新法算书 (四库全书本)/卷019

新法算书　卷十九

　　钦定四库全书
　　新法算书卷十九　　　　明　徐光启等　撰浑天仪说卷四
　　依浑仪制日晷法
　　太阳左旋以定昼夜十二时〈二十四小时〉则常依赤道三度四十五分为一刻每十五度为一小时故诸圏以二十四平分之而每分又以四平分之乃得时盘必周分各与赤道皆等之度相应令之竖立与赤道高下等而中依直角安表则表景所射即能定时而赤道晷所繇起也今不必恒以竖立合赤道圏或正立面向南北为立晷或正倒面向天顶为地平晷或复正立面东西正向为子午晷或又正立面偏正南左右或不正立面偏地平各以所向天上之圏得名而各以其面承接日光故立表或正或斜不一即表射景远近与面分时刻广狭亦不得一虽太阳左旋同诸时刻平行同而线则实繇景得射景既异相距之线安得不异此诸晷公有日平行之原而私则各有所异总于本仪可得而明矣
　　求诸晷方位法
　　日晷之制原以度数考求而度数必有相应之定处则又在取凖方位焉故凡平面日晷所向方位多变大约相较有二原或较地平即与之为平行有正立有曲立种种不同皆应度数不等或较子午圏亦与之为平行乃有偏左偏右而多寡复以间度为则者又或有偏于地平偏于子午兼地平子午而别为一种总不外此二原乃复得一方位者必先置木或铜取四方直角平面形为甲乙丙丁依其长边面内作戊己线与甲乙为平行线应平分于壬即以壬为心以辛为界作己辛戊半圏
　　乃平分一百八十度
　　也从中线壬辛左右
　　各一象限而另设垂
　　线于壬则定方位之
　　器全矣临用时如求
　　地平方位即令此器以丙丁边倚晷面正立得垂线合壬辛中线者即得其面正与地平同若垂线偏距中线左右则必查象限得晷面前后离地平若干度以垂线依象限辛点之前后度为法或令甲丙边依直角倚晷面得垂线正合壬辛线者即其面正立在地平若得垂线距辛点内外则依其距度于象限上亦可得晷面偏前后之广欲求距子午圏方位即令甲乙边以直角倚晷面从此器中心壬出尺能旋转于半圏诸度尺末设指南针其上随尺同转乃先安器后转尺而以罗针对下顺尺线者为凖随以尺距中线之度定晷面距子午圏之广但罗针未免略差故又一法晷面上界线自上一直下于线上立表表末另悬垂线候日光射垂线之景必合晷面上线乃凖且将浑仪依法测得日轮高度而以太阳躔度对高弧则高弧所指地平度或正东西或偏左右因偏若干亦可定晷面离正南北之广也其求重复方位各依所向可得乃向地平如前向子午别有法于晷面立二表任意相距表锐各设垂线距面皆等候日轮出视其二线凖对即于仪上测其地平高以与高弧正合而地平经度可得子午圏方位亦定矣
　　制正球日晷
　　凡日晷之表等虽北极出地不等得各时线相距等者谓之正球晷此其制原易可不须球然舍球又无以明其理也如赤道晷因诸时圏与赤道交其相距皆于球心相切设以本仪之枢当表其射景必顺时圏行赤道使各依极安仪而表之长短同则时圏在赤道上相距之度亦同或论赤极晷因其面正合卯酉时圏设本面距仪心任表长短等而诸时圏与中心相切从心过晷面相距不等则正午线合仪枢可当仪面中线而馀线左右相距渐远皆平行如上图以长方形为晷面其丙丁横线者即赤道与之相切线其甲午正南北线者即合仪枢从赤道顶过时圏所为线也立圏者乃赤道周平
　　分以指诸时圏相交之点者也盖
　　时圏必皆切表顶〈当地心是〉而复开之
　　使过至丙丁线上为时线所居之
　　界故本晷诸线交心在面外而以
　　表顶为心彼此相距皆平行今设
　　表长短同虽极高多寡不同其线
　　则二晷相距无异又设甲午线依
　　天枢斜竖令晷面偏东或西则午时线不能定在面之中必依面所偏多寡而晷面亦移左右不等至其面向正东正西乃以中线为卯正酉正馀线渐远惟午时线不入晷面而丙丁线则尚为赤道所切虽时线皆平行乃晷则应以一面斜起庶合赤道高度而得中所横线其高低度与之等也
　　制斜球正日晷
