数度衍 (四库全书本)/全览

数度衍　全览



　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　数度衍　　　　　　　　天文算法类二〈算书之属〉提要
　　〈臣〉等谨案数度衍二十四卷
　　国朝方中通撰中通字位伯桐城人明检讨以智之子也以智博极群书兼通算数中通承其家学著为是书有数原律衍几何约珠算笔算筹算尺算诸法复条列古九章名目引
　　御制数理精蕴法推阐其义其几何约篇本前明徐光启译本其珠算仿程大位算法统宗笔算筹算尺算采同文算指及新法算书惟数原律衍未明所自大抵裒缉诸家之长而增减润色勒为一编者也其尺算之术梅文鼎谓其三尺交加取数故祇能用平分一线其比例规解之本法惜仅见其弟中履但称中通得旧法于豫章而不知其法何如并未获与中通深论又称见嘉兴陈荩谟尺算用法一卷亦祇平分一线岂中通所据之法与荩谟同出一源欤盖不可考矣乾隆四十六年十月恭校上
　　总纂官〈臣〉纪昀〈臣〉陆锡熊〈臣〉孙士毅
　　总　校　官〈臣〉陆费墀



　　钦定四库全书
　　数度衍卷首上
　　桐城方中通　撰
　　数原
　　勾股原图说



　　一　　股较即勾股较
　　二　　勾较
　　三　　勾
　　四　　股
　　五　　
　　六　　股较与和
　　七　　勾较与和即勾股和
　　八　　勾和
　　九　　股和
　　通曰九数出于勾股勾股出于河图故河图为数之原周髀曰勾广三股修四径隅五天数二十有五之开

　　方也河图之数五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之自之之数也勾三阳数也居左和而为八故八与三同位股四阴数也居右和而为九故九与四同位五勾股所求之数也居中勾较得二居上股较得一居下勾较与和为七故七与二同位股较与和为六故六与一同位居中倍为十而倍之之数不可用故洛书不用十也勾股左右両较上下四和四围岂偶然哉勾不尽于三而始于三股不尽于四而始于四不尽于五而始于五较不尽于一二而始于一二和不尽于六七八九而始于六七八九此勾股之原也
　　加减乘除原图














　　加减乘除原说
　　通曰不用十而用九河图变为洛书加减乘除之数皆从洛生而九数之用备焉加者并也一阴一阳相并而生阳为用故一并六为七七并二为九九并四为十三去十不用所生为三三并八为十一去十不用所生为一数始于阳阳故统阴此加之原也减者去也阴中去阳则六去一为五八去三为五阳中去阴则九去四为五七去二为五边去中存此减之原也乘者积也除者分也一无积分相对而为乘除者仍为九焉二与八对

　　二其八八其二所积皆十六截东南三四九之数合矣二分十六得八八分十六得二此二与八之互见也三与七对三其七七其三所积皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之数合矣三分二十一得七七分二十一得三此三与七之互见也四与六对四其六六其四所积皆二十四三八亦积二十四不用三八而一二五七九之数合矣四分二十四得六六分二十四得四此四与六之互见也五宜与十对而洛书无十故以中五乘四隅所积之数必止于十而无馀五乘二为一十是为两方之数〈四正四隅两方相对皆十〉五乘四为二十是为四方之数〈四正合为二十四隅亦合为二十两正两隅亦合为二十〉五乘八为四十是为八方之数〈四正四隅合为四十〉五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五与十之互见也洛书无十而十藏于中矣足后反无馀不足然后足此乘除之原也
　　九章皆勾股说
　　通曰九数曰方田御田畴界域曰粟布御交质变易曰差分御贵贱禀税曰少广御积幂方圆曰商功御功程积寔曰均输御远近劳费曰盈朒御隐杂互见曰方程御错糅正负曰勾股御高深广远周礼保氏注也周髀周之算经也陈子曰髀者股也正晷者勾也以勾为首以髀为股又曰髀者表也然周髀独明勾股不及九章何哉偃矩以望高覆矩以测深卧矩以知远勾股之自为用也环矩以为圆合矩以为方方数为典以方出圆勾股之所生也数有可见者有𨼆而不得见者有互见者有旁见者其变无穷藏于圎方少广圎方所出也方田商功皆少广所出一方一圎其间不齐始出差分而均输对差分之数盈朒者借差求均又差分均输所出而以方程济其穷度也量也衡也原于黄钟粟布出焉黄钟出于方圎者也三分益一圎周变为方周四分用三圎积变自方积故勾股之容圎方不同方田少广生焉折半以平粟布均输生焉盈朒方程生于诸和商功差分生于诸较勾股岂非九数之原乎设为九章者便用耳田畴界域或见于勾股少广方田统之矣交质变易或见于差分均输粟布统之矣故九章以用而分不以数而分也秦西立十八法盈朒曰叠借互征方程曰杂和较乘分少广为九而开方诸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其略差分仍为差分粟布商功见于三率均输见于重准测名异理同究无同异也加减乘除出于洛亦成于勾股和者勾股之相并也较者勾股之相较也并以成加较以成减勾股自之而为积则乘成积开方而为则除成有河即有洛有勾股即有加减乘除何往非图书引触哉
　　四算说
　　通曰古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握即少广圎以六包也后世有珠算而古法亡矣泰西之笔算筹算皆出九九尺算即比例规出三角筹尺虽不备加减其用甚便盖乘莫善于筹除莫善于笔加减莫善于珠比例莫善于尺用加为减用加减为乘除借此知彼无往而非比例也好学深思可以通而几矣
　　九九图说
　　此九九全图即相乘
　　相除图也〈相乘者一一得一一
　　二得二之类相除者九除八十一得九八
　　除六十四得八之类〉


　　此自乘图也〈一一得一
　　二二得四三三得九之类〉
　　此各并图也
　　〈三与六并九四与八并十
　　二之类〉

　　此隔一位并图也〈四与十二并十六五与十五并二十之类〉隔二位并〈五与二十并二十五六与二十四并三十之类其隔中又
　　并者五之左十二十之右十五亦并二十五也馀仿此〉隔三位并隔四位并　隔五位并
　　隔六位并〈无不合隔中挨次而并亦无不合〉

　　此相减生阳图也〈四去
　　一而生三六十四去一而生六十三九去
　　四而生五四十九去四而生四十五之类
　　右而左者自少而多即据见数减之左而
　　右者自多而少当除十而减其馀也除皆
　　阴数始除八十次除六十次除四十次除
　　二十〉


　　此相减生阴图也〈六去
　　二而生四五十六去二而生五十四十二
　　去六而生六四十二去六而生三十六之
　　类自左而右者亦除十馀皆阳数始除七
　　十次除五十次除三十〉








　　〈并首尾之一九为十并一与十六为十七并一与二十五为二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五为实以七十二折半得一百得六百五十折半得三为法除之得十五三十六为实以四为三百二十五为实以
　　故纵横皆十五也　法除之得纵横皆三五为法除之得纵横此用少广章顺加求十四　　　　　　皆六十五积法得实〉





　　〈并一与三十六为三十七以三十六乘之得一千三百三〉
　　〈十二折半得六百六十六为并一与四十九为五十以四十九实以六为法除之得纵横皆乘之得二千四百五十折半得一
　　一百一十一　　　　　　千二百二十五为实以七为法除之得纵横皆一百七十五
　　并一与六十四为六十五以六十四乘之得四
　　千一百六十折半得二千零八十为实以八为
　　法除之得纵横〉





　　〈皆二百六十并一与八十一为八十二以八十
　　一乘之得六千六百四十二折半得三千三百
　　二十一为实以九为法除〉







　　〈并一与一百为一百零一以一百乘之得
　　一万零一百折半得五千零五十为实以
　　十为法除之得纵横〉















<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷首上>
　　〈六十四子顺逆安置用横行八位为一阵首行数居北之右八行数居北之左二行数居南之左七行数居南之右三行数居东之上五行数居东之下四行数居西之下六行数居西之上其求积法如前八八图每阵得二百六十每阵各取半面四子积一百三十合而俱成一阵数无不同如截坎东四子艮西四子共得二百六十截干南四子兑北四子亦得二百六十
　　用七十二子为图并一与七十二得七十三以七十二乘
　　之得五千二百五十六折半得二千六百二十八为实以
　　九为法除之得每环八子为一阵各二百九十二以九阵
　　化为十三阵也〉


　　通曰商高曰圎出于方方出于矩矩出于九九八十一赵君卿曰九九者乘除之原也乘之九九见乎外除之九九藏乎内故为乘之原即为除之原也夫九九者生生之谓也人知夫数始于一而不知数始于九人知夫数终于十而不知数终于九盖九与九遇始以继终终以继始旋相为用而无始无终此所谓生生也一三五七为阳而九统之二四六八为阴而九统之阳故不统阳而统阴阳者也如右诸图靡不适合然犹一定位次至错综变化无方无体而中天然之节藏往知来宁独九九而已哉
　　倚数图说



　　通曰易曰参天两地而倚数无倚不生则无数也有中倚焉有偏倚焉数始于一二何自来乎一之自并也三何自来乎一与二并也四何自来乎二之自并也一与三并也推至京垓亦无不然两相倚而生者中也以此倚彼而生者偏也不特生为然也即用亦有倚焉积小知大则用中倚由博反约则用偏倚中可互用偏惟専成裒多益寡则偏中皆用盖用之无节虽中亦偏用之当位虽偏亦中存乎其人耳数故可倚而不可倚不可倚而后可倚者若夫相追而合有偶合不可为率者有巧合可为准者相距而合有不合而适合者有似合而非合者故参两之倚可以神遇不可尽以言传苟非默悟会通未免倚彼失此倚此失彼逐物者中无所主

　　自恃者有所不见此不可以入数即不可以入理也
　　今之五量用数图说
　　十百　万千百十○分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠〈或作微尘渺漠埃纎
　　沙或作微佥或作纎尘沙渺漠茫〉
　　权衡　　　十斤两钱分〈凡分以下俱同前〉
　　十两钱分
　　升斛　　　十石斗升合勺抄撮圭粟粒颗〈或作粒黍䄽糠秕或作颗粒〉尺丈　　　十丈尺寸分
　　里步　　　十里百十步分〈三百六十步为里〉
　　十亩分〈或用万千百十顷十亩分　百亩为顷〉
　　十弓分〈二百四十弓为亩　弓与𡵯同〉
　　通曰家语黄帝设五量曰权衡曰升斛曰尺丈曰里步曰十百不以升斛独为量也度量衡同律皆以黍生里步不通量衡十百可通五量故今之五量用有非一则者数有相通者十之上分之下皆同十百之名惟升斛无分名耳皆遇十则升而权衡里步稍有不同斤法十六里法三百六十故也权衡之用有二或用斤或止用两里步之用有三或用里或用亩或用弓十百之用无穷矣度之通于量也二尺五寸为斛法衡之通于量也百二十斤为石法曰亿曰兆曰京曰垓曰秭曰穰曰沟曰涧曰王曰载此十等数也而其用分上中下数下数者十十变之十万曰亿十亿曰兆十兆曰京至载皆以十进中数者万万变之万万曰亿万亿曰兆万兆曰京之类也上数者数穷则变万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京之类也虽然数不可以名拘河洛有数无名圣人因其数而名之曰一曰二亦物谓之而然也









　　数度衍卷首上



　　钦定四库全书
　　数度衍卷首下
　　桐城　方中通　　撰
　　律衍
　　隔八相生图说
　　通曰黄钟太蔟姑洗㽔宾夷则无射六律为阳林钟南吕应钟大吕夹钟中吕六吕为阴隔八相生者黄钟生林钟隔子至未八位也娶妻生子者黄钟一阳复娶一阴姤生二阴遁为林钟也先王父周易时论曰宫与商商与角征与羽相去各一角与徵羽与宫相去各二故比征少下曰变征少高于宫曰变宫
　　通曰六律居子寅辰午申戌不
　　动六吕皆取冲位未居丑为十
　　二月酉居卯为二月之类是也
　　凡阳生阴谓之下生用三分损
　　一求之凡阴生阳谓之上生用
　　三分益一求之盖相生则以子
　　午分阴阳不以律吕分阴阳也
　　详后
　　诸家推算
　　黄钟九寸　积八十一分〈长九寸围九分相乘得八十一分〉
　　子一分〈分去声以九寸为一段也〉
　　三分前律寸数为法下生者倍其法上生者四其法实一十七万七千一百四十七数〈通曰以八十一分自之得六千五百六十一又以三乘九寸得二十七为法乘之即得子实　三历十二辰亦合〉
　　管子遇损用益遇益用损法
　　郑玄杜佑先倍先四前律寸数法〈通曰先倍而后三分之与先三分之而后倍同先四之而后三分之与先三分之而后四之同盖先乘后除与先除后乘数无二也〉
　　十度八寸一分〈以积八十一分即作八寸一分也〉
　　新法五寸三分一厘四毫四丝一忽〈通曰以九化积八十一分为七百二十九釐又九化为六千五百六十一毫又九化为五万九千零四十九丝又九化为五十三万一千四百四十一忽以十度即作五寸三分一厘四毫四丝一忽也〉
　　林钟六寸　积五十四分〈以黄钟九寸而三分之　段得三寸于黄钟寸内损　段得六寸也　以黄钟积八十一分而三分之毎段得二十七分于林钟积内损一段得五十四分也以九分为　寸归整得六寸也〉
　　丑三分二〈三其子之一为三分两其子之一为二也前图林钟在未今取冲位居丑也六吕皆然　通曰三其二为六寸也〉
　　下生用倍〈三分黄钟九寸得三寸为法倍其法得六寸也〉
　　实一十一万八千零九十八数〈分子实为三段毎段得五万九千零四十九丑得二段为实　通曰得二段即损一段也〉
　　管法〈于黄钟积八十一分外益一段二十七分共得一百零八分而半之得五十四分亦合〉郑法〈先倍黄钟九寸为十八寸而三分之毎段得六寸即是〉
　　十度五寸四分〈以黄钟八寸一分而三分之每段得二寸七分于黄钟寸内损一段得五寸四分也〉
　　新法三寸五分四釐二毫九丝四忽〈通曰以九化积五十四分为四百八十六釐又九化为四千三百七十四毫又九化为三万九千三百六十六丝又九化为三十五万四千二百九十四忽以十度即作三寸五分四釐二毫九丝四忽也〉
　　三分损一亦合〈通曰以子五寸三分一厘四毫四丝一忽而三分之毎段得一寸七分七釐一毫四丝七忽丑当损一段正合三寸五分四釐二毫九丝四忽也〉
　　太蔟八寸　积七十二分〈以林钟六寸而三分之每段得二寸于林钟寸外益一段得八寸也　以林钟积五十四分而三分之毎段得十八分于林钟积外益一段得七十二分也以九分为一寸归整得八寸也〉
　　寅九分八〈三其丑之三为九四其丑之二为八也　通曰八与八寸相合〉
　　上生用四〈三分林钟六寸得二寸为法四其法得八寸也〉
　　实一十五万七千四百六十四数〈三分丑实毎段得三万九千三百六十六寅当益一段为实　通曰分子实为九段毎段得一万九千六百八十三寅得八段为实〉
　　管法〈以林钟一百零八分而三分之毎段得三十六于林钟数内损一段得七十二分亦合〉郑法〈先以四乘林钟六寸为二十四寸而三分之毎段得八寸即是〉
　　十度七寸二分〈以林钟五寸四分而三分之每段得一寸八分于林钟寸外益一段得七寸二分也〉
　　新法四寸七分二釐三毫九丝二忽〈通曰以九化积七十二分为六百四十八釐又九化为五千八百三十二毫又九化为五万二千四百八十八丝又九化为四十七万二千三百九十二忽以十度即作四寸七分二釐三毫九丝二忽〉
　　三分益一亦合〈通曰以丑三寸五分四釐二毫九丝四忽而三分之毎段得一寸一分八釐零九丝八忽寅当益一段正合四寸七分二釐三毫九丝二忽也〉
　　南吕五寸三分　积四十八分〈太蔟八寸不可三分乃以九乘八寸化为七十二分然后三分之每段得二十四分于太蔟积内损一段得四十八分也以九分为一寸归整得五寸零三分也〉
　　卯二十七分十六〈取冲位　三其寅之九为二十七两其寅之八为十六也　通曰三其十六为四十八分也〉
　　下生用倍〈三分太蔟积七十二分得二十四分以九分为一寸归整得二寸六分为法倍其法得四寸一十二分而归整得五寸三分也〉
　　实一十万零四千九百七十六数〈三分寅实每段得五万二千四百八十八卯当损一段为实　通曰分子实为二十七段每段得二千五百六十一卯得十六段为实〉
　　管法〈于太蔟积七十二分外益一段二十四分共得九十六分而半之得四十八分亦合〉郑法〈先倍太蔟八寸为十六寸此数不可三分乃以十六寸九化为一百四十四分而三分之每段得四十八分即是〉
　　十度四寸八分〈以太蔟七寸二分而三分之每段得二寸四分于太蔟寸内损一段得四寸八分也〉新法三寸一分四釐九毫二丝八忽〈通曰以九化积四十八分为四百三十二釐又九化为三千八百八十八毫又九化为三万四千九百九十二丝又九化为三十一万四千九百二十八忽以十度即作三寸一分四釐九毫二丝八忽也〉
　　三分损一亦合〈通曰以寅四寸七分二釐三毫九丝二忽而三分之每段得一寸五分七釐四毫六丝四忽卯当损一段正合三寸一分四釐九毫二丝八忽也〉
　　姑洗七寸一分　积六十四分〈以南吕积四十八分而三分之毎段得十六分
　　于南吕外益一段得六十四分也以九分为一寸归整得七寸零一分也〉
　　辰八十一分六十四〈三其卯之二十七为八十一四其卯之十六为六十四也　通曰六十四与六十四分相合〉
　　上生用四〈三分南吕积四十八分得十六分以九分为一寸归整得一寸七分为法四其法得四寸二十八分而归整得七寸一分也〉
　　实一十三万九千九百六十八数〈三分卯实每段得三万四千九百九十二辰当益一段为实　通曰分子实为八十一段每段得二千一百八十七辰得六十四段为实〉
　　管法〈以南吕九十六分而三分之每段得三十二分于南吕数内损一段得六十四分亦合〉郑法〈先以四乘南吕积四十八分为一百九十二分而三分之每段得六十四分即是〉十度六寸四分〈以南吕四寸八分而三分之每段得一寸六分于南吕寸外益一段得六寸四分也〉新法四寸一分九釐九毫零四忽〈通曰以九化积六十四分为五百七十六釐又九化为五千一百八十四毫又九化为四万六千六百五十六丝又九化为四十一万九千九百零四忽以十度即作四寸一分九釐九毫零四忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以卯三寸一分四釐九毫二丝八忽而三分之毎段得一寸零四釐九毫七丝六忽辰当益一段正合四寸一分九釐九毫零四忽也〉
　　应钟四寸六分六釐　积三百八十四釐〈姑洗六十四分又不可三分乃以九化之为五百七十六釐然后三分之毎段得一百九十二釐于姑洗化釐内损一段得三百八十四釐也以九釐为一分归整得四十二分零六釐又以九分为一寸归整得四寸零六分六釐也〉
　　巳二百四十三分一百二十八〈取冲位　三其辰之八十一为二百四十三两其辰之六十四为一百二十八也　通曰三其一百二十八为三百八十四釐也〉
　　下生用倍〈三分姑洗化积五百七十六釐得一百九十二釐归整得二寸三分三釐为法倍其法得四寸六分六釐也〉
　　实九万三千三百一十二数〈三分辰实毎段得四万六千六百五十六巳当损一段为实　通曰分子实为二百四十三段每段得七百二十九巳得一百二十八段为实〉
　　管法〈于姑洗化积五百七十六釐外益一段一百九十二釐共得七百六十八釐而半之得三百八十四釐亦合〉
　　郑法〈先倍姑洗化积五百七十六釐为一千一百五十二而三分之毎段得三百八十四釐即是〉十度四寸二分六釐〈以姑洗六寸四分存一厘不入算止作六寸三分九釐而三分之每段得二寸一分三釐于六寸三分九釐内损一段得四寸二分六釐也〉
　　新法二寸七分九釐九毫三丝六忽〈通曰以九化积三百八十四釐为三千四百五十六毫又九化为三万一千一百零四丝又九化为二十七万九千九百三十六忽以十度即作二寸七分九釐九毫三丝六忽也〉
　　三分损一亦合〈通曰以辰四寸一分九釐九毫零四忽而三分之每段得一寸三分九釐九毫六丝八忽巳当损一段正合二寸七分九釐九毫三丝六忽也〉
　　㽔宾六寸二分八釐　积五百一十二釐〈以应钟积三百八十四釐而三分之每段得一百二十八釐于应钟积外益一段得五百一十二釐也以九釐为一分归整得五十六分零八釐又以九分为一寸归整得六寸零二分八釐也〉
　　午七百二十九分五百一十二〈三其巳之二百四十三为七百二十九四其巳之一百二十八为五百一十二也通曰五百一十二与五百一十二釐相合〉
　　上生用四〈三分应钟积三百八十四釐得一百二十八釐归整得一寸五分二釐为法四其法得四寸二十分八釐而归整得六寸二分八釐也〉
　　实一十二万四千四百一十六数〈三分巳实毎段得三万一千一百零四午当益一段为实　通曰分子实为七百二十九毎段得二百四十三午得五百一十二段为实〉
　　管法〈以应钟七百六十八釐而三分之毎段得二百五十六釐于应钟数内损一段得五百一十二釐亦合〉
　　郑法〈先以四乘应钟即三百八十四釐为一千五百三十六釐而三分之每段得五百一十二釐即是〉十度五寸六分八釐〈以应钟四寸二分六釐而三分之每段得一寸四分二釐于应钟寸外益一段得五寸六分八釐也〉
　　新法三寸七分三釐二毫四丝八忽〈通曰以九化积五百一十二釐为四千六百零八毫又九化为四万一千四百七十二丝又九化为三十七万三千二百四十八忽以十度即作三寸七分三釐二毫四丝八忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以巳二寸七分九釐九毫三丝六忽而三分之毎段得九分三釐三毫一丝二忽午当益一段正合三寸七分三釐二毫四丝八忽也〉
　　大吕八寸三分七釐六毫　积六千一百四十四毫〈㽔宾五百一十二釐又不可三分乃以九化之为四千六百零八毫然后三分之毎段得一千五百三十六毫于㽔宾化毫外益一段得六千一百四十四毫也以九毫为一厘归整得六百八十二釐零六毫又以九釐为一分归整得七十五分零七釐六毫又以九分为一寸归整得八寸零三分七釐六毫也〉
　　未二千一百八十七分一千二十四〈取冲位　三其午之七百二十九为二千一百八十七两其午之五百一十二为一千零二十四也　通曰六其一千零二十四为六千一百四十四毫也〉
　　上生用四〈三分㽔宾化积四千六百零八毫得一千五百三十六毫归整得二寸八釐六毫为法四其法得八寸三十二釐二十四毫而归整得八寸三分七釐六毫也〉
　　实一十六万五千八百八十八数〈三分午实毎段得四万一千四百七十二未损一段得八万二千九百四十四又倍之为实　通曰未当益一正合实数今顺次益后用损倍之亦合也分子实为二千一百八十七段毎段得八十一未得一千零二十四段为实八万二千九百四十四又倍之合实此因㽔宾又上生大吕重一益数故须又倍也后遇上生皆倍〉
　　管法〈于㽔宾化积四千六百零八毫内损一段一千五百三十六毫得三千零七十二毫而倍之得六千一百四十四毫亦合〉
　　郑法〈先以四乘㽔宾化积四千六百零八毫为一万八千四百三十二毫而三分之每段得六千一百四十四毫即是〉
　　十度七寸五分六釐〈以㽔宾五寸六分八釐又存一厘不入算止作五寸六分七釐而三分之每段得一寸八分九釐于五寸六分七釐外益一段得七寸五分六釐也〉
　　新法四寸九分七釐六毫六丝四忽〈通曰以九化积六千一百四十四毫为五万五千二百九十六丝又九化为四十九万七千六百六十四忽以十度即作四寸九分七釐六毫六丝六忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以午三寸七分三釐二毫四丝八忽而三分之每段得一寸二分四釐四毫一丝六忽未又当益一段正合四寸九分七釐六毫六丝四忽也〉
　　夷则五寸五分五釐一毫　积四千零九十六毫〈以大吕积六千一百四十四毫而三分之每段得二千零四十八毫于大吕积内损一段得四千零九十六毫也以九毫为一厘归整得四百五十五釐零一毫又以九釐为一分归整得五十分零五釐一毫又以九分为一寸归整得五寸零五分五釐一毫也〉
　　申六千五百六十一分四千九十六〈三其未之二千一百八十七为六千五百六十一四其未之一千零二十四为四千零九十六也　通曰四千零九十六与四千零九十六毫相合〉
　　下生倍用〈三分六吕积六千一百四十四毫得二千零四十八毫归整得二寸七分二釐五毫为法倍其法得四寸一十四分四釐一十毫而归整得五寸五分五釐一毫也〉
　　实一十一万零五百九十二数〈三分未之八万二千九百四十四毎段得二万七千六百四十八申于八万二千九百四十四外益一段为实　通曰分子实为六千五百六十一段每段得二十七申得四千零九十六段为实〉
　　管法〈以大吕三千零七十二毫而三分之每段得一千零二十四毫于大吕数外益一段得四千零九十六毫亦合〉
　　郑法〈先倍大吕积六千一百四十四毫为一万二千二百八十八毫而三分之毎段得四千零九十六毫即是〉
　　十度五寸零四釐〈以大吕七寸五分六釐而三分之每段得二寸五分二釐于大吕寸内损一段得五寸零四釐也〉
　　新法三寸三分一厘七毫七丝六忽〈通曰以九化积四千零九十六毫为三万六千八百六十四丝又九化为三十三万一千七百七十六忽以十度即作三寸三分一厘七毫七丝六忽也〉
　　三分损一亦合〈通曰以未四寸九分七釐六毫六丝四忽而三分之每段得一寸六分五釐八毫八丝八忽申当损一段正合三寸三分一厘七毫七丝六忽也〉
　　夹钟七寸四分三釐七毫三丝积四万九千一百五十二丝〈夷则四千零九十六毫又不可三分乃以九化之为三万六千八百六十四丝然后三分之每段得一万二千二百八十八丝于夷则化丝外益一段得四万九千一百五十二丝也以九丝为一毫归整得五千四百六十一毫三丝又以九毫为一厘归整得六百零六釐零七毫三丝又以九釐为一分归整得六十七分零三釐七毫三丝又以九分为一寸归整得七寸零四分三釐七毫三丝也〉
　　酉一万九千六百八十三分八千一百九十二〈取冲位三其申之　六千五百六十一为一万九千六百八十三两其申之四千零九十六为八千一百九十二也　通曰六其八千一百九十二为四万九千一百五十二丝也〉
　　上生用四〈三分夷则化积三万六千八百六十四丝得一万二千二百八十八丝归整一寸七分七釐六毫三丝为法四其法得四寸二十八分二十八釐二十四毫一十二丝而归整得七寸四分三釐七毫三丝也〉
　　实一十四万七千四百五十六数〈三分申实每段得三万六千八百六十四酉损一段得七万三千七百二十八又倍之为实　通曰分子实为一万九千六百八十三段每段得九酉得八千一百九十二段为实七万三千七百二十八又倍之合实〉
　　管法〈于夷则化积三万六千八百六十四丝内损一段一万二千二百八十八丝得二万四千五百七十六丝而倍之得四万九千一百五十二丝亦合〉
　　郑法〈先以四乘夷则化积三万六千八百六十四丝为一十四万七千四百五十六丝而三分之每段得四万九千一百五十二丝即是〉
　　十度六寸七分二釐〈以夷则五寸零四釐而三分之每段得一寸六分八釐于夷则寸外益一段得六寸七分二釐也〉
　　新法四寸四分二釐三毫六丝八忽〈通曰以九化积四万九千一百五十二丝为四十四万二千三百六十八忽以十度即作四寸四分二釐三毫六丝八忽也〉三分益一亦合〈通曰以申三寸三分一厘七毫七丝六匆而三分之每段得一寸一分零五毫九丝二忽酉当益一段正合四寸四分二釐三毫六丝八忽也〉
　　无射四寸八分八釐四毫八丝　积三万二千七百六十八丝〈以夹钟积四万九千一百五十二丝而三分之每段得一万六千三百八十四丝于夹钟积内损一丝得三万二千七百六十八段也以九丝为一毫归整得三千六百四十毫零八丝又以九毫为一厘归整得四百零四釐零四毫八丝又以九釐为一分归整得四十四分零八釐四毫八丝又以九分为一寸归整得四寸零八分八釐四毫八丝也〉
　　戍五万九千四十九分三万二千七百六十八〈三其酉之一万九千六百八十三为五万九千零四十九四其酉之八千一百九十二为三万二千七百六十八也　通曰三万二千七百六十八与三万二千七百六十八丝相合〉
　　下生用倍〈三分夹钟积四万九千一百五十二丝得一万六千三百八十四丝归整得二寸四分四釐二毫四丝为法倍其法得四寸八分八釐四毫八丝也〉
　　实九万八千三百零四数〈三分酉之七万三千七百二十八毎段得二万四千五百七十六戌于七万三千七百二十八外益一段为实　通曰分子实为五万九千零四十九段毎段得三戌得三万二千七百六十八段为实〉
　　管法〈以夹钟二万四千五百七十六丝而三分之每段得八千一百九十二丝于夹钟数外益一段得三万二千七百六十八丝亦合〉
　　郑法〈先倍夹钟积四万九千一百五十二丝为九万八千三百零四丝而三分之毎段得三万二千七百六十八丝即是〉
　　十度四寸四分八釐〈以夹钟六寸七分二釐而三分之每段得二寸二分四釐于夹钟寸内损一段得四寸四分八釐也〉
　　新法二寸九分四釐九毫一丝二忽〈通曰以九化积三万二千七百六十八丝为二十九万四千九百一十二忽以十度即作二寸九分四釐九毫一丝二忽也〉三分损一亦合〈通曰以酉四寸四分二釐三毫六丝八忽而三分之每段得一寸四分七釐四毫五丝六忽戌当损一段正合二寸九分四釐九毫一丝二忽也〉
　　中吕六寸五分八釐三毫四丝六忽积三十九万三千二百一十六忽〈无射三万二千七百六十八丝又不可三分乃以九化之为二十九万四千九百一十二忽然后三分之每段得九万八千三百零四忽于无射化忽外益一段得三十九万三千二百一十六忽也以九忽为一丝归整得四万三千六百九十丝零六忽又以九丝为一毫归整得四千八百五十四毫零四丝六忽又以九毫为一厘归整得五百三十九釐零三毫四丝六匆又以九釐为一毫归整得五十九分零八釐三毫四丝六忽又以九分为一寸归整得六寸零五分八釐三毫四丝六忽也〉
　　亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六〈取冲位三其戌之五万九千零四十九为一十七万七千一百四十七此即黄钟之实也两其戌之三万二千七百六十八为六万五千五百三十六也　通曰六其六万五千五百三十六为三十九万三千二百一十六忽也〉
　　上生用四〈三分无射化积二十九万四千九百一十二忽得九万八千三百零四匆归整得一寸五分八釐七毫五丝六匆为法四其法得四寸二十分三十二釐二十八毫二十丝二十四忽而归整得六寸五分八釐三毫四丝六匆也〉
　　实一十三万一千零七十二数〈三分戌实每段得三万二千七百六十八亥损一段得六万五千五百三十六又倍之为实通曰分子实一十七万七千一百四十七段每段得一亥得六万五千五百三十六段又倍为实〉
　　管法〈于无射化积二十九万四千九百一十二忽内损一段九万八千三百零四忽得一十九万六千六百零八忽而倍之得三十九万三千二百一十六忽亦合〉
　　郑法〈先以四乘无射化积二十九万四千九百一十二忽为一百一十七万九千六百四十八忽而三分之每段得三十九万三千二百一十六忽即是〉
　　十度五寸九分六釐〈以无射四寸四分八釐又存一厘不入算止作四寸四分七釐而三分之每段得一寸四分九釐于四寸四分七釐外益一段得五寸九分六釐也〉
　　新法三寸九分三釐二毫一丝六忽〈通曰以积三十九万三千二百一十六忽十度即作三寸九分三釐二毫一丝六忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以戌二寸九分四釐九毫一丝二忽而三分之毎段得九分八釐三毫零四忽亥当益一段正合三寸九分三釐二毫一丝六忽也〉
　　通曰黄钟为宫生林钟为征林钟生太蔟为商三者皆寸数故曰三统京房所衍用宫征商者此也太蔟生南吕为羽南宫生姑洗为角二者皆分数故曰五音姑洗生应钟为变宫应钟生㽔宾为变征二者皆釐数故曰七调也独寸得三律自寸化分以下则皆历二而变故㽔宾生大吕大吕生夷则二者皆毫数夷则生夹钟夹钟生无射二者皆丝数无射生中吕则忽数也黄钟以三为法以九为度用奇成数故遇三遇五遇七遇九遇十一皆变也损益乘除三率法耳诸家推算数皆符合惟十度存三釐未当通今列诸家于前以忽数准寸而用十度立新法于后使长短易较用十度以合九度岂以十度废九度哉更明比例多寡则三分损益皆可置之也
　　比例图








　　约李瞿经纬说〈李文利瞿九思〉
　　三十九分者黄钟之律阳之始也由是四十八分为大吕又五十七分为太蔟又六十六分为夹钟又七十五分为姑洗又八十四分为中吕九十分者㽔宾之律阳之极也由是八十一分为林钟七十二分为夷则六十三分为南吕五十四分为无射四十五分为应钟子午者阴阳之府也黄钟生阳㽔宾消阳二律纵为经十律横为纬太玄曰东西为纬南北为经经以阴阳之升降言也子午得天地之中左右律之升降皆不能过也但

　　律吕之数纪阳不纪阴故于㽔宾以下六律不言阴之生但纪其阳之降耳黄钟长三寸九分以九六升阳至㽔宾而极其长㽔宾长九寸以九六归阳至黄钟而极其短二律特其两端左右莫不受法于二律则经纬见矣十律为纬亦有二义自其相对者言之丑与亥对寅与戌对卯与酉对辰与申对巳与未对盖左五律纪阳之升左皆为阳左比右各多三分者阳道常饶也右五律纪阳之降右皆为阴右比左各少三分者阴道常乏也左右相对虽差三分而皆以同类为偶如丑亥皆四寸有奇寅申皆五寸有奇卯酉皆六寸有奇辰申皆七寸有奇巳未皆八寸有奇是也左律分寸之数皆十二如丑律四八之类皆本于黄钟之三九也右律分寸之数皆九如未律八一之类皆本于㽔宾之九也非纬而何此是言其对待者自其相冲者言之寸数俱一百二十分数俱九共成一百二十九分丑未二律一百二十九分寅申二律一百二十九分卯酉二律一百二十九分辰戌二律一百二十九分巳亥二律一百二十九分者即黄钟㽔宾之律黄钟卅九㽔宾九十合之共一百二十九可见二律为经之义此是言其错综者皆自然而然不待安排夫子午为经左右为纬是以阴阳之消长而言一定之理也若夫旋宫之制按月用律则十二律皆可为经如以黄钟为宫则隔八相生以林钟为征太蔟为商南吕为羽姑洗为角应钟为变宫㽔宾为变征则为经征商羽角皆左右往来以为之纬也律为经莫不皆然是又流行之用而不可以执一论也〈十二律虽分经纬要之一黄钟足以该之黄钟三寸以三因之十二律无非三也黄钟九分以九因之十二律无非九也丑四十八分五九而馀其三也三之则为十六矣寅五十七分六九而馀其三也三之则为十九矣卯六十六分七九而馀其三也三之则为二十二矣辰七十五分八九而馀其三也三之则为二十五矣巳八十四分九九而馀其三也三之则为二十八矣自丑至巳以三约之皆无馀分以九约之毎多三分者左益三分也未八十一分九其三也三之则为二十七矣申七十二分九其八也三之则为二十四矣酉六十三分九其七也三之则为二十一矣戌五十四分九其六也三之则为十八矣亥四十五分九其五也三之则为十五矣自未至亥以三约之亦无馀分以九约之比左少三分右损三分也此黄钟之三九所以为十一律之本也〉
　　通曰凡物凡理莫不具有经纬二端黄钟㽔宾为经十律为纬而黄钟更自有经纬也长度为经围度非纬乎可知十二律互相为经纬又各自为经纬也经亦可以为纬纬亦可以为经也然而无别不立无交不成经非纬纬非经此别也非经无纬非纬无经此交也
　　旋相为宫图
　　通曰礼运曰五声六律十二管还相为宫者五其十二而成六十黄钟始之南宫终之也然始终亦不得已而究无始终而无非始无非终也
　　一　黄钟〈宫〉　林钟〈征〉　太蔟〈商〉　南吕〈羽〉　姑洗〈角〉二　林钟〈宫〉　太蔟〈征〉　南吕〈商〉　姑洗〈羽〉　应钟〈角〉三　太蔟〈宫〉　南吕〈征〉　姑洗〈商〉　应钟〈羽〉　㽔宾〈角〉四　南吕〈宫〉　姑洗〈征〉　应钟〈商〉　㽔宾〈羽〉　大吕〈角〉五　　姑洗〈宫〉　应钟〈征〉　㽔宾〈商〉　大吕〈羽〉　夷则〈角〉六　　应钟〈宫〉　㽔宾〈征〉　大吕〈商〉　夷则〈羽〉　夹钟〈角〉七　　㽔宾〈宫〉　大吕〈征〉　夷则〈商〉　夹钟〈羽〉　无射〈角〉八　　大吕〈宫〉　夷则〈征〉　夹钟〈商〉　无射〈羽〉　中吕〈角〉九　　夷则〈宫〉　夹钟〈徴〉　无射〈商〉　中吕〈羽〉　黄钟〈角〉十　　夹钟〈宫〉　无射〈征〉　中吕〈商〉　黄钟〈羽〉　林钟〈角〉十一　无射〈宫〉　中吕〈征〉　黄钟〈商〉　林钟〈羽〉　太蔟〈角〉十二　中吕〈宫〉　黄钟〈征〉　林钟〈商〉　太蔟〈羽〉　南吕〈角〉
　　京房六十律
　　通曰京房五音用三者取宫征商皆寸数为三统故也黄钟太蔟姑洗皆阳居阳林钟南吕皆阴居阴五者皆得位也得位者生五子共生二十五子大吕夹钟仲吕皆阴居阳夷则无射皆阳居阴五者皆失位也失位者生三子共生十五子应钟㽔宾处阴阳交际之间不得不失皆生四子共生八子以四十八子并十二母为六十律也列于后
　　〈得位〉黄钟〈宫子〉林钟〈征〉太蔟〈商〉一日律九寸
　　〈一子〉色育　谦待　未知　六日律八寸九分微强〈二子〉执始　去灭　时息　六日律八寸八分小分八弱〈三子〉丙盛　安度　屈齐　六日律八寸七分小分六微弱〈四子〉分勲　归嘉　随期　六日律八寸六分小分四强〈五子〉质未　否与　刑晋　六日律八寸五分小分二强

　　〈失位〉大吕〈宫丑〉夷则〈征〉夹钟〈商〉八日律八寸四分小分三弱〈一子〉分否　解刑　开时　八日律八寸三分小分一强〈二子〉陵阴　去南　侯嘉　八日律八寸二分一少弱〈三子〉少出　分积　争南　六日律八寸小分九强〈得位〉太蔟〈宫寅〉南吕〈征〉姑洗〈商〉一日律八寸
　　〈一子〉未知　白吕　南授　六日律七寸九分小分八强〈二子〉时息　结躬　变虞　二日律七寸八分小分九强〈三子〉屈齐　归期　路时　七日律七寸七分小分九强〈四子〉随期　未卯　刑始　六日律七寸六分小分八强〈五子〉刑晋　夷汗　依行　六日律七寸五分小分八弱

　　〈失位〉夹钟〈宫卯〉无射〈征〉中吕〈商〉六日律七寸四分小分九强〈一子〉开时　闭掩　南中　七日律七寸三分小分九微弱〈二子〉侯嘉　邻齐　内负　七日律七寸一分小分九微强〈三子〉争南　期保　总应　七日律七寸一分小分九强

　　〈得位〉姑洗〈宫辰〉应钟〈征〉㽔宾〈商〉一日律七寸一分小分九微强〈一子〉南授〈一子〉分乌〈一子〉南事　六日律七寸小分九大强〈二子〉变虞〈二子〉迟内〈二子〉盛变　六日律七寸小分一强〈三子〉路时〈三子〉未育〈三子〉离躬　六日律六寸九分小分一微强〈四子〉刑始〈四子〉迟时〈四子〉制时　五日律六寸八分小分三弱〈五子〉依行　色育　谦待　七日律六寸七分小分三大强通曰色育不宜入应钟子行谦待不宜入㽔宾子行
　　〈失位〉中宫〈宫巳〉执始〈微〉去灭〈商〉八日律六寸六分小分大弱〈一子〉南中　丙盛　安度　七日律六寸五分小分七微弱〈二子〉内负　分勲　归嘉　八日律六寸四分小分八强〈三子〉总应　质未　否与　七日律六寸三分小分九强

　　〈不得不失〉㽔宾〈宫午〉大吕〈征〉夷则〈商〉一日律六寸三分小分二微弱〈一子〉南事〈上生穷无征商不为宫〉　　七日律六寸三分小分一弱〈二子〉盛变　分否　解刑　七日律六寸二分小分三大强〈三子〉离躬　陵阴　去南　七日律六寸一分小分五微强〈四子〉制时　少出　分积　八日律六寸小分七弱

　　〈得位〉林钟〈宫未〉太蔟〈征〉南吕〈商〉一日律六寸
　　〈一子〉谦待　未知　白吕　五日律五寸九分小分九弱〈二子〉去灭　时息　结躬　七日律五寸九分小分二弱〈三子〉安度　屈齐　归期　六日律五寸八分小分四弱〈四子〉归嘉　随期　未卯　六日律五寸七分小分六微强〈五子〉否与　刑晋　夷汗　五日律五寸六分小分八强〈失位〉夷则〈宫申〉夹钟〈征〉无射〈商〉八日律五寸六分小分二弱〈一子〉解刑　开时　闭掩　八日律五寸五分小分四强〈二子〉去南　侯嘉　邻齐　八日律五寸四分小分六大强〈三子〉分积　争南　期保　七日律五寸三分小分九强

　　〈得位〉南吕〈宫酉〉姑洗〈征〉应钟〈商〉一日律五寸三分小分三强〈一子〉白吕　南授　分乌　五日律五寸三分小分二强〈二子〉结躬　变虞　迟内　七日律五寸二分小分六强〈三子〉归期　路时　未育　六日律五寸一分小分九微强〈四子〉未卯　刑始　迟时　六日律五寸一分小分二微强〈五子〉夷汗　依行　色育　五日律五寸小分五强通曰色育入应钟子行凡二见谦待入㽔宾子行凡一见盖中吕无射皆失位生子三并母为四截去黄钟林钟各首子馀四子始可配位此亦不得不然也
　　〈失位〉无射〈宫戌〉中吕〈征〉执始〈商〉八日律四寸九分小分九强〈一子〉闭掩　南中　丙盛　八日律四寸九分小分三弱〈二子〉邻齐　内负　分勲　七日律四寸八分小分六微弱〈三子〉期保　总应　质未　八日律四寸七分小分九微强〈不得不失〉应钟〈宫亥〉㽔宾〈征〉大吕商一日律四寸九分小分四微强〈一子〉分乌　南事〈此无商则不为宫〉七日律四寸七分小分三微强〈二子〉迟内　盛变　分否　八日律四寸六分小分八弱〈三子〉未育　离躬　陵阴　八日律四寸六分小分一微强〈四子〉迟时　制时　少出　六日律四寸五分小分五弱







　　六十律生次自黄钟至中吕十二母照常其四十八子自中吕
　　〈上生〉执始〈黄次　　下子　　　生〉去灭〈林次　　上子　　　生〉时息〈太次子下生〉结躬〈南次　　上子　　　生〉变虞〈姑次　　下子　　　生〉迟内〈应次子上生〉盛变〈㽔次　　上子　　　生〉分否〈大长　　下子　　　生〉解刑〈夷长子〉

　　〈上生〉开时〈夹长　　下子　　　生〉闭掩〈无长　　上子　　　生〉南中〈中长子〉
　　〈上生〉丙盛〈黄三　　下子　　　生〉安度〈林三　　上子　　　生〉屈齐〈太三子〉
　　〈下生〉归期〈南三　　上子　　　生〉路时〈姑三　　下子　　　生〉未育〈应三子〉
　　〈上生〉离躬〈㽔三　　上子　　　生〉陵阴〈大次　　下子　　　生〉去南〈夷次子〉
　　〈上生〉侯嘉〈夹次　　下子　　　生〉邻齐〈无次　　上子　　　生〉内负〈中次子〉
　　〈上生〉分勲〈黄四　　下子　　　生〉归嘉〈林四　　上子　　　生〉随期〈太四子〉
　　〈下生〉未卯〈南四　　上子　　　生〉刑始〈姑四　　下子　　　生〉迟时〈应四子〉
　　〈上生〉制时〈㽔四　　上子　　　生〉少出〈大三　　下子　　　生〉分积〈夷三子〉
　　〈上生〉争南〈夹三　　下子　　　生〉期保〈无三　　上子　　　生〉总应〈中三子〉
　　〈上生〉质未〈黄五　　下子　　　生〉否与〈林五　　上子　　　生〉刑晋〈太五子〉
　　〈下生〉夷汗〈南五　　上子　　　生〉依行〈姑五　　下子　　　生〉色育〈黄长子〉
　　〈上生〉谦待〈林长　　上子　　　生〉未知〈太长　　下子　　　生〉白吕〈南长子〉
　　〈上生〉南授〈姑长　　下子　　　生〉分乌〈应长　　上子　　　生〉南事〈㽔长子〉
　　七调图
　　一宫　黄〈正〉　林〈正〉　太〈正〉　南〈正〉　姑〈正半〉　应〈正〉　㽔〈正〉二宫　林〈正〉　太〈正半〉　南〈正〉　姑〈正半〉　应〈正〉　㽔〈正半〉　大〈正半〉三宫　太〈正〉　南〈正〉　姑〈正〉　应〈正〉　㽔〈正〉　大〈正半〉　夷〈正〉四宫　南〈正〉　姑〈正半〉　应〈正〉　㽔〈正半〉　大〈正半〉　夷〈正半〉　夹〈正半〉五宫　姑〈正〉　应〈正〉　㽔〈正〉　大〈正半〉　夷〈正半〉　夹〈正半〉　无〈正〉六宫　应〈正〉　㽔〈正半〉　大〈正半〉　夷〈正半〉　夹〈正半〉　无〈正半〉　中〈正半〉七宫　㽔〈正〉　大〈正半〉　夷〈正〉　夹〈正半〉　无〈正〉　中〈正半〉　黄〈变半〉八宫　大〈正〉　夷〈正〉　夹〈正〉　无〈正〉　中〈正〉　黄〈变半〉　林〈变〉九宫　夷〈正〉　夹〈正半〉　无〈正〉　中〈正半〉　黄〈变半〉　林〈变半〉　太〈变半〉十宫　夹〈正〉　无〈正〉　中〈正〉　黄〈变半〉　林〈变〉　太〈变半〉　南〈变〉十一宫无〈正〉　中〈正半〉　黄〈变半〉　林〈变半〉　太〈变半〉　南〈变半〉　姑〈变半〉十二宫中〈正〉　黄〈变半〉　林〈变〉　太〈变半〉　南〈变〉　姑〈变半〉　应〈变〉
　　琴度
　　通曰四十五度三分用一为十五度十二
　　度二分益一为十八度二十四度二分益
　　一为三十六度又以三十六度三分损一
　　为二十四度十八度三分损一为十二度
　　十五度三分者九为四十五度故黄钟以
　　三为法以九为度而琴以三始九终也琴
　　分三百六十度为十四段自临岳至四徽
　　得四段自五徽至九徽得四段自十徽至
　　龙龈得四段其四徽至五徽与九徽至十
　　徽之二段不入损益而三十度又独为损益者三分十八度而益二分为三十度四分二十四度而益一分为三十度皆以六度为一分也三大段二小段不离五也且倍十五即成三十倍十二即成二十四倍十八即成三十六此亦加倍法耳后半变加为减矣大约七徽为琴之中分百八十度者二四徽为临岳七徽之中十徽为七徽龙龈之中分九十度者四而一徽又为
　　临岳四徽之中十三徽又为十徽龙龈之中也
　　箫笛七调升降图说















　　通曰合言之自极低以至极高总为一调每孔有上中下三声耳分言之正宫为中调三升三降而成七也自正宫渐降而低为六字调再降而低为凡字调再降而低为凄凉调也自正宫渐升而高为乙字调再升而高为梅花调再升而高为闭工调也闭乙凡字为南调用乙凡字为北调而南北各调中又皆有子母调是所谓二十八调也中径广者其声低中径小者其声高成五十六调矣长者其声远短者其声近又成百有一十二调若细剖之可至无竆然而调则不逾乎七音则不过乎五者何也南成其为南之七调北成其为北之七调高成其为高之七调低成其为低之七调远成其为远之七调近成其为近之七调非于七调外更增一调也不过于中重重剖之耳盖音止于五乃天然之节也如南调合四上尺工为五音六即高合字五即高四字因而会悟凡八音与夫人禽一切有声之物皆隔五必合音安得而不止于五耶乙凡者二变也北调用之为合乙四上尺工凡亦止七也黄钟之五正二变适符箫笛之七调此岂人力思量所能及哉惜乎以俗乐目之不能以今证古耳〈高字有定而无定也笛孔犹可箫之合式者始不移其不合式者必须变孔以合之〉
　　横调直调说
　　通曰气交而成声声交而成调调亦不得巳之名也同此调也剖之为七曰凄凉曰凡字曰六字曰正宫曰乙字曰梅花曰闭工此以高下分为直调也同此直调也再剖之为十三曰黄钟曰正宫曰大石曰小石曰仙吕曰中吕曰南吕曰双调曰越调曰商调曰商角曰般涉曰子母此以曲名分为横调也然声之高下复有直有横如合与六四与五本一孔而因气之缓急分高下者此横高下也正宫之四即乙字之合乙字之四即梅花之合本一字而因孔之升降分高下者此直高下也正如琴之十三徽为横七弦为直耳至于曲名分调有阶级升降循次而转者有远近升降隔二隔三而转者有高字多而低字少者有低字多而高字少者有急者有缓者此虽横调亦未尝不因高下而分也始知声音之理无出于清浊高下升降缓急之外者同符河洛音本天然不过随时安名字耳又何疑乎今乐非古乐哉






