数学九章 (四库全书本)/卷2上

数学九章　卷二上

　　钦定四库全书
　　数学九章卷二上　　　　宋　秦九韶　撰天时
　　推气治历
　　问太史测验天道庆元四年戊午岁冬至三十九日九十二刻四十五分绍定三年庚寅岁冬至三十二日九十四刻一十二分欲求中间嘉泰甲子岁气骨岁馀斗分各得几何
　　按绍定三年庚寅之冬至实绍定四年辛卯之始辛卯距戊午三十四年积年为三十三
　　答曰气骨十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分馀岁五日二十四刻二十九分三十杪三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十杪三十小分
　　术曰先距前后年数为法置前测曰刻分减后测曰刻分馀为率〈不足减则加纪䇿〉以纪䇿累加之今及天道合用五日以上数为实以法除实得岁馀去全日馀为斗分以所求中间年上距前测年数乘岁馀益入前测日刻分满纪䇿去之馀为所求气骨
　　草曰置前测戊午岁距前岁庚寅岁得三十三为法置前测戊午岁冬至三十九日〈日辰癸卯〉九十二刻四十五分减后测绍定三年庚寅岁冬至三十二日〈日辰丙申〉九十四刻一十二分今后测者少不及前测者以减乃加纪法六十日于后测日内得九十二日九十四日一十二分然后用前测者减之馀五十三日一刻六十七分为率按术当以法三十三馀率须使啇数必得五日以上乃可今率未得五日乃两度累加纪法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十七分为刻实如法除之得五日二十四刻二十九分三十杪三十小分〈不尽弃之〉为岁馀乃去全五日得二十四刻二十九分三十杪三十小分为斗分次推嘉泰甲子上距庆元戊午岁得六以乘岁馀五日二十刻刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五刻七十五分八十一杪八十小分益入前测戊午岁三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分满纪法六十去之馀一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分为所求甲子　气骨之数合问
　　按气骨者年冬至时距甲子日子正初刻后之日分也岁馀者岁实去六甲子之馀日分也斗分者岁实去三百六十五日之馀分也此未知岁实之法故先以前后两气骨相减馀数为实以积年为法除之岁馀约五日馀纪日六十故实数内累加六十日至啇得五日上而止则实数为积岁馀之数以积年除之得岁馀日分既得岁馀以甲子积年六乘之得甲子积岁馀与前测气骨相加满纪法去之馀即甲子气骨也
　　治历推闰
　　问开禧历以嘉泰四年甲子岁天正冬至为一十一日〈日辰乙亥〉四十四刻六十一分五十四杪十一月经朔一日〈日辰乙丑〉七十五刻五十五分六十二杪问闰骨闰率各几何
　　答曰闰骨九日六十九刻五分九十一杪〈不尽一百六十九分杪之一百二十一〉
　　闰骨率十六万三千七百七十一
　　术曰以日法各通气朔日刻分杪各为气骨朔骨分其气骨分如约率而一约尽者为可用〈或收弃馀分在一刻以下者亦可用〉然后与朔骨分相减馀为闰骨率以日法约之为闰骨䇿
　　草曰置本历曰法一万六千九百先通冬至一十一日四十四刻六十一分五十四杪得一十九万三千四百四十分二十六小分为实其历约率系三千一百二十以约之得六十二可用其馀小分二十六乃弃之只用一十九万三千四百四十为气骨分次置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本历日法一万六千九百乘之得二万九千六百六十八分九十九杪七十八小分将近一分故于气骨内所弃二十六小分借二十二小分以补朔内收上得二万九千六百六十九为朔然后以朔骨分减气骨分馀有一十六万三千七百七十一为闰骨率复以日法除之得闰骨䇿九日六十九刻五分九十一杪不尽一百二十一筭直命之为一百六十九分杪之一百二十一合问
　　按此题若置冬至日分内减经朔日分馀九日六十九刻五分九十二杪得闰骨䇿此原草仅多一百六十九分杪之四十八尽草中气骨内弃小分二十六朔骨分内进二十二并之为一百六十九分杪之四十八其不径相减而必用通分约分累乘累除者为向后推筭用耳
　　治历演纪
　　问开禧历积年七百八十四万八千一百八十三欲知推演之原调日法求朔馀朔率斗分岁率岁闰入元岁入闰朔定骨闰泛骨闰缩纪率气元率元闰元数及气等率因率蔀率朔等数因数蔀数朔积年二十三事各几何
　　答曰日法一万六千九百
　　朔馀八千九百六十七
　　朔率四十九万九千六十七
　　斗分四千一百八
　　岁率六百一十七万二千六百八
　　岁闰一十八万三千八百四
　　入元岁九千一百八十
　　入闰四十七万四千二百六十
　　朔定骨二万九千六百六十九
　　闰泛骨一十六万三千七百七十一
　　闰缩一十八万八千五百七十八
　　纪率一百一万四千
　　气元率一万九千五百
　　元闰三十七万七千八百七十三
　　元数四百二
　　气等率五十二
　　因率一百四十四
　　蔀率三百二十五
　　朔等数一
　　因数四十五万七千九百九十九
　　蔀数四十九万九千六十七
　　朔积年七百八十三万九千
　　积年七百八十四万八千一百八