　　凡日晷之表等因北极出地不等得各时线相距亦不等者谓之斜球晷其制法原不一今用浑仪列简法如左如制地平晷先起仪依本北极高乃令过极圏正合子午圈而子午圏之左或右毎扵赤道上查十五度移居子午圏下即识过极圏交地平正南北度复于赤道上查十五度如前移居子午圏下又得过极圏交地平度以此逓查逓移必至尽过极圏交地平度之界而止则诸时线在晷面相距之广全得焉盖晷面上先作两直线以直角相交其一为子午线其一为卯酉线而以交点为心任意大小作虚圏或用比例尺或依本圏预分度取仪上地平所识度为法〈自卯酉线至子午线或反之以应仪上所识度为凖〉从心出线过此者皆平晷时线也如北极高四十度以过春分经圏居子午圏下必在地平之正南北初度为午正移之去东十五度〈依赤道度〉得经圏东交地平十度〈距子午圏算〉为午初移之去西十五度得经圏西交地平亦十度为未初〈距午前后等时恒得距度等〉巳正及未正约得二十度半己初及申初约得三十三度辰正申正得四十八度辰初酉初得六十七度半至卯正酉正则各满九十度而卯酉外与前距时等必皆得度等若求刻线亦依赤道上三度四十五分为一刻如前法逓查之安表使之出晷心向午正距晷面渐远以北极出地度为则必悬子午线上以正合本地天枢是也若正南北立晷亦用仪上赤道求距度渐移至子午圏法同前其所异惟在交度盖高弧与过极圏相遇处为交度而高弧则定居东西或卯正酉正茍不用高弧惟以极高所馀度求之如北极高四十度依其地制立晷必使仪北极出地平上五十度如前法定时线盖五十度即极高四十度之馀度其安表渐距晷面正下以至本地赤道高为止此晷自卯正至酉正独十二小时向南而卯前酉后之时面皆向北其表渐距晷面与前同从上反求得正矣
　　制斜球单偏日晷
　　若不正立面向南北制法略与正立同但用高弧必依其偏容有异盖向南面偏北者必查偏度于子午圈从仪顶去北即此安高弧面向南者则偏度宜求于顶之南以此界出高弧其向北晷面偏南者即依偏度于顶南求界或面反偏北尤宜于顶北求界总之偏度多寡及所向方位皆应查于子午圏距顶南或北之处以安高弧而高弧下至地平恒在正东正西之点表位必在正午时线从晷心渐距其面与高弧上距北极等若不正立面偏正东正西法用立象半圏先于高弧上取偏度如设面向东而偏西三十度令高弧自顶下至正西量三十度为限即安半圏于其限以当地平必识其与极圈相交之点为各时线之距如北极高四十度安高弧及半圏如前将时盘与夏至圏对试于太阳出时必得春分经圏北交半圏十六度卯初交十二度渐过以南交二十六度后七十等度至未正一刻馀太阳过半圏西晷面无景其本晷表位偏午正线左右距晷面较地平面高不等求其位法使经圏与立象半圏以直角相交即因经圏自交点至极中弧得表之高半圏自交点至交北地平得表位与午正线相距之远如依前极高等数则表距三十八度高二十二度若正立面偏东或西制法亦与正向南北立晷同独高弧下至地平不得定在正东正西之处必依晷面偏度因之距东西等如面向南偏西三十度即高弧距正西亦北去三十度面偏东必高弧距正西之南向北面偏东西皆仿此但偏晷所得高弧度午前后必异时刻多寡不等试令北极高四十度晷面向南偏西三十度先以高弧北距正西三十度转经圏西十五度〈赤道上取或用时盘亦同〉得其交高弧点距顶十二度为未初乃自正午相距线也又渐转仪每十五度为限得午后时刻各依交度不同之广未正交二十三度申初交三十三度半申正交四十四度酉初交五十五度酉正交六十九度戌初交八十七度复移高弧在东距正东之南亦三十度随转过极圏东十五度得午初交高弧九度巳正交二十九度巳初交四十八度辰正交七十度辰初则交地平虽夏日最长亦不能全见午前半昼景安表必先查其偏东西若干距晷面多寡法令高弧至地平居本晷偏度限〈晷面偏东用高弧于东地平偏西用高弧于西〉乃转仪使过极圏距子午圏与偏度等必得以直角交高弧则自顶至交点于高弧上得表在晷面上垂线之度自极至交点于经圏上得表距晷面之度假如前设偏西三十度之晷将高弧下至西地平北距正西三十度过极圏亦应于北地平距子午圏三十度得其与高弧以直角相交则自交点至北极中约四十二度为表出心渐距晷面之高复自交点至顶约三十度为表渐距中垂线之广此立晷之面南偏西用高弧及经圏之法与面北偏东而面南偏东与面北偏西者亦同但表末于面南晷以向南极为正而面北晷反应向北极也
