新法算書 (四庫全書本)/卷022

新法算書　卷二十二

　　欽定四庫全書
　　新法算書卷二十二　　明　徐光啟等　撰籌算
　　算數之學大者畫野經天小者米鹽凌雜凡有形質有度數之物與事靡不藉為用焉且從事此道者步步蹠實非如談空說𤣥可欺人以口舌明明布列非如握槊奪標可欺人以強力層層積累非如繇旬剎那可欺人以荒誕也而為術最繁不有簡法濟之即當年不能殫惡暇更工他學哉敝國以書算其來逺矣乃人之記函弱而心力柔厭與昏每乘之多有畏難而中輟者後賢別立巧法易之以籌余為譯之簡便數倍以似好學者皆喜以為此術之津梁也遂梓行之傳不雲不有博奕者乎為之猶賢乎已是書稍賢於博奕然旅人入來未及他有論著以此先之不亦末乎行復自哂曰小道可觀聊為之佐一籌而已崇禎戊辰暮春廿日羅雅谷識
　　造法
　　一造籌
　　或牙或骨或木或合楮俱可其形長方廣為長六之一厚約廣五之一諸籌相準不得有短長廣狹厚薄須平正光潔便於畫方書字凡籌數任意多寡總之五籌兩面可當一單數說見定數條十籌當十數十五籌當百數二十籌當千數二十五籌當萬數三十籌當十萬數約以衆籌之厚為一籌之長便於作開方籌入匣也詳造匣條
　　二分方
　　每籌橫平分為九作九方籌籌相等橫列之線線相直
　　方方相對

　　三分角
　　每方自左上至右下斜作一對角線則每方成直角三
　　邊形二橫列之則兩籌對角
　　線又成一斜直線其兩直角
　　三邊形又合成一平行線方形
　　四定數
　　數自一至九並○共十位籌有二面五籌可滿十數其數以方數與籌上方數相乘每方之中既以對角線分而為二即每方各成二位右位即零數左位即十數至第九籌第九方九九相承得八十一而止
　　第一籌一面作零數九方對角線之上各畫一圏一面
　　作一數九方對角線之上順
　　書一二三四五六七八九數

　　第二籌一面作二數第一方線右書二第二方線右書
　　四二籌二方二二如四也第
　　三方線右書六二籌三方二
　　三得六也後推此則第四方
　　線右書八第五方線右書○線左書一二籌五方二五得十故左位一右位○以當零數也後推此則第六方線右書二線左書一第七方線右書四線左書一第八方線右書六線左書一第九方線右書八線左書一一面作三數第一方線右書三第二方線右書六第三方線右書九第四方線右書二線左書一第五方線右書五線左書一第六方線右書八線左書一第七方線右書一線左書二第八方線右書四線左書二第九方線右書七線左書二
　　第三籌一面作四數第一方線右書四第二方線右書
　　八第三方線右書二線左書
　　一第四方線右書六線左書
　　一第五方線右書○線左書
　　二第六方線右書四線左書二第七方線右書八線左書二第八方線右書二線左書三第九方線右書六線左書三一面作五數第一方線右書五第二方線右書○線左書一第三方線右書五線左書一第四方線右書○線左書二第五方線右書五線左書二第六方線右書○線左書三第七方線右書五線左書三第八方線右書○線左書四第九方線右書五線左書四第四籌一面作六數第一方線右書六第二方線右書
　　二線左書一第三方線右書
　　八線左書一第四方線右書
　　四線左書二第五方線右書
　　○線左書三第六方線右書六線左書三第七方線右書二線左書四第八方線右書八線左書四第九方線右書四線左書五一面作七數第一方線右書七第二方線右書四線左書一第三方線右書一線左書二第四方線右書八線左書二第五方線右書五線左書三第六方線右書二線左書四第七方線右書九線左書四第八方線右書六線左書五第九方線右書三線左書六
　　第五籌一面作八數第一方線右書八第二方線右書
　　六線左書一第三方線右書
　　四線左書二第四方線右書
　　二線左書三第五方線右書
　　○線左書四第六方線右書八線左書四第七方線右書六線左書五第八方線右書四線左書六第九方線右書二線左書七一面作九數第一方線右書九第二方線右書八線左書一第三方線右書七線左書二第四方線右書六線左書三第五方線右書五線左書四第六方線右書四線左書五第七方線右書三線左書六第八方線右書二線左書七第九方線右書一線左書八
　　五定號
　　號者應於面之左右兩旁厚處露出匣外者記本面數
　　目○至九共十號其旁狹難
　　書一二三四等字姑作橫線
　　如○則無線一則一橫線也
　　至五則結為一縱線以該之如五則一縱六則一縱一橫七則一縱二橫也各書本面之右用時視其旁即可得之
　　六平立方籌
　　諸小籌之外別作一大籌長與諸籌等廣約長六分之
　　二兩面橫分九方亦與諸籌
　　等其一面平方籌縱作二行
　　其右行九方書一至九之數
　　為平方根其左行九方亦如
　　小籌作對角線以平方根數
　　自乘之各書根數之左第一方線右書一第二方線右書四第三方線右書九第四方線右書六線左書一第五方線右書五線左書二第六方線右書六線左書三第七方線右書九線左書四第八方線右書四線左書六第九方線右書一線左書八其一面立方籌縱作六分右一分作一行九方書一至九之數為立方根中二分作一行九方書一至九各自乘之數與平方籌同左三分作一行九方每方止截左邊三分之二亦如小籌作對角線是每方分為直角三邊形無法四邊形各一也而無法四邊形之中暗具一直角方形在右一直角三邊形在左今止以左中右分之以中行自乘之數再乘之各書方數之左名立方數第一方右書一第二方右書八第三方右書七中書二第四方右書四中書六第五方右書五中書二左書一第六方右書六中書一左書二第七方右書三中書四左書三第八方右書二中書一左書五第九方右書九中書二左書七
