数学钥 (四库全书本)/卷06

数学钥　卷六

　　钦定四库全书
　　数学钥卷六
　　柘城杜知耕撰
　　勾股
　　一则
　　勾股求
　　设勾六尺股八尺求法曰置勾股各自乘〈勾得三十六尺股得六十四尺〉两数并〈共一百尺〉平方开之得十尺即所求解曰不论勾股相等与否勾上方形及股上方形并
　　必与上方形等如甲乙丙
　　勾股形甲乙勾与丙乙股等
　　试作乙丁等高同底方形其
　　边与甲乙等必为勾上方又
　　与丙乙等亦必为股上方再
　　作戊巳外切方形其边与甲丙等即为上方若于形内减去乙丁方形馀甲乙戊等四三角形并之复等一乙丁方形〈一卷十一则〉以乙丁为勾方以等乙丁之四三角形为股方并之不等于戊巳方乎又如庚
　　辛壬勾股形庚辛短辛壬长
　　勾与股不相等者于庚辛勾
　　辛壬股庚壬上各作方形
　　为庚癸辛子辛丑次作辛寅
　　辛癸辛辰壬丑庚子五线几
　　何原本云庚辛壬与庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直线依显庚辛辛巳亦一直线又壬庚辰与辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰与壬庚丑两角亦等依显辛壬癸庚壬子两角亦等又庚
　　辛辰三角形之辛庚庚
　　辰两边与庚壬丑三角
　　形之丑庚庚壬两边等
　　辛庚辰与壬庚丑两角
　　复等则对等角之辛辰
　　与壬丑两边亦等而此
　　两三角形亦等矣夫辛
　　丑方形倍大于同庚丑底同在平行线内之庚壬丑三角形〈一卷八则既谓直形等于平行线内同底之象目形则必能倍大于平行线内同底之三角形〉而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行线内之庚辛辰三角形则辛丑方形不与辰卯直形等乎依显辛子方形与癸卯直形等则癸庚一形与辛子辛丑两形并等矣法以勾股各自乘求勾股上两方形也两形并则为上之方积故平方开之得也二则
　　勾求股
　　设勾六尺十尺求股法曰置勾各自乘〈勾得三十六尺得一百尺〉两数相减〈馀六十四尺〉平方开之得八尺即所求解曰上方积当一勾一股上方积于积内减去勾积所馀非股积而何故平方开之得股
　　三则
　　股求勾
　　设股八尺十尺求勾法曰置股各自乘〈股得六十四尺得一百尺〉两数相减〈馀三十六尺〉平方开之得六尺即所求解曰积内减去股积所馀必勾积故平方开之得勾
　　四则
　　勾股积及勾股较求
　　设勾股积二十四尺勾股较二尺求法曰置勾股积四因之〈得九十六尺〉另置勾股较自乘〈得四尺〉两数并〈共一百尺〉平方开之得十尺即所求
　　解曰甲乙丙
　　勾股形与戊
　　巳甲丁庚戊
　　乙辛丁三勾
　　股形等甲丙
　　为甲乙丙形之股甲巳为戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳馀己丙则勾股较也丙辛辛庚庚巳各与己丙等是己辛为勾股较上方形又甲乙为甲乙丙形之而丁乙戊丁甲戊各与甲乙等是甲丁为上方形今并五形成一甲丁方形则是一上方形与四
　　勾股积一勾股较上方积并等矣
　　故四因勾股积并入勾股较自乘
　　之积平方开之得也又如壬子
　　癸勾股形壬子勾与子癸股等四
　　形并即成一壬丑上方形而无馀凡遇勾股相等之勾股形四因积平方开之即得度
　　五则
　　及勾股较求勾股积
　　设十尺勾股较二尺求勾股积法曰置与勾股较各自乘〈得一百尺勾股较得四尺〉两数相减〈馀九十六尺〉以四归之得二十四尺即所求
　　解曰上方积减去勾股较上方积必馀四勾股积故四归之得一勾股积
　　六则
　　及勾股积求勾股较
　　设十尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置自乘〈得一百尺〉另置勾股积四因之〈得九十六尺〉两数相减〈馀四尺〉平方开之得二尺即所求
