新法算书 (四库全书本)/卷022

新法算书　卷二十二

　　钦定四库全书
　　新法算书卷二十二　　明　徐光启等　撰筹算
　　算数之学大者画野经天小者米盐凌杂凡有形质有度数之物与事靡不藉为用焉且从事此道者步步跖实非如谈空说玄可欺人以口舌明明布列非如握槊夺标可欺人以强力层层积累非如繇旬刹那可欺人以荒诞也而为术最繁不有简法济之即当年不能殚恶暇更工他学哉敝国以书算其来远矣乃人之记函弱而心力柔厌与昏每乘之多有畏难而中辍者后贤别立巧法易之以筹余为译之简便数倍以似好学者皆喜以为此术之津梁也遂梓行之传不云不有博奕者乎为之犹贤乎已是书稍贤于博奕然旅人入来未及他有论著以此先之不亦末乎行复自哂曰小道可观聊为之佐一筹而已崇祯戊辰暮春廿日罗雅谷识
　　造法
　　一造筹
　　或牙或骨或木或合楮俱可其形长方广为长六之一厚约广五之一诸筹相准不得有短长广狭厚薄须平正光洁便于画方书字凡筹数任意多寡总之五筹两面可当一单数说见定数条十筹当十数十五筹当百数二十筹当千数二十五筹当万数三十筹当十万数约以众筹之厚为一筹之长便于作开方筹入匣也详造匣条
　　二分方
　　每筹横平分为九作九方筹筹相等横列之线线相直
　　方方相对

　　三分角
　　每方自左上至右下斜作一对角线则每方成直角三
　　边形二横列之则两筹对角
　　线又成一斜直线其两直角
　　三边形又合成一平行线方形
　　四定数
　　数自一至九并○共十位筹有二面五筹可满十数其数以方数与筹上方数相乘每方之中既以对角线分而为二即每方各成二位右位即零数左位即十数至第九筹第九方九九相承得八十一而止
　　第一筹一面作零数九方对角线之上各画一圏一面
　　作一数九方对角线之上顺
　　书一二三四五六七八九数

　　第二筹一面作二数第一方线右书二第二方线右书
　　四二筹二方二二如四也第
　　三方线右书六二筹三方二
　　三得六也后推此则第四方
　　线右书八第五方线右书○线左书一二筹五方二五得十故左位一右位○以当零数也后推此则第六方线右书二线左书一第七方线右书四线左书一第八方线右书六线左书一第九方线右书八线左书一一面作三数第一方线右书三第二方线右书六第三方线右书九第四方线右书二线左书一第五方线右书五线左书一第六方线右书八线左书一第七方线右书一线左书二第八方线右书四线左书二第九方线右书七线左书二
　　第三筹一面作四数第一方线右书四第二方线右书
　　八第三方线右书二线左书
　　一第四方线右书六线左书
　　一第五方线右书○线左书
　　二第六方线右书四线左书二第七方线右书八线左书二第八方线右书二线左书三第九方线右书六线左书三一面作五数第一方线右书五第二方线右书○线左书一第三方线右书五线左书一第四方线右书○线左书二第五方线右书五线左书二第六方线右书○线左书三第七方线右书五线左书三第八方线右书○线左书四第九方线右书五线左书四第四筹一面作六数第一方线右书六第二方线右书
　　二线左书一第三方线右书
　　八线左书一第四方线右书
　　四线左书二第五方线右书
　　○线左书三第六方线右书六线左书三第七方线右书二线左书四第八方线右书八线左书四第九方线右书四线左书五一面作七数第一方线右书七第二方线右书四线左书一第三方线右书一线左书二第四方线右书八线左书二第五方线右书五线左书三第六方线右书二线左书四第七方线右书九线左书四第八方线右书六线左书五第九方线右书三线左书六
　　第五筹一面作八数第一方线右书八第二方线右书
　　六线左书一第三方线右书
　　四线左书二第四方线右书
　　二线左书三第五方线右书
　　○线左书四第六方线右书八线左书四第七方线右书六线左书五第八方线右书四线左书六第九方线右书二线左书七一面作九数第一方线右书九第二方线右书八线左书一第三方线右书七线左书二第四方线右书六线左书三第五方线右书五线左书四第六方线右书四线左书五第七方线右书三线左书六第八方线右书二线左书七第九方线右书一线左书八
　　五定号
　　号者应于面之左右两旁厚处露出匣外者记本面数
　　目○至九共十号其旁狭难
　　书一二三四等字姑作横线
　　如○则无线一则一横线也
　　至五则结为一纵线以该之如五则一纵六则一纵一横七则一纵二横也各书本面之右用时视其旁即可得之
　　六平立方筹
　　诸小筹之外别作一大筹长与诸筹等广约长六分之
　　二两面横分九方亦与诸筹
　　等其一面平方筹纵作二行
　　其右行九方书一至九之数
　　为平方根其左行九方亦如
　　小筹作对角线以平方根数
　　自乘之各书根数之左第一方线右书一第二方线右书四第三方线右书九第四方线右书六线左书一第五方线右书五线左书二第六方线右书六线左书三第七方线右书九线左书四第八方线右书四线左书六第九方线右书一线左书八其一面立方筹纵作六分右一分作一行九方书一至九之数为立方根中二分作一行九方书一至九各自乘之数与平方筹同左三分作一行九方每方止截左边三分之二亦如小筹作对角线是每方分为直角三边形无法四边形各一也而无法四边形之中暗具一直角方形在右一直角三边形在左今止以左中右分之以中行自乘之数再乘之各书方数之左名立方数第一方右书一第二方右书八第三方右书七中书二第四方右书四中书六第五方右书五中书二左书一第六方右书六中书一左书二第七方右书三中书四左书三第八方右书二中书一左书五第九方右书九中书二左书七
　　七造匣