　　数度衍卷首下



　　钦定四库全书
　　数度衍卷一
　　桐城　方中通　撰
　　珠算
　　加法〈一曰上法〉
　　一上一　一下五去四　一退九进一十〈进一位上一子非専指一十数也〉二上二　二下五去三　二退八进一十
　　三上三　三下五去二　三退七进一十
　　四上四　四下五去一　四退六进一十
　　五上五　五退五进一十
　　六上六　六上一去五进一十　六退四进一十七上七　七上二去五进一十　七退三进一十八上八　八上三去五进一十　八退二进一十九上九　九上四去五进一十　九退一进一十式有物一十二又五十四问共若干曰六十六术一上一二上二此即一十二也大在左前小居右后故一十在左而二在右也五上五与一十同位四下五去一与二同位此加五十四在一十二之上也合为六十六矣
　　减法〈一曰退法〉
　　一退一　一退十还九〈左位退一子本位上九〉一上四退五二退二　二退十还八　二上三退五
　　三退三　三退十还七　三上二退五
　　四退四　四退十还六　四上一退五
　　五退五　五退十还五
　　六退六　六退十还四
　　七退七　七退十还三
　　八退八　八退十还二
　　九退九　九退十还一
　　式有物六十六内欲减去五十四尚馀若干曰一十二术置六十六于盘中五退五在六十位上四上一退五在六位上六十退去五十存一十六退去四存二所馀为一十二矣
　　因乘法
　　一一如一
　　一二如二　二二如四
　　一三如三　二三如六　三三如九
　　一四如四　二四如八　三四一十二　四四一十六一五如五　二五一十　三五一十五　四五二十五五二十五
　　一六如六　二六一十二　三六一十八　四六二十四　五六三十　六六三十六
　　一七如七　二七一十四　三七二十一　四七二十八　五七三十五　六七四十二　七七四十九
　　一八如八　二八一十六　三八二十四　四八三十二　五八四十　六八四十八　七八五十六　八八六十四
　　一九如九　二九一十八　三九二十七　四九三十六　五九四十五　六九五十四　七九六十三八九七十二　九九八十一
　　术曰一位曰因二位曰乘有法有实以法乘实为所求数也然法实亦可互用故曰相乘一位法者相因得数而己法二位以至多位者自左向右用第二位法起诸位法毕然后乘法首位也以法乘实先乘实右末位向左逐位遍乘乘毕而实数即变为所求数矣有䑕尾乘破头乘皆不适用故不录
　　因式有三百六十五人毎人八两问共若干曰二千九百二十两术以三百六十五人为实列盘左以八两为法列盘右先以八乘实末寅位五曰五八得四十变寅位五为四次以八乘丑实六曰六八四十八变丑位六为四加八于寅位四上曰八退二进一十则寅位之四又变为二丑位之四曰一下五去四又变为五次以八乘子实三曰三八二十四变子位三为二加四于丑位五上为九乘毕得二千九百二十两也
　　通曰凡左右相乘必有二位数曰㡬十㡬今如一位法者十当在本位零当在下位也本位者所乘实数之位也下位者仅下所乘实数一位也如八乘五则五为本位得四十则四当在五位上也八乘六则六为本位得四十八则四当在六位上八当在下位也八乘三则三又为本位矣
　　因乘式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术以三百六十五人为实一十二两为法先以第二位乙法二乘寅实五曰二五一十一在卯位然后以法首一乘寅实五曰一五如五五加在卯位一上为六次以乙法二乘丑实六曰二六一十二一在寅位二加在卯位六上为八以甲法一乘丑实六曰一六如六六加在寅位一上为七次以乙法二乘子实三曰二三如六六加在寅位七上七变为三而
　　丑位上一矣以甲法一乘子实三曰一三如三三加在丑位一上为四得四千三百八十两也
　　通曰凡因乘多位先用第二位法乘起者曰㡬十㡬十当在本位之下位零又在下位之下也挨次退右留本位以待法首变之耳如乙法二乘寅实五得一十则一当在卯位也甲法一乘寅实五得五五乃零数当在下位之下故亦在卯位上也盖以寅为本位之时则卯为下位辰为下位之下也以丑为本位之时寅为下位卯为下位之下也
　　因乘定位法
　　式三百六十五人毎人一十二两共得四三八问四为何数曰千数术通曰以法首齐实首布列甲子同位乙丑同位从丑下一位呼实首百是寅位为百矣向左推
　　去丑为千位遇变后得数之始而止
　　今变后之首在丑即知四为千也但
　　法末必单数乃可如今一十二两是
　　也若一两二钱或一百二十两则不
　　同矣总以单数为率下则顺推上则逆推可耳又术通曰视得数之首在实之何位上今在实之十位上又视法有㡬位今有二位当以十升二位曰百曰千亦知为千也
　　定身因乘法
　　式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术置实数以法一十二除首一不用以乙二为法先以法二乘寅五曰二五一十加一于寅为六不在下位矣次以法二乘丑六曰二六一十二加一于丑六为七加二于寅六为八次以法二乘子三曰二三如
　　六加六于丑七变七为三变子三为四合问
　　通曰凡法首遇一者用之其在位实数即作甲法之乘数矣多位法者以乙法为首从丙法乘起粟布章斤求两用身加六
　　归除法
　　一
　　二一添作五　逢二进一十
　　三一三馀一　三二六馀二　逢三进一十
　　四一二馀二　四二添作五　四三七馀二　逢四进一十
　　五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六　五四倍作八　逢五进一十
　　六一下加四　六二三馀二　六三添作五　六四六馀四　六五八馀二　逢六进一十
　　七一下加三　七二下加六　七三四馀二　七四五馀五　七五七馀一　七六八馀四　逢七进一十八一下加二　八二下加四　八三下加六　八四添作五　八五六馀二　八六七馀四　八七八馀六逢八进一十
　　九一下加一　九二下加二　九三下加三　九四下加四　九五下加五　九六下加六　九七下加七九八下加八　逢九进一十
　　术曰一位曰归二位曰除〈一曰混归〉有法有实以法除实得所求数也一位法者止用归法多位法者法首归得某数次法乘其数而除实自左向右以逐位法除实实亦自左向右挨次除之除毕一遍又以法首归之次法除之以实尽为度变后数即所求数也又有无除撞归二法诀曰惟有归除法最奇将身归了次除之有归若是无除数起一还将原数施若遇本归归不得撞归之法不须迟俱详后
　　通曰二与五四与二十五因归皆可互用又三与六可当一十八四与六可当二十四凡数之相通者甚多亦在乎熟之而已
　　归式有银二千九百二十两八人分之问各若干曰三百六十五两术以二千九百二十两为实八人为法以法八归子实二曰八二下加四将子实二不同丑九加四曰四下五去一此用梁上之上一子也丑九变为十三盖不用四退六进一十者归后数上止可加归得数不可加馀实也次以法八归丑十三曰逢八进一十于子位归后二
　　上加一为三丑实存五又以法八归丑五曰八五六馀二丑五变为六寅二加二为四乃以法八归寅四曰八四添作五寅四变为五而实尽矣得三百六十五两也通曰凡曰下加曰馀㡬皆归后而有馀实也如今八人分二千两各得二百共去实一千六百存实四百故曰八二下加四也又如今之八五六馀二乃八人分五百各得六十共去四百八十而存实二十也凡曰添作㡬乃归实无馀者也如今八四添作五乃八人分四十两各得五两而实尽也凡曰进㡬十者乃实内满㡬归之数也满一遍进一十满二遍进二十如今八归曰逢八进一十乃一千三百之内有一回八百各得一百故曰进一也进在实前馀在实后归变本实切勿错位归除式有银四千三百八十两三百六十五人分之问各若干曰一十二两术以四千三百八十为实三百六十五为法先以法首三归实首四曰逢三进一十于子位上一丑减三存一乃以乙法六乘归后子一曰一六如六于寅位除六曰六退十还四抹去丑一寅三加四为七又以丙法五乘归后子一曰一五如五于卯八除五存三而法位毕矣第二遍再以法首三归寅位存实七曰逢六进二十于丑上二寅减六存一乃以乙法六乘第二遍归后丑二曰二六一十二于寅除一卯除二又以丙法五乘第二遍归后丑二曰
　　二五一十于卯除一而法位又毕矣实未尽则又用前法今实巳尽得一十二两也
　　通曰凡归数即变实之本位除数当除实之下位本位者归后数所在之位也除实之下位者即本位之下一位也此与本实不同本实有时即本位有时乃本位之下位也除之十数在下位而零数又在下位之下也如法三归实四曰逢三进一十四为本实进在实前故所归之一当在四前子位也而本实之四变为一矣一在子上则子为本位也乙法六乘归数除实曰一六如六此零数也故于寅除六此子为本位而寅为下位之下耳若第二遍乙法除实曰二六一十二则于寅除一卯除二矣此丑为本位也
　　无除法
　　一归起一还一　二归起一还二〈至九归起一还九〉式有银一百零八两二十七人分之问各若干曰四两术置银为实人为法以法首二归实首一曰二一添作五变子为五乙法七当乘归数五为三十五于丑寅内除之而丑位无实可除今乃二归曰起一还二起子位归数五内之一改五为四而还丑位二为存实肰后以乙法七乘归数四曰四七二十八于丑除二十寅除八实尽得四两也
　　通曰凡起㡬还㡬者归后之一子即当其㡬归之数也如今二归曰二一添作五是五内一字当二子也故起一即还二矣夫起一者如毎人不可得五止可得四耳
　　撞归法
　　见一无除作九一　见二无除作九二〈至见九无除作九九〉式有银二百一十六两二十四人分之问各若干曰九两术置银为实人为法以法首二归实首二若用逢二进一十则乙法之一四如四丑一数不足除矣此乃二归曰见二无除作九二变子二为九加二于丑一为三然后以乙法四乘归数九曰四九三十六于丑除
　　三十寅除六实尽得九两也
　　通曰凡撞归者皆不可得十止可得
　　九也法实首数同而次实少于次法
　　者用之盘梁上有三子始便
　　除归定位法
　　式三百六十五人分四千三百八十两得一二问一为
　　何数曰十数术通曰以法布列实左
　　法末仅在实首四之上位从列法首
　　之子位呼实首千数顺右而下丑为
　　百寅为十遇变后得数之首位而止
　　今变数首一在寅即知一为十数也但法末必单数乃可如五个半人则须除去半人不列位矣如三百六十人又须列○作一位矣又术通曰视得数之首在实之何位今在实之千前一位乃万位也又视法有㡬位今有三位当以万降三位曰千曰百曰十亦知一为十也
　　定身归除法
　　式有银九十一两一十三人分之问各若干曰七两置银为实人为法以法首一除去不用止用乙法三于实首九内存身减之当存七乃以法三乘七曰三七二十一于子实内存七外减二十又减丑一实尽合问
　　通曰凡存数有定非可随意而存也如今式
　　子九内存八则下无二十四可减存六则减一十八外馀实又多故定于七也法首遇一用此粟布章两求斤用减六存身
　　商除法
　　式有银三千零一十五两六十七人分之问各若干曰四十五两术置银为实人为法以法首六十于实首三千内商有㡬回今商四十是有四十回六十也即以法首六乘所商四为二十四于子除二丑除四曰四退十还六共除二
　　千四百以乙法七乘所商四为二十八于丑除二寅除八曰八退十还二又除二百八十馀实三百三十五次以法六十于三百内商有㡬回今商五是有五回六十也以法首六乘次商五为三十于丑除三又除三百以乙法七乘次商五为三十五于寅除三卯除五又除三十五实尽合问
　　通曰凡商数有定如今初商五十则实不足除次法商三十则实馀太多故定当四十耳若论盘中变位得数法首多于实首者列商数于实左一位法首少于实首者列商数于实左隔一位挨次商列即得变数
　　折半法
　　式有银六十四两八人分之问各若干曰八两术置法实以法八折半为四实六十四折半为三十二又以法折半为二实折半为一十六再以法折半为一实折半为八法折至一数而止即存实八为各得数也凡法遇偶数者可用此
　　乘除捷法〈即金蝉蜕壳〉
　　因乘诀曰起双下加倍见一只还原倍一挨身上馀皆隔位迁归除诀曰加双下除倍加一下除原陪一挨身除馀皆隔位迁
　　乘式有米三石五斗毎斗价银七分问共银若干曰二两四钱五分术置米为实以价七分为原数倍得一钱四分为倍数先于实末五斗上呼起双下加倍起去二斗挨身上一钱次位上四分再起二斗挨身上一钱四分却呼见一只还原起去一斗隔位上七分次于三石上呼起双下加陪起二石挨身上一两四钱却呼见一只还原起一石隔位上七钱合问
　　又式有布五十七疋毎疋价银二钱五分问共银若干曰一十四两二钱五分术置布为实以价二钱五分为原数倍得五钱为倍数先于实末七疋内起三个二疋挨身上三个五钱又起一疋挨身上二钱五分次于五十疋内起两个二十疋挨身上两个五两又起一十疋挨身上二两五钱合问
　　通曰前式价是分倍是钱则倍数挨身上原数隔位上后式价是钱倍亦是钱故倍数原数俱挨身上
　　除式有钱二千二百五十文给九十人问毎人若干曰二十五文术置钱为实以九十人为原数倍得一百八十人为倍数先于实首二千前挨身呼加双下除倍除实一千八百馀实四百五十次于四百前挨身呼加双下除倍除实一百八十又呼加双下除倍除实一百八十再呼加一下除原隔位除九十合问
　　又式有油四百二十斤毎油七斤半换豆一斗问共换豆若干曰五石六斗术置油为实以七斤半为原数倍得一十五斤为倍数先于实首四百前加两个双除两个一百五十斤又加一除七十五斤次于馀实四十五斤前加三个双除三个一十五斤合问
　　通曰又有二句除诀曰有除隔位进无除挨身进止用原数从实前隔一位起毎上一子除一遍原数乘法则毎抺去实尾一子挨身上一遍原数不足为法姑附于此
　　流法
　　乘式有田九百八十一亩毎亩一分八釐九毫问共若干曰一十八两五钱四分零九釐术先以法一分八釐九毫衍定遇一曰一八九遇二曰三七八遇三曰五六七遇四曰七五六遇五曰九四五遇六曰一十一三四遇七曰一十三二三遇八曰一十五一二遇九曰一十七零一乃从实末因之遇某数即用某诀有十字者破本身起馀皆挨身一位起也
　　除式有银一十八两五钱四分零九毫派在九百八十一亩问毎亩若干曰一分八釐八毫九丝九不尽术先以法九百八十一亩衍定遇一曰一零一九三六七遇二曰二零三八七三五遇三曰三零五八一零三遇四曰四零七七四七一遇五曰五零九六八三九遇六曰六一一六二零七遇七曰七一三五五七五遇八曰八一五四九四三遇九曰九一七四三一　一亦从实末因之遇某数用某诀挨身一位起也
　　通曰法数有定者方可用此然止乘可用除则不尽也
　　乘除新法
　　归除诀曰进一空除原〈实首多等于原数及少于半数者用此〉进二空除倍〈实首多等于倍数及少于半数者用此〉进二随除倍〈实首少于半数而倍数首一者用此〉进五空除半〈实首有馀而原数首一者用此〉进五随除半〈实首多等于半数者用此〉因乘诀曰除一空加原〈实尾正一数者用此有时隔一位加原数〉除二空加倍〈实尾二三四数者用此有时隔一位加倍数〉除二随加倍〈实尾二三四数而倍数首一者用此〉除五空加半〈实尾五六七八数而原数首一者用此〉除五随加半〈实尾五六七八数者用此〉
　　除式通曰有银八十七两二钱四分二釐四人分之以银八七二四二为实数以人四为原数加倍得八为倍数以人四折半得二为半数列定从左除起视实数左首多于倍数或等于倍数当用进二空除倍乃于实左空一位上二于实首除倍数八再视馀实左首少于倍数或多等于原数当用进一空除原乃于实左空一位上一于馀实首除原数四再视馀实左首少于原数或多等于半数当用进五随除半乃于实左位上五不须空位于馀实首除半数二再视馀实左首少于半数亦当用进一空除原乃于实左位上一不须空位但于馀实左首向右退一位除原数四再视馀实首等于倍数当用进二空除倍再视馀实首等于原数当用进一空除原再视馀实等于半数当用进五随除半实数除尽毎人分得二十一两八钱一分零五毫此式先用进二空除倍次用进一空除原次用进五随除半馀实首一二作一十二亦可用进二空除倍乃于馀实左位上二不须空位但于馀实左首向右退一位除倍数八次用进一空除原次又用进一空除原次用进五随除半亦合
　　乘还原式通曰以毎人分得银二一八一零五为实数其倍数原数半数俱如前不动从右乘起视实右尾过五以上当用除五随加半乃于实尾去五随下位加半数二不须空位再视馀实尾止一数当用除一空加原乃于馀实尾去一空一位加原数四再视馀实尾过五当用除五随加半乃于馀实尾去五随下位加半数二再视馀实尾过二当用除二空加倍乃于馀实尾去二空一位加倍数八再视馀实尾止一数当用除一空加原乃于馀实尾去一空一位加原数四再视馀实尾止一数当用除一空加原乃于馀实尾去一空一位加原数四再视馀实满二当用除二空加倍乃于馀实尾去二空一位加倍数八共得八十七两二钱四分二釐原首一数除式通曰有银四十五两六钱为实数一十二人分之为原数倍数二四半数六视实首多于倍数用进二空除倍再视馀实多于原数用进一空除原再视馀实多于倍数两倍以上而原首系一数此为实数有馀当用进五空除半须空一位除之再视馀实多于倍数当用进二空除倍再视馀实等于原数当用进一空除原毎人分得三两八钱
　　乘还原式通曰以三八为实倍原半如前实尾过五系原首遇一者当用除五空加半馀实尾过二用除二空加倍馀实尾止一数用除一空加原馀实尾过二用除二空加倍馀实止一数用除一空加原共得四十五两六钱
　　倍首一数除式通曰有银四十一万三千三百二十六两二钱八分四釐为实数七千三百五十六人分之为原数倍数一四七一二半数三六七八实首多于半数用进五随除半馀实首多于半数用进五随除半馀实首多于原数用进一空除原馀实首少于半数用进一空除原馀实首多于半数用进五随除半馀实首多于倍数系倍首遇一者当用进二随除倍不空位馀实首少于半数用进一空除原馀实首多于半数用进五随除半馀实首多于倍数用进二随除倍馀实等于倍数亦用进二随除倍毎人分得五十六两一钱八分九釐乘还原式通曰以五六一八九为实倍原半如前实尾过五用除五随加半馀实尾过二系倍首遇一者当用除二随加倍不空位馀实尾满二亦用除二随加倍馀实尾过五用除五随加半馀实尾过二用除二随加倍馀实尾止一数用除一空加原馀实尾又止一数用除一空加原馀实尾过五用除五随加半馀实尾止一数用除一空加原馀实满五用除五随加半共得四十一万三千三百二十六两二钱八分四釐
　　附正珠乘除新法
　　以减代乘法
　　男正珠曰不用因乘而以减法代之数亦天然符合其术须变法数如一位法者作单数于十内减之馀者为变数二位法者作㡬十㡬数于百内减之馀者为变数三位法者作㡬百㡬十㡬数于千内减之馀者为变数法既变后乃将变法与实呼减之呼实则自右向左呼法则自左向右逐位呼减减毕馀实即为所求数也
　　因式
　　有一百二十人毎人二两问共若干曰二百四十两术珠曰先将法二于十内减之馀八即八为变法也以变法八呼丑实二曰二八除十六乃于丑二内除一又当于寅位除六曰六退十还四丑空位寅存四再以变法
　　八呼子实一曰一八除八当于丑位除八曰八退十还二子位空丑存二逐位减毕即丑馀之二寅馀之四为所求二百四十两也
　　因乘式
　　有一百二十人毎人二两一钱问共若干曰二百五十二两术珠曰此二位法也将法二两一钱作二十一于百内减之馀七十九为变法先以甲法七呼丑实二曰二七除一十四乙法九呼丑实二曰二九除一十八皆于丑实二内除之此如以丑二作二百先除一百四十后除一十八止存四十二也
　　故丑位空寅存四卯存二再以甲法七呼子实一曰一七除七乙法九呼子实一曰一九除九此如以子一作一百先除七十后除九也曰七退十还三子位空丑上三曰九退十还一丑存二上一于寅存四上为五卯仍存二逐位减毕即丑馀之二寅馀之五卯馀之二为所求二百五十二两也
　　以加代除法
　　珠曰归除之法有可以加法代者更为易简其术亦须变法数与前因乘相同法既变后乃将归实暗数与变法呼加之暗数者视原法数在实内有㡬回也即用其㡬回之数为暗数耳以变法与暗数相呼加于实数之上逐位呼加加毕则其得数与归除无异也
　　归式
　　式一有银一百二十两二人分之问各若干曰六十两术珠曰先将法二于十内减之馀八即八为变法也五一两数是为子丑两暗数子实一作一十内有五回原法二也丑
　　实二内有一回原法二也先以变法八呼子暗数五曰五八得四十乃于子实一上
　　加四为五再以变法八呼丑暗数一曰一八如八当于丑实二上加八数巳满十曰八退二进一十乃退去丑位二而于子位五进一为六逐位加毕视子位逓加之六即所求之分数为毎人各得六十两也式二有银一百二十两三人分之问各若干曰四十两术珠曰先将法三于十内减之馀七即七为变法也三一两数是为子丑两暗数盖子实一十内有三回原法三馀合丑实二为三内有一回原法三也先以变法七呼子暗数三曰三七二十一乃于子实一
　　上加二为三丑实二上加一为三再以变法七呼丑暗数一曰一七如七当于丑位三上加七数巳满十曰七退三进一十乃退去丑位三而于子位三进一为四逐位加毕视子位逓加之四即所求之分数为毎人各得四十两也
　　归除式
　　有银一百二十两二十四人分之问各若干曰五两术珠曰先将法二十四人作二十四于百内减之馀七十六为变法五为暗数盖子实一作一百内有五回原甲法二十丑实二作二十内有五回原乙法四也此二位法先以变法甲七呼暗数五曰五七三十五乃于子一上加三为四丑二上加五为
　　七此法之首位加毕矣再以变法乙六呼暗数五曰五六得三十当于丑位七上加三数巳满十曰三退七进一十乃退去丑位七而于子位四上加一为五此法之次位加毕矣如是加毕则子位之五即所求之分数为毎人各得五两也





　　数度衍卷一



　　钦定四库全书
　　数度衍卷二
　　桐城　方中通　撰
　　笔算上
　　加法
　　术曰列散数各横置以类相从〈十从十百从百〉大左小右自右并起零数纪本位下十进一位百进二位无零本位纪○诸位至左并毕即下纪数为所求总数也
　　进一位式有一万零六百五十四又八千九百零七又五万六千七百八十九又八百八十问共若干曰七万七千二百三十术先并单数四七九为二十此有十无
　　零也本位纪○进二于左次并十数
　　五八八及单数所进之二为二十三
　　本位纪三进二于左次并百数六九
　　七八及十数所进之二为三十二本
　　位纪二进三于左次并千数八六及
　　百数所进之三为一十七本位纪七进一于左次并万数一五及千数所进之一为七本位纪七合问
　　进二位式有散数如图所列问共若干曰二万三千七百五十二术先并单数为一百零二本位纪二进一于
　　左隔位此百进
　　二位也次并十
　　数为五本位纪
　　五次并百数及
　　单数所进之一
　　为一十七本位纪七进一于左次并千数及所进一为二十三本位纪三进二于左万无数即纪所进二合问通曰多层者截作两段三段为便如右试截上六层得总数一五六八一即将此数及下六层求得总数亦合
　　试加差法
　　术曰有九减七减二法九用见数而九减之七用实积数而七减之先减散数馀若干次减总数馀若干两馀相比同则无差
　　九减式试第一式先减散数去○与九不入减并四七
　　五八八六七八八六一五共
　　为七十三九减馀一〈减去八九七十〉
　　二列乂左次并总数三二七七共为
　　一十九九减馀一〈减去二九一十八〉列乂右
　　左右相比数同无差
　　通曰此以见数为主不论千百位也
　　七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减馀



　　七减馀一〈减二七一〉
　　〈十四〉次作一十四七减无馀右下纪○次行左八九作八十九七减馀五次作五十七减馀一次作一十七七减馀三右下纪三三行依法减馀五四行依法减馀五俱纪右下再以各行纪馀○三五五并为十三七减馀六乃以总数依法减之馀六左右列比无差
　　减法
　　术曰多者列上为原数少者列下为减数所求数为减馀从类列位自右减起下纪其馀也下数多于上数者

　　为不足减上○而下有数者为无可减二者用借法式有二千七百一十五减四百零二问馀若干曰二千三百一十三术原数列上减数列下减数首百从原数百下顺列单位五内减二馀三抹去原数五本位纪三次十位一遇○无减本位仍纪一次百位七减四馀三抹去原数七
　　本位纪三次千位二遇无减数本位仍纪一合问用借式有四千八百四十减二千五百九十二问馀若干曰三千二百四十八术列原数减数单位○不能减二须借左原数一在本位作十减二馀八下纪八次十位原数四因右借一存三不能减九借左原数一在本位作十并存三为十三减九馀四下纪四次百位原数八因右借一
　　存七减五馀二下纪二次千位四减二馀二下纪二合问
　　用借用还式数如前式术单位○不能减二借左原数一在本位作十减二馀八乃于十位减数九加一作十以还借数四不能减十借左原数一在本位作十并四为十四减十馀四百位减数五加一作六以还借数八内减六馀二千位四减二馀二亦合
　　左减式数如前式术通曰旧法自右起今易自左起千位四内减二馀二抹去原数四减数二而变为二次百位八内减五馀三八变为二次十位四不能减九于百位变三内退一三又变为二十位四上加十为十四减九馀五四变为五次单位○不能减二于十
　　位变五内退一五又变为四单位○上作十减二馀八○变为八此法较便
　　试减差法
　　术曰一用如法试之以减数并减馀得原数或以减馀减其原数应与所减数合又有九减七减二法如试加然但以减数及减馀合为一处又如加之散数首行次行耳
　　用加法式试第一式以减数四百零二并减馀二千三百一十三为二十七百一十五合原数无差
　　用减法式试第一式以减馀二千三百一十三于原数二千七百一十五内减之馀四百零二合减数无差九减式试第一式先并减数四二及减馀二三一三共
　　为一十五九减馀六次并原数
　　二七一五为一十五九减馀六
　　左右列比无差
　　通曰九减用实积数亦可盖九数无往
　　不合故也
　　七减式试第一式先以减数之左四○作四十七减馀五次作五十二七减馀三又以减馀之左二三作二十三七减馀二次作二十一七减无馀次三不足减仍馀三俱纪右下乃以各数纪馀之三二并为六不足减仍
　　作六再以原数之左二七
　　作二十七七减馀六次作
　　六十一七减馀五次作五十五七
　　减馀六左右列比无差
　　乘法
　　术曰乘即因也用九因法上列原数〈即实数〉下列乘数〈即法〉数齐于右尾算即始右将下一位遍乘上诸位向左逐位纪所乘数于下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首何数从乘数左首推至总数左首即知通曰凡以下乘上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平〈三四一十二四四一十六之类〉本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足〈五四得二十五八得四十之类〉本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如〈一三如三二三如六之类〉左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乘尾无○者虽○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾无○者即自乘数之有数位乘起若上下尾与中或俱有○者亦须乘之以存位下数乘上○下○乘上数皆曰某○如○下○乘上○曰○○如○则本位左位俱纪○也
　　十因
　　式乘上下数不等少数尚未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘九何以得七十二术九在十内少一纪一于九右八在十内少二纪二于八右是八九为乘上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一不及九二不及八少数不及也以少数一二相乘得二纪下二未满十故曰未满十乘数也
　　又以右一斜减左八右二斜减左九俱馀七数同下纪七故得七十二
　　又式乘上下数等少数未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相
　　乘得四下纪四左右上下斜减俱馀六下纪六故得六十四
　　又式乘上下数等少数已满十乘数而少数反过于乘上下数如以三乘三何以得九术上下俱三三在十内少七右俱纪七相乘得四十九已有四十故曰已满十乘数也下纪九寄四于左左上下三各
　　加所寄四俱变为七然后左右上下斜减俱无馀下纪○故得九
　　又式乘上下数不等少数满十乘数而少数不及于乘上下数如以六乘七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乘得一十二下纪二寄一于左左上七加一变为八下六加一变为七然后左右上下斜减俱馀四下纪四故得四十二又
　　术三四乘得一十二将一悬于左待左右上下斜减俱馀三乃并所悬之一为四亦合
　　通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎十因即洛书之无十而藏十也
　　诸式
　　一位乘式有一百五十二人每人六两问共若干曰九百一十二两术列定自右乘起先以六乘二曰二六一十二此平也左位纪一本位纪二次以六乘五曰五六三十此足也左位纪三本位纪○次以六乘一曰一六如
　　六此如也左位纪○本位纪六所纪散数用加法合问乘数六是两推至总数首为百
　　多位乘而原数中有○式有四千六百零八人每人三百二十五两问共若干曰一百四十九万七千六百两术列数以五乘八曰五八四十以五乘○曰五○如○以五乘六曰五六三十以五乘四曰五四二十如法纪
　　之此五之遍乘也次以二乘八
　　曰二八一十六以二乘○曰二
　　○如○以二乘六曰二六一十
　　二以二乘四曰二四如八如法
　　进位纪之此二之遍乘也次以
　　三乘八曰三八二十四以三乘
　　○曰三○如○以三乘六曰三
　　六一十八以三乘四曰三四一十二如法又进位纪之此三之遍乘也用加法合问
　　原数尾有○式有六百人每人六两问共若干曰三千六百两术以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至总首为
　　千
　　乘数尾有○式有四十五人每人六十两问共若干曰二千七百两术乘数尾有○虽不必乘然一○为十二○为百不可不列位列后从六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至总首为千
　　原数乘数尾俱有○式有六百人每人三百四十两问
　　共若干曰二十万零四千两术列定
　　先以四遍乘次以三遍乘得总数尾
　　三○便于定位
　　通曰加减乘除皆可易横
　　为直而乘用直觉便故附
　　于此至于诸○立法不得
　　不存熟则不用矣
　　试乘差法
　　术曰九减七减如前但左右列数多一互乘得数又减之馀列上总数减馀列下上下相比也不用散数九减式试第二式除○九外并原数四六八为一十八
　　九减无馀列○于乂左并乘数
　　三二五为一十九减馀一列乂
　　右以左右一与○乘曰一○如○无数列○于乂上并总数一四七六为一十八九减无馀列○于乂下上下相比无
　　差
　　七减式试第四式原数如法减之馀三列乂左乘数如法减之馀四列乂右以左右三四乘得一十二七减馀
　　五列上总数如法减之馀五列
　　下上下相比无差
　　通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐
　　位减至右末而止也
　　除法
　　术曰有实有法有用数实即原数列上法即除数列下用即所求分数也上下齐左从左起算下首少于上首者齐列下首多于上首者退位列之于右界格以法除实视法首于实内有㡬回即用㡬除之而纪其㡬除之数于格外为用数也原实变后即为馀实存上次法乘用数除实尽法位而止又将法数退一位列下〈一遍用数一遍退位与初列退位不同〉再视法首于馀实内有㡬回当用㡬除而又纪其㡬除之数于第一次用数之右次法又乘第二次用数除实也以法尾退至实尾齐右而止格外所纪为分数有馀实亦当存之再除实尾数即用尾数推而知用数之首也
　　通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有实者将左右两实作为㡬十㡬也左有实而右无实者作㡬十也左无实而右有实者为零数也若遇实数可以除此一遍而不足以除下遍者则知用数中当有零矣详后式
　　定列位
　　通曰其法有五不退者二退位者三与珠算无除说同盖不退者有可除之数也退者无可除之数也





　　诸式
　　退位式有三百四十二两九人分之问各若干曰三十

　　八两术法首九多于实首三当退位列法实首三四作三十四〈退位故作㡬十㡬也〉视三十四内有三回九当以三为用数纪格右以九乘三得二十七于三十四内除之抹去三变四为七次以法九退列馀实七二作七十二内有八回九当以八为次用数纪首用数三右于馀实内除八九七十二实尽俱抹去格右所纪三八即所求分数法
　　尾齐实尾两数则知用数尾八为两也
　　不退位及减用数式有八百五十五两四十五人分之问各若干曰一十九两术法首四少于实首八不退位实八即作八视八内有二回四当以二为用数但二四除实首八而次法二五除一十则无实可除遇此则减用数一止以一为用数一四除四一五除五次以法退列馀实四○作四十视有九回四当以九为
　　次用数四九除三十六五九除四十五实尽合问用数中当有○式有七万六千零四十八两八人分之问各若干曰九千五百零六两术退位列法首用数该九八九除七十二又退位列法次用数该五五八除四十又退位列法八适至实之四下左无馀实四不足除遇此则纪○以当一遍用数又退位列法次用数该六六八除四十八实尽合问
　　通曰前式格外用数用横列今易为直盖横
　　直俱可用也
　　实尾有○式有三百两六人分之问各若干曰五十两退位列法首用数五五六除三十纪五于格
　　右实数尽矣尚有馀○乃退位列法次用数无数而纪○故知所得为五十两也
　　通曰视实尽后法尾去实尾尚空㡬位毎空一位加一○于用数之右亦合
　　实不尽式有六百五十三两五十八人分之问各若干曰一十一两〈馀实一十五两未分〉又各二钱五分〈馀实五钱未分〉术不退位列首用数该一　一五除五一八除八退位列法次用数该一一五除五一八除八法尾已齐实尾当暂止以察用尾为何数既知为两数馀
　　实再除
　　术右式馀实一十五两法当退位列用数该二二五除一十二八除一十六退位列法次用数该五五五除二十五五八除四十此用数首根前式用数尾下当是钱数也尚馀实俟再除
　　通曰初列实时先于实右加○每加一○作降实尾一数〈两降钱钱降分〉即以○末为实尾较便
　　试除差法
　　术曰亦用九减七减其除毕无馀实者将除数减馀列左用数减馀列右左右相乘减馀列上原数减馀列下相比其未尽实者于左右乘后并入馀实减馀列上原数减馀列下比之若除实至半者亦以除数减馀列左用数减馀列右相乘又取本位〈法尾止处〉以前馀实减馀以并左右乘数再减馀列上以抺过原数减馀列下相比也
　　除无馀九减式试第一式除数九九减无馀左列○并
　　用数三八为一十一九减馀二
　　右列二乘无数列○于乂上并
　　原数三四二为九九减无馀列○于乂
　　上并原数三四二为九九减无馀列○于乂下上下相比无差
　　除有馀九减式试第五式并除数五八为一十三九减
　　馀四左列四并用数一一
　　为二不足九减右即列二
　　乘得八又并馀实一五为一十四
　　九减馀五列上并原数六五三为一十四九减馀五列下上下相比无差
　　除无馀七减式试第一式除数九作九七减馀二列左用数三八作三十八七减馀三列右乘得六不足七减
　　即列六于上原数三四作三十
　　四七减馀六次作六十二七减
　　馀六列下上下相比无差
　　除有馀七减式试第五式除数五八作五十八七减馀二列左用数一一作一十一七减馀四列右乘得八又
　　以馀实一五作一十五七
　　减馀一以此用一并左右
　　所乘八为九七减馀二列上原数
　　六五作六十五七减馀二次作二十三七减馀二列下上下相比无差
　　半除试差式除数六五用数一三原数八六六三馀实二一三　用九减并除数六五为一十一九减馀二列左又并用数一三为四不足九减右即列四乘得八乃并法尾止处以前之馀实二一为三不足九减即以此
　　三并左右所乘八为一十一
　　九减馀二列上并原数抺去
　　三位之八六六为二十九减
　　馀二列下上下相比无差
　　用七减除数六五作六十五七减馀二列左用数一三作一十三七减馀六列
　　右乘得一十二乃以法尾止处以前之馀实二一作二十一七减无馀与左右所乘数相并仍是一十二七减馀五列上原数抺去之八六作八十六七减馀二次作二十六七减馀五列下上下相比无差
　　通曰试差之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始于一终于九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者于率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之馀六与三之馀同九是用九而六三可无用矣四与二之馀同八是用八而四二之馀可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉
　　命分法
　　术曰命分者一大㡬何已分㡬何命馀者为㡬何分之㡬何也又曰所馀之小㡬何再分㡬何命此得者为㡬何分之㡬何也
　　通曰第一术即㡬何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也
　　式法数为母馀数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有馀实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式馀实一○六先于六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也










　　数度衍卷二
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>



　　钦定四库全书
　　数度术卷三
　　桐城　方中通　撰
　　笔算下
　　奇零列位法
　　术曰奇零者不尽数也加减乘除皆有奇零惟除为多耳以法命之曰几分之几除数为母列上零数为子列下
　　式有实四十六法七用数六除四十二尚馀实四命之
　　曰七之四七列上四列下
　　通曰以母分子故以法为母子随母分故以实
　　为子
　　奇零别多寡法
　　术曰母同子异别在子子同母异别在母俱异者别在子母也
　　母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母数等矣但据子数别之子多者为多子少者为少耳
　　子同式若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大子数反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳当以母数少
　　者为多
　　子母俱异式子数母数俱不等以彼此子母互乘得数各注其下较之其较有三一曰差远一曰稍差一曰相同法皆一也


　　奇零约法
　　术曰约多者为少其法有三一用折半一用通数一用纽数纽数不得则不可复约矣只就见数较多寡用彼此互乘之法
　　折半式十六之八约之为少折母数十六为八折子数八为四
　　约为八之四再折半又约为四之
　　二
　　通数式四十八之三十六欲约之视子母两数有何数相乘而得其数即通数也今以六为通数
　　以六乘八得四十八母可约为八以六乘六得三十六子可约为六
　　纽数式以小减大减尽而止以最后减尽数为纽数以除子母二数得约数也四十八内减三十二馀十六又于三十二内减十六两次减尽是十六为
　　纽数矣以十六除四十八得三约母为三以十六除三十二得二约子为二
　　通曰纽即通也但通可见而纽不见耳今以十六为通数以三乘之得四十八以二乘之得三十二亦合
　　奇零并母子法
　　术曰凡两子母数先并母较之使两母数等以两母相乘得共母数次以两母互乘两子得各子数或三四母子不同并较多寡者亦以各母次第叠乘并一共母为实乃以各母数为各法除之即以各子数乘各所除数得各子数也
　　两母子相并式甲三之二乙四之三欲并一共母以两母乘得十二为共母数以甲子二乘乙母四得八为甲并子以乙子三乘甲母
　　三得九为乙并子
　　四母子相并式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲并一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乘丁母五得一百二十为共母以甲母二除共母得六十以甲子一乘之得六十为甲并子以乙母三除共母得四十以乙子二
　　乘之得八十为乙并子以丙母四除共母得三十以丙子三乘之得九十为丙并子以丁母五除共母得二十四以丁子一乘之得二十四为丁并子
　　倂母子用纽数式若母数相乘过有纽数可用即用纽数如甲母乘乙母得六嗣当与丙母四相乘有二为纽数可用〈二与三乘得六二与二乘得四〉则约甲乙相乘之六为三约丙母四为二乃复以甲乙相乘之六乘丙母所约之二得十二以丙母四乘甲乙所约之三得十二是甲乙丙母俱得十二数而止也至丁母无纽数即以十二
　　乘丁母五得六十则前式共母之一百二十今约为六十矣如法逐位母除子乘所得并子俱减前式之半
　　奇零累析约法
　　术曰奇零有析之又析者或三四析欲知其总用母乘母子乘子法三四位者母子俱湏叠乘也
　　二位析求总式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右两母乘得三十五两子乘得十二是总得三十五之一十二
　　也
　　四位析求总式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乘丙母四得十二又以十二乘乙母六得七十二又以七十二乘甲母二得一百四十四为总母以丁
　　子二乘丙子三得六以六乘乙子一得六以六乘甲子一得六为总子是总为一百四十四之六也
　　化法
　　术曰凡整数后带奇零欲将整数尽依母数化之以母数乘整数以乘得数入子数却以母数除之有零无零两化俱合
　　化整为零式有整六又零五分一之三列六于左列五之三于右以母五乘整六得三十并子数三为三十三是化为五之三十三也
　　零数归整无零式七之五十六欲归为整以母数除子
　　数用八除尽知是八为整数也

　　零数归整有零式九之四十七欲归为整以母除子用五除于子四十七内除五九四十五尚馀二知是整五又零九之二也
　　奇零加法
　　术曰两零数以至多零数及整与零数欲并为一者同母则一母可代众母异母则湏叠乘为共母也子不拘同异皆并为一遇有纽数者用纽数求其共母两位者子母互乘以求并子位多者母除子乘以求并子同母之子惟并而已异母之子湏求并子而并也其整与零并先并整次并零合为一曰积
　　同母式曰七之五曰七之六欲并为一同母七即用为
　　共母两子并得十一为共子积为
　　七之一十一归得一零七之四
　　异母式两母不同乘得十二为共母甲子乘乙母得八
　　为甲并子乙子乘甲母得九为
　　乙并子再以两并子并得十七
　　积为一十二之一十七
　　异母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙
　　母十一得一千零一为共母依
　　法各母除各子乘得各并子又
　　并得共子积为一千零一之二
　　千六百九十二
　　一整一零并式零曰五之三整曰八倂为一仍以整为整零为零即为八又零五之三也
　　二整一零并式零曰三之二整曰四曰八并为一先倂两整得一十二零数止一位无倂积为一十二又零三之二也
　　整与同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂两整得十二次并两子得八同母七即为共母积为一十二又零七之八也
　　整与异母二零并式零曰三之二曰四之三整曰八整数无并两母乘得十二为共母左右母子互乘右子得八左子得九为倂子再并得十七积为八又零十二之十七也
　　试加差法
　　通曰加用减试用加试皆有同母异母之分
　　试同母式以右子五减积子十一馀六合左子数以左子六减积子十一馀五合右子数合则无差
　　试异母式先试母以右母三除共母十二得四合左母
　　数以左母四除共母十二得三
　　合右母数无差次试子以右并
　　子八减积子十七馀九合左并子数以左并子九减积子十七馀八合右并子数又以左母四除右并子八得二合右子数以右母三除左并子九得三合左子数无差
　　奇零减法
　　术曰先审多寡多为原数少为减数同母止就子数相减异母先求共母又母除子乘求各子乃以相减也通曰多中减少即右内减左也但并母子数有时似少中减多者而化整之后仍是多中减少也
　　同母式曰十七之八曰十七之五相减此当于十七之
　　八内减十七之五也同母止于右子
　　八内减左子五馀三得十七之三
　　异母式曰九之八曰三之二相减先以两母乘得二十
　　七为共母乃母除子乘得各
　　子审多寡然后相减馀二十
　　七之六
　　整数内减零数式整一十内减零一十一之六先于整内抽出一数依零母数化为一十一作化子整止存九是化为一十一之一十一也于化内减十一之六馀十
　　一之五是减馀为九零十一之
　　五
　　整内减整及零式两整先减十内减四馀六乃于六中
　　抽一依零母化五为子是化为
　　五之五也于化内减五之三馀
　　五之二其馀整六既抽一止存五是减馀为五零五之二
　　整及零内减整及零式整数多者为原数先以两整相
　　减十内减六馀四此乃
　　异母以两母乘得八为
　　共母乃子母互乘为子以右子一乘左母四得四为右并子以左子三乘右母二得六为左并子当于八之四内减八之六然四少六多不能减湏于既减之馀整四内抽出一数以共母化为八又并右并子四为十二化为八之十二于此内减去八之六馀八之六整数止存三是减馀为三零八之六
　　整及零内减零式整数不动乃并母子以两母乘得三百六十三为共母母子互乘右得十一为并子左得一百三十二为并子当于右内减左而右并子少乃于整九内抽出一数依共母化为三百六十三并入右并子十一为三百七十四乃于此内减右并母子馀三百六
　　十三之二百四十二整
　　九止存八是减馀为八
　　零三百六十三之二百
　　四十二〈可约为八零三之二〉
　　通曰乘除内用加减加减内亦用乘除故四法通而一法通也
　　试减差法
　　试同母式以减馀子三并入左子五为八合右子即以减馀子三于右子八内
　　减之馀五亦合左子无差
　　试异母式以减馀二十七之六与左三之二相加合右九之八此两母乘得八十一为共母以减馀子乘左母得十八乘右母得五十
　　四再并为七十二得八十一之七十二约之为九之八
　　奇零乘法
　　术曰两零相乘当以母乘母子乘子零与整乘则置整数与零并列而整数上立一数为母与零母并列依母乘母子乘子之法也其不止一整者或俱有带零者法详后
　　零与零乘式四之三与三之二相乘以两母乘得十二为乘母两子乘得六为乘子是乘为一十二之六
　　零与整乘式五之四与整八相乘乃以八上立一为母
　　作一之八与五之四并列依法乘
　　得五之三十二通曰但以整数乘
　　零数之子为乘子可也
　　整带零与整乘式整三零六之五与整八相乘先以右
　　整三与母六乘得十八并子五
　　得二十三为子化为六之二十
　　三以左整八上立一为母并列依法乘得六之一百八十四
　　整带零与零乘式四零三之二与二之一相乘依法右
　　位整乘母得十二并子二得十
　　四为三之十四与左零数并列
　　乘得六之十四
　　整带零与整带零乘式四零二之一与三零五之一相
　　乘依法整三与母五乘得十五
　　并子一得十六左为五之十六
　　整四与母二乘得八并子一得九右为二之九并列乘得一十之一百四十四
　　通曰奇零与常法不同常法皆乘少为多今或乘多为少盖借用虚数实非乘多为少也
　　试乘差法
　　通曰乘用除试除用乘试盖奇零试差皆彼此还原也式以前零与零乘式试之以乘得十二之六为原数以
　　其两相乘之数皆为
　　除数但湏倒位前曰
　　三之二今曰二之三前曰四之三今曰三之四乃以除数右母二乘原母十二得二十四以除数右子三乘原子六得十八是为二十四之十八约为四之三而合上左其左位依法还原为三十六之二十四约为三之二亦合上右
　　奇零除法
　　术曰两零相除右列原数左列除数却将除数倒列子母而与原数并列亦用母乘母子乘子之法乘出数即除出数也
　　零除零式二之一为实列右六之一为法列左倒为一
　　之六乃与二之一并列母乘母
　　子乘子即得除出数为二之六
　　也
　　零除整式整六为实三之二为法法倒为二之三实立
　　一为母作一之六乃并列相乘得
　　除出数
　　通曰乘除本互用于此可见
　　整带零除整式六为实四零三之二为法以母三乘整
　　四为十二并子二为十四
　　化为三之十四再用零除
　　整法得除数
　　整除零式三之二为实整六为法以六上立一为母又
　　倒为六之一与三之二并列乘得
　　除数
　　整除整带零式六零二之一为实三为法以整六乘母
　　二得十二并子一得十三化为二
　　之十三整三立母倒位并列乘之
　　整带零除零式三之二为实六零二之一为法以整六
　　乘母二得十二并子一得
　　十三化为二之十三倒位
　　乘之
　　零除整带零式六零二之一为实四之三为法以整六
　　乘母二并子一得十三化为二之
　　十三倒法位乘之
　　整带零除整带零式六零二之一为实三零五之二为
　　法依法实化为二之十三
　　法化为五之十七倒法位
　　乘之
　　试除差法
　　式以前零除零式试之以乘得二之六列右除数六之
　　一列左母乘母子乘子
　　得十二之六约为二之
　　一合右原数无差
　　重零除尽法
　　术曰归除不尽曰奇零然有原数内本来先带奇零者是大奇数内又有小奇数也若欲除之使尽当先归之使一列小奇于右列大奇于左两母相乘为总母又以小奇母乘大奇子并入小奇子为共子此即是除尽之数
　　大奇内有小奇式四人分一十五零三之二其不尽者整三零三之二也三之二为小奇四之三为大奇两母乘得十二为共母小奇
　　母乘大奇子得九并小奇子二为十一作共子是一十二之一十一为除尽数也
　　大奇内小奇有小奇式若小奇内复有小奇至三至四
　　者如
　　七除
　　不尽
　　而馀
　　四数为七之四而又以此四中之一剖为五停之二又以二中之一剖为四停之三又以三中之一剖为三停之二此乃大奇内带三小奇也先并大次两母五七乘得三十五为母以次母五乘大奇子四得二十并入次子二得二十二为子是为三十五之二十二再并三奇以母三十五乘三奇母四得一百四十为母以三奇母四乘大次并子二十二得八十八并三奇子三得九十一为子是为一百四十之九十一再并四奇以母一百四十乘四奇母三得四百二十为母以四奇母三乘大次三并子九十一得二百七十三并四奇子二得二百七十五为子是为四百二十之二百七十五此即通并即除尽数也可约为八十四之五十五
　　大奇内有小奇用加除二法式凡大奇一位小奇止一


　　位者当用加除二法而前式盖捷法也如第一式大奇四之三小奇三之二先用除法以小奇三之二列右止以大奇母四列左立一为母倒位并列乘得十二之二〈此用整除零法〉后用加法以除出之十二之二列右以大奇四之三列左两母相乘得四十八为共母或母除子乘求子或母子互乘求子右子得八左子得三十六并得四十四是积为四十八之四十四也〈此用异母加法〉约得一十二之一十一而合除尽数矣
　　附铺地锦
　　乘式有物二十三件每件价银五钱六分五釐问共若
　　干曰一十二两九钱九分五釐术
　　物数为实列上价数为法列旁相
　　呼填数于格内呼毕斜格成总也
　　先呼三五一十五次呼三六一十
　　八次呼三五一十五填三下之格内后呼二五得一十二六一十二二五得一十填二下之格内乃斜取总数一为一十一一为二两五一二一为九钱八一为九分五为五釐也
　　除式有银九十四两五钱买物七十斤问每斤若干曰





　　一两三钱五分术先画图置银数于内为实以物数为法自下左旋而上而右止用珠算归除诀先除九十起曰逄七进一十填在左图右格为一两又曰七二下加六次除四两因加六作十曰逄七进一十将此一并九十图内存二作三填在九十图左格为三钱又曰七三四馀二次除五分因加二作七曰逄七进一十将此一并四两图内作四又作五填在四两图右格为五分共得一两三钱五分也
　　洛书算
　　通曰洛书用九八卦旋中加升减降法异理同九内易位越十移宫过去未来用之无穷












　　加式有四钱五分又三钱四分又三两五钱问共若干曰四两二钱九分术每图用棋子一枚先呼四钱五分将钱图棋子置四上分图棋子置五上又呼三钱四分将钱图四上棋子移置七上〈四加三〉分图五上棋子移置九上〈五加四〉又呼三两五钱将两图棋子置三上却以钱图七上棋子加五成一十二移置本图二上而两图三上棋子加一成四移置四上乃视各图棋子所在为总数也
　　减式先将总数棋子照图安置逐呼逐减即得

　　通曰又有一笔锦之法似笔算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九临算暗记殊觉可笑即铺地锦乘尚似筹而除则不可用矣惟洛书算为便并列图数而求之虽乘除亦可得也












　　数度衍卷三



　　钦定四库全书
　　数度衍卷四
　　桐城　方中通　撰
　　筹算
　　九筹






　　通曰珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为捷数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无又无用之用也
　　开方筹
　　通曰筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰

　　立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数




　　乘法
　　术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数
　　一位法式有五十九人每人八两问共若干曰四百七
　　十二两　以五十九人为实八
　　两为法先依实数查第五筹第
　　九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两
　　二位法式有五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两　以五十四人为实六十四两为法
　　依实查五四两筹齐列先依法
　　尾四查第四格曰六曰一○曰
　　二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一回进一位列数
　　通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在数中者说详后式
　　筹内斜方有○无数式有五十四人每人二十八两问
　　共若干曰一千五
　　百一十二两　以
　　五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格
　　曰八曰○曰一进一位列之加得合问
　　通曰斜方之中有数有○则去○不用若无数有○则湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也筹内斜方倂数进十式有八十七人每人六两问共若
　　干曰五百二十二两
　　以八十七人为实查筹
　　并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四
　　八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣
　　用零筹式有六百零八人每人三十四两问共若干曰
　　二万零六百七十
　　二两　以六百零
　　八人为实查六筹
　　零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四
　　曰二○曰八曰一进一位列之加得合问
　　通曰实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也
　　除法
　　术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或略少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或略少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘初商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至馀实数少于法数是为不尽法当命分之
　　一位商式有三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两术别列三百二十五两为实以六十五人为法
　　查六五两筹左右齐列
　　查九格内何格数与实
　　相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二
　　五适等即五为商数矣
　　二位商式有三千三百二十五两九十五人分之问各
　　若干曰三十五两术
　　列三千三百二十五
　　两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位湏截实左三位曰三三二作三
　　百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五〈中位一七并八〉作二百八十五略少于实数四格则多矣用三为初商相减馀四十七再以馀实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七〈二五并七〉五适等用五为次商
　　商当有○式有三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两术列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作
　　三千二百二十八略
　　少于实数七格则多
　　矣用六为初商相减
　　馀一十以馀实一○及截七六作
　　一千零七十六此乃次位无实也
　　次商当作○竟不除实馀实仍是一千零
　　七十六查至二格一○七六等用二为三商
　　通曰次位三位俱无实者即一连两商皆当作○也实不尽式有三千三百三十六两九十五人分之问各
　　若干曰三十五两
　　馀实一十一两
　　列实查筹二筹横数止三位截实左
　　三位曰三三三查至三格自左向右
　　曰二八五略少于实数用三为初商相减馀四八以馀实四八及截外六作四八六查至五格四七五略少于馀实用五为次商相减尚馀一十一为不尽数也
　　开平方法
　　术曰有积数〈即实数〉有商数商有方法有廉法隅法置积数从末位下作点向左隔一位作一点有一点知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或略少者取以除实但自左一点为始点前无位则自乘止于零数点前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二点者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此数在几格即用为次商也实不尽者以法命之或实右加○再开之详少广章
　　通曰开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商廉积之数处初商与隅积之问也
　　第一求初商之根为方法乙为
　　方积也不尽求二点之商倍初商
　　根为廉法甲丙两长边也隅法丁
　　方一角也此甲乙丙丁为平方二
　　商之形如三商则加戊巳廉及庚
　　隅也
　　式有积三万二千○四十一平方开之问边得若干曰
　　一百七十九
　　别列积为实从
　　末位一下作点
　　向左隔一位○
　　下作三下作
　　点共得三点知商有三位
　　也点左无实三作零数视
　　方筹内自乘无三近少为
　　一平行取一为方法为初
　　商乃于实三内减去一格
　　自乘之一存二以共次点
　　实曰二二○为馀实次倍初商根得二为廉法〈倍一为二〉取二号筹列方筹之左于两筹横行内求二二○无则用近少者一八九在第七格即七为次商为隅法乃以一
　　八九减馀实二二○馀三
　　一以共三点之实曰三一
　　四一为次馀实再倍初次
　　两商之一七得三四〈初商一作〉
　　〈一十次商七共为十七倍为三十四〉为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无馀即三次所商为平方边一百七十九也
　　开立方法
　　术曰有积数有商数商有方法有平廉法长廉法隅法置积为实从末位作点向左隔二位作点每一点有一商视立方筹内再乘之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一点为始点前无位则再乘止于零数点前有一位则再乘应有十数点前有二位则再乘应有百数而此乘数在第几格即用作初商也有二点者以初商自乘而三倍之为平廉法以初商三倍之为长廉法却以平廉法数查筹列立方筹左以长廉法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于馀实者取格数为约数即以此为次商以次商自乘之数与长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其馀实即得立方边也不尽者依法命之详少广章
　　其一作六面方体诸面线角皆相等
　　此名方法体成甲乙丙丁形
　　通曰此初商形也凡边皆初商之
　　数
　　其二作六面扁方体其上下面各与
　　方法等旁四面之高少于方法之高
　　而四棱线皆等此名平廉法体成戊
　　己庚辛形
　　其三作六面长方体其上下左右四
　　面与平廉之旁面等两端之四界线
　　皆与平廉之高等此名长廉法体成
　　壬癸形
　　其四作六面小立方体六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体成子丑形
　　通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉后加一平廉故三倍初商之自乘为平廉法也上与后之边齐右加一长廉上与左之边齐前加一长廉左与后之边




　　齐下加一长廉故三倍初商为长廉法也上与左与后三角加隅法而立方形成矣
　　式有积九百一十二万九千三百二十九立方开之问边得若干曰二百零九术别列积数为实从末位九下

　　作点向左隔二位
　　作凡三点知商
　　有三位也点前无
　　实则实首九为零
　　数视立方筹内再
　　乘之数无九三格
　　二七过实用二格
　　八实之近少数也
　　即取二为方法为
　　初商九内减八存一以
　　共次之实曰一一二
　　九为馀实将初商二自
　　乘得四又三倍得十二
　　为平廉法取一号二号
　　两筹列方筹左又将初
　　商二三倍得六为长廉
　　法取六号筹列方筹右
　　乃于立方与平廉共三筹
　　内之横行数取其少于馀实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于馀实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三点之实一一二九三二九将初次两商之二○〈此作二十〉自乘之得四○○〈此作四百〉又三倍之得一二○○〈此作一千二百〉为次平廉法乃取一号二号○号○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○〈此作二十〉三倍之得六○〈此作六十〉为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹
　　乃于立方与次平廉共
　　五筹内之横行数取其
　　少于馀实者为约数至
　　第九格曰一○八○七
　　二九另列之向立方筹
　　右平行取九格之自乘
　　数八十一以乘次长廉
　　六○〈此作六十〉得四八六○
　　〈此八十一回六十也〉进一位列约
　　馀实之一　一二九三二九恰尽乃以约数之格数九为二商也三次所商曰二曰○曰九是为立方根二百零九也
　　通曰长廉筹止用其号数格内诸数皆无用即不列筹而止列数亦可开方宜入少广章因有此二筹故立式于此











　　数度衍卷四



　　钦定四库全书
　　数度衍卷五
　　桐城　方中通　撰
　　尺算
　　法尺
　　通曰法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不



　　移如此乃可为法
　　实尺
　　两尺分寸湏等不可稍
　　异作一法尺二实尺
　　通曰两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺于法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也
　　乘法
　　术曰先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又湏预定然后将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也
　　通曰变通升降其用始广如实尺数大不便安放者湏降实数寸降为分分降为釐或将实数折半法实俱大必湏俱折先降后升先半后倍得数原无异也或用升法以代降实
　　式有五人每人四两问共若干曰二十两术以四两为
　　四分作实数以五
　　人为五寸作法数
　　将实尺比定四分
　　横安于法尺一寸
　　空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十故知所得二寸为二十两也
　　降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两术以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一
　　小不可安放乃降
　　十倍安于法尺一
　　寸空处量法尺五
　　寸九分空处得四
　　寸七分二釐先降后升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得为四百七十二两也〈此系升法以代降实〉
　　实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十六两术以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量
　　法尺八寸空处得
　　四寸八分原以分
　　为两是为四十八
　　两先半后倍倍得
　　九十六两也
　　法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若干曰一百九十二两术以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸
　　八分以分为两是
　　为四十八两倍之
　　得九十六两再倍
　　之得一百九十二
　　两合问
　　通曰因法实俱折半故加倍以还实再加一倍以还法也
　　实数再折式有八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两术以八人作八寸为法以二十四两折半得
　　一十二两又折半
　　为六两作六分为
　　实用实尺比定六
　　分安于法尺一寸
　　空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两合问
　　通曰再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦合法实俱再折式有三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两术以三十二人折半得一十六人又
　　折半得八人作八
　　寸为法以二十四
　　两折半得一十二
　　两又折半得六两
　　作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两合问
　　通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乘四十八亦合
　　整零截量式有二十四人每人五钱三分问共若干曰一十二两七钱二分术以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三釐先截整数二十人求之
　　将实尺比定五分
　　三釐安于法尺一
　　分空处实大不便
　　安顿降之安于法
　　尺一寸空处将五分三釐升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也后截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二釐便是四人所得数并两得数得十二寸七分二釐为二十四人所得总数也因以尺之釐为
　　银之分故知为十
　　二两七钱二分又术
　　以二十四人作法尺
　　二尺四寸以五钱三
　　分作实尺五分三釐将实尺比定五分三釐安于法尺一寸空处量法尺十寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分为二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二釐并得一尺二寸七分二釐亦合
　　通曰所截为二十人故加倍若三十人则用三乘四十人则用四乘也
　　除法
　　术曰法实数定之后将实尺比定实数定于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何即为所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分法量之
　　式有银二十二两四十四人分之问各若干曰五钱术以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四
　　分为法将实尺比
　　定二寸二分安于
　　法尺四寸四分空
　　处乃量法尺之一
　　分空处得几何今得五釐因以尺之分为银之两则釐当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也通曰量一寸空处得五分降为五釐亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也
　　降数式有银四十四两二十二人分之问各若干曰二两术以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四釐安于法尺二寸二
　　分空处乃量法尺
　　一分空处得二釐
　　因先降数此当升
　　为二分分为银之
　　两则知所得为二两也
　　折实式有一十八两六人分之问各若干曰三两术以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五釐
　　因降实此当升为
　　一寸五分又因折
　　实此当倍为三寸
　　以寸为两故知一
　　人所得为三两也
　　法实俱折式有一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱术以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处
　　乃量法尺一寸空
　　处得一分五釐因
　　降实当升为一寸
　　五分寸为两故知
　　一人所得为一两五钱也
　　通曰法实俱折者除与乘不同乘折则所得止半数故湏倍之除折则所得即所求数不必又倍矣盖折亦除故也
　　随分式有银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两术以八十
　　两作八十分为实
　　将实尺比定八十
　　分安于法尺百分
　　空处如欲作四平
　　分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也
　　通曰四平分者先将四除十寸得二寸五分五平分者先将五除十寸得二寸
　　整零截量式有三十二两五人分之问各若干曰六两
　　四钱术以三十二
　　两作三尺二寸为
　　实以五人作五寸
　　为法先截实末二
　　寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸故知每人得六两四钱也
　　通曰后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也
　　比例法
　　术曰有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前实数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至吻合处视法尺之分寸几何即所求数也
　　通曰比例无穷不可尽举引而推之存乎其人
　　式有银四百四十两二百二十人分之人得二两今又有银八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人术将二百二十人作二寸二分为法将四百四十
　　两作四寸四分为
　　实以实尺比定四
　　寸四分安于法尺
　　二寸二分上实大
　　降作四分四釐安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八釐以实尺比定八分八釐于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人矣
　　通曰前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也
　　又式有银三两给六人今又有银七两照前例应给几人曰一十四人术以三两作三寸为法以六人作六分为实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分为人即知所
　　得为一十四人也
　　又术以三两作三
　　分为实以六人作
　　六分为法将实尺
　　比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得吻合一寸四分即一十四人也
　　通曰法实可互更乘除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以比例即乘除亦无非比例故比例以尺为便







　　数度衍卷五



　　钦定四库全书
　　数度衍卷六
　　桐城方中通撰
　　勾股〈勾股之一〉
　　周髀勾股圆方图



　　赵君乡注曰勾股各自乘并之为实开方除之即也〈鸾曰勾三自乘得九股四自乘得十六并得二十五开方得五〉按图又可以勾股相乘为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乘为中黄实〈倍勾差二为四自乘得一十六为左图中黄实也淳风曰干率不通〉加差实亦成实〈加差实一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成实也淳风曰于率不通唐寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十四加一得二十五也〉以差实减实半其馀以差为从法开方除之复得勾矣〈以差实九减实二十五馀十六半之为八加差一得九开得勾三淳风曰以差实一减实二十五馀二十四半为十二以差一从开得勾三鸾言于率不通〉加差于勾即股〈加差一于勾三得四〉凡并勾股之实

　　即成实〈勾实九股实十六并得二十五实〉或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股差为广股并为袤〈以差一为广股四并五得九为袤左图外青〉而股实方其里〈左图中黄十六〉减矩勾之实于实开其馀即股〈减九于二十五馀十六〉倍股在两边为从法开矩勾之角即股差〈倍股四为八为从开九得一也〉加股为〈加差一于股四得五〉以差除勾实得股并〈以一除九得九即股四五并数〉以并除勾实亦得股差〈以九除九得一〉令并自乘与勾实为实〈九自乘得八十一又加九得九十〉倍并为法〈倍九为十八〉所得亦〈以十八除九十得五〉勾实减并自乘加法为股〈以九减八十一馀七十二以十八除之得四〉股实之矩以勾差为广勾并为袤〈以差二为广勾三并五得八为袤〉而勾实方其里〈右图中青九〉减矩股之实于实开其馀即勾〈减十六于二十五馀九〉倍勾在两边为从法开矩股之角即勾差〈倍勾三为六为从开十六得二也〉加勾为〈加差二于勾三得五〉以差除股实得勾并〈以二除十六得八即勾三五并数〉以并除股实亦得勾差〈以八除十六得二〉令并自乘与股实为实〈八自乘得六十四又加十六得八十〉倍并为法〈倍八得十六〉所得亦〈以十六除八十得五〉股实减并自乘如法为勾〈以十六减六十四馀四十八以十六除之得三〉两差相乘倍而开之所得以股差増之为勾〈一与二乘得二倍为四开得二増一为三〉以勾差増之为股〈以二増二得四〉两差増之为〈二之上又增一与二得五〉倍实列勾股差实见实者以图考之倍实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实〈倍二十五为五十满外大方之七七四十九而多一数即勾股差实也〉以差实减之开其馀得外大方大方之面即勾股并〈以差实一减五十馀四十九开得七即勾三股四并数〉令并自乘倍实乃减之开其馀得中黄方黄方之面即勾股差〈七自乘得四十九倍实二十五为五十相减馀一开之得勾股差〉以差减并而半之为勾〈以差一减七馀六半得三〉加差于并而半之为股〈以差一加七得八半得四也〉其倍为广袤合〈倍二十五得五十为广袤合淳风曰倍五得一十为广袤合鸾言错也唐寅曰勾广一袤九股广二袤八〉而令勾股见者自乘为其实四实以减之开其馀所得为差〈以七七自乘得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减上四十九馀一也开之得一即勾股差一淳风曰十自乘得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百馀六十四开之得八即广袤差此是股差减股并馀数若据股实而言一方之中有实十六四实有六十四减上一百馀三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾并馀数鸾言错也〉以差减合半其馀为广〈以差一减合七馀六半之得三广也淳风曰以差八六各减合十馀二四半之得一与二也一即股差二即勾差以差减即各袤广也鸾言错也〉减广于即所求也〈以广三减五即所求差二也淳风曰以广一与二各减五即所求股四勾三也鸾言错也〉观其迭相规矩共为反复互与通分各有所得然则统叙群伦弘纪众理贯幽入微钩深致远故曰其裁制万物唯所为之者也通曰君卿所注乃其互见甄鸾重述李淳风言其于率不通者有三错者有四鸾盖取其偶合耳大衍之数五十其用四十有九即此积矩之数也中黄太极一藏四用蓍之挂䇿也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乘也四十有八者四其勾股之互乘也互乘十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乘也四其二六是为八羃八羃有八卦之义焉羃六有六爻之义焉八其六爻是为四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分损一而为羃之一角羃之一角三分损一而为矩股之一角也



　　容股股容勾图说




　　通曰方内之容递差于二九九之内容八八馀为十七八八之内容七七馀为十五七七之内容六六馀为十三六六之内容五五馀为十一五五之内容四四馀为九四四之内容三三馀为七三三之内容二二馀为五二二之内容一一馀为三是馀之相降莫不差于二也则实之容股实股实之容勾实七九之馀所固然矣自而推之与勾股差并六实三十六其容实之馀较容股实之馀必増二矣与勾差并七实四十九其容与勾股差并实之馀较其并实容之馀必増二矣与勾并八实六十四其容与勾差并实之馀较其并实容与勾股差之馀必増二矣与股并九实八十一其容与勾并实之馀较其并实容