　　制斜球重偏日晷
　　若不正立面向南北复偏东西则较本晷面与地平面或偏向或偏离为交角时锐时钝之异故依偏容分别其晷为二种先论锐角向地平者法查本晷所偏东西度于其本向地平或晷向西南东南必从子午圏南交地平起其所止限为高弧当至之处则自顶依高弧求晷面偏地平度即以合度处于球上作识复自高弧交地平处去北九十度为限因之以安高弧移居顶而过前所识处即于高弧上得诸时线相距之度则因交前所识及子午圏间弧为晷面中垂线距正午线之广也次转球过极圏以十五度为交高弧之界与前法同得午前或后依面向东或西各时线之距而馀方则移高弧于正对地平度转球使极圏渐交高弧各时俱可定矣若以钝角向地平法反查偏东西度于本晷所向正对地平或晷向西南东南则从子午圏北交地平起所止限亦为高弧当至之处乃于球上作识依之求时线相距皆与前同独高弧宜去南九十度以定复安之限虽高弧不能过球上所识并至子午圏惟令立象半圏过正相对地平而左右转球则午前后时线度半圏上可得假如北极高四十度晷面偏西距正南三十度向地平偏二十度必使高弧在子午圏西与地平三十度合令夏至圏正居子午圏下乃自顶依高弧量二十度得近黄道处为实沈宫二十一度与高弧二十度合为点作识后复安高弧或立象半圏在地平正西之北三十度从前点过〈球尚不动〉与正相对之度至地平则所交子午圏处距顶约二十三度距点一十二度则一十二度为晷中垂线距午正线之度便转球西一十五度〈用时盘亦可〉夏至圏必交高弧八十七度为未初次交七十二度为未正次五十八度次四十五度次三十三度次一十八度末五度为申初申正等时以至戌初始尽复转球令夏至圏距子午东一十五度得交对度高弧六十四度为午初次四十六度次二十六度次一十一度次即入地平盖辰初不载晷面因其偏西故也欲安表必先查其应距晷面若干偏午正线左右若干因而从晷心出依偏距度起射景与各时正合求距面度法使高弧在晷正面地平〈末求馀方时之前〉渐转球以过夏至圏得北极及高弧中最小之弧即因本弧量表距面之广或于本方使过至圏与高弧以直角交则自交处至极中弧亦为表距面度查表偏午正法用高弧交过至圏与前同独偏度当于高弧上从交点至子午圏上求之必中弧为相应之距度假如前晷求表安高弧在西地平北去正西三十度使之上距顶南二十三度转球令过至圈以直角交高弧即从交点至北极中约得六十度为表距晷面度复从交点至高弧切子午圈约得五十五度为表距午正时线之度馀仿此
　　略节气线于正球日晷
　　凡节气在黄道上正相对者以较赤道其距内外天上必等盖随宗动左旋必为平行圏故乃平晷节气线则不然虽赤道线为直线而内外节气线其形甚曲多縁彼此相距渐远或不以赤道为中界故较赤道平有异向焉惟赤道晷之节气线亦自为平行圏亦内外相距等其形正与天合试就浑仪先论之设仪上赤道为实圏天枢上任取其表之长作识切赤道面向外并取过极圏上与表相等弧识之从所识处量各节气之距而每界出直线过表顶得凡线至晷面所止之处因以定节气当居之位焉法用规器以赤道心为心以线止位为界作平行图如左外圏限赤道晷面周平分为时刻其中心出表为甲戊设庚己辛为过极圏即从庚外取庚己与甲戊等而己为诸节气距内外之中界盖以戊为心作辛己壬弧从己至辛至壬取二十三度三十一分得夏至及冬至界取二十度一十三分得大暑小满及
　　大寒小雪其馀节气皆仿此
　　乃从其各界引辛戊乙等直
　　线得乙丙丁等圏于向北晷
　　为赤道北节气向南晷为赤
