戴东原集 (四部丛刊本)/卷第七
| 戴东原集 卷第七 清 戴震 撰 清 段玉裁 撰年谱覆校札记景上海涵芬楼藏经韵楼刊本
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戴东原集卷弟七
四库馆纂修官翰林院庶吉士戴震撰
句股割圜记上
句股割圜记中
句股割圜记下
䇿算序
刊九章算术序
夏矦阳算经跋
释车
嬴旋车记
自转车记
句股割圜记上
割圜之法中其圜而觚分之𢧵圜周为弧背緪弧背之
两端曰𢏛值弧与𢏛之半曰矢弧矢之内成相等之句
股二半弧𢏛为句减矢于圜半径馀为股緪句股之两
端曰径隅亦谓之𢏛句股之弦得圜半径也句股𢏛三
矩方之合句与股二方适如𢏛之大方减矢于圜径馀
为股𢏛幷矢恒为股𢏛𢀩𢀩幷相椉为句之方减句于
圜半径馀为次弧背之矢倍股为次弧𢏛减次弧背之
矢于圜径馀为句𢏛幷其矢为句𢏛𢀩𢀩幷相椉为股
之方引圜径于弧背外成句股𢏛弧背外之句谓之矩
分𢏛谓之径引数股得圜半径也次弧背外之股谓之
次矩分弦谓之次引数句得圜半径也半弧𢏛谓之内
矩分次弧𢏛之半以为股谓之次内矩分方圜相函之
体用𢧵圜之周径而函句股𢀩幷之率四分圜周之一
如之规方之四隅而函圜之周凡四觚如之因方以为
句股函圜之半周凡三觚如之圜周之外内所成句股
𢏛皆方数也随径隅所指割圜周成弧背皆规限也限
同则外内相应句股𢏛三矩通一为率外内相应句股
𢏛三矩通一为率斯可以小大互权矣圜之半容句股
则圜径为句股之𢏛句与股复为𢏛而析之成同限之
句股三四分圜周之一随径隅所指成同限之句股三
凡同限互权之率句股之大恒也句股应矩之方变而
三觚不应矩之方以句股御之𢧵为句股六而同限者
各二三三交䥘是以㞡转互权半弧背过四分圜周之
一以减圜半周而得外弧三觚句于句股𢧵其内三觚
一倨于句股引而𢧵其外所知之矩为𢏛其对觚之规
限内矩分为之股所测之距为𢏛测知之规限内矩分
为之股或测知两距一觚所知之觚所知之两距㫄之
则于圜半周减一觚规限馀为两觚规限之幷半之为
半幷弧两距之𢀩幷与半𢀩弧半幷弧之矩分相应凡
三觚之𢧵为句股两𢏛之𢀩幷所为方及两句之𢀩幷
所为方其幂等也凡同限之句股𢏛小大𢀩幷互为方
其幂等也
句股割圜记中
浑圜中其圜而规之二规之交循圜半周而得再交距
交四分圜周之一规之翕辟之节也縁是以为经谓之
经度横𢧵经度之外谓之纬度经之内规之谓之经弧
纬之内𢧵其规谓之纬弧经纬之度界其外经纬之弧
𢧵其内是为半弧背者四以句股御之半弧背之外内
矩分平行相应得同限之句股𢏛各四古弧矢术之方
仪也仪不具次矩分之句股𢏛面各一加一于四而
五是
参其体两其用用也者㫄行而观之也㫄行以
用于经度则经弧矩分为句纬度次内矩分为之股经
弧内矩分为句纬弧次内矩分为之𢏛㫄行用于纬度
则纬弧矩分为句经度次内矩分为之股纬弧内距分
为句经弧次内矩分为之𢏛㫄行用于经弧则经度矩
分为句纬度径引数为之股经度内矩分为句纬弧径
引数为之𢏛㫄行用于纬弧则纬度矩分为句经度径
引数为之股纬度内矩分为句经弧径引数为之𢏛仪
之立也为方四成㫄行而得同限之句股四经度矩分
为句则纬度矩分为之股经度内矩分为句则纬弧矩
分为之股经弧矩分为句则纬度内矩分为之股经弧