　　术曰以历法求之大衍入之调日法如何承天术用强弱母子互乘得数并之为朔馀以二十九日通日法增入朔馀为朔率又以日法乘前历所测冬至气刻分收弃末位为偶数得斗分与日法用大衍术入之求等数因率蔀率以纪乘等数为约率置所求气定骨如约率而一得数以乘因率满蔀率去之不满以纪法乘之为入元岁次置岁日以日法通之并以斗定分为岁率以十二月乘朔率减岁率馀为岁闰以岁闰乘入元岁满朔率去之不满为入闰与闰骨相减之得差〈或适足便以入元岁为积年后术并不用或差在刻分法半数以下者亦以入元岁为积年〉必在刻分法半数以上却以闰泛骨并朔率得数内减入闰馀与朔率求闰缩〈在朔率以下便为闰缩以上用朔率减之亦得〉以纪法乘日法为纪率以等数约之为气元率以气元乘岁闰满朔率去之不满为元闰虗置一亿减入元岁馀为实元率除之得乘限乃以元闰与朔率用大衍入之求得等数因数蔀数以等约闰缩得数以因数乘之满蔀数去之不满在乘限以下以乘元率为朔积年并入元岁为演纪积年又加成历年今人相乘演积年其术如调日法求朔馀朔率立
　　斗分岁馀求气骨朔骨闰骨及衍等数约率因率蔀率求入元岁岁闰入闰元率元闰已上皆同此术但其所以求朔积年之术乃以闰骨减入闰馀为之闰赢却与闰缩朔率列号甲乙丙丁四位除乘消减谓之方程乃求得元数以乘元率所得为之积年加入元岁共为演纪岁积年所谓方程正是大衍术〈今人少知〉非特置筭繁多初无定法可传甚是惑悮后学易失古人之术意故今术不言闰赢而曰入闰差者盖本将来可用入元岁便为积年之意故今止将元闰朔率二项以大衍先求等数因数蔀者仍仿前前求入元岁之术理假闰骨如气骨以等数为约数及求乘数蔀数以等约闰缩得因乘数满蔀去之不满在限下以乘元率便为朔积年亦加入元岁共为演纪积年此术非惟止用乘除省便又且于自然中取见积年不惑不差矣新术敢不用闰赢而求者实知闰赢已存于入闰之中但求朔积年之奇分与闰缩等则自与入闰相合必满朔率所去故也数理精微不易窥识穷年致志感于梦寐幸而得知谨不敢隐草曰本历以何承天术调得一万六千九百为日法系三百三十九强一十七弱先以强数三百三十九乘强子二十六得八千八百一十四于上次以弱数一十七乘弱子九得一百五十三并上共得八千九百六十七为朔馀次以日法通朔䇿二十九日得四十九万一百增入朔馀得四十九万九千六十七为朔率又以日法乘统天历所测毎岁冬至周日下二十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪为斗泛分验八分既偶遂弃三十九杪只以四千一百八分为斗定分与日法以大衍术入之□得五十二为等数一百四十四为因率三百二十五为蔀率以甲子六十为纪法乘等数得三千一百二十为约率却置本历上课所用嘉泰甲子岁气骨一十一日四十四刻六十一分五十一杪以乘日法得一十九万三千四百四十分二十六杪为气泛骨欲满约率三千一百二十而一故就近乃弃微杪只以一十九万三千四百四十为气定骨然后以约率三千一百二十除之得六十二以因率一百四十四乘之得八千九百二十八满蔀率三百二十五去之不满一百五十三以纪法六十乘之得九千一百八十年为入元岁次置岁　三百六十五以日法乘之得六百一十六万八千五百并斗定分四千一百八得六百一十七万二千六百八为岁率却以十二月乘朔率四十九万九千六百七得五百九十八万八千八百四率内减去此数馀一十八万三千八百四为岁闰以岁闰乘入元岁九千一百八十得一十亿八千七百三十二万七百二十满朔率去之不满四十七万四千二百六十为入闰次置本历所用嘉泰甲子岁天正十一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪以日法乘之得二万九千六百六十八分九千九百七十八杪为朔泛骨就近收杪为一分共得二万九千六百六十九为朔定骨数然后乃以朔定骨减气骨一十九万三千四百四十馀一十六万三千七百七十一为闰泛骨置日法以二百归除之得八十四半为半刻法次以入闰数内减去闰泛骨与入闰相课减之馀三十一万四百八十九〈此是闰赢〉为差半刻法以上乃以闰泛骨并朔率共得六十六万二千八百三十八以入闰四十七万四千二百六十减之馀一十八万八千五百七十八在朔率下便为闰缩次以纪䇿六十乘日法得一百一万四千为纪率以等数五十二归除纪率得一万九千五百〈按即六十乘三百二十五之数为一蔀年数〉为气元率以气元率乘岁闰一十八万三千八百四得三十五亿八千四百一十七万八千满朔率去之不满三十七万七千八百七十三为元闰次置一亿〈按此数似虗设不过取一亿之数为限耳此所求过限又将改率数以迁就之矣〉以入元岁元千一百八十减之馀九千九百九十九万八百二十为实以元率一万九千五百为法除之得五千一二十七为乘元限数乃以元闰三十七万七千八百七十三馀与朔率四十九万九千六十七用大衍术求之得等数一因等四十五万七千九百九十九蔀数四十九万九千六十七然后以等数一约闰缩只得一十八万八千五百七十八以因数四十五万七千九百九十九乘之得八百六十三亿六千八百五十三万五千四百二十二满蔀数四十九万九千六百七十去之不满四百二在乘元限数以下为可用以乘元率一万九千五百得七百八十三万九千年为数积年并入元岁九千一百八十共得七百八十四万八千一百八十为嘉泰四年甲子岁积算本历系于丁卯岁进呈又加丁卯三年共为七百八十四万八千一百八十三年为本历积年合具绘图如后
　　按此术草内奇定相求有等数又有因数蔀数之异盖等数即度尽定奇两数之数因数为奇数之倍数任倍定奇二数相较但得一等数则奇之倍数即为因数蔀数者奇数最大之倍数也任倍奇定至两边相等无较数则奇数之倍数即谓之蔀数也等数甚小者因数不患其甚大有蔀数以限之也草中尚多讹舛正之于后






