数学 (四库全书本)/卷2

数学　卷二

　　钦定四库全书
　　数学卷二
　　婺源江永撰
　　岁实消长辨
　　〈岁实消长前人多论之者勿庵先生大约主授时而亦疑其百年消长一分以乘距算其数骤变殊觉不伦又谓今现行之岁实稍大于授时其为复长亦似有据因为高冲近冬至而岁馀渐消过冬至而复渐长之说盖存此以俟后学之深思永别为之说谓平岁实本无消长而消长之故在高冲之行与小轮之改两岁节气相距近高冲者岁实稍嬴近最高者稍朒犹定朔定望定之不能均惟逐节气算其时刻分秒而消长可勿论也管见如斯遂不能强同爰引先生之言逐节疏论于下〉
　　勿庵先生曰〈历学答问〉授时以万分为日故其岁实三百六十五万二千四百二十五分其数自至元辛巳岁前天正冬至积至次年壬午岁前天正冬至共得三百六十五日二十四刻二十五分若逆推前一年亦是如此〈如自庚辰年十一月冬至逆推至己卯年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分〉此岁实之数大统与授时并同
　　永按岁实为历法大纲领得其真确之数为难四分历以前无论已魏晋以后渐知一岁小馀不及四分日之一随时测验一历必更一斗分不久即有差此何以故盖步历者泥履端于始之义但以岁前冬至距今年冬至计其小馀时刻并入大馀以为岁实不知冬至距冬至所得者活汎之岁实而非经恒之岁实也欲得经恒岁实宜于近春分时测之〈元至元时当测定气春分〉今岁春分距来岁春分苟得真时刻则得真岁实又以前后远年测凖之春分计其日时分秒均之各岁则岁实之恒率确矣此何也太阳因有高卑而生盈缩近数百年间春分则平行〈当郭氏作历时定气春分之日正当平行之处此以前以后虽有此亦甚微〉故所得岁实为恒率得其恒乃可以求其定犹之月必有平朔之䇿而后可求定朔也郭太史改历自言创造简仪高表凭所测实数考正者七事一曰冬至二曰岁馀其于岁实考之详矣其求冬至也自丙子年立冬后依毎日测到晷景逐日取对冬至前后日差同者为凖得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻辛巳冬至在己未日夜半后六刻〈从甲子日始五十五日零六刻气应五十五万零六百分为历元〉其求岁馀也自刘宋大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距各得其时合用岁馀考验四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年毎岁各得三百六十五日二十四刻二十五分减大明历一十一秒其二十五分为今历岁馀合用之数愚以此二条考之即郭氏当年所定之岁实已有微差稽之于史又多抵牾其可以是为消长之凖乎夫一岁小馀二十四刻二十五分积之四岁正得九十七刻无馀无欠丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半则辛巳年冬至宜在己未夜半后五刻半不应有六刻如以辛巳之六刻为确也则丁丑年宜在九刻不应只有八刻半此四年既皆实测所得则己亥半刻矣而云相符不差何也〈丁丑年之八刻半虽约取整数未必正是半刻然已有数十分矣其本法上考已往百年而长一刻四年所长甚微不应有半刻以下然则当时冬至岁实刻下之小馀不止二十五分矣〉又考刘宋孝武帝大明五年辛丑祖冲之所测十月十日壬戌景长一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相较馀二分二釐半为实以丁未戊申景相较馀六分五釐为法以法除实得三十四刻六十分以减距日四千六百刻馀四千五百六十五刻四十分折取其日〈二千二百八十二刻七十分〉加半日刻〈午正测景故加半日〉得二千三百三十二刻七十分命壬戌算外得十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分〈刘宋都建康比元大