数度衍 (四库全书本)/卷21

数度衍　卷二十一

　　钦定四库全书
　　数度衍卷二十一
　　桐城　方中通　撰
　　方程
　　杂和较乘法
　　通曰数之不齐者以乘齐之数之不齐者以较齐之遍用者方程也
　　二色方程
　　式鼎三彝二共重一百四十五两又鼎四彝五共重二百七十五两问二色各重若干曰鼎二十五两彝三十五两术分三段遍乘之鼎四列左上彛五列左中共重



　　二百七十五列左下鼎三列右上彛二列右中共重一百四十五列右下以右上鼎三乘左上得十二乘左中得十五乘左下得八百二十五注左以左上鼎四乘右上得十二乘右中得八乘右下得五百八十注右又以乘数各相对减两鼎减尽不用两彛减馀七两共重减馀二百四十五乃以少除多当以二百四十五为实以七为法除得三十五两为一彛之重以右中彛二乘得七十以减右下共重一百四十五馀七十五以右上鼎三除得二十五两为一鼎之重若以彝遍乘以七为法亦同所得减馀之实乃一百七十五以法除得毎鼎二十五两以左上鼎四乘得一百以减左下共重馀一百七十五两为五彛重数盖鼎乘反得彛彛乘反得鼎也通曰既得毎彛或每鼎之后左右皆可求也
　　式二纱三疋绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱问二色各价若干曰纱每疋价八钱绢每疋价六钱术与右同
　　式三七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等问各重若干曰每钏重七钱每钗重五钱
　　术此依互换
　　者列位一系
　　六钏一钗一
　　系一钏八钗而中分其共重之数左右列下以右钏六遍乘左行钗得四十八重得二十八两二钱以左钏一遍乘右行钗得一重得四两七钱对减中段减馀四十七为法下段减馀二十三两五钱为实〈作二百三十五〉以法除得五钱为一钗数以减右重馀四两二钱为六钏共数以六除得每钏七钱若以钗遍乘者得减馀之实三十二两九钱以法四十七除得七钱为一钏数
　　通曰上段互乘相减必尽可以不乘矣
　　式四钱一万文买二马一牛则不足半马之价买一马二牛则馀半牛之价牛马价各若干曰牛价一千八百
　　一十八
　　文又十
　　一之二
　　马价五千四百五十四文又十一之六术此当以不足半马者损为一马又二分马之一及一牛也以馀半牛者益为一马及二牛又二分牛之一也依法列段用整带零乘除之〈见奇零〉以右马遍乘左行左中得三头四之三左下得一万五千以左马遍乘右行右中得一头右下得一万对减中段减馀二头又四之三为法下段减馀五千文为实以法除得牛价以减右总价馀八千一百八十一文又十一之九以右上马一匹又二之一除之得马价
　　式五甲乙二窖积粟云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙各满二千石其各原窖几何曰甲一千六百石
　　乙一千二百石术
　　此零法列位互乘
　　甲得六千乙得四千减馀二千为实两母并五为法除得四百以乙母三乘得乙以减二千馀八百以甲母二乘得甲其各以母乘者盖前所除为子数必归母见整故也
　　式六每工种麦三畦菽四畦共种三百○一畦其菽麦畦及工各若干曰麦一百二十九畦菽一百七十二畦工四十三术此为双头单脚互乘取三四左右列之并七为法下列总畦若求麦数者左三乘总畦得九百○
　　三以法除得麦
　　畦又以四乘得
　　五百一十六以左三除得菽畦若求菽数者右四乘总畦得一千二百○四以法除得菽畦又以三乘得五百一十六以右四除得麦畦又术通曰以三四并七为法除总畦得四十三为工数以麦三乘工数得麦畦以菽四乘工数得菽畦
　　式七银二百六十四两买牛羊共百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱牛羊及价各若干曰牛三十六头价二百四十两羊六十四羫价二十四两术左


　　右列定牛乘羊价羊乘牛价得数减馀七十五两五钱为法总牵总价列下如求牛数者以羊四乘总价得一千○五十六以羊价一两五钱乘总牵得一百五十相减馀九百○六为实以法除得十二为牛裒以牛三乘得三十六头以二十两乘牛裒得牛共价总内减牛馀羊如求羊数者以牛三乘总价得七百九十二以牛价二十两乘总牵得二千相减馀一千二百○八为实以法除得十六为羊裒以羊四乘得六十四羫以一两五钱乘羊裒得羊共价总内减羊馀牛
　　式八用匠五千名包砖板二堤共四千九百九十五方限每日匠九名包板堤十一方匠七名包砖堤四方问堤匠各若干曰板堤四千○一十五方匠三千二百八十五名砖堤九百八十方匠一千七百一十五名术通



