新法算書 (四庫全書本)/卷088
| 新法算書 卷八十八 |
欽定四庫全書
新法算書卷八十八 明 徐光啟等 撰測量全義二
第一題
平靣測遠〈三支〉
一支測兩物之能到者 一法曰甲乙
為地平靣上江河之廣或土田道里之
遠欲從甲測去乙幾何於甲角上平安
象限儀之心〈後言象限或言儀平安言安省文〉兩邊向
乙向丙作直角次從甲向丙行任取一十二步為丙㸃丙上再安象限邊向甲窺衡望乙交象限之周線於丁定丙角為四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙邊丙角而求甲乙邊法為全數與甲丙邊外數若丙角之切線與甲乙邊外數也算得一十三步又三之一為甲與乙平靣相距之遠〈象限儀法見本篇第三卷窺衡或作指尺義同〉二法曰丁乙為兩所不能作直角或不欲或地非平靣〈山水林木屋舍所隔〉則丁安象限邊向乙窺衡向丙定丁角為六十二度向丙行
任取一十二歩丙上再加象限邊向丁窺衡望乙定丙角爲八十度成丁乙丙角形此形有丁丙邊丁丙兩角自有乙角而求乙丁邊法乙角之正
與丁丙邊外數若丙角
之正與丁乙邊外數算得一十九
歩又五之一爲乙與丁相距之逺丁
爲鈍角亦如之 三法曰或從丁向
丙線持象限前卻取得甲直角是乙
丁為直角之對邊也法全數與外甲
丁若丁角之交線與外乙丁
四法曰若丁爲鈍角上安象限面移丁丙線外邊向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角爲五十度以並戊丁乙直角得鈍角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁邊一丈二尺丙角二十四度法乙
角之正與外丁丙若丙角之正
與外乙丁得一丈七尺七寸
五法曰丁安象限邊向乙衡向任取
之丙表得二丈從丁直視過丙至己
任定丙己爲一丈以上安象限邊向
戊衡向丙令己角與丁角等末前卻令戊過丙至乙作直線則丙己與己戊若丙丁與丁乙
論曰丁乙丙丙己戊兩角形相似何者
己丁兩角等丙上兩交角又等是形與
形相似〈六卷四題〉即相當邊之比例必等用
三率法丙己一丈為一率己戊三丈為次
率丁丙二丈為三率算得六丈為乙丁
六法曰甲乙為兩所從乙引長任取二
十步為丙又任作丙丁戊直線任取丙
丁二十五步丁安象限邊向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前卻取戊令戊角與丁角等量丁戊得六十一步法丙丁與丁戊若丙乙與乙甲〈六卷二〉算得十二步又
一十五之四
不用布算法
七法曰乙丁為兩所乙安象限邊向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次從丙乙直線上求戊令戊角半於丁乙丙角則戊乙與乙丁等
論曰丁乙丙外角與相對之兩內角等〈一卷三十二〉戊角半丁角亦半兩角等兩腰亦等
八法曰乙上安象限作六十度角次於乙丙直線上求丙亦作六十度角則乙丙與乙丁等
論曰乙丙兩角各六十度則丁角
亦六十度而乙丁丙為三邊等形
九法曰若乙丙短則向乙向丁求
甲直角得甲乙為乙丁之半
論曰丁乙甲直角形乙角既六十
度則丁角三十度因角與角之正若邊與邊是三十度之正全數之半也故乙甲為乙丁之半也十法曰任設乙角為四十度次以半周上餘度平分為七十度於乙丙線上前卻令丙角亦七十度則乙丙與乙丁等論曰丙角為外角之半丁角亦半乙丙與乙丁兩線必等