　　解曰上方积减去四勾股积所馀必勾股较上方积故平方开之得勾股较
　　七则
　　及勾股和求勾股较
　　设十尺勾股和一十四尺求勾股较法曰置自乘
　　〈得一百尺〉倍之〈得二百尺〉另置勾股和
　　自乘〈得一百九十六尺〉两数相减〈馀四尺〉平方开之得二尺即所求
　　解曰甲巳方形内凡八勾股
　　形而皆等乙戊为戊丁乙形
　　之股甲乙为乙丙甲形之勾甲乙乙戊并得甲戊乃勾股和也馀三边皆等于甲戊是甲己为勾股和上方形又丙丁为上方形辛壬为勾股较上方形〈本卷
　　四则夫〉上方形内得勾股形
　　四及勾股较上方形一勾股
　　和上方形内得勾股形八及
　　勾股较上方形一是一勾股
　　和上方形当上方形二而
　　少一勾股较上方形也故倍
　　羃减勾股和自乘之积平方开之得勾股较八则
　　勾股和及勾股积求
　　设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求法曰置勾股和自乘〈得一百九十六尺〉另置勾股积四因之〈得九十六尺〉两数相减〈馀一百尺〉平方开之得十尺即所求
　　解曰勾股和上方大于上方者四勾股积也故相减开方得
　　九则
　　勾股和及勾股积求勾股较
　　设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置勾股和自乘〈得一百九十六尺〉另置勾股积八因之〈得一百九十二尺〉两数相减〈馀四尺〉平方开之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股较上方者八勾股积也故相减开方得勾股较
　　十则
　　及勾股较求勾股和
　　设十尺勾股较二尺求勾股和法曰置自乘〈得一百尺〉倍之〈得二百尺〉另置勾股较自乘〈得四尺〉两数相减〈馀一百九十六尺〉平方开之得一十四尺即所求
　　解曰倍上方积大于勾股和上方积者勾股较上方积也故相减开方得勾股和
　　十一则
　　勾股积及勾股较求勾股和
　　设勾股积二十四尺勾股较二尺求勾股和法曰置勾股积八因之〈得一百九十二尺〉另置勾股较自乘〈得四尺〉两数并〈共一百九十六尺〉平方开之得一十四尺即所求解曰即九则法反用之
　　十二则
　　及勾股积求勾股和
　　设十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置自乘〈得一百尺〉另置勾股积四因之〈得九十六尺〉两数并〈共一百九十六尺〉平方开之得一十四尺即所求
　　解曰即八则法反用之
　　十三则
　　勾和股和求勾股
　　设勾和一十六尺股和一十八尺求勾股法曰置勾和股和相乘〈得二百八十八尺〉倍之〈得五百七十六尺〉平方开之得二十四尺为勾股和与勾和相减
　　馀八尺即股与股和相减
　　馀六尺即勾与二勾一股相
　　减馀十尺即
　　解曰甲乙直形为勾和股
　　和矩内形乙丁乙丙皆与
　　等丁戊与勾等丙庚与股等则己乙必为方巳戊必勾矩内形己庚必股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形为勾股和上方形壬癸壬子皆与等癸丑子寅皆与股等丑卯寅辰皆与勾等则
　　巳壬必为
　　方午巳必为
　　股方辛午必
　　为勾方未癸
　　申子必皆股
　　矩内形酉
　　丑戌寅必皆勾矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形与甲乙直形较则未癸申子并倍于己庚酉丑戌寅并倍于巳戊午酉午戌并倍于甲巳又午巳股方与辛午勾方并与己壬方等是己壬午巳辛午三形并复倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股和上方形一与勾和股和矩内形二并等矣故以勾和乘股和倍而开方得勾股和也于勾股和内减去一一股所馀必勾减去一一勾所馀必股减去一勾一股所馀必也
