新法算书 (四库全书本)/卷088
| 新法算书 卷八十八 |
钦定四库全书
新法算书卷八十八 明 徐光启等 撰测量全义二
第一题
平靣测远〈三支〉
一支测两物之能到者 一法曰甲乙
为地平靣上江河之广或土田道里之
远欲从甲测去乙几何于甲角上平安
象限仪之心〈后言象限或言仪平安言安省文〉两边向
乙向丙作直角次从甲向丙行任取一十二步为丙点丙上再安象限边向甲窥衡望乙交象限之周线于丁定丙角为四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙边丙角而求甲乙边法为全数与甲丙边外数若丙角之切线与甲乙边外数也算得一十三步又三之一为甲与乙平靣相距之远〈象限仪法见本篇第三卷窥衡或作指尺义同〉二法曰丁乙为两所不能作直角或不欲或地非平靣〈山水林木屋舍所隔〉则丁安象限边向乙窥衡向丙定丁角为六十二度向丙行
任取一十二步丙上再加象限边向丁窥衡望乙定丙角为八十度成丁乙丙角形此形有丁丙边丁丙两角自有乙角而求乙丁边法乙角之正
与丁丙边外数若丙角
之正与丁乙边外数算得一十九
步又五之一为乙与丁相距之远丁
为钝角亦如之 三法曰或从丁向
丙线持象限前却取得甲直角是乙
丁为直角之对边也法全数与外甲
丁若丁角之交线与外乙丁
四法曰若丁为钝角上安象限面移丁丙线外边向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角为五十度以并戊丁乙直角得钝角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁边一丈二尺丙角二十四度法乙
角之正与外丁丙若丙角之正
与外乙丁得一丈七尺七寸
五法曰丁安象限边向乙衡向任取
之丙表得二丈从丁直视过丙至己
任定丙己为一丈以上安象限边向
戊衡向丙令己角与丁角等末前却令戊过丙至乙作直线则丙己与己戊若丙丁与丁乙
论曰丁乙丙丙己戊两角形相似何者
己丁两角等丙上两交角又等是形与
形相似〈六卷四题〉即相当边之比例必等用
三率法丙己一丈为一率己戊三丈为次
率丁丙二丈为三率算得六丈为乙丁
六法曰甲乙为两所从乙引长任取二
十步为丙又任作丙丁戊直线任取丙
丁二十五步丁安象限边向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前却取戊令戊角与丁角等量丁戊得六十一步法丙丁与丁戊若丙乙与乙甲〈六卷二〉算得十二步又
一十五之四
不用布算法
七法曰乙丁为两所乙安象限边向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次从丙乙直线上求戊令戊角半于丁乙丙角则戊乙与乙丁等
论曰丁乙丙外角与相对之两内角等〈一卷三十二〉戊角半丁角亦半两角等两腰亦等
八法曰乙上安象限作六十度角次于乙丙直线上求丙亦作六十度角则乙丙与乙丁等
论曰乙丙两角各六十度则丁角
亦六十度而乙丁丙为三边等形
九法曰若乙丙短则向乙向丁求
甲直角得甲乙为乙丁之半
论曰丁乙甲直角形乙角既六十
度则丁角三十度因角与角之正若边与边是三十度之正全数之半也故乙甲为乙丁之半也十法曰任设乙角为四十度次以半周上馀度平分为七十度于乙丙线上前却令丙角亦七十度则乙丙与乙丁等论曰丙角为外角之半丁角亦半乙丙与乙丁两线必等
用矩度法 用矩度者以器上小形当所测大形也如所测为甲乙则矩度之边壬丙或己辛与甲乙平行其相当数为比例必等所设两在边为甲丙则矩度之边壬辛或丙己与甲丙平行其相当数为比例必等〈一卷
