數學鑰 (四庫全書本)/卷04

數學鑰　巻四

　　欽定四庫全書
　　數學鑰巻四
　　柘城杜知耕撰
　　少廣
　　一則
　　立方求積
　　設立方方三尺求積法曰置三尺自乘〈得九尺〉再以三尺乘之得二十七尺即所求
　　解曰算體之法先求底積〈即方圓等形求積詳一二巻〉以髙為底
　　積倍數如圖長廣各三尺相乘得九尺
　　為底積若髙二尺則二倍底積之數得
　　一十八尺髙三尺則三倍底積之數得
　　二十七尺
　　二則
　　直體求積
　　設直體長七尺廣五尺髙一十二尺
　　求積法曰以廣乘長〈得三十五尺〉以髙乘
　　之得四百二十尺即所求
　　解同前
　　三則
　　塹堵求積
　　設塹堵長一十二尺廣五尺髙七尺求積法曰以廣
　　乘長〈得六十尺〉以髙
　　乘之〈得四百二十尺〉折
　　半得二百一十
　　尺即所求
　　解曰甲乙丙丁直體與塹堵髙廣長各等依甲乙線丙乙稜分之必成二塹堵夫一直體既能當二塹堵則一塹堵必當半直體也故折半得積
　　四則
　　芻蕘求積
　　設芻蕘長一十二尺廣五尺髙七尺求積法同塹堵
　　解曰甲乙丙戊
　　芻蕘依丙丁線
　　丙戊脊分之必
　　成二塹堵各為
　　相當直方之半兩直方並必成一直方夫直方之兩分既倍於芻蕘之兩分直方之全體不倍於芻蕘之全體乎故亦折半得積同塹堵也
　　五則
　　三角體求積
　　設三角體廣六尺
　　中長五尺高一十
　　二尺求積法曰置
　　長廣相乘〈得三十尺〉以
　　髙乘之〈得三百六十尺〉折半得一百八十尺即所求
　　解曰即芻蕘但彼橫此縱耳○勾股體同
　　六則
　　六邊體求積〈八邊及十二邊附〉
　　設六邊體每邊廣二十尺中長三十四尺六寸四分
　　有竒髙四十尺
　　求積法曰置廣
　　三因之〈得六十尺〉以
　　長折半〈得一十七尺三〉
　　〈寸二分零二毫〉乘之〈得一千零三十九尺二寸一分二釐〉為底積再以高乘之得四萬一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六邊底依各角分之成三角形六三角求積法以廣乘長折半〈一巻五則〉不折則得兩三角積故三因邊廣以底長之半乘之〈底之半長即三角之中長〉即得六三角積〈即全底積〉猶平圓半徑乘半周之義也〈二巻三則〉若無底長之度則取邊廣為〈全底分為六三角形每形之三邊俱等以甲乙為即以丙乙為也〉半廣為勾〈丁乙〉各自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即底長之半〈六巻二則〉○設八邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾〈丁乙〉另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四強為〈丙乙〉各自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即底長之半設十二邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾〈丁乙〉另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八強為〈丙乙〉各自乘
　　相減平方開之
　　得股〈丙丁〉即底長
　　之半按七六五
　　三六乃四十五
　　度弧之通四十五度為三百六十度八之一故以之除八邊底之一邊即得外切圓形之半徑五一七六四乃三十度弧之通三十度為三百六十度十二之一故以之除十二邊底之一邊即得外切圓形之半徑外切圓形之半徑即三角形之腰線〈丙乙〉也〈見大測及八線表〉
　　七則
　　五邊體求積
　　設五邊體毎邊廣二十尺中長三十尺零七寸七分
　　六釐六毫強高
　　四十尺求積法
　　曰置邊廣以邊
　　數五因之〈得一百尺〉