　　七造匣
　　匣合紙或木為之其形短方其空廣如籌之長空厚如籌之廣匣有蓋以籌長五分之三為匣之深其二為葢之深使籌入匣而旁號露於匣口之上以便抽取也小籌比立匣中方根籌側於小籌之旁下切匣口上切蓋頂正相容也若蓋之外徑等於匣之外徑則匣口必出筍以入蓋夫方根籌之廣與匣之深並尚不及小籌之長以其不及為筍之高則匣與蓋外切籌與蓋匣內切矣若匣之外徑等於蓋之內徑則匣自為筍蓋冒之可無庸筍也
　　賴用算法〈凡三條〉
　　算家加減二法並命分法亦用籌所賴故各具一則
　　一加法
　　加者多小幾何並為一大幾何也亦謂之計先以第一小數從左向右橫列於上次以第二小數如前橫列於下從視之則零對零十對十百對百也分錢兩及寸尺丈俱依此推次視零位若成十成十則進一位又視十位若干百則進一位千萬以上俱依此推
　　假如有銀九萬一千七百六十一兩又八萬二千○七十八兩又四千五百二十兩又九萬○六百五十
　　四兩俱橫列則視末位有一八○四
　　並得十三本位書三進位加一與六
　　七二五並得二十一本位書一進位
　　加二與七五六並得二十本位作○
　　進位加二與一二四並得九本位書九首位九八九並得二十六本位書六進位書二得二十六萬九千○一十三兩如物數是斤兩則十六兩成一斤進位尺步畝之類俱依此推
　　二減法
　　減者一大幾何減去一小幾何餘幾何也亦謂之除以大數書於上應減數書於下亦零對零十對十百對百也次於每位對除之若除數多於原數則借前位一以除之蓋前位之一即本位之十也除完則得餘數
　　假如有銀三十○萬○一百七十六
　　兩三錢四分內除去二十九萬八千
　　六百四十三兩八錢五分從左首位
　　起上數三下數二三除二存一次位
　　上數○下數九借前一成一○除九
　　存一三位上數○下數八借前一成一○除八存二四位上數一下數六借前一成一一除六存五五位上數七下數四七除四存三六位上數六下數三六除三存三七位上數三下數八借前一成一三除八存五八位上數四下數五借前一成一四除五存九該存一千五百三十二兩四錢九分
　　三命分二法
　　命分者一大幾何已分幾何尚餘幾何今應命此餘者為幾何分之幾何也又所餘之小幾何再分得幾何今應命此得者為幾何分之幾何也前解曰法數為母餘數為子如法數一六八餘數四九即命為一百六十八分之四十九後解曰得數為子得數前位為母如得數一位則前位為十得數六即命為十分之六得數二位則前位為百得數三四即命為百分之三十四得數三位則前位為千得數二八三即命為千分之二百八十三得數四五位以上推此第前位定於一數十則一十百則一百千則一千萬則一萬〈前一法即九章之命分法亦即幾何原本之命比例法後一法即九章之小數如衡有錢分釐毫量有尺寸分釐厯有分秒微纖也〉
　　用法〈凡四條〉
　　一乘法
　　乘數有實有法先將實數依號查籌從左向右齊列其兩籌相並所成平行線斜方形合成一位方形內之數並為一數矣次以籌之方位為法數如法數是五則視兩籌第五方是九則視兩籌第九方即得數矣若法有二數則先查法尾所得數橫列之次查法首所得數進一位橫列之末用加法並之得數法有三數以上依此推顯
　　解曰乘者陞也九九陞積之義也數有二一為實一為法可互用大畧以位數多者為實可也用籌則如實數列籌自左而右次視法數依籌之同數格上橫取之並得啇數列書之更視次法如前得次啇數進一位書初啇之下三以上倣此啇畢並諸啇數即乘得之數
　　假如八十三為實以四乘之先列八三兩籌視其第四格八號籌下左半斜方有三兩籌合一斜方有二一併作三三號籌下右半斜方有二並為三百三十二也
　　又如毎銀一錢糴米九升五合今有銀三兩五錢問
　　該米若干則以三五為實九
　　五為法先查實數二籌齊列
　　次視法尾五查二籌第五橫
　　行內數是一七五另列再視
　　法首九查二籌第九橫行內
　　數有三一五進一位列於前
　　得數之下併之得三三二五該米三石三斗二升五合
　　又如有米一斗賣錢一百二十五文今有米一十八
　　石三斗問該錢若干則以一
　　八三為實一二五為法先查
　　實數三籌齊列次視法尾五
　　查三籌第五橫行內數是九
　　一五另列次視法次二查三
　　籌第二橫行內數是三六六
　　進一位列於前得數之下次視法首一查三籌第一橫行內數是一八三又進一位列於前得二數之下併之得二二八七五該錢二萬二千八百七十五文如法數有○則徑作一○以當其位再查法數如前如六八三為實三○○為法則作二○乃查三籌之第三橫行內數從二○左進書之餘放此
　　二除法
　　除法有實有法有啇先將法數依號查籌從左向右齊列次於諸籌從上至下查橫行內連數之等於實數或畧少於實數者在第幾行即是初啇數如在第一行即得數是一在第九行即得數是九也次以查得之數減其實數如已盡則止知有初啇未盡則知宜有再啇也有再啇者即再查橫行內數之等於存實或畧少於存實者在第幾行即是再啇數又以查得之數減其存數如前又未盡則更有三啇亦如上法三以上倣此若初得已除實數未盡乃實數次位無實則知當有○位即作一○以當次啇或三位俱無則知得有二○即又作一○以當三啇乃從後數查之若雖有餘數而其數小於法數是為不盡法法之數用命分法
　　解曰除法者分率之法也有實有法先列實次以法數平分之故古九章法名為實如法而一或省曰而一也除法有二一歸除一啇除啇除者古法歸除則後來捷法珠算可任用之若書算籌算必獨用啇除也用籌則先如法數列籌自左而右別列實數簡籌之某格與實數相合者或畧少於實數者以減實即初啇數也若未盡即如前再啇三啇以上皆如之又未盡則以法命之
