數學九章 (四庫全書本)/卷9下

數學九章　卷九下

　　欽定四庫全書
　　數學九章卷九下　　　　宋　秦九韶　撰市易
　　推求典本
　　問典庫今年二月二十九日有人取觧一號主家聽得當事共筭本息一百六十貫八百三十二文稱係前嵗頭臘月半觧去月息二分二釐欲知原本幾何答曰本一百二十貫文
　　術曰以粟米求之置積日乘息分數增三百為法以三百乘共錢為寔寔如法而一得本
　　草曰置前年頭臘月半係四十五日並去年三百六十又加今年五十九日共得四百六十四日為積日乘息二分二釐得一百二十文八釐增三百文得四百二文八釐為法以三百文乘共錢一百六十貫八百三十二文得四萬八千二百四十九貫六百文為寔如法而一得一百二十貫文為原本
　　按題意謂前年十一月半典錢去年未取今年二月二十九日取去按日計利共合本息錢一十六千八百三十二文月息每千二十二文問本錢若干法當以積日乗息二十二文以三十日除之得一千文之共息加一千文為一千文之本息共數然後置今本息共數以一千乗之一千之本息共數除之即得今本錢數草中以十文為本以二分二厘為息不以三十除之為共息而以三十乗十文得三百為本其理一也







<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷九下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷九下>
　　推知糴數
　　問和糴三百萬貫求石數聞每石牙錢三十文糴埸量米折支牙人所得毎石出牽錢八百牙人量米四石六斗八合折與牽頭欲知米數石價牙錢米牽錢各幾何
　　按題意買米共用錢三十億每石牙錢三十文共牙錢折米給之共折米每石牽錢八百文共牽錢牙人又折米四石六斗零八合給之求各數
　　答曰糴到米一十二萬石　石價二十五貫文牙錢三千六百貫文　折米一百四十四石牽錢一百一十五貫二百文
　　術曰以商功求之率變入之置糴本牙錢牽錢相乘為寔以牽米為隅開連枝立方得石價以價除本得糴到米以牙錢乘米得縂牙錢以價除之得牙米以牽錢乘牙米得共牽錢
　　草曰置糴本三百萬貫乘牙錢三十文得九千萬貫文乘牽錢八百文得七百二十億萬貫〈按七百二十億貫萬字誤後餘寔內萬字同此〉為價寔置牽米四石六斗八合於寔數零文之下為立方從隅起歩歩法常超二位每超一度商進之今隅凡超四度當於寔上約定首商二十貫乃以商生隅超四石六斗八合得九十二貫一百六十文乃以為亷又以商生亷得一百八十四萬三千二百貫為方乃以方命上商二十貫除寔訖寔餘三百五十一億三千六百萬貫復以商生隅四石六斗八合入亷得一百八十四貫三百二十文又以商生亷加入方內得五百五十二萬九千六百貫為方法復以商又生隅四石六斗八合加入亷得二百七十六貫四百八十文為亷法其方法一退亷法二退從隅三退乃於首商之次約寔續商五貫以續商生隅四石六斗八合入亷得二百九十九貫五百二十文又以續商生亷入方得七百二萬七千二百貫乃命續商五貫除寔適盡所得二十五貫為毎石米價以為法以糴本三百萬貫為寔寔如法而一得一十二萬石為糴到米數以米數乘牙錢三十得三千六百貫為牙錢以石價二十五貫除牙錢三千六百貫文得一百四十四石為糴埸量米折牙錢以牽錢八百乘牙米一百四十四石得一百一十五貫二百文為牽頭得牙人所與牽錢之數以石價二十五貫文約牽錢一百一十五貫二百文得四石六斗八合為牽米折錢合問
　　按此術之意以立天元一觧之法立天元一為米每石之價以折牽米四石六斗零八合乘之得四元〈六○八〉為共牽錢應以每石牽錢八百除之寄分母代除得八百分元之四分〈六○八〉為共折給牙人米數又以天元一乘之得八百分平方之四分〈六○八〉為共牙錢應以每石牙錢三十除之寄分母代除得三十分又八百分平方之四分〈六○八〉為共米數又以天元一乗之得三十分又八百分立方之四分〈六○八〉為共米價與三百萬貫相等兩邉各以三十乗之又以八百乗之得四立方〈六○八〉與七百二十億貫等以立方數除兩邉得一立方與一百五十六億二千五百萬貫等置貫數為寔開立方得二十五貫為米每石價數草中不除開連枝立方為除之不能盡者便於用也