　　按此题术草皆曰何承天调日法而宋书所载何承天法并无甚率且各用数亦与此不同今细按其草日法已有定数所调者朔䇿馀分也然从来朔䇿馀分皆以实测之朔䇿分岁实分两母子互乘相通即得并无所谓调法今所载强弱母子四数大约已有朔䇿馀分与日法分相约而得非别有所本乃故设曲折以为奇也试以朔馀分八千九百六十七分为第一条置日法分内减朔䇿馀分馀七千九百三十三为第二条以此二数数取之先置第一条减第二条馀一千零三十四为第三条七因第三条以减第二条馀六百九十五为第四条以第四条减第三条馀三百三十九为第五条二因第五
　　条以减第四条馀一十七为
　　第六条是第五条即强母数
　　第六条即弱母数矣次用第
　　五条第六条转求第一条以
　　取两子数置第六条于上二
　　因第五条加之得第五条者
　　二第六条者一共六百九十
　　五为第四条以第四条加第
　　五条得第五条者三第六条
　　者一共一千零三十四为第
　　三条七因第三条以加第四
　　条得第五条者二十三第六
　　条者八共七千九百三十三
　　为第二条以第二条加第三
　　条得第五条者二十六第六条者九共八千九百六十七为第一条是第五条倍数即强子数第六条倍数即弱子数矣至算式中以日法取强母数者则又以第五条第六条再约而得者如以第五条为实第六条为法为法商之初商得十以法乘初商得一百七十为初商积减实馀一百六十九恰与百分日法分之一等故百除日法分为一数又三乘之得五百零七为实以四十九为法初商得十初商积为四百九十减实馀十七乃以商十乘十七得一百七十与前初商积等故加与前馀积等之百分日法分之一得三百三十九为五条之数名之曰强数也
　　次以日法乘朔䇿日得数并朔馀为朔率