　　道南节气也凡正球晷之节
　　气线以赤道为中线馀线凡
　　相对者左右距必等而各渐
　　开距必不等法设仪心为表顶其面任距远近必依表长短为则与前制晷法同即将过极圏于赤道内外识各节气之距度随以各度出直线从仪心过使至本时线上必得赤道在中左右诸点为节气应过之处此即界线之所以然临制时以表顶为心时线交赤道点为界作圏即得切割等线依八线表取用盖赤道为全数时线左右为切线从圏心出线与时线相交得割线故将全数载比例尺馀线依之取载晷面是也如后图上下为时线设制赤极晷即午正居中卯酉居边制东西正向晷午正居边卯酉居中而赤道横交诸时线彼此必同甲丙为表长依之为圏而左右定节气之距如丙
　　己丙丁等弧即得甲丙全数丙己丙
　　丁直线为切线甲己甲丁其割线以
　　定夏至及冬至于午时或卯酉时线
　　而定两至中节气亦不异此试于申
　　巳时线必以乙为心〈表顶之距〉作壬丁辛
　　圏左右取丁壬丁辛各至之距弧馀
　　节气线弧皆与前同即乙丁为全数丁壬丁辛直线为切线甲壬甲辛为割线而节气宜过其点位亦依之定矣又试于午初酉初即丙为心以作圏求子庚子癸两至距赤道中界而求他节气皆同一法也
　　界节气线于斜球日晷
　　凡斜球晷之节气线虽以赤道分内外然各节气正相对者距赤道远近不等而自为曲形则其曲必等故设过极圏以定各节气初度之距令出直线过仪心至各时线上皆与前同法先依本地北极高求各节依各时应出地平高〈见前二卷〉随以高弧考对即仪心当表末依所行直线各至时线为点而毎时识点处连之必为曲线以指本节气也假如仪心在乙以辛庚为晷面得甲乙表
　　癸巳为过极圏设北极高
　　四十度欲制地平晷节气
　　线即辛庚为午时线辛壬
　　为天枢距面四十度入地
　　于辛以定出时线之心任
　　安表于甲即因表锐当地
　　心亦并为过极圏之心得癸丁弧为赤道出地平高而馀节气初度则必距赤道内外皆在戊己二至之中设从各距度引直线至乙点复引过晷面午正线而赤道止于丙夏至在子冬至过赤道下在庚又设过极圏在表顶周转以对未申等时〈午前后同〉而赤道二至等节气初度皆合高弧上本时所对高度令出直线过表顶必至本时线为点以引节气于此过矣凡制立晷节气线即辛壬距晷面宜依赤道高癸丁弧依北极出地高〈癸为天顶癸丁弧即赤道距顶弧必与北极出地等故〉馀节气度俱依之出直线至午未等时线上以赤道上者为冬赤道下者为夏则各节气自明矣如图以乙为心甲为界作甲丑弧即乙子乙丙乙庚等线皆为割线甲子甲丙甲庚皆为切线以表为全数查节气依各时高度于八线表用比例尺或平分直线如法简取盖依本北极出地地平晷用馀切线立晷反用正切线何也地平晷算高度于癸巳弧而用甲丑弧之切线立晷则于癸巳算节气距面之弧其馀即正高度亦应甲丑上取切线也偏晷同一法以各节气依各时高度出直线过表顶下至晷面定其曲线宜引之点则除正向南北偏晷外其馀安表必于午正线外求位盖因天枢斜过晷面故乃枢正下别为直线从晷心出与赤道线以直角相交则线上交表线中节气线相距最近左右复开展相距必等依前图论表既不竖在午正线而在天枢线上则癸乙过极圏径不以本线平行且以直角与甲乙表相交虽转以对各时线交表法必不变矣
　　界地平经纬等线于日晷
　　凡日晷有面与表为公而载线其私也一切定时分节气列方位种种各异种种能互为用而总入诸晷之面与表矣即地平一晷时刻节气线外尚有可界于其上者如地平经线〈太阳方位线〉相交于表位自为直线其相距必等地平纬线〈太阳高度〉以表位为心周皆为平行圏线相距不等十二舍线为南北平行乃相距远近不等之直线太阳出没后时线皆偏左或右皆斜交赤道线亦自为直线七政时线左右向其中线亦皆为直线昼夜长短线复仿节气线之曲形而疏密复异东西诸方相距线与时线同任用多寡乃所以异何也地平经线即高弧自顶至地平所为者仪上移高弧任取十度或多或少距限恒等而依之