<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷九下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷九下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷九下>
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　　累收庫本
　　問有庫本錢五十萬貫月息六厘半今令掌事每月帶本約息共還一十萬欲知幾何月而納足並末復畸錢多少
　　答曰本息納足共七箇月末後一月畸錢二萬四千七百六貫二百七十九文三分四厘八毫四絲六忽七微七沙三莽一輕二清五煙
　　術曰以盈朏變法求之置原本以息數退位乗歸本位每出共納累得月數以末後不及數為足月錢數草曰置本五十萬貫以六釐五毫乘之入共本內得五十三萬二千五百貫文內減初月一十萬餘四十三萬二千五百貫文又以六釐五毫乘之餘本內得四十六萬六百一十二貫五百文又減次月一十萬貫餘三十六萬六百一十二貫五百文又以六釐五毫乘之入餘本內得三十八萬四千五十二貫三百一十二文五分又減第三月錢一十萬貫文餘二十八萬四千五十二貫三百一十二文五分又以六釐五毫乘之得三十萬二千五百一十五貫七百一十二文八分一釐二毫五絲內減第四月錢一十萬貫餘二十萬二千五百一十五貫七百一十二文二分一釐二毫五絲又以六釐五毫乘之入餘本內得二十一萬五千六百七十九貫二百三十四文一分四釐五毫三絲一忽二微五塵內減第五月錢一十萬貫餘一十一萬五千六百七十九貫二百三十四文一分四釐五毫三絲一忽二微五塵又以六釐五毫乘之入餘本內得一十二萬三千一百九十八貫三百八十四文三分六釐四毫七絲五忽七微八塵一沙二𣺌五莾減第六月錢一十萬貫餘二萬三千一百九十八貫三百八十四文三分六釐四毫七絲五忽七微八塵一沙二𣺌五莾又以六釐五毫乘之入餘本內得二萬四千七百六貫二百七十九文三分四釐八毫四絲六忽七微無塵七沙無𣺌三莾一輕二清五煙為第七月納足本息畸錢
　　均貨推本
　　問海舶赴務抽畢除納主家貨物外有沉香五千八十八兩胡椒一萬四百三十包〈包四十觔〉象牙二百一十二合〈以大小為合觔兩俱等〉係甲乙丙丁四人合本博到縁昨來湊本互有假借甲分到官供稱甲本金二百兩鹽四袋鈔一十道乙本銀八百兩鹽三袋鈔八十八道丙本銀一千六百七十兩度蝶一十五道丁本度蝶五十二道金五十八兩八銖已上共估值四十二萬四千貫甲借乙鈔乙借丙銀丙借丁度蝶丁借甲金今合撥各借物歸原主名下為率均分上件貨物慾知金銀袋鹽度牒原價及四人各合得香椒牙幾何按題意謂甲金乙鹽丙銀丁牒原本不同互借為同本買得香椒牙三色今有互借各物及同本貫數求原本以分所買之物葢方程而亷衰分之法也甲乙二條內鹽鈔二色寔即一色先言鹽袋數乃一鈔之數以鈔數乘之始為鹽數是鈔數既贅又不明言其故皆故為隠晦也
　　答曰甲金每兩四百八十貫文本一十二萬四十貫文　合得沉香一千四百八十八兩胡椒三千五十包一十一觔五兩五十三分兩之七象牙六十二合
　　乙鹽每袋二百五十貫文本七萬六千貫文合得沉香九百一十二兩胡椒一千八百
　　六十九包二十一觔二兩五十三分兩之六象牙三十八合
　　丙銀每兩五十貫文本一十二萬三千五百貫文　合得沉香一千四百八十二兩胡椒三千三十七包三十九觔五兩五十三分兩之二十三象牙六十一合四分合之三丁度牒每道一千五百貫文本一十萬五百貫文　合得沉香一千二百六兩胡椒二千四百七十二包八觔三兩五十三分兩之十七象牙五十合分合之一
　　術曰以方程求之衰分入之正負入之置共錢以人數約之得數列入人數各為行積次置諸色各物數為叚子對本色有分者通之可約者約之為定率以第一行為右以第二行為副以第三行為次第四行為左每以下位互遍乘之每騐其積以少減多如同名相減異名相加正無人負之負無人正之如同名相加異名相減正無人正之負無人負之得一叚為法以餘積為寔除之各得諸價以諸價列右行以各物數列左行以兩行對乘各得本率以諸色求等約之得列衰併諸衰為總法以列衰遍乘各物諸數各為寔諸寔並如總法而一各得其物除不盡者以觔兩通而除之或又分母命之
　　草曰置估值四十二萬四千貫以四人約之得一十萬六千貫為各積以人數列四位次置甲金二百兩於右上以四袋乘鈔一十道得四十袋〈按此條以四袋為一鈔相乘為塩數是二色止為一色不如即用塩為正〉　於右副為右行次置乙鈔八十八道以三袋乘之得鹽二百六十四袋〈按此條以三袋為一鈔〉及銀八百兩為副行次置丙銀一千六百七十兩度牒一十五道為次行次置丁度牒五十二道金五十八兩八銖為左行驗得首圖左行上叚金帶八銖是三分兩之一乃以分母遍乘左行諸數只以分子一內入左上金內其左積得三十一萬八千貫左金得一百七十五兩左度牒得一百五十六道為次圖驗次圖四行皆可求等右行求得四十約之副行求得八約之次行求得五約之左行求得一約之各得數為定
　　率圖