　　斗分见偶则弃见奇则收为偶
　　按此系弃分以下数不用也分为偶数即用其数分为奇数则杪微进一分并为偶数如无杪微即加一分
　　又按算中用数以日法分一万六千九百分为主斗分定为四千一百零八为偶数气骨分亦定为偶数其各时刻分皆由日分比例而得故变时刻分为日分求之无不合
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>
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　　按求入元岁法用斗分与日法分求等率乘率盖以六十年之岁实积分与纪法分相约后以六十除纪法分得日法分为定以六十除岁实积分得斗分为奇求得蔀数乘数皆与六十年之岁实积分与纪法分所求者同惟等数则为六十之一故以六十乘之为乘分以约气骨分然后以乘数乘之满蔀数去之所得用数为六十年之周数故以六十乘之始为年数此立法之意也然以六十年为周数则六十年之间其气骨数有合者则不可得故所得年数较以岁实分纪分相求者为远也





<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>
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　　按气元一万九千五百乃前蔀数三百二十五以六十乘之之数盖求入元岁用六十倍者故此仍用六十倍也
　　又按此皆用六十年岁实分求得之数与用一岁实分求得之数同盖因积年数为六十度尽之数若非六十度尽之数则得数必远也今依其数另设一题以明其法
　　设宋开禧历日法一万六千九百分岁实分六百一十七万二千六百零八法纪率分一百零一万四千分朔率分四十九万九千零六十七分嘉泰甲子岁天正冬至距甲子日子正后十九万三千四百四十分〈古名气骨〉十一月朔距甲子日子正后二万九千六百六十九分〈古名朔骨〉问距历元甲子子正初刻冬至朔之积年几何
　　答曰七百八十四万八千一百八十年
　　法以纪率为纪定纪率除岁率〈即岁实分〉馀八万八千六百零八分为纪奇依大衍术求至奇一百零三馀分六百二十四馀分可以度尽上数则命六百二十四为等数一百零三为乘数又求得奇一千六百二十五无馀分则命一千六百二十五为蔀数乃以等数约气骨分得三百一十以乘数乘之得三万一千九百三十满蔀数去之馀一千零五十五即专以气骨分求得距历年之积年数也旧法以斗分〈岁馀分四千一百零八〉为奇日法为定求得等数一纪法六十乘之以约气骨得数以乘数乘之蔀数除之馀数又以六千乘之为积年名入元岁其术未密〈详前〉故所得积年为九千一百八十其数亦较远也






　　次以蔀数〈即岁实纪法满一会年数〉乘岁率得一百亿三千四十八万八千满朔率去之馀二十三万九千四百三十四旧名气元闰为朔奇朔率为朔定依前法求得等数一乘数六千二百五十一蔀率四十九万九千零六十七次以前所得积年乘岁率满朔率去之馀二十七万五千二百二十四为前朔距至前分数旧名入元闰以嘉泰甲子气骨朔骨相减得十六万三千七百七十一为后朔距至前分数旧名闰骨夫十一月朔常在冬至前退行今前远后近是已退过一朔䇿则于后闰骨内加一朔䇿再减去入元闰馀三十八万七千六百一十四为后朔前朔相差之分数旧名闰缩乃以等数约闰缩仍得原数以乘数乘之满蔀数去之馀四千八百二十九为会数乃以一会年数〈即前蔀数〉乘之得七百八十四万七千一百二十五为朔积年加入前积年得七百八十四万八千一百八十为嘉泰甲子积年













