数学九章 (四库全书本)/卷9下

数学九章　卷九下

　　钦定四库全书
　　数学九章卷九下　　　　宋　秦九韶　撰市易
　　推求典本
　　问典库今年二月二十九日有人取觧一号主家听得当事共筭本息一百六十贯八百三十二文称系前岁头腊月半觧去月息二分二釐欲知原本几何答曰本一百二十贯文
　　术曰以粟米求之置积日乘息分数增三百为法以三百乘共钱为寔寔如法而一得本
　　草曰置前年头腊月半系四十五日并去年三百六十又加今年五十九日共得四百六十四日为积日乘息二分二釐得一百二十文八釐增三百文得四百二文八釐为法以三百文乘共钱一百六十贯八百三十二文得四万八千二百四十九贯六百文为寔如法而一得一百二十贯文为原本
　　按题意谓前年十一月半典钱去年未取今年二月二十九日取去按日计利共合本息钱一十六千八百三十二文月息每千二十二文问本钱若干法当以积日乘息二十二文以三十日除之得一千文之共息加一千文为一千文之本息共数然后置今本息共数以一千乘之一千之本息共数除之即得今本钱数草中以十文为本以二分二厘为息不以三十除之为共息而以三十乘十文得三百为本其理一也







<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下>
　　推知籴数
　　问和籴三百万贯求石数闻每石牙钱三十文籴埸量米折支牙人所得毎石出牵钱八百牙人量米四石六斗八合折与牵头欲知米数石价牙钱米牵钱各几何
　　按题意买米共用钱三十亿每石牙钱三十文共牙钱折米给之共折米每石牵钱八百文共牵钱牙人又折米四石六斗零八合给之求各数
　　答曰籴到米一十二万石　石价二十五贯文牙钱三千六百贯文　折米一百四十四石牵钱一百一十五贯二百文
　　术曰以商功求之率变入之置籴本牙钱牵钱相乘为寔以牵米为隅开连枝立方得石价以价除本得籴到米以牙钱乘米得縂牙钱以价除之得牙米以牵钱乘牙米得共牵钱
　　草曰置籴本三百万贯乘牙钱三十文得九千万贯文乘牵钱八百文得七百二十亿万贯〈按七百二十亿贯万字误后馀寔内万字同此〉为价寔置牵米四石六斗八合于寔数零文之下为立方从隅起步步法常超二位每超一度商进之今隅凡超四度当于寔上约定首商二十贯乃以商生隅超四石六斗八合得九十二贯一百六十文乃以为廉又以商生廉得一百八十四万三千二百贯为方乃以方命上商二十贯除寔讫寔馀三百五十一亿三千六百万贯复以商生隅四石六斗八合入廉得一百八十四贯三百二十文又以商生廉加入方内得五百五十二万九千六百贯为方法复以商又生隅四石六斗八合加入廉得二百七十六贯四百八十文为廉法其方法一退廉法二退从隅三退乃于首商之次约寔续商五贯以续商生隅四石六斗八合入廉得二百九十九贯五百二十文又以续商生廉入方得七百二万七千二百贯乃命续商五贯除寔适尽所得二十五贯为毎石米价以为法以籴本三百万贯为寔寔如法而一得一十二万石为籴到米数以米数乘牙钱三十得三千六百贯为牙钱以石价二十五贯除牙钱三千六百贯文得一百四十四石为籴埸量米折牙钱以牵钱八百乘牙米一百四十四石得一百一十五贯二百文为牵头得牙人所与牵钱之数以石价二十五贯文约牵钱一百一十五贯二百文得四石六斗八合为牵米折钱合问
　　按此术之意以立天元一觧之法立天元一为米每石之价以折牵米四石六斗零八合乘之得四元〈六○八〉为共牵钱应以每石牵钱八百除之寄分母代除得八百分元之四分〈六○八〉为共折给牙人米数又以天元一乘之得八百分平方之四分〈六○八〉为共牙钱应以每石牙钱三十除之寄分母代除得三十分又八百分平方之四分〈六○八〉为共米数又以天元一乘之得三十分又八百分立方之四分〈六○八〉为共米价与三百万贯相等两边各以三十乘之又以八百乘之得四立方〈六○八〉与七百二十亿贯等以立方数除两边得一立方与一百五十六亿二千五百万贯等置贯数为寔开立方得二十五贯为米每石价数草中不除开连枝立方为除之不能尽者便于用也








