數度衍 (四庫全書本)/全覽

數度衍　全覽



　　欽定四庫全書　　　　　子部六
　　數度衍　　　　　　　　天文算法類二〈算書之屬〉提要
　　〈臣〉等謹案數度衍二十四卷
　　國朝方中通撰中通字位伯桐城人明檢討以智之子也以智博極羣書兼通算數中通承其家學著為是書有数原律衍幾何約珠算筆算籌算尺算諸法復條列古九章名目引
　　御製數理精藴法推闡其義其幾何約篇本前明徐光啟譯本其珠算倣程大位算法統宗筆算籌算尺算採同文算指及新法算書惟数原律衍未明所自大抵裒緝諸家之長而增减潤色勒為一編者也其尺算之術梅文鼎謂其三尺交加取数故祇能用平分一綫其比例規解之本法惜僅見其弟中履但稱中通得舊法於豫章而不知其法何如並未獲與中通深論又稱見嘉興陳藎謨尺算用法一卷亦祇平分一綫豈中通所據之法與藎謨同出一源歟盖不可考矣乾隆四十六年十月恭校上
　　總纂官〈臣〉紀昀〈臣〉陸錫熊〈臣〉孫士毅
　　總　校　官〈臣〉陸費墀



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷首上
　　桐城方中通　撰
　　數原
　　勾股原圖説



　　一　　股較即勾股較
　　二　　勾較
　　三　　勾
　　四　　股
　　五　　
　　六　　股較與和
　　七　　勾較與和即勾股和
　　八　　勾和
　　九　　股和
　　通曰九數出於勾股勾股出於河圖故河圖為數之原周髀曰勾廣三股修四徑隅五天數二十有五之開

　　方也河圖之數五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之自之之數也勾三陽数也居左和而為八故八與三同位股四隂數也居右和而為九故九與四同位五勾股所求之數也居中勾較得二居上股較得一居下勾較與和為七故七與二同位股較與和為六故六與一同位居中倍為十而倍之之數不可用故洛書不用十也勾股左右両較上下四和四圍豈偶然哉勾不盡於三而始於三股不盡於四而始於四不盡於五而始於五較不盡於一二而始於一二和不盡於六七八九而始於六七八九此勾股之原也
　　加減乘除原圖














　　加減乘除原説
　　通曰不用十而用九河圖變為洛書加減乘除之數皆從洛生而九數之用備焉加者併也一隂一陽相併而生陽為用故一併六為七七併二為九九併四為十三去十不用所生為三三併八為十一去十不用所生為一數始於陽陽故統隂此加之原也減者去也隂中去陽則六去一為五八去三為五陽中去隂則九去四為五七去二為五邊去中存此減之原也乘者積也除者分也一無積分相對而為乘除者仍為九焉二與八對

　　二其八八其二所積皆十六截東南三四九之數合矣二分十六得八八分十六得二此二與八之互見也三與七對三其七七其三所積皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之數合矣三分二十一得七七分二十一得三此三與七之互見也四與六對四其六六其四所積皆二十四三八亦積二十四不用三八而一二五七九之數合矣四分二十四得六六分二十四得四此四與六之互見也五宜與十對而洛書無十故以中五乘四隅所積之數必止於十而無餘五乘二為一十是為兩方之數〈四正四隅兩方相對皆十〉五乘四為二十是為四方之數〈四正合為二十四隅亦合為二十兩正兩隅亦合為二十〉五乘八為四十是為八方之數〈四正四隅合為四十〉五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五與十之互見也洛書無十而十藏於中矣足後反無餘不足然後足此乘除之原也
　　九章皆勾股説
　　通曰九數曰方田御田疇界域曰粟布御交質變易曰差分御貴賤禀稅曰少廣御積冪方圓曰商功御功程積寔曰均輸御逺近勞費曰盈朒御隱襍互見曰方程御錯糅正負曰勾股御髙深廣逺周禮保氏注也周髀周之算經也陳子曰髀者股也正晷者勾也以勾為首以髀為股又曰髀者表也然周髀獨明勾股不及九章何哉偃矩以望髙覆矩以測深卧矩以知逺勾股之自為用也環矩以為圓合矩以為方方數為典以方出圓勾股之所生也數有可見者有𨼆而不得見者有互見者有旁見者其變無窮藏於圎方少廣圎方所出也方田商功皆少廣所出一方一圎其間不齊始出差分而均輸對差分之數盈朒者借差求均又差分均輸所出而以方程濟其窮度也量也衡也原於黄鐘粟布出焉黄鐘出於方圎者也三分益一圎周變為方周四分用三圎積變自方積故勾股之容圎方不同方田少廣生焉折半以平粟布均輸生焉盈朒方程生於諸和商功差分生於諸較勾股豈非九數之原乎設為九章者便用耳田疇界域或見於勾股少廣方田統之矣交質變易或見於差分均輸粟布統之矣故九章以用而分不以數而分也秦西立十八法盈朒曰疊借互徵方程曰雜和較乘分少廣為九而開方諸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其畧差分仍為差分粟布商功見於三率均輸見於重準測名異理同究無同異也加減乘除出於洛亦成於勾股和者勾股之相併也較者勾股之相較也併以成加較以成減勾股自之而為積則乘成積開方而為則除成有河即有洛有勾股即有加減乘除何往非圖書引觸哉
　　四算說
　　通曰古法用竹徑一分長六寸二百七十一而成六觚為一握即少廣圎以六包也後世有珠算而古法亡矣泰西之筆算籌算皆出九九尺算即比例規出三角籌尺雖不備加減其用甚便葢乘莫善於籌除莫善於筆加減莫善於珠比例莫善於尺用加為減用加減為乘除借此知彼無往而非比例也好學深思可以通而幾矣
　　九九圖説
　　此九九全圖即相乘
　　相除圖也〈相乗者一一得一一
　　二得二之類相除者九除八十一得九八
　　除六十四得八之類〉


　　此自乘圖也〈一一得一
　　二二得四三三得九之類〉
　　此各併圖也
　　〈三與六併九四與八併十
　　二之類〉

　　此隔一位併圖也〈四與十二併十六五與十五併二十之類〉隔二位併〈五與二十併二十五六與二十四併三十之類其隔中又
　　併者五之左十二十之右十五亦併二十五也餘倣此〉隔三位併隔四位併　隔五位併
　　隔六位併〈無不合隔中挨次而併亦無不合〉

　　此相減生陽圖也〈四去
　　一而生三六十四去一而生六十三九去
　　四而生五四十九去四而生四十五之類
　　右而左者自少而多即據見數減之左而
　　右者自多而少當除十而減其餘也除皆
　　陰數始除八十次除六十次除四十次除
　　二十〉


　　此相減生隂圖也〈六去
　　二而生四五十六去二而生五十四十二
　　去六而生六四十二去六而生三十六之
　　類自左而右者亦除十餘皆陽數始除七
　　十次除五十次除三十〉








　　〈併首尾之一九為十併一與十六為十七併一與二十五為二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五為實以七十二折半得一百得六百五十折半得三為法除之得十五三十六為實以四為三百二十五為實以
　　故縱横皆十五也　法除之得縱横皆三五為法除之得縱横此用少廣章順加求十四　　　　　　皆六十五積法得實〉





　　〈併一與三十六為三十七以三十六乘之得一千三百三〉
　　〈十二折半得六百六十六為併一與四十九為五十以四十九實以六為法除之得縱横皆乘之得二千四百五十折半得一
　　一百一十一　　　　　　千二百二十五為實以七為法除之得縱横皆一百七十五
　　併一與六十四為六十五以六十四乘之得四
　　千一百六十折半得二千零八十為實以八為
　　法除之得縱横〉





　　〈皆二百六十併一與八十一為八十二以八十
　　一乘之得六千六百四十二折半得三千三百
　　二十一為實以九為法除〉







　　〈併一與一百為一百零一以一百乘之得
　　一萬零一百折半得五千零五十為實以
　　十為法除之得縱横〉















<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍,卷首上>
　　〈六十四子順逆安置用横行八位為一陣首行數居北之右八行數居北之左二行數居南之左七行數居南之右三行數居東之上五行數居東之下四行數居西之下六行數居西之上其求積法如前八八圖每陣得二百六十每陣各取半面四子積一百三十合而俱成一陣數無不同如截坎東四子艮西四子共得二百六十截乾南四子兌北四子亦得二百六十
　　用七十二子為圖併一與七十二得七十三以七十二乘
　　之得五千二百五十六折半得二千六百二十八為實以
　　九為法除之得每環八子為一陣各二百九十二以九陣
　　化為十三陣也〉


　　通曰商髙曰圎出於方方出於矩矩出於九九八十一趙君卿曰九九者乘除之原也乘之九九見乎外除之九九藏乎内故為乘之原即為除之原也夫九九者生生之謂也人知夫數始於一而不知數始於九人知夫數終於十而不知數終於九葢九與九遇始以繼終終以繼始旋相為用而無始無終此所謂生生也一三五七為陽而九統之二四六八為隂而九統之陽故不統陽而統隂陽者也如右諸圖靡不適合然猶一定位次至錯綜變化無方無體而中天然之節藏往知來寧獨九九而已哉
　　倚數圖說



　　通曰易曰參天兩地而倚數無倚不生則無數也有中倚焉有偏倚焉數始於一二何自來乎一之自併也三何自來乎一與二併也四何自來乎二之自併也一與三併也推至京垓亦無不然兩相倚而生者中也以此倚彼而生者偏也不特生為然也即用亦有倚焉積小知大則用中倚由博反約則用偏倚中可互用偏惟専成裒多益寡則偏中皆用葢用之無節雖中亦偏用之當位雖偏亦中存乎其人耳數故可倚而不可倚不可倚而後可倚者若夫相追而合有偶合不可為率者有巧合可為準者相距而合有不合而適合者有似合而非合者故參兩之倚可以神遇不可盡以言傳苟非黙悟㑹通未免倚彼失此倚此失彼逐物者中無所主

　　自恃者有所不見此不可以入數即不可以入理也
　　今之五量用數圖說
　　十百　萬千百十○分釐毫絲忽微纎沙塵埃渺漠〈或作微塵渺漠埃纎
　　沙或作㣲僉或作纎塵沙渺漠茫〉
　　權衡　　　十斤兩錢分〈凡分以下俱同前〉
　　十兩錢分
　　升斛　　　十石斗升合勺抄撮圭粟粒顆〈或作粒黍䄽糠粃或作顆粒〉尺丈　　　十丈尺寸分
　　里步　　　十里百十步分〈三百六十步為里〉
　　十畆分〈或用萬千百十頃十畆分　百畆為頃〉
　　十弓分〈二百四十弓為畆　弓與𡵯同〉
　　通曰家語黄帝設五量曰權衡曰升斛曰尺丈曰里步曰十百不以升斛獨為量也度量衡同律皆以黍生里歩不通量衡十百可通五量故今之五量用有非一則者數有相通者十之上分之下皆同十百之名惟升斛無分名耳皆遇十則升而權衡里步稍有不同斤法十六里法三百六十故也權衡之用有二或用斤或止用兩里步之用有三或用里或用畆或用弓十百之用無窮矣度之通於量也二尺五寸為斛法衡之通於量也百二十斤為石法曰億曰兆曰京曰垓曰秭曰穰曰溝曰澗曰王曰載此十等數也而其用分上中下數下數者十十變之十萬曰億十億曰兆十兆曰京至載皆以十進中數者萬萬變之萬萬曰億萬億曰兆萬兆曰京之類也上數者數窮則變萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京之類也雖然數不可以名拘河洛有數無名聖人因其數而名之曰一曰二亦物謂之而然也









　　數度衍巻首上



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷首下
　　桐城　方中通　　撰
　　律衍
　　隔八相生圖說
　　通曰黄鐘太蔟姑洗㽔賔夷則無射六律為陽林鐘南呂應鐘大呂夾鐘中呂六呂為隂隔八相生者黄鐘生林鐘隔子至未八位也娶妻生子者黄鐘一陽復娶一隂姤生二隂遯為林鐘也先王父周易時論曰宫與商商與角徵與羽相去各一角與徵羽與宫相去各二故比徵少下曰變徵少髙於宫曰變宫
　　通曰六律居子寅辰午申戌不
　　動六呂皆取衝位未居丑為十
　　二月酉居夘為二月之類是也
　　凡陽生隂謂之下生用三分損
　　一求之凡隂生陽謂之上生用
　　三分益一求之葢相生則以子
　　午分隂陽不以律呂分隂陽也
　　詳後
　　諸家推算
　　黄鐘九寸　積八十一分〈長九寸圍九分相乘得八十一分〉
　　子一分〈分去聲以九寸為一段也〉
　　三分前律寸數為法下生者倍其法上生者四其法實一十七萬七千一百四十七數〈通曰以八十一分自之得六千五百六十一又以三乘九寸得二十七為法乘之即得子實　三厯十二辰亦合〉
　　管子遇損用益遇益用損法
　　鄭𤣥杜佑先倍先四前律寸數法〈通曰先倍而後三分之與先三分之而後倍同先四之而後三分之與先三分之而後四之同葢先乘後除與先除後乘數無二也〉
　　十度八寸一分〈以積八十一分即作八寸一分也〉
　　新法五寸三分一釐四毫四絲一忽〈通曰以九化積八十一分為七百二十九釐又九化為六千五百六十一毫又九化為五萬九千零四十九絲又九化為五十三萬一千四百四十一忽以十度即作五寸三分一釐四毫四絲一忽也〉
　　林鐘六寸　積五十四分〈以黄鐘九寸而三分之　段得三寸于黄鐘寸内損　段得六寸也　以黄鐘積八十一分而三分之毎段得二十七分於林鐘積内損一段得五十四分也以九分為　寸歸整得六寸也〉
　　丑三分二〈三其子之一為三分兩其子之一為二也前圖林鐘在未今取衝位居丑也六吕皆然　通曰三其二為六寸也〉
　　下生用倍〈三分黄鐘九寸得三寸為法倍其法得六寸也〉
　　實一十一萬八千零九十八數〈分子實為三段毎段得五萬九千零四十九丑得二段為實　通曰得二段即損一段也〉
　　管法〈於黄鐘積八十一分外益一段二十七分共得一百零八分而半之得五十四分亦合〉鄭法〈先倍黄鐘九寸為十八寸而三分之毎段得六寸即是〉
　　十度五寸四分〈以黄鐘八寸一分而三分之每段得二寸七分于黄鐘寸内損一段得五寸四分也〉
　　新法三寸五分四釐二毫九絲四忽〈通曰以九化積五十四分為四百八十六釐又九化為四千三百七十四毫又九化為三萬九千三百六十六絲又九化為三十五萬四千二百九十四忽以十度即作三寸五分四釐二毫九絲四忽也〉
　　三分損一亦合〈通曰以子五寸三分一釐四毫四絲一忽而三分之毎段得一寸七分七釐一毫四絲七忽丑當損一段正合三寸五分四釐二毫九絲四忽也〉
　　太蔟八寸　積七十二分〈以林鐘六寸而三分之每段得二寸於林鐘寸外益一段得八寸也　以林鐘積五十四分而三分之毎段得十八分於林鐘積外益一段得七十二分也以九分為一寸歸整得八寸也〉
　　寅九分八〈三其丑之三為九四其丑之二為八也　通曰八與八寸相合〉
　　上生用四〈三分林鐘六寸得二寸為法四其法得八寸也〉
　　實一十五萬七千四百六十四數〈三分丑實毎段得三萬九千三百六十六寅當益一段為實　通曰分子實為九段毎段得一萬九千六百八十三寅得八段為實〉
　　管法〈以林鐘一百零八分而三分之毎段得三十六于林鐘數内損一段得七十二分亦合〉鄭法〈先以四乘林鐘六寸為二十四寸而三分之毎段得八寸即是〉
　　十度七寸二分〈以林鐘五寸四分而三分之每段得一寸八分于林鐘寸外益一段得七寸二分也〉
　　新法四寸七分二釐三毫九絲二忽〈通曰以九化積七十二分為六百四十八釐又九化為五千八百三十二毫又九化為五萬二千四百八十八絲又九化為四十七萬二千三百九十二忽以十度即作四寸七分二釐三毫九絲二忽〉
　　三分益一亦合〈通曰以丑三寸五分四釐二毫九絲四忽而三分之毎段得一寸一分八釐零九絲八忽寅當益一段正合四寸七分二釐三毫九絲二忽也〉
　　南呂五寸三分　積四十八分〈太蔟八寸不可三分乃以九乘八寸化為七十二分然後三分之每段得二十四分于太蔟積内損一段得四十八分也以九分為一寸歸整得五寸零三分也〉
　　夘二十七分十六〈取衝位　三其寅之九為二十七兩其寅之八為十六也　通曰三其十六為四十八分也〉
　　下生用倍〈三分太蔟積七十二分得二十四分以九分為一寸歸整得二寸六分為法倍其法得四寸一十二分而歸整得五寸三分也〉
　　實一十萬零四千九百七十六數〈三分寅實每段得五萬二千四百八十八夘當損一段為實　通曰分子實為二十七段每段得二千五百六十一夘得十六段為實〉
　　管法〈于太蔟積七十二分外益一段二十四分共得九十六分而半之得四十八分亦合〉鄭法〈先倍太蔟八寸為十六寸此數不可三分乃以十六寸九化為一百四十四分而三分之每段得四十八分即是〉
　　十度四寸八分〈以太蔟七寸二分而三分之每段得二寸四分于太蔟寸内損一段得四寸八分也〉新法三寸一分四釐九毫二絲八忽〈通曰以九化積四十八分為四百三十二釐又九化為三千八百八十八毫又九化為三萬四千九百九十二絲又九化為三十一萬四千九百二十八忽以十度即作三寸一分四釐九毫二絲八忽也〉
　　三分損一亦合〈通曰以寅四寸七分二釐三毫九絲二忽而三分之每段得一寸五分七釐四毫六絲四忽夘當損一段正合三寸一分四釐九毫二絲八忽也〉
　　姑洗七寸一分　積六十四分〈以南呂積四十八分而三分之毎段得十六分
　　于南呂外益一段得六十四分也以九分為一寸歸整得七寸零一分也〉
　　辰八十一分六十四〈三其夘之二十七為八十一四其夘之十六為六十四也　通曰六十四與六十四分相合〉
　　上生用四〈三分南吕積四十八分得十六分以九分為一寸歸整得一寸七分為法四其法得四寸二十八分而歸整得七寸一分也〉
　　實一十三萬九千九百六十八數〈三分夘實每段得三萬四千九百九十二辰當益一段為實　通曰分子實為八十一段每段得二千一百八十七辰得六十四段為實〉
　　管法〈以南呂九十六分而三分之每段得三十二分于南呂數内損一段得六十四分亦合〉鄭法〈先以四乘南呂積四十八分為一百九十二分而三分之每段得六十四分即是〉十度六寸四分〈以南呂四寸八分而三分之每段得一寸六分于南呂寸外益一段得六寸四分也〉新法四寸一分九釐九毫零四忽〈通曰以九化積六十四分為五百七十六釐又九化為五千一百八十四毫又九化為四萬六千六百五十六絲又九化為四十一萬九千九百零四忽以十度即作四寸一分九釐九毫零四忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以夘三寸一分四釐九毫二絲八忽而三分之毎段得一寸零四釐九毫七絲六忽辰當益一段正合四寸一分九釐九毫零四忽也〉
　　應鐘四寸六分六釐　積三百八十四釐〈姑洗六十四分又不可三分乃以九化之為五百七十六釐然後三分之毎段得一百九十二釐于姑洗化釐内損一段得三百八十四釐也以九釐為一分歸整得四十二分零六釐又以九分為一寸歸整得四寸零六分六釐也〉
　　巳二百四十三分一百二十八〈取衝位　三其辰之八十一為二百四十三兩其辰之六十四為一百二十八也　通曰三其一百二十八為三百八十四釐也〉
　　下生用倍〈三分姑洗化積五百七十六釐得一百九十二釐歸整得二寸三分三釐為法倍其法得四寸六分六釐也〉
　　實九萬三千三百一十二數〈三分辰實毎段得四萬六千六百五十六巳當損一段為實　通曰分子實為二百四十三段每段得七百二十九巳得一百二十八段為實〉
　　管法〈于姑洗化積五百七十六釐外益一段一百九十二釐共得七百六十八釐而半之得三百八十四釐亦合〉
　　鄭法〈先倍姑洗化積五百七十六釐為一千一百五十二而三分之毎段得三百八十四釐即是〉十度四寸二分六釐〈以姑洗六寸四分存一釐不入算止作六寸三分九釐而三分之每段得二寸一分三釐于六寸三分九釐内損一段得四寸二分六釐也〉
　　新法二寸七分九釐九毫三絲六忽〈通曰以九化積三百八十四釐為三千四百五十六毫又九化為三萬一千一百零四絲又九化為二十七萬九千九百三十六忽以十度即作二寸七分九釐九毫三絲六忽也〉
　　三分損一亦合〈通曰以辰四寸一分九釐九毫零四忽而三分之每段得一寸三分九釐九毫六絲八忽巳當損一段正合二寸七分九釐九毫三絲六忽也〉
　　㽔賔六寸二分八釐　積五百一十二釐〈以應鐘積三百八十四釐而三分之每段得一百二十八釐于應鐘積外益一段得五百一十二釐也以九釐為一分歸整得五十六分零八釐又以九分為一寸歸整得六寸零二分八釐也〉
　　午七百二十九分五百一十二〈三其巳之二百四十三為七百二十九四其巳之一百二十八為五百一十二也通曰五百一十二與五百一十二釐相合〉
　　上生用四〈三分應鐘積三百八十四釐得一百二十八釐歸整得一寸五分二釐為法四其法得四寸二十分八釐而歸整得六寸二分八釐也〉
　　實一十二萬四千四百一十六數〈三分巳實毎段得三萬一千一百零四午當益一段為實　通曰分子實為七百二十九毎段得二百四十三午得五百一十二段為實〉
　　管法〈以應鐘七百六十八釐而三分之毎段得二百五十六釐于應鐘數内損一段得五百一十二釐亦合〉
　　鄭法〈先以四乘應鐘即三百八十四釐為一千五百三十六釐而三分之每段得五百一十二釐即是〉十度五寸六分八釐〈以應鐘四寸二分六釐而三分之每段得一寸四分二釐于應鐘寸外益一段得五寸六分八釐也〉
　　新法三寸七分三釐二毫四絲八忽〈通曰以九化積五百一十二釐為四千六百零八毫又九化為四萬一千四百七十二絲又九化為三十七萬三千二百四十八忽以十度即作三寸七分三釐二毫四絲八忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以巳二寸七分九釐九毫三絲六忽而三分之毎段得九分三釐三毫一絲二忽午當益一段正合三寸七分三釐二毫四絲八忽也〉
　　大呂八寸三分七釐六毫　積六千一百四十四毫〈㽔賔五百一十二釐又不可三分乃以九化之為四千六百零八毫然後三分之毎段得一千五百三十六毫于㽔賔化毫外益一段得六千一百四十四毫也以九毫為一釐歸整得六百八十二釐零六毫又以九釐為一分歸整得七十五分零七釐六毫又以九分為一寸歸整得八寸零三分七釐六毫也〉
　　未二千一百八十七分一千二十四〈取衝位　三其午之七百二十九為二千一百八十七兩其午之五百一十二為一千零二十四也　通曰六其一千零二十四為六千一百四十四毫也〉
　　上生用四〈三分㽔賔化積四千六百零八毫得一千五百三十六毫歸整得二寸八釐六毫為法四其法得八寸三十二釐二十四毫而歸整得八寸三分七釐六毫也〉
　　實一十六萬五千八百八十八數〈三分午實毎段得四萬一千四百七十二未損一段得八萬二千九百四十四又倍之為實　通曰未當益一正合實數今順次益後用損倍之亦合也分子實為二千一百八十七段毎段得八十一未得一千零二十四段為實八萬二千九百四十四又倍之合實此因㽔賔又上生大呂重一益數故須又倍也後遇上生皆倍〉
　　管法〈于㽔賔化積四千六百零八毫内損一段一千五百三十六毫得三千零七十二毫而倍之得六千一百四十四毫亦合〉
　　鄭法〈先以四乘㽔賔化積四千六百零八毫為一萬八千四百三十二毫而三分之每段得六千一百四十四毫即是〉
　　十度七寸五分六釐〈以㽔賔五寸六分八釐又存一釐不入算止作五寸六分七釐而三分之每段得一寸八分九釐于五寸六分七釐外益一段得七寸五分六釐也〉
　　新法四寸九分七釐六毫六絲四忽〈通曰以九化積六千一百四十四毫為五萬五千二百九十六絲又九化為四十九萬七千六百六十四忽以十度即作四寸九分七釐六毫六絲六忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以午三寸七分三釐二毫四絲八忽而三分之每段得一寸二分四釐四毫一絲六忽未又當益一段正合四寸九分七釐六毫六絲四忽也〉
　　夷則五寸五分五釐一毫　積四千零九十六毫〈以大吕積六千一百四十四毫而三分之每段得二千零四十八毫于大吕積内損一段得四千零九十六毫也以九毫為一釐歸整得四百五十五釐零一毫又以九釐為一分歸整得五十分零五釐一毫又以九分為一寸歸整得五寸零五分五釐一毫也〉
　　申六千五百六十一分四千九十六〈三其未之二千一百八十七為六千五百六十一四其未之一千零二十四為四千零九十六也　通曰四千零九十六與四千零九十六毫相合〉
　　下生倍用〈三分六呂積六千一百四十四毫得二千零四十八毫歸整得二寸七分二釐五毫為法倍其法得四寸一十四分四釐一十毫而歸整得五寸五分五釐一毫也〉
　　實一十一萬零五百九十二數〈三分未之八萬二千九百四十四毎段得二萬七千六百四十八申于八萬二千九百四十四外益一段為實　通曰分子實為六千五百六十一段每段得二十七申得四千零九十六段為實〉
　　管法〈以大吕三千零七十二毫而三分之每段得一千零二十四毫于大吕數外益一段得四千零九十六毫亦合〉
　　鄭法〈先倍大吕積六千一百四十四毫為一萬二千二百八十八毫而三分之毎段得四千零九十六毫即是〉
　　十度五寸零四釐〈以大呂七寸五分六釐而三分之每段得二寸五分二釐于大吕寸内損一段得五寸零四釐也〉
　　新法三寸三分一釐七毫七絲六忽〈通曰以九化積四千零九十六毫為三萬六千八百六十四絲又九化為三十三萬一千七百七十六忽以十度即作三寸三分一釐七毫七絲六忽也〉
　　三分損一亦合〈通曰以未四寸九分七釐六毫六絲四忽而三分之每段得一寸六分五釐八毫八絲八忽申當損一段正合三寸三分一釐七毫七絲六忽也〉
　　夾鐘七寸四分三釐七毫三絲積四萬九千一百五十二絲〈夷則四千零九十六毫又不可三分乃以九化之為三萬六千八百六十四絲然後三分之每段得一萬二千二百八十八絲于夷則化絲外益一段得四萬九千一百五十二絲也以九絲為一毫歸整得五千四百六十一毫三絲又以九毫為一釐歸整得六百零六釐零七毫三絲又以九釐為一分歸整得六十七分零三釐七毫三絲又以九分為一寸歸整得七寸零四分三釐七毫三絲也〉
　　酉一萬九千六百八十三分八千一百九十二〈取衝位三其申之　六千五百六十一為一萬九千六百八十三兩其申之四千零九十六為八千一百九十二也　通曰六其八千一百九十二為四萬九千一百五十二絲也〉
　　上生用四〈三分夷則化積三萬六千八百六十四絲得一萬二千二百八十八絲歸整一寸七分七釐六毫三絲為法四其法得四寸二十八分二十八釐二十四毫一十二絲而歸整得七寸四分三釐七毫三絲也〉
　　實一十四萬七千四百五十六數〈三分申實每段得三萬六千八百六十四酉損一段得七萬三千七百二十八又倍之為實　通曰分子實為一萬九千六百八十三段每段得九酉得八千一百九十二段為實七萬三千七百二十八又倍之合實〉
　　管法〈于夷則化積三萬六千八百六十四絲内損一段一萬二千二百八十八絲得二萬四千五百七十六絲而倍之得四萬九千一百五十二絲亦合〉
　　鄭法〈先以四乘夷則化積三萬六千八百六十四絲為一十四萬七千四百五十六絲而三分之每段得四萬九千一百五十二絲即是〉
　　十度六寸七分二釐〈以夷則五寸零四釐而三分之每段得一寸六分八釐于夷則寸外益一段得六寸七分二釐也〉
　　新法四寸四分二釐三毫六絲八忽〈通曰以九化積四萬九千一百五十二絲為四十四萬二千三百六十八忽以十度即作四寸四分二釐三毫六絲八忽也〉三分益一亦合〈通曰以申三寸三分一釐七毫七絲六怱而三分之每段得一寸一分零五毫九絲二忽酉當益一段正合四寸四分二釐三毫六絲八忽也〉
　　無射四寸八分八釐四毫八絲　積三萬二千七百六十八絲〈以夾鐘積四萬九千一百五十二絲而三分之每段得一萬六千三百八十四絲于夾鐘積内損一絲得三萬二千七百六十八段也以九絲為一毫歸整得三千六百四十毫零八絲又以九毫為一釐歸整得四百零四釐零四毫八絲又以九釐為一分歸整得四十四分零八釐四毫八絲又以九分為一寸歸整得四寸零八分八釐四毫八絲也〉
　　戍五萬九千四十九分三萬二千七百六十八〈三其酉之一萬九千六百八十三為五萬九千零四十九四其酉之八千一百九十二為三萬二千七百六十八也　通曰三萬二千七百六十八與三萬二千七百六十八絲相合〉
　　下生用倍〈三分夾鐘積四萬九千一百五十二絲得一萬六千三百八十四絲歸整得二寸四分四釐二毫四絲為法倍其法得四寸八分八釐四毫八絲也〉
　　實九萬八千三百零四數〈三分酉之七萬三千七百二十八毎段得二萬四千五百七十六戌于七萬三千七百二十八外益一段為實　通曰分子實為五萬九千零四十九段毎段得三戌得三萬二千七百六十八段為實〉
　　管法〈以夾鐘二萬四千五百七十六絲而三分之每段得八千一百九十二絲于夾鐘數外益一段得三萬二千七百六十八絲亦合〉
　　鄭法〈先倍夾鐘積四萬九千一百五十二絲為九萬八千三百零四絲而三分之毎段得三萬二千七百六十八絲即是〉
　　十度四寸四分八釐〈以夾鐘六寸七分二釐而三分之每段得二寸二分四釐于夾鐘寸内損一段得四寸四分八釐也〉
　　新法二寸九分四釐九毫一絲二忽〈通曰以九化積三萬二千七百六十八絲為二十九萬四千九百一十二忽以十度即作二寸九分四釐九毫一絲二忽也〉三分損一亦合〈通曰以酉四寸四分二釐三毫六絲八忽而三分之每段得一寸四分七釐四毫五絲六忽戌當損一段正合二寸九分四釐九毫一絲二忽也〉
　　中呂六寸五分八釐三毫四絲六忽積三十九萬三千二百一十六忽〈無射三萬二千七百六十八絲又不可三分乃以九化之為二十九萬四千九百一十二忽然後三分之每段得九萬八千三百零四忽于無射化忽外益一段得三十九萬三千二百一十六忽也以九忽為一絲歸整得四萬三千六百九十絲零六忽又以九絲為一毫歸整得四千八百五十四毫零四絲六忽又以九毫為一釐歸整得五百三十九釐零三毫四絲六怱又以九釐為一毫歸整得五十九分零八釐三毫四絲六忽又以九分為一寸歸整得六寸零五分八釐三毫四絲六忽也〉
　　亥一十七萬七千一百四十七分六萬五千五百三十六〈取衝位三其戌之五萬九千零四十九為一十七萬七千一百四十七此即黄鐘之實也兩其戌之三萬二千七百六十八為六萬五千五百三十六也　通曰六其六萬五千五百三十六為三十九萬三千二百一十六忽也〉
　　上生用四〈三分無射化積二十九萬四千九百一十二忽得九萬八千三百零四怱歸整得一寸五分八釐七毫五絲六怱為法四其法得四寸二十分三十二釐二十八毫二十絲二十四忽而歸整得六寸五分八釐三毫四絲六怱也〉
　　實一十三萬一千零七十二數〈三分戌實每段得三萬二千七百六十八亥損一段得六萬五千五百三十六又倍之為實通曰分子實一十七萬七千一百四十七段每段得一亥得六萬五千五百三十六段又倍為實〉
　　管法〈于無射化積二十九萬四千九百一十二忽内損一段九萬八千三百零四忽得一十九萬六千六百零八忽而倍之得三十九萬三千二百一十六忽亦合〉
　　鄭法〈先以四乘無射化積二十九萬四千九百一十二忽為一百一十七萬九千六百四十八忽而三分之每段得三十九萬三千二百一十六忽即是〉
　　十度五寸九分六釐〈以無射四寸四分八釐又存一釐不入算止作四寸四分七釐而三分之每段得一寸四分九釐于四寸四分七釐外益一段得五寸九分六釐也〉
　　新法三寸九分三釐二毫一絲六忽〈通曰以積三十九萬三千二百一十六忽十度即作三寸九分三釐二毫一絲六忽也〉
　　三分益一亦合〈通曰以戌二寸九分四釐九毫一絲二忽而三分之毎段得九分八釐三毫零四忽亥當益一段正合三寸九分三釐二毫一絲六忽也〉
　　通曰黄鐘為宫生林鐘為徵林鐘生太蔟為商三者皆寸數故曰三統京房所衍用宫徵商者此也太蔟生南吕為羽南宫生姑洗為角二者皆分數故曰五音姑洗生應鐘為變宫應鐘生㽔賔為變徵二者皆釐數故曰七調也獨寸得三律自寸化分以下則皆厯二而變故㽔賔生大吕大吕生夷則二者皆毫數夷則生夾鐘夾鐘生無射二者皆絲數無射生中吕則忽數也黄鐘以三為法以九為度用竒成數故遇三遇五遇七遇九遇十一皆變也損益乘除三率法耳諸家推算數皆符合惟十度存三釐未當通今列諸家於前以忽數準寸而用十度立新法於後使長短易較用十度以合九度豈以十度廢九度哉更明比例多寡則三分損益皆可置之也
　　比例圖








　　約李瞿經緯説〈李文利瞿九思〉
　　三十九分者黄鐘之律陽之始也由是四十八分為大呂又五十七分為太蔟又六十六分為夾鐘又七十五分為姑洗又八十四分為中呂九十分者㽔賔之律陽之極也由是八十一分為林鐘七十二分為夷則六十三分為南呂五十四分為無射四十五分為應鐘子午者隂陽之府也黄鐘生陽㽔賔消陽二律縱為經十律横為緯太𤣥曰東西為緯南北為經經以隂陽之升降言也子午得天地之中左右律之升降皆不能過也但

　　律呂之數紀陽不紀隂故於㽔賔以下六律不言隂之生但紀其陽之降耳黄鐘長三寸九分以九六升陽至㽔賔而極其長㽔賔長九寸以九六歸陽至黄鐘而極其短二律特其兩端左右莫不受法於二律則經緯見矣十律為緯亦有二義自其相對者言之丑與亥對寅與戌對夘與酉對辰與申對巳與未對葢左五律紀陽之升左皆為陽左比右各多三分者陽道常饒也右五律紀陽之降右皆為隂右比左各少三分者隂道常乏也左右相對雖差三分而皆以同類為偶如丑亥皆四寸有竒寅申皆五寸有竒夘酉皆六寸有竒辰申皆七寸有竒巳未皆八寸有竒是也左律分寸之數皆十二如丑律四八之類皆本於黄鐘之三九也右律分寸之數皆九如未律八一之類皆本於㽔賔之九也非緯而何此是言其對待者自其相衝者言之寸數俱一百二十分數俱九共成一百二十九分丑未二律一百二十九分寅申二律一百二十九分夘酉二律一百二十九分辰戌二律一百二十九分巳亥二律一百二十九分者即黄鐘㽔賔之律黄鐘卅九㽔賔九十合之共一百二十九可見二律為經之義此是言其錯綜者皆自然而然不待安排夫子午為經左右為緯是以隂陽之消長而言一定之理也若夫旋宫之制按月用律則十二律皆可為經如以黄鐘為宫則隔八相生以林鐘為徵太蔟為商南吕為羽姑洗為角應鐘為變宫㽔賔為變徵則為經徵商羽角皆左右往來以為之緯也律為經莫不皆然是又流行之用而不可以執一論也〈十二律雖分經緯要之一黄鐘足以該之黄鐘三寸以三因之十二律無非三也黄鐘九分以九因之十二律無非九也丑四十八分五九而餘其三也三之則為十六矣寅五十七分六九而餘其三也三之則為十九矣夘六十六分七九而餘其三也三之則為二十二矣辰七十五分八九而餘其三也三之則為二十五矣巳八十四分九九而餘其三也三之則為二十八矣自丑至巳以三約之皆無餘分以九約之毎多三分者左益三分也未八十一分九其三也三之則為二十七矣申七十二分九其八也三之則為二十四矣酉六十三分九其七也三之則為二十一矣戌五十四分九其六也三之則為十八矣亥四十五分九其五也三之則為十五矣自未至亥以三約之亦無餘分以九約之比左少三分右損三分也此黄鐘之三九所以為十一律之本也〉
　　通曰凡物凡理莫不具有經緯二端黄鐘㽔賔為經十律為緯而黄鐘更自有經緯也長度為經圍度非緯乎可知十二律互相為經緯又各自為經緯也經亦可以為緯緯亦可以為經也然而無别不立無交不成經非緯緯非經此别也非經無緯非緯無經此交也
　　旋相為宫圖
　　通曰禮運曰五聲六律十二管還相為宫者五其十二而成六十黄鐘始之南宫終之也然始終亦不得已而究無始終而無非始無非終也
　　一　黄鐘〈宫〉　林鐘〈徵〉　太蔟〈商〉　南呂〈羽〉　姑洗〈角〉二　林鐘〈宫〉　太蔟〈徵〉　南呂〈商〉　姑洗〈羽〉　應鐘〈角〉三　太蔟〈宫〉　南呂〈徵〉　姑洗〈商〉　應鐘〈羽〉　㽔賓〈角〉四　南呂〈宫〉　姑洗〈徵〉　應鐘〈商〉　㽔賓〈羽〉　大呂〈角〉五　　姑洗〈宫〉　應鐘〈徵〉　㽔賓〈商〉　大呂〈羽〉　夷則〈角〉六　　應鐘〈宫〉　㽔賓〈徵〉　大呂〈商〉　夷則〈羽〉　夾鐘〈角〉七　　㽔賓〈宫〉　大呂〈徵〉　夷則〈商〉　夾鐘〈羽〉　無射〈角〉八　　大呂〈宫〉　夷則〈徵〉　夾鐘〈商〉　無射〈羽〉　中吕〈角〉九　　夷則〈宫〉　夾鐘〈徴〉　無射〈商〉　中呂〈羽〉　黄鐘〈角〉十　　夾鐘〈宫〉　無射〈徵〉　中呂〈商〉　黄鐘〈羽〉　林鐘〈角〉十一　無射〈宫〉　中呂〈徵〉　黄鐘〈商〉　林鐘〈羽〉　太蔟〈角〉十二　中呂〈宫〉　黄鐘〈徵〉　林鐘〈商〉　太蔟〈羽〉　南呂〈角〉
　　京房六十律
　　通曰京房五音用三者取宫徵商皆寸數為三統故也黄鐘太蔟姑洗皆陽居陽林鐘南吕皆隂居隂五者皆得位也得位者生五子共生二十五子大吕夾鐘仲吕皆隂居陽夷則無射皆陽居隂五者皆失位也失位者生三子共生十五子應鐘㽔賔處隂陽交際之間不得不失皆生四子共生八子以四十八子並十二母為六十律也列於後
　　〈得位〉黄鐘〈宫子〉林鐘〈徵〉太蔟〈商〉一日律九寸
　　〈一子〉色育　謙待　未知　六日律八寸九分微强〈二子〉執始　去滅　時息　六日律八寸八分小分八弱〈三子〉丙盛　安度　屈齊　六日律八寸七分小分六微弱〈四子〉分勲　歸嘉　隨期　六日律八寸六分小分四强〈五子〉質未　否與　刑晉　六日律八寸五分小分二强

　　〈失位〉大吕〈宫丑〉夷則〈徵〉夾鐘〈商〉八日律八寸四分小分三弱〈一子〉分否　解刑　開時　八日律八寸三分小分一强〈二子〉陵隂　去南　侯嘉　八日律八寸二分一少弱〈三子〉少出　分積　争南　六日律八寸小分九强〈得位〉太蔟〈宫寅〉南吕〈徵〉姑洗〈商〉一日律八寸
　　〈一子〉未知　白吕　南授　六日律七寸九分小分八强〈二子〉時息　結躳　變虞　二日律七寸八分小分九强〈三子〉屈齊　歸期　路時　七日律七寸七分小分九强〈四子〉隨期　未夘　刑始　六日律七寸六分小分八强〈五子〉刑晉　夷汗　依行　六日律七寸五分小分八弱

　　〈失位〉夾鐘〈宫夘〉無射〈徵〉中吕〈商〉六日律七寸四分小分九强〈一子〉開時　閉掩　南中　七日律七寸三分小分九微弱〈二子〉侯嘉　鄰齊　内負　七日律七寸一分小分九微强〈三子〉争南　期保　總應　七日律七寸一分小分九强

　　〈得位〉姑洗〈宮辰〉應鐘〈徵〉㽔賔〈商〉一日律七寸一分小分九微强〈一子〉南授〈一子〉分烏〈一子〉南事　六日律七寸小分九大强〈二子〉變虞〈二子〉遲内〈二子〉盛變　六日律七寸小分一强〈三子〉路時〈三子〉未育〈三子〉離躳　六日律六寸九分小分一微强〈四子〉刑始〈四子〉遲時〈四子〉制時　五日律六寸八分小分三弱〈五子〉依行　色育　謙待　七日律六寸七分小分三大强通曰色育不宜入應鐘子行謙待不宜入㽔賔子行
　　〈失位〉中宫〈宮巳〉執始〈㣲〉去滅〈商〉八日律六寸六分小分大弱〈一子〉南中　丙盛　安度　七日律六寸五分小分七微弱〈二子〉内負　分勲　歸嘉　八日律六寸四分小分八强〈三子〉總應　質未　否與　七日律六寸三分小分九强

　　〈不得不失〉㽔賔〈宫午〉大吕〈徵〉夷則〈商〉一日律六寸三分小分二微弱〈一子〉南事〈上生窮無徵商不為宫〉　　七日律六寸三分小分一弱〈二子〉盛變　分否　解刑　七日律六寸二分小分三大强〈三子〉離躳　陵隂　去南　七日律六寸一分小分五微强〈四子〉制時　少出　分積　八日律六寸小分七弱

　　〈得位〉林鐘〈宫未〉太蔟〈徵〉南吕〈商〉一日律六寸
　　〈一子〉謙待　未知　白吕　五日律五寸九分小分九弱〈二子〉去滅　時息　結躳　七日律五寸九分小分二弱〈三子〉安度　屈齊　歸期　六日律五寸八分小分四弱〈四子〉歸嘉　隨期　未夘　六日律五寸七分小分六微强〈五子〉否與　刑晉　夷汗　五日律五寸六分小分八强〈失位〉夷則〈宫申〉夾鐘〈徵〉無射〈商〉八日律五寸六分小分二弱〈一子〉解刑　開時　閉掩　八日律五寸五分小分四强〈二子〉去南　侯嘉　鄰齊　八日律五寸四分小分六大强〈三子〉分積　争南　期保　七日律五寸三分小分九强

　　〈得位〉南吕〈宫酉〉姑洗〈徵〉應鐘〈商〉一日律五寸三分小分三强〈一子〉白吕　南授　分烏　五日律五寸三分小分二强〈二子〉結躳　變虞　遲内　七日律五寸二分小分六强〈三子〉歸期　路時　未育　六日律五寸一分小分九微强〈四子〉未夘　刑始　遲時　六日律五寸一分小分二微强〈五子〉夷汗　依行　色育　五日律五寸小分五强通曰色育入應鐘子行凡二見謙待入㽔賔子行凡一見葢中吕無射皆失位生子三并母為四截去黄鐘林鐘各首子餘四子始可配位此亦不得不然也
　　〈失位〉無射〈宫戌〉中吕〈徵〉執始〈商〉八日律四寸九分小分九强〈一子〉閉掩　南中　丙盛　八日律四寸九分小分三弱〈二子〉鄰齊　内負　分勲　七日律四寸八分小分六微弱〈三子〉期保　總應　質未　八日律四寸七分小分九微强〈不得不失〉應鐘〈宫亥〉㽔賔〈徵〉大吕商一日律四寸九分小分四微强〈一子〉分烏　南事〈此無商則不為宫〉七日律四寸七分小分三微强〈二子〉遲内　盛變　分否　八日律四寸六分小分八弱〈三子〉未育　離躳　陵隂　八日律四寸六分小分一微强〈四子〉遲時　制時　少出　六日律四寸五分小分五弱







　　六十律生次自黄鐘至中吕十二母照常其四十八子自中吕
　　〈上生〉執始〈黄次　　下子　　　生〉去滅〈林次　　上子　　　生〉時息〈太次子下生〉結躳〈南次　　上子　　　生〉變虞〈姑次　　下子　　　生〉遲内〈應次子上生〉盛變〈㽔次　　上子　　　生〉分否〈大長　　下子　　　生〉解刑〈夷長子〉

　　〈上生〉開時〈夾長　　下子　　　生〉閉掩〈無長　　上子　　　生〉南中〈中長子〉
　　〈上生〉丙盛〈黄三　　下子　　　生〉安度〈林三　　上子　　　生〉屈齊〈太三子〉
　　〈下生〉歸期〈南三　　上子　　　生〉路時〈姑三　　下子　　　生〉未育〈應三子〉
　　〈上生〉離躳〈㽔三　　上子　　　生〉陵隂〈大次　　下子　　　生〉去南〈夷次子〉
　　〈上生〉侯嘉〈夾次　　下子　　　生〉鄰齊〈無次　　上子　　　生〉内負〈中次子〉
　　〈上生〉分勲〈黄四　　下子　　　生〉歸嘉〈林四　　上子　　　生〉隨期〈太四子〉
　　〈下生〉未夘〈南四　　上子　　　生〉刑始〈姑四　　下子　　　生〉遲時〈應四子〉
　　〈上生〉制時〈㽔四　　上子　　　生〉少出〈大三　　下子　　　生〉分積〈夷三子〉
　　〈上生〉争南〈夾三　　下子　　　生〉期保〈無三　　上子　　　生〉總應〈中三子〉
　　〈上生〉質未〈黄五　　下子　　　生〉否與〈林五　　上子　　　生〉刑晉〈太五子〉
　　〈下生〉夷汗〈南五　　上子　　　生〉依行〈姑五　　下子　　　生〉色育〈黄長子〉
　　〈上生〉謙待〈林長　　上子　　　生〉未知〈太長　　下子　　　生〉白吕〈南長子〉
　　〈上生〉南授〈姑長　　下子　　　生〉分烏〈應長　　上子　　　生〉南事〈㽔長子〉
　　七調圖
　　一宫　黄〈正〉　林〈正〉　太〈正〉　南〈正〉　姑〈正半〉　應〈正〉　㽔〈正〉二宫　林〈正〉　太〈正半〉　南〈正〉　姑〈正半〉　應〈正〉　㽔〈正半〉　大〈正半〉三宫　太〈正〉　南〈正〉　姑〈正〉　應〈正〉　㽔〈正〉　大〈正半〉　夷〈正〉四宫　南〈正〉　姑〈正半〉　應〈正〉　㽔〈正半〉　大〈正半〉　夷〈正半〉　夾〈正半〉五宫　姑〈正〉　應〈正〉　㽔〈正〉　大〈正半〉　夷〈正半〉　夾〈正半〉　無〈正〉六宫　應〈正〉　㽔〈正半〉　大〈正半〉　夷〈正半〉　夾〈正半〉　無〈正半〉　中〈正半〉七宫　㽔〈正〉　大〈正半〉　夷〈正〉　夾〈正半〉　無〈正〉　中〈正半〉　黄〈變半〉八宫　大〈正〉　夷〈正〉　夾〈正〉　無〈正〉　中〈正〉　黄〈變半〉　林〈變〉九宫　夷〈正〉　夾〈正半〉　無〈正〉　中〈正半〉　黄〈變半〉　林〈變半〉　太〈變半〉十宫　夾〈正〉　無〈正〉　中〈正〉　黄〈變半〉　林〈變〉　太〈變半〉　南〈變〉十一宫無〈正〉　中〈正半〉　黄〈變半〉　林〈變半〉　太〈變半〉　南〈變半〉　姑〈變半〉十二宫中〈正〉　黄〈變半〉　林〈變〉　太〈變半〉　南〈變〉　姑〈變半〉　應〈變〉
　　琴度
　　通曰四十五度三分用一為十五度十二
　　度二分益一為十八度二十四度二分益
　　一為三十六度又以三十六度三分損一
　　為二十四度十八度三分損一為十二度
　　十五度三分者九為四十五度故黄鐘以
　　三為法以九為度而琴以三始九終也琴
　　分三百六十度為十四段自臨岳至四徽
　　得四段自五徽至九徽得四段自十徽至
　　龍齦得四段其四徽至五徽與九徽至十
　　徽之二段不入損益而三十度又獨為損益者三分十八度而益二分為三十度四分二十四度而益一分為三十度皆以六度為一分也三大段二小段不離五也且倍十五即成三十倍十二即成二十四倍十八即成三十六此亦加倍法耳後半變加為減矣大約七徽為琴之中分百八十度者二四徽為臨岳七徽之中十徽為七徽龍齦之中分九十度者四而一徽又為
　　臨岳四徽之中十三徽又為十徽龍齦之中也
　　簫笛七調升降圖説















　　通曰合言之自極低以至極髙總為一調每孔有上中下三聲耳分言之正宫為中調三升三降而成七也自正宫漸降而低為六字調再降而低為凡字調再降而低為淒涼調也自正宫漸升而髙為乙字調再升而髙為梅花調再升而髙為閉工調也閉乙凡字為南調用乙凡字為北調而南北各調中又皆有子母調是所謂二十八調也中徑廣者其聲低中徑小者其聲髙成五十六調矣長者其聲逺短者其聲近又成百有一十二調若細剖之可至無竆然而調則不踰乎七音則不過乎五者何也南成其為南之七調北成其為北之七調髙成其為髙之七調低成其為低之七調逺成其為逺之七調近成其為近之七調非於七調外更增一調也不過於中重重剖之耳葢音止於五乃天然之節也如南調合四上尺工為五音六即髙合字五即髙四字因而㑹悟凡八音與夫人禽一切有聲之物皆隔五必合音安得而不止於五耶乙凡者二變也北調用之為合乙四上尺工凡亦止七也黄鐘之五正二變適符簫笛之七調此豈人力思量所能及哉惜乎以俗樂目之不能以今證古耳〈髙字有定而無定也笛孔猶可簫之合式者始不移其不合式者必須變孔以合之〉
　　横調直調說
　　通曰氣交而成聲聲交而成調調亦不得巳之名也同此調也剖之為七曰淒涼曰凡字曰六字曰正宫曰乙字曰梅花曰閉工此以髙下分為直調也同此直調也再剖之為十三曰黄鐘曰正宫曰大石曰小石曰仙吕曰中吕曰南吕曰雙調曰越調曰商調曰商角曰般涉曰子母此以曲名分為横調也然聲之髙下復有直有横如合與六四與五本一孔而因氣之緩急分髙下者此横髙下也正宫之四即乙字之合乙字之四即梅花之合本一字而因孔之升降分髙下者此直髙下也正如琴之十三徽為横七絃為直耳至於曲名分調有階級升降循次而轉者有逺近升降隔二隔三而轉者有髙字多而低字少者有低字多而髙字少者有急者有緩者此雖横調亦未嘗不因髙下而分也始知聲音之理無出於清濁髙下升降緩急之外者同符河洛音本天然不過隨時安名字耳又何疑乎今樂非古樂哉






　　數度衍巻首下



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷一
　　桐城　方中通　撰
　　珠算
　　加法〈一曰上法〉
　　一上一　一下五去四　一退九進一十〈進一位上一子非専指一十數也〉二上二　二下五去三　二退八進一十
　　三上三　三下五去二　三退七進一十
　　四上四　四下五去一　四退六進一十
　　五上五　五退五進一十
　　六上六　六上一去五進一十　六退四進一十七上七　七上二去五進一十　七退三進一十八上八　八上三去五進一十　八退二進一十九上九　九上四去五進一十　九退一進一十式有物一十二又五十四問共若干曰六十六術一上一二上二此即一十二也大在左前小居右後故一十在左而二在右也五上五與一十同位四下五去一與二同位此加五十四在一十二之上也合為六十六矣
　　減法〈一曰退法〉
　　一退一　一退十還九〈左位退一子本位上九〉一上四退五二退二　二退十還八　二上三退五
　　三退三　三退十還七　三上二退五
　　四退四　四退十還六　四上一退五
　　五退五　五退十還五
　　六退六　六退十還四
　　七退七　七退十還三
　　八退八　八退十還二
　　九退九　九退十還一
　　式有物六十六内欲減去五十四尚餘若干曰一十二術置六十六於盤中五退五在六十位上四上一退五在六位上六十退去五十存一十六退去四存二所餘為一十二矣
　　因乘法
　　一一如一
　　一二如二　二二如四
　　一三如三　二三如六　三三如九
　　一四如四　二四如八　三四一十二　四四一十六一五如五　二五一十　三五一十五　四五二十五五二十五
　　一六如六　二六一十二　三六一十八　四六二十四　五六三十　六六三十六
　　一七如七　二七一十四　三七二十一　四七二十八　五七三十五　六七四十二　七七四十九
　　一八如八　二八一十六　三八二十四　四八三十二　五八四十　六八四十八　七八五十六　八八六十四
　　一九如九　二九一十八　三九二十七　四九三十六　五九四十五　六九五十四　七九六十三八九七十二　九九八十一
　　術曰一位曰因二位曰乘有法有實以法乘實為所求數也然法實亦可互用故曰相乘一位法者相因得數而己法二位以至多位者自左向右用第二位法起諸位法畢然後乘法首位也以法乘實先乘實右末位向左逐位遍乘乘畢而實數即變為所求數矣有䑕尾乘破頭乘皆不適用故不錄
　　因式有三百六十五人毎人八兩問共若干曰二千九百二十兩術以三百六十五人為實列盤左以八兩為法列盤右先以八乘實末寅位五曰五八得四十變寅位五為四次以八乘丑實六曰六八四十八變丑位六為四加八於寅位四上曰八退二進一十則寅位之四又變為二丑位之四曰一下五去四又變為五次以八乘子實三曰三八二十四變子位三為二加四於丑位五上為九乘畢得二千九百二十兩也
　　通曰凡左右相乘必有二位數曰㡬十㡬今如一位法者十當在本位零當在下位也本位者所乘實數之位也下位者僅下所乘實數一位也如八乘五則五為本位得四十則四當在五位上也八乘六則六為本位得四十八則四當在六位上八當在下位也八乘三則三又為本位矣
　　因乘式有三百六十五人毎人一十二兩問共若干曰四千三百八十兩術以三百六十五人為實一十二兩為法先以第二位乙法二乘寅實五曰二五一十一在夘位然後以法首一乘寅實五曰一五如五五加在夘位一上為六次以乙法二乘丑實六曰二六一十二一在寅位二加在夘位六上為八以甲法一乘丑實六曰一六如六六加在寅位一上為七次以乙法二乘子實三曰二三如六六加在寅位七上七變為三而
　　丑位上一矣以甲法一乘子實三曰一三如三三加在丑位一上為四得四千三百八十兩也
　　通曰凡因乘多位先用第二位法乘起者曰㡬十㡬十當在本位之下位零又在下位之下也挨次退右留本位以待法首變之耳如乙法二乘寅實五得一十則一當在夘位也甲法一乘寅實五得五五乃零數當在下位之下故亦在夘位上也盖以寅為本位之時則夘為下位辰為下位之下也以丑為本位之時寅為下位夘為下位之下也
　　因乘定位法
　　式三百六十五人毎人一十二兩共得四三八問四為何數曰千數術通曰以法首齊實首布列甲子同位乙丑同位從丑下一位呼實首百是寅位為百矣向左推
　　去丑為千位遇變後得數之始而止
　　今變後之首在丑即知四為千也但
　　法末必單數乃可如今一十二兩是
　　也若一兩二錢或一百二十兩則不
　　同矣總以單數為率下則順推上則逆推可耳又術通曰視得數之首在實之何位上今在實之十位上又視法有㡬位今有二位當以十升二位曰百曰千亦知為千也
　　定身因乘法
　　式有三百六十五人毎人一十二兩問共若干曰四千三百八十兩術置實數以法一十二除首一不用以乙二為法先以法二乘寅五曰二五一十加一於寅為六不在下位矣次以法二乘丑六曰二六一十二加一於丑六為七加二於寅六為八次以法二乘子三曰二三如
　　六加六於丑七變七為三變子三為四合問
　　通曰凡法首遇一者用之其在位實數即作甲法之乘數矣多位法者以乙法為首從丙法乘起粟布章斤求兩用身加六
　　歸除法
　　一
　　二一添作五　逢二進一十
　　三一三餘一　三二六餘二　逢三進一十
　　四一二餘二　四二添作五　四三七餘二　逢四進一十
　　五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六　五四倍作八　逢五進一十
　　六一下加四　六二三餘二　六三添作五　六四六餘四　六五八餘二　逢六進一十
　　七一下加三　七二下加六　七三四餘二　七四五餘五　七五七餘一　七六八餘四　逢七進一十八一下加二　八二下加四　八三下加六　八四添作五　八五六餘二　八六七餘四　八七八餘六逢八進一十
　　九一下加一　九二下加二　九三下加三　九四下加四　九五下加五　九六下加六　九七下加七九八下加八　逢九進一十
　　術曰一位曰歸二位曰除〈一曰混歸〉有法有實以法除實得所求數也一位法者止用歸法多位法者法首歸得某數次法乘其數而除實自左向右以逐位法除實實亦自左向右挨次除之除畢一遍又以法首歸之次法除之以實盡為度變後數即所求數也又有無除撞歸二法訣曰惟有歸除法最奇將身歸了次除之有歸若是無除數起一還將原數施若遇本歸歸不得撞歸之法不須遲俱詳後
　　通曰二與五四與二十五因歸皆可互用又三與六可當一十八四與六可當二十四凡數之相通者甚多亦在乎熟之而已
　　歸式有銀二千九百二十兩八人分之問各若干曰三百六十五兩術以二千九百二十兩為實八人為法以法八歸子實二曰八二下加四將子實二不同丑九加四曰四下五去一此用梁上之上一子也丑九變為十三盖不用四退六進一十者歸後數上止可加歸得數不可加餘實也次以法八歸丑十三曰逢八進一十於子位歸後二
　　上加一為三丑實存五又以法八歸丑五曰八五六餘二丑五變為六寅二加二為四乃以法八歸寅四曰八四添作五寅四變為五而實盡矣得三百六十五兩也通曰凡曰下加曰餘㡬皆歸後而有餘實也如今八人分二千兩各得二百共去實一千六百存實四百故曰八二下加四也又如今之八五六餘二乃八人分五百各得六十共去四百八十而存實二十也凡曰添作㡬乃歸實無餘者也如今八四添作五乃八人分四十兩各得五兩而實盡也凡曰進㡬十者乃實内滿㡬歸之數也滿一遍進一十滿二遍進二十如今八歸曰逢八進一十乃一千三百之内有一回八百各得一百故曰進一也進在實前餘在實後歸變本實切勿錯位歸除式有銀四千三百八十兩三百六十五人分之問各若干曰一十二兩術以四千三百八十為實三百六十五為法先以法首三歸實首四曰逢三進一十於子位上一丑減三存一乃以乙法六乘歸後子一曰一六如六於寅位除六曰六退十還四抹去丑一寅三加四為七又以丙法五乘歸後子一曰一五如五於夘八除五存三而法位畢矣第二遍再以法首三歸寅位存實七曰逢六進二十於丑上二寅減六存一乃以乙法六乘第二遍歸後丑二曰二六一十二於寅除一夘除二又以丙法五乘第二遍歸後丑二曰
　　二五一十於卯除一而法位又畢矣實未盡則又用前法今實巳盡得一十二兩也
　　通曰凡歸數即變實之本位除數當除實之下位本位者歸後數所在之位也除實之下位者即本位之下一位也此與本實不同本實有時即本位有時乃本位之下位也除之十數在下位而零數又在下位之下也如法三歸實四曰逢三進一十四為本實進在實前故所歸之一當在四前子位也而本實之四變為一矣一在子上則子為本位也乙法六乘歸數除實曰一六如六此零數也故於寅除六此子為本位而寅為下位之下耳若第二遍乙法除實曰二六一十二則於寅除一夘除二矣此丑為本位也
　　無除法
　　一歸起一還一　二歸起一還二〈至九歸起一還九〉式有銀一百零八兩二十七人分之問各若干曰四兩術置銀為實人為法以法首二歸實首一曰二一添作五變子為五乙法七當乘歸數五為三十五於丑寅内除之而丑位無實可除今乃二歸曰起一還二起子位歸數五内之一改五為四而還丑位二為存實肰後以乙法七乘歸數四曰四七二十八於丑除二十寅除八實盡得四兩也
　　通曰凡起㡬還㡬者歸後之一子即當其㡬歸之數也如今二歸曰二一添作五是五内一字當二子也故起一即還二矣夫起一者如毎人不可得五止可得四耳
　　撞歸法
　　見一無除作九一　見二無除作九二〈至見九無除作九九〉式有銀二百一十六兩二十四人分之問各若干曰九兩術置銀為實人為法以法首二歸實首二若用逢二進一十則乙法之一四如四丑一數不足除矣此乃二歸曰見二無除作九二變子二為九加二於丑一為三然後以乙法四乘歸數九曰四九三十六於丑除
　　三十寅除六實盡得九兩也
　　通曰凡撞歸者皆不可得十止可得
　　九也法實首數同而次實少於次法
　　者用之盤梁上有三子始便
　　除歸定位法
　　式三百六十五人分四千三百八十兩得一二問一為
　　何數曰十數術通曰以法布列實左
　　法末僅在實首四之上位從列法首
　　之子位呼實首千數順右而下丑為
　　百寅為十遇變後得數之首位而止
　　今變數首一在寅即知一為十數也但法末必單數乃可如五箇半人則須除去半人不列位矣如三百六十人又須列○作一位矣又術通曰視得數之首在實之何位今在實之千前一位乃萬位也又視法有㡬位今有三位當以萬降三位曰千曰百曰十亦知一為十也
　　定身歸除法
　　式有銀九十一兩一十三人分之問各若干曰七兩置銀為實人為法以法首一除去不用止用乙法三於實首九内存身減之當存七乃以法三乘七曰三七二十一於子實内存七外減二十又減丑一實盡合問
　　通曰凡存數有定非可隨意而存也如今式
　　子九内存八則下無二十四可減存六則減一十八外餘實又多故定於七也法首遇一用此粟布章兩求斤用減六存身
　　商除法
　　式有銀三千零一十五兩六十七人分之問各若干曰四十五兩術置銀為實人為法以法首六十於實首三千内商有㡬回今商四十是有四十回六十也即以法首六乘所商四為二十四於子除二丑除四曰四退十還六共除二
　　千四百以乙法七乘所商四為二十八於丑除二寅除八曰八退十還二又除二百八十餘實三百三十五次以法六十於三百内商有㡬回今商五是有五回六十也以法首六乘次商五為三十於丑除三又除三百以乙法七乘次商五為三十五於寅除三夘除五又除三十五實盡合問
　　通曰凡商數有定如今初商五十則實不足除次法商三十則實餘太多故定當四十耳若論盤中變位得數法首多於實首者列商數於實左一位法首少於實首者列商數於實左隔一位挨次商列即得變數
　　折半法
　　式有銀六十四兩八人分之問各若干曰八兩術置法實以法八折半為四實六十四折半為三十二又以法折半為二實折半為一十六再以法折半為一實折半為八法折至一數而止即存實八為各得數也凡法遇偶數者可用此
　　乘除㨗法〈即金蟬蜕殻〉
　　因乘訣曰起雙下加倍見一只還原倍一挨身上餘皆隔位遷歸除訣曰加雙下除倍加一下除原陪一挨身除餘皆隔位遷
　　乘式有米三石五斗毎斗價銀七分問共銀若干曰二兩四錢五分術置米為實以價七分為原數倍得一錢四分為倍數先於實末五斗上呼起雙下加倍起去二斗挨身上一錢次位上四分再起二斗挨身上一錢四分却呼見一只還原起去一斗隔位上七分次於三石上呼起雙下加陪起二石挨身上一兩四錢却呼見一只還原起一石隔位上七錢合問
　　又式有布五十七疋毎疋價銀二錢五分問共銀若干曰一十四兩二錢五分術置布為實以價二錢五分為原數倍得五錢為倍數先於實末七疋内起三箇二疋挨身上三箇五錢又起一疋挨身上二錢五分次於五十疋内起兩箇二十疋挨身上兩箇五兩又起一十疋挨身上二兩五錢合問
　　通曰前式價是分倍是錢則倍數挨身上原數隔位上後式價是錢倍亦是錢故倍數原數俱挨身上
　　除式有錢二千二百五十文給九十人問毎人若干曰二十五文術置錢為實以九十人為原數倍得一百八十人為倍數先於實首二千前挨身呼加雙下除倍除實一千八百餘實四百五十次於四百前挨身呼加雙下除倍除實一百八十又呼加雙下除倍除實一百八十再呼加一下除原隔位除九十合問
　　又式有油四百二十斤毎油七斤半換豆一斗問共換豆若干曰五石六斗術置油為實以七斤半為原數倍得一十五斤為倍數先於實首四百前加兩箇雙除兩箇一百五十斤又加一除七十五斤次於餘實四十五斤前加三箇雙除三箇一十五斤合問
　　通曰又有二句除訣曰有除隔位進無除挨身進止用原數從實前隔一位起毎上一子除一遍原數乘法則毎抺去實尾一子挨身上一遍原數不足為法姑附於此
　　流法
　　乘式有田九百八十一畆毎畆一分八釐九毫問共若干曰一十八兩五錢四分零九釐術先以法一分八釐九毫衍定遇一曰一八九遇二曰三七八遇三曰五六七遇四曰七五六遇五曰九四五遇六曰一十一三四遇七曰一十三二三遇八曰一十五一二遇九曰一十七零一乃從實末因之遇某數即用某訣有十字者破本身起餘皆挨身一位起也
　　除式有銀一十八兩五錢四分零九毫派在九百八十一畆問毎畆若干曰一分八釐八毫九絲九不盡術先以法九百八十一畆衍定遇一曰一零一九三六七遇二曰二零三八七三五遇三曰三零五八一零三遇四曰四零七七四七一遇五曰五零九六八三九遇六曰六一一六二零七遇七曰七一三五五七五遇八曰八一五四九四三遇九曰九一七四三一　一亦從實末因之遇某數用某訣挨身一位起也
　　通曰法數有定者方可用此然止乘可用除則不盡也
　　乘除新法
　　歸除訣曰進一空除原〈實首多等于原數及少于半數者用此〉進二空除倍〈實首多等于倍數及少于半數者用此〉進二隨除倍〈實首少于半數而倍數首一者用此〉進五空除半〈實首有餘而原數首一者用此〉進五隨除半〈實首多等于半數者用此〉因乘訣曰除一空加原〈實尾正一數者用此有時隔一位加原數〉除二空加倍〈實尾二三四數者用此有時隔一位加倍數〉除二隨加倍〈實尾二三四數而倍數首一者用此〉除五空加半〈實尾五六七八數而原數首一者用此〉除五隨加半〈實尾五六七八數者用此〉
　　除式通曰有銀八十七兩二錢四分二釐四人分之以銀八七二四二為實數以人四為原數加倍得八為倍數以人四折半得二為半數列定從左除起視實數左首多於倍數或等於倍數當用進二空除倍乃於實左空一位上二於實首除倍數八再視餘實左首少於倍數或多等於原數當用進一空除原乃於實左空一位上一於餘實首除原數四再視餘實左首少於原數或多等於半數當用進五隨除半乃於實左位上五不須空位於餘實首除半數二再視餘實左首少於半數亦當用進一空除原乃於實左位上一不須空位但於餘實左首向右退一位除原數四再視餘實首等於倍數當用進二空除倍再視餘實首等於原數當用進一空除原再視餘實等於半數當用進五隨除半實數除盡毎人分得二十一兩八錢一分零五毫此式先用進二空除倍次用進一空除原次用進五隨除半餘實首一二作一十二亦可用進二空除倍乃於餘實左位上二不須空位但於餘實左首向右退一位除倍數八次用進一空除原次又用進一空除原次用進五隨除半亦合
　　乘還原式通曰以毎人分得銀二一八一零五為實數其倍數原數半數俱如前不動從右乘起視實右尾過五以上當用除五隨加半乃於實尾去五隨下位加半數二不須空位再視餘實尾止一數當用除一空加原乃於餘實尾去一空一位加原數四再視餘實尾過五當用除五隨加半乃於餘實尾去五隨下位加半數二再視餘實尾過二當用除二空加倍乃於餘實尾去二空一位加倍數八再視餘實尾止一數當用除一空加原乃於餘實尾去一空一位加原數四再視餘實尾止一數當用除一空加原乃於餘實尾去一空一位加原數四再視餘實滿二當用除二空加倍乃於餘實尾去二空一位加倍數八共得八十七兩二錢四分二釐原首一數除式通曰有銀四十五兩六錢為實數一十二人分之為原數倍數二四半數六視實首多於倍數用進二空除倍再視餘實多於原數用進一空除原再視餘實多於倍數兩倍以上而原首係一數此為實數有餘當用進五空除半須空一位除之再視餘實多於倍數當用進二空除倍再視餘實等於原數當用進一空除原毎人分得三兩八錢
　　乘還原式通曰以三八為實倍原半如前實尾過五係原首遇一者當用除五空加半餘實尾過二用除二空加倍餘實尾止一數用除一空加原餘實尾過二用除二空加倍餘實止一數用除一空加原共得四十五兩六錢
　　倍首一數除式通曰有銀四十一萬三千三百二十六兩二錢八分四釐為實數七千三百五十六人分之為原數倍數一四七一二半數三六七八實首多於半數用進五隨除半餘實首多於半數用進五隨除半餘實首多於原數用進一空除原餘實首少於半數用進一空除原餘實首多於半數用進五隨除半餘實首多於倍數係倍首遇一者當用進二隨除倍不空位餘實首少於半數用進一空除原餘實首多於半數用進五隨除半餘實首多於倍數用進二隨除倍餘實等於倍數亦用進二隨除倍毎人分得五十六兩一錢八分九釐乘還原式通曰以五六一八九為實倍原半如前實尾過五用除五隨加半餘實尾過二係倍首遇一者當用除二隨加倍不空位餘實尾滿二亦用除二隨加倍餘實尾過五用除五隨加半餘實尾過二用除二隨加倍餘實尾止一數用除一空加原餘實尾又止一數用除一空加原餘實尾過五用除五隨加半餘實尾止一數用除一空加原餘實滿五用除五隨加半共得四十一萬三千三百二十六兩二錢八分四釐
　　附正珠乘除新法
　　以減代乘法
　　男正珠曰不用因乘而以減法代之數亦天然符合其術須變法數如一位法者作單數於十内減之餘者為變數二位法者作㡬十㡬數於百内減之餘者為變數三位法者作㡬百㡬十㡬數於千内減之餘者為變數法既變後乃將變法與實呼減之呼實則自右向左呼法則自左向右逐位呼減減畢餘實即為所求數也
　　因式
　　有一百二十人毎人二兩問共若干曰二百四十兩術珠曰先將法二於十内減之餘八即八為變法也以變法八呼丑實二曰二八除十六乃於丑二内除一又當於寅位除六曰六退十還四丑空位寅存四再以變法
　　八呼子實一曰一八除八當於丑位除八曰八退十還二子位空丑存二逐位減畢即丑餘之二寅餘之四為所求二百四十兩也
　　因乘式
　　有一百二十人毎人二兩一錢問共若干曰二百五十二兩術珠曰此二位法也將法二兩一錢作二十一於百内減之餘七十九為變法先以甲法七呼丑實二曰二七除一十四乙法九呼丑實二曰二九除一十八皆於丑實二内除之此如以丑二作二百先除一百四十後除一十八止存四十二也
　　故丑位空寅存四夘存二再以甲法七呼子實一曰一七除七乙法九呼子實一曰一九除九此如以子一作一百先除七十後除九也曰七退十還三子位空丑上三曰九退十還一丑存二上一於寅存四上為五夘仍存二逐位減畢即丑餘之二寅餘之五夘餘之二為所求二百五十二兩也
　　以加代除法
　　珠曰歸除之法有可以加法代者更為易簡其術亦須變法數與前因乘相同法既變後乃將歸實暗數與變法呼加之暗數者視原法數在實内有㡬回也即用其㡬回之數為暗數耳以變法與暗數相呼加於實數之上逐位呼加加畢則其得數與歸除無異也
　　歸式
　　式一有銀一百二十兩二人分之問各若干曰六十兩術珠曰先將法二於十内減之餘八即八為變法也五一兩數是為子丑兩暗數子實一作一十内有五回原法二也丑
　　實二内有一回原法二也先以變法八呼子暗數五曰五八得四十乃於子實一上
　　加四為五再以變法八呼丑暗數一曰一八如八當於丑實二上加八數巳滿十曰八退二進一十乃退去丑位二而於子位五進一為六逐位加畢視子位逓加之六即所求之分數為毎人各得六十兩也式二有銀一百二十兩三人分之問各若干曰四十兩術珠曰先將法三於十内減之餘七即七為變法也三一兩數是為子丑兩暗數盖子實一十内有三回原法三餘合丑實二為三内有一回原法三也先以變法七呼子暗數三曰三七二十一乃於子實一
　　上加二為三丑實二上加一為三再以變法七呼丑暗數一曰一七如七當於丑位三上加七數巳滿十曰七退三進一十乃退去丑位三而於子位三進一為四逐位加畢視子位逓加之四即所求之分數為毎人各得四十兩也
　　歸除式
　　有銀一百二十兩二十四人分之問各若干曰五兩術珠曰先將法二十四人作二十四於百内減之餘七十六為變法五為暗數盖子實一作一百内有五回原甲法二十丑實二作二十内有五回原乙法四也此二位法先以變法甲七呼暗數五曰五七三十五乃於子一上加三為四丑二上加五為
　　七此法之首位加畢矣再以變法乙六呼暗數五曰五六得三十當於丑位七上加三數巳滿十曰三退七進一十乃退去丑位七而於子位四上加一為五此法之次位加畢矣如是加畢則子位之五即所求之分數為毎人各得五兩也





