙底必等與甲丙戊己方形同丙戊底亦等〈本巻三五〉即甲丙戊己與庚辛丁乙兩方形自相等
三十七題
兩平行線内有兩三角形若同底則兩形必等
三十八題
兩平行線内有兩三角形若底等則兩形必等
耕曰三角形當等髙等底方形之半兩方形等則兩角形必亦等論同前二題平行方形
増甲乙丙角形任于乙丙邊平分于丁作丁甲線
即分本形為兩平分
論曰試于甲角上作直線與乙丙平行則甲
乙丁甲丁丙兩角形在平行線内兩底等則兩形亦等
二増甲乙丙角形從丁㸃求兩平分法先作丁甲線次平分乙丙于戊作戊己線與甲丁平行末作
己丁線即分本形為兩平分
論曰試作甲戊直線即甲戊己己丁戊兩角形在平行線内同己戊底必等而毎加一己
戊丙形則己丁丙與甲戊丙兩角形亦等夫甲戊丙為甲乙丙之半則己丁丙亦甲乙丙之半
三十九題
兩三角形其底同其形等必在兩平行線内
四十題
兩三角形其底等其形等必在兩平行線内
四十一題
兩平行線内有一平行方形一三角形同底則方形倍大于三角形
四十二題
有三角形求作平行方形與之等而方形角有與所設角等
法曰求作平行方形與甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙邊于戊次作丙戊己角與丁等〈本巻十〉次作甲庚直線與乙丙平行末作
丙庚線與戊己平行即得己戊丙庚方形為所求四十三題
凡方形對角線旁兩餘方形自相等
解曰甲乙丙丁方形有甲丙對角線題言兩旁之壬戊與丁庚兩餘方形自相等
論曰甲乙丙甲丙丁兩角形等又甲戊庚甲庚辛兩角形庚壬丙庚丙己兩角形各等于甲乙丙形内減甲庚戊庚壬丙兩形
于甲丙丁形内減甲庚辛庚丙己兩形則所存壬戊丁庚兩餘方形安得不等
四十四題
一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角有與所設角等
法曰求于甲線上作平行方形與乙等而有丙角先作己丁方形與乙等而戊己庚角與丙等次引
長丁戊庚己兩線為戊壬己辛令各與甲等次作壬己對角線引出之次引長戊己丁庚兩線而丁庚遇對角
線于癸末作癸子與庚辛平行作壬子與戊丑平行即己丑子辛平行方形為所求〈論同本巻四二四三〉
四十五題
有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有與所設角等
法曰求作平行方形與甲乙丙五邊形等而有丁
角先分五邊形為甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形與甲等而有丁角次引長戊辛己庚作庚辛壬癸方
形與乙等而有丁角末復引前線作壬癸子丑方形與丙等而有丁角即此三形并成一平行方形為所求〈自五以上倣此法論同本巻四二四四〉
増題甲乙兩形甲大乙小以乙減甲求較幾何法先任作丁丙己戊方形與甲等次于丙丁線上作丁丙辛庚方形與乙等即得辛庚戊己為甲乙相減之較
四十六題
一直線上求立直角方形
法曰甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩界各立垂線為丙甲丁乙皆與甲乙線等末
作丙丁聨之即直角方形
四十七題
凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊上所作直角方形并等
解曰甲乙丙角形于對乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形題言此方形與甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬兩方形并
等
曰試從甲作甲癸直線
與乙戊平行分乙丙邉于
子次自甲至丁至戊各作
直線末自乙至辛自丙至己各作直線其乙甲丙與乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直線〈本巻十四〉又丙乙戊與甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊與丙乙己兩角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊兩邉與丙乙己角形之己乙乙丙兩
邊等甲乙戊與丙乙己兩
角既等則對等角之甲戊
與丙己兩邊亦等而此兩
角形亦等矣夫乙庚方形
倍大于同乙己底同在平行線内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行線内之甲乙戊角形則乙庚方形不與戊子直角形等乎依顯丙壬與癸丙兩形亦等是戊丙一形與乙庚丙壬兩形并等矣
一増凡直角方形之對角線上所作直角方形倍大于元形
二増設不等兩方形一以甲為邉一以乙為邉求別作兩方形自相等而并之又與元設兩形并等法先作丙丁戊形令丙丁與甲等
丙戊與乙等而直角末于丁戊兩端各作半直角兩腰遇于己而等則己必直角〈本卷三二〉即己戊己丁上兩方形自相等并之又與甲乙上兩方形并等論曰丁戊上方形與丁丙丙戊上兩方形并等又與丁己己戊上兩方形并等是丁己己戊上兩方形并與丁丙丙戊上兩方形并亦等
三増多直角方形求并作一方形設不等五方形其邊為甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚與甲等辛庚與乙等次作己辛線旋作己辛壬直角令辛壬與丙等次作己壬線旋作己壬癸直角令壬癸與丁等次作己癸線旋作己癸子直角令癸子與戊等末作己子線即己子線上所作方形為所求
論曰辛己上方形與甲乙上兩方形并等己壬上方形與甲乙丙上三方形并等餘倣此
四増甲乙丙三邊直角形以兩邊求第三邊長短之度如先得甲乙數六甲丙數八求乙丙之數其甲乙甲丙上兩方形并既與乙丙上方形等甲乙之羃三十六〈方形自乗之數曰羃〉甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百開方
得十即乙丙之數也又設先得甲乙六乙丙十而求甲丙之數乙丙之羃百減甲乙之羃三十六餘六十四開方得八即甲丙之數也求甲乙倣此四十八題
凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊上所作兩直角方形并等則對一邊之角必直角
幾何論約卷一
欽定四庫全書
幾何論約卷二
柘城杜知耕撰
一題
兩直線任于一直線分為若干分其兩元線矩内直角形與不分線偕諸分線矩内直角形并等
解曰甲與乙丙兩線任于乙丙三分之為乙丁戊丙題言甲偕乙丙矩内形與甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等
論曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并與全形等
二題
一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩内形并等
三題
一直線任兩分之其元線任偕一分線矩内直角形與分餘線偕一分線矩内直角形及一分線上直角方形并等
解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙任偕一分線甲丙矩内形〈不論甲丙為大分為小分〉與分餘丙乙偕甲丙
矩内形及甲丙上方形并等
論曰甲己為元線甲乙偕分線甲
丙矩内形甲丁為分線甲丙上方
形丙己為甲丙偕分餘線丙乙矩内形是甲丁及丙己兩分形并與甲己全形等
四題
一直線任兩分之其元線上直角方形與各分線上兩直角方形及兩分線矩内形二并等
解曰甲乙線任分于丙題言甲乙線上方形與甲丙丙乙線上兩方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
兩矩内形并等
論曰甲丁為甲乙元線上方形辛己為甲丙上方形丙壬為丙乙上方形甲庚
庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并與甲乙元線上甲丁方形等
糸凡直角方形之角線形皆直角方形
五題
一直線兩平分之又任兩分之其任兩分線矩内形及分内線上方形并與平分半線上方形等
解曰甲乙線平分于丙又任分于丁其丙丁為分内線〈丙丁線者丙乙所以大于丁乙之較又甲丁所以大于甲丙之較故曰分内線〉題言甲丁丁乙矩内形及分内線丙丁上方形并與丙乙線上方形等論曰癸庚為丙丁上方形丁壬為丁乙
上方形丙辛辛己為兩餘方自相等辛己加一丁壬則與丙壬等即與甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形豈不與卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形與丙乙線上方形等
六題
一直線兩平分之又任引増一直線共為一全線其全線偕引増線矩内形及半元線上方形并與半元線偕引増線上方形等
解曰甲乙線平分于丙又從乙引増乙丁與甲乙通為一全線題言甲丁偕乙丁矩内形及半元線丙乙上方形并與丙丁上方形等論曰甲癸與丙辛等又丙辛與辛戊等〈一卷〉
〈四三〉即辛戊與甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形與卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形與丁丙上丙戊方形等
七題
一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩方形并與元線偕一分線矩内形二及分餘線上方形并等
解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙上及任用
一分線甲丙上兩方形并〈不論甲丙
為大分為小分〉與甲乙偕甲丙矩内形
二及分餘線丙乙上方形并等
論曰甲丁為甲乙上方形辛己為甲丙上方形丙壬為丙乙上方形甲己與辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也兩矩内形及丙壬方形并與甲丁方形較多一辛己方形故與甲乙及甲丙上兩方形并等八題
一直線任兩分之其元線偕初分線矩内形四及分餘線上方形并與元線偕初分線上方形等
解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙偕初分線丙乙矩内形四〈不論丙乙為大分為小分〉及分餘線甲丙上方形并與甲乙偕丙乙〈通作一線〉上方形等
論曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子為甲丙上方形此五形并與甲乙偕丙乙上方形
等甲乙偕丙乙上方形即癸己
全形也
九題
一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩方形并倍大于平分半線上及分内線上兩方形并
解曰甲乙線平分于丙又任分于丁題言甲丁丁乙上兩方形并倍大于平分半線甲丙上分餘線
丙丁上兩方形并
論曰自丙作丙戊垂線與甲丙等次作甲戊戊乙兩腰次從丁作丁己垂線遇戊乙于己從己作己庚線與甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆兩腰等而直角末作甲己線成己戊甲甲丁己角形二
皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方與戊己甲戊上兩方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并又甲己上方與甲丁丁己上兩方形并等即與甲丁及等丁己之丁乙上兩方形并等夫甲丁丁乙上兩方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并十題
一直線兩平分之又任引増一線共為一全線其全線上及引增線上兩直角方形并倍大于平分半線上及分餘半線偕引増線上兩直角方形并
解曰甲乙線平分于丙又任引増乙丁題言甲丁線上及乙丁線上兩方形并倍大于甲丙線上及丙丁線上兩方形并
論曰自丙作丙戊垂線與甲丙等自戊至甲至乙各作腰線次從丁作己丁垂線引長之又引長戊乙相遇于庚次作戊己線
與丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各兩腰等而直角末作甲庚線成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方與甲戊戊庚上兩方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上兩方形并與甲庚上方形等是甲丁丁乙上兩方形并亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并矣
十一題
一直線求兩分之而元線偕初分線矩内形與分餘線上方形等
法曰甲乙線求兩分之令元線偕初分小線矩内形與分餘大線上方形等先
于甲乙線上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙線次引戊甲線至己令戊己與戊乙等末截甲乙于庚令甲庚與甲己等即甲乙偕庚乙矩内形與甲庚上方形等為所求
論曰從庚作壬辛線與丁己平行次作己辛線與甲庚平行庚丙為甲乙乙庚矩内形己庚為甲庚上方形己壬為丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必與等戊己之戊乙上方形等〈本巻六〉戊乙上方形又與戊甲甲乙
上兩方形并等是戊甲甲乙上兩方形并與己壬及戊甲上方形并亦等矣次各減同用之戊甲上方形所存甲丙己壬兩形不亦等乎再各減同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形〈即庚丙形〉與甲庚上方形〈即己庚形〉必相等〈此題所求即理分中末線詳六巻三十〉
十二題
三邊鈍角形其對鈍角邊上方形大于餘邉上兩方形并其較為鈍角旁任用一邉偕其引増線之與對角所下垂線相遇者矩内形二
解曰甲乙丙鈍角形乙為鈍角從餘角下一垂線
與鈍角旁一邉丙乙引増線遇于丁為直角題言對鈍角之甲丙邉上方
形大于甲乙乙丙兩邉上方形并其較為丙乙偕乙丁矩内形二
論曰丙丁線任分于乙即丙丁上方形與丙乙乙丁上兩方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等〈本卷四〉