　　又法仍按本法求之先以岁率纪率朔率求总等朔率不尽无总等各率朔即为各元数次连环求等朔元不尽岁元等数等数为六百二十四留岁元不约约纪元得一千六百二十五分为纪泛定岁元朔元即为岁泛定朔泛定次求续等纪泛定岁泛定等数为十三约岁泛定乘纪泛定得四十七万四千八百一十六为岁定二万一千一百二十五为纪定朔泛定即朔定三定数连乘得五○○五八八五五五四六九六○○○为衍母纪定朔定相乘得八一○九八三八七五为岁衍岁定
　　朔定相乘得二三六九六四
　　九九六六七二为纪衍岁定
　　纪定相乘得一○○三○四
　　八八○○○为朔衍置各衍
　　数满各定数去之馀岁奇四
　　七二九六三纪奇二○○四
　　七朔奇二三九四三四次以
　　各定各奇求各乘数得岁乘
　　数〈此题不用岁乘数求之以备其数〉二四九
　　六七纪乘数二○○○八
　　朔乘数六二五一以各乘数
　　乘各衍数得各泛用数岁泛
　　用二○一九八九三二○七
　　九四六二五纪泛用四七四
　　一一九五六五四四一三三
　　七六朔泛用六二七○○五
　　八　四八八○○○并三泛用与衍母数等则泛用即为定用乃以气骨乘纪定用得九一七一三六八八七一九六二八三四五五三四四○置气骨减去朔骨馀十六万三千七百七十一以乘朔定用得一○二六八五三六七六七一○○二四八○○○并数得九二七四○五四二三九六三三八三七○一四四○满衍母去之馀四八四四三七三八六五三四四○为实以岁实分为法除之得七百八十四万八千一百八十即嘉泰甲子积年之数也此法较前法数繁然其理可互相发明后复设一法兼二法用之
　　三法先以岁率纪率求等数得六百二十四专约纪率得一六二五分为纪元岁率即为岁元又求续等数得十三以约岁元得四七四八一六为岁定以乘纪元得二一一二五为纪定纪定岁定相乘得一○○三○四八八○○○为衍母以纪定二一
　　一二五为岁衍以岁定四七
　　四八一六为纪衍岁衍小于
　　岁定即为岁奇纪衍满纪定
　　去之馀一○○六六为纪奇
　　次以各定各奇求各乘数得
　　岁乘数二五四八六一纪乘
　　数九七八六以各乘数乘各
　　衍数得各用数岁用数五三
　　八三九三八六二五纪用数
　　四六四六五四九三七六乃
　　以气骨乘纪用数得八九八
　　八二八五一一二九三四四
　　○满衍母去之馀六五一二
　　一○一四四○为通积分为
　　实以岁实分为法除之得一
　　千零五十五即专以气骨求
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　　次以前衍母分〈即岁率纪率一会一千六百二十五年之积分〉一○○三○四八八○○○与朔率分求等数得一即以前衍衍母分为岁纪元亦即为岁纪定以朔率分四九九○六七为朔元亦即为朔定二定数相乘得五○○
　　五八八五五五四六九六○○
　　○为衍母以朔定为岁纪衍以
　　岁纪定为朔衍岁纪衍小于岁
　　纪定即以岁纪衍为岁纪奇明
　　衍满朔定去之馀二三九四
　　三四为朔奇各以定奇求乘
　　数得岁纪乘数九九○四八
　　五二四○三朔乘数六二五
　　一以各乘数乘各衍数得岁
　　纪泛用数四九四三一八四
　　九七四二○八○○一朔泛
　　用数六二七○○五八○四
　　八八○○○并二泛数与衍
　　母等则泛用数即为定用数
　　乃置前通积分六五一二一
　　○一四四○满朔率去之馀
　　二七五二二四为入元第一
　　千零五十五年之闰分又置
　　嘉泰甲子气骨减去朔骨馀
　　一六三七七一为嘉泰甲子
　　之闰分闰分每岁渐加今后数小于前数是知已加过一朔率乃于后闰分内加一朔率分减去前闰分得三八七六一四为前后闰分差以乘朔定用数得二四三○三六二二八○五二七五六三二○○○满衍母去之馀四八四三七二二六五五二○○○为实以岁率为法收之得七百八十四万七千一百二十五为后积年数并前积年数共得七百八十四万八千一百八十年为嘉泰甲子积年与前数合























