数度衍 (四库全书本)/卷06
| 数度衍 卷六 |
钦定四库全书
数度衍卷六
桐城方中通撰
勾股〈勾股之一〉
周髀勾股圆方图
赵君乡注曰勾股各自乘并之为
实开方除之即也〈鸾曰勾三自乘得九股四自乘得十六并得二十五开方得五〉按图又可以勾股相乘为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乘为中黄实〈倍勾差二为四自乘得一十六为左图中黄实也淳风曰干率不通〉加差实亦成实〈加差实一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成实也淳风曰于率不通唐寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十四加一得二十五也〉以差实减实半其馀以差为从法开方除之复得勾矣〈以差实九减实二十五馀十六半之为八加差一得九开得勾三淳风曰以差实一减实二十五馀二十四半为十二以差一从开得勾三鸾言于率不通〉加差于勾即股〈加差一于勾三得四〉凡并勾股之实
即成实〈勾实九股实十六并得二十五实〉或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股差为广股并为袤〈以差一为广股四并五得九为袤左图外青〉而股实方其里〈左图中黄十六〉减矩勾之实于实开其馀即股〈减九于二十五馀十六〉倍股在两边为从法开矩勾之角即股差〈倍股四为八为从开九得一也〉加股为〈加差一于股四得五〉以差除勾实得股并〈以一除九得九即股四五并数〉以并除勾实亦得股差〈以九除九得一〉令并自乘与勾实为实〈九自乘得八十一又加九得九十〉倍并为法〈倍九为十八〉所得亦〈以十八除九十得五〉勾实减并自乘加法为股〈以九减八十一馀七十二以十八除之得四〉股实之矩以勾差为广勾并为袤〈以差二为广勾三并五得八为袤〉而勾实方其里〈右图中青九〉减矩股之实于实开其馀即勾〈减十六于二十五馀九〉倍勾在两边为从法开矩股之角即勾差〈倍勾三为六为从开十六得二也〉加勾为〈加差二于勾三得五〉以差除股实得勾并〈以二除十六得八即勾三五并数〉以并除股实亦得勾差〈以八除十六得二〉令并自乘与股实为实〈八自乘得六十四又加十六得八十〉倍并为法〈倍八得十六〉所得亦〈以十六除八十得五〉股实减并自乘如法为勾〈以十六减六十四馀四十八以十六除之得三〉两差相乘倍而开之所得以股差増之为勾〈一与二乘得二倍为四开得二増一为三〉以勾差増之为股〈以二増二得四〉两差増之为〈二之上又增一与二得五〉倍实列勾股差实见实者以图考之倍实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实〈倍二十五为五十满外大方之七七四十九而多一数即勾股差实也〉以差实减之开其馀得外大方大方之面即勾股并〈以差实一减五十馀四十九开得七即勾三股四并数〉令并自乘倍实乃减之开其馀得中黄方黄方之面即勾股差〈七自乘得四十九倍实二十五为五十相减馀一开之得勾股差〉以差减并而半之为勾〈以差一减七馀六半得三〉加差于并而半之为股〈以差一加七得八半得四也〉其倍为广袤合〈倍二十五得五十为广袤合淳风曰倍五得一十为广袤合鸾言错也唐寅曰勾广一袤九股广二袤八〉而令勾股见者自乘为其实四实以减之开其馀所得为差〈以七七自乘得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减上四十九馀一也开之得一即勾股差一淳风曰十自乘得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百馀六十四开之得八即广袤差此是股差减股并馀数若据股实而言一方之中有实十六四实有六十四减上一百馀三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾并馀数鸾言错也〉以差减合半其馀为广〈以差一减合七馀六半之得三广也淳风曰以差八六各减合十馀二四半之得一与二也一即股差二即勾差以差减即各袤广也鸾言错也〉减广于即所求也〈以广三减五即所求差二也淳风曰以广一与二各减五即所求股四勾三也鸾言错也〉观其迭相规矩共为反复互与通分各有所得然则统叙群伦弘纪众理贯幽入微钩深致远故曰其裁制万物唯所为之者也通曰君卿所注乃其互见甄鸾重述李淳风言其于率不通者有三错者有四鸾盖取其偶合耳大衍之数五十其用四十有九即此积矩之数也中黄太极一藏四用蓍之挂䇿也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乘也四十有八者四其勾股之互乘也互乘十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乘也四其二六是为八羃八羃有八卦之义焉羃六有六爻之义焉八其六爻是为四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分损一而为羃之一角羃之一角三分损一而为矩股之一角也
容股股容勾图说
通曰方内之容递差于二九九之内容八八馀为十七八八之内容七七馀为十五七七之内容六六馀为十三六六之内容五五馀为十一五五之内容四四馀为九四四之内容三三馀为七三三之内容二二馀为五二二之内容一一馀为三是馀之相降莫不差于二也则实之容股实股实之容勾实七九之馀所固然矣自而推之与勾股差并六实三十六其容实之馀较容股实之馀必増二矣与勾差并七实四十九其容与勾股差并实之馀较其并实容之馀必増二矣与勾并八实六十四其容与勾差并实之馀较其并实容与勾股差之馀必増二矣与股并九实八十一其容与勾并实之馀较其并实容
与勾差之馀必増二矣自勾而降之勾差二实四容于勾实之中其馀较股之容勾必损二矣勾股差一实一容于勾差实之中其馀较勾之容勾差必损二矣容有大小馀无异同受容者变而容之者亦变故耳
勾股名义
勾〈横也〉股〈直也〉〈斜也〉勾股较〈勾股相减也〉勾较〈勾相减也〉股较〈股相减也〉勾股和〈勾与股并也〉勾和〈勾与和也〉股和〈股与并也〉较和〈与勾股较并也〉和和〈与勾股和并也〉和较〈与勾股和相减也〉较较〈与勾股较相减也〉
勾股求法
式甲乙股四乙丙勾三问甲丙几何曰甲丙五术股四自乘得十六勾三自乘得九两自乘数并之得二十五为实积用少广章
开平方法除之得边五即也
又式木长二丈围之三尺葛生其下纒木七周上与木齐问葛长几何曰二丈九尺术以木长为勾围七周共二十一尺为股求葛长为也
通曰勾股可互换然必以长者为股短者为勾也
勾求股法