　　數度衍巻一



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷二
　　桐城　方中通　撰
　　筆算上
　　加法
　　術曰列散數各横置以類相從〈十從十百從百〉大左小右自右併起零數紀本位下十進一位百進二位無零本位紀○諸位至左併畢即下紀數為所求總數也
　　進一位式有一萬零六百五十四又八千九百零七又五萬六千七百八十九又八百八十問共若干曰七萬七千二百三十術先併單數四七九為二十此有十無
　　零也本位紀○進二於左次併十數
　　五八八及單數所進之二為二十三
　　本位紀三進二於左次併百數六九
　　七八及十數所進之二為三十二本
　　位紀二進三於左次併千數八六及
　　百數所進之三為一十七本位紀七進一於左次併萬數一五及千數所進之一為七本位紀七合問
　　進二位式有散數如圖所列問共若干曰二萬三千七百五十二術先併單數為一百零二本位紀二進一於
　　左隔位此百進
　　二位也次併十
　　數為五本位紀
　　五次併百數及
　　單數所進之一
　　為一十七本位紀七進一於左次併千數及所進一為二十三本位紀三進二於左萬無數即紀所進二合問通曰多層者截作兩段三段為便如右試截上六層得總數一五六八一即將此數及下六層求得總數亦合
　　試加差法
　　術曰有九減七減二法九用見數而九減之七用實積數而七減之先減散數餘若干次減總數餘若干兩餘相比同則無差
　　九減式試第一式先減散數去○與九不入減併四七
　　五八八六七八八六一五共
　　為七十三九減餘一〈減去八九七十〉
　　二列乂左次併總數三二七七共為
　　一十九九減餘一〈減去二九一十八〉列乂右
　　左右相比數同無差
　　通曰此以見數為主不論千百位也
　　七減式試第一式散數首行之左一○作一十七減餘



　　七減餘一〈減二七一〉
　　〈十四〉次作一十四七減無餘右下紀○次行左八九作八十九七減餘五次作五十七減餘一次作一十七七減餘三右下紀三三行依法減餘五四行依法減餘五俱紀右下再以各行紀餘○三五五併為十三七減餘六乃以總數依法減之餘六左右列比無差
　　減法
　　術曰多者列上為原數少者列下為減數所求數為減餘從類列位自右減起下紀其餘也下數多於上數者

　　為不足減上○而下有數者為無可減二者用借法式有二千七百一十五減四百零二問餘若干曰二千三百一十三術原數列上減數列下減數首百從原數百下順列單位五内減二餘三抹去原數五本位紀三次十位一遇○無減本位仍紀一次百位七減四餘三抹去原數七
　　本位紀三次千位二遇無減數本位仍紀一合問用借式有四千八百四十減二千五百九十二問餘若干曰三千二百四十八術列原數減數單位○不能減二須借左原數一在本位作十減二餘八下紀八次十位原數四因右借一存三不能減九借左原數一在本位作十併存三為十三減九餘四下紀四次百位原數八因右借一
　　存七減五餘二下紀二次千位四減二餘二下紀二合問
　　用借用還式數如前式術單位○不能減二借左原數一在本位作十減二餘八乃於十位減數九加一作十以還借數四不能減十借左原數一在本位作十併四為十四減十餘四百位減數五加一作六以還借數八内減六餘二千位四減二餘二亦合
　　左減式數如前式術通曰舊法自右起今易自左起千位四内減二餘二抹去原數四減數二而變為二次百位八内減五餘三八變為二次十位四不能減九於百位變三内退一三又變為二十位四上加十為十四減九餘五四變為五次單位○不能減二於十
　　位變五内退一五又變為四單位○上作十減二餘八○變為八此法較便
　　試減差法
　　術曰一用如法試之以減數併減餘得原數或以減餘減其原數應與所減數合又有九減七減二法如試加然但以減數及減餘合為一處又如加之散數首行次行耳
　　用加法式試第一式以減數四百零二併減餘二千三百一十三為二十七百一十五合原數無差
　　用減法式試第一式以減餘二千三百一十三於原數二千七百一十五内減之餘四百零二合減數無差九減式試第一式先併減數四二及減餘二三一三共
　　為一十五九減餘六次併原數
　　二七一五為一十五九減餘六
　　左右列比無差
　　通曰九減用實積數亦可盖九數無往
　　不合故也
　　七減式試第一式先以減數之左四○作四十七減餘五次作五十二七減餘三又以減餘之左二三作二十三七減餘二次作二十一七減無餘次三不足減仍餘三俱紀右下乃以各數紀餘之三二併為六不足減仍
　　作六再以原數之左二七
　　作二十七七減餘六次作
　　六十一七減餘五次作五十五七
　　減餘六左右列比無差
　　乘法
　　術曰乘即因也用九因法上列原數〈即實數〉下列乘數〈即法〉數齊於右尾算即始右將下一位遍乘上諸位向左逐位紀所乘數於下盡下數乃止諸所紀為散數用加法得所求總數若定總首何數從乘數左首推至總數左首即知通曰凡以下乘上一數有二位左十右零右即本位也遇十有數而零亦有數者曰平〈三四一十二四四一十六之類〉本位紀零數左位紀十數遇十有數而零無數者曰足〈五四得二十五八得四十之類〉本位紀○而其數紀左位也遇十無數而零有數者曰如〈一三如三二三如六之類〉左位紀○而其數紀本位也舊法紀數每併為一令人難曉凡原尾有○而乘尾無○者雖○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾無○者即自乘數之有數位乘起若上下尾與中或俱有○者亦須乘之以存位下數乘上○下○乘上數皆曰某○如○下○乘上○曰○○如○則本位左位俱紀○也
　　十因
　　式乘上下數不等少數尚未滿十乘數而少數不及於乘上下數如以八乘九何以得七十二術九在十内少一紀一於九右八在十内少二紀二於八右是八九為乘上下數一二為少數也上九下八上下數不等也一不及九二不及八少數不及也以少數一二相乘得二紀下二未滿十故曰未滿十乘數也
　　又以右一斜減左八右二斜減左九俱餘七數同下紀七故得七十二
　　又式乘上下數等少數未滿十乘數而少數不及於乘上下數如以八乘八何以得六十四術上下俱八故曰上下數等八在十内少二右俱紀二相
　　乘得四下紀四左右上下斜減俱餘六下紀六故得六十四
　　又式乘上下數等少數已滿十乘數而少數反過於乘上下數如以三乘三何以得九術上下俱三三在十内少七右俱紀七相乘得四十九已有四十故曰已滿十乘數也下紀九寄四於左左上下三各
　　加所寄四俱變為七然後左右上下斜減俱無餘下紀○故得九
　　又式乘上下數不等少數滿十乘數而少數不及於乘上下數如以六乘七何以得四十二術七在十内少三六在十内少四俱紀右相乘得一十二下紀二寄一於左左上七加一變為八下六加一變為七然後左右上下斜減俱餘四下紀四故得四十二又
　　術三四乘得一十二將一懸於左待左右上下斜減俱餘三乃併所懸之一為四亦合
　　通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎十因即洛書之無十而藏十也
　　諸式
　　一位乘式有一百五十二人每人六兩問共若干曰九百一十二兩術列定自右乘起先以六乘二曰二六一十二此平也左位紀一本位紀二次以六乘五曰五六三十此足也左位紀三本位紀○次以六乘一曰一六如
　　六此如也左位紀○本位紀六所紀散數用加法合問乘數六是兩推至總數首為百
　　多位乘而原數中有○式有四千六百零八人每人三百二十五兩問共若干曰一百四十九萬七千六百兩術列數以五乘八曰五八四十以五乘○曰五○如○以五乘六曰五六三十以五乘四曰五四二十如法紀
　　之此五之徧乘也次以二乘八
　　曰二八一十六以二乘○曰二
　　○如○以二乘六曰二六一十
　　二以二乘四曰二四如八如法
　　進位紀之此二之徧乘也次以
　　三乘八曰三八二十四以三乘
　　○曰三○如○以三乘六曰三
　　六一十八以三乘四曰三四一十二如法又進位紀之此三之徧乘也用加法合問
　　原數尾有○式有六百人每人六兩問共若干曰三千六百兩術以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至總首為
　　千
　　乘數尾有○式有四十五人每人六十兩問共若干曰二千七百兩術乘數尾有○雖不必乘然一○為十二○為百不可不列位列後從六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至總首為千
　　原數乘數尾俱有○式有六百人每人三百四十兩問
　　共若干曰二十萬零四千兩術列定
　　先以四徧乘次以三徧乘得總數尾
　　三○便於定位
　　通曰加減乘除皆可易横
　　為直而乘用直覺便故附
　　於此至於諸○立法不得
　　不存熟則不用矣
　　試乘差法
　　術曰九減七減如前但左右列數多一互乘得數又減之餘列上總數減餘列下上下相比也不用散數九減式試第二式除○九外併原數四六八為一十八
　　九減無餘列○於乂左併乘數
　　三二五為一十九減餘一列乂
　　右以左右一與○乘曰一○如○無數列○於乂上併總數一四七六為一十八九減無餘列○於乂下上下相比無
　　差
　　七減式試第四式原數如法減之餘三列乂左乘數如法減之餘四列乂右以左右三四乘得一十二七減餘
　　五列上總數如法減之餘五列
　　下上下相比無差
　　通曰九減用見數可去○九不用七減用實積數必存○九之位與數以便逐
　　位減至右末而止也
　　除法
　　術曰有實有法有用數實即原數列上法即除數列下用即所求分數也上下齊左從左起算下首少於上首者齊列下首多於上首者退位列之於右界格以法除實視法首於實内有㡬回即用㡬除之而紀其㡬除之數於格外為用數也原實變後即為餘實存上次法乘用數除實盡法位而止又將法數退一位列下〈一徧用數一徧退位與初列退位不同〉再視法首於餘實内有㡬回當用㡬除而又紀其㡬除之數於第一次用數之右次法又乘第二次用數除實也以法尾退至實尾齊右而止格外所紀為分數有餘實亦當存之再除實尾數即用尾數推而知用數之首也
　　通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有實者將左右兩實作為㡬十㡬也左有實而右無實者作㡬十也左無實而右有實者為零數也若遇實數可以除此一徧而不足以除下徧者則知用數中當有零矣詳後式
　　定列位
　　通曰其法有五不退者二退位者三與珠算無除説同盖不退者有可除之數也退者無可除之數也





　　諸式
　　退位式有三百四十二兩九人分之問各若干曰三十

　　八兩術法首九多於實首三當退位列法實首三四作三十四〈退位故作㡬十㡬也〉視三十四内有三回九當以三為用數紀格右以九乘三得二十七於三十四内除之抹去三變四為七次以法九退列餘實七二作七十二内有八回九當以八為次用數紀首用數三右於餘實内除八九七十二實盡俱抹去格右所紀三八即所求分數法
　　尾齊實尾兩數則知用數尾八為兩也
　　不退位及減用數式有八百五十五兩四十五人分之問各若干曰一十九兩術法首四少於實首八不退位實八即作八視八内有二回四當以二為用數但二四除實首八而次法二五除一十則無實可除遇此則減用數一止以一為用數一四除四一五除五次以法退列餘實四○作四十視有九回四當以九為
　　次用數四九除三十六五九除四十五實盡合問用數中當有○式有七萬六千零四十八兩八人分之問各若干曰九千五百零六兩術退位列法首用數該九八九除七十二又退位列法次用數該五五八除四十又退位列法八適至實之四下左無餘實四不足除遇此則紀○以當一徧用數又退位列法次用數該六六八除四十八實盡合問
　　通曰前式格外用數用横列今易為直盖横
　　直俱可用也
　　實尾有○式有三百兩六人分之問各若干曰五十兩退位列法首用數五五六除三十紀五於格
　　右實數盡矣尚有餘○乃退位列法次用數無數而紀○故知所得為五十兩也
　　通曰視實盡後法尾去實尾尚空㡬位毎空一位加一○於用數之右亦合
　　實不盡式有六百五十三兩五十八人分之問各若干曰一十一兩〈餘實一十五兩未分〉又各二錢五分〈餘實五錢未分〉術不退位列首用數該一　一五除五一八除八退位列法次用數該一一五除五一八除八法尾已齊實尾當暫止以察用尾為何數既知為兩數餘
　　實再除
　　術右式餘實一十五兩法當退位列用數該二二五除一十二八除一十六退位列法次用數該五五五除二十五五八除四十此用數首根前式用數尾下當是錢數也尚餘實俟再除
　　通曰初列實時先於實右加○每加一○作降實尾一數〈兩降錢錢降分〉即以○末為實尾較便
　　試除差法
　　術曰亦用九減七減其除畢無餘實者將除數減餘列左用數減餘列右左右相乘減餘列上原數減餘列下相比其未盡實者於左右乘後併入餘實減餘列上原數減餘列下比之若除實至半者亦以除數減餘列左用數減餘列右相乘又取本位〈法尾止處〉以前餘實減餘以併左右乘數再減餘列上以抺過原數減餘列下相比也
　　除無餘九減式試第一式除數九九減無餘左列○併
　　用數三八為一十一九減餘二
　　右列二乘無數列○於乂上併
　　原數三四二為九九減無餘列○於乂
　　上併原數三四二為九九減無餘列○於乂下上下相比無差
　　除有餘九減式試第五式併除數五八為一十三九減
　　餘四左列四併用數一一
　　為二不足九減右即列二
　　乘得八又併餘實一五為一十四
　　九減餘五列上併原數六五三為一十四九減餘五列下上下相比無差
　　除無餘七減式試第一式除數九作九七減餘二列左用數三八作三十八七減餘三列右乘得六不足七減
　　即列六於上原數三四作三十
　　四七減餘六次作六十二七減
　　餘六列下上下相比無差
　　除有餘七減式試第五式除數五八作五十八七減餘二列左用數一一作一十一七減餘四列右乘得八又
　　以餘實一五作一十五七
　　減餘一以此用一併左右
　　所乘八為九七減餘二列上原數
　　六五作六十五七減餘二次作二十三七減餘二列下上下相比無差
　　半除試差式除數六五用數一三原數八六六三餘實二一三　用九減併除數六五為一十一九減餘二列左又併用數一三為四不足九減右即列四乘得八乃併法尾止處以前之餘實二一為三不足九減即以此
　　三併左右所乘八為一十一
　　九減餘二列上併原數抺去
　　三位之八六六為二十九減
　　餘二列下上下相比無差
　　用七減除數六五作六十五七減餘二列左用數一三作一十三七減餘六列
　　右乘得一十二乃以法尾止處以前之餘實二一作二十一七減無餘與左右所乘數相併仍是一十二七減餘五列上原數抺去之八六作八十六七減餘二次作二十六七減餘五列下上下相比無差
　　通曰試差之法獨用九七何也盖十者數之窮也數窮則變十復為一故數始於一終於九九陽數也下九之陽數為七故七與九同用自七九而外或有合者於率不通不可立法所以加減試差用實積則無不可用見數則七與五不可也乘除試差用實積則亦無不可用見數則自九而外皆不可也若夫論除之餘六與三之餘同九是用九而六三可無用矣四與二之餘同八是用八而四二之餘可無用矣且八或可以試加減而或不可以試乘除亦不可用然則試差之法舍七與九又何所取用哉
　　命分法
　　術曰命分者一大㡬何已分㡬何命餘者為㡬何分之㡬何也又曰所餘之小㡬何再分㡬何命此得者為㡬何分之㡬何也
　　通曰第一術即㡬何原本之命比例法也第二術恰盡則可否則終不能盡也
　　式法數為母餘數為子如實數八萬七千二百四十八法數三百七十四法尾已齊實尾用數已得二三三尚有餘實一○六當命為三百七十四分之一百零六也又式得數為子得數前位為母得數一位為十二位為百三位為千也如右式餘實一○六先於六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也當命為千分之二百八十三也










　　數度衍巻二
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>



　　欽定四庫全書
　　數度術卷三
　　桐城　方中通　撰
　　筆算下
　　奇零列位法
　　術曰奇零者不盡數也加減乗除皆有奇零惟除為多耳以法命之曰幾分之幾除數為母列上零數為子列下
　　式有實四十六法七用數六除四十二尚餘實四命之
　　曰七之四七列上四列下
　　通曰以母分子故以法為母子隨母分故以實
　　為子
　　奇零别多寡法
　　術曰母同子異别在子子同母異别在母俱異者别在子母也
　　母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母數等矣但據子數别之子多者為多子少者為少耳
　　子同式若子數相等母數不等者其母數小子數反大母數大子數反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳當以母數少
　　者為多
　　子母俱異式子數母數俱不等以彼此子母互乗得數各註其下較之其較有三一曰差逺一曰稍差一曰相同法皆一也


　　竒零約法
　　術曰約多者為少其法有三一用折半一用通數一用紐數紐數不得則不可復約矣只就見數較多寡用彼此互乘之法
　　折半式十六之八約之為少折母數十六為八折子數八為四
　　約為八之四再折半又約為四之
　　二
　　通數式四十八之三十六欲約之視子母兩數有何數相乗而得其數即通數也今以六為通數
　　以六乘八得四十八母可約為八以六乘六得三十六子可約為六
　　紐數式以小減大減盡而止以最後減盡數為紐數以除子母二數得約數也四十八内減三十二餘十六又於三十二内減十六兩次減盡是十六為
　　紐數矣以十六除四十八得三約母為三以十六除三十二得二約子為二
　　通曰紐即通也但通可見而紐不見耳今以十六為通數以三乗之得四十八以二乗之得三十二亦合
　　奇零併母子法
　　術曰凡兩子母數先併母較之使兩母數等以兩母相乘得共母數次以兩母互乘兩子得各子數或三四母子不同併較多寡者亦以各母次第叠乗併一共母為實乃以各母數為各法除之即以各子數乗各所除數得各子數也
　　兩母子相併式甲三之二乙四之三欲併一共母以兩母乘得十二為共母數以甲子二乘乙母四得八為甲併子以乙子三乘甲母
　　三得九為乙併子
　　四母子相併式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲併一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乗丁母五得一百二十為共母以甲母二除共母得六十以甲子一乗之得六十為甲併子以乙母三除共母得四十以乙子二
　　乗之得八十為乙併子以丙母四除共母得三十以丙子三乗之得九十為丙併子以丁母五除共母得二十四以丁子一乗之得二十四為丁併子
　　倂母子用紐數式若母數相乗過有紐數可用即用紐數如甲母乗乙母得六嗣當與丙母四相乗有二為紐數可用〈二與三乗得六二與二乗得四〉則約甲乙相乗之六為三約丙母四為二乃復以甲乙相乗之六乗丙母所約之二得十二以丙母四乘甲乙所約之三得十二是甲乙丙母俱得十二數而止也至丁母無紐數即以十二
　　乘丁母五得六十則前式共母之一百二十今約為六十矣如法逐位母除子乗所得併子俱減前式之半
　　奇零纍析約法
　　術曰奇零有析之又析者或三四析欲知其總用母乗母子乗子法三四位者母子俱湏叠乗也
　　二位析求總式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右兩母乗得三十五兩子乗得十二是總得三十五之一十二
　　也
　　四位析求總式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乗丙母四得十二又以十二乗乙母六得七十二又以七十二乗甲母二得一百四十四為總母以丁
　　子二乗丙子三得六以六乗乙子一得六以六乗甲子一得六為總子是總為一百四十四之六也
　　化法
　　術曰凡整數後帶奇零欲將整數盡依母數化之以母數乘整數以乗得數入子數却以母數除之有零無零兩化俱合
　　化整為零式有整六又零五分一之三列六於左列五之三於右以母五乗整六得三十併子數三為三十三是化為五之三十三也
　　零數歸整無零式七之五十六欲歸為整以母數除子
　　數用八除盡知是八為整數也

　　零數歸整有零式九之四十七欲歸為整以母除子用五除於子四十七内除五九四十五尚餘二知是整五又零九之二也
　　奇零加法
　　術曰兩零數以至多零數及整與零數欲併為一者同母則一母可代衆母異母則湏叠乗為共母也子不拘同異皆併為一遇有紐數者用紐數求其共母兩位者子母互乘以求併子位多者母除子乘以求併子同母之子惟併而已異母之子湏求併子而併也其整與零併先併整次併零合為一曰積
　　同母式曰七之五曰七之六欲併為一同母七即用為
　　共母兩子併得十一為共子積為
　　七之一十一歸得一零七之四
　　異母式兩母不同乘得十二為共母甲子乘乙母得八
　　為甲併子乙子乘甲母得九為
　　乙併子再以兩併子併得十七
　　積為一十二之一十七
　　異母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙
　　母十一得一千零一為共母依
　　法各母除各子乘得各併子又
　　併得共子積為一千零一之二
　　千六百九十二
　　一整一零併式零曰五之三整曰八倂為一仍以整為整零為零即為八又零五之三也
　　二整一零併式零曰三之二整曰四曰八併為一先倂兩整得一十二零數止一位無倂積為一十二又零三之二也
　　整與同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂兩整得十二次併兩子得八同母七即為共母積為一十二又零七之八也
　　整與異母二零併式零曰三之二曰四之三整曰八整數無併兩母乘得十二為共母左右母子互乘右子得八左子得九為倂子再併得十七積為八又零十二之十七也
　　試加差法
　　通曰加用減試用加試皆有同母異母之分
　　試同母式以右子五減積子十一餘六合左子數以左子六減積子十一餘五合右子數合則無差
　　試異母式先試母以右母三除共母十二得四合左母
　　數以左母四除共母十二得三
　　合右母數無差次試子以右併
　　子八減積子十七餘九合左併子數以左併子九減積子十七餘八合右併子數又以左母四除右併子八得二合右子數以右母三除左併子九得三合左子數無差
　　竒零減法
　　術曰先審多寡多為原數少為減數同母止就子數相減異母先求共母又母除子乘求各子乃以相減也通曰多中減少即右内減左也但併母子數有時似少中減多者而化整之後仍是多中減少也
　　同母式曰十七之八曰十七之五相減此當於十七之
　　八内減十七之五也同母止於右子
　　八内減左子五餘三得十七之三
　　異母式曰九之八曰三之二相減先以兩母乘得二十
　　七為共母乃母除子乘得各
　　子審多寡然後相減餘二十
　　七之六
　　整數内減零數式整一十内減零一十一之六先於整内抽出一數依零母數化為一十一作化子整止存九是化為一十一之一十一也於化内減十一之六餘十
　　一之五是減餘為九零十一之
　　五
　　整内減整及零式兩整先減十内減四餘六乃於六中
　　抽一依零母化五為子是化為
　　五之五也於化内減五之三餘
　　五之二其餘整六既抽一止存五是減餘為五零五之二
　　整及零内減整及零式整數多者為原數先以兩整相
　　減十内減六餘四此乃
　　異母以兩母乘得八為
　　共母乃子母互乘為子以右子一乘左母四得四為右併子以左子三乘右母二得六為左併子當於八之四内減八之六然四少六多不能減湏於既減之餘整四内抽出一數以共母化為八又併右併子四為十二化為八之十二於此内減去八之六餘八之六整數止存三是減餘為三零八之六
　　整及零内減零式整數不動乃併母子以兩母乘得三百六十三為共母母子互乘右得十一為併子左得一百三十二為併子當於右内減左而右併子少乃於整九内抽出一數依共母化為三百六十三併入右併子十一為三百七十四乃於此内減右併母子餘三百六
　　十三之二百四十二整
　　九止存八是減餘為八
　　零三百六十三之二百
　　四十二〈可約為八零三之二〉
　　通曰乘除内用加減加減内亦用乘除故四法通而一法通也
　　試減差法
　　試同母式以減餘子三併入左子五為八合右子即以減餘子三於右子八内
　　減之餘五亦合左子無差
　　試異母式以減餘二十七之六與左三之二相加合右九之八此兩母乘得八十一為共母以減餘子乘左母得十八乘右母得五十
　　四再併為七十二得八十一之七十二約之為九之八
　　奇零乘法
　　術曰兩零相乘當以母乘母子乘子零與整乘則置整數與零並列而整數上立一數為母與零母並列依母乘母子乘子之法也其不止一整者或俱有帶零者法詳後
　　零與零乘式四之三與三之二相乘以兩母乘得十二為乘母兩子乘得六為乘子是乘為一十二之六
　　零與整乘式五之四與整八相乘乃以八上立一為母
　　作一之八與五之四並列依法乘
　　得五之三十二通曰但以整數乘
　　零數之子為乘子可也
　　整帶零與整乘式整三零六之五與整八相乘先以右
　　整三與母六乘得十八併子五
　　得二十三為子化為六之二十
　　三以左整八上立一為母並列依法乘得六之一百八十四
　　整帶零與零乘式四零三之二與二之一相乘依法右
　　位整乘母得十二併子二得十
　　四為三之十四與左零數並列
　　乘得六之十四
　　整帶零與整帶零乘式四零二之一與三零五之一相
　　乘依法整三與母五乘得十五
　　併子一得十六左為五之十六
　　整四與母二乘得八併子一得九右為二之九並列乘得一十之一百四十四
　　通曰竒零與常法不同常法皆乘少為多今或乘多為少葢借用虚數實非乘多為少也
　　試乘差法
　　通曰乘用除試除用乘試葢奇零試差皆彼此還原也式以前零與零乘式試之以乘得十二之六為原數以
　　其兩相乘之數皆為
　　除數但湏倒位前曰
　　三之二今曰二之三前曰四之三今曰三之四乃以除數右母二乘原母十二得二十四以除數右子三乘原子六得十八是為二十四之十八約為四之三而合上左其左位依法還原為三十六之二十四約為三之二亦合上右
　　奇零除法
　　術曰兩零相除右列原數左列除數却將除數倒列子母而與原數並列亦用母乘母子乘子之法乘出數即除出數也
　　零除零式二之一為實列右六之一為法列左倒為一
　　之六乃與二之一並列母乘母
　　子乘子即得除出數為二之六
　　也
　　零除整式整六為實三之二為法法倒為二之三實立
　　一為母作一之六乃並列相乘得
　　除出數
　　通曰乘除本互用於此可見
　　整帶零除整式六為實四零三之二為法以母三乘整
　　四為十二併子二為十四
　　化為三之十四再用零除
　　整法得除數
　　整除零式三之二為實整六為法以六上立一為母又
　　倒為六之一與三之二並列乘得
　　除數
　　整除整帶零式六零二之一為實三為法以整六乘母
　　二得十二併子一得十三化為二
　　之十三整三立母倒位並列乘之
　　整帶零除零式三之二為實六零二之一為法以整六
　　乘母二得十二併子一得
　　十三化為二之十三倒位
　　乘之
　　零除整帶零式六零二之一為實四之三為法以整六
　　乘母二併子一得十三化為二之
　　十三倒法位乘之
　　整帶零除整帶零式六零二之一為實三零五之二為
　　法依法實化為二之十三
　　法化為五之十七倒法位
　　乘之
　　試除差法
　　式以前零除零式試之以乘得二之六列右除數六之
　　一列左母乘母子乘子
　　得十二之六約為二之
　　一合右原數無差
　　重零除盡法
　　術曰歸除不盡曰奇零然有原數内本來先帶奇零者是大奇數内又有小奇數也若欲除之使盡當先歸之使一列小奇於右列大奇於左兩母相乘為總母又以小奇母乘大奇子併入小奇子為共子此即是除盡之數
　　大奇内有小竒式四人分一十五零三之二其不盡者整三零三之二也三之二為小奇四之三為大奇兩母乘得十二為共母小奇
　　母乘大奇子得九併小奇子二為十一作共子是一十二之一十一為除盡數也
　　大奇内小奇有小奇式若小奇内復有小奇至三至四
　　者如
　　七除
　　不盡
　　而餘
　　四數為七之四而又以此四中之一剖為五停之二又以二中之一剖為四停之三又以三中之一剖為三停之二此乃大奇内帶三小竒也先併大次兩母五七乘得三十五為母以次母五乘大竒子四得二十併入次子二得二十二為子是為三十五之二十二再併三奇以母三十五乘三奇母四得一百四十為母以三奇母四乘大次併子二十二得八十八併三奇子三得九十一為子是為一百四十之九十一再併四奇以母一百四十乘四奇母三得四百二十為母以四奇母三乘大次三併子九十一得二百七十三併四奇子二得二百七十五為子是為四百二十之二百七十五此即通併即除盡數也可約為八十四之五十五
　　大奇内有小奇用加除二法式凡大奇一位小奇止一


　　位者當用加除二法而前式葢㨗法也如第一式大奇四之三小奇三之二先用除法以小奇三之二列右止以大奇母四列左立一為母倒位並列乘得十二之二〈此用整除零法〉後用加法以除出之十二之二列右以大奇四之三列左兩母相乘得四十八為共母或母除子乘求子或母子互乘求子右子得八左子得三十六併得四十四是積為四十八之四十四也〈此用異母加法〉約得一十二之一十一而合除盡數矣
　　附鋪地錦
　　乘式有物二十三件每件價銀五錢六分五釐問共若
　　干曰一十二兩九錢九分五釐術
　　物數為實列上價數為法列旁相
　　呼填數於格内呼畢斜格成總也
　　先呼三五一十五次呼三六一十
　　八次呼三五一十五填三下之格内後呼二五得一十二六一十二二五得一十填二下之格内乃斜取總數一為一十一一為二兩五一二一為九錢八一為九分五為五釐也
　　除式有銀九十四兩五錢買物七十斤問每斤若干曰





　　一兩三錢五分術先画圖置銀數於内為實以物數為法自下左旋而上而右止用珠算歸除訣先除九十起曰逄七進一十填在左圖右格為一兩又曰七二下加六次除四兩因加六作十曰逄七進一十將此一并九十圖内存二作三填在九十圖左格為三錢又曰七三四餘二次除五分因加二作七曰逄七進一十將此一并四兩圖内作四又作五填在四兩圖右格為五分共得一兩三錢五分也
　　洛書算
　　通曰洛書用九八卦旋中加升減降法異理同九内易位越十移宫過去未來用之無窮












　　加式有四錢五分又三錢四分又三兩五錢問共若干曰四兩二錢九分術每圖用棋子一枚先呼四錢五分將錢圖棋子置四上分圖棋子置五上又呼三錢四分將錢圖四上棋子移置七上〈四加三〉分圖五上棋子移置九上〈五加四〉又呼三兩五錢將兩圖棋子置三上却以錢圖七上棋子加五成一十二移置本圖二上而兩圖三上棋子加一成四移置四上乃視各圖棋子所在為總數也
　　減式先將總數棋子照圖安置逐呼逐減即得

　　通曰又有一筆錦之法似筆算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九臨算暗記殊覺可笑即鋪地錦乘尚似籌而除則不可用矣惟洛書算為便並列圖數而求之雖乘除亦可得也












　　數度衍巻三



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷四
　　桐城　方中通　撰
　　籌算
　　九籌






　　通曰珠算筆算皆有數而後乘籌算無數而先乘也故乘以籌為㨗數盡九九除亦因乘故隨時施用所遇數更而先乘之數亦變多寡前後相合自成至若零籌無又無用之用也
　　開方籌
　　通曰籌有二曰平方自乘之還原也故用自乘之數曰

　　立方自乘再乘之還原也故用自乘再乘之數




　　乘法
　　術曰有實有法先將實數查籌從左向右齊列其兩籌每格平行線斜方形合成一位併為一數矣次以籌之格為法數如法數是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得數横列之次查法首所得數進一位横列之再用筆算加法得所求數
　　一位法式有五十九人每人八兩問共若干曰四百七
　　十二兩　以五十九人為實八
　　兩為法先依實數查第五籌第
　　九籌五左九右並列次依法八查第八格内横數曰二曰七○曰四去○不用自左向右横視之得四百七十二兩也得數尾與法尾數同故知為兩
　　二位法式有五十四人每人六十四兩問共若干曰三千四百五十六兩　以五十四人為實六十四兩為法
　　依實查五四兩籌齊列先依法
　　尾四查第四格曰六曰一○曰
　　二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三進一位横列之用筆算加法得三千四百五十六兩也多位法者視此每查格一回進一位列數
　　通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在數中者説詳後式
　　籌内斜方有○無數式有五十四人每人二十八兩問
　　共若干曰一千五
　　百一十二兩　以
　　五十四人為實查籌並列二十八兩為法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格
　　曰八曰○曰一進一位列之加得合問
　　通曰斜方之中有數有○則去○不用若無數有○則湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也籌内斜方倂數進十式有八十七人每人六兩問共若
　　干曰五百二十二兩
　　以八十七人為實查籌
　　並列六兩為法查六格曰二曰四八曰四其曰四
　　八者併為十二本位存二以十進位作一其曰四者併所進之一為五當自右向左列曰二二五矣
　　用零籌式有六百零八人每人三十四兩問共若干曰
　　二萬零六百七十
　　二兩　以六百零
　　八人為實查六籌
　　零籌八籌並列三十四兩為法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四
　　曰二○曰八曰一進一位列之加得合問
　　通曰實數整幾十者列一零籌於右整幾百者列二零籌於右以定位也
　　除法
　　術曰有實有法有商别列實數以法數依號查籌從左向右齊列於諸籌九格内查横行數之等於實數或畧少於實數者在第幾格即是初商數如在第一格即一為初商也次以查得之數減其實數已盡則止一商如未盡則有再商即再查横行内數之等於存實或畧少於存實者在第幾格即是再商數又以查得之數減其存實如前又未盡則更有三商倘初商已除實雖未盡而次位無實則商有○位即作○以當次商再以存實於格内查之若至餘實數少於法數是為不盡法當命分之
　　一位商式有三百二十五兩六十五人分之問各若干曰五兩術别列三百二十五兩為實以六十五人為法
　　查六五兩籌左右齊列
　　查九格内何格數與實
　　相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二
　　五適等即五為商數矣
　　二位商式有三千三百二十五兩九十五人分之問各
　　若干曰三十五兩術
　　列三千三百二十五
　　兩為實九十五人為法列籌二籌横數止三位湏截實左三位曰三三二作三
　　百三十二於格内查之至三格自左向右曰二八五〈中位一七併八〉作二百八十五畧少於實數四格則多矣用三爲初商相減餘四十七再以餘實四七及截外之五作四百七十五查至五格四七〈二五併七〉五適等用五爲次商
　　商當有○式有三十二萬三千八百七十六兩五百三十八人分之問各若干曰六百零二兩術列實查籌三籌横數止四位截實左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作
　　三千二百二十八畧
　　少於實數七格則多
　　矣用六爲初商相減
　　餘一十以餘實一○及截七六作
　　一千零七十六此乃次位無實也
　　次商當作○竟不除實餘實仍是一千零
　　七十六查至二格一○七六等用二爲三商
　　通曰次位三位俱無實者卽一連兩商皆當作○也實不盡式有三千三百三十六兩九十五人分之問各
　　若干曰三十五兩
　　餘實一十一兩
　　列實查籌二籌横數止三位截實左
　　三位曰三三三查至三格自左向右
　　曰二八五畧少於實數用三為初商相減餘四八以餘實四八及截外六作四八六查至五格四七五畧少於餘實用五為次商相減尚餘一十一為不盡數也
　　開平方法
　　術曰有積數〈即實數〉有商數商有方法有亷法隅法置積數從末位下作㸃向左隔一位作一㸃有一㸃知有一商也視平方籌内自乘之數與實相等或畧少者取以除實但自左一㸃為始㸃前無位則自乘止於零數㸃前有位則自乘應有十數而此乘數在籌内第幾格即用其格數為初商也有二㸃者以初商倍之乃以倍數查籌列於平方籌之左再視諸籌横行内數與存實相等者用以除實而此數在幾格即用為次商也實不盡者以法命之或實右加○再開之詳少廣章
　　通曰開方有實無法故用方廉隅以代之初商積與次商隅積皆自乘數也次商亷積之數處初商與隅積之問也
　　第一求初商之根為方法乙為
　　方積也不盡求二㸃之商倍初商
　　根為廉法甲丙兩長邉也隅法丁
　　方一角也此甲乙丙丁為平方二
　　商之形如三商則加戊巳亷及庚
　　隅也
　　式有積三萬二千○四十一平方開之問邉得若干曰
　　一百七十九
　　别列積為實從
　　末位一下作㸃
　　向左隔一位○
　　下作三下作
　　㸃共得三㸃知商有三位
　　也㸃左無實三作零數視
　　方籌内自乘無三近少為
　　一平行取一為方法為初
　　商乃於實三内減去一格
　　自乘之一存二以共次㸃
　　實曰二二○為餘實次倍初商根得二為亷法〈倍一為二〉取二號籌列方籌之左於兩籌横行内求二二○無則用近少者一八九在第七格即七為次商為隅法乃以一
　　八九減餘實二二○餘三
　　一以共三㸃之實曰三一
　　四一為次餘實再倍初次
　　兩商之一七得三四〈初商一作〉
　　〈一十次商七共為十七倍為三十四〉為次廉法乃去次商所列之第二籌又取三號四號兩籌自左向右俱列方籌之左於横行内求三一四一在第九格即九為三商為次隅法減實無餘即三次所商為平方邉一百七十九也
　　開立方法
　　術曰有積數有商數商有方法有平廉法長亷法隅法置積為實從末位作㸃向左隔二位作㸃每一㸃有一商視立方籌内再乘之數有與實相等或近少者用以除實也但自左一㸃為始㸃前無位則再乘止於零數㸃前有一位則再乘應有十數㸃前有二位則再乘應有百數而此乘數在第幾格即用作初商也有二㸃者以初商自乘而三倍之為平亷法以初商三倍之為長亷法却以平亷法數查籌列立方籌左以長亷法數查籌列立方籌右乃視左籌與方籌之横行内數查其或等或少於餘實者取格數為約數即以此為次商以次商自乘之數與長亷法數相乘進一位書於約數之下以此二數併之除其餘實即得立方邉也不盡者依法命之詳少廣章
　　其一作六面方體諸面線角皆相等
　　此名方法體成甲乙丙丁形
　　通曰此初商形也凡邊皆初商之
　　數
　　其二作六面扁方體其上下面各與
　　方法等旁四面之髙少於方法之髙
　　而四稜線皆等此名平亷法體成戊
　　己庚辛形
　　其三作六面長方體其上下左右四
　　面與平廉之旁面等兩端之四界線
　　皆與平廉之髙等此名長廉法體成
　　壬癸形
　　其四作六面小立方體六面之廣袤皆與長廉之兩端等此名隅法體成子丑形
　　通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉後加一平廉故三倍初商之自乘為平廉法也上與後之邊齊右加一長廉上與左之邊齊前加一長廉左與後之邊




　　齊下加一長廉故三倍初商為長廉法也上與左與後三角加隅法而立方形成矣
　　式有積九百一十二萬九千三百二十九立方開之問邊得若干曰二百零九術别列積數為實從末位九下

　　作㸃向左隔二位
　　作凡三㸃知商
　　有三位也㸃前無
　　實則實首九為零
　　數視立方籌内再
　　乘之數無九三格
　　二七過實用二格
　　八實之近少數也
　　即取二為方法為
　　初商九内減八存一以
　　共次之實曰一一二
　　九為餘實將初商二自
　　乘得四又三倍得十二
　　為平廉法取一號二號
　　兩籌列方籌左又將初
　　商二三倍得六為長廉
　　法取六號籌列方籌右
　　乃於立方與平廉共三籌
　　内之横行數取其少於餘實者為約數視籌内無近少數即第一格之一二○一亦多於餘實之一一二九遇此則知商有○位矣竟於初商下作○以當次商而實數不動復開第三㸃之實一一二九三二九將初次兩商之二○〈此作二十〉自乘之得四○○〈此作四百〉又三倍之得一二○○〈此作一千二百〉為次平廉法乃取一號二號○號○號之四籌列方籌左而去次商所列之平廉兩籌又將初次兩商之二○〈此作二十〉三倍之得六○〈此作六十〉為次長廉法取六號○號兩籌列方籌右而去次商所列之長廉籌
　　乃於立方與次平廉共
　　五籌内之横行數取其
　　少於餘實者為約數至
　　第九格曰一○八○七
　　二九另列之向立方籌
　　右平行取九格之自乗
　　數八十一以乗次長廉
　　六○〈此作六十〉得四八六○
　　〈此八十一回六十也〉進一位列約
　　餘實之一　一二九三二九恰盡乃以約數之格數九爲二商也三次所商曰二曰○曰九是爲立方根二百零九也
　　通曰長亷籌止用其號數格内諸數皆無用卽不列籌而止列數亦可開方宜入少廣章因有此二籌故立式於此











　　數度衍巻四



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷五
　　桐城　方中通　撰
　　尺算
　　法尺
　　通曰法尺之式上連下分下則可開可合上則相對不



　　移如此乃可為法
　　實尺
　　兩尺分寸湏等不可稍
　　異作一法尺二實尺
　　通曰兩端變為三角因參知兩勾股矩度直景倒景蓋同一源加實尺於法尺之上謂之三角可也謂之勾股可也
　　乘法
　　術曰先定實數法數與他算不同既定乃以法數作法尺何數實數作實尺何數或寸或分又湏預定然後將實尺比照實數横安於法尺之一分或一寸上令法尺開而就之隨量法尺之法數空處得何數即為所求數也
　　通曰變通升降其用始廣如實尺數大不便安放者湏降實數寸降為分分降為釐或將實數折半法實俱大必湏俱折先降後升先半後倍得數原無異也或用升法以代降實
　　式有五人每人四兩問共若干曰二十兩術以四兩為
　　四分作實數以五
　　人為五寸作法數
　　將實尺比定四分
　　横安於法尺一寸
　　空處乃量法尺五寸空處得何數今得二寸因以分為兩則寸即為十故知所得二寸為二十兩也
　　降數式有五十九人每人八兩問共若干曰四百七十二兩術以八兩為八分作實數以五十九人作五寸九分為法數用實尺比定八分安於法尺一分上八大一
　　小不可安放乃降
　　十倍安於法尺一
　　寸空處量法尺五
　　寸九分空處得四
　　寸七分二釐先降後升應升為四尺七寸二分原以分為兩故知所得為四百七十二兩也〈此係升法以代降實〉
　　實數折半式有八人每人一十二兩問共若干曰九十六兩術以八人作八寸為法以一十二兩折半得六兩作六分為實用實尺比定六分安於法尺一寸空處量
　　法尺八寸空處得
　　四寸八分原以分
　　為兩是為四十八
　　兩先半後倍倍得
　　九十六兩也
　　法實俱折半式有一十六人每人一十二兩問共若干曰一百九十二兩術以一十六人折半得八人作八寸為法以一十二兩折半得六兩作六分為實用實尺比定六分安於法尺一寸空處量法尺八寸空處得四寸
　　八分以分為兩是
　　為四十八兩倍之
　　得九十六兩再倍
　　之得一百九十二
　　兩合問
　　通曰因法實俱折半故加倍以還實再加一倍以還法也
　　實數再折式有八人每人二十四兩問共若干曰一百九十二兩術以八人作八寸為法以二十四兩折半得
　　一十二兩又折半
　　為六兩作六分為
　　實用實尺比定六
　　分安於法尺一寸
　　空處量法尺八寸空處得四寸八分以分為兩是為四十八兩倍之得九十六兩再倍之得一百九十二兩合問
　　通曰再折故再倍或將實三分之得數三乘之亦合法實俱再折式有三十二人每人二十四兩問共若干曰七百六十八兩術以三十二人折半得一十六人又
　　折半得八人作八
　　寸為法以二十四
　　兩折半得一十二
　　兩又折半得六兩
　　作六分為實用實尺比定六分安於法尺一寸空處量法尺八寸空處得四寸八分以分為兩是為四十八兩倍之得九十六兩再倍之得一百九十二兩再倍之得三百八十四兩再倍之得七百六十八兩合問
　　通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乗四十八亦合
　　整零截量式有二十四人每人五錢三分問共若干曰一十二兩七錢二分術以二十四人作法尺二寸四分以五錢三分作實尺五分三釐先截整數二十人求之
　　將實尺比定五分
　　三釐安於法尺一
　　分空處實大不便
　　安頓降之安於法
　　尺一寸空處將五分三釐升作五寸三分此為十人所得數倍之得十寸六分便是二十人所得數也後截零數四人求之量法尺四分空處得二分一釐二毫亦升作二寸一分二釐便是四人所得數併兩得數得十二寸七分二釐為二十四人所得總數也因以尺之釐為
　　銀之分故知爲十
　　二兩七錢二分又術
　　以二十四人作法尺
　　二尺四寸以五錢三
　　分作實尺五分三釐將實尺比定五分三釐安於法尺一寸空處量法尺十寸空處得五寸三分倍之得一尺○六分爲二十人所得數又於法尺四寸空處量得二寸一分二釐併得一尺二寸七分二釐亦合
　　通曰所截爲二十人故加倍若三十人則用三乗四十人則用四乗也
　　除法
　　術曰法實數定之後將實尺比定實數定於法尺之法數空處乃量法尺之一分或一寸空處得幾何卽爲所求除出數也亦用降數折數二法或有實無法任意作幾分者不論實數多寡將實尺比數安於法尺之百分空處用隨分法量之
　　式有銀二十二兩四十四人分之問各若干曰五錢術以二十二兩作二寸二分為實以四十四人作四寸四
　　分為法將實尺比
　　定二寸二分安於
　　法尺四寸四分空
　　處乃量法尺之一
　　分空處得幾何今得五釐因以尺之分為銀之兩則釐當為錢又因以分為人則五錢為一人所得數也通曰量一寸空處得五分降為五釐亦合一分為一人一寸則為十人量四寸空處得四十人銀數四分空處得四人銀數此用乘以知除也
　　降數式有銀四十四兩二十二人分之問各若干曰二兩術以四十四兩作四寸四分為實以二十二人作二寸二分為法將實尺比定四寸四分安於法尺二寸二分上實大不可安頓降為四分四釐安於法尺二寸二
　　分空處乃量法尺
　　一分空處得二釐
　　因先降數此當升
　　為二分分為銀之
　　兩則知所得為二兩也
　　折實式有一十八兩六人分之問各若干曰三兩術以一十八兩折半得九兩作九寸為實以六人作六寸為法將實尺比定九寸安於法尺六寸上實大降作九分安於法尺六寸空處乃量法尺一寸空處得一分五釐
　　因降實此當升為
　　一寸五分又因折
　　實此當倍為三寸
　　以寸為兩故知一
　　人所得為三兩也
　　法實俱折式有一十八兩一十二人分之問各若干曰一兩五錢術以一十八兩折半得九兩作九寸為實以一十二人折半得六人作六寸為法將實尺比定九寸安於法尺六寸上實大降作九分安於法尺六寸空處
　　乃量法尺一寸空
　　處得一分五釐因
　　降實當升為一寸
　　五分寸為兩故知
　　一人所得為一兩五錢也
　　通曰法實俱折者除與乘不同乘折則所得止半數故湏倍之除折則所得即所求數不必又倍矣葢折亦除故也
　　隨分式有銀八十兩或四平分或五平分問各若干曰四分之一得二十兩五分之一得一十六兩術以八十
　　兩作八十分為實
　　將實尺比定八十
　　分安於法尺百分
　　空處如欲作四平
　　分者則量法尺二寸五分空處得二十分每人即得二十兩也如欲作五平分者則量法尺二寸空處得一十六分每人即得一十六兩也
　　通曰四平分者先將四除十寸得二寸五分五平分者先將五除十寸得二寸
　　整零截量式有三十二兩五人分之問各若干曰六兩
　　四錢術以三十二
　　兩作三尺二寸為
　　實以五人作五寸
　　為法先截實末二
　　寸求之將實尺比定二寸安於法尺五寸空處量法尺一寸空處得四分後截實首三尺求之將實尺比定三尺降作三寸安於法尺五寸空處量法尺一寸空處得六分應升為六寸併前四分得六寸四分以兩為寸故知每人得六兩四錢也
　　通曰後量法尺之十寸空處得六寸亦合此不升數而升度也
　　比例法
　　術曰有實數於此以某法數分之得某數今又有實於此照前分例求法幾何將實尺比前實數安法尺之前法數上又將實尺比後實數於法尺空處上下推移求至脗合處視法尺之分寸幾何即所求數也
　　通曰比例無窮不可盡舉引而推之存乎其人
　　式有銀四百四十兩二百二十人分之人得二兩今又有銀八百八十兩照前二兩分數該人幾何曰四百四十人術將二百二十人作二寸二分為法將四百四十
　　兩作四寸四分為
　　實以實尺比定四
　　寸四分安於法尺
　　二寸二分上實大
　　降作四分四釐安於法尺二寸二分空處又將八百八十兩作八寸八分亦降作八分八釐以實尺比定八分八釐於法尺空處上下推移至四寸四分空處適合以寸為百數即知為四百四十人矣
　　通曰前後俱降實故不升且前以人為法銀為實後亦以銀為實求出法數人降實則不升法也
　　又式有銀三兩給六人今又有銀七兩照前例應給幾人曰一十四人術以三兩作三寸爲法以六人作六分爲實將實尺比定六分安於法尺三寸空處乃量法尺七寸空處視得幾何今得一寸四分以分爲人卽知所
　　得爲一十四人也
　　又術以三兩作三
　　分爲實以六人作
　　六分爲法將實尺
　　比定三分安於法尺六分空處又將實尺比定七分在於法尺空處上下推移至法尺一寸四分空處適得脗合一寸四分卽一十四人也
　　通曰法實可互更乗除可互用此尺算之異於他算也凡求得數皆以比例卽乗除亦無非比例故比例以尺爲便







　　數度衍巻五



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷六
　　桐城方中通撰
　　勾股〈勾股之一〉
　　周髀勾股圓方圖



　　趙君鄉注曰勾股各自乗并之為實開方除之即也〈鸞曰勾三自乗得九股四自乗得十六并得二十五開方得五〉按圖又可以勾股相乗為朱實二倍之為朱實四以勾股之差自相乗為中黄實〈倍勾差二為四自乗得一十六為左圖中黄實也淳風曰干率不通〉加差實亦成實〈加差實一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成實也淳風曰于率不通唐寅曰加差實之一于前文所言朱實四之上朱實之四為二十四加一得二十五也〉以差實減實半其餘以差為從法開方除之復得勾矣〈以差實九減實二十五餘十六半之為八加差一得九開得勾三淳風曰以差實一減實二十五餘二十四半為十二以差一從開得勾三鸞言于率不通〉加差於勾即股〈加差一于勾三得四〉凡并勾股之實

　　即成實〈勾實九股實十六并得二十五實〉或矩於内或方於外形詭而量均體殊而數齊勾實之矩以股差為廣股并為袤〈以差一為廣股四并五得九為袤左圖外青〉而股實方其裏〈左圖中黄十六〉減矩勾之實於實開其餘即股〈減九於二十五餘十六〉倍股在兩邊為從法開矩勾之角即股差〈倍股四為八為從開九得一也〉加股為〈加差一于股四得五〉以差除勾實得股并〈以一除九得九即股四五并數〉以并除勾實亦得股差〈以九除九得一〉令并自乗與勾實為實〈九自乗得八十一又加九得九十〉倍并為法〈倍九為十八〉所得亦〈以十八除九十得五〉勾實減并自乗加法為股〈以九減八十一餘七十二以十八除之得四〉股實之矩以勾差為廣勾并為袤〈以差二為廣勾三并五得八為袤〉而勾實方其裏〈右圖中青九〉減矩股之實於實開其餘即勾〈減十六于二十五餘九〉倍勾在兩邊為從法開矩股之角即勾差〈倍勾三為六為從開十六得二也〉加勾為〈加差二于勾三得五〉以差除股實得勾并〈以二除十六得八即勾三五并數〉以并除股實亦得勾差〈以八除十六得二〉令并自乗與股實為實〈八自乗得六十四又加十六得八十〉倍并為法〈倍八得十六〉所得亦〈以十六除八十得五〉股實減并自乗如法為勾〈以十六減六十四餘四十八以十六除之得三〉兩差相乗倍而開之所得以股差増之為勾〈一與二乘得二倍為四開得二増一為三〉以勾差増之為股〈以二増二得四〉兩差増之為〈二之上又增一與二得五〉倍實列勾股差實見實者以圖考之倍實滿外大方而多黄實黄實之多即勾股差實〈倍二十五為五十滿外大方之七七四十九而多一數即勾股差實也〉以差實減之開其餘得外大方大方之面即勾股并〈以差實一減五十餘四十九開得七即勾三股四并數〉令并自乗倍實乃減之開其餘得中黄方黄方之面即勾股差〈七自乗得四十九倍實二十五為五十相減餘一開之得勾股差〉以差減并而半之為勾〈以差一減七餘六半得三〉加差於并而半之為股〈以差一加七得八半得四也〉其倍為廣袤合〈倍二十五得五十為廣袤合淳風曰倍五得一十為廣袤合鸞言錯也唐寅曰勾廣一袤九股廣二袤八〉而令勾股見者自乗為其實四實以減之開其餘所得為差〈以七七自乗得四十九四實大方勾股之中有四方一方之中有方十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一即勾股差一淳風曰十自乗得一百四實者大方廣袤之中有四方若據勾實而言一方之中有實九四實有三十六減上一百餘六十四開之得八即廣袤差此是股差減股并餘數若據股實而言一方之中有實十六四實有六十四減上一百餘三十六開之得六即廣袤差此是勾股差減勾并餘數鸞言錯也〉以差減合半其餘為廣〈以差一減合七餘六半之得三廣也淳風曰以差八六各減合十餘二四半之得一與二也一即股差二即勾差以差減即各袤廣也鸞言錯也〉減廣於即所求也〈以廣三減五即所求差二也淳風曰以廣一與二各減五即所求股四勾三也鸞言錯也〉觀其迭相規矩共為反覆互與通分各有所得然則統叙羣倫𢎞紀衆理貫幽入微鈎深致逺故曰其裁制萬物唯所為之者也通曰君卿所注乃其互見甄鸞重述李淳風言其於率不通者有三錯者有四鸞蓋取其偶合耳大衍之數五十其用四十有九即此積矩之數也中黄太極一藏四用蓍之掛䇿也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乗也四其二六是為八羃八羃有八卦之義焉羃六有六爻之義焉八其六爻是為四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分損一而為羃之一角羃之一角三分損一而為矩股之一角也