二十九三十二题〉置法同前甲恒为直角
十一法曰一解窥衡交线〈后省曰交或曰视交〉在对角则丙甲与甲乙等
论曰丙己辛丙甲乙两角形相似何
者两形有己甲各直角同用丙角则
两相似〈六卷四题〉而矩形丙己与己辛等
则丙甲与甲乙亦等二解视交在两
所平行边如戊则丙己与己戊若丙甲与甲乙论曰丙己戊丙甲乙两角形相似何者两形有己甲各直角同用丙角则两形相似〈六卷四题〉而矩形之丙己与己
戊若甲丙与甲乙
三率法丙己一百分为首率己戊七十
分为二率丙甲一十五步为三率算得
甲乙十一步半〈两所平行边后省曰平边〉
三解视交在两测平行边如丁则丁壬
与壬丙若丙甲与甲乙〈两测平行边后省曰立边〉
论曰丁壬丙丙甲乙两角形相似何者两形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲两角在平行线内则相当线之比例必等 三率法丁壬六十分为一率壬丙百分为次率丙甲一十二步为三率算得二十步为甲乙
省算法 十二法曰交戊甲丙六十
步即于丙己边自己至未取六十分
与甲丙比例等自未至视线作未子
为丙己之垂线从子作子午为辛己
之垂线得子午戊形戊午之若干分
为甲乙之若干步
论曰子午戊丙甲乙两角形相似何者两形各有直角
有相等之戊角与乙角则各边之比
例等先作未己或子午与甲丙比例
等则戊午甲乙比例亦等 若交在
丁从壬至午取六十分作午子垂线
二支测两所之不能到者
一法曰乙丙为两所俱不能到独甲
可到即于甲上立表令甲乙丙为直
线安象限边向乙向丁行至丁得若干步安象限于丁边向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁两直角形甲乙丁角形有甲丁边丁角可求甲乙边〈本书首卷十二题二解〉甲丁丙角形有甲丁边丁角可求甲丙边末以甲乙减甲丙所馀乙丙用切线可求乙丙边如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度则甲丁为全数而甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线两切线之较为乙丙用三率法全数一甲丁二十四步二切线较三算得一十步一十五之七为乙丙
二法曰乙丙为两所直线上更
任取两所如丁如庚次作庚壬
线任取壬点安象限边向丙窥
庚定壬角之度次辛点上安象限向乙向庚游移令辛角与壬角等次戊安象限向丁〈乙丙直线上〉向庚游移令戊角与壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各几何用三率法与戊庚与辛壬若庚丁与乙丙
三法曰乙丙直线上任至一处如庚庚上安象限边向乙丙窥丁定丁庚乙角之度又从庚丁直线上至戊戊
上安象限作庚戊己角与丁庚〈乙角〉等即
戊己线与丙庚平行次于巳上窥过丁
到丙戊己之间游移窥过丁到乙得辛
则戊丁与辛己若丁庚与乙丙
论曰丙乙丁辛己丁两角形相似戊辛
丁乙庚丁两角形亦相似则各边之比
例自等
省算 四法曰乙庚为两所直线上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限边向甲窥乙窥庚作甲丁乙甲
丁庚两角次甲乙直线上寻戊作
甲戊丁为乙丁甲之馀角寻巳作
甲己丁为甲丁庚之馀角则得戊
己与乙庚等
论曰甲乙丁甲戊丁两形等何者
戊为甲丁乙之馀角则与乙角等