　　折半〈得五十尺〉為實另置邊廣折半〈得十尺〉自乘〈得一百尺〉以中長除之〈得三尺二寸四分九釐一毫強〉與中長相減〈餘二十七尺五寸二分七釐四毫強〉折半〈得一十三尺七寸六分三釐七毫強〉為法乘實〈得六百八十八尺一寸八分八釐〉為底積再以高乘之得二萬七千五百二十七尺五寸二分即所求
　　解曰五邊底依各角分之成三
　　角形五欲求底積必先得三角
　　積欲求三角積必先得三角之
　　中長〈丙丁〉然上則六邊邊為偶數
　　角與角相對邊與邊相對其全底之長即相對兩三角之中長令五邊邊為竒數邊與角相對其底長〈己丁〉小半為此三角之中線〈丙丁〉大半為彼三角之腰線〈己丙〉折半則得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙〈於己丁底長減去己丙餘即丁丙〉欲得己丙必先求外切圓形之己戊徑〈己戊折半即己丙〉欲得己戊必先求外切圓徑大於底長之丁戊〈底長加丁戊即己戊〉欲求丁戊則用弧矢以及餘徑求矢法〈二巻二十二則〉今邊廣甲戊乙弧矢形之甲乙也邊廣折半自乘丁乙半上方形也底長己丁餘徑也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢減底長所餘者倍三角中長之辛丁也故半之為三角之中長又五因邊廣折半者取五三角底之半也若無底長之度則取邊廣折半為勾〈丁乙〉另置邊廣以一一七五五八除之得一七零一二八八為〈丙乙〉各自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即三角形之中長〈六巻二則〉
　　一　一七五五八乃七十二度弧
　　之通七十二度為三百六十
　　度五之一故以之除五邊之一
　　即得外切圓形之半徑〈丙乙〉為三
　　角形之腰線也○設九邊底每邊廣二十尺求三角分形之中長則以二十尺折半為勾〈丁乙〉另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八為〈丙乙〉自乘相減平方開之得股〈丙丁〉即三角形之中長六八四零四乃四十度弧之通四十度為三百六十度九之一故以之除九邊之一即得三角形之腰線也
　　八則
　　圓體求積
　　設圓體徑三十尺高四十尺求積法曰置徑自乘〈得九
　　百尺再以高乘之〉
　　〈得三萬六千尺〉用圓法
　　十一乘十四除
　　〈二巻四則〉得二萬八
　　千二百八十五尺七寸有竒即所求
　　解曰以徑自乘再以髙乘之方體積也方體與圓體等髙則兩體即若兩底之比例故用平圓法求圓體之積也
　　九則
　　撱圓體求積
　　設撱圓體大徑三十六尺小徑一十六尺髙四十尺求積法曰置兩徑相乘〈得五百七十六尺〉再以高乘之〈得二萬三千零四十尺〉用圓法十一乘十四除得一萬八千一百零
　　二尺八寸有竒
　　即所求
　　解同前則及二
　　巻十六則
　　十則
　　弧矢體求積
　　設弧矢體矢濶八尺六寸六分零二毫長三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六絲高四十尺求積法曰置半自乘〈得二百二十五步〉以矢除之〈得二十五尺九寸八分零
　　九壹強為餘徑餘〉
　　徑加矢折半〈得一
　　十七尺三寸二分零五毫五絲〉為法乘背〈得六百二〉
　　〈十八尺五寸六分九釐〉另以餘徑減矢折半〈得八尺六寸六分零四毫弱〉為法乘〈得二百五十九尺八寸一分二釐〉兩數相減〈餘三百六十八尺七寸五分七釐〉折半〈得一百八十四尺三寸七分八釐〉為底積再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求〈二卷十七則〉
　　十一則
　　錐體求積
　　設方錐方二十尺高四十尺求積法曰置二十尺自
　　乘〈得四百尺〉為底積
　　再以高乘之〈得一
　　萬六千尺以錐法三〉
　　歸之得五千三
　　百三十三尺三寸三分有奇即所求
