數度衍 (四庫全書本)/卷06
| 數度衍 卷六 |
欽定四庫全書
數度衍卷六
桐城方中通撰
勾股〈勾股之一〉
周髀勾股圓方圖
趙君鄉注曰勾股各自乗並之為
實開方除之即也〈鸞曰勾三自乗得九股四自乗得十六並得二十五開方得五〉按圖又可以勾股相乗為朱實二倍之為朱實四以勾股之差自相乗為中黃實〈倍勾差二為四自乗得一十六為左圖中黃實也淳風曰干率不通〉加差實亦成實〈加差實一併外矩青八得九又並中黃十六得二十五亦成實也淳風曰於率不通唐寅曰加差實之一於前文所言朱實四之上朱實之四為二十四加一得二十五也〉以差實減實半其餘以差為從法開方除之復得勾矣〈以差實九減實二十五餘十六半之為八加差一得九開得勾三淳風曰以差實一減實二十五餘二十四半為十二以差一從開得勾三鸞言於率不通〉加差於勾即股〈加差一於勾三得四〉凡並勾股之實
即成實〈勾實九股實十六並得二十五實〉或矩於內或方於外形詭而量均體殊而數齊勾實之矩以股差為廣股並為袤〈以差一為廣股四並五得九為袤左圖外青〉而股實方其裏〈左圖中黃十六〉減矩勾之實於實開其餘即股〈減九於二十五餘十六〉倍股在兩邊為從法開矩勾之角即股差〈倍股四為八為從開九得一也〉加股為〈加差一於股四得五〉以差除勾實得股並〈以一除九得九即股四五並數〉以並除勾實亦得股差〈以九除九得一〉令並自乗與勾實為實〈九自乗得八十一又加九得九十〉倍並為法〈倍九為十八〉所得亦〈以十八除九十得五〉勾實減並自乗加法為股〈以九減八十一餘七十二以十八除之得四〉股實之矩以勾差為廣勾並為袤〈以差二為廣勾三並五得八為袤〉而勾實方其裏〈右圖中青九〉減矩股之實於實開其餘即勾〈減十六於二十五餘九〉倍勾在兩邊為從法開矩股之角即勾差〈倍勾三為六為從開十六得二也〉加勾為〈加差二於勾三得五〉以差除股實得勾並〈以二除十六得八即勾三五並數〉以並除股實亦得勾差〈以八除十六得二〉令並自乗與股實為實〈八自乗得六十四又加十六得八十〉倍並為法〈倍八得十六〉所得亦〈以十六除八十得五〉股實減並自乗如法為勾〈以十六減六十四餘四十八以十六除之得三〉兩差相乗倍而開之所得以股差増之為勾〈一與二乘得二倍為四開得二増一為三〉以勾差増之為股〈以二増二得四〉兩差増之為〈二之上又增一與二得五〉倍實列勾股差實見實者以圖考之倍實滿外大方而多黃實黃實之多即勾股差實〈倍二十五為五十滿外大方之七七四十九而多一數即勾股差實也〉以差實減之開其餘得外大方大方之面即勾股並〈以差實一減五十餘四十九開得七即勾三股四並數〉令並自乗倍實乃減之開其餘得中黃方黃方之面即勾股差〈七自乗得四十九倍實二十五為五十相減餘一開之得勾股差〉以差減並而半之為勾〈以差一減七餘六半得三〉加差於並而半之為股〈以差一加七得八半得四也〉其倍為廣袤合〈倍二十五得五十為廣袤合淳風曰倍五得一十為廣袤合鸞言錯也唐寅曰勾廣一袤九股廣二袤八〉而令勾股見者自乗為其實四實以減之開其餘所得為差〈以七七自乗得四十九四實大方勾股之中有四方一方之中有方十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一即勾股差一淳風曰十自乗得一百四實者大方廣袤之中有四方若據勾實而言一方之中有實九四實有三十六減上一百餘六十四開之得八即廣袤差此是股差減股並餘數若據股實而言一方之中有實十六四實有六十四減上一百餘三十六開之得六即廣袤差此是勾股差減勾並餘數鸞言錯也〉以差減合半其餘為廣〈以差一減合七餘六半之得三廣也淳風曰以差八六各減合十餘二四半之得一與二也一即股差二即勾差以差減即各袤廣也鸞言錯也〉減廣於即所求也〈以廣三減五即所求差二也淳風曰以廣一與二各減五即所求股四勾三也鸞言錯也〉觀其迭相規矩共為反覆互與通分各有所得然則統敘羣倫𢎞紀衆理貫幽入微鈎深致逺故曰其裁製萬物唯所為之者也通曰君卿所注乃其互見甄鸞重述李淳風言其於率不通者有三錯者有四鸞蓋取其偶合耳大衍之數五十其用四十有九即此積矩之數也中黃太極一藏四用蓍之掛䇿也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乗也四其二六是為八羃八羃有八卦之義焉羃六有六爻之義焉八其六爻是為四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黃羃內外四角等是矩勾之四角三分損一而為羃之一角羃之一角三分損一而為矩股之一角也
容股股容勾圖説
通曰方內之容遞差於二九九之內容八八餘為十七八八之內容七七餘為十五七七之內容六六餘為十三六六之內容五五餘為十一五五之內容四四餘為九四四之內容三三餘為七三三之內容二二餘為五二二之內容一一餘為三是餘之相降莫不差於二也則實之容股實股實之容勾實七九之餘所固然矣自而推之與勾股差並六實三十六其容實之餘較容股實之餘必増二矣與勾差並七實四十九其容與勾股差並實之餘較其並實容之餘必増二矣與勾並八實六十四其容與勾差並實之餘較其並實容與勾股差之餘必増二矣與股並九實八十一其容與勾並實之餘較其並實容