内矩分为句则纬弧内矩分为之股凡句股二十有四
为互权之率五遵古已降推步起日至斯其本法也引
而伸之以经度为节者其二规皆纬也自交以至经弧
谓之次纬仪以纬度为节者其二规皆经也自交以至
纬弧谓之次经仪仪各为半弧背者三成圜周句股𢏛
于是命半弧背之外内矩分曰方数句股𢏛圜周句股
𢏛古弧矢术也必以方数句股𢏛御之方数为典以方
出圜立术之大恒也次纬仪经弧为其句弧纬度之次
半弧背为其股弧纬弧之次半弧背为其𢏛弧弧之外
内矩分平行相应得方数句股𢏛各三仪不具次矩分
之句股𢏛面各一加一于三而四㫄行观之股弧径引
数为股则𢏛弧径引数为之𢏛以用于句弧𢏛弧次内
矩分为股则句弧次内矩分为之𢏛以用于股弧股弧
次内矩分为股则句弧径引数为之𢏛以用于𢏛弧仪
之立也㫄行而得方数句股𢏛三为三成股弧矩分为
股则𢏛弧矩分为之𢏛句弧矩分为句则股弧内矩分
为之股句弧内矩分为句则𢏛弧内矩分为之𢏛取节
于方道仪之经度为其限凡句股十有八为互权之率
四次经仪亦如之次纬仪翕辟之节经度也是有经
度互权之率次经仪翕辟之节纬度也有纬度互权之
率距经纬之弧四分圜周之一规之谓之外规凡构缀
之规法五皆四分之以为其限而交加前郤之半弧背
四合而为仪者五以方仪为之通率半弧背三合而
为仪者十以次纬仪为之通率凡为仪十有五是谓一
终得方数句股𢏛三百弧矢术之正整之就叙矣
句股割圜记下
三觚非弧矢术之正以句股弧矢御之浑圜之规限正
视之中绳侧视之随其高下而羡惟平视之中规胥以
平写之循规限之端竟半周得圜径衡𢧵圜径齐规限
之末抵外周得规限所为半弧𢏛弧与𢏛易正侧之势
以为平于是命外周之限为其限凡矢属于规限之端
𢏛属于规限之末一从一衡相遇也用矢用半弧𢏛凖
是率率之四分圜周之一古推步法谓之一象是为规
限之一终率之变也减两距于圜半周用其馀弧为两
距减对两距之觚规限于圜半周用其外弧为两觚规
限内矩分共用之半弧𢏛也馀一距及其对觚共用之
觚与距也若三觚各以为浑圜之一极距觚四分圜周
之一规之三规之交成三觚三距则觚同其距之规限
距同其觚之规限前率大小倨句之体㪅也后率觚与
距之体㪅也句股互权之大恒觚之规限内矩分各与
对距相应三距为浑圜之规限则觚之规限内矩分与
对距之内矩分相应相应而㞡转互权矣所求非对距
对觚则𢧵之成圜周句股𢏛者二各视次纬仪之率通
之凡内矩分为半弧𢏛其弧背浑圜大规也半弧𢏛不
满圜半径者以矢为枢以半弧𢏛规之成浑圜之小规
衡𢧵正视侧视之规侧视之规亦𢧵小规而与中围之
大规相应𢧵小规之径为大小矢则与中围大规之径
为大小矢相应三觚之用两距𢀩幷也所知之觚或所
求之觚所知之两距㫄之㫄于觚之右距以平写之为
平视之规则左距为侧视之规𢧵左距之末成小规而
识左距于平两距𢀩弧幷弧之矢𢀩半之为矢半𢀩以
为句小规之半径为之𢏛以𢀩弧与对距之两矢𢀩为
句左距侧视之规𢧵小规之径成大小矢为之𢏛如是
得同限之句股二而句与𢏛通一为率凡觚之规限中
围大规也大小规之半径及其矢并通一为率若左距
适四分圜周之一则所成之规适为中围大规若左右
距相等无𢀩弧则幷弧之矢半之为句小规之半径为
之𢏛对距之矢为句小规之大小矢为之𢏛以觚求距
求对距之矢也以距求觚求觚之规限大小矢也
策算序
汉书律历志算法用竹径一分长六寸二百七十一枝