　　十四则
　　股及勾较求勾与
　　设股八尺勾较四尺求勾法曰置股自乘〈得六十四
　　尺另置勾〉
　　较自乘〈得一十六
　　尺两数相减〉
　　〈馀四十八尺〉折半
　　〈得二十四尺〉以勾
　　较除之得
　　六尺即勾加勾较得十尺即
　　解曰甲乙为上方形丙丁为勾上方形戊巳为勾较上方形于甲乙方内减去丙丁勾方所馀必股上方积成一辛壬癸磬折形再减去勾较上方形所馀必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁为阔丙庚庚丁为长甲丙乙丁即勾较也丙庚庚丁为勾上方形之边即勾也法以两数相减所馀者即二直形也折半者取二直形之一也以勾较除之得勾者即以阔除积得长也○或以两数相减之四十八尺为实倍勾较除之亦得勾○或以股自乘为实以勾较除之得数减勾较折半亦得勾
　　十五则
　　勾及股较求股与
　　设勾六尺股较二尺求股法曰置勾自乘〈得三十六
　　尺另置股〉较自乘〈得四尺〉两
　　数相减〈馀三十二尺〉折半〈得一十六尺〉以股较除之得八尺即股
　　加股较共十尺即
　　解曰甲乙方内减去丙丁
　　股方戊巳股较方所馀必甲
　　庚庚乙两直形折半则得一直形故以股较除之得股十六则
　　股羃及勾较求勾和
　　设股羃六十四尺勾较四尺求勾和法曰置股
　　羃为实以勾较除之
　　得一十六尺即所求
　　解曰十四则辛壬癸磬
　　折形其甲乙元与等
　　丙丁元与勾等若移癸
　　于戊则成辛壬戊直形以勾较为阔勾和为长矣故以勾较除股羃得勾和
　　十七则
　　勾羃及股较求股和
　　设勾羃三十六尺股
　　较二尺求股和法曰
　　置勾羃为实以股较
　　除之得一十八尺即所
　　求
　　解曰十五则辛壬癸磬折形其甲乙元与等丁丙元与股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股较为阔股和为长矣故以股较除勾羃得股和十八则
　　股羃及勾和求勾较
　　设股羃六十四尺勾和一十六尺求勾较法曰置股羃为实以勾和除之得四尺即所求
　　解曰即十六则法反用之
　　十九则
　　勾羃及股和求股较
　　设勾羃三十六尺股和一十八尺求股较法曰置勾羃为实以股和除之得二尺即所求
　　解曰即十七则法反用之
　　二十则
　　勾较股较求勾股
　　设勾较四尺股较二尺求勾股法曰置勾较股较相乘〈得八尺〉倍之〈得一十六尺〉平方开之〈得四尺〉加股较得六尺即勾加勾较得八尺即股加勾
　　较股较得十尺即
　　解曰甲乙为方丁乙为勾
　　方甲丙为股方以丁乙勾方
　　甲丙股方错综加于甲乙
　　方之上必缺戊巳庚辛二直
　　形而重一丁丙方形然丁丙
　　方形必能补二直形之缺而与之等何也丁乙勾方甲丙股方并等于甲乙方若丁丙方形或大或小于二直形则是勾方股方并不与方等矣夫勾方股方并既与方等则二直形并亦必与丁丙方形等法以两较相乘而倍之者求二直形也〈二直形以戊壬癸辛勾较为长以壬巳癸庚股较为阔〉平方开之者求丁丙方形之一边也以一边加股较之癸庚得癸丁即勾加勾较之戊壬得丙壬即股加一勾较之戊壬一股较之癸庚得癸丁及戊壬即
　　二十一则
　　相连之勾股求
　　设圆柱高二十尺周三尺以索绕柱七周与柱适齐
　　求索长法曰置柱周
　　三尺以索绕七周因
　　之〈得二十一尺〉自乘〈得四百四
　　十一尺另置柱高自乘〉
　　〈得四百尺〉两数并〈共八百四十一
　　尺平方开之得二十〉
　　九尺即所求
　　解曰索绕柱七周即