　　解曰方邊自乘再以高乘之方體也方錐居方體三之一故三歸得積也何以知方錐居體三之一也試
　　作立方如甲乙
　　自心至各稜分
　　之必成錐體六
　　俱以方靣為底
　　方邊之半為高
　　更作一方體與
　　錐體同底等高
　　如丙丁丙丁方
　　體既與錐體同
　　底必亦與甲乙立方同底既與錐體等高必以甲乙方邊之半為高兩方體既同底則兩體之比例若高與高丙丁體必為甲乙立方二之一矣錐體既為甲乙立方六之一不為等高同底丙丁方體三之一乎再作直體廣二尺長四尺高八尺如癸辛亦自心至各稜分之亦成錐體六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六錐體形勢雖殊而俱等何也丑與寅同長丑之高倍於寅而寅之廣倍於丑折寅之廣凖丑之高則丑寅二體等矣又丑與卯同廣丑之長倍於卯而卯之高倍於丑折丑之長凖卯之高則丑卯二體亦等矣夫寅等於醜醜等於卯是六錐俱等矣今癸辛一直體能分為相等之六錐體則一錐體不為癸辛直體六之一乎錐體既為同底倍高直體六之一必為同底等高三之一無疑矣○從此推之不論方圓多邊弧矢凡屬錐體者皆為同底等高體三之一
　　十二則
　　諸雜線體求積
　　凡體先求底積底屬直線依一巻九則例屬曲線及雜線依二巻四十則例裁之得底積再以高乘之即得體積
　　十三則
　　渾圓求積
　　設渾圓徑十尺求積法曰置徑自乘〈得一百尺〉四因之〈得四百尺〉十一乘十四除〈得三百一十四尺二寸八分六釐弱〉為靣積再以半徑乘之〈得一千五百七十一尺四寸三分弱〉以三歸之得五百二十三
　　尺八寸一分即所求
　　解曰置徑自乘再以十一乘十
　　十四除者渾圓中丙子乙丑平
　　圓積也以四因之者渾圓面積
　　當平圓積四也何也渾圓面任割一分〈如甲丁己戊〉欲求面分之容則取自甲頂至戊界之度〈甲戊線〉為半徑作平圓〈如辛癸平圓辛壬與甲戊等〉其容即等若自乙丙平割渾圓之半取自甲頂至乙界之度為半徑作平圓其容必與渾圓半靣等今丙子乙丑平圓半徑為乙庚乙庚
　　與甲庚等乙庚甲庚
　　兩線偕甲乙線則成
　　一勾股形甲乙為
　　乙庚甲庚一為勾一
　　為股也以為半徑之平圓必倍大於或勾或股為半徑之平圓渾圓半靣既等於以甲乙弦為半徑之平圓不倍大於以乙庚勾為半徑之丙子乙丑平圓乎半面既倍大於丙子乙丑平圓全靣不四倍大於丙子乙丑平圓乎法以半徑乘之以三歸之又何也平圓求積同於以圓周為底以半徑為高之三角形〈二巻四則〉故渾圓求積同於以全面為底以半徑為高之
　　錐體以高乘底以三歸之者
　　錐體求積之法也〈本巻十一則〉○
　　又嘗借西洋割圓八線表考
　　之如前徑十尺之渾圓自頂
　　中剖之再以乙丙線平分之依八線表例分乙丁甲曲線為九十度設任割球分為甲丁己戊其甲丁曲線三十度自丁戊向甲截作三十段梯形於八線表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八釐一毫用梯形求積法〈一巻七則〉並兩數折半得四尺九寸二分四釐零五絲再求二十八度通得四尺六寸九分四釐七毫與二十九度通並而折半得四尺七寸七分一釐四毫依次折盡三十度共得通數七十六尺七寸五分九釐七毫五絲用圓徑求周法〈二巻一則〉求得二百四十一尺二寸四分五釐弱〈為球分面上三十段梯形兩濶折半之數〉為實復求甲丁曲線三十分之一得八分七釐三毫有竒〈取渾圓全周以三十六歸之即得〉為
　　梯長乘實得割　　　　　　　　　　　〈即〉球靣積二十一尺零五分有奇叧求甲戊直線得二尺五寸八分八釐二〈即表中十五度通〉毫倍之得五尺一寸七分六釐四毫為徑求圓積亦得二十一尺零五分有竒與前數
　　合又法置徑自乘再以徑乘〈得一千尺〉之以十一乘二十一除得數
　　同解曰圓體與方體等高則兩體之比例若兩底之比例是方體與圓體若十四與十一也又圓體與渾圓等高令圓體之底同渾圓中心之平圓則圓體之
　　容必等於以平圓為底以渾圓