<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷九下>
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　　累收库本
　　问有库本钱五十万贯月息六厘半今令掌事每月带本约息共还一十万欲知几何月而纳足并末复畸钱多少
　　答曰本息纳足共七个月末后一月畸钱二万四千七百六贯二百七十九文三分四厘八毫四丝六忽七微七沙三莽一轻二清五烟
　　术曰以盈朏变法求之置原本以息数退位乘归本位每出共纳累得月数以末后不及数为足月钱数草曰置本五十万贯以六釐五毫乘之入共本内得五十三万二千五百贯文内减初月一十万馀四十三万二千五百贯文又以六釐五毫乘之馀本内得四十六万六百一十二贯五百文又减次月一十万贯馀三十六万六百一十二贯五百文又以六釐五毫乘之入馀本内得三十八万四千五十二贯三百一十二文五分又减第三月钱一十万贯文馀二十八万四千五十二贯三百一十二文五分又以六釐五毫乘之得三十万二千五百一十五贯七百一十二文八分一厘二毫五丝内减第四月钱一十万贯馀二十万二千五百一十五贯七百一十二文二分一厘二毫五丝又以六釐五毫乘之入馀本内得二十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四釐五毫三丝一忽二微五尘内减第五月钱一十万贯馀一十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四釐五毫三丝一忽二微五尘又以六釐五毫乘之入馀本内得一十二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六釐四毫七丝五忽七微八尘一沙二𣺌五莾减第六月钱一十万贯馀二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六釐四毫七丝五忽七微八尘一沙二𣺌五莾又以六釐五毫乘之入馀本内得二万四千七百六贯二百七十九文三分四釐八毫四丝六忽七微无尘七沙无𣺌三莾一轻二清五烟为第七月纳足本息畸钱
　　均货推本
　　问海舶赴务抽毕除纳主家货物外有沉香五千八十八两胡椒一万四百三十包〈包四十觔〉象牙二百一十二合〈以大小为合觔两俱等〉系甲乙丙丁四人合本博到縁昨来凑本互有假借甲分到官供称甲本金二百两盐四袋钞一十道乙本银八百两盐三袋钞八十八道丙本银一千六百七十两度蝶一十五道丁本度蝶五十二道金五十八两八铢已上共估值四十二万四千贯甲借乙钞乙借丙银丙借丁度蝶丁借甲金今合拨各借物归原主名下为率均分上件货物欲知金银袋盐度牒原价及四人各合得香椒牙几何按题意谓甲金乙盐丙银丁牒原本不同互借为同本买得香椒牙三色今有互借各物及同本贯数求原本以分所买之物盖方程而廉衰分之法也甲乙二条内盐钞二色寔即一色先言盐袋数乃一钞之数以钞数乘之始为盐数是钞数既赘又不明言其故皆故为隐晦也
　　答曰甲金每两四百八十贯文本一十二万四十贯文　合得沉香一千四百八十八两胡椒三千五十包一十一觔五两五十三分两之七象牙六十二合
　　乙盐每袋二百五十贯文本七万六千贯文合得沉香九百一十二两胡椒一千八百
　　六十九包二十一觔二两五十三分两之六象牙三十八合
　　丙银每两五十贯文本一十二万三千五百贯文　合得沉香一千四百八十二两胡椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三象牙六十一合四分合之三丁度牒每道一千五百贯文本一十万五百贯文　合得沉香一千二百六两胡椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之十七象牙五十合分合之一
　　术曰以方程求之衰分入之正负入之置共钱以人数约之得数列入人数各为行积次置诸色各物数为叚子对本色有分者通之可约者约之为定率以第一行为右以第二行为副以第三行为次第四行为左每以下位互遍乘之每验其积以少减多如同名相减异名相加正无人负之负无人正之如同名相加异名相减正无人正之负无人负之得一叚为法以馀积为寔除之各得诸价以诸价列右行以各物数列左行以两行对乘各得本率以诸色求等约之得列衰并诸衰为总法以列衰遍乘各物诸数各为寔诸寔并如总法而一各得其物除不尽者以觔两通而除之或又分母命之
　　草曰置估值四十二万四千贯以四人约之得一十万六千贯为各积以人数列四位次置甲金二百两于右上以四袋乘钞一十道得四十袋〈按此条以四袋为一钞相乘为塩数是二色止为一色不如即用塩为正〉　于右副为右行次置乙钞八十八道以三袋乘之得盐二百六十四袋〈按此条以三袋为一钞〉及银八百两为副行次置丙银一千六百七十两度牒一十五道为次行次置丁度牒五十二道金五十八两八铢为左行验得首图左行上叚金带八铢是三分两之一乃以分母遍乘左行诸数只以分子一内入左上金内其左积得三十一万八千贯左金得一百七十五两左度牒得一百五十六道为次图验次图四行皆可求等右行求得四十约之副行求得八约之次行求得五约之左行求得一约之各得数为定
　　率图