　　定率圖右積得二千六百五十貫金五兩鹽一袋副積得一萬三千二百五十貫鹽三十三袋銀一百兩次積得二萬一千二百貫銀三百三十四兩度牒三道左積得三十一萬八千貫金一百七十五兩度牒一百五十六道乃以定圖次行度牒三因左行左積得九十五萬四千貫金五百二十五兩度牒四百六十八道次以定圖左下度牒一百五十六乗次行積得三百三十萬七千二百貫銀五萬二千一百四兩〈按此下落度牒四百六十八道八字〉
　　定率圖　　　　　　維圖








　　乃驗維圖左及次行之下度牒等當相減之以積為端當以左之少積減次之多積按術曰同名相減其次行之金空而左行之金五百二十五兩有為正次空為無按術曰正無人負之即以左行之金正加入次行金位為負名成音圖仍置定圖左行諸數乃驗音圖次行積得二百三十五萬三千二百貫正金五百二十五兩負銀五萬二千一百四兩為正餘三行皆正
　　音圖　　　　　　　　　駁圖









　　今驗音次行之負金當以右行之正金補之而其數不等先以右金五約次金五百二十五得一百五以乗音圖右行畢其右積得二十七萬八千二百五十貫金二百五十五兩正鹽一百五袋正其副次左三行如音圖故乃成爻圖今視爻圖右行之金正與次行之金負適等即用右行直加次行按術以同名相加乃以右之金正減其次之金負為空按術以異名相減之其次鹽空為無人按術以正無人正之乃以爻圖右積二十七萬八千二百五十貫加次積二百三十五萬三千二百貫內得二百六十三萬一千四百五十貫其次金空次鹽一百五袋正次銀五萬二千一百四兩正仍置定圖右行數而成政圖
　　政圖　　　　　　　　卜圖







　　今視政圖從者乃擇其諸行本色可求等首金可鹽亦可蓋金多鹽少乃以政圖副次兩行鹽數三十三與一百五求等得三故以三約三十三得一十一以乗次行又以三約一百五得三十五以乗副行畢其副積得四十六萬三千七百五十貫鹽一千一百五十五袋銀三千五百兩次積二千八百九十四萬五千九百五十貫鹽一千一百五十五袋銀五十七萬三千一百四十四兩皆正列成卜圖
　　宮圖







　　及視上圖副行積少次行積多即以副行求減次行皆是同名相減之既畢仍置定圖副行數其次行乃得積二千八百四十八萬二千二百貫銀得五十六萬九千六百四十四兩列為宮圖驗宮圖次行下只有銀五十六萬九千六百四十四兩獨一數以為法以次積二千八百四十八萬二千二百貫為寔寔如法而一得五十貫為銀一兩價而成千圖
　　千圖








　　乃以千圖副行銀一百兩乗兩價五十貫得五千貫以減千圖副行之積一萬三千二百五十貫訖副積餘八千二百五十貫其下鹽得三十三袋銀空而成曜圖
　　曜圖　　　　　　　　支圖









　　乃以曜圖副行之積八千二百五十貫為鹽寔以其下鹽三十三袋為法除之得二百五十貫為鹽一袋價而成支圖乃以支圖右行鹽一袋徧乗副行畢其副積只得二百五十貫次以副行直減右行畢右積餘二千四百貫金五兩鹽空而成閏圖　乃以閏圖右積二千四百貫為寔金五兩為法除之得四百八十貫為金一兩價成定圖次以左金一百七十五兩徧乗右行直減左行訖左積得二十三萬四千貫度牒一百五十六道左金空而成定圖
　　閏圖　　　　　　　　定圖