　　匣合纸或木为之其形短方其空广如筹之长空厚如筹之广匣有盖以筹长五分之三为匣之深其二为盖之深使筹入匣而旁号露于匣口之上以便抽取也小筹比立匣中方根筹侧于小筹之旁下切匣口上切盖顶正相容也若盖之外径等于匣之外径则匣口必出笋以入盖夫方根筹之广与匣之深并尚不及小筹之长以其不及为笋之高则匣与盖外切筹与盖匣内切矣若匣之外径等于盖之内径则匣自为笋盖冒之可无庸笋也
　　赖用算法〈凡三条〉
　　算家加减二法并命分法亦用筹所赖故各具一则
　　一加法
　　加者多小几何并为一大几何也亦谓之计先以第一小数从左向右横列于上次以第二小数如前横列于下从视之则零对零十对十百对百也分钱两及寸尺丈俱依此推次视零位若成十成十则进一位又视十位若干百则进一位千万以上俱依此推
　　假如有银九万一千七百六十一两又八万二千○七十八两又四千五百二十两又九万○六百五十
　　四两俱横列则视末位有一八○四
　　并得十三本位书三进位加一与六
　　七二五并得二十一本位书一进位
　　加二与七五六并得二十本位作○
　　进位加二与一二四并得九本位书九首位九八九并得二十六本位书六进位书二得二十六万九千○一十三两如物数是斤两则十六两成一斤进位尺步亩之类俱依此推
　　二减法
　　减者一大几何减去一小几何馀几何也亦谓之除以大数书于上应减数书于下亦零对零十对十百对百也次于每位对除之若除数多于原数则借前位一以除之盖前位之一即本位之十也除完则得馀数
　　假如有银三十○万○一百七十六
　　两三钱四分内除去二十九万八千
　　六百四十三两八钱五分从左首位
　　起上数三下数二三除二存一次位
　　上数○下数九借前一成一○除九
　　存一三位上数○下数八借前一成一○除八存二四位上数一下数六借前一成一一除六存五五位上数七下数四七除四存三六位上数六下数三六除三存三七位上数三下数八借前一成一三除八存五八位上数四下数五借前一成一四除五存九该存一千五百三十二两四钱九分
　　三命分二法
　　命分者一大几何已分几何尚馀几何今应命此馀者为几何分之几何也又所馀之小几何再分得几何今应命此得者为几何分之几何也前解曰法数为母馀数为子如法数一六八馀数四九即命为一百六十八分之四十九后解曰得数为子得数前位为母如得数一位则前位为十得数六即命为十分之六得数二位则前位为百得数三四即命为百分之三十四得数三位则前位为千得数二八三即命为千分之二百八十三得数四五位以上推此第前位定于一数十则一十百则一百千则一千万则一万〈前一法即九章之命分法亦即几何原本之命比例法后一法即九章之小数如衡有钱分厘毫量有尺寸分釐历有分秒微纤也〉
　　用法〈凡四条〉
　　一乘法
　　乘数有实有法先将实数依号查筹从左向右齐列其两筹相并所成平行线斜方形合成一位方形内之数并为一数矣次以筹之方位为法数如法数是五则视两筹第五方是九则视两筹第九方即得数矣若法有二数则先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之末用加法并之得数法有三数以上依此推显
　　解曰乘者陞也九九陞积之义也数有二一为实一为法可互用大略以位数多者为实可也用筹则如实数列筹自左而右次视法数依筹之同数格上横取之并得啇数列书之更视次法如前得次啇数进一位书初啇之下三以上仿此啇毕并诸啇数即乘得之数
　　假如八十三为实以四乘之先列八三两筹视其第四格八号筹下左半斜方有三两筹合一斜方有二一并作三三号筹下右半斜方有二并为三百三十二也
　　又如毎银一钱籴米九升五合今有银三两五钱问
　　该米若干则以三五为实九
　　五为法先查实数二筹齐列
　　次视法尾五查二筹第五横
　　行内数是一七五另列再视
　　法首九查二筹第九横行内
　　数有三一五进一位列于前
　　得数之下并之得三三二五该米三石三斗二升五合
　　又如有米一斗卖钱一百二十五文今有米一十八
　　石三斗问该钱若干则以一
　　八三为实一二五为法先查
　　实数三筹齐列次视法尾五
　　查三筹第五横行内数是九
　　一五另列次视法次二查三
　　筹第二横行内数是三六六
　　进一位列于前得数之下次视法首一查三筹第一横行内数是一八三又进一位列于前得二数之下并之得二二八七五该钱二万二千八百七十五文如法数有○则径作一○以当其位再查法数如前如六八三为实三○○为法则作二○乃查三筹之第三横行内数从二○左进书之馀放此
　　二除法
　　除法有实有法有啇先将法数依号查筹从左向右齐列次于诸筹从上至下查横行内连数之等于实数或略少于实数者在第几行即是初啇数如在第一行即得数是一在第九行即得数是九也次以查得之数减其实数如已尽则止知有初啇未尽则知宜有再啇也有再啇者即再查横行内数之等于存实或略少于存实者在第几行即是再啇数又以查得之数减其存数如前又未尽则更有三啇亦如上法三以上仿此若初得已除实数未尽乃实数次位无实则知当有○位即作一○以当次啇或三位俱无则知得有二○即又作一○以当三啇乃从后数查之若虽有馀数而其数小于法数是为不尽法法之数用命分法
　　解曰除法者分率之法也有实有法先列实次以法数平分之故古九章法名为实如法而一或省曰而一也除法有二一归除一啇除啇除者古法归除则后来捷法珠算可任用之若书算筹算必独用啇除也用筹则先如法数列筹自左而右别列实数简筹之某格与实数相合者或略少于实数者以减实即初啇数也若未尽即如前再啇三啇以上皆如之又未尽则以法命之