都里差应后五十七分则大都此日冬至三十二刻一十三分○按刘宋时太阳最高冲在冬至前几半宫则取冬至前后二十馀日之景折取中数以求冬至仍有差详见冬至权度条〉辰初三刻冬至〈大都减半刻奇〉大明壬寅〈辛丑年之十一月即壬寅岁之始〉下距至元辛巳八百一十九年以授时岁实积之凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分以乙酉辰初三刻距己未丑初一刻凡二十九万九千一百三十三日九十二刻较多三十三刻而云自大明壬寅距今毎岁合得此数何也〈如郭氏百年长一之法以八百一十九总乘所长之数则壬寅冬至甲申日七十九刻太较当时所测算者又先五十馀刻则失之愈逹矣○详冬至权度〉又云减大明历一十一秒考祖冲之大明历纪法与周天一岁小馀二十四刻二十八分一十四秒授时减去三分一十四秒亦非一十一秒也〈邢士登律历考谓金时赵知微重修大明历小馀二十四分三十六秒实多授时一十一秒郭所减者赵历非祖历也其说是〉然则授时
　　所定岁实犹是近似活泛之数而不可
　　以为恒欲定经恒之岁实则西历恒年表之恒率是矣按表一岁小馀五小时三刻三分四十五秒〈一日二十四小时一小时四刻一刻十五分一分六十秒〉以分通之三百四十八分有奇以秒通之二万○九百二十五秒〈一日八万六千四百秒〉考其实则回回历已如此回回历法一岁三百六十五日岁有十二宫宫有闰日一百二十八年闰三十一日然则一岁闰一百二十八分日之三十一正西法之岁馀也〈以一百二十八乘二万○九百二十五得二百六十七万八千四百以八万六千四百除之得三十一是也〉回回历以春分为岁首其岁馀由累测春分得之欧逻巴历遂用之至今因之虽分下之四十五秒未必无脁朒当亦甚微矣以此平率为凖随其时之最高冲与最高之行而进退焉冬至近高冲则两岁冬至之距必多于平率〈今时多一分弱〉夏至近最高则两岁夏至之距必少于平率〈今时少一分弱犹之太阴当朔时入转两朔相距之日时必多当望时近月孛两望相距之日时必少若朔时近月孛望时近入转两朔两望相距反是〉又古时太阳本轮均轮半径之差大于今日则加减均数亦大而冬至岁实当更增至元辛巳间高冲约与冬至同度则岁实尤大其小馀刻下之分约有三十分而授时定为二十五分宜其自丁丑至辛巳四年之间即有半刻之差而郭氏未之觉也〈一年少五分四年少二十分几于半刻之半矣丁丑年之八刻半本为约略之数半刻以下固难测算真的也○以西法岁馀依授时万分日较之只有二十四刻二十一分八十七秒半少授时岁馀三分一十二秒半当时冬至为盈初小轮半径差又大其多于平率必不止三分有奇者也〉
　　然授时原有消长之法是其新意其法自辛巳元顺推至一百年则岁实当消一分〈依法推至洪武十四年辛巳满一百年其岁实消一分为三百六十五日二十四刻二十四分〉若自辛巳元逆推至一百年则岁实当长一分〈依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑满一百年岁实长一分为三百六十五日二十四刻二十六分〉毎相距增一百年则岁实消长各增一分以是为上考下求之凖大统诸法悉遵授时独不用消长之法上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分此其异也
　　永按冬至相距之岁实大于平率最高冲有行度而小轮均数又有大小宜其岁实有消长分数然必当时测定之岁实已真确又知其无可复加而后知将来之渐消若授时岁馀刻下之二十五分尚非确数其差分已见端于丁丑辛巳四年之间则辛巳以后能必其果消乎郭太史历考正者七事创法者五事皆不数岁实消长盖未能真知所以消长之故但暗用杨忠辅统天历为活法以推往古意谓下考将来亦如是耳明大统历悉遵授时独不用消长之法当时历官元统非有确见实测知其不当用消分也以今观之犹幸大统不用消分冬至纵有先天尚未甚远倘遽改二十五分为二十四分其先天不愈多乎〈当至元时刻下小馀约有三十分授时一岁少五分百年约先天五刻〉