　　假如列實一百○八以三十六為法除之簡三六兩籌列之視其第三格六號籌下右半斜方有八中各斜方有一九共十進一位成百即一百○八除實盡也
　　又如有米九升五合價銀一錢今有米三石三斗二
　　升五合問該銀若干以三三
　　二五為實九五為法先以法
　　數二籌齊列次於各行橫數
　　內求三三二有則徑減實數
　　無則取其田　者二八五以
　　二八五減三三二餘四七五為實而此二八五數乃在第三行即三為初啇數次視第五行有四七五正與餘實相等減盡即五為次啇數是三五為得數也該銀三兩五錢
　　又如每錢三百七十四文買米一斗今有錢八萬七千一百四十二文問該米若干以八七一四二為實三七四為法先以法數三籌齊列次視各行橫數內求八七一無則取其畧少者七四八以七四八減八七一餘一二三四二為實而此七四八乃在第二行
　　即二為初啇數次視各行中
　　無一二三四及畧少者惟第
　　三行有一一二二以一一二
　　二減一二三四餘一一二二
　　為實即三為次啇數次視第
　　三行有一一二二正與餘實
　　相等除盡即三為三啇數該
　　米二十三石三斗
　　若積數為八七二四八尚有一○六為餘實再欲細分即用命分第一法以餘數一○六為子法數三七四為母即命為三百七十四分之一百○六
　　或用命分第二法於餘實一○六後加一○依上法再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分之得三得數為二八三凡三位即命為一千之二百八十三
　　三開平方法
　　開平方有積數有啇數啇有方法有廉法隅法置積為實從末位下作一㸃向前隔一位作一㸃每一㸃當作一啇次視平方籌內自乘之數有與實首相等者即除之若無相等則取其相近之畧少者除之但實首以左第一㸃為主若㸃前無位則自乘止於零數如一四九是也若㸃前有一位則自乘應有十數如十六至八十一是也而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所用數是九九為三之自乘在第三格即三為啇數也若有二㸃者即以初啇數倍之如一倍為二三倍為六也即查所倍之籌列於方籌之左如四倍為八即取第八籌九倍為十八即取第一第八兩籌也次視諸籌橫行內數之與存實相等者除之而此數在第幾格則第幾數即次啇數如在第五格即五為次啇數也不盡以法命之三㸃以上倣此
　　解曰開平方者即自乘還原也而法實相同無從置算故以積求形必用方廉隅三法啇除之如有積一百啇其根〈根者一邊之數四邊皆同〉十即盡實此獨用方法無用廉隅矣若一百二十一初啇十除實百餘二十一則倍初啇方根為廉法〈任加於初啇實一角之旁兩邊故曰廉兩廉故倍初啇根〉次啇一以乘廉得二十以一為隅法實盡則百二十一之積開其根得十一也在籌則右行自一至九者即方根數也左二行即方根自乘之數自乘之數止於二位故隔一位作㸃查實下作幾㸃知方根當幾位也法先於左第一㸃上一位或二位為乘數平行求得其根適足則已不合則用其少者餘實以待次啇也左㸃或一位或二位者㸃在實首則乘數為單數
　　㸃在實首之次位則乘數為十數也如上圖先以第一㸃求初啇根為方法乙為方積也不盡為二㸃之實以初啇
　　根倍之為廉法甲丙之長邊也次啇若干即以為隅法丁方之一邊也並二廉一隅法以除實甲乙丙丁平方也不盡三啇之啇而不盡者以法命之其籌法先列本籌得初啇次啇則列廉法籌於本籌之左本籌之自乘數即隅積也其根隅法也次查所列籌何格中平行並數可當廉法之幾倍及隅方積得其根以除實即得設實下有二㸃則左一㸃之根為十數右一㸃之根為單數故廉法籌為十數本籌數為單數也三㸃以上倣此
　　假如有積六百二十五別列為實從末位五向前隔
　　一位各作一㸃即知啇二位
　　也㸃在實首六為單數視方
　　籌內自乘之數無六其下九
　　過實用其上四實之近少數
　　也平行向右取二為方法〈即方
　　根〉另列之為初啇即以四百
　　減六〈百〉存二〈百〉以並次㸃之
　　實得二二五為餘實次倍初啇根得四為廉法〈廉有二故倍方根〉取四號籌列方籌左於列籌內並數取其合餘
　　實或近少於餘實者至五格
　　適合即五為廉次率為隅法
　　為次啇而本方之根得二十
　　五
　　又如積四千四百八十九別
　　列為實從末位九向前作二
　　㸃知啇二位㸃在次位則實
　　首四為十數也視籌內自乘
　　無四四近少為三六平方取六為方法為初啇即以三六減四四存八以並次㸃之實得八八九為餘實次倍初根得十二為廉法取一二號兩籌列方籌左於列籌並數得八八九在第七格除實盡即七為廉次率為隅法為次啇而本方之根得六十七
　　又如有積三萬二千○四十一列為實從末向前隔
　　一位作一㸃得三㸃知啇三
　　位㸃在實首三為單數視籌
　　自乘無三近少為一平行取
　　一為方法為初啇即以一減
　　三存二以並次㸃實得二二
　　○為餘實次倍初根得廉法
　　二取二號籌列左籌方於列
　　籌並數得近少者一八九在
　　第七格即七為隅法為次啇
　　列初啇之右以一八九減餘
　　實得三一以並三㸃之實得
　　三一四一為次餘實次倍前
　　根十七得三四為次廉法取三四兩籌列方籌左於列籌並數得三一四一在第九格適盡即九為三啇為隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九又如有積六十五萬一千二百四十九列為實從末
　　位九向前隔一位作一㸃得三
　　㸃知啇三位㸃在次位則實