甲丙上方形與甲丁丙丁上兩方形并等即與甲丁乙丁丙乙上三方形
及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形與甲丁乙丁上兩方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而與甲丙上方形較仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也
十三題
三邉鋭角形其對鋭角邉上方形小于餘邉上兩方形并其較為鋭角旁任用一邉偕其對角所下垂線旁之近鋭角分線矩内形二
解曰甲乙丙鋭角形從甲角向對邉乙丙下一垂線分乙丙于丁題言對
丙鋭角之甲乙邉上方形小于甲丙乙丙邉上兩方形并其較為乙丙偕丁丙矩内形二
論曰乙丙線任分于丁即乙丙及丁丙上兩方形并與乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等〈本卷七〉又甲丙上方形與甲丁丁丙上兩方形并等若甲丙乙丙上兩方形并必與乙丙偕丁丙矩内
形二及甲丁乙丁上兩方形并等又甲乙上方形與甲丁乙丁上兩方形
并等即甲乙上方形與甲丙乙丙上兩方形較則朒乙丙偕丁丙矩内形二矣
十四題
有直線形求作直角方形與之等
法曰甲無法四邉形求作方形與
之等先作乙丁形與甲等而直角
〈一巻四五〉任以丁丙邉引之至己令丙
己與乙丙等次平分丁己于庚其庚㸃若在丙則乙丁即是方形若在丙外即以庚為心丁為界作丁辛己半圜末于乙丙線引長抵圜界于辛即丙辛上方形與甲等
論曰自庚作庚辛線庚辛上方形與庚丙丙辛上兩方形并等又等庚辛之庚己上方形與庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形〈即乙丁形〉并等〈本巻五〉此二率毎減去同用之庚丙上方形所存乙丁形與丙辛上方形安得不等
増題若先得方形之對角線所長于本形邊之較而求本形邊其較為甲乙先于甲乙上作甲丙方
形次作乙丁對角線引長至
戊令丁戊與甲乙等即得乙
戊線為所求
論曰依乙戊線作戊庚方形次引乙甲線至己末作戊甲線其己甲丁己戊丁兩角必等〈兩皆直角〉同減去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲兩角亦等角等則己甲己戊兩腰必等故乙己角線大于戊己邊之較為甲乙
耕曰前論止言當然而未及所以然今補一論以明之另作辛壬為乙己角線上方形次作癸子丑寅兩形皆與庚戊等錯綜加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等兩方形凡兩方形并與角線上一方形等〈一卷四七増〉則丑子一形必與兩缺形并等次作辛未為卯午缺形之角線而辛未上方形必亦與兩缺形并等則丑子形之未丑邉與辛未線必等夫午未為方邉小于角線之較與上圗甲乙等即與上圗丁戊等未丑與辛未等即與上圗丁乙等故并兩線為方邊
幾何讑約巻二
欽定四庫全書
幾何論約卷三之首
柘城杜知耕撰
界説十則
一界凡圜之徑線等或從心至圜界線等為等圜如
甲乙戊己兩徑等或丁丙辛庚從心至圜界等即兩圜等
二界凡直線切圜界過之而不與界交為切圜線甲乙在圜外為切圜線若丙丁入圜内則交線也
三界凡兩圜相切而不相交為切圜甲乙兩圜相切
于外丙丁兩圜
相切于内俱曰
切圜戊己庚辛則交圜也
四界凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距心逺近之度如甲乙距丁心近則丙丁垂線小戊己距心逺則丁庚垂線大
五界凡直線割圜之形為圜分如丁乙線割圜其乙甲丁乙丙丁皆為圜分圜分有三等過心者為半圜分函心者為圜大分不函心者
為圜小分又割線為
圜分為弧
六界凡圜界偕直線作角為圜分角其在半圜内為
半圜角在大分内為大分角在小分内為小分角
七界凡圜界任于一㸃出兩直線作一角為負圜分角甲乙丙圜分甲丙為底于乙㸃出兩直線作甲
乙丙角為負甲乙丙圜分角
八界若兩直線之角乗圜之一分為乗圜分角甲乙
丙丁圜内于甲㸃出甲乙甲丁
兩線作乙甲丁角為乗乙丙丁
圜分角圜角三種之外又有一種為切邊角或直線切圜如己庚辛或兩圜相切于外如辛壬癸或兩圜相切于内如癸壬子俱為切邊角
九界凡從圜心以兩直線作角偕圜界為三角形曰
分圜形
十界兩負圜角相等即所負之圜分相似甲乙己與丁丙戊兩負圜分角等則所負丙丁戊與乙甲己兩圜分相似又兩圜或不等其負
圜分角等即兩圜分相似〈相似者同為幾分圜之幾也〉
欽定四庫全書
幾何論約巻三
柘城杜知耕撰
一題
有圜求心
解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之兩界任作一甲丙直線平分于戊次于戊作乙丁
垂線平分于己即己為圜心
糸因此推顯圜内有直線分他線為兩平分而為直角即圜心在其内
二題
圜界任取兩㸃以直線相聨則直線全在圜内
三題
直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角為兩直角必兩平分
解曰甲乙丙丁圜有丙丁線過戊心平分甲乙線于己題言戊己必是垂線而己旁
為兩直角又言己旁既為兩直角則戊己必分甲乙為兩平分
四題
圜内不過心兩直線相交不得俱為兩平分
解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁兩直線俱不過已心而交于戊題言兩直線或有一
線為兩平分不得俱為兩平分
五題
兩圜相交必不同心
六題
兩圜内相切必不同心
七題
圜徑離心任取一㸃從㸃至圜界任出幾線其過心線最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過心線者愈小而諸線中止兩線等
解曰甲戊辛圜其徑甲乙其心巳離心任取一㸃為庚從庚至圜界任出幾線為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸
線惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁如庚戊庚辛止可出兩線等不得有三線等
八題
圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規内則過心線最大餘線愈離心愈小其至規外則過心線最小餘線愈近徑愈小而諸線中止兩線等
解曰乙己壬圜之外從甲㸃任出幾線其一過心為甲壬餘為甲辛甲庚甲己皆至規内題先言過
心之甲壬最大次言近心之甲辛
大于離心之甲庚甲庚又大于甲
己三言規外之甲乙為乙壬徑餘
者最小四言甲丙近徑餘小于甲丁甲丁又小于甲戊後言甲乙兩旁止可出兩線如甲丙甲子相等不得有三線等
九題
圜内從一㸃至界作三線以上皆等此㸃必是圜心論曰三線皆半徑故等若非圜心所出止有兩線等不得有三線等
十題
兩圜相交止于兩㸃
十一題
兩圜内相切作直線聨兩心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁兩圜内相切于甲兩心為巳為庚題言作直線聨庚己兩心引
抵圜界必至甲
十二題
兩圜外相切以直線聨兩心必過切界
十三題
圜相切不論内外止以一㸃
十四題
圜内兩直線等即距心之逺近等距心之逺近等即兩直線等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙兩線等題言兩線距心逺近亦等又言兩
線距心逺近等則兩線亦等
十五題
徑為圜内之大線其餘線近心大于逺心
解曰甲丙己圜其心庚其徑甲己其近心線為乙戊逺心線為丙丁題言甲己最大
乙戊近心大于丙丁逺心
十六題
圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊角不得更作一直線入其内其半圜分角大于各直線鋭角切邊角小于各直線鋭角
解曰甲乙丙圜其心丁甲丙為徑從甲作甲戊為甲丙之垂線題言戊甲全在圜外又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角
不得更作一直線入其内若作甲己線必割圜為分又言甲丙徑線偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直線鋭角而戊甲垂線偕甲乙圜分所作戊甲乙切邊角小于各直線鋭角
論曰甲戊下有直線既云必割圜為分即此直線偕戊甲所作角必大于切邊角偕丙甲所作角必小于分圜角
糸戊甲線必切圜以一㸃
増題有兩種幾何一大一小以小率半増之逓増至于無窮以大率半減之逓減至于無窮其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直線鋭角為大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己線于甲其切邊角愈増愈大别以庚癸庚子分壬庚
辛角愈分愈小然直線角恒大切邉角恒小乃至終古不得相比
又増題舊有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至一相等之處又一説有率大于此率者有率小于此率者則必有率等于此率者昔人以為皆公論若用以律本題即不可得故今斥為不公論如甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙線逐線漸移之向己其所經丁
戊己及中間逐線所經無數凡割圜時皆為鋭角即小于半圜分角纔離鋭角便為直角即大于半圜分角終無相等線可見前一舊説未為公論又直線鋭角皆小于半圜分角直角與鈍角皆大于半圜分角是有大者有小者終無等者可見後一舊説未為公論
十七題
設一㸃一圜求從㸃作切線
法曰甲㸃求作直線切乙丙圜其心丁先從甲作甲丁直線截圜界于乙次以丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁之垂線而遇甲戊圜于戊次作戊丁線而截乙丙圜于丙末作甲丙線為所求
論曰甲丙丁與戊丁乙兩角形各等戊乙丁既直角則甲丙偕丙丁半徑亦直角故甲丙為切線十八題
直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線解曰甲乙線切丙丁圜于丙從戊心至切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線
十九題
直線切圜圜内作切線之垂線則圜心必在垂線内
二十題
負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍大于負圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負圜角同以乙丙圜分為底題言
乙丁丙角倍大于乙甲丙角
先論分圜角在乙甲甲丙之内者曰從甲作甲戊線其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲兩角等〈一巻五〉而乙丁戊外角與相對兩内角并等〈一巻三二〉即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大于丙甲丁則乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙線過丁心者曰丁甲丙形兩腰等則兩角亦等而乙丁丙外角與甲丙兩内角并等是乙丁
丙角倍大于乙甲丙角
後論分圜角在負圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙負圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊過心線依前論推顯戊丁丙分圜角倍
大于戊甲丙負圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙負圜角次于戊丁丙角減戊丁乙角于戊甲丙角減戊甲乙角所餘乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙負圜角
増若乙丁丁丙不作角于心或為半圜或大于半圜則心外餘地亦倍大于同底之負圜角
論曰作甲戊過心線即心外餘地
分為乙丁戊戊丁丙依前論推顯
此兩角倍大于乙甲丁丁甲丙兩角
二十一題
凡同圜分内所作負圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊
于丁甲乙丙圜分丙任作
丁甲丙丁乙丙兩角題言此兩角等
論曰若函心大分所作如第一圖則依丁丙作丁戊丙分圜角此角既倍大于甲角又倍大于乙角是甲乙兩角自相等或半圜分所作如第二圗則依二十題増言心外餘地倍大于同底各負圜角即各角自相等或不函心小分所作如第三圖則作戊丙戊丁兩線再作乙庚甲己兩過心線丁戊己己戊丙兩角并既倍大于丁甲丙角而丁戊庚庚戊丙兩角并又倍大于丁乙丙角則甲乙兩角必自相等
二十二題
圜内切界四邊形毎相對兩角并與兩直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有
甲乙丙丁四邊形題言甲乙丙丙
丁甲兩角并乙丙丁丁甲乙兩角并各與兩直角等
論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圜分即等〈本卷二一〉依顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等〈以同負丙乙甲丁圜分故〉則甲乙丁丙乙丁兩角并〈即一甲乙丙角〉與甲丙丁丙甲丁兩角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲兩角并與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元與兩直角等〈一巻三一〉則甲乙丙丙丁甲兩角并亦與兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙兩角并亦與兩直角等二十三題
一直線上作兩圜分不得相似而不相等
二十四題
相等兩直線上作相似兩圜分必等
二十五題