　　岁实即一年之日数自一年以至千百年共积若干是为积日亦谓之中积〈上考下求皆距至元辛巳立算〉假如今康熙庚午岁相距四百零九算依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分〈因距算四百以上岁实当消四分为三百六十五日二十四刻二十一公以乘距算四百零九得如上数〉大统不用消长则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分两法相差一十六刻三十六分〈以命冬至日辰授时得癸卯日丑初三刻大统得癸卯日卯初三刻〉
　　永按凡天行盈缩进退必以渐无骤増骤减之理郭氏百年消长一分则是百年之内皆无所差至一百零一年骤増减一分又越百年皆平差一分至二百零一年又骤増一分岂有此数与法乎即如其法算数百年后亦当逐节计其消分积而数之不当总计当消之分而以距算总乘之也如大统历康熙庚午冬至癸卯日卯初三刻查时宪书乃是巳初一刻〈大统先天一十四刻〉授时大统用消分均之无当于天行其故何哉当年所测岁实刻下小馀其数不真故也岁实已弱矣而又消之安得不先天乎使当改二十五分为三十分由辛巳以后渐而消之或庶几耳曰至元岁馀若果二十四刻三十分则上考当长乎消乎曰上考亦消也盖至元时高冲与冬至同度小轮均数又最大故冬至岁实为长极之时而上考下考皆当消但消于三十分之内非消于二十五分之内也〈今时高冲在冬至后七八度小轮又渐小冬至岁馀以万分日计之约二十四刻二十八九分之间刘宋大明时高冲在冬至前半宫以祖冲之纪法除其岁周当时岁实三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒可见至元前后皆消于三十分之内其消甚迟约四百馀年始消一分盖小轮均数在初宫有若平差故也至一宫以外则渐疾矣〉若以春分平岁实相较则冬至岁实上下数千年皆在长限之中而至元时尤为长之极必俟高冲行至春分则冬至岁实始平〈如今之春分〉又数千年高冲行至夏至最高行至冬至则冬至岁实始为消之极耳〈如今之夏至〉然冬至岁实消则春分岁实长冬至岁实消之极则夏至岁实又为长之极矣抑今日本轮差小古时差大则消长中复有消长苟知此理则后之治历者但随时测高冲之行与小轮之差以算定气而岁实消长俱可勿论犹之太阴但实算定朔定望定不必复计此月与彼月多于朔䇿几何少于朔䇿几何也
　　又曰〈历学疑问〉问岁实既有一定之数授时何以有消长之法曰此非授时新法而宋统天之法然亦非统天亿创之法而合古今累代之法而为之者也
　　永按统天历宋宁宗时杨忠辅所造其岁实与授时正同以斗分乘距差为躔差暗藏加减之法约百年加减一分零六秒弱然行之未久鲍澣之造开禧历臧元震造成天历皆増岁实改各率纷纷竟无定论云
　　盖古历周天三百六十五度四分度之一一岁之日亦如之故四年而増一日其后渐觉后天皆以为斗分太强因稍损之
　　永按古历四年而増一日其术甚疏虽古斗分宜多亦百数十年即当后天一日何以自周迄汉久而后觉曰周之历却失之先天僖公五年辛亥日南至昭公二十年己丑日南至皆先天二三日历数百年以有馀之岁实盈其所先之数乃适得其平〈约在周秦间〉厥后犹执四分之术渐失之后天故久而后觉耳
　　自汉而晋而唐而宋毎次改历必有所减以合当时实测之数故用前代之历以顺推后代必至后天以斗分强也〈斗分即岁馀〉若用后代之历据近测以逆溯往代亦必后天以斗分弱也
　　永按汉已前之冬至非实测先后天或至二三日后汉末刘洪始觉其后天而改斗分东晋虞喜始立岁差法后秦姜岌始知以月蚀冲检日宿度所在而刘宋之初冬至犹后天三日大明时祖冲之始解于测景以冬至前后二十馀日之景比对取中而定冬至然后冬至日躔渐得其实犹不能尽合也故唐一行谓麟德历已前实录所记乃依时历书之非候景所得郭太史谓自大明历以来测景验气得冬至时刻真数者有六然则实测之能合天者亦鲜矣