　　首六為實數也視籌自乘無
　　六五近少為六四平行取八
　　為方法為初啇以六四減六
　　五存一以並次㸃實得一一
　　二為餘實次倍初根得廉法
　　一六取一六兩籌列方籌左
　　於列籌並數查無一一二亦
　　無近小數即知次啇為○也
　　則於八下加○以當次啇而
　　以一一二並三㸃之實得一
　　一二四九為次餘實次倍前
　　根八得一六進一位得一六
　　○為次廉法取○籌列一六兩籌之右於列籌並數得一一二四九在第七格適盡即七為三啇為隅法列前二啇之下而本方之根得八○七
　　其啇而不盡者以法命之則有二術其一如前第一
　　六十六萬二千七百四十九
　　如前三啇得根八百一十四
　　餘積一百五十三更啇一當
　　倍廉加隅得一千六百二十
　　八今不足則命為未盡者一
　　千六百二十八之一百五十三也
　　法曰凡開方不盡實其命分法倍前啇數〈二廉也〉加一〈立隅〉為母〈續啇之〉餘實為子依法命之然終不能盡如設積六十求開方初啇七餘十一倍七加一得十五為母十一為子可命六十之根為七又一十五之一十一而縮試並初啇及分數自之得四十九又二二五之二四三一約之為一十一是二二五之一八一以並四十九得五十九又二二五之一八一不及元積若倍初啇不加一為母命為十四之十一試自之得六十○又一九六之一四一過元積而盈
　　其一欲得其小分則通為小數如前第二法更開之當於餘積之右加兩圏〈是原積之一化為百也〉如法開之得根數當命為一十分之幾分也或加四圏〈是原積之化為萬也〉
　　得根數命為一百分之幾分
　　也或加六圏〈一化為百萬〉得根命
　　數為一千分之幾分或加十
　　圏〈一化為百萬萬〉　得根命為十萬
　　分之幾分也
　　如圖原積六六二七四九已啇得八一四不盡者一五三欲得其細分加六圏〈是一百五十三化為一萬五千三百○十○萬○千○百○十○也〉更開得數為○九三因空位六則命為一千分之○百九十三也欲更細更加空位終不能盡何故六十者本無根之方也
　　四開立方法
　　開立方亦有積數有啇數啇有方法有平廉法長廉法隅法置積為實從末位向前隔二位作㸃每一㸃有一啇次視立方籌內再乘之數有與實首相等者即除之若無相等則取其近少者除之但實首以左第一㸃為主若㸃前無位則再乘止於零數如一如八是也若㸃前有一位則再乘應有十數如二七如六四是也若㸃前有二位則再乘應有百數如一二五至七二九是也而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所用數是八八為二之再乘在第二格即二為初啇也若有二㸃者以初啇數自乘而三倍之如二之自乘得四四之三倍為一十二為平廉法以初啇數三倍之如二之三倍得六為長廉法次以平廉法數查籌列立方籌左又以長廉法數查籌列立方籌右次視左籌與方籌並之橫行內數啇其少於餘實者平行取數為約數即以此數為次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之數與長廉法數相乘進一位書於約數之下以此二數併之除其餘實即得立方根不盡者以法命之三㸃以上倣此
　　解曰立方形者六方面積為一實體也每面等每邊每角各等立方積者一數自乘再乘之所積也線有長面有長有廣體有長有廣有高所謂一乘作面再乘作體是也開立方者亦以積求形之術其異於平方者平方為面面有四等線開之求得四線之一為方根也立方為體體有十二等線開之求得十二線
　　之一為方根也三乘方以上亦
　　皆十二線有等有不等而皆求
　　其最初第一面之一界線為方
　　根也今解立方廉隅法姑作分
　　合圖論之若截木或鎔蠟作八
　　體分合解之尤易曉矣　其一
　　作六方面形一事諸面線角皆
　　相等此名方法體即上圖甲乙
　　丙丁立方體是也　其二作六
　　面扁方體三事其上下面各與
　　方法等旁四面之高少於方法之高〈任意多寡開訖乃得〉而四稜線皆等此名平廉法體即上圖戊己庚辛是也其三作六面長方體三事其上下左右四面與平廉之旁面等兩端之四界線皆與平廉之高等此名長廉法體即上圖壬癸是也　其四作六面小立方體一事六面之廣袤皆與長廉之兩端等此名隅法體即上圖子丑是也
　　右度數家以度理解數學〈度者㸃線面體量法也數者一十百千等算法也〉亦以數理解度學如鳥兩翼交相待而為用也今依
　　此借數以明立方之體如初方
　　體之邊各四則一面之積為一
　　六其容積六四平廉之兩大面
　　亦一六其高設五相乘得容積
　　八○長廉之長亦四其兩端之
　　高廣各五則其容積一○○立隅之邊各五則其容一二五此八體並之以三平廉合於初方之甲丙乙丙丙丁三面以三長廉補三平廉三闕以立隅補三長廉之闕即成一總立方也　又算法單數乘單數生單數〈如四乘六為二四是為六者四積為二十四而其根四乃單數也〉單數乘十數生十數〈如四乘三十為一二是為三十者四積為一百二十而其根二乃十數也〉十數乘十數生百數〈如三十乘八十為二四是為八十者三十積為二千四百而其根四乃四百也〉推之則十乘百生千百乘百生萬也　今依此推前總立方以四十五為全根其初方之一邊為四十其面則為四十者四十是一千六百也是十乘十生百也其容積為一千六百者四十是六萬四千也是十乘百生千也　其平廉之兩大面與初方之面等亦一千六百其高五是單數以乘百得八十者百是八千也是單乘百生百也立廉三三倍之得二萬四千也　長廉之高廣皆與平廉之高等為五是單數其面為二五單根也其長與初方等為四十相乘得四十者二十五是為一百者十則一千也是單乘十生十也長廉三三倍之得三千也　