有圜分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先作甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙線視丁乙甲角或大或小或等于丁甲乙角若等即丁為圜心
何也兩角等則對等角之乙丁丁甲兩邉必等又丁丙元與甲丁等是從丁出三線至圜界皆等故丁為圜心
次法曰若丁乙甲角大于丁甲乙角當為圜之小分即作乙甲戊角與丁乙甲角等次引
乙丁線與甲戊線遇于戊即戊為圜心
論曰試作戊丙線成甲丁戊丙丁戊相等兩角形而甲戊戊丙兩線必等又戊乙甲戊甲乙兩角等而對等角之戊乙戊甲兩線必亦等今戊甲戊乙戊丙三線至界皆等故戊為圜心
後法曰若丁乙甲角小于丁甲乙角甲乙丙當為圜之大分即作乙甲戊角與丁乙
甲角等而甲戊遇丁乙線于戊即戊為圜心論曰試作戊丙線依前推知甲戊與戊丙等又與戊乙等是從戊至界三線皆等而戊為圜心増求圜分之心有一簡法于甲乙丙圜分任取三㸃于甲于乙于丙以兩線聨之各平分于丁于戊從丁戊各作垂線相遇于己即己
為圜心
用法圜界上任取四㸃各為心相向作界線兩兩相交為戊己庚辛各作直線交于
壬即壬為心
二十六題
等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等
解曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心
為庚為辛有甲庚丙丁辛己兩乗
圜角等或甲乙丙丁戊己兩乗圜角等題言所乗之甲丙丁己兩圜分亦等〈乗圜角之在心即分圜角在界即負圜角隨類異名〉
二十七題
等圜之角所乗圜分等則其角或在心或在界俱等増題從此推顯有甲丁乙丙兩直線不相交而在一圜之内若甲乙與丁丙兩圜分等則甲丁乙丙兩線必平行若兩線平行則甲乙
丁丙兩圜分必等
二十八題
等圜内兩直線等所割圜分大與大小與小各等
二十九題
等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等
三十題
有圜分求兩平分之
法曰甲乙丙圜分求兩平分先于分之兩界作甲丙線次平分于丁作乙丁垂線即
分圜分為兩平分
三十一題
負半圜角必直角負大分角小于直角負小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半圜之甲乙丙角為直角二言負大分之乙甲丙
角小于直角三言負小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚〈謂丙乙直線偕乙庚曲線所作角〉大圜分角大于直角後言丙乙辛〈謂丙乙直線偕乙辛曲線所作角〉小圜分角小于直角
耕曰試作乙壬過心線其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙負圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬負圜角甲丁壬壬丁丙兩角并與兩直角等則甲乙壬壬乙丙兩角并必為一直角矣〈本巻二十〉
次論曰試作甲壬線成乙甲壬角與甲乙丙直角等而乙甲丙為其分故小于直角
三論曰甲乙戊丙四邊形在圜内其乙甲丙乙戊丙相對兩角并等兩直角〈本卷二二〉而乙甲丙小于直角則乙戊丙必大于直角
四論曰甲乙丙直角為丙乙庚大圜分角之分則丙乙庚角大于直角
後論曰試引甲乙線至已成丙乙巳直角而丙乙辛角為其分故小于直角
一糸凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角與相對之甲乙兩角等而甲丙乙内角又與外角等〈一巻三二〉
非直角而何
二糸大分之角大于直角小分之角小于直角終無等于直角
三十二題
直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分内各任為負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等
解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙任作丙戊直線割圜為兩分兩分内任作丙丁戊丙
己戊兩負圜角題言甲丙戊角與丙己戊角乙丙戊角與丙丁戊角交互相等
先論割圜線過心者曰甲丙戊乙丙戊兩皆直角〈一巻十八〉而丙己戊丙丁戊兩負半圜角亦皆直角〈本卷〉故交互相等
後論割圜線不過心者曰試作丙庚過心線次作戊庚線相聨丙戊庚為直角〈以負半圜〉
〈故〉即戊丙庚戊庚丙兩角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各減同用之戊丙庚角即所存甲丙戊與戊庚丙等也而丙己戊與丙庚戊元等〈以所負之圜分等故〉故甲丙戊與丙己戊交互相等又丙丁戊巳四邊形之丙丁戊丙己戊兩對角并等兩直角〈本巻二二〉而甲丙戊乙丙戊兩交角并亦等兩直角〈一巻十三〉此二率各減一相等之甲丙戊丙己戊則所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
三十三題
一直線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負圜角與丙等或直或鋭或鈍若直角即
平分甲乙于丁以丁為心甲為界作半圜内作乙戊甲即直角〈本巻三一〉
次法曰若設丙鋭角先依甲乙線作丁甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲
丁之垂線次作己乙甲角與己甲乙角等而乙己線與戊甲線遇于己即以己為心甲為界作甲庚乙圜圜内依甲乙線作甲庚乙鋭角即與丙等論曰甲戊線過己心又為丁甲之垂線丁甲線必切圜于甲〈本巻十六之糸〉則丁甲乙與甲庚乙兩角必交互相等
後法曰若設辛鈍角依甲乙線作壬甲乙鈍角與辛等餘倣次法作甲癸乙鈍角與辛等
三十四題
設圜求割一分而負圜分角與所設角等
法曰設甲乙丙圜求割一分作負圜角與丁等先作戊己線切圜于甲次作己
甲乙角與丁等末依甲乙線作甲丙乙角與丁等論曰己甲乙與甲丙乙兩角交互相等〈本巻三二〉三十五題
圜内兩直線交而相分各兩分線矩内形等
解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁兩線或俱過心或一過心一不過心或俱不過心
交而相分于戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内形等若俱過心其各分四線等即兩矩内形亦等
先論曰圜内線獨丙丁過心者又有二種其一丙丁平分甲乙線于戊試從心作己乙線其丙丁線既平分于己又任分于戊即丙戊
偕戊丁矩内形及己戊上方形并與等己丁之己乙上方形等〈二巻五〉又己戊戊乙上兩方形并亦與己乙上方形等〈一巻四七〉是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并與己戊戊乙上兩方形并亦等矣次每減一同用之戊己上方形則所存丙戊偕戊丁矩内形不與戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形〈以甲戊戊兩線等故〉 也
次論曰若丙丁任分甲乙線于戊即平分甲乙線于庚次從心作己庚己乙兩線即己庚為甲乙之垂線其丙戊偕戊丁矩内形及己
戊上方形并與等己丁之己乙上方形等〈二巻五〉己戊上方形與己庚庚戊上兩方形並等〈一巻四七〉己乙上方形與巳庚庚乙上兩方形并亦等則丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上兩方形并與己庚庚乙上兩方形并等次毎減同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不與庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦與庚乙上方形等〈二巻五〉此相等兩率毎減同用之庚戊上方形則所餘兩矩内形等矣
後論曰甲乙丙丁兩線俱不過心
相交于戊或一線平分如上圖或
俱任分如下圖皆自戊作庚辛過心線依上論推顯甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁兩矩内形皆與庚戊偕戊辛矩内形等即兩矩内形自相等
三十六題
圜外任取一㸃從㸃出兩線一切圜一割圜其割圜全線偕規外線矩内形與切圜線上方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙線切圜于乙作丁甲線截圜界于丙題言甲丁偕丙丁矩内形與丁乙上方形等
先論丁甲過心者曰試作乙戊為乙丁之垂線其甲丙線平分于戊又引出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并與戊丁上方形等〈二巻六〉又戊丁上方形與戊乙丁乙上兩方形并等〈一巻四七〉即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并與戊乙丁乙上兩方形并等毎減同用之戊乙上方形則所存甲丁偕丙丁矩内形與丁乙上方形等
後論丁甲不過心者曰試平分甲
丙于己次從戊心作戊己戊丙戊
丁戊乙四線即戊乙為丁乙之垂線戊己為甲丙之垂線其甲丙線既平分于己又引出一丙丁線即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并與己丁上方形等〈二巻六〉次毎加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上兩方形并與己丁戊己上兩方形并等夫己戊丙己上兩方形并與戊丙上方形等又戊己己丁上兩方形并與戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
與戊丁上方形等又戊丁上方形
與丁乙及等戊乙之戊丙上兩方
形并等每減同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形與丁乙上方形不亦等乎
一糸若從圜外一㸃任作幾線各全線偕規外線
矩内形俱等
論曰各矩内形俱與乙丁線上方形等即
各矩内形自相等
二糸從圜外丁㸃作丁甲丁乙兩切圜線兩線必相等
論曰兩線俱與丙丁偕丁戊矩内形等即兩線自相等
三糸從圜外一㸃止可作兩直線切圜
三十七題
圜外任于一㸃出兩直線一至規外一割圜止規内而割圜全線偕割圜之規外線矩内形與至規外之線上方形等則止規外之線必切線
解曰甲乙丙圜其心戊從丁㸃作丁乙至規外遇圜界于乙又作丁甲割圜至規内
而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形與丁乙上方形等題言丁乙必切圜線〈同前題反言之〉
幾何論約巻三
<子部,天文算法類,算書之屬,幾何論約>
欽定四庫全書
幾何論約卷四
柘城杜知耕撰
一題
有圜求作合圜線與所設線等
法曰甲乙丙圜求作合圜線與所設丁線等先作丙乙圜徑若與丁等即是合線若丁小于徑〈若大于徑即不可合〉即于乙丙截
乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙線為所求〈耕日當任指乙為心丁為度向圜界作短界線為甲即作甲乙線〉
二題
有圜求作圜内三角切形與所設三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先
作庚辛切圜線次作庚甲乙角與所設己角等次作辛甲丙角與所設戊角等末作乙丙線為所求論曰甲丙乙與庚甲乙兩角甲乙丙與辛甲丙兩角各交互相等〈三巻三一〉兩角既等餘一角必亦等三題
有圜求作圜外三角切形與所設三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先引長戊己邉為庚辛次自圜界
抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末于三線各作垂線成三角形為所求
論曰甲壬乙子四邉形之四角與四直角等〈一巻三二〉而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙兩角并等兩直角彼丁戊庚丁戊己亦等兩直角〈一巻十三〉毎減一相等之丁戊庚甲壬乙則所存丁戊己與甲子乙必等依顯五與己癸與丁角俱等〈一巻三二〉四題
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙兩角各平分之作乙丁丙丁兩線相遇于丁次自丁至各邉作垂線為丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊兩角與乙丁己角形之丁己乙丁乙己兩角各等乙
丁同邊即丁戊丁己兩邊亦等〈一巻二六〉依顯丁己丁庚兩邉亦等夫三線俱等丁必圜心即以丁為心戊為界在己戊庚圜為所求〈耕曰兩分角線相遇處即圜心任作一垂線便可作圜不必更作餘兩線餘兩線為論理而設非作法所需也〉
五題
三角形求作形外切圜
法曰甲乙丙角形求作形
外切圜先平分兩邉〈若直角鈍
角則分直鈍兩旁之邉〉于丁于戊作
丁己戊己為兩邉之垂線相遇于己其己㸃或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三線或在乙丙邊上止作己甲線其甲丁己角形之甲丁與乙丁己形之乙丁兩腰等丁己同腰丁之兩旁俱直角即甲己己乙兩底必等〈一巻四〉依顯甲己己丙兩底亦等夫三線俱等己必圜心即以己為心甲為界作乙甲丙圜為所求
耕曰兩垂線相遇處為心即可作圜不必更作餘線
一糸若圜心在三角形内必鋭角形在一邉必直角形在形外必鈍角形
二糸若鋭角形圜心必在形内直角形必在一邉鈍角形必在形外
増任設三㸃不在一直線可作過三㸃之圜其法于三㸃各作直線相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三㸃先以甲乙各自為心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚兩線引
長相交于辛即辛為圜心
六題
有圜求内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊
次作甲乙乙丙等四線為所求
論曰四角皆負半圜分故皆直角〈三巻三一〉
七題