　　假如列实一百○八以三十六为法除之简三六两筹列之视其第三格六号筹下右半斜方有八中各斜方有一九共十进一位成百即一百○八除实尽也
　　又如有米九升五合价银一钱今有米三石三斗二
　　升五合问该银若干以三三
　　二五为实九五为法先以法
　　数二筹齐列次于各行横数
　　内求三三二有则径减实数
　　无则取其田　者二八五以
　　二八五减三三二馀四七五为实而此二八五数乃在第三行即三为初啇数次视第五行有四七五正与馀实相等减尽即五为次啇数是三五为得数也该银三两五钱
　　又如每钱三百七十四文买米一斗今有钱八万七千一百四十二文问该米若干以八七一四二为实三七四为法先以法数三筹齐列次视各行横数内求八七一无则取其略少者七四八以七四八减八七一馀一二三四二为实而此七四八乃在第二行
　　即二为初啇数次视各行中
　　无一二三四及略少者惟第
　　三行有一一二二以一一二
　　二减一二三四馀一一二二
　　为实即三为次啇数次视第
　　三行有一一二二正与馀实
　　相等除尽即三为三啇数该
　　米二十三石三斗
　　若积数为八七二四八尚有一○六为馀实再欲细分即用命分第一法以馀数一○六为子法数三七四为母即命为三百七十四分之一百○六
　　或用命分第二法于馀实一○六后加一○依上法再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分之得三得数为二八三凡三位即命为一千之二百八十三
　　三开平方法
　　开平方有积数有啇数啇有方法有廉法隅法置积为实从末位下作一点向前隔一位作一点每一点当作一啇次视平方筹内自乘之数有与实首相等者即除之若无相等则取其相近之略少者除之但实首以左第一点为主若点前无位则自乘止于零数如一四九是也若点前有一位则自乘应有十数如十六至八十一是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是九九为三之自乘在第三格即三为啇数也若有二点者即以初啇数倍之如一倍为二三倍为六也即查所倍之筹列于方筹之左如四倍为八即取第八筹九倍为十八即取第一第八两筹也次视诸筹横行内数之与存实相等者除之而此数在第几格则第几数即次啇数如在第五格即五为次啇数也不尽以法命之三点以上仿此
　　解曰开平方者即自乘还原也而法实相同无从置算故以积求形必用方廉隅三法啇除之如有积一百啇其根〈根者一边之数四边皆同〉十即尽实此独用方法无用廉隅矣若一百二十一初啇十除实百馀二十一则倍初啇方根为廉法〈任加于初啇实一角之旁两边故曰廉两廉故倍初啇根〉次啇一以乘廉得二十以一为隅法实尽则百二十一之积开其根得十一也在筹则右行自一至九者即方根数也左二行即方根自乘之数自乘之数止于二位故隔一位作点查实下作几点知方根当几位也法先于左第一点上一位或二位为乘数平行求得其根适足则已不合则用其少者馀实以待次啇也左点或一位或二位者点在实首则乘数为单数
　　点在实首之次位则乘数为十数也如上图先以第一点求初啇根为方法乙为方积也不尽为二点之实以初啇
　　根倍之为廉法甲丙之长边也次啇若干即以为隅法丁方之一边也并二廉一隅法以除实甲乙丙丁平方也不尽三啇之啇而不尽者以法命之其筹法先列本筹得初啇次啇则列廉法筹于本筹之左本筹之自乘数即隅积也其根隅法也次查所列筹何格中平行并数可当廉法之几倍及隅方积得其根以除实即得设实下有二点则左一点之根为十数右一点之根为单数故廉法筹为十数本筹数为单数也三点以上仿此
　　假如有积六百二十五别列为实从末位五向前隔
　　一位各作一点即知啇二位
　　也点在实首六为单数视方
　　筹内自乘之数无六其下九
　　过实用其上四实之近少数
　　也平行向右取二为方法〈即方
　　根〉另列之为初啇即以四百
　　减六〈百〉存二〈百〉以并次点之
　　实得二二五为馀实次倍初啇根得四为廉法〈廉有二故倍方根〉取四号筹列方筹左于列筹内并数取其合馀
　　实或近少于馀实者至五格
　　适合即五为廉次率为隅法
　　为次啇而本方之根得二十
　　五
　　又如积四千四百八十九别
　　列为实从末位九向前作二
　　点知啇二位点在次位则实
　　首四为十数也视筹内自乘
　　无四四近少为三六平方取六为方法为初啇即以三六减四四存八以并次点之实得八八九为馀实次倍初根得十二为廉法取一二号两筹列方筹左于列筹并数得八八九在第七格除实尽即七为廉次率为隅法为次啇而本方之根得六十七
　　又如有积三万二千○四十一列为实从末向前隔
　　一位作一点得三点知啇三
　　位点在实首三为单数视筹
　　自乘无三近少为一平行取
　　一为方法为初啇即以一减
　　三存二以并次点实得二二
　　○为馀实次倍初根得廉法
　　二取二号筹列左筹方于列
　　筹并数得近少者一八九在
　　第七格即七为隅法为次啇
　　列初啇之右以一八九减馀
　　实得三一以并三点之实得
　　三一四一为次馀实次倍前
　　根十七得三四为次廉法取三四两筹列方筹左于列筹并数得三一四一在第九格适尽即九为三啇为隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九又如有积六十五万一千二百四十九列为实从末
　　位九向前隔一位作一点得三
　　点知啇三位点在次位则实
　　首六为实数也视筹自乘无
　　六五近少为六四平行取八
　　为方法为初啇以六四减六