而成六觚为一握古算之大略可考如是其一枝谓之
一算亦谓之筹梅福传福上书曰臣闻齐桓之时有以
九九见者所谓九九盖始一至九因而九之终于八十
一周髀算经商高曰数之法出于圆方圆岀于方方出
于矩矩岀于九九八十一是也以九九书于策则尽椉
除之用是为策算策取可书不曰筹而曰策以别于古
筹算不使名称相乱也策𠛱九位位有上下凡策或木
或竹皆两面一与九二与八三与七四与六共策五之
一面空之为空策合五策而九九僃如是者十各得十
䇿别用策一𠛱始一至九各自椉得方羃之数为开平
方策算法虽多椉除尽之矣开方亦除也平方用广立
方䍐用策算专为椉除开平方举其例略取经史中
资于算者次成一卷俾治九章算术者首从事焉乾隆
甲子长至日东原氏戴震序
刊九章算术序
古者六
之
礼乐残阙失传射御则绝无师说书者
治经之本厪厪赖许叔重说文解字略见梗槩而所谓
九数即九章世䍐有其书近时以算名者如王寅旭谢
野臣梅定九诸子咸未之见余访求二十馀年不可得
拟永乐大典或尝录入书在翰林院中丁亥岁因吾乡
曹编修往一观则离𢿱䥘出恖缀集之未之能也出都
后恒寤寐乎是及癸巳夏奉 召入京师与修四库全
书躬逢 国家盛典乃得尽心纂次订其讹舛审知刘
徽所注旧有图而今阙者补之书既进 圣天子命即
刊行又 御制诗篇冠之于首古书之隐显盖有时焉
诚甚幸也吾友屈君鲁传亦好是学愿得九章刊之从
余录一本今秋之仲曲阜孔君体生访求得算书若干
卷系毛氏扆影摹宋刻者扆识其后有云从太仓王氏
得孙子五曹张丘建夏矦阳四种从章丘李氏得周髀
缉古二种后从黄兪邰又得九章皆元丰七年秘书省
刊版每卷有秘书省官衔姓名一幅又一幅宰辅大臣
自司马相公而下俱𠛱名于后余急假之孔君独九章
卷六巳后阙因㪅校改数字以寄屈君而记其得是书
之不易如此休宁戴震
夏矦阳算经跋
隋经籍志有夏矦阳算经二卷旧唐书经籍志有夏矦
阳算经三卷甄鸾注新唐书蓺文志𠛱夏侯阳算经一
卷甄鸾注又韩延夏侯阳算经一卷韩延乃作注者姓
名亦犹新唐志中称李淳风注甄鸾孙子也而斋书
录解题载元丰京监本云三卷无注盖甄鸾韩延两本
易溷淆乃加姓名以别之而传写又各有幷析卷帙
互异欤且唐志载李淳风注明算科十书独不及夏侯
阳算经盖李注者甄鸾之本当宋时巳佚欤然皆不言
阳为何代人序有云五曹孙子述作滋多甄鸾刘徽为
之详释则其人当在甄鸾后而宋史礼志载算学祀典
有云封魏刘徽淄川男晋姜岌成纪男张丘建信成男
夏侯阳平陆男周甄鸾无极男又张丘建算经序云夏
侯阳之方仓则阳为晋人在甄鸾前明矣书内又称宋
元嘉二年徐受重铸铜斛至梁大同元年甄鸾校之则
系隋初人厺梁稍远目梁时斗尺为古所用其辨度
量衡云在京诸司及诸州各给称尺幷五尺度斗升合
等様皆铜为之仓库令诸量函所在官造大者五斛中
者三斛小者一斛以铁为缘勘平印书然后给用及课
租庸调章称赋役令论步数不等章称杂令田令之属
皆据隋制言之则是韩延传其学而以已说篡入之序
亦当为延所作故李淳风取甄鸾本而舍是志亦以韩
延夏侯阳算经别之也韩延为隋人盖无可疑其书务
切实用虽九章古法非官曹民事所必需者亦略而不
载于诸算经中冣为𥳑要且于古今制度异同多资考
证尢足宝重云今此本即韩延所传无注本宋元丰京
监所刊者也㫺毛氏斧季得之太仓王氏余今假之孔
君体生因题其后休宁戴震
