数学钥 (四库全书本)/卷04

数学钥　卷四

　　钦定四库全书
　　数学钥卷四
　　柘城杜知耕撰
　　少广
　　一则
　　立方求积
　　设立方方三尺求积法曰置三尺自乘〈得九尺〉再以三尺乘之得二十七尺即所求
　　解曰算体之法先求底积〈即方圆等形求积详一二卷〉以高为底
　　积倍数如图长广各三尺相乘得九尺
　　为底积若高二尺则二倍底积之数得
　　一十八尺高三尺则三倍底积之数得
　　二十七尺
　　二则
　　直体求积
　　设直体长七尺广五尺高一十二尺
　　求积法曰以广乘长〈得三十五尺〉以高乘
　　之得四百二十尺即所求
　　解同前
　　三则
　　堑堵求积
　　设堑堵长一十二尺广五尺高七尺求积法曰以广
　　乘长〈得六十尺〉以高
　　乘之〈得四百二十尺〉折
　　半得二百一十
　　尺即所求
　　解曰甲乙丙丁直体与堑堵高广长各等依甲乙线丙乙棱分之必成二堑堵夫一直体既能当二堑堵则一堑堵必当半直体也故折半得积
　　四则
　　刍荛求积
　　设刍荛长一十二尺广五尺高七尺求积法同堑堵
　　解曰甲乙丙戊
　　刍荛依丙丁线
　　丙戊脊分之必
　　成二堑堵各为
　　相当直方之半两直方并必成一直方夫直方之两分既倍于刍荛之两分直方之全体不倍于刍荛之全体乎故亦折半得积同堑堵也
　　五则
　　三角体求积
　　设三角体广六尺
　　中长五尺高一十
　　二尺求积法曰置
　　长广相乘〈得三十尺〉以
　　高乘之〈得三百六十尺〉折半得一百八十尺即所求
　　解曰即刍荛但彼横此纵耳○勾股体同
　　六则
　　六边体求积〈八边及十二边附〉
　　设六边体每边广二十尺中长三十四尺六寸四分
　　有竒高四十尺
　　求积法曰置广
　　三因之〈得六十尺〉以
　　长折半〈得一十七尺三〉
　　〈寸二分零二毫〉乘之〈得一千零三十九尺二寸一分二釐〉为底积再以高乘之得四万一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六边底依各角分之成三角形六三角求积法以广乘长折半〈一卷五则〉不折则得两三角积故三因边广以底长之半乘之〈底之半长即三角之中长〉即得六三角积〈即全底积〉犹平圆半径乘半周之义也〈二卷三则〉若无底长之度则取边广为〈全底分为六三角形每形之三边俱等以甲乙为即以丙乙为也〉半广为勾〈丁乙〉各自乘相减平方开之得股〈丙丁〉即底长之半〈六卷二则〉○设八边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾〈丁乙〉另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强为〈丙乙〉各自乘相减平方开之得股〈丙丁〉即底长之半设十二边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾〈丁乙〉另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强为〈丙乙〉各自乘
　　相减平方开之
　　得股〈丙丁〉即底长
　　之半按七六五
　　三六乃四十五
　　度弧之通四十五度为三百六十度八之一故以之除八边底之一边即得外切圆形之半径五一七六四乃三十度弧之通三十度为三百六十度十二之一故以之除十二边底之一边即得外切圆形之半径外切圆形之半径即三角形之腰线〈丙乙〉也〈见大测及八线表〉
　　七则
　　五边体求积
　　设五边体毎边广二十尺中长三十尺零七寸七分
　　六釐六毫强高
　　四十尺求积法
　　曰置边广以边
　　数五因之〈得一百尺〉
　　折半〈得五十尺〉为实另置边广折半〈得十尺〉自乘〈得一百尺〉以中长除之〈得三尺二寸四分九釐一毫强〉与中长相减〈馀二十七尺五寸二分七釐四毫强〉折半〈得一十三尺七寸六分三釐七毫强〉为法乘实〈得六百八十八尺一寸八分八釐〉为底积再以高乘之得二万七千五百二十七尺五寸二分即所求
　　解曰五边底依各角分之成三
　　角形五欲求底积必先得三角
　　积欲求三角积必先得三角之
　　中长〈丙丁〉然上则六边边为偶数