　　容股股容勾圖説




　　通曰方内之容遞差於二九九之内容八八餘為十七八八之内容七七餘為十五七七之内容六六餘為十三六六之内容五五餘為十一五五之内容四四餘為九四四之内容三三餘為七三三之内容二二餘為五二二之内容一一餘為三是餘之相降莫不差於二也則實之容股實股實之容勾實七九之餘所固然矣自而推之與勾股差并六實三十六其容實之餘較容股實之餘必増二矣與勾差并七實四十九其容與勾股差并實之餘較其并實容之餘必増二矣與勾并八實六十四其容與勾差并實之餘較其并實容與勾股差之餘必増二矣與股并九實八十一其容與勾并實之餘較其并實容

　　與勾差之餘必増二矣自勾而降之勾差二實四容於勾實之中其餘較股之容勾必損二矣勾股差一實一容於勾差實之中其餘較勾之容勾差必損二矣容有大小餘無異同受容者變而容之者亦變故耳
　　勾股名義
　　勾〈横也〉股〈直也〉〈斜也〉勾股較〈勾股相減也〉勾較〈勾相減也〉股較〈股相減也〉勾股和〈勾與股并也〉勾和〈勾與和也〉股和〈股與併也〉較和〈與勾股較併也〉和和〈與勾股和併也〉和較〈與勾股和相減也〉較較〈與勾股較相減也〉
　　勾股求法
　　式甲乙股四乙丙勾三問甲丙幾何曰甲丙五術股四自乘得十六勾三自乗得九兩自乗數併之得二十五為實積用少廣章
　　開平方法除之得邊五即也
　　又式木長二丈圍之三尺葛生其下纒木七周上與木齊問葛長幾何曰二丈九尺術以木長為勾圍七周共二十一尺為股求葛長為也
　　通曰勾股可互換然必以長者為股短者為勾也
　　勾求股法
　　式乙丙勾三甲丙五問甲乙股幾何曰甲乙股四術勾三自乗得九五自乗得二十五相減餘十六平方開之得邊四即股也
　　又式圓木徑二尺五寸為板欲厚七寸問闊得幾何曰二尺四寸術以圓徑為板厚為勾求闊為股也
　　通曰圜内切中徑成兩勾股也
　　股求勾法
　　式甲乙股四甲丙五問乙丙勾幾何曰乙丙勾三術服四自乗得十六五自乗得二十五相減餘九平方開之得邊三即勾也
　　又式臺上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸問下方幾何曰九丈一尺二寸術以臺髙為股袤斜為求勾以益上方斯得下方也〈一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜須于求勾倍之且隅與邊尚有不同也〉
　　又式圓池八分魚吞鈎鈎沉在正中水底鈎絲斜至岸長五十尺問水深幾何曰三十尺術以半池徑為股絲斜至岸為先以畝法通池八分為一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方開之得圓徑十六步折半得八步通作四十尺為股次以股求勾得水深也
　　勾與股較求股法
　　式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之較為丙丁九問甲乙股幾何甲丙幾何曰甲乙股三十六甲丙四十五術勾自乗得七百二十九較九除之得八十一為股和和内減較餘七十
　　二半之得三十六為股和外加較得九十半之得四十五為二術勾自乗得七百二十九較自乗得八十一相減餘六百四十八為實倍較得十八為法除實得三十六為股三術勾自乗較自乗併得八百一十為實倍較為法除之得四十五為
　　第一術論曰勾羃為丙戊直角方形以較而一〈即除也〉為
　　丙巳直角形即得丙庚邊與甲
　　乙甲丙股和等何者甲丙
　　羃之甲辛直角方形内當函一
　　股羃一勾冪試於甲辛形内依丙丁較截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形與敗羃等而丁辛丁癸兩形并當與勾羃等亦與丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆較也而甲丁與股等丙辛與等即丙庚與股和等
　　第二術論曰勾羃為乙巳直角方形較羃為丙丑直角方形與丙庚等相減存乙庚巳磬折形為實次倍丙丁較線為乙辛線以為法除實即得辛壬直角形與乙庚巳磬折形等而乙壬邊與甲乙股等何者甲丙羃之
　　甲癸直角方形内當函一勾羃一股
　　羃試於甲癸形内截取丙丑較羃之
　　外分作甲五丑癸丑子三直角形即
　　丑子與股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并當與勾羃等次各減一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并與乙庚巳磬折形等亦與辛壬直角形等辛乙與寅丑丑丁并等即乙壬與甲丁或寅癸等亦與甲乙等
　　通曰第三術勾羃為乙巳直角方形較羃為丙壬直角方形與丙庚等併為巳辛庚
　　磬折形為實次倍丙丁較線為辛巳線以為辛巳線以為法除實即得甲丙線也
　　又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸適與水面齊問水深幾何曰一丈二尺術半池為勾出水一尺為股較引葭至岸為水深為股
　　又式開門去閫一尺兩門不合二寸問門每扇廣幾何曰五尺零五分術去閫一尺為勾不合二寸半之為股較門閫之半為股門廣為〈門廣併不合之半為〉
　　又式垣髙一丈倚木齊垣木脚去本以畫記之臥而過畫一尺問畫去牆幾何曰四丈九尺五寸加過畫一尺為木長術垣高為勾過畫一尺為股較木長為畫去牆為股
　　又式圓木鋸深一寸道長一尺問木徑幾何曰二尺六寸術木徑為鋸道為勾鋸深為半股較半勾自乗得二尺五寸半較除之又加半較
　　得徑為
　　通曰圓内截弧矢求圓徑也甲丙與甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙為全較故丁戊為半較也〈按此條圖説有誤處〉
　　股與勾較求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之較為甲丁十八問乙丙勾幾何甲丙幾何曰乙丙勾二十七甲丙四十五術股自乗得一千
　　二百九十六較除之得七十二為勾和和内減較餘五十四折半二十七為勾和外加較得九十折半四十五為
　　通曰勾與股較求股之第二術第三術此亦可用第一術論曰股羃為甲巳直角方形以較而一為甲辛
　　直角形即得甲壬邊與乙丙丙甲勾
　　和等何者甲丙羃之甲丑直角方形
　　内當函一股羃一勾羃試於甲丑形内
　　截取子卯丑辰邊各與甲丁較線等
　　即卯丑辰丙俱與等乙丙勾之丁丙線等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四邊皆與勾等勾羃也即甲夘夘辰兩形當與股羃等亦當與甲辛形之甲壬邊與勾和等
　　第二術論曰股羃為甲戊直角方形較羃為丁庚直角
　　方形與辛癸等相減存甲壬戊磬折
　　形為實次倍甲丁較線為乙寅線以
　　為法除實即得乙子直角形與甲壬
　　戊磬折形等何者乙子直角形加一
　　等較羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即與股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形内當函一勾羃一股羃試於甲辰形内截取丁庚較羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三線各與甲丁較線等庚申未戌未辰午酉四線各與等乙丙勾之丁丙線等夫未酉酉戌并與勾等即申未未酉并亦與勾等而庚申未辰各與勾等即庚未未午兩形并為勾羃而丁庚午丁兩形并為股羃矣丁戌戍酉兩較也乙夘夘寅亦兩較也而丁丙與乙丙原等即丁午乙子兩形等丁庚與乙丑兩形又等即丁庚午丁并與子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形與股羃之甲戊形等此兩率者各減一等較羃之辛癸乙丑形即乙子直角形與甲壬戊磬折形等
　　通曰甲乙股羃之甲戊直角方形與甲丁較羃之丁庚直角方形并為巳癸卯磬折形也此第三術也
　　與勾股較求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之較為甲丁九問乙丙勾幾何甲乙股幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六術自乗得二千零
　　二十五倍之得四千零五十較自乗得八十一相減餘三千九百六十九為實平方開之邊得六十三為勾股和和外加較得七十二半之得三十六為股和内減較餘五十四半之得二十七為勾二術較自乗得八十一折半得四十零五與自乗二千零二十五相減餘一千九百八十四五折半得九百九十二二五開平方邊得三十一五減半較四五餘二十七為勾三十一五加半較四五得三十六為股
　　第一術論曰羃為甲戊直角方
　　形倍之為己丙直角形較羃為甲
　　庚直角方形與甲辛等相減即得
　　減甲辛形之己辛丙磬折形也今欲顯己辛丙磬折形開方而得勾股和者試察甲丙上直角方形與甲乙乙丙上兩直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙兩羃内有兩甲乙羃兩乙丙羃也故以己丙為實開方即得丑辰直角方形其丑寅與夘辰兩形兩股羃也丙壬與癸子兩形兩勾羃也而丑寅夘辰之間則重一等甲辛之夘寅形減之即丑辰直角方形與己辛丙磬折形等矣乙丙為勾丙丑與甲乙等故乙丑邊即勾股和也若於乙丙勾加甲丁較即與甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之為甲乙股以甲丁較減甲乙股為乙丙勾
　　通曰第二術較羃為甲辛直角方形
　　半之為甲戊直角形與甲庚直角形
　　等羃為甲壬直角方形減較羃半
　　甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
　　午未磬折形與辰子丙磬折形等而子未直角方形與甲午直角方形等也癸午未磬折形開方得丑寅直角方形與辰子丙磬折形開方得卯乙直角方形等也即得丑乙線與巳乙線等而丑丙線與甲巳線等即半較線也乙丑線内減等半較之丑丙線得乙丙勾己乙線外加半較甲巳線得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故於甲壬直角方形内減等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅兩直角方形也
　　勾與股和求股法
　　式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一問甲乙股幾何甲丙幾何曰甲乙股三十六甲丙四十五術勾自乗得七百二十九
　　股和八十一除之得九為股較較加和八十一得九十半之得四十五為較減和八十一餘七十二半之得三十六為股二術勾自乗與和自乗六千五百六十一相減餘五千八百三十二為實倍和得一百六十二為法除之得三十六為股三術勾和各自乗相併得七千二百九十為實倍和為法除之得四十五為通曰第二術減餘第三術併後若俱折半為實即以和為法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八與和自乗相減餘五千一百零三為實以和八十一除之得六十三為勾股和減勾餘股以股減八十一餘
　　第一術形論同勾與股較求股第一術
　　通曰第二術以股和作庚乙一直線自之為乙丁直角方形次用股度相減取辛甲兩點從辛從甲作辛壬甲癸兩平行線依此法作戊子丑巳兩平行線即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬較股矩内直角形四寅辰較羃一也
　　今欲於丁乙全形中減一乙丙勾之羃則於庚辰羃内存庚寅股羃而減丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内當函一股羃一勾羃也又戊午與午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形於丁乙全形内減之餘庚壬甲夘兩形并又半得甲夘形為實〈倍法不如折實〉以等股和之乙夘線為法除之得甲乙股通曰第三術勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
　　又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺問折處髙幾何曰四尺又二十分尺之十一術竹高為股和去根三尺為勾折處為股
　　股與勾和求勾法
　　式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二問乙丙勾幾何甲丙幾何曰乙丙勾二十七甲丙四十五術股自乗得一千二百九
　　十六和七十二除之得十八為勾較較減和餘五十四半之得二十七為勾較加和得九十半之得四十五為
　　通曰勾與股和求股之第二術第三術此亦可用第一術形論同股與勾較求勾第一術第二術形論同勾與股和求股第二術
　　與勾股和求勾股法
　　式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三問甲乙股幾何乙丙勾幾何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七術自乗得二千零二十五倍
　　之得四千零五十與和自乗得三千九百六十九相減餘八十一為實平方開得九為勾股較較減和餘五十四半之得二十七為勾較加和得七十二半之得三十六為股
　　通曰和各自乗相減又減自乗餘開方得較亦合論曰以勾股和作甲丁一直線自之為甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳兩股羃乙寅庚壬兩勾羃而甲辛癸巳之間重一癸辛直
　　角方形夫甲丙之羃既與勾股兩羃并等以減甲巳形内之甲辛乙寅兩形即所存戊辛寅磬折形少於羃者為癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也則丑辛較也
　　勾較與股較求勾股法
　　式甲乙勾較十八戊丙股較九問乙丙勾甲乙股甲丙各幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五術勾較十
　　八與股較九相乗得一百六十二倍之得三百二十四為實開平方得十八為和較加勾較十八得三十六為股和較加股較九得二十七為勾用勾股求法得四十五為或以勾較十八并勾得或以股較九并股得
　　論曰股較甲丁九自之得八十一為己庚直角方形勾較乙戊十八自之得三百二十四為辛壬直角方
　　形兩羃并得四百零五以九減十
　　八餘九即勾股較自之得八十一
　　為乾兌直角方形元設兩較互乗
　　為癸戊子丑兩直角形并得三百
　　二十四以減四百零五亦得八十
　　一何以知之癸戊子丑三百二十
　　四為實開方得十八之寅夘直角方形邊則和較也凡直角三邊形之羃必與勾股兩羃并等甲乙丙既直角形則甲乙乙丙兩羃并必與甲丙羃等今於甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直線以此三和線作一三邊形即甲申上之
　　甲酉直角方形必不等於丙午上
　　之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
　　直角方形并而此不相等之較必
　　勾股較羃之八十一也何者若於
　　甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
　　元設勾股勾股分之即甲酉形
　　内有羃一股羃一勾羃一股矩内形二勾矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有羃一股羃一股矩内形二丙戌形内有羃一勾羃一勾矩内形二次以甲酉内諸形與乙亥丙戍内諸形相當相抵則甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存羃一次以此兩存形相當相抵則一羃之大於兩勾股矩内形必勾股較羃之
　　八十一也何者一羃内函一勾羃一股羃今試如上圖任作一甲乙羃其乙丙為勾羃則丁丙戊磬折形必與股羃等乙巳為股羃則丁巳戊磬折形必與勾羃等次以乙庚辛壬兩勾股矩内形輳一角依角旁兩邊縱横交加於羃之上即得勾股之較羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃補其等勾羃之丁己戊磬折形則甲乙羃之大於乙庚辛壬兩勾股矩内形必丙巳勾股較羃矣故知第二圖乙亥或丙戌内與甲酉内兩存形之較必勾股較羃之八十一也則乙亥丙戍兩形并其大於甲酉形亦勾股較羃之八十一也今於第一圖辛壬較羃内減勾股較羃八十一之乾兊直角方形其所存乾離震兌兩餘方形及離震己庚兩直角方形并必與癸戊子丑兩形并等次以癸戊子丑兩形開方為寅夘形則減寅夘之甲酉形與減辛壬之丙戌形減巳庚之乙亥形并必等而減寅夘之甲酉形内元有羃如甲寅者四有偕寅卯形邊矩内形如寅未者四減辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾較矩内形如辛坎者四減巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股較矩内形如甲己者四今以四羃當四勾羃四股羃則甲己辛坎兩形并必與寅未形等甲丙與未申等也丙申勾股和也則兩間等寅卯形邊之丙未不得不為和較矣既得丙未十八為和較即以元設丙較相加可得勾股各數也何者未申也未艮勾較也艮申勾也丙申勾股和也於丙申勾股和減艮申勾則丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股較也坤甲股也未甲勾股和也於未甲勾股和減坤甲股則未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲則也又式户不知髙廣竿不知長短横之不出四尺縱之不出二尺斜之適岀問髙廣斜各幾何曰髙八尺廣六尺斜一丈術横不出四尺為勾較縱不出二尺為股較
　　股和與勾和求勾股法
　　式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二問乙丙勾甲乙股甲丙各幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五術股和八十一與勾和七十二相乗得五千
　　八百三十二倍之得一萬一千六百六十四為實開平方邊得一百零八為和和減勾和餘三十六為股和和減股和餘二十七為勾用勾股求法得四十五為
　　論曰兩和相乗為乙巳
　　直角形倍之為丁戊直
　　角形以為實平方開之
　　得己庚直角方形與丁
　　戊等即其邊為和和
　　者何也丁戊全形内有羃二股矩内形勾矩内形勾股矩内形各二與己庚全形内諸形比各等獨丁戊形内餘一羃己庚形内餘一勾羃一股羃并二較一亦等即己庚方形之各邊皆和和
　　勾與較和求股法〈較和者與勾股較和也〉
　　式勾二十七與勾股較和五十四問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾和并得八十一為股和除實得九為股較加股和得九十半之得四十五為股較減股和得七十二半之得三十六為股
　　勾與股較和求股法〈股較和者股與勾較和也〉
　　式勾二十七股與勾較和五十四問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與較和法葢與勾股較和為五十四股與勾較和亦五十四也
　　股與較和求勾法〈較和者與勾股較和也〉
　　式股三十六與勾股較和五十四問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減和餘十八為勾較除實得七十二為勾和加勾較得九十半之得勾和減勾較餘五十四半之得勾
　　股與勾較和求勾法〈勾較和者勾與股較和也〉
　　式股三十六勾與股較和三十六問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰股自乗得一千二百九十六為實股與和并得七十二為勾和除實得十八為勾較加勾和得九十半之得勾較減勾和餘五十四半之得勾
　　與勾較和求勾股法〈勾較和者勾與股較和也〉
　　式四十五勾與股較和三十六問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實與和并得八十一與實相減餘三千九百六十九開平方得六十三為勾股和又以和并八十一開平方得九為勾股較加勾股和得七十二半之得股勾股較減勾股和餘五十四半之得勾〈按此法當取勾股較今用和并盖數偶合非法也〉
　　與股較和求勾股法〈股較和者股與勾較和也〉
　　式四十五股與勾較和五十四問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗倍之得四千零五十為實與和相減餘九又自乗得八十一與實相減餘三千九百六十九下同與勾較和求勾股法勾與和和求股法〈和和者與勾股和和也〉
　　式勾二十七與勾股和和一百零八問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減和餘八十一為股和除實得九為股較減股和餘七十二半之得股股較加股和得九十半之得
　　勾與股和和求股法〈股和和者股與勾和和也〉
　　式勾二十七股與勾和和一百零八問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與和和法葢和皆一百零八也
　　股與和和求勾法〈和和者與勾股和和也〉
　　式股三十六與勾股和和一百零八問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減和得七十二為勾和除實得十八為勾較減勾和餘五十四半之得勾勾較加勾和得九十半之得
　　股與勾和和求勾法〈勾和和者勾股和和也〉與
　　式股三十六勾與股和和一百零八問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰同股與和和法葢和數相同也
　　與勾和和求勾股法〈勾和和者勾與股和和也〉
　　式四十五勾與股和和一百零八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實減和餘六十三為勾股和又自乗得三千九百六十九與實相減餘八十一開平方得九為勾股較減勾股和餘五十四半之得勾勾股較加勾股和得七十二半之得股
　　與股和和求勾股法〈股和和者股與勾和和也〉
　　式四十五股與勾和和一百零八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同與勾和和法蓋和數相同也
　　勾與和較求股法〈和較者與勾股和較也〉
　　式勾二十七與勾股和較十八問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減較餘九為股較除實得八十一為股和加股較得九十半之得股和減股較餘七十二半之得股又式勾股田一段内容圓池一口徑六步只云勾八步問股各幾何曰股十五步十七步術容圓徑即和較勾與股和較求股法〈股和較者股與勾和較也〉
　　式勾二十七股與勾和較三十六問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與和較法葢以勾減與勾股和較十八餘九以勾減股與勾和較三十六餘亦九也股與和較求勾法〈和較者與勾股和較也〉
　　式股三十六與勾股和較十八問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減較餘十八為勾較除實得七十二為勾和加勾較得九十半之得勾和減勾較餘五十四半之得勾股與勾和較求勾法〈勾和較者勾與股和較也〉
　　式股三十六勾與股和較五十四問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰同股與和較法葢以股減與勾股和較十八餘十八以股減勾與股和較五十四餘亦十八也與勾和較求勾股法〈勾和較者勾與股和較也〉
　　式四十五勾與股和較五十四問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實減較餘九為勾股較又自乗得八十一與實相減餘三千九百六十九開平方得六十三為勾股和加勾股較得七十二半之得股勾股和減勾股較餘五十四半之得勾與股和較求勾股法〈股和較者股與勾和較也〉
　　式四十五股與勾和較三十六問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同與勾和較法葢以減勾與股和較五十四餘九以減股與勾較三十六餘亦九也勾與較較求股法〈較較者與勾股較較也〉
　　式勾二十七與勾股較較三十六問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減較較餘九為股較除實得八十一為股和減股較餘七十二半之得股股和加股較得九十半之得
　　勾與股較較求股法〈股較較者股與勾較較也〉
　　式勾二十七股與勾較較十八問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與較較法葢以勾減較較三十六餘九以勾減股較較十八餘亦九也
　　股與較較求勾法〈較較者與勾股較較也〉
　　式股三十六與勾股較較三十六問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股并較較得七十二為勾和除實得十八為勾較加勾和得九十半之得勾較減勾和餘五十四半之得勾股與勾較較求勾法〈勾較較者勾與股較較也〉
　　式股三十六勾與股較較十八問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰股自乗得一千二百九十六為實股減勾較較餘十八為勾較除實得七十二為勾和下同股與較較法
　　與勾較較求勾股法〈勾較較者勾與股較較也〉
　　式四十五勾與股較較十八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實并勾較較得六十三為勾股和又自乗得三千九百六十九與實相減餘八十一開平方得九為勾股較加勾股和得七十二半之得股勾股較減勾股和餘五十四半之得勾與股較較求勾股法〈股較較者股與勾較較也〉
　　式四十五股與勾較較十八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同與勾較較法葢較數相同也通曰和較變窮而勾股之用無窮形同法異形異法同非精義不能入神也
　　有積〈勾股之二〉
　　有積勾股較求勾股法
　　式有積九百七十二勾股較為甲戊九問勾股各幾何曰勾二十七股三十六四十五術較自乗得八十一積四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九開平方得六十三為
　　勾股和加較九得七十二半之得股勾股和減較九餘五十四半之得勾求得二術積較為從方開之得勾較為減從方開之得股〈俱詳少廣〉又以積二因得一千九百四十四加較自乘八十一得二千零二十五開方得
　　通曰子較羃也丑　　　　通曰子較羃也
　　寅卯辰四因積也　　　　丑寅并與卯等
　　各邊皆勾股和　　　　　二因積也合之
　　為羃
　　通曰較為從方者九回二十七得二
　　百四十三為較勾矩以減積九百七
　　十二餘七百二十九為勾羃較為減
　　從方者九回三十六得三百二十四為較股矩以并積九百七十二得一千二百九十六為股羃
　　有積勾股和求勾股法
　　式有積九百七十二勾股和為丙乙乙甲六十三問勾股各幾何曰勾二十七股三十六四十五術積四因得三千八百八十八
　　和自乗得三千九百六十九相減餘八十一開平方得九為勾股較加和得七十二半之得股勾股較減和餘五十四半之得勾勾股求得二術積二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相減餘二千零二十五開平方得
　　有積求勾股法
　　式有積四百八十六為甲丙四十五問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術積四因得一千九百四十四自乗得二千零二十
　　五相減餘八十一開平方得九為勾股較又以積倍之得九百七十二以較九為從方開之得勾勾求得股通曰以較為減從方開之亦得股
　　有率〈勾股之三〉
　　勾與股率勾和率求股法
　　式勾十股率三勾和率七問股各幾何曰股一十零五一十四五術以勾和率自乗得四十九為勾和準以股率自乗得九并勾和準得五十八折半得二十九為準二率相乗得二十一為股準以準二十九減勾和準四十九餘二十為勾準以準二十九乗勾一十得二百九十以勾準二十除之得一十四五為以股準二十一乗勾一十得二百一十以勾準二十除之得一十零五為股
　　通曰此遲速相較也速巳七遲止三為率速者於乙至丙又於丙至申遲者於
　　乙至甲同在乙起同至甲㑹也〈按此圖應在又式後〉
　　又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙東行甲南行十步斜向東行㑹乙問各行幾何曰甲南行斜行共二十四步半乙東行十步半術甲南行勾也斜行也又東行股也甲行七勾和率也乙行三股率也
　　容方與勾股率求勾股法
　　式容方徑一千五百股率三勾和率五問勾股各幾何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五術以勾和率自乗得二十五為勾和準股率自乗得九并勾和準得三十四半之得十七為準二率相乗得十五為股準以準十七減勾和準二十五餘八為勾準以勾準乗容方徑得一萬二千以股準十五除之得餘勾八百加容方徑得二千三百為勾以準十七乗勾二千三百得三萬九千一百以勾準八除之得四千八百八十七五為以股準十五乗勾二千三百得三萬四千五百以勾準八除之得四千三百一十二五為股
　　通曰此亦遲速相較也速五遲三速
　　於乙過丙至甲遲於乙至甲同在乙
　　起同至甲㑹乙戊乙巳皆容方徑方
　　也乙過戊至丙勾也戊丙餘勾也乙過丙至甲勾和也乙過巳至甲股也己甲餘股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也〈按此圖應在又式後〉
　　又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙東行率三甲南行率五乃斜磨邑東南角與乙㑹問各行幾何曰甲南行二千三百步〈邑中一千五百步南門外八百步〉斜行四千八百八十七步半乙東行四千三百十二步半〈邑中一千五百步東門外二千八百十二步半〉術南行勾也南門外餘勾也斜行也東行股也東門外餘股也邑中至門皆容方徑也甲行五勾和率也乙行三股率也
　　容方〈勾股之四〉
　　勾股容方法
　　式勾二十七股三十六問丁戊容方徑幾何曰丁戊容方徑一十五四二八術勾股相乗得九百七十二為實勾股相并得六十三為
　　法除實得一十五四二八為容方徑即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
　　論曰甲乙股乙丙勾相乗為實即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并為法即成甲戊線除實得戊巳邊
　　十五四二八即成甲戊己庚直角
　　形等甲乙丙丁形而己庚邊截乙
　　丙勾於癸截甲丙於壬成乙辛
　　壬癸滿勾股之直角方形何者甲乙丙丁與甲戊己庚兩形互相視即甲乙與甲戊若乙癸與乙丙分之即甲乙與乙戊若乙癸與癸丙是甲乙與乙丙亦若乙癸與癸丙也又甲辛與辛壬若壬癸與癸丙更之即甲辛與壬癸若辛壬與癸丙也而辛乙與壬癸等乙癸與辛壬等則甲辛與辛乙若乙癸與癸丙矣夫甲乙與乙丙既若乙癸與癸丙而甲辛與辛乙又若乙癸與癸丙則甲乙與乙丙亦若甲辛與辛乙而乙辛壬癸為滿勾股之直角方形
　　通曰勾股稍近者容方大勾股懸逺者容方小
　　又簡論曰如前圖以甲乙戊為法而除甲丙實既得甲庚戊己各與方形邊等今以等甲乙戊之丙乙戊為法而除甲丙實得庚丙戊己亦各與方形邊等則辛乙癸壬
　　為直角方形
　　容圓〈勾股之五〉
　　勾股容圓法
　　式甲乙股六百乙丙勾三百二十問丁乙容圓徑幾何曰丁乙容圓徑二百四十術勾股相乗得一萬九千二百倍之得三萬八千四
　　百為實别以勾股求得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百為法除實得二百四十為容圓徑即乙至丁也子丑寅夘皆與乙丁等
　　通曰容圓徑即和較也勾股和求減和餘亦容圓徑也
　　論曰甲乙
　　股乙丙勾
　　相乗即甲
　　乙丙丁直
　　角形倍之
　　為實即丙
　　丁戊巳直角形求得甲丙并勾股得一千六百於甲乙線引長之截乙庚與勾等庚辛與等得甲辛為和和線以為法除實得辛壬邊二百四十即成甲辛壬癸直角形與丙丁戊己形等而壬癸邊截乙丙勾於子次從子作子丑寅乙直角方形即此形之各邊皆為容圓徑何者謂於甲乙丙三邊直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰線與乙子子丑丑寅寅乙諸邊皆為切圜線也又何以顯此五邊之切圜線試於甲乙丙形上復作一丙午未直角三邊形交加其上其午丙與乙丙等未午與甲乙等未丙與甲丙等即兩形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形與乙子丑寅直角方形等次於戍酉線引之至亥又成甲戌亥直角三邊形以甲為同角交加於甲乙丙形之上亦以午申酉戍為容圓徑次於亥戍寅丑兩線引之遇於乾又成乾寅亥直角三邊形以亥為同角交加於甲乙丙形之上亦以乙子丑寅為容圓徑次作丙兑線遇諸形之交加線於離於兑次作甲震線遇諸形之交加線於㢲於震次作亥辰線遇諸形之交加線於坎於辰次作未乾線遇諸形之交加線於艮於卯而四線俱相遇於坤夫午丙與乙丙兩線等而減相等之午戌乙子即戌丙與子丙必等丙離同線丙戍離丙子離又等為直角戍離丙子離丙又俱小於直角即丙離戌丙離子兩三角形必等而兩形之各邊各角俱等則丙兑線必分甲丙未角為兩平分矣又子離與戍離兩邊既等子離震戌離卯兩交角又等夘戌離震子離又等為直角即卯離戍離震子之各邊各角俱等而兩形亦等又子離與離戍兩邊既等離卯與離震兩邊又等即子卯與戍震兩邊亦等子丑與戌酉各為相等之直角方形邊必等而各減相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉兩角又各為離夘戌離震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等為直角即卯丑辰震酉坎之各邊各角俱等而兩形亦等依顯午㢲辰與坎艮乙之各邊各角俱等而兩形亦等㢲寅兑與兑艮申之各邊各角俱等而兩形亦等又子丙戌丙之數各八十乙子戌午各二百四十以諸率分數論之則丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二則減丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙則一百七十也次減丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌離兩三角形之辰丑卯離戍卯既等為直角丑卯辰戍夘離兩交角又等丑卯與戌夘復等即兩形必等而其各邊各角俱等依顯子離震與震酉坎兩形亦等依顯諸形之交角者皆相等其連角如酉亥坎乙亥坎兩形亦等而子離離戌皆四十八也則酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙與戌酉等子丙與酉亥復等則乙丙與戌亥必等而甲為同角甲乙丙甲戌亥又等為直角則甲乙丙甲戌亥之各邊各角俱等而兩形亦等甲亥與甲丙既等各減相等之丙戌乙亥又減相等之乙寅戌午即甲寅與甲午必等夫甲㢲午甲㢲寅兩形之甲寅甲午既等甲㢲同線甲午㢲甲寅㢲又等為直角即兩形必等而各邊各角俱等是甲震線必分丙甲亥角為兩平分也甲乙丙一形内既以丙兑線分甲丙乙角為兩平分又以甲震線分丙甲乙角為兩平分而相遇於坤則以坤為心甲乙為界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五邊而為甲乙丙直角三邊形之内切圜即乙丑直角方形之各邊為容圓徑展轉論之則各大直角三邊形内之分角線皆分本角為兩平分皆遇於坤而坤心圜為各形之内切圜即兩直角方形邊為各勾股形内之容圓徑通曰容方容圓勾股測算之樞機也先衍其㮣於此詳後二卷











　　數度衍卷六



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷七
　　桐城　方中通　撰
　　測量〈勾股之六〉
　　容方與餘勾求餘股法
　　式容方徑為丁乙一百五十餘勾為丁丙三十問甲戊餘股㡬何曰七百五十術以容方徑自乗得二萬二千五百為實以餘勾為法除實
　　得七百五十為餘股
　　容方與餘股求餘勾法
　　式容方徑一百五十餘股七百五十問餘勾㡬何曰三十術容方徑自乗得二萬二千五百為實以餘股為法除實得三十為餘勾
　　又式邑方二百步四面居中開門東門外十五步有木問出南門㡬步見木曰六百六十六步六分步之一術半邑方為容方東門外為餘勾南門外為餘股
　　測髙式欲測甲乙之髙去乙二十五尺立表於丙為丁丙髙一丈却後五尺立戊戊己髙四尺使目在己視表末丁與甲為一直線問甲乙髙㡬何曰四十尺術以丁丙表髙十尺減戊巳目髙四尺餘丁辛六尺以乗庚辛二十五尺〈與乙丙等〉
　　得一百五十尺為實以丙戊五尺為法除實得甲壬三十尺加表髙十尺得四十尺為甲乙之髙
　　通曰丁辛容長方徑也丁壬庚辛容長方形也辛巳〈與丙戊等〉餘勾也甲壬餘股也容方則徑自乗容長方則横徑直徑相乗也
　　測深式甲乙丙丁井欲測其深井徑甲乙五尺立戊甲表於井口髙五尺従戊視丙截甲乙徑於己甲已四寸
　　問井深㡬何曰五丈七尺五寸術以
　　井徑五尺減甲巳四寸餘己乙四尺
　　六寸以乗戊甲五尺得二千三百寸為實以甲已四寸為法除實得甲丁深五丈七尺五寸
　　通曰己乙容長方徑也戊辛餘勾也乙丙餘股也測逺式欲測甲乙之逺立乙丙巳丁四表成直角方形
　　丁乙與甲為直線每表相去一丈
　　乃於己表之右戊上視丙表與甲
　　為直線戊巳三寸問逺幾何曰三十三丈三分丈之一術乙丙自乗得一萬寸為實以戊巳三寸為法除實得甲乙逺三十三丈三分丈之一
　　通曰乙丙容方徑也戊已餘勾也甲乙餘股也
　　又式欲測甲乙之逺立丙乙表髙十尺目従戊過丙視甲作直線目去表末為戊巳三寸人離表為己丙十尺問逺幾何曰三十三丈三分丈之一術以人離表一百寸乗表髙一百寸得一萬寸為實以目去表三寸為法除實得逺此與右法同但彼用四
　　表此用一表為㨗耳丙乙容方徑也戊巳餘勾也甲乙餘股也
　　餘勾餘股求容方法
　　式丙丁餘勾三十甲戊餘股七百五十問丁乙容方徑幾何曰一百五十術餘勾餘股相乗得二萬二千五百為容方積開平方得一百五
　　十為丁乙徑
　　又式邑不知大小四中開門北門外三十步有木出西門七百五十步見木問邑方㡬何曰三百步術通曰北門外為餘勾西門外為餘股半邑方為容方徑也
　　兩餘勾與股求容方法
　　式丙丁餘勾二十戊乙餘勾十四甲乙股一千七百七十五問丁戊容方徑幾何曰二百五十術以丙丁餘勾乗股得三萬五千五百倍之得七萬一千為實并二餘勾得三十四為從方開之横
　　得二百八十四為乙丙勾直得二百五十為丁戊容方徑
　　又式邑方不知大小邊東開門北門外二十步有木出南門十四步折而西行一千七百七十五步斜見木問邑方幾何曰二百五十步術通曰北門外二十步一餘勾也南門外十四步一餘勾也西行股也邑方容方徑也
　　小勾股與大勾求大股法
　　式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五問甲乙大股㡬何曰一千二百五十術以大勾為實以小勾為法除實得大
　　股
　　通曰小股一百此法極便如二百三百者先以小股乗大勾為實用異乗同除法也〈見九章外法〉
　　測高式塔不知髙量其影従塔心至影末長三丈一尺二寸五分别立一表髙一丈影長二尺五寸問塔髙㡬何曰十二丈五尺術通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股
　　又式八尺之表以測日影表去日下六萬里表影長六尺問日髙幾何曰八萬里術通曰六萬里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一億八百萬尺表八尺小股也表影六尺小勾也日髙八萬里大股也用異乗同除法〈即三纍法〉以小股乗大勾為實以小勾為法除之或以大勾為實以小股除小勾得每尺影七寸五分為法除實皆得日髙也
　　又式欲測甲乙之髙以平鏡依地平線置丙人依地平線立丁目在戊見甲在鏡中心丙處丙至乙十尺丙至丁二尺目髙四尺問甲乙髙幾何曰二丈術通曰乙丙大勾也丙丁小
　　勾也戊丁小股也
　　測廣式日逺人十萬里不知日徑以徑寸長八尺竹筒對日於竹筒視之空正掩日問曰徑幾何曰一千二百五十里術通曰日逺人大勾也徑寸小勾也筒長八尺小股也
　　測逺式欲測甲乙之逺立一丙兩表從丙斜退至丁目望丁丙甲成一直線乃作丙丁戊直角以此測之術通
　　曰丁角與乙角等直角也
　　乙丙線與丁戊線相遇於
　　戊故以丙丁小勾比乙丙
　　大勾戊丁小股比甲乙大股也
　　兩餘勾兩破股小股求大勾大股法
　　式戊已丁丙兩餘勾各十二〈相等〉丙庚小破股六十己辛
　　火破股一百己丙小股八十問甲乙
　　勾幾何乙丙股幾何曰大勾三十六
　　大股一百二十術通曰以小股八十
　　乗餘勾十二得九百六十為勾實以
　　小股八十乗小破股六十得四千八百為股實小破股六十與大破股一百相減餘四十為法以法除勾實得二十四加餘勾十二得三十六為大勾以法除股實得一百二十為大股
　　測髙逺式欲測甲乙之髙乙丙之逺用重表法先立丁丙表髙十尺却後立於戊去丙五尺目在己已戊髙四尺視表末丁與甲為直線次從前表丙却後十五尺立癸壬表亦髙十
　　尺〈兩表等〉又却後立於子去壬八尺目在丑丑子亦髙四尺〈兩目等〉從目視癸甲亦直線問甲乙髙幾何乙丙逺幾何曰髙四十尺逺二十五丈術以表髙十尺減目髙四尺餘六尺即丁寅〈癸辛等〉與兩表相去之壬丙十五尺相乗得九十尺為髙實以兩次人去表之己寅丑辛相減餘卯辛三尺為法除髙實得甲辰三十尺加表髙十尺得甲乙高四十尺以丙戊五尺與兩表相去之壬丙十五尺相乗得七十五尺為逺實以法三尺除之得乙丙逺二十五尺
　　通曰丁丙癸壬兩餘勾也丙戊小破股也壬子大破股也壬丙小股也髙大勾也逺大股也
　　測深廣式有甲乙丙丁壁立深谷欲測甲乙之廣乙丙之深用重矩法先立辛甲表與甲丁參直又立癸己表兩表甲巳相去六尺從辛甲表視己丙作直線截表於庚庚甲髙五尺又従辛甲表視辛癸丙作直線兩表相較得辛壬髙八尺壬甲髙一丈五尺問深廣各幾何曰乙丙深二
　　十五尺甲乙廣三十尺術以小表一丈五尺乗兩表相去甲己六尺得九十尺為廣實庚甲與辛壬相減餘辛子三尺為法除廣實得甲乙廣三十尺以小表一丈五尺乗庚甲五尺得七十五尺為深實以法三尺除之得乙丙深二十五尺
　　通曰甲巳癸壬兩餘勾也庚甲小破股也辛壬大破股也壬甲小股也廣大勾也深大股也
　　測髙逺式樹二表各髙八尺南北相去二千里以測日影夏至之日南表影長六尺北表影差二寸問曰髙逺各幾何曰髙八萬里日下去南表六萬里南表之端斜至日十萬里術
　　二表兩餘勾也北表影南表影兩破股也南北相去小股也日下去南表大股也日髙大勾也斜至曰也
　　測勾破勾兩測股求大勾大股法
　　式丙丁測勾四十三二丙巳破勾十丙戊小測股十四
　　八丙壬大測股六十四八問大勾大
　　股各幾何曰甲乙大勾二千五百乙
　　丙大股三千六百八十五二術通曰以測勾四十三二減破勾十餘三十三二乗小測股十四八得四千九百一十三六為勾實以大測股六十四八乗破勾十得六千四百八十以測勾四十三二除之得十五為景差又以大測股六十四八減景差十五餘四十九八以小測股十四八乗之得七千三百七十○四為股實以小測股減景差餘二為法以法除勾實得二千四百五十六八加測勾四十三二得二千五百為大勾以法除股實得三千六百八十五二為大股
　　測廣逺式方城不知大小立兩表東西相去四十三步
　　二分齊人目處以索連之令東表與
　　城東南隅東北隅參直従東表退北
　　行去表十四步八分遥望城西北隅入索東端十步若從東表退北行去表六十四步八分遥望城西北隅適與西表相參合問城方㡬何城去表幾何曰城方二千五百步城去表三千六百八十五步二分術以兩表相去減入索餘三十三步二分以乗東表退行十四步八分得四千九百一十三步六分為廣實以東表大退行六十四步八分乗入索十步得六千四百八十步以兩表相去四十三步二分除之得一十五步為景差又以大退行六十四步八分減景差十五步餘四十九步八分以退行十四步八分乗得七千三百七十步零四分為逺實以退行十四步八分減景差十五步餘二分為法以法除廣實得二千四百五十六步八分加兩表相去四十三步二分得二千五百步為城方〈西至束〉以法除逺實得三千六百八十五步二分為城去表也
　　通曰城方大勾也城去表大股也兩表相去測勾也入索破勾也小退行小測股也大退行大測股也
　　四餘勾兩破股小股破勾求上勾下勾大股法
　　式戊丁壬癸兩大餘勾皆一百五十庚辛子丑兩小餘勾皆四十癸丁小股四千戊已破勾五十六丁辛小破股一千五百癸丑大破股二千五百問上勾下勾大股
　　各㡬何曰甲乙上勾二百八十乙丙
　　下勾三百一十丙丁大股六千術通
　　曰以小股四千乗破勾五十六得二
　　十二萬四千為上勾實以大餘勾一
　　百五十減小餘勾四十及破勾五十六餘五十四乗小股四千得二十一萬六千為下勾實以小破股一千五百與大破股二千五百相減餘一千為法以法除上勾實得二百二十四加破勾五十六得二百八十為甲乙上勾以法除下勾實得二百一十六加大餘勾一百五十得三百六十六減破勾五十六得三百一十為乙丙下勾又以大餘勾減小餘勾餘一百一十乗小股得四萬四千為大勾實以法除之得四百四十加大餘勾得五百九十為甲丙大勾以小股乗小破股得六百萬為大股實以法除之得六千為丙丁大股
　　通曰此測兩髙與逺也與前兩餘勾兩破股小股求大勾大股法相同但多上勾下勾耳兩大餘勾兩表也兩小餘勾兩人目至足也勾髙也股逺也
　　兩測股兩破勾測勾求大勾法
　　式丙丁測勾九百丙戊小測股六百丙庚大測股一千
　　三百五十己丙大破勾四百零二
　　辛丙小破勾一百二十問大勾㡬
　　何曰甲乙大勾三萬術通曰以大
　　測股一千三百五十乗大破勾四百零二得五十四萬二千七百以測勾九百除之得六百零三為景差以與小測股六百相減餘三為法以小測股與大測股相減餘七百五十又乗小破勾一百二十得九萬為實以法除實得三萬為甲乙大勾
　　通曰此測廣也與前測勾破勾兩測股求大勾大股法相同但多乙戊直線耳丙丁兩表也戊庚兩目望也勾廣也
　　勾股互求髙深廣逺圖説





　　通曰直為髙深横為廣逺勾可以為股股可以為勾以小知大以此知彼惟善測者善用之耳甲乙為股則乙丙為勾酉丙為股則甲酉為勾午丙為股則午庚為勾庚丑為股則丙丑為勾如求甲乙之髙金水作表丙作目求丑丙之逺木土作表甲作目求未丙之深木火作表甲作目求甲酉之廣日月作兩表丙丁為目斜望用異乗同除三率之法髙深廣逺雖分而合矣
　　附法
　　用矩尺測兩廣法
　　式登山臨邑邑在山南不知廣縦偃矩山上勾髙三尺
　　五寸與邑東南隅東北隅
　　參合從勾端望東北隅入
　　下股一丈二尺隨於入股
　　處横設一矩從勾端望西
　　北隅入横股五尺若望東
　　南隅入下股一丈八尺又重設矩於上相去四丈從勾端望東南隅入上股一丈七尺五寸問邑廣縱幾何曰東西廣二萬寸南北廣二萬四千寸術以勾髙戊子三十五寸乗東南隅入下股庚子一百八十寸得六千三百寸以入上股癸丑一百七十五寸除之得三十六寸與勾髙戊子三十五寸相減餘一寸為法以東南隅入下股庚子一百八十寸與東北隅入下股己子一百二十寸相減餘六十寸以乗兩矩相去丑子四百寸得二萬四千寸為南北實以法除之得南北廣以西北隅入横股辛已五十寸乗兩矩相去丑子四百寸得二萬寸為東西實以法除之得東西廣
　　用矩尺測逺法
　　式欲測甲乙之逺先於甲立丁甲表以矩尺置表末丁矩戊對乙成丁戊乙直線問甲乙逺幾何曰八尺術須視矩丙對何處今對巳為丁丙己直線乃量己甲二尺為法表髙四尺自乗得十六尺為
　　實以除之得八尺為逺
　　用交表測逺法
　　式欲測乙戊之逺先立甲乙表後於庚斜加小表為丙丁以丁對戊為度成庚丁戊直線問乙戊逺幾何曰八尺術須丙丁小表族轉又於丁對
　　處已成庚丁已直線自乙至巳得八尺必與乙戊等
　　用表測斜髙法
　　式欲測甲至丙從丁視甲丙作直線丁乙八尺丁甲十尺乙戊十二尺問甲丙斜髙幾何曰十五尺術以丁乙八尺為法以丁甲十尺與乙戊十二尺相乗得一百二十為實以法除之得十五尺為甲
　　至丙也
　　器測〈勾股之八〉
　　矩度
　　甲丁與甲乙等甲丙斜分乙
　　丙為直景丁丙為倒景以甲
　　乙相對測際眼穿戊己兩耳
　　與其際作直線視權線垂何
　　景何度也今止分十二度若
　　細分更精其兩景别有論解
　　測髙法
　　權線垂丙式髙如己庚景在地平上為庚辛以矩度測之甲對己兩耳與辛巳作直線權線垂丙為髙㡬何術凡權線垂丙者景與髙必等也今辛庚四十五尺則己庚亦四十五尺
　　權線垂直景邊式髙如己庚景如庚辛權線垂乙丙邊之戊乙戊八度庚辛景三十為髙㡬何術以表度十二與庚辛三十相乗得三百六
　　十為實以乙戊八度為法除之得四十五為己庚之髙權線垂倒景邉式髙如己庚庚辛景六十七五權線垂丁丙邊之壬丁壬八度為髙㡬何術以庚辛與丁壬相乗得五百四十為實以表度
　　十二為法除之得四十五為己庚之髙
　　通曰髙大於景權線必垂直景邊髙小於景權線必垂倒景邊
　　測逺法
　　權線垂丙式髙如己庚景如庚辛權線垂丙為景㡬何
　　術己庚四十五則辛庚亦四十五
　　通曰景測髙以甲對髙髙測景以乙對景景逺也
　　權線垂直景邉式己庚髙四十五權線垂戊八度為庚辛景幾何術以己庚與乙戊相乗得三百六十為實以表度十二為法除之得三十為庚
　　辛景
　　權線垂倒景邉式己庚髙四十五權線垂壬八度為庚辛景㡬何術以表度十二與己庚相乗得五百四十為實以丁壬八度為法除之得六十七五為庚辛景
　　以目測髙法
　　於矩度外又用一有度分之表人目切表端矩度亦切表端穿兩耳向測處作直線為度也
　　權線垂丙式髙如己庚表如乙辛髙四尺表端人目從矩度乙甲視巳為直線權線垂丙為髙幾何術乙壬四十五卽巳壬加表髙四尺得四
　　十九為己庚之髙
　　權線垂直景邊式庚辛三十權線垂戊八度為己庚髙幾何術以表度十二乗庚辛得三百六十為實以乙戊八度為法除之得己壬四十
　　五加表髙四得四十九為己庚之髙
　　權線垂倒景邊式庚辛六十七五權線垂壬八度為己庚髙㡬何術以庚辛乗丁壬八度得五百四十為實以表度十二為法除之得己癸四十五加表髙四得四十九為己庚之髙
　　通曰地平線上任意前後至權線直丙而止較便
　　以目測逺法
　　權線垂丙式逺如己庚表如甲巳目在甲權線垂丙為逺幾何術表髙甲巳四尺則己庚亦逺四尺也
　　權線垂直景邊式甲已表髙四尺權線垂戊九度為己庚逺㡬何術以乙戊九度乗表髙四得三十六為實以表度十二為法除之得三尺
　　即己庚之逺
　　權線垂倒景邊式甲巳表髙四尺權線垂壬八度為己庚逺㡬何術以表度十二乗表髙四得四十八為實以丁壬八度為法除之得六尺即己庚之逺
　　通曰測髙目在矩之乙測逺目在矩之甲
　　以目測深法
　　權線垂丙式深如己壬目在甲視甲乙己辛為直線己庚口四尺權線垂丙為深幾何術己壬與己庚等亦四尺也
　　通曰此不另用表而量己庚口者即口濶為表長是前用直表而此用横表也
　　權線垂直景邊式己庚四尺權線垂戊六度為己壬深幾何術以表度十二乗己庚四得四十八為實以乙戊六度為法除之得八尺即己
　　壬之深
　　權線垂倒景邊式己庚四尺權線垂癸九度為己壬深幾何術以丁癸九度乗己庚四得三十六為實以表度十二為法除之得三尺即己壬之深
　　倒景變直景圖說
　　通曰十二其十二得一百四十四以矩度為準也故一度變為一百四十四度以此一百四十四度為實以所值度為法除實即得變度也
　　度線皆起甲端漸移至丁
　　至乙各分十二也
　　通曰倒景過丙丁邊抵丙
　　戊線則變為直景猶之直
　　景過乙丙邊抵丙巳線則
　　變為倒景也倒景十一度
　　直景則為十三度一分倒
　　景十度直景則為十四度四分倒景九度直景則為十六度倒景八度直景則為十八度倒景七度直景則為二十度五分七釐倒景六度直景則為二十四度倒景五度直景則為二十八度八分倒景四度直景則為三十六度倒景三度直景則為四十八度倒景二度直景則為七十二度倒景一度直景則為一百四十四度也以直景推之亦然
　　重矩測髙法
　　通曰測髙而不知逺此求無股之勾也法皆用直景即權線在倒景邊亦變為直景用之
　　皆直景式欲測己庚之髙先立乙辛表目在辛上乙權
　　線垂戊五度又立乙癸表目在癸上
　　乙權線垂子十度兩表相去十尺表
　　髙四尺為髙㡬何術以兩度相減餘
　　五度為法以表度十二乗兩表相去
　　十尺得一百二十為實以法除實得二十四尺即己至壬加表髙四尺得二十八尺為己庚之髙
　　通曰辛表為直景癸表或有倒景之時癸表為直景辛表無不直景矣
　　有倒景式欲測己庚之髙先立乙辛表權線垂戊十一度又立乙癸表權線垂子九度乃倒景也今變作直景為十六度兩表相去二十尺表髙四尺為髙㡬何術以十六度減十一度餘五度為法以表度十二乗兩表相去
　　二十得二百四十為實以法除實得四十八尺即己至壬加表髙四尺得五十二尺為己庚之髙


　　數度衍卷七
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷八
　　桐城　方中通　撰
　　測圓〈勾股之八〉
　　李欒城測圓圖
　　通曰圓於三隅之中
　　方於一圓之外規矩
　　井然而變化莫測故
　　規矩有定之方圓也
　　方圓無定之規矩也
　　名率
　　天地通六百八十　天乾通股六百　乾地通勾三百二十勾股和九百二十　勾股較二百八十　勾和一千　勾較三百六十　股和一千二百八十　股較八十　較和九百六十　較較四百　和和一千六百　和較二百四十
　　天川邊五百四十四　天西邊股四百八十　西川邊勾二百五十六　勾股和七百三十六　勾股較二百二十四　勾和八百　勾較二百八十八股和一千○二十四　股較六百四十　
　　較和七百六十八　較較三百二十　和和一千二百八十　和較一百九十二
　　天山黄廣五百一十　天金黄廣股四百五十　金山黄廣勾二百四十　勾股和六百九十　勾股較二百一十　勾和七百五十　勾較二百七十股和九百六十　股較六十　較和七百
　　二十　較較三百　和和一千二百　和較一　百八十
　　天月大差四百○八　天坤大差股三百六十　坤月大差勾一百九十二　勾股和五百五十二　勾股較一百六十八　勾和六百　勾較二百一十六　股和七百六十八　股較四十八　較和五百七十六　較較二百四十　和和九百六十　和較一百四十四
　　天日上髙二百五十五　天旦上髙股二百二十五旦日上髙勾一百二十　勾股和三百四十五
　　勾股較一百○五　勾和三百七十五　勾較一百三十五　股和四百八十　股較三十較和三百六十　較較一百五十　和和六百　和較九十
　　日地底四百二十五　日北底股三百七十五　北地底勾二百　勾股和五百七十五　勾股較一百七十五　勾和六百二十五　勾較二百二十五　股和八百　股較五十　較和六百較較二百五十　和和一千　和較一百五十
　　日川皇極二百八十九　日心皇極股二百五十五心川皇極勾一百三十六　勾股和三百九十一勾股較一百一十九　勾和四百二十五　勾
　　較一百五十三　股和五百四十四　股較三十四　較和四百○八　較較一百七十和和六百八十　和較一百○二
　　日山下髙　日朱下髙股　朱山下髙勾
　　通曰與上髙率同
　　日月明一百五十三　日南明股一百三十五　南月明勾七十二　勾股和二百○七　勾股較六十三　勾和二百二十五　勾較八十一　股和二百八十八　股較一十八　較和二百一十六　較較九十　和和三百六十　和較五十四
　　月地黄長二百七十二　月泉黄長股二百四十泉地黄長勾一百二十八　勾股和三百六十八勾股較一百一十二　勾和四百　勾較一百四十四　股和五百一十二　股較三十二較和三百八十四　較較一百六十　和和六百四十　和較九十六
　　月川上平一百三十六　月青上平股一百二十青川上平勾六十四　勾股和一百八十四　勾股較五十六　勾和二百　勾較七十二　股和二百五十六　股較一十六　較和一百九十二　較較八十　和和三百二十　和較四十八
　　月山太虚一百○二　月泛太虚股九十　泛山太虚勾四十八　勾股和一百三十八　勾股較四十二　勾和一百五十　勾較五十四　股和一百九十二　股較一十二　較和一百四十四　較較六十　和和二百四十　和較三十六
　　山地小差一百七十　山艮小差股一百五十　艮地小差勾八十　勾股和二百三十　勾股較七十勾和二百五十　勾較九十　股和三百
　　二十　股較二十　較和二百四十　較較一百　和和四百　和較六十
　　山川軎三十四　山東軎股三十　東川軎勾一十六　勾股和四十六　勾股較一十四　勾和五十　勾較一十八　股和六十四　股較四較和四十八　弦較較二十　和和八十
　　和較一十二
　　川地下平　川夕下平股　夕地下平勾
　　通曰與上平率同
　　諸式
　　勾上容圓式〈勾當圓徑之中〉西川邊勾二百五十六天西邊股四百八十求圓徑術勾股相乘得十二萬二千八百八十倍之得二十四萬五千七百六十為實勾股求得五百四十四以并股得一千○二十四為法除實得二百四十為圓徑　勾求圓
　　股求圓可以例推
　　股上容圓式〈股當圓徑之中〉北地底勾二百日北底股三百七十五求圓徑術勾股相乗得七萬五千倍之得十五萬為實勾股求得四百二十五以并勾得六百二十五為法除實得徑　勾求圓
　　股求圓可以例推
　　上容圓式〈當圓徑之中〉坤乾等黄長股二百四十乾艮等黄廣勾二百四十求圓徑術勾股相乗得五千七百六十倍之得一萬一千五百二十為實勾股和得四百八十為法除實得徑　坤艮
　　大圖無
　　勾外容圓式〈圓在勾外〉坤月大差勾一百九十二天坤大差股三百六十求圓徑術勾股相乗得六萬九千一百二十倍之得十三萬八千二百
　　四十為實勾股求得四百○八以并勾股較一百六十八得較和五百七十六為法除實得徑即較較二百四十也
　　股外容圓式〈圓在股外〉艮地小差勾八十山艮小差股一百五十求圓徑術勾股相乗倍之得二萬四千為實勾股求減勾股較得較較一百為法除實得徑即較和二百四十也以加勾股
　　較亦得較和
　　外容圓式〈圓在外〉巽月等太虚勾四十八巽山等太虚股九十求圓徑術勾股相乗倍之得八千六百四十為實勾股求減勾股和餘
　　和較三十六為法除實得徑即和和也以加勾股和亦得和和
　　勾股上容圓式〈勾股角在圓心〉心川皇極勾一百三十六日心皇極股二百五十五求圓徑術勾股相乗倍之得六萬九千三百六十為實勾股求
　　得二百八十九為法除實得徑
　　勾外容半圓式南月明勾七十二日南明股一百三十五求圓徑術勾股相乗倍之得一萬九千四百四十為實勾股求與勾相減餘勾
　　較八十一為法除實得徑若不倍為實即除得一百二十為半徑
　　股外容半圓式東川軎勾十六山東軎股三十求圓徑術勾股相乗得四百八十為實勾股求與股相減餘股較四為法除實得半徑
　　倍得全徑
　　兩勾中夾容圓式乾地通勾三百二十坤月大差勾一百九十二求圓徑術二勾乗得六萬一千四百四十為實二勾相并折半得二百五
　　十六為法除實得徑
　　兩股夾容圓式天乾通股六百山艮小差股一百五十求圓徑術二股乗得九萬為實二股相并折半得三百七十五為法除實得徑
　　大勾小勾容圓式乾地通勾三百二十南月明勾七十二求圓徑術二勾乗得二萬三千○四十為實以明勾七十二為従方開之〈詳少廣〉得
　　半徑倍得全徑
　　大股小股容圓式天乾通股六百山東軎股三十求圓徑術二股乗得一萬八千為實以軎股三十為從方開之得半徑
　　大勾小餘勾容圓式乾地通勾三百二十東川軎勾十六求圓徑術倍軎勾減通勾餘二百八十八以乗通勾得九萬二千一百六十為實
　　四因通勾得一千二百八十與兩軎勾三十二相減餘一千二百四十八為從方四為隅法用負隅減從開平方法除之〈詳少廣〉得半徑
　　大股小餘股容圓式天乾通股六百日南明股一百三十五求圓徑術倍明股減通股餘三百三十以乗通股得十九萬八千為實三因通股得一千八百與兩明股二百七十相減餘一千五百
　　三十為從方作帶從開平方法除之〈詳少廣〉得半徑大勾中勾容圓式乾地通勾三百二十西川邊勾二百五十六求圓徑術倍邊勾減通勾餘一百九十二乗通勾得六萬一千四百四十為
　　實以邊勾為法除得徑
　　大股中股容圓式天乾通股六百白北底股三百七十五求圓徑術倍底股減通股餘一百五十乗通股得九萬為實以底股為法除得徑
　　兩半勾容圓式南月明勾七十二北地底勾二百求圓徑術二勾乗得一萬四千四百為實即半徑冪平方開之得半徑
　　兩半股容圓式山東軎股三十天西邊股四百八十求圓徑術二股乗得一萬四千四百為實平方開之得半徑
　　〈小〉勾半勾容圓式坤月大差勾一百九十二北地底勾二百求圓徑術二勾乗得三萬八千四百為實以底勾二百為從方作帶從開平方
　　法除之得半徑
　　小股半股容圓式天西邊股四百八十山艮小差股一百五十求圓徑術二股乗得七萬二千為實以邊股四
　　百八十為從方開之得半徑

　　半勾餘勾容圓式東川軎勾十六北地底勾二百求圓徑術軎勾自乗得二百五十六為軎勾冪二勾相減餘一百八十四為二勾較又自
　　乗得三萬三千八百五十六為較冪與軎勾冪相減餘三萬三千六百為實倍底勾得四百為從方作減從開平方法除之〈詳少廣〉得半徑
　　半股餘股容圓式天西邊股四百八十日南明股一百三十五求圓徑術二股相減餘三百四十五自乗得十一萬九千○二十五為較冪
　　明股自乗得一萬八千二百二十五為明股冪二冪相減餘一十萬○八百為實倍邊股得九百六十為益從作減從開平方法除之〈益從者長濶和也詳少廣〉得半徑
　　又半勾餘勾容圓式東川軎勾十六南月明勾七十二求圓徑術二勾相減餘自之得三千一百三十六軎勾自之得二百五十六相減餘
　　二千八百八十為實倍明勾得一百四十四為益從作減從翻法開平方法除得半徑
　　又半股餘股容圓式山東軎股三十日南明股一百三十五求圓徑術二股相減餘自之得一萬一千○二十五明股自之得一萬八千二
　　百二十五相減餘七千二百為平實倍軎股得六十為從方作以從減隅開平方法除得半徑或作添積𢃄従開平方法亦可〈詳少廣〉
　　錯互求容圓式天川邊五百四十四日地底四百二十五求圓徑術二相減餘一百一十九自之得一萬四千一百六十一底自之得十八萬○六百二十五相減餘十六萬六千四
　　百六十四為平實倍邊得一千○八十八為從方作帶従開平方法除得平一百三十六即皇極勾以減底餘二百八十九即皇極以皇極勾求出皇極股二百五十五與皇極勾相乗得三萬四千六百八十以皇極為法除之得半徑
　　又式天山黄廣五百一十月地黄長二百七十二求圓徑術并二半之自乗得十五萬二千八百八十一半黄廣自之半黄長自之相并得八萬三千五百二十一與十五萬二千八
　　百八十一相減餘六萬九千三百六十為平實并二得七百八十二為益従作減従開平方法除得一百○二即太虚以減黄廣餘為皇極較和以太虚減黄長餘為皇極較較又以黄長減皇極較和餘一百三十六為皇極勾半黄廣為黄極股以皇極勾股求通圓徑〈即前勾股上容圓式〉
　　兩容圓式日月明一百五十三山川軎三十四求圓徑術二相乗倍之得一萬○四百○四為實平方開之得一百○二即太虚
　　加軎為皇極勾加明為皇極股以皇極勾股求通圓徑
　　全勾半股容圓式乾地通勾三百二十天西邊股四百八十求圓徑術勾股相乗倍之得三十萬○七千二百為實倍邊股并通勾得一千
　　二百八十為法除得徑
　　全股半勾容圓式天乾通股六百北地底勾二百求圓徑術勾股相乗倍之得二十四萬為實倍底勾并通股得一千為法除得徑
　　大勾餘股容圓式乾地通勾三百二十天坤大差股三百六十求圓徑術勾股乗得十一萬五千二百為實倍大差股得七百二十為從作
　　減從開平方法除得徑又術勾股相乗倍之為實倍大差股為從作帶從開平方法除得徑
　　大股餘勾容圓式天乾通股六百艮地小差勾八十求圓徑術勾股相乗倍之得九萬六千為實倍小差勾得一百六十為從又帶從開平方法除得徑

　　又大勾餘股容圓式乾地通勾三百二十日南明股一百三十五求圓徑術通勾自之乗明股得一千三百八十二萬四千為立實倍明股
　　乗通勾得八萬六千四百為從方二為隅法作帶從負隅開立方法〈詳少廣〉除得半徑
　　又式乾地通勾三百二十山東軎股三十求圓徑術勾股乗得九千六百為實以通勾為從方二為隅算作減
　　從負隅翻法開平方法除得半徑