用矩度法 用矩度者以器上小形當所測大形也如所測為甲乙則矩度之邊壬丙或己辛與甲乙平行其相當數為比例必等所設兩在邊為甲丙則矩度之邊壬辛或丙己與甲丙平行其相當數為比例必等〈一卷
二十九三十二題〉置法同前甲恆為直角
十一法曰一解窺衡交線〈後省曰交或曰視交〉在對角則丙甲與甲乙等
論曰丙己辛丙甲乙兩角形相似何
者兩形有己甲各直角同用丙角則
兩相似〈六卷四題〉而矩形丙己與己辛等
則丙甲與甲乙亦等二解視交在兩
所平行邊如戊則丙己與己戊若丙甲與甲乙論曰丙己戊丙甲乙兩角形相似何者兩形有己甲各直角同用丙角則兩形相似〈六卷四題〉而矩形之丙己與己
戊若甲丙與甲乙
三率法丙己一百分為首率己戊七十
分為二率丙甲一十五步為三率算得
甲乙十一步半〈兩所平行邊後省曰平邊〉
三解視交在兩測平行邊如丁則丁壬
與壬丙若丙甲與甲乙〈兩測平行邊後省曰立邊〉
論曰丁壬丙丙甲乙兩角形相似何者兩形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲兩角在平行線內則相當線之比例必等 三率法丁壬六十分為一率壬丙百分為次率丙甲一十二步為三率算得二十步為甲乙
省算法 十二法曰交戊甲丙六十
步即於丙己邊自己至未取六十分
與甲丙比例等自未至視線作未子
為丙己之垂線從子作子午為辛己
之垂線得子午戊形戊午之若干分
為甲乙之若干步
論曰子午戊丙甲乙兩角形相似何者兩形各有直角
有相等之戊角與乙角則各邊之比
例等先作未己或子午與甲丙比例
等則戊午甲乙比例亦等 若交在
丁從壬至午取六十分作午子垂線
二支測兩所之不能到者
一法曰乙丙為兩所俱不能到獨甲
可到即於甲上立表令甲乙丙為直
線安象限邊向乙向丁行至丁得若干步安象限於丁邊向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁兩直角形甲乙丁角形有甲丁邊丁角可求甲乙邊〈本書首卷十二題二解〉甲丁丙角形有甲丁邊丁角可求甲丙邊末以甲乙減甲丙所餘乙丙用切線可求乙丙邊如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度則甲丁為全數而甲乙為甲丁乙角之切線甲丙為甲丁丙角之切線兩切線之較為乙丙用三率法全數一甲丁二十四步二切線較三算得一十步一十五之七為乙丙
二法曰乙丙為兩所直線上更
任取兩所如丁如庚次作庚壬
線任取壬㸃安象限邊向丙窺
庚定壬角之度次辛㸃上安象限向乙向庚游移令辛角與壬角等次戊安象限向丁〈乙丙直線上〉向庚游移令戊角與壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各幾何用三率法與戊庚與辛壬若庚丁與乙丙
三法曰乙丙直線上任至一處如庚庚上安象限邊向乙丙窺丁定丁庚乙角之度又從庚丁直線上至戊戊
上安象限作庚戊己角與丁庚〈乙角〉等即
戊己線與丙庚平行次於巳上窺過丁
到丙戊己之間游移窺過丁到乙得辛
則戊丁與辛己若丁庚與乙丙
論曰丙乙丁辛己丁兩角形相似戊辛
丁乙庚丁兩角形亦相似則各邊之比
例自等