同用甲丁边故两形等依显甲庚丁甲丁己两直角形亦等夫庚甲甲己既等减相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等
五法曰甲丁直线上取戊安象限窥乙
作戊角为四十五度丁上窥庚亦令丁
角为四十五则戊丁与乙庚等〈戊甲乙为直角〉论曰丁戊各半直角则庚与乙亦如之
甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然减相等之甲乙甲戊
则所存亦等
六法曰若庚乙丁戊两线上所得角未
真则于乙庚线上取丙安象限作六十
度角丙丁线上寻戊寻丁望乙望庚作
戊丁二角各六十度则戊丁与乙庚等
论曰丁丙庚角形之三角同为六十度乙戊丙亦如之减相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等
七法曰置丙角六十度令戊丁为
两直角则戊丁为庚乙之半
论曰庚丙丁乙丙戊两直角形有
丙角六十度乙角必三十度因边与边若角与角之正则三十度之正戊丙为全数乙丙之半又庚丙为全数丁丙为庚角之正视全数亦半庚丁乙戊既平行则庚丙与丁丙若乙丙与戊丙分之乙丙与戊丙若庚乙与戊丁戊丙为乙丙之半则戊丁亦乙庚之半八法曰若丙为钝角则以丙角之馀度平分之次于丙丁线上寻戊寻丁各作丙角馀之半则戊丁与乙庚等
论曰乙丙戊庚丙丁两角形相似乙戊庚丁四角等则边亦等减相等之戊丙乙丙所存
之戊丁乙庚亦等
用矩度
九法曰庚向乙直线上行取甲
甲上安矩度作甲丁垂线行至
丁得若干步安矩度边向甲窥
乙与庚各交矩度边 一解交
乙庚平行边于己于戊则丁壬
与戊己若丁甲与乙庚〈戊己与乙庚平行故曰平行边〉
论曰己丁壬庚丁甲两直角形同用丁角则相似是丁壬与壬己若丁甲与甲庚又丁壬戊丁甲乙两直角形同用丁角亦相似是丁壬与壬戊若丁甲与甲乙更之丁壬与丁甲若壬戊与甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲两全内所取之分也〈五卷十一〉则所馀戊己与乙庚若壬己与甲庚亦若丁壬与丁甲矣
三率法丁壬一百分为首率戊己四十分为次率甲丁六步为三率算得二步又十分之四为乙庚
二解交立边于午于子
论曰午丁辛丁庚甲两直角
形相似以求甲庚边子辛丁
丁甲乙两直角形相似以求
甲乙边庚甲内减甲乙较为乙庚
省算于丁壬边取丁寅之分数如丁甲之步数〈每步取一分或二或三俱得〉寅上作垂线交两视线于酉于卯则卯酉之分数为乙庚之步数
论曰卯寅丁庚甲丁两形相似酉寅丁乙甲丁两形亦相似卯寅内减酉寅庚甲内减甲乙则丁寅与卯酉若丁甲与庚乙
三解互交两边于己于戊先求甲庚次求甲乙甲庚内减甲乙馀为乙庚边其求甲庚为丙己与丙丁若甲丁
与甲庚求甲乙为丁壬与壬戊
若甲丁与甲乙 省算丁壬边
上取丁寅之分数如甲丁之步
数寅上立垂线交两视线于午
于子则午子之分数如乙庚之步数
三支物莫能到复不能作线与参直
一法曰乙己两物不能到复不能向
乙己作直线则于甲上安象限边向
乙窥己成甲乙己角〈形向丁次〉行至丁得
若干步上安象限边向甲窥乙成甲
丁乙角形复窥己成丁乙己角形若
乙甲丁形有丁角为三十八度丁甲
十步而求甲乙边法为全数与外甲丁边若丁角之切线与外甲乙边算得七步又六十之四十九〈若甲非直角则定其角之度〉次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己边法为己角之正与外甲丁边若丁角之正与外甲己边算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙边七步又六十之四十九甲己边一十五又六十之四十九而求乙己边即从乙到戊作垂线分本形为两直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊边法为全数与外甲乙边若乙角之正与外甲戊边算得七步又六十之五次求乙戊边法为全数与外甲乙边若甲角之正与外乙戊边算得三步又六十之一十八末于甲己内减甲戊馀八步又六十之四十四为戊己其乙戊己角形有乙戊戊己两边以句股法求之得乙己九步有竒