　　又大股餘勾容圓式天乾通股六百東川軎勾十六求圓徑術通股自之乗軎勾得五百七十六萬為立實倍軎勾乗通股得一萬九千二
　　百為從方二為隅法作帶從負隅開立方法除得半徑又式天乾通股六百南月明勾七十二求圓徑術勾股乗得三千二百為實以通股為從方二為隅法作帶從負隅開平方法除得半徑
　　半勾半股容圓式天西邊股四百八十北地底勾二百求圓徑術勾股乗得九萬六千為實勾股并得六百八十為從方二為隅算作負隅
　　減從開平方法除得半徑
　　截勾截股容圓式坤西等上平股一百二十北艮等下髙勾一百二十求圓徑術勾股乗得一萬四千四百為實平方開之得半徑
　　通曰此與前上容圓式坤艮之必穿圓心乃可測算
　　半勾外股容圓式天坤大差股三百六十北地底勾二百求圓徑術勾股相乗倍之得十四萬四千為實以大差股為從方作帶從開平方
　　法除得徑
　　半股外勾容圓式艮地小差勾八十天西邊股四百八十求圓徑術勾股相乗倍之得七萬六千八百為實以小差勾為從方作帶從開平
　　方法除得徑
　　餘勾半股餘股半勾容圓式西外八步外行四百九十五步北外十五步外行二百○八步求圓徑術以西外八并北外行二百○八得二百一十六為兩勾和西外行四百
　　九十五并北外十五得五百一十為兩股和以西外行乗兩勾和得十萬○六千九百二十為股乗勾冪以西外乗兩股和得四千○八十為勾乗股冪兩冪相減餘十萬○二千八百四十為勾股維乗差自之得一百○五億七千六百○六萬五千六百為三乗方實西外行四百九十五内減去兩回西外共十六餘四百七十九與北外行二百○八相減餘二百七十一為股減勾差北外行二百○八内減去兩回北外共三十餘一百七十八與西外行四百九十五相減餘三百一十七為勾減股差二差相減餘四十六以乗勾股維乗差得四百七十三萬○六百四十為従方二差相乗得八萬五千九百○七為二差冪兩勾和與兩股和相乗得十一萬○一百六十為二和冪倍二和冪得二十二萬○三百二十倍勾股維乗差得二十萬○五千六百八十以并二差冪得五十一萬一千九百○七為従一亷四回兩勾和共八百六十四兩回股減勾差共五百四十二相并得一千四百○六為從二亷作帶從方亷開三乗方法〈詳少廣〉即得半徑
　　半勾餘股容圓式日南明股一百三十五北地底勾二百求圓徑術底勾自乗又乗明股得五百四十萬又四因得二千一百六十萬為立
　　方實以明股為従亷作帶從亷立方開之得徑〈詳少廣〉半股餘勾容圓式東川軎勾十六天西邊股四百八十求圓徑術邊股自乗又乗軎勾得三百六十八萬六千四百又四因得一千四百七十四萬五千六百為立實以軎勾為從亷作帶從亷立
　　方開之得徑
　　半勾小股容圓式北地底勾二百山艮小差股一百五十求圓徑術勾股相乗又乗小差股得四百五十萬為實勾股相減餘五十又乗小
　　差股得七千五百加勾股相乗得三萬七千五百為法除實得半徑又術勾股相乗為實倍底勾減小差股餘為法除實得半徑
　　又式北地底勾二百山東軎股三十求圓徑術勾股乗得六千為平實勾股減餘一百七十為従方作減従翻法開平方法得半徑
　　半股小勾容圓式天西邊股四百八十坤月大差勾一百九十二求圓徑術勾股相乗又乗大差勾得一千七百六十九萬四千七百二十
　　為實勾股減餘二百八十八又乗大差勾得五萬五千二百九十六加勾股相乗得十四萬七千四百五十六為法除得半徑　前式又術亦可用
　　又式天西邊股四百八十南月明勾七十二求圓徑術勾股乗得三萬四千五百六十為實勾股減餘四百○八為從方作減従開平方法
　　得半徑
　　小勾小股容圓式坤月大差勾一百九十二山艮小差股一百五十求圓徑術勾股相乗倍之得五萬七千六百平方開之得徑
　　又式南月明勾七十二山東軎股三十求圓徑術勾股乗得二千一百六十為實勾股并得一百○二為從作
　　以従減法翻法開平方法得半徑

　　外勾外股容圓式艮地小差勾八十天坤大差股三百六十求圓徑術勾股相乗倍之得五萬七千六百平方開之得徑
　　又式東川軎勾十六日南明股一百三十五求圓徑術勾股相乗又自乗得四百六十六萬五千六百為三乗方實勾股相乗倍之得四千
　　三百二十又乗勾股相并得六十五萬二千三百二十為從方勾股相并自之得二萬二千八百○一勾股相減餘自之得一萬四千一百六十一兩自之之數相減餘八千六百四十為益亷作帶従亷添積開三乗方法除之〈詳少廣〉得半徑
　　大勾半容圓式乾地通勾三百二十日地底四百二十五求圓徑術勾相減餘一百○五為勾差以乗通勾得三萬三千六百又
　　乗半通勾一百六十得五百三十七萬六千為立實半通勾乗通勾得五萬一千二百與差乗通勾三萬三千六百相減餘一萬七千六百為従方倍通勾得六百四十為益亷作帶従減益亷開立方法除之〈詳少廣〉得半徑又式乾地通勾三百二十月地黄長二百七十二求圓徑術勾相減餘四十八為勾差倍差倍通勾相乗得六萬一千四百四十為
　　平實倍差倍通勾相并得七百三十六為益従二為隅法作減從負隅翻法開平方法除之得徑又術倍差乗通勾為實差并通勾為從作減從開平方除之得徑大股半容圓式天乾通股六百天川邊五百四十四求圓徑術股相減餘五十六為差以乗通股得三萬三千六百又乗半通股得
　　一千○八萬為立實半通股乗通股得十八萬與差乗通股三萬三千六百相并得二十一萬三千六百為從方倍通股得一千二百為從亷作以從亷減從方翻法開立方法除之得半徑　以従亷添積開立方亦可〈詳少廣〉
　　又式天乾通股六百天山黄廣五百一十求圓徑術股相減餘九十為差倍差倍通股相乗得二十一萬六千為平實倍差倍通股相并得一千三百八十為從二為隅法作減從負隅翻法
　　開平方法除之得徑又術同前
　　大勾外容圓式乾地通勾三百二十山地小差一百七十求圓徑術勾乗得五萬四千四百通勾自之得十萬○二千四百以相減餘倍之得九萬六千為實倍通勾得六百四十為從方
　　作減從開平方法除之得徑
　　大股外容圓式天乾通股六百天月大差四百○八求圓徑術股乗得二十四萬四千八百通股自之得三十六萬以相減餘倍之
　　得二十三萬○四百為實倍通股得一千二百為従方作減從開平方法除得徑义術股相乗通股自乗相減不必倍即以所餘十一萬五千二百為平實二為隅法作負隅開平方法亦可
　　大勾截容圓式乾地通勾三百二十川地下平一百三十六求圓徑術勾相減餘一百八十四為差倍差減通勾餘乗通勾得一萬五
　　千三百六十為平實又倍差得三百六十八為從方二為隅法作減從負隅翻法開平方法除之得半徑大股截容圓式天乾通股六百天日上髙二百五十五求圓徑術股相減餘三百四十五為差倍差減通股餘九十以乗通股得五
　　萬四千為平實倍差為從方二為隅算作負隅減從開平方法除之得半徑
　　大勾中容圓式乾地通勾三百二十日川皇極二百八十九求圓徑術勾乗得九萬二千四百八十為勾乗冪又自之得八十五億五千二百五十五萬○四百為三乗方實皇極自
　　之得八萬三千五百二十一以乗通勾得二千六百七十二萬六千七百二十倍之得五千三百四十五萬三千四百四十為從方倍勾乗冪得十八萬四千九百六十為從一亷倍皇極得五百七十八為從二亷二為隅算作以亷隅減従開三乗方法除之〈詳少廣〉得皇極勾一百三十六以皇極勾求股得皇極股二百五十五勾股相乗倍之得六萬九千三百六十為實以皇極為法除得徑
　　又式乾地通勾三百二十日山下髙二百五十五求圓徑術勾相乗又乗半通勾得一千三百○五萬六千為立方實勾相乗得八
　　萬一千六百與半通勾乗通勾得五萬一千二百相并得十三萬二千八百為從方通勾三百二十為従亷作以亷減從開立方法〈詳少廣〉除得半徑
　　大股中容圓式天乾通股六百日川皇極二百八十九求圓徑術股相乗又自之得三百億○六千七百五十六萬為三乗方實皇極自之為冪以乗通股又倍之得一億○二十二萬
　　五千二百為從方股相乗倍之得三十四萬六千八百為從一亷倍得五百七十八為從二亷二為隅算作帶從負隅以二亷隅添積開三乗方除之得皇極股二百五十五勾股相乗倍為實以皇極為法除得徑又式天乾通股六百月川上平一百三十六求圓徑術股相乗又乗半通股得二千四百四十八萬為立實半通股乗通股并通股與
　　平相乗八萬一千六百得二十六萬一千六百為従方通股六百為従亷以亷減從開立方除之得半徑大勾小容圓式乾地通勾三百二十月山太虚一百○二求圓徑術通勾自之為冪倍太虚乗之得二千○八十八萬九千六百為
　　立實倍太虚乗通勾又加倍通勾冪得二十七萬○八十為従方四通勾得一千二百八十為従亷四為隅算作帶從半翻法減從負隅開立方法除之〈詳少廣〉得半徑又術通勾自之與太虚相乗半之為立實勾相乗加通勾自乗半之為從方通勾為從亷作以亷減従開立方法除之得半徑
　　大股小容圓式天乾通股六百月山太虚一百○二求圓徑術通股自之乗太虚又倍之得七千三百四十四萬為立實倍通股乗太虚得十二萬二千四百通股自之又倍得七十二
　　萬相并得八十四萬二千四百為從方四通股得二千四百為從亷四為隅算作帶從負隅以亷減從開立方法除之得半徑　用添積亦可
　　又大勾小容圓式乾地通勾三百二十山川軎三十四求圓徑術通勾自之為冪又乗通勾得三千二百七十六萬八千與倍軎乗
　　通勾冪得六百九十六萬三千二百相減餘二千五百八十萬○四千八百為立實軎乗通勾得一萬○八百八十倍通勾冪得二十萬○四千八百相減餘十九萬三千九百二十為従方通勾加半通勾得四百八十為從亷半數為隅算作帶従以亷添積開立方法除之得徑　以亷減従亦可
　　又大股小容圓式天乾通股六百日月明一百五十三求圓徑術通股自之為冪又乗通股得二億一千六百萬與倍明乗通股冪
　　得一億一千○一十六萬相減餘一億○五百八十四萬為立實倍通股冪得七十二萬倍明乗通股得十八萬三千六百相減餘五十三萬六千四百為從方六通股得三千六百為從亷六為隅算作負隅減從以亷益從開立方法除之得半徑　以隅添積亦可
　　又大勾小容圓式乾地通勾三百二十日月明一百五十三求圓徑術通勾自之為冪勾相乗為勾乗冪二冪相乗得五十億○
　　一千三百五十萬○四千為三乗方實明乗通勾冪又三之得四千七百萬○一千六百為從方倍勾乗冪與通勾冪相減餘四千四百八十為從一亷倍通勾得六百四十為從二亷二為隅法作帶從負隅以二亷減從開三乗方法除之〈詳少廣〉得半徑
　　又大股小容圓式天乾通股六百山川軎三十四求圓徑術股相乗又乗通股冪得七十三億四千四百萬為三乗方實軎乗通股冪又三之得三千六百七十二萬為從方倍股相
　　乗減通股冪餘三十一萬九千二百為從一亷倍通股為從二亷二為隅算作帶従方亷負隅以二亷減從開三乗方法除之得半徑
　　大半勾容圓式天地通六百八十北地底勾二百求圓徑術勾減餘四百八十為差勾并得八百八十為和差和相乗得四十二
　　萬二千四百與差自乗二十三萬○四百相減餘十九萬二千為實差和并得一千三百六十為從二為隅算作帶従負隅開平方法除之得半徑
　　大半股容圓式天地通六百八十天西邊股四百八十求圓徑術股減餘二百為差股并得一千一百六十為和差和相乗得二
　　十三萬二千與差自乗四萬相減餘十九萬二千為實差和相并得一千三百六十為從方二為隅算作帶従負隅開平方法除之得半徑
　　半半勾容圓式月地黄長二百七十二北地底勾二百求圓徑術勾減餘七十二為差乗底勾得一萬四千四百為半徑冪四之為
　　全徑冪平方開得徑
　　半半股容圓式天山黄廣五百一十天西邊股四百八十求圓徑術股減餘三十為差乗邊股得一萬四千四百平方開之得半徑
　　外半勾容圓式山地小差一百七十北地底勾二百求圓徑術勾減餘三十為差乗底勾得六千為實小差為従作減從翻法開平
　　方法除得半徑
　　外半股容圓式天月大差四百○八天西邊股四百八十求圓徑術股減餘乗邊股得三萬四千五百六十為實大差為従作減
　　從開平方法除得半徑
　　截半勾容圓式川地下平一百三十六北地底勾二百求圓徑術倍勾相減餘一百二十八減底勾餘七十二又乗底勾得一萬四
　　千四百平方開之得半徑又術倍平減底勾餘七十二乗底勾亦同
　　截半股容圓式天日上髙二百五十五天西邊股四百八十求圓徑術倍髙減邊股餘三十乗邊股得半徑冪平方開得半徑又術
　　股減餘自之得上髙股冪髙自之得冪二冪相減開其餘為上髙勾即半徑
　　小半勾容圓式山川軎三十四北地底勾二百求圓徑術底勾内減二軎餘一百三十二乗底勾得二萬六千四百又以軎冪二
　　千一百五十六乗得三千○五十一萬八千四百為三乗方實倍底勾乗軎冪得四十六萬二千四百為從方勾相減差自之得二萬七千五百五十六為従一亷勾相減差倍之得三百三十二為從二亷作帶從方亷以二亷減從開三乗方法除之得軎股三十以軎股求勾以軎勾股求徑〈即前股外容半圓也〉
　　小半股容圓式日月明一百五十三天西邊股四百八十求圓徑術邊股内減二明餘一百七十四乗邊股得八萬三千五百二十
　　又以明冪二萬三千四百○九乗得一十九億五千五百一十一萬九千六百八十為三乗方實明冪乗邊股又倍之得二千二百四十七萬二千六百四十為従方股減餘自之得十萬○六千九百二十九為從一亷股減餘倍之得六百五十四為從二亷作帶方亷以二亷減從開三乗方法除之得明勾七十二以明勾求股以明勾股求徑〈即前勾外容半圓也〉
　　又小半勾容圓式日山下髙二百五十五北地底勾二百求圓徑術底勾自之為冪乗髙得一千○二十萬為立實底勾冪為從方髙為従亷作帶從方亷
　　開立方法除得半徑

　　又小半股容圓式月川上平一百三十六天西邊股四百八十求圓徑術邊股自之為冪乗平得三千一百三十三萬四千四百為
　　立實邊股冪為從方平為從亷作帶従方亷開立方法除得半徑
　　通曰右式與上髙同此式與下平同
　　又小半勾容圓式日月明一百五十三北地底勾二百求圓徑術半底勾乗明得一萬五千三百為平實勾相并半之得一百七十六為從方半為隅算作帶従負隅開平方法除之得
　　明勾七十二以明勾求股以明勾股求徑〈即前勾外容半圓也〉又小半股容圓式山川軎三十四天西邊股四百八十求圓徑術半軎乗邊股得八千一百六十為實股并半之得二百五十七
　　為從方半為隅法作帶従負隅開平方法除之得軎股乗邊股得半徑冪
　　半小勾容圓式月地黄長二百七十二坤月大差勾一百九十二求圓徑術倍大差勾與黄長相減餘一百一十二為差自之得一萬二千五百四十四與黄長冪相減餘六萬一千四
　　百四十為實四差得四百四十八為從八為益隅作以帶從減隅開平方法除得半徑
　　半小股容圓式天山黄廣五百一十山艮小差股一百五十求圓徑術倍小差股與黄廣相減得差二百一十自之得四萬四千一百與黄廣冪相減餘二十一萬六千為實四差得八
　　百四十為從八為隅作以隅減從開平方法除得半徑小截勾容圓式月川上平一百三十六南月明勾七十二求圓徑術勾相減差自之得四千○九十六與上平冪相減餘一萬四
　　千四百即半徑冪半徑即平股也
　　小截股容圓式日山下髙二百五十五山東軎股三十求圓徑術股減餘自之得五萬○六百二十五為髙股冪又與髙冪相減餘一萬四千四百即半徑冪半徑即髙勾也
　　又小截勾容圓式月山太虚一百○二南月明勾七十二求圓徑術勾減餘倍之乗明勾得四千三百二十為實又倍實得八千六百四十與太虚冪相減餘一千七百六十四平方開
　　之得四十二為太虚勾股較以較為從開其實得四十八為太虚勾加較為股并為和和即徑
　　又小截股容圓式月山太虚一百○二山東軎股三十求圓徑術股相減餘乗軎股又四之得八千六百四十與太虚冪相并得
　　一萬九千○四十四為實平方開之得一百三十八為太虚勾股和加太虚即徑二百四十











　　數度衍卷八



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷九
　　桐城　方中通　撰
　　方圓〈少〉廣〈之一〉
　　諸率
　　通曰求積者用徑一圍三度天者用徑七周二十二然徑一則圍三有餘徑七則周二十二不足今測以徑十七周五十二其率較細大約四形之率惟方率
　　無差他皆無凖方斜七而强角面七而弱圓率從難推求惟舉成數而已
　　通曰方形剖周為四面面與中徑等四面即四徑也圓以三為率徑求周以徑乘率周求徑以率除周方以四為率徑求周以徑乘率周求徑以率除周通曰此勾股也勾股皆五各自乘并之為五十開方則七有零七自之惟四十九較五十之開方則少一數矣今
　　方斜以五七為率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘内斜以斜七除之
　　通曰此亦勾股也中徑為股半
　　面為勾各自乘并為四十八二五
　　開方則七不足矣今三角以六七
　　為率面求徑以徑六乘面以面七
　　除之徑求面以面七乘徑以徑六
　　除之
　　方内容圓圓内容方率説



　　通曰數始於一圓徑一則周三方徑一則周四兩周相乘得十二故方圓相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圓周七丙丁圓周必五甲乙方圓徑七丙丁方圓徑必五七五并為十二故曰皆十二也推而求之萬

　　重皆然此方圓之分率也徑同則圓周圓積皆不及方周同則方徑方積皆不及圓積同則圓周不及方周方徑不及圓徑何也徑同以一言之圓徑一周三方徑一周四圓周不及方周四分之一矣又以三言之圓徑三積七方徑三積九圓積不及方積九分之二矣周同以十二言之方周十二積九圓周十二積十二方積不及圓積十二分之三矣又方周十二徑三圓周十二徑四方徑不及圓徑四分之一矣積同以一百六十九言之圓積一百六十九則周四十五方積一百六十九則周五十二圓周不及方周五十二分之七矣又方積一百六十九則徑十三圓積一百六十九則徑十五方徑不及圓徑十五分之二矣此方圓之合率也至其容之大小悉較容兹不具論
　　通曰石齋先生之天方圖九方九圓外方積一萬六千三百八十四如率推之庇羃盡得余别録焉
　　方内容圓法
　　方面求圓積庇積式方面十四問圓積庇積各幾何曰圓積一百四十七庇積四十九術以方面十四自乘得方積一百九十六以七五乘之得一萬四千七百降二位為圓積一百四十七以二五乘方積得四千九百降二位為庇積四
　　十九〈法有二位故降二位〉又術以方面折半為七又折半為三五自乘得十二二五為一庇積以四乘之得四十九以減方積得圓積〈七五乘二五乘説見後〉
　　圓内容方法
　　圓徑求方積羃積式圓徑十四問方積羃積各幾何曰方積一百羃積四十七術以圓徑十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十為内方面自乘得方積一百用圓徑求圓積〈詳後〉得一百四十七以減方積餘四十七為羃積
　　立方内容立圓法
　　立方面求立圓積立庇積式立方面十六問立圓積立庇積各幾何曰立圓積二千三百○四立庇積一千七百九十二術通曰以立方面十六
　　自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六為立方積以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四為立圓積二積相減餘一千七百九十二為立庇積〈九乘十六除説見後〉
　　立圓内容立方法
　　立圓徑求立方積立羃積式立圓徑十七問立方積立
　　羃積各幾何曰立方積一千七百
　　七十一五六一立羃積九百九十
　　一九九九術通曰以立圓徑十七
　　用徑求積法〈詳後〉得二千七百六十三五六零為立圓積以圓徑為立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一為立方積二積相減餘九百九十一九九九為立羃積
　　通曰凡方内容圓圓内容方必彼此相切方可立算
　　平方求積法〈即開平方之還原也〉
　　徑求積式徑三十二為積幾何曰積一千○二十四術以徑三十二自乘得一千○二十四為積
　　周求積式周一百二十八為積幾何曰積一千○二十四術以周一百二十八用四除之得三十二為徑自乘得積
　　平圓求積法〈即開平圓之還原也〉
　　徑求積式徑六為積幾何曰積二十七術徑六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七為積又術徑六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合〈三乘四除説見後〉
　　周求積式周十八為積幾何曰積二十七術周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七為積〈十二除説見後〉周徑求積式徑六周十八為積幾何曰積二十七術徑六與周十八相乘得一百○八以四除之得二十七為積
　　通曰此與三乘四除同徑一周三故也
　　半周求積式半周九為積幾何曰積二十七術九自乘得八十一以三除之得二十七〈三除説見後〉
　　半徑求積式半徑三為積幾何曰積二十七術三自乘得九以三乘之得二十七〈三乘説見後〉
　　半周半徑求積式半周九半徑三為積幾何曰積二十七術九與三相乘得二十七
　　通曰方徑自乘得方形以此方形積均分作四股圓形内得三股四庇共得一股故用七五乘
　　者四分十之三也用二五乘者四分十之一也
　　通曰徑用三乘得長方形即周徑相乘也此内容圓形者三而三圓形之庇積
　　又成一圓形之積以此一圓并三圓而為四故三乘者用四除也
　　通曰周自乘得大方形此内有方形九而容圓形者亦九三圓形之庇積成一圓形之積則九圓形之庇積必成三圓形之積矣以此三圓并九圓而為十二故用十二除也
　　通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除蓋三除者十二除四分之一
　　也半徑自乘與庇積等三其庇積而成圓積故用三乘也
　　立方求積法〈即開立方之還原也〉
　　徑求積式徑三十二為積幾何曰積三萬二千七百六十八術徑三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三萬二千七百六十八為積
　　立圓求積法〈即開立圓之還原也〉
　　徑求積式徑四十八為積幾何曰積六萬二千二百○八術徑四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一萬○五百九十二以九乘之得九十九萬五千三百二十八以十六除之得六萬二千二百○八為積周求積式周一百四十四為積幾何曰積六萬二千二百○八術周一百四十四自乘得二萬○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八萬五千九百八十四以四十八除之得六萬二千二百○八為積
　　通曰立圓徑自乘再乘乃立圓外之立方積也九回立方積即十六回立圓積故以九乘十六除也立圓周自乘再乘乃二十七回立方積也即四十八回立圓積故以四十八除也葢二十七者三回九也四十八者三回十六也而周求積之不用二十七乘者周巳大於徑三回故不用三回九之二十七乘也
　　方環求積法
　　外方内方求環積式外方甲乙二十内方丙丁一十為環積幾何曰積三百術以甲乙二十自乘得四百為庚辛乙甲全積以丙丁一十自乘得
　　一百為壬癸丁丙内積二積相減餘三百為庚壬丙甲環積又術以甲乙二十并丙丁一十為三十倍之得六十為通環之長以丙丁減甲乙餘一十折半得五即丁至巳為環濶以濶乘長得三百為環積
　　通曰并外方四面得八十并内方四面得四十又相并為一百二十折半得六十亦合環長
　　圓環求積法
　　外周内周求環積式外周甲戊乙巳四十八内周丙庚丁辛二十四為環積幾何曰積一百四十四術以甲戊乙巳四十八自乘得三千三百○四以十二除之得一百九十二為甲
　　乙戊己全積以丙庚丁辛二十四自乘得五百七十六以十二除之得四十八為丙庚丁辛内積二積相減餘一百四十四為甲丙戊庚環積又術以外周三折得全徑十六以内周三折得内徑八兩徑相減餘八折半得四即甲至丙為環濶以三乘濶得十二減外周餘三十六為通環之長以濶乘長得一百四十四為環積内周外周求環徑式〈即環濶也〉術以外周四十八減内周二十四餘二十四以六除之得四為環徑即甲至丙内周環徑求外周式術以六乘環徑四得二十四并内周二十四得四十八為外周
　　外周環徑求内周式術以六乘環徑四得二十四減外周四十八餘二十四為内周
　　通曰圓以六包一故用六乘六除也〈詳外包〉
　　四破合環法
　　四破之一求去内外角成環式欲於丑寅大直角方形
　　内成圓環外周切方邊内周
　　六問於甲丙小直角方形内
　　去内角外角各幾何曰内角
　　去乙巳一外角去庚丁二術
　　通曰先於甲丙形用方斜率
　　法求得乙至丁為七乙至丙
　　為五乃以三除内周六得二為内徑半之得一為半徑即甲丙形之内角乙巳一也去之乙丙五内減等乙巳之乙戊一尚存戊丙四為環濶又於乙丁斜七減内角乙己一又減等戊丙之己庚四尚餘庚丁二是為外角應去者也甲丙形為一破加丑乙子乙寅乙三破而環成矣故曰四破合環
　　二破至九破率説
　　通曰以前式四破之一為率二破得率二分之四益率
　　二分之二而成二破之一也三
　　破得率三分之四益率三分之
　　一而成三破之一也五破得率
　　五分之四損率五分
　　之一而成五破之一
　　也六破得率六分之
　　四損率六分之二而
　　成六破之一也七破
　　得率七分之四損率
　　七分之三而成七破
　　之一也八破得率八
　　分之四損率八分之
　　四而成八破之一也九破得率九分之四損率九分之五而成九破之一也萬億皆然葢四破得方圓四分之一故以四破為率二破者倍之八破者半之破愈多而分愈細也至彼此互變皆以率通或五變六或八變七以所變之六七為法分其應變之五八一破多益少損無不適合
　　合破成立圓法
　　式欲成子丑立圓形為破幾何術通曰以圓周剖之周大則剖多周小則剖少以剖後之一破腰無圓形而止
　　也如以子丑圓周剖為三十二破一
　　破如丙丁甲乙形甲乙平而不圓矣
　　又以丙丁甲乙剖為二如丙甲乙甲
　　乙丁兩形而兩形必等則三十二其
　　丙丁甲乙形而成立圓六十四其丙甲乙形亦成立圓也葢丙至丁半周也十六其甲乙亦半周也
　　方内容弧矢六角八角法
　　直方内容弧矢形式方長十四方闊七問弧内積二角餘積各幾何曰弧内積七十三五二角餘積二十四五術方長十四即方闊七即矢相并得二十一折半得十○五以矢七乘之得
　　七十三五為弧内積方長十四方闊七相乘得九十八為全積以減弧内積餘二十四五為二角積折半得十二二五為一角積
　　通曰以十四折半得七又折半得三五乘矢七得二十四五亦合二角積
　　直方内容六角形式方長二十方闊十八六角面十問六角内積四角餘積各幾何曰六角内積二百七十四角餘積九十術以方長二十減六角半面五餘十五以方闊十八乘之得二百
　　七十為六角内積以角外餘長五折半得二五乘角外餘闊九得二十二五為一角積以四乘之得九十為四角積
　　通曰以餘長五餘闊九相乘得四十五倍之得九十亦合四角積
　　方内容八角形式八角面七問八角内積四角餘積各幾何曰八角内積二百三十九四角餘積五十術以五乘八角面七得三十五以七除之得五為角外餘方倍之得十為上下兩餘方加八角面七得十七為大方面自乘得二百八
　　十九為全積以角外餘方五自乘得二十五倍之得五十為四角積以減全積餘二百三十九為八角内積通曰以餘方五自乘得二十五折半得十二五為一角積此式乃斜求方也四隅角面即方斜餘方即方斜面故用五乘七除
　　方内容小圓法
　　式餘積二千四百圓邊離方邊十問方面圓徑各幾何曰方面六十圓徑四十術以離邊十自乘得一百以三乘得三百加餘積二千四百得二千七百為實以六乘離邊十
　　得六十為從方用帶從開平方法除之得三十〈詳十二卷〉倍之得六十為方面以方面減兩離邊二十餘四十為圓徑
　　圓内容小方法
　　式餘積七十二離邊三問圓徑方面各幾何曰圓徑十二方面六術以離邊三自乘得九以四乘之得三十六倍餘積得一百四十四相并得一百八十為實以離邊三乘八
　　得二十四為縱方用帶縱開平方法除之得六〈詳十二卷〉為半徑倍之得十二為圓徑以圓徑自乘得一百四十四以三乘得四百三十二以四除得一百○八以減餘積七十二餘三十六平方開之得六為方面
　　又式圓徑九歩七分五釐離邊三歩問内方積上下大弧積左右兩直方積左右兩小弧積各幾何曰内方積十四歩○六釐二毫五絲大弧積各十八歩直方積各九歩八分四釐三毫七絲五忽小弧積各七分七釐三毫四絲
　　三忽七微五纎術以圓徑折半得四歩八分七釐五毫自乘得二十三歩七分六釐五毫以半徑減離邊餘一歩八分七釐五毫自乘得三歩五分一釐五毫兩自乘相減餘二十歩○二分五釐平方開之得四歩五分倍之得九歩為大弧用弧矢法〈詳後〉得弧積十八歩以圓徑減兩離邊餘内方面三歩七分五釐自乘得十四歩○六釐二毫五絲為内方積以大弧九歩減内方面三歩七分五釐餘五歩二分五釐折半得二歩六分二釐五毫為直方濶與内方面〈即直長方〉相乘将九歩八分四釐三毫七絲五忽為直方積内方面即小弧以圓徑減大弧九歩餘七分五釐折半得三分七釐五毫為小弧矢用弧矢法得小弧積七分七釐三毫四絲三忽七微五纎以大弧積倍之得三十六歩以直方積倍之得十九歩六分八釐七毫五絲以小弧積倍之得一歩五分四釐六毫八絲七忽五微以諸倍數與内方積十四歩○六釐二毫五絲相并得七十一歩二分九釐六毫八絲七忽五微為全圓之積
　　圓内容錠形法
　　式圓徑十四問錠内積兩欖餘積各幾何曰錠内積一
　　百兩欖餘積四十八術以五乘圓
　　徑十四得七十以七除之得十卽
　　圓内容方邊自乘得一百即容方
　　積即錠内積也以圓徑十四減容
　　方邊十餘四即欖腰濶折半得二
　　加容方邊十得十二乘腰濶四得四十八即兩欖積又術以錠長十四〈即圓徑〉自乘得一百九十六折半得九十八加二得一百為錠積
　　通曰圓内容錠與圓内容方等者何也葢截方兩腰之半補上下而成錠截錠上下之等半腰者補兩腰而成方也故圓徑即錠長錠斜即圓徑戊己丙丁甲乙皆等也丙丁甲乙皆方斜也丙乙甲丁皆容方邊也故用五乘七除此斜求方耳以圓徑求積得一百四十七今兩積合為一百四十八而多一者葢欖長即容方邊自乘百内多一也錠長自乘而加二者葢百内少二斜求積之差也
　　大平方内容小平圓求積圓法
　　式大方面四十二小圓徑十四問積圓積空成圓共積圓各幾何曰積圓九積空成圓三共積圓十二術通曰以小圓徑十四除大方面四十二得三自乘得九即為積圓九也用前方内容圓法毎一小圓得内積一百四十七為圓實得庇積四十九為庇實以積圓九乘庇實得四百四十一
　　為隅空以圓實除隅空得三即為積空成圓三也加積圓九得十二即為共積圓十二也
　　大立方内容小立圓求積圓法
　　式大方面四十二小圓徑十四問積圓積空成圓共積圓各幾何曰積圓二十七積空成圓二十一共積圓四十八術通曰以小圓徑十四除大方面四十二得三自乘得九再乘三
　　得二十七即為積圓二十七也用前立圓求積法毎一小立圓得内積一千五百四十三五為圓實以大方面自乘得一千七百六十四再乘得七萬四千○八十八為全方實以積圓二十七乘圓實得四萬一千六百七十四五為全圓實以全圓實減全方實餘三萬二千四百一十三五為隅空以圓實除隅空得二十一即為積空成圓二十一也加積圓二十七得四十八即為共積圓四十八也
　　通曰前式三分益一也圓居方四分之三庇居方四分之一則庇必居圓三分之一矣遇三加一九故加三也此式九分益七也立圓居立方十六分之九立庇居立方十六分之七則立庇必居立圓九分之七矣遇九加七二十七故加二十一也
　　大平圓内容小平圓求積法
　　式大圓徑十二容積圓七小圓徑四問積空成圓共積圓各幾何曰積空成圓二共積圓九術通曰以大圓徑十二用前平圓求積法得全積一百○八為全圓實以小圓徑四亦如
　　法得内積十二以乘積圓七得八十四為小圓實二實相減餘二十四為隅空以内積十二除隅空得二即為積空成圓二也加積圓七得九即為共積圓九也
　　大立圓内容小立圓求積圓法
　　式大立圓徑十二容積立圓十五小立圓徑四問積空成立圓共積立圓各幾何曰積空成立圓十二共積立圓二十七術通曰以大立圓徑十二用前立圓求積法得全積九百七
　　十二為全立圓實以小立圓徑四亦如法得内積三十六以乘積圓十五得五百四十為小立圓實二實相減餘四百三十二為隅空以内積三十六除隅空得十二即為積空成立圓十二加積立圓十五得二十七即為共積立圓二十七也〈按大立圓徑十二小立圓徑四必不能容十五設題未合〉通曰此二式不可為率隅空不等故耳近邊則空多近中則空寡若不論小形而論大小形之積實則凡大形内容小形者先求大形之全積為實次求小形之内積為法以法除實皆得其積若干小形之數也
　　弧矢〈少廣之二〉
　　弧矢解
　　弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以股除之即得勾弧背曲倍積則長一與一矢以矢乘積倍之適得一一矢之數因未知矢故以積自乘為實約一度乘積以為上廉兩度乘徑以為下廉并之為法而後可以得矢也用三乘者何也積本平方以倍積自乘是兩度平方矣故用三乘方法開之上廉下廉俱用四乘者何也倍積則乘出之數為積者四故也如不倍積廉不用四乘以一二五為隅法亦通減徑者何也徑乃圓之全徑矢乃截處之勾矢本減徑而得故亦減徑以求矢也或不減徑作添積三乘方法亦通五為負隅者何也凡平圓之積得平方四分之三在内者七五在外者二五不拘圓之大小毎方一尺虚隅二寸五分其矢得四其虚隅得一合而為五亦升實就法之意也
　　圓徑截積求矢法
　　式圓徑十三截積三十二問矢各幾何曰矢四十二術倍截積三十二得六十四自乘得四千零九十六為實以四乘截積三十二得一百二十八為上廉以四乘圓徑十三得
　　五十二為下廉以五為負隅用開三乘方法除之〈詳十四卷〉得四為矢倍截積得六十四以矢除之得十六減矢餘十二為
　　弧積離徑求矢弧背圓徑半徑法
　　式弧積一百二十八離徑五問矢背圓徑半徑各幾何曰矢八二十四弧背二十九零圓徑二十六半徑十三術以弧積一百二十八為實倍弧積得二百五十六平方開之得十六為法以法除實得八為矢以矢加法十六得二十四為以矢自
　　乘得六十四以二十四除之得二六零為半與背之差倍之得五零加二十四得二十九零為弧背以折半得十二自乘得一百四十四為實以矢八為法除得十八加矢得二十六為圓徑折半得十三為半徑即離徑五與矢八相并也
　　矢求弧積式術矢相并得三十二折半得十六以矢乘之得一百二十八為弧積又術矢相乘得一百九十二矢自乘得六十四相并得二百五十六半之為弧積
　　矢弧積求式術倍弧積得二百五十六以矢八除之得三十二減矢餘二十四為
　　弧積求矢式術倍弧積得二百五十六以二十四為縱方用帶縱開平方法除之〈詳十二卷〉得八為矢圓徑求離徑矢式　術以圓徑折半得十三自乘得一百六十九以折半得十二自乘得一百四十四兩自乘相減餘二十五平方開之得五為離徑以半徑十三減離徑五餘八為矢
　　矢圓徑求式　術以圓徑二十六減矢八餘十八以矢乘之得一百四十四平方開之得十二倍之得二十四為
　　離徑求圓徑式　術以折半得十二自乘得一百四十四以離徑五自乘得二十五相并得一百六十九平方開之得十三倍之得二十六為圓徑
　　圓徑離徑求式術以圓徑折半得十三自乘得一百六十九以離徑五自乘得二十五相減餘一百四十四平方開之得十二倍之得二十四為
　　弧矢内股求勾法
　　式圓徑十矢一為勾幾何弧幾何曰勾三弧六以圓徑十折半為五自乘得二十五為羃以半徑五減矢一餘四為股自乘得十六為股羃二羃相減餘九平方開之得三為勾倍勾得六為弧又術以
　　圓徑自乘得一百為大羃以圓徑減倍矢二餘八自乘得六十四為大股羃二羃相減餘三十六為大勾羃平方開之得六為弧半之得三為勾
　　通曰弧矢與勾股相通不惟此也如勾與股較求股是矣半徑也股離徑也勾半弧也
　　弧矢内勾求股法
　　式圓徑十弧六為股幾何弧矢幾何曰股四弧矢一術以圓徑十折半得五為以弧六折半得三為勾自乘得二十五勾自乘得九相減餘十六平方開之得四為股以股減半徑五餘一為矢
　　圓徑直方濶求兩弧矢積法
　　式圓徑七十四直方濶二十四為兩弧積各幾何直方積幾何曰弧積各一千一百八十七五直方積一千七百三十二術以圓徑七十四自乘得五千四百七十六以三乘
　　之以四除之得四千一百○七為全積以圓徑減方濶二十四餘五十折半得二十五為矢用前徑矢求弧法得七十又用矢求弧積法得弧積一千一百八十七五倍之得二千三百七十五為兩弧積以減全積餘一千七百三十二為直方積
　　通曰矢得徑十之一者必六倍於矢矢得徑十之二者必四倍於矢矢得徑十之三者必三倍於矢矢得徑十之四者必倍於矢而又八分矢之三也矢得徑十之五者必倍於矢也弧矢者半圓所生也














　　數度衍巻九



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十
　　桐城　方中通　撰
　　較容〈少廣之三〉
　　同周異容
　　通曰周不可以論容故方田不以周歩為率同周者形必異形異容故異耳
　　式一同周多邊形容積大於少邊形容積何也少邊如甲乙丙三角形甲乙甲丙兩腰各五乙丙底六共周十六多邊如己庚戊辛四角形己戊庚辛與三角之腰等
　　皆五己庚戊辛與三角之半底
　　等各三共周亦十六以三角用
　　甲丁線折半得甲丁乙甲丁
　　丙兩小三角形以四角形己戊庚辛與甲丁較去己壬庚癸存壬戊癸半皆與甲丁等是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也癸辛戊癸壬戊與甲丁乙甲丁丙皆等耳四角形是多一己壬癸小四角形矣式二同周四直角形等邊容積大於不等邊容積何也等邊如甲乙丙丁四直角形毎邊六共周二十四不等邊如戊己庚辛四直角形兩邊五兩邊七共周亦二十四以等邊之六自乘得積三十六以不等邊之五七相
　　乘得積三十五是不等邊之積
　　少一矣又如兩邊四兩邊八共
　　周亦二十四而積三十二又少
　　矣兩邊三兩邊九共周亦二十四而積二十七又少矣兩邊二兩邊十共周亦二十四而積二十又少矣邊愈不等積愈少也
　　通曰又如四邊皆三周得十二積九兩邊二兩邊四周亦十二積八是九之中一藏而無周八無中可藏故少一也右式等邊形中有離邊積十六不等邊形中止有離邊積十五可見少一積者非少近邊之積乃少離邊之中積也
　　式三同周等邊四角形直角容積大於斜角容積何也直角如甲乙丙丁四角形毎邊五共周二十斜角如戊己丙丁四角形毎邊五共周二十以斜角截戊庚丁三角形補己辛
　　丙三角形適足是庚辛丙丁形與戊己丙丁形之容等矣以直角截庚辛丙丁外尚餘甲乙庚辛形乃多於斜角者也
　　式四同周有法形多邊容積大於少邊容積何也多邊如甲乙丙有法形〈邊邊相等角角相等曰有法也〉不拘邊數今為六邊
　　毎邊四共周二十四少
　　邊如丁戊己有法形今
　　為四邊毎邊六共周亦
　　二十四試於兩形外各
　　作一圜而從圜心望一邊作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙於壬戊己於癸其甲乙丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙求周六其乙丙而徧以戊己求周四其戊己而徧則乙丙邊固小於戊己邊而乙壬半線亦小於戊癸半線矣兹截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即勻分各邊俱等而全形邊所倍於戊己一邊數與全圜切分所倍於戊己切分地亦等則甲乙丙内形全邊所倍於乙丙一邊與其全圜切分所倍於乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角則以平理推之移戊己邊於甲乙丙全邊亦若戊辛己角之於四直角也而甲乙丙内形周與乙丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角之比例則戊辛癸與乙庚壬之比例大於癸辛戊與癸辛子之比例而癸辛子角大於壬庚乙角其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明小於庚乙壬角令移壬乙庚角於癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等於丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等於子癸邊則丑癸線亦等於庚壬線而庚壬實贏於辛癸令取庚壬線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内直角形也然則多邊直線形之所容豈不大於等周少邊直線形之所容乎
　　式五同周等底三角形等邊容積大於不等邊容積何
　　也等邊如甲丁丙三角形丁甲甲丙
　　丙丁各六共周十八不等邊如乙甲
　　丙等甲丙底三角形甲丙六乙甲七
　　乙丙五共周亦十八試引甲丁至戊
　　令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊兩線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大於丙丁乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半令别作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線連之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也因顯甲己丙大於甲乙丙而甲丁丙等邊三角形必大於乙甲丙不等邊三角形矣通曰以丁庚甲三角形與乙庚丙三角形相較知乙庚丙之小於丁庚甲即知乙甲丙之小於甲丁丙也式六同周多邊形等邊容積大於不等邊容積何也等邊如甲庚丙丁戊巳多邊形毎邊六共周三十六不等邊如甲乙丙丁戊巳多邊形甲乙邊四乙丙邊八他邊皆六共周亦三十六作甲丙線視甲庚丙大於甲乙丙則知甲庚丙丁戊巳大於甲乙丙丁戊巳也
　　通曰甲乙辛與辛庚丙兩形較知甲乙辛小於辛庚丙即知甲乙丙丁戊巳小於甲庚丙丁戊巳也
　　式七同周多邊等邊形等角容積大於不等角容積何
　　也通曰等角如子丑寅
　　卯辰午多邊等邊形毎
　　邊十共周六十不等角
　　如甲乙丙丁戊巳多邊等邊形毎邊亦十共周亦六十作丑午線得十八作丑卯線亦得十八丑午既與丑卯等則子申必與寅未等是午子丑與丑寅卯之子角寅角等也又作乙巳線少於十八作乙丁線多於十八乙丁既大於乙巳則甲庚必大於丙辛是巳甲乙與乙丙丁之甲角丙角不等也今以兩形叠而較之今巳戊與午辰同線又令子遇甲乙線於子卯遇丙丁線於卯乃視并甲子巳與卯丁戊兩小三角形不及子丑寅卯丙乙一曲
　　角形則知甲乙丙丁戊巳形小於子丑寅卯辰午形矣式八同周圓形容積大於有法形容積何也圓形如甲乙丙形周五十四有法如丁戊巳形毎邊九共周亦五十四庚為甲乙丙之心辛為丁戊巳之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邊形與丁戊巳相似〈同為有法之六角形〉而從壬
　　癸切圓於甲者作半徑線於
　　庚則庚甲為壬癸線而分
　　壬癸之半又從辛作子丑
　　線則辛丁亦分子丑之半兩
　　形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等然乙壬癸丙之周大於圓周而圓周與丁戊巳形同則是乙壬癸丙周原大於丁戊巳周矣夫兩形相似而壬癸邊大於子丑邊則半之而壬甲亦大於子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例而壬甲大於子丁則甲庚亦大於丁辛是故取甲庚線與半圓周線以作矩内直角形其與圓地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線以作矩内直角形其與形地等也推此則是圓形大於等
　　周之多邊形也
　　通曰圓周五十四圓外六角周六十是多六矣雖與丁戊己六角相似而周不同也
　　今以同周之甲乙丙丁戊己兩形相較圓形外有六小三角形圓内有六小弧矢形知小三角之不及小弧矢即知丁戊己之小於甲乙丙也
　　式九同周渾圓形容積大於長圓形容積何也通曰渾圓如甲乙丙丁戊己形周三十六長圓如庚丙癸戊辛己壬乙形周亦三十六今以兩形相較長圓加渾圓之上必透
　　乙庚丙己辛戊兩半圓形必虚丙丁戊癸乙甲己壬兩半圓形以乙庚丙半圓形與丙丁戊癸半圓形相較則乙庚丙形必小以乙甲己壬半圓形與己辛戊半圓形相較則乙甲己壬形必大即知甲乙丙丁戊己形大於庚丙癸戊辛巳壬乙形矣
　　通曰邊莫少於三角莫多於渾圓渾圓似乎無角而其角之多不可指説也同周之容其角漸多其容漸大故以渾圓為最大以三角為最小葢大者因角而大也角向外生内必益地雖中距之徑少不敵角増之地多也方者不以角論長方與正方同為四角直方與斜方同亦四角一增於中藏之無邊一減於斜周之無積故以長方斜方為小以正方直方為大也其不成形者不可㮣舉矣
　　同容異周
　　通曰有積於此可方可圓可斜可直周之不一其積實同周既不可以論容容亦不可以論周也
　　式同容少邊形周大於多邊形周何也少邊如甲乙丙形多邊如甲巳丙丁形以甲乙丙形分為二得甲丁丙甲丁乙兩形以甲巳丙丁形
　　分為二得甲巳丙甲丁丙兩形相較皆等容而甲丙長於已丙甲乙長於甲丁是以少邊者為大也
　　通曰此與同周異容相反同周以少邊為小言容之小也同容以少邊為大言周之大也舉一可以類推
　　倍大
　　通曰其所容多一倍也
　　同底倍大容積式乙丙底甲乙丙形得戊乙巳丙形之半作甲丁線甲丁乙形與甲戊乙形等甲丁丙形與甲巳丙形等故也
　　通曰下同乙丙底上切甲㸃作與乙丙
　　平行線得長方形始可
　　不同底倍大容積式通曰以丙乙同底而言則戊巳丙乙形倍於甲乙丙形以丙乙與丙丁不同底而言則甲巳丙丁形兩倍於甲乙丙形葢甲戊丙乙形與戊巳丙乙形等則甲丙線分甲戊丙乙為甲乙丙甲丙戊兩形是甲乙
　　丙形為戊巳丙乙形之半即為甲巳丙丁形四之一也
　　變形同容
　　通曰此形容積亦可以他形容之葢不變容而變形也六角變四角式六角如甲乙丙丁戊巳有法形欲變為四角形視六角之心於庚自庚至甲乙作直角線為庚
　　辛另作壬癸線與庚辛等作癸
　　子與甲乙丙丁線等則壬癸子
　　丑四角形與甲乙丙丁戊巳六
　　角形之所容等也
　　論曰自庚到各角皆作直線皆分作三角形皆相等其甲乙庚三角形與甲辛辛庚二線所作矩内直角形等若以甲乙丙丁半形之周線為癸子線以與壬癸線共作矩内直角形即與有法全形等葢此半邊三其三角形照甲乙庚形作分中線其矩線内直角形俱倍本三角形故也
　　通曰半徑線作横線半周線作直線兩形之容相等則以六角形之全徑全周作四角形其容四倍矣然六角之徑必須兩角中分之辛寅相對為徑非角對角之甲丁為徑也
　　六角變三角式六角如甲乙丙有法形欲變為三角形視六角之心於丁從丁望甲乙作線為丁戊線另作丁戊線相等作戊己線與甲乙丙全周線等則丁戊庚己四角形倍於甲乙丙六角形今以丁戊庚己分為二得丁己戊三角形與甲乙丙六角形之所容等也
　　論曰以丁戊己庚直角形兩平分於壬辛作直線與丁戊平行則丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相等何者戊辛線得甲乙丙
　　之半周而又在丁戊矩内即與有法形全體等故也其丁戊己三角形與丁戊壬辛直角形等則丁戊己三角形與甲乙丙全形自等矣
　　圓形變四角三角式圓形如甲乙丙形先變為四角形視圓心於丁得半徑丁乙線另作丁乙線相等作乙戊線與甲乙丙半周線等則丁乙戊己四角形與甲乙丙圓形之所容等也次變為三角形倍乙戊線為乙庚線與
　　甲乙丙全周等又作丁庚線則丁乙庚三角與甲乙丙圓形之所容等也
　　通曰截丁己辛形為辛戊庚形則丁乙戊己形内虚丁己辛地與丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等則等圓形之四角變為三角等四角之三角自等於圓形也鋭觚形變直角立方形式觚形不拘幾面如甲乙丙丁
　　戊底其頂巳今變為寅庚
　　直角立方形其底庚辛壬
　　癸得甲乙丙丁戊底三之
　　一其高庚子與觚等則寅
　　庚直角立方形與甲乙丙丁戊己鋭觚形之所容等也論曰從立形底諸用與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此形與庚寅形同底同髙又同己甲鋭觚之髙己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三〈兩觚形同高者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍〉則寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三是寅庚全方與己甲觚自等也
　　斜角能含圓形變直角立方形式平面不拘幾邊其全體可容渾圓切形如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜於戊試從戊壬割圜之半作戊
　　己庚辛圜從壬心望各切圜之
　　㸃作壬戊為甲乙線壬己為
　　乙丙線壬庚為丙丁線壬
　　辛為甲丁線今變為直角立
　　方午子形其底子辰卯癸得甲乙丙丁體三之一而其髙丑子與圓半徑等則午子直角立方形與甲乙丙丁全形之所容等也
　　論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚鋭頂此各觚皆以其三分底之一及至鋭高之數為直角立方形皆與觚所容等又并為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其高合圓之半徑也
　　渾圓變直角六方形式渾圓如甲乙丙形其心為丁作
　　甲丁半徑線今變為直角立方戊形
　　在甲丁徑及甲乙丙渾圓三之一矩
　　内則戊形與甲乙丙全形之所容等
　　也
　　論曰若言不等謂戊大於渾圓形其較有巳者合以丁為心外作庚辛壬渾圓大於甲乙丙而勿令大於戊第令或等或小以驗之而於庚辛壬内試作有法形勿令切甲乙丙圜自丁心至形邊各作線則線必長於
　　甲丁又自丁心至形各角作
　　直線以分此形為幾觚其庚
　　辛壬法形諸直線為觚底而
　　線至丁心為觚鋭頂試取
　　各觚底三之一及丁線之高以作直角立形與觚等則并為大直角立形亦與庚辛壬内之法形等如云以甲丁為髙而以各觚底三之一為直角立形并為大形則必小於前形因顯庚辛壬三之一大於甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體若謂庚辛壬不大於戊形則向庚辛壬内之法形亦大於戊形也而况庚辛壬形乎則戊體不大於甲乙丙可知矣
　　又論曰戊形小於甲乙丙渾圓體者其較為己試從丁
　　心再作癸子丑圜小於甲乙
　　丙而勿令小於戊或大或等
　　者以騐之於甲乙丙圜内作
　　有法形不令切癸子丑而從丁至甲乙丙各面為線此線大於丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形之各面為觚底丁心為觚鋭頂而取觚底三之一及底至丁之線以作直角立形與觚等若使以甲丁為高而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必高於前形既甲乙丙圜之面大於其内形之面則圜面三之一大於内形面三之一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一因即戊大於甲乙丙之内形矣而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大於甲乙丙圜而分大於全乎則戊體不小於甲乙丙又可知矣
　　相似
　　通曰形相似而大小不同也相似者可比例也不相似者非比例也
　　并線并形求與并線形同容式有甲乙丙及丁戊己三
　　角形二兩形相似因并甲丙
　　丁巳為丁辛一直線於上作
　　直角方形又并甲乙丁戊為
　　丁庚乙丙戊巳為庚辛乃并此二線上所作兩方形與丁辛線上方形之所容等也
　　論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度從庚作線與戊己平行又引丁巳長之令相遇於辛從己作己壬線與戊庚平行則巳壬辛之角形與丁戊巳相似而丁戊巳與甲乙丙相似矣何者巳壬辛角與庚角等庚角與丁戊巳角等巳角又與乙角等而辛角與丁巳戊角及兩角俱等壬巳辛角與甲角亦等又巳壬邊與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙巳辛與甲丙俱相等故丁辛線兼丁巳甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度庚辛線兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也然則丁辛上直角方形與丁庚及庚辛上兩直方形并自相等矣通曰此與勾股求相通也丁庚上方形股羃也庚辛上方形勾羃也丁辛上方形羃也羃之内應有勾股二羃也
　　兩形互并求同周式甲乙丙丁兩底不等上有甲戊乙丙巳丁三角形二其戊甲戊乙腰與巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大於丙丁者則戊角大於巳角而兩三角形不相似求於兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等也其法作庚辛線與甲戊戊乙丙巳巳丁四線并等而分之於壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁甲乙既大於丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分庚壬於癸
　　平分壬辛於子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁并之視丙丁矣夫庚辛并既大於甲乙丙丁并則壬辛大於丙丁而庚壬大於甲乙可知也甲乙庚癸癸壬三線毎二線必大於一線而丙丁壬子子辛亦然令於甲
　　乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外於丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周也
　　通曰甲丑乙大丙寅丁小甲
　　戊乙小丙己丁大以大并小
　　以小并大互并而大小隠矣
　　兩形互并較容式甲丙丙戊大小兩底上設有甲乙丙丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令
　　於兩底上依右法别作甲己丙丙
　　庚戊兩形相似而前兩三角形并
　　與之等周則甲己丙丙庚戊相似
　　之形并其所容大於甲乙丙丙丁
　　戊不相似之形并也
　　論曰将甲丙丙戊作一直線而甲丙底大於丙戊底乃從己過乙作己壬線兩分甲丙於壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊於辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邊與乙己丙三角形之己丙己乙兩邊等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等又甲己壬三角形之甲己己壬兩邊與丙己壬三角形之丙己己壬兩邊等則甲己壬角與丙己壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邊與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邊等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等丁丙辛角既大於庚丙辛角而庚丙辛角相似與己丙壬角即相等而丁丙辛即癸丙辛總大於己丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬是丑丙壬亦大於己丙壬而引癸丑線當在丙己之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙於子而并乙丙丙癸二線必大於癸乙線則己丙丙庚并亦大於乙癸線何也此四形者兩兩相并為等周則甲乙乙丙丙丁丁戊四線并與甲己己丙丙庚庚戊四線并原相等而減半之乙丙丙丁即乙丙丙癸與己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二線為一直線就其上作直角方形必大於乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形與己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等而癸乙上之直角方形與乙壬并辛丁〈即辛癸〉上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等〈若移置辛癸于乙壬之下移置壬辛為癸線則乙壬辛癸為股壬辛為勾乙癸為矣〉此己壬庚辛線并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大於乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此兩率者毎減一壬辛上直角方形則己壬庚辛共線上之直角方形大於乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線并大於乙壬丁辛兩線并矣此兩率者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈不大於丁庚乎壬丙原大於丙辛則己乙與壬丙矩内直角形大於丁庚與辛丙矩内直角形而乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令從壬丙作線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍於己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也則己乙丙三角形大於丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大於丙丁戊庚丙形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又毎加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形并豈不大於甲乙丙及丙丁戊兩三角形并哉其底同其周同四腰俱同則不相似之形并必小於相似之形并也