　　七叚勾股也柱高二十尺为七股七周二十一尺为七勾索长为七也此条元当七归柱高取七股之一用勾股求法得数七因之为长然七归二十尺乃畸零不尽之数不得不七因勾以就股也以柱高为股即并丁戊等七小股成一丙乙大股以七周为勾即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股并既同于大勾大股而总求一甲丙大有不同于甲丁等七小并乎故求甲丙大为索长也二十二则
　　相连之股求勾
　　设圆柱高二十尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱周法曰置柱索各自乘〈柱得四百尺索得八百四十一尺〉两数相减〈馀四百四十一尺〉平方开之〈得二十一尺〉以索绕七周归之得三尺即所求
　　解同前
　　二十三则
　　相连之勾求股
　　设圆柱周三尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱高法曰置柱周七因之〈得二十一尺〉自乘〈得四百四十一尺〉另置索自乘〈得八百四十一尺〉两数相减〈馀四百尺〉平方开之得二十尺即所求
　　解同二十一则
　　二十四则
　　勾股形求对角之垂线
　　设勾六尺股八尺十尺求对角垂线法曰置勾股相乘〈得四十八尺〉以除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乘必得丁丙直形与甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形
　　亦倍大于甲
　　乙丙勾股形
　　故等也以
　　除积得垂线
　　即以长除积
　　得阔也
　　二十五则
　　勾股形于上求自角至垂线之度
　　设勾三尺股四尺五尺求自角至垂线之度法曰
　　置勾自
　　乘〈得九尺〉以除
　　之得一
　　尺八寸
　　即乙角
　　至垂线之度与相减得三尺二寸即甲角至垂线之度
　　解曰甲乙上方形以对角戊丁线分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形与勾上方形等〈本卷一则〉以乙巳除之必得戊乙之度法以除者盖甲乙与乙巳等也○若欲先得甲戊则以除股羃
　　又法曰置为实以勾羃九尺乘之〈得四十五尺〉并勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸
　　解曰凡两形等高形与形之比例若线与线〈一卷四十五则〉甲丁戊巳两形既等高〈图同前〉则其比例必若甲戊与戊乙又甲丁与股羃等戊巳与勾羃等则股羃与勾羃之比例亦若甲戊与戊乙矣此借两羃之比例因全以求戊乙也○若欲先得甲戊则以股羃乘并两羃除之
　　又法曰并勾股〈共七尺〉以勾股较乘之〈仍得七尺〉以除之〈得一尺四寸〉与相减〈馀三尺六寸〉折半亦得一尺八寸解曰此三角形求对角垂线法也〈一卷三十一则〉○若欲先得甲戊以一尺四寸与相并折半即得
　　二十六则
　　勾股求容方一法
　　设勾六尺股一十二尺求容以角切之方形法曰置勾股相乘〈得七十二尺〉以勾股相并〈共一十八尺〉除之得四
　　尺即容方之边
　　解曰甲乙丙勾股形
　　分甲丙于丁令丁
　　甲与丁丙之比例若
　　勾与股自丁作丁乙
　　线必分勾股形为甲丁乙乙丁丙两三角形一以勾为底一以股为底又两分形之比例亦若勾与股〈㡬何原本云凡两形等高者形与形之比例若底与底反之凡形与形之比例若底与底者两形之高必相等〉令两分形各倍积求对角之垂线〈本卷二十四则〉一得丁戊一得丁巳两线必相等何也两垂线即两形之正高两形之高既等故两垂线必等也两线既等而又为为勾及股之垂线复切于丁则己戊形必为勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之边也然分求之如是合求之亦必如是若并两形之倍积为实并两底除之亦得容方之边与丁戊〈或丁已〉等夫两形之倍积即勾与股相乘之积也两分形之底即勾与股也故置勾股相乘并勾股除之即得容方之度也