二法曰任内丙表安象限边向乙窥巳
定己丙〈乙角〉之度丙乙直线上取丁安象
限边向己窥过丙到乙定己丁丙角为
己丙乙角之半又于己丙直线上取戊
安象限边向乙窥丙到己令乙戊丙之角为丙角之半则得丁戊与乙己等
论曰丙丁己角为乙丙己外角之半则己角亦半夫角等者腰亦等则己丙与丁丙等乙戊丙角为乙丙己外角之半则乙角亦半而乙丙与丙戊等夫乙丙己丁丙戊两形之两腰等两腰间角等则乙己与戊丁两底亦等
第二题
斜靣测远〈三支〉
一支不论根之能到与否
一法曰乙甲为山之高其坡乙丙欲测坡若于于丙或左或右置象限作直角一边向丁至丁上置象限边向丙窥乙令丁为四十五度角则得丙丁与乙丙等
论曰乙丁丙直角形丁角四十五度则乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之对边也必等
二支根之能到者 二法曰置丙
象限边向甲根窥乙定丙角之度
此形有甲丙边丙角而求乙丙边
法为全数与外甲丙若丙角之割
线与外乙丙 三法曰丙甲直线上求丁置象限令其角为乙丙甲角之半则丙丁与乙丙等
四法用矩度
一解曰表在丁窥交平边于辛为
辛庚与辛丁若甲丁与乙丁
二解曰表在丙窥交为对角线依
句股法丙甲自之倍之开方得
三解曰表在戊窥交立边于己为
戊寅与戊己若甲戊与戊乙
五法省算矩边从丁到午取分数
如丁甲之步数立午子垂线成午
丁子角形与甲丁乙形相似则丁子之分数为乙丁之步数从戊亦如之
三支根之不能到者 六法曰丙
丁直线上用象限两次于丙于丁
成乙丙丁形此形有丁丙边丁丙
两角用正法得乙丙边
七法曰以意置乙甲垂线用丁乙
甲丙乙甲两角之切线较为一率
外丁丙为次率丙乙甲之割线为
三率所得为外率乙丙〈或丁乙甲交线为三〉
〈率所得四率乙丁〉
用矩度〈八法〉一解交平边法曰在丙交辛于甲丙直线上退至丁得若干步而交己则己辛与辛丁〈即辛丙〉若丁丙与丙乙
论曰壬辛丙角形与甲丙乙角形相似丁己壬角形与乙丁甲角形相似于壬己减壬辛甲丁减甲丙则丁丙与己辛相似
二解交立边法曰在丙交辛退丁交己则于矩靣上作子午线与丁戊平行截辛丁线〈即辛丙〉于子遇己丁线于
午成子午丁角形与丁丙乙角形相
似则子午与子丁若丁丙与丙乙或
矩靣外作辛庚线与丁戊平行则庚
辛丁形与乙丁丙形相似是庚辛与
辛丁若丁丙与丙乙次求辛丁线法
以辛戊戊丁各自之并而开方得所
求次求辛庚线法己戊与戊丁若辛
己与辛庚为丁己戊辛己庚两直角
形有庚丁两角在平行线内即相似故
论曰丁午子丁丙乙两形相似盖子午丁午丁戊为平行线内相对之两角等辛子午辛丙壬两角等〈在平行线内〉则乙丙丁辛子卯两馀角自等辛子卯午子丁两交角
亦等既两形之各角俱等即各边自
相似 省算取子午之分数为丁丙
之步数
三解互交法曰在丙交辛在丁交己
以平边引长之遇于庚成庚辛丁角
形则庚辛与辛丁若丁丙与丙乙
论曰庚辛丁乙丙丁两角形相似盖辛庚丁丙丁乙相对之两内角等壬辛丁角与甲丙乙角等其馀角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛与辛丁若丁丙与丙乙第三题