　　半徑為〈渾圓半徑即固體高度之半也〉高之錐
　　體〈本巻十一則〉六渾圓之面既四倍
　　於中心平圓而渾圓求積之法
　　又同錐體則渾圓之容必等於以平圓為底半徑為高之錐體四夫以相等之錐體圓體得六而渾圓得四是圓體與渾圓若六之與四六之與四即三之與二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二約之為二十一與十一則二十一與十一等高立方渾圓之比例也法置徑自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一為渾圓也十四則
　　渾撱圓求積
　　設渾撱圓大徑四十尺小徑二十尺求積法曰置小
　　徑自乘〈得四百尺〉再
　　以大徑乘之〈得一
　　萬六千尺以十一乘〉
　　二十一除得八
　　千三百八十尺零九寸五分即所求
　　解曰小徑自乘再以大徑乘之甲乙方體也方體渾撱圓比例亦猶立方與渾圓故十一乘二十一除得渾撱圓之積
　　十五則
　　鋭脊體求積
　　設鋭脊體脊長十尺底長十四尺廣五尺高十二尺求積法曰倍底長加脊長〈得三十八尺〉以廣乘之〈得一百九十尺〉再以高乘之〈得二千二百八十尺〉以六歸之得三百八十尺即
　　所求
　　解曰依甲丙乙丁兩線
　　分之成芻蕘一斜錐二
　　〈斜錐與正錐同論〉芻蕘以高乘
　　底積之半得積〈本巻四則〉錐以高乘底積三之一得積〈本巻十一則〉夫芻蕘之底長即鋭脊之脊長也若三倍脊長以六歸之即得芻蕘底長之半又兩斜錐之底長即鋭脊之脊長與底長之較也〈即戊庚己辛兩線並之度〉若二倍較線以六歸之即得斜錐底長三之一今倍底長加脊長非即三倍脊長二倍較線乎以六歸之以廣乘之再以高乘之得三分體之積即全體之積法先乘後歸亦異乘同除之意也
　　十六則
　　鼈臑求積
　　設鼈臑上長二
　　尺下長四尺高
　　九尺求積法曰
　　置兩長相乘〈得八〉
　　〈尺〉再以高乘之〈得七十二尺〉以六歸之得一十二尺即所求
　　解曰叧作一芻蕘如下圖芻蕘原為等高同底方體二之一〈本巻四則〉依甲丙乙丙兩線各從底稜分之成一錐體二鼈臑錐體原為等高同底方體三之一〈本巻十一則〉必為芻蕘三之二於芻蕘內減去錐體所餘三之一則兩鼈臑也兩鼈臑並既為芻蕘三之一必為與芻蕘等高同底方體六之一矣與芻蕘等高同底即為鼈臑等高倍底者也兩鼈臑既為等高倍底方體六之一則一鱉臑亦必為等高同底方體六之一故用六歸也
　　十七則
　　等廣鋭面體求積
　　設等廣鋭靣體靣長四尺底長一十二尺底面俱廣
　　五尺高一十二
　　尺求積法曰並
　　兩長折半〈得八尺〉以廣乘之〈得四十尺〉
　　再以高乘之得四百八十尺即所求
　　解曰依甲丙乙丁兩線分之成一直體二塹堵全靣即一直體底全底即一直體二塹堵底底靣並而折半則成一直體一塹堵底矣夫直體以高乘本底得積〈本巻二則〉塹堵以高乘半底得積〈本巻三則〉今一塹堵之全底即兩塹堵之半底也故以高乘㡳靣相並折半之數得全積十八則
　　鋭靣方體求積
　　設鋭靣方體靣方六尺底方八尺高一十二尺求積
　　法曰置上方自
　　乘〈得三十六尺〉下方
　　自乘〈得六十四尺〉上
　　下兩方相乘〈得四〉
　　〈十八尺〉三數並〈共一百四十八尺〉以高乘之〈得一千七百七十六尺〉以三歸之得五百九十二尺即所求
　　解曰各依面稜分之成方體一塹堵方錐各四凡九體而有三等三等求積之法則各殊方體以高乘底得積〈本巻二則〉塹堵以高乘底二之一得積〈本巻三則〉方錐以高乘底三之一得積〈本巻十一則〉若從方體則與塹堵不合從塹堵又與方錐不合不得不用三歸以就方錐然用三歸必三倍方體之底半倍塹堵之底而後可今下方自乘即甲乙方形得方體之底一塹堵方錐之底各四上方自乘即丙丁方形得方體之底一上下相乘即戊己直形得方體之底一塹堵之底二合三形共方體底三塹堵底六方錐底四夫方體底三三歸之仍得一塹堵底六三歸之得二二塹堵底即四塹堵底二之一也方錐底四三歸之各得三之一今以高乘一方體底四塹堵底二之一四方錐底三之一故得全積〈餘同本巻十五則〉