　　定率图右积得二千六百五十贯金五两盐一袋副积得一万三千二百五十贯盐三十三袋银一百两次积得二万一千二百贯银三百三十四两度牒三道左积得三十一万八千贯金一百七十五两度牒一百五十六道乃以定图次行度牒三因左行左积得九十五万四千贯金五百二十五两度牒四百六十八道次以定图左下度牒一百五十六乘次行积得三百三十万七千二百贯银五万二千一百四两〈按此下落度牒四百六十八道八字〉
　　定率图　　　　　　维图








　　乃验维图左及次行之下度牒等当相减之以积为端当以左之少积减次之多积按术曰同名相减其次行之金空而左行之金五百二十五两有为正次空为无按术曰正无人负之即以左行之金正加入次行金位为负名成音图仍置定图左行诸数乃验音图次行积得二百三十五万三千二百贯正金五百二十五两负银五万二千一百四两为正馀三行皆正
　　音图　　　　　　　　　驳图









　　今验音次行之负金当以右行之正金补之而其数不等先以右金五约次金五百二十五得一百五以乘音图右行毕其右积得二十七万八千二百五十贯金二百五十五两正盐一百五袋正其副次左三行如音图故乃成爻图今视爻图右行之金正与次行之金负适等即用右行直加次行按术以同名相加乃以右之金正减其次之金负为空按术以异名相减之其次盐空为无人按术以正无人正之乃以爻图右积二十七万八千二百五十贯加次积二百三十五万三千二百贯内得二百六十三万一千四百五十贯其次金空次盐一百五袋正次银五万二千一百四两正仍置定图右行数而成政图
　　政图　　　　　　　　卜图







　　今视政图从者乃择其诸行本色可求等首金可盐亦可盖金多盐少乃以政图副次两行盐数三十三与一百五求等得三故以三约三十三得一十一以乘次行又以三约一百五得三十五以乘副行毕其副积得四十六万三千七百五十贯盐一千一百五十五袋银三千五百两次积二千八百九十四万五千九百五十贯盐一千一百五十五袋银五十七万三千一百四十四两皆正列成卜图
　　宫图







　　及视上图副行积少次行积多即以副行求减次行皆是同名相减之既毕仍置定图副行数其次行乃得积二千八百四十八万二千二百贯银得五十六万九千六百四十四两列为宫图验宫图次行下只有银五十六万九千六百四十四两独一数以为法以次积二千八百四十八万二千二百贯为寔寔如法而一得五十贯为银一两价而成千图
　　千图








　　乃以千图副行银一百两乘两价五十贯得五千贯以减千图副行之积一万三千二百五十贯讫副积馀八千二百五十贯其下盐得三十三袋银空而成曜图
　　曜图　　　　　　　　支图









　　乃以曜图副行之积八千二百五十贯为盐寔以其下盐三十三袋为法除之得二百五十贯为盐一袋价而成支图乃以支图右行盐一袋遍乘副行毕其副积只得二百五十贯次以副行直减右行毕右积馀二千四百贯金五两盐空而成闰图　乃以闰图右积二千四百贯为寔金五两为法除之得四百八十贯为金一两价成定图次以左金一百七十五两遍乘右行直减左行讫左积得二十三万四千贯度牒一百五十六道左金空而成定图
　　闰图　　　　　　　　定图