　　曰与右同总匠即总价共方即总牵砖板即牛羊也式九百饼饭大小百僧一大僧食三饼三小僧食一饼其大小僧各若干曰大僧二十五食饼七十五小僧七十五食饼二十五术通曰此两总同数其裒必同也左右列定互乘相减馀八为法总僧总饼列下如求大僧
　　者以小三
　　乘总饼得
　　三百小食一乘总僧得一百相减馀二百为实以法除得二十五为裒大一乘裒得大僧数以食三乘裒得饼如求小僧者以小三乘裒得小僧数以食一乘裒得饼又术通曰两总相同即以一百为实大小僧并大小食并又同即以四为法除得大僧数推知各数
　　三色方程
　　式四雀六燕七鹪共重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两○六分三色各重若干曰每雀重八分每燕重六分每鹪重三分术



　　置左右中三行作四段列之以右五雀遍乘中行雀得十五燕得二十五鹪得四十五重得四两○五分注中以中三雀遍乘右行雀得十五燕得二十一鹪得二十四重得三两一钱八分注右中右对减雀无馀燕馀四鹪馀二十一重馀八钱七分另列后图之右以右五雀遍乘左行雀得二十燕得三十鹪得三十五重得四两四钱五分注左以左四雀遍乘右行雀得二十燕得二十八鹪得三十二重得四两二钱四分注右左右对减雀无馀燕馀二鹪馀三重馀二钱一分另列后图之左除雀无馀不用后图止三段以右行燕四遍乘左行燕得八鹪得十二重得八钱四分注左以左行燕二遍乘


　　右行燕得八鹪得四十二重得一两七钱四分注右对减燕无馀鹪馀三十为法重馀九钱为实以法除得二分为一鹪之重乘左三鹪得九分以减左重馀一钱二分为左二燕之重每燕六分乃于前图左重八钱九分内去原鹪七重二钱一分原燕六重三钱六分尚存三钱二分为原四雀之重每雀八分或于前图右行中行原数内推之皆得
　　式二犒夫二人共饭一分三人共酒一分四人共肉一分总用饭酒肉六十五分计夫若干曰夫六十饭三十分酒二十分肉十五分术以二人乘三人得六三人乘四人得十二四人乘二人得八并得二十六为法以二乘三得六乘四得二十四乘总分六十五得一千五百六十为实以法除得夫数推知各数
　　附式七人醵金甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱丙丁不知问各若干曰甲十二两二钱乙十一两五钱丙十两○八钱丁十两○一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两术先求隔母左列甲乙二右列戊己庚三取右三増一为四又乘三得十二减半得六又减三馀三为右中率取左二乘七人得十四减右三馀十一为左中率下列各共银乃以左二遍乘右行中得
　　六下得五十二
　　两二钱以右三
　　遍乘左行中得三十三下得七十一两一钱对减中馀二十七为法下馀十八两九钱为实以法除得隔母七钱再取甲乙共数并入七钱减半得甲十二两二钱𨔛减七钱得各数
　　通曰隔母即递减数也用带分子母差分法亦可附式竹筒九节下三节共乘粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知问各节盛若干曰一节六合二节七合三节八合四节九合五节一升六节一升一合七节一升二合八节一升三合九节一升四合术左列下
　　三右列上四用右
　　法求得右中率六
　　左中率二十一下列各共盛乃以左三遍乘右行中得十八下得九分以右四遍乘左行中得八十四下得十五分六釐对减中馀六十六为法下馀六分六釐为隔母率却以法乘左三升九合得二百五十七分四釐以左三除得八十五分八釐为第八节数加母率得九节九十二分四釐若递减母率七节得七十九分二釐六节得七十二分六釐五节得六十六分四节得五十九分四釐三节得五十二分八釐二节得四十六分二釐一节得三十九分六釐各以法六十六除得各粟数又术以中馀六十六为法下馀六十六为实以法除得一合为隔母率以左三除左三升九合得一升三合为八节
　　通曰前式甲乙二人共数故加隔母折半而得甲此式下三节共数故所求即第八节乃下三节之中节也
　　立正负法
　　立正负以别同异初以同名减其下同减而异并初以异名减其下异减而同并
　　二色方程
　　式笔三管换砚七方贴砚价四百八十文又砚三方换笔九管贴笔价一百八十文问各价几何曰一笔价五十文一砚价九十文术砚为正笔为负左右三段列之
　　以右砚
　　七乘左
　　行中得六十三下得一千二百六十注左以左砚三乘右行中得九下得一千四百四十注右两笔负同名减馀五十四为法两价正负异名并得二千七百为实以法除得五十文为一笔之价取右笔三乘得一百五十加入价正四百八十共六百三十即右七砚之价以七除得每砚九十文若取左笔九乘五十得四百五十内减价负一百八十馀二百七十即左三砚之价如以笔遍乘者得异并之实四千八百六十以法除得砚价通曰旧法上段亦乘今不用其下段分正负者砚为正故贴砚价亦正笔为负故贴笔价亦负
　　三色方程
　　式朱二斤黄三斤价二千○四十文又黄五斤碌六斤价六百四十文又碌七斤朱三斤价二千九百八十文问各价若干曰朱每斤九百文黄毎斤八十文碌每斤四十文术分三色及价作四段于右中左列之以右朱