　　统天历见其然故为之法以通之于岁实平行之中加一古多今少之率则于前代诸历不相乖戾而又不违于今之实测此其用法之巧也然统天历藏其数于法之中而未尝明言消长授时则明言之今遂以为授时之法耳郭太史自述创法五端初未及此也
　　永按授时历实暗用统天之法者也其岁馀二十四刻二十五分与统天同而上推百年长一之法亦相似故授时历议谓自鲁献公戊寅至至元辛巳冬至日名共四十九事授时法合者三十九不合者十统天不合者惟献公戊寅与授时异馀三十八与授时同二历推冬至略相似也然而刘宋大明壬寅岁前冬至乙酉夜半后三十二刻七十分则当时祖冲之测景推算所得者纵有未确亦不甚远〈当时所算约后天十六刻详见冬至权度〉依授时统天法皆推甲申日戌初初刻先天甚多岂可谓大明非而授时统天是欤郭氏谓自大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距既以大明壬寅之冬至为得真数之首矣及用法推算即失此至乃谓日度失常其可乎以今观之一由授时所定岁馀本未真一由长数当渐积不当总计长分而以八百一十九距算总乘之也〈统天距差乘差躔差咸汎积失亦略同〉
　　然则大统历何以不用消长曰此则元统之失也当时李德芳固已上疏争之矣然在洪武时去授时立法不过百年所减不过一分积之不过一刻故虽不用消长无甚差殊也崇祯历书谓元统得之测验窃不谓然何也元统与德芳辨但言未变旧法不言测验有差又其所著通轨虽便初学殊昧根宗间有更张辄违经旨〈如月食时差既内分等俱妄改背理〉岂能于冬至加时先后一刻之间而测得真数乎
　　永按明初李德芳与元统争岁实消长为历家一段公案关系有明二百馀年之历法邢士登恨元统不用消分致万历间节气后天九刻有奇愚有以断之据授时岁实上考固宜有长分矣然而授时之岁馀本未确则所据以为长之端者亦未真既言毎百年长一分则当以渐而长乃总计长分以乘距算则又无此算法观其推至大明壬寅巳违当时之实测又何论春秋以前乎德芳所据者谓鲁献公十五年戊寅天正甲寅冬至依授时法推得甲寅日夜子初三刻依大统法推得己未日午正三刻〈己未史误作丁巳〉相差四日六时五刻当用至元辛巳为元及消长之法方合天道夫鲁献公之年史有舛错本难凭信汉志谓献公十五年甲寅冬至此自刘歆三统历逆推当年冬至是甲寅耳岂有实测纪之信史哉而德芳以此驳元统其无卓识可知矣然元统之不用消长也初无实据但云上考下推不用消长以合天道又云天道无端惟数可以推其机天道至妙因数可以明其理理因数显数从理出故理数可相倚而不可相违夫既未尝实测而凭虚以言天道言理数宜其不能服德芳也今日历学大明由后观之前此二百馀年犹幸元统不用消分冬至加时先天尚未甚远盖授时岁馀一岁约少五分自至元辛巳至洪武甲子一百零三年固已先天五刻矣使大统减一分又越百年二百年而更减之先天不愈多乎邢士登谓万历间大统历后天九刻此非有所测验但据用消分与不用消分积算如此岂知明历皆失之先天乎观前所举康熙庚午年时宪书癸卯日巳初一刻冬至依大统算卯初三刻先天一十四刻若依授时算丑初三刻则先天三十刻自辛酉溯戊辰五十馀年约减二三刻则戊辰以前大统历率先天十一二刻若用授时法先天遂至二十七八刻矣此岂可厚非大统乎
　　然则消长必不可废乎曰上古则不可知矣若春秋之日南至固可考据而唐宋诸家之实测有据者史册亦具存也今以消长之法求之其数皆合若以大统法求之则皆后天而于春秋且差三日矣安可废乎
　　永按春秋时历法最疏置闰或疏或密日食或不在朔则步冬至违天可知僖公五年丙寅正月辛亥朔日南至以今法推此年平冬至乙卯日巳时定冬至在甲寅即令此时小轮均数大能使定气移前一日半亦不过癸丑日之夜刻辛亥实先天二三日且定朔壬子亦非辛亥也昭公二十年己卯二月己丑日南至以今法推此年平冬至壬辰定冬至辛卯当时推己丑亦先天二日且己丑为此年正月朔安得为二月也授时推僖五年冬至以岁馀长十九分乘距算一千九百三十五加于中积得辛亥日寅初二刻是以总长分数乘距算而非积渐而长亦因𫝊有辛亥日南至之文强为此算以求合不知辛亥非实测也〈唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天验非时史亿度愚谓传言书云未尝言测景〉其推昭二十年冬至以十八乘距算一千八百零二则不得己丑而得戊子日戌初三刻其先天愈甚矣此二事一合一否皆不足为据且既能上合一千九百馀年之冬至矣何以刘宋元嘉丙子十一月甲戌景长而推癸酉大明辛丑十一月乙酉冬至〈即壬寅天正冬至〉而推甲申此二事皆八百馀年反先天一日岂非总分乘距算之法非法故失之乎