省算 四法曰乙庚為兩所直線上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限邊向甲窺乙窺庚作甲丁乙甲
丁庚兩角次甲乙直線上尋戊作
甲戊丁為乙丁甲之餘角尋巳作
甲己丁為甲丁庚之餘角則得戊
己與乙庚等
論曰甲乙丁甲戊丁兩形等何者
戊為甲丁乙之餘角則與乙角等
同用甲丁邊故兩形等依顯甲庚丁甲丁己兩直角形亦等夫庚甲甲己既等減相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等
五法曰甲丁直線上取戊安象限窺乙
作戊角為四十五度丁上窺庚亦令丁
角為四十五則戊丁與乙庚等〈戊甲乙為直角〉論曰丁戊各半直角則庚與乙亦如之
甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然減相等之甲乙甲戊
則所存亦等
六法曰若庚乙丁戊兩線上所得角未
眞則於乙庚線上取丙安象限作六十
度角丙丁線上尋戊尋丁望乙望庚作
戊丁二角各六十度則戊丁與乙庚等
論曰丁丙庚角形之三角同為六十度乙戊丙亦如之減相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等
七法曰置丙角六十度令戊丁為
兩直角則戊丁為庚乙之半
論曰庚丙丁乙丙戊兩直角形有
丙角六十度乙角必三十度因邊與邊若角與角之正則三十度之正戊丙為全數乙丙之半又庚丙為全數丁丙為庚角之正視全數亦半庚丁乙戊既平行則庚丙與丁丙若乙丙與戊丙分之乙丙與戊丙若庚乙與戊丁戊丙為乙丙之半則戊丁亦乙庚之半八法曰若丙為鈍角則以丙角之餘度平分之次於丙丁線上尋戊尋丁各作丙角餘之半則戊丁與乙庚等
論曰乙丙戊庚丙丁兩角形相似乙戊庚丁四角等則邊亦等減相等之戊丙乙丙所存
之戊丁乙庚亦等
用矩度
九法曰庚向乙直線上行取甲
甲上安矩度作甲丁垂線行至
丁得若干步安矩度邊向甲窺
乙與庚各交矩度邊 一解交
乙庚平行邊於己於戊則丁壬
與戊己若丁甲與乙庚〈戊己與乙庚平行故曰平行邊〉
論曰己丁壬庚丁甲兩直角形同用丁角則相似是丁壬與壬己若丁甲與甲庚又丁壬戊丁甲乙兩直角形同用丁角亦相似是丁壬與壬戊若丁甲與甲乙更之丁壬與丁甲若壬戊與甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲兩全內所取之分也〈五卷十一〉則所餘戊己與乙庚若壬己與甲庚亦若丁壬與丁甲矣
三率法丁壬一百分為首率戊己四十分為次率甲丁六步為三率算得二步又十分之四為乙庚
二解交立邊於午於子
論曰午丁辛丁庚甲兩直角
形相似以求甲庚邊子辛丁
丁甲乙兩直角形相似以求
甲乙邊庚甲內減甲乙較為乙庚
省算於丁壬邊取丁寅之分數如丁甲之步數〈每步取一分或二或三俱得〉寅上作垂線交兩視線於酉於卯則卯酉之分數為乙庚之步數
論曰卯寅丁庚甲丁兩形相似酉寅丁乙甲丁兩形亦相似卯寅內減酉寅庚甲內減甲乙則丁寅與卯酉若丁甲與庚乙
三解互交兩邊於己於戊先求甲庚次求甲乙甲庚內減甲乙餘為乙庚邊其求甲庚為丙己與丙丁若甲丁
與甲庚求甲乙為丁壬與壬戊
若甲丁與甲乙 省算丁壬邊
上取丁寅之分數如甲丁之步
數寅上立垂線交兩視線於午
於子則午子之分數如乙庚之步數
三支物莫能到復不能作線與㕘直
一法曰乙己兩物不能到復不能向
乙己作直線則於甲上安象限邊向