　　角与角相对边与边相对其全底之长即相对两三角之中长令五边边为竒数边与角相对其底长〈己丁〉小半为此三角之中线〈丙丁〉大半为彼三角之腰线〈己丙〉折半则得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙〈于己丁底长减去己丙馀即丁丙〉欲得己丙必先求外切圆形之己戊径〈己戊折半即己丙〉欲得己戊必先求外切圆径大于底长之丁戊〈底长加丁戊即己戊〉欲求丁戊则用弧矢以及馀径求矢法〈二卷二十二则〉今边广甲戊乙弧矢形之甲乙也边广折半自乘丁乙半上方形也底长己丁馀径也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢减底长所馀者倍三角中长之辛丁也故半之为三角之中长又五因边广折半者取五三角底之半也若无底长之度则取边广折半为勾〈丁乙〉另置边广以一一七五五八除之得一七零一二八八为〈丙乙〉各自乘相减平方开之得股〈丙丁〉即三角形之中长〈六卷二则〉
　　一　一七五五八乃七十二度弧
　　之通七十二度为三百六十
　　度五之一故以之除五边之一
　　即得外切圆形之半径〈丙乙〉为三
　　角形之腰线也○设九边底每边广二十尺求三角分形之中长则以二十尺折半为勾〈丁乙〉另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八为〈丙乙〉自乘相减平方开之得股〈丙丁〉即三角形之中长六八四零四乃四十度弧之通四十度为三百六十度九之一故以之除九边之一即得三角形之腰线也
　　八则
　　圆体求积
　　设圆体径三十尺高四十尺求积法曰置径自乘〈得九
　　百尺再以高乘之〉
　　〈得三万六千尺〉用圆法
　　十一乘十四除
　　〈二卷四则〉得二万八
　　千二百八十五尺七寸有竒即所求
　　解曰以径自乘再以高乘之方体积也方体与圆体等高则两体即若两底之比例故用平圆法求圆体之积也
　　九则
　　撱圆体求积
　　设撱圆体大径三十六尺小径一十六尺高四十尺求积法曰置两径相乘〈得五百七十六尺〉再以高乘之〈得二万三千零四十尺〉用圆法十一乘十四除得一万八千一百零
　　二尺八寸有竒
　　即所求
　　解同前则及二
　　卷十六则
　　十则
　　弧矢体求积
　　设弧矢体矢阔八尺六寸六分零二毫长三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六丝高四十尺求积法曰置半自乘〈得二百二十五步〉以矢除之〈得二十五尺九寸八分零
　　九壹强为馀径馀〉
　　径加矢折半〈得一
　　十七尺三寸二分零五毫五丝〉为法乘背〈得六百二〉
　　〈十八尺五寸六分九釐〉另以馀径减矢折半〈得八尺六寸六分零四毫弱〉为法乘〈得二百五十九尺八寸一分二釐〉两数相减〈馀三百六十八尺七寸五分七釐〉折半〈得一百八十四尺三寸七分八釐〉为底积再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求〈二卷十七则〉
　　十一则
　　锥体求积
　　设方锥方二十尺高四十尺求积法曰置二十尺自
　　乘〈得四百尺〉为底积
　　再以高乘之〈得一
　　万六千尺以锥法三〉
　　归之得五千三
　　百三十三尺三寸三分有奇即所求
　　解曰方边自乘再以高乘之方体也方锥居方体三之一故三归得积也何以知方锥居体三之一也试
　　作立方如甲乙
　　自心至各棱分
　　之必成锥体六
　　俱以方靣为底
　　方边之半为高
　　更作一方体与
　　锥体同底等高
　　如丙丁丙丁方
　　体既与锥体同
　　底必亦与甲乙立方同底既与锥体等高必以甲乙方边之半为高两方体既同底则两体之比例若高与高丙丁体必为甲乙立方二之一矣锥体既为甲乙立方六之一不为等高同底丙丁方体三之一乎再作直体广二尺长四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成锥体六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六锥体形势虽殊而俱等何也丑与寅同长丑之高倍于寅而寅之广倍于丑折寅之广凖丑之高则丑寅二体等矣又丑与卯同广丑之长倍于卯而卯之高倍于丑折丑之长凖卯之高则丑卯二体亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六锥俱等矣今癸辛一直体能分为相等之六锥体则一锥体不为癸辛直体六之一乎锥体既为同底倍高直体六之一必为同底等高三之一无疑矣○从此推之不论方圆多边弧矢凡属锥体者皆为同底等高体三之一
　　十二则
　　诸杂线体求积
　　凡体先求底积底属直线依一卷九则例属曲线及杂线依二卷四十则例裁之得底积再以高乘之即得体积
　　十三则
　　浑圆求积
　　设浑圆径十尺求积法曰置径自乘〈得一百尺〉四因之〈得四百尺〉十一乘十四除〈得三百一十四尺二寸八分六釐弱〉为靣积再以半径乘之〈得一千五百七十一尺四寸三分弱〉以三归之得五百二十三
　　尺八寸一分即所求
　　解曰置径自乘再以十一乘十