式乙丙勾三甲丙五问甲乙股几何曰甲乙股四术勾三自乘得九五自乘得二十五相减馀十六平方开之得边四即股也
又式圆木径二尺五寸为板欲厚七寸问阔得几何曰二尺四寸术以圆径为板厚为勾求阔为股也
通曰圜内切中径成两勾股也
股求勾法
式甲乙股四甲丙五问乙丙勾几何曰乙丙勾三术服四自乘得十六五自乘得二十五相减馀九平方开之得边三即勾也
又式台上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸问下方几何曰九丈一尺二寸术以台高为股袤斜为求勾以益上方斯得下方也〈一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜须于求勾倍之且隅与边尚有不同也〉
又式圆池八分鱼吞钩钩沉在正中水底钩丝斜至岸长五十尺问水深几何曰三十尺术以半池径为股丝斜至岸为先以亩法通池八分为一百九十二步四乘三除得二百五十六步平方开之得圆径十六步折半得八步通作四十尺为股次以股求勾得水深也
勾与股较求股法
式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乘得七百二十九较九除之得八十一为股和和内减较馀七十
二半之得三十六为股和外加较得九十半之得四十五为二术勾自乘得七百二十九较自乘得八十一相减馀六百四十八为实倍较得十八为法除实得三十六为股三术勾自乘较自乘并得八百一十为实倍较为法除之得四十五为
第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一〈即除也〉为
丙巳直角形即得丙庚边与甲
乙甲丙股和等何者甲丙
羃之甲辛直角方形内当函一
股羃一勾幂试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与败羃等而丁辛丁癸两形并当与勾羃等亦与丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆较也而甲丁与股等丙辛与等即丙庚与股和等
第二术论曰勾羃为乙巳直角方形较羃为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚巳磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙羃之
甲癸直角方形内当函一勾羃一股
羃试于甲癸形内截取丙丑较羃之
外分作甲五丑癸丑子三直角形即
丑子与股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并当与勾羃等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚巳磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等
通曰第三术勾羃为乙巳直角方形较羃为丙壬直角方形与丙庚等并为巳辛庚
磬折形为实次倍丙丁较线为辛巳线以为辛巳线以为法除实即得甲丙线也
又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸适与水面齐问水深几何曰一丈二尺术半池为勾出水一尺为股较引葭至岸为水深为股
又式开门去阃一尺两门不合二寸问门每扇广几何曰五尺零五分术去阃一尺为勾不合二寸半之为股较门阃之半为股门广为〈门广并不合之半为〉
又式垣高一丈倚木齐垣木脚去本以画记之卧而过画一尺问画去墙几何曰四丈九尺五寸加过画一尺为木长术垣高为勾过画一尺为股较木长为画去墙为股
又式圆木锯深一寸道长一尺问木径几何曰二尺六寸术木径为锯道为勾锯深为半股较半勾自乘得二尺五寸半较除之又加半较
得径为
通曰圆内截弧矢求圆径也甲丙与甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙为全较故丁戊为半较也〈按此条图说有误处〉
股与勾较求勾法
式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乘得一千
二百九十六较除之得七十二为勾和和内减较馀五十四折半二十七为勾和外加较得九十折半四十五为
通曰勾与股较求股之第二术第三术此亦可用第一术论曰股羃为甲巳直角方形以较而一为甲辛
直角形即得甲壬边与乙丙丙甲勾
和等何者甲丙羃之甲丑直角方形
内当函一股羃一勾羃试于甲丑形内
截取子卯丑辰边各与甲丁较线等
即卯丑辰丙俱与等乙丙勾之丁丙线等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与勾等勾羃也即甲卯卯辰两形当与股羃等亦当与甲辛形之甲壬边与勾和等
第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角
方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折
形为实次倍甲丁较线为乙寅线以
为法除实即得乙子直角形与甲壬
戊磬折形等何者乙子直角形加一
等较羃之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即与股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形内当函一勾羃一股羃试于甲辰形内截取丁庚较羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等夫未酉酉戌并与勾等即申未未酉并亦与勾等而庚申未辰各与勾等即庚未未午两形并为勾羃而丁庚午丁两形并为股羃矣丁戌戍酉两较也乙卯卯寅亦两较也而丁丙与乙丙原等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形与股羃之甲戊形等此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等
通曰甲乙股羃之甲戊直角方形与甲丁较羃之丁庚直角方形并为巳癸卯磬折形也此第三术也
与勾股较求勾股法
式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之较为甲丁九问乙丙勾几何甲乙股几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六术自乘得二千零