　　五存一以并次点实得一一
　　二为馀实次倍初根得廉法
　　一六取一六两筹列方筹左
　　于列筹并数查无一一二亦
　　无近小数即知次啇为○也
　　则于八下加○以当次啇而
　　以一一二并三点之实得一
　　一二四九为次馀实次倍前
　　根八得一六进一位得一六
　　○为次廉法取○筹列一六两筹之右于列筹并数得一一二四九在第七格适尽即七为三啇为隅法列前二啇之下而本方之根得八○七
　　其啇而不尽者以法命之则有二术其一如前第一
　　六十六万二千七百四十九
　　如前三啇得根八百一十四
　　馀积一百五十三更啇一当
　　倍廉加隅得一千六百二十
　　八今不足则命为未尽者一
　　千六百二十八之一百五十三也
　　法曰凡开方不尽实其命分法倍前啇数〈二廉也〉加一〈立隅〉为母〈续啇之〉馀实为子依法命之然终不能尽如设积六十求开方初啇七馀十一倍七加一得十五为母十一为子可命六十之根为七又一十五之一十一而缩试并初啇及分数自之得四十九又二二五之二四三一约之为一十一是二二五之一八一以并四十九得五十九又二二五之一八一不及元积若倍初啇不加一为母命为十四之十一试自之得六十○又一九六之一四一过元积而盈
　　其一欲得其小分则通为小数如前第二法更开之当于馀积之右加两圏〈是原积之一化为百也〉如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四圏〈是原积之化为万也〉
　　得根数命为一百分之几分
　　也或加六圏〈一化为百万〉得根命
　　数为一千分之几分或加十
　　圏〈一化为百万万〉　得根命为十万
　　分之几分也
　　如图原积六六二七四九已啇得八一四不尽者一五三欲得其细分加六圏〈是一百五十三化为一万五千三百○十○万○千○百○十○也〉更开得数为○九三因空位六则命为一千分之○百九十三也欲更细更加空位终不能尽何故六十者本无根之方也
　　四开立方法
　　开立方亦有积数有啇数啇有方法有平廉法长廉法隅法置积为实从末位向前隔二位作点每一点有一啇次视立方筹内再乘之数有与实首相等者即除之若无相等则取其近少者除之但实首以左第一点为主若点前无位则再乘止于零数如一如八是也若点前有一位则再乘应有十数如二七如六四是也若点前有二位则再乘应有百数如一二五至七二九是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是八八为二之再乘在第二格即二为初啇也若有二点者以初啇数自乘而三倍之如二之自乘得四四之三倍为一十二为平廉法以初啇数三倍之如二之三倍得六为长廉法次以平廉法数查筹列立方筹左又以长廉法数查筹列立方筹右次视左筹与方筹并之横行内数啇其少于馀实者平行取数为约数即以此数为次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之数与长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其馀实即得立方根不尽者以法命之三点以上仿此
　　解曰立方形者六方面积为一实体也每面等每边每角各等立方积者一数自乘再乘之所积也线有长面有长有广体有长有广有高所谓一乘作面再乘作体是也开立方者亦以积求形之术其异于平方者平方为面面有四等线开之求得四线之一为方根也立方为体体有十二等线开之求得十二线
　　之一为方根也三乘方以上亦
　　皆十二线有等有不等而皆求
　　其最初第一面之一界线为方
　　根也今解立方廉隅法姑作分
　　合图论之若截木或镕蜡作八
　　体分合解之尤易晓矣　其一
　　作六方面形一事诸面线角皆
　　相等此名方法体即上图甲乙
　　丙丁立方体是也　其二作六
　　面扁方体三事其上下面各与
　　方法等旁四面之高少于方法之高〈任意多寡开讫乃得〉而四棱线皆等此名平廉法体即上图戊己庚辛是也其三作六面长方体三事其上下左右四面与平廉之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长廉法体即上图壬癸是也　其四作六面小立方体一事六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体即上图子丑是也
　　右度数家以度理解数学〈度者点线面体量法也数者一十百千等算法也〉亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依
　　此借数以明立方之体如初方
　　体之边各四则一面之积为一
　　六其容积六四平廉之两大面
　　亦一六其高设五相乘得容积
　　八○长廉之长亦四其两端之