　　与勾差之馀必増二矣自勾而降之勾差二实四容于勾实之中其馀较股之容勾必损二矣勾股差一实一容于勾差实之中其馀较勾之容勾差必损二矣容有大小馀无异同受容者变而容之者亦变故耳
　　勾股名义
　　勾〈横也〉股〈直也〉〈斜也〉勾股较〈勾股相减也〉勾较〈勾相减也〉股较〈股相减也〉勾股和〈勾与股并也〉勾和〈勾与和也〉股和〈股与并也〉较和〈与勾股较并也〉和和〈与勾股和并也〉和较〈与勾股和相减也〉较较〈与勾股较相减也〉
　　勾股求法
　　式甲乙股四乙丙勾三问甲丙几何曰甲丙五术股四自乘得十六勾三自乘得九两自乘数并之得二十五为实积用少广章
　　开平方法除之得边五即也
　　又式木长二丈围之三尺葛生其下纒木七周上与木齐问葛长几何曰二丈九尺术以木长为勾围七周共二十一尺为股求葛长为也
　　通曰勾股可互换然必以长者为股短者为勾也
　　勾求股法
　　式乙丙勾三甲丙五问甲乙股几何曰甲乙股四术勾三自乘得九五自乘得二十五相减馀十六平方开之得边四即股也
　　又式圆木径二尺五寸为板欲厚七寸问阔得几何曰二尺四寸术以圆径为板厚为勾求阔为股也
　　通曰圜内切中径成两勾股也
　　股求勾法
　　式甲乙股四甲丙五问乙丙勾几何曰乙丙勾三术服四自乘得十六五自乘得二十五相减馀九平方开之得边三即勾也
　　又式台上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸问下方几何曰九丈一尺二寸术以台高为股袤斜为求勾以益上方斯得下方也〈一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜须于求勾倍之且隅与边尚有不同也〉
　　又式圆池八分鱼吞钩钩沉在正中水底钩丝斜至岸长五十尺问水深几何曰三十尺术以半池径为股丝斜至岸为先以亩法通池八分为一百九十二步四乘三除得二百五十六步平方开之得圆径十六步折半得八步通作四十尺为股次以股求勾得水深也
　　勾与股较求股法
　　式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乘得七百二十九较九除之得八十一为股和和内减较馀七十
　　二半之得三十六为股和外加较得九十半之得四十五为二术勾自乘得七百二十九较自乘得八十一相减馀六百四十八为实倍较得十八为法除实得三十六为股三术勾自乘较自乘并得八百一十为实倍较为法除之得四十五为
　　第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一〈即除也〉为
　　丙巳直角形即得丙庚边与甲
　　乙甲丙股和等何者甲丙
　　羃之甲辛直角方形内当函一
　　股羃一勾幂试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与败羃等而丁辛丁癸两形并当与勾羃等亦与丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆较也而甲丁与股等丙辛与等即丙庚与股和等
　　第二术论曰勾羃为乙巳直角方形较羃为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚巳磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙羃之
　　甲癸直角方形内当函一勾羃一股
　　羃试于甲癸形内截取丙丑较羃之
　　外分作甲五丑癸丑子三直角形即
　　丑子与股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并当与勾羃等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚巳磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等
　　通曰第三术勾羃为乙巳直角方形较羃为丙壬直角方形与丙庚等并为巳辛庚
　　磬折形为实次倍丙丁较线为辛巳线以为辛巳线以为法除实即得甲丙线也
　　又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸适与水面齐问水深几何曰一丈二尺术半池为勾出水一尺为股较引葭至岸为水深为股
　　又式开门去阃一尺两门不合二寸问门每扇广几何曰五尺零五分术去阃一尺为勾不合二寸半之为股较门阃之半为股门广为〈门广并不合之半为〉
　　又式垣高一丈倚木齐垣木脚去本以画记之卧而过画一尺问画去墙几何曰四丈九尺五寸加过画一尺为木长术垣高为勾过画一尺为股较木长为画去墙为股
　　又式圆木锯深一寸道长一尺问木径几何曰二尺六寸术木径为锯道为勾锯深为半股较半勾自乘得二尺五寸半较除之又加半较
　　得径为
　　通曰圆内截弧矢求圆径也甲丙与甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙为全较故丁戊为半较也〈按此条图说有误处〉
　　股与勾较求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乘得一千
　　二百九十六较除之得七十二为勾和和内减较馀五十四折半二十七为勾和外加较得九十折半四十五为
　　通曰勾与股较求股之第二术第三术此亦可用第一术论曰股羃为甲巳直角方形以较而一为甲辛
　　直角形即得甲壬边与乙丙丙甲勾
　　和等何者甲丙羃之甲丑直角方形
　　内当函一股羃一勾羃试于甲丑形内
　　截取子卯丑辰边各与甲丁较线等
　　即卯丑辰丙俱与等乙丙勾之丁丙线等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与勾等勾羃也即甲卯卯辰两形当与股羃等亦当与甲辛形之甲壬边与勾和等
　　第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角
　　方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折
　　形为实次倍甲丁较线为乙寅线以
　　为法除实即得乙子直角形与甲壬
　　戊磬折形等何者乙子直角形加一
　　等较羃之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即与股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形内当函一勾羃一股羃试于甲辰形内截取丁庚较羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等夫未酉酉戌并与勾等即申未未酉并亦与勾等而庚申未辰各与勾等即庚未未午两形并为勾羃而丁庚午丁两形并为股羃矣丁戌戍酉两较也乙卯卯寅亦两较也而丁丙与乙丙原等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形与股羃之甲戊形等此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等
　　通曰甲乙股羃之甲戊直角方形与甲丁较羃之丁庚直角方形并为巳癸卯磬折形也此第三术也
　　与勾股较求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之较为甲丁九问乙丙勾几何甲乙股几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六术自乘得二千零
　　二十五倍之得四千零五十较自乘得八十一相减馀三千九百六十九为实平方开之边得六十三为勾股和和外加较得七十二半之得三十六为股和内减较馀五十四半之得二十七为勾二术较自乘得八十一折半得四十零五与自乘二千零二十五相减馀一千九百八十四五折半得九百九十二二五开平方边得三十一五减半较四五馀二十七为勾三十一五加半较四五得三十六为股
　　第一术论曰羃为甲戊直角方
　　形倍之为己丙直角形较羃为甲
　　庚直角方形与甲辛等相减即得
　　减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与卯辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅卯辰之间则重一等甲辛之卯寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾
　　通曰第二术较羃为甲辛直角方形
　　半之为甲戊直角形与甲庚直角形
　　等羃为甲壬直角方形减较羃半
　　甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
　　午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一卯乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得卯乙丑寅两直角方形也
　　勾与股和求股法
　　式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乘得七百二十九
　　股和八十一除之得九为股较较加和八十一得九十半之得四十五为较减和八十一馀七十二半之得三十六为股二术勾自乘与和自乘六千五百六十一相减馀五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乘相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为通曰第二术减馀第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乘倍得一千四百五十八与和自乘相减馀五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾馀股以股减八十一馀
　　第一术形论同勾与股较求股第一术
　　通曰第二术以股和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也
　　今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之馀庚壬甲卯两形并又半得甲卯形为实〈倍法不如折实〉以等股和之乙卯线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
　　又式竹高一丈折梢柱地去根三尺问折处高几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股和去根三尺为勾折处为股
　　股与勾和求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乘得一千二百九
　　十六和七十二除之得十八为勾较较减和馀五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为
　　通曰勾与股和求股之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾较求勾第一术第二术形论同勾与股和求股第二术
　　与勾股和求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术自乘得二千零二十五倍
　　之得四千零五十与和自乘得三千九百六十九相减馀八十一为实平方开得九为勾股较较减和馀五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股
　　通曰和各自乘相减又减自乘馀开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直
　　角方形夫甲丙之羃既与勾股两羃并等以减甲巳形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于羃者为癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也则丑辛较也
　　勾较与股较求勾股法
　　式甲乙勾较十八戊丙股较九问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术勾较十
　　八与股较九相乘得一百六十二倍之得三百二十四为实开平方得十八为和较加勾较十八得三十六为股和较加股较九得二十七为勾用勾股求法得四十五为或以勾较十八并勾得或以股较九并股得
　　论曰股较甲丁九自之得八十一为己庚直角方形勾较乙戊十八自之得三百二十四为辛壬直角方
　　形两羃并得四百零五以九减十
　　八馀九即勾股较自之得八十一
　　为干兑直角方形元设两较互乘
　　为癸戊子丑两直角形并得三百
　　二十四以减四百零五亦得八十
　　一何以知之癸戊子丑三百二十
　　四为实开方得十八之寅卯直角方形边则和较也凡直角三边形之羃必与勾股两羃并等甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两羃并必与甲丙羃等今于甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直线以此三和线作一三边形即甲申上之
　　甲酉直角方形必不等于丙午上
　　之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
　　直角方形并而此不相等之较必
　　勾股较羃之八十一也何者若于
　　甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
　　元设勾股勾股分之即甲酉形
　　内有羃一股羃一勾羃一股矩内形二勾矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有羃一股羃一股矩内形二丙戌形内有羃一勾羃一勾矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戍内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存羃一次以此两存形相当相抵则一羃之大于两勾股矩内形必勾股较羃之
　　八十一也何者一羃内函一勾羃一股羃今试如上图任作一甲乙羃其乙丙为勾羃则丁丙戊磬折形必与股羃等乙巳为股羃则丁巳戊磬折形必与勾羃等次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角依角旁两边纵横交加于羃之上即得勾股之较羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形则甲乙羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形其所存干离震兑两馀方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅卯形则减寅卯之甲酉形与减辛壬之丙戌形减巳庚之乙亥形并必等而减寅卯之甲酉形内元有羃如甲寅者四有偕寅卯形边矩内形如寅未者四减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾较矩内形如辛坎者四减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股较矩内形如甲己者四今以四羃当四勾羃四股羃则甲己辛坎两形并必与寅未形等甲丙与未申等也丙申勾股和也则两间等寅卯形边之丙未不得不为和较矣既得丙未十八为和较即以元设丙较相加可得勾股各数也何者未申也未艮勾较也艮申勾也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申勾则丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股较也坤甲股也未甲勾股和也于未甲勾股和减坤甲股则未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲则也又式户不知高广竿不知长短横之不出四尺纵之不出二尺斜之适岀问高广斜各几何曰高八尺广六尺斜一丈术横不出四尺为勾较纵不出二尺为股较
　　股和与勾和求勾股法
　　式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术股和八十一与勾和七十二相乘得五千
　　八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实开平方边得一百零八为和和减勾和馀三十六为股和和减股和馀二十七为勾用勾股求法得四十五为
　　论曰两和相乘为乙巳
　　直角形倍之为丁戊直
　　角形以为实平方开之
　　得己庚直角方形与丁
　　戊等即其边为和和
　　者何也丁戊全形内有羃二股矩内形勾矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内馀一羃己庚形内馀一勾羃一股羃并二较一亦等即己庚方形之各边皆和和
　　勾与较和求股法〈较和者与勾股较和也〉
　　式勾二十七与勾股较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾和并得八十一为股和除实得九为股较加股和得九十半之得四十五为股较减股和得七十二半之得三十六为股
　　勾与股较和求股法〈股较和者股与勾较和也〉
　　式勾二十七股与勾较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较和法盖与勾股较和为五十四股与勾较和亦五十四也
　　股与较和求勾法〈较和者与勾股较和也〉
　　式股三十六与勾股较和五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股减和馀十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较馀五十四半之得勾
　　股与勾较和求勾法〈勾较和者勾与股较和也〉
　　式股三十六勾与股较和三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乘得一千二百九十六为实股与和并得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和馀五十四半之得勾
　　与勾较和求勾股法〈勾较和者勾与股较和也〉
　　式四十五勾与股较和三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实与和并得八十一与实相减馀三千九百六十九开平方得六十三为勾股和又以和并八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和馀五十四半之得勾〈按此法当取勾股较今用和并盖数偶合非法也〉
　　与股较和求勾股法〈股较和者股与勾较和也〉
　　式四十五股与勾较和五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘倍之得四千零五十为实与和相减馀九又自乘得八十一与实相减馀三千九百六十九下同与勾较和求勾股法勾与和和求股法〈和和者与勾股和和也〉
　　式勾二十七与勾股和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾减和馀八十一为股和除实得九为股较减股和馀七十二半之得股股较加股和得九十半之得
　　勾与股和和求股法〈股和和者股与勾和和也〉
　　式勾二十七股与勾和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和和法盖和皆一百零八也
　　股与和和求勾法〈和和者与勾股和和也〉
　　式股三十六与勾股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股减和得七十二为勾和除实得十八为勾较减勾和馀五十四半之得勾勾较加勾和得九十半之得
　　股与勾和和求勾法〈勾和和者勾股和和也〉与
　　式股三十六勾与股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和和法盖和数相同也
　　与勾和和求勾股法〈勾和和者勾与股和和也〉
　　式四十五勾与股和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实减和馀六十三为勾股和又自乘得三千九百六十九与实相减馀八十一开平方得九为勾股较减勾股和馀五十四半之得勾勾股较加勾股和得七十二半之得股
　　与股和和求勾股法〈股和和者股与勾和和也〉
　　式四十五股与勾和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和和法盖和数相同也
　　勾与和较求股法〈和较者与勾股和较也〉
　　式勾二十七与勾股和较十八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾减较馀九为股较除实得八十一为股和加股较得九十半之得股和减股较馀七十二半之得股又式勾股田一段内容圆池一口径六步只云勾八步问股各几何曰股十五步十七步术容圆径即和较勾与股和较求股法〈股和较者股与勾和较也〉
　　式勾二十七股与勾和较三十六问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和较法盖以勾减与勾股和较十八馀九以勾减股与勾和较三十六馀亦九也股与和较求勾法〈和较者与勾股和较也〉
　　式股三十六与勾股和较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股减较馀十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较馀五十四半之得勾股与勾和较求勾法〈勾和较者勾与股和较也〉
　　式股三十六勾与股和较五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和较法盖以股减与勾股和较十八馀十八以股减勾与股和较五十四馀亦十八也与勾和较求勾股法〈勾和较者勾与股和较也〉
　　式四十五勾与股和较五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实减较馀九为勾股较又自乘得八十一与实相减馀三千九百六十九开平方得六十三为勾股和加勾股较得七十二半之得股勾股和减勾股较馀五十四半之得勾与股和较求勾股法〈股和较者股与勾和较也〉
　　式四十五股与勾和较三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和较法盖以减勾与股和较五十四馀九以减股与勾较三十六馀亦九也勾与较较求股法〈较较者与勾股较较也〉
　　式勾二十七与勾股较较三十六问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾减较较馀九为股较除实得八十一为股和减股较馀七十二半之得股股和加股较得九十半之得
　　勾与股较较求股法〈股较较者股与勾较较也〉
　　式勾二十七股与勾较较十八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较较法盖以勾减较较三十六馀九以勾减股较较十八馀亦九也
　　股与较较求勾法〈较较者与勾股较较也〉
　　式股三十六与勾股较较三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股并较较得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和馀五十四半之得勾股与勾较较求勾法〈勾较较者勾与股较较也〉
　　式股三十六勾与股较较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乘得一千二百九十六为实股减勾较较馀十八为勾较除实得七十二为勾和下同股与较较法
　　与勾较较求勾股法〈勾较较者勾与股较较也〉
　　式四十五勾与股较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实并勾较较得六十三为勾股和又自乘得三千九百六十九与实相减馀八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和馀五十四半之得勾与股较较求勾股法〈股较较者股与勾较较也〉
　　式四十五股与勾较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾较较法盖较数相同也通曰和较变穷而勾股之用无穷形同法异形异法同非精义不能入神也
　　有积〈勾股之二〉
　　有积勾股较求勾股法
　　式有积九百七十二勾股较为甲戊九问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术较自乘得八十一积四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九开平方得六十三为
　　勾股和加较九得七十二半之得股勾股和减较九馀五十四半之得勾求得二术积较为从方开之得勾较为减从方开之得股〈俱详少广〉又以积二因得一千九百四十四加较自乘八十一得二千零二十五开方得
　　通曰子较羃也丑　　　　通曰子较羃也
　　寅卯辰四因积也　　　　丑寅并与卯等
　　各边皆勾股和　　　　　二因积也合之
　　为羃
　　通曰较为从方者九回二十七得二
　　百四十三为较勾矩以减积九百七
　　十二馀七百二十九为勾羃较为减
　　从方者九回三十六得三百二十四为较股矩以并积九百七十二得一千二百九十六为股羃
　　有积勾股和求勾股法
　　式有积九百七十二勾股和为丙乙乙甲六十三问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术积四因得三千八百八十八
　　和自乘得三千九百六十九相减馀八十一开平方得九为勾股较加和得七十二半之得股勾股较减和馀五十四半之得勾勾股求得二术积二因得一千九百四十四和自乘得三千九百六十九相减馀二千零二十五开平方得
　　有积求勾股法
　　式有积四百八十六为甲丙四十五问勾股各几何曰勾二十七股三十六术积四因得一千九百四十四自乘得二千零二十
　　五相减馀八十一开平方得九为勾股较又以积倍之得九百七十二以较九为从方开之得勾勾求得股通曰以较为减从方开之亦得股
　　有率〈勾股之三〉
　　勾与股率勾和率求股法
　　式勾十股率三勾和率七问股各几何曰股一十零五一十四五术以勾和率自乘得四十九为勾和准以股率自乘得九并勾和准得五十八折半得二十九为准二率相乘得二十一为股准以准二十九减勾和准四十九馀二十为勾准以准二十九乘勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为以股准二十一乘勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股
　　通曰此迟速相较也速巳七迟止三为率速者于乙至丙又于丙至申迟者于
　　乙至甲同在乙起同至甲会也〈按此图应在又式后〉
　　又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙东行甲南行十步斜向东行会乙问各行几何曰甲南行斜行共二十四步半乙东行十步半术甲南行勾也斜行也又东行股也甲行七勾和率也乙行三股率也
　　容方与勾股率求勾股法
　　式容方径一千五百股率三勾和率五问勾股各几何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五术以勾和率自乘得二十五为勾和准股率自乘得九并勾和准得三十四半之得十七为准二率相乘得十五为股准以准十七减勾和准二十五馀八为勾准以勾准乘容方径得一万二千以股准十五除之得馀勾八百加容方径得二千三百为勾以准十七乘勾二千三百得三万九千一百以勾准八除之得四千八百八十七五为以股准十五乘勾二千三百得三万四千五百以勾准八除之得四千三百一十二五为股
　　通曰此亦迟速相较也速五迟三速
　　于乙过丙至甲迟于乙至甲同在乙
　　起同至甲会乙戊乙巳皆容方径方
　　也乙过戊至丙勾也戊丙馀勾也乙过丙至甲勾和也乙过巳至甲股也己甲馀股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也〈按此图应在又式后〉
　　又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙东行率三甲南行率五乃斜磨邑东南角与乙会问各行几何曰甲南行二千三百步〈邑中一千五百步南门外八百步〉斜行四千八百八十七步半乙东行四千三百十二步半〈邑中一千五百步东门外二千八百十二步半〉术南行勾也南门外馀勾也斜行也东行股也东门外馀股也邑中至门皆容方径也甲行五勾和率也乙行三股率也
　　容方〈勾股之四〉
　　勾股容方法
　　式勾二十七股三十六问丁戊容方径几何曰丁戊容方径一十五四二八术勾股相乘得九百七十二为实勾股相并得六十三为
　　法除实得一十五四二八为容方径即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
　　论曰甲乙股乙丙勾相乘为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并为法即成甲戊线除实得戊巳边
　　十五四二八即成甲戊己庚直角
　　形等甲乙丙丁形而己庚边截乙
　　丙勾于癸截甲丙于壬成乙辛
　　壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形
　　通曰勾股稍近者容方大勾股悬远者容方小
　　又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊己各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊己亦各与方形边等则辛乙癸壬
　　为直角方形
　　容圆〈勾股之五〉
　　勾股容圆法
　　式甲乙股六百乙丙勾三百二十问丁乙容圆径几何曰丁乙容圆径二百四十术勾股相乘得一万九千二百倍之得三万八千四
　　百为实别以勾股求得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百为法除实得二百四十为容圆径即乙至丁也子丑寅卯皆与乙丁等
　　通曰容圆径即和较也勾股和求减和馀亦容圆径也
　　论曰甲乙
　　股乙丙勾
　　相乘即甲
　　乙丙丁直
　　角形倍之
　　为实即丙
　　丁戊巳直角形求得甲丙并勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊己形等而壬癸边截乙丙勾于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径何者谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也又何以显此五边之切圜线试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形交加其上其午丙与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戍酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戍为容圆径次于亥戍寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇诸形之交加线于㢲于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戍离丙子离又等为直角戍离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣又子离与戍离两边既等子离震戌离卯两交角又等卯戌离震子离又等为直角即卯离戍离震子之各边各角俱等而两形亦等又子离与离戍两边既等离卯与离震两边又等即子卯与戍震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离卯戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等依显午㢲辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等㢲寅兑与兑艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二则减丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙则一百七十也次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角丑卯辰戍卯离两交角又等丑卯与戌卯复等即两形必等而其各边各角俱等依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲㢲午甲㢲寅两形之甲寅甲午既等甲㢲同线甲午㢲甲寅㢲又等为直角即两形必等而各边各角俱等是甲震线必分丙甲亥角为两平分也甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径通曰容方容圆勾股测算之枢机也先衍其㮣于此详后二卷











　　数度衍卷六



　　钦定四库全书
　　数度衍卷七
　　桐城　方中通　撰
　　测量〈勾股之六〉
　　容方与馀勾求馀股法
　　式容方径为丁乙一百五十馀勾为丁丙三十问甲戊馀股㡬何曰七百五十术以容方径自乘得二万二千五百为实以馀勾为法除实
　　得七百五十为馀股
　　容方与馀股求馀勾法
　　式容方径一百五十馀股七百五十问馀勾㡬何曰三十术容方径自乘得二万二千五百为实以馀股为法除实得三十为馀勾
　　又式邑方二百步四面居中开门东门外十五步有木问出南门㡬步见木曰六百六十六步六分步之一术半邑方为容方东门外为馀勾南门外为馀股
　　测高式欲测甲乙之高去乙二十五尺立表于丙为丁丙高一丈却后五尺立戊戊己高四尺使目在己视表末丁与甲为一直线问甲乙高㡬何曰四十尺术以丁丙表高十尺减戊巳目高四尺馀丁辛六尺以乘庚辛二十五尺〈与乙丙等〉
　　得一百五十尺为实以丙戊五尺为法除实得甲壬三十尺加表高十尺得四十尺为甲乙之高
　　通曰丁辛容长方径也丁壬庚辛容长方形也辛巳〈与丙戊等〉馀勾也甲壬馀股也容方则径自乘容长方则横径直径相乘也
　　测深式甲乙丙丁井欲测其深井径甲乙五尺立戊甲表于井口高五尺従戊视丙截甲乙径于己甲已四寸
　　问井深㡬何曰五丈七尺五寸术以
　　井径五尺减甲巳四寸馀己乙四尺
　　六寸以乘戊甲五尺得二千三百寸为实以甲已四寸为法除实得甲丁深五丈七尺五寸
　　通曰己乙容长方径也戊辛馀勾也乙丙馀股也测远式欲测甲乙之远立乙丙巳丁四表成直角方形
　　丁乙与甲为直线每表相去一丈
　　乃于己表之右戊上视丙表与甲
　　为直线戊巳三寸问远几何曰三十三丈三分丈之一术乙丙自乘得一万寸为实以戊巳三寸为法除实得甲乙远三十三丈三分丈之一
　　通曰乙丙容方径也戊已馀勾也甲乙馀股也
　　又式欲测甲乙之远立丙乙表高十尺目従戊过丙视甲作直线目去表末为戊巳三寸人离表为己丙十尺问远几何曰三十三丈三分丈之一术以人离表一百寸乘表高一百寸得一万寸为实以目去表三寸为法除实得远此与右法同但彼用四
　　表此用一表为捷耳丙乙容方径也戊巳馀勾也甲乙馀股也
　　馀勾馀股求容方法
　　式丙丁馀勾三十甲戊馀股七百五十问丁乙容方径几何曰一百五十术馀勾馀股相乘得二万二千五百为容方积开平方得一百五
　　十为丁乙径
　　又式邑不知大小四中开门北门外三十步有木出西门七百五十步见木问邑方㡬何曰三百步术通曰北门外为馀勾西门外为馀股半邑方为容方径也
　　两馀勾与股求容方法
　　式丙丁馀勾二十戊乙馀勾十四甲乙股一千七百七十五问丁戊容方径几何曰二百五十术以丙丁馀勾乘股得三万五千五百倍之得七万一千为实并二馀勾得三十四为从方开之横
　　得二百八十四为乙丙勾直得二百五十为丁戊容方径
　　又式邑方不知大小边东开门北门外二十步有木出南门十四步折而西行一千七百七十五步斜见木问邑方几何曰二百五十步术通曰北门外二十步一馀勾也南门外十四步一馀勾也西行股也邑方容方径也
　　小勾股与大勾求大股法
　　式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五问甲乙大股㡬何曰一千二百五十术以大勾为实以小勾为法除实得大
　　股
　　通曰小股一百此法极便如二百三百者先以小股乘大勾为实用异乘同除法也〈见九章外法〉
　　测高式塔不知高量其影従塔心至影末长三丈一尺二寸五分别立一表高一丈影长二尺五寸问塔高㡬何曰十二丈五尺术通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股
　　又式八尺之表以测日影表去日下六万里表影长六尺问日高几何曰八万里术通曰六万里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一亿八百万尺表八尺小股也表影六尺小勾也日高八万里大股也用异乘同除法〈即三累法〉以小股乘大勾为实以小勾为法除之或以大勾为实以小股除小勾得每尺影七寸五分为法除实皆得日高也
　　又式欲测甲乙之高以平镜依地平线置丙人依地平线立丁目在戊见甲在镜中心丙处丙至乙十尺丙至丁二尺目高四尺问甲乙高几何曰二丈术通曰乙丙大勾也丙丁小
　　勾也戊丁小股也
　　测广式日远人十万里不知日径以径寸长八尺竹筒对日于竹筒视之空正掩日问曰径几何曰一千二百五十里术通曰日远人大勾也径寸小勾也筒长八尺小股也
　　测远式欲测甲乙之远立一丙两表从丙斜退至丁目望丁丙甲成一直线乃作丙丁戊直角以此测之术通
　　曰丁角与乙角等直角也
　　乙丙线与丁戊线相遇于
　　戊故以丙丁小勾比乙丙
　　大勾戊丁小股比甲乙大股也
　　两馀勾两破股小股求大勾大股法
　　式戊已丁丙两馀勾各十二〈相等〉丙庚小破股六十己辛
　　火破股一百己丙小股八十问甲乙
　　勾几何乙丙股几何曰大勾三十六
　　大股一百二十术通曰以小股八十
　　乘馀勾十二得九百六十为勾实以
　　小股八十乘小破股六十得四千八百为股实小破股六十与大破股一百相减馀四十为法以法除勾实得二十四加馀勾十二得三十六为大勾以法除股实得一百二十为大股
　　测高远式欲测甲乙之高乙丙之远用重表法先立丁丙表高十尺却后立于戊去丙五尺目在己已戊高四尺视表末丁与甲为直线次从前表丙却后十五尺立癸壬表亦高十
　　尺〈两表等〉又却后立于子去壬八尺目在丑丑子亦高四尺〈两目等〉从目视癸甲亦直线问甲乙高几何乙丙远几何曰高四十尺远二十五丈术以表高十尺减目高四尺馀六尺即丁寅〈癸辛等〉与两表相去之壬丙十五尺相乘得九十尺为高实以两次人去表之己寅丑辛相减馀卯辛三尺为法除高实得甲辰三十尺加表高十尺得甲乙高四十尺以丙戊五尺与两表相去之壬丙十五尺相乘得七十五尺为远实以法三尺除之得乙丙远二十五尺
　　通曰丁丙癸壬两馀勾也丙戊小破股也壬子大破股也壬丙小股也高大勾也远大股也
　　测深广式有甲乙丙丁壁立深谷欲测甲乙之广乙丙之深用重矩法先立辛甲表与甲丁参直又立癸己表两表甲巳相去六尺从辛甲表视己丙作直线截表于庚庚甲高五尺又従辛甲表视辛癸丙作直线两表相较得辛壬高八尺壬甲高一丈五尺问深广各几何曰乙丙深二
　　十五尺甲乙广三十尺术以小表一丈五尺乘两表相去甲己六尺得九十尺为广实庚甲与辛壬相减馀辛子三尺为法除广实得甲乙广三十尺以小表一丈五尺乘庚甲五尺得七十五尺为深实以法三尺除之得乙丙深二十五尺
　　通曰甲巳癸壬两馀勾也庚甲小破股也辛壬大破股也壬甲小股也广大勾也深大股也
　　测高远式树二表各高八尺南北相去二千里以测日影夏至之日南表影长六尺北表影差二寸问曰高远各几何曰高八万里日下去南表六万里南表之端斜至日十万里术
　　二表两馀勾也北表影南表影两破股也南北相去小股也日下去南表大股也日高大勾也斜至曰也
　　测勾破勾两测股求大勾大股法
　　式丙丁测勾四十三二丙巳破勾十丙戊小测股十四
　　八丙壬大测股六十四八问大勾大
　　股各几何曰甲乙大勾二千五百乙
　　丙大股三千六百八十五二术通曰以测勾四十三二减破勾十馀三十三二乘小测股十四八得四千九百一十三六为勾实以大测股六十四八乘破勾十得六千四百八十以测勾四十三二除之得十五为景差又以大测股六十四八减景差十五馀四十九八以小测股十四八乘之得七千三百七十○四为股实以小测股减景差馀二为法以法除勾实得二千四百五十六八加测勾四十三二得二千五百为大勾以法除股实得三千六百八十五二为大股
　　测广远式方城不知大小立两表东西相去四十三步
　　二分齐人目处以索连之令东表与
　　城东南隅东北隅参直従东表退北
　　行去表十四步八分遥望城西北隅入索东端十步若从东表退北行去表六十四步八分遥望城西北隅适与西表相参合问城方㡬何城去表几何曰城方二千五百步城去表三千六百八十五步二分术以两表相去减入索馀三十三步二分以乘东表退行十四步八分得四千九百一十三步六分为广实以东表大退行六十四步八分乘入索十步得六千四百八十步以两表相去四十三步二分除之得一十五步为景差又以大退行六十四步八分减景差十五步馀四十九步八分以退行十四步八分乘得七千三百七十步零四分为远实以退行十四步八分减景差十五步馀二分为法以法除广实得二千四百五十六步八分加两表相去四十三步二分得二千五百步为城方〈西至束〉以法除远实得三千六百八十五步二分为城去表也
　　通曰城方大勾也城去表大股也两表相去测勾也入索破勾也小退行小测股也大退行大测股也
　　四馀勾两破股小股破勾求上勾下勾大股法
　　式戊丁壬癸两大馀勾皆一百五十庚辛子丑两小馀勾皆四十癸丁小股四千戊已破勾五十六丁辛小破股一千五百癸丑大破股二千五百问上勾下勾大股
　　各㡬何曰甲乙上勾二百八十乙丙
　　下勾三百一十丙丁大股六千术通
　　曰以小股四千乘破勾五十六得二
　　十二万四千为上勾实以大馀勾一
　　百五十减小馀勾四十及破勾五十六馀五十四乘小股四千得二十一万六千为下勾实以小破股一千五百与大破股二千五百相减馀一千为法以法除上勾实得二百二十四加破勾五十六得二百八十为甲乙上勾以法除下勾实得二百一十六加大馀勾一百五十得三百六十六减破勾五十六得三百一十为乙丙下勾又以大馀勾减小馀勾馀一百一十乘小股得四万四千为大勾实以法除之得四百四十加大馀勾得五百九十为甲丙大勾以小股乘小破股得六百万为大股实以法除之得六千为丙丁大股
　　通曰此测两高与远也与前两馀勾两破股小股求大勾大股法相同但多上勾下勾耳两大馀勾两表也两小馀勾两人目至足也勾高也股远也
　　两测股两破勾测勾求大勾法
　　式丙丁测勾九百丙戊小测股六百丙庚大测股一千
　　三百五十己丙大破勾四百零二
　　辛丙小破勾一百二十问大勾㡬
　　何曰甲乙大勾三万术通曰以大
　　测股一千三百五十乘大破勾四百零二得五十四万二千七百以测勾九百除之得六百零三为景差以与小测股六百相减馀三为法以小测股与大测股相减馀七百五十又乘小破勾一百二十得九万为实以法除实得三万为甲乙大勾
　　通曰此测广也与前测勾破勾两测股求大勾大股法相同但多乙戊直线耳丙丁两表也戊庚两目望也勾广也
　　勾股互求高深广远图说





　　通曰直为高深横为广远勾可以为股股可以为勾以小知大以此知彼惟善测者善用之耳甲乙为股则乙丙为勾酉丙为股则甲酉为勾午丙为股则午庚为勾庚丑为股则丙丑为勾如求甲乙之高金水作表丙作目求丑丙之远木土作表甲作目求未丙之深木火作表甲作目求甲酉之广日月作两表丙丁为目斜望用异乘同除三率之法高深广远虽分而合矣
　　附法
　　用矩尺测两广法
　　式登山临邑邑在山南不知广縦偃矩山上勾高三尺
　　五寸与邑东南隅东北隅
　　参合从勾端望东北隅入
　　下股一丈二尺随于入股
　　处横设一矩从勾端望西
　　北隅入横股五尺若望东
　　南隅入下股一丈八尺又重设矩于上相去四丈从勾端望东南隅入上股一丈七尺五寸问邑广纵几何曰东西广二万寸南北广二万四千寸术以勾高戊子三十五寸乘东南隅入下股庚子一百八十寸得六千三百寸以入上股癸丑一百七十五寸除之得三十六寸与勾高戊子三十五寸相减馀一寸为法以东南隅入下股庚子一百八十寸与东北隅入下股己子一百二十寸相减馀六十寸以乘两矩相去丑子四百寸得二万四千寸为南北实以法除之得南北广以西北隅入横股辛已五十寸乘两矩相去丑子四百寸得二万寸为东西实以法除之得东西广
　　用矩尺测远法
　　式欲测甲乙之远先于甲立丁甲表以矩尺置表末丁矩戊对乙成丁戊乙直线问甲乙远几何曰八尺术须视矩丙对何处今对巳为丁丙己直线乃量己甲二尺为法表高四尺自乘得十六尺为
　　实以除之得八尺为远
　　用交表测远法
　　式欲测乙戊之远先立甲乙表后于庚斜加小表为丙丁以丁对戊为度成庚丁戊直线问乙戊远几何曰八尺术须丙丁小表族转又于丁对
　　处已成庚丁已直线自乙至巳得八尺必与乙戊等
　　用表测斜高法
　　式欲测甲至丙从丁视甲丙作直线丁乙八尺丁甲十尺乙戊十二尺问甲丙斜高几何曰十五尺术以丁乙八尺为法以丁甲十尺与乙戊十二尺相乘得一百二十为实以法除之得十五尺为甲
　　至丙也
　　器测〈勾股之八〉
　　矩度
　　甲丁与甲乙等甲丙斜分乙
　　丙为直景丁丙为倒景以甲
　　乙相对测际眼穿戊己两耳
　　与其际作直线视权线垂何
　　景何度也今止分十二度若
　　细分更精其两景别有论解
　　测高法
　　权线垂丙式高如己庚景在地平上为庚辛以矩度测之甲对己两耳与辛巳作直线权线垂丙为高㡬何术凡权线垂丙者景与高必等也今辛庚四十五尺则己庚亦四十五尺
　　权线垂直景边式高如己庚景如庚辛权线垂乙丙边之戊乙戊八度庚辛景三十为高㡬何术以表度十二与庚辛三十相乘得三百六
　　十为实以乙戊八度为法除之得四十五为己庚之高权线垂倒景边式高如己庚庚辛景六十七五权线垂丁丙边之壬丁壬八度为高㡬何术以庚辛与丁壬相乘得五百四十为实以表度
　　十二为法除之得四十五为己庚之高
　　通曰高大于景权线必垂直景边高小于景权线必垂倒景边
　　测远法
　　权线垂丙式高如己庚景如庚辛权线垂丙为景㡬何
　　术己庚四十五则辛庚亦四十五
　　通曰景测高以甲对高高测景以乙对景景远也
　　权线垂直景边式己庚高四十五权线垂戊八度为庚辛景几何术以己庚与乙戊相乘得三百六十为实以表度十二为法除之得三十为庚
　　辛景
　　权线垂倒景边式己庚高四十五权线垂壬八度为庚辛景㡬何术以表度十二与己庚相乘得五百四十为实以丁壬八度为法除之得六十七五为庚辛景
　　以目测高法
　　于矩度外又用一有度分之表人目切表端矩度亦切表端穿两耳向测处作直线为度也
　　权线垂丙式高如己庚表如乙辛高四尺表端人目从矩度乙甲视巳为直线权线垂丙为高几何术乙壬四十五即巳壬加表高四尺得四
　　十九为己庚之高
　　权线垂直景边式庚辛三十权线垂戊八度为己庚高几何术以表度十二乘庚辛得三百六十为实以乙戊八度为法除之得己壬四十
　　五加表高四得四十九为己庚之高
　　权线垂倒景边式庚辛六十七五权线垂壬八度为己庚高㡬何术以庚辛乘丁壬八度得五百四十为实以表度十二为法除之得己癸四十五加表高四得四十九为己庚之高
　　通曰地平线上任意前后至权线直丙而止较便
　　以目测远法
　　权线垂丙式远如己庚表如甲巳目在甲权线垂丙为远几何术表高甲巳四尺则己庚亦远四尺也
　　权线垂直景边式甲已表高四尺权线垂戊九度为己庚远㡬何术以乙戊九度乘表高四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺
　　即己庚之远
　　权线垂倒景边式甲巳表高四尺权线垂壬八度为己庚远㡬何术以表度十二乘表高四得四十八为实以丁壬八度为法除之得六尺即己庚之远
　　通曰测高目在矩之乙测远目在矩之甲
　　以目测深法
　　权线垂丙式深如己壬目在甲视甲乙己辛为直线己庚口四尺权线垂丙为深几何术己壬与己庚等亦四尺也
　　通曰此不另用表而量己庚口者即口阔为表长是前用直表而此用横表也
　　权线垂直景边式己庚四尺权线垂戊六度为己壬深几何术以表度十二乘己庚四得四十八为实以乙戊六度为法除之得八尺即己
　　壬之深
　　权线垂倒景边式己庚四尺权线垂癸九度为己壬深几何术以丁癸九度乘己庚四得三十六为实以表度十二为法除之得三尺即己壬之深
　　倒景变直景图说
　　通曰十二其十二得一百四十四以矩度为准也故一度变为一百四十四度以此一百四十四度为实以所值度为法除实即得变度也
　　度线皆起甲端渐移至丁
　　至乙各分十二也
　　通曰倒景过丙丁边抵丙
　　戊线则变为直景犹之直
　　景过乙丙边抵丙巳线则
　　变为倒景也倒景十一度
　　直景则为十三度一分倒
　　景十度直景则为十四度四分倒景九度直景则为十六度倒景八度直景则为十八度倒景七度直景则为二十度五分七釐倒景六度直景则为二十四度倒景五度直景则为二十八度八分倒景四度直景则为三十六度倒景三度直景则为四十八度倒景二度直景则为七十二度倒景一度直景则为一百四十四度也以直景推之亦然
　　重矩测高法
　　通曰测高而不知远此求无股之勾也法皆用直景即权线在倒景边亦变为直景用之
　　皆直景式欲测己庚之高先立乙辛表目在辛上乙权
　　线垂戊五度又立乙癸表目在癸上
　　乙权线垂子十度两表相去十尺表
　　高四尺为高㡬何术以两度相减馀
　　五度为法以表度十二乘两表相去
　　十尺得一百二十为实以法除实得二十四尺即己至壬加表高四尺得二十八尺为己庚之高
　　通曰辛表为直景癸表或有倒景之时癸表为直景辛表无不直景矣
　　有倒景式欲测己庚之高先立乙辛表权线垂戊十一度又立乙癸表权线垂子九度乃倒景也今变作直景为十六度两表相去二十尺表高四尺为高㡬何术以十六度减十一度馀五度为法以表度十二乘两表相去
　　二十得二百四十为实以法除实得四十八尺即己至壬加表高四尺得五十二尺为己庚之高


　　数度衍卷七
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>



　　钦定四库全书
　　数度衍卷八
　　桐城　方中通　撰
　　测圆〈勾股之八〉
　　李栾城测圆图
　　通曰圆于三隅之中
　　方于一圆之外规矩
　　井然而变化莫测故
　　规矩有定之方圆也
　　方圆无定之规矩也
　　名率
　　天地通六百八十　天乾通股六百　干地通勾三百二十勾股和九百二十　勾股较二百八十　勾和一千　勾较三百六十　股和一千二百八十　股较八十　较和九百六十　较较四百　和和一千六百　和较二百四十
　　天川边五百四十四　天西边股四百八十　西川边勾二百五十六　勾股和七百三十六　勾股较二百二十四　勾和八百　勾较二百八十八股和一千○二十四　股较六百四十　
　　较和七百六十八　较较三百二十　和和一千二百八十　和较一百九十二
　　天山黄广五百一十　天金黄广股四百五十　金山黄广勾二百四十　勾股和六百九十　勾股较二百一十　勾和七百五十　勾较二百七十股和九百六十　股较六十　较和七百
　　二十　较较三百　和和一千二百　和较一　百八十
　　天月大差四百○八　天坤大差股三百六十　坤月大差勾一百九十二　勾股和五百五十二　勾股较一百六十八　勾和六百　勾较二百一十六　股和七百六十八　股较四十八　较和五百七十六　较较二百四十　和和九百六十　和较一百四十四
　　天日上高二百五十五　天旦上高股二百二十五旦日上高勾一百二十　勾股和三百四十五
　　勾股较一百○五　勾和三百七十五　勾较一百三十五　股和四百八十　股较三十较和三百六十　较较一百五十　和和六百　和较九十
　　日地底四百二十五　日北底股三百七十五　北地底勾二百　勾股和五百七十五　勾股较一百七十五　勾和六百二十五　勾较二百二十五　股和八百　股较五十　较和六百较较二百五十　和和一千　和较一百五十
　　日川皇极二百八十九　日心皇极股二百五十五心川皇极勾一百三十六　勾股和三百九十一勾股较一百一十九　勾和四百二十五　勾
　　较一百五十三　股和五百四十四　股较三十四　较和四百○八　较较一百七十和和六百八十　和较一百○二
　　日山下高　日朱下高股　朱山下高勾
　　通曰与上高率同
　　日月明一百五十三　日南明股一百三十五　南月明勾七十二　勾股和二百○七　勾股较六十三　勾和二百二十五　勾较八十一　股和二百八十八　股较一十八　较和二百一十六　较较九十　和和三百六十　和较五十四
　　月地黄长二百七十二　月泉黄长股二百四十泉地黄长勾一百二十八　勾股和三百六十八勾股较一百一十二　勾和四百　勾较一百四十四　股和五百一十二　股较三十二较和三百八十四　较较一百六十　和和六百四十　和较九十六
　　月川上平一百三十六　月青上平股一百二十青川上平勾六十四　勾股和一百八十四　勾股较五十六　勾和二百　勾较七十二　股和二百五十六　股较一十六　较和一百九十二　较较八十　和和三百二十　和较四十八
　　月山太虚一百○二　月泛太虚股九十　泛山太虚勾四十八　勾股和一百三十八　勾股较四十二　勾和一百五十　勾较五十四　股和一百九十二　股较一十二　较和一百四十四　较较六十　和和二百四十　和较三十六
　　山地小差一百七十　山艮小差股一百五十　艮地小差勾八十　勾股和二百三十　勾股较七十勾和二百五十　勾较九十　股和三百
　　二十　股较二十　较和二百四十　较较一百　和和四百　和较六十
　　山川軎三十四　山东軎股三十　东川軎勾一十六　勾股和四十六　勾股较一十四　勾和五十　勾较一十八　股和六十四　股较四较和四十八　弦较较二十　和和八十
　　和较一十二
　　川地下平　川夕下平股　夕地下平勾
　　通曰与上平率同
　　诸式
　　勾上容圆式〈勾当圆径之中〉西川边勾二百五十六天西边股四百八十求圆径术勾股相乘得十二万二千八百八十倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求得五百四十四以并股得一千○二十四为法除实得二百四十为圆径　勾求圆
　　股求圆可以例推
　　股上容圆式〈股当圆径之中〉北地底勾二百日北底股三百七十五求圆径术勾股相乘得七万五千倍之得十五万为实勾股求得四百二十五以并勾得六百二十五为法除实得径　勾求圆
　　股求圆可以例推
　　上容圆式〈当圆径之中〉坤乾等黄长股二百四十干艮等黄广勾二百四十求圆径术勾股相乘得五千七百六十倍之得一万一千五百二十为实勾股和得四百八十为法除实得径　坤艮
　　大图无
　　勾外容圆式〈圆在勾外〉坤月大差勾一百九十二天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乘得六万九千一百二十倍之得十三万八千二百
　　四十为实勾股求得四百○八以并勾股较一百六十八得较和五百七十六为法除实得径即较较二百四十也
　　股外容圆式〈圆在股外〉艮地小差勾八十山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乘倍之得二万四千为实勾股求减勾股较得较较一百为法除实得径即较和二百四十也以加勾股
　　较亦得较和
　　外容圆式〈圆在外〉巽月等太虚勾四十八巽山等太虚股九十求圆径术勾股相乘倍之得八千六百四十为实勾股求减勾股和馀
　　和较三十六为法除实得径即和和也以加勾股和亦得和和
　　勾股上容圆式〈勾股角在圆心〉心川皇极勾一百三十六日心皇极股二百五十五求圆径术勾股相乘倍之得六万九千三百六十为实勾股求
　　得二百八十九为法除实得径
　　勾外容半圆式南月明勾七十二日南明股一百三十五求圆径术勾股相乘倍之得一万九千四百四十为实勾股求与勾相减馀勾
　　较八十一为法除实得径若不倍为实即除得一百二十为半径
　　股外容半圆式东川軎勾十六山东軎股三十求圆径术勾股相乘得四百八十为实勾股求与股相减馀股较四为法除实得半径
　　倍得全径
　　两勾中夹容圆式干地通勾三百二十坤月大差勾一百九十二求圆径术二勾乘得六万一千四百四十为实二勾相并折半得二百五
　　十六为法除实得径
　　两股夹容圆式天乾通股六百山艮小差股一百五十求圆径术二股乘得九万为实二股相并折半得三百七十五为法除实得径
　　大勾小勾容圆式干地通勾三百二十南月明勾七十二求圆径术二勾乘得二万三千○四十为实以明勾七十二为従方开之〈详少广〉得
　　半径倍得全径
　　大股小股容圆式天乾通股六百山东軎股三十求圆径术二股乘得一万八千为实以軎股三十为从方开之得半径
　　大勾小馀勾容圆式干地通勾三百二十东川軎勾十六求圆径术倍軎勾减通勾馀二百八十八以乘通勾得九万二千一百六十为实
　　四因通勾得一千二百八十与两軎勾三十二相减馀一千二百四十八为从方四为隅法用负隅减从开平方法除之〈详少广〉得半径
　　大股小馀股容圆式天乾通股六百日南明股一百三十五求圆径术倍明股减通股馀三百三十以乘通股得十九万八千为实三因通股得一千八百与两明股二百七十相减馀一千五百
　　三十为从方作带从开平方法除之〈详少广〉得半径大勾中勾容圆式干地通勾三百二十西川边勾二百五十六求圆径术倍边勾减通勾馀一百九十二乘通勾得六万一千四百四十为
　　实以边勾为法除得径
　　大股中股容圆式天乾通股六百白北底股三百七十五求圆径术倍底股减通股馀一百五十乘通股得九万为实以底股为法除得径
　　两半勾容圆式南月明勾七十二北地底勾二百求圆径术二勾乘得一万四千四百为实即半径幂平方开之得半径
　　两半股容圆式山东軎股三十天西边股四百八十求圆径术二股乘得一万四千四百为实平方开之得半径
　　〈小〉勾半勾容圆式坤月大差勾一百九十二北地底勾二百求圆径术二勾乘得三万八千四百为实以底勾二百为从方作带从开平方
　　法除之得半径
　　小股半股容圆式天西边股四百八十山艮小差股一百五十求圆径术二股乘得七万二千为实以边股四
　　百八十为从方开之得半径

　　半勾馀勾容圆式东川軎勾十六北地底勾二百求圆径术軎勾自乘得二百五十六为軎勾幂二勾相减馀一百八十四为二勾较又自
　　乘得三万三千八百五十六为较幂与軎勾幂相减馀三万三千六百为实倍底勾得四百为从方作减从开平方法除之〈详少广〉得半径
　　半股馀股容圆式天西边股四百八十日南明股一百三十五求圆径术二股相减馀三百四十五自乘得十一万九千○二十五为较幂
　　明股自乘得一万八千二百二十五为明股幂二幂相减馀一十万○八百为实倍边股得九百六十为益从作减从开平方法除之〈益从者长阔和也详少广〉得半径
　　又半勾馀勾容圆式东川軎勾十六南月明勾七十二求圆径术二勾相减馀自之得三千一百三十六軎勾自之得二百五十六相减馀
　　二千八百八十为实倍明勾得一百四十四为益从作减从翻法开平方法除得半径
　　又半股馀股容圆式山东軎股三十日南明股一百三十五求圆径术二股相减馀自之得一万一千○二十五明股自之得一万八千二
　　百二十五相减馀七千二百为平实倍軎股得六十为从方作以从减隅开平方法除得半径或作添积带従开平方法亦可〈详少广〉
　　错互求容圆式天川边五百四十四日地底四百二十五求圆径术二相减馀一百一十九自之得一万四千一百六十一底自之得十八万○六百二十五相减馀十六万六千四
　　百六十四为平实倍边得一千○八十八为从方作带従开平方法除得平一百三十六即皇极勾以减底馀二百八十九即皇极以皇极勾求出皇极股二百五十五与皇极勾相乘得三万四千六百八十以皇极为法除之得半径
　　又式天山黄广五百一十月地黄长二百七十二求圆径术并二半之自乘得十五万二千八百八十一半黄广自之半黄长自之相并得八万三千五百二十一与十五万二千八
　　百八十一相减馀六万九千三百六十为平实并二得七百八十二为益従作减従开平方法除得一百○二即太虚以减黄广馀为皇极较和以太虚减黄长馀为皇极较较又以黄长减皇极较和馀一百三十六为皇极勾半黄广为黄极股以皇极勾股求通圆径〈即前勾股上容圆式〉
　　两容圆式日月明一百五十三山川軎三十四求圆径术二相乘倍之得一万○四百○四为实平方开之得一百○二即太虚
　　加軎为皇极勾加明为皇极股以皇极勾股求通圆径
　　全勾半股容圆式干地通勾三百二十天西边股四百八十求圆径术勾股相乘倍之得三十万○七千二百为实倍边股并通勾得一千
　　二百八十为法除得径
　　全股半勾容圆式天乾通股六百北地底勾二百求圆径术勾股相乘倍之得二十四万为实倍底勾并通股得一千为法除得径
　　大勾馀股容圆式干地通勾三百二十天坤大差股三百六十求圆径术勾股乘得十一万五千二百为实倍大差股得七百二十为从作
　　减从开平方法除得径又术勾股相乘倍之为实倍大差股为从作带从开平方法除得径
　　大股馀勾容圆式天乾通股六百艮地小差勾八十求圆径术勾股相乘倍之得九万六千为实倍小差勾得一百六十为从又带从开平方法除得径

　　又大勾馀股容圆式干地通勾三百二十日南明股一百三十五求圆径术通勾自之乘明股得一千三百八十二万四千为立实倍明股
　　乘通勾得八万六千四百为从方二为隅法作带从负隅开立方法〈详少广〉除得半径
　　又式干地通勾三百二十山东軎股三十求圆径术勾股乘得九千六百为实以通勾为从方二为隅算作减
　　从负隅翻法开平方法除得半径

　　又大股馀勾容圆式天乾通股六百东川軎勾十六求圆径术通股自之乘軎勾得五百七十六万为立实倍軎勾乘通股得一万九千二
　　百为从方二为隅法作带从负隅开立方法除得半径又式天乾通股六百南月明勾七十二求圆径术勾股乘得三千二百为实以通股为从方二为隅法作带从负隅开平方法除得半径
　　半勾半股容圆式天西边股四百八十北地底勾二百求圆径术勾股乘得九万六千为实勾股并得六百八十为从方二为隅算作负隅
　　减从开平方法除得半径
　　截勾截股容圆式坤西等上平股一百二十北艮等下高勾一百二十求圆径术勾股乘得一万四千四百为实平方开之得半径
　　通曰此与前上容圆式坤艮之必穿圆心乃可测算
　　半勾外股容圆式天坤大差股三百六十北地底勾二百求圆径术勾股相乘倍之得十四万四千为实以大差股为从方作带从开平方
　　法除得径
　　半股外勾容圆式艮地小差勾八十天西边股四百八十求圆径术勾股相乘倍之得七万六千八百为实以小差勾为从方作带从开平
　　方法除得径
　　馀勾半股馀股半勾容圆式西外八步外行四百九十五步北外十五步外行二百○八步求圆径术以西外八并北外行二百○八得二百一十六为两勾和西外行四百
　　九十五并北外十五得五百一十为两股和以西外行乘两勾和得十万○六千九百二十为股乘勾幂以西外乘两股和得四千○八十为勾乘股幂两幂相减馀十万○二千八百四十为勾股维乘差自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百为三乘方实西外行四百九十五内减去两回西外共十六馀四百七十九与北外行二百○八相减馀二百七十一为股减勾差北外行二百○八内减去两回北外共三十馀一百七十八与西外行四百九十五相减馀三百一十七为勾减股差二差相减馀四十六以乘勾股维乘差得四百七十三万○六百四十为従方二差相乘得八万五千九百○七为二差幂两勾和与两股和相乘得十一万○一百六十为二和幂倍二和幂得二十二万○三百二十倍勾股维乘差得二十万○五千六百八十以并二差幂得五十一万一千九百○七为従一廉四回两勾和共八百六十四两回股减勾差共五百四十二相并得一千四百○六为从二廉作带从方廉开三乘方法〈详少广〉即得半径
　　半勾馀股容圆式日南明股一百三十五北地底勾二百求圆径术底勾自乘又乘明股得五百四十万又四因得二千一百六十万为立
　　方实以明股为従廉作带从廉立方开之得径〈详少广〉半股馀勾容圆式东川軎勾十六天西边股四百八十求圆径术边股自乘又乘軎勾得三百六十八万六千四百又四因得一千四百七十四万五千六百为立实以軎勾为从廉作带从廉立
　　方开之得径
　　半勾小股容圆式北地底勾二百山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乘又乘小差股得四百五十万为实勾股相减馀五十又乘小
　　差股得七千五百加勾股相乘得三万七千五百为法除实得半径又术勾股相乘为实倍底勾减小差股馀为法除实得半径
　　又式北地底勾二百山东軎股三十求圆径术勾股乘得六千为平实勾股减馀一百七十为従方作减従翻法开平方法得半径
　　半股小勾容圆式天西边股四百八十坤月大差勾一百九十二求圆径术勾股相乘又乘大差勾得一千七百六十九万四千七百二十
　　为实勾股减馀二百八十八又乘大差勾得五万五千二百九十六加勾股相乘得十四万七千四百五十六为法除得半径　前式又术亦可用
　　又式天西边股四百八十南月明勾七十二求圆径术勾股乘得三万四千五百六十为实勾股减馀四百○八为从方作减従开平方法
　　得半径
　　小勾小股容圆式坤月大差勾一百九十二山艮小差股一百五十求圆径术勾股相乘倍之得五万七千六百平方开之得径
　　又式南月明勾七十二山东軎股三十求圆径术勾股乘得二千一百六十为实勾股并得一百○二为从作
　　以従减法翻法开平方法得半径