　　數度衍卷十



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十一
　　桐城　方中通　　撰
　　遞加〈少廣之四〉
　　循次順加
　　一　二　三　四　五　六　七　八　九　十　十一
　　超二位加
　　一　三　五　七　九　十一　十三　此竒數超加也
　　二　四　六　八　十　十二　十四　此偶數超加也
　　超三位四位五位加
　　一　四　七　十　十三　十六　十九　此超三位加也
　　一　五　九　十三　十七　二十一　此超四位加也
　　一　六　十一　十六　二十一　二十六　此超五位加也
　　凡超位加各審其母如超二超三四五以至多位者各以所超之數為母其間少者易知多者難定大率以退位減之餘數即母也
　　截三位較
　　不論超與不超凡截位較之其前後二位數必倍於中
　　位數如截一二三并
　　一三為四即倍二也
　　截一三五并一五為
　　六即倍三也截二四六并二六為八即倍四也截二五八并二八為十即倍五也截四八十二并四與十二為十六即倍八也不拘前後隨意截較無不合
　　截四位較
　　凡截四位較之則前後二位數與中二位數等如截一
　　二三四并一
　　四為五并二
　　三亦五也截
　　一三五七并
　　一七為八并三五亦八也截二四六八并二八為十并四六亦十也截二五八十一并二與十一為十三并五八亦十三也截四八十二十六并四與十六為二十并八與十二亦二十也
　　通曰截竒位者前後并必倍中位數截偶位者前後并必與中二位等葢所截之位自中向外一損一益中一位者無可并而倍矣中二位者無可倍而并矣
　　截四位逓加逓減較
　　通曰凡截四位數以中二位相加減後一位數餘與前一位數等如截一二三四以二三相并得五減後之一餘必前之四也截一三五七以三五相并得八減後之一餘必前之七也截二四六八以四六相并得十減後之二餘必前之八也截二五八十一以五八相并得十三減後之二餘必前之十一也截四八十二十六以八與十二相并得二十減後之四餘必前之十六也若減前數餘必後數可以互較
　　超加求積法
　　凡加數不論超二超三但係逓加者用此
　　式自一起至十三位得三十七問總積幾何曰二百四
　　十七術除首位一不用以次位
　　四與末位三十七并得四十一
　　自四至三十七係十二位即以
　　十二乘四十一得四百九十二半之得二百四十六即十二位總積再加首位一得二百四十七為十三位總積也
　　順加求積法
　　式下行濶十五問總積幾何曰一百二十術取最下二位十四十五相乘得二百一十半之得一百○五即十
　　四以至首位一之積也再并
　　末位十五得一百二十為總
　　積又術以末位十五與下位
　　十六相乘得二百四十半之得一百二十亦合
　　通曰相乘得其倍數者
　　變三角為四角也半之
　　則仍還三角矣如末位
　　係七以六七相乘則末
　　位七在外成甲乙丙方形折半止得六位之積以末位七與下位八相乘則末位七在内成丁戊己方形折半故得七位之積也
　　順加異首求積法
　　首位不係一數或二或三四為首者用此
　　式首行四下行十四問總積幾何曰九十九術以首位
　　四并末位十四得十八為
　　實以首位四減末位十四
　　餘一十加一得十一此即位數也以位數十一乘實十八得一百九十八半之得九十九為總積
　　四面順加求積法
　　式四面順加毎面底濶皆十二問總積幾何曰六百五十術置底濶十二另以十二加一為十三乘之得一百五十六又以十二加半為十二五乘之得一千九百五十為實以三除之得六百五十為總積
　　長濶順加求積法
　　式長濶順加底濶八長十三問總積幾何曰三百八十四術以底長十三減底濶八餘五折半得二五又加半得三并長十三為十六以濶八乘之得一百二十八另以濶八加一為九乘之得一千一百五十二為實以三除之得三百八十四為總積
　　通曰四面順加自一面視之則為順加以四面合視之則非順加也其加有二一曰竒數之加一曰自乘之加如頂一加三得四為第二層之積四加五得九為第三層之積九加七得十六為第四層之積總以竒數逐漸加於毎層積上故至十一層應加二十三得一百四十四為第十二層之積此竒數之加也又如一至十二層毎層以自乘數推之首層一自乘仍是一二層二自乘得四三層三自乘得九四層四自乘得十六至十二層十二自乘得一百四十四亦合各層之積此自乘之加也長濶順加自濶面視之則為順加自長面視之則為順加異首而四面合視之其加亦有二一曰逓四加周一曰竒偶加積如異首之首層為五此層加法稍不同先倍五為十又加二得十二為第二層之周此後毎層加四以十二加四得十六為第三層之周十六加四得二十為第四層之周二十加四得二十四為第五層之周如法加至第八層濶八長十二得周三十六此逓四加周也又如首層五加七得十二為第二層之積十二加九得二十一為第三層之積二十一加十一得三十二為第四層之積總以竒數漸加於毎層積上加至第八層得積九十六此竒數加積也若前式濶八長十三首層係六者則偶數加積矣
　　竒偶超加求積法
　　竒數超加求積式末位十九問總積幾何曰一百術取末位十九外加一得二十半之得十即一至十九之位
　　數也以位數十自乘得一百
　　為總積
　　偶數超加求積式末位二十四問總積幾何曰一百五
　　十六術取末位二十四
　　減半得十二即位數也
　　以位數加一為十三以乘位數十二得一百五十六為總積
　　通曰用前超加求積法亦可
　　超加求首尾數法
　　若多中起數超位逓加但知位數及所超母數或知首而不知尾或知尾而不知首者用此
　　超加求尾數式超八逓加至十二位首位三問尾位數
　　幾何曰尾位數九十一
　　術於位數十二内減一
　　存十一與超母八相乘得八十八加首位三得九十一即尾位數
　　超加求首數式超八逓加至十二位尾位九十一問首位數幾何曰首位數三術於位數十二内減一存十一與超母八相乘得八十八以減尾位九十一餘三即首位數
　　積和求位數及首尾二位數法
　　若但舉總數及超數及首尾和數而不知係幾位不知首尾二位數者用此
　　式超六逓加總積三百二十首尾和一百六十問位數
　　及首尾各幾何曰四位首位七十
　　一尾位八十九術以總積三百二
　　十為實以首尾和一百六十減半得八十除實得四為位數又以位數減一餘三乘超母六得十八為位母率以位母率并首尾和一百六十得一百七十八半之得八十九為尾位數以位母率減首尾和餘一百四十二半之得七十一為首位數
　　積較求首尾二位數法
　　若但舉總數及位數及首尾較數而不知首尾二位數者用此
　　式超六逓加計六位總積四百九十八首尾之較三十問首尾各幾何曰首位六十八尾位九十八術倍總積得九百九十六為實以位數六除之得一百六十六以較三十減之餘一百三
　　十六折半得六十八為首位數以首位數加較三十得九十八為尾位數
　　超加求逐位細數法
　　若但知位數總數及超母數而不知毎位細數者用此式超三逓加計六位總積八十七問逐位細數幾何曰首位七二位十三位十三四位十六五位十九末位二十一術取位數六除去第六數自一二三四至五并得十五以乘超母三得四十五以減總積八十七餘四十二為實以位數六除之
　　得七為首位數加超母三得十為二位數逓加超母得逐位數
　　通曰以位數減一位如六位者止用五位以超母三逓加之一位應三二位應六三位應九四位應十二五位應十五乃并此五位應得之數為四十五以減總積餘為實亦可
　　又式兄弟九人逓差三嵗共二百○七嵗問毎人嵗幾何曰最小一人十一嵗逐位加三得毎人嵗數術将九人除去一位止作八人自一至八并得三十六乘逓差三得一百○八以減共二百○七餘九十九為實以九人除之得一十一為最小一人之嵗數又術通曰以共二百○七嵗為實以九人除之得二十三為居中第五人之嵗數凡竒數如九人者可以用此若係偶數如前式六位者則以總積八十七為實以六位除之得十四五為居中二位率又以超母三折半得一五為母率以母率減中率餘十三為第三位之數以母率并中率得十六為第四位之數也
　　又式銀九百九十六兩給八人毎人逓差十七兩問毎人幾何曰最少一人六十五兩術將八人除去一人止作七人自一至七并得二十八乘逓差十七得四百七十六以減銀九百九十六餘五百二十為實以八人除之得六十五為最少一人之銀數
　　通曰九人八人皆位數也差三差十七皆超母也二百○七嵗九百九十六兩皆總積也
　　超加求超母及逐位細數法
　　若超位逓加但知係幾位及前幾位共數後幾位共數而不知超母及逐位細數者用此
　　式甲乙丙丁戊己庚辛八位超加甲乙二位共數七十
　　七己庚辛三位共數六
　　十六問超母幾何逐位
　　細數幾何曰超母三甲位四十辛位十九術以甲乙二位二乘己庚辛共數六十六得一百三十二以己庚辛三位三乘甲乙共數七十七得二百三十一相減餘九十九為實又并甲乙位二己庚辛位三為五減半得二五以減總位八餘五五以甲乙位二己庚辛位三相乘得六乘之得三十三為法以法除實得三為超母并入甲乙共數七十七得八十減半得四十為甲位數若求己庚辛則三分其己庚辛共數六十六得二十二為居中庚位數減超母三餘十九為辛位數自甲向乙推之則逓減超母自辛向庚推之則逓加超母八位細數盡得也　如戊己庚辛四位共數九十四以二分之得四十七即己庚共數并入超母三得五十減半得二十五為己位數也
　　外包〈少廣之五〉
　　通曰方者以八包一每層加八即超八逓加也圓者以六包一毎層加六即超六逓加也三角以九包一毎層加九即超九逓加也然其形不同而法又異故専衍之
　　包方法
　　外周求積式外周三十二問總積幾何曰八十一術除中心一在外以二層八與外周三十二相并得四十又以四十與外周三十二相乘得一千二百八十為實以三層十六為法除之得八十加中心一得八十一為總
　　積
　　通曰方徑一周四今八包一徑三
　　周八者何也葢四隅之甲乙丙丁
　　各以兩面為一數也若以兩面俱作二數則仍是徑三周十二矣
　　積求外周式總積八十一問外周幾何曰三十二術去中心一在外餘八十以三層十六乘之得一千二百八十為實以二層八〈即超母〉為縱用帶縱開平方除之〈詳十二卷〉得三十二為外周
　　外周求層式外周三十二問層幾何曰除心四層連心五層術以超母八除外周三十二得四即除心之層數也加心一層共五層
　　外周及層數求積式外周三十二除心四層問總積幾何曰八十一術除中心一在外以二層八并外周三十二得四十以四層乘之得一百六十減半得八十加中心一得八十一為總積
　　包圓法
　　外周求積式外周三十六問總積幾何曰一百二十七術除中心一在外以二層六與外周三十六相并得四十二又以四十二與外周三十六相乘得一千五百一十二為實以三
　　層十二為法除之得一百二十六加中心一得一百二十七為總積
　　通曰圓徑一周三今六包一徑三周六者何也葢其數隐而不見須從徑三之外作一大圜切各小圜之邊而於大圜之上作
　　甲乙丙丁戊己六段毎段截大圜周與小圜徑等是己得周六矣又測子丑寅卯辰午六空處每一空處得小圜半徑應折為三段合甲乙丙丁戊己六段而為九則仍是徑三周九也但六包一六角而非圓以此為率亦得其成數也
　　積求外周式總積一百二十七問外周幾何曰三十六術去中心一在外餘一百二十六以三層十二乘之得一千五百一十三為實以超母六〈即二層〉為縱用帶縱開平方法除之得三十六為外周
　　外周求層式外周三十六問層幾何曰除心六層連心七層術以超母六除外周三十六得六即除心之層數也加心一層共七層
　　外周及層數求積式外周三十六除心六層問總積幾何曰一百二十七術除中心一在外以二層六并外周三十六得四十二以六層乘之得二百五十二減半得一百二十六加中心一得一百二十七為總積
　　包三角法
　　外周求積式外周三十六問總積幾何曰九十一術除中心一在外以二層九與外周三十六相并得四十五又以四十五與外周三十六相乘得一千六百二十為實以三層十八為法除之得九十加中心一得九十一為總積
　　積求外周式總積九十一問外周幾何曰三十六術除中心一在外餘九十以三層十八乘之得一千六百二十為實以超母九為縱用帶縱開平方法除之得三十六為外周
　　外周求層式外周三十六問層幾何曰除心四層連心五層術以超母九除外周三十六得四即除心之層數也加心一層共五層
　　外周及層數求積式外周三十六除心四層問總積幾何曰九十一術除中心一在外以二層九并外周三十六得四十五以四層乘之得一百八十減半得九十加中心一得九十一為總積
　　通曰方圓三角皆一法也但超母不同耳用前超加求積法亦可
　　包立方立圓立三角法
　　通曰立方圓三角之外包非逓加也立方以二十六包一三層則九十八四層則二百一十八立圓以十四包一三層則五十四層則一百一十立三角以三十四包一三層則一百三十四層則三百八十一數不相等故不可以超加論也
　　立方面求層式立方面九問層幾何曰除心四層連心五層術通曰以面九去中心一存八折半得四即除心之層數也加心一為五層毎層一面加二故二數為一層也
　　立方層求面式立方除心四層問面幾何曰九術通曰以四層倍之為八如中心一得九即方面
　　立方面求外包式立方面九問外包幾何曰三百八十
　　六術通曰用六方算之先推前後以
　　面九自乘得八十一倍之得一百六
　　十二為前後包數次推左右以面九
　　減二〈近前之邊去一近後之邊去一〉餘七與面九相
　　乘得六十三倍之得一百二十六為左右包數再推上下以面九減二餘七自乘得四十九〈左右止去前後之邊一故七九相乘上下則左右前後之邊各去一故七自乘〉倍之得九十八為上下包數并三包數得三百八十六為外包數又術通曰以面九自乘得八十一再乘得七百二十九為全積以面九減二餘七自乘得四十九再乘得三百四十三以減全積餘三百八十六為外包又術通曰以面九減一餘八與面九相乘得七十二四倍之得二百八十八又以面九減二餘七自乘得四十九倍之得九十八相并得三百八十六亦合
　　立圓徑層相求式通曰與立方同術毎層一面亦加二故也中心亦作一層
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍,卷十一>
　　三餘六為第三重之周包數減三餘三為第二重之周包數頂重止一數并諸包數得三百六十一為總腰包數再并底包數得五百一十四為外包數若用前超加求積法以第十六重之四十五為末位求得積三百六十一即總腰包數也又術通曰立三角凡四面一面為底其三面皆腰今分為左腰右腰後腰以推之如前術既得底包數一百五十三之後即以底十七減一餘十六用順加求積法得積一百三十六為左腰包數又以底十七減二餘十五用順加求積法得積一百二十為右腰包數又以底十七減三餘十四用順加求積法得積一百○五為後腰包數并三腰包數得三百六十一合總腰包數再并底包數得五百一十四亦合外包數也
　　倍加〈少廣之六〉
　　二因加
　　一　二　四　八　十六　三十二　六十四　一百二十八
　　三因加
　　一　三　九　二十七　八十一　二百四十三
　　求倍
　　倍即母也欲求其母者則取挨身小數於本數中減之以二減盡者倍一也以三減盡者倍二也如三十二挨身小數為十六以十六於三十二中減之兩回十六減盡矣知是加一倍數又如八十一挨身小數為二十七以二十七於八十一中減之三回二十七減盡矣知是加二倍數
　　截三位較
　　凡截取三位以首尾二位相乘其所得數與中一位之
　　自乘數等如截二四八以二與
　　八相乘得十六四自乘亦十六
　　也如截三九二十七以三與二十七相乘得八十一九自乘亦八十一也
　　截四位較
　　以首尾二位相乘其所得數與中二位相乘之數等如截二四八十六以二與十六相乘得三十二四與八相乘亦三十二也如截三九二十七八十一以三與八十
　　一相乘得二百四十三九
　　與二十七相乘亦二百四
　　十三也
　　位數多者凡偶位歩歩首尾相乘與挨身之中二位相乘等凡竒位歩歩首尾相乘與中一位自乘等
　　一倍加求積法〈一倍者二因也〉
　　式自一起加一倍至末位得六十四問總積幾何曰一
　　百二十七術取尾
　　六十四倍之得一
　　百二十八於内減首一餘一百二十七即七位總積也用後式之術亦可
　　二倍加求積法〈二倍者三因〉也
　　式自一起加二倍至末位得八十一問總積幾何曰一
　　百二十一術取尾八十一於
　　内減首一餘八十以倍母二
　　〈二倍以二為倍母三倍以三為倍母〉除之得四十再併尾八十一得一百二十一為總積
　　通曰倍母必減其因一數故三因以二為倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳
　　半倍加求積法
　　加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半為六也
　　式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九問總積幾何曰一百二十八又十六分之十一術取尾四十
　　五又十六之九内
　　減首四餘四十一
　　又十六之九以倍
　　母半數除之〈用竒零除法詳筆算〉得八十三又八之三再并尾數得一百二十八又十六之十一〈用竒零加法〉為總積
　　倍加隔位合數法
　　抽中一位前與後合式凡倍加數不論共有幾位但就
　　中抽取
　　一位之
　　數自乘視所抽之位至首幾位則自乘之數必與此後幾位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位則前有四位也其後四位之數必二百五十六矣
　　通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九則所抽之位數自乘與第九位數同矣
　　抽中二位前與後合式於多位之中前抽一位後抽一
　　位相乘則視前抽之位去首
　　幾位後抽之位再去幾位其
　　數必與此相乘之數合也如前抽第二位其數二後抽第四位其數八相乘得十六前抽之位去首一位則後抽之位再去一位其數亦必十六也
　　倍抽減一前合後式不必算其前後之位但視所抽為
　　第幾位倍其位數減一得後
　　應合之位則所抽位數自乘
　　必與後位數合也如抽第三位倍為六減一得五則第三位之四自乗得十六必與第五位之數合也
　　減位倍抽前合後式先排倍數於右次排位數於左須
　　除首位不算自次位作一
　　位排之抽第幾位倍之不
　　必減一即得應合之位則所抽位之自乘必與後位數合也如抽第二位倍為四則第二位之四自乘得十六必與第四位之數合也
　　減位并抽前合後式抽兩位之互乘則并所抽之兩位
　　共為幾位即知互乘之數
　　必與其位數合也如抽第
　　一位第三位二與八互乘得十六以一位與三位并為四位則第四位之數必十六也〈互乘即相乘〉以上皆首位起一者
　　異首減位倍抽及并抽式若首位不自一起或二或三四起者則抽一位抽二位其自乘互乘之數皆先取首位之數除之而後倍位并位以求合數之位也如抽第
　　二位其數二十自乘得四
　　百為實以首數五為法除
　　之得八十再倍第二位為四則第四位之數必八十也
　　又如抽第一位第三位其
　　數十與四十互乘得四百
　　為實以首數五為法除之得八十再并第一位第三位為四則第四位之數必八十也
　　截位合前積式凡倍一加者〈即二因〉就中隨意截取一位
　　以其所截位之數
　　減一即合所截位
　　以前各位之總積凡自一起者用之如截第七位其數六十四減一得六十三即首位至六位之總積也截位合前後積式如右式六十三為首至六位之總積


　　若以此六位為主加一得六十四自乘得四千○九十六減一得四千○九十五即首至十二位之總積矣葢以六位為主以前管六位以後亦管六位也即以六加一倍亦得十二位
　　通曰凡倍一加者隨抽一位於其數内減一餘必為以前諸位之總積也如抽第三位四減一餘三必為以前一位二位之積三也又如抽第四位八減一餘七必為以前一位二位三位之積七也故抽第十三位四千○九十六減一餘四千○九十五必為以前首至十二位之總積也
　　又式借銀一兩毎日加息一倍至第六十四日問共銀幾何曰一千八百四十四兆六千七百四十四萬○七百三十七億○九百五十五萬一千六百一十五兩術試截四位曰一曰二曰四曰八共積十五加一為十六自乘得二百五十六内減一餘二百五十五即係第八位之積再加一自乘得六萬五千五百三十六内減一餘六萬五千五百三十五即係第十六位之積再加一自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六減一餘四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五即係第三十二位之積再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四萬○七百三十七億○九百五十五萬一千六百一十六減一即係第六十四位之積也六十四位即六十四日也
　　通曰不必加減以第五日之數自乘得第九日之數又自乘得第十七日之數又自乘得第三十三日之數又自乘得第六十五日之數減半為第六十四日之積也葢五日加四而為九日倍四為八故九日加八日而為十七日倍八為十六故十七日加十六日而為三十三日倍十六為三十二故三十三日加三十二日而為六十五日也倣此推之可至無窮均輸章有三術更覺簡易













　　數度衍卷十一
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十二
　　桐城　方中通　撰
　　開平方〈少廣之七〉
　　珠算開平方法
　　通曰四算中惟尺算不便於開方而珠筆籌法亦不同故分衍之
　　式横叄百貳十肆問平方一靣幾何曰十八術列實於卯辰己下約初商一十置子位亦置未位為方法左右相呼曰一一如一除實一百卯位叄變二餘實二百二十四以方法一十倍為二十為亷法變未位一為二約次商八置丑位亦置申位為隅法先左右二八相呼曰二八一十六除實一百六十卯位實盡辰位貳變六餘實六十四次左右八八相呼曰八八六十四
　　除實六十四辰己二位實盡則所商之一十八即方靣也
　　通曰次商與初商不同須視實内除亷外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外餘實尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止餘六十三則不用八而用七矣
　　歸除開平方式積五萬四千七百五十六問平方一靣幾何曰二百三十四術置實盤中初商二百置實首左位另置二百於右左右相呼曰二二如四除實四萬餘實一萬四千七百五十六以右二百倍作四百為法歸除之呼曰四一二餘二逢四進一十得三十為次商置右四百之下呼曰三三如九除實九百餘實一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十為法歸除之呼曰四一二餘二逢八進二十得四為三商置右六十之下呼曰四六二十四除實二百四十呼曰四四一十六除實十六實盡變為二百三十四即方面也
　　筆算開平方法
　　式積貳千壹百壹十㭍萬捌千肆百○肆問平方一靣幾何曰四千六百○二術列實八位從末位肆下作㸃隔位一㸃共四知有四回商數也實首㸃在次位以貳壹相連作二十一者然也應用自乘有幾十幾數者為商今初商用四註初㸃下亦紀格右相呼四四一十
　　六於實貳千壹百内除一千六百
　　抹去貳壹變伍完首叚矣餘實伍
　　百壹十㭍萬捌千肆百○肆第二
　　叚實至次止曰伍壹㭍先立亷
　　法倍初商四為八註實壹下空次
　　㸃一位以待隅法乃商伍十壹内
　　〈作五十一〉有六囬八即用六為次商紀初商四右亦註六於次㸃下為隅法如八十六者然也乃與次商相呼先呼六八除實四百八十抹去伍壹變叄又呼六六除實三十六萬抹去叄㭍變壹完第二叚矣餘實壹萬捌千肆百○肆第三叚實至三㸃止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二為亷法註九於實壹下二於實捌下空三㸃一位以待隅法壹内不可除九遇此則知商有○位竟作○於商數四六之右以作第三商完第三叚矣餘實如故第四叚實至四㸃止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十為亷法註九於實捌下二於實肆下○於實○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内〈作一十八〉有二囬九即用二為四商紀商數四六○之右亦註二於四㸃下為隅法如九千二百○二者然也乃與四商相呼先呼二九除實一萬八千抹去壹捌又呼二二除實四百抹去肆又呼二二除實四數抹去肆實盡完四叚矣則格右之四六○二即方面四千六百○二也
　　通曰初商㸃在實首者三以前用一八以前用二九則當用三㸃在實首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九滿百則㸃又在實首矣
　　用命分式　術倍前商數加一為母餘實為子依法命之如設積六十開方初商七除實四十九餘實十一今倍前商七作十四加一得十五為母以餘實十一為子命曰七又一十五之一十一而縮試并初商及分數自之用竒零整帶零與整帶零乗法〈詳筆算下〉得二二五之一三四五六以一三四五六為實以二二五為法除去四十九囬二二五餘二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十囬二二五如亦歸整并四十九為五十九又二二五之一八一則不及原積六十矣故曰縮若倍初商不加一為母命為十四之十一試自之得六十又一九六之一四一則又過原積而盈矣舉成數可也又術如開方不盡實又欲得其小分則通為小數須於餘積之右加兩○化一為百也如法開之得根數當命為一十分之幾分也或加四○化一為萬開得根數命為一千分之幾分也如設積六十巳商七不盡實十一欲得其細分於右加六○是十一化為一千一百萬也如法開之又得商七四當命為一千分之七十四也
　　竒零開平方式　術凡開方不盡實用命分第一術又不盡者用盈不足對稽可也如實二十者初商四除實十六餘實四依命分法立子母化初商用整帶零與整帶零乘法得八十一之一千六百以小除大當以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一〈一千六百内有十九囬八十一餘六十一〉又不盡者八十一之二十必須另立一法〈滿八十一則歸整一數止得六十一尚餘二十〉用盈不足對稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五對前四又九九之四〈前四者初商也九之四者倍初商加一為母九餘實為子曰九之四〉而以少減多〈以五為原數以四又九之四為減數〉用竒零整内減整及零法餘九乏五乃以前四零九之四倍之為八零九之八并入減餘九之五除去整八在外
　　以九之五與九之八相并用竒零同母加法歸整得一
　　零九之四乃以在外之整八并
　　入一為九得九零九之四也又
　　以此九零九之四為除數以前餘未盡八十一之二十〈餘實也〉為原數用竒零整帶零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又
　　以此除得數與前九之四十相并〈九之四十者倍初商四加一共九為母餘
　　實四為子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再
　　并子四得四十是以四零九之四化為九之四十也〉用竒
　　零異母加法子母互乗并母并
　　子得六萬一千九百六十五之二十七萬七千○二十也歸整以少除多母數少為法除二十七萬七干○二十得四尚餘二萬九千一百六十是為四零六一九六五之二九一六○也約之得十七分之八乃知實二十者開方得四零十七分一之八也
　　通曰以開方得四化之每一數作十七共化為六十八
　　又并入八得七十六為平方一面
　　之數也自乗得五千七百七十六
　　為方積實二十亦化之每一數作
　　十七之自乗共化為五千七百八十較之方積則多四也即以初商四後之餘實四化為一千一百五十六以二亷及隅較之先并八與十七相乗之數八得一千○八十八又并八自乗共得一千一百五十二又少四也則餘實有終不能盡者矣
　　又術以四開二十不盡今用四零二之一以求之倍初商四得八為母以不盡實四為子曰四零八之四約之
　　得四零二之一化之得二之九
　　〈以四乗母二得八加子一共九故化為二之九〉母子各
　　自乗得四之八十一歸整以母四除子八十一得二十零四之一則實不足矣另置
　　四之一為實將前四零二之一倍數得九為法除之以九立一為母曰一之九倒位曰九之一與四之一相乗母乗母子乗子得三十
　　六之一又將三十六之一與前二之九相并兩母相乗得共母七十二母子互乗得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相減於三百二十四内減二餘三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二為法除三百二十二歸整得四零七十二之三十四約為四零三十六之一十七
　　籌算開平方法〈見前籌算〉
　　平方積較和開法
　　平方長濶不等者以長濶相乗為實積以長濶相減為較以長濶相并為和
　　積和求較式積八百六十四長濶和六十問長多濶幾何曰十二術以和六十自乗得三千六百四因積得三千四百五十六相減餘一百四十四平方開之得一十二為長多於濶之較
　　通曰積者勾股相乗之直積也此乃積與勾股和求勾股較之法
　　積較求和式積八百六十四濶不及長十二問長濶和共幾何曰六十術四因積得三千四百五十六不及十二自乗得一百四十四相并得三千六百平方開之得六十為長濶和
　　通曰此乃積與勾股較求勾股和之法衍此二式以起後法
　　平方積較求濶
　　積與較求濶者其長之積多於濶若非加法以帶除其長當於實積内抽減其長之積故其法有二一以較為縱方并縱入方曰帶縱開平方一以較為減積以方乗減曰減積開平方
　　一帶縱開平方法
　　式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問濶幾何曰二
　　十四術列實定㸃以帶縱壹十貳隨
　　實首列之初商二紀格右亦列首㸃
　　下并縱首壹為三抹二壹而註三相
　　呼二三除實六首位實捌變二又呼
　　二貳除實四次位實陸變二完首餘實二百二十肆倍初商二為四作亷法列次位實下此退位列也亦退位列帶縱以亷四并縱壹為五抹四壹而註五次商四紀格右亦註末㸃下為隅法以隅四并縱貳為六抹四貳而註六相呼五四除實二十抹首位餘實二又呼四六除實二十四次位餘實二三位實肆皆抹去實盡所商二四即濶二十四也
　　又式　術如實貳十叄萬○肆百縱㭍百貳十初商可用四但縱首㭍并四為十一實首貳叄無四十四可除
　　遇此須減商作二〈三亦多故用二〉紀格右亦註
　　首㸃下并縱㭍為九抹二七而註九
　　相呼二九除實一十八抹貳叄變五
　　又呼二貳除實四五變四○變六完
　　首叚餘實四萬六千肆百倍初商二作四為亷法列實○下又列縱於亷下次商四紀格右亦註次㸃下為隅法以亷四并縱㭍為十一抹四㭍而註一左位又註一〈此十也〉以隅四并縱貳為六抹四貳而註六乃以次商四呼首一曰一四除實四抹四又呼次一曰一四除實四六變二又呼四六除實二十四二肆皆抹去實盡尚有末㸃未開當於格右紀○以作三商則知直方濶二百四十長九百六十也
　　通曰以濶并縱得長也
　　又式　術若實數首位寡而帶縱數多不能開者雖㸃在首位亦退一位列商縱而減一商也如實壹萬陸千壹百貳十捌帶縱㭍十貳數多即減一商〈三㸃止兩商也〉退列縱於次㸃下起初商九紀格右亦註次㸃下并縱㭍為十六抹九㭍而註六左位註一相呼一九除實九抹
　　首壹陸變七又呼六九除實五十
　　四七變一壹變七又呼貳九除實
　　一十八七變五貳變四完首倍
　　九得一十八為亷法列之退列縱
　　次商六紀格右亦註末㸃下為隅法以亷八并縱㭍為十五抹八㭍而註五左位進一并亷一為二以隅六并縱貳為八如法呼除實盡得濶九十六長一百六十八又式　術其實首數多帶縱數少可以開除者仍照所㸃叚位開之如實叄萬捌千肆百帶縱貳百首位叄自為一叚初商一紀格右註首位下并縱貳為三呼一三除實叄完首倍一作二為亷註次位并縱貳為四次商二紀右註次㸃下為隅呼除實盡尚剩一㸃未開商後加一○得濶
　　一百二十長三百二十
　　又式　術若㸃開位少而帶縱位反多〈加三㸃該百而帶縱至千之類〉以初商置首㸃下以帶縱大數進左列之〈必首叚係二位者方有此例〉如實壹十玖萬捌千帶縱壹千伍百叄十遇此則列縱亦須以百隨百而進千矣初商一紀右註首㸃下
　　次縱伍當隨一下列之〈初商一百也次縱伍亦百
　　也〉首縱壹進列首位下以初商一并
　　縱伍為六先與縱壹呼一壹除實壹
　　再呼一六除實六再呼一三除實三
　　完首倍初商一作二為亷註三位實下帶縱壹退從次位起列伍於亷二下并為七次商二紀右註次㸃下并縱叁為五依法與次商呼除又加一○得濶一百二十長一千六百五十
　　又式　術帶縱并商數有共一十者進位再并可也如
　　實㭍萬貳千縱肆百捌十㸃在
　　首位初商一紀右註首㸃下縱
　　首隨列以一并縱肆為五呼除
　　畢餘實一萬四千倍初商作二為亷註次位縱亦次列并二肆為六次商二紀右註次㸃下先呼二六除十二首位餘實一抹去次位餘四變二然後以商二為隅者并縱八為一十進位註一本位註○乃呼一二除二實盡又加一○得濶一百二十長六百
　　通曰旣列次商帶縱先以亷二并縱肆為六又以隅二并縱捌為一十進一於所并六下以一六并為七然後以次商二與七相呼二七除一十四抺首位餘實一次位餘實四亦便
　　又式　術若實數縱數商數俱多者襍糅易淆務須先將帶并之數逐一歸并各註本位之下乃以呼除始不
　　紊亂如實壹十陸萬
　　陸千肆百陸十肆縱
　　壹千○捌十捌初商
　　一紀右註初㸃下三
　　㸃知初商係百位以縱百位○隨列初商下列縱壹千於進位初商一與縱○無并仍是一先以右一與縱壹呼一壹除一又以右一與商一呼一一除一又以右一與縱捌呼一捌除八又以右一與縱尾捌呼一捌除八完首餘實四萬七千六百陸十肆倍初商得二為亷註三位實下退列縱數以相并亷二與縱○無并仍是二次商三紀右註次㸃下并縱捌為一十一改三捌為一進位○下註一又改二○一為三并畢須以最下横列之壹三一捌為主皆與右三相呼除實也除畢完次叚餘實八千一百二十肆倍前商一三作二十六為亷空末㸃位以待隅註而以六註第五位實下二註第四位實下退列縱數以相并先以亷六并縱捌得一十四註四於捌下進位註一又以亷首二并所進一得三改二○一為三三商六紀右註末㸃下并縱末捌得一十四改六捌為四進位四加一改作五并畢以最下横列之壹三五四為主皆與右六相呼除實也除畢實盡得濶一百三十六長一千二百二十四
　　通曰凡圖最上為餘實最下為并縱并縱者并亷隅縱為開方之法數也右七式用前積較求和之法得和減縱半之即濶然其變不可不知耳求長亦然
　　二減積開平方法
　　減積者於實内減股之積以就其方也〈股即長也〉式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問濶幾何曰二
　　十四術列實㸃位另將不及壹
　　十貳為減積以商數乗之而列
　　乗數初商二紀右註首㸃下乗
　　減積得貳十肆隨位列之相對減原積首位實捌減貳餘六次位實陸減肆餘二餘實六百二十肆然後以初商呼除二二除四首位餘實六變二完首叚餘實二百二十肆倍初商二得四為亷註次位實下次商四紀右註末㸃下為隅以隅乗減積得肆十捌亦隨位列之相對減餘實首次兩位餘實二十二減肆首位二變一次位二變八次三両位餘實八十肆減捌次位八變七三位肆變六共餘實一百七十六然後以次商與亷隅呼除四四除一十六抺首位餘實一次位七變一又呼四四除一十六抺次位一三位六實盡得濶二十四通曰凡定商數須減積後餘實視有商數之自乗否勿以原實定商也初商列初㸃下初乗首數亦隨初㸃下列之二叚亷退初商一位則次乗亦退一位也
　　平方積較求長
　　積與較求長者其濶之積少於長若非益積以補濶則當損其法之長也求法有二以較為負縱乗上商以添積曰負縱益積開平方以較為減縱而以負縱減方法曰帶減縱開平方
　　一負縱益積開平方法
　　式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問長幾何曰三
　　十六術列實㸃位另列不及壹
　　十二為負縱而初商則約所増
　　負縱之乗商之如首位捌開法
　　宜用二因有負縱之乗乃商三
　　紀右註首位下為方法而以乗負縱得叄十陸註叄於首位陸於次位以并原積捌陸〈作八十六〉得一二二〈作一百二十二〉次位陸變二首位捌變二進位置一〈實首左位〉益積得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚餘實三百二十肆倍三作六為亷註次位次商六紀右以乗負縱得㭍十貳退位列之〈退初乗位〉以并餘積三二肆〈作三百二十四〉得三百九十六末位肆變六次位二變九另置一算為負隅以次商六乗之仍得六為隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六實盡得長三十六
　　通曰甲戊己丁形原積八
　　百六十四也戊乙丙己形
　　益積四百三十二也甲戊
　　濶二十四甲乙長三十六
　　戊乙乃長濶之較十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股
　　即長也初商三十自乗得九百
　　二亷濶六長三十又各相乗得
　　一百八十隅六自乗得三十六
　　又式　術直積貳十叄萬○肆
　　百長濶較㭍百貳十列實㸃位
　　列較為負縱初商九〈九百〉紀右註
　　首㸃下為方法以乗負縱得陸
　　肆捌〈六萬四千八百〉以益積隨首列之共加得實為八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚餘實六八肆○○倍九得一十八為亷註八於次㸃之進位註一於首㸃下次商六〈六十〉亦乗負縱得肆叄貳〈四千三百二十〉以益餘積退位列之共加得餘實為一一一六○○又以次商六乗負隅一仍得六註本叚㸃下為隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六實盡尚餘一㸃作○得長九百六十
　　二帶減縱開平方法
　　式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問長幾何曰三十六術列實另列不及壹十貳為負縱初商三〈三十〉紀右以負縱減之餘一十八挨註首㸃下為方法先呼三八除二十四八上陸變二進位捌變六後呼一三
　　除三一上六變三〈先呼一三亦可〉餘實三百二十肆乃於另列初商三右加○〈作三十〉以并方法得四十八為亷註次位次商六紀右註末㸃下為隅而并入亷内得五十四六八并改四進位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四實盡得長三十六　若商數減後首位多於實首亦照例退位
　　通曰初商三十減縱得十八相乗除積五百四十次商六并方法為亷四十八〈二亷共長四十八也〉相乗除積二百八十八隅六自乗除
　　積三十六
　　又式有兩方共積若干第云以小方之一靣乗大方之一面共若干問兩方面各幾何者如大小二方共積六千五百二十九以小方大方各一邊相乗得叄千壹百貳十先倍兩方乗積得六千二百四十以減共積餘二百八十九平方開之得較壹十㭍乃列二方乗數為實以較為負縱初商六〈六十〉紀右以負縱減之餘四十三註初㸃下為方法呼初商四六除二十四三六除
　　一十八餘實五百四十又於初商六右加○〈作六十〉以并方法得一百○三為亷註下〈以末三齊次㸃止〉次商五紀右註尾㸃為隅并入亷内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十實盡得大方面六十五以較一十七減之得小方面四十八
　　通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁邊乗丁癸邊得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以減共積乙壬戊癸甲磬折形則以丙壬戊己形補甲子丑庚形而
　　後減之餘乙子丑辛形為較羃也甲乙六十五減甲子四十八餘乙子一十七
　　平方積和求濶
　　積與和求濶者以和為縱方一為負隅和并一長一濶積得一長而少一濶故用一為負隅其法有二或益隅於積乗負隅為方法又乗方法以益積曰帶縱益隅開平方或減隅於積乗負隅以減縱命餘縱以除實曰帶縱負隅減縱開平方
　　一帶縱益隅開平方法
　　式直積捌百陸十肆長濶和陸十問濶幾何曰二十四
　　術列實以和為帶縱初商二〈二十〉紀右
　　註首㸃下自乗得四百為負隅以益
　　積共加得實一千二百陸十肆乃以
　　初商呼帶縱曰二陸除實一千二百
　　餘實陸十肆倍方得四為亷註次位次商四紀右註尾㸃為隅以次商乗亷四十得一百六十又以次商乗隅四得一十六皆并入餘實共加得餘實二百四十乃以次商呼帶縱曰四陸除實二百四十實盡得濶二十四
　　通曰甲乙丙丁形原積也丁丙
　　己戊形益隅方積也子方初商
　　二十自乗得四百丑寅二亷各
　　長二十與次商四相乗各得八十共為一百六十卯隅四自乗得十六共益積五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四為濶乙丙三十六為長乙至己共六十為和
　　又式　術又如直積貳萬壹千陸百肆十捌長濶和貳
　　百玖十陸列實㸃位置和為
　　帶縱初商一〈一百〉列右為初方
　　法註首㸃下自乗得一萬以
　　益積首位貳變三乃以初方
　　法呼帶縱除實一貳除二首位三變一一玖除九次位壹變二進抺一一陸除六三位陸變○餘實二千○肆十捌倍方得二為亷註退位次商三紀右為次方法註次㸃下為隅亷隅共二百三十以乗次方法三十得六千九百益入餘積三上○變九二上二變八共加得餘實八千九百肆十捌乃以次方法呼帶縱貳三除六二上八變二三玖除二十七三上九變二進抺二三陸除一十八四位肆變六進抺二餘實六十捌又倍次方法得六為次亷註退位〈第四位也〉并入前亷二百得二百六十三商二紀右為三方法註尾㸃下為隅次亷隅共二百六十二以乗三方法二得五百二十四益入餘積尾捌變一進位六變九又進位加五共加得餘實五百九十二乃以三方法呼帶縱二貳除四二上五變一二玖除一十八六上九變一進抺一二陸除一十二實盡得濶一百三十二
　　二帶縱負隅減縱開平方法
　　式直積捌百陸十肆長濶和陸十問濶幾何曰二十四
　　術列實㸃位置和為縱方初商二紀
　　右註首㸃下以乗負隅一仍得二為
　　方法以減縱陸○餘四○隨首位註
　　之呼初商二四除八抺捌餘實陸十肆倍方二得四為亷註退位亦乗負隅一仍得四〈四十〉以減縱陸○餘二○註下次商四紀右註末㸃下為隅又以隅四減餘縱二十餘一十六附註乃與次商相呼一四除四四六除二十四實盡得濶二十四　或初商除實訖即以初商再減餘縱以所餘為縱方以次商再減為下法亦可盖倍初商為亷以減原縱與以初商減餘縱之餘數相同即可不立亷矣
　　通曰甲乙癸子全形乃和與濶相乗之形也内甲乙丙
　　己戊丁磬折形為原積此外
　　皆負積也初叚減壬癸縱二
　　十次叚減丙辛縱二十又減
　　辛壬縱四餘乙丙縱十六乃原積形内之數故不減今以原積形内之乾形補原積形外之坤形而成甲乙辛寅形得濶二十四長三十六
　　又式　術列實陸萬玖千叄百陸十長濶和㭍百捌十貳為縱初商一〈一百〉乗負隅一仍得一以減縱㭍餘六隨首列餘縱六捌貳與初商相呼一六除六一捌除八一
　　貳除二餘實一千一百陸十倍方得
　　二為亷〈二百〉註退位以減縱餘五捌貳
　　退位附列而縱餘五多於實餘一遇
　　此紀○於右作次商倍方一○得二
　　為亷〈二百〉註次㸃下以減縱餘五捌貳退位附列三商二註尾㸃為隅以餘縱與次商相呼二五除一十二捌除一十陸實盡得濶一百二十
　　通曰縱尾貳須先以隅二減之縱餘止五捌○也又式　術若以積與虚長濶共若干而欲求其濶及長者如直積捌百陸十肆三長五濶共二百二十八求濶者以三乗直積得貳千伍百玖十貳為實〈三長原有三積故以三乗〉五為負
　　隅〈暗添五濶之積〉以共貳百貳十捌為帶縱列實㸃位初商二乗負隅五得一十〈一百〉以減縱首貳餘一隨首列餘縱一貳捌與初商相呼一二除貳二貳除四二捌除一十六餘實三十貳又以初商二乗負隅五得一十〈一百〉減餘縱首一止餘縱貳捌〈即倍方為亷也〉次商四乗負隅五得二十再減餘縱貳十止餘捌註末㸃下以呼次商四捌除三十貳實盡得濶二十四
　　如右式求長者以五乗直
　　積得肆千叄百貳十為實
　　以三為負隅以共貳百貳
　　十捌為帶縱初商三以乗負隅三得九〈九十〉以減縱餘縱一百三十捌挨註首位下與初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四餘實一百八十復以初商三乗負隅三得九〈九十〉以減餘縱止餘四十捌次商六亦乗負隅三得一十八以減餘縱止餘三十註餘實下與次商相呼三六除一百八十實盡得長三十六
　　又式　術又有以積與虚長濶和較共若干求濶及長者如直積八百六十四一長二濶三和四較共叄百壹
　　十貳數乃約三和自具三長
　　三濶以并一長二濶共四長
　　五濶又以四較益濶為四長
　　共得八長而餘一濶求濶者以八長乗直積得陸千玖百壹十貳為實以一濶為負隅以共數為帶縱初商二以乗負隅一仍得二〈十也〉以減縱餘縱二百九十貳列實下以呼初商二二除四二九除一十八二貳除四餘實一○七貳又以初商二乗負隅一得二十以減餘縱止餘二百七十貳次商四又乗負隅一得四以減餘縱止餘二百六十八列餘實下與次商相呼除實盡得濶二十四　求長者以一濶乗直積為實以八長為負隅也當用翻法詳後
　　又式　術又有以虚長虚濶約其子母共若干與積若干求長濶者如直積二千三百五十二只云長取八之五濶取三之二并得六十三以兩母互乗三八得二十
　　四以乗并得之六十三得壹千
　　伍百壹十貳為帶縱而以長母
　　八乗濶子二得十六為濶率以
　　濶母三乗長子五得十五為長
　　率則知此帶縱數内具有長十五濶十六也求濶者以長一十五乗直積得叄萬伍千貳百捌十為實以濶一十六為負隅初商四〈十也〉乗負隅得六百四十以減縱餘縱八百七十貳註實下與初商相呼四八除三十二四七除二十八貳四除八餘實四百又以初商所乗隅算之六百四十減餘縱止餘二百三十貳次商二乗負隅得三十二亦減餘縱止餘二百列餘實下與次商相呼二二除四實盡得濶四十二以除直積二千三百五十二得長五十六
　　通曰以長十五乗積為實有三㸃而直積之二三五二止兩㸃仍以直積定商位故知初商為十也餘縱列位常隨實首今縱八多於實首三故照例退位
　　平方積和求長
　　積與和求長者原積有長濶相乗而無長自乗宜損濶以益長故以和為縱方而置一算為負隅稍贏其商以減其縱用減餘者以除積而積常不足則翻以積減縱而餘為負積或再商命隅以減縱而縱反不足亦翻以縱減商而餘縱三者俱負乃以負縱約餘負積商命負隅開之是為帶縱負隅減縱翻法開平方也
　　帶縱負隅減縱翻法開平方法
　　式直積捌百陸十肆長濶和陸十問長幾何曰三十六術列實以和為縱方一為負隅初商三乗負隅仍得三十以減縱餘三十列實下與初商相呼三三應除九百
　　〈三十其三十也〉而實數不足遇此則翻列九
　　百於原積之上而以原積捌百陸十
　　肆減之餘負積三十六即為餘實再
　　以初商乗負隅之三十減餘縱減盡乃約餘實得次商六以乗負隅一仍得六註尾㸃呼次商六六除三十六
　　實盡得長三十六
　　通曰己丙丁戊形初商餘縱相乗之
　　九百也内減去己壬庚辛丁戊磬折
　　形原積八百六十四餘壬丙辛庚形
　　三十六在原積之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得濶二十四長三十六
　　又式　術如直積叄千肆百伍十陸長濶和壹百貳十
　　求長者列實以和為縱一為負隅
　　初商七乗負隅仍得七十減縱餘
　　五十與初商相呼五七應除三千
　　五百而原積不足乃翻以三千五
　　百列上而以原積減之餘四十四為餘實又以初商所乗之七十減餘縱而餘縱亦不足乃翻以餘縱五十減初商乗數七十餘二十為亷註三位下而縱又為負次商二註尾㸃為隅亷隅共二十二呼次商除之實盡得長七十二
　　又式　術有虚立長濶和較求長者如直積捌百陸十肆一長二濶三和四較共叄百壹十貳依前法衍得八
　　長一濶以一濶乗直積為實
　　捌長為負隅共數為縱方列
　　實初商三乗隅捌得二百四
　　十以減縱餘七十貳列實下呼初商三七應除二千一百六十而積不足乃翻以二一六列上〈二乃千數故進位〉而以積減之餘負積一千二百九十六即為餘實又以初商所乗之二百四十減餘縱而餘縱亦不足亦翻以餘縱七十貳減之餘負縱一百六十八次商六乗負隅捌得四十八又并入負縱一百六十八得二百一十六列實下以呼次商除之實盡得長三十六
　　通曰凡減法原以小減大故宜用翻法也
　　平方帶縱諸變
　　縱方之術所以通平方之變而翻法一術又所以通縱方之窮此外有積與二濶較及長濶較求濶者皆以錯綜為用以取其條理也衍之於左
　　一帶縱減積開平方法
　　式三廣田積貳千肆百陸十伍歩云中廣不及南廣八
　　歩亦不及北廣三十六歩又不及
　　正長六十七歩問三廣各幾何長
　　幾何曰中廣十八歩南廣二十六
　　歩北廣五十四歩正長八十五歩
　　術列積為實并不及二廣共四十四以四除之得壹十壹為帶縱以不及長陸十㭍為減積初商一〈十也〉并帶縱得二十壹隨首㸃列之為方法以乗減積得一千四百○七依千百位列實下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七餘實一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚餘實八四八倍初商一作二為亷并帶縱壹十壹及減積陸十㭍共九十八為方法註退位次商八註末㸃并方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八實盡得中廣一十八各加不及合問
　　通曰初叚以乗減積數依列位并方法為一六一七呼除亦便
　　二減積帶縱負隅并縱開平方法
　　式大小二方共積七千五百九十二大方面較小方面
　　多二十八問大小方面各幾何
　　曰大方面七十四小方靣四十
　　六術較自乗得七百八十四以
　　減積餘陸千捌百○捌為實倍較得伍十六為帶縱二為負隅初商四乗負隅二得八十并縱共一百三十六為方法註積下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四餘實一三六捌倍初商作八十并初方一三六共二百一十六為亷註退位次商六亦乗負隅二得一十二為隅并入亷内共二百二十八呼次商除之實盡得小方靣四十六加較得大方靣七十四
　　又式　術如大小三方共積四千七百八十八大方面
　　多小方靣三十中方面多小
　　方面十二〈大方面多中方面十八也〉求各
　　面者以較三十自乗得九百
　　以較十二自乗得一百四十四相并得一千○四十四以減共積餘叄千㭍百肆十肆為實并二較得四十二倍得捌十肆為縱以三為負隅初商二乗負隅三得六十并縱共一百四十四為方法列實下呼初商一二除二二四除八又二四除八餘實八百六十肆倍初乗隅六十得一百二十為亷并縱得二百○四註退位為方法次商四乗負隅三得一十二為隅并方法共二百一十六呼次商除實盡得小方靣二十四加較十二得中方面三十六又加較十八得大方面五十四
　　通曰負隅用二者二方故也用三者三方故也
　　三隅算開平方法
　　凡圓者之四可當方者之三并方圓之率為七用七為隅算以求之
　　式方圓共積二千二百六十八方面圓徑相等問靣徑
　　俱幾何曰方面圓徑俱三十六
　　術四乗原積得玖千○㭍十貳
　　為實列七為隅算初商三乗隅
　　算七得二百一十為方法呼初商二三除六一三除三餘實二七㭍貳倍初商得六十為亷次商六乗隅算七得四十二為隅又以次商六乗亷六十得三百六十并隅得四百○二又并入亷六十共四百六十二呼次商除實盡得方面圓徑俱三十六又術以四乗原積得九千○七十二并方四圓三得七為法除之得一千二百九十六為實平方開之得三十六更㨗
　　四帶縱隅益積開平方法
　　式方不知積但以長乗一長二濶三和四較之共數得肆萬肆千玖百貳十捌長濶較貳十肆問長幾何曰七
　　十二術列所乗共數
　　為實置較為益縱約
　　三和得三長三濶以
　　并一長二濶得四長
　　五濶又并四較取四濶為長總得八長一濶共九叚以九為負隅初商七乗負隅九得六百三十為隅法又以初商七乗益縱二十四得一千六百八十註實下以益積共加得實肆萬六千六百○捌却以隅法六百三十註實退位與初商相呼六七除四十二三七除二十一餘實二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十為方法註實退位次商二又乗負隅九得一十八為隅法另以次商二乗益縱二十四得四十八并入餘實共加得餘實二五五六却以方隅并得一千二百七十八與次商相呼除實盡得長七十二
　　五帶縱負隅減縱開平方法
　　同右法或損長以就之則用此也
　　式一長二濶三和四較以長乗之得肆萬㭍千貳百壹十貳長濶較二十八問長幾何曰七十四術列實較為
　　縱如右式推得九為負隅初商
　　七乗負隅九得六百三十為方
　　法内減帶縱二十八餘六百○
　　二退位註呼初商六七除四十
　　二二七除一十四餘實五○七貳倍方法六百三十得一千二百六十内減帶縱二十八餘一千二百三十二為亷列餘實下次商四乗負隅九得三十六為隅法并亷共一二六八呼次商除實盡得長七十四
　　六減積帶縱隅益積開平方法
　　又有同前不知積知較而以濶乗其一長二濶三和四較之共數得若干求長者用此
　　式設有一長二濶三和四較之共數以濶乗之得二萬
　　九千九百五十二其較二十
　　四問長幾何曰七十二術以
　　較自乗得五百七十六以減
　　原乗積餘貳萬玖千叄百㭍
　　十陸為實較為益縱六為隅算初商七乗隅算六得四百二十為隅法註實下又以初商七十乗益縱二十四得一千六百八十以益原實得三萬一千○五十陸乃以隅法呼初商四七除二萬八千二七除一千四百餘實一千六百五十陸倍隅法四百二十得八百四十為亷次商二乗隅算六得一十二為隅法另以次商二乗益縱得四十八以益餘實得一千七百○四乃并亷隅二法共八百五十二註餘實下呼次商除實盡得長七十二
　　七帶縱負隅減縱益積開平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式設有一長二濶三和四較之共數以濶乗得貳萬玖
　　千叄百肆十捌長濶較二十
　　八問長幾何曰七十四術列
　　實較為縱九為負隅〈如前法〉初
　　商七乗負隅得六百三十為
　　方法内減縱二十八餘六百
　　○二註實下又以乗縱得一萬六千八百五十六以益原實得四萬六千二百○四為實乃以初商與餘方法六百○二相呼六七除四萬二千二七除一百四十餘實四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十減縱餘一千二百三十二為亷次商四乗負隅得三十六為隅法以乗縱得一千○八以益餘實得五千○七十二為餘實并亷隅二法共一千二百六十八與次商相呼除實盡得長七十四
　　八帶縱亷開平方法
　　式一長二濶三和四較以濶乗得貳萬玖千玖百伍十貳長濶較二十四問濶幾何曰四十八術列實減較之半得一十二為縱亷而以初商乗之初商四十為方法以乗縱亷得四百八十又并初商得五百二十退位註實下呼初商五四除貳萬二四除八百餘實玖千一百伍十貳倍所乘縱亷四百八十為九百六十倍方法四十
　　為八十相并得一千○四十為方法次商八為隅以乗縱亷十二得九十六再并入方隅共一千一百四十四註實下呼次商除實盡得濶四十八
　　九帶縱亷負隅開平方法
　　通曰右式亦可以此法求之
　　式一長二濶三和四較以濶乗得貳萬玖千叄百肆十
　　捌長濶較二十八問濶幾何曰
　　四十六術列實推得共八較九
　　濶用九為負隅以八乗較得二
　　百二十四為縱亷初商四乗負
　　隅九得三百六十為方法并縱亷共五百八十四註實下呼初商五四除貳萬四八除三千二百四四除一十六餘實五千九百八十捌倍方法三百六十為七百二十為亷并縱亷共九百四十四次商六乗負隅九得五十四為隅再并入亷并縱亷之九百四十四得九百九十八註實下呼次商除實盡得濶四十六
　　十帶縱方亷開平方法
　　式一長二濶三和四較以長乗得肆萬肆千玖百貳十
　　捌長濶較二十四問濶幾何
　　曰四十八術列實以較為縱
　　方推得八長一濶共九倍
　　九為一十八作縱亷初商四
　　十為方法乗縱亷十八得七百二十并入方法四十共七百六十又并入縱方二十四共七百八十四註實下呼初商四七除二萬八千四八除三千二百四四除一百六十餘實一萬三千五百六十捌倍縱亷乗并之七百六十為一千五百二十并入縱方二十四共一千五百四十四為亷次商八乗縱亷十八得一百四十四為隅乃將次商八亷一千五百四十四隅一百四十四共并得一千六百九十六註實下呼次商除實盡得濶四十八
　　十一帶縱亷負隅乗縱減實開平方法
　　式一長二濶三和四較以長乗得肆萬㭍千貳百壹十
　　貳長濶較二十八問濶幾
　　何曰四十六術列實推得
　　八長九用八乗較得二
　　百二十四為縱亷用九為
　　負隅又以較二十八為減縱方初商四十乗負隅九得三百六十為方法并入縱亷共五百八十四為下法以乗減縱二十八得一萬六千三百五十二以減實餘三萬○八百六十為實乃以下法五百八十四列下呼初商五四除二萬四八除三千二百四四除一百六十餘實七千五百倍方法三百六十得七百二十并縱亷二百二十四共九百四十四為亷次商六乗負隅九得五十四為隅又以乗減縱二十八得一千五百一十二以減餘實餘五千九百八十八為餘實乃将亷九百四十四隅五十四共并得九百九十八列下呼次商除實盡得闊四十六
　　通曰正積可以㸃定位乗積亦可以㸃定位故列乗積三㸃而商止二位耳盖乗積虚増而非實有也
　　開平圓〈少廣之八〉
　　積求外周法
　　式圓積二千三百五十二問外周幾何曰一百六十八術置積以十二乗之得二萬八千二百二十四為實平方開之得一百六十八為外周也
　　積求内徑法
　　式圓積二千三百五十二問内徑幾何曰五十六術置積以四乗之得九千四百○八以三除之得三千一百三十六為實平方開之得五十六為内徑也








　　數度衍巻十二
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十三
　　桐城　方中通　撰
　　開立方〈少廣之九〉
　　珠算開立方法
　　式積一百九十五萬三千一百二十五問立方一面幾何曰一百二十五術置積盤中約初商一百别立下法亦置一百以初商自乗再乗得一百萬以減實餘九十五萬三千一百二十五以三乗下法一百得三百為方
　　法列右次商二十
　　置下法一百之次
　　共一百二十又以
　　次商乗之得二千
　　四百為亷法再以
　　方法三百乗亷法
　　得七十二萬以減
　　餘實尚餘二十三
　　萬三千一百二十五又以次商自乗再乗得八千為隅法以減餘實尚餘二十二萬五千一百二十五以三乗下法一百二十得三百六十為方法列右三商五置下法一百二十之次共一百二十五又以三商乗之得六百二十五為亷法又以方法三百六十乗亷法得二十二萬五千以減餘實尚餘一百二十五又以三商自乗再乗得一百二十五為隅法以減餘實實盡得面一百二十五
　　歸除開立方式積一億○二百五十萬○三千二百三十二問立方一面幾何曰四百六十八術置積為實初商四百於左亦置四百於右自乗得一十六萬乃與左四百相呼一四除實四千萬四六除實二千四百萬餘實三千八百五十萬○三千二百三十二以三乗右下一十六萬得四十八萬為方法歸除之曰四三七餘二實不足除曰起一還四則次商不可用七止可用六也乃呼六八除實四百八十萬餘實九百七十萬○三千二百三十二另以次商六十乗初商四百得二萬四千以三乗之得七萬二千為亷法次商自乗得三千六百為隅法亷隅并得七萬五千六百却以次商呼除之六七除實四百二十萬五六除實三十萬六六除實三萬六千餘實五百一十六萬七千二百三十二以方法四十八萬并入兩回亷法十四萬四千三囬隅法一萬○八百共得六十三萬四千八百為方法歸除之曰六五八餘二則三商為八也乃呼三八除實二十四萬四八除實三萬三千八八除實六千四百餘實八萬八千八百三十二再置初次兩商共四百六十以三商八乗之得三千六百八十以三乗之得一萬一千○四十并入三商自乗得六十四共一萬一千一百○四却以三商呼除之一八除實八萬一八除實八千一八除實八百四八除實三十二實盡得靣四百六十八
　　筆算開立方法
　　式捌十叄億陸千伍百肆十貳萬㭍千問立方一面幾何曰二千○三十術自末位○下作㸃隔二位一㸃共四㸃分為四叚知商有四位也尋原初商得二乃以二自乗再乗得八減首位實捌完首叚次叚實叄陸伍除㸃上之伍未用且作叄十陸開之乃三倍初商二為六作亷法另置右上以初商二加○作二十以乗六得一百二十當以此數商除二叚之實而叄十陸反小一百二十反大遇此則商有○矣竟於格右紀○當作次商完二叚三叚實叄陸伍肆貳㭍除㸃上之㭍未用且作叄萬陸千伍百肆十貳開之亦三倍初次兩商之二十為六十置右上亦以二○加○作二百以乗六十得一萬二千用此數於實内商之三商當
　　是三〈實内有三回一萬二千也〉以亷六十乗三得一百八十并一萬二千共一萬二千一百八十又以三乗之得三萬六千五百四十為亷另以三商三自乗再乗得二十七為隅将亷隅減實實盡隅必註㸃下故七在㭍下二在貳下也完三叚尚餘四叚未開於右加○作四商得靣二千○三十
　　用命分式　術通曰實未盡者欲再開之須尾加三圏則開一商加六圏増二商他命分術無用矣
　　籌算開立方法〈見籌算〉
　　立方不等開法
　　通曰立方有三面三面俱等者用前法開之三面内有一靣不等及三靣俱不等者用縱方亷開之三靣者髙濶長也
　　一長濶相等髙不等法
　　式積一千二百九十六長濶數等惟髙不及三問髙與長濶各幾何曰髙九長濶皆十二術列實以髙不及三自乗得九為縱方又以不及三倍作六為縱亷有二㸃應約初
　　商一十因有縱方只商九自乗得八十一并縱方九得九十又以所商九乗縱亷六得五十四九十者方法也五十四者亷法也相并得一百四十四列實下呼所商九除實一九除九百四九除三百六十四九除三十六實盡得髙九加不及三得十二為長濶數
　　減積式積一千七百八十七萬五千髙濶相等惟長多三十六問長髙濶各幾何曰長二百八十六髙濶皆二百五十術列實初商二百自乗再乗得八百萬次商五十兩商共二百五十自乘再乘得一千五百六十二萬五千以減積餘二百二十五萬為實另以所商二百五十乘長多三十六得九千又乗二百五十得二百二十五萬以減積實盡所商之二百五十乃髙濶數也加長多三十六得二百八十六乃長也
　　二長濶髙三不等法
　　式積一百二十濶多於髙二長又多於濶三問長濶髙各幾何曰髙三濶五長八術通曰濶多於髙二髙濶較也長多於濶三長濶較也列實兩較各自乘二自之得四三自之得九相并得
　　十三為縱方兩較相乘得六為縱亷約商當是四因此有縱方只商三以三自乘得九并縱方十三得二十二為方法又以商三乗縱亷六得一十八為亷法二法相并得四十列實下呼商三四除一百二十實盡得髙三加二得濶五又加三得長八
　　立方帶縱諸變
　　一帶縱負隅開立方法
　　式實一千三百八十二萬四千縱方八萬六千四百二為隅法問方幾何曰一百二十術列實初商一百自之得一萬以隅二乗之得二萬并縱得十萬○六千四百為下法與初商一百相乗得一千○六十四萬列實下
　　減實餘實三百一十八萬四千以三
　　乗隅法二萬得六萬為方法以三乗
　　初商得三百又以隅二乗之得六百
　　為亷次商二十乗亷得一萬二千為
　　亷法以次商自之得四百以隅二乗
　　得八百為隅法乃并六萬〈方法〉一萬二千〈亷法〉八百〈隅法〉八萬六千四百〈縱方〉共得一十五萬九千二百為下法與次商二十相乗得三百一十八萬四千列實下減實盡得方一百二十末㸃未開故知初商為百也
　　通曰下法乗商即呼商也竟列下法則呼商除實若列下法乗商之數則減實也
　　二帶縱亷開立方法
　　式實二千一百六十萬縱亷一百三十五問方幾何曰二百四十術列實初商二百乗縱亷得二萬七千初商自之得四萬為隅法相并得六萬七千為下法乗初商二百得一千三百四十萬列下減實餘實八百二十萬倍縱亷乗數得五萬四千三乗隅法得十二
　　萬相併得一十七萬四千為方法三乗初商得六百又并縱亷得七百三十五為亷次商四十乗亷得二萬九千四百為亷法又以次商自之得一千六百為隅法乃并十七萬四千〈方法〉二萬九千四百〈亷法〉一千六百〈隅法〉共得二十萬○五千為下法乗次商四十得八百二十萬列下減實盡末㸃未開得方二百四十
　　三帶縱減益亷開立方法
　　式實五百三十七萬六千縱方一萬七千六百益亷六百四十問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗益
　　亷得六萬四千初商自乗得一萬為
　　隅法以隅法并縱方得二萬七千六
　　百以減益亷乗數餘三萬六千四百
　　為下法乗初商得三百六十四萬列
　　下減實餘實一百七十三萬六千倍
　　益亷乗數得十二萬八千三乗隅法得三萬并縱方得四萬七千六百為方法三乗初商得三百為亷法次商二十乗益亷得一萬二千八百加入倍亷十二萬八千得十四萬○八百又以次商乗亷法三百得六千又以初商自乗得四百為隅法乃并四萬七千六百〈方法〉六千〈亷乗〉四百〈隅法〉共得五萬四千以減十四萬○八百餘八萬六千八百為下法乗次商得一百七十三萬六千列下減實盡得方一百二十
　　四縱亷減縱方翻法開立方法
　　式實一千○八萬縱方二十一萬三千六百縱亷一千二百問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得十二萬以減縱方餘九萬三千六百為方法初商自乗得一萬為隅法以并方法得十萬○三千六百為下法乗初商得一千○三十六萬當以此數減實而實止一千○八萬不足減遇此則反以一千○三十六萬列上為實而以一千○八萬減之餘二十八萬為負積倍縱亷乗數得二十四萬三乗隅
　　法得三萬為方法三乗初商得三百為亷法次商二十乗縱亷一千二百得二萬四千并入倍亷二十四萬得二十六萬四千以減縱方而縱方止二十一萬三千六百不足減遇此則反以二十六萬四千為縱方而以二十一萬三千六百減之餘五萬○四百為負縱又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百為隅法乃并得三萬〈方法〉六千〈亷乗〉四百〈隅法〉以減負縱五萬○四百餘一萬四千為下法乗次商得二十八萬減實盡得方一百二十
　　五亷減縱開立方法
　　式實一千三百○五萬六千縱方一十三萬二千八百縱亷三百二十問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得三萬二千以減縱方餘十萬○八百初商
　　自乗得一萬為隅法并餘縱得十一
　　萬○八百為下法乗初商得一千一
　　百○八萬列下減實餘實一百九十
　　七萬六千倍縱亷乗數得六萬四千
　　三乗隅法得三萬為方法三乗初商
　　得三百為亷法次商二十乗縱亷三百二十得六千四百并入倍亷六萬四千共七萬○四百以減縱方餘六萬二千四百又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百為隅法乃并得三萬〈方法〉六千〈亷乗〉四百〈隅法〉又并餘縱六萬二千四百共九萬八千八百為下法乗次商得一百九十七萬六千減實盡得方一百二十
　　六帶縱以亷益積開立方法
　　式實二千五百八十萬○四千八百縱方一十九萬三
　　千九百二十縱亷四百八
　　十半為隅算問方幾何曰
　　二百四十術列實初商二
　　百乗縱亷得九萬六千以
　　乗初商得一千九百二十
　　萬為益實加入原實共得實四千五百萬○四千八百又以初商自乗得四萬以隅算乗之得二萬為隅法以并縱方得二十一萬三千九百二十為下法乗初商得四千二百七十八萬四千列下減實餘實二百二十二萬○八百倍縱亷乗數得十九萬二千三乘隅法得六萬為方法三乗初商得六百以隅算半乗之得三百為亷法次商四十乘縱亷四百八十得一萬九千二百并入倍亷十九萬二千得二十一萬一千二百以乘次商得八百四十四萬八千為益實加入餘實共實一千○六十六萬八千八百以次商乗亷法三百得一萬二千又以次商自乗得一千六百以隅算半乗之得八百為隅法乃并六萬〈方法〉一萬二千〈亷乗〉八百〈隅法〉及縱方十九萬三千九百二十共得二十六萬六千七百二十為下法乘次商得一千○六十六萬八千八百減實盡得方二百四十
　　七負隅減縱以亷益縱開立方法
　　式實一億○五百八十四萬縱方五十三萬六千四百縱亷三千六百隅算六問方幾何曰一百二十術列實初商一百乘縱亷得三十六萬初商自乘得一萬以隅算六乗之得六萬為隅法以減縱方餘四十七萬六千四百并縱亷乗數得八十三萬六千四百為下法乗初商得八千三百六十四萬減實餘實二千二百二十萬倍縱亷乗數得
　　七十二萬三乗隅法得十八萬為方法三乗初商得三百以隅算六乗之得一千八百為亷法次商二十乗縱亷三千六百得七萬二千加入倍亷七十二萬得七十九萬二千為縱亷以次商乗亷法一千六百得三萬六千又以次商自乗得四百以隅算六乗之得二千四百為隅法乃并十八萬〈方法〉三萬六千〈亷乘〉二千四百〈隅法〉共二十一萬八千四百以減縱方餘三十一萬八千又并縱亷七十九萬二千共一百一十一萬為下法乗次商得二千二百二十萬減實盡得方一百二十
　　八帶縱負隅以亷減縱開立方法
　　式實七千三百四十四萬縱方八十四萬二千四百縱亷二千四百隅算四問方幾何曰一百二十術通曰列
　　實初商一百乗縱亷得二十四萬減
　　縱方餘六十萬○二千四百初商自
　　乗得一萬以隅四乘之得四萬為隅
　　法并餘縱共六十四萬二千四百為
　　下法乗初商得六千四百二十四萬
　　減實餘實九百二十萬倍縱亷乗數得四十八萬以三乗隅法得十二萬為方法三乗初商得三百以隅算四乗之得一千二百為亷法次商二十乗縱亷二千四百得四萬八千并入倍亷四十八萬得五十二萬八千以減縱方餘三十一萬四千四百又以次商乗亷法一千二百得二萬四千又以次商自乗得四百以隅算四乗之得一千六百為隅法乃并十二萬〈方法〉二萬四千〈亷乘〉一千六百〈隅法〉及餘縱三十一萬四千四百共四十六萬為下法乗次商得九百二十萬減實盡得方一百二十九帶縱負隅以亷減縱翻法開立方法
　　式實二千○八十八萬九千六百縱方二十七萬○八十縱亷一千二百八十隅算四問方幾何曰一百二十術通曰列實初商一百乗縱亷得十二萬八千減縱方餘十四萬二千○八十初商自乗得一萬乗隅算四得四萬為隅法并餘縱得十八萬二千○八十為下法乗初商得一千八百二十萬○八千減實餘實二百六十八萬一千六百倍縱亷乗數得
　　二十五萬六千以三乗隅法得十二萬為方法三乗初商得三百乗隅算四得一千二百為亷法次商二十乗縱亷得二萬五千六百并入倍亷得二十八萬一千六百以減縱方不足減反以縱方二十七萬○八十減之餘一萬一千五百二十為負縱又以次商乗亷法一千二百得二萬四千又以次商自乗得四百乗隅算四得一千六百為隅法乃并十二萬〈方法〉二萬四千〈亷乗〉一千六百〈隅法〉共十四萬五千六百以減負縱餘十三萬四千○八十為下法乗次商得二百六十八萬一千六百減實盡得方一百二十
　　十帶縱方亷開立方法
　　式實一千○二十萬縱方四萬縱亷二百五十五問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得二萬五
　　千五百初商自乗得一萬為隅法并
　　縱亷乗數得三萬五千五百又并縱
　　方得七萬五千五百為下法乗初商
　　得七百五十五萬減實餘實二百六
　　十五萬倍縱亷乗數得五萬一千三
　　乗隅法得三萬相并得八萬一千為方法三乗初商得三百并縱亷得五百五十五為亷法次商二十乗亷法得一萬一千一百又以次商自乗得四百為隅法乃并八萬一千〈方法〉一萬一千一百〈亷乗〉四百〈隅法〉及縱方共十三萬二千五百為下法乗次商得二百六十五萬減實盡得方一百二十
　　通曰諸式皆三㸃因末㸃皆○未開故初商皆為百也開立圓〈少廣之十〉
　　積求外周法
　　式積六萬二千二百○八問立圓外周幾何曰一百四十四術置積以四十八乗之得二百九十八萬五千九百八十四用立方開之得方面一百四十四即立圓周也
　　積求内徑法
　　式積六萬二千二百○八問立圓内徑幾何曰四十八術置積以十六乗之得九十九萬五千三百二十八以九除之得十一萬○五百九十二用立方開之得方面四十八即立圓徑也