乙窺己成甲乙己角〈形向丁次〉行至丁得
若干步上安象限邊向甲窺乙成甲
丁乙角形復窺己成丁乙己角形若
乙甲丁形有丁角為三十八度丁甲
十步而求甲乙邊法為全數與外甲丁邊若丁角之切線與外甲乙邊算得七步又六十之四十九〈若甲非直角則定其角之度〉次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己邊法為己角之正與外甲丁邊若丁角之正與外甲己邊算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙邊七步又六十之四十九甲己邊一十五又六十之四十九而求乙己邊即從乙到戊作垂線分本形為兩直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊邊法為全數與外甲乙邊若乙角之正與外甲戊邊算得七步又六十之五次求乙戊邊法為全數與外甲乙邊若甲角之正與外乙戊邊算得三步又六十之一十八末於甲己內減甲戊餘八步又六十之四十四為戊己其乙戊己角形有乙戊戊己兩邊以句股法求之得乙己九步有竒
二法曰任內丙表安象限邊向乙窺巳
定己丙〈乙角〉之度丙乙直線上取丁安象
限邊向己窺過丙到乙定己丁丙角為
己丙乙角之半又於己丙直線上取戊
安象限邊向乙窺丙到己令乙戊丙之角為丙角之半則得丁戊與乙己等
論曰丙丁己角為乙丙己外角之半則己角亦半夫角等者腰亦等則己丙與丁丙等乙戊丙角為乙丙己外角之半則乙角亦半而乙丙與丙戊等夫乙丙己丁丙戊兩形之兩腰等兩腰間角等則乙己與戊丁兩底亦等
第二題
斜靣測遠〈三支〉
一支不論根之能到與否
一法曰乙甲為山之髙其坡乙丙欲測坡若于于丙或左或右置象限作直角一邊向丁至丁上置象限邊向丙窺乙令丁為四十五度角則得丙丁與乙丙等
論曰乙丁丙直角形丁角四十五度則乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之對邊也必等
二支根之能到者 二法曰置丙
象限邊向甲根窺乙定丙角之度
此形有甲丙邊丙角而求乙丙邊
法為全數與外甲丙若丙角之割
線與外乙丙 三法曰丙甲直線上求丁置象限令其角為乙丙甲角之半則丙丁與乙丙等
四法用矩度
一解曰表在丁窺交平邊於辛為
辛庚與辛丁若甲丁與乙丁
二解曰表在丙窺交為對角線依
句股法丙甲自之倍之開方得
三解曰表在戊窺交立邊於己為
戊寅與戊己若甲戊與戊乙
五法省算矩邊從丁到午取分數
如丁甲之歩數立午子垂線成午
丁子角形與甲丁乙形相似則丁子之分數為乙丁之步數從戊亦如之
三支根之不能到者 六法曰丙
丁直線上用象限兩次於丙於丁
成乙丙丁形此形有丁丙邊丁丙
兩角用正法得乙丙邊
七法曰以意置乙甲垂線用丁乙
甲丙乙甲兩角之切線較為一率
外丁丙為次率丙乙甲之割線為
三率所得為外率乙丙〈或丁乙甲交線為三〉
〈率所得四率乙丁〉
用矩度〈八法〉一解交平邊法曰在丙交辛於甲丙直線上退至丁得若干步而交己則己辛與辛丁〈即辛丙〉若丁丙與丙乙
論曰壬辛丙角形與甲丙乙角形相似丁己壬角形與乙丁甲角形相似於壬己減壬辛甲丁減甲丙則丁丙與己辛相似
二解交立邊法曰在丙交辛退丁交己則於矩靣上作子午線與丁戊平行截辛丁線〈即辛丙〉於子遇己丁線於
午成子午丁角形與丁丙乙角形相