　　今验定图左积二十三万四十贯为寔以左下度牒一百五十六道为法除之得一千五百贯为度牒一道价而成终图既得金银每两钞盐每袋度牒每各色之价次列甲乙丙丁四人乘之
　　终图









　　后以首图右金二百两并左金五十八两八铢得二百五十八两以八铢为三分两之一通分内子得七百七十五于左甲其右价四百八十贯乃以左甲母三约之为一百六十贯于左甲次以右盐四千袋并副盐二百六十四袋得三百四袋于左乙以盐价二百五十贯于右乙次以副银八百两并银一千六百七十两得二千四百七十两于左丙以银价五十贯于右丙又以次行度牒一十五道并左度牒五十二道得六十七道于左丁以度牒价一千五百贯于右丁两行对乘之




　　以右甲一百六十乘左甲七百七十五两得一十二万四千贯为甲原本以右乙二百五十贯乘左乙三百四袋得七万六千贯为乙原本以右丙五十贯乘左丙二千四百七十两得一十二万三千五百贯为丙原本以右丁一千五百贯乘左丁六十七道得一十万五百贯为丁原本列四人各得原本求等得五百贯皆以五百贯为法除之甲行二百四十八乙得一百五十二丙得二百四十七丁得二百一各为列衰于右行并右行列衰得八百四十八为总法次置到沉香五千八十八两遍乘列衰各为沉香寔次置胡椒一万四百三十包亦遍乘列衰为椒寔次置象牙四百二十四条以大小各半之得二百一十二合亦遍乘列衰为牙寔



　　甲得一百二十六万一千八百二十四乙得七十七万三千三百七十六丙得一百二十五万六千七百二十六丁得一百二万三千六百八十八各为沉香寔以总法八百四十八除之甲得沉香一千四百八十八两乙得沉香九百一十二两丙得沉香一千四百八十二两丁得沉香一千二百六两


　　甲得二百五十八万六千六百四十乙得一百五十八万五千三百六十丙得二百五十七万六千二百一十丁得二百九万六千四百三十各为椒寔以总法八百四十八除之甲得三千五十包不尽二百四十包以包率四十觔乘之得九千六百觔又以法除之得一十一觔不尽二百七十二觔以十六两通之得四千三百五十二两又以法除之得五两不尽一百一十二求等得一十六约之得五十三分两之七约甲得椒三千五十包一十一觔五两五十三分两之七乙得一千八百六十九包不尽四百四十八包以四十觔乘之得一万七千九百二十又以法除之得二十一觔不尽一百一十二觔以十六两通之得一千七百九十二两又以法除得二两不尽九十六两求等得十六约之得五十三分两之六为乙合得椒一千八百六十九包二十一觔二两五十三分两之六丙得三千三十七包不尽八百三十四以四十觔通之得三万三千三百六十觔又以法除之得三十九觔不尽二百八十八以十六两通之得四千六百八两又以法除之得五两不尽三百六十八两求等得十六约之得五十三分两之二十三为丙合得椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三丁得二千四百七十二包不尽一百七十四以四十觔通之得六千九百六十觔又以法除之得八觔不尽一百七十六以十六两通之得二千八百一十六又以法除之得三两不尽二百七十二求等得十六约之得五十三分两之一十七为丁合得椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之一十七


　　甲得五万二千五百七十六合乙得三万二千二百二十四合丙得五万二千三百六十四合丁得四万二千六百一十二合各为牙寔皆以总法八百四十八除之甲合得牙六十二合乙合得牙三十八合丙合得牙六十一合不尽六百三十六求等得二百一十二约之得四分合之三丁合得牙五十合不尽二百十二求等得二百一十二约之得四分合之一按此条于方程正负之用通分乘除之变多所发明步筭虽繁寔有条而不紊也
　　推求物价
　　问推货务三次支物凖钱各一百四十七万贯文先拨沉香三千五百裹玳瑁二千二百觔乳香三百七十五套次拨沉香二千九百七十裹玳瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一后拨沉香三千二百裹玳瑁一千五百觔乳香三千七百五十套欲求沉乳玳瑁裹觔套各价几何
　　答曰沉香每裹三百贯文　乳香毎套六十四贯文　玳瑁每斤一百八十贯文
　　术曰以方程求之正负入之列积及物数于下布行数各对本色有分者通之可约者约之为定率积列数每以下项互遍乘之毎视其积以少减多其下物数各随积正负之类如同名相减异名相加正无人负之负无人正之其如同名相加异名相减正无人正之负无人负之使其下项物数得一数者为法其积为寔寔如法而一所得不计遍损或益诸积各得法寔除之馀仿此草曰置凖钱一百四十七万贯为三次拨钱为三行积数次置先拨沉香三千五百里玳瑁二千二百觔乳香三百七十五觔为右行物数又列次拨沉香二千九百七十裹玳瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一为中行物次列沉香三千二百裹玳瑁一千五百觔乳香三千七百五十套为左行之物各以本色相对列之
　　率图　　　　　　　　　　　　定率图