立隅體與平廉之高等為五是單數自乘得二五亦單數也再乘得一二五亦單數也是單乘單生單數也　已上共得九萬一千一百二十五為兩啇之總立方積其根四十五右以數明立體之理其在籌則右行自一至九者立方根數也左三行自一至七二九者即方根自乘再乘之數也自乘再乘止於三位如三自乘再乘為二十七九自乘再乘為七百二十九故列實下隔二位作㸃查實下幾㸃知立方根當幾位也法先於第一㸃以上查實簡籌或適足或畧少者即初啇之立方體平行求得其根也　次初啇根自乘得平廉面與初啇之體等三倍者三平廉也平廉之籌列立方籌之左者立方籌之右行為單數中行為十左行為百平廉籌右行之號亦百數也以合於立籌之左行共為幾百也　次平廉之面積三偕初啇之根三並為分率數以求六廉一隅之高於立籌平籌上求餘實之近少數〈不欲太少為尚有長廉之容故也〉約可用者平行取根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅籌上所自有也又平行取次啇之平方積乘長廉籌之數得長廉之容長廉之號為十數以列於約數之下進一位作十數　次求七體之總積初體之外有平廉三長廉三立隅一其定位立隅在本籌之上為單數次啇與三長廉法相乘得數為三長廉之實此數之號為十數三平廉之籌加於立籌之外其號為百數通併之以除餘實未盡而原實有三㸃者以先兩啇之總方為初體復如前法三啇之亦並八體為一總體不及啇為一者依法命之
　　同文算指曰先得之根〈初啇也〉乘於三十今曰三之〈長廉法也〉所得之號為十數也又曰先根之方〈初體之面〉乘於三百今曰三之〈平廉法也〉所得之號為百數也一也
　　假如有積四千九百一十三別列為實從末位三向前隔二位各作一㸃即知啇二位也㸃在實首四為單數視立方籌內再乘之數無四下八過實用其上一實之近少數也平行向右取一為方法〈即方根〉另列之為初啇即以一〈千〉減四〈千〉存三〈千〉以並次㸃之實得三九一三為餘實次用初啇一自乘〈為平廉面〉而三倍之〈三平廉故〉得三百為平廉法〈亦名倍方數〉取三號籌列立方
　　籌左又以初啇一十三倍之
　　〈一者長廉邊三長廉故三倍〉得三為長廉
　　法〈亦名倍根數〉取三號籌列立方
　　籌右於列籌〈立方籌與平廉籌也〉內並
　　數取其少於餘實者為約數
　　第其中有長廉之實不得過
　　少又不得多多者如第九格
　　遇三四二九以為約數近少
　　矣另列之向右平籌自乘數
　　內平行取八十一乘於長廉法三得二百四十三列近少數〈三四二九〉下進一位並得五八五九則多於餘實也至第七格遇二四四三以為約數另列之向右平籌自乘數平行取四十九以乘長廉法三得一百四十九列近少數〈二四四三〉下進一位並得三九一三除實盡〈平廉籌之二千一百平廉實也立方籌之三百四十三立隅積也平方籌之四十九長廉兩端之面也以乘長廉法三十得一四七長廉積也諸籌之上一一分明〉平行求其根得七即七為次啇也得總立方之根一十七
　　又如積九百一十五萬九千八百九十九別列為實從末位九向前隔二位作一㸃凡三㸃當啇三位也㸃在實首九為單數視立方籌內再乘之數無九下二七過實用其上八實之近少數也平行向右取二
　　為方法另列為初啇即以八
　　減九存一以並下位得一一
　　五九為餘實次用初啇二自
　　乘而三倍之得一十二為平
　　廉法取一號二號兩籌列立
　　方籌左又以初啇二三倍之
　　得六為長廉法取六號籌列
　　立方籌右於列籌〈立方與平廉共三籌〉內並數取其少於餘實者為
　　約數試之而無有〈最少者為第一格之
　　一二○一〉則知啇有空位於初啇
　　下作圏以當次啇復開第三
　　㸃之餘實為一一五九八九
　　九前二啇二○〈百十也〉自乘之
　　得四○○〈四萬也〉三倍之為一
　　二○○〈一千二百〉依數取四籌為
　　平廉法列立方籌左前啇二
　　○三倍之得六○取二籌為
　　長廉法列立方籌右於列籌
　　〈立方與平廉共五籌〉內並數取其少於
　　餘實者為約數至第九格方
　　得一○八○七二九另列之
　　向右平籌自乘數平行取八
　　十一以乘長廉法六○得四
　　八六○列近少數〈一○八○七二九〉下進一位並得一一二九三
　　二九除實不盡三○五七○
　　其三啇平行取根得九並初
　　二啇得立方根二○九不盡
　　者更欲細分之則用命分第
　　二法於餘實後加三圏得三
　　○五七○○○○為餘實依
　　上法再開之以前啇二○九
　　自乘為四三六八一又三倍
　　之為一三一○四三取此六
　　籌列方籌左為平廉法又以
　　前啇二○九三倍之為六二
　　七取此三籌列方籌右為長
　　廉法於列籌〈左籌七〉內並數取
　　其近少為約數試之至第二
　　格遇二六二○八六○八為
　　近少於餘實〈三○五七○○○○〉另列
　　之向右平籌自乘數內平行
　　取四乘於長廉法六二七得
　　二五○八列近少數〈二六二○八六
　　○八〉下進一位並得二六二三
　　三六八八以除實不盡四三
　　三六三一二即取右根二為
　　啇數依法命為一十分之二
　　分也若欲再開則餘實後又
　　加三圏得四三三六三一二
　　○○○為餘實依上法以前
　　啇二○九二自乘為四三七
　　六四六四又三倍之得一三
　　一二九三九二取此八籌列
　　方籌左為平廉法又以前啇
　　二○九二三倍之為六二七
　　六取此四籌列方籌右為長
　　廉法於列籌〈左九籌〉內並數取
　　其近少至第三格遇三九三
　　八八一七六二七為近少於