　　十九則
　　鋭靣直體求積
　　設鋭靣直體靣長六尺廣五尺底長十尺廣八尺高
　　一十二尺求積
　　法曰倍上長加
　　下長〈共二十二尺〉以
　　上廣乘之〈得一百一〉
　　〈十尺〉另倍下長加上長〈共二十六尺〉以下廣乘之〈得二百零八尺〉兩數並〈得三百一十八尺〉以高乘之〈得三千八百一十六尺〉以六歸之得六百三十六尺即所求
　　解曰依各靣稜分之亦成九體與前則同但四塹堵兩兩相等辛戊與庚己等丙戊與丁己等四塹堵既不等則三歸之法不可用矣於是有六歸之法倍上長加下長以上廣乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直體底三丙戊己丁塹堵底各一倍下長加上長以下廣乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直體底三辛戊庚己塹堵底各三丙戊丁己塹堵底各二甲戊等四錐底各二合之共直體底六塹堵底十二與辛戊等者六與丙戊等者六錐底八以六歸之得一直體底四塹堵底二之一四錐底三之一故以高乘之得全積○按鋭靣直體亦有可用三歸
　　者如後圖面長五尺廣三尺底
　　長七尺廣四尺二寸高一十二
　　尺用前法得積二百六十一尺
　　六寸今以面廣乘靣長得一十
　　五尺以底廣乘底長得二十九尺四寸以靣廣乘底長得二十一尺〈或以底廣乘靣長亦同〉三數並共六十五尺四寸以高乘之以三歸之得積同用此法求前體則不合其故何也葢前體乃鋭脊之截體後體乃直錐之截體後體底靣長廣可互為比例若依四角斜線引而高之必成直錐是以謂之直錐之截體依前例分為九體其四塹堵雖體勢不同而容積皆等故用三歸而合也若前體底靣長廣不可為比例亦依四角斜線引而高之止成鋭脊終不成錐體是以謂之鋭脊之截體如前分為九體其四塹堵體勢既異而大小復殊故用三歸必不合也鋭靣直體有此二等不可不知也
　　二十則
　　鋭靣圓體求積
　　設鋭靣圓體靣徑六尺底徑八
　　尺高一十二尺求積法曰置靣
　　徑自乘〈得三十六尺〉底徑自乘〈得六十四
　　尺兩徑相乘〉〈得四十八尺〉三數並〈共一〉
　　〈百四十八尺〉以高乘之〈得一千七百七十六尺〉再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
　　解曰此與鋭靣方體法同元當用三歸得鋭靣方體積再十一乘十四除為本積今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除猶三歸又十四除也
　　二十一則
　　鋭面撱圓體求積
　　設鋭面撱圓體面大徑四尺小徑二尺底大徑八尺
　　小徑六尺高一十二尺求積法
　　曰倍靣大徑加底大徑以靣小
　　徑乘之〈得三十二尺〉另倍底大徑加
　　靣大徑以底小徑乘之〈得一百二十尺〉
　　兩數並〈共一百五十二尺〉以高乘之〈得一千八百二十四尺〉再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求
　　解曰此與鋭靣直體法同元當用六歸得鋭靣直體積再十一乘十四除為本積今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除猶六歸又十四除也二十二則
　　諸鋭靣體求積
　　設鋭靣六邊體靣每邊廣一尺中長一尺七寸三分二釐〈所謂中長者乃邊與邊相對之度非角與角相對之度也底同〉底每邊廣二尺
　　中長三尺四寸
　　六分四釐高四
　　尺求積法曰置
　　高以底長折半
　　乘之〈得六尺九寸二分八釐〉以兩長相減折半〈得八寸六分六釐〉除之得八尺為錐高另三因底邊二尺〈得六尺〉以底長之半乘之〈得十尺零三寸九分二釐〉以錐高八尺乘之三歸之〈得二十七尺七寸一分強〉為錐積另三因靣邊一尺〈得三尺〉以靣長之半乘之〈得二尺五寸九分八釐〉以原高減錐高餘四尺乘之三歸之〈得三尺四寸六分四釐〉為虛積以虛積減錐積餘二十四尺二寸四分八釐即所求