　　按右奇定相求其上层奇一数即大衍术中所谓立天元一也其逐层数即术中所谓递互乘馀也其下层奇得数即术中所谓乘数也〈有等数者求蔀数〉古无笔算旧式所载不详兼多重舛伪之处集中惟此问甚繁故既设题以明其法复备录加减乘除之数以详其算式俾观者易见焉
　　缀术推星
　　问岁星合伏经一十六日九十分行三度九十分去曰一十三度乃见后顺行一百一十三日一十十七度八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率末行率平行率各几何
　　按此以两积曰之递差积度求各行率也盖合伏初日其行最疾以次渐迟迟极则留总其积度略如递减差分故古法皆以其术步之
　　答曰合伏一十六日九十分　常度三度九十度初行率二十三分九十七杪　平行率二十三分二杪　末行率二十二分七杪
　　晨疾初三十日　常度六度一十三分　初行率二十一分九十六杪　平行率二十分三十三杪　末行率一十八分七十杪
　　术曰以方程法求之置见日减一馀半之为见率以伏日并见日为初行法以法半之如见率共为伏率以伏日乘伏率为伏差以见日乘见率为见差以伏日乘见差于上以见日乘伏差减上馀为法以见日乘伏度为泛以伏日乘见度减泛馀为实实满法而一为度不满退除为分杪即得日差
　　按此求逐日之递差为日差也术曰方程非也其所谓见数者乃徒设一数宛转附会使合于方程之行列也如　见日减一折半为见率并伏见日折半为半总日既以半总日加见率先以伏日乘之后以见日乘之复置见率先以见日乘之后以复日乘之相减然后为法岂非半总日不用加见率但以伏日见日连乘之即可为法乎特多立名目故为曲折颠倒使人不易办耳今去其见率另为步算于后以明其立法之本意焉
　　法以合伏日除伏行度得二十三分　〈七六九二三〉为合伏日折中第八日四十五分一日之行度〈即第七日九十五分至第八日九十五分之行度〉以顺行日除顺行度得十五分〈七七八七六一〉为顺行日折中第五十六日五十分一日之行度两一日之行度相减行七分〈一九八一六二〉为合伏第八日四十五分与顺行第五十六日五十分两一日之行度较为实并合伏顺行两日数而半之得六十四日〈九五〉为合伏第八日四十五分至顺行五十六日五十分之积日为法除之得十一杪〈二三六五八五〉为一日递差之数即日差若不先用除则以两日数与两行度互乘相减为实两日数相乘又并两日数而半之再乘为法得数亦同
　　求初行率置初法减一馀乘日差为寄以半初行法乘寄得数又加伏见度共为初行实以法退除之得合伏日初行率
　　按此求合伏第一日最疾之行也其法即递减差分有总数有次数有毎次差数求初次最大之数也初行法减一乘日差为寄者合伏初日与顺行末日两行率之差也半法乘寄与积差等故加共度为实以共日为法除之为合伏初日行率二十三分九十七杪也
　　求未行率以段日乘日差减初行率馀为末行率按此求合伏末日之行率也以段日乘日差求合伏初末日两行率之较也既得初末日两行率之较以减初行率即末行率也
　　求平行率以初行率并未行率而半之为平行率按此即均分合伏度为毎日之平行率也与递加递减有首尾数求中数者同应与伏日除伏度数同不同者本非递差之数也
　　求交段差以各段常日下分数减全日一百分馀乘末日行率为交段差
　　按此即各段日下分数不及一日所差之行分也求之以备后数加减
　　累减前段积度以益后段积度各为常度
　　按常度即各段积度也求晨疾初段常度见常中专解于后
　　草曰以伏日随伏度为右行以见日随见度为左行以度对度日对日其度于上日于中空其下列之





　　置见日一百一十三减一馀一百一十二以半之得五十六为见率以伏日一十六日九十分并见日一百一十三得一百二十九日九十分为初行法





　　以初行法半之得六十四日九十五分并见率五十六日得一百二十日九十五分为伏率以初行法寄之以伏率归右下以对见率仍分左右两行为首图





　　以首图伏日一十六日九十分乘伏率一百二十日九十五分得二千四十四日五分五十杪为伏差于右下以首图见日一百一十三乘见率五十六得六十三百二十八日为见差于左下乃成次图　凡方程之术先欲得者存之以未欲得者互偏乘两行诸数今验此图先欲得日差故存其左右之上下以左右之中伏见日数互偏乘两行乃以次图右中伏日一十六日九十分先偏乘左行毕左上得三百一度三十二分七十杪左中得一千九百九日七十分左下得一十万六千九百四十三日二十分又以次图左中见日一百一十三偏乘右行毕右上得四百四十日七十分右中亦得一千九百九日七十分右下得二十三万九百七十八日二十一分五十杪