二十五倍之得四千零五十较自乘得八十一相减馀三千九百六十九为实平方开之边得六十三为勾股和和外加较得七十二半之得三十六为股和内减较馀五十四半之得二十七为勾二术较自乘得八十一折半得四十零五与自乘二千零二十五相减馀一千九百八十四五折半得九百九十二二五开平方边得三十一五减半较四五馀二十七为勾三十一五加半较四五得三十六为股
第一术论曰羃为甲戊直角方
形倍之为己丙直角形较羃为甲
庚直角方形与甲辛等相减即得
减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与卯辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅卯辰之间则重一等甲辛之卯寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾
通曰第二术较羃为甲辛直角方形
半之为甲戊直角形与甲庚直角形
等羃为甲壬直角方形减较羃半
甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一卯乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得卯乙丑寅两直角方形也
勾与股和求股法
式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乘得七百二十九
股和八十一除之得九为股较较加和八十一得九十半之得四十五为较减和八十一馀七十二半之得三十六为股二术勾自乘与和自乘六千五百六十一相减馀五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乘相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为通曰第二术减馀第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乘倍得一千四百五十八与和自乘相减馀五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾馀股以股减八十一馀
第一术形论同勾与股较求股第一术
通曰第二术以股和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也
今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之馀庚壬甲卯两形并又半得甲卯形为实〈倍法不如折实〉以等股和之乙卯线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
又式竹高一丈折梢柱地去根三尺问折处高几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股和去根三尺为勾折处为股
股与勾和求勾法
式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乘得一千二百九
十六和七十二除之得十八为勾较较减和馀五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为
通曰勾与股和求股之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾较求勾第一术第二术形论同勾与股和求股第二术
与勾股和求勾股法
式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术自乘得二千零二十五倍
之得四千零五十与和自乘得三千九百六十九相减馀八十一为实平方开得九为勾股较较减和馀五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股
通曰和各自乘相减又减自乘馀开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直
角方形夫甲丙之羃既与勾股两羃并等以减甲巳形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于羃者为癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也则丑辛较也
勾较与股较求勾股法
式甲乙勾较十八戊丙股较九问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术勾较十
八与股较九相乘得一百六十二倍之得三百二十四为实开平方得十八为和较加勾较十八得三十六为股和较加股较九得二十七为勾用勾股求法得四十五为或以勾较十八并勾得或以股较九并股得
论曰股较甲丁九自之得八十一为己庚直角方形勾较乙戊十八自之得三百二十四为辛壬直角方
形两羃并得四百零五以九减十
八馀九即勾股较自之得八十一
为干兑直角方形元设两较互乘
为癸戊子丑两直角形并得三百
二十四以减四百零五亦得八十
一何以知之癸戊子丑三百二十
四为实开方得十八之寅卯直角方形边则和较也凡直角三边形之羃必与勾股两羃并等甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两羃并必与甲丙羃等今于甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直线以此三和线作一三边形即甲申上之
甲酉直角方形必不等于丙午上
之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
直角方形并而此不相等之较必
勾股较羃之八十一也何者若于
甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
元设勾股勾股分之即甲酉形
内有羃一股羃一勾羃一股矩内形二勾矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有羃一股羃一股矩内形二丙戌形内有羃一勾羃一勾矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戍内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存羃一次以此两存形相当相抵则一羃之大于两勾股矩内形必勾股较羃之