與勾差之餘必増二矣自勾而降之勾差二實四容於勾實之中其餘較股之容勾必損二矣勾股差一實一容於勾差實之中其餘較勾之容勾差必損二矣容有大小餘無異同受容者變而容之者亦變故耳
勾股名義
勾〈橫也〉股〈直也〉〈斜也〉勾股較〈勾股相減也〉勾較〈勾相減也〉股較〈股相減也〉勾股和〈勾與股並也〉勾和〈勾與和也〉股和〈股與併也〉較和〈與勾股較併也〉和和〈與勾股和併也〉和較〈與勾股和相減也〉較較〈與勾股較相減也〉
勾股求法
式甲乙股四乙丙勾三問甲丙幾何曰甲丙五術股四自乘得十六勾三自乗得九兩自乗數併之得二十五為實積用少廣章
開平方法除之得邊五即也
又式木長二丈圍之三尺葛生其下纒木七周上與木齊問葛長幾何曰二丈九尺術以木長為勾圍七周共二十一尺為股求葛長為也
通曰勾股可互換然必以長者為股短者為勾也
勾求股法
式乙丙勾三甲丙五問甲乙股幾何曰甲乙股四術勾三自乗得九五自乗得二十五相減餘十六平方開之得邊四即股也
又式圓木徑二尺五寸為板欲厚七寸問闊得幾何曰二尺四寸術以圓徑為板厚為勾求闊為股也
通曰圜內切中徑成兩勾股也
股求勾法
式甲乙股四甲丙五問乙丙勾幾何曰乙丙勾三術服四自乗得十六五自乗得二十五相減餘九平方開之得邊三即勾也
又式臺上方四丈高四丈八尺四隅袤敘五丈四尺四寸問下方幾何曰九丈一尺二寸術以臺髙為股袤斜為求勾以益上方斯得下方也〈一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜須於求勾倍之且隅與邊尚有不同也〉
又式圓池八分魚吞鈎鈎沉在正中水底鈎絲斜至岸長五十尺問水深幾何曰三十尺術以半池徑為股絲斜至岸為先以畝法通池八分為一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方開之得圓徑十六步折半得八步通作四十尺為股次以股求勾得水深也
勾與股較求股法
式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之較為丙丁九問甲乙股幾何甲丙幾何曰甲乙股三十六甲丙四十五術勾自乗得七百二十九較九除之得八十一為股和和內減較餘七十
二半之得三十六為股和外加較得九十半之得四十五為二術勾自乗得七百二十九較自乗得八十一相減餘六百四十八為實倍較得十八為法除實得三十六為股三術勾自乗較自乗併得八百一十為實倍較為法除之得四十五為
第一術論曰勾羃為丙戊直角方形以較而一〈即除也〉為
丙巳直角形即得丙庚邊與甲
乙甲丙股和等何者甲丙
羃之甲辛直角方形內當函一
股羃一勾冪試於甲辛形內依丙丁較截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形與敗羃等而丁辛丁癸兩形並當與勾羃等亦與丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆較也而甲丁與股等丙辛與等即丙庚與股和等
第二術論曰勾羃為乙巳直角方形較羃為丙丑直角方形與丙庚等相減存乙庚巳磬折形為實次倍丙丁較線為乙辛線以為法除實即得辛壬直角形與乙庚巳磬折形等而乙壬邊與甲乙股等何者甲丙羃之
甲癸直角方形內當函一勾羃一股
羃試於甲癸形內截取丙丑較羃之
外分作甲五丑癸丑子三直角形即
丑子與股羃等而丙丑甲醜醜癸三形並當與勾羃等次各減一相等之丙丑丙庚即甲醜醜癸並與乙庚巳磬折形等亦與辛壬直角形等辛乙與寅醜醜丁並等即乙壬與甲丁或寅癸等亦與甲乙等
通曰第三術勾羃為乙巳直角方形較羃為丙壬直角方形與丙庚等併為巳辛庚
磬折形為實次倍丙丁較線為辛巳線以為辛巳線以為法除實即得甲丙線也
又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸適與水面齊問水深幾何曰一丈二尺術半池為勾出水一尺為股較引葭至岸為水深為股
又式開門去閫一尺兩門不合二寸問門每扇廣幾何曰五尺零五分術去閫一尺為勾不合二寸半之為股較門閫之半為股門廣為〈門廣併不合之半為〉
又式垣髙一丈倚木齊垣木腳去本以畫記之臥而過畫一尺問畫去牆幾何曰四丈九尺五寸加過畫一尺為木長術垣高為勾過畫一尺為股較木長為畫去牆為股
又式圓木鋸深一寸道長一尺問木徑幾何曰二尺六寸術木徑為鋸道為勾鋸深為半股較半勾自乗得二尺五寸半較除之又加半較
得徑為
通曰圓內截弧矢求圓徑也甲丙與甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙為全較故丁戊為半較也〈按此條圖説有誤處〉
股與勾較求勾法
式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之較為甲丁十八問乙丙勾幾何甲丙幾何曰乙丙勾二十七甲丙四十五術股自乗得一千