视正对地平度必为直线故恒得仪心居间此本线所以合于表位也其地平纬线必安高弧于定处从下渐上以相等之距限视仪心则以目光线所射之面为界初宽而后狭若移高弧他处亦依此为法此以表位为心而图平行圏之所以然也其制法惟量表大小依之开比例尺于上取各距度之切线从表位带入面上为圏即地平纬度限则表景所至必指太阳出地平高度随将地平纬度平分或五或十等距度〈从午正线起〉则表位所出直线皆过其分弧界即地平经度已定而表景所至必指太阳所向方位论十二舍线即立象半圏所为本圏仪上皆合子午圏交地平为一点者但若左右倒耳故正东西从仪上视之至面必为平行直线其制法亦不异正向东西之偏晷也论太阳出没已距时线即过极圏依各赤纬度所为起仪依本极高将时盘午正与过极圏合令之转东或西以太阳本方春秋分出没为止则即地平分赤道及二至圏皆不等而赤道恒得六时至午正夏至若过冬至反不及今设去夷地平圏上一时或二时至满半昼时皆并过横线至第六时其线赤道上必交子午圏夏至上未及冬至上已过即因其横线指太阳出没相离时若干依之从浑仪心视晷面必皆斜交赤道而愈离愈斜法必先于晷面界赤道线就内或外加一节气得昼时双数者因以太阳至本节气出没之时定为初时而馀时渐依之列也如北极高四十度太阳至立夏昼长约十四时而立冬止得十时皆双数则因立冬日出辰初必得辰正为距日出第一时而馀时次之立夏日没戌初而戌正即日没后第一时馀时亦随次之今赤道上辰初恒为日出后第一时戌初为日没后之初时即前所识节气线上诸时点与赤道上相应之时点以直线连引之得太阳出没后诸时线也论七政时线其向中线繇赤道等圏则自午前及午后以至地平皆平分各六时盖夏至午前后弧大于冬至午前后之各弧而赤道得居中必与诸时线斜相交是以其线自向中也法先依最长之昼平分时盘或六或十二分遂于地平求各时相距度〈皆依前二卷〉带入夏至节气必得其平分午正左右各六时也然后将赤道与夏至相应之时以直线连之得左右皆同皆与斜球斜交赤道其昼长短线总繇赤道纬度任用疏或密故其理不异节气线制法亦同若诸方相距东西线皆子午圏所为与时圏同必以过两极圏取凖与制地平晷线同法以上晷面所得诸线依本容因之有异必从其仪上所得圏视仪心至面止俱依前法如试于立晷即地平与赤道为平行故地平纬似节气线形地平经皆上下平行远疏而近午时则密全仿赤极晷线十二舍线皆出地平与子午线相交太阳出没距时线如前地平面同七政线亦出地平交子午线之点昼夜长短亦如节气线诸方相距东西线亦与正时线同制法各随本类全载日晷本款此不复详
　　地球用法
　　地球以圆形仿地之本体又以旋动反其性情者总欲因各处向顶之自然也盖地居万物之中心随处向天即如圆圏中心出直线无一线不正向其界者然乃制之为球反若偏居〈在地面故〉距天此近彼远〈俱以子午圏求天顶故〉必宜活动以随处能移至顶与天相近而从之向顶可也故安球必先取平以合于地平使子午圏南北得正而因以诸方向得本所焉后令球前后起或左右转务以本处至中顶乃得向天之势有以二处相提而论或经纬皆异者或经同而纬异者或求二处相距之里及所向之位纬同而经异者总于本球得明矣先论其经纬皆异者法任令一处居顶而从此下高弧至地平使之南北游移以正交其彼处为度乃识交度与顶之中弧化为里则得二处直相距之里数又复识本高弧交地平度因以得彼处较前处所居之方位假如顺天府北极出地四十度令球极起四十度随转球使顺天府至子午圈即以之居顶乃依之安高弧过云南则自顶至交点约二十二度即算得六千里〈依二百七十里一度算〉而高弧至地平则从正南去西五十二度即西南第四向位也〈各向详下文〉又使高弧过星宿海得自顶至本海之中弧为一十八度化得四千八百馀里而高弧至地平乃距正南六十二度则因本海较顺天府在西南第三向位矣若经同而纬异即先移其处同居子午圏下以本圏上度识二处各距赤道若干度以之相减乃