　　數度衍卷十三



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十四
　　桐城　方中通撰
　　開三乗方〈少廣之十一〉
　　開三乗方法
　　式積二千○一十五萬一千一百二十一問三乗方一面幾何曰六十七術列實從末位作㸃隔三位一㸃每一㸃為一商也初商六十自乗得三千六百再乗得二十一萬六千為隅法乗初商得一千二百九十六萬減實餘實七百一十九萬一千一百二十一以四乗隅法得八十六萬四千為方法另以初商自乗得三千六百以六乗之得二萬一千六百為上亷又将初商以四乗之得二百四十為下亷次商七自乗得四十九以七乗之
　　得三百四十三為隅法另以次商乗上亷得十五萬一千二百以七乗下亷得一千六百八十再以七乗之得一萬一千七百六十乃并八十六萬四千〈方法〉一十五萬一千二百〈丄亷乗數〉一萬一千七百六十〈下亷乗數〉三百四十三〈隅法〉共一百○二萬七千三百○三為下法乗次商得七百一十九萬一千一百二十一減實盡得方六十七又術列實平方開之四位商得一面四千四百八十九又以此數為實平方開之得一面六十七亦合
　　通曰式内所云以七乗之非次商七也與以四乗以六乗同為應用之率次商七蓋偶合耳
　　通曰三乗方形雖係長立方然亦大平方也今以小平方邊甲乙自乗得甲丁小平方形再乗得丙戊長方形此形内容甲丁
　　形者十也三乗得丙己大平方形此形内容甲丁形者百也丙申邉與甲丁形冪等故甲乙自乗得小平方丙甲自乗得大平方
　　三乗方帶縱諸變
　　一帶縱方亷開三乗法
　　式積一百○五億七千六百○六萬五千六百縱方四百七十三萬○六百四十縱一亷五十一萬一千九百○七縱二亷一千四百○六問方幾何曰一百二十術列實初商一百以乗縱一亷得五千一百一十九萬○
　　七百初商自乗得一萬以乗縱二
　　亷得一千四百○六萬初商自乗
　　再乗得一百萬為隅法乃并縱一
　　亷乗數縱二亷乗數隅法及縱方
　　共七千○九十八萬一千三百四
　　十為下法乗初商得七十億○九
　　千八百一十三萬四千減實餘實
　　三十四億七千七百九十三萬一千六百以二乗縱一亷乗數得一億○二百三十八萬一千四百以三乗縱二亷乗數得四千二百一十八萬以四乗隅法得四百萬并三數共得一億四千八百五十六萬一千四百為方法以初商自乗得一萬以六乗之得六萬又以初商三之得三百乗縱二亷得四十二萬一千八百并六萬及縱一亷得九十九萬三千七百○七為上亷初商四之得四百并縱二亷得一千八百○六為下亷次商二十以乗上亷得一千九百八十七萬四千一百四十以次商自乗得四百乗下亷得七十二萬二千四百又以次商自乗再乗得八千為隅法乃并方法上亷乗數下亷乗數隅法及縱方共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法乗次商得三十四億七千七百九十三萬一千六百減實盡得方一百二十
　　二帶縱亷益積開三乗方法
　　式實四百六十六萬五千六百縱方六十五萬二千三百二十益亷八千六百四十問方幾何曰一百二十術列實初商一百以乗益亷得八十六萬四千并縱方得一百五十一萬六千三百二十為益積之法乗初商得一億五千一百六十三萬二千為益實加入原積共一
　　億五千六百二十九萬七千六百
　　為通實乃以初商自乗再乗得一
　　百萬為隅法乗初商得一億減實
　　餘五千六百二十九萬七千六百
　　為次商之實以二乗益亷乗數得
　　一百七十二萬八千以四乗隅法
　　得四百萬為方法以初商自乗得一萬再以六乗之得六萬為上亷以初商四之得四百為下亷次商二十以乗益亷得十七萬二千八百加入倍亷〈即二乗益亷數〉共一百九十萬○八百又并縱方共二百二十五萬三千一百二十為益積之法乗次商得五千一百○六萬二千四百為益實加入次實共一億○七百三十六萬為通實乃以次商乗上亷得一百二十萬又以次商自乗得四百以乗下亷得十六萬又以次商自乗再乗得八千為隅法乃并方法上亷乗數下亷乗數隅法共五百三十六萬八千為下法乗次商得一億○七百三十六萬減實盡得方一百二十
　　三帶縱方亷減隅翻法開三乗方法
　　式實四百六十六萬五千六百縱方六十五萬二千三百二十縱亷八千六百四十問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得八十六萬四千初商自乗再乗得一百萬為隅法并縱亷乗數縱方共一百五十一萬六千三百二十以減隅法而
　　隅法止一百萬不足減反減并數一百萬餘五十一萬六千三百二十為負積乗初商得五千一百六十三萬二千加入原積共五千六百二十九萬七千六百為次商之實倍縱亷乗數得一百七十二萬八千以四乗隅法得四百萬為方法以初商自乗得一萬再以六乗之得六萬為上亷以初商四之得四百為下亷次商二十以乗縱亷得十七萬二千八百并入倍亷共一百九十萬○八百以次商乗上亷得一百二十萬又以次商自乗得四百乗下亷得十六萬又以次商自乗再乗得八千為隅法乃并方法上亷乗數下亷乗數隅法共五百三十六萬八千為通隅以縱亷共數一百九十萬○八百并縱方得二百五十五萬三千一百二十以減通隅餘二百八十一萬四千八百八十為下法乗次商得五千六百二十九萬七千六百減實盡得方一百二十通曰減法而後益實益實而後減法其餘實一也但開方諸法惟此初商益實次商減實耳
　　四亷隅減縱開三乗方法
　　式實八十五億五千二百五十五萬○四百縱方五千三百四十五萬三千四百四十縱一亷十八萬四千九百六十縱二亷五百七十八隅算二問方幾何曰一百三十六術列實初商一百乗縱一亷得一千八百四十
　　九萬六千為益縱初商自乗
　　得一萬乗縱二亷得五百七
　　十八萬為益隅初商自乗再
　　乗以隅算二乗之得二百萬
　　加益隅共七百七十八萬為
　　減縱以減縱方餘四千五百
　　六十七萬三千四百四十加
　　益縱共六千四百一十六萬九千四百四十為下法乗初商得六十四億一千六百九十四萬四千減實餘二十一億三千五百六十萬○六千四百為次商之實以二乗益縱得三千六百九十九萬二千為益縱方以三乗益隅得一千七百三十四萬為益隅之方以三乗初商得三百再乗縱二亷得十七萬三千四百為益隅之亷以四乗隅法二百萬得八百萬為方法以初商自乗得一萬再以六乗之得六萬又以隅算二乗之得十二萬為上亷以初商四之得四百又以隅算二乗之得八百為下亷次商三十以乗縱一亷得五百五十四萬八千八百并入益縱方共四千二百五十四萬○八百為益縱之亷以次商乗益隅之亷得五百二十萬○二千又以次商自乗得九百乗縱二亷得五十二萬○二百為益隅之隅乃并益隅之方益隅之亷乗數益隅之隅共二千三百○六萬二千二百為次商益隅以次商乗上亷得三百六十萬以次商自乗得九百乗下亷得七十二萬以次商自乗再乗得二萬七千再以隅算二乗之得五萬四千為正隅乃并方法上亷乗數下亷乗數正隅共一千二百三十七萬四千為次商隅法加次商益隅共三千五百四十三萬六千二百為減縱以減縱方餘一千八百○一萬七千二百四十加益縱之亷共六千○五十五萬八千○四十為下法乗次商得十八億一千六百七十四萬一千二百減實餘三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實以二乗五百五十四萬八千八百〈次商乗縱一亷之數〉得一千一百○九萬七千六百并入益縱方共四千八百○八萬九千六百為再益縱方以二乗益隅之亷乗數得一千○四十萬○四千以三乗益隅之隅得一百五十六萬○六百并此二乗數得一千一百九十六萬四千六百再并前益隅之方共二千九百三十萬○四千六百為再益隅之方并初次兩商得一百三十以三乗之得三百九十以乗縱二亷得二十二萬五千四百二十為再益隅之亷以二乗上亷乗數得七百二十萬以三乗下亷乗數得二百一十六萬以四乗正隅得二十一萬六千并此三乗數得九百五十七萬六千再并前方法共一千七百五十七萬六千為再方法并初次兩商得一百三十自乗得一萬六千九百以六乗之得十萬○一千四百以隅算二乗之得二十萬○二千八百為再上亷以初次兩商四之得五百二十以隅算二乗之得一千○四十為再下亷三商六以乗縱一亷得一百一十萬○九千七百六十并入再益縱方共四千九百一十九萬九千三百六十為再益縱之亷以三商乗再益隅之亷得一百三十五萬二千五百二十以三商自乗得三十六以乗縱二亷得二萬○八百○八為再益隅之隅乃并再益隅之方再益隅之亷乗數再益隅之隅共三千○六十七萬七千九百二十八為三商益隅以三商乗再上亷得一百二十一萬六千八百以三商自乗得三十六乗再下亷得三萬七千四百四十以三商自乗再乗得二百一十六再以隅算二乗之得四百三十二為再正隅乃并再方法再上亷乗數再下亷乗數再正隅共一千八百八十三萬○六百七十二為三商隅法加三商益隅共四千九百五十萬○八千六百為減縱以減縱方餘三百九十四萬四千八百四十加再益縱之亷共五千三百一十四萬四千二百為下法乗三商得三億一千八百八十六萬五千二百減實盡得方一百二十
　　五帶縱負隅以二亷隅益積開三乗方法
　　式實三百億○六千七百五十六萬縱方一億○二十二萬五千二百縱一亷三十四萬六千八百縱二亷五
　　百七十八隅算二問方幾
　　何曰二百五十五術列實
　　初商二百乗縱一亷得六
　　千九百三十六萬為益縱
　　初商自乗得四萬以乗縱
　　二亷得二千三百一十二
　　萬為益隅初商自乗再乗
　　得八百萬以隅算二乗之得一千六百萬為正隅并入益隅共三千九百一十二萬又以初商乗之得七十八億二千四百萬為益實加入原積得三百七十八億九千一百五十六萬為通實以益縱加入縱方共一億六千九百五十八萬五千二百為下法乗初商得三百三十九億一千七百○四萬減實餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實以二乗益縱得一億三千八百七十二萬為益縱方以三乗益隅得六千九百三十六萬為益隅之方以三乗初商得六百乗縱二亷得三十四萬六千八百為益隅之亷以四乗正隅得六千四百萬為方法以初商自乗得四萬又以六乗之得二十四萬又以隅算二乗之得四十八萬為上亷以初商四之得八百以隅算二乗之得一千六百為下亷次商五十以乗縱一亷得一千七百三十四萬為益縱亷并入益縱方共一億五千六百○六萬為益縱以次商乗益隅之亷得一千七百三十四萬以次商自乗得二千五百乗縱二亷得一百四十四萬五千為益隅之隅乃并益隅之方益隅之亷乗數益隅之隅共八千八百一十四萬五千為益隅以次商乗上亷得二千四百萬以次商自乗得二千五百乗下亷得四百萬以次商自乗再乗得十二萬五千以隅算二乗之得二十五萬為隅法乃并方法上下亷各乗數隅法共九千二百二十五萬為正隅加益隅共一億八千○三十九萬五千以次商乗之得九十億○一千九百七十五萬為益實加入餘實共一百二十九億九千四百二十七萬為通實以益縱方一億五千六百○六萬并縱方得二億五千六百二十八萬五千二百為下法乗次商得一百二十八億一千四百二十六萬減實餘一億八千○一萬為三商之實以二乗益縱亷得三千四百六十八萬并入益縱方得一億七千三百四十萬為再益縱方以二乗益隅之亷乗數得三千四百六十八萬以三乗益隅之隅得四百三十三萬五千以前益隅之方合此二數共一億○八百三十七萬五千為再益隅方并初次兩商得二百五十而三之得七百五十乗縱二亷得四十三萬三千五百為再益隅之亷以二乗上亷乗數得四千八百萬以三乗下亷乗數得一千二百萬以四乗隅法得一百萬并此三數及前方法共一億二千五百萬為方法并初次兩商自乗得六萬二千五百而六之得三十七萬五千又以隅算二乗之得七十五萬為上亷并初次兩商而四之得一千以隅算二乗之得二千為下亷三商五以乗縱一亷得一百七十三萬四千為再益縱亷并再益縱方得一億七千五百一十三萬四千為益縱方以三商乗再益隅之亷得二百一十六萬七千五百以三商自乗得二十五乗縱二亷得一萬四千四百五十為再益隅之隅乃并再益隅方再益隅亷乗數再益隅之隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅以三商乗上亷得三百七十五萬以三商自乗得二十五乗下亷得五萬以三商自乗再乗得一百二十五以隅算二乗之得二百五十為隅法乃并本叚方法上下亷乗數隅法共一億二千八百八十萬○二百五十為正隅加本叚益隅共二億三千九百三十五萬七千二百以三商乗之得十一億九千六百七十八萬六千為益實加入餘實得十三億七千六百七十九萬六千為通實以本叚益縱方并縱方得二億七千五百三十五萬九千二百為下法乗三商得十三億七千六百七十九萬六千減實盡得方二百五十五
　　通曰此以縱一亷益縱縱二亷益隅也
　　六帶縱負隅以二亷減縱開三乗方法
　　式實五十億○一千三百五十萬○四千縱方四千七百萬○一千六百縱一亷四千四百八十縱二亷六百四十隅算二問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱一亷得四十四萬八千為益縱之法初商自乗得一萬乗縱二亷得六百四十萬為減縱之法初商自乗再乗得一百萬乗隅算得二百萬為隅法以減縱之法減縱方餘四千○六十萬○一千六百加益縱之法得四千一百○四萬九千六百并隅法共四千三百○四萬九千六百為下法乗初商得四十三億○四百九十六萬減實餘七億○八百五十四萬四千為次商之實以二乗益縱之法得八十九萬六千為益縱之亷以三乗減縱之法得一千九百二十萬為減縱之方
　　以三乗初商得三百乗縱二亷得十九萬二千為減縱之亷以四乗隅法得八百萬為方法以初商自乗得一萬而六之得六萬又乗隅算得十二萬為上亷以初商四之得四百乗隅算得八百為下亷次商二十以乗縱一亷得八萬九千六百并益縱之亷得九十八萬五千六百為益縱之法以次商乗減縱之亷得三百八十四萬以次商自乗得四百乗縱二亷得二十五萬六千以并減縱之方減縱之亷乗數共二千三百二十九萬六千為減縱之法以次商乗上亷得二百四十萬以次商自乗得四百乘下亷得三十二萬以次商自乗再乗得八千乗隅算得一萬六千并方法上下亷乗數共一千○七十三萬六千為隅法以本叚減縱之法減縱方餘二千三百七十萬○五千六百加本叚益縱之法得二千四百六十九萬一千二百并本叚隅法共三千五百四十二萬七千二百為下法乗次商得七億○八百五十四萬四千減實盡得方一百二十
　　通曰如以減縱之法減縱方而縱方數少不足減則以益縱之法并縱方然後減之以其餘數并隅法不更加益縱之法矣
　　七帶縱方亷以二亷減縱開三乗方法
　　式實一十九億五千五百一十一萬九千六百八十縱方二千二百四十七萬二千六百四十縱一亷一十萬○六千九百二十九縱二亷六百五十四問方幾何曰七十二術列實初商七十乗縱一亷得七百四十八萬五千○三十為益縱之實初商自乗得四千九百乗縱二亷得三百二十萬○四千六百為減縱初商
　　自乗再乗得三十四萬三千為隅法以減縱減縱方餘一千九百二十六萬八千○四十加益縱之實得二千六百七十五萬三千○七十并隅法共二千七百○九萬六千○七十為下法乗初商得一十八億九千六百七十二萬四千九百減實餘五千八百三十九萬四千七百八十為次商之實以二乗益縱之實得一千四百九十七萬○六十為益縱之亷以三乗減縱得九百六十一萬三千八百為減縱之方以三乗初商得二百一十乗縱二亷得十三萬七千三百四十為起下減亷以四乗隅法得一百三十七萬二千為方法以初商自乗得四千九百而六之得二萬九千四百為上亷以初商四之得二百八十為下亷次商二以乗縱一亷得二十一萬三千八百五十八并益縱之亷得一千五百一十八萬三千九百一十八為益縱之實以次商乗起下減亷得二十七萬四千六百八十為減縱之亷以次商自乗得四乗縱二亷得二千六百一十六以并減縱之方減縱之亷共九百八十九萬一千○九十六為減縱之實以次商乗上亷得五萬八千八百以次商自乗得四乗下亷得一千一百二十以次商自乗再乗得八為正隅以并方法上下亷乗數共一百四十三萬一千九百二十八為隅法以本叚減縱之實減縱方餘一千二百五十八萬一千五百四十四加本叚益縱之實共二千七百七十六萬五千四百六十二并本叚隅法共二千九百一十九萬七千三百九十為下法乗次商得五千八百三十九萬四千七百八十減實盡得方七十二廣諸乗方〈少廣之十二〉
　　開諸乗方説
　　凡積數若千以平面開之適得自乗之數者為開平方其立方乃開平再乘積也三乘方長立方也〈如以二自乗起者得兩立方以三自乗起者得三立方之類但以平方一邊之數為凖〉四乗方平靣立方也〈如長立方得兩方數則進作四立方如長立方得三方數則進作九立方〉五乗方大立方也〈如係二自乗起者有四立方則進并十六方為大方如係五自乗起者有二十五立方則進并一百二十五立方之類〉自此推之六乗方視三乘形七乘方視四乗形八乗方視五乘形餘乘倣此可至無窮今立捷法由平面至諸乗總一條理先以諸乗原委布圖乗母為原乗出之子為開
　　初商尋原圖
　　凡開方列位以㸃分叚者平方每二位㸃作一叚再乗方每三位一叚三乗方每四位一叚倣此推之至九乗則十位一叚
　　矣皆自尾小數起而先以最大數
　　之首叚撿上圖以尋其原即以原
　　數開之
　　如平方開者首數係四十九平
　　行横查知七是原數用七自乗可
　　開若首叚數係六十四者即知八
　　是原數用八自乗可開若係六十
　　三者不及六十四一數仍以七開
　　之如再乗方開者首係二十七查知其原係三即以三自乗再乘開之若首叚係六十四者即知四是原數用四自乘再乗開之若係六十三仍以三開之如三乗方者首係八十一即知三是原數用三自乗再乗三乗開之
　　通曰商還原而如其積積還原而如其商也



　　如四乗方者首叚係一千○二十四即知四是原數如五乗方者首係一萬五千六百二十五即知五是原數




　　如六乘方者首叚係二十七萬九千九百三十六即知六是原數如七乗方者首叚係五百七十六萬四千八百○一即知七是原數雖千萬乗方其原皆可得也原數即初商也
　　次商用通率圖
　　右圖已得首位方法餘實倍方為亷平方者一倍再乗方者再倍三乗方者三倍四乗以上皆以本乗之數倣此倍之别立通率凡平方只一率為二○立方有二率為三○○為三○三乗方有三率為四○○○為六○○為四○〈一○為十両○為百〉自此以上諸乗倣此漸加而皆如後圖所推乃以方法之數乘之以乗出之數較餘實約得幾何母之幾何而即以其母為亷法也以首行所列之二為平方三為立方四為三乗方至十七則十
　　六乗方也他乗
　　倣此
　　首行之數自一
　　順列二行之數
　　承首行上格二
　　數積之如首行
　　三格是三二行
　　三格亦是三相
　　并得六故二行
　　之四格為六也
　　又如首行四格
　　是四二行四格
　　是六相併得一
　　十故二行之五
　　格為一○也三
　　行以至九行皆
　　然

　　三乗之四係
　　廻用
　　四乗之五五
　　乗之六與一
　　五皆廻用
　　六乗廻用二
　　位七乗廻用
　　三位

　　如前平方一乗者用一率曰二乃加一○為二○與方法相乗立方再乗者用兩率曰三曰三乃以右小數加一○為三○左大數加兩○為三○○而以三百乗方法其三乗方者用三率曰四曰六止兩數則又廻用右方之四為一率以補之曰四六四先以末位四加一○為四○次以六加兩○為六○○再以首位四加三○為四○○○乃以四千乗方法四乗方者廻用首行之五補足四率曰五曰一十曰一十曰五然後加○如右圖五乗方者廻用首行之六及二行之一十五補足五率也
　　通曰凡補一位者止廻用首行之數補二位者則兼用二行之數補三位者則兼用三行之數也其加○之法每一位加一○毋論其數之原有○無○與夫原數之為零為幾十幾也
　　諸式
　　一乗方式〈即平方〉術實六百七十六萬五千二百○一初商二為方法以求亷法立二○為通率列中位列方法於左位以相乗得四十以較餘實之首二七約得六之一〈二二七六作二百七十六是二百七十内有六回四十也〉乃立六為亷法列於右位自乗得三十六為隅法附列乃以亷法六乗四十得二百四十并隅法三十六共二百七十六盡第二叚餘實五二○一并亷入方為二
　　十六列左乗通率二十得五百二十以較餘實得一又以一為亷法列右自乗仍是一為隅法共五二一而實不足減乃作五千二百○一盡第四叚商得二六○一也
　　又式　術若已得亷法而以乗通率反浮餘實或亷法相合而隅法又浮餘實者皆減其亷法以乗之如實二百八十九初商一除實餘實一百八十九次商以方法乗通率得二○以較餘實可用九除實一百八十而隅法八十一則浮原積是九不可用矣減一數用八仍不足除乃用七為亷法乗得一四除實一百四十尚餘四十九足除隅法故商得一十七也
　　再乘方式〈即立方〉術實二十三萬八千三百二十八尋原母六自乘再乘得二一六除實餘二萬二千三百二十
　　八以六為方法求亷法用二率曰三
　　十曰三百自下而上叠位以方六對
　　三○以方六自乘得三六對三○○
　　各列於左初乗以三六乗三○○得
　　一萬○八百以視餘實約得二之一乃立二為亷以對三○○復以亷二自乗得四又以二四相乗得八為隅皆列右以亷二乗一萬○八百得二萬一千六百再乗以六乗三○得一百八十又以四乗之得七百二十并初乗數及隅八共二萬二千三百二十八減實盡商得六十二也
　　又式　術若初商方法只係一數者通率無乗須并諸率除之如實一千三百三十一初商以一為方法除浄首實一千次并中位兩通率一除可淨即以一為亷法對通率三百亷
　　自乗仍得一對通率三十再乗仍得一為隅附列共并得三百三十一〈兩率一隅〉除實盡商得一十一也
　　通曰凡以一為方法者皆可以諸位通率并之以求也三乘方式　術實一千四百七十七萬六千三百三十
　　六尋原母六自乗再乗三乗得一
　　二九六除實餘一百八十一萬六
　　千三百三十六以六為方法求亷
　　用通率三位曰四十曰六百曰四
　　千方六自乗得三六再乗得二一
　　六自下而上對列初乗以二百一十六乗四千得八十六萬四千較餘實約二之一以二為亷自乗得四再乗得八三乗得十六自上而下對列乃以二乗八十六萬四千得一百七十二萬八千再乘以三十六乗六百得二萬一千六百以四乗得八萬六千四百三乗以六乗四十得二百四十以八乗得一千九百二十乃并三數及隅十六共合餘實商得六十二
　　四乗方式　術實九億一千六百一十三萬二千八百三十二尋原母六自乗至四乗得七七七六除實餘一億三千八百五十三萬二千八百三十二求亷用四位通率曰五十曰一千曰一萬曰五萬以方法六自乗得三十六再乗得二百一十六三乗得一千二百九十六自下而上對列初乘以一千二百九十六乗五萬得六
　　千四百八十萬以較餘實約得
　　二之一以二為亷自乗得四再
　　乗得八三乗得十六自上而下
　　對列又四乗得三十二為隅乃
　　以二乗六千四百八十萬得一
　　億二千九百六十萬次乗二百
　　一十六乗一萬得二百一十六萬以四乗得八百六十四萬三乘三十六乗一千得三萬六千以八乗得二十八萬八千四乗六乘五十得三百以十六乗得四千八百乃并四次乘數及隅共合餘實商六十二
　　五乗方式　術實五百六十八億○二十三萬五千五
　　百八十四尋原母六以其五
　　乗數除實餘一百○一億四
　　千四百二十三萬五千五百
　　八十四求亷用五位通率曰
　　六十曰一千五百曰二萬曰
　　一十五萬曰六十萬以方六
　　自乗再乗三乘四乘自下而
　　上對列初乘左首位乘中首位得四十六億六千五百六十萬以較餘實約得二之一以二為亷自乗再乗三乗四乗自上而下對列又五乗得六十四為隅乃以右首位乗所得較數得九十三億三千一百二十萬次乗左次位乗中次位又以右次位乗之得七億七千七百六十萬三乗左三位乗中三位又以右三位乗之得三千四百五十六萬四乗左四位乗中四位又以右四位乗之得八十六萬四千五乗左末位乗中末位又以右末位乗之得一萬一千五百二十并五次乗數及隅共合餘實商得六十二
　　六乗方式　術實三萬五千二百一十六億一千四百六十萬六千二百○八尋原母六以其六乗數除實餘七千二百二十二億五千四百六十萬○六千二百○八求亷用六位通率曰七十曰二千一百曰三萬五千曰三十五萬曰二百一十萬曰七百萬以方六自乗再乗三乗四乗五乗自下而上對列初乗左首位乘中首位得三千二百六十五億九千二百萬以較餘實約得二之一以二為廉自乘再乘三乘四乘五乗自上而下對列又
　　六乗得一百二十八為隅
　　乃以右首位乗所得較數
　　得六千五百三十一億八
　　千四百萬次乗左次位乗
　　中次位又乗右次位得六
　　百五十三億一千八百四
　　十萬三乗左三位乗中三
　　位又乗右三位得三十六
　　億二千八百八十萬四乘左四位乗中四位又乗右四位得一億二千○九十六萬五乗左五位乗中五位又乗右五位得二百四十一萬九千二百六乘左六位乗中六位又乗右六位得二十六萬八千八百并六次乗數及隅共合餘實商得六十二
　　七乗方式　術實四兆五千九百四十九萬七千二百九十八億六千三百五十七萬二千一百六十一尋原母一除實一兆餘實求亷用七位通率曰八十曰二千八百曰五萬六千曰七十萬曰五百六十萬曰二千八百萬曰八千萬方法一數無乗當并通率諸位以較餘
　　實而惟首次兩數同為
　　大數其餘小數不足為
　　多寡且從省只并首次
　　兩率開之并得一億○
　　八百萬以較餘實約可
　　用三然自乗之九乗中
　　次位其數浮當减用二
　　為亷自乗再乗三乗四
　　乗五乗六乗自上而下
　　對列又七乗得二百五十六為隅初乗右首位乗中首位得一億六千萬次乗右二位乗中二位得一億一千二百萬三乗右三位乗中三位得四千四百八十萬四乘右四位乗中四位得一千一百二十萬五乘右五位乗中五位得一百七十九萬二千六乘右六位乗中六位得一十七萬九千二百七乗右七位乗中末位得一萬○三百六十八乃并七次乗數及隅共三億二千九百九十八萬一千六百九十六以除餘實尚餘實二千九百五十一萬五千六百○二億六千三百五十七萬
　　二千一百六十一〈乗得三億從三兆除
　　起〉再商自首至尾以一叚開
　　之乃并亷入方共一十二自
　　乗再乗三乗四乗五乗六乗
　　自下而上對列於左初乗左
　　首位乗中首位得二千八百
　　六十六萬五千四百四十六
　　億四千萬以較餘實只可用
　　一以一為亷無乗隅亦是一
　　次乘左次位乗中次位得八十三萬六千○七十五億五千二百萬三乗左三位乗中三位得一萬三千九百三十四億五千九百二十萬四乗左四位乗中四位得一百四十五億一千五百二十萬五乘左五位乗中五位得九千六百七十六萬八千六乘左六位乗中六位得四十萬○三千二百七乗左末位乗中末位得九百六十乃并七次乗數及隅共合餘實商得一百二十一尋原之法平方可求立方之原兼平方立方可求多乗之原若三乗方者以平方開之得數又平方開之即得原矣五乗方者以平方開之得數又立方開之或先開立而後開平即得原矣六乗方者作四乗方開二次即得其原七乗方者作平方開三次即得其原八乗方者作立方開二次即得其原九乗方者先開平而後開四乗或先開四乗而後開平即得其原若十乗方者作四乗方開三次即得其原矣
　　竒零諸乗開方法
　　式　術凡開方諸法以尋原為第一義即竒零中有母數子數俱有原可用者如平方九之四則以三之二為原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方〈七二〉之八亦以三之二為原以三自乗再乗得二十七以二自乗再乗得八也又如三乗方所得〈一八〉之〈六一〉亦以三之二為原以三自乗再乗三乗得八十一以二自乗再乗三乗得一十六也有二數並列子母不同而亦有原數可用者如四之二與九之八並列依對乗法兩母乗得三十六兩子乗得一十六是為〈六三〉之〈六一〉其平方之原為九之四以四九三十六四四一十六可用四為紐數者也有以全數帶竒零而亦有原可尋者如有全數二又〈七二〉之〈○一〉依化法化得〈七二〉之〈四六〉尋其立方之原為三之四以三再乗為二十七四再乗為六十四歸整得一又三之一也凡有原可尋則可開無原可尋則不可開必命分之母與得分之子各有原則可開若一有原一無原則不可開也尋原之術數之多者約之以至於寡如〈五四〉之〈○二〉約之為九之四其開平方之原即是三之二也如〈一八〉之〈四二〉約之為〈七二〉之八其開立方之原即是三之二也他一有原一無原者如九之六九有原六無原又如〈○二〉之〈一二〉則命分數與得分數俱無原皆不可開矣然數窮則變變則通不可開者又立法以開之如無原有數之最相近者可借以為原即以本數析之又析而相近之原可得也析之之法多取進位平方或析一為十為百立方或析一為百為千數彌多者求彌宻其原亦彌近也彌近之數或稍多於所求或稍約於所求而皆可以為原者也如以五數為開平方是為無原而任借〈○一〉為之原以一十自乗得一百以五乗得　雖〈○一〉不為　之原乃其原之最近者有兩數其一為　以〈二二〉為原〈二十二自乗得四百八十四也〉此近而朒者其一為　以〈三二〉為原〈二十三自乗得五百二十九也〉此近而盈者何也試以所借〈○一〉為命分之母以〈二二〉為得分之子以〈○一〉之〈二二〉自乗〈此係整二又帶零一十之二〉所得　之内除四百為四整數餘〈四八〉為　之〈四八〉夫以四零　之
　　〈四八〉視二零〈○一〉之二猶五百與二十二之比例也試以所借〈○一〉為母以〈三二〉為子以〈○一〉之〈三二〉自乗〈此係整二又零一十之三〉得之　内除五百為五整數餘〈九二〉為　之〈九二〉夫以五零之〈九二〉視二零〈○一〉之三猶五百與二十三之比例也故五可以借一十也如以九數為開立方亦為無原而任借〈○一〉為　之原以九乗得　雖九千不以一十為原而其近原者亦有兩數一為　以〈○二〉為原此近而朒者一為以〈一二〉為原此近而盈者何也試以〈○一〉為母〈○一〉之〈○二〉係
　　整二數自乗再乗即得〈○一〉之八試以〈○一〉為母〈○一〉之〈一二〉係整二數零一十之一自乗再乗即得九零　之　也〈母一十自乗再乗得一千子整二化二十并入一為二十一自乘再乗得九千二百六十一以九千歸整得整九餘為一千之二百六十一也〉故〈○一〉可以為九借也如以〈○四〉數為四乗方亦為無原任借〈○一〉自乘至四乗得一十萬以一十乗之得四百萬用前法推衍其原之近者一為〈○二〉一為〈一二〉何也以〈○一〉為〈○二〉之母則〈○一〉之〈○二〉係整二數自乗至四乗為〈○一〉之〈二三〉以視〈○四〉近而朒以〈○一〉為〈一二〉之母則〈○一〉之〈一二〉係整二數零一十之一自乗再乗〈化整數并子法如前母四乗得一十萬子自乗再乗得九千二百六十一〉三乗四乗得整四十數零一十萬之八萬四千二百○一〈二十一以三乘得一十九萬四千四百八十一以四乗得四百○八萬四千二百○一内以四百萬還原得整四十數其零為八四二○一也〉以視〈○四〉近而盈故〈○一〉可以為四十借也









　　數度衍卷十四



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十五
　　桐城　方中通　撰
　　丈量〈方田之一〉
　　定畝
　　通曰弓步丈尺雖二法一理也横一步縱二百四十步横一丈縱六十丈皆畝也方五尺為步是為一弓五寸為分五分為釐二十五尺為弓羃四其弓羃則方面一丈故知二百四
　　十其弓羃即六十其方面一丈也每一弓得畝四毫一絲六忽六微六無盡畝至百則曰頃
　　積步求畝法
　　長弓幾何廣弓幾何相乗為積步二廣者并數用二折三廣用三折四廣用四折長亦若是折為一長一廣然後相乗非折而少之折而方之也既得積步用除法求畝詳後式〈按三折四折語有誤〉
　　用二十四除式　術直田一坵長四十弓廣十四弓四分相乗得五百七十六步用二十四除之得二畝四分折廣式　術長四十弓四廣一曰十三弓一曰十九弓四尺一曰十二弓一尺一曰十二弓三尺先并諸廣得五十六弓八尺每尺作二分歸整得五十七弓六分四廣當用四除折之折得十四弓四分始與長弓相乗得五百七十六步用二十四除見畝
　　珠算飛歸法
　　訣曰一加三隔四　　　　二加六隔八
　　進一除二四　一曰二十四子一方歸
　　進二除四八　一曰四十八子進二枚
　　進三除七二　一曰七十二子進三枚
　　進四除九六　一曰九十六子進四枚
　　獨三進一位二五〈下位無子曰獨〉　獨九進三位七五
　　一二身作五　一曰見一作五下除二
　　六退一進二　一曰六十進二五　一曰六除留五上
　　添二　　　　　　　　　一四四作六
　　一六八作七　　　　　　一九二作八
　　一八作七五　　　　　　三六進一五
　　二一六作九
　　通曰飛歸者二十四除之捷法也進在左位作加皆在本位隔在右位之下位也
　　式　術直廣皆六百六十六弓相乗得四十四萬三千五百五十六步用飛歸丑寅二位作四十四曰進一除二四進一在子位丑除二十存二寅除四空曰二加六隔八丑存二加六為八卯三加八寅得一卯存一曰一加三隔四寅一加三為四辰五加四為九曰一二身作五卯一竟改作五辰九内去二存七曰進三除七二卯五加三為八
　　辰去七空巳除二存三曰進一除二四進一在辰位巳除二存一午除四存二曰一二身作五巳一改作五午除二實盡而止得一千八百四十八畝一分五釐原積千位為畝也
　　用三除八除式　術積二百四十步先用三除得八後用八除得一乃一畝也先用八除後用三除亦可用四除六除式　術積二百四十步先用四除得六後用六除得一畝先用六除後用四除亦可
　　用兩次五因又六除式　術積二百四十步用五因得一百二十再用五因得六十又用六除見畝
　　通曰用二十四除者二百四十步為一畝也三八乗得二十四四六亦乗得二十四故皆可用五因即二除折半法也兩次五因即四除也猶如先用四除後用六除耳
　　積尺求畝法
　　用六除式　術直八十尺廣七十五尺相乗得六千尺用六除之得一畝
　　通曰廣一弓直二百四十弓即廣五尺直一千二百尺也以五乗一千二百得六千尺故用六除
　　用倍尺又二十四除式　術直八十尺倍為一百六十尺廣七十五尺倍為一百五十尺然後相乗得二萬四千尺再用二十四除見畝
　　通曰此通尺為步也五尺為步宜用五除然二因即五除倍即二因也尺之一百即步之一十此倍虚尺而求實積也
　　合積求畝法
　　或直步廣尺或直尺廣步其積步法則化尺為步其積尺法則化步為尺凡步下有零尺寸者皆化之
　　化尺式　術直十六步廣七十五尺以二因廣尺得一百五十尺作十五弓然後相乗得二百四十為積步如法見畝
　　化步式　術直十六步廣七十五尺以五因直步得八十尺然後相乗得六千尺為積尺如法見畝
　　不積求畝法
　　直廣不須相乗積步隨意以直為主以廣為主而算其不主之弓數也主直則算廣主廣則算直
　　諸率
　　二弓折半六而一〈而一者歸也〉　三弓用八歸
　　四弓用六歸
　　五弓用六八歸〈或先六後八或先八後六皆可〉
　　六弓用四歸　　　　　　八弓用三歸
　　九弓用五因又四歸　　　十二弓用折半
　　十五弓用二八歸　　　　十六弓用三歸又加倍十八弓折半又五因
　　二十四弓十為畝〈見十弓為一畝也〉
　　二十五弓折半又六八歸　三十二弓四因又三歸三十六弓用五因
　　三十七弓半用八八歸〈兩次八歸也〉
　　四十八弓加一倍　　　　六十四弓三歸又八因七十二弓加倍又五因　　七十五弓用四八歸九十六弓用四因
　　主直式　術如以直為主者直或二弓或二十弓或二百弓則以廣弓之數在位折半餘用六歸見畝
　　主廣式　術如以廣為主者廣或十五弓或一百五十弓則以直弓之數在位先用二歸後用八歸見畝
　　步帶竒零法
　　單分母子式　術直十五步廣三步五分步之四置三步以分母五通之為十五加分子四共十九又置直十五步以分母五通之為七十五乃以七十五與十九相乗得一千四百二十五為實另以分母五自乗得二十五為法除實得積步
　　雙分母子式　術直九十七步四十九分步之四十七廣二步二十分步之九置廣二步以分母二十乗之〈乗即通也〉得四十加分子九共四十九又置直九十七步以分母四十九乗之得四千七百五十三加分子四十七共四千八百乃以兩共數相乗得二十三萬五千二百為實另以分母二十與四十九相乗得九百八十為法除實得積步
　　又式　術圓田徑六步十三分步之十二周二十步四十一分步之三十二以徑求積者置徑六步以母十三通為七十八加子十二共九十自乗得八千一百又以母十三減子十二餘一以乗子十二得十二并自乗數共八千一百一十二先三乗後四除得六千○八十四為實另以母十三自乗得一百六十九為法除實得積步以周求積者置周二十步以母四十一通為八百二十加子三十二共八百五十二自乗得七十二萬五千九百○四又以母四十一減子三十二餘九以乗子三十二得二百八十八并自乗數共七十二萬六千一百九十二以十二除之得六萬○五百一十六為實另以母四十一自乗得一千六百八十一為法除實得積步
　　還原法
　　反畝為步式　術田七畝五分求積以二十四乗七畝五分得一千八百是為積步
　　反步為直廣式　術積步一千八百求直廣其法定以二十四弓為廣以畝數為直今係七畝五分即以七十五弓為直也須知一畝作一十弓十畝作一百弓倍直半廣式　術如七分五釐積一百八十步以二十四弓為廣以七弓五分為直太少乃半廣為一十二弓倍直為一十五弓或廣直相易以二十四弓為直以七弓五分為廣
　　半直倍廣式　術如七十五畝積一萬八千步以二十四弓為廣以七百五十弓為直太多乃倍廣為四十八弓半直為三百七十五弓如云尚多又倍廣半直亦可直田積反求直廣式　術積步一千八百云直增廣一倍求直廣以積步折半得九百為實平方開之得三十步為廣倍得六十步為直
　　飛歸還原
　　訣曰退一加二四　退二加四八　退三加七二退四加九六　　　五留一二　　六留一四四七留一六八　　　八留一九二　九留二一六通曰飛歸自左向右還原自右向左退在本位加在下位留亦在本位起也
　　九則折畝率
　　上上則三畝折一畝三分乃二畝三分三釐零折一畝也毛畝上定身三因三歸上中則三畝折一畝二分五釐乃二畝四分折一畝也毛畝上用飛歸上下則三畝折一畝二分乃二畝五分折一畝也毛畝上用四因或積步上用六歸中上則三畝折一畝一分乃二畝七分二釐零折一畝也毛畝上定身一因三歸中中則三畝折一畝毛畝上用三歸中下則二畝折九分乃三畝三分三釐零折一畝也毛畝上用三因下上則三畝折八分乃三畝七分五釐折一畝也毛畝上八因三歸或積步上用九歸下中則三畝折七分五釐乃四畝折一畝也毛畝上用四歸下下則三畝折七分乃四畝二分八釐零折一畝也毛畝上七因三歸　塘或六畝一分四釐折一畝
　　通曰積步除得之畝乃毛畝也不折之處甚多或用九則折實率亦不一大㮣如此附録訣曰毛田上上定三因因後三歸實即真只有上中飛又用若逢上下四因成定身中上先加一得數三歸即便清獨是中中來折實三歸一徧即分明毛當中下三因得下上三歸又八因若遇下中歸用四三歸下下七先因或從積步來求實九則中間兩則行上下六歸下上九不須毛畝快如神
　　田形〈方田之二〉
　　諸形量法
　　方形術以十二步自乗得一百四十四為積步如法見畝
　　長形術以直廣相乗得一百一十二為積步

　　圓形術以周折半為三十徑折半為一十相乗得三百為積步　少廣諸法皆可用通曰周自乗四八九各除一徧見畝徑自乗
　　四八各除一徧見畝不必積步矣凡田非四方渾圓不可量周
　　環形術以外周折半為三十六内周折半為一十八相并得五十四與徑六步相乗得三百二十四為積步　凡田中有池有堆者用此弧矢形術以并矢得四十八折半為二十四與矢十二相乗得二百八十八為積步通曰已上五形皆用少廣法
　　四不等形術東西并為五十六此二廣也二折得二十八步南北并為七十八亦二直也二折得三十九步相乗得一千○九十二為
　　積步〈按此術内直廣不取直角非法以下求楓葉等形亦多未合〉
　　五不等形術并南北二西得二十四步以四折之得六步與東大角十步相乗得六十為積步〈按誤同上〉
　　大角一邊為長也
　　勾股形術以廣折半為四步　　　圭形同勾
　　與長相乗得八十為積步　　　　股形術楓葉形術以口徑四折得十步上周折半得四十九相并得五十九與中直折半十五相
　　乗得八百八十五為積步
　　梳形術以齒廣三折得二十上周折半得四十五相并得六十五與中十相乗得六百五十
　　邱形術周徑相乗得二十四萬三千二百以四折之得六萬○八百為積步
　　尖錠形術以長四十八用四折得十二步即於四十八内減十二餘三十六三廣并得四十二三折得十四與三十六相乗得五百○
　　四為積步
　　半環形術并内外灣得六十八折半得三十四與徑八相乗得二百七十二為積步　新月形同此
　　碗形術以口徑折半得十步外周折半得三十二相乗得三十二為積步
　　菱形術并内外灣得五十折半得二十五以徑折半得五相乗得一百二十五為積步
　　長圓形術以外周折半得二十八徑折半得一十相乗得二百八十為積步
　　扇形術并内外灣得三十四折半得十七并兩横得二十折半得一十相乘得一百七十為積步矩形同扇形術内外曲即内外灣也睂形術以下二十三并兩徑共三十三折半為一百六十五〈此即五因〉再以下并虚徑四為二十七折半為一十三五又乗虚徑四得五十四乃於一百六十五内減之餘一百一十一為積步
　　梯形術并二廣為三十八折半得十九與長相乗得一千○二十六為積步
　　不正形術以中長折半為二十東北與西南并為三十相乗得六百為積步
　　梭形術以長折半為十八與濶相乗得三百○六為積步半梭形同此
　　牛角形術以廣與長乗得六千八百三十二半之得三千四百一十六為積步







　　通曰先增虚形以求後減虚形以得此亦變法也若形内可分為數形者則有并法在








　　通曰田形無窮大約絶長補短以取其形可量耳惟是下弓之處務中其節始得無差不然則可任意大之小之也至或有計種數者或有計稅米之數者隨其則例求之可耳他如北方之地南方之洲可用捆丈者則又計繩而整量之凡縱横皆七十七丈五尺為一頃也









　　數度衍卷十五



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十六
　　桐城　方中通　撰
　　開築〈商功之一〉
　　垺實率
　　穿地四尺　為壤五尺　為堅三尺
　　通曰壤者垺土也堅者實土也
　　互求法
　　穿地求壤及堅式穿地一萬尺問壤土堅土各若干曰壤土一萬二千五百尺堅土七千五百尺術以五因穿地得五萬尺為實以四為法除得壤土以三因穿地得三萬尺為實以四為法除得堅土
　　壤地求穿及堅式壤地一萬二千五百尺問穿土堅土各若干曰穿土一萬尺堅土七千五百尺術以四因壤地得五萬尺為實以五為法除得穿土以三因壤地得三萬七千五百尺為實以五為法除得堅土
　　堅地求穿及壤式堅地七千五百尺問穿土壤土各若干曰穿土一萬尺壤土一萬二千五百尺術以四因堅地得三萬尺為實以三為法除得穿土以五因堅地得三萬七千五百尺為實以三為法除得壤土
　　開法
　　求日式開壕上廣七尺下廣九尺深四尺長一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名問幾日可完曰二日術并上下廣得十六尺折半得八尺以乘深得三十二尺又乘長得五萬七千六百尺為實以二百名乗每日穿數得二萬八千八百尺為法除實得日數
　　求夫式開渠上廣二丈四尺下廣二丈一尺深九尺長三百八十四尺每夫十二名開積六百尺問該夫幾何曰一萬五千五百五十二名術并兩廣得四十五尺折半得二十二尺五寸以乘深得二百○二尺五寸又乘長得七十七萬七千六百尺又乘夫十二名得九百三十三萬一千二百尺為實以六百尺為法除實得夫數求工式開河長七千五百五十尺上廣五十四尺下廣四十尺深十二尺每日一工開三百尺問用工幾何曰一萬四千一百九十四工術并兩廣得九十四尺折半得四十七尺以乗深得五百六十四尺又乗長得四百二十五萬八千二百尺為實以三百尺為法除實得工數
　　遲速式甲乙二人開河甲每日開積四百尺乙每日開積三百五十尺甲開七十日問乙開多幾日與甲同曰十日術以甲開七十日乗每日四百尺得二萬八千尺為實以乙每日三百五十尺為法除實得八十日減甲七十日餘十日為乙多數
　　築法
　　築牆式原牆上廣一尺下廣三尺髙一丈二尺今欲築高九尺問上廣幾何曰一尺五寸術以原下廣減原上廣餘二尺以今高九尺乗之得十八尺為實以原高為法除實得一尺五寸乃於原下廣内減之餘一尺五寸為今上廣
　　式二原牆上廣一尺下廣三尺高一丈二尺今欲築高一丈五尺問上廣幾何曰五寸術以原上廣減原下廣餘二尺以原高減今高餘三尺兩餘相乗得六尺為實以原高為法除實得五寸乃於原上廣内減之餘五寸為今上廣
　　通曰前式今高少於原高後式今高多於原高故法不同後式可用前法而前式不可用後法也
　　式三原牆上廣一尺下廣四尺高一丈二尺今上廣如故下廣僅二尺一寸問高幾何曰七尺六寸術以原下廣減今下廣餘一尺九寸以乘原高得二十二尺八寸為實以原下廣減原上廣餘三尺為法除實得今高式四原牆上廣二尺下廣六尺高二丈今已築至上廣三尺六寸問已得高幾何曰一丈二尺術以今上廣減原下廣餘二尺四寸以乗原高得四丈八尺為實以原上廣減原下廣餘四尺為法除實得今高
　　式五原牆上廣十尺下廣三十尺高四十尺今欲築至上廣九尺問該增高幾何曰二尺術以原上廣減原下廣餘二十尺又減原高餘二十尺為實以今上廣減原上廣餘一尺為法除實得今高又術以今上廣減原上廣餘一尺乗原高得四十尺為實以原上廣減原下廣餘二十尺為法除實亦合
　　築臺求積式築直臺上廣八尺長二丈下廣一丈八尺長三丈高一丈八尺問積若干曰六千尺術倍上長為四丈加下長共七丈乘上廣得五百六十尺倍下長為六丈加上長共八丈乗下廣得一千四百四十尺并兩乘數得二千尺乘高得三萬六千尺為實以六為法除實得積
　　築堤求積式築堤東頭上廣八尺下廣十四尺高九尺西頭上廣二十尺下廣二十二尺高二十一尺東西長九十六尺問積若干曰二萬八千八百尺術倍東高為十八尺加西高共三十九尺以東上下廣并得二十二尺乘之得八百五十八尺折半得四百二十九尺倍西高為四十二尺加東高共五十一尺以西上下廣并得四十二尺乗之得二千一百四十二尺折半得一千○七十一尺并兩折數得一千五百尺乘長得十四萬四千尺為實以五為法除實得積
　　填基式填基東六丈五尺西七丈五尺南八丈北九丈高二尺用土長濶方丈髙一尺為一方問該方若干曰一百一十九方術并東西為十四折半得七并南北為十七折半得八五兩折數乗得五十九五又乗高得一百一十九為方數
　　垜捆〈商功之二〉
　　堆垜法
　　通曰有與少廣遞加之法相同者兩章皆有所屬故復衍於此
　　一面尖堆式一面尖堆脚濶十八問積若干曰一百七十一術用順加求積法以十九乗十八得三百四十二折半即得說詳少廣
　　一面平堆式一面平堆脚七上三問積若干曰二十五術用順加異首求積法以脚七并上三得一十為實以脚七減上三餘四加一得五為法乘之得五十折半即得
　　四面尖堆式底長濶皆十二問積若干曰六百五十術置底十二以十二加一為十三乗之得一百五十六又以十二加半為十二五乗之得一千九百五十為實以三為法除實即得
　　四面平堆式底濶八長十三問積若干曰三百八十四術以長減濶餘五折半得二五又加半得三并入長得十六以濶乗之得一百二十八又以濶加一作九乗之得一千一百五十二為實以三為法除實即得　四面尖堆即四面順加四面平堆即長濶順加說詳少廣又式横面下十上一正面下十二上三問積若干曰四百九十五術倍正下為二十四加正上得二十七以横下乗之得二百七十再乗横下得二千七百加入二百七十共二千九百七十為實以六為法除實即得通曰右二式前式若知正面上數可用後法後式可用前法
　　四面半堆式上長二十五濶十二下長三十濶十七中高六問積若干曰二千四百一十術倍上長得五十加下長得八十乗上濶得九百六十倍下長得六十加上長得八十五乗下濶得一千四百四十五并兩乗數共二千四百○五以下長減上長餘五并之得二千四百一十乘高得一萬四千四百六十為實以六為法除實即得
　　圓底尖堆式底外周十五問積若干曰六十九術通曰用少廣超三遞加法首三尾十五得積外加一得四十六又首三尾九得積外加一得十九相并得六十九又加四共六十九為積
　　通曰凡圓堆每層外周自頂一起第二層是三第三層加三為六從此每層加三故用超三也每次以三為首故每外加頂一也底外周十五用圓包加六率推之内周減六必九故初曰首三尾十五次曰首三尾九也内周九内又減六餘三為底中心三上必有一頂故又加四也蓋底周至九者必加四至十二者必加十一為率也
　　三角尖堆式底面七問積若干曰八十四術以底七加一為八乗底七得五十六又以底七加二得九乗之得五百○四為實以六為法除實即得
　　三角半堆式每面上濶五底濶十二問積若干曰三百四十四術以底濶求出全積得三百六十四另以上尖虚底四求出虚積二十相減餘為實積又術上濶自乗得二十五底濶自乗得一百四十四兩濶相乗得六十倍下濶加上濶得二十九并四數共二百五十八為實以下濶減上濶餘七加一得高八為法除實得二千○六十四又以六除之亦合
　　磚堆式長三丈高九尺入深四尺每塊長一尺濶五寸厚二寸問該磚若干曰一萬○八百塊術以長為實以每塊厚為法除得一百五十塊以高為實以每塊濶為法除得十八塊兩除得數相乗得二千七百塊又以入深乗之即得
　　量捆法
　　木每根大率作長一丈五尺濶五寸以立法至其實數隨時求之可耳
　　一封書式捆深七尺五寸濶四丈七尺長九丈問該木若干曰一萬四千八百○五根術倍深得十五根倍濶得九十四根相乗得一千四百一十根為實以長率一丈五尺除長得六根為法乗實得八千四百六十根又以深七尺五寸首加一作一七五乗之即得
　　通曰濶率五寸每尺作二根故深濶皆用倍法
　　方捆式捆深七尺濶五丈長六丈問該木若干曰八千四百根術倍深作十四根倍濶作一百根相乗得一千四百根為實以長率一丈五尺除長得四根為法乗實得五千六百根又以濶五丈首加一作一五乗之即得荒排式排深二丈一尺濶四丈四尺長六丈問該木若干曰八千三百七十七根六分術以三除深得七尺倍作十四根倍濶作八十八根相乗得一千二百三十二根為實以長率一丈五尺除長得四根為法乗實得四千九百二十八根又以三除深得七尺首加一作一七乘之即得
　　通曰相乗固有應得之數而有以虚乗者其數却非應得之數不過借以相求耳如一十七尺五寸乗八千四百六十根應得十四萬八千○五十根而今止得一萬四千八百○五根者是也首不加一用定身法〈見珠算〉乗之亦可