望高测远
一支平靣上有馀地 一法曰甲乙为
山或楼台而直线不能至甲欲借乙顶
测丙与甲相距之远则于丙上置象限
定角度却从丙到丁得若干步置象限
定角度乙丙丁角形有丁丙边丁丙两角可求乙丙边有乙丙边而求甲丙边法为全数与乙丙边若乙角之正与甲丙边
二法用切线乙为心甲为界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁两角切线之较则丙丁切线较与外丙丁步数
若甲丙切线与外甲丙步数
三法曰丙外不能作直线则或左或右
作丁丙乙直角行至丁置象限求作四
十五度角即丙丁得三十一步又三十
之二十三以乙丙为全数丙丁为丁乙丙角之切线丙甲为甲乙丙角之正是丁丙切线与外丁丙之步数
若丙甲正与外甲丙之步数
四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度为丙角之半却于地平靣之丙丁线上作丙丁戊角
与甲乙丙角等为二十六度丁戊线上求戊作直角则丙戊之步数即甲丙之步数
论曰丁戊丙甲丙乙两直角形有丁乙两角等乙丁丙为乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙两
腰必等丙丁戊形与甲乙丙形有
等角有同边即丁戊与甲丙必等
用矩度 五交平边法曰丙上立
矩度成午壬丙形与甲乙丙形相
似丁上立矩度成午己丁形与丙
丁乙形相似则己午与壬午若丁
丙与甲丙
六交立边法曰在丙交午在丁交
己则午己与己壬若丁丙与丙甲
论曰试从己作己戊线与午丁平行即午壬丁形〈即午壬丙〉
与甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊
两形亦相似己壬丁甲乙丁两形亦
相似夫戊己壬形之壬戊为小甲丙
己丁壬形之丁壬为小丁甲丁壬之
内减戊壬丁甲之内减甲丙则戊丁
小丁丙也午己与己壬既若丁戊与
戊壬必若丁丙与丙甲矣
七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊边引长之遇丁午线于子成子戊丁角形与乙丙丁相似则子戊与戊壬若丁丙与丙甲
论曰甲乙丁午己丁两形相似午己丁丁壬子两形亦相似则丁壬子甲丁乙两形亦相似夫壬戊丙形〈即壬戊丁〉与甲乙丙形原相似是壬子当甲丁壬戊当甲丙即戊子当丁丙矣戊子与戊壬不若丁丙与甲丙乎矩靣加庚午衡线同上论
二支平靣上无馀地 一法曰甲不可到丙外复无馀
地则立表柱于内权线取直上丁下丙
各置象限定丁丙两角成乙丙丁形此
形有丁丙边有角则乙角之正与外
丁丙若丁角之正与外乙丙〈如丁为钝角无〉
〈正则以馀角之正〉次甲乙丙形有乙丙边有角则全数与外
乙丙之步数若乙角之正与外甲丙
之步数
用矩度 二法一解交立边在丙交己
成己壬丙形与甲乙丙形相似在丁交
辛成己辛丁形与乙丙丁形相似则己辛与丁壬若丙丁与甲丙
论曰丁壬边引至庚得庚丁与甲丙平行夫己壬当乙甲辛壬当乙庚则辛己丁丙皆当甲庚
二解交平边在丙交
己在丁交辛则以丁
己戊庚两边各引长
之遇于寅截丁乙视
线于子而成寅子丁形与乙丁丙形等角又成寅庚己形与甲乙丙形等角则各相似而寅戊丁形亦与寅庚己形相似则寅子与戊丁若丁丙与丙甲
三解互交平边交己立边交未则以丁己戊庚两边各引之遇于寅因前论寅未与戊丁全边若丁丙与丙甲五法曰省算于矩面上两视线内加一直线与丁丙平行其分数等如申酉则丁酉之分数为丙甲之步数第四题
对坡测远
法曰有高为甲乙于对坡丙上见乙戊欲测甲丙相距
几何于丙置象限向戊向乙向