　　十四除者浑圆中丙子乙丑平
　　圆积也以四因之者浑圆面积
　　当平圆积四也何也浑圆面任割一分〈如甲丁己戊〉欲求面分之容则取自甲顶至戊界之度〈甲戊线〉为半径作平圆〈如辛癸平圆辛壬与甲戊等〉其容即等若自乙丙平割浑圆之半取自甲顶至乙界之度为半径作平圆其容必与浑圆半靣等今丙子乙丑平圆半径为乙庚乙庚
　　与甲庚等乙庚甲庚
　　两线偕甲乙线则成
　　一勾股形甲乙为
　　乙庚甲庚一为勾一
　　为股也以为半径之平圆必倍大于或勾或股为半径之平圆浑圆半靣既等于以甲乙弦为半径之平圆不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎半面既倍大于丙子乙丑平圆全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎法以半径乘之以三归之又何也平圆求积同于以圆周为底以半径为高之三角形〈二卷四则〉故浑圆求积同于以全面为底以半径为高之
　　锥体以高乘底以三归之者
　　锥体求积之法也〈本卷十一则〉○
　　又尝借西洋割圆八线表考
　　之如前径十尺之浑圆自顶
　　中剖之再以乙丙线平分之依八线表例分乙丁甲曲线为九十度设任割球分为甲丁己戊其甲丁曲线三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八线表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八釐一毫用梯形求积法〈一卷七则〉并两数折半得四尺九寸二分四釐零五丝再求二十八度通得四尺六寸九分四釐七毫与二十九度通并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折尽三十度共得通数七十六尺七寸五分九釐七毫五丝用圆径求周法〈二卷一则〉求得二百四十一尺二寸四分五釐弱〈为球分面上三十段梯形两阔折半之数〉为实复求甲丁曲线三十分之一得八分七釐三毫有竒〈取浑圆全周以三十六归之即得〉为
　　梯长乘实得割　　　　　　　　　　　〈即〉球靣积二十一尺零五分有奇叧求甲戊直线得二尺五寸八分八釐二〈即表中十五度通〉毫倍之得五尺一寸七分六釐四毫为径求圆积亦得二十一尺零五分有竒与前数
　　合又法置径自乘再以径乘〈得一千尺〉之以十一乘二十一除得数
　　同解曰圆体与方体等高则两体之比例若两底之比例是方体与圆体若十四与十一也又圆体与浑圆等高令圆体之底同浑圆中心之平圆则圆体之
　　容必等于以平圆为底以浑圆
　　半径为〈浑圆半径即固体高度之半也〉高之锥
　　体〈本卷十一则〉六浑圆之面既四倍
　　于中心平圆而浑圆求积之法
　　又同锥体则浑圆之容必等于以平圆为底半径为高之锥体四夫以相等之锥体圆体得六而浑圆得四是圆体与浑圆若六之与四六之与四即三之与二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二约之为二十一与十一则二十一与十一等高立方浑圆之比例也法置径自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一为浑圆也十四则
　　浑撱圆求积
　　设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小
　　径自乘〈得四百尺〉再
　　以大径乘之〈得一
　　万六千尺以十一乘〉
　　二十一除得八
　　千三百八十尺零九寸五分即所求
　　解曰小径自乘再以大径乘之甲乙方体也方体浑撱圆比例亦犹立方与浑圆故十一乘二十一除得浑撱圆之积
　　十五则
　　锐脊体求积
　　设锐脊体脊长十尺底长十四尺广五尺高十二尺求积法曰倍底长加脊长〈得三十八尺〉以广乘之〈得一百九十尺〉再以高乘之〈得二千二百八十尺〉以六归之得三百八十尺即
　　所求
　　解曰依甲丙乙丁两线
　　分之成刍荛一斜锥二
　　〈斜锥与正锥同论〉刍荛以高乘
　　底积之半得积〈本卷四则〉锥以高乘底积三之一得积〈本卷十一则〉夫刍荛之底长即锐脊之脊长也若三倍脊长以六归之即得刍荛底长之半又两斜锥之底长即锐脊之脊长与底长之较也〈即戊庚己辛两线并之度〉若二倍较线以六归之即得斜锥底长三之一今倍底长加脊长非即三倍脊长二倍较线乎以六归之以广乘之再以高乘之得三分体之积即全体之积法先乘后归亦异乘同除之意也
　　十六则
　　鳖臑求积
　　设鳖臑上长二
　　尺下长四尺高
　　九尺求积法曰
　　置两长相乘〈得八〉