八十一也何者一羃内函一勾羃一股羃今试如上图任作一甲乙羃其乙丙为勾羃则丁丙戊磬折形必与股羃等乙巳为股羃则丁巳戊磬折形必与勾羃等次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角依角旁两边纵横交加于羃之上即得勾股之较羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形则甲乙羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形其所存干离震兑两馀方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅卯形则减寅卯之甲酉形与减辛壬之丙戌形减巳庚之乙亥形并必等而减寅卯之甲酉形内元有羃如甲寅者四有偕寅卯形边矩内形如寅未者四减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾较矩内形如辛坎者四减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股较矩内形如甲己者四今以四羃当四勾羃四股羃则甲己辛坎两形并必与寅未形等甲丙与未申等也丙申勾股和也则两间等寅卯形边之丙未不得不为和较矣既得丙未十八为和较即以元设丙较相加可得勾股各数也何者未申也未艮勾较也艮申勾也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申勾则丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股较也坤甲股也未甲勾股和也于未甲勾股和减坤甲股则未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲则也又式户不知高广竿不知长短横之不出四尺纵之不出二尺斜之适岀问高广斜各几何曰高八尺广六尺斜一丈术横不出四尺为勾较纵不出二尺为股较
股和与勾和求勾股法
式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术股和八十一与勾和七十二相乘得五千
八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实开平方边得一百零八为和和减勾和馀三十六为股和和减股和馀二十七为勾用勾股求法得四十五为
论曰两和相乘为乙巳
直角形倍之为丁戊直
角形以为实平方开之
得己庚直角方形与丁
戊等即其边为和和
者何也丁戊全形内有羃二股矩内形勾矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内馀一羃己庚形内馀一勾羃一股羃并二较一亦等即己庚方形之各边皆和和
勾与较和求股法〈较和者与勾股较和也〉
式勾二十七与勾股较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾和并得八十一为股和除实得九为股较加股和得九十半之得四十五为股较减股和得七十二半之得三十六为股
勾与股较和求股法〈股较和者股与勾较和也〉
式勾二十七股与勾较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较和法盖与勾股较和为五十四股与勾较和亦五十四也
股与较和求勾法〈较和者与勾股较和也〉
式股三十六与勾股较和五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股减和馀十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较馀五十四半之得勾
股与勾较和求勾法〈勾较和者勾与股较和也〉
式股三十六勾与股较和三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乘得一千二百九十六为实股与和并得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和馀五十四半之得勾
与勾较和求勾股法〈勾较和者勾与股较和也〉
式四十五勾与股较和三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实与和并得八十一与实相减馀三千九百六十九开平方得六十三为勾股和又以和并八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和馀五十四半之得勾〈按此法当取勾股较今用和并盖数偶合非法也〉
与股较和求勾股法〈股较和者股与勾较和也〉
式四十五股与勾较和五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘倍之得四千零五十为实与和相减馀九又自乘得八十一与实相减馀三千九百六十九下同与勾较和求勾股法勾与和和求股法〈和和者与勾股和和也〉
式勾二十七与勾股和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾减和馀八十一为股和除实得九为股较减股和馀七十二半之得股股较加股和得九十半之得
勾与股和和求股法〈股和和者股与勾和和也〉
式勾二十七股与勾和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和和法盖和皆一百零八也
股与和和求勾法〈和和者与勾股和和也〉
式股三十六与勾股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股减和得七十二为勾和除实得十八为勾较减勾和馀五十四半之得勾勾较加勾和得九十半之得
股与勾和和求勾法〈勾和和者勾股和和也〉与
式股三十六勾与股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和和法盖和数相同也
与勾和和求勾股法〈勾和和者勾与股和和也〉
式四十五勾与股和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实减和馀六十三为勾股和又自乘得三千九百六十九与实相减馀八十一开平方得九为勾股较减勾股和馀五十四半之得勾勾股较加勾股和得七十二半之得股