得其相距度因以化为里如顺天府与南昌府约在同经试于子午圏上得南昌北距赤道二十八度顺天距四十度相差十二度化得三千六百馀里设一处在赤道内一处在赤道外各以所得数相加即其相距度乃因以化为里若纬同而经异即先各以其处移至子午圏下从莺岛圏线起至子午圏下止赤道上算各经度以之相减即得二处经度差但距赤道内外远近者依赤道平行小圈似不能如前法求里数盖小圏所应一度之里较本赤道度相应者不等因而度小里数亦应少今惟于球上用高弧乃有一简即得者何也以一处居顶安高弧使从地处过则止视高弧上交点与顶之间弧即其相距度因复算得里数如前假如大西之极西地得北极高四十度与顺天府同纬因属距赤道四十度之平行小圏论其本经度应差一百三十度依度求里亦应距三万五千一百有奇今止以高弧为主则二处直相距约九十度算得为二万四千三百里而相应之向位且亦不在正东西焉使以顺天府居顶极西地必北去正西五十馀里入从西第五方位使以极西地居顶顺天府亦必北去正东五十馀度以入东第五方位凡此皆地为圆形而更得斜容故也
　　任以一处依经纬度安于球
　　地球以东西为经南北为纬与天球不异但求纬甚易惟一测其极出地高即得其顶距赤道度而纬定矣若经度必以其所先定处为界依之东去加度至某处止乃较前所得距度是其本经度也如测纬依测北极诸法即以所得极高度于子午圏上从赤道往极数至本度随识之球上乃得纬圏应过之界焉测经一法以月食为凖因先知某处月食初亏食甚等时分秒今复得他处所测分秒以之相较必得二处相距之时乃化为度盖前处居西所得差度加前经度前处居东所得差度减于前经度乃因得本处之经度次于本球赤道上从前处查得其度而于本度左或右即以距弧所至之处复移至子午圏则本圏交前纬圏之点即某处在地面方位也第月食不常遇更有一法止须测太阴在黄道度并识其临测之时刻而复考他处所载太阴细行〈务求极凖者〉应于何时至所测度分则较二时所距化为度如前加减乃复得二处距经度然太阴每多视差必候其在冬夏至之时于正过子午线上测之乃可免视差也又或以其角依上下垂线取凖盖两角居一线上则月体正在黄平象限全无时差否则上角偏东即未及上角偏西即已过也因之求时与度法同前又一法可于行程中求之于起程时以自鸣锺凖合天任去一二日复以他器测日考时得之与锺正合则较前处必南北相距东西犹同若不合即以所差时加减之乃得二处东西相距之时而锺必求其分毫之不爽者始克有济
　　求海中舟道
　　漂海者依指南针行此定法也总分针盘为三十二向如正南北东西乃四正向如东南东北西南西北乃四角向又有在正与角之中各三向各相距一十一度一十五分而各向线乃其过顶及交地平之大圏也临行时其道有三等皆依盘上向线引舟而实有与盘所载直线异同者盖正南北行则依针线所引之道与所指子午圏同正东西在赤道下行则以东西线所引之道与所指过顶之赤道圏同若正东西在赤道内外行者虽依东西线引舟而其实所行之道与赤道为平行与线所指之圏则不同〈线指过顶交地平大圏因至地平并交赤道与之斜行乃舟离去二界皆距赤道等而路以直角交中子午圏必与赤道平行〉若西南西北东南东北行虽依针盘所分正角中诸线引舟而其实所引之舟与所行之道异盖所行之道非大圏亦非平行圏且亦非圆圏线何者大圏因过天顶斜交子午圏则所交子午圏之角不等必渐远得角渐大而平行圏皆以直角交乃舟道之交子午者为等角随处方向同故自与大小等圏不同也今舟行正南北或正东西赤道下即未尝离子午或赤道因而皆为大圏则须以度加减之乃可得其路程即正东西与赤道为平行亦不离此小圏而以所去度化为赤道度〈平行圏度大小不等〉复以加减求之亦可得惟斜行推路甚烦故或以经纬推距度及方向或以经及方向推距与纬又或以纬与距度推经及方位或以方向及距推经纬必先知总方所引〈西南西北东南东北全圏四分之一〉及原界之纬度所开乃依本球求得此简法也