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊
次作庚己己辛等四線各與兩徑平行為所求八題
直角方形求作形内切圜
法曰辛庚方形求作内切圜先平分四邉作甲丙乙丁兩線相交于戊即以戊為心甲為界作甲乙丙丁圜為所求
九題
直角方形求作形外切圜
法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁對角線相交于戊即以戊為心甲為界
作圜為所求
十題
求作兩邉等三角形底上兩角各倍大于腰間角法曰先任作甲乙線次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形與甲丙上方形等〈二巻十一〉次以甲為心乙為界作乙丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等〈本巻一〉末作甲丁線相聨即兩
邊等三角形而乙丁兩角倍大於甲角
論曰試作丙丁線成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜〈本巻五〉其甲乙偕丙乙矩内形與甲丙上方形等亦與乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切線〈三巻二七〉即乙丁丙角與甲角交互相等〈三巻三二〉于兩角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角與丙甲丁丙丁甲兩角并等又乙丙丁外角亦與丙甲丁丙丁甲兩内角并等〈一巻三二〉即乙丙丁角與甲丁乙角等而與相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁兩角既等則丙丁乙丁兩線必等又乙丁元與甲丙等是丙丁與甲丙亦等兩線既等則甲與甲丁丙兩角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一題
有圜求作圜内五邉切形其形等邊等角
法曰甲丙戊圜求作等邉等角五邉内切形先作己庚辛兩邉等角形而庚辛兩角俱倍大于己角〈本巻十〉次于圜内作甲丙丁角形與己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙兩角作丙戊丁乙兩線末作甲乙乙丙等四線為所求
論曰甲丙丁甲丁丙兩角皆倍大于丙甲丁角今平分兩角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乗之五圜分亦等五圜分等則五邉等矣又甲乙丙丁圜分與乙丙丁戊圜分等則乗兩圜分之甲戊丁與乙甲戊兩角亦等依顯餘三角俱等而五角等矣
十二題
有圜求圜外五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切形等邉等角先作圜内五邉切形次從巳心作已甲巳乙等五線次從此五線作庚辛辛壬
等五垂線為所求
十三題
五邊形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五邊形求作内切圜先平分甲戊邉于庚平分乙丙邊于辛次作庚丙辛戊兩垂線相交于己末以己為心
庚為界作圜為所求
十四題
五邊形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五邊形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊兩角作庚丙辛丁兩線相交于己末以己為心丙為界作圜為所求
十五題
有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
法曰甲丙戊圜其心庚求作六邉内切形等邉等角先作甲丁徑線次以丁為
心庚為界作圜兩圜相交于丙于戊次從庚心作庚丙庚戊各引長為丙己戊乙末以甲乙乙丙等六線聨之為所求
耕曰兩圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同為上圜之半徑必等而庚丁丙丁同為下圜之半徑亦等〈六三角形俱依此推顯〉三邉等故三角亦等也分角等故全角亦等也
一糸凡圜之半徑為六分圜之一之分何者庚丁與丁丙等故也
二糸依前十二十三十四題可作六邉形在圜外又六邉形内外俱可作切圜
十六題
有圜求作圜内十五邉切形其形等邊等角
法曰甲乙丙圜求作十五邉内切形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形〈本巻二〉毎一邉當圜三分之一即當十五分之五次從甲作甲戊己
庚辛五邉形毎一邉當圜五分之一即當十五分之三平分戊乙于壬則壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜線為所求
一糸依前十二十三十四題可作外切圜十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜
増題若圜内從一㸃設不等兩内切形之各一邉此兩邉各為若干分圜之一其兩若干分相乗之數即後作形之分數其兩若干分之較數即兩邉相距之圜分如甲丙戊圜從甲㸃作甲乙為六邉形之一邉甲丙為
五邉形之一邉甲丁為四邉形之一邉甲戊為三邉形之一邉甲乙命六甲丙命五較數一即乙丙圜分為三十邉形之一邉何者五六相乗得三十故當為三十邊也較數一故當為一邉也又甲乙圜分為六分圜之一即三十分之五甲丙為五分圜之一即三十分
之六則乙丙得三十分之一也依顯乙丁為二十四邉形之二邉何者甲乙命六甲丁命四四六相乗得二十四又較數二也因推乙戊為十八邉形之三邉丙戊為十五邉形之二邉丁戊為十二邉形之一邉也
二糸凡作形于圜之内等邉則等角何者形之邉所乗之圜分皆等故〈二巻二七〉凡作形于圜之外從圜心至角各作直線依本巻十二題可推各角等三糸凡等邉形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜
四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分為兩平分而毎分各作一線即三邉可作六邉四邉可作八邉倣此以至無窮
又補題圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉為偶數而等如甲乙丙丁戊兩圜同以己為心先作甲丙徑線截丁戊圜于戊次從戊作庚辛為甲戊之垂線次平分甲乙丙于乙
再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合線即所求多邉形之一邉也
幾何論約巻四
欽定四庫全書
幾何論約巻五之首
柘城杜知耕撰
界説十九則〈前四巻所論皆獨幾何也此下二巻所論皆自兩以上多幾何同例相比者也此巻以虚例相比絶不及線面體諸類六巻則論線角圜界諸類及諸形之同類相比者也〉
一界分者幾何之幾何也小能度大以小為大之分小能度大者謂小幾何度大幾何能盡大之分者也如甲為乙三分之一為丙七分之一無贏不足也若戊為丁之一即贏為二即不足己為丁之三即贏為四即不足是不盡大則丁不能為戊己之分也〈本書所論皆指能盡分者〉
二界小幾何能度大者則大為小之幾倍
三界比例者兩幾何以幾何相比之理凡兩幾何相比以此幾何比他幾何則此為前率他為後率反用之以他幾何比此幾何則他為前率此為後率凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合非數可明者為小合本篇所論皆大合也凡大合有兩種有等者有不等者等者謂相同之比例其不等者又有兩種有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五種一為幾倍大謂大幾何内有小幾何或二或三或八或十也二為等𢃄一分謂大幾何内既有小之一别𢃄一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三為等𢃄幾分謂大幾何内既有小之一别𢃄幾分不能合為一盡分者也四為幾倍大𢃄一分五為幾倍大𢃄幾分小不等者亦有五種俱與上五種相反為名
四界兩比例之理相似為同理之比例如甲與乙兩幾何之比例偕丙與丁兩幾何之比例其理相似為同理之比例同理又有二種一為連比例謂相連不斷如後圖戊與己比己又與庚比是也二為斷比例謂居中兩率一取不再用如前圗甲自與乙比丙
自與丁比是也
五界兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身即大於八尺之線是為有比例之線也又如方形之一邊與其對角線雖非大合之比例可以數明而方邊一倍之即大于對角線是亦有小合比例之線也又圜徑四倍之即大于圜界則徑與界亦有小合比例之線也又如初月形别作一方形與之等〈末巻一増附〉即曲直兩線相視有大有小亦有比例也又方與圜雖不能為相等之形然兩形相視有大有小亦不可謂無比例也又直線角與曲線角亦有比例如丁乙戊角與甲乙丙直角等壬庚癸
角與己庚辛鈍角等卯丑辰角與
子丑寅鋭角等此五者皆疑無比
例而實有比例者也他若有窮之線與無窮之線雖為同類實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之線故也又線與面面與體各自為類亦無比例何者畢世倍線不能及面畢世倍面不能及體故也又切圜角與直線鋭角亦無比例何者畢世倍切圜角不能及至小之鋭角故也此後諸篇中毎有倍此幾何令至勝彼幾何者故備著其理以需後論也
六界四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第一與第三之幾倍偕第二與第四之幾倍其相視或等或俱大或俱小恒如是如第一為三第二為二第三為六第四為四今以第一之三第三之六同加四倍為十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍為十四為二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍為十八為三十六次以第二之二第
四之四同加九倍為十八為三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累試之皆合則三與二偕六與四得為同理之比例〈連比例倣此〉
七界同理之幾何為相稱之幾何
八界四幾何若第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾倍不大于第四之幾倍則第一與二之比例大于第三與四之比例此反上六界而釋不同理之比例
九界同理之比例至少必三率
十界四幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例第一與四為三加之比例倣此以至無窮
十一界同理之幾何前與前相當後與後相當上文六界八界謂幾何之幾倍常以一與三同倍二與四同倍以一與三為兩前二與四為兩後故也
十二界有屬理更前與前更後與後如甲與乙之比例若丙與丁今更推甲與丙若乙與丁為屬理〈下言屬理皆省曰更證見本巻十六〉此理可施于四率
同類之比例若兩線與兩面或兩面與兩數不為同類即不得相更也〈此下説比例六理皆後論所需也〉
十三界有反理取後為前取前為後如甲與乙之比例若丙與丁今反推乙與甲若丁與丙為反理〈證見本巻四之糸〉此理亦可施于異類
十四界有合理合前與後為一而比其後如甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己今合甲丙為
一而比乙丙合丁己為一而比戊己即推甲丙與乙丙若丁己與戊己是合兩前兩後率而比兩後率也〈證見本巻十八〉
十五界有分理取前之較而比其後如甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今分推甲乙之較
甲丙與丙乙若丁戊之較丁己與己戊〈證見本巻十七〉
十六界有轉理以前為前以前之較為後〈圖同前界〉如甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今轉推甲乙與甲丙若丁戊與丁己〈證見本巻十九〉
十七界有平理此甲乙丙三幾何彼丁戊己三幾何相為同理之連比例者甲與乙若丁與戊乙與丙若戊與己也今平推首甲與尾丙若首丁與尾己〈平理之分又有二種如後二界〉
十八界有平理之序者甲與乙若丁與戊而後乙與他率丙若後戊與他率己是序也今平推甲與丙若丁與己也〈此與十七界同重宣序義以别後界也證見本巻二二〉
十九界有平理之錯者甲與乙若戊與己又此之後乙與他率丙若彼之他率丁與前戊是錯也今平推甲與丙若丁與己也
〈戊證見本乙巻二三〉
増甲與乙為比例即此丙必有彼丁相與為比例若甲與乙也丙與丁為比例必有彼戊與此丙為比例若丙與丁也
欽定四庫全書
幾何論約巻五
柘城杜知耕撰
一題
此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍于彼之各率則此之并率亦幾倍于彼之并率
解曰甲乙此二幾何大于丙丁彼二幾何各若干倍題言甲乙并大于丙丁并亦若干倍
二題
六幾何其第一倍第二之數等于第三倍第四之數而第五倍第二之數等于第六倍第四之數則第一第五并倍第二之數等于第三第六并倍第四之數解曰一甲乙倍二丙之數如三丁戊倍四巳之數又五乙庚倍二丙之數如六戊辛倍四巳之數題言一甲乙五乙庚并倍二丙之數若三丁戊六戊辛并倍四巳之數
三題
四幾何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其數等則第一所倍之與第二若第三所倍之與第四
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳兩幾何同若干倍于甲于丙題言以平理推戊倍乙若巳倍丁
四題
四幾何第一與二偕第三與四比例等第一第三同任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍與第二所倍第三所倍與第四所倍比例亦等解曰甲與乙偕丙與丁比例等次作戊與巳同任若干倍于一甲三丙别
作庚與辛同任若干倍于二乙四丁題言一甲所倍之戊與二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳與四丁所倍之辛比例亦等
論曰試以戊巳同任
倍之為壬為癸别以