　　外勾外股容圆式艮地小差勾八十天坤大差股三百六十求圆径术勾股相乘倍之得五万七千六百平方开之得径
　　又式东川軎勾十六日南明股一百三十五求圆径术勾股相乘又自乘得四百六十六万五千六百为三乘方实勾股相乘倍之得四千
　　三百二十又乘勾股相并得六十五万二千三百二十为从方勾股相并自之得二万二千八百○一勾股相减馀自之得一万四千一百六十一两自之之数相减馀八千六百四十为益廉作带従廉添积开三乘方法除之〈详少广〉得半径
　　大勾半容圆式干地通勾三百二十日地底四百二十五求圆径术勾相减馀一百○五为勾差以乘通勾得三万三千六百又
　　乘半通勾一百六十得五百三十七万六千为立实半通勾乘通勾得五万一千二百与差乘通勾三万三千六百相减馀一万七千六百为従方倍通勾得六百四十为益廉作带従减益廉开立方法除之〈详少广〉得半径又式干地通勾三百二十月地黄长二百七十二求圆径术勾相减馀四十八为勾差倍差倍通勾相乘得六万一千四百四十为
　　平实倍差倍通勾相并得七百三十六为益従二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得径又术倍差乘通勾为实差并通勾为从作减从开平方除之得径大股半容圆式天乾通股六百天川边五百四十四求圆径术股相减馀五十六为差以乘通股得三万三千六百又乘半通股得
　　一千○八万为立实半通股乘通股得十八万与差乘通股三万三千六百相并得二十一万三千六百为从方倍通股得一千二百为从廉作以从廉减从方翻法开立方法除之得半径　以従廉添积开立方亦可〈详少广〉
　　又式天乾通股六百天山黄广五百一十求圆径术股相减馀九十为差倍差倍通股相乘得二十一万六千为平实倍差倍通股相并得一千三百八十为从二为隅法作减从负隅翻法
　　开平方法除之得径又术同前
　　大勾外容圆式干地通勾三百二十山地小差一百七十求圆径术勾乘得五万四千四百通勾自之得十万○二千四百以相减馀倍之得九万六千为实倍通勾得六百四十为从方
　　作减从开平方法除之得径
　　大股外容圆式天乾通股六百天月大差四百○八求圆径术股乘得二十四万四千八百通股自之得三十六万以相减馀倍之
　　得二十三万○四百为实倍通股得一千二百为従方作减从开平方法除得径义术股相乘通股自乘相减不必倍即以所馀十一万五千二百为平实二为隅法作负隅开平方法亦可
　　大勾截容圆式干地通勾三百二十川地下平一百三十六求圆径术勾相减馀一百八十四为差倍差减通勾馀乘通勾得一万五
　　千三百六十为平实又倍差得三百六十八为从方二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得半径大股截容圆式天乾通股六百天日上高二百五十五求圆径术股相减馀三百四十五为差倍差减通股馀九十以乘通股得五
　　万四千为平实倍差为从方二为隅算作负隅减从开平方法除之得半径
　　大勾中容圆式干地通勾三百二十日川皇极二百八十九求圆径术勾乘得九万二千四百八十为勾乘幂又自之得八十五亿五千二百五十五万○四百为三乘方实皇极自
　　之得八万三千五百二十一以乘通勾得二千六百七十二万六千七百二十倍之得五千三百四十五万三千四百四十为从方倍勾乘幂得十八万四千九百六十为从一廉倍皇极得五百七十八为从二廉二为隅算作以廉隅减従开三乘方法除之〈详少广〉得皇极勾一百三十六以皇极勾求股得皇极股二百五十五勾股相乘倍之得六万九千三百六十为实以皇极为法除得径
　　又式干地通勾三百二十日山下高二百五十五求圆径术勾相乘又乘半通勾得一千三百○五万六千为立方实勾相乘得八
　　万一千六百与半通勾乘通勾得五万一千二百相并得十三万二千八百为从方通勾三百二十为従廉作以廉减从开立方法〈详少广〉除得半径
　　大股中容圆式天乾通股六百日川皇极二百八十九求圆径术股相乘又自之得三百亿○六千七百五十六万为三乘方实皇极自之为幂以乘通股又倍之得一亿○二十二万
　　五千二百为从方股相乘倍之得三十四万六千八百为从一廉倍得五百七十八为从二廉二为隅算作带从负隅以二廉隅添积开三乘方除之得皇极股二百五十五勾股相乘倍为实以皇极为法除得径又式天乾通股六百月川上平一百三十六求圆径术股相乘又乘半通股得二千四百四十八万为立实半通股乘通股并通股与
　　平相乘八万一千六百得二十六万一千六百为従方通股六百为従廉以廉减从开立方除之得半径大勾小容圆式干地通勾三百二十月山太虚一百○二求圆径术通勾自之为幂倍太虚乘之得二千○八十八万九千六百为
　　立实倍太虚乘通勾又加倍通勾幂得二十七万○八十为従方四通勾得一千二百八十为従廉四为隅算作带从半翻法减从负隅开立方法除之〈详少广〉得半径又术通勾自之与太虚相乘半之为立实勾相乘加通勾自乘半之为从方通勾为从廉作以廉减従开立方法除之得半径
　　大股小容圆式天乾通股六百月山太虚一百○二求圆径术通股自之乘太虚又倍之得七千三百四十四万为立实倍通股乘太虚得十二万二千四百通股自之又倍得七十二
　　万相并得八十四万二千四百为从方四通股得二千四百为从廉四为隅算作带从负隅以廉减从开立方法除之得半径　用添积亦可
　　又大勾小容圆式干地通勾三百二十山川軎三十四求圆径术通勾自之为幂又乘通勾得三千二百七十六万八千与倍軎乘
　　通勾幂得六百九十六万三千二百相减馀二千五百八十万○四千八百为立实軎乘通勾得一万○八百八十倍通勾幂得二十万○四千八百相减馀十九万三千九百二十为従方通勾加半通勾得四百八十为从廉半数为隅算作带従以廉添积开立方法除之得径　以廉减従亦可
　　又大股小容圆式天乾通股六百日月明一百五十三求圆径术通股自之为幂又乘通股得二亿一千六百万与倍明乘通股幂
　　得一亿一千○一十六万相减馀一亿○五百八十四万为立实倍通股幂得七十二万倍明乘通股得十八万三千六百相减馀五十三万六千四百为从方六通股得三千六百为从廉六为隅算作负隅减从以廉益从开立方法除之得半径　以隅添积亦可
　　又大勾小容圆式干地通勾三百二十日月明一百五十三求圆径术通勾自之为幂勾相乘为勾乘幂二幂相乘得五十亿○
　　一千三百五十万○四千为三乘方实明乘通勾幂又三之得四千七百万○一千六百为从方倍勾乘幂与通勾幂相减馀四千四百八十为从一廉倍通勾得六百四十为从二廉二为隅法作带从负隅以二廉减从开三乘方法除之〈详少广〉得半径
　　又大股小容圆式天乾通股六百山川軎三十四求圆径术股相乘又乘通股幂得七十三亿四千四百万为三乘方实軎乘通股幂又三之得三千六百七十二万为从方倍股相
　　乘减通股幂馀三十一万九千二百为从一廉倍通股为从二廉二为隅算作带従方廉负隅以二廉减从开三乘方法除之得半径
　　大半勾容圆式天地通六百八十北地底勾二百求圆径术勾减馀四百八十为差勾并得八百八十为和差和相乘得四十二
　　万二千四百与差自乘二十三万○四百相减馀十九万二千为实差和并得一千三百六十为从二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
　　大半股容圆式天地通六百八十天西边股四百八十求圆径术股减馀二百为差股并得一千一百六十为和差和相乘得二
　　十三万二千与差自乘四万相减馀十九万二千为实差和相并得一千三百六十为从方二为隅算作带従负隅开平方法除之得半径
　　半半勾容圆式月地黄长二百七十二北地底勾二百求圆径术勾减馀七十二为差乘底勾得一万四千四百为半径幂四之为
　　全径幂平方开得径
　　半半股容圆式天山黄广五百一十天西边股四百八十求圆径术股减馀三十为差乘边股得一万四千四百平方开之得半径
　　外半勾容圆式山地小差一百七十北地底勾二百求圆径术勾减馀三十为差乘底勾得六千为实小差为従作减从翻法开平
　　方法除得半径
　　外半股容圆式天月大差四百○八天西边股四百八十求圆径术股减馀乘边股得三万四千五百六十为实大差为従作减
　　从开平方法除得半径
　　截半勾容圆式川地下平一百三十六北地底勾二百求圆径术倍勾相减馀一百二十八减底勾馀七十二又乘底勾得一万四
　　千四百平方开之得半径又术倍平减底勾馀七十二乘底勾亦同
　　截半股容圆式天日上高二百五十五天西边股四百八十求圆径术倍高减边股馀三十乘边股得半径幂平方开得半径又术
　　股减馀自之得上高股幂高自之得幂二幂相减开其馀为上高勾即半径
　　小半勾容圆式山川軎三十四北地底勾二百求圆径术底勾内减二軎馀一百三十二乘底勾得二万六千四百又以軎幂二
　　千一百五十六乘得三千○五十一万八千四百为三乘方实倍底勾乘軎幂得四十六万二千四百为从方勾相减差自之得二万七千五百五十六为従一廉勾相减差倍之得三百三十二为从二廉作带从方廉以二廉减从开三乘方法除之得軎股三十以軎股求勾以軎勾股求径〈即前股外容半圆也〉
　　小半股容圆式日月明一百五十三天西边股四百八十求圆径术边股内减二明馀一百七十四乘边股得八万三千五百二十
　　又以明幂二万三千四百○九乘得一十九亿五千五百一十一万九千六百八十为三乘方实明幂乘边股又倍之得二千二百四十七万二千六百四十为従方股减馀自之得十万○六千九百二十九为从一廉股减馀倍之得六百五十四为从二廉作带方廉以二廉减从开三乘方法除之得明勾七十二以明勾求股以明勾股求径〈即前勾外容半圆也〉
　　又小半勾容圆式日山下高二百五十五北地底勾二百求圆径术底勾自之为幂乘高得一千○二十万为立实底勾幂为从方高为従廉作带从方廉
　　开立方法除得半径

　　又小半股容圆式月川上平一百三十六天西边股四百八十求圆径术边股自之为幂乘平得三千一百三十三万四千四百为
　　立实边股幂为从方平为从廉作带従方廉开立方法除得半径
　　通曰右式与上高同此式与下平同
　　又小半勾容圆式日月明一百五十三北地底勾二百求圆径术半底勾乘明得一万五千三百为平实勾相并半之得一百七十六为从方半为隅算作带従负隅开平方法除之得
　　明勾七十二以明勾求股以明勾股求径〈即前勾外容半圆也〉又小半股容圆式山川軎三十四天西边股四百八十求圆径术半軎乘边股得八千一百六十为实股并半之得二百五十七
　　为从方半为隅法作带従负隅开平方法除之得軎股乘边股得半径幂
　　半小勾容圆式月地黄长二百七十二坤月大差勾一百九十二求圆径术倍大差勾与黄长相减馀一百一十二为差自之得一万二千五百四十四与黄长幂相减馀六万一千四
　　百四十为实四差得四百四十八为从八为益隅作以带从减隅开平方法除得半径
　　半小股容圆式天山黄广五百一十山艮小差股一百五十求圆径术倍小差股与黄广相减得差二百一十自之得四万四千一百与黄广幂相减馀二十一万六千为实四差得八
　　百四十为从八为隅作以隅减从开平方法除得半径小截勾容圆式月川上平一百三十六南月明勾七十二求圆径术勾相减差自之得四千○九十六与上平幂相减馀一万四
　　千四百即半径幂半径即平股也
　　小截股容圆式日山下高二百五十五山东軎股三十求圆径术股减馀自之得五万○六百二十五为高股幂又与高幂相减馀一万四千四百即半径幂半径即高勾也
　　又小截勾容圆式月山太虚一百○二南月明勾七十二求圆径术勾减馀倍之乘明勾得四千三百二十为实又倍实得八千六百四十与太虚幂相减馀一千七百六十四平方开
　　之得四十二为太虚勾股较以较为从开其实得四十八为太虚勾加较为股并为和和即径
　　又小截股容圆式月山太虚一百○二山东軎股三十求圆径术股相减馀乘軎股又四之得八千六百四十与太虚幂相并得
　　一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加太虚即径二百四十











　　数度衍卷八



　　钦定四库全书
　　数度衍卷九
　　桐城　方中通　撰
　　方圆〈少〉广〈之一〉
　　诸率
　　通曰求积者用径一围三度天者用径七周二十二然径一则围三有馀径七则周二十二不足今测以径十七周五十二其率较细大约四形之率惟方率
　　无差他皆无凖方斜七而强角面七而弱圆率从难推求惟举成数而已
　　通曰方形剖周为四面面与中径等四面即四径也圆以三为率径求周以径乘率周求径以率除周方以四为率径求周以径乘率周求径以率除周通曰此勾股也勾股皆五各自乘并之为五十开方则七有零七自之惟四十九较五十之开方则少一数矣今
　　方斜以五七为率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘内斜以斜七除之
　　通曰此亦勾股也中径为股半
　　面为勾各自乘并为四十八二五
　　开方则七不足矣今三角以六七
　　为率面求径以径六乘面以面七
　　除之径求面以面七乘径以径六
　　除之
　　方内容圆圆内容方率说



　　通曰数始于一圆径一则周三方径一则周四两周相乘得十二故方圆相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圆周七丙丁圆周必五甲乙方圆径七丙丁方圆径必五七五并为十二故曰皆十二也推而求之万

　　重皆然此方圆之分率也径同则圆周圆积皆不及方周同则方径方积皆不及圆积同则圆周不及方周方径不及圆径何也径同以一言之圆径一周三方径一周四圆周不及方周四分之一矣又以三言之圆径三积七方径三积九圆积不及方积九分之二矣周同以十二言之方周十二积九圆周十二积十二方积不及圆积十二分之三矣又方周十二径三圆周十二径四方径不及圆径四分之一矣积同以一百六十九言之圆积一百六十九则周四十五方积一百六十九则周五十二圆周不及方周五十二分之七矣又方积一百六十九则径十三圆积一百六十九则径十五方径不及圆径十五分之二矣此方圆之合率也至其容之大小悉较容兹不具论
　　通曰石斋先生之天方图九方九圆外方积一万六千三百八十四如率推之庇羃尽得余别录焉
　　方内容圆法
　　方面求圆积庇积式方面十四问圆积庇积各几何曰圆积一百四十七庇积四十九术以方面十四自乘得方积一百九十六以七五乘之得一万四千七百降二位为圆积一百四十七以二五乘方积得四千九百降二位为庇积四
　　十九〈法有二位故降二位〉又术以方面折半为七又折半为三五自乘得十二二五为一庇积以四乘之得四十九以减方积得圆积〈七五乘二五乘说见后〉
　　圆内容方法
　　圆径求方积羃积式圆径十四问方积羃积各几何曰方积一百羃积四十七术以圆径十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十为内方面自乘得方积一百用圆径求圆积〈详后〉得一百四十七以减方积馀四十七为羃积
　　立方内容立圆法
　　立方面求立圆积立庇积式立方面十六问立圆积立庇积各几何曰立圆积二千三百○四立庇积一千七百九十二术通曰以立方面十六
　　自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六为立方积以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四为立圆积二积相减馀一千七百九十二为立庇积〈九乘十六除说见后〉
　　立圆内容立方法
　　立圆径求立方积立羃积式立圆径十七问立方积立
　　羃积各几何曰立方积一千七百
　　七十一五六一立羃积九百九十
　　一九九九术通曰以立圆径十七
　　用径求积法〈详后〉得二千七百六十三五六零为立圆积以圆径为立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一为立方积二积相减馀九百九十一九九九为立羃积
　　通曰凡方内容圆圆内容方必彼此相切方可立算
　　平方求积法〈即开平方之还原也〉
　　径求积式径三十二为积几何曰积一千○二十四术以径三十二自乘得一千○二十四为积
　　周求积式周一百二十八为积几何曰积一千○二十四术以周一百二十八用四除之得三十二为径自乘得积
　　平圆求积法〈即开平圆之还原也〉
　　径求积式径六为积几何曰积二十七术径六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七为积又术径六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合〈三乘四除说见后〉
　　周求积式周十八为积几何曰积二十七术周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七为积〈十二除说见后〉周径求积式径六周十八为积几何曰积二十七术径六与周十八相乘得一百○八以四除之得二十七为积
　　通曰此与三乘四除同径一周三故也
　　半周求积式半周九为积几何曰积二十七术九自乘得八十一以三除之得二十七〈三除说见后〉
　　半径求积式半径三为积几何曰积二十七术三自乘得九以三乘之得二十七〈三乘说见后〉
　　半周半径求积式半周九半径三为积几何曰积二十七术九与三相乘得二十七
　　通曰方径自乘得方形以此方形积均分作四股圆形内得三股四庇共得一股故用七五乘
　　者四分十之三也用二五乘者四分十之一也
　　通曰径用三乘得长方形即周径相乘也此内容圆形者三而三圆形之庇积
　　又成一圆形之积以此一圆并三圆而为四故三乘者用四除也
　　通曰周自乘得大方形此内有方形九而容圆形者亦九三圆形之庇积成一圆形之积则九圆形之庇积必成三圆形之积矣以此三圆并九圆而为十二故用十二除也
　　通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除盖三除者十二除四分之一
　　也半径自乘与庇积等三其庇积而成圆积故用三乘也
　　立方求积法〈即开立方之还原也〉
　　径求积式径三十二为积几何曰积三万二千七百六十八术径三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三万二千七百六十八为积
　　立圆求积法〈即开立圆之还原也〉
　　径求积式径四十八为积几何曰积六万二千二百○八术径四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一万○五百九十二以九乘之得九十九万五千三百二十八以十六除之得六万二千二百○八为积周求积式周一百四十四为积几何曰积六万二千二百○八术周一百四十四自乘得二万○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八万五千九百八十四以四十八除之得六万二千二百○八为积
　　通曰立圆径自乘再乘乃立圆外之立方积也九回立方积即十六回立圆积故以九乘十六除也立圆周自乘再乘乃二十七回立方积也即四十八回立圆积故以四十八除也盖二十七者三回九也四十八者三回十六也而周求积之不用二十七乘者周巳大于径三回故不用三回九之二十七乘也
　　方环求积法
　　外方内方求环积式外方甲乙二十内方丙丁一十为环积几何曰积三百术以甲乙二十自乘得四百为庚辛乙甲全积以丙丁一十自乘得
　　一百为壬癸丁丙内积二积相减馀三百为庚壬丙甲环积又术以甲乙二十并丙丁一十为三十倍之得六十为通环之长以丙丁减甲乙馀一十折半得五即丁至巳为环阔以阔乘长得三百为环积
　　通曰并外方四面得八十并内方四面得四十又相并为一百二十折半得六十亦合环长
　　圆环求积法
　　外周内周求环积式外周甲戊乙巳四十八内周丙庚丁辛二十四为环积几何曰积一百四十四术以甲戊乙巳四十八自乘得三千三百○四以十二除之得一百九十二为甲
　　乙戊己全积以丙庚丁辛二十四自乘得五百七十六以十二除之得四十八为丙庚丁辛内积二积相减馀一百四十四为甲丙戊庚环积又术以外周三折得全径十六以内周三折得内径八两径相减馀八折半得四即甲至丙为环阔以三乘阔得十二减外周馀三十六为通环之长以阔乘长得一百四十四为环积内周外周求环径式〈即环阔也〉术以外周四十八减内周二十四馀二十四以六除之得四为环径即甲至丙内周环径求外周式术以六乘环径四得二十四并内周二十四得四十八为外周
　　外周环径求内周式术以六乘环径四得二十四减外周四十八馀二十四为内周
　　通曰圆以六包一故用六乘六除也〈详外包〉
　　四破合环法
　　四破之一求去内外角成环式欲于丑寅大直角方形
　　内成圆环外周切方边内周
　　六问于甲丙小直角方形内
　　去内角外角各几何曰内角
　　去乙巳一外角去庚丁二术
　　通曰先于甲丙形用方斜率
　　法求得乙至丁为七乙至丙
　　为五乃以三除内周六得二为内径半之得一为半径即甲丙形之内角乙巳一也去之乙丙五内减等乙巳之乙戊一尚存戊丙四为环阔又于乙丁斜七减内角乙己一又减等戊丙之己庚四尚馀庚丁二是为外角应去者也甲丙形为一破加丑乙子乙寅乙三破而环成矣故曰四破合环
　　二破至九破率说
　　通曰以前式四破之一为率二破得率二分之四益率
　　二分之二而成二破之一也三
　　破得率三分之四益率三分之
　　一而成三破之一也五破得率
　　五分之四损率五分
　　之一而成五破之一
　　也六破得率六分之
　　四损率六分之二而
　　成六破之一也七破
　　得率七分之四损率
　　七分之三而成七破
　　之一也八破得率八
　　分之四损率八分之
　　四而成八破之一也九破得率九分之四损率九分之五而成九破之一也万亿皆然盖四破得方圆四分之一故以四破为率二破者倍之八破者半之破愈多而分愈细也至彼此互变皆以率通或五变六或八变七以所变之六七为法分其应变之五八一破多益少损无不适合
　　合破成立圆法
　　式欲成子丑立圆形为破几何术通曰以圆周剖之周大则剖多周小则剖少以剖后之一破腰无圆形而止
　　也如以子丑圆周剖为三十二破一
　　破如丙丁甲乙形甲乙平而不圆矣
　　又以丙丁甲乙剖为二如丙甲乙甲
　　乙丁两形而两形必等则三十二其
　　丙丁甲乙形而成立圆六十四其丙甲乙形亦成立圆也盖丙至丁半周也十六其甲乙亦半周也
　　方内容弧矢六角八角法
　　直方内容弧矢形式方长十四方阔七问弧内积二角馀积各几何曰弧内积七十三五二角馀积二十四五术方长十四即方阔七即矢相并得二十一折半得十○五以矢七乘之得
　　七十三五为弧内积方长十四方阔七相乘得九十八为全积以减弧内积馀二十四五为二角积折半得十二二五为一角积
　　通曰以十四折半得七又折半得三五乘矢七得二十四五亦合二角积
　　直方内容六角形式方长二十方阔十八六角面十问六角内积四角馀积各几何曰六角内积二百七十四角馀积九十术以方长二十减六角半面五馀十五以方阔十八乘之得二百
　　七十为六角内积以角外馀长五折半得二五乘角外馀阔九得二十二五为一角积以四乘之得九十为四角积
　　通曰以馀长五馀阔九相乘得四十五倍之得九十亦合四角积
　　方内容八角形式八角面七问八角内积四角馀积各几何曰八角内积二百三十九四角馀积五十术以五乘八角面七得三十五以七除之得五为角外馀方倍之得十为上下两馀方加八角面七得十七为大方面自乘得二百八
　　十九为全积以角外馀方五自乘得二十五倍之得五十为四角积以减全积馀二百三十九为八角内积通曰以馀方五自乘得二十五折半得十二五为一角积此式乃斜求方也四隅角面即方斜馀方即方斜面故用五乘七除
　　方内容小圆法
　　式馀积二千四百圆边离方边十问方面圆径各几何曰方面六十圆径四十术以离边十自乘得一百以三乘得三百加馀积二千四百得二千七百为实以六乘离边十
　　得六十为从方用带从开平方法除之得三十〈详十二卷〉倍之得六十为方面以方面减两离边二十馀四十为圆径
　　圆内容小方法
　　式馀积七十二离边三问圆径方面各几何曰圆径十二方面六术以离边三自乘得九以四乘之得三十六倍馀积得一百四十四相并得一百八十为实以离边三乘八
　　得二十四为纵方用带纵开平方法除之得六〈详十二卷〉为半径倍之得十二为圆径以圆径自乘得一百四十四以三乘得四百三十二以四除得一百○八以减馀积七十二馀三十六平方开之得六为方面
　　又式圆径九步七分五釐离边三步问内方积上下大弧积左右两直方积左右两小弧积各几何曰内方积十四步○六釐二毫五丝大弧积各十八步直方积各九步八分四釐三毫七丝五忽小弧积各七分七釐三毫四丝
　　三忽七微五纎术以圆径折半得四步八分七釐五毫自乘得二十三步七分六釐五毫以半径减离边馀一步八分七釐五毫自乘得三步五分一厘五毫两自乘相减馀二十步○二分五釐平方开之得四步五分倍之得九步为大弧用弧矢法〈详后〉得弧积十八步以圆径减两离边馀内方面三步七分五釐自乘得十四步○六釐二毫五丝为内方积以大弧九步减内方面三步七分五釐馀五步二分五釐折半得二步六分二釐五毫为直方阔与内方面〈即直长方〉相乘将九步八分四釐三毫七丝五忽为直方积内方面即小弧以圆径减大弧九步馀七分五釐折半得三分七釐五毫为小弧矢用弧矢法得小弧积七分七釐三毫四丝三忽七微五纎以大弧积倍之得三十六步以直方积倍之得十九步六分八釐七毫五丝以小弧积倍之得一步五分四釐六毫八丝七忽五微以诸倍数与内方积十四步○六釐二毫五丝相并得七十一步二分九釐六毫八丝七忽五微为全圆之积
　　圆内容锭形法
　　式圆径十四问锭内积两榄馀积各几何曰锭内积一
　　百两榄馀积四十八术以五乘圆
　　径十四得七十以七除之得十即
　　圆内容方边自乘得一百即容方
　　积即锭内积也以圆径十四减容
　　方边十馀四即榄腰阔折半得二
　　加容方边十得十二乘腰阔四得四十八即两榄积又术以锭长十四〈即圆径〉自乘得一百九十六折半得九十八加二得一百为锭积
　　通曰圆内容锭与圆内容方等者何也盖截方两腰之半补上下而成锭截锭上下之等半腰者补两腰而成方也故圆径即锭长锭斜即圆径戊己丙丁甲乙皆等也丙丁甲乙皆方斜也丙乙甲丁皆容方边也故用五乘七除此斜求方耳以圆径求积得一百四十七今两积合为一百四十八而多一者盖榄长即容方边自乘百内多一也锭长自乘而加二者盖百内少二斜求积之差也
　　大平方内容小平圆求积圆法
　　式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆九积空成圆三共积圆十二术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九即为积圆九也用前方内容圆法毎一小圆得内积一百四十七为圆实得庇积四十九为庇实以积圆九乘庇实得四百四十一
　　为隅空以圆实除隅空得三即为积空成圆三也加积圆九得十二即为共积圆十二也
　　大立方内容小立圆求积圆法
　　式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆二十七积空成圆二十一共积圆四十八术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九再乘三
　　得二十七即为积圆二十七也用前立圆求积法毎一小立圆得内积一千五百四十三五为圆实以大方面自乘得一千七百六十四再乘得七万四千○八十八为全方实以积圆二十七乘圆实得四万一千六百七十四五为全圆实以全圆实减全方实馀三万二千四百一十三五为隅空以圆实除隅空得二十一即为积空成圆二十一也加积圆二十七得四十八即为共积圆四十八也
　　通曰前式三分益一也圆居方四分之三庇居方四分之一则庇必居圆三分之一矣遇三加一九故加三也此式九分益七也立圆居立方十六分之九立庇居立方十六分之七则立庇必居立圆九分之七矣遇九加七二十七故加二十一也
　　大平圆内容小平圆求积法
　　式大圆径十二容积圆七小圆径四问积空成圆共积圆各几何曰积空成圆二共积圆九术通曰以大圆径十二用前平圆求积法得全积一百○八为全圆实以小圆径四亦如
　　法得内积十二以乘积圆七得八十四为小圆实二实相减馀二十四为隅空以内积十二除隅空得二即为积空成圆二也加积圆七得九即为共积圆九也
　　大立圆内容小立圆求积圆法
　　式大立圆径十二容积立圆十五小立圆径四问积空成立圆共积立圆各几何曰积空成立圆十二共积立圆二十七术通曰以大立圆径十二用前立圆求积法得全积九百七
　　十二为全立圆实以小立圆径四亦如法得内积三十六以乘积圆十五得五百四十为小立圆实二实相减馀四百三十二为隅空以内积三十六除隅空得十二即为积空成立圆十二加积立圆十五得二十七即为共积立圆二十七也〈按大立圆径十二小立圆径四必不能容十五设题未合〉通曰此二式不可为率隅空不等故耳近边则空多近中则空寡若不论小形而论大小形之积实则凡大形内容小形者先求大形之全积为实次求小形之内积为法以法除实皆得其积若干小形之数也
　　弧矢〈少广之二〉
　　弧矢解
　　弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以股除之即得勾弧背曲倍积则长一与一矢以矢乘积倍之适得一一矢之数因未知矢故以积自乘为实约一度乘积以为上廉两度乘径以为下廉并之为法而后可以得矢也用三乘者何也积本平方以倍积自乘是两度平方矣故用三乘方法开之上廉下廉俱用四乘者何也倍积则乘出之数为积者四故也如不倍积廉不用四乘以一二五为隅法亦通减径者何也径乃圆之全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求矢也或不减径作添积三乘方法亦通五为负隅者何也凡平圆之积得平方四分之三在内者七五在外者二五不拘圆之大小毎方一尺虚隅二寸五分其矢得四其虚隅得一合而为五亦升实就法之意也
　　圆径截积求矢法
　　式圆径十三截积三十二问矢各几何曰矢四十二术倍截积三十二得六十四自乘得四千零九十六为实以四乘截积三十二得一百二十八为上廉以四乘圆径十三得
　　五十二为下廉以五为负隅用开三乘方法除之〈详十四卷〉得四为矢倍截积得六十四以矢除之得十六减矢馀十二为
　　弧积离径求矢弧背圆径半径法
　　式弧积一百二十八离径五问矢背圆径半径各几何曰矢八二十四弧背二十九零圆径二十六半径十三术以弧积一百二十八为实倍弧积得二百五十六平方开之得十六为法以法除实得八为矢以矢加法十六得二十四为以矢自
　　乘得六十四以二十四除之得二六零为半与背之差倍之得五零加二十四得二十九零为弧背以折半得十二自乘得一百四十四为实以矢八为法除得十八加矢得二十六为圆径折半得十三为半径即离径五与矢八相并也
　　矢求弧积式术矢相并得三十二折半得十六以矢乘之得一百二十八为弧积又术矢相乘得一百九十二矢自乘得六十四相并得二百五十六半之为弧积
　　矢弧积求式术倍弧积得二百五十六以矢八除之得三十二减矢馀二十四为
　　弧积求矢式术倍弧积得二百五十六以二十四为纵方用带纵开平方法除之〈详十二卷〉得八为矢圆径求离径矢式　术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以折半得十二自乘得一百四十四两自乘相减馀二十五平方开之得五为离径以半径十三减离径五馀八为矢
　　矢圆径求式　术以圆径二十六减矢八馀十八以矢乘之得一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
　　离径求圆径式　术以折半得十二自乘得一百四十四以离径五自乘得二十五相并得一百六十九平方开之得十三倍之得二十六为圆径
　　圆径离径求式术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以离径五自乘得二十五相减馀一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为
　　弧矢内股求勾法
　　式圆径十矢一为勾几何弧几何曰勾三弧六以圆径十折半为五自乘得二十五为羃以半径五减矢一馀四为股自乘得十六为股羃二羃相减馀九平方开之得三为勾倍勾得六为弧又术以
　　圆径自乘得一百为大羃以圆径减倍矢二馀八自乘得六十四为大股羃二羃相减馀三十六为大勾羃平方开之得六为弧半之得三为勾
　　通曰弧矢与勾股相通不惟此也如勾与股较求股是矣半径也股离径也勾半弧也
　　弧矢内勾求股法
　　式圆径十弧六为股几何弧矢几何曰股四弧矢一术以圆径十折半得五为以弧六折半得三为勾自乘得二十五勾自乘得九相减馀十六平方开之得四为股以股减半径五馀一为矢
　　圆径直方阔求两弧矢积法
　　式圆径七十四直方阔二十四为两弧积各几何直方积几何曰弧积各一千一百八十七五直方积一千七百三十二术以圆径七十四自乘得五千四百七十六以三乘
　　之以四除之得四千一百○七为全积以圆径减方阔二十四馀五十折半得二十五为矢用前径矢求弧法得七十又用矢求弧积法得弧积一千一百八十七五倍之得二千三百七十五为两弧积以减全积馀一千七百三十二为直方积
　　通曰矢得径十之一者必六倍于矢矢得径十之二者必四倍于矢矢得径十之三者必三倍于矢矢得径十之四者必倍于矢而又八分矢之三也矢得径十之五者必倍于矢也弧矢者半圆所生也














　　数度衍卷九



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十
　　桐城　方中通　撰
　　较容〈少广之三〉
　　同周异容
　　通曰周不可以论容故方田不以周步为率同周者形必异形异容故异耳
　　式一同周多边形容积大于少边形容积何也少边如甲乙丙三角形甲乙甲丙两腰各五乙丙底六共周十六多边如己庚戊辛四角形己戊庚辛与三角之腰等
　　皆五己庚戊辛与三角之半底
　　等各三共周亦十六以三角用
　　甲丁线折半得甲丁乙甲丁
　　丙两小三角形以四角形己戊庚辛与甲丁较去己壬庚癸存壬戊癸半皆与甲丁等是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也癸辛戊癸壬戊与甲丁乙甲丁丙皆等耳四角形是多一己壬癸小四角形矣式二同周四直角形等边容积大于不等边容积何也等边如甲乙丙丁四直角形毎边六共周二十四不等边如戊己庚辛四直角形两边五两边七共周亦二十四以等边之六自乘得积三十六以不等边之五七相
　　乘得积三十五是不等边之积
　　少一矣又如两边四两边八共
　　周亦二十四而积三十二又少
　　矣两边三两边九共周亦二十四而积二十七又少矣两边二两边十共周亦二十四而积二十又少矣边愈不等积愈少也
　　通曰又如四边皆三周得十二积九两边二两边四周亦十二积八是九之中一藏而无周八无中可藏故少一也右式等边形中有离边积十六不等边形中止有离边积十五可见少一积者非少近边之积乃少离边之中积也
　　式三同周等边四角形直角容积大于斜角容积何也直角如甲乙丙丁四角形毎边五共周二十斜角如戊己丙丁四角形毎边五共周二十以斜角截戊庚丁三角形补己辛
　　丙三角形适足是庚辛丙丁形与戊己丙丁形之容等矣以直角截庚辛丙丁外尚馀甲乙庚辛形乃多于斜角者也
　　式四同周有法形多边容积大于少边容积何也多边如甲乙丙有法形〈边边相等角角相等曰有法也〉不拘边数今为六边
　　毎边四共周二十四少
　　边如丁戊己有法形今
　　为四边毎边六共周亦
　　二十四试于两形外各
　　作一圜而从圜心望一边作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬戊己于癸其甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而以乙丙求周六其乙丙而遍以戊己求周四其戊己而遍则乙丙边固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角则以平理推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例而癸辛子角大于壬庚乙角其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也然则多边直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所容乎
　　式五同周等底三角形等边容积大于不等边容积何
　　也等边如甲丁丙三角形丁甲甲丙
　　丙丁各六共周十八不等边如乙甲
　　丙等甲丙底三角形甲丙六乙甲七
　　乙丙五共周亦十八试引甲丁至戊
　　令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊两线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两边与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两边等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线连之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙等边三角形必大于乙甲丙不等边三角形矣通曰以丁庚甲三角形与乙庚丙三角形相较知乙庚丙之小于丁庚甲即知乙甲丙之小于甲丁丙也式六同周多边形等边容积大于不等边容积何也等边如甲庚丙丁戊巳多边形毎边六共周三十六不等边如甲乙丙丁戊巳多边形甲乙边四乙丙边八他边皆六共周亦三十六作甲丙线视甲庚丙大于甲乙丙则知甲庚丙丁戊巳大于甲乙丙丁戊巳也
　　通曰甲乙辛与辛庚丙两形较知甲乙辛小于辛庚丙即知甲乙丙丁戊巳小于甲庚丙丁戊巳也
　　式七同周多边等边形等角容积大于不等角容积何
　　也通曰等角如子丑寅
　　卯辰午多边等边形毎
　　边十共周六十不等角
　　如甲乙丙丁戊巳多边等边形毎边亦十共周亦六十作丑午线得十八作丑卯线亦得十八丑午既与丑卯等则子申必与寅未等是午子丑与丑寅卯之子角寅角等也又作乙巳线少于十八作乙丁线多于十八乙丁既大于乙巳则甲庚必大于丙辛是巳甲乙与乙丙丁之甲角丙角不等也今以两形叠而较之今巳戊与午辰同线又令子遇甲乙线于子卯遇丙丁线于卯乃视并甲子巳与卯丁戊两小三角形不及子丑寅卯丙乙一曲
　　角形则知甲乙丙丁戊巳形小于子丑寅卯辰午形矣式八同周圆形容积大于有法形容积何也圆形如甲乙丙形周五十四有法如丁戊巳形毎边九共周亦五十四庚为甲乙丙之心辛为丁戊巳之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形与丁戊巳相似〈同为有法之六角形〉而从壬
　　癸切圆于甲者作半径线于
　　庚则庚甲为壬癸线而分
　　壬癸之半又从辛作子丑
　　线则辛丁亦分子丑之半两
　　形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等然乙壬癸丙之周大于圆周而圆周与丁戊巳形同则是乙壬癸丙周原大于丁戊巳周矣夫两形相似而壬癸边大于子丑边则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛是故取甲庚线与半圆周线以作矩内直角形其与圆地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也推此则是圆形大于等
　　周之多边形也
　　通曰圆周五十四圆外六角周六十是多六矣虽与丁戊己六角相似而周不同也
　　今以同周之甲乙丙丁戊己两形相较圆形外有六小三角形圆内有六小弧矢形知小三角之不及小弧矢即知丁戊己之小于甲乙丙也
　　式九同周浑圆形容积大于长圆形容积何也通曰浑圆如甲乙丙丁戊己形周三十六长圆如庚丙癸戊辛己壬乙形周亦三十六今以两形相较长圆加浑圆之上必透
　　乙庚丙己辛戊两半圆形必虚丙丁戊癸乙甲己壬两半圆形以乙庚丙半圆形与丙丁戊癸半圆形相较则乙庚丙形必小以乙甲己壬半圆形与己辛戊半圆形相较则乙甲己壬形必大即知甲乙丙丁戊己形大于庚丙癸戊辛巳壬乙形矣
　　通曰边莫少于三角莫多于浑圆浑圆似乎无角而其角之多不可指说也同周之容其角渐多其容渐大故以浑圆为最大以三角为最小盖大者因角而大也角向外生内必益地虽中距之径少不敌角増之地多也方者不以角论长方与正方同为四角直方与斜方同亦四角一增于中藏之无边一减于斜周之无积故以长方斜方为小以正方直方为大也其不成形者不可㮣举矣
　　同容异周
　　通曰有积于此可方可圆可斜可直周之不一其积实同周既不可以论容容亦不可以论周也
　　式同容少边形周大于多边形周何也少边如甲乙丙形多边如甲巳丙丁形以甲乙丙形分为二得甲丁丙甲丁乙两形以甲巳丙丁形
　　分为二得甲巳丙甲丁丙两形相较皆等容而甲丙长于已丙甲乙长于甲丁是以少边者为大也
　　通曰此与同周异容相反同周以少边为小言容之小也同容以少边为大言周之大也举一可以类推
　　倍大
　　通曰其所容多一倍也
　　同底倍大容积式乙丙底甲乙丙形得戊乙巳丙形之半作甲丁线甲丁乙形与甲戊乙形等甲丁丙形与甲巳丙形等故也
　　通曰下同乙丙底上切甲点作与乙丙
　　平行线得长方形始可
　　不同底倍大容积式通曰以丙乙同底而言则戊巳丙乙形倍于甲乙丙形以丙乙与丙丁不同底而言则甲巳丙丁形两倍于甲乙丙形盖甲戊丙乙形与戊巳丙乙形等则甲丙线分甲戊丙乙为甲乙丙甲丙戊两形是甲乙
　　丙形为戊巳丙乙形之半即为甲巳丙丁形四之一也
　　变形同容
　　通曰此形容积亦可以他形容之盖不变容而变形也六角变四角式六角如甲乙丙丁戊巳有法形欲变为四角形视六角之心于庚自庚至甲乙作直角线为庚
　　辛另作壬癸线与庚辛等作癸
　　子与甲乙丙丁线等则壬癸子
　　丑四角形与甲乙丙丁戊巳六
　　角形之所容等也
　　论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等盖此半边三其三角形照甲乙庚形作分中线其矩线内直角形俱倍本三角形故也
　　通曰半径线作横线半周线作直线两形之容相等则以六角形之全径全周作四角形其容四倍矣然六角之径必须两角中分之辛寅相对为径非角对角之甲丁为径也
　　六角变三角式六角如甲乙丙有法形欲变为三角形视六角之心于丁从丁望甲乙作线为丁戊线另作丁戊线相等作戊己线与甲乙丙全周线等则丁戊庚己四角形倍于甲乙丙六角形今以丁戊庚己分为二得丁己戊三角形与甲乙丙六角形之所容等也
　　论曰以丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等何者戊辛线得甲乙丙
　　之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全形自等矣
　　圆形变四角三角式圆形如甲乙丙形先变为四角形视圆心于丁得半径丁乙线另作丁乙线相等作乙戊线与甲乙丙半周线等则丁乙戊己四角形与甲乙丙圆形之所容等也次变为三角形倍乙戊线为乙庚线与
　　甲乙丙全周等又作丁庚线则丁乙庚三角与甲乙丙圆形之所容等也
　　通曰截丁己辛形为辛戊庚形则丁乙戊己形内虚丁己辛地与丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等则等圆形之四角变为三角等四角之三角自等于圆形也锐觚形变直角立方形式觚形不拘几面如甲乙丙丁
　　戊底其顶巳今变为寅庚
　　直角立方形其底庚辛壬
　　癸得甲乙丙丁戊底三之
　　一其高庚子与觚等则寅
　　庚直角立方形与甲乙丙丁戊己锐觚形之所容等也论曰从立形底诸用与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与庚寅形同底同高又同己甲锐觚之高己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三〈两觚形同高者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍〉则寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三是寅庚全方与己甲觚自等也
　　斜角能含圆形变直角立方形式平面不拘几边其全体可容浑圆切形如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊试从戊壬割圜之半作戊
　　己庚辛圜从壬心望各切圜之
　　点作壬戊为甲乙线壬己为
　　乙丙线壬庚为丙丁线壬
　　辛为甲丁线今变为直角立
　　方午子形其底子辰卯癸得甲乙丙丁体三之一而其高丑子与圆半径等则午子直角立方形与甲乙丙丁全形之所容等也
　　论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚锐顶此各觚皆以其三分底之一及至锐高之数为直角立方形皆与觚所容等又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其高合圆之半径也
　　浑圆变直角六方形式浑圆如甲乙丙形其心为丁作
　　甲丁半径线今变为直角立方戊形
　　在甲丁径及甲乙丙浑圆三之一矩
　　内则戊形与甲乙丙全形之所容等
　　也
　　论曰若言不等谓戊大于浑圆形其较有巳者合以丁为心外作庚辛壬浑圆大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以验之而于庚辛壬内试作有法形勿令切甲乙丙圜自丁心至形边各作线则线必长于
　　甲丁又自丁心至形各角作
　　直线以分此形为几觚其庚
　　辛壬法形诸直线为觚底而
　　线至丁心为觚锐顶试取
　　各觚底三之一及丁线之高以作直角立形与觚等则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等如云以甲丁为高而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体若谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬内之法形亦大于戊形也而况庚辛壬形乎则戊体不大于甲乙丙可知矣
　　又论曰戊形小于甲乙丙浑圆体者其较为己试从丁
　　心再作癸子丑圜小于甲乙
　　丙而勿令小于戊或大或等
　　者以验之于甲乙丙圜内作
　　有法形不令切癸子丑而从丁至甲乙丙各面为线此线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底丁心为觚锐顶而取觚底三之一及底至丁之线以作直角立形与觚等若使以甲丁为高而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必高于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一因即戊大于甲乙丙之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全乎则戊体不小于甲乙丙又可知矣
　　相似
　　通曰形相似而大小不同也相似者可比例也不相似者非比例也
　　并线并形求与并线形同容式有甲乙丙及丁戊己三
　　角形二两形相似因并甲丙
　　丁巳为丁辛一直线于上作
　　直角方形又并甲乙丁戊为
　　丁庚乙丙戊巳为庚辛乃并此二线上所作两方形与丁辛线上方形之所容等也
　　论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度从庚作线与戊己平行又引丁巳长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行则巳壬辛之角形与丁戊巳相似而丁戊巳与甲乙丙相似矣何者巳壬辛角与庚角等庚角与丁戊巳角等巳角又与乙角等而辛角与丁巳戊角及两角俱等壬巳辛角与甲角亦等又巳壬边与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙巳辛与甲丙俱相等故丁辛线兼丁巳甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度庚辛线兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直方形并自相等矣通曰此与勾股求相通也丁庚上方形股羃也庚辛上方形勾羃也丁辛上方形羃也羃之内应有勾股二羃也
　　两形互并求同周式甲乙丙丁两底不等上有甲戊乙丙巳丁三角形二其戊甲戊乙腰与巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于巳角而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等也其法作庚辛线与甲戊戊乙丙巳巳丁四线并等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸
　　平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣夫庚辛并既大于甲乙丙丁并则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙可知也甲乙庚癸癸壬三线毎二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲
　　乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周也
　　通曰甲丑乙大丙寅丁小甲
　　戊乙小丙己丁大以大并小
　　以小并大互并而大小隐矣
　　两形互并较容式甲丙丙戊大小两底上设有甲乙丙丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令
　　于两底上依右法别作甲己丙丙
　　庚戊两形相似而前两三角形并
　　与之等周则甲己丙丙庚戊相似
　　之形并其所容大于甲乙丙丙丁
　　戊不相似之形并也
　　论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从己过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两边与乙己丙三角形之己丙己乙两边等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等又甲己壬三角形之甲己己壬两边与丙己壬三角形之丙己己壬两边等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两边与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两边等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就其上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁〈即辛癸〉上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等〈若移置辛癸于乙壬之下移置壬辛为癸线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为矣〉此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者毎减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙丁戊庚丙形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又毎加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊两三角形并哉其底同其周同四腰俱同则不相似之形并必小于相似之形并也


　　数度衍卷十



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十一
　　桐城　方中通　　撰
　　递加〈少广之四〉
　　循次顺加
　　一　二　三　四　五　六　七　八　九　十　十一
　　超二位加
　　一　三　五　七　九　十一　十三　此奇数超加也
　　二　四　六　八　十　十二　十四　此偶数超加也
　　超三位四位五位加
　　一　四　七　十　十三　十六　十九　此超三位加也
　　一　五　九　十三　十七　二十一　此超四位加也
　　一　六　十一　十六　二十一　二十六　此超五位加也
　　凡超位加各审其母如超二超三四五以至多位者各以所超之数为母其间少者易知多者难定大率以退位减之馀数即母也
　　截三位较
　　不论超与不超凡截位较之其前后二位数必倍于中
　　位数如截一二三并
　　一三为四即倍二也
　　截一三五并一五为
　　六即倍三也截二四六并二六为八即倍四也截二五八并二八为十即倍五也截四八十二并四与十二为十六即倍八也不拘前后随意截较无不合
　　截四位较
　　凡截四位较之则前后二位数与中二位数等如截一
　　二三四并一
　　四为五并二
　　三亦五也截
　　一三五七并
　　一七为八并三五亦八也截二四六八并二八为十并四六亦十也截二五八十一并二与十一为十三并五八亦十三也截四八十二十六并四与十六为二十并八与十二亦二十也
　　通曰截奇位者前后并必倍中位数截偶位者前后并必与中二位等盖所截之位自中向外一损一益中一位者无可并而倍矣中二位者无可倍而并矣
　　截四位逓加逓减较
　　通曰凡截四位数以中二位相加减后一位数馀与前一位数等如截一二三四以二三相并得五减后之一馀必前之四也截一三五七以三五相并得八减后之一馀必前之七也截二四六八以四六相并得十减后之二馀必前之八也截二五八十一以五八相并得十三减后之二馀必前之十一也截四八十二十六以八与十二相并得二十减后之四馀必前之十六也若减前数馀必后数可以互较
　　超加求积法
　　凡加数不论超二超三但系逓加者用此
　　式自一起至十三位得三十七问总积几何曰二百四
　　十七术除首位一不用以次位
　　四与末位三十七并得四十一
　　自四至三十七系十二位即以
　　十二乘四十一得四百九十二半之得二百四十六即十二位总积再加首位一得二百四十七为十三位总积也
　　顺加求积法
　　式下行阔十五问总积几何曰一百二十术取最下二位十四十五相乘得二百一十半之得一百○五即十
　　四以至首位一之积也再并
　　末位十五得一百二十为总
　　积又术以末位十五与下位
　　十六相乘得二百四十半之得一百二十亦合
　　通曰相乘得其倍数者
　　变三角为四角也半之
　　则仍还三角矣如末位
　　系七以六七相乘则末
　　位七在外成甲乙丙方形折半止得六位之积以末位七与下位八相乘则末位七在内成丁戊己方形折半故得七位之积也
　　顺加异首求积法
　　首位不系一数或二或三四为首者用此
　　式首行四下行十四问总积几何曰九十九术以首位
　　四并末位十四得十八为
　　实以首位四减末位十四
　　馀一十加一得十一此即位数也以位数十一乘实十八得一百九十八半之得九十九为总积
　　四面顺加求积法
　　式四面顺加毎面底阔皆十二问总积几何曰六百五十术置底阔十二另以十二加一为十三乘之得一百五十六又以十二加半为十二五乘之得一千九百五十为实以三除之得六百五十为总积
　　长阔顺加求积法
　　式长阔顺加底阔八长十三问总积几何曰三百八十四术以底长十三减底阔八馀五折半得二五又加半得三并长十三为十六以阔八乘之得一百二十八另以阔八加一为九乘之得一千一百五十二为实以三除之得三百八十四为总积
　　通曰四面顺加自一面视之则为顺加以四面合视之则非顺加也其加有二一曰奇数之加一曰自乘之加如顶一加三得四为第二层之积四加五得九为第三层之积九加七得十六为第四层之积总以奇数逐渐加于毎层积上故至十一层应加二十三得一百四十四为第十二层之积此奇数之加也又如一至十二层毎层以自乘数推之首层一自乘仍是一二层二自乘得四三层三自乘得九四层四自乘得十六至十二层十二自乘得一百四十四亦合各层之积此自乘之加也长阔顺加自阔面视之则为顺加自长面视之则为顺加异首而四面合视之其加亦有二一曰逓四加周一曰奇偶加积如异首之首层为五此层加法稍不同先倍五为十又加二得十二为第二层之周此后毎层加四以十二加四得十六为第三层之周十六加四得二十为第四层之周二十加四得二十四为第五层之周如法加至第八层阔八长十二得周三十六此逓四加周也又如首层五加七得十二为第二层之积十二加九得二十一为第三层之积二十一加十一得三十二为第四层之积总以奇数渐加于毎层积上加至第八层得积九十六此奇数加积也若前式阔八长十三首层系六者则偶数加积矣
　　奇偶超加求积法
　　奇数超加求积式末位十九问总积几何曰一百术取末位十九外加一得二十半之得十即一至十九之位
　　数也以位数十自乘得一百
　　为总积
　　偶数超加求积式末位二十四问总积几何曰一百五
　　十六术取末位二十四
　　减半得十二即位数也
　　以位数加一为十三以乘位数十二得一百五十六为总积
　　通曰用前超加求积法亦可
　　超加求首尾数法
　　若多中起数超位逓加但知位数及所超母数或知首而不知尾或知尾而不知首者用此
　　超加求尾数式超八逓加至十二位首位三问尾位数
　　几何曰尾位数九十一
　　术于位数十二内减一
　　存十一与超母八相乘得八十八加首位三得九十一即尾位数
　　超加求首数式超八逓加至十二位尾位九十一问首位数几何曰首位数三术于位数十二内减一存十一与超母八相乘得八十八以减尾位九十一馀三即首位数
　　积和求位数及首尾二位数法
　　若但举总数及超数及首尾和数而不知系几位不知首尾二位数者用此
　　式超六逓加总积三百二十首尾和一百六十问位数
　　及首尾各几何曰四位首位七十
　　一尾位八十九术以总积三百二
　　十为实以首尾和一百六十减半得八十除实得四为位数又以位数减一馀三乘超母六得十八为位母率以位母率并首尾和一百六十得一百七十八半之得八十九为尾位数以位母率减首尾和馀一百四十二半之得七十一为首位数
　　积较求首尾二位数法
　　若但举总数及位数及首尾较数而不知首尾二位数者用此
　　式超六逓加计六位总积四百九十八首尾之较三十问首尾各几何曰首位六十八尾位九十八术倍总积得九百九十六为实以位数六除之得一百六十六以较三十减之馀一百三
　　十六折半得六十八为首位数以首位数加较三十得九十八为尾位数
　　超加求逐位细数法
　　若但知位数总数及超母数而不知毎位细数者用此式超三逓加计六位总积八十七问逐位细数几何曰首位七二位十三位十三四位十六五位十九末位二十一术取位数六除去第六数自一二三四至五并得十五以乘超母三得四十五以减总积八十七馀四十二为实以位数六除之
　　得七为首位数加超母三得十为二位数逓加超母得逐位数
　　通曰以位数减一位如六位者止用五位以超母三逓加之一位应三二位应六三位应九四位应十二五位应十五乃并此五位应得之数为四十五以减总积馀为实亦可
　　又式兄弟九人逓差三岁共二百○七岁问毎人岁几何曰最小一人十一岁逐位加三得毎人岁数术将九人除去一位止作八人自一至八并得三十六乘逓差三得一百○八以减共二百○七馀九十九为实以九人除之得一十一为最小一人之岁数又术通曰以共二百○七岁为实以九人除之得二十三为居中第五人之岁数凡奇数如九人者可以用此若系偶数如前式六位者则以总积八十七为实以六位除之得十四五为居中二位率又以超母三折半得一五为母率以母率减中率馀十三为第三位之数以母率并中率得十六为第四位之数也
　　又式银九百九十六两给八人毎人逓差十七两问毎人几何曰最少一人六十五两术将八人除去一人止作七人自一至七并得二十八乘逓差十七得四百七十六以减银九百九十六馀五百二十为实以八人除之得六十五为最少一人之银数
　　通曰九人八人皆位数也差三差十七皆超母也二百○七岁九百九十六两皆总积也
　　超加求超母及逐位细数法
　　若超位逓加但知系几位及前几位共数后几位共数而不知超母及逐位细数者用此
　　式甲乙丙丁戊己庚辛八位超加甲乙二位共数七十
　　七己庚辛三位共数六
　　十六问超母几何逐位
　　细数几何曰超母三甲位四十辛位十九术以甲乙二位二乘己庚辛共数六十六得一百三十二以己庚辛三位三乘甲乙共数七十七得二百三十一相减馀九十九为实又并甲乙位二己庚辛位三为五减半得二五以减总位八馀五五以甲乙位二己庚辛位三相乘得六乘之得三十三为法以法除实得三为超母并入甲乙共数七十七得八十减半得四十为甲位数若求己庚辛则三分其己庚辛共数六十六得二十二为居中庚位数减超母三馀十九为辛位数自甲向乙推之则逓减超母自辛向庚推之则逓加超母八位细数尽得也　如戊己庚辛四位共数九十四以二分之得四十七即己庚共数并入超母三得五十减半得二十五为己位数也
　　外包〈少广之五〉
　　通曰方者以八包一每层加八即超八逓加也圆者以六包一毎层加六即超六逓加也三角以九包一毎层加九即超九逓加也然其形不同而法又异故専衍之
　　包方法
　　外周求积式外周三十二问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八与外周三十二相并得四十又以四十与外周三十二相乘得一千二百八十为实以三层十六为法除之得八十加中心一得八十一为总
　　积
　　通曰方径一周四今八包一径三
　　周八者何也盖四隅之甲乙丙丁
　　各以两面为一数也若以两面俱作二数则仍是径三周十二矣
　　积求外周式总积八十一问外周几何曰三十二术去中心一在外馀八十以三层十六乘之得一千二百八十为实以二层八〈即超母〉为纵用带纵开平方除之〈详十二卷〉得三十二为外周
　　外周求层式外周三十二问层几何曰除心四层连心五层术以超母八除外周三十二得四即除心之层数也加心一层共五层
　　外周及层数求积式外周三十二除心四层问总积几何曰八十一术除中心一在外以二层八并外周三十二得四十以四层乘之得一百六十减半得八十加中心一得八十一为总积
　　包圆法
　　外周求积式外周三十六问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六与外周三十六相并得四十二又以四十二与外周三十六相乘得一千五百一十二为实以三
　　层十二为法除之得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
　　通曰圆径一周三今六包一径三周六者何也盖其数隐而不见须从径三之外作一大圜切各小圜之边而于大圜之上作
　　甲乙丙丁戊己六段毎段截大圜周与小圜径等是己得周六矣又测子丑寅卯辰午六空处每一空处得小圜半径应折为三段合甲乙丙丁戊己六段而为九则仍是径三周九也但六包一六角而非圆以此为率亦得其成数也
　　积求外周式总积一百二十七问外周几何曰三十六术去中心一在外馀一百二十六以三层十二乘之得一千五百一十三为实以超母六〈即二层〉为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
　　外周求层式外周三十六问层几何曰除心六层连心七层术以超母六除外周三十六得六即除心之层数也加心一层共七层
　　外周及层数求积式外周三十六除心六层问总积几何曰一百二十七术除中心一在外以二层六并外周三十六得四十二以六层乘之得二百五十二减半得一百二十六加中心一得一百二十七为总积
　　包三角法
　　外周求积式外周三十六问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九与外周三十六相并得四十五又以四十五与外周三十六相乘得一千六百二十为实以三层十八为法除之得九十加中心一得九十一为总积
　　积求外周式总积九十一问外周几何曰三十六术除中心一在外馀九十以三层十八乘之得一千六百二十为实以超母九为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周
　　外周求层式外周三十六问层几何曰除心四层连心五层术以超母九除外周三十六得四即除心之层数也加心一层共五层
　　外周及层数求积式外周三十六除心四层问总积几何曰九十一术除中心一在外以二层九并外周三十六得四十五以四层乘之得一百八十减半得九十加中心一得九十一为总积
　　通曰方圆三角皆一法也但超母不同耳用前超加求积法亦可
　　包立方立圆立三角法
　　通曰立方圆三角之外包非逓加也立方以二十六包一三层则九十八四层则二百一十八立圆以十四包一三层则五十四层则一百一十立三角以三十四包一三层则一百三十四层则三百八十一数不相等故不可以超加论也
　　立方面求层式立方面九问层几何曰除心四层连心五层术通曰以面九去中心一存八折半得四即除心之层数也加心一为五层毎层一面加二故二数为一层也
　　立方层求面式立方除心四层问面几何曰九术通曰以四层倍之为八如中心一得九即方面
　　立方面求外包式立方面九问外包几何曰三百八十
　　六术通曰用六方算之先推前后以
　　面九自乘得八十一倍之得一百六
　　十二为前后包数次推左右以面九
　　减二〈近前之边去一近后之边去一〉馀七与面九相
　　乘得六十三倍之得一百二十六为左右包数再推上下以面九减二馀七自乘得四十九〈左右止去前后之边一故七九相乘上下则左右前后之边各去一故七自乘〉倍之得九十八为上下包数并三包数得三百八十六为外包数又术通曰以面九自乘得八十一再乘得七百二十九为全积以面九减二馀七自乘得四十九再乘得三百四十三以减全积馀三百八十六为外包又术通曰以面九减一馀八与面九相乘得七十二四倍之得二百八十八又以面九减二馀七自乘得四十九倍之得九十八相并得三百八十六亦合
　　立圆径层相求式通曰与立方同术毎层一面亦加二故也中心亦作一层
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷十一>
　　三馀六为第三重之周包数减三馀三为第二重之周包数顶重止一数并诸包数得三百六十一为总腰包数再并底包数得五百一十四为外包数若用前超加求积法以第十六重之四十五为末位求得积三百六十一即总腰包数也又术通曰立三角凡四面一面为底其三面皆腰今分为左腰右腰后腰以推之如前术既得底包数一百五十三之后即以底十七减一馀十六用顺加求积法得积一百三十六为左腰包数又以底十七减二馀十五用顺加求积法得积一百二十为右腰包数又以底十七减三馀十四用顺加求积法得积一百○五为后腰包数并三腰包数得三百六十一合总腰包数再并底包数得五百一十四亦合外包数也
　　倍加〈少广之六〉
　　二因加
　　一　二　四　八　十六　三十二　六十四　一百二十八
　　三因加
　　一　三　九　二十七　八十一　二百四十三
　　求倍
　　倍即母也欲求其母者则取挨身小数于本数中减之以二减尽者倍一也以三减尽者倍二也如三十二挨身小数为十六以十六于三十二中减之两回十六减尽矣知是加一倍数又如八十一挨身小数为二十七以二十七于八十一中减之三回二十七减尽矣知是加二倍数
　　截三位较
　　凡截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位之
　　自乘数等如截二四八以二与
　　八相乘得十六四自乘亦十六
　　也如截三九二十七以三与二十七相乘得八十一九自乘亦八十一也
　　截四位较
　　以首尾二位相乘其所得数与中二位相乘之数等如截二四八十六以二与十六相乘得三十二四与八相乘亦三十二也如截三九二十七八十一以三与八十
　　一相乘得二百四十三九
　　与二十七相乘亦二百四
　　十三也
　　位数多者凡偶位步步首尾相乘与挨身之中二位相乘等凡奇位步步首尾相乘与中一位自乘等
　　一倍加求积法〈一倍者二因也〉
　　式自一起加一倍至末位得六十四问总积几何曰一
　　百二十七术取尾
　　六十四倍之得一
　　百二十八于内减首一馀一百二十七即七位总积也用后式之术亦可
　　二倍加求积法〈二倍者三因〉也
　　式自一起加二倍至末位得八十一问总积几何曰一
　　百二十一术取尾八十一于
　　内减首一馀八十以倍母二
　　〈二倍以二为倍母三倍以三为倍母〉除之得四十再并尾八十一得一百二十一为总积
　　通曰倍母必减其因一数故三因以二为倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳
　　半倍加求积法
　　加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半为六也
　　式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九问总积几何曰一百二十八又十六分之十一术取尾四十
　　五又十六之九内
　　减首四馀四十一
　　又十六之九以倍
　　母半数除之〈用奇零除法详笔算〉得八十三又八之三再并尾数得一百二十八又十六之十一〈用奇零加法〉为总积
　　倍加隔位合数法
　　抽中一位前与后合式凡倍加数不论共有几位但就
　　中抽取
　　一位之
　　数自乘视所抽之位至首几位则自乘之数必与此后几位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位则前有四位也其后四位之数必二百五十六矣
　　通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九则所抽之位数自乘与第九位数同矣
　　抽中二位前与后合式于多位之中前抽一位后抽一
　　位相乘则视前抽之位去首
　　几位后抽之位再去几位其
　　数必与此相乘之数合也如前抽第二位其数二后抽第四位其数八相乘得十六前抽之位去首一位则后抽之位再去一位其数亦必十六也
　　倍抽减一前合后式不必算其前后之位但视所抽为
　　第几位倍其位数减一得后
　　应合之位则所抽位数自乘
　　必与后位数合也如抽第三位倍为六减一得五则第三位之四自乘得十六必与第五位之数合也
　　减位倍抽前合后式先排倍数于右次排位数于左须
　　除首位不算自次位作一
　　位排之抽第几位倍之不
　　必减一即得应合之位则所抽位之自乘必与后位数合也如抽第二位倍为四则第二位之四自乘得十六必与第四位之数合也
　　减位并抽前合后式抽两位之互乘则并所抽之两位
　　共为几位即知互乘之数
　　必与其位数合也如抽第
　　一位第三位二与八互乘得十六以一位与三位并为四位则第四位之数必十六也〈互乘即相乘〉以上皆首位起一者
　　异首减位倍抽及并抽式若首位不自一起或二或三四起者则抽一位抽二位其自乘互乘之数皆先取首位之数除之而后倍位并位以求合数之位也如抽第
　　二位其数二十自乘得四
　　百为实以首数五为法除
　　之得八十再倍第二位为四则第四位之数必八十也
　　又如抽第一位第三位其
　　数十与四十互乘得四百
　　为实以首数五为法除之得八十再并第一位第三位为四则第四位之数必八十也
　　截位合前积式凡倍一加者〈即二因〉就中随意截取一位
　　以其所截位之数
　　减一即合所截位
　　以前各位之总积凡自一起者用之如截第七位其数六十四减一得六十三即首位至六位之总积也截位合前后积式如右式六十三为首至六位之总积