　　二乘左行碌得十四价得五千九百六十以左朱三乘右行黄得九价得六千一百二十左右黄碌两段俱无减并止两价作同减馀一百六十除朱一段乃于左○位照黄乘得之数为立负九另以中行黄五碌六价六百四十列右左行○负九碌乘十四价馀一百六十列左于后以右黄五乘左行碌得七十价得八百以左负
　　九乘右
　　行碌得
　　五十四价得五千七百六十碌系正负异名并得一百二十四为法两价作同减馀四千九百六十为实以法除得四十文为碌一斤价乃于前图中行原价减中碌六斤价二百四十馀四百为中黄五斤价每斤八十文又于右行原价减右黄三斤价二百四十馀一千八百为右朱二斤价每斤九百文
　　式二牛一头马二匹驴三匹皆载物七百斤不能行一牛借马一匹二马借驴一匹三驴借牛一头方行三等力各若干曰一牛力四百一马力三百一驴力一百术
　　列定以
　　右正牛
　　一乘左行各如故以左借牛一乘右行各如故左右不用减并左马空仿右马乘得数立负一乃除却牛段以中正马乘左行负得二驴得六下得一千四百以左负一乘中行马得二驴得一下得七百中左马同名减尽正借驴异名并得七为法下物作同减馀七百为实以法除得驴力一百斤于中行七百内减中一驴力馀六百为中二马力每马力三百斤又于右行七百内减右



　　一马力馀四百即右一牛力或用后图求马力以右借驴一乘左行牛得一下得七百以左正驴三乘右行马得六下得二千一百左右马牛无减并下减馀一千四百除却驴段又左马空仿右马乘数立负六以中借马一乘左行牛得一下得七百以左负六乘中行牛得六下得四千二百中左正借牛异名并得七为法下物作同减馀三千五百又以右下馀一千四百减之馀二千一百为实以法除得三百斤为一马力
　　通曰此以正借分同异不分正负也
　　式三雁二雉三换谷五斗七升雉三二换五斗三升四雁五换一石问各若干曰每雁一斗二升毎雉一斗一升每一斗术列定以右雁二乘左行八二石以左雁五乘右行雉十五糓二石八斗五升左


　　右雉无减并糓作同减馀八斗五升除却雁段于雉左○照右乘立负十五以中雉三乘左行二十四糓二石五斗五升以左负十五乘中行三十糓七石九斗五升中左正负异名并得五十四为法糓作同减

　　馀五石四斗为实以法除得一斗为一价于中行糓内减二价馀三斗三升为中三雉价每雉一斗一升又于右行糓内减三雉价馀二斗四升为右二雁价每雁一斗二升
　　通曰左右互乘既不乘雁一段则左中互乘亦可不乘雉一段不然则雉系正负异名安得减尽乎故皆省之式四卖二牛五羊买十三豕馀五两卖一牛一豕买三羊适足卖六羊八豕买五牛不足三两问各价若干曰牛六两羊二两五钱豕一两五钱术此以卖为正买为负馀为正不足为负也正为主则同减异并负为主则同并异减列定以右牛二乘中行羊六豕二以中牛一



　　乘右行羊五豕十三价五中右以正为主羊异名并十一豕异名并十五价无减并以右牛二乘左行羊十二豕十六价六以左牛五乘右行羊二十五豕六十五价二十五左右以负为主羊同名并三十七豕异名减馀四十九价异名减馀十九除牛一段再列减并数于后以羊十一乘左行豕五百三十九价二十两○九钱以


　　羊三十七乘右行豕五百五十五价十八两五钱左右豕异名减馀十六为法价异名减馀二两四钱作二十四为实以法除得一五即一豕价一两五钱以右豕十五乘得二十二两五钱加右价五两共二十七两五钱俱羊价以右羊十一除得每羊二两五钱再以前图右豕十三乘一豕价得十九两五钱加入右价五两共二十四两五钱为牛羊总价内减右五羊价十二两五钱馀十二两为右二牛价每牛六两
　　四色方程
　　式柰二梨四共钱四十文梨二桃七共钱四十文桃四