　　然则统天授时之法同乎曰亦不同也统天历逐年迭差而授时消长之分以百年为限则授时之法又不如统天矣
　　永按统天以距差乘躔差其失亦与授时等〈由其根数未确〉
　　夫必百年而消长一分未尝不是乃以乘距算其数骤变殊觉不伦郑世子黄锺历法所以有所酌改也〈假如康熙辛酉年距元四百算故消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年岁馀二十四刻二十二分而辛酉年岁馀二十四刻二十一分也以此所消之一分乘距算得四百分则辛酉岁前冬至忽早四刻而次年又只平运以实数计之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年则又是三百六十五日二十四刻二十一分其法舛矣〉
　　永按授时之谬法勿庵先生亦既觉之矣抑不惟如此而已年愈远则失愈甚如推至春秋时一千九百年则岁馀二十四刻四十四分若一千九百零一年岁馀増一分此一分乘距算一千九百零一前一岁忽増一十九刻有奇则岁实有三百六十五日四十三刻有奇岂不甚可笑乎况又有远于此者乎
　　问岁实消长之法既通于古亦宜合于今乃今实测之家又以为消极而长其说安在岂亦有所以然之故与曰授时虽承统天之法而用消长但以推之旧历而合耳初未尝深言其故也惟历书则为之说曰岁实渐消者由日轮之毂渐近地心也余尝窃疑其说今具论之夫西法以日天与地不同心疏盈缩加减之理其所谓加减皆加减于天周三百六十度之中非有所増损于其外也如最高则视行见小而有所减最卑则视行见大而有所加加度则减时矣及其加减既周则其总数适合平行略无馀欠也若果日轮之毂渐近地心不过其加减之数渐平耳加之数渐平则减之数亦渐平其为迟速相补而归于平行一也岂有日轮心远地心之时则加之数多而减之数少日轮心近地心时则减之数少而加之数多乎必不然矣
　　永按冬至相距之日时古今有多少不过汎岁实与平岁实相差其相差又有舒疾之渐耳若今冬至有平有定本不必言消长必欲言其消长则其故有二一由高冲离冬至有远近一由日小轮古今有大小也高冲自秋分行至冬至此三宫定冬至皆在平冬至前自冬至行至春分此三宫定冬至皆在平冬至后总此六宫上下约万年〈以今时最高冲行约之〉皆在长限以其冬至汎岁实皆多于平岁实故也惟高冲正当秋分春分此两岁岁实皆平〈即西法三百六十五日五小时四十八分四十五秒是也〉离此则渐有差前三宫由平而渐増多是为长中之长至高冲与冬至同度则定冬至与平冬至同日同时是为长之极当郭太史作历正其时也后三宫由极多而渐减以至于平是为长中之消今时高冲在冬至后八度其消尚未多也若高冲过春分而行至夏至此三宫定冬至亦在平冬至后自夏至行至秋分此三宫定冬至又在平冬至前总此六宫亦约万年皆在消限以其冬至汎岁实皆少于平岁实故也前三宫由平而渐减是为消中之消至高冲与夏至同度则定冬至亦与平冬至同日同时是为消之极后三宫由极少而渐増以至于平是为消中之长此通高冲行一周天而总论其消长也然而太阳两小轮半径三千五百八十四古多而今少多则小轮稍大日躔加减均亦稍大少则小轮稍小加减均亦稍小高冲之行一年一分一秒十微〈西士后测〉此一分一秒十微若在均数稍大之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍多若在均数稍小之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍少〈如崇祯戊辰所立之加减差表初宫之初度十一宫之末度毎一十分均数二十二秒高冲一年行一分一秒十微约均数二秒有奇此二秒有奇变为时约五十七秒以加于平岁馀五小时三分四十五秒得五小时四分四十二秒如小轮稍大则初度一十分之均不止二十二秒而一岁高冲之行不止得均二秒有奇其变时亦不止五十七秒矣如小轮稍小则初度十分不及二十二秒高冲之行得均数不及二秒则变时亦不及五十七秒矣此略举初度之均以为例其他可类推〉古今小轮之大小虽不可尽知以刘宋元嘉大明间屡年之实测算当时之不同心差盖四千有奇〈详冬至权度〉则均数必稍强至元授时历冬至盈初加分多于今日之加分则当时小轮半径不止三千五百八十四自此以后至今日小轮渐小均数亦渐小高冲行度所得之均数以减度加时者亦稍弱焉此又因轮毂渐近地心而微有消分也
　　又考日躔永表彼固原未有消长之说日躔历指言平岁用授时消分定岁则用最高差及查恒年表之用则又只用平率是其说未有所决也
　　永按历书非出一手故有不相应处其岁实平率出回历回历得之实测春分此历书最紧要处惜未明白剖析其日躔表说辨论从前言消长者之非则固有定说矣但小馀微有不同耳〈历书平岁实小馀五小时三刻三分四十五秒以万分通之是二四二一八七五也今历象考成亦用之而日躔表说二四二一八八六四较多一一四〉
　　又历书言日轮渐近地心数千年后将合为一点若前之渐消由于两心之渐近则今日之消极而长两心亦将由近极而远数千年后又安能合为一点乎彼盖见授时消分有据而姑为此说非能极论夫消长之故者也
　　永按七政皆有小轮独日之小轮有改变窃意久亦必复岂有与地心合为一点之理自至元辛巳以后正是长极而消非消极而长也曰今实测之冬至后于授时之中积分明是长而以为消何也曰前已言之矣授时岁馀刻下之分当有三十分而郭氏定为二十五分也授时之岁实岂非出于实测然因其自述丁丑辛巳四年冬至得其自相乖违之处因以知至元时为长极而消之大界与日躔加减表十一宫末度以前均数渐减之理固相符也
　　然则将何以求其故曰授时以前之渐消既徴之经史而信矣而今现行历之岁实又稍大于授时其为复长亦似有据窃考西历最高卑今定于二至后七度依永年历毎年行一分有奇则授时立法之时最高卑正与二至同度而前此则在至前过此则在至后岂非高冲渐近冬至而岁馀渐消及其过冬至而东又复渐长乎余观七政历于康熙庚申年移改最高半度弱而其年岁实骤増一刻半强此亦一征也存此以俟后之知历者〈己未年最高在夏至后六度三十九分庚申年最高在夏至后七度七分除本行外计新移二十七分己未年冬至庚戌日亥正一刻四分庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分实计三百六十五日二十四刻十三分前后各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分以较庚申年岁实骤増一刻九分〉
　　永按岁实消长之故一由最高冲之有行度先生因最高改移岁实骤増而悟及此犹云存之以俟知者亦欲后人由此致思也然其所言消长若与实算相反何也日躔加减表初宫与十一宫同均而加减异号至元辛巳以前高冲行未及冬至则用初宫之均度分秒加度而减时辛巳以后高冲行已过冬至则用十一宫之均度分秒减度而加时前减时则定冬至在平冬至前后加时则定冬至在平冬至后初宫之初度与十一宫之末度其均最大则一岁高冲之行所得均数最多变为时以加减于平时者亦最多故此处岁实极大皆最长之时也初宫若离初度稍远则均渐少而变时以减平时者亦稍少岁实亦稍减矣十一宫若离末度稍远则均渐少而变时以加平时者亦稍少岁实亦稍减矣故高冲行渐近冬至其均由少而多岁实正渐増以至于极也而此谓岁馀渐消高冲已过冬至其均由多而少岁实则由极多以渐减也而此谓复渐长岂非与实算相反乎盖先生论消长不主平岁实为根耳