　　若以此六位为主加一得六十四自乘得四千○九十六减一得四千○九十五即首至十二位之总积矣盖以六位为主以前管六位以后亦管六位也即以六加一倍亦得十二位
　　通曰凡倍一加者随抽一位于其数内减一馀必为以前诸位之总积也如抽第三位四减一馀三必为以前一位二位之积三也又如抽第四位八减一馀七必为以前一位二位三位之积七也故抽第十三位四千○九十六减一馀四千○九十五必为以前首至十二位之总积也
　　又式借银一两毎日加息一倍至第六十四日问共银几何曰一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十五两术试截四位曰一曰二曰四曰八共积十五加一为十六自乘得二百五十六内减一馀二百五十五即系第八位之积再加一自乘得六万五千五百三十六内减一馀六万五千五百三十五即系第十六位之积再加一自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六减一馀四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五即系第三十二位之积再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十六减一即系第六十四位之积也六十四位即六十四日也
　　通曰不必加减以第五日之数自乘得第九日之数又自乘得第十七日之数又自乘得第三十三日之数又自乘得第六十五日之数减半为第六十四日之积也盖五日加四而为九日倍四为八故九日加八日而为十七日倍八为十六故十七日加十六日而为三十三日倍十六为三十二故三十三日加三十二日而为六十五日也仿此推之可至无穷均输章有三术更觉简易













　　数度衍卷十一
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十二
　　桐城　方中通　撰
　　开平方〈少广之七〉
　　珠算开平方法
　　通曰四算中惟尺算不便于开方而珠笔筹法亦不同故分衍之
　　式横叁百贰十肆问平方一靣几何曰十八术列实于卯辰己下约初商一十置子位亦置未位为方法左右相呼曰一一如一除实一百卯位叁变二馀实二百二十四以方法一十倍为二十为廉法变未位一为二约次商八置丑位亦置申位为隅法先左右二八相呼曰二八一十六除实一百六十卯位实尽辰位贰变六馀实六十四次左右八八相呼曰八八六十四
　　除实六十四辰己二位实尽则所商之一十八即方靣也
　　通曰次商与初商不同须视实内除廉外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外馀实尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止馀六十三则不用八而用七矣
　　归除开平方式积五万四千七百五十六问平方一靣几何曰二百三十四术置实盘中初商二百置实首左位另置二百于右左右相呼曰二二如四除实四万馀实一万四千七百五十六以右二百倍作四百为法归除之呼曰四一二馀二逢四进一十得三十为次商置右四百之下呼曰三三如九除实九百馀实一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十为法归除之呼曰四一二馀二逢八进二十得四为三商置右六十之下呼曰四六二十四除实二百四十呼曰四四一十六除实十六实尽变为二百三十四即方面也
　　笔算开平方法
　　式积贰千壹百壹十㭍万捌千肆百○肆问平方一靣几何曰四千六百○二术列实八位从末位肆下作点隔位一点共四知有四回商数也实首点在次位以贰壹相连作二十一者然也应用自乘有几十几数者为商今初商用四注初点下亦纪格右相呼四四一十
　　六于实贰千壹百内除一千六百
　　抹去贰壹变伍完首叚矣馀实伍
　　百壹十㭍万捌千肆百○肆第二
　　叚实至次止曰伍壹㭍先立廉
　　法倍初商四为八注实壹下空次
　　点一位以待隅法乃商伍十壹内
　　〈作五十一〉有六回八即用六为次商纪初商四右亦注六于次点下为隅法如八十六者然也乃与次商相呼先呼六八除实四百八十抹去伍壹变叁又呼六六除实三十六万抹去叁㭍变壹完第二叚矣馀实壹万捌千肆百○肆第三叚实至三点止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二为廉法注九于实壹下二于实捌下空三点一位以待隅法壹内不可除九遇此则知商有○位竟作○于商数四六之右以作第三商完第三叚矣馀实如故第四叚实至四点止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十为廉法注九于实捌下二于实肆下○于实○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内〈作一十八〉有二回九即用二为四商纪商数四六○之右亦注二于四点下为隅法如九千二百○二者然也乃与四商相呼先呼二九除实一万八千抹去壹捌又呼二二除实四百抹去肆又呼二二除实四数抹去肆实尽完四叚矣则格右之四六○二即方面四千六百○二也
　　通曰初商点在实首者三以前用一八以前用二九则当用三点在实首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九满百则点又在实首矣
　　用命分式　术倍前商数加一为母馀实为子依法命之如设积六十开方初商七除实四十九馀实十一今倍前商七作十四加一得十五为母以馀实十一为子命曰七又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之用奇零整带零与整带零乘法〈详笔算下〉得二二五之一三四五六以一三四五六为实以二二五为法除去四十九回二二五馀二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十回二二五如亦归整并四十九为五十九又二二五之一八一则不及原积六十矣故曰缩若倍初商不加一为母命为十四之十一试自之得六十又一九六之一四一则又过原积而盈矣举成数可也又术如开方不尽实又欲得其小分则通为小数须于馀积之右加两○化一为百也如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四○化一为万开得根数命为一千分之几分也如设积六十巳商七不尽实十一欲得其细分于右加六○是十一化为一千一百万也如法开之又得商七四当命为一千分之七十四也
　　奇零开平方式　术凡开方不尽实用命分第一术又不尽者用盈不足对稽可也如实二十者初商四除实十六馀实四依命分法立子母化初商用整带零与整带零乘法得八十一之一千六百以小除大当以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一〈一千六百内有十九回八十一馀六十一〉又不尽者八十一之二十必须另立一法〈满八十一则归整一数止得六十一尚馀二十〉用盈不足对稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五对前四又九九之四〈前四者初商也九之四者倍初商加一为母九馀实为子曰九之四〉而以少减多〈以五为原数以四又九之四为减数〉用奇零整内减整及零法馀九乏五乃以前四零九之四倍之为八零九之八并入减馀九之五除去整八在外
　　以九之五与九之八相并用奇零同母加法归整得一
　　零九之四乃以在外之整八并
　　入一为九得九零九之四也又
　　以此九零九之四为除数以前馀未尽八十一之二十〈馀实也〉为原数用奇零整带零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又
　　以此除得数与前九之四十相并〈九之四十者倍初商四加一共九为母馀
　　实四为子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再
　　并子四得四十是以四零九之四化为九之四十也〉用奇
　　零异母加法子母互乘并母并
　　子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也归整以少除多母数少为法除二十七万七干○二十得四尚馀二万九千一百六十是为四零六一九六五之二九一六○也约之得十七分之八乃知实二十者开方得四零十七分一之八也
　　通曰以开方得四化之每一数作十七共化为六十八
　　又并入八得七十六为平方一面
　　之数也自乘得五千七百七十六
　　为方积实二十亦化之每一数作
　　十七之自乘共化为五千七百八十较之方积则多四也即以初商四后之馀实四化为一千一百五十六以二廉及隅较之先并八与十七相乘之数八得一千○八十八又并八自乘共得一千一百五十二又少四也则馀实有终不能尽者矣
　　又术以四开二十不尽今用四零二之一以求之倍初商四得八为母以不尽实四为子曰四零八之四约之
　　得四零二之一化之得二之九
　　〈以四乘母二得八加子一共九故化为二之九〉母子各
　　自乘得四之八十一归整以母四除子八十一得二十零四之一则实不足矣另置
　　四之一为实将前四零二之一倍数得九为法除之以九立一为母曰一之九倒位曰九之一与四之一相乘母乘母子乘子得三十
　　六之一又将三十六之一与前二之九相并两母相乘得共母七十二母子互乘得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相减于三百二十四内减二馀三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二为法除三百二十二归整得四零七十二之三十四约为四零三十六之一十七
　　筹算开平方法〈见前筹算〉
　　平方积较和开法
　　平方长阔不等者以长阔相乘为实积以长阔相减为较以长阔相并为和
　　积和求较式积八百六十四长阔和六十问长多阔几何曰十二术以和六十自乘得三千六百四因积得三千四百五十六相减馀一百四十四平方开之得一十二为长多于阔之较
　　通曰积者勾股相乘之直积也此乃积与勾股和求勾股较之法
　　积较求和式积八百六十四阔不及长十二问长阔和共几何曰六十术四因积得三千四百五十六不及十二自乘得一百四十四相并得三千六百平方开之得六十为长阔和
　　通曰此乃积与勾股较求勾股和之法衍此二式以起后法
　　平方积较求阔
　　积与较求阔者其长之积多于阔若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二一以较为纵方并纵入方曰带纵开平方一以较为减积以方乘减曰减积开平方
　　一带纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问阔几何曰二
　　十四术列实定点以带纵壹十贰随
　　实首列之初商二纪格右亦列首点
　　下并纵首壹为三抹二壹而注三相
　　呼二三除实六首位实捌变二又呼
　　二贰除实四次位实陆变二完首馀实二百二十肆倍初商二为四作廉法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以廉四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末点下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位馀实二又呼四六除实二十四次位馀实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即阔二十四也
　　又式　术如实贰十叁万○肆百纵㭍百贰十初商可用四但纵首㭍并四为十一实首贰叁无四十四可除
　　遇此须减商作二〈三亦多故用二〉纪格右亦注
　　首点下并纵㭍为九抹二七而注九
　　相呼二九除实一十八抹贰叁变五
　　又呼二贰除实四五变四○变六完
　　首叚馀实四万六千肆百倍初商二作四为廉法列实○下又列纵于廉下次商四纪格右亦注次点下为隅法以廉四并纵㭍为十一抹四㭍而注一左位又注一〈此十也〉以隅四并纵贰为六抹四贰而注六乃以次商四呼首一曰一四除实四抹四又呼次一曰一四除实四六变二又呼四六除实二十四二肆皆抹去实尽尚有末点未开当于格右纪○以作三商则知直方阔二百四十长九百六十也
　　通曰以阔并纵得长也
　　又式　术若实数首位寡而带纵数多不能开者虽点在首位亦退一位列商纵而减一商也如实壹万陆千壹百贰十捌带纵㭍十贰数多即减一商〈三点止两商也〉退列纵于次点下起初商九纪格右亦注次点下并纵㭍为十六抹九㭍而注六左位注一相呼一九除实九抹
　　首壹陆变七又呼六九除实五十
　　四七变一壹变七又呼贰九除实
　　一十八七变五贰变四完首倍
　　九得一十八为廉法列之退列纵
　　次商六纪格右亦注末点下为隅法以廉八并纵㭍为十五抹八㭍而注五左位进一并廉一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得阔九十六长一百六十八又式　术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所点叚位开之如实叁万捌千肆百带纵贰百首位叁自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叁完首倍一作二为廉注次位并纵贰为四次商二纪右注次点下为隅呼除实尽尚剩一点未开商后加一○得阔
　　一百二十长三百二十
　　又式　术若点开位少而带纵位反多〈加三点该百而带纵至千之类〉以初商置首点下以带纵大数进左列之〈必首叚系二位者方有此例〉如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叁十遇此则列纵亦须以百随百而进千矣初商一纪右注首点下
　　次纵伍当随一下列之〈初商一百也次纵伍亦百
　　也〉首纵壹进列首位下以初商一并
　　纵伍为六先与纵壹呼一壹除实壹
　　再呼一六除实六再呼一三除实三
　　完首倍初商一作二为廉注三位实下带纵壹退从次位起列伍于廉二下并为七次商二纪右注次点下并纵叁为五依法与次商呼除又加一○得阔一百二十长一千六百五十
　　又式　术带纵并商数有共一十者进位再并可也如
　　实㭍万贰千纵肆百捌十点在
　　首位初商一纪右注首点下纵
　　首随列以一并纵肆为五呼除
　　毕馀实一万四千倍初商作二为廉注次位纵亦次列并二肆为六次商二纪右注次点下先呼二六除十二首位馀实一抹去次位馀四变二然后以商二为隅者并纵八为一十进位注一本位注○乃呼一二除二实尽又加一○得阔一百二十长六百
　　通曰既列次商带纵先以廉二并纵肆为六又以隅二并纵捌为一十进一于所并六下以一六并为七然后以次商二与七相呼二七除一十四抺首位馀实一次位馀实四亦便
　　又式　术若实数纵数商数俱多者杂糅易淆务须先将带并之数逐一归并各注本位之下乃以呼除始不
　　紊乱如实壹十陆万
　　陆千肆百陆十肆纵
　　壹千○捌十捌初商
　　一纪右注初点下三
　　点知初商系百位以纵百位○随列初商下列纵壹千于进位初商一与纵○无并仍是一先以右一与纵壹呼一壹除一又以右一与商一呼一一除一又以右一与纵捌呼一捌除八又以右一与纵尾捌呼一捌除八完首馀实四万七千六百陆十肆倍初商得二为廉注三位实下退列纵数以相并廉二与纵○无并仍是二次商三纪右注次点下并纵捌为一十一改三捌为一进位○下注一又改二○一为三并毕须以最下横列之壹三一捌为主皆与右三相呼除实也除毕完次叚馀实八千一百二十肆倍前商一三作二十六为廉空末点位以待隅注而以六注第五位实下二注第四位实下退列纵数以相并先以廉六并纵捌得一十四注四于捌下进位注一又以廉首二并所进一得三改二○一为三三商六纪右注末点下并纵末捌得一十四改六捌为四进位四加一改作五并毕以最下横列之壹三五四为主皆与右六相呼除实也除毕实尽得阔一百三十六长一千二百二十四
　　通曰凡图最上为馀实最下为并纵并纵者并廉隅纵为开方之法数也右七式用前积较求和之法得和减纵半之即阔然其变不可不知耳求长亦然
　　二减积开平方法
　　减积者于实内减股之积以就其方也〈股即长也〉式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问阔几何曰二
　　十四术列实点位另将不及壹
　　十贰为减积以商数乘之而列
　　乘数初商二纪右注首点下乘
　　减积得贰十肆随位列之相对减原积首位实捌减贰馀六次位实陆减肆馀二馀实六百二十肆然后以初商呼除二二除四首位馀实六变二完首叚馀实二百二十肆倍初商二得四为廉注次位实下次商四纪右注末点下为隅以隅乘减积得肆十捌亦随位列之相对减馀实首次两位馀实二十二减肆首位二变一次位二变八次三両位馀实八十肆减捌次位八变七三位肆变六共馀实一百七十六然后以次商与廉隅呼除四四除一十六抺首位馀实一次位七变一又呼四四除一十六抺次位一三位六实尽得阔二十四通曰凡定商数须减积后馀实视有商数之自乘否勿以原实定商也初商列初点下初乘首数亦随初点下列之二叚廉退初商一位则次乘亦退一位也
　　平方积较求长
　　积与较求长者其阔之积少于长若非益积以补阔则当损其法之长也求法有二以较为负纵乘上商以添积曰负纵益积开平方以较为减纵而以负纵减方法曰带减纵开平方
　　一负纵益积开平方法
　　式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问长几何曰三
　　十六术列实点位另列不及壹
　　十二为负纵而初商则约所増
　　负纵之乘商之如首位捌开法
　　宜用二因有负纵之乘乃商三
　　纪右注首位下为方法而以乘负纵得叁十陆注叁于首位陆于次位以并原积捌陆〈作八十六〉得一二二〈作一百二十二〉次位陆变二首位捌变二进位置一〈实首左位〉益积得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚馀实三百二十肆倍三作六为廉注次位次商六纪右以乘负纵得㭍十贰退位列之〈退初乘位〉以并馀积三二肆〈作三百二十四〉得三百九十六末位肆变六次位二变九另置一算为负隅以次商六乘之仍得六为隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六实尽得长三十六
　　通曰甲戊己丁形原积八
　　百六十四也戊乙丙己形
　　益积四百三十二也甲戊
　　阔二十四甲乙长三十六
　　戊乙乃长阔之较十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股
　　即长也初商三十自乘得九百
　　二廉阔六长三十又各相乘得
　　一百八十隅六自乘得三十六
　　又式　术直积贰十叁万○肆
　　百长阔较㭍百贰十列实点位
　　列较为负纵初商九〈九百〉纪右注
　　首点下为方法以乘负纵得陆
　　肆捌〈六万四千八百〉以益积随首列之共加得实为八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚馀实六八肆○○倍九得一十八为廉注八于次点之进位注一于首点下次商六〈六十〉亦乘负纵得肆叁贰〈四千三百二十〉以益馀积退位列之共加得馀实为一一一六○○又以次商六乘负隅一仍得六注本叚点下为隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六实尽尚馀一点作○得长九百六十
　　二带减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆阔不及长壹十贰问长几何曰三十六术列实另列不及壹十贰为负纵初商三〈三十〉纪右以负纵减之馀一十八挨注首点下为方法先呼三八除二十四八上陆变二进位捌变六后呼一三
　　除三一上六变三〈先呼一三亦可〉馀实三百二十肆乃于另列初商三右加○〈作三十〉以并方法得四十八为廉注次位次商六纪右注末点下为隅而并入廉内得五十四六八并改四进位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四实尽得长三十六　若商数减后首位多于实首亦照例退位
　　通曰初商三十减纵得十八相乘除积五百四十次商六并方法为廉四十八〈二廉共长四十八也〉相乘除积二百八十八隅六自乘除
　　积三十六
　　又式有两方共积若干第云以小方之一靣乘大方之一面共若干问两方面各几何者如大小二方共积六千五百二十九以小方大方各一边相乘得叁千壹百贰十先倍两方乘积得六千二百四十以减共积馀二百八十九平方开之得较壹十㭍乃列二方乘数为实以较为负纵初商六〈六十〉纪右以负纵减之馀四十三注初点下为方法呼初商四六除二十四三六除
　　一十八馀实五百四十又于初商六右加○〈作六十〉以并方法得一百○三为廉注下〈以末三齐次点止〉次商五纪右注尾点为隅并入廉内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十实尽得大方面六十五以较一十七减之得小方面四十八
　　通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁边乘丁癸边得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以减共积乙壬戊癸甲磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而
　　后减之馀乙子丑辛形为较羃也甲乙六十五减甲子四十八馀乙子一十七
　　平方积和求阔
　　积与和求阔者以和为纵方一为负隅和并一长一阔积得一长而少一阔故用一为负隅其法有二或益隅于积乘负隅为方法又乘方法以益积曰带纵益隅开平方或减隅于积乘负隅以减纵命馀纵以除实曰带纵负隅减纵开平方
　　一带纵益隅开平方法
　　式直积捌百陆十肆长阔和陆十问阔几何曰二十四
　　术列实以和为带纵初商二〈二十〉纪右
　　注首点下自乘得四百为负隅以益
　　积共加得实一千二百陆十肆乃以
　　初商呼带纵曰二陆除实一千二百
　　馀实陆十肆倍方得四为廉注次位次商四纪右注尾点为隅以次商乘廉四十得一百六十又以次商乘隅四得一十六皆并入馀实共加得馀实二百四十乃以次商呼带纵曰四陆除实二百四十实尽得阔二十四
　　通曰甲乙丙丁形原积也丁丙
　　己戊形益隅方积也子方初商
　　二十自乘得四百丑寅二廉各
　　长二十与次商四相乘各得八十共为一百六十卯隅四自乘得十六共益积五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四为阔乙丙三十六为长乙至己共六十为和
　　又式　术又如直积贰万壹千陆百肆十捌长阔和贰
　　百玖十陆列实点位置和为
　　带纵初商一〈一百〉列右为初方
　　法注首点下自乘得一万以
　　益积首位贰变三乃以初方
　　法呼带纵除实一贰除二首位三变一一玖除九次位壹变二进抺一一陆除六三位陆变○馀实二千○肆十捌倍方得二为廉注退位次商三纪右为次方法注次点下为隅廉隅共二百三十以乘次方法三十得六千九百益入馀积三上○变九二上二变八共加得馀实八千九百肆十捌乃以次方法呼带纵贰三除六二上八变二三玖除二十七三上九变二进抺二三陆除一十八四位肆变六进抺二馀实六十捌又倍次方法得六为次廉注退位〈第四位也〉并入前廉二百得二百六十三商二纪右为三方法注尾点下为隅次廉隅共二百六十二以乘三方法二得五百二十四益入馀积尾捌变一进位六变九又进位加五共加得馀实五百九十二乃以三方法呼带纵二贰除四二上五变一二玖除一十八六上九变一进抺一二陆除一十二实尽得阔一百三十二
　　二带纵负隅减纵开平方法
　　式直积捌百陆十肆长阔和陆十问阔几何曰二十四
　　术列实点位置和为纵方初商二纪
　　右注首点下以乘负隅一仍得二为
　　方法以减纵陆○馀四○随首位注
　　之呼初商二四除八抺捌馀实陆十肆倍方二得四为廉注退位亦乘负隅一仍得四〈四十〉以减纵陆○馀二○注下次商四纪右注末点下为隅又以隅四减馀纵二十馀一十六附注乃与次商相呼一四除四四六除二十四实尽得阔二十四　或初商除实讫即以初商再减馀纵以所馀为纵方以次商再减为下法亦可盖倍初商为廉以减原纵与以初商减馀纵之馀数相同即可不立廉矣
　　通曰甲乙癸子全形乃和与阔相乘之形也内甲乙丙
　　己戊丁磬折形为原积此外
　　皆负积也初叚减壬癸纵二
　　十次叚减丙辛纵二十又减
　　辛壬纵四馀乙丙纵十六乃原积形内之数故不减今以原积形内之干形补原积形外之坤形而成甲乙辛寅形得阔二十四长三十六
　　又式　术列实陆万玖千叁百陆十长阔和㭍百捌十贰为纵初商一〈一百〉乘负隅一仍得一以减纵㭍馀六随首列馀纵六捌贰与初商相呼一六除六一捌除八一
　　贰除二馀实一千一百陆十倍方得
　　二为廉〈二百〉注退位以减纵馀五捌贰
　　退位附列而纵馀五多于实馀一遇
　　此纪○于右作次商倍方一○得二
　　为廉〈二百〉注次点下以减纵馀五捌贰退位附列三商二注尾点为隅以馀纵与次商相呼二五除一十二捌除一十陆实尽得阔一百二十
　　通曰纵尾贰须先以隅二减之纵馀止五捌○也又式　术若以积与虚长阔共若干而欲求其阔及长者如直积捌百陆十肆三长五阔共二百二十八求阔者以三乘直积得贰千伍百玖十贰为实〈三长原有三积故以三乘〉五为负
　　隅〈暗添五阔之积〉以共贰百贰十捌为带纵列实点位初商二乘负隅五得一十〈一百〉以减纵首贰馀一随首列馀纵一贰捌与初商相呼一二除贰二贰除四二捌除一十六馀实三十贰又以初商二乘负隅五得一十〈一百〉减馀纵首一止馀纵贰捌〈即倍方为廉也〉次商四乘负隅五得二十再减馀纵贰十止馀捌注末点下以呼次商四捌除三十贰实尽得阔二十四
　　如右式求长者以五乘直
　　积得肆千叁百贰十为实
　　以三为负隅以共贰百贰
　　十捌为带纵初商三以乘负隅三得九〈九十〉以减纵馀纵一百三十捌挨注首位下与初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四馀实一百八十复以初商三乘负隅三得九〈九十〉以减馀纵止馀四十捌次商六亦乘负隅三得一十八以减馀纵止馀三十注馀实下与次商相呼三六除一百八十实尽得长三十六
　　又式　术又有以积与虚长阔和较共若干求阔及长者如直积八百六十四一长二阔三和四较共叁百壹
　　十贰数乃约三和自具三长
　　三阔以并一长二阔共四长
　　五阔又以四较益阔为四长
　　共得八长而馀一阔求阔者以八长乘直积得陆千玖百壹十贰为实以一阔为负隅以共数为带纵初商二以乘负隅一仍得二〈十也〉以减纵馀纵二百九十贰列实下以呼初商二二除四二九除一十八二贰除四馀实一○七贰又以初商二乘负隅一得二十以减馀纵止馀二百七十贰次商四又乘负隅一得四以减馀纵止馀二百六十八列馀实下与次商相呼除实尽得阔二十四　求长者以一阔乘直积为实以八长为负隅也当用翻法详后
　　又式　术又有以虚长虚阔约其子母共若干与积若干求长阔者如直积二千三百五十二只云长取八之五阔取三之二并得六十三以两母互乘三八得二十
　　四以乘并得之六十三得壹千
　　伍百壹十贰为带纵而以长母
　　八乘阔子二得十六为阔率以
　　阔母三乘长子五得十五为长
　　率则知此带纵数内具有长十五阔十六也求阔者以长一十五乘直积得叁万伍千贰百捌十为实以阔一十六为负隅初商四〈十也〉乘负隅得六百四十以减纵馀纵八百七十贰注实下与初商相呼四八除三十二四七除二十八贰四除八馀实四百又以初商所乘隅算之六百四十减馀纵止馀二百三十贰次商二乘负隅得三十二亦减馀纵止馀二百列馀实下与次商相呼二二除四实尽得阔四十二以除直积二千三百五十二得长五十六
　　通曰以长十五乘积为实有三点而直积之二三五二止两点仍以直积定商位故知初商为十也馀纵列位常随实首今纵八多于实首三故照例退位
　　平方积和求长
　　积与和求长者原积有长阔相乘而无长自乘宜损阔以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减馀者以除积而积常不足则翻以积减纵而馀为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而馀纵三者俱负乃以负纵约馀负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方也
　　带纵负隅减纵翻法开平方法
　　式直积捌百陆十肆长阔和陆十问长几何曰三十六术列实以和为纵方一为负隅初商三乘负隅仍得三十以减纵馀三十列实下与初商相呼三三应除九百
　　〈三十其三十也〉而实数不足遇此则翻列九
　　百于原积之上而以原积捌百陆十
　　肆减之馀负积三十六即为馀实再
　　以初商乘负隅之三十减馀纵减尽乃约馀实得次商六以乘负隅一仍得六注尾点呼次商六六除三十六
　　实尽得长三十六
　　通曰己丙丁戊形初商馀纵相乘之
　　九百也内减去己壬庚辛丁戊磬折
　　形原积八百六十四馀壬丙辛庚形
　　三十六在原积之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得阔二十四长三十六
　　又式　术如直积叁千肆百伍十陆长阔和壹百贰十
　　求长者列实以和为纵一为负隅
　　初商七乘负隅仍得七十减纵馀
　　五十与初商相呼五七应除三千
　　五百而原积不足乃翻以三千五
　　百列上而以原积减之馀四十四为馀实又以初商所乘之七十减馀纵而馀纵亦不足乃翻以馀纵五十减初商乘数七十馀二十为廉注三位下而纵又为负次商二注尾点为隅廉隅共二十二呼次商除之实尽得长七十二
　　又式　术有虚立长阔和较求长者如直积捌百陆十肆一长二阔三和四较共叁百壹十贰依前法衍得八
　　长一阔以一阔乘直积为实
　　捌长为负隅共数为纵方列
　　实初商三乘隅捌得二百四
　　十以减纵馀七十贰列实下呼初商三七应除二千一百六十而积不足乃翻以二一六列上〈二乃千数故进位〉而以积减之馀负积一千二百九十六即为馀实又以初商所乘之二百四十减馀纵而馀纵亦不足亦翻以馀纵七十贰减之馀负纵一百六十八次商六乘负隅捌得四十八又并入负纵一百六十八得二百一十六列实下以呼次商除之实尽得长三十六
　　通曰凡减法原以小减大故宜用翻法也
　　平方带纵诸变
　　纵方之术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷此外有积与二阔较及长阔较求阔者皆以错综为用以取其条理也衍之于左
　　一带纵减积开平方法
　　式三广田积贰千肆百陆十伍步云中广不及南广八
　　步亦不及北广三十六步又不及
　　正长六十七步问三广各几何长
　　几何曰中广十八步南广二十六
　　步北广五十四步正长八十五步
　　术列积为实并不及二广共四十四以四除之得壹十壹为带纵以不及长陆十㭍为减积初商一〈十也〉并带纵得二十壹随首点列之为方法以乘减积得一千四百○七依千百位列实下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七馀实一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚馀实八四八倍初商一作二为廉并带纵壹十壹及减积陆十㭍共九十八为方法注退位次商八注末点并方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八实尽得中广一十八各加不及合问
　　通曰初叚以乘减积数依列位并方法为一六一七呼除亦便
　　二减积带纵负隅并纵开平方法
　　式大小二方共积七千五百九十二大方面较小方面
　　多二十八问大小方面各几何
　　曰大方面七十四小方靣四十
　　六术较自乘得七百八十四以
　　减积馀陆千捌百○捌为实倍较得伍十六为带纵二为负隅初商四乘负隅二得八十并纵共一百三十六为方法注积下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四馀实一三六捌倍初商作八十并初方一三六共二百一十六为廉注退位次商六亦乘负隅二得一十二为隅并入廉内共二百二十八呼次商除之实尽得小方靣四十六加较得大方靣七十四
　　又式　术如大小三方共积四千七百八十八大方面
　　多小方靣三十中方面多小
　　方面十二〈大方面多中方面十八也〉求各
　　面者以较三十自乘得九百
　　以较十二自乘得一百四十四相并得一千○四十四以减共积馀叁千㭍百肆十肆为实并二较得四十二倍得捌十肆为纵以三为负隅初商二乘负隅三得六十并纵共一百四十四为方法列实下呼初商一二除二二四除八又二四除八馀实八百六十肆倍初乘隅六十得一百二十为廉并纵得二百○四注退位为方法次商四乘负隅三得一十二为隅并方法共二百一十六呼次商除实尽得小方靣二十四加较十二得中方面三十六又加较十八得大方面五十四
　　通曰负隅用二者二方故也用三者三方故也
　　三隅算开平方法
　　凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算以求之
　　式方圆共积二千二百六十八方面圆径相等问靣径
　　俱几何曰方面圆径俱三十六
　　术四乘原积得玖千○㭍十贰
　　为实列七为隅算初商三乘隅
　　算七得二百一十为方法呼初商二三除六一三除三馀实二七㭍贰倍初商得六十为廉次商六乘隅算七得四十二为隅又以次商六乘廉六十得三百六十并隅得四百○二又并入廉六十共四百六十二呼次商除实尽得方面圆径俱三十六又术以四乘原积得九千○七十二并方四圆三得七为法除之得一千二百九十六为实平方开之得三十六更捷
　　四带纵隅益积开平方法
　　式方不知积但以长乘一长二阔三和四较之共数得肆万肆千玖百贰十捌长阔较贰十肆问长几何曰七
　　十二术列所乘共数
　　为实置较为益纵约
　　三和得三长三阔以
　　并一长二阔得四长
　　五阔又并四较取四阔为长总得八长一阔共九叚以九为负隅初商七乘负隅九得六百三十为隅法又以初商七乘益纵二十四得一千六百八十注实下以益积共加得实肆万六千六百○捌却以隅法六百三十注实退位与初商相呼六七除四十二三七除二十一馀实二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十为方法注实退位次商二又乘负隅九得一十八为隅法另以次商二乘益纵二十四得四十八并入馀实共加得馀实二五五六却以方隅并得一千二百七十八与次商相呼除实尽得长七十二
　　五带纵负隅减纵开平方法
　　同右法或损长以就之则用此也
　　式一长二阔三和四较以长乘之得肆万㭍千贰百壹十贰长阔较二十八问长几何曰七十四术列实较为
　　纵如右式推得九为负隅初商
　　七乘负隅九得六百三十为方
　　法内减带纵二十八馀六百○
　　二退位注呼初商六七除四十
　　二二七除一十四馀实五○七贰倍方法六百三十得一千二百六十内减带纵二十八馀一千二百三十二为廉列馀实下次商四乘负隅九得三十六为隅法并廉共一二六八呼次商除实尽得长七十四
　　六减积带纵隅益积开平方法
　　又有同前不知积知较而以阔乘其一长二阔三和四较之共数得若干求长者用此
　　式设有一长二阔三和四较之共数以阔乘之得二万
　　九千九百五十二其较二十
　　四问长几何曰七十二术以
　　较自乘得五百七十六以减
　　原乘积馀贰万玖千叁百㭍
　　十陆为实较为益纵六为隅算初商七乘隅算六得四百二十为隅法注实下又以初商七十乘益纵二十四得一千六百八十以益原实得三万一千○五十陆乃以隅法呼初商四七除二万八千二七除一千四百馀实一千六百五十陆倍隅法四百二十得八百四十为廉次商二乘隅算六得一十二为隅法另以次商二乘益纵得四十八以益馀实得一千七百○四乃并廉隅二法共八百五十二注馀实下呼次商除实尽得长七十二
　　七带纵负隅减纵益积开平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式设有一长二阔三和四较之共数以阔乘得贰万玖
　　千叁百肆十捌长阔较二十
　　八问长几何曰七十四术列
　　实较为纵九为负隅〈如前法〉初
　　商七乘负隅得六百三十为
　　方法内减纵二十八馀六百
　　○二注实下又以乘纵得一万六千八百五十六以益原实得四万六千二百○四为实乃以初商与馀方法六百○二相呼六七除四万二千二七除一百四十馀实四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十减纵馀一千二百三十二为廉次商四乘负隅得三十六为隅法以乘纵得一千○八以益馀实得五千○七十二为馀实并廉隅二法共一千二百六十八与次商相呼除实尽得长七十四
　　八带纵廉开平方法
　　式一长二阔三和四较以阔乘得贰万玖千玖百伍十贰长阔较二十四问阔几何曰四十八术列实减较之半得一十二为纵廉而以初商乘之初商四十为方法以乘纵廉得四百八十又并初商得五百二十退位注实下呼初商五四除贰万二四除八百馀实玖千一百伍十贰倍所乘纵廉四百八十为九百六十倍方法四十
　　为八十相并得一千○四十为方法次商八为隅以乘纵廉十二得九十六再并入方隅共一千一百四十四注实下呼次商除实尽得阔四十八
　　九带纵廉负隅开平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式一长二阔三和四较以阔乘得贰万玖千叁百肆十
　　捌长阔较二十八问阔几何曰
　　四十六术列实推得共八较九
　　阔用九为负隅以八乘较得二
　　百二十四为纵廉初商四乘负
　　隅九得三百六十为方法并纵廉共五百八十四注实下呼初商五四除贰万四八除三千二百四四除一十六馀实五千九百八十捌倍方法三百六十为七百二十为廉并纵廉共九百四十四次商六乘负隅九得五十四为隅再并入廉并纵廉之九百四十四得九百九十八注实下呼次商除实尽得阔四十六
　　十带纵方廉开平方法
　　式一长二阔三和四较以长乘得肆万肆千玖百贰十
　　捌长阔较二十四问阔几何
　　曰四十八术列实以较为纵
　　方推得八长一阔共九倍
　　九为一十八作纵廉初商四
　　十为方法乘纵廉十八得七百二十并入方法四十共七百六十又并入纵方二十四共七百八十四注实下呼初商四七除二万八千四八除三千二百四四除一百六十馀实一万三千五百六十捌倍纵廉乘并之七百六十为一千五百二十并入纵方二十四共一千五百四十四为廉次商八乘纵廉十八得一百四十四为隅乃将次商八廉一千五百四十四隅一百四十四共并得一千六百九十六注实下呼次商除实尽得阔四十八
　　十一带纵廉负隅乘纵减实开平方法
　　式一长二阔三和四较以长乘得肆万㭍千贰百壹十
　　贰长阔较二十八问阔几
　　何曰四十六术列实推得
　　八长九用八乘较得二
　　百二十四为纵廉用九为
　　负隅又以较二十八为减纵方初商四十乘负隅九得三百六十为方法并入纵廉共五百八十四为下法以乘减纵二十八得一万六千三百五十二以减实馀三万○八百六十为实乃以下法五百八十四列下呼初商五四除二万四八除三千二百四四除一百六十馀实七千五百倍方法三百六十得七百二十并纵廉二百二十四共九百四十四为廉次商六乘负隅九得五十四为隅又以乘减纵二十八得一千五百一十二以减馀实馀五千九百八十八为馀实乃将廉九百四十四隅五十四共并得九百九十八列下呼次商除实尽得阔四十六
　　通曰正积可以点定位乘积亦可以点定位故列乘积三点而商止二位耳盖乘积虚増而非实有也
　　开平圆〈少广之八〉
　　积求外周法
　　式圆积二千三百五十二问外周几何曰一百六十八术置积以十二乘之得二万八千二百二十四为实平方开之得一百六十八为外周也
　　积求内径法
　　式圆积二千三百五十二问内径几何曰五十六术置积以四乘之得九千四百○八以三除之得三千一百三十六为实平方开之得五十六为内径也








　　数度衍卷十二
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十三
　　桐城　方中通　撰
　　开立方〈少广之九〉
　　珠算开立方法
　　式积一百九十五万三千一百二十五问立方一面几何曰一百二十五术置积盘中约初商一百别立下法亦置一百以初商自乘再乘得一百万以减实馀九十五万三千一百二十五以三乘下法一百得三百为方
　　法列右次商二十
　　置下法一百之次
　　共一百二十又以
　　次商乘之得二千
　　四百为廉法再以
　　方法三百乘廉法
　　得七十二万以减
　　馀实尚馀二十三
　　万三千一百二十五又以次商自乘再乘得八千为隅法以减馀实尚馀二十二万五千一百二十五以三乘下法一百二十得三百六十为方法列右三商五置下法一百二十之次共一百二十五又以三商乘之得六百二十五为廉法又以方法三百六十乘廉法得二十二万五千以减馀实尚馀一百二十五又以三商自乘再乘得一百二十五为隅法以减馀实实尽得面一百二十五
　　归除开立方式积一亿○二百五十万○三千二百三十二问立方一面几何曰四百六十八术置积为实初商四百于左亦置四百于右自乘得一十六万乃与左四百相呼一四除实四千万四六除实二千四百万馀实三千八百五十万○三千二百三十二以三乘右下一十六万得四十八万为方法归除之曰四三七馀二实不足除曰起一还四则次商不可用七止可用六也乃呼六八除实四百八十万馀实九百七十万○三千二百三十二另以次商六十乘初商四百得二万四千以三乘之得七万二千为廉法次商自乘得三千六百为隅法廉隅并得七万五千六百却以次商呼除之六七除实四百二十万五六除实三十万六六除实三万六千馀实五百一十六万七千二百三十二以方法四十八万并入两回廉法十四万四千三回隅法一万○八百共得六十三万四千八百为方法归除之曰六五八馀二则三商为八也乃呼三八除实二十四万四八除实三万三千八八除实六千四百馀实八万八千八百三十二再置初次两商共四百六十以三商八乘之得三千六百八十以三乘之得一万一千○四十并入三商自乘得六十四共一万一千一百○四却以三商呼除之一八除实八万一八除实八千一八除实八百四八除实三十二实尽得靣四百六十八
　　笔算开立方法
　　式捌十叁亿陆千伍百肆十贰万㭍千问立方一面几何曰二千○三十术自末位○下作点隔二位一点共四点分为四叚知商有四位也寻原初商得二乃以二自乘再乘得八减首位实捌完首叚次叚实叁陆伍除点上之伍未用且作叁十陆开之乃三倍初商二为六作廉法另置右上以初商二加○作二十以乘六得一百二十当以此数商除二叚之实而叁十陆反小一百二十反大遇此则商有○矣竟于格右纪○当作次商完二叚三叚实叁陆伍肆贰㭍除点上之㭍未用且作叁万陆千伍百肆十贰开之亦三倍初次两商之二十为六十置右上亦以二○加○作二百以乘六十得一万二千用此数于实内商之三商当
　　是三〈实内有三回一万二千也〉以廉六十乘三得一百八十并一万二千共一万二千一百八十又以三乘之得三万六千五百四十为廉另以三商三自乘再乘得二十七为隅将廉隅减实实尽隅必注点下故七在㭍下二在贰下也完三叚尚馀四叚未开于右加○作四商得靣二千○三十
　　用命分式　术通曰实未尽者欲再开之须尾加三圏则开一商加六圏増二商他命分术无用矣
　　筹算开立方法〈见筹算〉
　　立方不等开法
　　通曰立方有三面三面俱等者用前法开之三面内有一靣不等及三靣俱不等者用纵方廉开之三靣者高阔长也
　　一长阔相等高不等法
　　式积一千二百九十六长阔数等惟高不及三问高与长阔各几何曰高九长阔皆十二术列实以高不及三自乘得九为纵方又以不及三倍作六为纵廉有二点应约初
　　商一十因有纵方只商九自乘得八十一并纵方九得九十又以所商九乘纵廉六得五十四九十者方法也五十四者廉法也相并得一百四十四列实下呼所商九除实一九除九百四九除三百六十四九除三十六实尽得高九加不及三得十二为长阔数
　　减积式积一千七百八十七万五千高阔相等惟长多三十六问长高阔各几何曰长二百八十六高阔皆二百五十术列实初商二百自乘再乘得八百万次商五十两商共二百五十自乘再乘得一千五百六十二万五千以减积馀二百二十五万为实另以所商二百五十乘长多三十六得九千又乘二百五十得二百二十五万以减积实尽所商之二百五十乃高阔数也加长多三十六得二百八十六乃长也
　　二长阔高三不等法
　　式积一百二十阔多于高二长又多于阔三问长阔高各几何曰高三阔五长八术通曰阔多于高二高阔较也长多于阔三长阔较也列实两较各自乘二自之得四三自之得九相并得
　　十三为纵方两较相乘得六为纵廉约商当是四因此有纵方只商三以三自乘得九并纵方十三得二十二为方法又以商三乘纵廉六得一十八为廉法二法相并得四十列实下呼商三四除一百二十实尽得高三加二得阔五又加三得长八
　　立方带纵诸变
　　一带纵负隅开立方法
　　式实一千三百八十二万四千纵方八万六千四百二为隅法问方几何曰一百二十术列实初商一百自之得一万以隅二乘之得二万并纵得十万○六千四百为下法与初商一百相乘得一千○六十四万列实下
　　减实馀实三百一十八万四千以三
　　乘隅法二万得六万为方法以三乘
　　初商得三百又以隅二乘之得六百
　　为廉次商二十乘廉得一万二千为
　　廉法以次商自之得四百以隅二乘
　　得八百为隅法乃并六万〈方法〉一万二千〈廉法〉八百〈隅法〉八万六千四百〈纵方〉共得一十五万九千二百为下法与次商二十相乘得三百一十八万四千列实下减实尽得方一百二十末点未开故知初商为百也
　　通曰下法乘商即呼商也竟列下法则呼商除实若列下法乘商之数则减实也
　　二带纵廉开立方法
　　式实二千一百六十万纵廉一百三十五问方几何曰二百四十术列实初商二百乘纵廉得二万七千初商自之得四万为隅法相并得六万七千为下法乘初商二百得一千三百四十万列下减实馀实八百二十万倍纵廉乘数得五万四千三乘隅法得十二
　　万相并得一十七万四千为方法三乘初商得六百又并纵廉得七百三十五为廉次商四十乘廉得二万九千四百为廉法又以次商自之得一千六百为隅法乃并十七万四千〈方法〉二万九千四百〈廉法〉一千六百〈隅法〉共得二十万○五千为下法乘次商四十得八百二十万列下减实尽末点未开得方二百四十
　　三带纵减益廉开立方法
　　式实五百三十七万六千纵方一万七千六百益廉六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乘益
　　廉得六万四千初商自乘得一万为
　　隅法以隅法并纵方得二万七千六
　　百以减益廉乘数馀三万六千四百
　　为下法乘初商得三百六十四万列
　　下减实馀实一百七十三万六千倍
　　益廉乘数得十二万八千三乘隅法得三万并纵方得四万七千六百为方法三乘初商得三百为廉法次商二十乘益廉得一万二千八百加入倍廉十二万八千得十四万○八百又以次商乘廉法三百得六千又以初商自乘得四百为隅法乃并四万七千六百〈方法〉六千〈廉乘〉四百〈隅法〉共得五万四千以减十四万○八百馀八万六千八百为下法乘次商得一百七十三万六千列下减实尽得方一百二十
　　四纵廉减纵方翻法开立方法
　　式实一千○八万纵方二十一万三千六百纵廉一千二百问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得十二万以减纵方馀九万三千六百为方法初商自乘得一万为隅法以并方法得十万○三千六百为下法乘初商得一千○三十六万当以此数减实而实止一千○八万不足减遇此则反以一千○三十六万列上为实而以一千○八万减之馀二十八万为负积倍纵廉乘数得二十四万三乘隅
　　法得三万为方法三乘初商得三百为廉法次商二十乘纵廉一千二百得二万四千并入倍廉二十四万得二十六万四千以减纵方而纵方止二十一万三千六百不足减遇此则反以二十六万四千为纵方而以二十一万三千六百减之馀五万○四百为负纵又以次商乘廉法三百得六千又以次商自乘得四百为隅法乃并得三万〈方法〉六千〈廉乘〉四百〈隅法〉以减负纵五万○四百馀一万四千为下法乘次商得二十八万减实尽得方一百二十
　　五廉减纵开立方法
　　式实一千三百○五万六千纵方一十三万二千八百纵廉三百二十问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得三万二千以减纵方馀十万○八百初商
　　自乘得一万为隅法并馀纵得十一
　　万○八百为下法乘初商得一千一
　　百○八万列下减实馀实一百九十
　　七万六千倍纵廉乘数得六万四千
　　三乘隅法得三万为方法三乘初商
　　得三百为廉法次商二十乘纵廉三百二十得六千四百并入倍廉六万四千共七万○四百以减纵方馀六万二千四百又以次商乘廉法三百得六千又以次商自乘得四百为隅法乃并得三万〈方法〉六千〈廉乘〉四百〈隅法〉又并馀纵六万二千四百共九万八千八百为下法乘次商得一百九十七万六千减实尽得方一百二十
　　六带纵以廉益积开立方法
　　式实二千五百八十万○四千八百纵方一十九万三
　　千九百二十纵廉四百八
　　十半为隅算问方几何曰
　　二百四十术列实初商二
　　百乘纵廉得九万六千以
　　乘初商得一千九百二十
　　万为益实加入原实共得实四千五百万○四千八百又以初商自乘得四万以隅算乘之得二万为隅法以并纵方得二十一万三千九百二十为下法乘初商得四千二百七十八万四千列下减实馀实二百二十二万○八百倍纵廉乘数得十九万二千三乘隅法得六万为方法三乘初商得六百以隅算半乘之得三百为廉法次商四十乘纵廉四百八十得一万九千二百并入倍廉十九万二千得二十一万一千二百以乘次商得八百四十四万八千为益实加入馀实共实一千○六十六万八千八百以次商乘廉法三百得一万二千又以次商自乘得一千六百以隅算半乘之得八百为隅法乃并六万〈方法〉一万二千〈廉乘〉八百〈隅法〉及纵方十九万三千九百二十共得二十六万六千七百二十为下法乘次商得一千○六十六万八千八百减实尽得方二百四十
　　七负隅减纵以廉益纵开立方法
　　式实一亿○五百八十四万纵方五十三万六千四百纵廉三千六百隅算六问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得三十六万初商自乘得一万以隅算六乘之得六万为隅法以减纵方馀四十七万六千四百并纵廉乘数得八十三万六千四百为下法乘初商得八千三百六十四万减实馀实二千二百二十万倍纵廉乘数得
　　七十二万三乘隅法得十八万为方法三乘初商得三百以隅算六乘之得一千八百为廉法次商二十乘纵廉三千六百得七万二千加入倍廉七十二万得七十九万二千为纵廉以次商乘廉法一千六百得三万六千又以次商自乘得四百以隅算六乘之得二千四百为隅法乃并十八万〈方法〉三万六千〈廉乘〉二千四百〈隅法〉共二十一万八千四百以减纵方馀三十一万八千又并纵廉七十九万二千共一百一十一万为下法乘次商得二千二百二十万减实尽得方一百二十
　　八带纵负隅以廉减纵开立方法
　　式实七千三百四十四万纵方八十四万二千四百纵廉二千四百隅算四问方几何曰一百二十术通曰列
　　实初商一百乘纵廉得二十四万减
　　纵方馀六十万○二千四百初商自
　　乘得一万以隅四乘之得四万为隅
　　法并馀纵共六十四万二千四百为
　　下法乘初商得六千四百二十四万
　　减实馀实九百二十万倍纵廉乘数得四十八万以三乘隅法得十二万为方法三乘初商得三百以隅算四乘之得一千二百为廉法次商二十乘纵廉二千四百得四万八千并入倍廉四十八万得五十二万八千以减纵方馀三十一万四千四百又以次商乘廉法一千二百得二万四千又以次商自乘得四百以隅算四乘之得一千六百为隅法乃并十二万〈方法〉二万四千〈廉乘〉一千六百〈隅法〉及馀纵三十一万四千四百共四十六万为下法乘次商得九百二十万减实尽得方一百二十九带纵负隅以廉减纵翻法开立方法
　　式实二千○八十八万九千六百纵方二十七万○八十纵廉一千二百八十隅算四问方几何曰一百二十术通曰列实初商一百乘纵廉得十二万八千减纵方馀十四万二千○八十初商自乘得一万乘隅算四得四万为隅法并馀纵得十八万二千○八十为下法乘初商得一千八百二十万○八千减实馀实二百六十八万一千六百倍纵廉乘数得
　　二十五万六千以三乘隅法得十二万为方法三乘初商得三百乘隅算四得一千二百为廉法次商二十乘纵廉得二万五千六百并入倍廉得二十八万一千六百以减纵方不足减反以纵方二十七万○八十减之馀一万一千五百二十为负纵又以次商乘廉法一千二百得二万四千又以次商自乘得四百乘隅算四得一千六百为隅法乃并十二万〈方法〉二万四千〈廉乘〉一千六百〈隅法〉共十四万五千六百以减负纵馀十三万四千○八十为下法乘次商得二百六十八万一千六百减实尽得方一百二十
　　十带纵方廉开立方法
　　式实一千○二十万纵方四万纵廉二百五十五问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得二万五
　　千五百初商自乘得一万为隅法并
　　纵廉乘数得三万五千五百又并纵
　　方得七万五千五百为下法乘初商
　　得七百五十五万减实馀实二百六
　　十五万倍纵廉乘数得五万一千三
　　乘隅法得三万相并得八万一千为方法三乘初商得三百并纵廉得五百五十五为廉法次商二十乘廉法得一万一千一百又以次商自乘得四百为隅法乃并八万一千〈方法〉一万一千一百〈廉乘〉四百〈隅法〉及纵方共十三万二千五百为下法乘次商得二百六十五万减实尽得方一百二十
　　通曰诸式皆三点因末点皆○未开故初商皆为百也开立圆〈少广之十〉
　　积求外周法
　　式积六万二千二百○八问立圆外周几何曰一百四十四术置积以四十八乘之得二百九十八万五千九百八十四用立方开之得方面一百四十四即立圆周也
　　积求内径法
　　式积六万二千二百○八问立圆内径几何曰四十八术置积以十六乘之得九十九万五千三百二十八以九除之得十一万○五百九十二用立方开之得方面四十八即立圆径也