　　二十七则
　　勾股求容方二法
　　设一十五尺对角垂线五尺求容以角切勾与股之方形法曰置垂线为实以乘之〈得七十五尺〉以垂线
　　并除之得三尺七
　　寸五分即容方之边
　　解曰甲乙丙勾股形
　　丙丁为对角垂线分
　　垂线于戊令丙戊与
　　戊丁之比例若丙丁与甲乙则戊丁即所求之方边㡬何原本云作庚戊己线与甲乙平行次作庚壬己辛两线各与丙丁平行己庚既与甲乙平行即甲丁与丁乙若己戊与戊庚也合之即甲乙与丁乙若己庚与戊庚也又丁乙与丙丁若戊庚与丙戊平之即甲乙与丙丁若己庚与丙戊也又丙丁与甲乙若丙戊与戊丁平之即甲乙与甲乙若己庚与戊丁也甲乙与甲乙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等戊丁与己辛庚壬亦等则辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方边之度法以乘垂线而并与垂线除之者借甲乙与丙丁之比例因丙丁以求戊丁也
　　二十八则
　　勾股求容圆
　　设勾二十七尺股三十六尺四十五尺求容圆法曰置勾股相乘〈得九百七十二尺〉为实并勾股〈共一百零八尺〉除之得九尺即容圆之半径倍之得一十八尺即全径解曰甲乙丙勾股形自三角各出一线平分各角相
　　遇于丁即分勾股形为甲丁
　　乙乙丁丙丙丁甲三三角形
　　一以全形之勾为底一以股
　　为底一以为底各角既平
　　分而复有一边同线则三形
　　必等高令三形各倍积求对角之垂线〈本卷二十四则〉一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂线必等何也三垂线即三形之正高三形既等高故垂线必等也三线既等其相遇处必容圆之心〈几何原本云凡圆内出三线至界而皆等者其点必是圆心〉而三线皆半径也然分求之如是合求之亦必如是若并三形之倍积为实并三底除之亦得容圆之半径与丁戊〈或丁已或丁庚〉等夫三分形之倍积即勾与股相乘之积也三分形之底即勾股也故置勾股相乘并勾股除之得容圆之半径也
　　二十九则
　　勾股求外切圆
　　设勾股长二十八尺求外切圆周法曰置二十二乘七除得八十八尺即所求
　　解曰此圆径求周法也〈二卷一则〉今以之求勾股外切圆
　　形何也凡圆内以径为底任
　　作三角形皆成勾股如甲乙
　　丙形丙为方角甲乙丁形丁
　　为方角甲乙戊形戊为方角
　　反之以为径作圆必外切
　　勾股形之方角
　　三十则
　　容方之勾股以馀勾馀股求方边及全勾全股
　　设容方之馀勾二尺馀股八尺求方边及全勾股法曰置馀勾馀股相乘〈得一十六尺〉平方开之得四尺即方
　　边以四尺加馀勾得六
　　尺即全勾以四尺加馀
　　股得一十二尺即全股
　　解曰甲乙丙勾股形容
　　壬巳方形自甲作甲丁
　　线以丙丁线联之成乙
　　丁直形复于己庚壬庚
　　两线引之至戊至辛必分乙丁直形为四形其甲庚庚丙同依甲丙对角线为两角线形其乙庚庚丁为两馀形两馀形之容必相等㡬何原本云甲丙对角线必分乙丁全形为丁甲丙乙丙甲相等两勾股形亦分庚丙角线形为辛庚丙巳丙庚相等两勾股形亦分甲庚角线形为戊甲庚壬庚甲相等两勾股形试于乙丙甲形内减去己丙庚形于丁甲丙形内减去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙两形既等减去之己丙庚辛庚丙两形复等则所馀之甲乙庚巳甲丁庚辛两斜方形必相等再于甲乙庚己形内减去甲庚壬形于甲丁庚辛形内减去戊甲庚形两斜方既等减去之甲庚壬戊甲庚两形复等所馀戊辛直形与壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾减去壬巳方形之壬乙边馀甲壬即馀勾丙乙股减去己乙边馀丙巳即馀股辛庚与馀股等戊庚与馀勾等则戊辛直形之容必即馀勾馀股相乘之积而戊辛直形又与壬巳方形等则壬巳方形之容亦必馀勾馀股相乘之积也故置馀勾股相乘平方开之得容方边也