　　數度衍巻十六



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十七
　　桐城　方中通　撰
　　兩分差〈差分之一〉
　　通曰差分章多用三率法即異乗同除也見九章外法
　　四六差分法
　　四之與六加五而已以五乗四得二并四即六以五乗六得三并六即九或以六乗四除四亦得六六亦得九皆求裒法耳既得各裒始用三率法
　　戊裒四　　　　　丁裒六　　　　　丙裒九乙裒十三裒五分　甲裒二十裒二分五釐
　　右五位裒也如六位則以已為首而甲裒更增矣若止四位則以丁為首也後倣此
　　二等户式派糧三百八十五石五斗二升甲乙二等户甲六分乙四分辦納甲二十六户乙四十户問各一户各共户若干曰甲一户納七石三斗二升共納一百九十石○三斗二升乙一户納四石八斗八升共納一百九十五石二斗術甲裒六乙裒四以六乗甲户得一百五十六以四乗乙户得一百六十并得三百一十六為首率以總糧為次率以甲裒六乙裒四為各三率以甲三率六乗次率以首率除得甲一户之數以甲户乗得共數以乙三率四乗次率以首率除得乙一户之數以乙户乗得共數
　　四等户式徴銀一千七百一十六兩甲乙丙丁四等户甲六分乙四分乙六分丙四分丙六分丁四分辦納問各若干曰甲七百一十二兩八錢乙四百七十五兩二錢丙三百一十六兩八錢丁二百一十一兩二錢術丁裒四丙裒六乙裒九甲裒十三裒五分并得三十二裒五分為首率以總銀為次率以各裒為各三率
　　三七差分法
　　二位者甲七乙三三位者以三為首三因得九為丙裒九用七乗三除得二十一為乙裒二十一用七乗三除得四十九為甲裒四位者以三為首三因得九又三因得二十七為丁裒五位者以三為首三因得九又三因得二十七又三因得八十一為戊裒俱用七乗三除得各裒
　　〈二位〉乙裒三　甲裒七
　　〈三位〉丙裒九　乙裒二十七　甲裒四十九
　　〈四位〉丁裒二十七　丙裒六十三　乙裒一百四十七甲裒三百四十三
　　〈五位〉戊裒八十一　丁裒一百八十九　丙裒四百四十一　乙裒一千○二十九　甲裒二千四百○一
　　三等戸式派糧二百六十一石甲乙丙三等户甲七分乙三分乙七分丙三分辦納甲二十一户乙三十二户丙四十三户問各一户各共戸若干曰甲一户六石一斗二升五合共一百二十八石六斗二升五合乙一户二石六斗二升五合共八十四石丙一户一石一斗二升五合共四十八石三斗七升五合術甲裒四十九乙裒二十一丙裒九以甲裒乗甲户得一千○二十九乙裒乗乙户得六百七十二丙裒乗丙户得三百八十七相并得二千○八十八為首率總糧為次率各裒為各一户之三率
　　五等户式徴銀八百二十八兩二錢甲乙丙丁戊五等戸甲七分乙三分乙七分丙三分丙七分丁三分丁七分戊三分辦納問各若干曰甲四百八十兩○二錢乙二百○五兩八錢丙八十八兩二錢丁三十七兩八錢戊十六兩二錢術戊裒八十一丁裒一百八十九丙裒四百四十一乙裒一千○二十九甲裒二千四百○一相并得四千一百四十一為首率總銀為次率各裒為各三率
　　二八差分法
　　二八裒惟用四乗二位者甲八乙二皆以二為首也三位者丙二四乗二得八為乙裒四乗八得三十二為甲裒
　　戊裒二　　　丁裒八　　　丙裒三十二
　　乙裒一百二十八　甲裒五百一十二
　　四等户式派銀二千六百三十五兩甲乙丙丁四等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分辦納問各若干曰甲一千九百八十四兩乙四百九十六兩丙一百二十四兩丁三十一兩術丁裒二丙裒八乙裒三十二甲裒一百二十八并得一百七十為首率總銀為次率各裒為各三率
　　五等户式徴糧二千六百五十五石九斗甲乙丙丁戊五等户甲八分乙二分乙八分丙二分丙八分丁二分丁八分戊二分辦納甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户問各一户各共户若干曰甲一户五十九石九斗○四合共一千七百九十七石一斗二升乙一戸十四石九斗七升六合共五百九十九石○四升丙一户三石七斗四升四合共一百八十七石二斗丁一户九斗三升六合共五十六石一斗六升戊一户二斗三升四合共十六石三斗八升術甲裒五百一十二乗甲户得一萬五千三百六十乙裒一百二十八乗乙户得五千一百二十丙裒三十二乗丙户得一千六百丁裒八乗丁户得四百八十戊裒二乗戊戸得一百四十相并得二萬七千二百為首率總糧為次率各裒為各一戸之三率
　　遞分差〈差分之二〉
　　遞減差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒三乙裒二丙裒一之類
　　四位式銀九十二兩甲乙丙丁四人遞減分之問各若干曰甲三十六兩八錢乙二十七兩六錢丙十八兩四錢丁九兩二錢術甲裒四乙裒三丙裒二丁裒一并得一十為首率總銀為次率各裒為各三率
　　五位式金八十一兩造杯一套五箇問各重若干曰甲二十七兩乙二十一兩六錢丙十六兩二錢丁十兩○八錢戊五兩四錢術甲裒五乙裒四丙裒三丁裒二戊裒一并得一十五為首率總金為次率各裒為各三率又式派糧一千一百三十四石甲乙丙丁戊五等户遞減辦納甲二十四户乙三十三户丙四十二户丁五十一户戊六十户問各一户各共户若干曰甲一户十石○五斗共二百五十二石乙一户八石四斗共二百七十七石二斗丙一户六石三斗共二百六十四石六斗丁一户四石二斗共二百一十四石二斗戊一户二石一斗共一百二十六石術甲裒五乗甲户得一百二十乙裒四乗乙户得一百三十二丙裒三乗丙户得一百二十六丁裒二乗丁户得一百○二戊裒一乗戊户得六十并得五百四十為首率總糧為次率各裒為各一户之三率
　　隔位遞減差分法
　　以六減者甲裒一百乙裒六十丙裒三十六以七減者甲裒一百乙裒七十丙裒四十九之類
　　用六減式派絹四百七十丈○一尺八寸四分甲乙丙三等户以一十分之六遞減辦納甲二十五户乙三十户丙四十八户問各一户各共户若干曰甲一户七丈八尺共一百九十五丈乙一户四丈六尺八寸共一百四十丈○四寸丙一户二丈八尺○八分共一百三十四丈七尺八寸四分術甲裒一百乗甲户得二千五百乙裒六十乗乙户得一千八百丙裒三十六乗丙户得一千七百二十八并得六千○二十八為首率總絹為次率各裒為各一户之三率
　　用七減式派糧一百六十八石四斗八升八合甲乙丙丁四等户以一十分之七遞減辦納甲二十二户乙三十六户丙四十二户丁四十八户問各一户各共户若干曰甲一户二石共四十四石乙一户一石四斗共五十石○四斗丙一户九斗八升共四十一石一斗六升丁一户六斗八升六合共三十二石九斗二升八合術甲裒一千乗甲户得二萬二千乙裒七百乗乙户得二萬五千二百丙裒四百九十乗丙户得二萬○五百八十丁裒三百四十三乗丁户得一萬六千四百六十四并得八萬四千二百四十四為首率總糧為次率各裒為各一户之三率
　　互和減半差分法
　　三位者曰三曰五曰七并一十五為裒四位者曰二曰四曰六曰八并二十為裒五位者曰一曰三曰五曰七曰九并二十五為裒奇用奇偶用偶也
　　三位式糧一百八十石給甲乙丙三人云甲多丙三十六石令互和減半分之問各若干曰甲七十八石乙六十石丙四十二石術以糧數為實以三位併裒一五〈一十五作一五〉為法除實得一百二十乃甲丙二人首尾和數内減甲多三十六餘八十四折半得丙數加甲多三十六得甲數和甲丙二數得一百二十折半得乙數
　　通曰此遞減十八也後式皆係遞減
　　四位式銀二百四十兩分甲乙丙丁四人云甲多丁十八兩今互和減半分之問各若干曰甲六十九兩乙六十三兩丙五十七兩丁五十一兩術以銀數為實以四位并裒二〈二十作二〉為法除實得一百二十乃甲丁二人和數内減甲多十八餘一百○二折半得丁數加甲多十八得甲數乙丙二人不可并折乃以甲多十八用三除之得六加入丁數得丙數又加六得乙數
　　通曰以首尾較數三位用二除四位用三除五位用四除得各位較數也并較減實餘均分加各較亦合如前三位式總實一百八十甲丙較三十六用二除得十八為乙丙較并得五十四減實餘一百二十六三位均分各得四十二甲加較三十六得七十八乙加較十八得六十丙即得均分數
　　五位式鈔二百三十八貫分甲乙丙丁戊五人云戊不及甲三十三貫六百文令互和減半分之問各若干曰甲六十四貫四百文乙五十六貫丙四十七貫六百文丁三十九貫二百文戊三十貫八百文術以鈔數為實以五位并裒二貫五百文〈即二十五〉為法除實得九十五貫二百文乃甲戊二人和數内減戊不及三十三貫六百文餘六十一貫六百文折半得戊數加戊不及數得甲數互和甲戊二數得九十五貫二百文折半得丙數又和甲丙二數得一百一十二貫折半得乙數又和丙戊二數得七十八貫四百文折半得丁數
　　倍分差〈差分之三〉
　　倍減差分法
　　二位者甲裒二乙裒一三位者甲裒四乙裒二丙裒一之類
　　三位式銀一萬八千○八十八兩甲乙丙三人倍減分之問各若干曰甲一萬○三百三十六兩乙五千一百六十八兩丙二千五百八十四兩術甲裒四乙裒二丙裒一并得七為首率總銀為次率各裒為各三率通曰以銀為實以并裒除得丙數倍得乙數再倍得甲數亦可
　　五位式派銀一千一百○七兩甲乙丙丁戊五等户倍減上納甲十六戸乙二十五戸丙三十一戸丁四十八戸戊六十二戸問各一户各共户若干曰甲一户二十四兩共三百八十四兩乙一户十二兩共三百兩丙一戸六兩共一百八十六兩丁一户三兩共一百四十四兩戊一戸一兩五錢共九十三兩術甲裒十六乗甲户得二百五十六乙裒八乗乙户得二百丙裒四乘丙户得一百二十四丁裒二乗丁户得九十六戊裒一乗戊戸得六十二并得七百三十八為首率總銀為次率各裒為各一户之三率
　　通曰兩分遞分倍分諸式凡有户數者以各一户數乗各戸得各共數然矣若以各裒乗各户之數為三率則先得各戸共數也以各戸除之得各一户數
　　子母差〈差分之四〉
　　求分子法
　　共子各母求各子式四商共販得子銀六千兩甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百問各分子銀若干曰甲七百五十兩乙一千二百五十兩丙一千五百兩丁二千五百兩術四母相并得四百八十兩為首率共子為次率各母為各三率
　　共子各母各時求各子式三商共子銀一千兩母銀多寡既不一而先後之時又不一甲母二百兩滿八箇月乙母四百五十兩滿六箇月丙母五百兩滿十箇月問各分子銀若干曰甲一百七十二兩又九十三分兩之四乙二百九十兩又九十三分兩之三十丙五百三十七兩又九十三分兩之五十九術先以各母乗各月甲母乗八得一千六百乙母乗六得二千七百丙母乗一十得五千并得九千三百兩為首率共子為次率各母乗各月之數為各三率
　　又式三商母銀各等一年内共得子銀一千兩甲母閲七月乙母閲六月丙母滿十二月問各分子銀若干曰甲二百八十兩乙二百四十兩丙四百八十兩術并各月得二十五為首率總子為次率各月為各三率共時共子各母各時加減求各子式四商居積二年得利一萬兩甲原母三千兩至滿八月取出一千兩至滿十九月又加一千二百兩乙原母二千四百兩至滿六月取出八百兩至滿十五月又加一千四百兩丙原母二千兩滿七月悉收回至滿十七月别出母一千六百兩丁初不出母六月後方出母一千八百兩又過四月取出九百兩至滿十六月又加一千五百兩問各分子銀若干曰甲三千五百四十六兩又一千七百四十八分兩之一千五百九十二乙三千一百九十二兩又一千七百四十八分兩之三百八十四丙一千四百四十一兩又一千七百四十八分兩之一千一百三十二丁一千八百一十九兩又一千七百四十八分兩之三百八十八術以四母各乗其月甲作三段乗以原母三千乗八月得二萬四千八月之後取去一千存母二千至十九月滿計十一月以十一乗二千得二萬二千十九月之後又加一千二百共母三千二百至二年滿計五月以五乗三千二百得一萬六千并三段乗數得六萬二千為甲通乙作三段乗以原母二千四百乗六月得一萬四千四百六月之後取去八百存母一千六百至十五月滿計九月以九乗一千六百得一萬四千四百十五月之後又加一千四百共母三千至二年滿計九月以九乗三千得二萬七千并三段乗數得五萬五千八百為乙通丙作二段乗以原母二千乗七月得一萬四千自滿十七月以後别出母一千六百至二年滿計七月以七乗一千六百得一萬一千二百并二段乗數得二萬五千二百為丙通丁作三段乗自六月以後出母一千八百滿四月以四乗一千八百得七千二百此後取去九百存母九百至十六月滿計六月以六乗九百得五千四百此後又加一千五百共母二千四百至二年滿計八月以八乗二千四百得一萬九千二百并三段乗數得三萬一千八百為丁通再并四通數得十七萬四千八百為首率總利為次率各通數為各三率
　　求原母法
　　共母共子及各子求各母式三商共母一千五百二十兩得子一百九十兩甲分一百二十兩乙分四十兩丙分三十兩問各母若干曰甲九百六十兩乙三百二十兩丙二百四十兩術共子為首率共母為次率各分子為各三率
　　共子各子及出母率求各母式二商共得子二百兩甲分五十兩乙分一百五十兩其母則乙多甲一倍又零八兩問各母若干曰甲八兩乙二十四兩術以甲子五十為首率以零八兩為次率各子為各三率
　　共時各時及甲母均分子求乙丙母式三商共販一年甲先出母一千兩乙母後二月方出丙母後四月方出俱不知數所得子銀則均分問乙丙母各若干曰乙一千二百兩丙一千五百兩術以甲母乗甲月十二得一萬二千為實以乙月十為法除實得乙母以丙月八為法除實得丙母
　　求出時法
　　共子各母各子及甲時求乙丙時式三商共販得子銀一千兩甲母三百兩係滿十月乙母七百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲分五百乙分三百丙分二百問乙丙出母月若干曰乙二月又七分月之四丙一月又二分月之一術以甲為凖以甲子五百為首率以甲月乗甲母得三千為次率以乙丙各子為各三率如法次三兩率相乗首率除得四率乙得一千八百為乙母乗乙月之數丙得一千二百為丙母乘丙月之數再以乙母除乙四率得乙月數丙母除丙四率得丙月數
　　和求法
　　或知此子而不知彼子或知彼母而不知此母時亦如之
　　共子各子甲母與時及乙母丙時求乙時丙母式三商共得子銀一百三十八兩甲母二百兩經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十月不知母其子銀則甲分六十乙分四十八丙分三十問乙時丙母若干曰乙時八月丙母一百二十兩術以甲子為首率甲母乗甲月得二千四百為次率乙丙各子為各三率求得乙四率一千九百二十為乙母乗月之數以乙母除得乙月求得丙四率一千二百為丙月乗母之數以丙月除得丙母
　　共子各時分子率及甲母求乙丙母及各子式三商共得子銀一百九十兩其分數則乙比甲僅三之一丙比甲僅四之一甲出母八十兩經十二月乙經八月丙經四月俱不知母問乙丙母及各子若干曰乙母四十兩丙母六十兩甲子一百二十兩乙子四十兩丙子三十兩術以甲母乗甲月得九百六十為首率乙得三之一則三分首率得三百二十為乙次率丙得四之一則四分首率得二百四十為丙次率乃以乙月為法除乙次率得四十為乙母以丙月為法除丙次率得六十為丙母既知乙丙之母則以前首率與乙丙兩次率相并得一千五百二十為後首率以共子為後次率以前首率為甲三率以乙次率為乙三率丙次率為丙三率共母共子及合和求各母子式三商共母一千五百二十兩共得子母和銀一千七百一十兩甲分一千○八十兩乙分三百六十兩丙分二百七十兩問各母各子若干曰甲母九百六十兩子一百二十兩乙母三百二十兩子四十兩丙母二百四十兩子三十兩術以共子為首率共母為次率各和為各三率求得各母以各母減各和餘即各子
　　共子甲乙母及丙子求甲乙子及丙母式三商共得子銀一千五百二十兩甲母一千○八十乙母三百六十丙不知母而分子二百四十問甲乙子及丙母各若干曰甲子九百六十兩乙子三百二十兩丙母二百七十兩術先於共子内減去丙子餘一千二百八十為甲乙和子乃并甲乙母得一千四百四十為首率以甲乙和子為次率用甲母為三率求出甲子用乙母為三率求出乙子既知甲乙子數再并甲乙子得一千二百八十為後首率以前首率為後次率以丙子為三率求出丙母
　　共子甲母及出母裒求各母各子式四商共得子銀三百四十兩其母以四遞加如乙五則丙九丙七則丁十一丁九則甲十三之類甲母二百八十六問各母各子若干曰丁母一百九十八兩丙母一百二十六兩乙母七十兩甲子一百四十三兩乙子三十五兩丙子六十三兩丁子九十九兩術由甲推丁以甲裒十三為首率甲母為次率丁裒九為三率求出丁母由丁推丙以丁裒十一為首率丁母為次率丙裒七為三率求出丙母由丙推乙以丙裒九為首率丙母為次率乙裒五為三率求出乙母乃并四母得六百八十為後首率共子為後次率各母為各後三率求出各子
　　通曰與超四遞加不同此乃各有遞四之加也
　　附式原借母十五兩每月每兩加子二分五釐滿六月還過母子和九兩問母子各已還若干仍留母若干曰還母七兩八錢二分六釐還子一兩一錢七分四釐仍留母七兩一錢七分四釐術以還銀九兩為實以六月用二分五釐通之得一錢五分得通子加母數一兩得一兩一錢五分為法除實得還母以通子乗之得還子原母内減還母得留母
　　通曰此留母未還子也若六月還全母之子二兩二錢五分還母六兩七錢五分應留母八兩二錢五分矣附式三次為商俱得合利每次貯銀三百兩三次恰盡問原母若干曰二百六十二兩五錢術以貯銀折半得一百五十加三百得四百五十又折半得二百二十五又加三百得五百二十五又折半得原母三折者三次也借裒互徴另又一術
　　合率差〈差分之五〉
　　合率差分法
　　式穀二百四十石作五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數等問各若干曰甲六十四石乙五十六石丙四十八石丁四十石戊三十二石術甲裒五乙裒四并得九丙裒三丁裒二戊裒一并得六以六減九餘三乃於五等裒上各加三甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四又并之得三十為首率總穀為次率各裒加三得數為各三率
　　通曰此遞差八也曰三人分則甲數與乙丙數等而七人分則甲乙丙數與丁戊己庚數不等乃截庚入甲乙截丙入丁戊巳兩數始等此亦就裒而言若裒上加有等數俱不等矣故用并減之法也
　　式二銀七百六十兩甲十分乙七分丙二分問各若干曰甲四百兩乙二百八十兩丙八十兩術甲裒十乙裒七丙裒二并得一十九為首率總銀為次率各裒為各三率
　　式三田一百三十八畝每畝徴米二斗今徴七分本色米三分折絲每米一石折絲一斤問各若干曰米十九石三斗二升絲八斤四兩四錢八分術以米二斗乘田得二十七石六斗為實以七與三并一十為法用七乗實得一百九十三石二斗以法除得米用三乗實得八十二石八斗以法除得八石二斗八升以石變斤得八斤其二斗八升用加六法得四斗四斗八合即四兩四錢八分
　　式四米二十四石給甲乙丙丁四人甲四分乙五分丙七分丁九分問各若干曰甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石七斗二升丁八石六斗四升術以米為實并各裒得二十五為法除實得九斗六升為一分之數以各裒乗得各數
　　式五徴糧七十三石二斗三等户照分辦納上二十五戸每户五分中四十户每户三分下六十户每户一分問各一户各共户若干曰上一户一石二斗共三十石中一户七斗二升共二十八石八斗下一户二斗四升共十四石四斗術以各裒乗各户上得一百二十五中得一百二十下得六十并得三百○五為首率總糧為次率各裒為各一户之三率
　　式六每芝蔴三斗換米五斗每米五斗抵荳七斗今有芝蔴四百五十石換米荳共九百二十五石問各用芝蔴及米荳各若干曰換米用芝蔴一百八十七石五斗換荳用芝蔴二百六十二石五斗米三百一十二石五斗荳六百一十二石五斗術并米五荳七得十二為首率以芝蔴總數為次率米五荳七為各三率求出用芝蔴各數再以換米用一百八十七石五斗以三斗除之得數以五斗乗之得米數以換荳用二百六十二石五斗先求出米數以三斗除之得數以五斗乗之得米四百三十七石五斗乃再以三斗除之得數以七斗乗之得荳數式七銀十一塊金九塊等重交換一塊則十銀一金之重多於八金一銀一十三兩問金銀各塊各共若干曰金一塊重三十五兩七錢五分銀一塊重二十九兩二錢五分銀十一塊共重三百二十一兩七錢五分金九塊共重等術以較十三兩折半得六兩五錢乗金九塊得五十八兩五錢為實以金九銀十一相減餘二為法除實得二十九兩二錢五分為銀一塊數以十一乗得共數以半較六兩五錢乗十一得七十一兩五錢為實仍以前二為法除實得三十五兩七錢五分為金一塊數以九乗得共數通曰以盈朒法求之亦得
　　式八冰片每兩價二兩七錢五分沉香每兩價三錢五分伽楠每兩價八錢有以沉香十七斤三兩有以伽楠十三斤十二兩問各換冰片若干曰沉香換得冰片三十五兩伽楠換得冰片六十四兩術以冰片價為首率用斤求兩法〈見乗布〉化沉香伽楠得兩數為各次率各價為各三率
　　式九軍二萬五千二百名月糧米麥荳兼支米每四名支三石麥每九名支五石荳每七名支八石問各若干曰荳二萬八千八百石麥一萬四千石米一萬八千八百石術以七名九名四名為各首率軍數為次率八石五石三石為各三率
　　式十刻漏一壺貯水令開三孔漏水大孔二時而盡中孔三時而盡小孔六時而盡如三孔齊洩則幾時水盡曰一時漏盡術以三孔與時相較各時為各首率一壺為次率最小時為三率求得大孔六時漏盡三壺中孔六時漏盡二壺小孔原係六時漏盡一壺合計六時三孔共漏盡六壺因知一時共漏盡一壺也又術以二時三時六時為各首率一壺為次率一時為三率求得大孔一時漏水二之一中孔一時漏水三之一小孔一時漏水六之一合計二之一三之一六之一共十分亦合右三數偶滿一時若并有竒零者另法求之如纍臺一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同纍須幾時可完必先知每人每年之工而總計之六年者每年得六之一九年者每年得九之一十八年者每年得十八之一并得每年共三分之一〈竒零加法〉約計三年始完甲成二之一乙成三之一丙成六之一共足十分之數也
　　式十一漏壺上注下洩塞下竅注水四時而滿開下竅洩水六時而盡若上注下洩相并則幾時可滿曰十二時術用三次測法先以四時為首率一壺為二率一時為三率求得一時之所法乃四分壺之一次以六時為首率一壺為二率一時為三率求得一時之所洩乃六分壺之一以四之一與六之一相減餘十二之一〈竒零減法〉乃以十二之一為首率一時為次率一壺為三率求得十二時
　　通曰以四時較六時則有二時不洩欲得六時俱不洩必須三回注四時矣亦合十二時之數也
　　問上注下洩四時滿幾分曰六時盡者四時洩三分之二以除全壺餘三分之一為水滿數又問如塞下竅三時而滿開下竅八時而盡若上注下洩須幾時可滿曰以三時滿者一時之率三之一以八時盡者一時之率八之一就三之一減八之一餘二十四之五為一時之率則全壺得四時零五分時之四也又問一壺既以三時而滿如四時又五分時之四可滿幾壺曰滿一壺又十五分壺之八又問八時盡一壺若四時又五分時之四該幾何曰此五分壺之三即於前數一時滿一壺者除之便得問八時盡一壺三時得幾何曰三時洩得八分之三以除全壺餘八五之五是三時滿八分之五又問三時滿八分之五則全壺幾時滿曰四時零五分時之四也
　　式十二兵百人領隊四人旗牌六人器械七萬二千四百件犒軍旗牌比領隊得八分之五兵比旗牌得五分之三問各得若干曰兵得六萬每人六百旗牌得六千每人一千領隊得六千四百每人一千六百術以兵裒三乗一百得三百以旗牌裒五乗六得三十以領隊裒八乗四得三十二并得三百六十二為首率器械為次率各裒乗數為各三率求出各共得數再以各人數除之得每人數
　　式十三大船三桅六槳小船一桅八槳今桅五十九槳二百○二問大小船各若干曰大船十五小船十四術并大小船每隻桅槳各九共一十八為首率大小二隻為次率并桅槳全數為三率推得二十九隻乃大小和數減小之一補大得各數
　　貴賤差分法
　　式硃砂每斤三兩六錢石青每斤二兩四錢有銀一千二百兩買硃青二色硃數增青一倍問各若干曰硃二百五十斤共價九百兩青一百二十五斤共價三百兩術因硃加倍即倍其價為七兩二錢并青價得九兩六錢為首率總銀為次率各一斤之價為各三率求出各斤數各以價乗得各共價
　　式二銀五十五兩五錢買銅錫鐵共重八萬三千○五十兩每銀一錢買銅一百三十兩錫一百五十兩鐵一百七十兩問各若干曰銅二萬四千七百兩共價十九兩錫二萬七千七百五十兩共價十八兩五錢鐵三萬○六百兩共價十八兩術以總銀用三色除之得十八兩五錢為中間錫價以每一錢買一百五十兩乗之得錫數共重内減錫數餘五萬五千三百兩為銅鐵和總銀内減錫價餘三十七兩為銅鐵和價以每一錢買銅一百三十兩乗和價得四萬八千一百兩以減銅鐵和餘七千二百為實以銅一百三十與鐵一百七十相減餘四十除實得一百八十錢為鐵價十八兩以一百七十乗之得鐵數又於和價内減鐵價餘十九兩為銅價以一百三十乗之得銅數
　　式三綾每尺九分二釐羅每尺八分五釐絹每尺三分六釐有銀一百二十一兩一錢七分五釐買綾一停羅二停絹三停問各若干曰綾三十二丈七尺五寸共價三十兩○一錢三分羅六十五丈五尺共價五十五兩六錢七分五釐絹九十八丈二尺五寸共價三十五兩三錢七分術二停乗羅價得一錢七分三停乗絹價得一錢○八釐以并綾價共三錢七分為首率總銀為次率各每尺價為各三率求出各數各每尺價乗得各共價
　　式四綾羅紗絹共一百六十疋共價九十三兩綾每疋九錢羅每疋七錢紗每疋五錢絹每疋三錢問各若干曰綾三十五疋價三十一兩五錢羅四十疋價二十八兩紗四十疋價二十兩絹四十五疋價十三兩五錢術以四色除總疋得四十疋即中間羅紗之數羅四十疋以每疋價推得銀數紗四十疋以每疋價推得銀數總疋内減羅紗餘八十疋為綾絹和共價内減羅紗價餘四十五兩為綾絹價和乃以綾九錢乗綾絹和得七十二兩以減餘銀尚餘二十七兩為實以綾九錢減絹三錢餘六錢為法除實得四十五為絹數於綾絹和内減之餘三十五為綾數各以每疋價乗得各價
　　式五銀一千○八兩買絲三停綿二停綫一停共重三百六十兩其價綫二兩絲止一兩綫一兩六錢綿止一兩問各若干曰絲重一百八十兩價二兩二錢四分〈得綫價二之一〉綿重一百二十兩價二兩八錢〈得綫價十六之十〉綫重六十兩價四兩四錢八分術并各裒絲三綿二綫一得六為首率總重為次率各裒為各三率求出各重絲一百八十以二兩〈綫二兩也〉除得九十綿一百二十以一兩六錢〈綫一兩六錢也〉除得七十五以并綫六十共二百二十五為法除總銀得綫價以一六除綫價得綿價以二除綫價得絲價
　　式六銀二千九百二十八兩買綾一百五十疋羅三百疋絹四百五十疋綾疋價多羅疋價四錢七分羅疋價多絹疋價一兩三錢五分問各疋價若干曰綾每疋四兩三錢二分羅每疋三兩八錢五分絹每疋二兩五錢術以多絹價一兩三錢五分乗羅疋得四百○五兩以兩多價共一兩八錢二分乗綾疋得二百七十三兩并兩乗數得六百七十八兩以減總銀餘二千二百五十兩為實并三色共九百疋為法除實得二兩五錢為絹每疋價加多一兩三錢五分得羅每疋價又加多四錢七分得綾每疋價又術以多羅價四錢七分乗羅疋得一百四十一兩以兩多價共一兩八錢二分乗絹疋得八百一十九兩相并得九百六十兩加入總銀得三千八百八十八兩為實以三色并得九百疋為法除實得綾疋價依裒減之亦合
　　通曰此又名匿價差分法
　　式七銀一萬○七百七十八兩六錢○五釐糴米麥荳三色均平其每石價米二兩三錢五分麥一兩九錢五分荳一兩四錢五分問各若干曰三色共一千八百七十四石五斗四升米共價四千四百○五兩一錢六分九釐麥共價三千六百五十五兩三錢五分三釐荳共價二千七百一十八兩○八分三釐術以總銀為實并三色每石價共五兩七錢五分為法除實得各石數各以每石價乗得各共價
　　帶分母子差分法
　　式四人共分金七百八十五兩乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九問各若干曰甲四百兩乙二百八十兩丙六十兩丁四十五兩術先并各子乗各母從小并起除丁九無并其丙裒十二又係三則以十二并三依約法三四一十二且作四以乗乙之十四得五十六為乙裒乙係五十六又係七則以五十六并七依約法七八五十六且作八以乗甲之十得八十為甲裒乃并丁九丙十二乙五十六甲八共一百五十七為首率總銀為次率以各裒為各三率
　　式二三人共錢三千○四十二文甲得二之一乙得三之一丙得四之一問各若干曰甲一千四百○四乙九百三十六丙七百○二術先并母㝷其通四分三分二分之一者為主依法二三乗得六又乗四得二十四約之得十二以甲乙丙分之其數皆通甲二之一用六為裒乙三之一用四為裒丙四之一用三為裒乃并三裒得十三為首率總錢為次率各裒為各三率
　　式三三縣派糧共一千四百○七石小縣二分之一中縣五分之三大縣十一分之八問各若干曰大縣五百六十中縣四百六十二小縣三百八十五術以各母相乗求通數二乗五得一十又乗十一得一百一十為通數小縣裒五十五中縣裒六十六大縣裒八十并三裒得二百○一為首率總糧為次率各裒為各三率　此與右式同術
　　式四四人共銀三百九十六兩甲得二分之一外加十兩乙得五分之三内欠二十兩丙得三分之一外加八兩丁得四分之一内欠六兩問各若干曰甲一百二十乙一百四十四丙八十丁六十術先於總銀内除去加數甲十丙八存三百七十八加入欠數乙二十丁六共四百○四兩乃依前法并母二乗五得一十又乗三得三十又乗四得一百二十約得六十為通數甲裒三十乙裒三十六丙裒二十丁裒十五并得一百○一為首率四百○四兩為次率各裒為各三率
　　式五兄弟三人季歳得伯四之三仲歳得伯六之五仲多季只八嵗問各嵗若干曰伯九十六仲八十季七十二術已知兩母為伯裒并其母四六相乗得二十四為伯裒之實乃用母子互乗以求仲季之裒〈四之三六之五〉以四乗五得二十為仲裒以六乗三得十八為季裒以仲季兩裒較二為首率仲多季八為次率伯裒二十四仲裒二十季裒十八為各三率
　　式六四人分錢不知數云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七丁與丙差四文問各若干曰甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文術先并母四乗六得二十四又乗二十四得五百七十六為甲裒乃以乙母六除甲裒得九十六以乙子五乗得四百八十為乙裒以丙母四除甲裒得一百四十四以丙子三乗得四百三十二為丙裒以丁母二十四除甲裒得二十四以丁子一十七乗得四百○八為丁裒以丙丁二裒之較二十四為首率丙丁差四為次率各裒為各三率　此與右式同術但彼三位此四位也通曰右二式用後借裒互徴法亦可
　　式七七人分錢甲乙共七十七文戊己庚共七十五文問丙丁及諸人各若干曰甲四十乙三十七丙三十四丁三十一戊二十八己二十五庚二十二術先令母子互乗甲乙二人為母七十七為子戊己庚三人為母七十五為子〈二人三人〉□〈七十七七十五〉以二乗七十五得一百五十以三乗七十七得二百三十一相減餘八十一為一差之實并兩母二三得五折半得二人半以減總七人餘四人半以兩母相乗得六乗四人半得二十七為一差之法以法除實得三文為一差之數乃知自甲而下遞減三文也以三加甲乙和得八十折半得甲數遞減三得各數
　　式八大小船數相等共載鹽四千三百五十引大船每三隻鹽五百小船每四隻鹽三百問船鹽各共若干曰大小船俱十八隻大船共鹽三千小船共鹽一千三百五十術先令子母互乗〈大三小四〉□〈五百三百〉以三乗三百得九百以四乗五百得二十并得二千九百為首率兩母相乗得十二為次率總鹽為三率求出各船十八再以兩母三四為各首率兩子五百三百為各次率以船數十八為三率求得各鹽數
　　式九鰲燈一座大小燈毬大每三盞油四兩小每四盞油三兩其小燈多大燈二之一共用油十八斤七兩問大小燈及用油各若干曰大燈一百二十盞用油十斤小燈一百八十盞用油八斤七兩術因有二之一立大母二小母三〈小多大二之一故作三〉通斤為兩〈用粟布法〉以十八斤七兩通作二百九十五兩又通兩為銖每兩二十四銖通作七千○八十銖先求大小每盞油數以三盞四盞為各首率以二十四銖為次率以四兩三兩為各三率求得大每盞用油三十二銖小每盞用油十八銖再求大小盞數以母二乗三十二得六十四以母三乗十八得五十四并得一百一十八為首率以總油七千○八十銖為次率以母二母三為各三率求得各盞數以各每盞銖數乗得大共用三千八百四十銖小共用三千二百四十銖各歸整得油數
　　貴賤相和差分法
　　式甲乙物共一百斤共價八錢七分五釐甲二斤價四分乙七斤價五分問各若干曰甲一十二斤半共價二錢五分乙八十七斤半共價六錢二分五釐術立長短
　　法上中下
　　三互求之
　　以甲價四分乗乙七斤得二錢八分以甲二斤乗乙價五分得一錢相減餘一錢八分為長法以乙七斤乗總價得六兩一錢二分五釐以乙價五分乗總一百斤得五兩相減餘一兩一錢二分五釐為實以長法除實得六分二釐五毫為短法以甲二斤乗短法得十二斤半為甲數以甲價四分乗短法得二錢五分為甲價減總得乙又術以甲二斤乗總價得一兩七錢五分以甲價四分乗總一百斤得四兩相減餘二兩二錢五分為實仍用前長法除之得一錢二分五釐為短法以乙七斤乗之得八十七斤半為乙數以乙價五分乗短法得六錢二分五釐為乙價減總得甲
　　通曰合率諸式凡有差皆遞加之差也苟非遞加則須用盈朒法矣

















　　數度衍卷十七
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十八
　　桐城　方中通　撰
　　和較三率〈差分之六〉
　　和較三率差分法
　　凡數分合不離三率而互和難測則立較以測之立中率以較之而又互置較位以求之
　　式上酒每斗價二錢中酒每斗價一錢二分今雜和二酒每斗價一錢五分内各酒若干曰八分斗之三為上酒〈三升七合五勺〉八分斗之五為中酒〈六升二合五勺〉術先立三率之程立和價一錢五分為一十五列上列上中二價為二
　　十為十二於右以
　　上價二十與立十
　　五較得五列左與中價並以中價十二與立十五較得三列左與上價並此互對也乃并兩較三五得八列左下以并較為首率以一斗為次率以中較為上酒之三率上較為中酒之三率
　　式二甲金一兩凖銀十五兩乙金一兩準銀十二兩今
　　鎔為一處使金一
　　兩準銀十四兩其
　　甲乙金各若干曰甲該三分兩之二乙該三分兩之一術立和金凖銀於上如法較之以并較為首率一兩為次率乙較為甲之三率甲較為乙之三率
　　式三玉率方寸重七兩石率方寸重六兩今有璞方三寸重一百七十六兩問玉石各若干曰玉九十八兩石
　　七十八兩術
　　立重數於上
　　以璞方三寸自乗再乗得立方二十七寸以通玉石以玉率七乗二十七得一百八十九兩以石率六乗二十七得一百六十二兩二數列右并較為首率立方二十七寸為次率石較為玉之三率玉較為石之三率求得玉一十四以七乗得玉數求得石一十三以六乗得石數
　　式四銀裹金方四寸共重九百○四兩每銀方寸重十
　　二兩金方
　　寸重十六
　　兩問各若干曰金五百四十四兩銀三百六十兩術立共重於上以四寸自乗再乗得立方六十四寸以通金銀以銀十二乗立方得七百六十八以金十六乗立方得一千○二十四列如前以并較為首率立方為次率以兩較互為各三率求得金三十四寸銀三十寸各以方寸重乗之得各數　此與右式同
　　式五椒一斤價四錢丁香一斤價三錢桂皮一斤價六錢阿魏一斤價一兩縮砂一斤價八錢今以銀七錢買上五色共一斤問各色若干曰椒十三分斤之一丁十三分斤之三桂十三分斤之一魏十三分斤之四砂十三分斤之四術立七錢於上此係多位者先定互對有
　　對者尋對
　　而互列之
　　如椒砂互丁魏互是也若桂則無對須借砂作對而互又列其桂較之一於砂左砂傍凡兩數矣凡相對互位者務取一大於立數一小於立數如砂數大對椒數小也以較積為首率一斤為次率各傍列較數為各三率砂傍之椒三桂一并四為砂之三率也
　　又術取一大一小雜互更位如椒砂互椒魏又互丁砂
　　互桂砂又互
　　丁魏互桂魏
　　又互凡六互
　　得較積二十八以為首率一斤為次率各傍列較為各三率椒傍〈一三〉并四丁傍〈一三〉并四桂傍〈一三〉并四魏傍〈三四一〉并八砂傍〈三四一〉并八求出四率即各數


　　又術隨意易位亦以大數互小數砂傍丁四桂一并五


　　四率〈十三分　十三分　十三分　十三分　十三分斤之三　斤之一　斤之一　斤之三　斤之五〉通曰後二術求出之數與前不同不可為凖姑存其法耳式六緑縀每丈價四兩青緞每丈價六兩紅緞每丈價十兩今有銀四百八十兩買緞八十丈問各若干曰緑三十二丈青三十二丈紅一十六丈術先以八十丈除四百八十兩得每丈六兩為立價依法列之緑與紅互
　　青又與紅互以較積為
　　首率總丈為次率各傍
　　列較為各三率紅傍之緑二青○止作二
　　通曰青價六與立六等故青較作○而紅傍之較數無并仍作二也凡價與立等者皆作○若價皆大於立皆小於立皆等於立則不可較矣
　　式七酒四等甲酒每瓶二錢一分乙酒每瓶二錢七分丙酒三錢丁酒四錢今有酒共三百瓶每瓶立價三錢三分問各若干曰甲酒五十瓶乙酒五十瓶丙酒五十瓶丁酒一百五十瓶術以三錢三分作三十三為立數
　　其四
　　色惟
　　丁四
　　十〈四錢〉大於立其甲二十一〈二錢一分〉乙二十七〈二錢七分〉丙三十〈三錢〉皆小於立則此三小數皆與丁相互矣依法列之丁傍之甲十二乙六丙三并為二十一以較積為首率總瓶為次率各較為各三率
　　式八銀四百兩買藥四百斤内丁香每斤價六錢椒每斤價七錢桂九錢蘇合一兩一錢辰砂一兩二錢阿魏一兩六錢問各若干曰丁八十七斤又二之一椒一百斤桂二十五斤合五十斤砂五十斤魏八十七斤又二
　　之一術
　　先以四
　　百斤除四百兩每斤得一兩作一十為立數列之丁魏互丁合互椒砂互椒魏互桂砂互首率較積次率總藥三率　七〈丁〉　八〈椒〉　二〈桂〉　四〈合〉　四〈砂〉　七〈魏〉又術以丁互合又互砂又互魏以椒互合又互砂又互魏以桂互合又互砂又互魏以上三位徧互下三位也




　　又術以丁互合椒互砂桂互魏

　　又術以丁互魏椒互砂桂互合


　　又術以丁互砂椒互合桂互魏


　　式九金鑄一器重三百兩俱九六成色今有九九成色及九一成色二等金約每用若干曰九九成色金用一百八十七兩五錢九一成色金用一百一十二兩五錢
　　術立九六為中價
　　依法互之并較為
　　首率共重為次率各較為各三率
　　式十米麥共五百石共價四百○五兩七錢米每石價八錢六分麥每石價七錢二分五釐問各若干曰米三百二十石共價二百七十五兩二錢麥一百八十石共價一百三十兩○五錢術立共價以米麥每石各價各
　　乗五百石
　　米得四百
　　三十兩麥得三百六十二兩五錢依法互之以并較為首率總石為次率各較為各三率求得米麥各數各以每石價乗之得各共價
　　式十一銀二十八兩二錢買銅錫鐵共重三百斤其價銅一斤銀一錢五分錫一斤銀九分鐵一斤銀四分問各若干曰銅九十六斤又七之三錫九十六斤又七之


　　斤又七之一術以共重除總銀得九分四釐作九十四為立數互之以并較為首率共重為次率各較為各三率
　　式十二銀九十三兩買綾羅紗絹共一百六十疋每疋價綾九銀羅七錢紗五錢絹三錢問各若干曰三十六疋又四之一為綾與羅同數四十三疋又四之三為紗與絹同數術先以總疋除總銀得五錢八分一釐二毫五絲作五萬八千一百二十五為立數他皆以錢作萬列之羅絹互羅紗又互綾紗互綾絹又互并較為首率總疋為次率各較為各三率



　　通曰右二式以貴賤差分法推之亦可
　　通曰中率者兩差之中較也三四五六及多差之中較也得乎中率而以多較少以少較多故又須互用而數始出非互則無所用較矣
　　借裒互徴〈差分之七　按同文算指裒作衰〉
　　借裒互徴差分法
　　數有隠伏非裒分可得者則别借虚數以類徴之或合率增減或母子射覆借彼徴此借虚徴實亦三率法而觸類長之也
　　式三人共買一宅用價二千七百兩其出數乙視甲加倍丙視甲乙共數又加倍問各若干曰甲三百乙六百丙一千八百術隨意立一數為甲裒但用小數而以乙丙照裒加之如甲裒作一則乙必二丙必六也如甲裒作六則乙必十二丙必三十六也今以甲裒作六乙裒十二丙裒三十六并得五十四為首率各裒為各次率總價為三率如用甲次裒求得甲數倍之得乙數并甲乙數又倍之得丙數
　　通曰此即加倍法也三率法中二三兩率本可相換故此以各較為次率總價為三率也
　　式二貯絹不知數但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其實若干曰六千疋術㝷一通數而測之如用六十以通各分三之一為二十四之一為十五五之一為十二并三數得四十七為首率以通數六十為次率四千七百為三率
　　式三廐馬不知數但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百一十二匹其實若干曰三十六匹術先於共匹内減末加之一只以一百一十一匹算之用通數十二加一倍得二十四又加二之一得六加三之一得四加四之一得三共加得三十七為首率以通數為次率以一百一十一為三率求出四率三十六外加前裒合一百一十二
　　式四牧羊不知數但云加一倍又加二之一又加四之一外加一共得一百其實若干曰三十六術於一百内去一只作九十九用通數十二依裒加得三十三為首率通數為次率九十九為三率求出三十六如前裒加之合一百　此與右式同
　　式五銀五千兩買甲乙丙三宅乙比甲多三倍丙又比乙多四倍問各價若干曰甲宅二百乙宅八百丙宅四千術隨意立一通數如立甲裒三十乙裒為一百二十丙裒為六百并得七百五十為首率以甲裒三十為次率以五千為三率求出二百如前加得八百又加得四千　此與一式同
　　式六入園摘瓜摘過三分之二又五分之一尚剰三十六問此園原瓜若干曰二百七十術先立通數如借三百為通數内減三之二去二百又減五之一去六十存四十為首率以通數為次率以尚剰三十六為三率須察借立通數内減去兩次尚剰之數或等或多於三十六方可若少於三十六則不可用也又須知三之二五之一并之未滿原數方可推測若三之一五之三則浮於原數便為虚設不必算矣
　　式七二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二其原數若干曰三百六十術借六十為通數依裒剖之二之一為三十三之一為二十四之一為十五五之一為十二六之一為一十并得八十七為首率以六十為次率以五百二十二為三率求出三百六十為原數二之一乃一百八十三之一乃一百二十四之一乃九十五之一乃七十二六之一乃六十并之合五百二十二之數
　　式八倉粟不知數但云外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石問原粟若干曰九十六石術先於三百内減去一百存二百石乃借二十四為通數外加二之一得十二又加三之一得八又加四之一得六并得五十為首率以通數為次率以二百為三率求出四率九十六外加前裒合三百
　　通曰此與三式相同但彼四率在一百一十二之外故不并通數而止并加數為首率此四率在三百之内故連并通數及加數為首率也
　　式九大小水碓五副共舂米五十石每舂一時甲七斗乙五斗丙四斗丁三斗戊一斗今五碓齊舂須幾時可完各舂若干曰二十五時甲十七石五斗乙十二石五斗丙十石丁七石五斗戊二石五斗術隨意立一時數如借四時以計各碓所舂甲七乗四得二石八斗乙五乗四得二石丙四乗四得一石六斗丁三乗四得一石二斗戊一乗四得四斗并得八石為首率四時為次率五十石為三乗求出二十五時各以每時斗數乗之得各舂數
　　式十為商三次俱獲倍息每次歸還三百兩三次母子盡問原貸若干曰二百六十二兩五錢術借一數為母加三次倍息初一次二次四共七并母一得八為首率内減母一餘七為次率三百兩為三率又術以三百兩折半得一百五十兩又加三百得四百五十兩又折半得二百二十五兩又加三百得五百二十五兩又折半即得
　　通曰子母差和求法有此式然用借裒為正法也式十一商販四次俱獲倍息每次費九十六兩四次子母俱盡問原母若干曰九十兩術借一數為母加四次倍息曰一曰二曰四曰八并得十五再并母一得十六為首率十五為次率九十六為三率
　　式十二為商初次所獲比母銀多三之二以并入母銀再徃獲五之四三次徃又獲四之三計所獲并母銀共四百兩問原母若干曰六兩又三分兩之二術亦借數遞乗各母以推之如借一十為通數乗三得三十以三十乗五得一百五十以一百五十乗四得六百為首率以通數為次率以四百為三率求出六兩又三分兩之二以三乗之得二十又以五乗二十得一百又以四乗一百得四百兩合數
　　式十三㩦酒郊遊三次俱飲酒一斗九升每飲添酒輒倍餘酒至三次酒盡問原㩦若干曰一斗六升六合二勺五抄術借一數為原酒加三次倍率曰一曰二曰四并得八為首率減原借一存七為次率以一斗九升為三率又術并三次倍率一二四為七以乗一斗九升得一石三斗三升減半三次即得
　　式十四載米賑濟每次散米一千五百石亦每次糴增俱倍餘米五賑恰盡問原載米若干曰一千四百五十三石一斗二升五合術借一數為原米加五次倍率曰一曰二曰四曰八曰十六并得三十二為首率止并五次率得三十一為次率以一千五百為三率
　　通曰以次率乗三率得四萬六千五百石減半五次亦合
　　式十五立一虚數以乗四得數又乗三得數又乗六得數外加一十共八百前所立虚數若干曰一十又三十六之三十五術於八百内除去所加一十餘七百九十借一十為通數以乗各裒以一十乗四得四十又以四十乗三得一百二十又以一百二十乗六得七百二十為首乗以通數為次率以七百九十為三率求出一十又三十六之三十五以乗四得四十三又九之八以乗三得一百三十一又三之二以乗六得七百九十加一十合數
　　式十六老人不知年但云加二之一又減四之一得九十九嵗問實年若干曰八十八術借八十為通數依裒加減加二之一為四十并八十得一百二十又減四之一為三十於一百二十内減之餘九十為首率以通數為次率以九十九為三率
　　式十七逺望一塔上露出二丈四尺下遮不見云尚有三分之一又五分之二其共高若干曰九十尺術借立三十為通數於三十内減去三之一餘二十又於三十内減去五之二為一十二乃於餘二十内減一十二餘八為首率通數為次率二十四尺為三率求出九十尺為塔高内減三之一為三十尺又減五之二為三十六尺餘二十四尺合上露之數
　　式十八旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚餘十二尺紅色其竿長若干曰四十九尺又十一分尺之一術借四十五為通數減三之一為十五減五之一為九減九之二為一十俱於通數内減去餘十一為首率通數為次率紅十二尺為三率求出四十九尺又十一分尺之一其白三之一乃十六尺又十一之四也黑五之一乃九尺又十一之九也青九之二乃十尺十一之十也
　　式十九白布三十疋青布四十疋共價六百六十兩其青布每疋比白布價多一倍問各疋價若干曰白價六兩青價十二兩術借四兩為白價倍得八兩為青價以四乗白布三十得一百二十以八乗青布四十得三百二十并得四百四十為首率通數四兩為次率共價為三率求出六兩為白疋價倍得十二兩為青疋價通曰以八兩為次率求出青疋價蓋二位之借裒皆通數也












　　數度衍巻十八



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十九
　　桐城　方中通　撰
　　均輸
　　均賦法
　　式五縣輸穀二萬石每車載二十五石行一里僦值一錢甲縣二萬○五百二十户穀石價二兩乙縣一萬二千三百一十二户穀石價一兩逺輸二百里丙縣七千一百八十二户穀石價一兩二錢逺輸一百五十里丁縣一萬三千三百三十八户穀石價一兩七錢逺輸二百五十里戊縣五千一百三十户穀石價一兩三錢逺輸一百五十里問各若干曰甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺僦價無乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺僦價二十兩丙二千七百七十七石五斗八升四合四勺僦價十五兩丁三千四百三十八石九斗一升四合零僦價二十五兩戊一千八百七十九石五斗六升八合三勺僦價十五兩術先求各裒惟甲自輸本縣無僦里以穀價二兩作二十除甲户得一千○二十六為甲裒乙丙丁戊俱有僦價各以僦一錢乗各里而以每車載二十五石除之得各運價以除各戸而求各裒也乙二百里乗除之得八錢并穀價一兩得一兩八錢除乙户得六百八十四為乙裒丙一百五十里乗除之得六錢并穀價一兩二錢得一兩八錢除丙户得三百九十九為丙裒丁二百五十里乗除之得一兩并穀價一兩七錢得二兩七錢除丁户得四百九十四為丁裒戊一百五十里乗除之得六錢并穀價一兩三錢得一兩九錢除戊户得二百七十為戊裒并五裒得二千八百七十三為首率以總穀為次率以各裒為各三率用異乗同除法〈見九章外法〉
　　通曰合穀價僦價而計之每户所出皆均也
　　式二派糧八百四十石四縣照田畝多寡納之甲田三千六百三十五畝乙田二千四百六十六畝丙田三千五百七十七畝丁田四千三百二十二畝問各若干曰甲二百一十八石一斗乙一百四十七石九斗六升丙二百一十四石六斗二升丁二百五十九石三斗二升術并四縣畝得一萬四千為首率總糧為次率各畝為各三率
　　式三派糧二百七十四石三限催徴初限五分中限三分半末限一分半問各限若干曰初限一百三十七石中限九十五石九斗末限四十一石一斗術以五分乗總糧得初限數以三分半乗總糧得中限數以一分半乗總糧得末限數
　　通曰此非乗而積之乃乗而折之也
　　式四甲乙丙三人以田多寡均應一年差役甲田三百五十畝乙田二百八十畝丙田一百七十畝問各役幾時曰甲一百五十七日半乙一百二十六日丙七十六日半術并三田共八百畝為首率以一年通作三百六十日為次率以各田為各三率
　　式五糧三千六百石三處倉上納其每石則例東倉三斗三升四合西倉三斗三升五合南倉三斗三升一合問各倉若干曰東倉一千二百○二石四斗西倉一千二百○六石南倉一千一百九十一石六斗術此與三式同以總糧為實以各倉則例乗之得各數
　　式六衆人輸鈔首出八文以下各加一文至出六十文止問人鈔各若干曰五十三文共錢一千八百○二文術以八文并六十文得六十八為實以六十文減八文餘五十二再加首次所加一文得五十三為法以法乗實得三千六百○四折半得共錢數法即人數
　　式七人一百名自第一人輸銀一百兩以下挨減五錢問共銀若干曰七千五百二十五兩術以百名内減去第一人餘九十九名以五錢乗得四十九兩五錢於一百兩内減之餘五十兩○五錢并第一名一百兩得一百五十兩○五錢以乗一百名得一萬五千○五十兩折半即得
　　式八自第一日輸錢一文日増一倍至三十日問該若干曰十億○七千三百七十四萬一千八百二十四術置錢一文以十度八因即得一度八因乃三日倍數十度八因乃三十日倍數也又術以五度六十四乗之亦得一度六十四乃六日倍數五度六十四乃三十日倍數也又術以三度三十二乗之得數又自乗亦得三度三十二乃十五日倍數又自乗乃三十日倍數也通曰遞加倍加少廣詳之矣本章亦應有此故及之而此式少廣之術不同
　　均價法
　　式銀二十二兩八錢買甲乙二物均平其甲物每三斤價四錢乙物每一斤價五錢問各若干曰各三十六斤甲共價四兩八錢乙共價十八兩術用差分母子互乗法〈三斤　四錢一斤　五錢〉以三斤乗五錢得一十五以一斤乗四錢得四并得一十九為首率兩母相乗得三為次率以總銀為三率求出四率三十六以乙每斤價乗之得乙共價以甲三斤價四錢乗四率又以三除之得甲共價式二銀三十七兩八錢買米麥荳均平每石米價八錢麥價六錢荳價四錢問各若干曰各二十一石米共價十六兩八錢麥共價十二兩六錢豈共價八兩四錢術以總銀為實并三色每石價共一兩八錢為法除得二十一為各石數各以每石價乗之得各共價
　　式三麥每石價九錢米每石價八錢荳每石價七錢今以價均扣算問各若干曰各該價五錢○四釐麥五斗六升米六斗三升荳七斗二升衍以麥荳價相乗七九乗得六斗三升為米數以米荳價相乗七八乗得五斗六升為麥數以麥米價相乗八九乗得七斗二升為荳數各以每石價乗之皆得五錢○四釐
　　均募法
　　式雇車載重一千二百斤行道一千里給銀七兩五錢今重一千五百斤道一千三百里問該銀若干曰十二兩一錢八分七釐五毫術置今重以今道乗之得一百九十五萬又以七兩五錢乗之得一千四百六十二萬五千為實以原重乗原道得一百二十萬為法除實得今銀
　　通曰用異乗同乗之重測法〈見九章外法〉亦可
　　式二載重一千二百斤價七兩五錢行道一千里今重一千六百斤付銀六兩問該行道若干曰行六百里術以今銀乗原行得六千又乗原重得七百二十萬為實以今重乗原價得一萬二千為法除實得今行
　　式三行道一千里價七兩五錢載重一千二百斤今行一千七百里去價七兩六錢五分問該載重若干曰重七百二十斤術以原行乗原重得一百二十萬又乗今銀得九百一十八萬為實以今行乗原價得一萬二千七百五十為法除實得今重
　　式四負米一石一斗二升行三十步日五十次今負米一石二斗行四十步問日可幾次曰三十五次術以負米一石一斗二升乗三十步得三百三十六又乗五十次得一萬六千八百為實以負米一石二斗乗四十步得四百八十為法除實得次數又術以原負乗原行為三率以五十次為次率以今負乗今行為首率
　　式五兵二萬三千四百人各相去五步今欲縮除十六里九十步而止各相去幾何曰四步七分五釐術以五步乗兵數得十一萬七千步另以十六里用里法三百六十步通之得五千七百六十步加入九十步共五千八百五十步與十一萬七千步相減餘十一萬一千一百五十步為實以兵數為法除實得步數
　　式六人與車俱不知數凡三人共車二車空二人共車九人步行問人車各若干曰十五車三十九人術以三人乗二人得六加九人得一十五為車數以二人乗十五得三十加九人得三十九為人數
　　通曰此章本以人之多寡里之逺近物之輕重而立與〈分不專以算法分也數度衍卷十九〉
















　　商功章皆以事



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷二十
　　桐城　方中通　撰
　　借推盈朒〈盈朒之一〉
　　借虚徵實差分備矣更有子母雜互隱奥難知者則兩借虚數以徵之盈者有餘也朒者不足也
　　兩不足法
　　式設一數以其半為用内除三之一又除四之一尚餘三百其原總若干曰一千四百四十術先借二十四為通數列左上半為十二於内去三之一為四去四之一為三餘五以比三百不足二百九十五列左下又借九
　　十六為通數
　　列右上半為
　　四十八於内
　　去三之一為十六去四之一為十二餘二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乗右下得數註右右上乗左下得數註左兩不足相減餘為法兩乗得數相減餘為實以法除實得原總一千四百四十半為七百二十於内去三之一為二百四十去四之一為一百八十餘三百合問
　　式二設一數乗三外加一十又乗四外加二十又乗五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原數若
　　干曰十三術
　　先借二列左
　　上乗三得六
　　外加十得十
　　六又乗四得六十四外加二十得八十四又乗五得四百二十外加三十得四百五十又乗六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乗三得九加十得十九又乗四得七十六加二十得九十六又乗五得四百八十加三十得五百一十又乗六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乗兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得一十三如例乗加合六千七百之數
　　式三二人分銀一百兩若均分則每人五十然須甲還所得三之一乙還所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四兩又七分兩之二乙三十五兩又七分兩之五術先借三十兩為甲裒列左上借乙裒七
　　十附列於甲裒内
　　減三之一為一十
　　存二十於乙裒内
　　減五之一為十四而以乙減歸甲十四并二十為三十四以比五十不足十六列左下又借六十兩為甲裒列右上借乙裒四十附列於甲裒内減三之一為二十存四十於乙裒内減五之一為八而以乙減歸甲八并四十為四十八以比五十不足二列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲數於一百内減甲數餘乙數
　　通曰乙減歸甲故與甲裒乗也若甲減歸乙則與乙裒乗而先求得乙數矣
　　式四設一數以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其數若干曰七十二術借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三并得十
　　三加二十
　　二得三十
　　五以比一
　　百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五并得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百
　　式五二商母銀不知數云取乙十二兩與甲則乙有甲六之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七兩又五十九之二甲母十八兩又五十九之十二術從乙起算先借二十為乙裒列左上内減十二餘八以當甲六之一用六因求甲得四十八内減還乙十二存三十六為甲裒又於甲裒内捐十五與乙甲剩二十一乙裒二十并十五得三十五以甲剩數較乙加數是十之一否甲二十一則乙當二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百為
　　乙裒列右上
　　内減十二餘
　　八十八以當
　　甲六之一用
　　六因求甲得五百二十八内減還乙十二存五百一十六為甲裒又於甲裒内捐十五與乙甲剩五百○一乙裒一百并十五得一百一十五以乙較甲是十之一否甲五百○一則乙當五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得乙母内捐十二與甲餘五兩又五十九之二六乘得三十兩又五十九之十二内減還十二存甲母内捐十五與乙加乙母得三十二兩又五十九之二甲剩三兩又五十九之十二乃乙十之一也
　　式六甲乙丙三人共博甲贏乙二之一乙贏丙三之一丙又贏甲四之一各剰銀七百兩其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百術先借一百為甲裒列左上内捐與丙四之一曰二十五存七十五而總有七百是
　　所贏乙二之一
　　為六百二十五
　　〈七百内去七十五〉而乙
　　裒當為一千二
　　百五十矣〈兩其六百〉
　　〈二十五〉附列内捐二之一剰六百二十五又贏丙三之一共得七百是所贏丙為七十五〈七百内去六百二十五〉而丙裒當為二百二十五矣〈三其七十五〉又附列内捐與乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百為甲裒列右上内捐與丙四之一曰五十存一百五十而總有七百是所贏乙二之一為五百五十〈七百内去一百五十〉而乙裒當為一千一百矣〈兩其五百五十〉附列内捐二之一剩五百五十又贏丙三之一共得七百是所贏丙為一百五十〈七百内去五百五十〉而丙裒當為四百五十矣〈三其一百五十〉又附列内捐與乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下兩不足減餘為法兩乗數減餘為實以法除得四百為甲母内減四之一存三百加乙二之一為七百是所加四百因知乙母八百也以乙母減二之一存四百加丙三之一為七百是所加三百因知丙母九百也以丙母減三之一存六百加甲四之一為七百
　　通曰不足數與乙裒乗求得乙母與丙裒乗求得丙母式七甲乙丙三商共販得子銀四百兩其分數乙比甲多十二兩丙比乙多十六兩問各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八術先借一兩為甲裒列左上乙該十三丙該二十九共四十三比四百不足三
　　百五十七列左下又
　　借二兩為甲裒列右
　　上乙該十四丙該三
　　十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲數加多得乙丙數
　　式八綾七尺羅九尺兩共價等其每尺價羅少三十六文其各尺價若干曰綾每尺一百六十二文共一千一百三十四文羅每尺一百二十六文共與綾等術先借七十二為綾價列左上羅價當為三十六列次各以尺




　　數乗之綾得五百○四羅得三百二十四以羅視綾不足一百八十列左下又借一百為綾價列右上羅當為六十四列次各以尺數乗之綾得七百羅得五百七十六以羅視綾不足一百二十四列右下兩不足減餘為法以不足數乗綾裒得綾實以法除得綾每尺價乗羅裒得羅實以法除得羅每尺價各以尺數乗得各共價式九雞同籠不知數云九十六頭三百○八足問各若




　　干曰雞三十八兔五十八術以九十六頭爲主先借雞四十八列右上該四十八〈九十六内去四十八存四十八〉列次雞二足乗得九十六足免四足乗得一百九十二足并得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借雞六十列左上該三十六〈九十六内去六十存三十六〉列次雞為一百二十足為一百四十四足并得二百六十四比三百○八不足四十四列左下兩不足減餘為法以下互乗上裒減餘為雞實以法除得雞數以下互乗次裒減餘為免實以法除得數又各乗得足數合三百○八又術倍九十六頭為一百九十二以減總足餘一百一十六以二除得五十八為數用四足乘得二百三十二足以減總足餘七十六以二除得三十八為雞數〈琇曰雞足半共足減共頭餘足分共足減共頭倍餘為雞〉
　　兩盈法
　　式設一數以其半為用内除三之一又除四之一尚餘
　　三百其原總幾何曰
　　一千四百四十術先
　　借四千八百為通數
　　列左上半為二千四百三之一為八百四之一為六百皆於通數内減之餘一千以比三百盈七百列左下又借二千四百為通數列右上半為一千二百三之一為四百四之一為三百皆於右通數内減之餘五百以比三百盈二百列右下兩盈相減餘為法左右上下互乗得數相減餘為實以法除實得原總
　　通曰與前一式同但彼於半通數内減各分此於通數内并半數而減之兩法皆可用也
　　式二三人共分銀四十四兩乙多甲一倍外又多四兩丙兼甲乙之數外又多六兩問各若干曰甲五兩乙十四兩丙二十五兩術先借甲一十列左上乙倍得二十
　　加四共二十四丙兼
　　甲乙又加六共四十
　　并三數得七十四比
　　四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八并三數得五十比四十四盈六列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲五兩倍為十加四共十四兩為乙數兼甲乙得十九又加六共二十五兩為丙數如左圖用各裒乗便求得各數也



　　又術通曰乙多四丙兼甲乙而多六則必兼多乙之四矣并三多為十四於總銀内減之餘三十為實乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停為法除實得五兩為甲一停之數亦合
　　式三以一千剖為二甲多於乙四十九兩問各幾何曰甲五百二十四兩五錢乙四百七十五兩五錢術先借
　　六百為甲裒
　　列左上乙四
　　百附列較差
　　二百比四十
　　九盈一百五十一列左下另借五百五十為甲裒列右上乙四百五十附列較差一百比四十九盈五十一列

　　右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲數減總得乙數又術通曰以一千剖為二得五百以四十九剖為二得二十四兩五錢五百外加二十四兩五錢為甲數五百内減二十四兩五錢為乙數又術通曰於一千内減去四十九餘九百五十一剖為二得四百七十五兩五錢為乙數減總得甲
　　式四罏二座葢重一百五十斤以葢加甲鑪則多乙二倍以葢加乙罏則與甲等問各幾何曰甲三百斤乙一百五十斤術先借三十為甲裒列左上葢附列共一百
　　八十又附列以
　　三之一為乙裒
　　得六十加葢共
　　二百一十比甲
　　裒盈一百八十列左下又借九十為甲裒列右上葢附列共二百四十又附列以三之一為乙裒得八十加葢共二百三十比甲裒盈一百四十列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得甲鑪加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤為乙鑪
　　式五二人銀不知數減乙六兩與甲則甲多乙一倍減甲三兩與乙則正等問各幾何曰甲三十兩乙二十四
　　兩術從乙起算先借十
　　五為乙裒列左上内減
　　六存九以當甲之半則
　　甲該十八内減所加六得十二為甲裒内取三與乙則甲剰九以較乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十為乙裒列右上内減六存十四倍得二十八為甲内減所加六得二十二為甲裒内取三與乙則甲剰十九以較乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得乙二十四減六存十八倍得三十六減六得甲三十内減三與乙則與乙二十四加三正等
　　式六漏壺注水有三孔甲孔流水二時而盡乙孔流水三時而盡丙孔流水六時方盡若三孔俱開則幾時水
　　盡曰一時術借四時列左
　　上以四時推甲當盡二壺
　　乙當盡一壺又三分壺之
　　一丙當盡三分壺之二并之四時共盡四壺比原問一壺盈三列左下另借十時列右上推甲當盡五壺乙當盡三壺又三分壺之一丙當盡一壺又三分壺之二并之十時共盡十壺比原問一壺盈九列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得一時甲盡半壺乙盡三分壺之一丙盡六分壺之一正合一壺之數
　　通曰左裒推得四時盡四壺亦已明矣用合率差分法亦可
　　式七黄金百斤製鑪不用銷毁欲知匠和銀若干曰和銀十六斤又三分斤之二術以三器貯水等重一投金鑪溢水六十五斤一投純金百斤溢水六十斤一投純
　　銀百斤溢水九十斤如
　　法求之先借四十為和
　　銀數列左上存金六十
　　附列以溢水裒推之存金六十斤該溢水三十六斤和銀四十斤該溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十為和銀數存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤該溢水四十二斤和銀三十斤該溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得十六斤又三分斤之二為和銀數推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投鑪溢水六十五斤之數
　　式八調南北西三處兵南兵四萬北兵為南及西二分之一西兵為南及北三分之一問北西各幾何曰北三萬二千西二萬四千術先借三萬為北裒列左上推得南西共六萬去南四萬西僅二萬附列西為南北三之
　　一則南北當為六
　　萬今得七萬是盈
　　一萬也列左下又
　　借二萬四千為北
　　裒列右上推得南
　　西共四萬八千去
　　南四萬西僅八千附列西為南北三之一則南北當為二萬四千今得六萬四千是盈四萬也列右下兩盈減餘為法兩乗數減餘為實以法除得北兵推知西兵二萬四千
　　式九金九錠銀十一錠等重互換一錠則金輕十三兩問各若干曰金一錠重三十五兩七錢五分銀一錠重二十




　　九兩二錢五分金九錠共重三百二十一兩七錢五分銀十一錠共重正等術金輕十三兩則金銀較為六兩五錢先借十三兩為金裒列右上銀該六兩五錢〈去較數〉列次金九錠乗十三得一百一十七兩銀十一錠乗六五得七十一兩五錢以金比銀盈四十五兩五錢列右下又借二十四兩為金裒列左上銀該十七兩五錢〈去較數〉列次金九錠乗二十四得二百一十六兩銀十一錠乗十七五得一百九十二兩五錢以金比銀盈二十三兩五錢列左下兩盈減餘為法上與下互乗減餘為金實以法除得金一錠數次與下互乗減餘為銀實以法除得銀