　　数度衍卷十三



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十四
　　桐城　方中通撰
　　开三乘方〈少广之十一〉
　　开三乘方法
　　式积二千○一十五万一千一百二十一问三乘方一面几何曰六十七术列实从末位作点隔三位一点每一点为一商也初商六十自乘得三千六百再乘得二十一万六千为隅法乘初商得一千二百九十六万减实馀实七百一十九万一千一百二十一以四乘隅法得八十六万四千为方法另以初商自乘得三千六百以六乘之得二万一千六百为上廉又将初商以四乘之得二百四十为下廉次商七自乘得四十九以七乘之
　　得三百四十三为隅法另以次商乘上廉得十五万一千二百以七乘下廉得一千六百八十再以七乘之得一万一千七百六十乃并八十六万四千〈方法〉一十五万一千二百〈丄廉乘数〉一万一千七百六十〈下廉乘数〉三百四十三〈隅法〉共一百○二万七千三百○三为下法乘次商得七百一十九万一千一百二十一减实尽得方六十七又术列实平方开之四位商得一面四千四百八十九又以此数为实平方开之得一面六十七亦合
　　通曰式内所云以七乘之非次商七也与以四乘以六乘同为应用之率次商七盖偶合耳
　　通曰三乘方形虽系长立方然亦大平方也今以小平方边甲乙自乘得甲丁小平方形再乘得丙戊长方形此形内容甲丁
　　形者十也三乘得丙己大平方形此形内容甲丁形者百也丙申边与甲丁形幂等故甲乙自乘得小平方丙甲自乘得大平方
　　三乘方带纵诸变
　　一带纵方廉开三乘法
　　式积一百○五亿七千六百○六万五千六百纵方四百七十三万○六百四十纵一廉五十一万一千九百○七纵二廉一千四百○六问方几何曰一百二十术列实初商一百以乘纵一廉得五千一百一十九万○
　　七百初商自乘得一万以乘纵二
　　廉得一千四百○六万初商自乘
　　再乘得一百万为隅法乃并纵一
　　廉乘数纵二廉乘数隅法及纵方
　　共七千○九十八万一千三百四
　　十为下法乘初商得七十亿○九
　　千八百一十三万四千减实馀实
　　三十四亿七千七百九十三万一千六百以二乘纵一廉乘数得一亿○二百三十八万一千四百以三乘纵二廉乘数得四千二百一十八万以四乘隅法得四百万并三数共得一亿四千八百五十六万一千四百为方法以初商自乘得一万以六乘之得六万又以初商三之得三百乘纵二廉得四十二万一千八百并六万及纵一廉得九十九万三千七百○七为上廉初商四之得四百并纵二廉得一千八百○六为下廉次商二十以乘上廉得一千九百八十七万四千一百四十以次商自乘得四百乘下廉得七十二万二千四百又以次商自乘再乘得八千为隅法乃并方法上廉乘数下廉乘数隅法及纵方共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法乘次商得三十四亿七千七百九十三万一千六百减实尽得方一百二十
　　二带纵廉益积开三乘方法
　　式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十益廉八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百以乘益廉得八十六万四千并纵方得一百五十一万六千三百二十为益积之法乘初商得一亿五千一百六十三万二千为益实加入原积共一
　　亿五千六百二十九万七千六百
　　为通实乃以初商自乘再乘得一
　　百万为隅法乘初商得一亿减实
　　馀五千六百二十九万七千六百
　　为次商之实以二乘益廉乘数得
　　一百七十二万八千以四乘隅法
　　得四百万为方法以初商自乘得一万再以六乘之得六万为上廉以初商四之得四百为下廉次商二十以乘益廉得十七万二千八百加入倍廉〈即二乘益廉数〉共一百九十万○八百又并纵方共二百二十五万三千一百二十为益积之法乘次商得五千一百○六万二千四百为益实加入次实共一亿○七百三十六万为通实乃以次商乘上廉得一百二十万又以次商自乘得四百以乘下廉得十六万又以次商自乘再乘得八千为隅法乃并方法上廉乘数下廉乘数隅法共五百三十六万八千为下法乘次商得一亿○七百三十六万减实尽得方一百二十
　　三带纵方廉减隅翻法开三乘方法
　　式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十纵廉八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得八十六万四千初商自乘再乘得一百万为隅法并纵廉乘数纵方共一百五十一万六千三百二十以减隅法而
　　隅法止一百万不足减反减并数一百万馀五十一万六千三百二十为负积乘初商得五千一百六十三万二千加入原积共五千六百二十九万七千六百为次商之实倍纵廉乘数得一百七十二万八千以四乘隅法得四百万为方法以初商自乘得一万再以六乘之得六万为上廉以初商四之得四百为下廉次商二十以乘纵廉得十七万二千八百并入倍廉共一百九十万○八百以次商乘上廉得一百二十万又以次商自乘得四百乘下廉得十六万又以次商自乘再乘得八千为隅法乃并方法上廉乘数下廉乘数隅法共五百三十六万八千为通隅以纵廉共数一百九十万○八百并纵方得二百五十五万三千一百二十以减通隅馀二百八十一万四千八百八十为下法乘次商得五千六百二十九万七千六百减实尽得方一百二十通曰减法而后益实益实而后减法其馀实一也但开方诸法惟此初商益实次商减实耳
　　四廉隅减纵开三乘方法
　　式实八十五亿五千二百五十五万○四百纵方五千三百四十五万三千四百四十纵一廉十八万四千九百六十纵二廉五百七十八隅算二问方几何曰一百三十六术列实初商一百乘纵一廉得一千八百四十
　　九万六千为益纵初商自乘
　　得一万乘纵二廉得五百七
　　十八万为益隅初商自乘再
　　乘以隅算二乘之得二百万
　　加益隅共七百七十八万为
　　减纵以减纵方馀四千五百
　　六十七万三千四百四十加
　　益纵共六千四百一十六万九千四百四十为下法乘初商得六十四亿一千六百九十四万四千减实馀二十一亿三千五百六十万○六千四百为次商之实以二乘益纵得三千六百九十九万二千为益纵方以三乘益隅得一千七百三十四万为益隅之方以三乘初商得三百再乘纵二廉得十七万三千四百为益隅之廉以四乘隅法二百万得八百万为方法以初商自乘得一万再以六乘之得六万又以隅算二乘之得十二万为上廉以初商四之得四百又以隅算二乘之得八百为下廉次商三十以乘纵一廉得五百五十四万八千八百并入益纵方共四千二百五十四万○八百为益纵之廉以次商乘益隅之廉得五百二十万○二千又以次商自乘得九百乘纵二廉得五十二万○二百为益隅之隅乃并益隅之方益隅之廉乘数益隅之隅共二千三百○六万二千二百为次商益隅以次商乘上廉得三百六十万以次商自乘得九百乘下廉得七十二万以次商自乘再乘得二万七千再以隅算二乘之得五万四千为正隅乃并方法上廉乘数下廉乘数正隅共一千二百三十七万四千为次商隅法加次商益隅共三千五百四十三万六千二百为减纵以减纵方馀一千八百○一万七千二百四十加益纵之廉共六千○五十五万八千○四十为下法乘次商得十八亿一千六百七十四万一千二百减实馀三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实以二乘五百五十四万八千八百〈次商乘纵一廉之数〉得一千一百○九万七千六百并入益纵方共四千八百○八万九千六百为再益纵方以二乘益隅之廉乘数得一千○四十万○四千以三乘益隅之隅得一百五十六万○六百并此二乘数得一千一百九十六万四千六百再并前益隅之方共二千九百三十万○四千六百为再益隅之方并初次两商得一百三十以三乘之得三百九十以乘纵二廉得二十二万五千四百二十为再益隅之廉以二乘上廉乘数得七百二十万以三乘下廉乘数得二百一十六万以四乘正隅得二十一万六千并此三乘数得九百五十七万六千再并前方法共一千七百五十七万六千为再方法并初次两商得一百三十自乘得一万六千九百以六乘之得十万○一千四百以隅算二乘之得二十万○二千八百为再上廉以初次两商四之得五百二十以隅算二乘之得一千○四十为再下廉三商六以乘纵一廉得一百一十万○九千七百六十并入再益纵方共四千九百一十九万九千三百六十为再益纵之廉以三商乘再益隅之廉得一百三十五万二千五百二十以三商自乘得三十六以乘纵二廉得二万○八百○八为再益隅之隅乃并再益隅之方再益隅之廉乘数再益隅之隅共三千○六十七万七千九百二十八为三商益隅以三商乘再上廉得一百二十一万六千八百以三商自乘得三十六乘再下廉得三万七千四百四十以三商自乘再乘得二百一十六再以隅算二乘之得四百三十二为再正隅乃并再方法再上廉乘数再下廉乘数再正隅共一千八百八十三万○六百七十二为三商隅法加三商益隅共四千九百五十万○八千六百为减纵以减纵方馀三百九十四万四千八百四十加再益纵之廉共五千三百一十四万四千二百为下法乘三商得三亿一千八百八十六万五千二百减实尽得方一百二十
　　五带纵负隅以二廉隅益积开三乘方法
　　式实三百亿○六千七百五十六万纵方一亿○二十二万五千二百纵一廉三十四万六千八百纵二廉五
　　百七十八隅算二问方几
　　何曰二百五十五术列实
　　初商二百乘纵一廉得六
　　千九百三十六万为益纵
　　初商自乘得四万以乘纵
　　二廉得二千三百一十二
　　万为益隅初商自乘再乘
　　得八百万以隅算二乘之得一千六百万为正隅并入益隅共三千九百一十二万又以初商乘之得七十八亿二千四百万为益实加入原积得三百七十八亿九千一百五十六万为通实以益纵加入纵方共一亿六千九百五十八万五千二百为下法乘初商得三百三十九亿一千七百○四万减实馀三十九亿七千四百五十二万为次商之实以二乘益纵得一亿三千八百七十二万为益纵方以三乘益隅得六千九百三十六万为益隅之方以三乘初商得六百乘纵二廉得三十四万六千八百为益隅之廉以四乘正隅得六千四百万为方法以初商自乘得四万又以六乘之得二十四万又以隅算二乘之得四十八万为上廉以初商四之得八百以隅算二乘之得一千六百为下廉次商五十以乘纵一廉得一千七百三十四万为益纵廉并入益纵方共一亿五千六百○六万为益纵以次商乘益隅之廉得一千七百三十四万以次商自乘得二千五百乘纵二廉得一百四十四万五千为益隅之隅乃并益隅之方益隅之廉乘数益隅之隅共八千八百一十四万五千为益隅以次商乘上廉得二千四百万以次商自乘得二千五百乘下廉得四百万以次商自乘再乘得十二万五千以隅算二乘之得二十五万为隅法乃并方法上下廉各乘数隅法共九千二百二十五万为正隅加益隅共一亿八千○三十九万五千以次商乘之得九十亿○一千九百七十五万为益实加入馀实共一百二十九亿九千四百二十七万为通实以益纵方一亿五千六百○六万并纵方得二亿五千六百二十八万五千二百为下法乘次商得一百二十八亿一千四百二十六万减实馀一亿八千○一万为三商之实以二乘益纵廉得三千四百六十八万并入益纵方得一亿七千三百四十万为再益纵方以二乘益隅之廉乘数得三千四百六十八万以三乘益隅之隅得四百三十三万五千以前益隅之方合此二数共一亿○八百三十七万五千为再益隅方并初次两商得二百五十而三之得七百五十乘纵二廉得四十三万三千五百为再益隅之廉以二乘上廉乘数得四千八百万以三乘下廉乘数得一千二百万以四乘隅法得一百万并此三数及前方法共一亿二千五百万为方法并初次两商自乘得六万二千五百而六之得三十七万五千又以隅算二乘之得七十五万为上廉并初次两商而四之得一千以隅算二乘之得二千为下廉三商五以乘纵一廉得一百七十三万四千为再益纵廉并再益纵方得一亿七千五百一十三万四千为益纵方以三商乘再益隅之廉得二百一十六万七千五百以三商自乘得二十五乘纵二廉得一万四千四百五十为再益隅之隅乃并再益隅方再益隅廉乘数再益隅之隅共一亿一千○五十五万六千九百五十为益隅以三商乘上廉得三百七十五万以三商自乘得二十五乘下廉得五万以三商自乘再乘得一百二十五以隅算二乘之得二百五十为隅法乃并本叚方法上下廉乘数隅法共一亿二千八百八十万○二百五十为正隅加本叚益隅共二亿三千九百三十五万七千二百以三商乘之得十一亿九千六百七十八万六千为益实加入馀实得十三亿七千六百七十九万六千为通实以本叚益纵方并纵方得二亿七千五百三十五万九千二百为下法乘三商得十三亿七千六百七十九万六千减实尽得方二百五十五
　　通曰此以纵一廉益纵纵二廉益隅也
　　六带纵负隅以二廉减纵开三乘方法
　　式实五十亿○一千三百五十万○四千纵方四千七百万○一千六百纵一廉四千四百八十纵二廉六百四十隅算二问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵一廉得四十四万八千为益纵之法初商自乘得一万乘纵二廉得六百四十万为减纵之法初商自乘再乘得一百万乘隅算得二百万为隅法以减纵之法减纵方馀四千○六十万○一千六百加益纵之法得四千一百○四万九千六百并隅法共四千三百○四万九千六百为下法乘初商得四十三亿○四百九十六万减实馀七亿○八百五十四万四千为次商之实以二乘益纵之法得八十九万六千为益纵之廉以三乘减纵之法得一千九百二十万为减纵之方
　　以三乘初商得三百乘纵二廉得十九万二千为减纵之廉以四乘隅法得八百万为方法以初商自乘得一万而六之得六万又乘隅算得十二万为上廉以初商四之得四百乘隅算得八百为下廉次商二十以乘纵一廉得八万九千六百并益纵之廉得九十八万五千六百为益纵之法以次商乘减纵之廉得三百八十四万以次商自乘得四百乘纵二廉得二十五万六千以并减纵之方减纵之廉乘数共二千三百二十九万六千为减纵之法以次商乘上廉得二百四十万以次商自乘得四百乘下廉得三十二万以次商自乘再乘得八千乘隅算得一万六千并方法上下廉乘数共一千○七十三万六千为隅法以本叚减纵之法减纵方馀二千三百七十万○五千六百加本叚益纵之法得二千四百六十九万一千二百并本叚隅法共三千五百四十二万七千二百为下法乘次商得七亿○八百五十四万四千减实尽得方一百二十
　　通曰如以减纵之法减纵方而纵方数少不足减则以益纵之法并纵方然后减之以其馀数并隅法不更加益纵之法矣
　　七带纵方廉以二廉减纵开三乘方法
　　式实一十九亿五千五百一十一万九千六百八十纵方二千二百四十七万二千六百四十纵一廉一十万○六千九百二十九纵二廉六百五十四问方几何曰七十二术列实初商七十乘纵一廉得七百四十八万五千○三十为益纵之实初商自乘得四千九百乘纵二廉得三百二十万○四千六百为减纵初商
　　自乘再乘得三十四万三千为隅法以减纵减纵方馀一千九百二十六万八千○四十加益纵之实得二千六百七十五万三千○七十并隅法共二千七百○九万六千○七十为下法乘初商得一十八亿九千六百七十二万四千九百减实馀五千八百三十九万四千七百八十为次商之实以二乘益纵之实得一千四百九十七万○六十为益纵之廉以三乘减纵得九百六十一万三千八百为减纵之方以三乘初商得二百一十乘纵二廉得十三万七千三百四十为起下减廉以四乘隅法得一百三十七万二千为方法以初商自乘得四千九百而六之得二万九千四百为上廉以初商四之得二百八十为下廉次商二以乘纵一廉得二十一万三千八百五十八并益纵之廉得一千五百一十八万三千九百一十八为益纵之实以次商乘起下减廉得二十七万四千六百八十为减纵之廉以次商自乘得四乘纵二廉得二千六百一十六以并减纵之方减纵之廉共九百八十九万一千○九十六为减纵之实以次商乘上廉得五万八千八百以次商自乘得四乘下廉得一千一百二十以次商自乘再乘得八为正隅以并方法上下廉乘数共一百四十三万一千九百二十八为隅法以本叚减纵之实减纵方馀一千二百五十八万一千五百四十四加本叚益纵之实共二千七百七十六万五千四百六十二并本叚隅法共二千九百一十九万七千三百九十为下法乘次商得五千八百三十九万四千七百八十减实尽得方七十二广诸乘方〈少广之十二〉
　　开诸乘方说
　　凡积数若千以平面开之适得自乘之数者为开平方其立方乃开平再乘积也三乘方长立方也〈如以二自乘起者得两立方以三自乘起者得三立方之类但以平方一边之数为凖〉四乘方平靣立方也〈如长立方得两方数则进作四立方如长立方得三方数则进作九立方〉五乘方大立方也〈如系二自乘起者有四立方则进并十六方为大方如系五自乘起者有二十五立方则进并一百二十五立方之类〉自此推之六乘方视三乘形七乘方视四乘形八乘方视五乘形馀乘仿此可至无穷今立捷法由平面至诸乘总一条理先以诸乘原委布图乘母为原乘出之子为开
　　初商寻原图
　　凡开方列位以点分叚者平方每二位点作一叚再乘方每三位一叚三乘方每四位一叚仿此推之至九乘则十位一叚
　　矣皆自尾小数起而先以最大数
　　之首叚捡上图以寻其原即以原
　　数开之
　　如平方开者首数系四十九平
　　行横查知七是原数用七自乘可
　　开若首叚数系六十四者即知八
　　是原数用八自乘可开若系六十
　　三者不及六十四一数仍以七开
　　之如再乘方开者首系二十七查知其原系三即以三自乘再乘开之若首叚系六十四者即知四是原数用四自乘再乘开之若系六十三仍以三开之如三乘方者首系八十一即知三是原数用三自乘再乘三乘开之
　　通曰商还原而如其积积还原而如其商也



　　如四乘方者首叚系一千○二十四即知四是原数如五乘方者首系一万五千六百二十五即知五是原数




　　如六乘方者首叚系二十七万九千九百三十六即知六是原数如七乘方者首叚系五百七十六万四千八百○一即知七是原数虽千万乘方其原皆可得也原数即初商也
　　次商用通率图
　　右图已得首位方法馀实倍方为廉平方者一倍再乘方者再倍三乘方者三倍四乘以上皆以本乘之数仿此倍之别立通率凡平方只一率为二○立方有二率为三○○为三○三乘方有三率为四○○○为六○○为四○〈一○为十両○为百〉自此以上诸乘仿此渐加而皆如后图所推乃以方法之数乘之以乘出之数较馀实约得几何母之几何而即以其母为廉法也以首行所列之二为平方三为立方四为三乘方至十七则十
　　六乘方也他乘
　　仿此
　　首行之数自一
　　顺列二行之数
　　承首行上格二
　　数积之如首行
　　三格是三二行
　　三格亦是三相
　　并得六故二行
　　之四格为六也
　　又如首行四格
　　是四二行四格
　　是六相并得一
　　十故二行之五
　　格为一○也三
　　行以至九行皆
　　然

　　三乘之四系
　　回用
　　四乘之五五
　　乘之六与一
　　五皆回用
　　六乘回用二
　　位七乘回用
　　三位

　　如前平方一乘者用一率曰二乃加一○为二○与方法相乘立方再乘者用两率曰三曰三乃以右小数加一○为三○左大数加两○为三○○而以三百乘方法其三乘方者用三率曰四曰六止两数则又回用右方之四为一率以补之曰四六四先以末位四加一○为四○次以六加两○为六○○再以首位四加三○为四○○○乃以四千乘方法四乘方者回用首行之五补足四率曰五曰一十曰一十曰五然后加○如右图五乘方者回用首行之六及二行之一十五补足五率也
　　通曰凡补一位者止回用首行之数补二位者则兼用二行之数补三位者则兼用三行之数也其加○之法每一位加一○毋论其数之原有○无○与夫原数之为零为几十几也
　　诸式
　　一乘方式〈即平方〉术实六百七十六万五千二百○一初商二为方法以求廉法立二○为通率列中位列方法于左位以相乘得四十以较馀实之首二七约得六之一〈二二七六作二百七十六是二百七十内有六回四十也〉乃立六为廉法列于右位自乘得三十六为隅法附列乃以廉法六乘四十得二百四十并隅法三十六共二百七十六尽第二叚馀实五二○一并廉入方为二
　　十六列左乘通率二十得五百二十以较馀实得一又以一为廉法列右自乘仍是一为隅法共五二一而实不足减乃作五千二百○一尽第四叚商得二六○一也
　　又式　术若已得廉法而以乘通率反浮馀实或廉法相合而隅法又浮馀实者皆减其廉法以乘之如实二百八十九初商一除实馀实一百八十九次商以方法乘通率得二○以较馀实可用九除实一百八十而隅法八十一则浮原积是九不可用矣减一数用八仍不足除乃用七为廉法乘得一四除实一百四十尚馀四十九足除隅法故商得一十七也
　　再乘方式〈即立方〉术实二十三万八千三百二十八寻原母六自乘再乘得二一六除实馀二万二千三百二十
　　八以六为方法求廉法用二率曰三
　　十曰三百自下而上叠位以方六对
　　三○以方六自乘得三六对三○○
　　各列于左初乘以三六乘三○○得
　　一万○八百以视馀实约得二之一乃立二为廉以对三○○复以廉二自乘得四又以二四相乘得八为隅皆列右以廉二乘一万○八百得二万一千六百再乘以六乘三○得一百八十又以四乘之得七百二十并初乘数及隅八共二万二千三百二十八减实尽商得六十二也
　　又式　术若初商方法只系一数者通率无乘须并诸率除之如实一千三百三十一初商以一为方法除浄首实一千次并中位两通率一除可净即以一为廉法对通率三百廉
　　自乘仍得一对通率三十再乘仍得一为隅附列共并得三百三十一〈两率一隅〉除实尽商得一十一也
　　通曰凡以一为方法者皆可以诸位通率并之以求也三乘方式　术实一千四百七十七万六千三百三十
　　六寻原母六自乘再乘三乘得一
　　二九六除实馀一百八十一万六
　　千三百三十六以六为方法求廉
　　用通率三位曰四十曰六百曰四
　　千方六自乘得三六再乘得二一
　　六自下而上对列初乘以二百一十六乘四千得八十六万四千较馀实约二之一以二为廉自乘得四再乘得八三乘得十六自上而下对列乃以二乘八十六万四千得一百七十二万八千再乘以三十六乘六百得二万一千六百以四乘得八万六千四百三乘以六乘四十得二百四十以八乘得一千九百二十乃并三数及隅十六共合馀实商得六十二
　　四乘方式　术实九亿一千六百一十三万二千八百三十二寻原母六自乘至四乘得七七七六除实馀一亿三千八百五十三万二千八百三十二求廉用四位通率曰五十曰一千曰一万曰五万以方法六自乘得三十六再乘得二百一十六三乘得一千二百九十六自下而上对列初乘以一千二百九十六乘五万得六
　　千四百八十万以较馀实约得
　　二之一以二为廉自乘得四再
　　乘得八三乘得十六自上而下
　　对列又四乘得三十二为隅乃
　　以二乘六千四百八十万得一
　　亿二千九百六十万次乘二百
　　一十六乘一万得二百一十六万以四乘得八百六十四万三乘三十六乘一千得三万六千以八乘得二十八万八千四乘六乘五十得三百以十六乘得四千八百乃并四次乘数及隅共合馀实商六十二
　　五乘方式　术实五百六十八亿○二十三万五千五
　　百八十四寻原母六以其五
　　乘数除实馀一百○一亿四
　　千四百二十三万五千五百
　　八十四求廉用五位通率曰
　　六十曰一千五百曰二万曰
　　一十五万曰六十万以方六
　　自乘再乘三乘四乘自下而
　　上对列初乘左首位乘中首位得四十六亿六千五百六十万以较馀实约得二之一以二为廉自乘再乘三乘四乘自上而下对列又五乘得六十四为隅乃以右首位乘所得较数得九十三亿三千一百二十万次乘左次位乘中次位又以右次位乘之得七亿七千七百六十万三乘左三位乘中三位又以右三位乘之得三千四百五十六万四乘左四位乘中四位又以右四位乘之得八十六万四千五乘左末位乘中末位又以右末位乘之得一万一千五百二十并五次乘数及隅共合馀实商得六十二
　　六乘方式　术实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八寻原母六以其六乘数除实馀七千二百二十二亿五千四百六十万○六千二百○八求廉用六位通率曰七十曰二千一百曰三万五千曰三十五万曰二百一十万曰七百万以方六自乘再乘三乘四乘五乘自下而上对列初乘左首位乘中首位得三千二百六十五亿九千二百万以较馀实约得二之一以二为廉自乘再乘三乘四乘五乘自上而下对列又
　　六乘得一百二十八为隅
　　乃以右首位乘所得较数
　　得六千五百三十一亿八
　　千四百万次乘左次位乘
　　中次位又乘右次位得六
　　百五十三亿一千八百四
　　十万三乘左三位乘中三
　　位又乘右三位得三十六
　　亿二千八百八十万四乘左四位乘中四位又乘右四位得一亿二千○九十六万五乘左五位乘中五位又乘右五位得二百四十一万九千二百六乘左六位乘中六位又乘右六位得二十六万八千八百并六次乘数及隅共合馀实商得六十二
　　七乘方式　术实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一寻原母一除实一兆馀实求廉用七位通率曰八十曰二千八百曰五万六千曰七十万曰五百六十万曰二千八百万曰八千万方法一数无乘当并通率诸位以较馀
　　实而惟首次两数同为
　　大数其馀小数不足为
　　多寡且从省只并首次
　　两率开之并得一亿○
　　八百万以较馀实约可
　　用三然自乘之九乘中
　　次位其数浮当减用二
　　为廉自乘再乘三乘四
　　乘五乘六乘自上而下
　　对列又七乘得二百五十六为隅初乘右首位乘中首位得一亿六千万次乘右二位乘中二位得一亿一千二百万三乘右三位乘中三位得四千四百八十万四乘右四位乘中四位得一千一百二十万五乘右五位乘中五位得一百七十九万二千六乘右六位乘中六位得一十七万九千二百七乘右七位乘中末位得一万○三百六十八乃并七次乘数及隅共三亿二千九百九十八万一千六百九十六以除馀实尚馀实二千九百五十一万五千六百○二亿六千三百五十七万
　　二千一百六十一〈乘得三亿从三兆除
　　起〉再商自首至尾以一叚开
　　之乃并廉入方共一十二自
　　乘再乘三乘四乘五乘六乘
　　自下而上对列于左初乘左
　　首位乘中首位得二千八百
　　六十六万五千四百四十六
　　亿四千万以较馀实只可用
　　一以一为廉无乘隅亦是一
　　次乘左次位乘中次位得八十三万六千○七十五亿五千二百万三乘左三位乘中三位得一万三千九百三十四亿五千九百二十万四乘左四位乘中四位得一百四十五亿一千五百二十万五乘左五位乘中五位得九千六百七十六万八千六乘左六位乘中六位得四十万○三千二百七乘左末位乘中末位得九百六十乃并七次乘数及隅共合馀实商得一百二十一寻原之法平方可求立方之原兼平方立方可求多乘之原若三乘方者以平方开之得数又平方开之即得原矣五乘方者以平方开之得数又立方开之或先开立而后开平即得原矣六乘方者作四乘方开二次即得其原七乘方者作平方开三次即得其原八乘方者作立方开二次即得其原九乘方者先开平而后开四乘或先开四乘而后开平即得其原若十乘方者作四乘方开三次即得其原矣
　　奇零诸乘开方法
　　式　术凡开方诸法以寻原为第一义即奇零中有母数子数俱有原可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乘得九以二自乘得四也如再乘立方〈七二〉之八亦以三之二为原以三自乘再乘得二十七以二自乘再乘得八也又如三乘方所得〈一八〉之〈六一〉亦以三之二为原以三自乘再乘三乘得八十一以二自乘再乘三乘得一十六也有二数并列子母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乘法两母乘得三十六两子乘得一十六是为〈六三〉之〈六一〉其平方之原为九之四以四九三十六四四一十六可用四为纽数者也有以全数带奇零而亦有原可寻者如有全数二又〈七二〉之〈○一〉依化法化得〈七二〉之〈四六〉寻其立方之原为三之四以三再乘为二十七四再乘为六十四归整得一又三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开也寻原之术数之多者约之以至于寡如〈五四〉之〈○二〉约之为九之四其开平方之原即是三之二也如〈一八〉之〈四二〉约之为〈七二〉之八其开立方之原即是三之二也他一有原一无原者如九之六九有原六无原又如〈○二〉之〈一二〉则命分数与得分数俱无原皆不可开矣然数穷则变变则通不可开者又立法以开之如无原有数之最相近者可借以为原即以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥密其原亦弥近也弥近之数或稍多于所求或稍约于所求而皆可以为原者也如以五数为开平方是为无原而任借〈○一〉为之原以一十自乘得一百以五乘得　虽〈○一〉不为　之原乃其原之最近者有两数其一为　以〈二二〉为原〈二十二自乘得四百八十四也〉此近而朒者其一为　以〈三二〉为原〈二十三自乘得五百二十九也〉此近而盈者何也试以所借〈○一〉为命分之母以〈二二〉为得分之子以〈○一〉之〈二二〉自乘〈此系整二又带零一十之二〉所得　之内除四百为四整数馀〈四八〉为　之〈四八〉夫以四零　之
　　〈四八〉视二零〈○一〉之二犹五百与二十二之比例也试以所借〈○一〉为母以〈三二〉为子以〈○一〉之〈三二〉自乘〈此系整二又零一十之三〉得之　内除五百为五整数馀〈九二〉为　之〈九二〉夫以五零之〈九二〉视二零〈○一〉之三犹五百与二十三之比例也故五可以借一十也如以九数为开立方亦为无原而任借〈○一〉为　之原以九乘得　虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为　以〈○二〉为原此近而朒者一为以〈一二〉为原此近而盈者何也试以〈○一〉为母〈○一〉之〈○二〉系
　　整二数自乘再乘即得〈○一〉之八试以〈○一〉为母〈○一〉之〈一二〉系整二数零一十之一自乘再乘即得九零　之　也〈母一十自乘再乘得一千子整二化二十并入一为二十一自乘再乘得九千二百六十一以九千归整得整九馀为一千之二百六十一也〉故〈○一〉可以为九借也如以〈○四〉数为四乘方亦为无原任借〈○一〉自乘至四乘得一十万以一十乘之得四百万用前法推衍其原之近者一为〈○二〉一为〈一二〉何也以〈○一〉为〈○二〉之母则〈○一〉之〈○二〉系整二数自乘至四乘为〈○一〉之〈二三〉以视〈○四〉近而朒以〈○一〉为〈一二〉之母则〈○一〉之〈一二〉系整二数零一十之一自乘再乘〈化整数并子法如前母四乘得一十万子自乘再乘得九千二百六十一〉三乘四乘得整四十数零一十万之八万四千二百○一〈二十一以三乘得一十九万四千四百八十一以四乘得四百○八万四千二百○一内以四百万还原得整四十数其零为八四二○一也〉以视〈○四〉近而盈故〈○一〉可以为四十借也









　　数度衍卷十四



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十五
　　桐城　方中通　撰
　　丈量〈方田之一〉
　　定亩
　　通曰弓步丈尺虽二法一理也横一步纵二百四十步横一丈纵六十丈皆亩也方五尺为步是为一弓五寸为分五分为釐二十五尺为弓羃四其弓羃则方面一丈故知二百四
　　十其弓羃即六十其方面一丈也每一弓得亩四毫一丝六忽六微六无尽亩至百则曰顷
　　积步求亩法
　　长弓几何广弓几何相乘为积步二广者并数用二折三广用三折四广用四折长亦若是折为一长一广然后相乘非折而少之折而方之也既得积步用除法求亩详后式〈按三折四折语有误〉
　　用二十四除式　术直田一坵长四十弓广十四弓四分相乘得五百七十六步用二十四除之得二亩四分折广式　术长四十弓四广一曰十三弓一曰十九弓四尺一曰十二弓一尺一曰十二弓三尺先并诸广得五十六弓八尺每尺作二分归整得五十七弓六分四广当用四除折之折得十四弓四分始与长弓相乘得五百七十六步用二十四除见亩
　　珠算飞归法
　　诀曰一加三隔四　　　　二加六隔八
　　进一除二四　一曰二十四子一方归
　　进二除四八　一曰四十八子进二枚
　　进三除七二　一曰七十二子进三枚
　　进四除九六　一曰九十六子进四枚
　　独三进一位二五〈下位无子曰独〉　独九进三位七五
　　一二身作五　一曰见一作五下除二
　　六退一进二　一曰六十进二五　一曰六除留五上
　　添二　　　　　　　　　一四四作六
　　一六八作七　　　　　　一九二作八
　　一八作七五　　　　　　三六进一五
　　二一六作九
　　通曰飞归者二十四除之捷法也进在左位作加皆在本位隔在右位之下位也
　　式　术直广皆六百六十六弓相乘得四十四万三千五百五十六步用飞归丑寅二位作四十四曰进一除二四进一在子位丑除二十存二寅除四空曰二加六隔八丑存二加六为八卯三加八寅得一卯存一曰一加三隔四寅一加三为四辰五加四为九曰一二身作五卯一竟改作五辰九内去二存七曰进三除七二卯五加三为八
　　辰去七空巳除二存三曰进一除二四进一在辰位巳除二存一午除四存二曰一二身作五巳一改作五午除二实尽而止得一千八百四十八亩一分五釐原积千位为亩也
　　用三除八除式　术积二百四十步先用三除得八后用八除得一乃一亩也先用八除后用三除亦可用四除六除式　术积二百四十步先用四除得六后用六除得一亩先用六除后用四除亦可
　　用两次五因又六除式　术积二百四十步用五因得一百二十再用五因得六十又用六除见亩
　　通曰用二十四除者二百四十步为一亩也三八乘得二十四四六亦乘得二十四故皆可用五因即二除折半法也两次五因即四除也犹如先用四除后用六除耳
　　积尺求亩法
　　用六除式　术直八十尺广七十五尺相乘得六千尺用六除之得一亩
　　通曰广一弓直二百四十弓即广五尺直一千二百尺也以五乘一千二百得六千尺故用六除
　　用倍尺又二十四除式　术直八十尺倍为一百六十尺广七十五尺倍为一百五十尺然后相乘得二万四千尺再用二十四除见亩
　　通曰此通尺为步也五尺为步宜用五除然二因即五除倍即二因也尺之一百即步之一十此倍虚尺而求实积也
　　合积求亩法
　　或直步广尺或直尺广步其积步法则化尺为步其积尺法则化步为尺凡步下有零尺寸者皆化之
　　化尺式　术直十六步广七十五尺以二因广尺得一百五十尺作十五弓然后相乘得二百四十为积步如法见亩
　　化步式　术直十六步广七十五尺以五因直步得八十尺然后相乘得六千尺为积尺如法见亩
　　不积求亩法
　　直广不须相乘积步随意以直为主以广为主而算其不主之弓数也主直则算广主广则算直
　　诸率
　　二弓折半六而一〈而一者归也〉　三弓用八归
　　四弓用六归
　　五弓用六八归〈或先六后八或先八后六皆可〉
　　六弓用四归　　　　　　八弓用三归
　　九弓用五因又四归　　　十二弓用折半
　　十五弓用二八归　　　　十六弓用三归又加倍十八弓折半又五因
　　二十四弓十为亩〈见十弓为一亩也〉
　　二十五弓折半又六八归　三十二弓四因又三归三十六弓用五因
　　三十七弓半用八八归〈两次八归也〉
　　四十八弓加一倍　　　　六十四弓三归又八因七十二弓加倍又五因　　七十五弓用四八归九十六弓用四因
　　主直式　术如以直为主者直或二弓或二十弓或二百弓则以广弓之数在位折半馀用六归见亩
　　主广式　术如以广为主者广或十五弓或一百五十弓则以直弓之数在位先用二归后用八归见亩
　　步带奇零法
　　单分母子式　术直十五步广三步五分步之四置三步以分母五通之为十五加分子四共十九又置直十五步以分母五通之为七十五乃以七十五与十九相乘得一千四百二十五为实另以分母五自乘得二十五为法除实得积步
　　双分母子式　术直九十七步四十九分步之四十七广二步二十分步之九置广二步以分母二十乘之〈乘即通也〉得四十加分子九共四十九又置直九十七步以分母四十九乘之得四千七百五十三加分子四十七共四千八百乃以两共数相乘得二十三万五千二百为实另以分母二十与四十九相乘得九百八十为法除实得积步
　　又式　术圆田径六步十三分步之十二周二十步四十一分步之三十二以径求积者置径六步以母十三通为七十八加子十二共九十自乘得八千一百又以母十三减子十二馀一以乘子十二得十二并自乘数共八千一百一十二先三乘后四除得六千○八十四为实另以母十三自乘得一百六十九为法除实得积步以周求积者置周二十步以母四十一通为八百二十加子三十二共八百五十二自乘得七十二万五千九百○四又以母四十一减子三十二馀九以乘子三十二得二百八十八并自乘数共七十二万六千一百九十二以十二除之得六万○五百一十六为实另以母四十一自乘得一千六百八十一为法除实得积步
　　还原法
　　反亩为步式　术田七亩五分求积以二十四乘七亩五分得一千八百是为积步
　　反步为直广式　术积步一千八百求直广其法定以二十四弓为广以亩数为直今系七亩五分即以七十五弓为直也须知一亩作一十弓十亩作一百弓倍直半广式　术如七分五釐积一百八十步以二十四弓为广以七弓五分为直太少乃半广为一十二弓倍直为一十五弓或广直相易以二十四弓为直以七弓五分为广
　　半直倍广式　术如七十五亩积一万八千步以二十四弓为广以七百五十弓为直太多乃倍广为四十八弓半直为三百七十五弓如云尚多又倍广半直亦可直田积反求直广式　术积步一千八百云直增广一倍求直广以积步折半得九百为实平方开之得三十步为广倍得六十步为直
　　飞归还原
　　诀曰退一加二四　退二加四八　退三加七二退四加九六　　　五留一二　　六留一四四七留一六八　　　八留一九二　九留二一六通曰飞归自左向右还原自右向左退在本位加在下位留亦在本位起也
　　九则折亩率
　　上上则三亩折一亩三分乃二亩三分三釐零折一亩也毛亩上定身三因三归上中则三亩折一亩二分五釐乃二亩四分折一亩也毛亩上用飞归上下则三亩折一亩二分乃二亩五分折一亩也毛亩上用四因或积步上用六归中上则三亩折一亩一分乃二亩七分二釐零折一亩也毛亩上定身一因三归中中则三亩折一亩毛亩上用三归中下则二亩折九分乃三亩三分三釐零折一亩也毛亩上用三因下上则三亩折八分乃三亩七分五釐折一亩也毛亩上八因三归或积步上用九归下中则三亩折七分五釐乃四亩折一亩也毛亩上用四归下下则三亩折七分乃四亩二分八釐零折一亩也毛亩上七因三归　塘或六亩一分四釐折一亩
　　通曰积步除得之亩乃毛亩也不折之处甚多或用九则折实率亦不一大㮣如此附录诀曰毛田上上定三因因后三归实即真只有上中飞又用若逢上下四因成定身中上先加一得数三归即便清独是中中来折实三归一遍即分明毛当中下三因得下上三归又八因若遇下中归用四三归下下七先因或从积步来求实九则中间两则行上下六归下上九不须毛亩快如神
　　田形〈方田之二〉
　　诸形量法
　　方形术以十二步自乘得一百四十四为积步如法见亩
　　长形术以直广相乘得一百一十二为积步

　　圆形术以周折半为三十径折半为一十相乘得三百为积步　少广诸法皆可用通曰周自乘四八九各除一遍见亩径自乘
　　四八各除一遍见亩不必积步矣凡田非四方浑圆不可量周
　　环形术以外周折半为三十六内周折半为一十八相并得五十四与径六步相乘得三百二十四为积步　凡田中有池有堆者用此弧矢形术以并矢得四十八折半为二十四与矢十二相乘得二百八十八为积步通曰已上五形皆用少广法
　　四不等形术东西并为五十六此二广也二折得二十八步南北并为七十八亦二直也二折得三十九步相乘得一千○九十二为
　　积步〈按此术内直广不取直角非法以下求枫叶等形亦多未合〉
　　五不等形术并南北二西得二十四步以四折之得六步与东大角十步相乘得六十为积步〈按误同上〉
　　大角一边为长也
　　勾股形术以广折半为四步　　　圭形同勾
　　与长相乘得八十为积步　　　　股形术枫叶形术以口径四折得十步上周折半得四十九相并得五十九与中直折半十五相
　　乘得八百八十五为积步
　　梳形术以齿广三折得二十上周折半得四十五相并得六十五与中十相乘得六百五十
　　邱形术周径相乘得二十四万三千二百以四折之得六万○八百为积步
　　尖锭形术以长四十八用四折得十二步即于四十八内减十二馀三十六三广并得四十二三折得十四与三十六相乘得五百○
　　四为积步
　　半环形术并内外湾得六十八折半得三十四与径八相乘得二百七十二为积步　新月形同此
　　碗形术以口径折半得十步外周折半得三十二相乘得三十二为积步
　　菱形术并内外湾得五十折半得二十五以径折半得五相乘得一百二十五为积步
　　长圆形术以外周折半得二十八径折半得一十相乘得二百八十为积步
　　扇形术并内外湾得三十四折半得十七并两横得二十折半得一十相乘得一百七十为积步矩形同扇形术内外曲即内外湾也睂形术以下二十三并两径共三十三折半为一百六十五〈此即五因〉再以下并虚径四为二十七折半为一十三五又乘虚径四得五十四乃于一百六十五内减之馀一百一十一为积步
　　梯形术并二广为三十八折半得十九与长相乘得一千○二十六为积步
　　不正形术以中长折半为二十东北与西南并为三十相乘得六百为积步
　　梭形术以长折半为十八与阔相乘得三百○六为积步半梭形同此
　　牛角形术以广与长乘得六千八百三十二半之得三千四百一十六为积步







　　通曰先增虚形以求后减虚形以得此亦变法也若形内可分为数形者则有并法在








　　通曰田形无穷大约绝长补短以取其形可量耳惟是下弓之处务中其节始得无差不然则可任意大之小之也至或有计种数者或有计税米之数者随其则例求之可耳他如北方之地南方之洲可用捆丈者则又计绳而整量之凡纵横皆七十七丈五尺为一顷也









　　数度衍卷十五



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十六
　　桐城　方中通　撰
　　开筑〈商功之一〉
　　垺实率
　　穿地四尺　为壤五尺　为坚三尺
　　通曰壤者垺土也坚者实土也
　　互求法
　　穿地求壤及坚式穿地一万尺问壤土坚土各若干曰壤土一万二千五百尺坚土七千五百尺术以五因穿地得五万尺为实以四为法除得壤土以三因穿地得三万尺为实以四为法除得坚土
　　壤地求穿及坚式壤地一万二千五百尺问穿土坚土各若干曰穿土一万尺坚土七千五百尺术以四因壤地得五万尺为实以五为法除得穿土以三因壤地得三万七千五百尺为实以五为法除得坚土
　　坚地求穿及壤式坚地七千五百尺问穿土壤土各若干曰穿土一万尺壤土一万二千五百尺术以四因坚地得三万尺为实以三为法除得穿土以五因坚地得三万七千五百尺为实以三为法除得壤土
　　开法
　　求日式开壕上广七尺下广九尺深四尺长一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名问几日可完曰二日术并上下广得十六尺折半得八尺以乘深得三十二尺又乘长得五万七千六百尺为实以二百名乘每日穿数得二万八千八百尺为法除实得日数
　　求夫式开渠上广二丈四尺下广二丈一尺深九尺长三百八十四尺每夫十二名开积六百尺问该夫几何曰一万五千五百五十二名术并两广得四十五尺折半得二十二尺五寸以乘深得二百○二尺五寸又乘长得七十七万七千六百尺又乘夫十二名得九百三十三万一千二百尺为实以六百尺为法除实得夫数求工式开河长七千五百五十尺上广五十四尺下广四十尺深十二尺每日一工开三百尺问用工几何曰一万四千一百九十四工术并两广得九十四尺折半得四十七尺以乘深得五百六十四尺又乘长得四百二十五万八千二百尺为实以三百尺为法除实得工数
　　迟速式甲乙二人开河甲每日开积四百尺乙每日开积三百五十尺甲开七十日问乙开多几日与甲同曰十日术以甲开七十日乘每日四百尺得二万八千尺为实以乙每日三百五十尺为法除实得八十日减甲七十日馀十日为乙多数
　　筑法
　　筑墙式原墙上广一尺下广三尺高一丈二尺今欲筑高九尺问上广几何曰一尺五寸术以原下广减原上广馀二尺以今高九尺乘之得十八尺为实以原高为法除实得一尺五寸乃于原下广内减之馀一尺五寸为今上广
　　式二原墙上广一尺下广三尺高一丈二尺今欲筑高一丈五尺问上广几何曰五寸术以原上广减原下广馀二尺以原高减今高馀三尺两馀相乘得六尺为实以原高为法除实得五寸乃于原上广内减之馀五寸为今上广
　　通曰前式今高少于原高后式今高多于原高故法不同后式可用前法而前式不可用后法也
　　式三原墙上广一尺下广四尺高一丈二尺今上广如故下广仅二尺一寸问高几何曰七尺六寸术以原下广减今下广馀一尺九寸以乘原高得二十二尺八寸为实以原下广减原上广馀三尺为法除实得今高式四原墙上广二尺下广六尺高二丈今已筑至上广三尺六寸问已得高几何曰一丈二尺术以今上广减原下广馀二尺四寸以乘原高得四丈八尺为实以原上广减原下广馀四尺为法除实得今高
　　式五原墙上广十尺下广三十尺高四十尺今欲筑至上广九尺问该增高几何曰二尺术以原上广减原下广馀二十尺又减原高馀二十尺为实以今上广减原上广馀一尺为法除实得今高又术以今上广减原上广馀一尺乘原高得四十尺为实以原上广减原下广馀二十尺为法除实亦合
　　筑台求积式筑直台上广八尺长二丈下广一丈八尺长三丈高一丈八尺问积若干曰六千尺术倍上长为四丈加下长共七丈乘上广得五百六十尺倍下长为六丈加上长共八丈乘下广得一千四百四十尺并两乘数得二千尺乘高得三万六千尺为实以六为法除实得积
　　筑堤求积式筑堤东头上广八尺下广十四尺高九尺西头上广二十尺下广二十二尺高二十一尺东西长九十六尺问积若干曰二万八千八百尺术倍东高为十八尺加西高共三十九尺以东上下广并得二十二尺乘之得八百五十八尺折半得四百二十九尺倍西高为四十二尺加东高共五十一尺以西上下广并得四十二尺乘之得二千一百四十二尺折半得一千○七十一尺并两折数得一千五百尺乘长得十四万四千尺为实以五为法除实得积
　　填基式填基东六丈五尺西七丈五尺南八丈北九丈高二尺用土长阔方丈高一尺为一方问该方若干曰一百一十九方术并东西为十四折半得七并南北为十七折半得八五两折数乘得五十九五又乘高得一百一十九为方数
　　垛捆〈商功之二〉
　　堆垛法
　　通曰有与少广递加之法相同者两章皆有所属故复衍于此
　　一面尖堆式一面尖堆脚阔十八问积若干曰一百七十一术用顺加求积法以十九乘十八得三百四十二折半即得说详少广
　　一面平堆式一面平堆脚七上三问积若干曰二十五术用顺加异首求积法以脚七并上三得一十为实以脚七减上三馀四加一得五为法乘之得五十折半即得
　　四面尖堆式底长阔皆十二问积若干曰六百五十术置底十二以十二加一为十三乘之得一百五十六又以十二加半为十二五乘之得一千九百五十为实以三为法除实即得
　　四面平堆式底阔八长十三问积若干曰三百八十四术以长减阔馀五折半得二五又加半得三并入长得十六以阔乘之得一百二十八又以阔加一作九乘之得一千一百五十二为实以三为法除实即得　四面尖堆即四面顺加四面平堆即长阔顺加说详少广又式横面下十上一正面下十二上三问积若干曰四百九十五术倍正下为二十四加正上得二十七以横下乘之得二百七十再乘横下得二千七百加入二百七十共二千九百七十为实以六为法除实即得通曰右二式前式若知正面上数可用后法后式可用前法
　　四面半堆式上长二十五阔十二下长三十阔十七中高六问积若干曰二千四百一十术倍上长得五十加下长得八十乘上阔得九百六十倍下长得六十加上长得八十五乘下阔得一千四百四十五并两乘数共二千四百○五以下长减上长馀五并之得二千四百一十乘高得一万四千四百六十为实以六为法除实即得
　　圆底尖堆式底外周十五问积若干曰六十九术通曰用少广超三递加法首三尾十五得积外加一得四十六又首三尾九得积外加一得十九相并得六十九又加四共六十九为积
　　通曰凡圆堆每层外周自顶一起第二层是三第三层加三为六从此每层加三故用超三也每次以三为首故每外加顶一也底外周十五用圆包加六率推之内周减六必九故初曰首三尾十五次曰首三尾九也内周九内又减六馀三为底中心三上必有一顶故又加四也盖底周至九者必加四至十二者必加十一为率也
　　三角尖堆式底面七问积若干曰八十四术以底七加一为八乘底七得五十六又以底七加二得九乘之得五百○四为实以六为法除实即得
　　三角半堆式每面上阔五底阔十二问积若干曰三百四十四术以底阔求出全积得三百六十四另以上尖虚底四求出虚积二十相减馀为实积又术上阔自乘得二十五底阔自乘得一百四十四两阔相乘得六十倍下阔加上阔得二十九并四数共二百五十八为实以下阔减上阔馀七加一得高八为法除实得二千○六十四又以六除之亦合
　　砖堆式长三丈高九尺入深四尺每块长一尺阔五寸厚二寸问该砖若干曰一万○八百块术以长为实以每块厚为法除得一百五十块以高为实以每块阔为法除得十八块两除得数相乘得二千七百块又以入深乘之即得
　　量捆法
　　木每根大率作长一丈五尺阔五寸以立法至其实数随时求之可耳
　　一封书式捆深七尺五寸阔四丈七尺长九丈问该木若干曰一万四千八百○五根术倍深得十五根倍阔得九十四根相乘得一千四百一十根为实以长率一丈五尺除长得六根为法乘实得八千四百六十根又以深七尺五寸首加一作一七五乘之即得
　　通曰阔率五寸每尺作二根故深阔皆用倍法
　　方捆式捆深七尺阔五丈长六丈问该木若干曰八千四百根术倍深作十四根倍阔作一百根相乘得一千四百根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乘实得五千六百根又以阔五丈首加一作一五乘之即得荒排式排深二丈一尺阔四丈四尺长六丈问该木若干曰八千三百七十七根六分术以三除深得七尺倍作十四根倍阔作八十八根相乘得一千二百三十二根为实以长率一丈五尺除长得四根为法乘实得四千九百二十八根又以三除深得七尺首加一作一七乘之即得
　　通曰相乘固有应得之数而有以虚乘者其数却非应得之数不过借以相求耳如一十七尺五寸乘八千四百六十根应得十四万八千○五十根而今止得一万四千八百○五根者是也首不加一用定身法〈见珠算〉乘之亦可