　　解曰凡鋭靣體底靣長廣能為比例者皆諸錐之截體既得錐積復得體外虛積相減之餘即為所求之實積然欲求錐積必先求錐高錐高甲丙與元高甲丁之比例若底長之半甲乙與底靣兩半長之較線己乙也法以底長之半乘高以兩半長之較線除之者乃借乙己與己戊之比例〈己戊即甲丁〉因甲乙以求甲丙也凡鋭靣體俱同此法
　　二十三則
　　求錐體之正高
　　設方錐底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘〈得一百六十九尺〉另以底方折半自乘〈得二十五尺〉兩數相
　　減〈餘一百四十四尺〉平方開之得一十
　　二尺即所求
　　解曰此勾求股法也〈六巻二則〉凡
　　求諸錐體之積須得諸錐正高
　　自傍面量者乃斜高非正高也自頂至底中心方為正高方錐係偶邊故折底長為勾如遇竒邊則求底中心至邊之度為勾〈本巻七則〉
　　二十四則
　　立方以積求邊一法〈即開立方〉
　　設立方積三千三百七十五尺求方邊法曰置積於中為實先商十尺於左下法亦置十尺於右自乘再乘〈得一千尺〉除實〈餘二千三百七十五尺〉三因下法十尺〈得三十尺〉為方法次商五尺置於左初商十尺之次下法亦置五尺於初商十尺之次〈共一十五尺〉以次商五尺徧乘之〈得七十五尺〉為廉法再以方法乘廉法〈得二千二百五十尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉為隅法除實恰盡合左初商次商得一十五尺即所求
　　解曰初商自乘再乘大方積也次商五尺乘下法十
　　尺得五十尺即
　　方廉甲乙丙丁
　　一側面之平積
　　也〈丁乙五尺丁丙十尺相乘
　　得五十尺以初商乘〉
　　之必得一方廉
　　之積〈每一方廉積五百尺〉若以方法三十
　　尺乘之則得三
　　方廉之積〈三方廉皆等〉又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛長廉一方面之平積也〈戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺〉以初商乘之必得一長亷之積〈每一長廉積二百五十尺〉若以方法三十尺乘之則得三長廉之積〈三長廉皆等〉今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之側面長亷之方面兩平積也總以方法三十尺乘之即得三方廉三長廉之共積矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方積以三方廉附於大方之三面以三長廉補方廉之缺又以一隅方補長廉之缺八體湊合則成一縱廣皆一十五尺之立方矣
　　二十五則
　　立方以積求邊二法
　　設立方積三百六十五萬二千二百六十四尺求方邊法曰置積於中為實先商一百尺於左下法亦置一百尺於右自乘再乘〈得一百萬尺〉除實〈餘二百六十五萬二千二百六十四尺〉三因下法一百尺〈得三百尺〉為方法次商五十尺置於左初商一百尺之次下法亦置五十尺於初商一百尺之次〈共一百五十尺〉次商五十尺徧乘之〈得七千五百尺〉為廉法以方法乘廉法〈得二百二十五萬尺〉除實〈餘四十萬零二千二百六十四尺〉又以次商自乘再乘〈得一十二萬五千尺〉為隅法除實〈餘二十七萬七千二百六十四尺〉復三因下法一百五十尺〈得四百五十尺〉為方法三商四尺於左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺於初商次商一百五十尺之次〈共一百五十四尺〉以三商四尺徧乘之〈得六百一十六尺〉又為廉法以方法乘廉法〈得二十七萬七千二百尺〉除實〈餘六十四尺〉又以三商四尺自乘再乘〈得六十四尺〉為隅法除實恰盡合左初次三商共得一百五十四尺即所求