　　〈尺〉再以高乘之〈得七十二尺〉以六归之得一十二尺即所求
　　解曰叧作一刍荛如下图刍荛原为等高同底方体二之一〈本卷四则〉依甲丙乙丙两线各从底棱分之成一锥体二鳖臑锥体原为等高同底方体三之一〈本卷十一则〉必为刍荛三之二于刍荛内减去锥体所馀三之一则两鳖臑也两鳖臑并既为刍荛三之一必为与刍荛等高同底方体六之一矣与刍荛等高同底即为鳖臑等高倍底者也两鳖臑既为等高倍底方体六之一则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一故用六归也
　　十七则
　　等广锐面体求积
　　设等广锐靣体靣长四尺底长一十二尺底面俱广
　　五尺高一十二
　　尺求积法曰并
　　两长折半〈得八尺〉以广乘之〈得四十尺〉
　　再以高乘之得四百八十尺即所求
　　解曰依甲丙乙丁两线分之成一直体二堑堵全靣即一直体底全底即一直体二堑堵底底靣并而折半则成一直体一堑堵底矣夫直体以高乘本底得积〈本卷二则〉堑堵以高乘半底得积〈本卷三则〉今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘㡳靣相并折半之数得全积十八则
　　锐靣方体求积
　　设锐靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积
　　法曰置上方自
　　乘〈得三十六尺〉下方
　　自乘〈得六十四尺〉上
　　下两方相乘〈得四〉
　　〈十八尺〉三数并〈共一百四十八尺〉以高乘之〈得一千七百七十六尺〉以三归之得五百九十二尺即所求
　　解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积〈本卷二则〉堑堵以高乘底二之一得积〈本卷三则〉方锥以高乘底三之一得积〈本卷十一则〉若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积〈馀同本卷十五则〉
　　十九则
　　锐靣直体求积
　　设锐靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高
　　一十二尺求积
　　法曰倍上长加
　　下长〈共二十二尺〉以
　　上广乘之〈得一百一〉
　　〈十尺〉另倍下长加上长〈共二十六尺〉以下广乘之〈得二百零八尺〉两数并〈得三百一十八尺〉以高乘之〈得三千八百一十六尺〉以六归之得六百三十六尺即所求
　　解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按锐靣直体亦有可用三归
　　者如后图面长五尺广三尺底
　　长七尺广四尺二寸高一十二
　　尺用前法得积二百六十一尺
　　六寸今以面广乘靣长得一十
　　五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺〈或以底广乘靣长亦同〉三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也盖前体乃锐脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成锐脊终不成锥体是以谓之锐脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也锐靣直体有此二等不可不知也
　　二十则
　　锐靣圆体求积
　　设锐靣圆体靣径六尺底径八
　　尺高一十二尺求积法曰置靣
　　径自乘〈得三十六尺〉底径自乘〈得六十四
　　尺两径相乘〉〈得四十八尺〉三数并〈共一〉
　　〈百四十八尺〉以高乘之〈得一千七百七十六尺〉再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
　　解曰此与锐靣方体法同元当用三归得锐靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也
　　二十一则
　　锐面撱圆体求积
　　设锐面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺
　　小径六尺高一十二尺求积法
　　曰倍靣大径加底大径以靣小
　　径乘之〈得三十二尺〉另倍底大径加
　　靣大径以底小径乘之〈得一百二十尺〉
　　两数并〈共一百五十二尺〉以高乘之〈得一千八百二十四尺〉再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求