二百九十六較除之得七十二為勾和和內減較餘五十四折半二十七為勾和外加較得九十折半四十五為
通曰勾與股較求股之第二術第三術此亦可用第一術論曰股羃為甲巳直角方形以較而一為甲辛
直角形即得甲壬邊與乙丙丙甲勾
和等何者甲丙羃之甲丑直角方形
內當函一股羃一勾羃試於甲丑形內
截取子卯丑辰邊各與甲丁較線等
即卯丑辰丙俱與等乙丙勾之丁丙線等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四邊皆與勾等勾羃也即甲夘夘辰兩形當與股羃等亦當與甲辛形之甲壬邊與勾和等
第二術論曰股羃為甲戊直角方形較羃為丁庚直角
方形與辛癸等相減存甲壬戊磬折
形為實次倍甲丁較線為乙寅線以
為法除實即得乙子直角形與甲壬
戊磬折形等何者乙子直角形加一
等較羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即與股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形內當函一勾羃一股羃試於甲辰形內截取丁庚較羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三線各與甲丁較線等庚申未戌未辰午酉四線各與等乙丙勾之丁丙線等夫未酉酉戌並與勾等即申未未酉並亦與勾等而庚申未辰各與勾等即庚未未午兩形並為勾羃而丁庚午丁兩形並為股羃矣丁戌戍酉兩較也乙夘夘寅亦兩較也而丁丙與乙丙原等即丁午乙子兩形等丁庚與乙丑兩形又等即丁庚午丁並與子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形與股羃之甲戊形等此兩率者各減一等較羃之辛癸乙丑形即乙子直角形與甲壬戊磬折形等
通曰甲乙股羃之甲戊直角方形與甲丁較羃之丁庚直角方形並為巳癸卯磬折形也此第三術也
與勾股較求勾股法
式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之較為甲丁九問乙丙勾幾何甲乙股幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六術自乗得二千零
二十五倍之得四千零五十較自乗得八十一相減餘三千九百六十九為實平方開之邊得六十三為勾股和和外加較得七十二半之得三十六為股和內減較餘五十四半之得二十七為勾二術較自乗得八十一折半得四十零五與自乗二千零二十五相減餘一千九百八十四五折半得九百九十二二五開平方邊得三十一五減半較四五餘二十七為勾三十一五加半較四五得三十六為股
第一術論曰羃為甲戊直角方
形倍之為己丙直角形較羃為甲
庚直角方形與甲辛等相減即得
減甲辛形之己辛丙磬折形也今欲顯己辛丙磬折形開方而得勾股和者試察甲丙上直角方形與甲乙乙丙上兩直角方形並等即甲戊羃內有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙兩羃內有兩甲乙羃兩乙丙羃也故以己丙為實開方即得丑辰直角方形其丑寅與夘辰兩形兩股羃也丙壬與癸子兩形兩勾羃也而丑寅夘辰之間則重一等甲辛之夘寅形減之即丑辰直角方形與己辛丙磬折形等矣乙丙為勾丙丑與甲乙等故乙丑邊即勾股和也若於乙丙勾加甲丁較即與甲乙股等故甲乙乙丙甲丁並半之為甲乙股以甲丁較減甲乙股為乙丙勾
通曰第二術較羃為甲辛直角方形
半之為甲戊直角形與甲庚直角形
等羃為甲壬直角方形減較羃半
甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
午未磬折形與辰子丙磬折形等而子未直角方形與甲午直角方形等也癸午未磬折形開方得丑寅直角方形與辰子丙磬折形開方得卯乙直角方形等也即得丑乙線與巳乙線等而丑丙線與甲巳線等即半較線也乙丑線內減等半較之丑丙線得乙丙勾己乙線外加半較甲巳線得甲乙股何者甲壬直角方形內函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故於甲壬直角方形內減等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅兩直角方形也
勾與股和求股法
式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一問甲乙股幾何甲丙幾何曰甲乙股三十六甲丙四十五術勾自乗得七百二十九