　　解曰此與前則同但彼二位此三位耳設三商又不盡復三因初次三商為方法四商之倣此
　　二十六則
　　方體以積求邊一法〈即帶縱開立方〉
　　設方體積二千九百二十五尺長廣相等高朒二尺求各度法曰置積於中為實初商十尺自乘又以朒二尺減十尺餘八尺乘之〈得　百尺〉除實〈餘二千一百二十五尺〉倍八尺加初商十尺〈共二十六尺〉為方廉法又倍初商十尺加八尺〈共二十八尺〉為長廉法次商五尺置於初商之次以初商十尺乘方廉法〈得二百六十尺〉以次商五尺乘長廉法〈得一百四十尺〉兩數並〈共四百尺〉以次商五尺乘之〈得二千尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉為隅法除實恰盡合初商次商共得一十五尺即底方之度減高朒二尺餘一十三尺即高度
　　解曰初商自乘大方之底積又減二尺乘之高朒於縱及廣也倍八尺加十尺為方廉法者以方廉廣十尺者一廣八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之
　　長皆十尺也倍
　　十尺加八尺為
　　長廉法者以長
　　廉長八尺者一
　　長十尺者二也
　　又以次商五尺
　　乘之者三長廉
　　之廣皆五尺也
　　又並六廉以五
　　尺乘之者六廉之厚皆五尺也餘同前則○改設前積為三千二百四十三尺三寸七分五釐初商十尺次商五尺仍餘積三百一十八尺三寸七分五釐又以朒二尺減初次兩商十五尺餘十三尺倍之加十五尺共四十一尺為方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺為長廉法三商五寸於初次兩商一十五尺之次以初次兩商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘長廉法得二十一尺五寸並兩數共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除實餘一寸二分五釐陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除實恰盡合初次三商得一十五尺五寸為底方之度減高朒二尺餘一十三尺五寸為高度○餘積一寸二分五釐陞二位何也葢體以縱廣及高各一尺為積一尺一尺實積千寸取十分尺之一為寸是一寸而實積百寸也故寸以下皆陞二位二十七則
　　方體以積求邊二法
　　設方體積四千二百七十五尺長廣相等高多四尺求各度法曰置積於中為實初商十尺自乘又以多四尺並十尺共十四尺乘之〈得一千四百尺〉除實〈餘二千八百七十五尺〉倍十四尺加初商十尺〈共三十八尺〉為方廉法倍初商十尺加十四尺〈共三十四尺〉為長廉法次商五尺置於初商之次以初商十尺乘方廉法〈得三百八十尺〉以次商五尺乘長廉法〈得一百七十尺〉兩數並〈共五百五十尺〉又以次商五尺乘之〈得二千七百五十尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百二十五尺〉為隅法除實恰盡合初次兩商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前
　　二十八則
　　直體以積求邊一法
　　設直體積七千二百尺高一十二尺廣朒於長十尺求長廣法曰置積以高除之〈得六百尺〉四因之〈得二千四百尺〉叧置廣朒於長十尺自乘〈得一百尺〉兩數並平方開之〈得五十尺〉減廣朒於長十尺〈餘四十尺〉折半得二十尺即廣加十尺得三十尺即長
　　解曰以高除積所得者直體底積也故平方帶縱開之即得所求也
　　二十九則
　　直體以積求邊二法