庚辛同任倍之為子
為丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也〈本巻三〉依顯子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲與乙偕丙與丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三試之若倍甲之壬小于倍乙之子則倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑〈本巻界六〉不論幾許倍其等大小恒如是也則戊與庚偕巳與辛之比例必等
一糸凡四幾何一與二偕三與四比例等即可反推二與一偕四與三比例亦等
二糸若甲與乙偕丙與丁比例等則甲之或二或三倍與乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍與丁之或二或三倍比例俱等倣此以至無窮五題
大小兩幾何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分則此全之分餘所倍于彼全之分餘亦如之
解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己題言甲戊分餘之戊乙所倍于丙己分餘之己丁亦如其數
六題
此兩幾何各倍于彼兩幾何其數等于此兩幾何每減一分其一分之各倍于所當彼幾何其數等則其分餘或各與彼幾何等或尚各倍于彼幾何其數亦等
解曰甲乙丙丁各倍于戊己其數等毎減一倍戊己相等之甲庚丙辛題言分餘庚乙辛丁或與戊己等或尚各倍于戊己其數亦等
七題
此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與此相等之兩幾何各為比例亦等
解曰甲乙兩幾何等彼幾何丙不論等大小于甲乙題言甲與丙偕乙與丙各為比例必
等又反上言丙與甲偕丙與乙各為比例亦等八題
大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大于小與他之比例而他與小之比例大于他與大之比例
解曰不等兩幾何甲大乙小又有他幾何丙不論等大小于甲于乙題言甲與丙大于乙
與丙之比例又反言丙與乙大于丙與甲之比例九題
兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等
十題
彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大于彼與他之比例則此幾何大于彼他幾何與彼幾何之比例大于他與此之比例則彼幾何小于此
解曰甲乙兩幾何又有丙幾何甲與丙之比例大于乙與丙題言甲大于乙又言丙與乙
之比例大于丙與甲則乙小于甲
十一題
此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比例與此兩幾何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各與戊己等題言甲乙與丙丁之比例亦等
十二題
數幾何所為比例皆等則并前率與并後率之比例若各前率與各後率之比例
解曰甲乙丙丁戊己數幾何甲與乙若丙與丁丙與丁若戊與己題言甲丙戊
諸前率并與乙丁己諸後率并之比例若甲與乙丙與丁戊與己各前與各後也
十三題
數幾何第一與二之比例若第三與四而第三與四之比例大于第五與六則第一與二之比例亦大于第五與六
解曰一甲與二乙之比例若三丙與四丁而三丙與四丁之比例大于五戊與
六己題言甲與乙之比例亦大于戊與己
十四題
四幾何第一與二之比例若第三與四而第一大于第三則第二亦大于第四第一或小或等于第三則第二亦等亦小于第四
解曰甲與乙之比例若内與丁題言甲大于丙則乙亦大于丁若等亦等若小亦小
十五題
兩分之比例與兩多分并之比例等
解曰甲與乙同任倍之為丙為丁題言丙與丁之
比例若甲與乙
十六題〈更理〉
四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等
解曰甲與乙之比例若丙與丁題言更推之甲與丙之比例亦若乙與丁
十七題〈分理〉
相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等解曰甲乙丁乙與丙戊己戊相合兩幾何
甲乙與丁乙若丙戊與己戊題言分之甲丁與丁乙若丙己與己戊也
十八題〈合理〉
兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等
解曰甲丁丁乙與丙己己戊兩分幾何其
甲丁與丁乙若丙己與己戊題言合之甲乙與丁乙若丙戊與己戊也
十九題〈其糸為轉理〉
兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例等則分餘之比例與兩全之比例亦等
解曰甲乙丙丁兩幾何其甲乙全與丙丁
全之比例若截取之甲戊與丙己題言分餘戊乙與己丁之比例亦若甲乙與丙丁
糸從此題可推界説十六之轉理如上甲乙與戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與丙己
二十題
有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大于第三則第四亦大于第六第一或等或小于第三則第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何其甲與乙若丁與戊乙與丙若戊與己題言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于
丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己
二十一題
有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之若第一大于第三則第四亦大于第六若第一或等或小于第三則第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何相為連比例不序不序者甲與乙若戊與
己乙與丙若丁與戊以平理推之若甲大于丙題言丁亦大于己
論曰甲既大于丙即甲與乙大于丙與乙〈本巻八〉而甲與乙若戊與己即戊與己亦大于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也〈本巻四〉則戊與己大于戊與丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙題言丁亦等于己論曰甲丙既等即甲與乙若丙與乙〈本巻〉
〈七〉而甲與乙若戊與己即丙與乙亦若戊與己也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也〈本巻四〉則戊與己若戊與丁是丁己等也後解曰若甲小于丙題言丁亦小于己論曰甲既小于丙即甲與乙小于丙與
乙〈本巻八〉而甲與乙若戊與己即戊與己亦小于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙若戊與丁〈本巻四〉則戊與己小于戊與丁是丁小于己也
二十二題〈平理之序〉
有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以平理推之
解曰有若干幾何甲乙丙又有若干幾何丁戊己而甲與乙若丁與戊乙
與丙若戊與己題言以平理推之甲與丙若丁與己如更有庚辛二幾何其丙與庚若己與辛依顯甲與庚亦若丁與辛〈四以上倣此〉
二十三題〈平理之錯〉
若干幾何又若干幾何其數等相為連比例而錯亦以平理推
解曰甲乙丙若干幾何丁戊己若干幾何相為連比理而錯者其甲與乙
若戊與己乙與丙若丁與戊題言以平理推之甲與丙亦若丁與己如更有庚辛兩幾何其戊與辛若甲與丙丙與庚若丁與戊即以甲丙庚作三幾何丁戊辛作三幾何相為連比例而錯則甲與庚亦若丁與辛〈四以上倣此〉
耕曰以數明之甲設十八乙設九丙設六丁設四十八戊設三十二己設十六甲與丙若丁與己其故何也蓋甲與乙若六與三
乙與丙若三與二則甲與丙若六與二矣又丁與戊若六與四戊與己若四與二則丁與己亦若六與二矣兩前兩後俱若六與二故比例等也庚辛兩幾何亦依此推顯
二十四題
凡第一與二之比例若第三與四而第五與二之比例若第六與四則第一第五并與二之比例若第三第六并與四
解曰一甲乙與二丙若三丁戊與四己而五乙庚與二丙若六戊辛與四己題言一
甲乙五乙庚并與二丙若三丁戊六戊辛并與四己
増題此兩幾何與彼兩幾何比例等于此兩幾何毎截取一分其截取兩幾何與彼兩幾何比例等則分餘兩幾何與彼兩幾何比例亦等〈此増與六題大同但六題言幾倍此不言倍其意稍廣矣〉
二十五題
四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何并大于餘兩幾何并
解曰甲乙與丙丁若戊與己甲乙最大己最小題言甲乙己并大于丙丁戊并
論曰試于甲乙截取甲庚與戊等于丙丁截取丙辛與己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙與丙丁也夫甲乙與丙丁既若甲庚與丙辛即亦若分餘之庚乙與辛丁也〈本巻十九〉而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚兩率必等而又加不等之庚乙辛丁則甲乙己并豈不大于丙丁戊并二十六題
第一與二之比例大于第三與四反之則第二與一之比例小于第四與三
解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁題言反之二乙與一甲之比例小于四
丁與三丙
二十七題
第一與二之比例大于第三與四更之則第一與三之比例亦大于第二與四
解曰一甲與二乙大于三丙與四丁題言之則一甲與三丙亦大于二乙與四丁
論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙大于戊與乙是甲大于戊則甲與丙必大于戊與丙矣夫戊與乙既若丙與丁更之則戊與丙亦若乙與丁則甲與丙大于乙與丁
二十八題
第一與二之比例大于第三與四合之則第一第二并與二之比例亦大于第三第四并與第四
解曰一甲乙與二乙丙大于三丁戊與四戊己題言合之則甲丙與乙丙亦大于丁
己與戊己
論曰試作庚乙與乙丙之比例若丁戊與戊己即甲乙與乙丙大于庚乙與乙丙是甲乙大于庚乙矣此兩率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙與乙丙大于庚丙與乙丙即大于丁己與戊己二十九題
第一合第二與二之比例大于第三合第四與四分之則第一與第二之比例亦大于第三與四
解曰甲丙與乙丙大于丁己與戊己題言
分之則甲乙與乙丙亦大于丁戊與戊己〈論同前〉三十題
第一合第二與二之比例大于第三合第四與四轉之則第一合第二與一之比例小于第三合第四與三
解曰甲丙與乙丙大于丁己與戊己題言轉之則甲丙與甲乙小于丁己與丁戊
耕曰甲丙與乙丙若四與一丁己與戊己若三與一則四與一大于三與一矣甲乙與乙丙若三與一丁戊與戊己若二與一則三與一大于二與一矣甲丙與甲乙若四與三丁己與丁戊若三與二則四與三小于三與二矣
三十一題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第一與二此第二與三之比例大于彼第二與三如是序者以平理推則此第一與三之比例亦大于彼第一與三
解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙大于丁與戊乙與丙大于戊與己如是序者題言以平理推則甲與丙亦大
于丁與己
三十二題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第二與三此第二與三之比例大于彼第一與二如是錯者以平理推則此第一與三之比例亦大于彼第一與三
解曰甲乙内此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙大于戊與己乙與丙大于丁與戊如是錯者題言以平理推則甲與丙亦大于丁與己
論曰試作庚與丙之比例若丁與戊即乙與丙大于庚與丙而乙幾何大于庚〈本巻十〉
是甲與小庚大于甲與大乙矣〈本巻八〉夫甲與乙既大于戊與己即甲與庚更大于戊與己也次作辛與庚之比例若戊與己即甲與庚亦大于辛與庚而甲幾何大于辛〈本巻十〉是大甲與丙大于小辛與丙矣〈本巻八〉夫辛與丙以平理推之若丁與己也〈本巻二三〉則甲與丙大于丁與己
三十三題
此全與彼全之比例大于此全截分與彼全截分之比例則此全分餘與彼全分餘之比例大于此全與彼全之比例
解曰甲乙全與丙丁全大于兩截分甲戊
與丙己題言兩分餘戊乙與己丁大于甲乙與丙丁
論曰甲乙與丙丁既大于甲戊與丙己更之即甲乙與甲戊亦大于丙丁與丙己也〈本巻二七〉又轉之甲乙與戊乙小于丙丁與己丁也〈本卷三十〉又更之甲乙與丙丁小于戊乙與己丁也〈本巻二七〉若兩全之比例小于截分則分餘之比例必小于兩全
三十四題
若干幾何又有若干幾何其數等而此第一與彼第一之比例大于此第二與彼第二此第二與彼第二之比例大于此第三與彼第三以後俱如是則此并與彼并之比例大于此末與彼末亦大于此并減第一與彼并減第一而小于此第一與彼第一
解曰甲乙丙三幾何又丁戊己三幾何其甲與丁大于乙與戊乙與戊大于丙與己題先言甲乙丙并與丁戊己并大
于丙與己次言亦大于乙丙并與戊己并後言小
于甲與丁
論曰甲與丁既大于乙與戊更之即甲與乙大于丁與戊也〈本巻二七〉又合之甲乙并與乙大于丁戊并與戊也〈本巻二八〉又更之甲乙并與丁戊并大于乙與戊也〈本巻二七〉是甲乙全與丁戊
全大于減并乙與減并戊也既爾即減餘甲與減餘丁大于甲乙全與丁戊全也〈本巻三三〉依顯乙與戊亦大于乙丙全與戊己全即甲與丁更大于乙丙全與戊己全也又更之甲與乙丙并大于丁與戊己并也〈本巻二七〉又合之甲乙丙全與乙丙并大于丁戊己全與戊己并也〈本巻二八〉又更之甲乙丙全與丁戊己全大于乙丙并與戊己并也〈本巻二七〉則得次解也又甲乙丙全與丁戊己全既大于減并乙丙與減并戊己即減餘甲與減餘丁大于甲乙丙全與丁戊己全也〈本巻三三〉則得後解也又乙與戊既大于丙與己更之即乙與丙大于戊與己也〈本巻二七〉又合之乙丙全與丙大于戊己全與己也〈本巻二八〉又更之乙丙并與戊己并大于丙與己也〈本巻二七〉而甲乙丙并與丁戊己并既大于乙丙并與戊己并即更大于末丙與末己也則得先解也若兩率各有四幾何而丙與己亦大于庚與辛即與前論同理依上論乙與戊大于乙丙庚并與戊己辛并即甲與丁更大于乙丙庚并與戊己辛并也更之即甲與乙丙庚并大于丁與戊巴辛并也〈本巻十八〉又合之甲乙丙庚全與乙丙庚并大于丁戊己辛全與戊