　　以两行　得变名泛积法而成才图乃验才图左上下皆少用减右行毕行上馀一百三十九度三十七分三十杪为日差实右中空右下得一十二万四千三十五日一分五十杪为日差法今维图法多实少除得空度空分十一杪二十三小分六十五小杪不尽十杪五十五小分三十九小杪五十二微分五十微杪收为一小杪为日定差一十一杪二十三小分六十六小秒







　　既得日差乃行初行率置法图内初行法一百二十九日九十分内减去一日馀一百二十八日九十分乘日差一十一杪二十三小分六十六小杪得空度一十四分四十八杪三十九小分七十七小杪四十微分为寄次置〈按此下脱三十一字应作次置寄以半法乘之得九度四十分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微杪〉



　　以得数加伏度三度九十分见度一十七度八十三分共得三十一度一十三分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微分为初行实如初行法一百二十九日九十分而一乃行空度二十三分九十七杪为伏合初日行率馀三杪一十三分分三十二小杪一十三微分弃之



　　求末行率置合伏段日数一十六日九十分乘日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一分八十九杪八十九小分八十五小杪四十微分为得数乃以得数减初行率二十三分九十七杪馀二十二分七杪一十小分一十四小杪六十微分为合伏末日行



　　求平行率置初行率二十三分九十七杪并末行率二十三分七杪得四十六分四杪以半之得二十三分二杪为平行率



　　求交段差置合伏日下减全日一百分馀一十分乘末行率二十二分七杪得二分二十杪七十小分为交段差


　　求晨疾初段常度置合伏日一十六日九十分乃收九十分作一日通为一十七日并旧历所注晨疾初段常日三十得四十七为共日乘合伏初行率二十三分九十七杪得一十一度二十六分五十九杪为寄上
　　按此有第一日行度有逐日递减之差有前后各段日数有前段积度求后段积也先以共日乘初行率者以最疾为率之共积也下求递差以减之故为寄


　　乃副置共日四十七减一馀四十六以半之得二十三乘副四十七得一千八十一以乘日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一度二十一分四十六杪七十六小分四十六小杪以减上寄一十一度一十六分五十九杪馀一十度五分一十二杪二十三小分五十四小杪为合伏晨疾初两段共积度按此乃求积差以减上数得共日之积庆也法应于共日内减一日以乘日差得数为共日数初末日行率之较再以共日数乘之得数折半为积差此先折半次连乘得积差其理亦同
　　置共积内减合伏三度九十分馀六度一十五分一十二杪二十三小分五十四小杪为泛次以交段差二分二十杪七十小分减泛馀六度一十二分九十一杪五十三小分五十四小杪为晨疾初段常度注历乃收八杪五〈按应作四〉十六小分四十六小杪为全分常定度
　　按此于共积内减去合伏段积尚有合伏九十分不及一日所差之行分即交段差未减故为泛数再减交段差为晨疾初段常泛度再收为六度十三分始为定常度也














　　求晨疾初段初行率以日差一十一杪二十三小分六十六小杪减合伏末行率二十二分七杪馀二十一分九十六杪为晨疾初段初行率行泛收之为定者也
　　按此以合伏末日之次日为晨疾初段之初日也故置合伏之末行率减一日之差即为晨疾初段之初行率五杪馀收为六杪凡寄零未收名泛数已收名定数下仿此




　　求晨疾初末行率置晨疾初常日三十减一馀二十九日乘日差一十一杪二十三小分六十六十小杪得三分二十五杪八十六小分一十四小杪以减晨疾初段初行率泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪馀一十八分六十九杪九十小分二十小杪为晨疾初末行率
　　按此求晨疾初段末日之行率也常日减一日乘日差得数为晨疾初段初末二日行率之较也故减初行率得末行率








　　求平行率以晨疾初初行泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪并晨疾初末泛一十八分六十九杪九十小分二十小分得四十分六十五杪六十六小分五十四小杪以半之得二十分三十二杪八十三小分二十七小杪为晨疾初平行泛乃以三泛收弃为之定











　　按此与求合伏平行率同其言泛弃为定者盖截去杪下奇零过半则收为一杪也然语意欠明
　　又按五星行度迟疾差回非递加递减之数术中仅以合伏与顺见二段各取中数至推遂日行度仍用递加递减之法故古法之疏五星尤甚原文语多隐晦令悉为解之可以见古今疏密之所在焉









　　数学九章卷二上
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>