　　解曰此与锐靣直体法同元当用六归得锐靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则
　　诸锐靣体求积
　　设锐靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二釐〈所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同〉底每边广二尺
　　中长三尺四寸
　　六分四釐高四
　　尺求积法曰置
　　高以底长折半
　　乘之〈得六尺九寸二分八釐〉以两长相减折半〈得八寸六分六釐〉除之得八尺为锥高另三因底边二尺〈得六尺〉以底长之半乘之〈得十尺零三寸九分二釐〉以锥高八尺乘之三归之〈得二十七尺七寸一分强〉为锥积另三因靣边一尺〈得三尺〉以靣长之半乘之〈得二尺五寸九分八釐〉以原高减锥高馀四尺乘之三归之〈得三尺四寸六分四釐〉为虚积以虚积减锥积馀二十四尺二寸四分八釐即所求
　　解曰凡锐靣体底靣长广能为比例者皆诸锥之截体既得锥积复得体外虚积相减之馀即为所求之实积然欲求锥积必先求锥高锥高甲丙与元高甲丁之比例若底长之半甲乙与底靣两半长之较线己乙也法以底长之半乘高以两半长之较线除之者乃借乙己与己戊之比例〈己戊即甲丁〉因甲乙以求甲丙也凡锐靣体俱同此法
　　二十三则
　　求锥体之正高
　　设方锥底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘〈得一百六十九尺〉另以底方折半自乘〈得二十五尺〉两数相
　　减〈馀一百四十四尺〉平方开之得一十
　　二尺即所求
　　解曰此勾求股法也〈六卷二则〉凡
　　求诸锥体之积须得诸锥正高
　　自傍面量者乃斜高非正高也自顶至底中心方为正高方锥系偶边故折底长为勾如遇竒边则求底中心至边之度为勾〈本卷七则〉
　　二十四则
　　立方以积求边一法〈即开立方〉
　　设立方积三千三百七十五尺求方边法曰置积于中为实先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘〈得一千尺〉除实〈馀二千三百七十五尺〉三因下法十尺〈得三十尺〉为方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次〈共一十五尺〉以次商五尺遍乘之〈得七十五尺〉为廉法再以方法乘廉法〈得二千二百五十尺〉除实〈馀一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉为隅法除实恰尽合左初商次商得一十五尺即所求
　　解曰初商自乘再乘大方积也次商五尺乘下法十
　　尺得五十尺即
　　方廉甲乙丙丁
　　一侧面之平积
　　也〈丁乙五尺丁丙十尺相乘
　　得五十尺以初商乘〉
　　之必得一方廉
　　之积〈每一方廉积五百尺〉若以方法三十
　　尺乘之则得三
　　方廉之积〈三方廉皆等〉又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛长廉一方面之平积也〈戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺〉以初商乘之必得一长廉之积〈每一长廉积二百五十尺〉若以方法三十尺乘之则得三长廉之积〈三长廉皆等〉今以次商五尺遍乘下法十五尺得七十五尺即方廉之侧面长廉之方面两平积也总以方法三十尺乘之即得三方廉三长廉之共积矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方积以三方廉附于大方之三面以三长廉补方廉之缺又以一隅方补长廉之缺八体凑合则成一纵广皆一十五尺之立方矣
　　二十五则
　　立方以积求边二法
　　设立方积三百六十五万二千二百六十四尺求方边法曰置积于中为实先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘〈得一百万尺〉除实〈馀二百六十五万二千二百六十四尺〉三因下法一百尺〈得三百尺〉为方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次〈共一百五十尺〉次商五十尺遍乘之〈得七千五百尺〉为廉法以方法乘廉法〈得二百二十五万尺〉除实〈馀四十万零二千二百六十四尺〉又以次商自乘再乘〈得一十二万五千尺〉为隅法除实〈馀二十七万七千二百六十四尺〉复三因下法一百五十尺〈得四百五十尺〉为方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次〈共一百五十四尺〉以三商四尺遍乘之〈得六百一十六尺〉又为廉法以方法乘廉法〈得二十七万七千二百尺〉除实〈馀六十四尺〉又以三商四尺自乘再乘〈得六十四尺〉为隅法除实恰尽合左初次三商共得一百五十四尺即所求