　　今驗定圖左積二十三萬四十貫為寔以左下度牒一百五十六道為法除之得一千五百貫為度牒一道價而成終圖既得金銀每兩鈔鹽每袋度牒每各色之價次列甲乙丙丁四人乗之
　　終圖









　　後以首圖右金二百兩併左金五十八兩八銖得二百五十八兩以八銖為三分兩之一通分內子得七百七十五於左甲其右價四百八十貫乃以左甲母三約之為一百六十貫於左甲次以右鹽四千袋併副鹽二百六十四袋得三百四袋於左乙以鹽價二百五十貫於右乙次以副銀八百兩併銀一千六百七十兩得二千四百七十兩於左丙以銀價五十貫於右丙又以次行度牒一十五道併左度牒五十二道得六十七道於左丁以度牒價一千五百貫於右丁兩行對乗之




　　以右甲一百六十乗左甲七百七十五兩得一十二萬四千貫為甲原本以右乙二百五十貫乗左乙三百四袋得七萬六千貫為乙原本以右丙五十貫乗左丙二千四百七十兩得一十二萬三千五百貫為丙原本以右丁一千五百貫乗左丁六十七道得一十萬五百貫為丁原本列四人各得原本求等得五百貫皆以五百貫為法除之甲行二百四十八乙得一百五十二丙得二百四十七丁得二百一各為列衰於右行併右行列衰得八百四十八為總法次置到沉香五千八十八兩遍乗列衰各為沉香寔次置胡椒一萬四百三十包亦遍乗列衰為椒寔次置象牙四百二十四條以大小各半之得二百一十二合亦遍乗列衰為牙寔



　　甲得一百二十六萬一千八百二十四乙得七十七萬三千三百七十六丙得一百二十五萬六千七百二十六丁得一百二萬三千六百八十八各為沉香寔以總法八百四十八除之甲得沉香一千四百八十八兩乙得沉香九百一十二兩丙得沉香一千四百八十二兩丁得沉香一千二百六兩


　　甲得二百五十八萬六千六百四十乙得一百五十八萬五千三百六十丙得二百五十七萬六千二百一十丁得二百九萬六千四百三十各為椒寔以總法八百四十八除之甲得三千五十包不盡二百四十包以包率四十觔乘之得九千六百觔又以法除之得一十一觔不盡二百七十二觔以十六兩通之得四千三百五十二兩又以法除之得五兩不盡一百一十二求等得一十六約之得五十三分兩之七約甲得椒三千五十包一十一觔五兩五十三分兩之七乙得一千八百六十九包不盡四百四十八包以四十觔乘之得一萬七千九百二十又以法除之得二十一觔不盡一百一十二觔以十六兩通之得一千七百九十二兩又以法除得二兩不盡九十六兩求等得十六約之得五十三分兩之六為乙合得椒一千八百六十九包二十一觔二兩五十三分兩之六丙得三千三十七包不盡八百三十四以四十觔通之得三萬三千三百六十觔又以法除之得三十九觔不盡二百八十八以十六兩通之得四千六百八兩又以法除之得五兩不盡三百六十八兩求等得十六約之得五十三分兩之二十三為丙合得椒三千三十七包三十九觔五兩五十三分兩之二十三丁得二千四百七十二包不盡一百七十四以四十觔通之得六千九百六十觔又以法除之得八觔不盡一百七十六以十六兩通之得二千八百一十六又以法除之得三兩不盡二百七十二求等得十六約之得五十三分兩之一十七為丁合得椒二千四百七十二包八觔三兩五十三分兩之一十七


　　甲得五萬二千五百七十六合乙得三萬二千二百二十四合丙得五萬二千三百六十四合丁得四萬二千六百一十二合各為牙寔皆以總法八百四十八除之甲合得牙六十二合乙合得牙三十八合丙合得牙六十一合不盡六百三十六求等得二百一十二約之得四分合之三丁合得牙五十合不盡二百十二求等得二百一十二約之得四分合之一按此條於方程正負之用通分乗除之變多所發明歩筭雖繁寔有條而不紊也
　　推求物價
　　問推貨務三次支物凖錢各一百四十七萬貫文先撥沉香三千五百裹瑇瑁二千二百觔乳香三百七十五套次撥沉香二千九百七十裹瑇瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一後撥沉香三千二百裹瑇瑁一千五百觔乳香三千七百五十套欲求沉乳瑇瑁裹觔套各價幾何
　　答曰沉香每裹三百貫文　乳香毎套六十四貫文　瑇瑁每斤一百八十貫文
　　術曰以方程求之正負入之列積及物數於下布行數各對本色有分者通之可約者約之為定率積列數每以下項互徧乘之毎視其積以少減多其下物數各隨積正負之類如同名相減異名相加正無人負之負無人正之其如同名相加異名相減正無人正之負無人負之使其下項物數得一數者為法其積為寔寔如法而一所得不計遍損或益諸積各得法寔除之餘倣此草曰置凖錢一百四十七萬貫為三次撥錢為三行積數次置先撥沉香三千五百裏瑇瑁二千二百觔乳香三百七十五觔為右行物數又列次撥沉香二千九百七十裹瑇瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一為中行物次列沉香三千二百裹瑇瑁一千五百觔乳香三千七百五十套為左行之物各以本色相對列之
　　率圖　　　　　　　　　　　　定率圖