　　高广各五则其容积一○○立隅之边各五则其容一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三长廉之阙即成一总立方也　又算法单数乘单数生单数〈如四乘六为二四是为六者四积为二十四而其根四乃单数也〉单数乘十数生十数〈如四乘三十为一二是为三十者四积为一百二十而其根二乃十数也〉十数乘十数生百数〈如三十乘八十为二四是为八十者三十积为二千四百而其根四乃四百也〉推之则十乘百生千百乘百生万也　今依此推前总立方以四十五为全根其初方之一边为四十其面则为四十者四十是一千六百也是十乘十生百也其容积为一千六百者四十是六万四千也是十乘百生千也　其平廉之两大面与初方之面等亦一千六百其高五是单数以乘百得八十者百是八千也是单乘百生百也立廉三三倍之得二万四千也　长廉之高广皆与平廉之高等为五是单数其面为二五单根也其长与初方等为四十相乘得四十者二十五是为一百者十则一千也是单乘十生十也长廉三三倍之得三千也　立隅体与平廉之高等为五是单数自乘得二五亦单数也再乘得一二五亦单数也是单乘单生单数也　已上共得九万一千一百二十五为两啇之总立方积其根四十五右以数明立体之理其在筹则右行自一至九者立方根数也左三行自一至七二九者即方根自乘再乘之数也自乘再乘止于三位如三自乘再乘为二十七九自乘再乘为七百二十九故列实下隔二位作点查实下几点知立方根当几位也法先于第一点以上查实简筹或适足或略少者即初啇之立方体平行求得其根也　次初啇根自乘得平廉面与初啇之体等三倍者三平廉也平廉之筹列立方筹之左者立方筹之右行为单数中行为十左行为百平廉筹右行之号亦百数也以合于立筹之左行共为几百也　次平廉之面积三偕初啇之根三并为分率数以求六廉一隅之高于立筹平筹上求馀实之近少数〈不欲太少为尚有长廉之容故也〉约可用者平行取根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅筹上所自有也又平行取次啇之平方积乘长廉筹之数得长廉之容长廉之号为十数以列于约数之下进一位作十数　次求七体之总积初体之外有平廉三长廉三立隅一其定位立隅在本筹之上为单数次啇与三长廉法相乘得数为三长廉之实此数之号为十数三平廉之筹加于立筹之外其号为百数通并之以除馀实未尽而原实有三点者以先两啇之总方为初体复如前法三啇之亦并八体为一总体不及啇为一者依法命之
　　同文算指曰先得之根〈初啇也〉乘于三十今曰三之〈长廉法也〉所得之号为十数也又曰先根之方〈初体之面〉乘于三百今曰三之〈平廉法也〉所得之号为百数也一也
　　假如有积四千九百一十三别列为实从末位三向前隔二位各作一点即知啇二位也点在实首四为单数视立方筹内再乘之数无四下八过实用其上一实之近少数也平行向右取一为方法〈即方根〉另列之为初啇即以一〈千〉减四〈千〉存三〈千〉以并次点之实得三九一三为馀实次用初啇一自乘〈为平廉面〉而三倍之〈三平廉故〉得三百为平廉法〈亦名倍方数〉取三号筹列立方
　　筹左又以初啇一十三倍之
　　〈一者长廉边三长廉故三倍〉得三为长廉
　　法〈亦名倍根数〉取三号筹列立方
　　筹右于列筹〈立方筹与平廉筹也〉内并
　　数取其少于馀实者为约数
　　第其中有长廉之实不得过
　　少又不得多多者如第九格
　　遇三四二九以为约数近少
　　矣另列之向右平筹自乘数
　　内平行取八十一乘于长廉法三得二百四十三列近少数〈三四二九〉下进一位并得五八五九则多于馀实也至第七格遇二四四三以为约数另列之向右平筹自乘数平行取四十九以乘长廉法三得一百四十九列近少数〈二四四三〉下进一位并得三九一三除实尽〈平廉筹之二千一百平廉实也立方筹之三百四十三立隅积也平方筹之四十九长廉两端之面也以乘长廉法三十得一四七长廉积也诸筹之上一一分明〉平行求其根得七即七为次啇也得总立方之根一十七
　　又如积九百一十五万九千八百九十九别列为实从末位九向前隔二位作一点凡三点当啇三位也点在实首九为单数视立方筹内再乘之数无九下二七过实用其上八实之近少数也平行向右取二
　　为方法另列为初啇即以八
　　减九存一以并下位得一一
　　五九为馀实次用初啇二自
　　乘而三倍之得一十二为平
　　廉法取一号二号两筹列立
　　方筹左又以初啇二三倍之
　　得六为长廉法取六号筹列
　　立方筹右于列筹〈立方与平廉共三筹〉内并数取其少于馀实者为
　　约数试之而无有〈最少者为第一格之
　　一二○一〉则知啇有空位于初啇
　　下作圏以当次啇复开第三
　　点之馀实为一一五九八九
　　九前二啇二○〈百十也〉自乘之
　　得四○○〈四万也〉三倍之为一
　　二○○〈一千二百〉依数取四筹为
　　平廉法列立方筹左前啇二
　　○三倍之得六○取二筹为
　　长廉法列立方筹右于列筹
　　〈立方与平廉共五筹〉内并数取其少于
　　馀实者为约数至第九格方
　　得一○八○七二九另列之
　　向右平筹自乘数平行取八
　　十一以乘长廉法六○得四
　　八六○列近少数〈一○八○七二九〉下进一位并得一一二九三
　　二九除实不尽三○五七○
　　其三啇平行取根得九并初
　　二啇得立方根二○九不尽
　　者更欲细分之则用命分第
　　二法于馀实后加三圏得三
　　○五七○○○○为馀实依
　　上法再开之以前啇二○九
　　自乘为四三六八一又三倍
　　之为一三一○四三取此六
　　筹列方筹左为平廉法又以
　　前啇二○九三倍之为六二
　　七取此三筹列方筹右为长
　　廉法于列筹〈左筹七〉内并数取
　　其近少为约数试之至第二
　　格遇二六二○八六○八为
　　近少于馀实〈三○五七○○○○〉另列
　　之向右平筹自乘数内平行
　　取四乘于长廉法六二七得
　　二五○八列近少数〈二六二○八六
　　○八〉下进一位并得二六二三
　　三六八八以除实不尽四三
　　三六三一二即取右根二为
　　啇数依法命为一十分之二
　　分也若欲再开则馀实后又
　　加三圏得四三三六三一二
　　○○○为馀实依上法以前
　　啇二○九二自乘为四三七