　　王寅旭曰岁实消长其说不一谓由日轮之毂渐近地心其数𣹰消者非也日轮渐近则两心差及所生均数亦异以论定岁诚有损益若平岁岁实尚未及均数则消长之源与两心差何与乎识者欲以黄赤极相距远近求岁差朓朒与星岁相较为节气消长终始循环之法夫距度既殊则分至诸限亦宜随易用求差数其理始全然必有平岁之岁差而后有朓朒之岁差有一定之岁实而后有消长之岁实以有定者纪其常以无定者通其变始可以永久而无弊
　　永按古今言岁实消长者皆从冬至岁实言之非论平率岁实也因两心差及所生均数异而定气微有损益是亦消长之一根不可谓其无与若黄赤极相距远近求差数此说恐未然其言有平岁之岁差而后有朓朒之岁差有一定之岁实而后有消长之岁实此数言极中肻綮一定之岁实从春分测定之平岁实是也苟知此则但言平冬至定冬至不必言消长亦可矣
　　按寅旭此论是欲据黄赤之渐近以为岁实渐消之根盖见西赤黄赤之纬古大今小今又觉稍嬴故断以为消极复长之故然黄赤远近其差在纬岁实消长其差在经似非一根又西测距纬复嬴者彼固自疑其前测最小数之未真则亦难为确据愚则以中历岁实起冬至而消极之时高冲与冬至同度高冲离至而岁实亦增以经度求经差似较亲切愚与寅旭生同时而不相闻及其卒也乃稍稍见其书今安得起斯人于九原而相与极论以质所疑乎
　　永按先生经纬之辨最确而谓高冲与冬至同度为消极之时永已论之于前
　　又曰〈考最高行及岁馀〉按日行盈缩细考之则春分距夏至夏至距秋分虽皆缩历而其缩亦不同秋分距冬至冬至距春分虽皆盈历而其盈亦不同又且年年不同细求之则节节不同又细求之其日日不同矣其故何也盖最高一点不在夏至而在其后数度又且年年移动此太阳盈缩之根而岁实所以有消长也
　　永按以太阳盈缩之根推岁实所以有消长此先生之定见定说也
　　按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共长一刻○三分〈中积只十一年〉壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分〈中积共只八年〉又合计癸亥夏至至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相较一日○四刻一分辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相较一日○五刻十四分八年中较数増一刻十三分
　　永按此以半年之气前后相较验最高之东移若以两岁冬至春分夏至秋分及各节气两岁相距皆各有其岁实而冬至为最大夏至为最小春秋分为近平义越数十年而诸岁实亦微有不同矣前代只知冬至岁实不知逐节气皆有岁实也
　　然二分之相距则无甚差何也盖最高移而东则夏至后多占最高之度而减度加时之数益多故益长高冲移而东则冬至后多占最卑之度而加度减时之数益多故益消其近二至处皆为加减差最大之处故消长之较已极也乃若二分与中距虽亦岁移而中距皆为平度不系加减其最高前后视行小之度固全在春分后半周最高冲前后视行大之度亦全在春分后半周毫无移动故无甚消长也
　　永按二分无甚差故欲得平岁实须于近二分时测之若高冲行至春分则二分之距又最大而二至反平矣
　　按授时消分为不易之法今复有长者何也西法最高卑之点在两至后数度岁岁东移故虽冬至亦有加减不得以恒为定也此是西法中一大节目其法自回回历即有之然了凡先生颇采用回回法而不知此熊䃪石先生亲与西儒论历而亦不言及何也
　　永按最高卑之有行度诚西法中一大节目袁氏新书不知有最高卑又何以能较论前代诸历之先后天乎
　　又曰〈历学疑问〉袁了凡新书通回回之立成于大统可谓苦心然竟削去高卑之算又直用大统之岁馀而弃授时之消长将逆推数百年已不效况数千万年之久乎永按袁书逆推数百年已不效诚然若弃授时之消长则无足论授时本非不刊之法也今时历象考成推步只有求天正冬至与求定冬至之法而不言消长纷纷之论可定矣










　　数学卷二