与股和和求勾股法〈股和和者股与勾和和也〉
式四十五股与勾和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和和法盖和数相同也
勾与和较求股法〈和较者与勾股和较也〉
式勾二十七与勾股和较十八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾减较馀九为股较除实得八十一为股和加股较得九十半之得股和减股较馀七十二半之得股又式勾股田一段内容圆池一口径六步只云勾八步问股各几何曰股十五步十七步术容圆径即和较勾与股和较求股法〈股和较者股与勾和较也〉
式勾二十七股与勾和较三十六问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和较法盖以勾减与勾股和较十八馀九以勾减股与勾和较三十六馀亦九也股与和较求勾法〈和较者与勾股和较也〉
式股三十六与勾股和较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股减较馀十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较馀五十四半之得勾股与勾和较求勾法〈勾和较者勾与股和较也〉
式股三十六勾与股和较五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和较法盖以股减与勾股和较十八馀十八以股减勾与股和较五十四馀亦十八也与勾和较求勾股法〈勾和较者勾与股和较也〉
式四十五勾与股和较五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实减较馀九为勾股较又自乘得八十一与实相减馀三千九百六十九开平方得六十三为勾股和加勾股较得七十二半之得股勾股和减勾股较馀五十四半之得勾与股和较求勾股法〈股和较者股与勾和较也〉
式四十五股与勾和较三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和较法盖以减勾与股和较五十四馀九以减股与勾较三十六馀亦九也勾与较较求股法〈较较者与勾股较较也〉
式勾二十七与勾股较较三十六问股各几何曰股三十六四十五术勾自乘得七百二十九为实勾减较较馀九为股较除实得八十一为股和减股较馀七十二半之得股股和加股较得九十半之得
勾与股较较求股法〈股较较者股与勾较较也〉
式勾二十七股与勾较较十八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较较法盖以勾减较较三十六馀九以勾减股较较十八馀亦九也
股与较较求勾法〈较较者与勾股较较也〉
式股三十六与勾股较较三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乘得一千二百九十六为实股并较较得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和馀五十四半之得勾股与勾较较求勾法〈勾较较者勾与股较较也〉
式股三十六勾与股较较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乘得一千二百九十六为实股减勾较较馀十八为勾较除实得七十二为勾和下同股与较较法
与勾较较求勾股法〈勾较较者勾与股较较也〉
式四十五勾与股较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乘得二千零二十五倍之得四千零五十为实并勾较较得六十三为勾股和又自乘得三千九百六十九与实相减馀八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和馀五十四半之得勾与股较较求勾股法〈股较较者股与勾较较也〉
式四十五股与勾较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾较较法盖较数相同也通曰和较变穷而勾股之用无穷形同法异形异法同非精义不能入神也
有积〈勾股之二〉
有积勾股较求勾股法
式有积九百七十二勾股较为甲戊九问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术较自乘得八十一积四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九开平方得六十三为
勾股和加较九得七十二半之得股勾股和减较九馀五十四半之得勾求得二术积较为从方开之得勾较为减从方开之得股〈俱详少广〉又以积二因得一千九百四十四加较自乘八十一得二千零二十五开方得
通曰子较羃也丑 通曰子较羃也
寅卯辰四因积也 丑寅并与卯等
各边皆勾股和 二因积也合之
为羃
通曰较为从方者九回二十七得二
百四十三为较勾矩以减积九百七
十二馀七百二十九为勾羃较为减
从方者九回三十六得三百二十四为较股矩以并积九百七十二得一千二百九十六为股羃
有积勾股和求勾股法
式有积九百七十二勾股和为丙乙乙甲六十三问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术积四因得三千八百八十八
和自乘得三千九百六十九相减馀八十一开平方得九为勾股较加和得七十二半之得股勾股较减和馀五十四半之得勾勾股求得二术积二因得一千九百四十四和自乘得三千九百六十九相减馀二千零二十五开平方得
有积求勾股法
式有积四百八十六为甲丙四十五问勾股各几何曰勾二十七股三十六术积四因得一千九百四十四自乘得二千零二十
五相减馀八十一开平方得九为勾股较又以积倍之得九百七十二以较九为从方开之得勾勾求得股通曰以较为减从方开之亦得股
有率〈勾股之三〉
勾与股率勾和率求股法
式勾十股率三勾和率七问股各几何曰股一十零五一十四五术以勾和率自乘得四十九为勾和准以股率自乘得九并勾和准得五十八折半得二十九为准二率相乘得二十一为股准以准二十九减勾和准四十九馀二十为勾准以准二十九乘勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为以股准二十一乘勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股
通曰此迟速相较也速巳七迟止三为率速者于乙至丙又于丙至申迟者于