　　六四六四又三倍之得一三
　　一二九三九二取此八筹列
　　方筹左为平廉法又以前啇
　　二○九二三倍之为六二七
　　六取此四筹列方筹右为长
　　廉法于列筹〈左九筹〉内并数取
　　其近少至第三格遇三九三
　　八八一七六二七为近少于
　　馀实〈四三三六三一二○○○〉另列之向
　　右平筹自乘数平行取九乘
　　于长廉法六二七六得五六
　　四八四列近少数〈三九三八八一七六
　　二七〉下进一位并得三九三九
　　三八二四六七以除实不尽
　　三九六九二九五三三即取
　　右根三为啇数依法命为二
　　百○九又一百分之二十三
　　分也若再开则馀实后又加
　　三圏得三九六九二九五三
　　三○○○为馀实依上法以
　　前啇二○九二三自乘为四
　　三七七七一九二九又三倍
　　之得一三一三三一五七八
　　七取此十筹列方筹左为平
　　廉法又以前啇二○九二三
　　三倍之得六二七六九取此
　　五筹列方筹右为长廉法于
　　列筹〈左十一筹〉并数取约至第三
　　格遇三九三九九四七三六
　　一二七为近少于馀实〈三九六九
　　二九五三三○○○〉另列之向右平筹
　　自乘数平行取九乘于长廉
　　法六二七六九得五六四九二一列近少数〈三九三九九四七三六一二七〉下进一位并得三九四○○○三八五三三七以除实不尽为二九二九一四七六六三即取右根三为啇数依法命为二百○九又一千分之二百三十三也馀实任开之终不尽何者无立方数不得有立方根也
　　算子钱法〈増〉
　　以筹布算其乘除诸法皆能去繁就简不待论矣若算章中有用开平立方者有用开无名方者至难至赜也用筹则比他算特为简易故附载此法　按九章算衰分篇中有借本还利皆用乘法即此法之还原也今法必用开方故为难耳
　　假如借银若干满若干年还本息总银若干问每年息银若干
　　如本银一百两满一年总还一百二十两问息若干法两数〈本银一总银一〉相减馀二十是百两一年之息也又满二年总还一百四十四两问每年息例若干法以母银数〈一百〉乘总还数〈一百四十四〉得数为积开方得根数为实以母银为法减之所馀者为原银一年之息也若满三年总还一百七十二两八钱问息例若干又满四年以上皆息转为本纷莫可寻则依图法求之
　　图说
　　图有直行有横行直行者每年所用之法与数横行者诸同类之法同类之数也其直行之首无年数无总银数者则上年之次法或又次法任用之〈白字为法墨字为数〉
　　第一横行为满年数〈借日至还日积年之数〉
　　第二横行为所还之总银〈母银并息银之总数〉
　　第三横行为母银所用之法〈或母银自乘或再乘三乘等以求积而开方〉第四横行为母银用法所乘出数与总银相乘得数第五横行为各年所用开积之本法〈如开方或开立方等〉
　　第六横行为所求之数〈即满一年之总数本息俱见者也〉减原银得息例
　　用法
　　假如初借母银三两满四年总还银四十八两问每年若干起息〈母银三两满一年总还若干即转为次年之母依前例起息总应若干又转为母如是岁岁递加母数渐増息例如旧〉
　　法依图试查满四年直行其第一格为年数〈即四〉第二格为总还〈四十八两〉之银〈原银若干息例若干各依本例积成总数〉第三格母银所用之法为再乘即以原银三再自之得二十七第四格以二十七〈母所乘出之数〉乘四十八〈总银〉得一二九六为实积第五格本年所用开积之法为开平方二次〈积为一二九六〉初开得三十六再开得六六者满一年之总银减原银三馀三为满一年之息
　　又如母银五十八两四钱满三年总还银一百二十五两三钱问一年息若干
　　法用本行第三格曰自乘即原数自之得三四一○五六以总银乘之得四四九二七六一六八第五格法曰开立方用法开得七十六两五钱〈不尽实加三位开零根得〉八分九釐八毫不尽减原银馀十八两一钱八分九釐八毫为满一年之息依此例求母银百两息几何用三率法原银为一率息例为二率今银〈一百〉为三率依法得四率三十一两一钱四分六釐九毫不尽为百两一年之息
　　此用递加倍数之法详见算学全义义见几何第十卷
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十二>

















　　新法算书卷二十二








　　远镜说
　　人身五司耳目为贵无疑也耳与目又孰为贵乎昔亚利斯多穪耳司为百学之母谓凡授受以耳学问所以弥精弥广也若目司则巴拉多称为理学之师何者盖当其陡与物遇见其然即索其所以然由粗入细由有形入无形理学始终总目为牖矣而不宁惟是明光色光较形声臭味独居上分不既属于目乎观夫亚尼玛以目为居止孟子谓存乎人者莫良于眸子则

　　凡情开意动之微必达于目善恶莫掩有如执左契然者且耳之于声也有待目之于形也无待闻每后见每先闻每似见每真闻仅有轻重清浊见岂特玄黄采素而已哉物体有大小方圆邪正动静数有多寡位有远近畴非于目辨者乎诚若是则目之贵于耳也明矣虽然耳目皆不可废者也则佐耳佐目之法亦皆不可废者也第佐耳者用力省以管则远以螺则清利物出于天成其巧妙自无可得而言佐目者用力烦管以为眶镜以为睛利物出于人力其巧妙诚有可得而言者无可得而言者言之则诞有可得而言者秘之则欺此远镜说之所由述也天启六年岁次丙寅仲秋月大西洋汤若望题
　　利用〈计二端〉
　　夫远镜何昉乎昉于大西洋天文士也其用之利可胜言哉盖凡人视近与大易视远与小难远镜则无远近无大小者也约略言之天象地形不出其照而至若山
　　海之间尤为备盗之先资补益
　　人世亦大矣奈何忽为悦目快