　　設直體積三千一百三十五尺高多長四尺長多廣四尺求各度法曰置積於中為實初商十尺以十尺減長多廣四尺餘六尺乘之又以十尺加高多長四尺共十四尺乘之〈得八百四十尺〉除實〈餘二千二百九十五尺〉列十尺六尺十四尺為方廉法並十尺六尺十四尺共三十尺為長廉法次商五尺置於初商之次方廉法維乘以六尺乘十尺〈得六十尺〉十尺乘十四尺〈得一百四十尺〉十四尺乘六尺〈得八十四尺〉並之〈共二百八十四尺〉又以次商五尺乘長廉法〈得一百五十尺〉兩數並〈共四百二十四尺〉再以次商五尺乘之〈得二千一百七十尺〉除實〈餘一百二十五尺〉又置次商五尺自乘再乘〈得一百十五尺〉　為隅法除實恰盡合初次兩商共一十五尺即長増四尺共一十九尺即高減長四尺餘一十一尺即廣
　　解曰初商十尺為大方之長減四尺餘六尺為廣増
　　四尺共一十四尺為高故兩乘
　　得大方積大方三面之平積即
　　三方廉之底積也而大方之三
　　面各不等以廣六尺乘長十尺
　　得甲乙丙丁面平積以長十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平積以高一十四尺乘廣六尺得已庚乙丁面平積故列三位為方廉法維乘也又大方三稜之度即三長廉之高也而大方三稜亦不等甲乙稜十尺乙丁稜六尺乙己稜一十四尺故並三數為長
　　廉法也餘同前解



　　三十則
　　渾圓以積求徑
　　設渾圓積一千七百六十七尺八分五釐七毫有竒求圓徑法曰置積二十一乘十一除〈得三千三百七十五尺〉立方開之得一十五尺即所求
　　解曰十一與二十一渾圓立方之比例也〈本巻十三則〉二十一乘十一除令渾圓化為相當之立方故立方開之得方邊即得圓徑也
　　三十一則
　　渾撱圓以積求徑
　　設渾撱圓積二千二百三十九尺二寸八分五釐有竒大徑多小徑四尺求兩徑法曰置積二十一乘十一除〈得四千二百七十五尺〉以帶縱立方開之得一十五尺即小徑加多四尺得一十九尺即大徑
　　解曰渾㨊圓與方體之比例亦若渾圓與立方故二十一乘十一除帶縱立方開之得方體之廣及高即渾撱圓之兩徑也
　　三十二則
　　三乘還原〈即開三乘方〉
　　設三乘積六百二十五尺求還原法曰置積為實平方開之〈得二十五尺〉再以平方開之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所謂三乘方也反求元數即所謂開三乘方也三乘原無形體可言但法類於開平方立方故亦謂之方耳○從此推之一次平方一次立方可開五乘方三次平方可開七乘方
　　三十三則
　　委粟求積
　　設委粟底周八十八尺高八尺八寸求積法曰置周自乘〈得七千七百四十四尺〉以高乘之〈得六萬八千一百四十七尺二寸〉再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求
　　解曰此即圓錐也圓形與周上方形之比例若七與
　　八十八〈二巻五則〉凡兩體等高者體與
　　體之比例若底與底圓體與周上
　　等高方體之比例必亦若七與八
　　十八今圓錐居圓體三之一以三
　　乘八十八得二百六十四則是圓錐與周上等高方體之比例必若七與二百六十四矣
　　二十四則
　　倚壁委粟求積
　　設倚壁委粟周四十
　　四尺高八尺八寸求
　　積法曰置周自乘〈得一
　　千九百三十六尺〉以高乘之
　　〈得一萬七千零三十六尺八寸〉再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求
　　解曰此圓錐之半也半錐居全錐二之一半周上方體〈與圓錐等高下同〉居全周上方體四之一故其比例為七與一百三十二也
　　三十五則
　　倚外角委粟求積
　　設倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求積法曰
　　置周自乘〈得四千三百五十六
　　尺以高乘之〉〈得三萬八千三
　　百三十二尺八寸〉再七乘一
　　百九十八除得一千
　　三百五十五尺二寸即所求
　　解曰此圓錐四之三也與全周上方體〈與圓錐等高下同〉之