丁定戊丙乙乙丙丁两角之直
次步于丁置象限向乙向戊向
丙定乙丁戊戊丁丙两角之度
末引长丁丙线遇乙戊线于甲
而成角形四曰乙丙丁曰戊丙丁曰乙丙戊曰甲乙丙其乙丙丁形有丙丁边丁丙两角可求乙丙边戊丙丁形有丙丁边丁丙两角可求戊丙边乙丙戊形有乙丙戊丙两边有丙角可求丙乙戊角末甲乙丙形有乙丙边乙丙两角即得甲丙边
如在丙作甲丙乙角四十八度甲丙戊角三十六度在丁作甲丁乙角三十八度甲丁戊角二十八度丁丙为一十步即乙丙丁形有丁角三十八度丙角一百三十二度〈甲丙乙四十八度之馀角〉乙角一十度而求乙丙边则乙角之正与外丙丁之步数若丁角之正与外乙丙得三十五步又四五四○戊丙丁形有丁角二十八度丙角一百四十四度戊角○八度而求戊丙边则戊角之正与外丁丙之步数若丁角之正与外戊丙得三十三步又九千七百九十○戊丙乙形有乙丙戊丙两边丙角一十二度而求乙角则作戊辛垂线至乙丙边其全数与外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正与戊辛〈七又○六三〉亦若戊丙乙角之馀与辛丙〈三三一四〉于乙丙三十五又四五四○内减辛丙三十二馀二又三一四○为乙辛夫乙戊辛直角形有乙辛戊辛两边而求乙角为乙辛与全数若戊辛与乙角之切线得二八六三九五查角之度为七十度四十五分末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○有乙角丙角则甲角必五十八度五十八分而求甲丙则甲角之正与乙
丙边若乙角之正与甲丙边得
四十一步又三七六一〈一万分为步〉值丙在坡下法与前同
第五题
登高测远
一支测根与他物之远
一法曰登乙山欲测甲根与丙相距之远乙置象限向
丙成甲乙丙直角形先得甲乙若干有
角可得甲丙边
二法曰用矩度交立边为壬辛与全边
若乙甲与甲丙交平边为全边与壬
辛若乙甲与甲丙
二支测两他物之远 三法曰乙山
上欲测丙与丁相距之远乙置象限
作甲乙丙甲乙丁两直角形用正
法求甲丙复求甲丁以甲丙减甲丁
所馀为丁丙边若用切线为全
数与外甲乙若丁乙甲丙乙甲
两切线之较与外丙丁
四法曰用矩度交平边则乙壬
与己辛若乙甲与丙丁〈一图〉交立边则壬辛与壬乙若乙甲与甲丁〈二三图〉又壬己与壬乙若乙甲与甲丙〈三图〉次以
甲丙减甲丁馀丁丙为两边之较若先
求甲丙则乙壬与壬己若乙甲与甲丙
〈三图〉又壬辛与壬乙若乙甲与甲丁〈三图〉
三支不知高欲测根与他物之远 五法曰不知甲乙高欲测根与丁相距之远于戊于乙两置象限各向丁成甲乙丁甲戊丁两形以乙丁甲戊丁甲两角切线之较为一率外乙戊为二率全数为三率所得四率为外
甲丁相距之远
六法曰两交平边于
己于辛〈一二图〉引长壬
庚边遇乙丙戊丙两
视线于寅于癸则乙壬当甲丙乙癸当丙戊乙寅当乙丙又壬癸当甲戊壬寅当甲乙则癸寅与乙壬若乙戊与甲丙
两交立边于辛于己〈三四图〉则己辛当戊乙己壬当戊甲馀如前 互交两边于己于辛〈二三图〉引长壬庚边遇乙丙视线于癸则辛癸当乙戊辛壬当戊甲馀如前
四支 七法曰乙戊上两置象限
各向丙向丁成乙丙戊乙丁戊丁
乙丙三形乙丙戊形有乙戊边乙
戊两角可求乙丙边乙丁戊形有
乙戊边乙戊两角可求乙丁边末丁乙丙形有丁乙乙丙两边乙角可求丁丙边
八法曰在高处其对山有二坡欲测
其相距之远法以丙丁变乙戊反用
之〈查四题一图〉义同前但甲角或钝或锐
异耳
第六题
测高之广
法曰有室欲量其檐广如丁乙先于丙求丙丁乙丙两
斜线次向丁向乙定丁丙乙角而成丙
丁乙形此形有丙角丙丁乙丙两边可
得丁乙边
第七题
测高三支