　　心之具也今试姑举一〈二〉以概
　　其用
　　一利用于仰观〈计六条〉
　　用以观太阴则见本体有凸而
　　明者有凹而暗者盖如山之高
　　处先得日光而明也又观月时
　　试一目用镜一目不用镜则大
　　小迥别焉
　　用以观金星则见有消长有上
　　下如月焉其消长上下
　　变易于一年之间亦如月之消
　　长上下变易于一月之内又
　　见本体间或大小不一则验其
　　行动周围随太阳者居太阳之
　　上其光则满居太阳之下其光
　　则虚本体之大小以其居太阳
　　右之上下而别焉
　　用以观太阳之出没则见本体
　　非至圆乃似鸡鸟卵盖因尘气
　　腾空遮𫎇恍惚使之然也〈即此可知
　　尘气腾空高远几许〉若卯酉二时并见太
　　阳边体龃龉如锯齿日面有浮
　　游黑点点大小多寡不一相为
　　隐显随从必十四日方周径日
　　面而出前点出后点入迄无定
　　期竟不解其何故也
　　用以观木星则见有四小星左
　　右随从䕶卫木君者四星随木
　　有规则有定期又有蚀时则非
　　宿天之星明矣欲知其与木近
　　远几何宜先究其经道圏处合
　　下即验矣
　　用以观土星则见两傍有两小
　　星经久渐益近土竟合而为一
　　如卵两头有两耳焉
　　用以观宿天诸星较之平时不
　　啻多数十倍而且界限甚明也
　　即如昴宿数不止于七而有三
　　十多鬼宿中积尸气觜宿中北
　　星天河中诸小星皆难见者用
　　镜则了然矣又如尾宿中距星
　　及神宫北斗中开阳及辅星皆
　　难分者用镜则见相去甚远焉
　　是宿天诸星借镜验之算之相
　　去几何丝毫不爽因之而观察
　　星宿本相星宿所好星宿正度
　　偏度于修历法尤为切要以上
　　六条是聊述观天之槩也
　　一利用于直视〈计三条〉
　　楼台高处用之则远见山川江
　　河树林村落虽人物行动如在
　　目前若陡遇兵革之变无论白
　　日即深夜借彼火光用之则远见敌处营帐人马器械辎重便知其备不备而我得预为防宜战宜守或宜安放铳炮功莫大焉
　　海上用之则数十里外之行舟人但见为块然如山石者我能别其船舟何等帆旗何色或为友伴或为强徒与夫人数之多寡悉无谬焉
　　居室中用之则照见诸远物其体其色活泼泼地各现本相大西洋有一画士秘用此法画种种物像俨然如生举国奇之以上三条是聊述地海人间之槩也
　　附分用之利〈计三端〉
　　夫远镜者二镜合之以成器者也其
　　利用既如斯矣乃分之而制造如法
　　则又各利于用焉即中国所谓眼镜
　　也试言之
　　一利于苦近视者用之〈一条〉
　　世有自少好远游喜远望者年老目
　　衰则不苦视远物而苦视近物不耐
　　三角形射线而耐平行射线习性使
　　然耳若用远镜之中高镜则物象一
　　点之小散射镜面从镜平行入目巧
　　合其习性视近不劳而自明也然又
　　有未尝好远游远望而平日专务平
　　直是视者亦必老至力衰则视物不
　　能敛聚其象象形直射恍惚不真若
　　用中高镜则物形虽小而暗视之自
　　大而显矣
　　一利于苦远视者用之〈一条〉
　　有书生目不去书史视不逾几席习
　　惯成性喜三角形视近不耐平行视
　　远者亦有非繇习惯但眸子精力不
　　开广视物象不得员而满者是二人
　　者用远镜之中洼镜则物象从镜角
　　形入目乃合其习性视物自明矣
　　一分用不如合用之无不利〈一条〉
　　人有目精全衰视物全暗者则与无
　　目同天日不能照固非镜之所能与
　　力也乃有目精至强视物至明者用镜亦反加翳焉何也吾人睛中有眸张闭自宜睛底有□屈伸如性高洼二镜自备目中何以镜为若二镜合用之于远镜则不然远镜者目明益明象显益显实备非常之用者也
　　原繇〈计三端〉
　　一易象不同而远镜独妙于斜透以为利用之原〈计三条〉
　　是镜之妙妙乎能易物象也何谓易象盖凡物之有形者必发越本象于空明中以射人目若象目交接之间无所阻碍则象从径线直射入目矣茍如为他物形所间则本象或斜透其照而易者有之或反映其照而易者有之乃是镜易象之妙则妙乎有斜透而无反映此其所以利用也
　　何谓斜透而易反映而易盖象与目交而为物所间槩有二焉一曰不通光之体一曰通光之体不通光之体可借喻镜面夫镜有突如球平如案洼如釜之类其面皆能受物象而其体之不通彻皆不能不反映物象反映之象自不能如本象之光明也所谓反映者此也通
　　光之体又分二体一谓物象遇大光
　　明易通彻者比发象元处更光明而
　　形似广而散焉一谓物象遇次光明
　　难通彻者比发象元处少昏暗而形
　　似敛而聚焉今试以象遇大光明易
　　通彻者言之即如前图甲象居盂底
　　直射乙目乙目可视乙目偏东则象
　　不现而目不见碍于盂边也若充水
　　齐边则象上映于水遇空明气之大
　　光明即邪射而象更显焉甲象更广散于丙丁边东目视丙边即视丙象而象体似居戊处矣即东目更移东尚可见象而象体若更浮戊上矣是又因象映而然也又如舟用篙橹其半在水视之若曲焉张㫁取鱼多半在水视之若短焉乂鱼者见鱼象浮游水面而投乂刺之必欲稍下于鱼乃能得鱼盖水气两隔恍惚使然渔夫习之熟知其必然而不知其所以然耳试以象遇次光明难通彻者言之即如上图甲象在空明气盂底无水直射盂底乙处乙处可视甲象若戊处则象不射戊
　　不见碍于盂边也盂内充水至于丙
　　丁则空明甲象入水稍暗敛聚于丙
　　丁边戊视丁边则明见甲象而象体
　　似居己处矣凡此皆所谓斜透者也
　　夫所云间隔物体大光明能广散物
　　象次光明能敛聚物象盖必大与次
　　不同体者也若前后二镜亦既同体
　　矣而亦有广散敛聚之别则以同体