　　一錠數各以錠數乗得共重正等又術以較六兩五錢乗金九錠得五十八兩五錢為實以金九錠銀十一錠相減餘二為法除得銀一錠數又以較乗銀十一錠得七十一兩五錢為實以法二除得金一錠數
　　通曰又術即合率差分法也
　　一盈一不足法
　　式物價九十六兩三人共買甲出不知數乙於甲内少二兩丙於甲乙二人外多四兩問各若干曰甲二十四兩乙二十二兩丙五十兩術先借二十為甲數列左上
　　乙當十八丙當四十二
　　并得八十較原價不足
　　十六列左下又借三十
　　為甲數列右上乙當二十八丙當六十二并得一百二十較原價盈二十四列右下盈不足并得四十為法左右上下互乗并得九百六十為實以法除得甲數推知乙丙
　　式二物價二千七百兩三人共買甲出不知數乙倍甲丙倍甲乙問各若干曰甲三百兩乙六百兩丙一千八
　　百兩術先借二百為甲
　　數列左上乙四百丙一
　　千二百并得一千八百
　　較原價不足九百列左下又借四百為甲數列右上乙八百丙二千四百并得三千六百較原價盈九百列右下盈不足并為法互乗并為實以法除得甲數推知乙丙又術通曰只擬甲出十兩為率甲十乙二十丙六十并得九十為法以甲十兩乗原價得二萬七千為實以法除得甲數
　　式三設一數以其半為用内除三之一又除四之一尚餘三百其原數幾何曰一千四百四十術先借二千四
　　百列左上半為一千二
　　百内三之一去四百四
　　之一去三百餘五百比
　　三百盈二百列左下又
　　借九十六列右上半為四十八内三之一去十六四之一去十二餘二十比三百不足二百八十列右下盈不足并為法互乗并為實以法除得原數
　　式四甲乙不知數取乙九與甲則甲倍乙取甲九與乙則甲乙等問各若干曰甲六十三乙四十五術先借一
　　百為等
　　數乙得
　　甲九則
　　甲原是
　　一百○
　　九列左上乙為九十一列次甲若取乙九則甲得一百一十八而乙餘八十二比甲之半五十九〈甲係倍乙〉盈二十三列左下又借五十為等數乙得甲九則甲原是五十九列右上乙為四十一列次甲若取乙九則甲得六十八而乙餘三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足并為法上乗并為甲實次乗并為乙實以法各除得各數
　　式五攜酒遊山四處每沽増一倍俱飲六升恰盡問原攜若干曰五升六合二勺五抄術先借五升四合列右上倍得一斗○八合減六升餘四升八合又倍得九升六合減六升餘三升六合又倍得七升二合減六升餘
　　一升二合又倍得
　　二升四合減六升
　　不足三升六合列
　　右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合減六升餘六升四合又倍得一斗二升八合減六升餘六升八合又倍得一斗三升六合減六升餘七升六合又倍得一斗五升二合減六升盈九升二合列左下盈不足并為法互乗并為實以法除得原攜酒數四次倍減適盡
　　式六貸糓不知數每年加息一倍又還糓五十石至三年本息俱完問原貸若干曰四十三石七斗五升術先
　　借四十三列左上倍
　　得八十六減五十餘
　　三十六又倍得七十
　　二減五十餘二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八減五十餘三十八又倍得七十六減五十餘二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足并為法互乗并為實以法除得原糓
　　式七逐百隻每三人得四隻該幾人曰七十五人術先借七十二列左上四乗三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乗三除得一百二十盈二十列
　　右下盈不足并為法
　　互乗并為實以法除
　　得人數又術通曰用
　　三纍法〈見九章外法〉以四隻為一率三人為二率百隻為三率求之亦可
　　式八三人共數六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六問各幾何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十
　　三術先借六為
　　甲倍之加四乙
　　得十六兼甲乙
　　加六丙得二十八并得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八為甲乙得二十丙得三十四并得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足并為法甲互乗并為實以法除得甲數推得乙丙
　　式九以三十數剖為二甲加六十乙加二十而甲為乙三倍其剖分各幾何曰甲二十二又二之一乙七又二
　　之一術先借二十為甲
　　列左上乙一十附列甲
　　加六十得八十乙加二
　　十得三十以甲比乙乙三十甲當九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四為甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲當七十八今却八十四是盈六也列右下盈不足并為法互乗并為實以法除得甲數三之一得乙又術通曰以三十剖為四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五
　　式十二人分銀百兩須甲捐三之一乙捐四之一平分捐數方各得五十兩其未均數各幾何曰甲五十二兩又十七分兩之十六乙四十七兩又十七分兩之一術
　　先借六十為甲列左
　　上乙四十附列減甲
　　三之一為二十存四
　　十減乙四之一為一十存三十和兩減之三十均得十五以甲得十五合減存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四為甲列右上乙七十六附列減甲三之一為八存十六減乙四之一為十九存五十七和兩減之二十七均得十三五以甲得十三五合減存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下并盈不足為法并互乗為實以法除得甲數減總得乙
　　式十一二鑪一葢重百兩葢加甲鑪則三倍於乙葢加乙鑪則二倍於甲問各若干曰甲鑪八十兩乙鑪六十
　　兩術先借五十為甲列左
　　上加葢共一百五十附列
　　以三之一為乙五十加葢
　　得一百五十甲是五十乙
　　加葢只該一百今盈五十列左下又借一百一十為甲列右上加葢共二百一十附列以三之一為乙七十加葢得一百七十甲是一百一十乙加葢當二百二十今不足五十列右下并盈不足為法并互乗為實以法除得甲數推得乙
　　式十二甲匠做工三十日完加乙匠則十八日完若獨用乙匠須幾日曰四十五日術須知甲之十八日乃三
　　十日内五分之三
　　則知乙十八日為
　　五分之二先借四
　　十為乙列左上以十八日完五之二推之四十日當完九之八不足九之一列左下又借六十為乙列右上以十八日完五之二推之六十日當全完又盈九之三列右下并盈不足為法并互乗為實以法除得乙日〈用奇零法見前〉又術通曰既知十八日為乙五分之二則以十八折半得九用五乗之亦得乙日
　　式十三牛羊共百牽總價一百六十八兩每牛三頭銀十二兩羊四羫銀一兩五錢問各若干曰牛三十六價
　　一百四十
　　四兩羊六
　　十四價二
　　十四兩術
　　先以三歸
　　十二得牛一頭價四兩以四歸一兩五錢得羊一羫價三錢七分五釐而皆化為釐算之乃借六十為牛列左上羊四十列次以乗各價牛乘四千釐得二十四萬羊乘三百七十五釐得一萬五千并得二十五萬五千釐比總價盈八千七百釐列左下又借三十為牛列右上羊七十列次以乗各價牛得十二萬羊得二萬六千二百五十并得十四萬六千二百五十釐比總價不足二千一百七十五釐列右下并盈不足為法并上互乗為牛實次互乗為羊實以法除得各數
　　通曰盈本八萬七千不足本二萬一千七百五十今降一位列下也再降亦可葢升則法實俱升降則法實俱降也
　　叠求法
　　式甲乙丙三數甲加七十三則為乙丙數者二乙加七十三則為甲丙數者三丙加七十三則為甲乙數者四問各幾何曰甲七乙十七丙二十三術此因有三之二及四之三當借奇數求甲而又因乙丙之加牽連難析則叠用前法以徵之且如借一〈奇數〉為甲裒加七十三得七十四當為兼乙丙而倍之之數因折半三十七為乙丙數而乙數另須借推第一圖先借二為乙列左上乙
　　丙數三
　　十七内
　　減二餘
　　丙三十
　　五列次乃以二加七十三得七十五以較甲丙合數三十六〈甲一丙三十五〉三其合數該一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五為乙列右上乙丙數三十七内減五餘丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以較甲丙合數三十三〈甲一丙三十二〉三其合數該九十九今只七十八是不足二十一也列右下兩不足減餘為法兩互乗減餘為實以法除得一十又四之一為乙裒另列初借甲裒一列後第三圖左上乙裒列次乙丙共三十七内減乙得丙二十六又四之三列次再借三〈奇數〉為甲裒加七十三得七十六當為兼乙丙而倍之之數因折半三十八為乙丙數而乙數另須借推第二圖先借二為乙列左上乙丙數三十八内減二餘丙三十六七十四為兼乙丙而倍之之數〈乙丙共三十七〉乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一當為兼甲丙共數者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共數合八十三又四之一無差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三當為兼甲乙共數者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共數只該四十五今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六為兼乙丙而倍之之數〈乙丙共三十八〉乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一當為兼甲丙共數者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共數合八十五又二之一無差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一當為兼甲乙共數者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共數只該六十二今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下兩盈減餘為法甲乗減餘為甲實乙乗減餘為乙實丙乗減餘為丙實以法除得各數甲七加七十三得八十為兼乙丙共數四十者二乙十七加七十三得九十為兼甲丙共數三十者三丙二十三加七十三得九十六為兼甲乙共數二十四者四合問通曰本章諸式多與差分同兩法皆可求者則同也原帶盈朒〈盈朒之二〉
　　一盈一不足法
　　式買物每人出五兩盈六兩每人出三兩不足四兩人數物價各若干曰五人物價十九兩術左列五之六〈即五
　　兩盈六兩右列三之〉
　　四〈即三兩不足四兩〉兩
　　子并為人實母
　　子互乗并為物實兩母減餘為法以法除人實得人數以法除物實得物價再以五人乗五減六或以五人乗三加四皆同物價若用借裒先借四人列左上乗五得
　　二十減六存十四又以四
　　乗三得十二加四得十六
　　兩數相較不足二列左下
　　另借七人列右上乗五得三十五減六存二十九又以七乗三得二十一加四得二十五兩數相較盈四列右下并盈不足為法并互乗為實以法除得五人
　　式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石術五之三十列左六之四十列右兩子并為人實母子互乗并為糓實兩母減餘為法除人實得人數除糓實得糓數再以人
　　數乘五石加
　　盈三十或以
　　人數乗六石
　　減不足四十皆同糓數前式係出率故減盈増不足此式係入率故増盈減不足也若用借裒先借三十人列左上乗五得一百五十加三十共一百八十又以三十
　　乗六得一百八十減四
　　十存一百四十兩數相
　　較盈四十列左下另借
　　一百人列右上乗五得五百加三十共五百三十又以一百乗六得六百減四十存五百六十兩數相較不足三十列右下盈不足并為法互乗并為實以法除得人數
　　式三新絹作帳摺六幅長舊六寸摺七幅短舊四寸新絹舊帳幅各幾何曰絹長四丈二尺舊帳幅長六尺四寸術先以幅數乗盈不足以六列左上乗盈六寸得三
　　尺六寸列下以
　　七列右上乗不
　　足四寸得二尺
　　八寸列下兩子并為舊實母子互乗并為新實兩母減餘為法得舊帳幅長除新實得絹長
　　式四田一坵截半另佃截長六步不足七步截長八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截積之步五十五原濶步八術左列六之七右列八之九并子為濶實并
　　母子互乗為截
　　實兩母減餘為
　　法各以法除得
　　數
　　兩盈法
　　式買物每人出三兩五錢盈六兩每人出三兩三錢盈二兩八錢人數物價各若干曰十六人物價五十兩術兩出率左右列兩盈各列其下兩子減餘為人實母子
　　互乗減餘為物
　　實兩母減餘為
　　法各以法除得
　　數
　　式二井不知深將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺摺
　　作四股入井汲
　　水餘繩一尺井
　　深繩長各幾何
　　曰井深八尺繩長三丈六尺術左三股右四股列上以三乗四尺得十二為左子以四乗一尺得四為右子俱列下兩子減餘為井實母子互乗減餘為繩實兩母減餘為法各以法除得數
　　兩不足法
　　式買物每人出銀五兩不足四兩每人出銀五兩四錢不足二兩人數物價各若干曰五人物價二十九兩術
　　左列五十之
　　四十〈升兩為十〉右
　　列五十四之
　　二十兩子減餘為人實母子互乗減餘為物實兩母減餘為法各以法除得數
　　一適足一盈法
　　式買物每人出二兩五錢盈六兩每人出二兩三錢適足人數物價各若干曰三十人物價六十九兩術以二
　　十五列左上盈六十列
　　下以二十三列右上無
　　下數即以盈數為人實
　　左子乗右母為物實兩母減餘為法各以法除得數或不乗物實以人數乗適足之母亦得物價
　　式二以米換布換九疋適足換七疋米多四斗米數布
　　價各若干曰共米一石八斗每疋
　　值米二斗術左列九適足右列七
　　盈四以盈數為米實兩母減餘為
　　法除得二斗為每疋換米數乃以適足之母九乗之得共米
　　一適足一不足法
　　式買物每人出七兩不足十四兩每人出九兩適足人數物價各若干曰七人物價六十三兩術左列七不足
　　十四右列九適足
　　以不足為人實左
　　子乗右母為物實
　　兩母減餘為法各以法除得數或以人數乗適足之母亦得物價
　　叠數盈朒法
　　式買物每八人共出七兩盈四兩五錢每九人共出六兩不足三兩人數物價各若干曰三十六人物價二十七兩術分三層以八人列左上九人列右上兩上相乗



　　得七十二為通數共出七兩列左中共出六兩列右中上中互乗減餘為法盈四兩五錢列左下不足三兩列右下以下與兩乗數再互乗并為物實兩下并得七十五又乗通數為人實各以法除得數
　　通曰下層并之數皆以千降百也
　　式二買物每六人出九兩盈三兩每四人出七兩盈六兩人數物價各若干曰十二人物價十五兩術六人列左上四人列右上相乗得二十四為通數九兩列左中



　　七兩列右中上中互乗減餘為法盈三兩列左下盈六兩列右下以下與兩乗數再互乗減餘為物實兩下相減餘三又乗通數為人實各以法除得數　其叠數兩不足者倣此
　　式三買物每三人出五兩不足十兩五人出九兩適足人數物價各若干曰七十五人物價一百三十五兩術三



　　人列左上五人列右上乗得通數五兩列左中九兩列右中上中互乗減餘為法不足十兩列左下以左下乗右乗數為物實以左下乗通數為人實各以法除得數　其叠數之盈適足者倣此
　　母子盈朒法
　　式銀不知數買物用三分之二盈三兩用五分之三不足一兩銀數物價各若干曰總銀六十兩物價三十七


　　兩術上層左列五之三右列三之二母子互乗右得一十再乗不足一兩得一十左得九再乗盈三兩得二十七乃以右乗之一十列左中左乗之九列右中以右再乗之一十列左下左再乗之二十七列右下上層兩子乗得通數中層左右相減餘為法下層左右相并為物實中下互乗并數又以通數除之為銀實各以法除得數
　　式二銀不知數買物取六分之四盈二兩取四分之三盈三兩五錢銀數物價各若干曰總銀十八兩物價十兩術上層左列四之三右列六之四母子互乗右得十六再乗盈三兩五錢得五十六左得十八再乗盈二兩得三



　　十六乃以右乗之十六列左中左乗之十八列右中以右再乗之五十六列左下左再乗之三十六列右下上層兩子乗得通數中層左右減餘為法下層左右減餘為物實中下互乗減餘又以通數除之為銀實各以法除得數
　　式三派銀不言數但知甲乙二等户乙户所辦當甲戸十之八令甲八户乙五戸納之不足五兩令甲六戸乙八戸納之不足三兩其派銀數及各戸則例若干曰甲一戸辦五兩乙一戸辦四兩派銀六十五兩術以甲裒一十〈乙當甲十之八故以一十為甲裒〉乗八户得八十乙裒八乗五户
　　得四十并得
　　一百二十列
　　左上又以甲
　　裒一十乗六户得六十乙裒八乗八户得六十四并得一百二十四列右上其不足五兩列左三兩列右兩母

　　減餘為法兩互乗減餘為銀實兩子減餘為則例實以法除銀實得派銀以法除則例實得五錢甲裒一十乗五錢得甲一户數乙裒八乗五錢得乙一戸數
　　式四錢不知數買物取二分之一盈四文取七分之三適足錢數物價各若干曰錢五十六文物價二十四文
　　術七之
　　三列左
　　二之一
　　列右母子互乗左子乗得六另列右右子乗得七另列左而以六乗盈四得二十四列右下為物實又以二十四乗適足之母七得一百六十八為錢實兩另列之母減餘一為法除物實得物價原子相乗得三為法除錢實得錢數
　　式五糶麥不知數但云取三分之一糶銀八兩適足若取八分之三糶銀十兩不足二石總麥及每銀一兩糶麥若干曰總麥四十八石銀一兩糶二石術左列三之一右列八之三互乗之左得八再乗十兩得八十另列右右得九再乗八兩得七十二另列左乃以適足之銀


　　八乗不足之麥二得十六石列右下為銀實又以右下乗左上得一千一百五十二以原子相乗得三除之得三百八十四為麥實另列兩母減餘得八為法除麥實得總麥除銀實得麥二石乃價銀一兩之所糶也









　　數度衍卷二十
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷二十一
　　桐城　方中通　撰
　　方程
　　雜和較乘法
　　通曰數之不齊者以乗齊之數之不齊者以較齊之徧用者方程也
　　二色方程
　　式鼎三彞二共重一百四十五兩又鼎四彞五共重二百七十五兩問二色各重若干曰鼎二十五兩彞三十五兩術分三段徧乗之鼎四列左上彛五列左中共重



　　二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乗左上得十二乗左中得十五乗左下得八百二十五註左以左上鼎四乗右上得十二乗右中得八乗右下得五百八十註右又以乗數各相對減兩鼎減盡不用兩彛減餘七兩共重減餘二百四十五乃以少除多當以二百四十五為實以七為法除得三十五兩為一彛之重以右中彛二乗得七十以減右下共重一百四十五餘七十五以右上鼎三除得二十五兩為一鼎之重若以彞徧乗以七為法亦同所得減餘之實乃一百七十五以法除得毎鼎二十五兩以左上鼎四乗得一百以減左下共重餘一百七十五兩為五彛重數葢鼎乗反得彛彛乗反得鼎也通曰既得毎彛或每鼎之後左右皆可求也
　　式二紗三疋絹四疋共價四兩八錢又紗七疋絹二疋共價六兩八錢問二色各價若干曰紗每疋價八錢絹每疋價六錢術與右同
　　式三七釧九釵共重九兩四錢釧重釵輕於中互換其一輕重適等問各重若干曰每釧重七錢每釵重五錢
　　術此依互換
　　者列位一係
　　六釧一釵一
　　係一釧八釵而中分其共重之數左右列下以右釧六徧乗左行釵得四十八重得二十八兩二錢以左釧一徧乗右行釵得一重得四兩七錢對減中段減餘四十七為法下段減餘二十三兩五錢為實〈作二百三十五〉以法除得五錢為一釵數以減右重餘四兩二錢為六釧共數以六除得每釧七錢若以釵徧乗者得減餘之實三十二兩九錢以法四十七除得七錢為一釧數
　　通曰上段互乗相減必盡可以不乗矣
　　式四錢一萬文買二馬一牛則不足半馬之價買一馬二牛則餘半牛之價牛馬價各若干曰牛價一千八百
　　一十八
　　文又十
　　一之二
　　馬價五千四百五十四文又十一之六術此當以不足半馬者損為一馬又二分馬之一及一牛也以餘半牛者益為一馬及二牛又二分牛之一也依法列段用整帶零乗除之〈見奇零〉以右馬徧乗左行左中得三頭四之三左下得一萬五千以左馬徧乗右行右中得一頭右下得一萬對減中段減餘二頭又四之三為法下段減餘五千文為實以法除得牛價以減右總價餘八千一百八十一文又十一之九以右上馬一匹又二之一除之得馬價
　　式五甲乙二窖積粟云取乙三之一與甲及取甲二之一與乙各滿二千石其各原窖幾何曰甲一千六百石
　　乙一千二百石術
　　此零法列位互乗
　　甲得六千乙得四千減餘二千為實兩母并五為法除得四百以乙母三乗得乙以減二千餘八百以甲母二乘得甲其各以母乗者葢前所除為子數必歸母見整故也
　　式六每工種麥三畦菽四畦共種三百○一畦其菽麥畦及工各若干曰麥一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三術此為雙頭單脚互乗取三四左右列之并七為法下列總畦若求麥數者左三乗總畦得九百○
　　三以法除得麥
　　畦又以四乗得
　　五百一十六以左三除得菽畦若求菽數者右四乗總畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乗得五百一十六以右四除得麥畦又術通曰以三四并七為法除總畦得四十三為工數以麥三乘工數得麥畦以菽四乗工數得菽畦
　　式七銀二百六十四兩買牛羊共百牽每牛三頭價二十兩每羊四羫價一兩五錢牛羊及價各若干曰牛三十六頭價二百四十兩羊六十四羫價二十四兩術左


　　右列定牛乗羊價羊乗牛價得數減餘七十五兩五錢為法總牽總價列下如求牛數者以羊四乗總價得一千○五十六以羊價一兩五錢乗總牽得一百五十相減餘九百○六為實以法除得十二為牛裒以牛三乗得三十六頭以二十兩乗牛裒得牛共價總内減牛餘羊如求羊數者以牛三乗總價得七百九十二以牛價二十兩乗總牽得二千相減餘一千二百○八為實以法除得十六為羊裒以羊四乗得六十四羫以一兩五錢乗羊裒得羊共價總内減羊餘牛
　　式八用匠五千名包磚板二隄共四千九百九十五方限每日匠九名包板隄十一方匠七名包磚隄四方問隄匠各若干曰板隄四千○一十五方匠三千二百八十五名磚隄九百八十方匠一千七百一十五名術通



　　曰與右同總匠即總價共方即總牽磚板即牛羊也式九百餅飯大小百僧一大僧食三餅三小僧食一餅其大小僧各若干曰大僧二十五食餅七十五小僧七十五食餅二十五術通曰此兩總同數其裒必同也左右列定互乗相減餘八為法總僧總餅列下如求大僧
　　者以小三
　　乗總餅得
　　三百小食一乗總僧得一百相減餘二百為實以法除得二十五為裒大一乗裒得大僧數以食三乗裒得餅如求小僧者以小三乗裒得小僧數以食一乗裒得餅又術通曰兩總相同即以一百為實大小僧并大小食并又同即以四為法除得大僧數推知各數
　　三色方程
　　式四雀六燕七鷦共重八錢九分又三雀五燕九鷦共重八錢一分又五雀七燕八鷦共重一兩○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鷦重三分術



　　置左右中三行作四段列之以右五雀徧乗中行雀得十五燕得二十五鷦得四十五重得四兩○五分註中以中三雀徧乗右行雀得十五燕得二十一鷦得二十四重得三兩一錢八分註右中右對減雀無餘燕餘四鷦餘二十一重餘八錢七分另列後圖之右以右五雀徧乗左行雀得二十燕得三十鷦得三十五重得四兩四錢五分註左以左四雀徧乗右行雀得二十燕得二十八鷦得三十二重得四兩二錢四分註右左右對減雀無餘燕餘二鷦餘三重餘二錢一分另列後圖之左除雀無餘不用後圖止三段以右行燕四徧乗左行燕得八鷦得十二重得八錢四分註左以左行燕二徧乗


　　右行燕得八鷦得四十二重得一兩七錢四分註右對減燕無餘鷦餘三十為法重餘九錢為實以法除得二分為一鷦之重乗左三鷦得九分以減左重餘一錢二分為左二燕之重每燕六分乃於前圖左重八錢九分内去原鷦七重二錢一分原燕六重三錢六分尚存三錢二分為原四雀之重每雀八分或於前圖右行中行原數内推之皆得
　　式二犒夫二人共飯一分三人共酒一分四人共肉一分總用飯酒肉六十五分計夫若干曰夫六十飯三十分酒二十分肉十五分術以二人乗三人得六三人乗四人得十二四人乗二人得八并得二十六為法以二乗三得六乗四得二十四乗總分六十五得一千五百六十為實以法除得夫數推知各數
　　附式七人醵金甲乙共二十三兩七錢戊己庚共二十六兩一錢丙丁不知問各若干曰甲十二兩二錢乙十一兩五錢丙十兩○八錢丁十兩○一錢戊九兩四錢己八兩七錢庚八兩術先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三増一為四又乗三得十二減半得六又減三餘三為右中率取左二乗七人得十四減右三餘十一為左中率下列各共銀乃以左二徧乗右行中得
　　六下得五十二
　　兩二錢以右三
　　徧乗左行中得三十三下得七十一兩一錢對減中餘二十七為法下餘十八兩九錢為實以法除得隔母七錢再取甲乙共數并入七錢減半得甲十二兩二錢𨔛減七錢得各數
　　通曰隔母即遞減數也用帶分子母差分法亦可附式竹筩九節下三節共乗粟三升九合上四節共盛粟三升中二節不知問各節盛若干曰一節六合二節七合三節八合四節九合五節一升六節一升一合七節一升二合八節一升三合九節一升四合術左列下
　　三右列上四用右
　　法求得右中率六
　　左中率二十一下列各共盛乃以左三徧乗右行中得十八下得九分以右四徧乗左行中得八十四下得十五分六釐對減中餘六十六為法下餘六分六釐為隔母率却以法乗左三升九合得二百五十七分四釐以左三除得八十五分八釐為第八節數加母率得九節九十二分四釐若遞減母率七節得七十九分二釐六節得七十二分六釐五節得六十六分四節得五十九分四釐三節得五十二分八釐二節得四十六分二釐一節得三十九分六釐各以法六十六除得各粟數又術以中餘六十六為法下餘六十六為實以法除得一合為隔母率以左三除左三升九合得一升三合為八節
　　通曰前式甲乙二人共數故加隔母折半而得甲此式下三節共數故所求即第八節乃下三節之中節也
　　立正負法
　　立正負以别同異初以同名減其下同減而異并初以異名減其下異減而同并
　　二色方程
　　式筆三管換硯七方貼硯價四百八十文又硯三方換筆九管貼筆價一百八十文問各價幾何曰一筆價五十文一硯價九十文術硯為正筆為負左右三段列之
　　以右硯
　　七乗左
　　行中得六十三下得一千二百六十註左以左硯三乗右行中得九下得一千四百四十註右兩筆負同名減餘五十四為法兩價正負異名并得二千七百為實以法除得五十文為一筆之價取右筆三乗得一百五十加入價正四百八十共六百三十即右七硯之價以七除得每硯九十文若取左筆九乗五十得四百五十内減價負一百八十餘二百七十即左三硯之價如以筆徧乗者得異并之實四千八百六十以法除得硯價通曰舊法上段亦乗今不用其下段分正負者硯為正故貼硯價亦正筆為負故貼筆價亦負
　　三色方程
　　式硃二斤黄三斤價二千○四十文又黄五斤碌六斤價六百四十文又碌七斤硃三斤價二千九百八十文問各價若干曰硃每斤九百文黄毎斤八十文碌每斤四十文術分三色及價作四段于右中左列之以右硃



　　二乗左行碌得十四價得五千九百六十以左硃三乗右行黄得九價得六千一百二十左右黄碌兩段俱無減并止兩價作同減餘一百六十除硃一段乃於左○位照黄乗得之數為立負九另以中行黄五碌六價六百四十列右左行○負九碌乗十四價餘一百六十列左於後以右黄五乗左行碌得七十價得八百以左負
　　九乗右
　　行碌得
　　五十四價得五千七百六十碌係正負異名并得一百二十四為法兩價作同減餘四千九百六十為實以法除得四十文為碌一斤價乃於前圖中行原價減中碌六斤價二百四十餘四百為中黄五斤價每斤八十文又於右行原價減右黄三斤價二百四十餘一千八百為右硃二斤價每斤九百文
　　式二牛一頭馬二匹驢三匹皆載物七百斤不能行一牛借馬一匹二馬借驢一匹三驢借牛一頭方行三等力各若干曰一牛力四百一馬力三百一驢力一百術
　　列定以
　　右正牛
　　一乗左行各如故以左借牛一乗右行各如故左右不用減并左馬空倣右馬乗得數立負一乃除却牛段以中正馬乗左行負得二驢得六下得一千四百以左負一乗中行馬得二驢得一下得七百中左馬同名減盡正借驢異名并得七為法下物作同減餘七百為實以法除得驢力一百斤於中行七百内減中一驢力餘六百為中二馬力每馬力三百斤又於右行七百内減右



　　一馬力餘四百即右一牛力或用後圖求馬力以右借驢一乗左行牛得一下得七百以左正驢三乗右行馬得六下得二千一百左右馬牛無減并下減餘一千四百除却驢段又左馬空倣右馬乗數立負六以中借馬一乗左行牛得一下得七百以左負六乗中行牛得六下得四千二百中左正借牛異名并得七為法下物作同減餘三千五百又以右下餘一千四百減之餘二千一百為實以法除得三百斤為一馬力
　　通曰此以正借分同異不分正負也
　　式三鴈二雉三換穀五斗七升雉三二換五斗三升四鴈五換一石問各若干曰每鴈一斗二升毎雉一斗一升每一斗術列定以右鴈二乗左行八二石以左鴈五乗右行雉十五糓二石八斗五升左


　　右雉無減并糓作同減餘八斗五升除却鴈段於雉左○照右乗立負十五以中雉三乗左行二十四糓二石五斗五升以左負十五乗中行三十糓七石九斗五升中左正負異名并得五十四為法糓作同減

　　餘五石四斗為實以法除得一斗為一價於中行糓内減二價餘三斗三升為中三雉價每雉一斗一升又於右行糓内減三雉價餘二斗四升為右二鴈價每鴈一斗二升
　　通曰左右互乗既不乗鴈一段則左中互乗亦可不乗雉一段不然則雉係正負異名安得減盡乎故皆省之式四賣二牛五羊買十三豕餘五兩賣一牛一豕買三羊適足賣六羊八豕買五牛不足三兩問各價若干曰牛六兩羊二兩五錢豕一兩五錢術此以賣為正買為負餘為正不足為負也正為主則同減異并負為主則同并異減列定以右牛二乗中行羊六豕二以中牛一



　　乗右行羊五豕十三價五中右以正為主羊異名并十一豕異名并十五價無減并以右牛二乗左行羊十二豕十六價六以左牛五乗右行羊二十五豕六十五價二十五左右以負為主羊同名并三十七豕異名減餘四十九價異名減餘十九除牛一段再列減并數於後以羊十一乗左行豕五百三十九價二十兩○九錢以


　　羊三十七乘右行豕五百五十五價十八兩五錢左右豕異名減餘十六為法價異名減餘二兩四錢作二十四為實以法除得一五即一豕價一兩五錢以右豕十五乗得二十二兩五錢加右價五兩共二十七兩五錢俱羊價以右羊十一除得每羊二兩五錢再以前圖右豕十三乗一豕價得十九兩五錢加入右價五兩共二十四兩五錢為牛羊總價内減右五羊價十二兩五錢餘十二兩為右二牛價每牛六兩
　　四色方程
　　式柰二梨四共錢四十文梨二桃七共錢四十文桃四


　　榴七共錢三十文榴八柰一共錢二十四文問各價若干曰每柰八文每梨六文每桃四文每榴二文術分甲乙丙丁四行作五段列之先甲丁互乗以甲柰二乗丁行梨空桃空榴得十六價得四十八以丁柰一乗甲行梨仍四無對桃榴俱空錢仍四十與四十八相減餘八丁梨空照甲立負四次乙丁互乗乙無柰取梨二乗丁行桃空榴巳乗出十六得三十二錢餘八得十六以丁負梨四乗乙行桃得二十八無對榴空錢得一百六十并十六得一百七十六丁桃空照乙立負二十八次丙丁互乗丙無柰梨取桃四乗丁行榴巳乗出三十二得一百二十八錢巳乗并一百七十六得七百○四以丁桃負二十八乗丙行榴得一百九十六與一百二十八相減餘六十八為法錢得八百四十減去七百○四餘一百三十六為實其甲丁乙丁互乗惟求應立負數以為乗母既得法實其諸數皆不用也以法除實得二文為一榴之價於丙價三十減丙七榴價十四餘十六為丙四桃價每桃四文又於乙價四十減乙七桃價二十八餘十二為乙二梨價每梨六文又於甲價四十減甲四梨價二十四餘十六為甲二柰價每柰八文
　　五色方程
　　式井不知深用甲繩二不及泉借乙繩一補之及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一用丁繩五則借戊一用戊繩六則借甲一始俱及泉其各繩及井深若干曰甲繩二丈六尺五寸乙繩一丈九尺一寸丙繩一丈四尺八寸丁繩一丈二尺九寸戊繩七尺六寸井深七丈二尺一寸術列作五行以五繩之率為母借繩一為子先取甲二乗乙三得六又乗丙四得二十四又乗丁五得一百二十又乗戊六得七百二十并入子一得七百二十一為井深七丈二尺一寸也乃取甲乙丙丁戊及井深列作六段而以第五行為主一二三四行俱




　　與五行互乗也先以一行甲二乗五行戊六得十二下

　　得一千四百四十二以五行甲一乗一行乙仍得一五行即立負一下仍得七百二十一與前所乗之一千四百四十二相減餘七百二十一次以二行乙三乗五行戊十二得三十六下之減餘七百二十一乗得二千一百六十三以五行乙負一乗二行丙仍得一五行即立負一下仍得七百二十一并前所乗之二千一百六十三得二千八百八十四再以三行丙四乗五行戊三十六得一百四十四下之所并二千八百八十四乗得一萬一千五百三十六以五行丙負一乗三行丁仍得一五行即立負一下仍得七百二十一與前所乗之一萬一千五百三十六相減餘一萬○八百一十五末以四行丁五乗五行戊一百四十四得七百二十下之減餘一萬○八百一十五乗得五萬四千○七十五以五行丁負一乗四行戊仍得一并五行所乗之七百二十得七百二十一為法下仍得七百二十一并前所乘之五萬四千○七十五得五萬四千七百九十六為實以法除實得戊繩七尺六寸以減四行之七百二十一餘六百四十五以丁五除得丁繩一丈二尺九寸〈丈為百尺為十〉以減三行之七百二十一餘五百九十二以丙四除得丙繩一丈四尺八寸以減二行之七百二十一餘五百七十三以乙三除得乙繩一丈九尺一寸以減一行之七百二十一餘五百三十以甲二除得甲繩二丈六尺五寸
　　通曰自四色以上凡下段互乗相對皆係一減一并而積之不分正負同異矣其四色之丙丁兩行互乘榴段皆正同名則用減五色之四五兩行互乗戊段正借異名則用并也
　　止推下二段法
　　通曰如右式推出井深列定之後先以五行甲一乗各行乗乙一立負一乗丙一立負一乗丁一立負一乃止求下法實二段如求實段以一行甲二乗五行下得一十四百四十二以五行甲一乗一行下仍得七百二十一相減餘七百二十一又以二行乙三乗之得二千一百六十三以五行乙負一乗二行下仍得七百二十一并得二千八百八十四又以三行丙四乗之得一萬一千五百三十六以五行丙負一乗三行下仍得七百二十一相減餘一萬○八百一十五又以四行丁五乗之得五萬四千○七十五以五行丁負一乗四行下仍得七百二十一并得五萬四千七百九十六為實也如求法段以一行甲二乗五行戊六得十二又以二行乙三乗之得三十六又以三行丙四乗之得一百四十四又以四行丁五乗之得七百二十乃以五行丁負一乗四行戊一仍得一并得七百二十一為法也










　　數度衍巻二十一



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷二十二
　　桐城　方中通　撰
　　度〈粟布之一〉
　　度長短法
　　式九寸五分小尺量得三丈五尺十寸正尺該若干曰三丈三尺二寸五分術以三丈五尺為實以九寸五分為法乗之即得
　　式二十寸正尺量得三丈三尺二寸五分九寸五分小尺該若干曰三丈五尺術以三丈三尺二寸五分為實以九寸五分為法除之即得
　　式三九寸尺量得四丈八寸尺該若干曰四丈五尺術以四丈為實以九寸乗之得三丈六尺再用八寸除之即得
　　通曰乗非加也折而小之也除非減也折而大之也
　　求價法
　　式銀二十六兩五錢買紗二百二十二丈六尺毎疋長四丈二尺問紗疋及疋價若干曰五十三疋毎疋價五錢術以二百二十二丈六尺為實以四丈二尺為法除之得五十三疋又以二十六兩五錢為實以五十三疋為法除之得五錢
　　量〈粟布之二〉
　　量多寡法
　　式一斗五升大斗量得七石十升正斗該若干曰十石○五斗術以一斗五升乗七石即得
　　式二十升正斗量得十石○五斗一斗五升大斗該若干曰七石術以一斗五升除十石○五斗即得
　　式三二斗五升斛量得四十二斛若以一斗五升大斗量之該若干曰七石術以二斗五升乗四十二斛得十石○五斗為實以一斗五升為法除之即得
　　官糧帶耗法
　　式正一石耗七升今共糧二千七百六十五石九斗五升内正耗各若干曰正二千五百八十五石耗一百八十石○九斗五升術以共糧為實以正耗共一石○七升為法除之得正數以減共糧餘為耗數或以耗七升乗正數亦可
　　衡〈粟布之三〉
　　權輕重法
　　較秤式用秤稱物不及其錘重一斤十兩外加一錘重一斤四兩八錢稱得六十七斤依本秤算該斤幾何曰一百二十斤○九兩六錢術以原錘通作二十六兩〈法見後〉加錘通作二十兩○八錢并得四十六兩八錢為三率以六十七斤為次率以原錘二十六兩為首率次三相乗首除得一二○六一二者一百二十斤也六乃斤下虚數用加六法得九兩六錢
　　較錘式原秤稱物重八斤二兩失去原錘欲另配錘不知輕重借錘重二斤五兩稱原物只得六斤原錘該重若干曰一斤十一兩三錢零術以六斤通作九十六兩為三率以借錘通作三十七兩為次率以原重通作一百三十兩為首率次三相乗首除得二十七兩三錢零乃一斤十一兩三錢零也
　　兩求斤法
　　通曰斤法十六不以十進故須通斤為兩歸兩為斤也式物重三百二十兩該斤幾何曰二十斤術以物重為實以十六為法除之即得又術先用八除實後用五乗亦得又術以實兩次折半又加實數再折半亦得又術以實四次折半亦得此即偶數可折至一止也又術先用二除實後用八除亦得以實兩次四除亦得
　　通曰二八為十六四四亦為十六故皆可用也五乗即二除也
　　斤求兩法
　　式物重二十斤該兩幾何曰三百二十兩術以物重為實以十六為法乗之即得又術以八乗實以五除之亦得又術倍實又乗八亦得又術以四乗實又乗四亦得
　　珠算兩求斤法
　　訣曰一退六二五　二一二五　三一八七五　四二五　五三一二五　六三七五　七四三七五　八五九五六二五　十六二五　十一六八七五　十二
　　七五　十三八一二五　十四八七五　十五九三七五　十六進一
　　退者挨身下位也無退則自本位起也進則左位矣式物重三百二十一兩該斤幾何曰二十斤○一兩術置三百二十一兩在位從右起曰一退六二五抹去寅一卯上六辰上二巳上五曰二一二五丑二變一寅上二卯六變一而寅二又變三曰三一八七五子三變一丑一變九寅抹三又抹丑九而子一又變二卯一變六算畢子位二即二十斤也卯六
　　辰二巳五再用定身加六法得一兩
　　又訣曰進一除一六　進二除三二　進三除四八進四除六四　進五除八十　進六除九六　七除一一二　八除一二八　九除一四四
　　式物重二千九百四十四兩該斤幾何曰一百八十四斤術置二千九百四十四兩在位從左起曰進一除一六子上一丑二變一寅九變三曰八除一二八丑一變八寅抹三夘四變六曰進四除六四寅上四卯抹六辰抹四除畢即得
　　通曰二式得數後須推斤止何處始得餘兩
　　減六法
　　定身減六式物重四萬○七百三十六兩該斤幾何曰二千五百四十六斤術置實從左起曰減二六一十二子之四存二減一二丑上八曰減五六方三十丑之八存五減三曰減四六二十四寅之七存四減二四卯三變九曰減六六三十六卯之九存六減三辰減六實盡即得
　　通曰凡存數皆勿動即斤數也
　　珠算斤求兩法
　　通曰作幾段起算後并為一不論左首但取右尾挨次退一位加之訣曰一作一六二作三二三作四八四作六四五作八六作九六七作一一二八作一二八九作一四四
　　式物重三百七十四斤該兩幾何曰五千九百八十四
　　兩術通曰分三段三百為一
　　段曰三作四八七十為一段
　　曰七作一一二四斤為一段
　　曰四作六四乃以每段右退
　　一位加得兩數
　　加六法
　　定身加六式物重四十六斤該兩幾何曰七百三十六兩術置實從實尾起曰六六加三十六曰四六加二十四於四十六上共加二十七六也合成七三六即兩數通曰減六者於數内照存數減幾回六也加六者於數外照本數加幾回六也
　　式二物重三百二十一兩用兩求斤前訣巳推二十斤尚餘六二五為斤法幾兩曰一兩術用定身加六即得曰五六方三十曰二六一十二曰六六三十六如六百二十五上加三百七十五成一千也
　　化法
　　百兩為六斤四兩千兩為六十二斤八兩萬兩為六百二十五斤故知六二五為一之所化也葢百兩曰六二五六即六斤二五為化數存身加六歸得四兩也千兩曰六二五六二即六十二斤五為化數存身加六歸得八兩也若以一兩為六百二十五一斤為一萬數矣式原買物一斤價七錢六分五釐今欲買六兩該銀若干曰二錢八分六釐八毫七絲五忽術以六兩化之六其六二五得三十七五降作三七五為實以七錢六分五釐降作七分六釐五毫為法乗之即得
　　式二原買物一斤價五兩今買三百四十五兩該銀若干曰一百○七兩八錢一分二釐五毫術通曰以三百四十五兩乗六百二十五化作二十一萬五千六百二十五又以五兩乗之得一百○七萬八千一百二十五為實以一斤化作一萬為法除之即得
　　互求〈粟布之四〉
　　通曰周尺小沿今漸大今之周通尺猶小古石即石如其石重量亦衡也斤法三百八十四銖漢志十六兩故每兩二十四銖至其不齊度量有大至加五衡有十七八兩以至二十餘兩為斤者閩中更有牙桶管不以升斗十進粤又以五斗為石五升為斗與豫章之碩同書曰同律度量衡同律而後可互求也
　　度求量法
　　斛法二尺五寸乃長濶皆一尺髙二尺五寸容積一石也
　　方倉求積式方倉長四丈七尺濶三丈一尺髙九尺問積米若干曰五千二百四十五石二斗術以長與濶相乗得一百四十五丈七尺再以髙乗之得一千三百一十一丈三尺為實以斛法二尺五寸除之即得
　　式二方倉方一丈五尺髙一丈五尺問積米若干曰一千三百五十石術以方一丈五尺自乗得二百二十五尺再以髙乗之得三千三百七十五尺為實以斛法除之即得
　　圓倉求積式圓倉周二丈四尺髙一丈二尺三寸問積若干曰二百三十六石一斗六升術以周自乗得五百七十六尺以髙乗之得七萬○八百四十八以圓率十二除之得五千九百○四為實以斛法除之即得又術以七萬○八百四十八為實以斛法乗圓率得三十為法除實亦得又術以七萬○八百四十八為實以三除之亦得
　　方窖求積式方窖上方六尺下方八尺深一丈二尺問積若干曰二百三十六石八斗術以上方自乗得三十六下自乗得六十四上下方相乗得四十八并三乗數共一百四十八以深乗之得一千七百七十六用方窖率三除之得五百九十二為實以斛法除之即得又術以五百九十二為實以四乗之亦得
　　通曰四乗即二十五除故可代斛法也
　　圓窖求積式圓窖上周二丈八尺下周一丈五尺深七尺五寸問積若干曰一百一十九石○八升有零術以上周自乗得七十八丈四尺下周自乗得二十二丈五尺上下周相乗得四十二丈并三乗數共一百四十二丈九尺以深乗之得一○七一七五用圓窖率三十六除之得二九七七零為實以斛法除之即得又術以一○七一七五用六除二次亦得二九七七零以四乗之亦得
　　通曰六六為三十六故可代圓窖率也
　　平地尖堆求積式周二丈七尺髙六尺問積若干曰四十八石六斗術以周自乗得七二九又以髙乗之得四三七四用圓窖率三十六除之得一二一五為實以斛法除之即得又術以四三七四為實以九除之亦得通曰以斛法乗圓窖率得九十故可用九除也
　　倚壁求積式下周一丈九尺髙一丈二尺六寸問積若干曰一百○一石○八升術以下周自乗得三六一以髙乗之得四五四八六用倚壁率十八除之得二五二七為實以斛法除之即得又術以四五四八六為實以四十五除之亦得又術以四五四八六用五除之得九○九七二以九除之亦得
　　通曰以斛法乗倚壁率得四十五五九亦四十五故皆可用
　　内角求積式周一丈五尺髙一丈四尺四寸問積若干曰一百四十四石術以周自乗得二二五以髙乗之得三二四用内角率九除之得三六為實以斛法除之即得又術以三二四為實以二十二尺五寸為法除之亦得
　　通曰以斛法乗内角率得二十二尺五寸也故用之外角求積式周五丈七尺髙八尺五寸問積若干曰四百○九石一斗三升二合零術以周自乗得三二四九以髙乗之得二七六一六五用外角率二十七除之得一○二二八三零為實以斛法除之即得又術以二七六一六五為實以六十七尺五寸為法除之亦得又術以二七六一六五用三除之得九二○五五以九除之得一○二二八三零以四乗之亦得
　　通曰以斛法乗外角率得六十七尺五寸也三九亦二十七故皆可用
　　船求積式船兩頭俱面廣六尺五寸中腰廣七尺五寸底廣六尺長一丈八尺深二尺五寸問積若干曰一百二十三石七斗五升術倍腰廣為十五尺并入面廣底廣共二十七尺五寸以四除之得六八七五以深乗之得一七一八七五又以長乗之得三○九三七五為實以斛法除之即得
　　式二南頭面廣六尺腰廣六尺五寸底廣五尺北頭面廣七尺腰廣七尺五寸底廣六尺深二尺四寸長九尺問積若干曰五十六石一斗六升術倍南腰為十三尺加南面底共二十四尺倍北腰為十五尺加北面底共二十八尺南四除得六北四除得七并得十三折半得六五以乗深得十五尺六寸再乗長得一百四十尺○四寸為實以斛法除之即得
　　通曰圓倉圓窖非渾圓也倉乗得積十二倍窖乗得積三十六倍方窖乃三不等立方也乗得積三倍尖堆與圓窖同率倚壁止半尖故其率減尖堆之半内角乗得積九倍外角周大而積少故其率三倍於内角此用率除得實之故也
　　度求衡法
　　立方一寸為金率十六兩銀率十二兩玉率十兩不等鉛率九兩五錢銅率七兩五錢鐵率六兩青石率三兩不等
　　式金立方一丈二尺該重幾何曰二千七百六十四萬八千兩術以一丈二尺通作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸再乗得一百七十二萬八千寸為實以金率十六兩乗之即得
　　式二鹽立方一尺重四十斤今有鹽一堆長一丈五尺濶一丈二尺髙六尺五寸共重幾何曰四萬六千八百斤術以長乗濶得一百八十尺又乗髙得一千一百七十尺為實以四十斤為法乗之即得
　　量求度法
　　此即度求量之還原也
　　式有米二千四百一十九石二斗欲作方倉盛之濶十八尺髙十二尺長該幾何曰二十八尺術以斛法二尺五寸乗米數得六千○四十八尺為實以髙乗濶得二百一十六尺為法除之得長　長髙求濶以長乗髙為法長濶求髙以長乗濶為法
　　式二有米七百○五石六斗欲作圓倉盛之髙十二尺周該幾何曰四十二尺術以斛法乗米數得一千七百六十四以圓率十二乗之得二萬一千六百六十八以髙除之得一千七百六十四為實用少廣章平方法開之得周　周求髙則以二萬一千一百六十八為實以周自乗為法除之得髙
　　式三有米五百七十七石二斗欲作方窖盛之上方九尺深十三尺下方該若干曰十二尺術以斛法乗米數得一千四百四十三尺以方窖率三乗之得四千三百二十九尺以深除之得三百三十三尺内減上方自乗得八十一尺餘二百五十二尺為實以上方為縱用少廣章帶縱開平方除之得下方　下方求上方於三百三十三内減下方自乘餘為實以下方為縱用帶縱開平方除之得上方
　　式四有米七十七石二斗欲作圓窖盛之上周十四尺深九尺下周該若干曰十八尺術以斛法乗米數得一百九十三尺以圓窖率三十六乘之得六千九百四十八以深除之得七百七十二尺内減上周自乗得一百九十六餘五百七十六尺為實以上周為縱用帶縱開平方除之得下周　下周求上周於七百七十二内減下周自乗餘為實以下周為縱用帶縱開平方除之得上周
　　量求衡法
　　百二十斤為石法然物亦不等率亦不等
　　式米二百五十三石該斤幾何曰三萬○三百六十斤術以米數為實以石法乗之即得
　　衡求度法
　　此即度求衡之還原也
　　式金重二千七百六十四萬八千兩該立方幾何曰方一丈二尺術以金數為實以金率十六除之得一百七十二萬八千寸為立實用少廣章開立方除之即得
　　衡求量法
　　此即量求衡之還原也
　　式米三萬○三百六十斤該石幾何曰二百五十三石術以米數為實以石法除之即得
　　就物抽分法
　　式糓三千五百石即以糓扣作脚價每石脚銀五分糓每石價二錢問主脚糓各若干曰主糓二千八百石脚糓七百石術以二錢為法除五分得每石脚糓二斗五升并一石為一石二斗五升以除總糓得主糓以主糓減總糓餘為脚糓又術以五分乗總糓得一百七十五為實以穀價脚銀并二錢五分為法除實得脚糓減總得主
　　式二絲四十三斤十二兩織絹每疋用絲一斤即與織工絲四兩問各若干曰織絹三十五疋織工絲八斤十二兩術以斤下兩化作七五〈十二其六二五也〉并四十三斤得四三七五以工四兩化作二五〈四其六二五也〉相乗得十斤○九三七五為實乃并織絲工絲共一斤四兩化作一二五為法除實得八斤七五將七五用加六法歸得八斤十二兩為織工絲以減總絲餘為織絹絲三十五斤一斤即一疋得三十五疋又術以總絲通為七百兩以工四兩乗之得二千八百兩為實以每疋用十六兩并入工四兩得二十兩為法除實得織工絲一百四十兩歸得八斤十二兩











　　數度衍巻二十二



　　欽定四庫全書
　　數度衍卷二十三
　　桐城　方中通　撰
　　九章外法
　　約分法
　　式四十二數在九十八數内得㡬分之㡬曰七分之三術約以分子也數多為母數少為子今以四十二為子九十八為母視母數内滿幾囘子數盡減去今減兩回四十二餘母十四又於子數内減餘母今減兩回十四餘子十四此謂之子母同餘如不同餘則不可約矣以同餘之十四為法除母得七除子得三乃知四十二在九十八内為七分中之三分也
　　通分法
　　式物四十五件每件價三分兩之二該銀若干曰三十兩術通以分母也以三之二命三為母二為子乃以子二乗四十五得九十兩為實以母三為法除之得三十兩
　　通曰此零算則無盡而總算則無零也
　　異乗同除法
　　式錢四貫得貨十二斤今錢二十貫該貨若干曰六十斤術此即三率準測法也又名三纍先定三率之位以四貫為一率以十二斤為二率以二十貫為三率乃以二率三率相乗得二百四十以一率除之得六十為第四率又術先㝷紐數如用四為紐數一率四有一回四二率十二有三回四則以一代四為一率三代十二為二率仍用二十為三率所求四率亦同更以五代二十為三率亦用一為一率二率仍用十二亦可又術以一率除二率乗三率亦合又術以一率除三率乗二率亦合
　　通曰後二術皆先除後乗恐有零不盡不如先乗後除也
　　若以二率三率相乗以四率除之即得第一率之數若移三率作一率移四率作二率移一率作三率即得第二率之數
　　定位諸式
　　通曰二率三率可以相換一率則不可易矣
　　式買絹五十二疋銀四十四兩今買二百六十疋該銀幾何曰二百二十兩術此所問在二百六十疋則以二百六十為第三率以原絹五十二為第一率相當而以四十四為第二率以當所測之第四率也
　　式二每石價一兩七錢五分米每石價二兩五錢今有穀三百九十六石照價折米該若干曰二百七十七石二斗術以穀價為二率米價為一率今有糓為三率若問米照價準糓則以米價為二率糓價為一率米數為三率
　　式三八成金五十兩價二百兩今有九成金四十兩該價若干曰一百八十兩術此有成色當折足色之後用本法推之以八成金折足四十兩為一率二百兩為二率九成金折足三十六兩為三率
　　式四蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一共銀二兩六錢今有銀九錢買蠟若干曰三斤十二兩一錢九分又六十五之四術此為三不同類之率取原銀二兩六錢化為二十六錢為一率取原蠟二起共化為一千七百三十九錢為二率以今銀九錢為三率求得六百錢零一錢九分零歸得斤兩數
　　式五煉礦求銀初火每三兩得二兩再火每七兩得五兩三火毎五兩得四兩凡三次共得足銀十六兩問原礦若干曰四十二兩術此當并子并母求之以三子相乗煉得二兩乗五兩得十兩又乗四兩得四十兩為首率以三母相乗每三兩乗七兩得二十一兩又乗五兩得一百○五兩為次率以足銀為三率
　　式六驛使先發三十七里别一騎追一百四十五里尚不及二十三里再追幾何里可及曰二百三十八里又十四分里之三術先推知一百四十五里只追上十四里即以十四里為首率一百四十五里為次率不及二十三里為三率
　　式七二人同步甲疾乙遲甲百步乙纔六十步假使乙先行百步甲該幾何步可及曰二百五十步術以甲百步與乙六十步相減得較四十步為首率以甲百步為次率以乙先行百步為三率
　　式八糴米三千五百石毎石價六錢五分外用脚價五分就糴處以米準折問脚米存米各若干曰脚米二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五〈約為十三之九〉存米三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十〈約為十三之四〉術以每石糴價為首率總米為次率脚價為三率求得脚米以減總米得存米若已運至倉則并糴價脚價共七錢為首率依法求之只該脚米二百五十石
　　通曰數以四分用三故三率為數之樞也乗除亦三率而人不知者因其首率為除之法一次率為乗之法一法數遇一則不用三率耳前後諸式有各章己見者此則專以三率名也
　　同乗異除法
　　式借布長四丈濶二尺今還布止濶一尺八寸該長若干曰四丈四尺四寸零術此變測法也如一率多於三率而二率反少於四率或一率少於三率而二率反多於四率者當審其不相準之數而變法測之則以第一率乗第二率以第三率除之也今以原濶二尺為一率以原長四丈為二率以今濶一尺八寸為三率若用異乗同除法則移三率為一率移一率為二率移二率為三率亦可
　　定位諸式
　　式借九成金五十四兩今以八成金抵還該若干曰六十兩七錢五分術以九成為首率五十四兩為次率八成為三率
　　式二原母四千兩生息三年今母七千四百八十兩須幾年可當其三年之息曰一年七月十日六時四刻又三百七十四分刻之八十六術以原母為首率三年為次率今母為三率
　　式三原麥半石價六百文作餅每餅重十兩值十文今麥價每石八百文而每餅仍是十文該重若干曰十五兩術以原價為首率十兩為次率今價折半為三率式四二百四十步為一畝係濶八步長三十步今濶六步該長幾何曰四十步術八步為首率三十步為次率六步為三率
　　式五原倉貯米三百八十四石髙八尺濶一丈二尺深一丈今倉照前米數亦髙八尺深八尺該濶幾何曰一丈五尺術深一丈為首率濶一丈二尺為次率深八尺為三率
　　式六築臺每日用夫三十四年而成今每日用夫五十該幾時成曰八百六十四日術以三十為首率以四年化作一千四百四十日為次率以五十為三率
　　式七守兵八千五百其糧僅能支十一月若待運糧至尚須二十五月計當撤兵幾何留兵幾何而後足食二十五月曰留三千七百四十撤四千七百六十術以十一月為首率八千五百為次率二十五月為三率求出四率為留數減總得撤數
　　式八每日空車行七十里若重載只行五十里今載糧到倉五日三返路逺若干曰四十八里又三十六之二十二術以五日為首率以七十乗五十得三千五百里為次率并七十五十得一百二十里以乗三返得三百六十為三率
　　異乗同乗法
　　通曰定率之後仍用異乗同除法求之
　　式毎人每月織絹六疋若八人四年該織幾何曰二千三百○四疋術以四年化作四十八月乗八人得三百八十四又以六疋乗之即得又術用并法以一人乗一月得一為首率以六疋為次率以八人乗四十八月得三百八十四為三率
　　通曰首率是一故前術為捷耳若非一者必用此術及後術也又術用重準測法又名夾三纍先以人數測絹數以一人為首率六疋為次率八人為三率求得四率四十八疋又以月數測絹數以一月為首率以前四率為次率四十八月為三率
　　用并諸式
　　式原買大布一疋長二丈五尺濶一尺六寸價二錢今買小布一疋長一丈八尺濶一尺三寸用價一錢二分其貴賤若何曰只該一錢一分七釐今貴三釐術以大長乗大濶得四丈為首率以二錢為次率以小長乗小濶得二丈三尺四寸為三率
　　式二三人用米五石值銀三兩計食五旬每人每日銀米各幾何曰銀二分米三升三合又三之一術以三人乗五十日得一百五十為首率以三兩化作三百分為求銀之次率五石化作五百升為求米之次率皆以一人乗一日得一為三率
　　式三母銀三百兩四年得子銀一百兩今母銀一千五百八十兩七年該子銀若干曰九百二十一兩又三之二術以三百乗四年得一千二百為首率以一百為次率以一千五百八十乗七年得一萬一千○六十為三率
　　式四兵每名每月給銀四兩今兵一萬三千名九月該給若干曰四十六萬八千兩術以一名乗一月得一為首率以四兩為次率以九月乗一萬三千得十一萬七千為三率
　　重測諸式
　　式母銀十兩三月得子銀四兩母銀百兩欲得子銀二千兩須幾時曰一百五十月術此須先知百兩三月所得以十兩為首率四兩為次率一百兩為三率求出四十兩為四率後以四十兩為首率三月為次率二千兩為三率
　　式二夏布四十五疋換綿布夏布三疋共價二錢綿布七疋共價七錢五分該換若干曰二十八疋術先求夏布四十五疋之共價以三疋為首率二錢為次率四十五疋為三率求出三兩為四率後以七錢五分為首率七疋為次率以先四率為三率
　　式三銀二十三兩買布七十五疋毎疋長四丈濶二尺今另買布濶一尺六寸長與前等該減前價若干曰四兩六錢術先求每尺之價以四丈乗七十五疋得三百丈又乗二尺得六千尺為首率以二十三兩為次率另立一尺為三率求出三釐八毫三絲又三之一為四率再求應減之價以先三率為後一率先四率為後二率以兩濶相減餘四寸乗三千尺〈即四丈乗七十五所得之數〉得一千二百尺為三率
　　式四重舟日行八十里輕舟日行百里重舟先去十五日輕舟幾日追及曰六十日術先求重舟十五日所行以一日為首率八十里為次率十五日為三率求出一千二百里為四率後以輕舟每日多行二十里為首率以先首率為後二率先四率為後三率
　　式五車輪半徑一尺九寸五分一日轉二萬周為里幾何曰一百三十里術倍半徑得三尺九寸為全徑推得周一百一十七寸以一周為首率一百一十七寸為次率二萬周為三率求得二十三萬四千尺為四率再以里法三百六十步化作一千八百尺為首率一里為次率前四率為後三率
　　式六十二人九日刈麥二十畝今三十人刈麥四十五畝該幾日曰八日又十之一術先以人較日以十二人為首率九日為次率三十人為三率此係一率小於三率而四率少於二率者當用變準測一二相乗以三率除求出三日又五之三為四率後以日較畝以二十畝為首率前四率為後次率四十五畝為三率仍用本法式七煉銅每次十斤得八斤三次得七十五斤十三兩四錢四分原生銅若干曰一百四十八斤二兩術化八斤作一萬二千八百分為首率化十斤作一萬六千分為次率化總銅作十二萬一千三百四十四分為三率求出十五萬一千六百分為二火銅數以此數為三率一率二率如故求出十八萬九千六百分為一火銅數又以此數為三率一率二率如故又求出二十三萬七千分用斤法十六除之即得又術以八斤自乗再乗得五百一十二為法除三火銅化分得二三七因有再乗當升二位作二千三百七十兩以斤法除之亦得通曰此用三回三率故又名大夾三纍
　　式八雇匠採石每六十丈價七兩七錢船價三錢總用鍜鐵炭火銀二百兩是六十分之二問總銀石數石價船價各若干曰總銀六千兩石四萬三千五百丈石價五千五百八十二兩五錢船價二百一十七兩五錢術二百兩為六十分之二即知總銀是六千兩矣内減二百兩只以五千八百起算為三率以六十丈為二率以兩價并得八兩為首率求出石四萬三千五百丈為四率又以四率為三率以六十丈為首率七兩七錢為次率求出石價減五千八百餘船價加二百兩合總銀式九母銀百兩貨每斤賣二錢已得息三十兩今若每斤賣至二錢四分其息幾何曰五十六兩術先求每斤二錢内母銀若干以母并原息得一百三十兩為首率以一百兩為次率以二錢作二十分為三率求出十五分又十三之五為四率後以四率為首率以二錢四分内減十五分又十三之五餘八分又十三之八為次率一百兩為三率
　　式十布每疋長四十尺内抽税二尺客布三百疋税司抽布十五疋半反貼客錢六百文其布價毎疋幾何曰一千二百文術此已知税為二十取一也先求三百疋應抽之數以二十疋為首率一疋為次率三百為三率求出十五疋為四率以減十五疋半餘半疋係二十尺為首率六百文為次率四十尺為三率
　　通曰二尺乗三百疋得六百尺以四十尺除之亦得應抽之數
　　式十一販參每六斤價七兩七錢脚價三錢又用牙銀二百是原母三十之一其母銀參數兩價各若干曰原母六千兩參四千三百五十斤價五千五百八十二兩五錢脚價二百一十七兩五錢術與八式同
　　式十二飯僧初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米僧各若干曰僧一千三百五十初日用米二十一石六斗次日用米十石○五斗術先將兩子母互乗〈五十九十〉□〈八七〉左得三百五十右得七百二十并得一千○七十為首率兩母相乗得四千五百為次率以共米為三率求出一千三百五十為僧數又以五十人為首率八斗為次率僧數為三率求出初日米數再以九十人為首率七斗為次率僧數為三率求出次日米數
　　式十三銀六錢五分換大小錢錢數相等每銀一錢換大錢七十五文銀一錢換小錢一百二十文問各若干曰大錢三百文小錢三百文術以七十五文為首率換大銀一錢為次率一百二十文為三率求出一錢六分為大一百二十之銀再以一錢六分并換小銀一錢共二錢六分為首率并大一百二十小一百二十共二百四十文為次率以六錢五分為三率求得六百文平分大小各三百
　　式十四一百二十里物重八十斤工銀六分今一百八十里物重一百二十斤該工銀若干日一錢三分五釐術先以八十斤為首率六分為次率一百二十斤為三率求出銀九分後以一百二十里為首率九分為次率一百八十里為三率又術通曰視一百二十斤多八十斤二之一則將六分多二之一為九分又視一百八十里多一百二十里二之一則又將九分多二之一為一錢三分五釐亦合〈以先里重乗為首率工為次率以後里重乗為三率亦可〉
　　附式夫百名築城二百丈八月完工今夫百名築城二萬丈幾月完工曰八百月術此因前後皆是一百名不必重測以二百丈為首率八月為次率二萬丈為三率式二貨百斤賣銀六十四兩母每百兩得子六兩又三之二問各若干曰母六十兩子四兩術并母子共一百○六兩又三之二為首率母一百兩為次率賣銀為三率此除貨不用也
　　式三貨賣銀二百兩云每百兩折銀十兩其原買母銀若干曰二百二十二兩又九之二術此因百兩内折十兩當以九十兩為首率一百兩為次率二百兩為三率
　　異除同除法
　　式十五客十二日用米三石六斗一客一日用米若干日二升術以用米為實以十二日為法除之得每日米三斗又以十五客為法除三斗得每人二升
　　同乗同除法
　　式鵝八換雞二十雞三十換鴨九十鴨六十換羊二今有五羊換鵝若干日二十術以鵝八乗雞三十得二百四十又乗鴨六十得一萬四千四百又乗羊五得七萬二千為實以換雞二十乗換鴨九十得一千八百又乗換羊二得三千六百為法以法除實得換鵝數〈已上諸法式中凡遇奇零者法詳三卷〉
　　雜収
　　式一銀八百八十二兩分甲乙丙三等人共一百四十四名云甲每人七兩則乙每人五兩丙每人三兩問人銀各若干通曰以總人暫作三分每等四十八人以七兩乗甲四十八人得三百三十六以五兩乗乙四十八人得二百四十以三兩乗丙四十八人得一百四十四并得七百二十兩較總銀尚少一百六十二兩須益一甲損一丙則多四兩乃以四兩除一百六十二得四十人計多一百六十兩尚少二兩又須益一甲損一乙則多銀二兩也甲初四十八人加丙移四十人乙移一人共八十九人分銀六百二十三兩乙初四十八人減移甲一人止四十七人分銀二百三十五兩丙初四十八人減移甲四十人止八人分銀二十四兩又甲八十二人乙六十一人丙一人亦可
　　式二甲乙丙三物共百枚錢百文云甲一枚錢二文乙三枚錢一文丙五枚錢一文問各若干通曰暫以甲作三十二錢六十四乙作三十三錢十一丙作三十五錢七文并得錢八十二文較之百文尚少十八文須益十甲損十丙則多十八文也甲四十二錢八十四乙三十三錢十一丙二十五錢五文又甲四十四乙六丙五十亦可
　　通日右二式無準不可立通數差分不可盈朒亦不可姑存此
　　式三有積於此以三數之餘二以五數之餘三以七數之餘二為積幾何其法三數每餘一作七十今當作一百四十五數每餘一作二十一今當作六十三七數每餘一作十五今當作三十并得二百三十三滿百則減去并帶去五今於并數内減二百又帶去一十餘二十三為積也
　　通曰五用二十一者三七相乗數也七用十五者三五相乗數也三用七十者五七相乗而倍之之數也減百零五者并七十與二十一及十五得一百零六減百零五而餘一也
　　式四四正四隅各置三枚截南三方共成九枚截西三方亦成九枚四面皆然今四正各加一枚四隅各移一枚入正截南三方仍是九枚四面皆然何也通曰四隅一枚當二枚用四正一枚止是一枚也
　　式五環二十子内有二黑子相連以九數之止處即除一子除畢二黑不動宜從何起通曰五為九之中左右各四離黑子四位起可也大凡以九數者不拘多寡中必有相連二子不動七亦如之惟起處當臨時測耳式六十位九子隔三而投務從空起可越而不可曲其投若何
　　通曰甲丙戊庚壬五陽位也乙丁己辛癸五隂位也陽起隂止隂起陽止一隂一陽而九子畢投矣
　　式七酒十斤貯甲器外有乙器可容七斤丙器可容三斤而無秤欲兩平分其術若何通曰有二術就甲器貯酒用丙盛三斤入乙又盛三斤入乙又盛三斤内以一斤足乙七斤丙餘二斤乃將乙七斤復入甲以丙餘二斤入乙又盛三斤入乙則甲乙各得五斤矣若將乙丙二器貯酒以丙三斤入甲又盛三斤入甲又盛三斤入甲甲受九斤乙餘一斤乃以丙盛此一斤以甲九斤内七斤入乙甲餘二斤以乙七斤内二斤足丙三斤入甲則甲乙亦平分也











　　附録
　　式一借銀二百六十兩每年加三息至十箇月二十四日共息若干通曰先用通日為月率之法以所零二十四日用三為法除得八于十月下空一位列之又用通月為年率之法以實零八為實用十二為法除得九乃以九乗借銀得二百三十四兩為實用加三息乗之得七十兩零二錢葢三十日為一月故用三為法十二月為一年故用十二為法也
　　式二四商共販趙於甲子年正月初九日出本三十兩錢於乙丑年四月十五日出本五十兩孫於丙寅年八月十八日出本七十兩李於丁夘年十月二十七日出本九十兩至戊辰年終共得利銀一百二十兩各該利若干通曰先用月率年率之法趙計四年十一箇月二十一日以三除二十一日得七併月為十一七以十二除之得九七五併年為四九七五以原本三十乗之得一百四十九兩二錢五分為趙通本錢計三年八箇月十五日以三除十五日得五併月為八五以十二除之得七零八三三三併年為三七零八三三三以原本五十乗之得一百八十五兩四錢一分六釐六毫〈不盡數去之〉為錢通本孫計二年四箇月十二日如法得一百六十五兩六錢六分六釐六毫為孫通本李計一年二箇月零三日如法得一百零五兩七錢五分為李通本併四通本得六百零六兩零八分三釐二毫為法以除共利一百二十兩得一錢九分八釐〈收零〉此乃是每年每兩之利也然後以此為通法乗趙通本得利二十九兩五錢五分一釐〈去五毫〉以通法乗錢通本得利三十六兩七錢一分一釐〈去一釐四毫零〉以通法乗孫通本得利三十二兩八錢〈去零數〉以通法乗李通本得利二十兩零九錢三分八釐〈去五毫〉
　　式三借銀每年每兩加利二錢七分今有一年三箇月二十日收還本利和銀三百六十二兩四錢七分其本利各若干通曰先用月率年率之法用三除二十日得六六六六併月為三六六六六以十二除之得三零五五五併年為一三零五五五又以利二錢七分乗之得三錢五分二釐五毫〈收零為五毫〉此乃是毎兩之利也加毎本一兩得一兩三錢五分二釐五毫為法以除本利和得二百六十八兩為本再以每兩利三錢五分二釐五毫乗本得利九十四兩四錢七分
　　通曰右第二第三式應屬差分但前差分章内之式有整月而無零日此三式俱有零日用通日為月率通月為年率之法又有零尾或去或收故附於此










　　數度衍卷二十三
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>