　　以经纬推距度及方向
　　法于子午圏上识开舟时二界〈繇此界以至彼界故名二界〉相距之纬随于球上任用一方向线以交子午圏于前纬为度因以得二界相距之经乃转球令之东或西〈依引舟总方是〉视本方向线能复交前纬点则其线必为舟所应随之线否则另试一方向线务以得交如前法假如利未亚洲之西狮山距莺岛东一十五度二十分距赤道北七度三十分设于此处开舟引之至依勒纳岛乃更距东九度一十分距赤道南一十五度三十分试转球以东南之偏南中线交子午圏距北七度三十分复转球西〈因去界在东故〉过赤道九度一十分〈二界经度差是〉则得本线距赤道南一十五度三十分交子午圏乃依针盘本线引舟至依勒纳岛也又一法用规器于球上量二界之距必本则正合方向线在二界纬圏上即本线必为引舟之线矣假如取琼州府与小琉球之距因琼州府距赤道北一十八度小琉球距赤道北二十二度必求方向线于十八及二十二度各纬圏线上得在东南之偏东中线依之从琼州府去小琉球必正道也向线定矣因求二处相距之至法用规器于里表上取相应半度之数〈为一百三十五里愈少取愈凖〉依二处纬圏中之向线量之得数与一百三十五相乘因得总里数或用后表更凖初行指一总方向线之数次三行指大向度分秒所应各向线之纬度如自琼州府至小琉球其路为东北之偏东中者应从正



　　八百二十一里为此二处之总路馀仿此
　　以经及方向求距与纬
　　法将球本向线至子午圏与开舟处之纬相交复转球令其经度差过子午圏〈东西必繇彼界之距〉亦视其向线在何度复交子午圏即是舟所至界之纬设从依勒纳岛舟行西

　　北之偏西中向相距经约二十四度因使本向线交子午圏得距赤道南一十五度三十分〈本岛纬是〉随转之东行至二十四度止得原向线交子午圏为距赤道南五度三十分即舟所至界之纬而其距前界之里数亦可依前法推定矣
　　以纬与距度推经及方向
　　法依前小表自显于球如从利未亚洲白山〈最西边〉往西北行其所应止之纬为距赤道北三十度三十分相去四千八百六十馀里乃白山在赤道北二十度三十分则纬差十度以所应里总数推一度应里四百八十六以二百七十除之馀一度四十八分为应一纬度之距查表得第五向线即西北偏西左向线为舟行之道耳方向已定随查球上本向线交所至界纬圏点乃自本点至前界中赤道弧即得二处经度差
　　以距及方向推经纬
　　法略同前假如从大浪山开舟繇西北之偏北中向行二千九百二十五里乃先求所止界之纬因本向为去正北第二线则此纬一度之距应平度一度零五分得里数二百九十二有半故总行之里数得十度为三十五度所减〈大浪山在赤道南三十五度故〉馀二十五度即舟行所止之纬因求经度如前
　　大小圏度相应表
　　大小圏皆以三百六十平分为度但各圏不等必随其圏之大小为则又小圏距中大圏愈远得度愈狭故必依南北纬算表乃可初行载诸纬度次二行载诸纬过小圏所应一度之分秒因而纬远得分秒渐少其所量小度亦更小以至近极之一小度得对大圏度之一分耳












　　用表法或以里数推经度或以经度反求里数如从顺天府一直东去至鸭绿江为二千二百里或一直西去至宁夏其里等盖东西路皆与赤道平行相距俱四十度因表中查四十度之纬得小圏一度为大圏之四十五分五十八秒应里数二百零七里为二千二百所除得二处各距顺天府十度三十七分以之较顺天府总经度东加西减即得二处各经度若以经度求里数法于球上子午圏对二处之纬得同度即转球识二处赤道上距即经度也经已定随用表中相应之纬分秒以推彼此相距之里如成都府与杭州府皆距赤道北三十度试以杭州居子午圏渐转球使成都亦居子午圏得赤道中弧约一十五度今二纬各三十度应五十一

　　分五十七秒乃以此数与十五度相乘得十五小度之分秒而以一平度相应之里求比得二处直相距之里为三千五百六里有奇凡南北小圏俱仿此












　　新法算书卷十九