　　解曰此与前则同但彼二位此三位耳设三商又不尽复三因初次三商为方法四商之仿此
　　二十六则
　　方体以积求边一法〈即带纵开立方〉
　　设方体积二千九百二十五尺长广相等高朒二尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以朒二尺减十尺馀八尺乘之〈得　百尺〉除实〈馀二千一百二十五尺〉倍八尺加初商十尺〈共二十六尺〉为方廉法又倍初商十尺加八尺〈共二十八尺〉为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法〈得二百六十尺〉以次商五尺乘长廉法〈得一百四十尺〉两数并〈共四百尺〉以次商五尺乘之〈得二千尺〉除实〈馀一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉为隅法除实恰尽合初商次商共得一十五尺即底方之度减高朒二尺馀一十三尺即高度
　　解曰初商自乘大方之底积又减二尺乘之高朒于纵及广也倍八尺加十尺为方廉法者以方廉广十尺者一广八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之
　　长皆十尺也倍
　　十尺加八尺为
　　长廉法者以长
　　廉长八尺者一
　　长十尺者二也
　　又以次商五尺
　　乘之者三长廉
　　之广皆五尺也
　　又并六廉以五
　　尺乘之者六廉之厚皆五尺也馀同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五釐初商十尺次商五尺仍馀积三百一十八尺三寸七分五釐又以朒二尺减初次两商十五尺馀十三尺倍之加十五尺共四十一尺为方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺为长廉法三商五寸于初次两商一十五尺之次以初次两商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘长廉法得二十一尺五寸并两数共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除实馀一寸二分五釐陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除实恰尽合初次三商得一十五尺五寸为底方之度减高朒二尺馀一十三尺五寸为高度○馀积一寸二分五釐陞二位何也盖体以纵广及高各一尺为积一尺一尺实积千寸取十分尺之一为寸是一寸而实积百寸也故寸以下皆陞二位二十七则
　　方体以积求边二法
　　设方体积四千二百七十五尺长广相等高多四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之〈得一千四百尺〉除实〈馀二千八百七十五尺〉倍十四尺加初商十尺〈共三十八尺〉为方廉法倍初商十尺加十四尺〈共三十四尺〉为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法〈得三百八十尺〉以次商五尺乘长廉法〈得一百七十尺〉两数并〈共五百五十尺〉又以次商五尺乘之〈得二千七百五十尺〉除实〈馀一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉为隅法除实恰尽合初次两商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前
　　二十八则
　　直体以积求边一法
　　设直体积七千二百尺高一十二尺广朒于长十尺求长广法曰置积以高除之〈得六百尺〉四因之〈得二千四百尺〉叧置广朒于长十尺自乘〈得一百尺〉两数并平方开之〈得五十尺〉减广朒于长十尺〈馀四十尺〉折半得二十尺即广加十尺得三十尺即长
　　解曰以高除积所得者直体底积也故平方带纵开之即得所求也
　　二十九则
　　直体以积求边二法