股和八十一除之得九為股較較加和八十一得九十半之得四十五為較減和八十一餘七十二半之得三十六為股二術勾自乗與和自乗六千五百六十一相減餘五千八百三十二為實倍和得一百六十二為法除之得三十六為股三術勾和各自乗相併得七千二百九十為實倍和為法除之得四十五為通曰第二術減餘第三術併後若俱折半為實即以和為法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八與和自乗相減餘五千一百零三為實以和八十一除之得六十三為勾股和減勾餘股以股減八十一餘
第一術形論同勾與股較求股第一術
通曰第二術以股和作庚乙一直線自之為乙丁直角方形次用股度相減取辛甲兩點從辛從甲作辛壬甲癸兩平行線依此法作戊子丑巳兩平行線即丁乙一形內截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬較股矩內直角形四寅辰較羃一也
今欲於丁乙全形中減一乙丙勾之羃則於庚辰羃內存庚寅股羃而減丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃內當函一股羃一勾羃也又戊午與午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形於丁乙全形內減之餘庚壬甲夘兩形並又半得甲夘形為實〈倍法不如折實〉以等股和之乙夘線為法除之得甲乙股通曰第三術勾羃和羃並者即丁乙形外加一甲壬形也
又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺問折處髙幾何曰四尺又二十分尺之十一術竹高為股和去根三尺為勾折處為股
股與勾和求勾法
式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二問乙丙勾幾何甲丙幾何曰乙丙勾二十七甲丙四十五術股自乗得一千二百九
十六和七十二除之得十八為勾較較減和餘五十四半之得二十七為勾較加和得九十半之得四十五為
通曰勾與股和求股之第二術第三術此亦可用第一術形論同股與勾較求勾第一術第二術形論同勾與股和求股第二術
與勾股和求勾股法
式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三問甲乙股幾何乙丙勾幾何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七術自乗得二千零二十五倍
之得四千零五十與和自乗得三千九百六十九相減餘八十一為實平方開得九為勾股較較減和餘五十四半之得二十七為勾較加和得七十二半之得三十六為股
通曰和各自乗相減又減自乗餘開方得較亦合論曰以勾股和作甲丁一直線自之為甲巳直角方形此形內函甲辛癸巳兩股羃乙寅庚壬兩勾羃而甲辛癸巳之間重一癸辛直
角方形夫甲丙之羃既與勾股兩羃並等以減甲巳形內之甲辛乙寅兩形即所存戊辛寅磬折形少於羃者為癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也則丑辛較也
勾較與股較求勾股法
式甲乙勾較十八戊丙股較九問乙丙勾甲乙股甲丙各幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五術勾較十
八與股較九相乗得一百六十二倍之得三百二十四為實開平方得十八為和較加勾較十八得三十六為股和較加股較九得二十七為勾用勾股求法得四十五為或以勾較十八並勾得或以股較九並股得
論曰股較甲丁九自之得八十一為己庚直角方形勾較乙戊十八自之得三百二十四為辛壬直角方
形兩羃並得四百零五以九減十
八餘九即勾股較自之得八十一
為乾兌直角方形元設兩較互乗
為癸戊子丑兩直角形並得三百
二十四以減四百零五亦得八十
一何以知之癸戊子丑三百二十
四為實開方得十八之寅夘直角方形邊則和較也凡直角三邊形之羃必與勾股兩羃並等甲乙丙既直角形則甲乙乙丙兩羃並必與甲丙羃等今於甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直線以此三和線作一三邊形即甲申上之
甲酉直角方形必不等於丙午上
之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
直角方形並而此不相等之較必
勾股較羃之八十一也何者若於
甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
元設勾股勾股分之即甲酉形
內有羃一股羃一勾羃一股矩內形二勾矩內形二勾股矩內形二而乙亥形內有羃一股羃一股矩內形二丙戌形內有羃一勾羃一勾矩內形二次以甲酉內諸形與乙亥丙戍內諸形相當相抵則甲酉內存勾股矩內形二丙戍或乙亥內存羃一次以此兩存形相當相抵則一羃之大於兩勾股矩內形必勾股較羃之