似則子午與子丁若丁丙與丙乙或
矩靣外作辛庚線與丁戊平行則庚
辛丁形與乙丁丙形相似是庚辛與
辛丁若丁丙與丙乙次求辛丁線法
以辛戊戊丁各自之並而開方得所
求次求辛庚線法己戊與戊丁若辛
己與辛庚為丁己戊辛己庚兩直角
形有庚丁兩角在平行線內即相似故
論曰丁午子丁丙乙兩形相似葢子午丁午丁戊為平行線內相對之兩角等辛子午辛丙壬兩角等〈在平行線內〉則乙丙丁辛子卯兩餘角自等辛子卯午子丁兩交角
亦等既兩形之各角俱等即各邊自
相似 省算取子午之分數為丁丙
之步數
三解互交法曰在丙交辛在丁交己
以平邊引長之遇於庚成庚辛丁角
形則庚辛與辛丁若丁丙與丙乙
論曰庚辛丁乙丙丁兩角形相似葢辛庚丁丙丁乙相對之兩內角等壬辛丁角與甲丙乙角等其餘角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛與辛丁若丁丙與丙乙第三題
望高測遠
一支平靣上有餘地 一法曰甲乙為
山或樓臺而直線不能至甲欲借乙頂
測丙與甲相距之遠則於丙上置象限
定角度卻從丙到丁得若干步置象限
定角度乙丙丁角形有丁丙邊丁丙兩角可求乙丙邊有乙丙邊而求甲丙邊法為全數與乙丙邊若乙角之正與甲丙邊
二法用切線乙為心甲為界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁兩角切線之較則丙丁切線較與外丙丁步數
若甲丙切線與外甲丙步數
三法曰丙外不能作直線則或左或右
作丁丙乙直角行至丁置象限求作四
十五度角即丙丁得三十一步又三十
之二十三以乙丙為全數丙丁為丁乙丙角之切線丙甲為甲乙丙角之正是丁丙切線與外丁丙之步數
若丙甲正與外甲丙之步數
四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度為丙角之半卻於地平靣之丙丁線上作丙丁戊角
與甲乙丙角等為二十六度丁戊線上求戊作直角則丙戊之步數即甲丙之步數
論曰丁戊丙甲丙乙兩直角形有丁乙兩角等乙丁丙為乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙兩
腰必等丙丁戊形與甲乙丙形有
等角有同邊即丁戊與甲丙必等
用矩度 五交平邊法曰丙上立
矩度成午壬丙形與甲乙丙形相
似丁上立矩度成午己丁形與丙
丁乙形相似則己午與壬午若丁
丙與甲丙
六交立邊法曰在丙交午在丁交
己則午己與己壬若丁丙與丙甲
論曰試從己作己戊線與午丁平行即午壬丁形〈即午壬丙〉
與甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊
兩形亦相似己壬丁甲乙丁兩形亦
相似夫戊己壬形之壬戊為小甲丙
己丁壬形之丁壬為小丁甲丁壬之
內減戊壬丁甲之內減甲丙則戊丁
小丁丙也午己與己壬既若丁戊與
戊壬必若丁丙與丙甲矣
七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊邊引長之遇丁午線於子成子戊丁角形與乙丙丁相似則子戊與戊壬若丁丙與丙甲
論曰甲乙丁午己丁兩形相似午己丁丁壬子兩形亦相似則丁壬子甲丁乙兩形亦相似夫壬戊丙形〈即壬戊丁〉與甲乙丙形原相似是壬子當甲丁壬戊當甲丙即戊子當丁丙矣戊子與戊壬不若丁丙與甲丙乎矩靣加庚午衡線同上論