　　餘實〈四三三六三一二○○○〉另列之向
　　右平籌自乘數平行取九乘
　　於長廉法六二七六得五六
　　四八四列近少數〈三九三八八一七六
　　二七〉下進一位並得三九三九
　　三八二四六七以除實不盡
　　三九六九二九五三三即取
　　右根三為啇數依法命為二
　　百○九又一百分之二十三
　　分也若再開則餘實後又加
　　三圏得三九六九二九五三
　　三○○○為餘實依上法以
　　前啇二○九二三自乘為四
　　三七七七一九二九又三倍
　　之得一三一三三一五七八
　　七取此十籌列方籌左為平
　　廉法又以前啇二○九二三
　　三倍之得六二七六九取此
　　五籌列方籌右為長廉法於
　　列籌〈左十一籌〉並數取約至第三
　　格遇三九三九九四七三六
　　一二七為近少於餘實〈三九六九
　　二九五三三○○○〉另列之向右平籌
　　自乘數平行取九乘於長廉
　　法六二七六九得五六四九二一列近少數〈三九三九九四七三六一二七〉下進一位並得三九四○○○三八五三三七以除實不盡為二九二九一四七六六三即取右根三為啇數依法命為二百○九又一千分之二百三十三也餘實任開之終不盡何者無立方數不得有立方根也
　　算子錢法〈増〉
　　以籌布算其乘除諸法皆能去繁就簡不待論矣若算章中有用開平立方者有用開無名方者至難至賾也用籌則比他算特為簡易故附載此法　按九章算衰分篇中有借本還利皆用乘法即此法之還原也今法必用開方故為難耳
　　假如借銀若干滿若干年還本息總銀若干問每年息銀若干
　　如本銀一百兩滿一年總還一百二十兩問息若干法兩數〈本銀一總銀一〉相減餘二十是百兩一年之息也又滿二年總還一百四十四兩問每年息例若干法以母銀數〈一百〉乘總還數〈一百四十四〉得數為積開方得根數為實以母銀為法減之所餘者為原銀一年之息也若滿三年總還一百七十二兩八錢問息例若干又滿四年以上皆息轉為本紛莫可尋則依圖法求之
　　圖說
　　圖有直行有橫行直行者每年所用之法與數橫行者諸同類之法同類之數也其直行之首無年數無總銀數者則上年之次法或又次法任用之〈白字為法墨字為數〉
　　第一橫行為滿年數〈借日至還日積年之數〉
　　第二橫行為所還之總銀〈母銀並息銀之總數〉
　　第三橫行為母銀所用之法〈或母銀自乘或再乘三乘等以求積而開方〉第四橫行為母銀用法所乘出數與總銀相乘得數第五橫行為各年所用開積之本法〈如開方或開立方等〉
　　第六橫行為所求之數〈即滿一年之總數本息俱見者也〉減原銀得息例
　　用法
　　假如初借母銀三兩滿四年總還銀四十八兩問每年若干起息〈母銀三兩滿一年總還若干即轉為次年之母依前例起息總應若干又轉為母如是嵗嵗遞加母數漸増息例如舊〉
　　法依圖試查滿四年直行其第一格為年數〈即四〉第二格為總還〈四十八兩〉之銀〈原銀若干息例若干各依本例積成總數〉第三格母銀所用之法為再乘即以原銀三再自之得二十七第四格以二十七〈母所乘出之數〉乘四十八〈總銀〉得一二九六為實積第五格本年所用開積之法為開平方二次〈積為一二九六〉初開得三十六再開得六六者滿一年之總銀減原銀三餘三為滿一年之息
　　又如母銀五十八兩四錢滿三年總還銀一百二十五兩三錢問一年息若干
　　法用本行第三格曰自乘即原數自之得三四一○五六以總銀乘之得四四九二七六一六八第五格法曰開立方用法開得七十六兩五錢〈不盡實加三位開零根得〉八分九釐八毫不盡減原銀餘十八兩一錢八分九釐八毫為滿一年之息依此例求母銀百兩息幾何用三率法原銀為一率息例為二率今銀〈一百〉為三率依法得四率三十一兩一錢四分六釐九毫不盡為百兩一年之息
　　此用遞加倍數之法詳見算學全義義見幾何第十卷
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷二十二>
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷二十二>

















　　新法算書卷二十二








　　逺鏡說
　　人身五司耳目為貴無疑也耳與目又孰為貴乎昔亞利斯多穪耳司為百學之母謂凡授受以耳學問所以彌精彌廣也若目司則巴拉多稱為理學之師何者蓋當其陡與物遇見其然即索其所以然由粗入細由有形入無形理學始終總目為牖矣而不寧惟是明光色光較形聲臭味獨居上分不既屬於目乎觀夫亞尼瑪以目為居止孟子謂存乎人者莫良於眸子則

　　凡情開意動之微必達於目善惡莫掩有如執左契然者且耳之於聲也有待目之於形也無待聞每後見每先聞每似見每真聞僅有輕重清濁見豈特𤣥黃采素而已哉物體有大小方圓邪正動靜數有多寡位有逺近疇非於目辨者乎誠若是則目之貴於耳也明矣雖然耳目皆不可廢者也則佐耳佐目之法亦皆不可廢者也第佐耳者用力省以管則逺以螺則清利物出於天成其巧妙自無可得而言佐目者用力煩管以為眶鏡以為睛利物出於人力其巧妙誠有可得而言者無可得而言者言之則誕有可得而言者秘之則欺此逺鏡說之所由述也天啟六年嵗次丙寅仲秋月大西洋湯若望題
　　利用〈計二端〉
　　夫逺鏡何昉乎昉於大西洋天文士也其用之利可勝言哉蓋凡人視近與大易視逺與小難逺鏡則無逺近無大小者也約畧言之天象地形不出其照而至若山
　　海之間尤為備盜之先資補益
　　人世亦大矣奈何忽為悅目快
　　心之具也今試姑舉一〈二〉以概
　　其用
　　一利用於仰觀〈計六條〉
　　用以觀太隂則見本體有凸而