八十一也何者一羃內函一勾羃一股羃今試如上圖任作一甲乙羃其乙丙為勾羃則丁丙戊磬折形必與股羃等乙巳為股羃則丁巳戊磬折形必與勾羃等次以乙庚辛壬兩勾股矩內形輳一角依角旁兩邊縱橫交加於羃之上即得勾股之較羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃補其等勾羃之丁己戊磬折形則甲乙羃之大於乙庚辛壬兩勾股矩內形必丙巳勾股較羃矣故知第二圖乙亥或丙戌內與甲酉內兩存形之較必勾股較羃之八十一也則乙亥丙戍兩形並其大於甲酉形亦勾股較羃之八十一也今於第一圖辛壬較羃內減勾股較羃八十一之乾兊直角方形其所存乾離震兌兩餘方形及離震己庚兩直角方形並必與癸戊子丑兩形並等次以癸戊子丑兩形開方為寅夘形則減寅夘之甲酉形與減辛壬之丙戌形減巳庚之乙亥形並必等而減寅夘之甲酉形內元有羃如甲寅者四有偕寅卯形邊矩內形如寅未者四減辛壬之丙戍形內元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾較矩內形如辛坎者四減巳庚之乙亥形內元有股羃如己辰者四有股偕股較矩內形如甲己者四今以四羃當四勾羃四股羃則甲己辛坎兩形並必與寅未形等甲丙與未申等也丙申勾股和也則兩間等寅卯形邊之丙未不得不為和較矣既得丙未十八為和較即以元設丙較相加可得勾股各數也何者未申也未艮勾較也艮申勾也丙申勾股和也於丙申勾股和減艮申勾則丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股較也坤甲股也未甲勾股和也於未甲勾股和減坤甲股則未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲則也又式戶不知髙廣竿不知長短橫之不出四尺縱之不出二尺斜之適岀問髙廣斜各幾何曰髙八尺廣六尺斜一丈術橫不出四尺為勾較縱不出二尺為股較
股和與勾和求勾股法
式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二問乙丙勾甲乙股甲丙各幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五術股和八十一與勾和七十二相乗得五千
八百三十二倍之得一萬一千六百六十四為實開平方邊得一百零八為和和減勾和餘三十六為股和和減股和餘二十七為勾用勾股求法得四十五為
論曰兩和相乗為乙巳
直角形倍之為丁戊直
角形以為實平方開之
得己庚直角方形與丁
戊等即其邊為和和
者何也丁戊全形內有羃二股矩內形勾矩內形勾股矩內形各二與己庚全形內諸形比各等獨丁戊形內餘一羃己庚形內餘一勾羃一股羃並二較一亦等即己庚方形之各邊皆和和
勾與較和求股法〈較和者與勾股較和也〉
式勾二十七與勾股較和五十四問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾和並得八十一為股和除實得九為股較加股和得九十半之得四十五為股較減股和得七十二半之得三十六為股
勾與股較和求股法〈股較和者股與勾較和也〉
式勾二十七股與勾較和五十四問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與較和法葢與勾股較和為五十四股與勾較和亦五十四也
股與較和求勾法〈較和者與勾股較和也〉
式股三十六與勾股較和五十四問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減和餘十八為勾較除實得七十二為勾和加勾較得九十半之得勾和減勾較餘五十四半之得勾
股與勾較和求勾法〈勾較和者勾與股較和也〉
式股三十六勾與股較和三十六問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰股自乗得一千二百九十六為實股與和並得七十二為勾和除實得十八為勾較加勾和得九十半之得勾較減勾和餘五十四半之得勾
與勾較和求勾股法〈勾較和者勾與股較和也〉
式四十五勾與股較和三十六問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實與和並得八十一與實相減餘三千九百六十九開平方得六十三為勾股和又以和並八十一開平方得九為勾股較加勾股和得七十二半之得股勾股較減勾股和餘五十四半之得勾〈按此法當取勾股較今用和並蓋數偶合非法也〉
與股較和求勾股法〈股較和者股與勾較和也〉
式四十五股與勾較和五十四問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗倍之得四千零五十為實與和相減餘九又自乗得八十一與實相減餘三千九百六十九下同與勾較和求勾股法勾與和和求股法〈和和者與勾股和和也〉
式勾二十七與勾股和和一百零八問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減和餘八十一為股和除實得九為股較減股和餘七十二半之得股股較加股和得九十半之得