　　三十一则
　　容方之勾股以馀股及方边求馀勾
　　设容方之馀股八尺方边四尺求馀勾法曰置方边自乘〈得　十六尺〉以馀股除之得二尺即所求
　　解曰壬己方形既等于戊辛直形〈图同前〉而直形以馀股为长以馀勾为阔故以馀股除积得馀勾
　　三十二则
　　容方之勾股以馀勾及方边求馀股
　　设容方之馀勾二尺方边四尺求馀股法曰置方边自乘〈得一十六尺〉以馀勾除之得八尺即所求
　　解同前
　　三十三则
　　日晷测高
　　设物不知高止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物高法曰置物景为实以表高乘之〈得九十六尺〉以表景除之得四十尺即所求
　　解曰物高与物景表高与表景各以日光联之必皆
　　成勾股形而
　　体势等凡两
　　形体势等者
　　其比例必等
　　物高与物景
　　之比例必若表高之与表影也又表影与物景之比例必若表高之与物高也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表高矣法以表高乘物景而以表景除之者借表景与物景之比例因表高以求物高也
　　三十四则
　　一表测高
　　设物不知高距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线求物高法曰置表距高物二十五尺为实以窥表减表〈馀六尺〉乘之〈得一百五十尺〉以退行五尺除之得三十尺为表外之高加表高共四十尺即物高
　　解曰癸丁为物高壬子为表高乙丑为窥表乙丁对
　　角线为视线戊壬为表距高
　　物之二十五尺壬辛为窥表
　　减表所馀之六尺乙辛为退
　　行之五尺也甲丙一形分为
　　四形其辛巳戊庚为两角线
　　形其甲壬壬丙为两馀形两
　　馀形之容必相等〈本卷三十则〉法
　　以窥表减表以乘距高物之
　　度必得甲壬馀形之积甲壬
　　既等于壬丙则甲壬馀形之积亦即壬丙馀形之积矣故以退行五尺除之得庚壬庚壬与丁戊等丁戊则物高于表之度也是以加表得物之全高
　　三十五则
　　一表测远
　　设物不知远立表四尺退二尺五寸立窥表四尺五寸自窥表望之物脚与表末相齐成一直线求物远法曰置表高为实以退二尺五寸乘之〈得十尺〉以表减
　　窥表〈馀五寸〉除之得二十尺
　　即表距远物之度
　　觧曰以退二尺五寸乘表
　　高必得辛巳馀形之积然
　　辛己与戊庚等则辛己馀
　　形之积亦即戊庚馀形之
　　积矣故以表减窥表所馀
　　之五寸除之得壬戊壬戊与辛甲等辛甲则表距远物之度也
　　三十六则
　　一表测广
　　设邑不知广立窥表于甲甲距邑丁角五百尺立表于壬自甲视邑之丙角与表相齐成一直线次移前表于戊令戊壬与邑平行自甲视邑之丁角亦与表相齐成一直线自甲至戊二尺戊至壬六尺求邑广法曰置窥表距丁角五百尺为实以戊至壬六尺乘之〈得三千尺〉以甲至戊二尺除之得一千五百尺即邑广解曰戊庚辛己两馀形既等每加一辛戊角线形成
　　甲庚甲己两直形两
　　形之容必亦等何也
　　两馀形既等所加者
　　复等故也法以戊壬
　　乘甲丁必得甲庚直
　　形之积甲庚直形之
　　积即甲己直形之积
　　也故以甲戊除之得
　　戊巳戊巳与丁丙等丁丙则邑广也
　　三十七则
　　一表测深
　　设井不知深
　　井面阔八尺
　　自井边退二
　　尺立表六尺