己辛并也又更之甲乙丙庚全與丁戊己辛全大于乙丙庚并與戊己辛并也〈本巻二七〉則得次解也又甲乙丙庚全與丁戊己辛全既大于減并乙丙庚與減并戊己辛即減餘甲與減餘丁大于甲乙丙庚全與丁戊己辛全也〈本巻三二〉則得後解也又依前論顯乙丙庚并與戊己辛并既大于庚與辛而甲乙丙庚全與丁戊己辛全大于乙丙庚并與戊己辛并即更大于末庚與末辛也則得先解也自五以上俱倣此
幾何論約巻五
欽定四庫全書
幾何論約巻六之首
柘城杜知耕撰
界説六則
一界凡形相當之各角等而各等角旁兩線之比例俱等為相似之形如兩角形之甲乙丙三角與丁戊己三角俱等其甲角旁之
甲乙與甲丙若丁角旁之丁戊與丁己餘兩等角旁之各兩線其比例俱等則兩角形為相似之形依顯平邊角形皆相似之形
二界兩形之各兩邉線互為前後率相與為比例而等為互相視之形如兩方形之甲乙與戊己若己庚與乙丙而彼此互為前後率則此兩形為互相視之形依顯兩角形之壬子與丑寅若丑卯與壬癸則兩
形亦為互相視之形
三界理分中末線一線兩分之其全與大分之比例若大分與小分〈此線為用甚廣至量體尤所必需古人目為神分線也〉
四界度各形之髙皆以垂線之亘為度如甲乙丙角形作甲丁垂線即甲丁為甲乙丙角形之髙度
五界比例以比例相結以各比例不同理而相聚為一比例則用相結之法借象之術合各比例之命數求首尾一比例之命數也曷為相結如甲乙丙三幾何甲二倍于乙乙三倍于丙而求甲與丙之比例則以二倍乗三倍得甲六倍
于丙也若丙為第一甲為第三亦以二乗三得丙反六倍于甲也若四率則先以前三率之兩比例結為一比例復與第三比例相結也若五率則以第一第二第三率之兩比例相結以第三第四第五率之兩比例相結又以此所結之兩比例乗除相結而為一比例也自六以上倣此曷謂借象如前所説三幾何二比例皆以中率為關紐畧如連比例之同用一中率也有不同理二比例而異中率者是不同理之斷比例也無法可結當别立三幾何二比例而同中率〈以中率當第二又當第三〉乗除相結依倣求之如所設幾何十六為首十二為尾却云十六與十二之比例若八與三及二與四之比例八為前之前四為後之後三與二為前之後後之前所謂異中率也欲乗除相結無法可通矣用是别立三幾何則三其八得二十四為前三其三得九為前之後即以九為後之前以求九與何數若二與四得十八為後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四也則十六與十二若二十四與十八也三比例以上倣此逓結之
六界平行方形不滿一線為形小于線若形有餘線不足為形大于線如甲丁形不滿甲乙線而丙乙半線上無形即作甲己滿甲乙線上方
形則甲丁為依甲乙線之有闕方形而丙己為甲丁之闕形又甲丙線上作甲己形其甲乙邉大于元設甲丙線之較為丙乙而甲己形大于甲丙線上之甲丁形則甲己為依甲丙線之𢃄餘方形而丙己形為甲己之餘形
欽定四庫全書
幾何論約巻六
柘城杜知耕撰
一題
等髙之角形方形自相為比例與其底之比例等解曰甲乙丙丁戊己兩角形乙辛戊庚兩方形等髙其底乙丙戊己題言甲乙丙與丁戊己乙辛與戊庚皆若乙丙與戊己之比例
増題凡兩角形兩方形等底自相為比例與其髙之比例等
耕曰即前圗以髙為底以底為髙其理自明二題
三角形任依一邉作平行線即此線分兩餘邉為比例必等三角形内有一線分兩邉為比例而等即此線與餘邉為平行
解曰甲乙丙角形内作丁戊與乙丙平行題言丁戊分甲乙于丁分甲丙于戊其甲丁與
丁乙之比例若甲戊與戊丙也又言甲丁與丁乙甲戊與戊丙為比例而等則丁戊乙丙必平行論曰試作丁丙戊乙兩線其丁戊乙丁戊丙兩形同丁戊底又在平行線内即等〈一巻三七〉而甲戊丁與丁戊乙兩形之比例若甲戊丁與丁戊丙矣〈五巻七〉夫甲戊丁與丁戊乙亦同在平行線内則甲戊丁與丁戊乙兩形之比例必若甲丁丁乙兩底也〈本巻一〉依顯甲戊與戊丙兩底之比例亦若甲戊丁與丁戊丙兩形也是甲丁與丁乙亦若甲戊與戊丙矣〈五巻十〉
三題
三角形以一直線任分一角為兩平分分對角邊為兩分則兩分之比例若餘兩邉三角形分角線所分對角邉之比例若餘兩邉則所分角為兩平分解曰甲乙丙角形以甲丁線平分乙甲丙角題言乙丁與丁丙若乙甲與甲丙又言乙丁與丁丙若乙甲與甲丙則甲丁線分乙甲丙角必
為兩平分
論曰試作乙戊與甲丁平行次引長丙甲線至戊其甲乙戊與乙甲丁相對兩角必等外角丁甲丙與内角戊亦等〈一巻二九〉今乙甲丁與丁甲丙又等即甲乙戊角與戊角亦等而甲戊與甲乙兩腰亦等矣〈一巻六〉則戊甲與甲丙必若乙甲與甲丙夫戊甲與甲丙又若乙丁與丁丙〈本巻二〉是乙甲與甲丙若乙丁與丁丙矣
四題
凡等角三角形其在等角旁之各兩腰相與為比例必等而對等角之邉為相似邉
解曰甲乙丙丁丙戊兩形相當之各角俱等題言甲乙與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲丙若丁丙與丁戊甲丙與乙丙若丁
戊與丙戊而毎對等角之邉各相似相似者謂各前各後率各對本形之相當角
論曰試并置兩形令兩底成一直線次引長乙甲戊丁兩線相遇于己成乙己戊形其甲丙與己戊平行則戊丙與丙乙若己甲與甲乙即若等己甲之丁丙與甲乙也更之甲乙與乙
丙若丁丙與丙戊也又丁丙與己乙平行則乙丙與丙戊若己丁與丁戊即若等己丁之甲丙與丁戊也更之即乙丙與甲丙若丙戊與丁戊也依顯甲乙與甲丙亦若丁丙與丁戊也
糸凡角形内之直線與一邉平行而截一分為角形必與全形相似如甲乙丙角形作丁戊直線與乙丙平行而截一分為甲丁戊形必與
甲乙丙全形相似
増題凡角形之内任依乙丙邉作丁戊平行線于乙丙邉任取己㸃向甲角作甲己直線分丁戊于庚則乙己與己丙之比例必若丁庚與
庚戊
論曰甲巳乙甲庚丁兩角形既相似即甲己與己乙若甲庚與庚丁也更之即甲己與甲庚若己乙與庚丁也〈五巻十六〉依顯甲己與甲庚若己丙與庚戊則乙己與丁庚亦若己丙與庚戊也〈五巻十一〉更之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也〈五巻十六〉
五題
兩三角形其各兩邉之比例等即兩形為等角形而對各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己兩角形其甲乙與乙丙若丁戊與戊己乙丙與甲丙若戊
己與丁己甲丙與甲乙若丁己與丁戊題言此兩形為等角形而對各相似邉之角甲與丁乙與戊丙與己各等〈論同前題〉
六題
兩三角形之一角等而等角旁之各兩邉比例等即兩形為等角形而對各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己兩角形其乙與戊兩角等而甲乙與乙丙若丁戊與戊己
題言餘角丙與己甲與丁俱等〈論同四題〉
七題
兩三角形第一角等第二相當角各兩旁之邉比例等第三相當角或俱小于直角或俱不小于直角即兩形為等角形而對各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己兩角形其第一甲角與丁角等第二丙角兩旁之甲丙乙丙兩邉偕相當己角兩旁之丁己戊己兩邉比例
等其第三相當角乙與戊或俱小于直角或俱不小于直角題言兩形之丙與己乙與戊角俱等八題
直角三邉形從直角向對邉作一垂線分本形為兩直角三邉形即兩形皆與全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形從直角作甲丁垂線題言所分甲丁丙甲丁乙兩形皆與全形
相似亦自相似
論曰甲乙丙甲丁丙兩形既各以乙甲丙甲丁丙為直角而丙角又同其餘一角必等而兩形為等角形等角旁之各兩邉比例必等依顯甲丁乙與甲乙丙全形亦相似夫兩形既各與全形相似即兩形亦自相似
糸從直角作垂線即此線為兩分對邉線比例之中率而直角旁兩邉各為對角全邉與同方分邉比例之中率何者丙丁與甲丁若甲丁與乙丁也故甲丁為丙丁乙丁之中率又乙丙與丙甲若丙甲與丙丁也故丙甲為乙丙丙丁之中率又乙丙與乙甲若乙甲與乙丁也故乙甲為乙丙乙丁之中率
九題
一直線求截所取之分
法曰甲乙直線或截取三分之一先從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己為三分次
作己乙直線末作丁庚與己乙平行即甲庚為甲乙三分之一
論曰丁庚既與己乙平行即己丁與丁甲若乙庚與庚甲合之己甲與甲丁若乙甲與庚甲也甲丁既為己甲三之一則庚甲亦乙甲三之一矣十題
一直線求截各分如所設之截分
法曰甲乙線求截各分如所設甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙線相聨末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線于己于庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也
從此題作一用法甲乙直線求平分若干分即從甲任作甲丙為若干平分餘同前
又簡法如甲乙線求五平分即從乙任作丙乙線為丙乙甲角次任作丁戊與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己庚辛壬癸令丁癸小于甲乙次從甲過癸作甲子線
遇乙丙于子末從子作子壬子辛子庚子己四線各引至甲乙線為丑寅卯辰五平分
又簡法如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分即用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四線即分甲乙
于己辰卯寅為五平分
又用法先作一器如丙丁戊己任平分為若干格今欲分甲乙線為五平分即取甲乙之度一端抵
戊丙線一端抵庚辛線如甲乙大于戊庚即漸移之令合線若至壬即戊壬之分為甲乙之分
増題有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之比例〈法同前〉
又増題甲乙丙丁兩線各三分于戊己于庚辛其甲戊與戊乙若丙庚與庚丁甲己與己乙若丙辛與辛丁也即中率戊己庚辛各與前後率為比例亦等謂甲戊與戊己若丙庚與庚辛己乙與戊己
若辛丁與庚辛也
論曰試聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三線相聨其甲戊與戊乙
既若丙庚與庚丁即庚戊與丁乙平行甲己與己乙既若丙辛與辛丁即辛己與丁乙平行而庚戊與辛己亦平行故甲戊與戊己若丙庚與庚辛也己乙與戊己亦若辛丁與庚辛也
十一題
兩直線求别作一線相與為連比例
法曰甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比例謂甲乙與甲丙若甲丙與所求線也先
合兩線作丙甲乙角以丙乙線聨之次引長甲乙線至丁令乙丁與甲丙等次作丁戊線與丙乙平行末引長甲丙線遇丁戊于戊即丙戊為所求論曰丙乙既與戊丁平行即甲乙與乙丁若甲丙與丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙與甲丙若甲丙與丙戊也〈五巻七〉
注曰别有一法以甲乙乙丙兩線列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引長甲乙線末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線于丁即乙丁為
所求
論曰甲丙丁既是直角而丙乙垂線即為甲乙乙丁之中率則甲乙與乙丙若乙丙與乙丁也〈本卷八之糸〉
十二題
三直線求别作一線相與為斷比例
解曰甲乙乙丙甲丁三線求别作一線相與為斷比例謂甲丁與所求線若甲乙與乙丙也先以甲乙乙丙為一直線次以甲丁線合甲丙
任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊與丁乙平行末引長甲丁遇丙戊于戊即丁戊為所求
論曰丁乙既與丙戊平行即甲丁與丁戊若甲乙與乙丙〈本巻二〉
十三題
兩直線求别作一線為連比例之中率
法曰甲乙乙丙兩線求别作一線為中率謂甲乙與所求線若所求線與乙丙也先并兩線成一直線而平分于戊即以戊為心甲作界作
甲丁丙半圜末從乙至界作乙丁垂線即乙丁為所求
論曰試作甲丁丁丙兩線成甲丁丙直角形〈三巻三十〉而丁乙垂線為對邉兩分線之中率〈本巻八之糸〉注曰依此題可推凡半圜内之垂線皆為兩分徑線之中率何者半圜之内從垂線作角皆直角故也〈三巻三〉
増題有甲乙甲丙兩線甲乙大于甲丙二倍以上求兩分甲乙而以甲丙為中率先以甲乙甲丙聨為直角平分甲乙于丁即以丁為心甲
為界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊與甲乙平行遇圜界于戊末從戊作戊己垂線而分甲乙于己即甲丙為甲己己乙之中率何者戊己既半圜内垂線即為兩分徑線之中率而甲丙與戊己等故為甲己己乙之中率
十四題
兩平行方形等一角又等即等角旁之兩邉為互相視之邉兩平行方形之一角等而等角旁兩邉為互相視之邉即兩形等
解曰辛乙乙己兩方形等〈謂其容等〉甲乙丙戊乙庚兩角又等題言此兩角旁之各兩邉為互相視之邉謂甲乙與乙庚若戊乙與乙丙也又言等角旁之各兩邉為互相視
則辛乙乙己兩形必等
論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙庚成一直線而戊乙乙丙亦一直線〈一巻十五増〉次引長辛丙己庚遇于丁辛乙乙己兩形既等即辛乙與乙丁若乙己與乙丁也而辛乙與乙丁兩形等髙即兩形之比例若其底甲乙與乙庚也〈本巻一〉依顯乙己與乙丁等髙兩形亦若其底戊乙與乙丙也則甲乙與乙庚亦若戊乙與乙丙也
十五題
相等兩三角形之一角等即等角旁之各兩邉互相視兩三角形之一角等而等角旁之各兩邉互相視即兩三角形等
解曰甲乙丙丁乙戊兩角形等兩乙角又等題言等角旁之各兩邉互相視謂甲乙與乙
戊若乙丁與乙丙也又言等角旁之各兩邉為互相視則甲乙丙丁乙戊兩角形必等