　　其中行乳香有四分套之一便以母四通中行諸數只內子一入乳香叚內積得五百八十八萬貫沉香得一萬一千八百八十裹瑇瑁得八千五百二十觔乳香得一萬二千二百二十五套　以右行求等得二十五俱約之積得五萬八千八百貫沉香得一百四十裹瑇瑁得八十八觔乳香得一十五套以中行求等得一十五約之積得三十九萬二千貫沉香得七百九十二裹瑇瑁得五百六十八觔乳香得八百一十五套以左行求等得五約之積得二萬九千四百貫沉香得六十四裹瑇瑁得三十觔乳香得七十五套列為定率圖三行副置求之今先欲去定圖下位乳香套數一十五與左下七十五互乘左右兩行右積得四百四十一萬貫沉香一萬五百裹瑇瑁得六千六百觔乳香得一千一百二十五套左積得四十四萬一千貫沉香得九百六十一裹瑇瑁得四百五十觔乳香得一千一百二十五套驗左積少右積多當以左行直減右行畢仍置定圖左行數
　　維圖〈按以上三圖名舊本未載今依前題補之以便檢閲〉






　　右積得三百九十六萬九千貫沉香得九千五百四十裹瑇瑁得六千一百五十觔次驗中左兩行各有下位叚又以左下七十五互乗中行乃以中行下八百一十五互乗左行畢中積得二千九百四十萬貫沉香得五萬九千四百裹瑇瑁得四萬二千六百觔乳香得六萬一千一百二十五套左積得二千三百九十六萬一千貫沉香得五萬二千一百六十觔瑇瑁得二萬四千四百五十觔乳香得六萬一千一百二十五套驗左積少中積多以左行同名直減中行畢仍置定圖左行數
　　卜圖　　　　　宮圖







　　中積得五百四十三萬九千貫沉香得七千二百四十裹瑇瑁得一萬八千一百五十觔今驗右中兩行數多又求約之其右行求得三十約之右積得一十三萬二千三百貫沉香得三百一十八裹瑇瑁得二百五觔中行求得一十約之中積得五十四萬三千九百貫沉香得七百二十四裹瑇瑁得一千八百一一十五觔今又欲去中左行之瑇瑁乃以中行瑇瑁一千八百一十五互乗右行右積得二億四千一十二萬四千五百貫沉香得五十七萬七千一百七十裹瑇瑁得三十七萬二千七十五套以卜右瑇瑁二百五觔互乗中行中積一億一千一百四十九萬九千五百貫沉香得一十四萬八千四百二十裹瑇瑁得三十七萬二千七十五觔今驗宮右積多中積少乃以中行直減右行畢仍置卜圖中行數
　　干圖　　　　　　　　　　　支圖






　　今驗干圖右行叚數只有沉香四十二萬八千七百五十裹以為法以右上積一億二千八百六十二萬五千貫為寔寔如法而一得三百貫為沉香一裹價便以中行沉香七百二十四乗三百貫得二十一萬七千二百貫減中行五十四萬三千九百貫餘三十二萬六千七百貫為中積便減去中行沉香叚之數次以左上沉香六十四乗三百貫得一萬九千二百貫減左積二萬九千四百貫餘一萬二百貫為左積便減左上沉香裹數去之今驗支圖中行其下只有瑇瑁一千八百一十五觔以為法中積三十二萬六千七百貫為寔寔如法而一得一百八十貫為瑇瑁價
　　閏圖〈按此圖舊本亦未載名今補〉





　　今驗閏圖左行有瑇瑁三十觔以乘價一百八十貫得五千四百貫減左積一萬二百貫餘四千八百貫為左積其下只有乳香七十五套以為法以積四千八百貫為寔寔如法而一得六十四貫為乳香套價此題並係俱正補草










　　數學九章巻九下