勾與股和和求股法〈股和和者股與勾和和也〉
式勾二十七股與勾和和一百零八問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與和和法葢和皆一百零八也
股與和和求勾法〈和和者與勾股和和也〉
式股三十六與勾股和和一百零八問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減和得七十二為勾和除實得十八為勾較減勾和餘五十四半之得勾勾較加勾和得九十半之得
股與勾和和求勾法〈勾和和者勾股和和也〉與
式股三十六勾與股和和一百零八問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰同股與和和法葢和數相同也
與勾和和求勾股法〈勾和和者勾與股和和也〉
式四十五勾與股和和一百零八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實減和餘六十三為勾股和又自乗得三千九百六十九與實相減餘八十一開平方得九為勾股較減勾股和餘五十四半之得勾勾股較加勾股和得七十二半之得股
與股和和求勾股法〈股和和者股與勾和和也〉
式四十五股與勾和和一百零八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同與勾和和法蓋和數相同也
勾與和較求股法〈和較者與勾股和較也〉
式勾二十七與勾股和較十八問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減較餘九為股較除實得八十一為股和加股較得九十半之得股和減股較餘七十二半之得股又式勾股田一段內容圓池一口徑六步只雲勾八步問股各幾何曰股十五步十七步術容圓徑即和較勾與股和較求股法〈股和較者股與勾和較也〉
式勾二十七股與勾和較三十六問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與和較法葢以勾減與勾股和較十八餘九以勾減股與勾和較三十六餘亦九也股與和較求勾法〈和較者與勾股和較也〉
式股三十六與勾股和較十八問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減較餘十八為勾較除實得七十二為勾和加勾較得九十半之得勾和減勾較餘五十四半之得勾股與勾和較求勾法〈勾和較者勾與股和較也〉
式股三十六勾與股和較五十四問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰同股與和較法葢以股減與勾股和較十八餘十八以股減勾與股和較五十四餘亦十八也與勾和較求勾股法〈勾和較者勾與股和較也〉
式四十五勾與股和較五十四問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實減較餘九為勾股較又自乗得八十一與實相減餘三千九百六十九開平方得六十三為勾股和加勾股較得七十二半之得股勾股和減勾股較餘五十四半之得勾與股和較求勾股法〈股和較者股與勾和較也〉
式四十五股與勾和較三十六問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同與勾和較法葢以減勾與股和較五十四餘九以減股與勾較三十六餘亦九也勾與較較求股法〈較較者與勾股較較也〉
式勾二十七與勾股較較三十六問股各幾何曰股三十六四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減較較餘九為股較除實得八十一為股和減股較餘七十二半之得股股和加股較得九十半之得
勾與股較較求股法〈股較較者股與勾較較也〉
式勾二十七股與勾較較十八問股各幾何曰股三十六四十五術通曰同勾與較較法葢以勾減較較三十六餘九以勾減股較較十八餘亦九也
股與較較求勾法〈較較者與勾股較較也〉
式股三十六與勾股較較三十六問勾各幾何曰勾二十七四十五術股自乗得一千二百九十六為實股並較較得七十二為勾和除實得十八為勾較加勾和得九十半之得勾較減勾和餘五十四半之得勾股與勾較較求勾法〈勾較較者勾與股較較也〉
式股三十六勾與股較較十八問勾各幾何曰勾二十七四十五術通曰股自乗得一千二百九十六為實股減勾較較餘十八為勾較除實得七十二為勾和下同股與較較法
與勾較較求勾股法〈勾較較者勾與股較較也〉
式四十五勾與股較較十八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實並勾較較得六十三為勾股和又自乗得三千九百六十九與實相減餘八十一開平方得九為勾股較加勾股和得七十二半之得股勾股較減勾股和餘五十四半之得勾與股較較求勾股法〈股較較者股與勾較較也〉