　　数度衍卷十六



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十七
　　桐城　方中通　撰
　　两分差〈差分之一〉
　　通曰差分章多用三率法即异乘同除也见九章外法
　　四六差分法
　　四之与六加五而已以五乘四得二并四即六以五乘六得三并六即九或以六乘四除四亦得六六亦得九皆求裒法耳既得各裒始用三率法
　　戊裒四　　　　　丁裒六　　　　　丙裒九乙裒十三裒五分　甲裒二十裒二分五釐
　　右五位裒也如六位则以已为首而甲裒更增矣若止四位则以丁为首也后仿此
　　二等户式派粮三百八十五石五斗二升甲乙二等户甲六分乙四分办纳甲二十六户乙四十户问各一户各共户若干曰甲一户纳七石三斗二升共纳一百九十石○三斗二升乙一户纳四石八斗八升共纳一百九十五石二斗术甲裒六乙裒四以六乘甲户得一百五十六以四乘乙户得一百六十并得三百一十六为首率以总粮为次率以甲裒六乙裒四为各三率以甲三率六乘次率以首率除得甲一户之数以甲户乘得共数以乙三率四乘次率以首率除得乙一户之数以乙户乘得共数
　　四等户式徴银一千七百一十六两甲乙丙丁四等户甲六分乙四分乙六分丙四分丙六分丁四分办纳问各若干曰甲七百一十二两八钱乙四百七十五两二钱丙三百一十六两八钱丁二百一十一两二钱术丁裒四丙裒六乙裒九甲裒十三裒五分并得三十二裒五分为首率以总银为次率以各裒为各三率
　　三七差分法
　　二位者甲七乙三三位者以三为首三因得九为丙裒九用七乘三除得二十一为乙裒二十一用七乘三除得四十九为甲裒四位者以三为首三因得九又三因得二十七为丁裒五位者以三为首三因得九又三因得二十七又三因得八十一为戊裒俱用七乘三除得各裒
　　〈二位〉乙裒三　甲裒七
　　〈三位〉丙裒九　乙裒二十七　甲裒四十九
　　〈四位〉丁裒二十七　丙裒六十三　乙裒一百四十七甲裒三百四十三
　　〈五位〉戊裒八十一　丁裒一百八十九　丙裒四百四十一　乙裒一千○二十九　甲裒二千四百○一
　　三等戸式派粮二百六十一石甲乙丙三等户甲七分乙三分乙七分丙三分办纳甲二十一户乙三十二户丙四十三户问各一户各共戸若干曰甲一户六石一斗二升五合共一百二十八石六斗二升五合乙一户二石六斗二升五合共八十四石丙一户一石一斗二升五合共四十八石三斗七升五合术甲裒四十九乙裒二十一丙裒九以甲裒乘甲户得一千○二十九乙裒乘乙户得六百七十二丙裒乘丙户得三百八十七相并得二千○八十八为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　五等户式徴银八百二十八两二钱甲乙丙丁戊五等戸甲七分乙三分乙七分丙三分丙七分丁三分丁七分戊三分办纳问各若干曰甲四百八十两○二钱乙二百○五两八钱丙八十八两二钱丁三十七两八钱戊十六两二钱术戊裒八十一丁裒一百八十九丙裒四百四十一乙裒一千○二十九甲裒二千四百○一相并得四千一百四十一为首率总银为次率各裒为各三率
　　二八差分法
　　二八裒惟用四乘二位者甲八乙二皆以二为首也三位者丙二四乘二得八为乙裒四乘八得三十二为甲裒
　　戊裒二　　　丁裒八　　　丙裒三十二
　　乙裒一百二十八　甲裒五百一十二
　　四等户式派银二千六百三十五两甲乙丙丁四等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分办纳问各若干曰甲一千九百八十四两乙四百九十六两丙一百二十四两丁三十一两术丁裒二丙裒八乙裒三十二甲裒一百二十八并得一百七十为首率总银为次率各裒为各三率
　　五等户式徴粮二千六百五十五石九斗甲乙丙丁戊五等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分丁八分戊二分办纳甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各一户各共户若干曰甲一户五十九石九斗○四合共一千七百九十七石一斗二升乙一戸十四石九斗七升六合共五百九十九石○四升丙一户三石七斗四升四合共一百八十七石二斗丁一户九斗三升六合共五十六石一斗六升戊一户二斗三升四合共十六石三斗八升术甲裒五百一十二乘甲户得一万五千三百六十乙裒一百二十八乘乙户得五千一百二十丙裒三十二乘丙户得一千六百丁裒八乘丁户得四百八十戊裒二乘戊戸得一百四十相并得二万七千二百为首率总粮为次率各裒为各一戸之三率
　　递分差〈差分之二〉
　　递减差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒三乙裒二丙裒一之类
　　四位式银九十二两甲乙丙丁四人递减分之问各若干曰甲三十六两八钱乙二十七两六钱丙十八两四钱丁九两二钱术甲裒四乙裒三丙裒二丁裒一并得一十为首率总银为次率各裒为各三率
　　五位式金八十一两造杯一套五个问各重若干曰甲二十七两乙二十一两六钱丙十六两二钱丁十两○八钱戊五两四钱术甲裒五乙裒四丙裒三丁裒二戊裒一并得一十五为首率总金为次率各裒为各三率又式派粮一千一百三十四石甲乙丙丁戊五等户递减办纳甲二十四户乙三十三户丙四十二户丁五十一户戊六十户问各一户各共户若干曰甲一户十石○五斗共二百五十二石乙一户八石四斗共二百七十七石二斗丙一户六石三斗共二百六十四石六斗丁一户四石二斗共二百一十四石二斗戊一户二石一斗共一百二十六石术甲裒五乘甲户得一百二十乙裒四乘乙户得一百三十二丙裒三乘丙户得一百二十六丁裒二乘丁户得一百○二戊裒一乘戊户得六十并得五百四十为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　隔位递减差分法
　　以六减者甲裒一百乙裒六十丙裒三十六以七减者甲裒一百乙裒七十丙裒四十九之类
　　用六减式派绢四百七十丈○一尺八寸四分甲乙丙三等户以一十分之六递减办纳甲二十五户乙三十户丙四十八户问各一户各共户若干曰甲一户七丈八尺共一百九十五丈乙一户四丈六尺八寸共一百四十丈○四寸丙一户二丈八尺○八分共一百三十四丈七尺八寸四分术甲裒一百乘甲户得二千五百乙裒六十乘乙户得一千八百丙裒三十六乘丙户得一千七百二十八并得六千○二十八为首率总绢为次率各裒为各一户之三率
　　用七减式派粮一百六十八石四斗八升八合甲乙丙丁四等户以一十分之七递减办纳甲二十二户乙三十六户丙四十二户丁四十八户问各一户各共户若干曰甲一户二石共四十四石乙一户一石四斗共五十石○四斗丙一户九斗八升共四十一石一斗六升丁一户六斗八升六合共三十二石九斗二升八合术甲裒一千乘甲户得二万二千乙裒七百乘乙户得二万五千二百丙裒四百九十乘丙户得二万○五百八十丁裒三百四十三乘丁户得一万六千四百六十四并得八万四千二百四十四为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　互和减半差分法
　　三位者曰三曰五曰七并一十五为裒四位者曰二曰四曰六曰八并二十为裒五位者曰一曰三曰五曰七曰九并二十五为裒奇用奇偶用偶也
　　三位式粮一百八十石给甲乙丙三人云甲多丙三十六石令互和减半分之问各若干曰甲七十八石乙六十石丙四十二石术以粮数为实以三位并裒一五〈一十五作一五〉为法除实得一百二十乃甲丙二人首尾和数内减甲多三十六馀八十四折半得丙数加甲多三十六得甲数和甲丙二数得一百二十折半得乙数
　　通曰此递减十八也后式皆系递减
　　四位式银二百四十两分甲乙丙丁四人云甲多丁十八两今互和减半分之问各若干曰甲六十九两乙六十三两丙五十七两丁五十一两术以银数为实以四位并裒二〈二十作二〉为法除实得一百二十乃甲丁二人和数内减甲多十八馀一百○二折半得丁数加甲多十八得甲数乙丙二人不可并折乃以甲多十八用三除之得六加入丁数得丙数又加六得乙数
　　通曰以首尾较数三位用二除四位用三除五位用四除得各位较数也并较减实馀均分加各较亦合如前三位式总实一百八十甲丙较三十六用二除得十八为乙丙较并得五十四减实馀一百二十六三位均分各得四十二甲加较三十六得七十八乙加较十八得六十丙即得均分数
　　五位式钞二百三十八贯分甲乙丙丁戊五人云戊不及甲三十三贯六百文令互和减半分之问各若干曰甲六十四贯四百文乙五十六贯丙四十七贯六百文丁三十九贯二百文戊三十贯八百文术以钞数为实以五位并裒二贯五百文〈即二十五〉为法除实得九十五贯二百文乃甲戊二人和数内减戊不及三十三贯六百文馀六十一贯六百文折半得戊数加戊不及数得甲数互和甲戊二数得九十五贯二百文折半得丙数又和甲丙二数得一百一十二贯折半得乙数又和丙戊二数得七十八贯四百文折半得丁数
　　倍分差〈差分之三〉
　　倍减差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒四乙裒二丙裒一之类
　　三位式银一万八千○八十八两甲乙丙三人倍减分之问各若干曰甲一万○三百三十六两乙五千一百六十八两丙二千五百八十四两术甲裒四乙裒二丙裒一并得七为首率总银为次率各裒为各三率通曰以银为实以并裒除得丙数倍得乙数再倍得甲数亦可
　　五位式派银一千一百○七两甲乙丙丁戊五等户倍减上纳甲十六戸乙二十五戸丙三十一戸丁四十八戸戊六十二戸问各一户各共户若干曰甲一户二十四两共三百八十四两乙一户十二两共三百两丙一戸六两共一百八十六两丁一户三两共一百四十四两戊一戸一两五钱共九十三两术甲裒十六乘甲户得二百五十六乙裒八乘乙户得二百丙裒四乘丙户得一百二十四丁裒二乘丁户得九十六戊裒一乘戊戸得六十二并得七百三十八为首率总银为次率各裒为各一户之三率
　　通曰两分递分倍分诸式凡有户数者以各一户数乘各戸得各共数然矣若以各裒乘各户之数为三率则先得各戸共数也以各戸除之得各一户数
　　子母差〈差分之四〉
　　求分子法
　　共子各母求各子式四商共贩得子银六千两甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百问各分子银若干曰甲七百五十两乙一千二百五十两丙一千五百两丁二千五百两术四母相并得四百八十两为首率共子为次率各母为各三率
　　共子各母各时求各子式三商共子银一千两母银多寡既不一而先后之时又不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个月丙母五百两满十个月问各分子银若干曰甲一百七十二两又九十三分两之四乙二百九十两又九十三分两之三十丙五百三十七两又九十三分两之五十九术先以各母乘各月甲母乘八得一千六百乙母乘六得二千七百丙母乘一十得五千并得九千三百两为首率共子为次率各母乘各月之数为各三率
　　又式三商母银各等一年内共得子银一千两甲母阅七月乙母阅六月丙母满十二月问各分子银若干曰甲二百八十两乙二百四十两丙四百八十两术并各月得二十五为首率总子为次率各月为各三率共时共子各母各时加减求各子式四商居积二年得利一万两甲原母三千两至满八月取出一千两至满十九月又加一千二百两乙原母二千四百两至满六月取出八百两至满十五月又加一千四百两丙原母二千两满七月悉收回至满十七月别出母一千六百两丁初不出母六月后方出母一千八百两又过四月取出九百两至满十六月又加一千五百两问各分子银若干曰甲三千五百四十六两又一千七百四十八分两之一千五百九十二乙三千一百九十二两又一千七百四十八分两之三百八十四丙一千四百四十一两又一千七百四十八分两之一千一百三十二丁一千八百一十九两又一千七百四十八分两之三百八十八术以四母各乘其月甲作三段乘以原母三千乘八月得二万四千八月之后取去一千存母二千至十九月满计十一月以十一乘二千得二万二千十九月之后又加一千二百共母三千二百至二年满计五月以五乘三千二百得一万六千并三段乘数得六万二千为甲通乙作三段乘以原母二千四百乘六月得一万四千四百六月之后取去八百存母一千六百至十五月满计九月以九乘一千六百得一万四千四百十五月之后又加一千四百共母三千至二年满计九月以九乘三千得二万七千并三段乘数得五万五千八百为乙通丙作二段乘以原母二千乘七月得一万四千自满十七月以后别出母一千六百至二年满计七月以七乘一千六百得一万一千二百并二段乘数得二万五千二百为丙通丁作三段乘自六月以后出母一千八百满四月以四乘一千八百得七千二百此后取去九百存母九百至十六月满计六月以六乘九百得五千四百此后又加一千五百共母二千四百至二年满计八月以八乘二千四百得一万九千二百并三段乘数得三万一千八百为丁通再并四通数得十七万四千八百为首率总利为次率各通数为各三率
　　求原母法
　　共母共子及各子求各母式三商共母一千五百二十两得子一百九十两甲分一百二十两乙分四十两丙分三十两问各母若干曰甲九百六十两乙三百二十两丙二百四十两术共子为首率共母为次率各分子为各三率
　　共子各子及出母率求各母式二商共得子二百两甲分五十两乙分一百五十两其母则乙多甲一倍又零八两问各母若干曰甲八两乙二十四两术以甲子五十为首率以零八两为次率各子为各三率
　　共时各时及甲母均分子求乙丙母式三商共贩一年甲先出母一千两乙母后二月方出丙母后四月方出俱不知数所得子银则均分问乙丙母各若干曰乙一千二百两丙一千五百两术以甲母乘甲月十二得一万二千为实以乙月十为法除实得乙母以丙月八为法除实得丙母
　　求出时法
　　共子各母各子及甲时求乙丙时式三商共贩得子银一千两甲母三百两系满十月乙母七百两丙母八百两俱不知月其子银则甲分五百乙分三百丙分二百问乙丙出母月若干曰乙二月又七分月之四丙一月又二分月之一术以甲为凖以甲子五百为首率以甲月乘甲母得三千为次率以乙丙各子为各三率如法次三两率相乘首率除得四率乙得一千八百为乙母乘乙月之数丙得一千二百为丙母乘丙月之数再以乙母除乙四率得乙月数丙母除丙四率得丙月数
　　和求法
　　或知此子而不知彼子或知彼母而不知此母时亦如之
　　共子各子甲母与时及乙母丙时求乙时丙母式三商共得子银一百三十八两甲母二百两经十二月乙母二百四十两不知月丙经十月不知母其子银则甲分六十乙分四十八丙分三十问乙时丙母若干曰乙时八月丙母一百二十两术以甲子为首率甲母乘甲月得二千四百为次率乙丙各子为各三率求得乙四率一千九百二十为乙母乘月之数以乙母除得乙月求得丙四率一千二百为丙月乘母之数以丙月除得丙母
　　共子各时分子率及甲母求乙丙母及各子式三商共得子银一百九十两其分数则乙比甲仅三之一丙比甲仅四之一甲出母八十两经十二月乙经八月丙经四月俱不知母问乙丙母及各子若干曰乙母四十两丙母六十两甲子一百二十两乙子四十两丙子三十两术以甲母乘甲月得九百六十为首率乙得三之一则三分首率得三百二十为乙次率丙得四之一则四分首率得二百四十为丙次率乃以乙月为法除乙次率得四十为乙母以丙月为法除丙次率得六十为丙母既知乙丙之母则以前首率与乙丙两次率相并得一千五百二十为后首率以共子为后次率以前首率为甲三率以乙次率为乙三率丙次率为丙三率共母共子及合和求各母子式三商共母一千五百二十两共得子母和银一千七百一十两甲分一千○八十两乙分三百六十两丙分二百七十两问各母各子若干曰甲母九百六十两子一百二十两乙母三百二十两子四十两丙母二百四十两子三十两术以共子为首率共母为次率各和为各三率求得各母以各母减各和馀即各子
　　共子甲乙母及丙子求甲乙子及丙母式三商共得子银一千五百二十两甲母一千○八十乙母三百六十丙不知母而分子二百四十问甲乙子及丙母各若干曰甲子九百六十两乙子三百二十两丙母二百七十两术先于共子内减去丙子馀一千二百八十为甲乙和子乃并甲乙母得一千四百四十为首率以甲乙和子为次率用甲母为三率求出甲子用乙母为三率求出乙子既知甲乙子数再并甲乙子得一千二百八十为后首率以前首率为后次率以丙子为三率求出丙母
　　共子甲母及出母裒求各母各子式四商共得子银三百四十两其母以四递加如乙五则丙九丙七则丁十一丁九则甲十三之类甲母二百八十六问各母各子若干曰丁母一百九十八两丙母一百二十六两乙母七十两甲子一百四十三两乙子三十五两丙子六十三两丁子九十九两术由甲推丁以甲裒十三为首率甲母为次率丁裒九为三率求出丁母由丁推丙以丁裒十一为首率丁母为次率丙裒七为三率求出丙母由丙推乙以丙裒九为首率丙母为次率乙裒五为三率求出乙母乃并四母得六百八十为后首率共子为后次率各母为各后三率求出各子
　　通曰与超四递加不同此乃各有递四之加也
　　附式原借母十五两每月每两加子二分五釐满六月还过母子和九两问母子各已还若干仍留母若干曰还母七两八钱二分六釐还子一两一钱七分四釐仍留母七两一钱七分四釐术以还银九两为实以六月用二分五釐通之得一钱五分得通子加母数一两得一两一钱五分为法除实得还母以通子乘之得还子原母内减还母得留母
　　通曰此留母未还子也若六月还全母之子二两二钱五分还母六两七钱五分应留母八两二钱五分矣附式三次为商俱得合利每次贮银三百两三次恰尽问原母若干曰二百六十二两五钱术以贮银折半得一百五十加三百得四百五十又折半得二百二十五又加三百得五百二十五又折半得原母三折者三次也借裒互徴另又一术
　　合率差〈差分之五〉
　　合率差分法
　　式谷二百四十石作五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数等问各若干曰甲六十四石乙五十六石丙四十八石丁四十石戊三十二石术甲裒五乙裒四并得九丙裒三丁裒二戊裒一并得六以六减九馀三乃于五等裒上各加三甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四又并之得三十为首率总谷为次率各裒加三得数为各三率
　　通曰此递差八也曰三人分则甲数与乙丙数等而七人分则甲乙丙数与丁戊己庚数不等乃截庚入甲乙截丙入丁戊巳两数始等此亦就裒而言若裒上加有等数俱不等矣故用并减之法也
　　式二银七百六十两甲十分乙七分丙二分问各若干曰甲四百两乙二百八十两丙八十两术甲裒十乙裒七丙裒二并得一十九为首率总银为次率各裒为各三率
　　式三田一百三十八亩每亩徴米二斗今徴七分本色米三分折丝每米一石折丝一斤问各若干曰米十九石三斗二升丝八斤四两四钱八分术以米二斗乘田得二十七石六斗为实以七与三并一十为法用七乘实得一百九十三石二斗以法除得米用三乘实得八十二石八斗以法除得八石二斗八升以石变斤得八斤其二斗八升用加六法得四斗四斗八合即四两四钱八分
　　式四米二十四石给甲乙丙丁四人甲四分乙五分丙七分丁九分问各若干曰甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石七斗二升丁八石六斗四升术以米为实并各裒得二十五为法除实得九斗六升为一分之数以各裒乘得各数
　　式五徴粮七十三石二斗三等户照分办纳上二十五戸每户五分中四十户每户三分下六十户每户一分问各一户各共户若干曰上一户一石二斗共三十石中一户七斗二升共二十八石八斗下一户二斗四升共十四石四斗术以各裒乘各户上得一百二十五中得一百二十下得六十并得三百○五为首率总粮为次率各裒为各一户之三率
　　式六每芝蔴三斗换米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝蔴四百五十石换米豆共九百二十五石问各用芝蔴及米豆各若干曰换米用芝蔴一百八十七石五斗换豆用芝蔴二百六十二石五斗米三百一十二石五斗豆六百一十二石五斗术并米五豆七得十二为首率以芝蔴总数为次率米五豆七为各三率求出用芝蔴各数再以换米用一百八十七石五斗以三斗除之得数以五斗乘之得米数以换豆用二百六十二石五斗先求出米数以三斗除之得数以五斗乘之得米四百三十七石五斗乃再以三斗除之得数以七斗乘之得豆数式七银十一块金九块等重交换一块则十银一金之重多于八金一银一十三两问金银各块各共若干曰金一块重三十五两七钱五分银一块重二十九两二钱五分银十一块共重三百二十一两七钱五分金九块共重等术以较十三两折半得六两五钱乘金九块得五十八两五钱为实以金九银十一相减馀二为法除实得二十九两二钱五分为银一块数以十一乘得共数以半较六两五钱乘十一得七十一两五钱为实仍以前二为法除实得三十五两七钱五分为金一块数以九乘得共数通曰以盈朒法求之亦得
　　式八冰片每两价二两七钱五分沉香每两价三钱五分伽楠每两价八钱有以沉香十七斤三两有以伽楠十三斤十二两问各换冰片若干曰沉香换得冰片三十五两伽楠换得冰片六十四两术以冰片价为首率用斤求两法〈见乘布〉化沉香伽楠得两数为各次率各价为各三率
　　式九军二万五千二百名月粮米麦豆兼支米每四名支三石麦每九名支五石豆每七名支八石问各若干曰豆二万八千八百石麦一万四千石米一万八千八百石术以七名九名四名为各首率军数为次率八石五石三石为各三率
　　式十刻漏一壶贮水令开三孔漏水大孔二时而尽中孔三时而尽小孔六时而尽如三孔齐泄则几时水尽曰一时漏尽术以三孔与时相较各时为各首率一壶为次率最小时为三率求得大孔六时漏尽三壶中孔六时漏尽二壶小孔原系六时漏尽一壶合计六时三孔共漏尽六壶因知一时共漏尽一壶也又术以二时三时六时为各首率一壶为次率一时为三率求得大孔一时漏水二之一中孔一时漏水三之一小孔一时漏水六之一合计二之一三之一六之一共十分亦合右三数偶满一时若并有奇零者另法求之如累台一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同累须几时可完必先知每人每年之工而总计之六年者每年得六之一九年者每年得九之一十八年者每年得十八之一并得每年共三分之一〈奇零加法〉约计三年始完甲成二之一乙成三之一丙成六之一共足十分之数也
　　式十一漏壶上注下泄塞下窍注水四时而满开下窍泄水六时而尽若上注下泄相并则几时可满曰十二时术用三次测法先以四时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所法乃四分壶之一次以六时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所泄乃六分壶之一以四之一与六之一相减馀十二之一〈奇零减法〉乃以十二之一为首率一时为次率一壶为三率求得十二时
　　通曰以四时较六时则有二时不泄欲得六时俱不泄必须三回注四时矣亦合十二时之数也
　　问上注下泄四时满几分曰六时尽者四时泄三分之二以除全壶馀三分之一为水满数又问如塞下窍三时而满开下窍八时而尽若上注下泄须几时可满曰以三时满者一时之率三之一以八时尽者一时之率八之一就三之一减八之一馀二十四之五为一时之率则全壶得四时零五分时之四也又问一壶既以三时而满如四时又五分时之四可满几壶曰满一壶又十五分壶之八又问八时尽一壶若四时又五分时之四该几何曰此五分壶之三即于前数一时满一壶者除之便得问八时尽一壶三时得几何曰三时泄得八分之三以除全壶馀八五之五是三时满八分之五又问三时满八分之五则全壶几时满曰四时零五分时之四也
　　式十二兵百人领队四人旗牌六人器械七万二千四百件犒军旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三问各得若干曰兵得六万每人六百旗牌得六千每人一千领队得六千四百每人一千六百术以兵裒三乘一百得三百以旗牌裒五乘六得三十以领队裒八乘四得三十二并得三百六十二为首率器械为次率各裒乘数为各三率求出各共得数再以各人数除之得每人数
　　式十三大船三桅六桨小船一桅八桨今桅五十九桨二百○二问大小船各若干曰大船十五小船十四术并大小船每只桅桨各九共一十八为首率大小二只为次率并桅桨全数为三率推得二十九只乃大小和数减小之一补大得各数
　　贵贱差分法
　　式朱砂每斤三两六钱石青每斤二两四钱有银一千二百两买朱青二色朱数增青一倍问各若干曰朱二百五十斤共价九百两青一百二十五斤共价三百两术因朱加倍即倍其价为七两二钱并青价得九两六钱为首率总银为次率各一斤之价为各三率求出各斤数各以价乘得各共价
　　式二银五十五两五钱买铜锡铁共重八万三千○五十两每银一钱买铜一百三十两锡一百五十两铁一百七十两问各若干曰铜二万四千七百两共价十九两锡二万七千七百五十两共价十八两五钱铁三万○六百两共价十八两术以总银用三色除之得十八两五钱为中间锡价以每一钱买一百五十两乘之得锡数共重内减锡数馀五万五千三百两为铜铁和总银内减锡价馀三十七两为铜铁和价以每一钱买铜一百三十两乘和价得四万八千一百两以减铜铁和馀七千二百为实以铜一百三十与铁一百七十相减馀四十除实得一百八十钱为铁价十八两以一百七十乘之得铁数又于和价内减铁价馀十九两为铜价以一百三十乘之得铜数
　　式三绫每尺九分二釐罗每尺八分五釐绢每尺三分六釐有银一百二十一两一钱七分五釐买绫一停罗二停绢三停问各若干曰绫三十二丈七尺五寸共价三十两○一钱三分罗六十五丈五尺共价五十五两六钱七分五釐绢九十八丈二尺五寸共价三十五两三钱七分术二停乘罗价得一钱七分三停乘绢价得一钱○八釐以并绫价共三钱七分为首率总银为次率各每尺价为各三率求出各数各每尺价乘得各共价
　　式四绫罗纱绢共一百六十疋共价九十三两绫每疋九钱罗每疋七钱纱每疋五钱绢每疋三钱问各若干曰绫三十五疋价三十一两五钱罗四十疋价二十八两纱四十疋价二十两绢四十五疋价十三两五钱术以四色除总疋得四十疋即中间罗纱之数罗四十疋以每疋价推得银数纱四十疋以每疋价推得银数总疋内减罗纱馀八十疋为绫绢和共价内减罗纱价馀四十五两为绫绢价和乃以绫九钱乘绫绢和得七十二两以减馀银尚馀二十七两为实以绫九钱减绢三钱馀六钱为法除实得四十五为绢数于绫绢和内减之馀三十五为绫数各以每疋价乘得各价
　　式五银一千○八两买丝三停绵二停线一停共重三百六十两其价线二两丝止一两线一两六钱绵止一两问各若干曰丝重一百八十两价二两二钱四分〈得线价二之一〉绵重一百二十两价二两八钱〈得线价十六之十〉线重六十两价四两四钱八分术并各裒丝三绵二线一得六为首率总重为次率各裒为各三率求出各重丝一百八十以二两〈线二两也〉除得九十绵一百二十以一两六钱〈线一两六钱也〉除得七十五以并线六十共二百二十五为法除总银得线价以一六除线价得绵价以二除线价得丝价
　　式六银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋绫疋价多罗疋价四钱七分罗疋价多绢疋价一两三钱五分问各疋价若干曰绫每疋四两三钱二分罗每疋三两八钱五分绢每疋二两五钱术以多绢价一两三钱五分乘罗疋得四百○五两以两多价共一两八钱二分乘绫疋得二百七十三两并两乘数得六百七十八两以减总银馀二千二百五十两为实并三色共九百疋为法除实得二两五钱为绢每疋价加多一两三钱五分得罗每疋价又加多四钱七分得绫每疋价又术以多罗价四钱七分乘罗疋得一百四十一两以两多价共一两八钱二分乘绢疋得八百一十九两相并得九百六十两加入总银得三千八百八十八两为实以三色并得九百疋为法除实得绫疋价依裒减之亦合
　　通曰此又名匿价差分法
　　式七银一万○七百七十八两六钱○五釐籴米麦豆三色均平其每石价米二两三钱五分麦一两九钱五分豆一两四钱五分问各若干曰三色共一千八百七十四石五斗四升米共价四千四百○五两一钱六分九釐麦共价三千六百五十五两三钱五分三釐豆共价二千七百一十八两○八分三釐术以总银为实并三色每石价共五两七钱五分为法除实得各石数各以每石价乘得各共价
　　带分母子差分法
　　式四人共分金七百八十五两乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九问各若干曰甲四百两乙二百八十两丙六十两丁四十五两术先并各子乘各母从小并起除丁九无并其丙裒十二又系三则以十二并三依约法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六为乙裒乙系五十六又系七则以五十六并七依约法七八五十六且作八以乘甲之十得八十为甲裒乃并丁九丙十二乙五十六甲八共一百五十七为首率总银为次率以各裒为各三率
　　式二三人共钱三千○四十二文甲得二之一乙得三之一丙得四之一问各若干曰甲一千四百○四乙九百三十六丙七百○二术先并母㝷其通四分三分二分之一者为主依法二三乘得六又乘四得二十四约之得十二以甲乙丙分之其数皆通甲二之一用六为裒乙三之一用四为裒丙四之一用三为裒乃并三裒得十三为首率总钱为次率各裒为各三率
　　式三三县派粮共一千四百○七石小县二分之一中县五分之三大县十一分之八问各若干曰大县五百六十中县四百六十二小县三百八十五术以各母相乘求通数二乘五得一十又乘十一得一百一十为通数小县裒五十五中县裒六十六大县裒八十并三裒得二百○一为首率总粮为次率各裒为各三率　此与右式同术
　　式四四人共银三百九十六两甲得二分之一外加十两乙得五分之三内欠二十两丙得三分之一外加八两丁得四分之一内欠六两问各若干曰甲一百二十乙一百四十四丙八十丁六十术先于总银内除去加数甲十丙八存三百七十八加入欠数乙二十丁六共四百○四两乃依前法并母二乘五得一十又乘三得三十又乘四得一百二十约得六十为通数甲裒三十乙裒三十六丙裒二十丁裒十五并得一百○一为首率四百○四两为次率各裒为各三率
　　式五兄弟三人季岁得伯四之三仲岁得伯六之五仲多季只八岁问各岁若干曰伯九十六仲八十季七十二术已知两母为伯裒并其母四六相乘得二十四为伯裒之实乃用母子互乘以求仲季之裒〈四之三六之五〉以四乘五得二十为仲裒以六乘三得十八为季裒以仲季两裒较二为首率仲多季八为次率伯裒二十四仲裒二十季裒十八为各三率
　　式六四人分钱不知数云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七丁与丙差四文问各若干曰甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文术先并母四乘六得二十四又乘二十四得五百七十六为甲裒乃以乙母六除甲裒得九十六以乙子五乘得四百八十为乙裒以丙母四除甲裒得一百四十四以丙子三乘得四百三十二为丙裒以丁母二十四除甲裒得二十四以丁子一十七乘得四百○八为丁裒以丙丁二裒之较二十四为首率丙丁差四为次率各裒为各三率　此与右式同术但彼三位此四位也通曰右二式用后借裒互徴法亦可
　　式七七人分钱甲乙共七十七文戊己庚共七十五文问丙丁及诸人各若干曰甲四十乙三十七丙三十四丁三十一戊二十八己二十五庚二十二术先令母子互乘甲乙二人为母七十七为子戊己庚三人为母七十五为子〈二人三人〉□〈七十七七十五〉以二乘七十五得一百五十以三乘七十七得二百三十一相减馀八十一为一差之实并两母二三得五折半得二人半以减总七人馀四人半以两母相乘得六乘四人半得二十七为一差之法以法除实得三文为一差之数乃知自甲而下递减三文也以三加甲乙和得八十折半得甲数递减三得各数
　　式八大小船数相等共载盐四千三百五十引大船每三只盐五百小船每四只盐三百问船盐各共若干曰大小船俱十八只大船共盐三千小船共盐一千三百五十术先令子母互乘〈大三小四〉□〈五百三百〉以三乘三百得九百以四乘五百得二十并得二千九百为首率两母相乘得十二为次率总盐为三率求出各船十八再以两母三四为各首率两子五百三百为各次率以船数十八为三率求得各盐数
　　式九鳌灯一座大小灯球大每三盏油四两小每四盏油三两其小灯多大灯二之一共用油十八斤七两问大小灯及用油各若干曰大灯一百二十盏用油十斤小灯一百八十盏用油八斤七两术因有二之一立大母二小母三〈小多大二之一故作三〉通斤为两〈用粟布法〉以十八斤七两通作二百九十五两又通两为铢每两二十四铢通作七千○八十铢先求大小每盏油数以三盏四盏为各首率以二十四铢为次率以四两三两为各三率求得大每盏用油三十二铢小每盏用油十八铢再求大小盏数以母二乘三十二得六十四以母三乘十八得五十四并得一百一十八为首率以总油七千○八十铢为次率以母二母三为各三率求得各盏数以各每盏铢数乘得大共用三千八百四十铢小共用三千二百四十铢各归整得油数
　　贵贱相和差分法
　　式甲乙物共一百斤共价八钱七分五釐甲二斤价四分乙七斤价五分问各若干曰甲一十二斤半共价二钱五分乙八十七斤半共价六钱二分五釐术立长短
　　法上中下
　　三互求之
　　以甲价四分乘乙七斤得二钱八分以甲二斤乘乙价五分得一钱相减馀一钱八分为长法以乙七斤乘总价得六两一钱二分五釐以乙价五分乘总一百斤得五两相减馀一两一钱二分五釐为实以长法除实得六分二釐五毫为短法以甲二斤乘短法得十二斤半为甲数以甲价四分乘短法得二钱五分为甲价减总得乙又术以甲二斤乘总价得一两七钱五分以甲价四分乘总一百斤得四两相减馀二两二钱五分为实仍用前长法除之得一钱二分五釐为短法以乙七斤乘之得八十七斤半为乙数以乙价五分乘短法得六钱二分五釐为乙价减总得甲
　　通曰合率诸式凡有差皆递加之差也苟非递加则须用盈朒法矣

















　　数度衍卷十七
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十八
　　桐城　方中通　撰
　　和较三率〈差分之六〉
　　和较三率差分法
　　凡数分合不离三率而互和难测则立较以测之立中率以较之而又互置较位以求之
　　式上酒每斗价二钱中酒每斗价一钱二分今杂和二酒每斗价一钱五分内各酒若干曰八分斗之三为上酒〈三升七合五勺〉八分斗之五为中酒〈六升二合五勺〉术先立三率之程立和价一钱五分为一十五列上列上中二价为二
　　十为十二于右以
　　上价二十与立十
　　五较得五列左与中价并以中价十二与立十五较得三列左与上价并此互对也乃并两较三五得八列左下以并较为首率以一斗为次率以中较为上酒之三率上较为中酒之三率
　　式二甲金一两凖银十五两乙金一两准银十二两今
　　镕为一处使金一
　　两准银十四两其
　　甲乙金各若干曰甲该三分两之二乙该三分两之一术立和金凖银于上如法较之以并较为首率一两为次率乙较为甲之三率甲较为乙之三率
　　式三玉率方寸重七两石率方寸重六两今有璞方三寸重一百七十六两问玉石各若干曰玉九十八两石
　　七十八两术
　　立重数于上
　　以璞方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石以玉率七乘二十七得一百八十九两以石率六乘二十七得一百六十二两二数列右并较为首率立方二十七寸为次率石较为玉之三率玉较为石之三率求得玉一十四以七乘得玉数求得石一十三以六乘得石数
　　式四银裹金方四寸共重九百○四两每银方寸重十
　　二两金方
　　寸重十六
　　两问各若干曰金五百四十四两银三百六十两术立共重于上以四寸自乘再乘得立方六十四寸以通金银以银十二乘立方得七百六十八以金十六乘立方得一千○二十四列如前以并较为首率立方为次率以两较互为各三率求得金三十四寸银三十寸各以方寸重乘之得各数　此与右式同
　　式五椒一斤价四钱丁香一斤价三钱桂皮一斤价六钱阿魏一斤价一两缩砂一斤价八钱今以银七钱买上五色共一斤问各色若干曰椒十三分斤之一丁十三分斤之三桂十三分斤之一魏十三分斤之四砂十三分斤之四术立七钱于上此系多位者先定互对有
　　对者寻对
　　而互列之
　　如椒砂互丁魏互是也若桂则无对须借砂作对而互又列其桂较之一于砂左砂傍凡两数矣凡相对互位者务取一大于立数一小于立数如砂数大对椒数小也以较积为首率一斤为次率各傍列较数为各三率砂傍之椒三桂一并四为砂之三率也
　　又术取一大一小杂互更位如椒砂互椒魏又互丁砂
　　互桂砂又互
　　丁魏互桂魏
　　又互凡六互
　　得较积二十八以为首率一斤为次率各傍列较为各三率椒傍〈一三〉并四丁傍〈一三〉并四桂傍〈一三〉并四魏傍〈三四一〉并八砂傍〈三四一〉并八求出四率即各数


　　又术随意易位亦以大数互小数砂傍丁四桂一并五


　　四率〈十三分　十三分　十三分　十三分　十三分斤之三　斤之一　斤之一　斤之三　斤之五〉通曰后二术求出之数与前不同不可为凖姑存其法耳式六绿縀每丈价四两青缎每丈价六两红缎每丈价十两今有银四百八十两买缎八十丈问各若干曰绿三十二丈青三十二丈红一十六丈术先以八十丈除四百八十两得每丈六两为立价依法列之绿与红互
　　青又与红互以较积为
　　首率总丈为次率各傍
　　列较为各三率红傍之绿二青○止作二
　　通曰青价六与立六等故青较作○而红傍之较数无并仍作二也凡价与立等者皆作○若价皆大于立皆小于立皆等于立则不可较矣
　　式七酒四等甲酒每瓶二钱一分乙酒每瓶二钱七分丙酒三钱丁酒四钱今有酒共三百瓶每瓶立价三钱三分问各若干曰甲酒五十瓶乙酒五十瓶丙酒五十瓶丁酒一百五十瓶术以三钱三分作三十三为立数
　　其四
　　色惟
　　丁四
　　十〈四钱〉大于立其甲二十一〈二钱一分〉乙二十七〈二钱七分〉丙三十〈三钱〉皆小于立则此三小数皆与丁相互矣依法列之丁傍之甲十二乙六丙三并为二十一以较积为首率总瓶为次率各较为各三率
　　式八银四百两买药四百斤内丁香每斤价六钱椒每斤价七钱桂九钱苏合一两一钱辰砂一两二钱阿魏一两六钱问各若干曰丁八十七斤又二之一椒一百斤桂二十五斤合五十斤砂五十斤魏八十七斤又二
　　之一术
　　先以四
　　百斤除四百两每斤得一两作一十为立数列之丁魏互丁合互椒砂互椒魏互桂砂互首率较积次率总药三率　七〈丁〉　八〈椒〉　二〈桂〉　四〈合〉　四〈砂〉　七〈魏〉又术以丁互合又互砂又互魏以椒互合又互砂又互魏以桂互合又互砂又互魏以上三位遍互下三位也




　　又术以丁互合椒互砂桂互魏

　　又术以丁互魏椒互砂桂互合


　　又术以丁互砂椒互合桂互魏


　　式九金铸一器重三百两俱九六成色今有九九成色及九一成色二等金约每用若干曰九九成色金用一百八十七两五钱九一成色金用一百一十二两五钱
　　术立九六为中价
　　依法互之并较为
　　首率共重为次率各较为各三率
　　式十米麦共五百石共价四百○五两七钱米每石价八钱六分麦每石价七钱二分五釐问各若干曰米三百二十石共价二百七十五两二钱麦一百八十石共价一百三十两○五钱术立共价以米麦每石各价各
　　乘五百石
　　米得四百
　　三十两麦得三百六十二两五钱依法互之以并较为首率总石为次率各较为各三率求得米麦各数各以每石价乘之得各共价
　　式十一银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分问各若干曰铜九十六斤又七之三锡九十六斤又七之


　　斤又七之一术以共重除总银得九分四釐作九十四为立数互之以并较为首率共重为次率各较为各三率
　　式十二银九十三两买绫罗纱绢共一百六十疋每疋价绫九银罗七钱纱五钱绢三钱问各若干曰三十六疋又四之一为绫与罗同数四十三疋又四之三为纱与绢同数术先以总疋除总银得五钱八分一厘二毫五丝作五万八千一百二十五为立数他皆以钱作万列之罗绢互罗纱又互绫纱互绫绢又互并较为首率总疋为次率各较为各三率



　　通曰右二式以贵贱差分法推之亦可
　　通曰中率者两差之中较也三四五六及多差之中较也得乎中率而以多较少以少较多故又须互用而数始出非互则无所用较矣
　　借裒互徴〈差分之七　按同文算指裒作衰〉
　　借裒互徴差分法
　　数有隐伏非裒分可得者则别借虚数以类徴之或合率增减或母子射覆借彼徴此借虚徴实亦三率法而触类长之也
　　式三人共买一宅用价二千七百两其出数乙视甲加倍丙视甲乙共数又加倍问各若干曰甲三百乙六百丙一千八百术随意立一数为甲裒但用小数而以乙丙照裒加之如甲裒作一则乙必二丙必六也如甲裒作六则乙必十二丙必三十六也今以甲裒作六乙裒十二丙裒三十六并得五十四为首率各裒为各次率总价为三率如用甲次裒求得甲数倍之得乙数并甲乙数又倍之得丙数
　　通曰此即加倍法也三率法中二三两率本可相换故此以各较为次率总价为三率也
　　式二贮绢不知数但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实若干曰六千疋术㝷一通数而测之如用六十以通各分三之一为二十四之一为十五五之一为十二并三数得四十七为首率以通数六十为次率四千七百为三率
　　式三厩马不知数但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百一十二匹其实若干曰三十六匹术先于共匹内减末加之一只以一百一十一匹算之用通数十二加一倍得二十四又加二之一得六加三之一得四加四之一得三共加得三十七为首率以通数为次率以一百一十一为三率求出四率三十六外加前裒合一百一十二
　　式四牧羊不知数但云加一倍又加二之一又加四之一外加一共得一百其实若干曰三十六术于一百内去一只作九十九用通数十二依裒加得三十三为首率通数为次率九十九为三率求出三十六如前裒加之合一百　此与右式同
　　式五银五千两买甲乙丙三宅乙比甲多三倍丙又比乙多四倍问各价若干曰甲宅二百乙宅八百丙宅四千术随意立一通数如立甲裒三十乙裒为一百二十丙裒为六百并得七百五十为首率以甲裒三十为次率以五千为三率求出二百如前加得八百又加得四千　此与一式同
　　式六入园摘瓜摘过三分之二又五分之一尚剰三十六问此园原瓜若干曰二百七十术先立通数如借三百为通数内减三之二去二百又减五之一去六十存四十为首率以通数为次率以尚剰三十六为三率须察借立通数内减去两次尚剰之数或等或多于三十六方可若少于三十六则不可用也又须知三之二五之一并之未满原数方可推测若三之一五之三则浮于原数便为虚设不必算矣
　　式七二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二其原数若干曰三百六十术借六十为通数依裒剖之二之一为三十三之一为二十四之一为十五五之一为十二六之一为一十并得八十七为首率以六十为次率以五百二十二为三率求出三百六十为原数二之一乃一百八十三之一乃一百二十四之一乃九十五之一乃七十二六之一乃六十并之合五百二十二之数
　　式八仓粟不知数但云外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石问原粟若干曰九十六石术先于三百内减去一百存二百石乃借二十四为通数外加二之一得十二又加三之一得八又加四之一得六并得五十为首率以通数为次率以二百为三率求出四率九十六外加前裒合三百
　　通曰此与三式相同但彼四率在一百一十二之外故不并通数而止并加数为首率此四率在三百之内故连并通数及加数为首率也
　　式九大小水碓五副共舂米五十石每舂一时甲七斗乙五斗丙四斗丁三斗戊一斗今五碓齐舂须几时可完各舂若干曰二十五时甲十七石五斗乙十二石五斗丙十石丁七石五斗戊二石五斗术随意立一时数如借四时以计各碓所舂甲七乘四得二石八斗乙五乘四得二石丙四乘四得一石六斗丁三乘四得一石二斗戊一乘四得四斗并得八石为首率四时为次率五十石为三乘求出二十五时各以每时斗数乘之得各舂数
　　式十为商三次俱获倍息每次归还三百两三次母子尽问原贷若干曰二百六十二两五钱术借一数为母加三次倍息初一次二次四共七并母一得八为首率内减母一馀七为次率三百两为三率又术以三百两折半得一百五十两又加三百得四百五十两又折半得二百二十五两又加三百得五百二十五两又折半即得
　　通曰子母差和求法有此式然用借裒为正法也式十一商贩四次俱获倍息每次费九十六两四次子母俱尽问原母若干曰九十两术借一数为母加四次倍息曰一曰二曰四曰八并得十五再并母一得十六为首率十五为次率九十六为三率
　　式十二为商初次所获比母银多三之二以并入母银再往获五之四三次往又获四之三计所获并母银共四百两问原母若干曰六两又三分两之二术亦借数递乘各母以推之如借一十为通数乘三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百为首率以通数为次率以四百为三率求出六两又三分两之二以三乘之得二十又以五乘二十得一百又以四乘一百得四百两合数
　　式十三携酒郊游三次俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍馀酒至三次酒尽问原携若干曰一斗六升六合二勺五抄术借一数为原酒加三次倍率曰一曰二曰四并得八为首率减原借一存七为次率以一斗九升为三率又术并三次倍率一二四为七以乘一斗九升得一石三斗三升减半三次即得
　　式十四载米赈济每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍馀米五赈恰尽问原载米若干曰一千四百五十三石一斗二升五合术借一数为原米加五次倍率曰一曰二曰四曰八曰十六并得三十二为首率止并五次率得三十一为次率以一千五百为三率
　　通曰以次率乘三率得四万六千五百石减半五次亦合
　　式十五立一虚数以乘四得数又乘三得数又乘六得数外加一十共八百前所立虚数若干曰一十又三十六之三十五术于八百内除去所加一十馀七百九十借一十为通数以乘各裒以一十乘四得四十又以四十乘三得一百二十又以一百二十乘六得七百二十为首乘以通数为次率以七百九十为三率求出一十又三十六之三十五以乘四得四十三又九之八以乘三得一百三十一又三之二以乘六得七百九十加一十合数
　　式十六老人不知年但云加二之一又减四之一得九十九岁问实年若干曰八十八术借八十为通数依裒加减加二之一为四十并八十得一百二十又减四之一为三十于一百二十内减之馀九十为首率以通数为次率以九十九为三率
　　式十七远望一塔上露出二丈四尺下遮不见云尚有三分之一又五分之二其共高若干曰九十尺术借立三十为通数于三十内减去三之一馀二十又于三十内减去五之二为一十二乃于馀二十内减一十二馀八为首率通数为次率二十四尺为三率求出九十尺为塔高内减三之一为三十尺又减五之二为三十六尺馀二十四尺合上露之数
　　式十八旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚馀十二尺红色其竿长若干曰四十九尺又十一分尺之一术借四十五为通数减三之一为十五减五之一为九减九之二为一十俱于通数内减去馀十一为首率通数为次率红十二尺为三率求出四十九尺又十一分尺之一其白三之一乃十六尺又十一之四也黑五之一乃九尺又十一之九也青九之二乃十尺十一之十也
　　式十九白布三十疋青布四十疋共价六百六十两其青布每疋比白布价多一倍问各疋价若干曰白价六两青价十二两术借四两为白价倍得八两为青价以四乘白布三十得一百二十以八乘青布四十得三百二十并得四百四十为首率通数四两为次率共价为三率求出六两为白疋价倍得十二两为青疋价通曰以八两为次率求出青疋价盖二位之借裒皆通数也












　　数度衍卷十八



　　钦定四库全书
　　数度衍卷十九
　　桐城　方中通　撰
　　均输
　　均赋法
　　式五县输谷二万石每车载二十五石行一里僦值一钱甲县二万○五百二十户谷石价二两乙县一万二千三百一十二户谷石价一两远输二百里丙县七千一百八十二户谷石价一两二钱远输一百五十里丁县一万三千三百三十八户谷石价一两七钱远输二百五十里戊县五千一百三十户谷石价一两三钱远输一百五十里问各若干曰甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺僦价无乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺僦价二十两丙二千七百七十七石五斗八升四合四勺僦价十五两丁三千四百三十八石九斗一升四合零僦价二十五两戊一千八百七十九石五斗六升八合三勺僦价十五两术先求各裒惟甲自输本县无僦里以谷价二两作二十除甲户得一千○二十六为甲裒乙丙丁戊俱有僦价各以僦一钱乘各里而以每车载二十五石除之得各运价以除各戸而求各裒也乙二百里乘除之得八钱并谷价一两得一两八钱除乙户得六百八十四为乙裒丙一百五十里乘除之得六钱并谷价一两二钱得一两八钱除丙户得三百九十九为丙裒丁二百五十里乘除之得一两并谷价一两七钱得二两七钱除丁户得四百九十四为丁裒戊一百五十里乘除之得六钱并谷价一两三钱得一两九钱除戊户得二百七十为戊裒并五裒得二千八百七十三为首率以总谷为次率以各裒为各三率用异乘同除法〈见九章外法〉
　　通曰合谷价僦价而计之每户所出皆均也
　　式二派粮八百四十石四县照田亩多寡纳之甲田三千六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五百七十七亩丁田四千三百二十二亩问各若干曰甲二百一十八石一斗乙一百四十七石九斗六升丙二百一十四石六斗二升丁二百五十九石三斗二升术并四县亩得一万四千为首率总粮为次率各亩为各三率
　　式三派粮二百七十四石三限催徴初限五分中限三分半末限一分半问各限若干曰初限一百三十七石中限九十五石九斗末限四十一石一斗术以五分乘总粮得初限数以三分半乘总粮得中限数以一分半乘总粮得末限数
　　通曰此非乘而积之乃乘而折之也
　　式四甲乙丙三人以田多寡均应一年差役甲田三百五十亩乙田二百八十亩丙田一百七十亩问各役几时曰甲一百五十七日半乙一百二十六日丙七十六日半术并三田共八百亩为首率以一年通作三百六十日为次率以各田为各三率
　　式五粮三千六百石三处仓上纳其每石则例东仓三斗三升四合西仓三斗三升五合南仓三斗三升一合问各仓若干曰东仓一千二百○二石四斗西仓一千二百○六石南仓一千一百九十一石六斗术此与三式同以总粮为实以各仓则例乘之得各数
　　式六众人输钞首出八文以下各加一文至出六十文止问人钞各若干曰五十三文共钱一千八百○二文术以八文并六十文得六十八为实以六十文减八文馀五十二再加首次所加一文得五十三为法以法乘实得三千六百○四折半得共钱数法即人数
　　式七人一百名自第一人输银一百两以下挨减五钱问共银若干曰七千五百二十五两术以百名内减去第一人馀九十九名以五钱乘得四十九两五钱于一百两内减之馀五十两○五钱并第一名一百两得一百五十两○五钱以乘一百名得一万五千○五十两折半即得
　　式八自第一日输钱一文日増一倍至三十日问该若干曰十亿○七千三百七十四万一千八百二十四术置钱一文以十度八因即得一度八因乃三日倍数十度八因乃三十日倍数也又术以五度六十四乘之亦得一度六十四乃六日倍数五度六十四乃三十日倍数也又术以三度三十二乘之得数又自乘亦得三度三十二乃十五日倍数又自乘乃三十日倍数也通曰递加倍加少广详之矣本章亦应有此故及之而此式少广之术不同
　　均价法
　　式银二十二两八钱买甲乙二物均平其甲物每三斤价四钱乙物每一斤价五钱问各若干曰各三十六斤甲共价四两八钱乙共价十八两术用差分母子互乘法〈三斤　四钱一斤　五钱〉以三斤乘五钱得一十五以一斤乘四钱得四并得一十九为首率两母相乘得三为次率以总银为三率求出四率三十六以乙每斤价乘之得乙共价以甲三斤价四钱乘四率又以三除之得甲共价式二银三十七两八钱买米麦豆均平每石米价八钱麦价六钱豆价四钱问各若干曰各二十一石米共价十六两八钱麦共价十二两六钱岂共价八两四钱术以总银为实并三色每石价共一两八钱为法除得二十一为各石数各以每石价乘之得各共价
　　式三麦每石价九钱米每石价八钱豆每石价七钱今以价均扣算问各若干曰各该价五钱○四釐麦五斗六升米六斗三升豆七斗二升衍以麦豆价相乘七九乘得六斗三升为米数以米豆价相乘七八乘得五斗六升为麦数以麦米价相乘八九乘得七斗二升为豆数各以每石价乘之皆得五钱○四釐
　　均募法
　　式雇车载重一千二百斤行道一千里给银七两五钱今重一千五百斤道一千三百里问该银若干曰十二两一钱八分七釐五毫术置今重以今道乘之得一百九十五万又以七两五钱乘之得一千四百六十二万五千为实以原重乘原道得一百二十万为法除实得今银
　　通曰用异乘同乘之重测法〈见九章外法〉亦可
　　式二载重一千二百斤价七两五钱行道一千里今重一千六百斤付银六两问该行道若干曰行六百里术以今银乘原行得六千又乘原重得七百二十万为实以今重乘原价得一万二千为法除实得今行
　　式三行道一千里价七两五钱载重一千二百斤今行一千七百里去价七两六钱五分问该载重若干曰重七百二十斤术以原行乘原重得一百二十万又乘今银得九百一十八万为实以今行乘原价得一万二千七百五十为法除实得今重
　　式四负米一石一斗二升行三十步日五十次今负米一石二斗行四十步问日可几次曰三十五次术以负米一石一斗二升乘三十步得三百三十六又乘五十次得一万六千八百为实以负米一石二斗乘四十步得四百八十为法除实得次数又术以原负乘原行为三率以五十次为次率以今负乘今行为首率
　　式五兵二万三千四百人各相去五步今欲缩除十六里九十步而止各相去几何曰四步七分五釐术以五步乘兵数得十一万七千步另以十六里用里法三百六十步通之得五千七百六十步加入九十步共五千八百五十步与十一万七千步相减馀十一万一千一百五十步为实以兵数为法除实得步数
　　式六人与车俱不知数凡三人共车二车空二人共车九人步行问人车各若干曰十五车三十九人术以三人乘二人得六加九人得一十五为车数以二人乘十五得三十加九人得三十九为人数
　　通曰此章本以人之多寡里之远近物之轻重而立与〈分不专以算法分也数度衍卷十九〉
















　　商功章皆以事



　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十
　　桐城　方中通　撰
　　借推盈朒〈盈朒之一〉
　　借虚征实差分备矣更有子母杂互隐奥难知者则两借虚数以征之盈者有馀也朒者不足也
　　两不足法
　　式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚馀三百其原总若干曰一千四百四十术先借二十四为通数列左上半为十二于内去三之一为四去四之一为三馀五以比三百不足二百九十五列左下又借九
　　十六为通数
　　列右上半为
　　四十八于内
　　去三之一为十六去四之一为十二馀二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乘右下得数注右右上乘左下得数注左两不足相减馀为法两乘得数相减馀为实以法除实得原总一千四百四十半为七百二十于内去三之一为二百四十去四之一为一百八十馀三百合问
　　式二设一数乘三外加一十又乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原数若
　　干曰十三术
　　先借二列左
　　上乘三得六
　　外加十得十
　　六又乘四得六十四外加二十得八十四又乘五得四百二十外加三十得四百五十又乘六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乘三得九加十得十九又乘四得七十六加二十得九十六又乘五得四百八十加三十得五百一十又乘六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乘两不足减馀为法两乘数减馀为实以法除得一十三如例乘加合六千七百之数
　　式三二人分银一百两若均分则每人五十然须甲还所得三之一乙还所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四两又七分两之二乙三十五两又七分两之五术先借三十两为甲裒列左上借乙裒七
　　十附列于甲裒内
　　减三之一为一十
　　存二十于乙裒内
　　减五之一为十四而以乙减归甲十四并二十为三十四以比五十不足十六列左下又借六十两为甲裒列右上借乙裒四十附列于甲裒内减三之一为二十存四十于乙裒内减五之一为八而以乙减归甲八并四十为四十八以比五十不足二列右下两不足减馀为法两乘数减馀为实以法除得甲数于一百内减甲数馀乙数
　　通曰乙减归甲故与甲裒乘也若甲减归乙则与乙裒乘而先求得乙数矣
　　式四设一数以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其数若干曰七十二术借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三并得十
　　三加二十
　　二得三十
　　五以比一
　　百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五并得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下两不足减馀为法两乘数减馀为实以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百
　　式五二商母银不知数云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七两又五十九之二甲母十八两又五十九之十二术从乙起算先借二十为乙裒列左上内减十二馀八以当甲六之一用六因求甲得四十八内减还乙十二存三十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩二十一乙裒二十并十五得三十五以甲剩数较乙加数是十之一否甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百为
　　乙裒列右上
　　内减十二馀
　　八十八以当
　　甲六之一用
　　六因求甲得五百二十八内减还乙十二存五百一十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩五百○一乙裒一百并十五得一百一十五以乙较甲是十之一否甲五百○一则乙当五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下两不足减馀为法两乘数减馀为实以法除得乙母内捐十二与甲馀五两又五十九之二六乘得三十两又五十九之十二内减还十二存甲母内捐十五与乙加乙母得三十二两又五十九之二甲剩三两又五十九之十二乃乙十之一也
　　式六甲乙丙三人共博甲赢乙二之一乙赢丙三之一丙又赢甲四之一各剰银七百两其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百术先借一百为甲裒列左上内捐与丙四之一曰二十五存七十五而总有七百是
　　所赢乙二之一
　　为六百二十五
　　〈七百内去七十五〉而乙
　　裒当为一千二
　　百五十矣〈两其六百〉
　　〈二十五〉附列内捐二之一剰六百二十五又赢丙三之一共得七百是所赢丙为七十五〈七百内去六百二十五〉而丙裒当为二百二十五矣〈三其七十五〉又附列内捐与乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百为甲裒列右上内捐与丙四之一曰五十存一百五十而总有七百是所赢乙二之一为五百五十〈七百内去一百五十〉而乙裒当为一千一百矣〈两其五百五十〉附列内捐二之一剩五百五十又赢丙三之一共得七百是所赢丙为一百五十〈七百内去五百五十〉而丙裒当为四百五十矣〈三其一百五十〉又附列内捐与乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下两不足减馀为法两乘数减馀为实以法除得四百为甲母内减四之一存三百加乙二之一为七百是所加四百因知乙母八百也以乙母减二之一存四百加丙三之一为七百是所加三百因知丙母九百也以丙母减三之一存六百加甲四之一为七百
　　通曰不足数与乙裒乘求得乙母与丙裒乘求得丙母式七甲乙丙三商共贩得子银四百两其分数乙比甲多十二两丙比乙多十六两问各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八术先借一两为甲裒列左上乙该十三丙该二十九共四十三比四百不足三
　　百五十七列左下又
　　借二两为甲裒列右
　　上乙该十四丙该三
　　十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲数加多得乙丙数
　　式八绫七尺罗九尺两共价等其每尺价罗少三十六文其各尺价若干曰绫每尺一百六十二文共一千一百三十四文罗每尺一百二十六文共与绫等术先借七十二为绫价列左上罗价当为三十六列次各以尺




　　数乘之绫得五百○四罗得三百二十四以罗视绫不足一百八十列左下又借一百为绫价列右上罗当为六十四列次各以尺数乘之绫得七百罗得五百七十六以罗视绫不足一百二十四列右下两不足减馀为法以不足数乘绫裒得绫实以法除得绫每尺价乘罗裒得罗实以法除得罗每尺价各以尺数乘得各共价式九鸡同笼不知数云九十六头三百○八足问各若




　　干曰鸡三十八兔五十八术以九十六头为主先借鸡四十八列右上该四十八〈九十六内去四十八存四十八〉列次鸡二足乘得九十六足免四足乘得一百九十二足并得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借鸡六十列左上该三十六〈九十六内去六十存三十六〉列次鸡为一百二十足为一百四十四足并得二百六十四比三百○八不足四十四列左下两不足减馀为法以下互乘上裒减馀为鸡实以法除得鸡数以下互乘次裒减馀为免实以法除得数又各乘得足数合三百○八又术倍九十六头为一百九十二以减总足馀一百一十六以二除得五十八为数用四足乘得二百三十二足以减总足馀七十六以二除得三十八为鸡数〈琇曰鸡足半共足减共头馀足分共足减共头倍馀为鸡〉
　　两盈法
　　式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚馀
　　三百其原总几何曰
　　一千四百四十术先
　　借四千八百为通数
　　列左上半为二千四百三之一为八百四之一为六百皆于通数内减之馀一千以比三百盈七百列左下又借二千四百为通数列右上半为一千二百三之一为四百四之一为三百皆于右通数内减之馀五百以比三百盈二百列右下两盈相减馀为法左右上下互乘得数相减馀为实以法除实得原总
　　通曰与前一式同但彼于半通数内减各分此于通数内并半数而减之两法皆可用也
　　式二三人共分银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两问各若干曰甲五两乙十四两丙二十五两术先借甲一十列左上乙倍得二十
　　加四共二十四丙兼
　　甲乙又加六共四十
　　并三数得七十四比
　　四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八并三数得五十比四十四盈六列右下两盈减馀为法两乘数减馀为实以法除得甲五两倍为十加四共十四两为乙数兼甲乙得十九又加六共二十五两为丙数如左图用各裒乘便求得各数也



　　又术通曰乙多四丙兼甲乙而多六则必兼多乙之四矣并三多为十四于总银内减之馀三十为实乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停为法除实得五两为甲一停之数亦合
　　式三以一千剖为二甲多于乙四十九两问各几何曰甲五百二十四两五钱乙四百七十五两五钱术先借
　　六百为甲裒
　　列左上乙四
　　百附列较差
　　二百比四十
　　九盈一百五十一列左下另借五百五十为甲裒列右上乙四百五十附列较差一百比四十九盈五十一列

　　右下两盈减馀为法两乘数减馀为实以法除得甲数减总得乙数又术通曰以一千剖为二得五百以四十九剖为二得二十四两五钱五百外加二十四两五钱为甲数五百内减二十四两五钱为乙数又术通曰于一千内减去四十九馀九百五十一剖为二得四百七十五两五钱为乙数减总得甲
　　式四罏二座盖重一百五十斤以盖加甲𬬻则多乙二倍以盖加乙罏则与甲等问各几何曰甲三百斤乙一百五十斤术先借三十为甲裒列左上盖附列共一百
　　八十又附列以
　　三之一为乙裒
　　得六十加盖共
　　二百一十比甲
　　裒盈一百八十列左下又借九十为甲裒列右上盖附列共二百四十又附列以三之一为乙裒得八十加盖共二百三十比甲裒盈一百四十列右下两盈减馀为法两乘数减馀为实以法除得甲𬬻加盖得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙𬬻
　　式五二人银不知数减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则正等问各几何曰甲三十两乙二十四
　　两术从乙起算先借十
　　五为乙裒列左上内减
　　六存九以当甲之半则
　　甲该十八内减所加六得十二为甲裒内取三与乙则甲剰九以较乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十为乙裒列右上内减六存十四倍得二十八为甲内减所加六得二十二为甲裒内取三与乙则甲剰十九以较乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下两盈减馀为法两乘数减馀为实以法除得乙二十四减六存十八倍得三十六减六得甲三十内减三与乙则与乙二十四加三正等
　　式六漏壶注水有三孔甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则几时水
　　尽曰一时术借四时列左
　　上以四时推甲当尽二壶
　　乙当尽一壶又三分壶之
　　一丙当尽三分壶之二并之四时共尽四壶比原问一壶盈三列左下另借十时列右上推甲当尽五壶乙当尽三壶又三分壶之一丙当尽一壶又三分壶之二并之十时共尽十壶比原问一壶盈九列右下两盈减馀为法两乘数减馀为实以法除得一时甲尽半壶乙尽三分壶之一丙尽六分壶之一正合一壶之数
　　通曰左裒推得四时尽四壶亦已明矣用合率差分法亦可
　　式七黄金百斤制𬬻不用销毁欲知匠和银若干曰和银十六斤又三分斤之二术以三器贮水等重一投金𬬻溢水六十五斤一投纯金百斤溢水六十斤一投纯
　　银百斤溢水九十斤如
　　法求之先借四十为和
　　银数列左上存金六十
　　附列以溢水裒推之存金六十斤该溢水三十六斤和银四十斤该溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十为和银数存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤该溢水四十二斤和银三十斤该溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下两盈减馀为法两乘数减馀为实以法除得十六斤又三分斤之二为和银数推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投𬬻溢水六十五斤之数
　　式八调南北西三处兵南兵四万北兵为南及西二分之一西兵为南及北三分之一问北西各几何曰北三万二千西二万四千术先借三万为北裒列左上推得南西共六万去南四万西仅二万附列西为南北三之
　　一则南北当为六
　　万今得七万是盈
　　一万也列左下又
　　借二万四千为北
　　裒列右上推得南
　　西共四万八千去
　　南四万西仅八千附列西为南北三之一则南北当为二万四千今得六万四千是盈四万也列右下两盈减馀为法两乘数减馀为实以法除得北兵推知西兵二万四千
　　式九金九锭银十一锭等重互换一锭则金轻十三两问各若干曰金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十




　　九两二钱五分金九锭共重三百二十一两七钱五分银十一锭共重正等术金轻十三两则金银较为六两五钱先借十三两为金裒列右上银该六两五钱〈去较数〉列次金九锭乘十三得一百一十七两银十一锭乘六五得七十一两五钱以金比银盈四十五两五钱列右下又借二十四两为金裒列左上银该十七两五钱〈去较数〉列次金九锭乘二十四得二百一十六两银十一锭乘十七五得一百九十二两五钱以金比银盈二十三两五钱列左下两盈减馀为法上与下互乘减馀为金实以法除得金一锭数次与下互乘减馀为银实以法除得银

　　一锭数各以锭数乘得共重正等又术以较六两五钱乘金九锭得五十八两五钱为实以金九锭银十一锭相减馀二为法除得银一锭数又以较乘银十一锭得七十一两五钱为实以法二除得金一锭数
　　通曰又术即合率差分法也
　　一盈一不足法
　　式物价九十六两三人共买甲出不知数乙于甲内少二两丙于甲乙二人外多四两问各若干曰甲二十四两乙二十二两丙五十两术先借二十为甲数列左上
　　乙当十八丙当四十二
　　并得八十较原价不足
　　十六列左下又借三十
　　为甲数列右上乙当二十八丙当六十二并得一百二十较原价盈二十四列右下盈不足并得四十为法左右上下互乘并得九百六十为实以法除得甲数推知乙丙
　　式二物价二千七百两三人共买甲出不知数乙倍甲丙倍甲乙问各若干曰甲三百两乙六百两丙一千八
　　百两术先借二百为甲
　　数列左上乙四百丙一
　　千二百并得一千八百
　　较原价不足九百列左下又借四百为甲数列右上乙八百丙二千四百并得三千六百较原价盈九百列右下盈不足并为法互乘并为实以法除得甲数推知乙丙又术通曰只拟甲出十两为率甲十乙二十丙六十并得九十为法以甲十两乘原价得二万七千为实以法除得甲数
　　式三设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚馀三百其原数几何曰一千四百四十术先借二千四
　　百列左上半为一千二
　　百内三之一去四百四
　　之一去三百馀五百比
　　三百盈二百列左下又
　　借九十六列右上半为四十八内三之一去十六四之一去十二馀二十比三百不足二百八十列右下盈不足并为法互乘并为实以法除得原数
　　式四甲乙不知数取乙九与甲则甲倍乙取甲九与乙则甲乙等问各若干曰甲六十三乙四十五术先借一
　　百为等
　　数乙得
　　甲九则
　　甲原是
　　一百○
　　九列左上乙为九十一列次甲若取乙九则甲得一百一十八而乙馀八十二比甲之半五十九〈甲系倍乙〉盈二十三列左下又借五十为等数乙得甲九则甲原是五十九列右上乙为四十一列次甲若取乙九则甲得六十八而乙馀三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足并为法上乘并为甲实次乘并为乙实以法各除得各数
　　式五携酒游山四处每沽増一倍俱饮六升恰尽问原携若干曰五升六合二勺五抄术先借五升四合列右上倍得一斗○八合减六升馀四升八合又倍得九升六合减六升馀三升六合又倍得七升二合减六升馀
　　一升二合又倍得
　　二升四合减六升
　　不足三升六合列
　　右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合减六升馀六升四合又倍得一斗二升八合减六升馀六升八合又倍得一斗三升六合减六升馀七升六合又倍得一斗五升二合减六升盈九升二合列左下盈不足并为法互乘并为实以法除得原携酒数四次倍减适尽
　　式六贷糓不知数每年加息一倍又还糓五十石至三年本息俱完问原贷若干曰四十三石七斗五升术先
　　借四十三列左上倍
　　得八十六减五十馀
　　三十六又倍得七十
　　二减五十馀二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八减五十馀三十八又倍得七十六减五十馀二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足并为法互乘并为实以法除得原糓
　　式七逐百只每三人得四只该几人曰七十五人术先借七十二列左上四乘三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乘三除得一百二十盈二十列
　　右下盈不足并为法
　　互乘并为实以法除
　　得人数又术通曰用
　　三累法〈见九章外法〉以四只为一率三人为二率百只为三率求之亦可
　　式八三人共数六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六问各几何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十
　　三术先借六为
　　甲倍之加四乙
　　得十六兼甲乙
　　加六丙得二十八并得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八为甲乙得二十丙得三十四并得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足并为法甲互乘并为实以法除得甲数推得乙丙
　　式九以三十数剖为二甲加六十乙加二十而甲为乙三倍其剖分各几何曰甲二十二又二之一乙七又二
　　之一术先借二十为甲
　　列左上乙一十附列甲
　　加六十得八十乙加二
　　十得三十以甲比乙乙三十甲当九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四为甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲当七十八今却八十四是盈六也列右下盈不足并为法互乘并为实以法除得甲数三之一得乙又术通曰以三十剖为四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五
　　式十二人分银百两须甲捐三之一乙捐四之一平分捐数方各得五十两其未均数各几何曰甲五十二两又十七分两之十六乙四十七两又十七分两之一术
　　先借六十为甲列左
　　上乙四十附列减甲
　　三之一为二十存四
　　十减乙四之一为一十存三十和两减之三十均得十五以甲得十五合减存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四为甲列右上乙七十六附列减甲三之一为八存十六减乙四之一为十九存五十七和两减之二十七均得十三五以甲得十三五合减存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下并盈不足为法并互乘为实以法除得甲数减总得乙
　　式十一二𬬻一盖重百两盖加甲𬬻则三倍于乙盖加乙𬬻则二倍于甲问各若干曰甲𬬻八十两乙𬬻六十
　　两术先借五十为甲列左
　　上加盖共一百五十附列
　　以三之一为乙五十加盖
　　得一百五十甲是五十乙
　　加盖只该一百今盈五十列左下又借一百一十为甲列右上加盖共二百一十附列以三之一为乙七十加盖得一百七十甲是一百一十乙加盖当二百二十今不足五十列右下并盈不足为法并互乘为实以法除得甲数推得乙
　　式十二甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日曰四十五日术须知甲之十八日乃三
　　十日内五分之三
　　则知乙十八日为
　　五分之二先借四
　　十为乙列左上以十八日完五之二推之四十日当完九之八不足九之一列左下又借六十为乙列右上以十八日完五之二推之六十日当全完又盈九之三列右下并盈不足为法并互乘为实以法除得乙日〈用奇零法见前〉又术通曰既知十八日为乙五分之二则以十八折半得九用五乘之亦得乙日
　　式十三牛羊共百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫银一两五钱问各若干曰牛三十六价
　　一百四十
　　四两羊六
　　十四价二
　　十四两术
　　先以三归
　　十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五釐而皆化为釐算之乃借六十为牛列左上羊四十列次以乘各价牛乘四千釐得二十四万羊乘三百七十五釐得一万五千并得二十五万五千釐比总价盈八千七百釐列左下又借三十为牛列右上羊七十列次以乘各价牛得十二万羊得二万六千二百五十并得十四万六千二百五十釐比总价不足二千一百七十五釐列右下并盈不足为法并上互乘为牛实次互乘为羊实以法除得各数
　　通曰盈本八万七千不足本二万一千七百五十今降一位列下也再降亦可盖升则法实俱升降则法实俱降也
　　叠求法
　　式甲乙丙三数甲加七十三则为乙丙数者二乙加七十三则为甲丙数者三丙加七十三则为甲乙数者四问各几何曰甲七乙十七丙二十三术此因有三之二及四之三当借奇数求甲而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一〈奇数〉为甲裒加七十三得七十四当为兼乙丙而倍之之数因折半三十七为乙丙数而乙数另须借推第一图先借二为乙列左上乙
　　丙数三
　　十七内
　　减二馀
　　丙三十
　　五列次乃以二加七十三得七十五以较甲丙合数三十六〈甲一丙三十五〉三其合数该一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五为乙列右上乙丙数三十七内减五馀丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以较甲丙合数三十三〈甲一丙三十二〉三其合数该九十九今只七十八是不足二十一也列右下两不足减馀为法两互乘减馀为实以法除得一十又四之一为乙裒另列初借甲裒一列后第三图左上乙裒列次乙丙共三十七内减乙得丙二十六又四之三列次再借三〈奇数〉为甲裒加七十三得七十六当为兼乙丙而倍之之数因折半三十八为乙丙数而乙数另须借推第二图先借二为乙列左上乙丙数三十八内减二馀丙三十六七十四为兼乙丙而倍之之数〈乙丙共三十七〉乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共数合八十三又四之一无差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共数只该四十五今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六为兼乙丙而倍之之数〈乙丙共三十八〉乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共数合八十五又二之一无差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共数只该六十二今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下两盈减馀为法甲乘减馀为甲实乙乘减馀为乙实丙乘减馀为丙实以法除得各数甲七加七十三得八十为兼乙丙共数四十者二乙十七加七十三得九十为兼甲丙共数三十者三丙二十三加七十三得九十六为兼甲乙共数二十四者四合问通曰本章诸式多与差分同两法皆可求者则同也原带盈朒〈盈朒之二〉
　　一盈一不足法
　　式买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干曰五人物价十九两术左列五之六〈即五
　　两盈六两右列三之〉
　　四〈即三两不足四两〉两
　　子并为人实母
　　子互乘并为物实两母减馀为法以法除人实得人数以法除物实得物价再以五人乘五减六或以五人乘三加四皆同物价若用借裒先借四人列左上乘五得
　　二十减六存十四又以四
　　乘三得十二加四得十六
　　两数相较不足二列左下
　　另借七人列右上乘五得三十五减六存二十九又以七乘三得二十一加四得二十五两数相较盈四列右下并盈不足为法并互乘为实以法除得五人
　　式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石术五之三十列左六之四十列右两子并为人实母子互乘并为糓实两母减馀为法除人实得人数除糓实得糓数再以人
　　数乘五石加
　　盈三十或以
　　人数乘六石
　　减不足四十皆同糓数前式系出率故减盈増不足此式系入率故増盈减不足也若用借裒先借三十人列左上乘五得一百五十加三十共一百八十又以三十
　　乘六得一百八十减四
　　十存一百四十两数相
　　较盈四十列左下另借
　　一百人列右上乘五得五百加三十共五百三十又以一百乘六得六百减四十存五百六十两数相较不足三十列右下盈不足并为法互乘并为实以法除得人数
　　式三新绢作帐折六幅长旧六寸折七幅短旧四寸新绢旧帐幅各几何曰绢长四丈二尺旧帐幅长六尺四寸术先以幅数乘盈不足以六列左上乘盈六寸得三
　　尺六寸列下以
　　七列右上乘不
　　足四寸得二尺
　　八寸列下两子并为旧实母子互乘并为新实两母减馀为法得旧帐幅长除新实得绢长
　　式四田一坵截半另佃截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原阔步各若干曰截积之步五十五原阔步八术左列六之七右列八之九并子为阔实并
　　母子互乘为截
　　实两母减馀为
　　法各以法除得
　　数
　　两盈法
　　式买物每人出三两五钱盈六两每人出三两三钱盈二两八钱人数物价各若干曰十六人物价五十两术两出率左右列两盈各列其下两子减馀为人实母子
　　互乘减馀为物
　　实两母减馀为
　　法各以法除得
　　数
　　式二井不知深将绳折作三股入井汲水馀绳四尺折
　　作四股入井汲
　　水馀绳一尺井
　　深绳长各几何
　　曰井深八尺绳长三丈六尺术左三股右四股列上以三乘四尺得十二为左子以四乘一尺得四为右子俱列下两子减馀为井实母子互乘减馀为绳实两母减馀为法各以法除得数
　　两不足法
　　式买物每人出银五两不足四两每人出银五两四钱不足二两人数物价各若干曰五人物价二十九两术
　　左列五十之
　　四十〈升两为十〉右
　　列五十四之
　　二十两子减馀为人实母子互乘减馀为物实两母减馀为法各以法除得数
　　一适足一盈法
　　式买物每人出二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干曰三十人物价六十九两术以二
　　十五列左上盈六十列
　　下以二十三列右上无
　　下数即以盈数为人实
　　左子乘右母为物实两母减馀为法各以法除得数或不乘物实以人数乘适足之母亦得物价
　　式二以米换布换九疋适足换七疋米多四斗米数布
　　价各若干曰共米一石八斗每疋
　　值米二斗术左列九适足右列七
　　盈四以盈数为米实两母减馀为
　　法除得二斗为每疋换米数乃以适足之母九乘之得共米
　　一适足一不足法
　　式买物每人出七两不足十四两每人出九两适足人数物价各若干曰七人物价六十三两术左列七不足
　　十四右列九适足
　　以不足为人实左
　　子乘右母为物实
　　两母减馀为法各以法除得数或以人数乘适足之母亦得物价
　　叠数盈朒法
　　式买物每八人共出七两盈四两五钱每九人共出六两不足三两人数物价各若干曰三十六人物价二十七两术分三层以八人列左上九人列右上两上相乘