　　明者有凹而暗者蓋如山之高
　　處先得日光而明也又觀月時
　　試一目用鏡一目不用鏡則大
　　小迥別焉
　　用以觀金星則見有消長有上
　　下如月焉其消長上下
　　變易於一年之間亦如月之消
　　長上下變易於一月之內又
　　見本體間或大小不一則驗其
　　行動周圍隨太陽者居太陽之
　　上其光則滿居太陽之下其光
　　則虛本體之大小以其居太陽
　　右之上下而別焉
　　用以觀太陽之出沒則見本體
　　非至圓乃似鷄鳥卵蓋因塵氣
　　騰空遮𫎇恍惚使之然也〈即此可知
　　塵氣騰空高逺幾許〉若卯酉二時併見太
　　陽邊體齟齬如鋸齒日面有浮
　　游黑㸃㸃大小多寡不一相為
　　隠顯隨從必十四日方周徑日
　　面而出前㸃出後㸃入迄無定
　　期竟不解其何故也
　　用以觀木星則見有四小星左
　　右隨從䕶衛木君者四星隨木
　　有規則有定期又有蝕時則非
　　宿天之星明矣欲知其與木近
　　逺幾何宜先究其經道圏處合
　　下即騐矣
　　用以觀土星則見兩傍有兩小
　　星經久漸益近土竟合而為一
　　如卵兩頭有兩耳焉
　　用以觀宿天諸星較之平時不
　　啻多數十倍而且界限甚明也
　　即如昴宿數不止於七而有三
　　十多鬼宿中積屍氣觜宿中北
　　星天河中諸小星皆難見者用
　　鏡則瞭然矣又如尾宿中距星
　　及神宮北斗中開陽及輔星皆
　　難分者用鏡則見相去甚逺焉
　　是宿天諸星借鏡騐之算之相
　　去幾何絲毫不爽因之而觀察
　　星宿本相星宿所好星宿正度
　　偏度於修厯法尤為切要以上
　　六條是聊述觀天之槩也
　　一利用於直視〈計三條〉
　　樓臺高處用之則逺見山川江
　　河樹林村落雖人物行動如在
　　目前若陡遇兵革之變無論白
　　日即深夜借彼火光用之則逺見敵處營帳人馬器械輜重便知其備不備而我得預為防宜戰宜守或宜安放銃砲功莫大焉
　　海上用之則數十里外之行舟人但見為塊然如山石者我能別其船舟何等帆旂何色或為友伴或為強徒與夫人數之多寡悉無謬焉
　　居室中用之則照見諸逺物其體其色活潑潑地各現本相大西洋有一畫士秘用此法畫種種物像儼然如生舉國竒之以上三條是聊述地海人間之槩也
　　附分用之利〈計三端〉
　　夫逺鏡者二鏡合之以成器者也其
　　利用既如斯矣乃分之而製造如法
　　則又各利於用焉即中國所謂眼鏡
　　也試言之
　　一利於苦近視者用之〈一條〉
　　世有自少好逺游喜逺望者年老目
　　衰則不苦視逺物而苦視近物不耐
　　三角形射線而耐平行射線習性使
　　然耳若用逺鏡之中高鏡則物象一
　　㸃之小散射鏡面從鏡平行入目巧
　　合其習性視近不勞而自明也然又
　　有未嘗好逺遊逺望而平日專務平
　　直是視者亦必老至力衰則視物不
　　能斂聚其象象形直射恍惚不真若
　　用中高鏡則物形雖小而暗視之自
　　大而顯矣
　　一利於苦逺視者用之〈一條〉
　　有書生目不去書史視不踰幾席習
　　慣成性喜三角形視近不耐平行視
　　逺者亦有非繇習慣但眸子精力不
　　開廣視物象不得員而滿者是二人
　　者用逺鏡之中窪鏡則物象從鏡角
　　形入目乃合其習性視物自明矣
　　一分用不如合用之無不利〈一條〉
　　人有目精全衰視物全暗者則與無
　　目同天日不能照固非鏡之所能與
　　力也乃有目精至強視物至明者用鏡亦反加翳焉何也吾人睛中有眸張閉自宜睛底有□屈伸如性高窪二鏡自備目中何以鏡為若二鏡合用之於逺鏡則不然逺鏡者目明益明象顯益顯實備非常之用者也
　　原繇〈計三端〉
　　一易象不同而逺鏡獨妙於斜透以為利用之原〈計三條〉
　　是鏡之妙妙乎能易物象也何謂易象蓋凡物之有形者必發越本象於空明中以射人目若象目交接之間無所阻礙則象從徑線直射入目矣茍如為他物形所間則本象或斜透其照而易者有之或反映其照而易者有之乃是鏡易象之妙則妙乎有斜透而無反映此其所以利用也
　　何謂斜透而易反映而易蓋象與目交而為物所間槩有二焉一曰不通光之體一曰通光之體不通光之體可借喻鏡面夫鏡有突如球平如案窪如釜之類其面皆能受物象而其體之不通徹皆不能不反映物象反映之象自不能如本象之光明也所謂反映者此也通
　　光之體又分二體一謂物象遇大光
　　明易通徹者比發象元處更光明而
　　形似廣而散焉一謂物象遇次光明
　　難通徹者比發象元處少昏暗而形
　　似斂而聚焉今試以象遇大光明易
　　通徹者言之即如前圖甲象居盂底
　　直射乙目乙目可視乙目偏東則象
　　不現而目不見礙於盂邊也若充水
　　齊邊則象上映於水遇空明氣之大
　　光明即邪射而象更顯焉甲象更廣散於丙丁邊東目視丙邊即視丙象而象體似居戊處矣即東目更移東尚可見象而象體若更浮戊上矣是又因象映而然也又如舟用篙櫓其半在水視之若曲焉張㫁取魚多半在水視之若短焉乂魚者見魚象浮游水面而投乂刺之必欲稍下於魚乃能得魚蓋水氣兩隔恍惚使然漁夫習之熟知其必然而不知其所以然耳試以象遇次光明難通徹者言之即如上圖甲象在空明氣盂底無水直射盂底乙處乙處可視甲象若戊處則象不射戊
　　不見礙於盂邊也盂內充水至於丙
　　丁則空明甲象入水稍暗斂聚於丙
　　丁邊戊視丁邊則明見甲象而象體
　　似居己處矣凡此皆所謂斜透者也
　　夫所云間隔物體大光明能廣散物
　　象次光明能斂聚物象蓋必大與次
　　不同體者也若前後二鏡亦既同體
　　矣而亦有廣散斂聚之別則以同體
　　而不同形耳前鏡形中高類球鏡而