二支平靣上無餘地 一法曰甲不可到丙外復無餘
地則立表柱於內權線取直上丁下丙
各置象限定丁丙兩角成乙丙丁形此
形有丁丙邊有角則乙角之正與外
丁丙若丁角之正與外乙丙〈如丁為鈍角無〉
〈正則以餘角之正〉次甲乙丙形有乙丙邊有角則全數與外
乙丙之步數若乙角之正與外甲丙
之步數
用矩度 二法一解交立邊在丙交己
成己壬丙形與甲乙丙形相似在丁交
辛成己辛丁形與乙丙丁形相似則己辛與丁壬若丙丁與甲丙
論曰丁壬邊引至庚得庚丁與甲丙平行夫己壬當乙甲辛壬當乙庚則辛己丁丙皆當甲庚
二解交平邊在丙交
己在丁交辛則以丁
己戊庚兩邊各引長
之遇於寅截丁乙視
線於子而成寅子丁形與乙丁丙形等角又成寅庚己形與甲乙丙形等角則各相似而寅戊丁形亦與寅庚己形相似則寅子與戊丁若丁丙與丙甲
三解互交平邊交己立邊交未則以丁己戊庚兩邊各引之遇於寅因前論寅未與戊丁全邊若丁丙與丙甲五法曰省算於矩面上兩視線內加一直線與丁丙平行其分數等如申酉則丁酉之分數為丙甲之步數第四題
對坡測遠
法曰有高為甲乙於對坡丙上見乙戊欲測甲丙相距
幾何於丙置象限向戊向乙向
丁定戊丙乙乙丙丁兩角之直
次步於丁置象限向乙向戊向
丙定乙丁戊戊丁丙兩角之度
末引長丁丙線遇乙戊線於甲
而成角形四曰乙丙丁曰戊丙丁曰乙丙戊曰甲乙丙其乙丙丁形有丙丁邊丁丙兩角可求乙丙邊戊丙丁形有丙丁邊丁丙兩角可求戊丙邊乙丙戊形有乙丙戊丙兩邊有丙角可求丙乙戊角末甲乙丙形有乙丙邊乙丙兩角即得甲丙邊
如在丙作甲丙乙角四十八度甲丙戊角三十六度在丁作甲丁乙角三十八度甲丁戊角二十八度丁丙為一十步即乙丙丁形有丁角三十八度丙角一百三十二度〈甲丙乙四十八度之餘角〉乙角一十度而求乙丙邊則乙角之正與外丙丁之步數若丁角之正與外乙丙得三十五步又四五四○戊丙丁形有丁角二十八度丙角一百四十四度戊角○八度而求戊丙邊則戊角之正與外丁丙之步數若丁角之正與外戊丙得三十三步又九千七百九十○戊丙乙形有乙丙戊丙兩邊丙角一十二度而求乙角則作戊辛垂線至乙丙邊其全數與外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正與戊辛〈七又○六三〉亦若戊丙乙角之餘與辛丙〈三三一四〉於乙丙三十五又四五四○內減辛丙三十二餘二又三一四○為乙辛夫乙戊辛直角形有乙辛戊辛兩邊而求乙角為乙辛與全數若戊辛與乙角之切線得二八六三九五查角之度為七十度四十五分末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○有乙角丙角則甲角必五十八度五十八分而求甲丙則甲角之正與乙
丙邊若乙角之正與甲丙邊得
四十一步又三七六一〈一萬分為步〉值丙在坡下法與前同
第五題
登髙測遠
一支測根與他物之遠
一法曰登乙山欲測甲根與丙相距之遠乙置象限向
丙成甲乙丙直角形先得甲乙若干有
角可得甲丙邊
二法曰用矩度交立邊為壬辛與全邊
若乙甲與甲丙交平邊為全邊與壬
辛若乙甲與甲丙
二支測兩他物之遠 三法曰乙山
上欲測丙與丁相距之遠乙置象限
作甲乙丙甲乙丁兩直角形用正
法求甲丙復求甲丁以甲丙減甲丁
所餘為丁丙邊若用切線為全
數與外甲乙若丁乙甲丙乙甲
兩切線之較與外丙丁
四法曰用矩度交平邊則乙壬