式四十五股與勾較較十八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同與勾較較法葢較數相同也通曰和較變窮而勾股之用無窮形同法異形異法同非精義不能入神也
有積〈勾股之二〉
有積勾股較求勾股法
式有積九百七十二勾股較為甲戊九問勾股各幾何曰勾二十七股三十六四十五術較自乗得八十一積四因得三千八百八十八相併得三千九百六十九開平方得六十三為
勾股和加較九得七十二半之得股勾股和減較九餘五十四半之得勾求得二術積較為從方開之得勾較為減從方開之得股〈俱詳少廣〉又以積二因得一千九百四十四加較自乘八十一得二千零二十五開方得
通曰子較羃也丑 通曰子較羃也
寅卯辰四因積也 丑寅並與卯等
各邊皆勾股和 二因積也合之
為羃
通曰較為從方者九回二十七得二
百四十三為較勾矩以減積九百七
十二餘七百二十九為勾羃較為減
從方者九回三十六得三百二十四為較股矩以並積九百七十二得一千二百九十六為股羃
有積勾股和求勾股法
式有積九百七十二勾股和為丙乙乙甲六十三問勾股各幾何曰勾二十七股三十六四十五術積四因得三千八百八十八
和自乗得三千九百六十九相減餘八十一開平方得九為勾股較加和得七十二半之得股勾股較減和餘五十四半之得勾勾股求得二術積二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相減餘二千零二十五開平方得
有積求勾股法
式有積四百八十六為甲丙四十五問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術積四因得一千九百四十四自乗得二千零二十
五相減餘八十一開平方得九為勾股較又以積倍之得九百七十二以較九為從方開之得勾勾求得股通曰以較為減從方開之亦得股
有率〈勾股之三〉
勾與股率勾和率求股法
式勾十股率三勾和率七問股各幾何曰股一十零五一十四五術以勾和率自乗得四十九為勾和準以股率自乗得九並勾和準得五十八折半得二十九為準二率相乗得二十一為股準以準二十九減勾和準四十九餘二十為勾準以準二十九乗勾一十得二百九十以勾準二十除之得一十四五為以股準二十一乗勾一十得二百一十以勾準二十除之得一十零五為股
通曰此遲速相較也速巳七遲止三為率速者於乙至丙又於丙至申遲者於
乙至甲同在乙起同至甲㑹也〈按此圖應在又式後〉
又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙東行甲南行十步斜向東行㑹乙問各行幾何曰甲南行斜行共二十四步半乙東行十步半術甲南行勾也斜行也又東行股也甲行七勾和率也乙行三股率也
容方與勾股率求勾股法
式容方徑一千五百股率三勾和率五問勾股各幾何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五術以勾和率自乗得二十五為勾和準股率自乗得九並勾和準得三十四半之得十七為準二率相乗得十五為股準以準十七減勾和準二十五餘八為勾準以勾準乗容方徑得一萬二千以股準十五除之得餘勾八百加容方徑得二千三百為勾以準十七乗勾二千三百得三萬九千一百以勾準八除之得四千八百八十七五為以股準十五乗勾二千三百得三萬四千五百以勾準八除之得四千三百一十二五為股
通曰此亦遲速相較也速五遲三速
於乙過丙至甲遲於乙至甲同在乙
起同至甲㑹乙戊乙巳皆容方徑方
也乙過戊至丙勾也戊丙餘勾也乙過丙至甲勾和也乙過巳至甲股也己甲餘股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也〈按此圖應在又式後〉
又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙東行率三甲南行率五乃斜磨邑東南角與乙㑹問各行幾何曰甲南行二千三百步〈邑中一千五百步南門外八百步〉斜行四千八百八十七步半乙東行四千三百十二步半〈邑中一千五百步東門外二千八百十二步半〉術南行勾也南門外餘勾也斜行也東行股也東門外餘股也邑中至門皆容方徑也甲行五勾和率也乙行三股率也
容方〈勾股之四〉
勾股容方法
式勾二十七股三十六問丁戊容方徑幾何曰丁戊容方徑一十五四二八術勾股相乗得九百七十二為實勾股相併得六十三為
法除實得一十五四二八為容方徑即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
論曰甲乙股乙丙勾相乗為實即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相併為法即成甲戊線除實得戊巳邊
十五四二八即成甲戊己庚直角
形等甲乙丙丁形而己庚邊截乙
丙勾於癸截甲丙於壬成乙辛