解曰凡测高以架承测器距地面若干所得高器以上之高也加距地度得全高或手持测器加目至地之度
一支其底之能到者 一法曰人立
丙欲测甲乙山之高其底能到目在
丁测立象限望乙成戊丁乙直角形
此形有丁戊步数有丁角为全数与外丁戊若丁角之切线与外乙戊加甲戊得甲乙全高用正法亦如之
二法曰于甲丙底线上从丙向甲
或前或却侧立象限令丙为四十
五度角得甲丙与甲乙等
三法曰任得丙角后于地面丙上
立象限作甲丙戊直角于戊平置象限令戊角与乙角等〈丙馀角即乙角〉则甲乙丙甲戊丙为两相等形而丙戊之远即甲乙之高〈侧置后省曰立〉
用矩度立矩度以测高立边当高平
边当远用三率法视交在立边则全
边与交边若远与高在平边则交边
与全边若远与高
四法曰在丙交平边于己己壬得五
十分甲丙五步则己壬五十与全边百若五与甲乙之十在丁交立边于戊戊庚得八十分则丁庚全边与戊庚之八十分若甲丁一十二步与甲乙之九步○六分依在丙法或前或却以定其分如五十半也二十五四分之一也五二十之一也欲测高而平边得五十则高倍远得四之一则高四倍于远反之则高一远四二支其底之不能到者
五法曰甲不可到丙外又无直线
丙上立象限定乙丙甲角次转器
向乙向丁命作丙左右两等角次
丙丁上进退求丁安象限向乙向丁命作丁直角则乙丙丁乙丙甲两形等丙丁当丙甲乙丁当甲乙
六法曰丙外无馀地上立象限作甲
丙乙角从丙至丁任若干步加象限
定甲丁乙角正切线任用之
用矩度以所测高为底法与测远同
七法曰截高如乙甲求若干以测远
法反用之底不能至亦如之
三支非平行非高之底
八法曰甲乙高人在丁更高测法立
象限作丙丁乙丙丁甲两角其甲丙
丁直角形有丁丙边丁角可求甲丁
边次丁乙甲角形有甲丁边丁甲两
角可得甲乙边或先得甲丙以丁为心作丁戊线与甲
丙平行戊为界作弧丁戊为全数以
乙丁戊甲丁戊两角之切线较求之
九法曰甲乙高人在戊次高求测之
先求甲丙因成戊乙甲形依地平作
戊丁线与甲丙等分乙戊甲为乙丁戊甲丁戊两直角形各有戊丁边有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁并之得乙甲象限矩度任用
第八题
因远测高
一法曰知甲丙之远乙上立象限作甲
乙丙形测之
二法曰不知甲丁之远山上求树求屋
作乙丙垂线各向丁立象限成乙丙丁
形意置甲丁地平平行线引乙丙垂线至甲正切线任用测之〈亦重表法〉
三法曰在山上知丙丁之远测乙甲高
乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂线
及甲丙地平平行线正切线任用
测之
四法曰丁高之上欲测乙戊先求甲
丙次作丁戊乙形测之
五法曰次高戊上测最高乙甲于丁
戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙两形测之
第九题
测井之深
深者立远也去人而近地心测深与测高通人在物底为量高在物顶为量深
一法曰测井从口一边垂线至底或
视口广狭从口边投之以石至底作
旋涡定其处如甲戊丙丁井甲戊口
丁丙底投石作旋涡得乙为视线之界戊立象限向乙
成甲戊乙直角形有甲戊边戊角得
甲乙之深
二法曰不知井口于口边立表表端
加象限作甲丁乙形测之
第十题
登山测谷之深
一法曰丁乙丙谷在于欲测甲乙之深于丙于丁各立象限成甲丙乙甲丁乙两形测之
二法曰丙可到丁于丁于丙立象限
成丁丙乙角形有丁丙两角有丁丙
边用切线较得之
新法算书卷八十八
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