論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙戊成一直線而丁乙乙丙亦一直線〈一巻十五増〉次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊兩形既等即甲乙丙與丙乙戊之比例若丁乙戊與丙乙戊矣夫甲乙丙與丙乙戊兩等髙形之比例若其底甲乙與乙戊也而丁己戊與丙乙戊兩等髙形之比例亦若其底丁乙與乙丙也是甲乙與乙戊若丁乙與乙丙
十六題
四直線為斷比例即首尾兩線矩内形與中兩線矩内形等首尾兩線矩内形與中兩線矩内形等即四線為斷比例
解曰甲乙己庚戊己乙丙四線為斷比例謂甲乙與己庚若戊己與乙丙也題言甲乙乙丙矩内甲丙形與己庚戊己矩内戊庚形等又言兩矩内形等則甲
乙與己庚必若戊己與乙丙也
論曰兩形之乙與己兩角既等而等角旁之兩邉又互相視則兩形必相等〈本巻十四 若平行斜方形而等角亦同此論〉十七題
三直線為連比例即首尾兩線矩内形與中線上直角方形等首尾兩線矩内形與中線上直角方形等即三線為連比例
解曰甲乙戊己乙丙三線為連比例謂甲乙與戊己若戊己與乙丙也題言甲乙乙丙矩内甲丙形與戊己上戊庚方形等又言甲乙乙丙矩内形與戊己上
方形等則甲乙與戊己必若戊己與乙丙也論曰試作己庚線與戊己等即戊己己庚兩線矩内形與甲乙乙丙兩線矩内形等〈本巻十六 若平行斜方形而等角亦同此論〉
糸凡直線上方形與他兩線矩内形等即此線為他兩線之中率
十八題
直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等法曰甲乙線上求作直線形與所設丙丁戊己庚形相似而體勢等先于
設形任從一角向對角作直線分本形為若干角形如上形即分為角形三次于元線上作甲壬乙角形與丙己丁角形等次作乙壬辛甲壬癸兩角形與丁己戊丙己庚兩角形等則甲乙辛壬癸與所設形相似而體勢等凡設多角形俱倣此増簡法如設甲乙丙丁戊直線形求于癸線上作一形與所設形相似而體勢等先于甲角旁之甲乙甲戊引長之為甲己甲壬次從甲向各角作直線為甲庚甲辛次
于甲乙線上截取甲己與癸線等末從己作己庚與乙丙平行作庚辛辛壬與丙丁丁戊各平行即所求
十九題
相似三角形之比例為其相似邉再加之比例解曰甲乙丙丁戊己兩角形其相當之角各等而甲乙與乙丙若丁戊與戊己題言兩形之比例為乙丙與戊己再加之比
例
論曰若兩形等則為相同之比例即再加仍相同之比例若乙丙大于戊己邉即于乙丙截乙庚令乙丙與戊己若戊己與乙庚也次作甲庚線其甲乙與乙丙若丁戊與戊己更之即甲乙與丁戊若乙丙與戊己也亦若戊己與乙庚也夫甲乙庚與丁戊己兩形有乙戊兩角等而各兩邉又互相視即兩形等〈本巻十五〉又甲乙丙與甲乙庚等髙兩形之比例若其底乙丙與乙庚即甲乙丙與丁戊己兩形之比例亦若乙丙與乙庚矣乙丙己戊乙庚三線既為連比例則乙丙與乙庚為乙丙與戊己再加之比例
糸依本題可顯凡三線為連比例即第一甲線上角形與第二乙線上角形之比例若第一甲線與第三丙線也第二乙線上角形與第三丙線上角形之比例亦若第一甲線與
第三丙線也皆再加之比例故也
二十題
以三角形分相似多邉形則分數必等而相當各三角形各相似其各相似兩三角形之比例若兩元形其元形之比例為兩相似邉再加之比例
先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸兩多邉形其相當各角俱等而等
角旁各兩邉之比例各等題言各以角形分之其角形之分數必等而相當之各角各相似
次解曰各相當角形之比例若兩元形
論曰此角形之比例既若彼角形則此各角形并必若彼各角形并是此全形若彼全形矣
後解曰兩元形之比例為兩相似邉再加之比例論曰兩分形之比例既若兩元形而兩分形之比例為兩相似邉再加之比例則兩元形亦為相似邉再加之比例
増題甲直線倍大于乙直線則甲直線上方形與乙直線上方形為四倍大之比例若甲方形與乙方形為四倍大之比例則甲線必倍大于乙線何者相似兩形之比例為
其邉再加之比例故也
糸依此題可顯三直線為連比例則第一線上多邉形與第二線上相似多邉形若第一線與第三線之比例
二十一題
兩直線形各與他直線形相似則兩形自相似
二十二題
四直線為斷比例則兩比例線上各任作自相似之直線形亦為斷比例兩比例線上各任作自相似之直線形為斷比例則四直線亦為斷比例
解曰甲乙丙丁戊己庚辛四線為斷比例謂甲乙與丙丁若戊己與庚辛也于甲乙丙丁線上任作兩角形于戊己庚辛線上任作兩方形題言四形亦為斷比例謂甲
乙壬與丙丁癸若戊丑與庚卯又言若四形為斷比例則甲乙丙丁戊己庚辛四線亦為斷例何者角形與角形方形與方形皆為其相似邉再加之比例故也
二十三題
等角兩平行方形之比例以兩形之各兩邉兩比例相結
解曰甲丙丙己兩平行方形兩丙角等題言兩形之比例以各等角旁各兩邉之比例相結者謂兩比例之前率在此形兩比例之後率在彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙與丙戊相結也或以乙丙
與丙戊偕丁丙與丙庚相結也
論曰試以兩等角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直線次引長甲丁己庚遇于辛次任作一壬線次以乙丙丙庚壬三線求斷比例之末率線為癸〈本巻十二〉末以丁丙丙戊癸三線求斷比例之末率線為子其甲丙丙辛兩形等髙既若乙丙丙庚兩底即若壬與癸也依顯丙辛丙己兩形亦若癸與子也平之即丙甲與丙己若壬與子也〈五巻二十〉若以乙丙與丙戊偕丁丙
與丙庚相結以乙丙丙戊聨成一線依上推顯注曰乙丙與丙庚丁丙與丙戊二比例既不同理又異中率故借壬與癸癸與子同中率而不同理之兩比例以為象令相象之丙庚丁丙亦化兩率為一率為乙丙丙戊首尾兩率之樞紐因以兩比例相結所以通比例之窮也自三以上倣此二十四題
平行方形之兩角線形自相似亦與全形相似
解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線任作戊己庚辛兩線與丁丙乙丙平行交角線于壬題言戊庚己辛兩角線方形自
相似亦與全形相似
二十五題
兩直線形求作他直線形與一形相似與一形相等法曰甲乙兩直線形求作一形與甲相似與乙相等先于甲邉丙丁上作丙戊方形與甲等〈一巻四四四五〉次依丁戊邉作丁辛方形與乙等次作一壬癸線為丙丁丁庚之中率〈本巻十二〉末于壬癸作子形與甲
相似即與乙相等
論曰丙丁壬癸丁庚三線既為連比例則一丙丁與三丁庚若一丙丁上之甲與二壬癸之上之子相似兩形
之比例又若丙戊與丁辛等髙兩形之比例則丙戊與丁辛若甲與子矣夫丙戊丁辛元若甲與乙今又若甲與子是乙與子等也
二十六題
平行方形之内減去一平行方形其減形與元形相似而體勢等又一角同則減形必依元形之對角線解曰乙丁平行方形内減戊己平行方形元形與減形相似而體勢等又同甲角題
言戊己形必依乙丁形之對角線
二十七題
凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線之上闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕依形必大于此有闕依形
解曰甲乙線平分于丙于甲丙半線上任作甲丁形為甲丙半線上有闕依形次作甲戊滿元線形而丙戊為丙乙半線上闕形次作丁乙角線末任作己壬癸子兩線與甲乙乙戊平行交角線于庚即得甲庚為甲乙
線上有闕依形而癸壬為闕形癸壬闕形既依乙丁角線則與丙戊闕形相似而體勢等題言甲丁有闕依形必大于甲庚有闕依形
論曰己丁丁壬兩形同髙等底即兩形等〈一巻三六〉而庚戊為丁壬之分則丁壬大于庚戊較餘一庚丁形其大于丙庚亦如之〈丙庚庚戊兩餘方相等故〉即等丁壬之己丁形大于丙庚亦較餘一庚丁形也次毎加一丙己形則甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚㸃在丙戊形之外即引乙丁角線至庚作辛丑與癸戊平行次引甲癸乙癸聨之末作庚己與辛甲平行
得甲庚為甲乙線上有闕依形而己丑為闕形與丙戊闕形相似而體勢等題言甲丁有闕依形亦大于甲庚有闕依形
論曰試引丙丁線至子即辛子子丑兩線等而辛丁丁丑兩形亦等其丁丑己丁兩餘方亦等即己丁與辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既較餘一庚丁形則己丁之大于辛壬亦較餘一庚丁形也此兩率毎加一甲壬形則甲丁大于甲庚者亦較餘一庚丁形矣依顯不論庚㸃在丙戊形内形外凡依角線作闕形而與丙戊相似者其有闕依形俱小于甲丁以必有庚丁之較故也
二十八題
一直線求作依線之有闕方形與所設直線形等而其闕形與所設方形相似其所設直線形不大于半線上所作方形與所設方形相似者
法曰甲乙線求作依線之有闕方形與丙等而其闕形與丁相似先平分甲乙于戊次于戊乙半線上作戊庚形與丁相似次作甲庚滿線形若甲己形與丙等即得所求矣若甲己大于丙〈若甲己小于丙即不
可作〉即等甲己之戊庚亦大于丙也
則求戊庚大于丙之較為壬〈一巻四五
増〉即作癸丑形與壬等而與戊庚
相似次截取己巳己卯與癸子癸
寅等而作己卯方形必與癸丑相等相似而又與戊庚相似次引己辰抵元線又引卯辰兩端作午未線即甲辰為甲乙線上有闕依形與丙等而乙辰闕形與丁相似
論曰辰庚與辰戊兩餘方既等毎加一乙辰角線形即乙己與戊午亦等而與等戊午之戊未亦等乙己與戊未既等又毎加一戊辰形即甲辰與申辰酉磬折形等矣夫磬折形為戊庚之分而戊庚與丙及癸丑并等戊庚既截去等癸丑之卯己則所餘磬折形與丙等矣即甲辰亦與丙等
二十九題
一直線求作依線之𢃄餘方形與所設形等而其餘形與所設方形相似
法曰甲乙線求作依線𢃄餘
方形與丙等而其餘形與丁
相似先平分甲乙于戊于戊
乙上作戊庚方形與丁相似
次别作辛方形與丙及戊庚
并等又别作癸丑方形與辛等又與丁相似癸丑既與辛等即大于戊庚次引己戊至卯與壬丑等引己庚至寅與壬癸等而作寅卯方形即卯寅與癸丑等又與戊庚相似次引甲乙至己引庚乙至午引午卯至未末作甲未線與己卯平行即得甲辰𢃄餘方形依甲乙線與丙等而己午為餘形與戊庚相似即與丁相似
論曰甲卯戊午既等戊午與乙寅兩餘方又等是甲卯與乙寅亦等矣而毎加一卯己形則甲辰與申乙酉磬折形必亦等夫磬折形元與丙等〈卯寅即癸丑元與丙及戊庚并等毎减一戊庚即磬折形與丙等〉即甲辰亦與丙等三十題
一直線求理分中末線
法曰甲乙線求理分中末先于元線作甲丙方形次依丁甲邉作丁己𢃄餘方形與甲丙形等而甲己為餘形又與甲丙相似則戊己分甲乙于辛即所求〈本卷界三〉
論曰丁己與甲丙兩形既等毎減一甲戊形即甲己辛丙兩形亦等矣此兩形之兩辛角既等即等角旁之各兩邉為互相視之線也〈本巻十四〉而等戊辛之甲乙線與等辛己之甲辛線其比例若甲辛與辛乙也是甲辛乙為理分中末也
三十一題
三邉直角形之對直角邉上一形與直角旁邉上兩形若相似而體勢等則一形與兩形并等
解曰甲乙丙三邊直角形甲為直角各邉上任作直線形相似而體勢等題言乙丁形與乙庚丙辛兩形并等
論曰甲丙上方形與乙丙上方形之比例若丙辛與乙丁甲乙上方形與乙丙上方形之比例若乙庚與乙丁夫甲丙甲乙上兩方形并與乙丙上方形等〈一巻四七〉則丙辛乙庚兩形并亦必與乙丁等増題角形之一邉上形與餘邉上相似兩形并等則對一邉角必直角
三十二題
兩三角形此形之兩邉與彼形之兩邊相似而平置兩形成一外角若相似之各兩邉各平行則其餘各一邉相聨為一直線
解曰甲乙丙丁丙戊兩角形其甲乙與甲丙若丁丙與丁戊也試平置兩形令相切成一甲丙丁外角而甲乙與丁丙甲丙與丁戊各相似之兩邉各平行題言乙丙丙戊為一直線
三十三題
等圜之乗圜分角或在心或在界其各相當兩乗圜角之比例皆若所乗兩圜分之比例而兩分圜形之比例亦若所乗兩圜分之比例
解曰甲乙丙戊己庚兩圜等其心
為丁為辛兩圜各任割一圜分為
乙丙為己庚其乗圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界者為乙甲丙己戊庚題先言乙丙與己庚兩圜分之比例若乙丁丙與己辛庚兩角次言乙甲丙與己戊庚兩角之比例若乙丙與己庚兩圜分後言乙丁丁丙兩腰偕乙丙圜分乙丁丙分圜形與己辛辛庚兩腰偕己庚圜分己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚兩圜分一系在圜心兩角之比例皆若兩分圜形
二系在圜心角與四直角之比例若圜心角所乗之圜分與全圜界四直角與在圜心角之比例若全圜界與圜心角所乗之圜分
幾何論約巻六
欽定四庫全書
幾何論約巻末
柘城杜知耕撰
増題〈利氏曰丁先生言歐几里得六巻中多研察有比例之線竟不及有比例之面故因其義類増益數題補其未備竇復増一題竊弁于首仍以題㫖從先生舊題隨類附演以廣其用俱稱今者以别于先生舊増也〉
今増題圜與圜為其徑與徑再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己兩圜其徑甲丙丁己題言兩圜為甲丙丁己再加之
比例
一糸全圜與全圜半圜與半圜圜分與相當圜分相為比例皆等皆兩徑再加之比例故也
二糸三邉直角形對直角邊為徑所作圜與餘兩邉為徑所作圜并等半圜與兩半圜并等圜分與相似兩圜分并等
三糸三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求各圜之相與為比例者
一増題直線形求減所命分其所減所存各作形與所設形相似而體勢等
法曰甲形求減三分之一所減所存各作形與乙相似先作丙丁形與甲等與乙相似次依丙戊邉作丙己戊半圜次截丙戊三分之一為戊庚次作己庚為丙戊之垂線次作己丙己戊兩線末于己丙己戊
上作己辛己壬兩形各與丙丁相似為所求耕曰丙丁己辛己壬三形既相似其比例必若其底與底再加之比例三底線負半圜為三邉直角形其己庚丙己庚戊兩分形又與全形相似則丙戊與己丙必若己丙與丙庚是丙戊與丙庚為再加之比例而丙丁己辛兩形必若丙戊丙庚兩線矣夫丙庚既為丙戊三分之二則辛己亦必丙丁三分之二依顯己壬為丙戊三分之一
若所存所減不論何形其法更易如甲形求減三分之一先作乙丙形與甲等
次截乙丁三分之一為丁戊末作己戊即戊丙形為甲三分之一
今附有大圜求減小圜則以圜徑當形邉餘同前又附依此法可作一方形與初月形等如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一先作甲乙丙丁内切方形而四平分之其一分即與初月形等何者甲乙丙半圜與甲乙乙丙上兩半圜等即戊己半圜為半大圜之半而己庚分圜形亦為半大圜之半是己庚分圜形與戊己半圜等矣此兩
率各減一同用之己形所存戊庚兩形不亦等乎庚為甲乙丙丁方形四之一故甲乙丙丁方形四分之一之方形與初月形等
二増題兩直線形求别作一直線形為連比例法曰甲與乙丙丁兩形求别作一形為連比例先作戊己庚形與甲等與乙丙丁相似次以戊己為前率乙丙為中率而求連比例之末率為辛壬〈本巻十一〉末于辛壬上作辛壬癸形與兩形相似為所求