壬癸滿勾股之直角方形何者甲乙丙丁與甲戊己庚兩形互相視即甲乙與甲戊若乙癸與乙丙分之即甲乙與乙戊若乙癸與癸丙是甲乙與乙丙亦若乙癸與癸丙也又甲辛與辛壬若壬癸與癸丙更之即甲辛與壬癸若辛壬與癸丙也而辛乙與壬癸等乙癸與辛壬等則甲辛與辛乙若乙癸與癸丙矣夫甲乙與乙丙既若乙癸與癸丙而甲辛與辛乙又若乙癸與癸丙則甲乙與乙丙亦若甲辛與辛乙而乙辛壬癸為滿勾股之直角方形
通曰勾股稍近者容方大勾股懸逺者容方小
又簡論曰如前圖以甲乙戊為法而除甲丙實既得甲庚戊己各與方形邊等今以等甲乙戊之丙乙戊為法而除甲丙實得庚丙戊己亦各與方形邊等則辛乙癸壬
為直角方形
容圓〈勾股之五〉
勾股容圓法
式甲乙股六百乙丙勾三百二十問丁乙容圓徑幾何曰丁乙容圓徑二百四十術勾股相乗得一萬九千二百倍之得三萬八千四
百為實別以勾股求得六百八十以並勾股和九百二十得一千六百為法除實得二百四十為容圓徑即乙至丁也子丑寅夘皆與乙丁等
通曰容圓徑即和較也勾股和求減和餘亦容圓徑也
論曰甲乙
股乙丙勾
相乗即甲
乙丙丁直
角形倍之
為實即丙
丁戊巳直角形求得甲丙並勾股得一千六百於甲乙線引長之截乙庚與勾等庚辛與等得甲辛為和和線以為法除實得辛壬邊二百四十即成甲辛壬癸直角形與丙丁戊己形等而壬癸邊截乙丙勾於子次從子作子丑寅乙直角方形即此形之各邊皆為容圓徑何者謂於甲乙丙三邊直角形內作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰線與乙子子醜醜寅寅乙諸邊皆為切圜線也又何以顯此五邊之切圜線試於甲乙丙形上復作一丙午未直角三邊形交加其上其午丙與乙丙等未午與甲乙等未丙與甲丙等即兩形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形與乙子丑寅直角方形等次於戍酉線引之至亥又成甲戌亥直角三邊形以甲為同角交加於甲乙丙形之上亦以午申酉戍為容圓徑次於亥戍寅丑兩線引之遇於乾又成乾寅亥直角三邊形以亥為同角交加於甲乙丙形之上亦以乙子丑寅為容圓徑次作丙兌線遇諸形之交加線於離於兌次作甲震線遇諸形之交加線於㢲於震次作亥辰線遇諸形之交加線於坎於辰次作未乾線遇諸形之交加線於艮於卯而四線俱相遇於坤夫午丙與乙丙兩線等而減相等之午戌乙子即戌丙與子丙必等丙離同線丙戍離丙子離又等為直角戍離丙子離丙又俱小於直角即丙離戌丙離子兩三角形必等而兩形之各邊各角俱等則丙兌線必分甲丙未角為兩平分矣又子離與戍離兩邊既等子離震戌離卯兩交角又等夘戌離震子離又等為直角即卯離戍離震子之各邊各角俱等而兩形亦等又子離與離戍兩邊既等離卯與離震兩邊又等即子卯與戍震兩邊亦等子丑與戌酉各為相等之直角方形邊必等而各減相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉兩角又各為離夘戌離震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等為直角即卯丑辰震酉坎之各邊各角俱等而兩形亦等依顯午㢲辰與坎艮乙之各邊各角俱等而兩形亦等㢲寅兌與兌艮申之各邊各角俱等而兩形亦等又子丙戌丙之數各八十乙子戌午各二百四十以諸率分數論之則丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二則減丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙則一百七十也次減丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌離兩三角形之辰丑卯離戍卯既等為直角丑卯辰戍夘離兩交角又等丑卯與戌夘復等即兩形必等而其各邊各角俱等依顯子離震與震酉坎兩形亦等依顯諸形之交角者皆相等其連角如酉亥坎乙亥坎兩形亦等而子離離戌皆四十八也則酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙與戌酉等子丙與酉亥復等則乙丙與戌亥必等而甲為同角甲乙丙甲戌亥又等為直角則甲乙丙甲戌亥之各邊各角俱等而兩形亦等甲亥與甲丙既等各減相等之丙戌乙亥又減相等之乙寅戌午即甲寅與甲午必等夫甲㢲午甲㢲寅兩形之甲寅甲午既等甲㢲同線甲午㢲甲寅㢲又等為直角即兩形必等而各邊各角俱等是甲震線必分丙甲亥角為兩平分也甲乙丙一形內既以丙兌線分甲丙乙角為兩平分又以甲震線分丙甲乙角為兩平分而相遇於坤則以坤為心甲乙為界作圜必切乙子子醜醜寅寅乙卯辰五邊而為甲乙丙直角三邊形之內切圜即乙丑直角方形之各邊為容圓徑展轉論之則各大直角三邊形內之分角線皆分本角為兩平分皆遇於坤而坤心圜為各形之內切圜即兩直角方形邊為各勾股形內之容圓徑通曰容方容圓勾股測算之樞機也先衍其㮣於此詳後二卷
數度衍卷六
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