乙至甲同在乙起同至甲会也〈按此图应在又式后〉
又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙东行甲南行十步斜向东行会乙问各行几何曰甲南行斜行共二十四步半乙东行十步半术甲南行勾也斜行也又东行股也甲行七勾和率也乙行三股率也
容方与勾股率求勾股法
式容方径一千五百股率三勾和率五问勾股各几何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五术以勾和率自乘得二十五为勾和准股率自乘得九并勾和准得三十四半之得十七为准二率相乘得十五为股准以准十七减勾和准二十五馀八为勾准以勾准乘容方径得一万二千以股准十五除之得馀勾八百加容方径得二千三百为勾以准十七乘勾二千三百得三万九千一百以勾准八除之得四千八百八十七五为以股准十五乘勾二千三百得三万四千五百以勾准八除之得四千三百一十二五为股
通曰此亦迟速相较也速五迟三速
于乙过丙至甲迟于乙至甲同在乙
起同至甲会乙戊乙巳皆容方径方
也乙过戊至丙勾也戊丙馀勾也乙过丙至甲勾和也乙过巳至甲股也己甲馀股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也〈按此图应在又式后〉
又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙东行率三甲南行率五乃斜磨邑东南角与乙会问各行几何曰甲南行二千三百步〈邑中一千五百步南门外八百步〉斜行四千八百八十七步半乙东行四千三百十二步半〈邑中一千五百步东门外二千八百十二步半〉术南行勾也南门外馀勾也斜行也东行股也东门外馀股也邑中至门皆容方径也甲行五勾和率也乙行三股率也
容方〈勾股之四〉
勾股容方法
式勾二十七股三十六问丁戊容方径几何曰丁戊容方径一十五四二八术勾股相乘得九百七十二为实勾股相并得六十三为
法除实得一十五四二八为容方径即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
论曰甲乙股乙丙勾相乘为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并为法即成甲戊线除实得戊巳边
十五四二八即成甲戊己庚直角
形等甲乙丙丁形而己庚边截乙
丙勾于癸截甲丙于壬成乙辛
壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形
通曰勾股稍近者容方大勾股悬远者容方小
又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊己各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊己亦各与方形边等则辛乙癸壬
为直角方形
容圆〈勾股之五〉
勾股容圆法
式甲乙股六百乙丙勾三百二十问丁乙容圆径几何曰丁乙容圆径二百四十术勾股相乘得一万九千二百倍之得三万八千四
百为实别以勾股求得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百为法除实得二百四十为容圆径即乙至丁也子丑寅卯皆与乙丁等
通曰容圆径即和较也勾股和求减和馀亦容圆径也
论曰甲乙
股乙丙勾
相乘即甲
乙丙丁直
角形倍之
为实即丙
丁戊巳直角形求得甲丙并勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊己形等而壬癸边截乙丙勾于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径何者谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也又何以显此五边之切圜线试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形交加其上其午丙与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戍酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戍为容圆径次于亥戍寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇诸形之交加线于㢲于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戍离丙子离又等为直角戍离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣又子离与戍离两边既等子离震戌离卯两交角又等卯戌离震子离又等为直角即卯离戍离震子之各边各角俱等而两形亦等又子离与离戍两边既等离卯与离震两边又等即子卯与戍震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离卯戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等依显午㢲辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等㢲寅兑与兑艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二则减丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙则一百七十也次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角丑卯辰戍卯离两交角又等丑卯与戌卯复等即两形必等而其各边各角俱等依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲㢲午甲㢲寅两形之甲寅甲午既等甲㢲同线甲午㢲甲寅㢲又等为直角即两形必等而各边各角俱等是甲震线必分丙甲亥角为两平分也甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径通曰容方容圆勾股测算之枢机也先衍其㮣于此详后二卷
数度衍卷六
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