释车
车式较内谓之舆其深谓之隧枕舆下谓之轸轸谓之
收揜舆㫄谓之輢式前谓之軓軓谓之阴缩輢上者谓
之较舆前卑于较者谓之式车阑谓之𫐉輢内之𫐉谓
之轵式下人所对谓之轛轮𫐓谓之牙牙谓之辋轮轑
谓之辐辐近毂谓之股近牙谓之骹辐端之柄建毂中
者谓之菑菑没凿谓之弱建牙中者谓之蚤以偏枘入
牙而出之谓之䌄毂空壶中所以受轴谓之䡦䡦谓之
薮以金裹毂中谓之釭大釭谓之贤毂末小釭谓之𨐆
毂端錔谓之輨輨谓之轪以革帱毂谓之𬨂轴末谓之
轊轴当毂釭闲之以金谓之鐗轴端之键以制毂者谓
之舝伏兔谓之轐舆下任正者谓之辀辀出軓前穹而
上谓之胡胡谓之侯辀端谓之颈后谓之踵当两轐之
闲谓之当兔軶谓之衡衡下乌啄谓之軥所以持衡者
谓之𫐄车盖之杠谓之桯盖斗谓之部其柄谓之𨔶常
隆屈谓之弓弓近部谓之股弓末谓之蚤大车之较谓
之牝服其内谓之箱所以引车谓之辕軶谓之鬲持鬲
者谓之𫐐轮䡑谓之渠有辐谓之轮无辐谓之辁
蠃旋车记〈壬戌〉
车人为漑器六分其轴之长以其一为之围信其轴围
以为车广两墙与轴是谓参均也轴之两端中其轴以
设其枢斲轴欲设枢欲正二者既得转之如将自转
焉斲轴不设枢不正二者失职则及其转之也车必
偏重重者在下轻者在上则必如倍任矣为墙因轴之
围竟轴而为蠃旋之墙两墙之闲谓之蠃旋之沟水之
行于蠃沟也水犹然𧺆下也不知其旋而上也墙之法
建之柱而编之而垩之既垩欲其无罅也凡沟视轴径
以为度或倍焉或参焉巳广则吐水多而宐偃巳狭则
吐水少而宐高墙之外削版为之围以鐡约之既约以
漆𡍼之围版之内欲其附于墙也其外欲其合之固也
车之上端为轮设之𬃊或人力或假器若物之力别为
任挽之轮以发其𬃊而转之其铭曰我稼我穑时惟尔
翼我恬我息时惟尔力篝车穰穰佐我康食铭尔之劳
终古不忒
自转车记
车人之事为规长二十度博一度度之大小视其制车
之用在轮轮有九等𬃊有二式以半规之十度为轮之
半径谓之十度之轮周六十𬃊其次九度之轮周五十
有四𬃊其次八度之轮周四十有八𬃊其次七度之轮
周四十有二𬃊其次六度之轮周三十有六𬃊其次五
度之轮周三十𬃊其次四度之轮周二十有四𬃊其次
三度之轮周十有八𬃊其次二度之轮周十有二𬃊其
次为任挽之轮周六大𬃊任挽之轮一度也以交于十
度之轮而发其𬃊十度之轮其上为六度之轮谓之发
轮发轮之上为二度之轮谓之接轮接轮之轴交于悬
重之轮大与接轮等发轮之𬃊视六度之轮接轮之𬃊
视二度之轮凡轴周六𬃊为轮方其轴当辐之围夹轴
而为四幅幅周之辋辋设之𬃊大轮幅方一度辋厚一
度小轮有辋无辐辋厚五分度之四凡轮以上轮之𬃊
交于下轮之轴𬃊十度之轮其𬃊交于发轮之轴𬃊接
轮与发轮之𬃊相交也是故十度之轮曁接轮之轴无
𬃊〈十度之轮旋转一周得任挽之轮七百二十五万七千六百周〉欲车之利转则任挽
之轮其轴设飞轮或二之或三之凡轮均其围而周分
之以设𬃊因于辋者为斜𬃊以鐡裹之植于辋为立𬃊
以鐡为之凡轴皆用立𬃊轮皆用斜𬃊十度之轮曁任
挽之轮亦立𬃊也𬃊端五分度之二𬃊闲空五分度之
三轴之两端以鐡为之枢枢径五分度之三枢长五分
度之四为柱以鐡穿含枢而转之设穿必以其轮之度
上𬃊与下𬃊相交减三分度之一接轮冣上发轮次之
十度之轮至二度之轮递次而下任挽之轮出架外别
为之柱架之高与立柱等长三之二广三之一
戴东原集卷弟七