　　自表末视水
　　面甲角与壬
　　边相齐成一
　　直线求井边至水面之深法曰置面阔八尺为实以表高乘之〈得四十八尺〉以表至井边二尺除之得二十四尺即所求
　　解曰以表高乘井阔即以丙己乘戊壬所得必戊庚馀形之积戊庚馀形之积即辛己馀形之积故以表距井边之壬己除之得壬辛壬辛即井深也
　　三十八则
　　重表测高远
　　设物不知高及远立表十尺退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线自表退行一十五尺复立表十尺又退行八尺复立窥表四尺自窥表望之物末亦与表末相齐成一直线求高及远法曰置窥表减表馀六尺为实以两表相距一十五尺乘之〈得九十尺〉以前窥表距前表五尺减后窥表距后表八尺馀三尺除之得三十尺即表外之高加表高共四十尺即物高又置前窥表距前表五尺为实以两表相距一十五尺乘之〈得七十五尺〉亦以两窥表距两表之度相减馀三尺除之得二十五尺即物远解曰自窥表末及表末作丙丁甲乙两平行线以戊
　　乙戊己两视线联之必
　　成六勾股形其丙庚戊
　　形为甲己戊之截形两
　　形之比例必等辛己庚
　　形亦甲己戊之截形两
　　形之比例必亦等丙庚
　　戊与辛巳庚两形之比
　　例既皆等于甲巳戊是
　　辛己庚丙庚戊两形之
　　比例亦等矣壬乙丁形
　　与丙丁戊形亦同此论
　　夫辛己庚形之比例既
　　同于丙庚戊壬乙丁形
　　之比例既同于丙丁戊
　　则丙庚与辛己必若丙
　　丁与壬乙又丙丁与丙
　　庚必若壬乙与辛己也今丙丁与丙庚之较为庚丁壬乙与辛己之较为癸乙癸乙与庚丁两较之比例必俱等于相当各线之比例若是则丙庚与辛己戊丙与辛庚皆若庚丁与癸乙矣法置馀表六尺为实以十五尺乘之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛庚以求丙戊也置窥表距表之五尺为实以十五尺乘之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛己以求丙庚也丙戊为表外之高丙庚则物远也三十九则
　　重表测广深
　　设谷不知深及广自谷
　　边退行六尺立窥表五
　　尺从窥表望之底角与
　　边角相齐成一直线复
　　于谷边立表一十五尺
　　将前窥表接高一十八
　　尺共二十三尺从窥表
　　望之底角与表末相齐
　　成一直线求深及广法
　　曰置前窥表五尺为实以表高一十五尺乘之〈得七十五尺〉以表〈一十五尺〉并前窥表〈五尺○共二十尺〉减后窥表〈二十三尺〉馀三尺除之得二十五尺即谷深又置退行六尺为实以表高一十五尺乘之〈得九十尺〉亦以三尺除之得三十尺即谷广
　　解曰与测高远同但有纵衡之殊耳
　　四十则
　　测远之远
　　设甲至乙八百步甲至丙七百步今自甲向乙行七
　　十二步立表于丁从
　　甲望之乙与表齐自
　　甲向丙行六十三步
　　立表于戊从甲望之
　　丙与表齐俱成直线
　　丁至戊五十四步求
　　乙至丙之远法曰置
　　甲至丙七百步为实以丁至戊五十四步乘之〈得三万七千八百步〉以甲至戊六十三步除之得六百步即所求解曰六十三步之与七百步七十二步之与八百步其比例等因知丁戊与乙丙两线必平行凡三角形以与底平行线分之其分形之比例必等于全形甲丁戊既为甲乙丙之分形而丁戊乙丙又平行则甲戊与戊丁必若甲丙与丙乙也又乙丙与戊丁必若甲丙与甲戊也法置七百步为实以五十四步乘之六十三步除之者借甲戊与丁戊之比例因甲丙以求丙乙也○又截法如甲丙七百步则取七步为庚甲乙八百步则取八步为己巳庚六步乙丙必六百〈步与乙步之比例也数学钥卷六〉
















　　步何也皆百
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>