　　其中行乳香有四分套之一便以母四通中行诸数只内子一入乳香叚内积得五百八十八万贯沉香得一万一千八百八十裹玳瑁得八千五百二十觔乳香得一万二千二百二十五套　以右行求等得二十五俱约之积得五万八千八百贯沉香得一百四十裹玳瑁得八十八觔乳香得一十五套以中行求等得一十五约之积得三十九万二千贯沉香得七百九十二裹玳瑁得五百六十八觔乳香得八百一十五套以左行求等得五约之积得二万九千四百贯沉香得六十四裹玳瑁得三十觔乳香得七十五套列为定率图三行副置求之今先欲去定图下位乳香套数一十五与左下七十五互乘左右两行右积得四百四十一万贯沉香一万五百裹玳瑁得六千六百觔乳香得一千一百二十五套左积得四十四万一千贯沉香得九百六十一裹玳瑁得四百五十觔乳香得一千一百二十五套验左积少右积多当以左行直减右行毕仍置定图左行数
　　维图〈按以上三图名旧本未载今依前题补之以便检阅〉






　　右积得三百九十六万九千贯沉香得九千五百四十裹玳瑁得六千一百五十觔次验中左两行各有下位叚又以左下七十五互乘中行乃以中行下八百一十五互乘左行毕中积得二千九百四十万贯沉香得五万九千四百裹玳瑁得四万二千六百觔乳香得六万一千一百二十五套左积得二千三百九十六万一千贯沉香得五万二千一百六十觔玳瑁得二万四千四百五十觔乳香得六万一千一百二十五套验左积少中积多以左行同名直减中行毕仍置定图左行数
　　卜图　　　　　宫图







　　中积得五百四十三万九千贯沉香得七千二百四十裹玳瑁得一万八千一百五十觔今验右中两行数多又求约之其右行求得三十约之右积得一十三万二千三百贯沉香得三百一十八裹玳瑁得二百五觔中行求得一十约之中积得五十四万三千九百贯沉香得七百二十四裹玳瑁得一千八百一一十五觔今又欲去中左行之玳瑁乃以中行玳瑁一千八百一十五互乘右行右积得二亿四千一十二万四千五百贯沉香得五十七万七千一百七十裹玳瑁得三十七万二千七十五套以卜右玳瑁二百五觔互乘中行中积一亿一千一百四十九万九千五百贯沉香得一十四万八千四百二十裹玳瑁得三十七万二千七十五觔今验宫右积多中积少乃以中行直减右行毕仍置卜图中行数
　　干图　　　　　　　　　　　支图






　　今验干图右行叚数只有沉香四十二万八千七百五十裹以为法以右上积一亿二千八百六十二万五千贯为寔寔如法而一得三百贯为沉香一裹价便以中行沉香七百二十四乘三百贯得二十一万七千二百贯减中行五十四万三千九百贯馀三十二万六千七百贯为中积便减去中行沉香叚之数次以左上沉香六十四乘三百贯得一万九千二百贯减左积二万九千四百贯馀一万二百贯为左积便减左上沉香裹数去之今验支图中行其下只有玳瑁一千八百一十五觔以为法中积三十二万六千七百贯为寔寔如法而一得一百八十贯为玳瑁价
　　闰图〈按此图旧本亦未载名今补〉





　　今验闰图左行有玳瑁三十觔以乘价一百八十贯得五千四百贯减左积一万二百贯馀四千八百贯为左积其下只有乳香七十五套以为法以积四千八百贯为寔寔如法而一得六十四贯为乳香套价此题并系俱正补草










　　数学九章卷九下