　　设直体积三千一百三十五尺高多长四尺长多广四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺以十尺减长多广四尺馀六尺乘之又以十尺加高多长四尺共十四尺乘之〈得八百四十尺〉除实〈馀二千二百九十五尺〉列十尺六尺十四尺为方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺为长廉法次商五尺置于初商之次方廉法维乘以六尺乘十尺〈得六十尺〉十尺乘十四尺〈得一百四十尺〉十四尺乘六尺〈得八十四尺〉并之〈共二百八十四尺〉又以次商五尺乘长廉法〈得一百五十尺〉两数并〈共四百二十四尺〉再以次商五尺乘之〈得二千一百七十尺〉除实〈馀一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百十五尺〉　为隅法除实恰尽合初次两商共一十五尺即长増四尺共一十九尺即高减长四尺馀一十一尺即广
　　解曰初商十尺为大方之长减四尺馀六尺为广増
　　四尺共一十四尺为高故两乘
　　得大方积大方三面之平积即
　　三方廉之底积也而大方之三
　　面各不等以广六尺乘长十尺
　　得甲乙丙丁面平积以长十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平积以高一十四尺乘广六尺得已庚乙丁面平积故列三位为方廉法维乘也又大方三棱之度即三长廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三数为长
　　廉法也馀同前解



　　三十则
　　浑圆以积求径
　　设浑圆积一千七百六十七尺八分五釐七毫有竒求圆径法曰置积二十一乘十一除〈得三千三百七十五尺〉立方开之得一十五尺即所求
　　解曰十一与二十一浑圆立方之比例也〈本卷十三则〉二十一乘十一除令浑圆化为相当之立方故立方开之得方边即得圆径也
　　三十一则
　　浑撱圆以积求径
　　设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五釐有竒大径多小径四尺求两径法曰置积二十一乘十一除〈得四千二百七十五尺〉以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径
　　解曰浑㨊圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也
　　三十二则
　　三乘还原〈即开三乘方〉
　　设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之〈得二十五尺〉再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方
　　三十三则
　　委粟求积
　　设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘〈得七千七百四十四尺〉以高乘之〈得六万八千一百四十七尺二寸〉再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求
　　解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与
　　八十八〈二卷五则〉凡两体等高者体与
　　体之比例若底与底圆体与周上
　　等高方体之比例必亦若七与八
　　十八今圆锥居圆体三之一以三
　　乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣
　　二十四则
　　倚壁委粟求积
　　设倚壁委粟周四十
　　四尺高八尺八寸求
　　积法曰置周自乘〈得一
　　千九百三十六尺〉以高乘之
　　〈得一万七千零三十六尺八寸〉再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求
　　解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体〈与圆锥等高下同〉居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也
　　三十五则
　　倚外角委粟求积
　　设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰
　　置周自乘〈得四千三百五十六
　　尺以高乘之〉〈得三万八千三
　　百三十二尺八寸〉再七乘一
　　百九十八除得一千
　　三百五十五尺二寸即所求
　　解曰此圆锥四之三也与全周上方体〈与圆锥等高下同〉之