論曰三線既為連比例即其上相似三形亦為連比例〈本巻二二〉
今附有兩圜求别作一圜為連比例即以圜徑當形邉法同前
三増題三直線形求别作一直線形為斷比例
法曰一甲二乙丁三己庚辛求别
作一形為斷比例先作壬子形與
甲等與乙丁相似次以壬癸乙丙
己庚為三率求斷比例之末率為
寅卯〈本巻十二〉末于寅卯上作寅卯辰形與己庚辛相似為所求
論曰四線既為斷比例其線上相似形亦為斷比例〈本巻二三〉
今附有三圜求别作一圜為斷比例法同前
四増題兩直線形求别作一形為連比例之中率法曰甲與乙丙丁兩形求别作一形為連比例之中率先作戊己庚形與甲等與乙丙丁相似次求戊己乙丙兩線連
比例之中率為辛壬于辛壬上作辛壬癸形與乙丙丁相似為所求
又法曰甲乙兩形求别作一形為連比例之中率先作丁巳形與甲等次作庚壬形與乙等與丁巳相似令兩形戊角相聨而丁
壬巳庚各成直線末引各邉作子癸直角形其子戊戊癸兩餘方皆為甲乙之中率
論曰丁己與戊癸若子戊與庚壬何者兩比例皆若丁戊與戊壬也故兩餘方皆為等甲乙兩角線形之中率今附兩圜求别作一圜為連比例之中率法同前
五増題一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其比例若所設兩幾何之比例
法曰一甲形求分為兩形俱與丁相似與乙丙比例等先作戊庚形與甲等與丁相似次分戊辛邉于壬令戊壬與壬辛若乙與丙次于戊辛上作
戊癸辛半圜次從壬作癸壬為戊辛之垂線次作戊癸癸辛兩線末于戊癸癸辛上作戊子癸寅兩形俱與戊庚形相似為所求
今附一圜求分作兩圜與所設比例等法同前
六増題一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其兩分形兩相似邉之比例若所設兩幾何之比例
法曰一甲形求分作兩形俱與丁相
似其兩分形兩相似邉之比例若乙
與丙先以乙丙兩線求連比例之末
率為戊次作己庚辛形與甲等與丁
相似次分己辛于壬令己壬與壬辛若乙與戊次于己辛線上作巳癸辛半圜次從壬作壬癸為巳辛之垂線次作巳癸癸辛兩線末于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛俱與丁相似為所求
今附一圜求分作兩圜兩徑若所設之比例法同前
七増題兩直線形求并作一直線形與所設形相似而體勢等
法曰甲乙兩形求并作一形與丙相似先作戊丁己形與甲等作己庚辛形與乙等次以兩形相似邉聨為直角次以戊辛聨之末于戊辛線作戊辛壬形與丙相似為所求
又法曰先作一方形與甲乙兩形并等次作角形與方形等與丙相似
今附兩圜求并作一圜法同前
八增題圜丙兩合線交而相分其分線彼此互相視解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁兩線交而相分于戊題言甲戊與戊丁若乙戊與戊丙又甲戊與乙戊若戊丁與戊丙也
論曰甲戊偕戊丙與乙戊偕戊丁兩矩内形等〈三巻三五〉即等角旁之兩邉為互相視之邉〈本巻十四〉
九増題圜外任取一㸃從㸃出兩直線皆割圜至規内其兩全線與兩規外線彼此互相視若從㸃作一切圜線則切圜線為各割圜全線與其規外線之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊㸃作戊丙戊丁兩線割圜界于甲于乙題言戊丙與戊丁若戊甲與戊乙又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也又言己戊切線為各割圜全線與規外線之各中率謂丙戊與己戊若己戊與戊
乙又丁戊與己戊亦若己戊與甲戊也
論曰丙戊偕乙戊矩内形與己戊上方形等〈三卷三六〉又丁戊偕甲戊矩内形與己戊上方形亦等即兩矩内形自相等而等角旁之兩邉為互相視之邉〈本巻十四〉又兩矩内形各與戊己上方形等即戊丙戊己戊乙三線戊丁戊己戊甲三線俱為連比例而己戊為各中率
十増題兩直線相遇作角從兩線之各一界互下垂線而毎方為兩線一自界至相遇處一自界至垂線則各相對之兩線皆彼此互相視
解曰甲乙丙乙兩線相遇于乙作甲乙丙角從甲作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為鈍角如上圗兩垂線當
至甲乙丙乙之各引出線上為甲丁為丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙為鋭角如下圗甲丁丙戊兩垂線當在甲乙丙乙之内交而相分于己也題言甲乙與乙丙若丁乙與乙戊又甲乙與丁乙若乙丙與乙戊也
論曰甲乙丁形之甲乙丁甲丁乙兩角與丙乙戊形之丙乙戊丙戊乙兩角皆等〈兩為直角兩于上圗為交角于下圗為同角故〉即兩形為等角形故各相對之兩線為彼此互相視
十一増題平行線形内兩直線與兩邉平行分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆等
解曰甲丙形内作戊己庚辛兩線與甲丁丙丁平行而交于壬題言所分之戊庚庚己乙
壬壬丙四形任相與為比例皆等
論曰戊壬與壬己兩線之比例既若戊庚與庚己兩形又若乙壬與壬丙兩形即戊庚與庚己亦若乙壬與壬丙也依顯乙壬與戊庚亦若壬丙與庚己也
十二増題凡四邉形之對角兩線交而相分其所分四三角形任相與為比例皆等
解曰甲乙丙丁四邉形有甲丙乙丁兩對角線交而相分于戊題言所分甲戊丁乙戊丙
甲戊乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆等論曰甲戊與戊丙兩線之比例若甲戊丁與丁戊丙兩形又若甲戊乙與乙戊丙兩形即甲戊丁與丁戊丙兩形亦若甲戊乙與乙戊丙也依顯甲戊乙與甲戊丁亦若乙戊丙與丁戊丙也
十三増題三角形任于一邉任取一㸃從㸃求作一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾何
法曰甲乙丙角形任于乙丙
邉任取丁㸃求從丁作一線
分本形為兩形其兩形之比
例若戊與己先分乙丙于庚令乙庚與庚丙若戊與己如庚丁同㸃〈一圗〉即作丁甲線為所求如庚在丁丙之内〈二圗〉亦作丁甲線從庚作辛庚線與丁甲平行末作丁辛線即分乙丁辛甲無法四邉形與丁丙辛角形其比例若戊與己也如庚在乙丁之内〈三圗〉亦作丁甲線次從庚作庚辛線與丁甲平行末作辛丁線即分乙丁辛角形與丁丙辛甲無法四邉形其比例若戊與己也〈詳一巻三十八題第二増〉
十四増題一直線形求别作一直線形相似而體勢等其比例若所設兩幾何
法曰甲直線形求别作一形與甲相似令甲與所作形之比例若乙與丙先以乙丙及丁戊三線求斷比例之末率為己次求
丁戊及己之中率為庚辛〈本卷十二十三〉末于庚辛上作壬形與甲相似為所求若先設大甲求作小壬若丙與乙倣此
論曰丁戊庚辛己三線為連比例即一丁戊與三己之比例若一丁戊上之甲與二庚辛上之壬有用法作各形之相加相減者如乙丁方形求别作五倍大方形先引長甲乙至戊令乙戊五倍于乙甲次平分甲戊于己即
以己為心甲為界作甲庚戊半圜次引長乙丙抵圜界于庚即依乙庚線作乙辛方形為所求耕曰甲乙偕戊乙矩内形與乙庚上方形等〈三巻三五〉矩内形既五倍于乙丁則乙辛方形亦必五倍于乙丁
又丁乙直線形求别作二倍大相似形先引長甲乙至戊令乙戊二倍于甲乙次平分甲戊于己即以己為心甲為界作甲庚戊半圜次引長丙乙抵圜界于庚次于甲戊線截取甲辛與乙庚等從辛作辛壬與乙丙平
行次作甲丙對角線引長之遇辛壬于壬次自壬作壬癸與丙丁平行末引甲丁線聨之成癸辛形即二倍于丁乙而相似
用此法不論何形但兩形相似其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形
今附若用前法作圜則乙庚徑上圜亦二倍大于甲乙徑上圜相加相減倣此
十五増題諸三角形求作内切直角方形
法曰甲乙丙角形求作内切方形先從甲角作甲丁為乙丙之垂線次分甲丁于戊
令甲戊與戊丁若甲丁與乙丙〈本巻十増〉次從戊作己庚與乙丙平行末自庚自己作庚壬己辛兩線各與甲丁平行即得己壬形為所求〈若直角鈍角則從直角鈍角作垂線〉
耕曰己庚既與底線平行則甲丁與乙丙若甲戊與己庚今又若甲戊與戊丁是戊丁與己庚等矣而庚壬己辛又各與戊丁等即庚辛為方形又甲乙丙直角三邉形求依乙角作内切方形先分甲乙于丁令甲丁與丁乙若甲
乙與乙丙末從丁作丁戊與乙丙平行從戊作戊己與甲乙平行即得丁己形為所求
耕曰丁戊既與底線平行則甲乙與乙丙若甲丁與丁戊今又若甲丁與丁乙是丁乙與丁戊等矣即乙戊為方形
今附如上三邉直角形依乙角作内切方形其方邉必為甲丁己丙兩分餘邉之中率何者甲丁與丁戊若戊己與己丙故也〈本巻四之糸〉
後附〈耕自為圗論附之巻末其法似為本書所無其理實函各題之内非能于本書之外别生新義也稱後附者以别于丁氏利氏之増題也計十條〉
一附直角三邉形以直角旁兩邉求對直角邉一巻四十七題第四増言直角三邉形先得兩邉可求餘一邉皆用筭數相求然亦可比量得之按直角三邉形即算家所謂
勾股也乙丙即甲乙即勾甲丙即股乙丙之大于甲丙為丁丙曰股較乙丙之大于甲乙為乙戊曰勾較甲丙之大于甲乙為丙己曰勾股較凡六線先得兩線皆可求餘線今先得甲乙甲丙兩邉求乙丙先作庚辛壬直角令辛壬與甲乙等辛庚與甲丙等末作庚壬即得乙丙邉之度
二附以對直角邉及直角旁一邉求餘邉
先得甲乙乙丙兩邉求甲丙先作庚壬與乙丙等平分于癸即以癸為心庚為界作半圜次以壬為心甲乙為
度向圜作短界為辛末作庚辛線為所求〈若先得甲丙乙丙兩邉求甲乙法同上〉
三附以對直角邉與一邉之較及一邉求全邉
先得甲乙邉及甲丙乙
丙之較丙丁求餘邉先
作庚辛與丙丁等次作
辛壬垂線與甲乙等次作庚壬次引長庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑線與乙丙等辛丑線與甲丙等何也庚癸線既以庚壬子直角線截之則庚辛偕辛子矩内形必與辛壬上方形等〈三巻三五〉按勾股法依股較為濶作直形而與勾羃等其長必一一股之度故加辛庚折半得乙丙〈若先得甲丙及甲乙乙丙之較乙戊求乙丙法同上〉
四附以直角旁兩邉之較及對直角邉求全邉
先得乙丙及甲乙甲丙之較
己丙先作庚辛與乙丙等次
平分于寅即以寅為心庚為
界向上作短界線次以庚為心己丙為度向上作短界線相交處為丑自丑作辛丑線次作庚辛壬直角令辛壬與辛丑等次作庚壬線末截庚壬于癸令壬癸與丙己等餘庚癸平分于子即庚子與甲乙等子壬與甲丙等按勾股法一勾一股并作方形當上方形二而朒一勾股較上方形今庚辛上方形即羃等辛丑之辛壬上方形當一羃而朒一勾股較上方形又庚壬上方形與庚辛辛壬上兩方形并等則庚壬一線必為一勾一股之度
五附以直角旁兩邉與對直角邉之兩較線求各邉先得甲丙乙丙之較丁丙及甲乙乙丙之較乙戊先倍乙戊加丁丙為庚辛壬癸線平分于子即以子為心庚為界作庚丑癸半圜次自壬作垂線抵圜界于丑
即壬丑線加壬癸即與甲乙等加辛壬即與甲丙等加辛癸即與乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二與戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即兩較矩内形二也而又與壬丑上方形等則壬
丑垂線不與戊丁亦等乎故逓加之得勾股也〈若倍丙丁加乙戊所求亦同〉
六附又法以方邉角線之較求方邉
先得方邉角線之較甲乙三倍
之為甲乙丙丁線平分于戊即
以戊為心甲為界作甲己丁半
圜自丙作垂線抵圜界于己即己丙線加丙丁為方邉加甲丙為角線試作庚辛為角線上方形次作庚癸壬辛皆為元方形〈詳二巻十四之増〉其子丑與丑壬兩線之比例若丑壬與子丑寅卯兩線并則丑壬為子丑及子丑寅卯兩線并之中率今甲丙倍丙丁而己丙為中率其丙丁與己丙若己丙與甲丙也則己丙丑壬兩線必等故加等子丑之丙丁得方邉加等子丑寅卯兩線并之甲丙得角線
七附等角兩平行方形〈不同理〉不必借象即以相結如甲丙丙己兩平行方形兩丙角等即以兩角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直線〈六巻二三〉次引丙庚至壬令丙庚與
丙壬若丁丙與丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙與丙己兩形之比例若乙丙與丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四線既為斷比例前後兩率矩内形與中兩率矩内形必等〈六巻十六〉即丙己與丁壬等又丁壬與甲丙同丁丙邉即兩形等髙兩形之比例必若兩底乙丙之與丙壬也故甲丙與丙己亦若乙丙與丙壬此以丁丙丙庚為前率之後復為後率之前化二為一作首尾兩率之樞紐不必假借他象即以相結若以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結倣此
八附又法求理分中末線
設甲乙線求理分中末〈詳六巻三十〉即以甲乙當股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙聨之次截甲丙于丁令丙丁與乙丙等末截甲乙于戊令甲戊
與甲丁等即甲戊乙為理分中末
也何者勾股上兩方形并與上
方形等〈一巻四七〉于方内減去等勾
方之己形所餘庚辛壬磬折形必與股方等又甲丁甲戊兩線等即辛癸兩形亦等再減辛癸兩形所餘庚壬兩形與子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等則癸子兩形并〈當甲戊偕丙乙矩内形二〉與庚壬兩形并〈即甲丁偕丙乙矩内形二〉亦等矣即癸子兩形并與子丑寅磬折形亦等此二率毎減一同用之子形則所餘癸與丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙為理分中末也
九附求于三角形内作一線抵兩腰與底線平行又與所設線等
甲乙丙三角形求作一線抵兩腰與乙丙平行而與丁線等先作甲戊線次分
于己令甲戊與甲己若乙丙底與丁線末從己作庚辛線與乙丙平行為所求〈若設線大于乙丙即不可作〉
十附有多線求理分中末
設甲乙丙丁戊己庚辛多線各求理分中末先依前法〈八附〉分甲乙于壬次
任作甲癸乙角形次從壬作癸壬線次作丙丁戊己庚辛多線令兩界各抵腰線而與底線平行〈九附〉末依癸壬線分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各為理分中末也
幾何論約巻末
<子部,天文算法類,算書之屬,數學鑰>
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