　　得七十二为通数共出七两列左中共出六两列右中上中互乘减馀为法盈四两五钱列左下不足三两列右下以下与两乘数再互乘并为物实两下并得七十五又乘通数为人实各以法除得数
　　通曰下层并之数皆以千降百也
　　式二买物每六人出九两盈三两每四人出七两盈六两人数物价各若干曰十二人物价十五两术六人列左上四人列右上相乘得二十四为通数九两列左中



　　七两列右中上中互乘减馀为法盈三两列左下盈六两列右下以下与两乘数再互乘减馀为物实两下相减馀三又乘通数为人实各以法除得数　其叠数两不足者仿此
　　式三买物每三人出五两不足十两五人出九两适足人数物价各若干曰七十五人物价一百三十五两术三



　　人列左上五人列右上乘得通数五两列左中九两列右中上中互乘减馀为法不足十两列左下以左下乘右乘数为物实以左下乘通数为人实各以法除得数　其叠数之盈适足者仿此
　　母子盈朒法
　　式银不知数买物用三分之二盈三两用五分之三不足一两银数物价各若干曰总银六十两物价三十七


　　两术上层左列五之三右列三之二母子互乘右得一十再乘不足一两得一十左得九再乘盈三两得二十七乃以右乘之一十列左中左乘之九列右中以右再乘之一十列左下左再乘之二十七列右下上层两子乘得通数中层左右相减馀为法下层左右相并为物实中下互乘并数又以通数除之为银实各以法除得数
　　式二银不知数买物取六分之四盈二两取四分之三盈三两五钱银数物价各若干曰总银十八两物价十两术上层左列四之三右列六之四母子互乘右得十六再乘盈三两五钱得五十六左得十八再乘盈二两得三



　　十六乃以右乘之十六列左中左乘之十八列右中以右再乘之五十六列左下左再乘之三十六列右下上层两子乘得通数中层左右减馀为法下层左右减馀为物实中下互乘减馀又以通数除之为银实各以法除得数
　　式三派银不言数但知甲乙二等户乙户所办当甲戸十之八令甲八户乙五戸纳之不足五两令甲六戸乙八戸纳之不足三两其派银数及各戸则例若干曰甲一戸办五两乙一戸办四两派银六十五两术以甲裒一十〈乙当甲十之八故以一十为甲裒〉乘八户得八十乙裒八乘五户
　　得四十并得
　　一百二十列
　　左上又以甲
　　裒一十乘六户得六十乙裒八乘八户得六十四并得一百二十四列右上其不足五两列左三两列右两母

　　减馀为法两互乘减馀为银实两子减馀为则例实以法除银实得派银以法除则例实得五钱甲裒一十乘五钱得甲一户数乙裒八乘五钱得乙一戸数
　　式四钱不知数买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干曰钱五十六文物价二十四文
　　术七之
　　三列左
　　二之一
　　列右母子互乘左子乘得六另列右右子乘得七另列左而以六乘盈四得二十四列右下为物实又以二十四乘适足之母七得一百六十八为钱实两另列之母减馀一为法除物实得物价原子相乘得三为法除钱实得钱数
　　式五粜麦不知数但云取三分之一粜银八两适足若取八分之三粜银十两不足二石总麦及每银一两粜麦若干曰总麦四十八石银一两粜二石术左列三之一右列八之三互乘之左得八再乘十两得八十另列右右得九再乘八两得七十二另列左乃以适足之银


　　八乘不足之麦二得十六石列右下为银实又以右下乘左上得一千一百五十二以原子相乘得三除之得三百八十四为麦实另列两母减馀得八为法除麦实得总麦除银实得麦二石乃价银一两之所粜也









　　数度衍卷二十
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>



　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十一
　　桐城　方中通　撰
　　方程
　　杂和较乘法
　　通曰数之不齐者以乘齐之数之不齐者以较齐之遍用者方程也
　　二色方程
　　式鼎三彝二共重一百四十五两又鼎四彝五共重二百七十五两问二色各重若干曰鼎二十五两彝三十五两术分三段遍乘之鼎四列左上彛五列左中共重



　　二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乘左上得十二乘左中得十五乘左下得八百二十五注左以左上鼎四乘右上得十二乘右中得八乘右下得五百八十注右又以乘数各相对减两鼎减尽不用两彛减馀七两共重减馀二百四十五乃以少除多当以二百四十五为实以七为法除得三十五两为一彛之重以右中彛二乘得七十以减右下共重一百四十五馀七十五以右上鼎三除得二十五两为一鼎之重若以彝遍乘以七为法亦同所得减馀之实乃一百七十五以法除得毎鼎二十五两以左上鼎四乘得一百以减左下共重馀一百七十五两为五彛重数盖鼎乘反得彛彛乘反得鼎也通曰既得毎彛或每鼎之后左右皆可求也
　　式二纱三疋绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱问二色各价若干曰纱每疋价八钱绢每疋价六钱术与右同
　　式三七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等问各重若干曰每钏重七钱每钗重五钱
　　术此依互换
　　者列位一系
　　六钏一钗一
　　系一钏八钗而中分其共重之数左右列下以右钏六遍乘左行钗得四十八重得二十八两二钱以左钏一遍乘右行钗得一重得四两七钱对减中段减馀四十七为法下段减馀二十三两五钱为实〈作二百三十五〉以法除得五钱为一钗数以减右重馀四两二钱为六钏共数以六除得每钏七钱若以钗遍乘者得减馀之实三十二两九钱以法四十七除得七钱为一钏数
　　通曰上段互乘相减必尽可以不乘矣
　　式四钱一万文买二马一牛则不足半马之价买一马二牛则馀半牛之价牛马价各若干曰牛价一千八百
　　一十八
　　文又十
　　一之二
　　马价五千四百五十四文又十一之六术此当以不足半马者损为一马又二分马之一及一牛也以馀半牛者益为一马及二牛又二分牛之一也依法列段用整带零乘除之〈见奇零〉以右马遍乘左行左中得三头四之三左下得一万五千以左马遍乘右行右中得一头右下得一万对减中段减馀二头又四之三为法下段减馀五千文为实以法除得牛价以减右总价馀八千一百八十一文又十一之九以右上马一匹又二之一除之得马价
　　式五甲乙二窖积粟云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙各满二千石其各原窖几何曰甲一千六百石
　　乙一千二百石术
　　此零法列位互乘
　　甲得六千乙得四千减馀二千为实两母并五为法除得四百以乙母三乘得乙以减二千馀八百以甲母二乘得甲其各以母乘者盖前所除为子数必归母见整故也
　　式六每工种麦三畦菽四畦共种三百○一畦其菽麦畦及工各若干曰麦一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三术此为双头单脚互乘取三四左右列之并七为法下列总畦若求麦数者左三乘总畦得九百○
　　三以法除得麦
　　畦又以四乘得
　　五百一十六以左三除得菽畦若求菽数者右四乘总畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乘得五百一十六以右四除得麦畦又术通曰以三四并七为法除总畦得四十三为工数以麦三乘工数得麦畦以菽四乘工数得菽畦
　　式七银二百六十四两买牛羊共百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱牛羊及价各若干曰牛三十六头价二百四十两羊六十四羫价二十四两术左


　　右列定牛乘羊价羊乘牛价得数减馀七十五两五钱为法总牵总价列下如求牛数者以羊四乘总价得一千○五十六以羊价一两五钱乘总牵得一百五十相减馀九百○六为实以法除得十二为牛裒以牛三乘得三十六头以二十两乘牛裒得牛共价总内减牛馀羊如求羊数者以牛三乘总价得七百九十二以牛价二十两乘总牵得二千相减馀一千二百○八为实以法除得十六为羊裒以羊四乘得六十四羫以一两五钱乘羊裒得羊共价总内减羊馀牛
　　式八用匠五千名包砖板二堤共四千九百九十五方限每日匠九名包板堤十一方匠七名包砖堤四方问堤匠各若干曰板堤四千○一十五方匠三千二百八十五名砖堤九百八十方匠一千七百一十五名术通



　　曰与右同总匠即总价共方即总牵砖板即牛羊也式九百饼饭大小百僧一大僧食三饼三小僧食一饼其大小僧各若干曰大僧二十五食饼七十五小僧七十五食饼二十五术通曰此两总同数其裒必同也左右列定互乘相减馀八为法总僧总饼列下如求大僧
　　者以小三
　　乘总饼得
　　三百小食一乘总僧得一百相减馀二百为实以法除得二十五为裒大一乘裒得大僧数以食三乘裒得饼如求小僧者以小三乘裒得小僧数以食一乘裒得饼又术通曰两总相同即以一百为实大小僧并大小食并又同即以四为法除得大僧数推知各数
　　三色方程
　　式四雀六燕七鹪共重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鹪重三分术



　　置左右中三行作四段列之以右五雀遍乘中行雀得十五燕得二十五鹪得四十五重得四两○五分注中以中三雀遍乘右行雀得十五燕得二十一鹪得二十四重得三两一钱八分注右中右对减雀无馀燕馀四鹪馀二十一重馀八钱七分另列后图之右以右五雀遍乘左行雀得二十燕得三十鹪得三十五重得四两四钱五分注左以左四雀遍乘右行雀得二十燕得二十八鹪得三十二重得四两二钱四分注右左右对减雀无馀燕馀二鹪馀三重馀二钱一分另列后图之左除雀无馀不用后图止三段以右行燕四遍乘左行燕得八鹪得十二重得八钱四分注左以左行燕二遍乘


　　右行燕得八鹪得四十二重得一两七钱四分注右对减燕无馀鹪馀三十为法重馀九钱为实以法除得二分为一鹪之重乘左三鹪得九分以减左重馀一钱二分为左二燕之重每燕六分乃于前图左重八钱九分内去原鹪七重二钱一分原燕六重三钱六分尚存三钱二分为原四雀之重每雀八分或于前图右行中行原数内推之皆得
　　式二犒夫二人共饭一分三人共酒一分四人共肉一分总用饭酒肉六十五分计夫若干曰夫六十饭三十分酒二十分肉十五分术以二人乘三人得六三人乘四人得十二四人乘二人得八并得二十六为法以二乘三得六乘四得二十四乘总分六十五得一千五百六十为实以法除得夫数推知各数
　　附式七人醵金甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱丙丁不知问各若干曰甲十二两二钱乙十一两五钱丙十两○八钱丁十两○一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两术先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三増一为四又乘三得十二减半得六又减三馀三为右中率取左二乘七人得十四减右三馀十一为左中率下列各共银乃以左二遍乘右行中得
　　六下得五十二
　　两二钱以右三
　　遍乘左行中得三十三下得七十一两一钱对减中馀二十七为法下馀十八两九钱为实以法除得隔母七钱再取甲乙共数并入七钱减半得甲十二两二钱𨔛减七钱得各数
　　通曰隔母即递减数也用带分子母差分法亦可附式竹筒九节下三节共乘粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知问各节盛若干曰一节六合二节七合三节八合四节九合五节一升六节一升一合七节一升二合八节一升三合九节一升四合术左列下
　　三右列上四用右
　　法求得右中率六
　　左中率二十一下列各共盛乃以左三遍乘右行中得十八下得九分以右四遍乘左行中得八十四下得十五分六釐对减中馀六十六为法下馀六分六釐为隔母率却以法乘左三升九合得二百五十七分四釐以左三除得八十五分八釐为第八节数加母率得九节九十二分四釐若递减母率七节得七十九分二釐六节得七十二分六釐五节得六十六分四节得五十九分四釐三节得五十二分八釐二节得四十六分二釐一节得三十九分六釐各以法六十六除得各粟数又术以中馀六十六为法下馀六十六为实以法除得一合为隔母率以左三除左三升九合得一升三合为八节
　　通曰前式甲乙二人共数故加隔母折半而得甲此式下三节共数故所求即第八节乃下三节之中节也
　　立正负法
　　立正负以别同异初以同名减其下同减而异并初以异名减其下异减而同并
　　二色方程
　　式笔三管换砚七方贴砚价四百八十文又砚三方换笔九管贴笔价一百八十文问各价几何曰一笔价五十文一砚价九十文术砚为正笔为负左右三段列之
　　以右砚
　　七乘左
　　行中得六十三下得一千二百六十注左以左砚三乘右行中得九下得一千四百四十注右两笔负同名减馀五十四为法两价正负异名并得二千七百为实以法除得五十文为一笔之价取右笔三乘得一百五十加入价正四百八十共六百三十即右七砚之价以七除得每砚九十文若取左笔九乘五十得四百五十内减价负一百八十馀二百七十即左三砚之价如以笔遍乘者得异并之实四千八百六十以法除得砚价通曰旧法上段亦乘今不用其下段分正负者砚为正故贴砚价亦正笔为负故贴笔价亦负
　　三色方程
　　式朱二斤黄三斤价二千○四十文又黄五斤碌六斤价六百四十文又碌七斤朱三斤价二千九百八十文问各价若干曰朱每斤九百文黄毎斤八十文碌每斤四十文术分三色及价作四段于右中左列之以右朱



　　二乘左行碌得十四价得五千九百六十以左朱三乘右行黄得九价得六千一百二十左右黄碌两段俱无减并止两价作同减馀一百六十除朱一段乃于左○位照黄乘得之数为立负九另以中行黄五碌六价六百四十列右左行○负九碌乘十四价馀一百六十列左于后以右黄五乘左行碌得七十价得八百以左负
　　九乘右
　　行碌得
　　五十四价得五千七百六十碌系正负异名并得一百二十四为法两价作同减馀四千九百六十为实以法除得四十文为碌一斤价乃于前图中行原价减中碌六斤价二百四十馀四百为中黄五斤价每斤八十文又于右行原价减右黄三斤价二百四十馀一千八百为右朱二斤价每斤九百文
　　式二牛一头马二匹驴三匹皆载物七百斤不能行一牛借马一匹二马借驴一匹三驴借牛一头方行三等力各若干曰一牛力四百一马力三百一驴力一百术
　　列定以
　　右正牛
　　一乘左行各如故以左借牛一乘右行各如故左右不用减并左马空仿右马乘得数立负一乃除却牛段以中正马乘左行负得二驴得六下得一千四百以左负一乘中行马得二驴得一下得七百中左马同名减尽正借驴异名并得七为法下物作同减馀七百为实以法除得驴力一百斤于中行七百内减中一驴力馀六百为中二马力每马力三百斤又于右行七百内减右



　　一马力馀四百即右一牛力或用后图求马力以右借驴一乘左行牛得一下得七百以左正驴三乘右行马得六下得二千一百左右马牛无减并下减馀一千四百除却驴段又左马空仿右马乘数立负六以中借马一乘左行牛得一下得七百以左负六乘中行牛得六下得四千二百中左正借牛异名并得七为法下物作同减馀三千五百又以右下馀一千四百减之馀二千一百为实以法除得三百斤为一马力
　　通曰此以正借分同异不分正负也
　　式三雁二雉三换谷五斗七升雉三二换五斗三升四雁五换一石问各若干曰每雁一斗二升毎雉一斗一升每一斗术列定以右雁二乘左行八二石以左雁五乘右行雉十五糓二石八斗五升左


　　右雉无减并糓作同减馀八斗五升除却雁段于雉左○照右乘立负十五以中雉三乘左行二十四糓二石五斗五升以左负十五乘中行三十糓七石九斗五升中左正负异名并得五十四为法糓作同减

　　馀五石四斗为实以法除得一斗为一价于中行糓内减二价馀三斗三升为中三雉价每雉一斗一升又于右行糓内减三雉价馀二斗四升为右二雁价每雁一斗二升
　　通曰左右互乘既不乘雁一段则左中互乘亦可不乘雉一段不然则雉系正负异名安得减尽乎故皆省之式四卖二牛五羊买十三豕馀五两卖一牛一豕买三羊适足卖六羊八豕买五牛不足三两问各价若干曰牛六两羊二两五钱豕一两五钱术此以卖为正买为负馀为正不足为负也正为主则同减异并负为主则同并异减列定以右牛二乘中行羊六豕二以中牛一



　　乘右行羊五豕十三价五中右以正为主羊异名并十一豕异名并十五价无减并以右牛二乘左行羊十二豕十六价六以左牛五乘右行羊二十五豕六十五价二十五左右以负为主羊同名并三十七豕异名减馀四十九价异名减馀十九除牛一段再列减并数于后以羊十一乘左行豕五百三十九价二十两○九钱以


　　羊三十七乘右行豕五百五十五价十八两五钱左右豕异名减馀十六为法价异名减馀二两四钱作二十四为实以法除得一五即一豕价一两五钱以右豕十五乘得二十二两五钱加右价五两共二十七两五钱俱羊价以右羊十一除得每羊二两五钱再以前图右豕十三乘一豕价得十九两五钱加入右价五两共二十四两五钱为牛羊总价内减右五羊价十二两五钱馀十二两为右二牛价每牛六两
　　四色方程
　　式柰二梨四共钱四十文梨二桃七共钱四十文桃四


　　榴七共钱三十文榴八柰一共钱二十四文问各价若干曰每柰八文每梨六文每桃四文每榴二文术分甲乙丙丁四行作五段列之先甲丁互乘以甲柰二乘丁行梨空桃空榴得十六价得四十八以丁柰一乘甲行梨仍四无对桃榴俱空钱仍四十与四十八相减馀八丁梨空照甲立负四次乙丁互乘乙无柰取梨二乘丁行桃空榴巳乘出十六得三十二钱馀八得十六以丁负梨四乘乙行桃得二十八无对榴空钱得一百六十并十六得一百七十六丁桃空照乙立负二十八次丙丁互乘丙无柰梨取桃四乘丁行榴巳乘出三十二得一百二十八钱巳乘并一百七十六得七百○四以丁桃负二十八乘丙行榴得一百九十六与一百二十八相减馀六十八为法钱得八百四十减去七百○四馀一百三十六为实其甲丁乙丁互乘惟求应立负数以为乘母既得法实其诸数皆不用也以法除实得二文为一榴之价于丙价三十减丙七榴价十四馀十六为丙四桃价每桃四文又于乙价四十减乙七桃价二十八馀十二为乙二梨价每梨六文又于甲价四十减甲四梨价二十四馀十六为甲二柰价每柰八文
　　五色方程
　　式井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六则借甲一始俱及泉其各绳及井深若干曰甲绳二丈六尺五寸乙绳一丈九尺一寸丙绳一丈四尺八寸丁绳一丈二尺九寸戊绳七尺六寸井深七丈二尺一寸术列作五行以五绳之率为母借绳一为子先取甲二乘乙三得六又乘丙四得二十四又乘丁五得一百二十又乘戊六得七百二十并入子一得七百二十一为井深七丈二尺一寸也乃取甲乙丙丁戊及井深列作六段而以第五行为主一二三四行俱




　　与五行互乘也先以一行甲二乘五行戊六得十二下

　　得一千四百四十二以五行甲一乘一行乙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乘之一千四百四十二相减馀七百二十一次以二行乙三乘五行戊十二得三十六下之减馀七百二十一乘得二千一百六十三以五行乙负一乘二行丙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一并前所乘之二千一百六十三得二千八百八十四再以三行丙四乘五行戊三十六得一百四十四下之所并二千八百八十四乘得一万一千五百三十六以五行丙负一乘三行丁仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乘之一万一千五百三十六相减馀一万○八百一十五末以四行丁五乘五行戊一百四十四得七百二十下之减馀一万○八百一十五乘得五万四千○七十五以五行丁负一乘四行戊仍得一并五行所乘之七百二十得七百二十一为法下仍得七百二十一并前所乘之五万四千○七十五得五万四千七百九十六为实以法除实得戊绳七尺六寸以减四行之七百二十一馀六百四十五以丁五除得丁绳一丈二尺九寸〈丈为百尺为十〉以减三行之七百二十一馀五百九十二以丙四除得丙绳一丈四尺八寸以减二行之七百二十一馀五百七十三以乙三除得乙绳一丈九尺一寸以减一行之七百二十一馀五百三十以甲二除得甲绳二丈六尺五寸
　　通曰自四色以上凡下段互乘相对皆系一减一并而积之不分正负同异矣其四色之丙丁两行互乘榴段皆正同名则用减五色之四五两行互乘戊段正借异名则用并也
　　止推下二段法
　　通曰如右式推出井深列定之后先以五行甲一乘各行乘乙一立负一乘丙一立负一乘丁一立负一乃止求下法实二段如求实段以一行甲二乘五行下得一十四百四十二以五行甲一乘一行下仍得七百二十一相减馀七百二十一又以二行乙三乘之得二千一百六十三以五行乙负一乘二行下仍得七百二十一并得二千八百八十四又以三行丙四乘之得一万一千五百三十六以五行丙负一乘三行下仍得七百二十一相减馀一万○八百一十五又以四行丁五乘之得五万四千○七十五以五行丁负一乘四行下仍得七百二十一并得五万四千七百九十六为实也如求法段以一行甲二乘五行戊六得十二又以二行乙三乘之得三十六又以三行丙四乘之得一百四十四又以四行丁五乘之得七百二十乃以五行丁负一乘四行戊一仍得一并得七百二十一为法也










　　数度衍卷二十一



　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十二
　　桐城　方中通　撰
　　度〈粟布之一〉
　　度长短法
　　式九寸五分小尺量得三丈五尺十寸正尺该若干曰三丈三尺二寸五分术以三丈五尺为实以九寸五分为法乘之即得
　　式二十寸正尺量得三丈三尺二寸五分九寸五分小尺该若干曰三丈五尺术以三丈三尺二寸五分为实以九寸五分为法除之即得
　　式三九寸尺量得四丈八寸尺该若干曰四丈五尺术以四丈为实以九寸乘之得三丈六尺再用八寸除之即得
　　通曰乘非加也折而小之也除非减也折而大之也
　　求价法
　　式银二十六两五钱买纱二百二十二丈六尺毎疋长四丈二尺问纱疋及疋价若干曰五十三疋毎疋价五钱术以二百二十二丈六尺为实以四丈二尺为法除之得五十三疋又以二十六两五钱为实以五十三疋为法除之得五钱
　　量〈粟布之二〉
　　量多寡法
　　式一斗五升大斗量得七石十升正斗该若干曰十石○五斗术以一斗五升乘七石即得
　　式二十升正斗量得十石○五斗一斗五升大斗该若干曰七石术以一斗五升除十石○五斗即得
　　式三二斗五升斛量得四十二斛若以一斗五升大斗量之该若干曰七石术以二斗五升乘四十二斛得十石○五斗为实以一斗五升为法除之即得
　　官粮带耗法
　　式正一石耗七升今共粮二千七百六十五石九斗五升内正耗各若干曰正二千五百八十五石耗一百八十石○九斗五升术以共粮为实以正耗共一石○七升为法除之得正数以减共粮馀为耗数或以耗七升乘正数亦可
　　衡〈粟布之三〉
　　权轻重法
　　较秤式用秤称物不及其锤重一斤十两外加一锤重一斤四两八钱称得六十七斤依本秤算该斤几何曰一百二十斤○九两六钱术以原锤通作二十六两〈法见后〉加锤通作二十两○八钱并得四十六两八钱为三率以六十七斤为次率以原锤二十六两为首率次三相乘首除得一二○六一二者一百二十斤也六乃斤下虚数用加六法得九两六钱
　　较锤式原秤称物重八斤二两失去原锤欲另配锤不知轻重借锤重二斤五两称原物只得六斤原锤该重若干曰一斤十一两三钱零术以六斤通作九十六两为三率以借锤通作三十七两为次率以原重通作一百三十两为首率次三相乘首除得二十七两三钱零乃一斤十一两三钱零也
　　两求斤法
　　通曰斤法十六不以十进故须通斤为两归两为斤也式物重三百二十两该斤几何曰二十斤术以物重为实以十六为法除之即得又术先用八除实后用五乘亦得又术以实两次折半又加实数再折半亦得又术以实四次折半亦得此即偶数可折至一止也又术先用二除实后用八除亦得以实两次四除亦得
　　通曰二八为十六四四亦为十六故皆可用也五乘即二除也
　　斤求两法
　　式物重二十斤该两几何曰三百二十两术以物重为实以十六为法乘之即得又术以八乘实以五除之亦得又术倍实又乘八亦得又术以四乘实又乘四亦得
　　珠算两求斤法
　　诀曰一退六二五　二一二五　三一八七五　四二五　五三一二五　六三七五　七四三七五　八五九五六二五　十六二五　十一六八七五　十二
　　七五　十三八一二五　十四八七五　十五九三七五　十六进一
　　退者挨身下位也无退则自本位起也进则左位矣式物重三百二十一两该斤几何曰二十斤○一两术置三百二十一两在位从右起曰一退六二五抹去寅一卯上六辰上二巳上五曰二一二五丑二变一寅上二卯六变一而寅二又变三曰三一八七五子三变一丑一变九寅抹三又抹丑九而子一又变二卯一变六算毕子位二即二十斤也卯六
　　辰二巳五再用定身加六法得一两
　　又诀曰进一除一六　进二除三二　进三除四八进四除六四　进五除八十　进六除九六　七除一一二　八除一二八　九除一四四
　　式物重二千九百四十四两该斤几何曰一百八十四斤术置二千九百四十四两在位从左起曰进一除一六子上一丑二变一寅九变三曰八除一二八丑一变八寅抹三卯四变六曰进四除六四寅上四卯抹六辰抹四除毕即得
　　通曰二式得数后须推斤止何处始得馀两
　　减六法
　　定身减六式物重四万○七百三十六两该斤几何曰二千五百四十六斤术置实从左起曰减二六一十二子之四存二减一二丑上八曰减五六方三十丑之八存五减三曰减四六二十四寅之七存四减二四卯三变九曰减六六三十六卯之九存六减三辰减六实尽即得
　　通曰凡存数皆勿动即斤数也
　　珠算斤求两法
　　通曰作几段起算后并为一不论左首但取右尾挨次退一位加之诀曰一作一六二作三二三作四八四作六四五作八六作九六七作一一二八作一二八九作一四四
　　式物重三百七十四斤该两几何曰五千九百八十四
　　两术通曰分三段三百为一
　　段曰三作四八七十为一段
　　曰七作一一二四斤为一段
　　曰四作六四乃以每段右退
　　一位加得两数
　　加六法
　　定身加六式物重四十六斤该两几何曰七百三十六两术置实从实尾起曰六六加三十六曰四六加二十四于四十六上共加二十七六也合成七三六即两数通曰减六者于数内照存数减几回六也加六者于数外照本数加几回六也
　　式二物重三百二十一两用两求斤前诀巳推二十斤尚馀六二五为斤法几两曰一两术用定身加六即得曰五六方三十曰二六一十二曰六六三十六如六百二十五上加三百七十五成一千也
　　化法
　　百两为六斤四两千两为六十二斤八两万两为六百二十五斤故知六二五为一之所化也盖百两曰六二五六即六斤二五为化数存身加六归得四两也千两曰六二五六二即六十二斤五为化数存身加六归得八两也若以一两为六百二十五一斤为一万数矣式原买物一斤价七钱六分五釐今欲买六两该银若干曰二钱八分六釐八毫七丝五忽术以六两化之六其六二五得三十七五降作三七五为实以七钱六分五釐降作七分六釐五毫为法乘之即得
　　式二原买物一斤价五两今买三百四十五两该银若干曰一百○七两八钱一分二釐五毫术通曰以三百四十五两乘六百二十五化作二十一万五千六百二十五又以五两乘之得一百○七万八千一百二十五为实以一斤化作一万为法除之即得
　　互求〈粟布之四〉
　　通曰周尺小沿今渐大今之周通尺犹小古石即石如其石重量亦衡也斤法三百八十四铢汉志十六两故每两二十四铢至其不齐度量有大至加五衡有十七八两以至二十馀两为斤者闽中更有牙桶管不以升斗十进粤又以五斗为石五升为斗与豫章之硕同书曰同律度量衡同律而后可互求也
　　度求量法
　　斛法二尺五寸乃长阔皆一尺高二尺五寸容积一石也
　　方仓求积式方仓长四丈七尺阔三丈一尺高九尺问积米若干曰五千二百四十五石二斗术以长与阔相乘得一百四十五丈七尺再以高乘之得一千三百一十一丈三尺为实以斛法二尺五寸除之即得
　　式二方仓方一丈五尺高一丈五尺问积米若干曰一千三百五十石术以方一丈五尺自乘得二百二十五尺再以高乘之得三千三百七十五尺为实以斛法除之即得
　　圆仓求积式圆仓周二丈四尺高一丈二尺三寸问积若干曰二百三十六石一斗六升术以周自乘得五百七十六尺以高乘之得七万○八百四十八以圆率十二除之得五千九百○四为实以斛法除之即得又术以七万○八百四十八为实以斛法乘圆率得三十为法除实亦得又术以七万○八百四十八为实以三除之亦得
　　方窖求积式方窖上方六尺下方八尺深一丈二尺问积若干曰二百三十六石八斗术以上方自乘得三十六下自乘得六十四上下方相乘得四十八并三乘数共一百四十八以深乘之得一千七百七十六用方窖率三除之得五百九十二为实以斛法除之即得又术以五百九十二为实以四乘之亦得
　　通曰四乘即二十五除故可代斛法也
　　圆窖求积式圆窖上周二丈八尺下周一丈五尺深七尺五寸问积若干曰一百一十九石○八升有零术以上周自乘得七十八丈四尺下周自乘得二十二丈五尺上下周相乘得四十二丈并三乘数共一百四十二丈九尺以深乘之得一○七一七五用圆窖率三十六除之得二九七七零为实以斛法除之即得又术以一○七一七五用六除二次亦得二九七七零以四乘之亦得
　　通曰六六为三十六故可代圆窖率也
　　平地尖堆求积式周二丈七尺高六尺问积若干曰四十八石六斗术以周自乘得七二九又以高乘之得四三七四用圆窖率三十六除之得一二一五为实以斛法除之即得又术以四三七四为实以九除之亦得通曰以斛法乘圆窖率得九十故可用九除也
　　倚壁求积式下周一丈九尺高一丈二尺六寸问积若干曰一百○一石○八升术以下周自乘得三六一以高乘之得四五四八六用倚壁率十八除之得二五二七为实以斛法除之即得又术以四五四八六为实以四十五除之亦得又术以四五四八六用五除之得九○九七二以九除之亦得
　　通曰以斛法乘倚壁率得四十五五九亦四十五故皆可用
　　内角求积式周一丈五尺高一丈四尺四寸问积若干曰一百四十四石术以周自乘得二二五以高乘之得三二四用内角率九除之得三六为实以斛法除之即得又术以三二四为实以二十二尺五寸为法除之亦得
　　通曰以斛法乘内角率得二十二尺五寸也故用之外角求积式周五丈七尺高八尺五寸问积若干曰四百○九石一斗三升二合零术以周自乘得三二四九以高乘之得二七六一六五用外角率二十七除之得一○二二八三零为实以斛法除之即得又术以二七六一六五为实以六十七尺五寸为法除之亦得又术以二七六一六五用三除之得九二○五五以九除之得一○二二八三零以四乘之亦得
　　通曰以斛法乘外角率得六十七尺五寸也三九亦二十七故皆可用
　　船求积式船两头俱面广六尺五寸中腰广七尺五寸底广六尺长一丈八尺深二尺五寸问积若干曰一百二十三石七斗五升术倍腰广为十五尺并入面广底广共二十七尺五寸以四除之得六八七五以深乘之得一七一八七五又以长乘之得三○九三七五为实以斛法除之即得
　　式二南头面广六尺腰广六尺五寸底广五尺北头面广七尺腰广七尺五寸底广六尺深二尺四寸长九尺问积若干曰五十六石一斗六升术倍南腰为十三尺加南面底共二十四尺倍北腰为十五尺加北面底共二十八尺南四除得六北四除得七并得十三折半得六五以乘深得十五尺六寸再乘长得一百四十尺○四寸为实以斛法除之即得
　　通曰圆仓圆窖非浑圆也仓乘得积十二倍窖乘得积三十六倍方窖乃三不等立方也乘得积三倍尖堆与圆窖同率倚壁止半尖故其率减尖堆之半内角乘得积九倍外角周大而积少故其率三倍于内角此用率除得实之故也
　　度求衡法
　　立方一寸为金率十六两银率十二两玉率十两不等铅率九两五钱铜率七两五钱铁率六两青石率三两不等
　　式金立方一丈二尺该重几何曰二千七百六十四万八千两术以一丈二尺通作一百二十寸自乘得一万四千四百寸再乘得一百七十二万八千寸为实以金率十六两乘之即得
　　式二盐立方一尺重四十斤今有盐一堆长一丈五尺阔一丈二尺高六尺五寸共重几何曰四万六千八百斤术以长乘阔得一百八十尺又乘高得一千一百七十尺为实以四十斤为法乘之即得
　　量求度法
　　此即度求量之还原也
　　式有米二千四百一十九石二斗欲作方仓盛之阔十八尺高十二尺长该几何曰二十八尺术以斛法二尺五寸乘米数得六千○四十八尺为实以高乘阔得二百一十六尺为法除之得长　长高求阔以长乘高为法长阔求高以长乘阔为法
　　式二有米七百○五石六斗欲作圆仓盛之高十二尺周该几何曰四十二尺术以斛法乘米数得一千七百六十四以圆率十二乘之得二万一千六百六十八以高除之得一千七百六十四为实用少广章平方法开之得周　周求高则以二万一千一百六十八为实以周自乘为法除之得高
　　式三有米五百七十七石二斗欲作方窖盛之上方九尺深十三尺下方该若干曰十二尺术以斛法乘米数得一千四百四十三尺以方窖率三乘之得四千三百二十九尺以深除之得三百三十三尺内减上方自乘得八十一尺馀二百五十二尺为实以上方为纵用少广章带纵开平方除之得下方　下方求上方于三百三十三内减下方自乘馀为实以下方为纵用带纵开平方除之得上方
　　式四有米七十七石二斗欲作圆窖盛之上周十四尺深九尺下周该若干曰十八尺术以斛法乘米数得一百九十三尺以圆窖率三十六乘之得六千九百四十八以深除之得七百七十二尺内减上周自乘得一百九十六馀五百七十六尺为实以上周为纵用带纵开平方除之得下周　下周求上周于七百七十二内减下周自乘馀为实以下周为纵用带纵开平方除之得上周
　　量求衡法
　　百二十斤为石法然物亦不等率亦不等
　　式米二百五十三石该斤几何曰三万○三百六十斤术以米数为实以石法乘之即得
　　衡求度法
　　此即度求衡之还原也
　　式金重二千七百六十四万八千两该立方几何曰方一丈二尺术以金数为实以金率十六除之得一百七十二万八千寸为立实用少广章开立方除之即得
　　衡求量法
　　此即量求衡之还原也
　　式米三万○三百六十斤该石几何曰二百五十三石术以米数为实以石法除之即得
　　就物抽分法
　　式糓三千五百石即以糓扣作脚价每石脚银五分糓每石价二钱问主脚糓各若干曰主糓二千八百石脚糓七百石术以二钱为法除五分得每石脚糓二斗五升并一石为一石二斗五升以除总糓得主糓以主糓减总糓馀为脚糓又术以五分乘总糓得一百七十五为实以谷价脚银并二钱五分为法除实得脚糓减总得主
　　式二丝四十三斤十二两织绢每疋用丝一斤即与织工丝四两问各若干曰织绢三十五疋织工丝八斤十二两术以斤下两化作七五〈十二其六二五也〉并四十三斤得四三七五以工四两化作二五〈四其六二五也〉相乘得十斤○九三七五为实乃并织丝工丝共一斤四两化作一二五为法除实得八斤七五将七五用加六法归得八斤十二两为织工丝以减总丝馀为织绢丝三十五斤一斤即一疋得三十五疋又术以总丝通为七百两以工四两乘之得二千八百两为实以每疋用十六两并入工四两得二十两为法除实得织工丝一百四十两归得八斤十二两











　　数度衍卷二十二



　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十三
　　桐城　方中通　撰
　　九章外法
　　约分法
　　式四十二数在九十八数内得㡬分之㡬曰七分之三术约以分子也数多为母数少为子今以四十二为子九十八为母视母数内满几回子数尽减去今减两回四十二馀母十四又于子数内减馀母今减两回十四馀子十四此谓之子母同馀如不同馀则不可约矣以同馀之十四为法除母得七除子得三乃知四十二在九十八内为七分中之三分也
　　通分法
　　式物四十五件每件价三分两之二该银若干曰三十两术通以分母也以三之二命三为母二为子乃以子二乘四十五得九十两为实以母三为法除之得三十两
　　通曰此零算则无尽而总算则无零也
　　异乘同除法
　　式钱四贯得货十二斤今钱二十贯该货若干曰六十斤术此即三率准测法也又名三累先定三率之位以四贯为一率以十二斤为二率以二十贯为三率乃以二率三率相乘得二百四十以一率除之得六十为第四率又术先㝷纽数如用四为纽数一率四有一回四二率十二有三回四则以一代四为一率三代十二为二率仍用二十为三率所求四率亦同更以五代二十为三率亦用一为一率二率仍用十二亦可又术以一率除二率乘三率亦合又术以一率除三率乘二率亦合
　　通曰后二术皆先除后乘恐有零不尽不如先乘后除也
　　若以二率三率相乘以四率除之即得第一率之数若移三率作一率移四率作二率移一率作三率即得第二率之数
　　定位诸式
　　通曰二率三率可以相换一率则不可易矣
　　式买绢五十二疋银四十四两今买二百六十疋该银几何曰二百二十两术此所问在二百六十疋则以二百六十为第三率以原绢五十二为第一率相当而以四十四为第二率以当所测之第四率也
　　式二每石价一两七钱五分米每石价二两五钱今有谷三百九十六石照价折米该若干曰二百七十七石二斗术以谷价为二率米价为一率今有糓为三率若问米照价准糓则以米价为二率糓价为一率米数为三率
　　式三八成金五十两价二百两今有九成金四十两该价若干曰一百八十两术此有成色当折足色之后用本法推之以八成金折足四十两为一率二百两为二率九成金折足三十六两为三率
　　式四蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一共银二两六钱今有银九钱买蜡若干曰三斤十二两一钱九分又六十五之四术此为三不同类之率取原银二两六钱化为二十六钱为一率取原蜡二起共化为一千七百三十九钱为二率以今银九钱为三率求得六百钱零一钱九分零归得斤两数
　　式五炼矿求银初火每三两得二两再火每七两得五两三火毎五两得四两凡三次共得足银十六两问原矿若干曰四十二两术此当并子并母求之以三子相乘炼得二两乘五两得十两又乘四两得四十两为首率以三母相乘每三两乘七两得二十一两又乘五两得一百○五两为次率以足银为三率
　　式六驿使先发三十七里别一骑追一百四十五里尚不及二十三里再追几何里可及曰二百三十八里又十四分里之三术先推知一百四十五里只追上十四里即以十四里为首率一百四十五里为次率不及二十三里为三率
　　式七二人同步甲疾乙迟甲百步乙才六十步假使乙先行百步甲该几何步可及曰二百五十步术以甲百步与乙六十步相减得较四十步为首率以甲百步为次率以乙先行百步为三率
　　式八籴米三千五百石毎石价六钱五分外用脚价五分就籴处以米准折问脚米存米各若干曰脚米二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五〈约为十三之九〉存米三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十〈约为十三之四〉术以每石籴价为首率总米为次率脚价为三率求得脚米以减总米得存米若已运至仓则并籴价脚价共七钱为首率依法求之只该脚米二百五十石
　　通曰数以四分用三故三率为数之枢也乘除亦三率而人不知者因其首率为除之法一次率为乘之法一法数遇一则不用三率耳前后诸式有各章己见者此则专以三率名也
　　同乘异除法
　　式借布长四丈阔二尺今还布止阔一尺八寸该长若干曰四丈四尺四寸零术此变测法也如一率多于三率而二率反少于四率或一率少于三率而二率反多于四率者当审其不相准之数而变法测之则以第一率乘第二率以第三率除之也今以原阔二尺为一率以原长四丈为二率以今阔一尺八寸为三率若用异乘同除法则移三率为一率移一率为二率移二率为三率亦可
　　定位诸式
　　式借九成金五十四两今以八成金抵还该若干曰六十两七钱五分术以九成为首率五十四两为次率八成为三率
　　式二原母四千两生息三年今母七千四百八十两须几年可当其三年之息曰一年七月十日六时四刻又三百七十四分刻之八十六术以原母为首率三年为次率今母为三率
　　式三原麦半石价六百文作饼每饼重十两值十文今麦价每石八百文而每饼仍是十文该重若干曰十五两术以原价为首率十两为次率今价折半为三率式四二百四十步为一亩系阔八步长三十步今阔六步该长几何曰四十步术八步为首率三十步为次率六步为三率
　　式五原仓贮米三百八十四石高八尺阔一丈二尺深一丈今仓照前米数亦高八尺深八尺该阔几何曰一丈五尺术深一丈为首率阔一丈二尺为次率深八尺为三率
　　式六筑台每日用夫三十四年而成今每日用夫五十该几时成曰八百六十四日术以三十为首率以四年化作一千四百四十日为次率以五十为三率
　　式七守兵八千五百其粮仅能支十一月若待运粮至尚须二十五月计当撤兵几何留兵几何而后足食二十五月曰留三千七百四十撤四千七百六十术以十一月为首率八千五百为次率二十五月为三率求出四率为留数减总得撤数
　　式八每日空车行七十里若重载只行五十里今载粮到仓五日三返路远若干曰四十八里又三十六之二十二术以五日为首率以七十乘五十得三千五百里为次率并七十五十得一百二十里以乘三返得三百六十为三率
　　异乘同乘法
　　通曰定率之后仍用异乘同除法求之
　　式毎人每月织绢六疋若八人四年该织几何曰二千三百○四疋术以四年化作四十八月乘八人得三百八十四又以六疋乘之即得又术用并法以一人乘一月得一为首率以六疋为次率以八人乘四十八月得三百八十四为三率
　　通曰首率是一故前术为捷耳若非一者必用此术及后术也又术用重准测法又名夹三累先以人数测绢数以一人为首率六疋为次率八人为三率求得四率四十八疋又以月数测绢数以一月为首率以前四率为次率四十八月为三率
　　用并诸式
　　式原买大布一疋长二丈五尺阔一尺六寸价二钱今买小布一疋长一丈八尺阔一尺三寸用价一钱二分其贵贱若何曰只该一钱一分七釐今贵三釐术以大长乘大阔得四丈为首率以二钱为次率以小长乘小阔得二丈三尺四寸为三率
　　式二三人用米五石值银三两计食五旬每人每日银米各几何曰银二分米三升三合又三之一术以三人乘五十日得一百五十为首率以三两化作三百分为求银之次率五石化作五百升为求米之次率皆以一人乘一日得一为三率
　　式三母银三百两四年得子银一百两今母银一千五百八十两七年该子银若干曰九百二十一两又三之二术以三百乘四年得一千二百为首率以一百为次率以一千五百八十乘七年得一万一千○六十为三率
　　式四兵每名每月给银四两今兵一万三千名九月该给若干曰四十六万八千两术以一名乘一月得一为首率以四两为次率以九月乘一万三千得十一万七千为三率
　　重测诸式
　　式母银十两三月得子银四两母银百两欲得子银二千两须几时曰一百五十月术此须先知百两三月所得以十两为首率四两为次率一百两为三率求出四十两为四率后以四十两为首率三月为次率二千两为三率
　　式二夏布四十五疋换绵布夏布三疋共价二钱绵布七疋共价七钱五分该换若干曰二十八疋术先求夏布四十五疋之共价以三疋为首率二钱为次率四十五疋为三率求出三两为四率后以七钱五分为首率七疋为次率以先四率为三率
　　式三银二十三两买布七十五疋毎疋长四丈阔二尺今另买布阔一尺六寸长与前等该减前价若干曰四两六钱术先求每尺之价以四丈乘七十五疋得三百丈又乘二尺得六千尺为首率以二十三两为次率另立一尺为三率求出三釐八毫三丝又三之一为四率再求应减之价以先三率为后一率先四率为后二率以两阔相减馀四寸乘三千尺〈即四丈乘七十五所得之数〉得一千二百尺为三率
　　式四重舟日行八十里轻舟日行百里重舟先去十五日轻舟几日追及曰六十日术先求重舟十五日所行以一日为首率八十里为次率十五日为三率求出一千二百里为四率后以轻舟每日多行二十里为首率以先首率为后二率先四率为后三率
　　式五车轮半径一尺九寸五分一日转二万周为里几何曰一百三十里术倍半径得三尺九寸为全径推得周一百一十七寸以一周为首率一百一十七寸为次率二万周为三率求得二十三万四千尺为四率再以里法三百六十步化作一千八百尺为首率一里为次率前四率为后三率
　　式六十二人九日刈麦二十亩今三十人刈麦四十五亩该几日曰八日又十之一术先以人较日以十二人为首率九日为次率三十人为三率此系一率小于三率而四率少于二率者当用变准测一二相乘以三率除求出三日又五之三为四率后以日较亩以二十亩为首率前四率为后次率四十五亩为三率仍用本法式七炼铜每次十斤得八斤三次得七十五斤十三两四钱四分原生铜若干曰一百四十八斤二两术化八斤作一万二千八百分为首率化十斤作一万六千分为次率化总铜作十二万一千三百四十四分为三率求出十五万一千六百分为二火铜数以此数为三率一率二率如故求出十八万九千六百分为一火铜数又以此数为三率一率二率如故又求出二十三万七千分用斤法十六除之即得又术以八斤自乘再乘得五百一十二为法除三火铜化分得二三七因有再乘当升二位作二千三百七十两以斤法除之亦得通曰此用三回三率故又名大夹三累
　　式八雇匠采石每六十丈价七两七钱船价三钱总用鍜铁炭火银二百两是六十分之二问总银石数石价船价各若干曰总银六千两石四万三千五百丈石价五千五百八十二两五钱船价二百一十七两五钱术二百两为六十分之二即知总银是六千两矣内减二百两只以五千八百起算为三率以六十丈为二率以两价并得八两为首率求出石四万三千五百丈为四率又以四率为三率以六十丈为首率七两七钱为次率求出石价减五千八百馀船价加二百两合总银式九母银百两货每斤卖二钱已得息三十两今若每斤卖至二钱四分其息几何曰五十六两术先求每斤二钱内母银若干以母并原息得一百三十两为首率以一百两为次率以二钱作二十分为三率求出十五分又十三之五为四率后以四率为首率以二钱四分内减十五分又十三之五馀八分又十三之八为次率一百两为三率
　　式十布每疋长四十尺内抽税二尺客布三百疋税司抽布十五疋半反贴客钱六百文其布价毎疋几何曰一千二百文术此已知税为二十取一也先求三百疋应抽之数以二十疋为首率一疋为次率三百为三率求出十五疋为四率以减十五疋半馀半疋系二十尺为首率六百文为次率四十尺为三率
　　通曰二尺乘三百疋得六百尺以四十尺除之亦得应抽之数
　　式十一贩参每六斤价七两七钱脚价三钱又用牙银二百是原母三十之一其母银参数两价各若干曰原母六千两参四千三百五十斤价五千五百八十二两五钱脚价二百一十七两五钱术与八式同
　　式十二饭僧初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米僧各若干曰僧一千三百五十初日用米二十一石六斗次日用米十石○五斗术先将两子母互乘〈五十九十〉□〈八七〉左得三百五十右得七百二十并得一千○七十为首率两母相乘得四千五百为次率以共米为三率求出一千三百五十为僧数又以五十人为首率八斗为次率僧数为三率求出初日米数再以九十人为首率七斗为次率僧数为三率求出次日米数
　　式十三银六钱五分换大小钱钱数相等每银一钱换大钱七十五文银一钱换小钱一百二十文问各若干曰大钱三百文小钱三百文术以七十五文为首率换大银一钱为次率一百二十文为三率求出一钱六分为大一百二十之银再以一钱六分并换小银一钱共二钱六分为首率并大一百二十小一百二十共二百四十文为次率以六钱五分为三率求得六百文平分大小各三百
　　式十四一百二十里物重八十斤工银六分今一百八十里物重一百二十斤该工银若干日一钱三分五釐术先以八十斤为首率六分为次率一百二十斤为三率求出银九分后以一百二十里为首率九分为次率一百八十里为三率又术通曰视一百二十斤多八十斤二之一则将六分多二之一为九分又视一百八十里多一百二十里二之一则又将九分多二之一为一钱三分五釐亦合〈以先里重乘为首率工为次率以后里重乘为三率亦可〉
　　附式夫百名筑城二百丈八月完工今夫百名筑城二万丈几月完工曰八百月术此因前后皆是一百名不必重测以二百丈为首率八月为次率二万丈为三率式二货百斤卖银六十四两母每百两得子六两又三之二问各若干曰母六十两子四两术并母子共一百○六两又三之二为首率母一百两为次率卖银为三率此除货不用也
　　式三货卖银二百两云每百两折银十两其原买母银若干曰二百二十二两又九之二术此因百两内折十两当以九十两为首率一百两为次率二百两为三率
　　异除同除法
　　式十五客十二日用米三石六斗一客一日用米若干日二升术以用米为实以十二日为法除之得每日米三斗又以十五客为法除三斗得每人二升
　　同乘同除法
　　式鹅八换鸡二十鸡三十换鸭九十鸭六十换羊二今有五羊换鹅若干日二十术以鹅八乘鸡三十得二百四十又乘鸭六十得一万四千四百又乘羊五得七万二千为实以换鸡二十乘换鸭九十得一千八百又乘换羊二得三千六百为法以法除实得换鹅数〈已上诸法式中凡遇奇零者法详三卷〉
　　杂収
　　式一银八百八十二两分甲乙丙三等人共一百四十四名云甲每人七两则乙每人五两丙每人三两问人银各若干通曰以总人暂作三分每等四十八人以七两乘甲四十八人得三百三十六以五两乘乙四十八人得二百四十以三两乘丙四十八人得一百四十四并得七百二十两较总银尚少一百六十二两须益一甲损一丙则多四两乃以四两除一百六十二得四十人计多一百六十两尚少二两又须益一甲损一乙则多银二两也甲初四十八人加丙移四十人乙移一人共八十九人分银六百二十三两乙初四十八人减移甲一人止四十七人分银二百三十五两丙初四十八人减移甲四十人止八人分银二十四两又甲八十二人乙六十一人丙一人亦可
　　式二甲乙丙三物共百枚钱百文云甲一枚钱二文乙三枚钱一文丙五枚钱一文问各若干通曰暂以甲作三十二钱六十四乙作三十三钱十一丙作三十五钱七文并得钱八十二文较之百文尚少十八文须益十甲损十丙则多十八文也甲四十二钱八十四乙三十三钱十一丙二十五钱五文又甲四十四乙六丙五十亦可
　　通日右二式无准不可立通数差分不可盈朒亦不可姑存此
　　式三有积于此以三数之馀二以五数之馀三以七数之馀二为积几何其法三数每馀一作七十今当作一百四十五数每馀一作二十一今当作六十三七数每馀一作十五今当作三十并得二百三十三满百则减去并带去五今于并数内减二百又带去一十馀二十三为积也
　　通曰五用二十一者三七相乘数也七用十五者三五相乘数也三用七十者五七相乘而倍之之数也减百零五者并七十与二十一及十五得一百零六减百零五而馀一也
　　式四四正四隅各置三枚截南三方共成九枚截西三方亦成九枚四面皆然今四正各加一枚四隅各移一枚入正截南三方仍是九枚四面皆然何也通曰四隅一枚当二枚用四正一枚止是一枚也
　　式五环二十子内有二黑子相连以九数之止处即除一子除毕二黑不动宜从何起通曰五为九之中左右各四离黑子四位起可也大凡以九数者不拘多寡中必有相连二子不动七亦如之惟起处当临时测耳式六十位九子隔三而投务从空起可越而不可曲其投若何
　　通曰甲丙戊庚壬五阳位也乙丁己辛癸五阴位也阳起阴止阴起阳止一阴一阳而九子毕投矣
　　式七酒十斤贮甲器外有乙器可容七斤丙器可容三斤而无秤欲两平分其术若何通曰有二术就甲器贮酒用丙盛三斤入乙又盛三斤入乙又盛三斤内以一斤足乙七斤丙馀二斤乃将乙七斤复入甲以丙馀二斤入乙又盛三斤入乙则甲乙各得五斤矣若将乙丙二器贮酒以丙三斤入甲又盛三斤入甲又盛三斤入甲甲受九斤乙馀一斤乃以丙盛此一斤以甲九斤内七斤入乙甲馀二斤以乙七斤内二斤足丙三斤入甲则甲乙亦平分也











　　附录
　　式一借银二百六十两每年加三息至十个月二十四日共息若干通曰先用通日为月率之法以所零二十四日用三为法除得八于十月下空一位列之又用通月为年率之法以实零八为实用十二为法除得九乃以九乘借银得二百三十四两为实用加三息乘之得七十两零二钱盖三十日为一月故用三为法十二月为一年故用十二为法也
　　式二四商共贩赵于甲子年正月初九日出本三十两钱于乙丑年四月十五日出本五十两孙于丙寅年八月十八日出本七十两李于丁卯年十月二十七日出本九十两至戊辰年终共得利银一百二十两各该利若干通曰先用月率年率之法赵计四年十一个月二十一日以三除二十一日得七并月为十一七以十二除之得九七五并年为四九七五以原本三十乘之得一百四十九两二钱五分为赵通本钱计三年八个月十五日以三除十五日得五并月为八五以十二除之得七零八三三三并年为三七零八三三三以原本五十乘之得一百八十五两四钱一分六釐六毫〈不尽数去之〉为钱通本孙计二年四个月十二日如法得一百六十五两六钱六分六釐六毫为孙通本李计一年二个月零三日如法得一百零五两七钱五分为李通本并四通本得六百零六两零八分三釐二毫为法以除共利一百二十两得一钱九分八釐〈收零〉此乃是每年每两之利也然后以此为通法乘赵通本得利二十九两五钱五分一厘〈去五毫〉以通法乘钱通本得利三十六两七钱一分一厘〈去一厘四毫零〉以通法乘孙通本得利三十二两八钱〈去零数〉以通法乘李通本得利二十两零九钱三分八釐〈去五毫〉
　　式三借银每年每两加利二钱七分今有一年三个月二十日收还本利和银三百六十二两四钱七分其本利各若干通曰先用月率年率之法用三除二十日得六六六六并月为三六六六六以十二除之得三零五五五并年为一三零五五五又以利二钱七分乘之得三钱五分二釐五毫〈收零为五毫〉此乃是毎两之利也加毎本一两得一两三钱五分二釐五毫为法以除本利和得二百六十八两为本再以每两利三钱五分二釐五毫乘本得利九十四两四钱七分
　　通曰右第二第三式应属差分但前差分章内之式有整月而无零日此三式俱有零日用通日为月率通月为年率之法又有零尾或去或收故附于此










　　数度衍卷二十三
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>