　　榴七共钱三十文榴八柰一共钱二十四文问各价若干曰每柰八文每梨六文每桃四文每榴二文术分甲乙丙丁四行作五段列之先甲丁互乘以甲柰二乘丁行梨空桃空榴得十六价得四十八以丁柰一乘甲行梨仍四无对桃榴俱空钱仍四十与四十八相减馀八丁梨空照甲立负四次乙丁互乘乙无柰取梨二乘丁行桃空榴巳乘出十六得三十二钱馀八得十六以丁负梨四乘乙行桃得二十八无对榴空钱得一百六十并十六得一百七十六丁桃空照乙立负二十八次丙丁互乘丙无柰梨取桃四乘丁行榴巳乘出三十二得一百二十八钱巳乘并一百七十六得七百○四以丁桃负二十八乘丙行榴得一百九十六与一百二十八相减馀六十八为法钱得八百四十减去七百○四馀一百三十六为实其甲丁乙丁互乘惟求应立负数以为乘母既得法实其诸数皆不用也以法除实得二文为一榴之价于丙价三十减丙七榴价十四馀十六为丙四桃价每桃四文又于乙价四十减乙七桃价二十八馀十二为乙二梨价每梨六文又于甲价四十减甲四梨价二十四馀十六为甲二柰价每柰八文
　　五色方程
　　式井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六则借甲一始俱及泉其各绳及井深若干曰甲绳二丈六尺五寸乙绳一丈九尺一寸丙绳一丈四尺八寸丁绳一丈二尺九寸戊绳七尺六寸井深七丈二尺一寸术列作五行以五绳之率为母借绳一为子先取甲二乘乙三得六又乘丙四得二十四又乘丁五得一百二十又乘戊六得七百二十并入子一得七百二十一为井深七丈二尺一寸也乃取甲乙丙丁戊及井深列作六段而以第五行为主一二三四行俱




　　与五行互乘也先以一行甲二乘五行戊六得十二下

　　得一千四百四十二以五行甲一乘一行乙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乘之一千四百四十二相减馀七百二十一次以二行乙三乘五行戊十二得三十六下之减馀七百二十一乘得二千一百六十三以五行乙负一乘二行丙仍得一五行即立负一下仍得七百二十一并前所乘之二千一百六十三得二千八百八十四再以三行丙四乘五行戊三十六得一百四十四下之所并二千八百八十四乘得一万一千五百三十六以五行丙负一乘三行丁仍得一五行即立负一下仍得七百二十一与前所乘之一万一千五百三十六相减馀一万○八百一十五末以四行丁五乘五行戊一百四十四得七百二十下之减馀一万○八百一十五乘得五万四千○七十五以五行丁负一乘四行戊仍得一并五行所乘之七百二十得七百二十一为法下仍得七百二十一并前所乘之五万四千○七十五得五万四千七百九十六为实以法除实得戊绳七尺六寸以减四行之七百二十一馀六百四十五以丁五除得丁绳一丈二尺九寸〈丈为百尺为十〉以减三行之七百二十一馀五百九十二以丙四除得丙绳一丈四尺八寸以减二行之七百二十一馀五百七十三以乙三除得乙绳一丈九尺一寸以减一行之七百二十一馀五百三十以甲二除得甲绳二丈六尺五寸
　　通曰自四色以上凡下段互乘相对皆系一减一并而积之不分正负同异矣其四色之丙丁两行互乘榴段皆正同名则用减五色之四五两行互乘戊段正借异名则用并也
　　止推下二段法
　　通曰如右式推出井深列定之后先以五行甲一乘各行乘乙一立负一乘丙一立负一乘丁一立负一乃止求下法实二段如求实段以一行甲二乘五行下得一十四百四十二以五行甲一乘一行下仍得七百二十一相减馀七百二十一又以二行乙三乘之得二千一百六十三以五行乙负一乘二行下仍得七百二十一并得二千八百八十四又以三行丙四乘之得一万一千五百三十六以五行丙负一乘三行下仍得七百二十一相减馀一万○八百一十五又以四行丁五乘之得五万四千○七十五以五行丁负一乘四行下仍得七百二十一并得五万四千七百九十六为实也如求法段以一行甲二乘五行戊六得十二又以二行乙三乘之得三十六又以三行丙四乘之得一百四十四又以四行丁五乘之得七百二十乃以五行丁负一乘四行戊一仍得一并得七百二十一为法也










　　数度衍卷二十一