　　通徹焉是即次光明意也所以照日光能漸聚大光於一㸃而且照日生火照第一等星光能透明於紙上夜借燈光亦能逺照後鏡形中窪類釜鏡而通徹焉是即大光明意也所以照日光則漸散大光至於無光而且照日不能生火不能照星不能逺照正與前鏡相反然照象則甚鮮明也
　　一射線不一而逺鏡兼攝乎屈曲以為斜透之繇〈一條〉
　　光明之體間隔物象者有正有邪而物象之來有直有
　　偏以故象直矣而體有未正則象來
　　之線尚多屈曲況象偏乎體正矣而
　　象有未直則象來之線亦多屈曲況
　　體邪乎若二鏡照物之時則必皆正
　　者也但物象射線不能皆直蓋必射
　　線直入鏡之中央方無斜透不然射
　　線去中或近或逺皆不免屈曲所以
　　皆不能無斜透也
　　一視象明而大者繇乎二鏡之合
　　用〈計二條〉
　　二鏡之性乃相反以相制者也獨用
　　則偏並用則得中而成器焉夫逺物
　　發象從平行線入目則目視逺物亦
　　必須從平行線視象假若二鏡獨用
　　其一則前鏡中高而聚象聚象之至
　　則偏偏則不能平行後鏡中窪而散
　　象散象之至則亦偏偏亦不能平行
　　故二鏡合用則前鏡賴有後鏡自能
　　分而散之得乎平行線之中而視物自明後鏡賴有前鏡自能合而聚之得乎平行線之中而視物明且大也前鏡視逺去目如法物象每見其大焉蓋以全鏡之體照物體之分分則見其大矣若鏡目相近則雖鏡體得照全象分分不遺而象則小矣後鏡視逺近目如法視物每見其大焉蓋以全象視物之體若鏡目相逺則以象之一分視物之體而已總之分二鏡而用之則不免昏暗套筒而合用之則彼此相濟視物至大而且明也
　　造法用法〈計九端〉
　　造鏡至巧也用鏡至變也取不定之法於一定之中必須面授方得瞭然若但憑書不無差謬今亦撮其大畧而已
　　一鏡〈一條〉
　　造法曰用玻璃製一似平非平之圓鏡曰筒口鏡即前所謂中高鏡所謂前鏡也製一小窪鏡曰靠眼鏡即前所謂中窪鏡所謂後鏡也須察二鏡之力若何相合若何長短若何比例若何茍既知其力矣知其合矣長短宜而比例審矣方能聚一物像雖逺而小者形形色色不失本來也
　　一筒〈一條〉
　　鏡止於兩筒不止於兩筒筒相套欲長欲短可伸可縮一逺近各得其宜〈一條〉
　　用法曰鏡筒相宜以視二百步為定則因之而視數十里視天象視地形無不同之若視二百步以內物形彌近筒鏡彌長逐分伸長物相明亮即為限止大要伸縮宜緩而不宜急
　　一避便觀〈計三條〉
　　用以視太陽金星則二者光射明烈故須於近鏡上再加一青綠鏡少禦其烈鏡筒再伸分寸許則光相不目力乃精視乃不幻也
　　視太陽又有兩法一加青綠鏡如上所云一不必加青綠鏡只以筒鏡兩相合宜以前鏡直對太陽以白淨紙一張置眼鏡下逺近如法撮其光射則太陽本體在天在紙絲毫不異若用硬紙尺許中翦空圓形冒靠後鏡上則日光團聚下射紙面四暗中光黑白更顯體相更真矣若遇依稀雲霧天太陽本體居明暗中不用綠鏡不用硬紙只以平常格式用目視更快也
　　用以視地形物色前鏡勿對日光以日光照鏡則鏡光與相反昏也
　　一安放調停〈計二條〉
　　將鏡置諸本架或倚著實落處使不搖動視鏡止用一目目力乃專光益聚而象益顯也
　　視欲開廣將鏡牀少少那動欲左而左欲右而右欲上而上欲下而下架無不隨者只用螺絲釘寧住宜堅定不移
　　一衰目短視用訣〈一條〉
　　清目人用此鏡逺視物體更明且大無惑也乃衰目人短視人亦可用蓋筒內後鏡伸長能使易象於前鏡者仍平行線入目縮短能使易象於前鏡者反以廣行線入目一伸一縮能稱衰目短視人則巧妙又在伸縮得宜焉又短視人尋常用眼鏡者今用逺鏡仍用本眼鏡照之亦可
　　一借照作畫〈一條〉
　　室中照鏡畫像全閉門窓務極幽暗或門或窓開一孔大小與前鏡稱取出前鏡置諸孔眼以白淨紙如法對置內室則鏡照諸外像入紙上絲毫不爽摸而畫之西土所謂物像像物者此也
　　一習用訣
　　欲知鏡之能照逺及小與夫晝夜無異則必於平常試驗置書數十步內晝借日光夜借燈光用鏡照之字字可誦比諸几案上更顯而大焉平常習熟臨大用時庶可無疑謬也
　　一去垢訣〈一條〉
　　兩鏡或受塵垢勿用手揩摸只以新淨絹帛輕輕拂拭即復光明
　　用鏡測星法
　　前後二鏡各加一積楮圏圏心開圓孔露鏡而以其周掩鏡邊蓋惟邊掩而心孔攝聚星象益加顯著故也孔之大小視鏡光力前圏孔之大以盡見月徑為率月徑約三十分依此為孔以求兩星相距或相凌犯逺近分數舉目可得其法先以鏡向月心目向鏡心一窺而盡得月左右邊際是可凖而用也乃即用以窺星倘亦一窺之中兩星並見則知彼此相距必在三十分內矣於是移筒使一星切居鏡邊以求此星與彼居中星相距之逺近或當月徑之半而贏或當月徑之半而縮其為幾何分數豈不瞭然可辨乎然所謂一窺盡月徑者逺鏡之短者也若其長者所見轉狹一窺不盡必數移窺乃盡焉其法先用鏡定向月心目則左右任移以盡見月邊為率次以鏡切月邊平行徑內某影〈月有多影〉止記之又以此影切分為邊平行某影止記之如是數窺必盡月徑即可得每窺滿圏所容之分數幾何於是用以測星或亦再三移窺則併移窺所得分數總計之即是兩星相距之分數矣
　　用鏡測交食法
　　安器於本架筒伸縮令得宜用以直對太陽或太隂焉餘法與視太陽前二法同外所用淨紙預畫一線成圏圏中畫徑線一平分之徑線上畫短線十平分之圏線之大約以二寸為率過大與過小皆足礙光臨測時務使紙與鏡直對平行毋少欹側其相去逺近以光滿圏為率鏡一面向紙一面向日或月當其初虧止見光劣有似游氣後乃黒影漸侵邊內明缺此時務使圏之徑線正與缺當乃視短線即得交食分數













　　新法算書卷二十三