　　而不同形耳前镜形中高类球镜而
　　通彻焉是即次光明意也所以照日光能渐聚大光于一点而且照日生火照第一等星光能透明于纸上夜借灯光亦能远照后镜形中洼类釜镜而通彻焉是即大光明意也所以照日光则渐散大光至于无光而且照日不能生火不能照星不能远照正与前镜相反然照象则甚鲜明也
　　一射线不一而远镜兼摄乎屈曲以为斜透之繇〈一条〉
　　光明之体间隔物象者有正有邪而物象之来有直有
　　偏以故象直矣而体有未正则象来
　　之线尚多屈曲况象偏乎体正矣而
　　象有未直则象来之线亦多屈曲况
　　体邪乎若二镜照物之时则必皆正
　　者也但物象射线不能皆直盖必射
　　线直入镜之中央方无斜透不然射
　　线去中或近或远皆不免屈曲所以
　　皆不能无斜透也
　　一视象明而大者繇乎二镜之合
　　用〈计二条〉
　　二镜之性乃相反以相制者也独用
　　则偏并用则得中而成器焉夫远物
　　发象从平行线入目则目视远物亦
　　必须从平行线视象假若二镜独用
　　其一则前镜中高而聚象聚象之至
　　则偏偏则不能平行后镜中洼而散
　　象散象之至则亦偏偏亦不能平行
　　故二镜合用则前镜赖有后镜自能
　　分而散之得乎平行线之中而视物自明后镜赖有前镜自能合而聚之得乎平行线之中而视物明且大也前镜视远去目如法物象每见其大焉盖以全镜之体照物体之分分则见其大矣若镜目相近则虽镜体得照全象分分不遗而象则小矣后镜视远近目如法视物每见其大焉盖以全象视物之体若镜目相远则以象之一分视物之体而已总之分二镜而用之则不免昏暗套筒而合用之则彼此相济视物至大而且明也
　　造法用法〈计九端〉
　　造镜至巧也用镜至变也取不定之法于一定之中必须面授方得了然若但凭书不无差谬今亦撮其大略而已
　　一镜〈一条〉
　　造法曰用玻璃制一似平非平之圆镜曰筒口镜即前所谓中高镜所谓前镜也制一小洼镜曰靠眼镜即前所谓中洼镜所谓后镜也须察二镜之力若何相合若何长短若何比例若何茍既知其力矣知其合矣长短宜而比例审矣方能聚一物像虽远而小者形形色色不失本来也
　　一筒〈一条〉
　　镜止于两筒不止于两筒筒相套欲长欲短可伸可缩一远近各得其宜〈一条〉
　　用法曰镜筒相宜以视二百步为定则因之而视数十里视天象视地形无不同之若视二百步以内物形弥近筒镜弥长逐分伸长物相明亮即为限止大要伸缩宜缓而不宜急
　　一避便观〈计三条〉
　　用以视太阳金星则二者光射明烈故须于近镜上再加一青绿镜少御其烈镜筒再伸分寸许则光相不目力乃精视乃不幻也
　　视太阳又有两法一加青绿镜如上所云一不必加青绿镜只以筒镜两相合宜以前镜直对太阳以白净纸一张置眼镜下远近如法撮其光射则太阳本体在天在纸丝毫不异若用硬纸尺许中翦空圆形冒靠后镜上则日光团聚下射纸面四暗中光黑白更显体相更真矣若遇依稀云雾天太阳本体居明暗中不用绿镜不用硬纸只以平常格式用目视更快也
　　用以视地形物色前镜勿对日光以日光照镜则镜光与相反昏也
　　一安放调停〈计二条〉
　　将镜置诸本架或倚著实落处使不摇动视镜止用一目目力乃专光益聚而象益显也
　　视欲开广将镜床少少那动欲左而左欲右而右欲上而上欲下而下架无不随者只用螺丝钉宁住宜坚定不移
　　一衰目短视用诀〈一条〉
　　清目人用此镜远视物体更明且大无惑也乃衰目人短视人亦可用盖筒内后镜伸长能使易象于前镜者仍平行线入目缩短能使易象于前镜者反以广行线入目一伸一缩能称衰目短视人则巧妙又在伸缩得宜焉又短视人寻常用眼镜者今用远镜仍用本眼镜照之亦可
　　一借照作画〈一条〉
　　室中照镜画像全闭门窗务极幽暗或门或窗开一孔大小与前镜称取出前镜置诸孔眼以白净纸如法对置内室则镜照诸外像入纸上丝毫不爽摸而画之西土所谓物像像物者此也
　　一习用诀
　　欲知镜之能照远及小与夫昼夜无异则必于平常试验置书数十步内昼借日光夜借灯光用镜照之字字可诵比诸几案上更显而大焉平常习熟临大用时庶可无疑谬也
　　一去垢诀〈一条〉
　　两镜或受尘垢勿用手揩摸只以新净绢帛轻轻拂拭即复光明
　　用镜测星法
　　前后二镜各加一积楮圏圏心开圆孔露镜而以其周掩镜边盖惟边掩而心孔摄聚星象益加显著故也孔之大小视镜光力前圏孔之大以尽见月径为率月径约三十分依此为孔以求两星相距或相凌犯远近分数举目可得其法先以镜向月心目向镜心一窥而尽得月左右边际是可凖而用也乃即用以窥星倘亦一窥之中两星并见则知彼此相距必在三十分内矣于是移筒使一星切居镜边以求此星与彼居中星相距之远近或当月径之半而赢或当月径之半而缩其为几何分数岂不了然可辨乎然所谓一窥尽月径者远镜之短者也若其长者所见转狭一窥不尽必数移窥乃尽焉其法先用镜定向月心目则左右任移以尽见月边为率次以镜切月边平行径内某影〈月有多影〉止记之又以此影切分为边平行某影止记之如是数窥必尽月径即可得每窥满圏所容之分数几何于是用以测星或亦再三移窥则并移窥所得分数总计之即是两星相距之分数矣
　　用镜测交食法
　　安器于本架筒伸缩令得宜用以直对太阳或太阴焉馀法与视太阳前二法同外所用净纸预画一线成圏圏中画径线一平分之径线上画短线十平分之圏线之大约以二寸为率过大与过小皆足碍光临测时务使纸与镜直对平行毋少欹侧其相去远近以光满圏为率镜一面向纸一面向日或月当其初亏止见光劣有似游气后乃黒影渐侵边内明缺此时务使圏之径线正与缺当乃视短线即得交食分数













　　新法算书卷二十三