與己辛若乙甲與丙丁〈一圖〉交立邊則壬辛與壬乙若乙甲與甲丁〈二三圖〉又壬己與壬乙若乙甲與甲丙〈三圖〉次以
甲丙減甲丁餘丁丙為兩邊之較若先
求甲丙則乙壬與壬己若乙甲與甲丙
〈三圖〉又壬辛與壬乙若乙甲與甲丁〈三圖〉
三支不知高欲測根與他物之遠 五法曰不知甲乙高欲測根與丁相距之遠於戊於乙兩置象限各向丁成甲乙丁甲戊丁兩形以乙丁甲戊丁甲兩角切線之較為一率外乙戊為二率全數為三率所得四率為外
甲丁相距之遠
六法曰兩交平邊於
己於辛〈一二圖〉引長壬
庚邊遇乙丙戊丙兩
視線於寅於癸則乙壬當甲丙乙癸當丙戊乙寅當乙丙又壬癸當甲戊壬寅當甲乙則癸寅與乙壬若乙戊與甲丙
兩交立邊於辛於己〈三四圖〉則己辛當戊乙己壬當戊甲餘如前 互交兩邊於己於辛〈二三圖〉引長壬庚邊遇乙丙視線於癸則辛癸當乙戊辛壬當戊甲餘如前
四支 七法曰乙戊上兩置象限
各向丙向丁成乙丙戊乙丁戊丁
乙丙三形乙丙戊形有乙戊邊乙
戊兩角可求乙丙邊乙丁戊形有
乙戊邊乙戊兩角可求乙丁邊末丁乙丙形有丁乙乙丙兩邊乙角可求丁丙邊
八法曰在髙處其對山有二坡欲測
其相距之遠法以丙丁變乙戊反用
之〈查四題一圖〉義同前但甲角或鈍或鋭
異耳
第六題
測髙之廣
法曰有室欲量其簷廣如丁乙先於丙求丙丁乙丙兩
斜線次向丁向乙定丁丙乙角而成丙
丁乙形此形有丙角丙丁乙丙兩邊可
得丁乙邊
第七題
測髙三支
解曰凡測高以架承測器距地面若干所得高器以上之高也加距地度得全高或手持測器加目至地之度
一支其底之能到者 一法曰人立
丙欲測甲乙山之髙其底能到目在
丁測立象限望乙成戊丁乙直角形
此形有丁戊步數有丁角為全數與外丁戊若丁角之切線與外乙戊加甲戊得甲乙全高用正法亦如之
二法曰於甲丙底線上從丙向甲
或前或卻側立象限令丙為四十
五度角得甲丙與甲乙等
三法曰任得丙角後於地面丙上
立象限作甲丙戊直角於戊平置象限令戊角與乙角等〈丙餘角即乙角〉則甲乙丙甲戊丙為兩相等形而丙戊之遠即甲乙之高〈側置後省曰立〉
用矩度立矩度以測高立邊當高平
邊當遠用三率法視交在立邊則全
邊與交邊若遠與高在平邊則交邊
與全邊若遠與高
四法曰在丙交平邊於己己壬得五
十分甲丙五步則己壬五十與全邊百若五與甲乙之十在丁交立邊於戊戊庚得八十分則丁庚全邊與戊庚之八十分若甲丁一十二步與甲乙之九步○六分依在丙法或前或卻以定其分如五十半也二十五四分之一也五二十之一也欲測高而平邊得五十則高倍遠得四之一則高四倍於遠反之則髙一遠四二支其底之不能到者
五法曰甲不可到丙外又無直線
丙上立象限定乙丙甲角次轉器
向乙向丁命作丙左右兩等角次
丙丁上進退求丁安象限向乙向丁命作丁直角則乙丙丁乙丙甲兩形等丙丁當丙甲乙丁當甲乙
六法曰丙外無餘地上立象限作甲
丙乙角從丙至丁任若干步加象限
定甲丁乙角正切線任用之
用矩度以所測高為底法與測遠同
七法曰截髙如乙甲求若干以測遠
法反用之底不能至亦如之
三支非平行非高之底
八法曰甲乙高人在丁更高測法立
象限作丙丁乙丙丁甲兩角其甲丙
丁直角形有丁丙邊丁角可求甲丁
邊次丁乙甲角形有甲丁邊丁甲兩
角可得甲乙邊或先得甲丙以丁為心作丁戊線與甲
丙平行戊為界作弧丁戊為全數以
乙丁戊甲丁戊兩角之切線較求之
九法曰甲乙高人在戊次高求測之
先求甲丙因成戊乙甲形依地平作
戊丁線與甲丙等分乙戊甲為乙丁戊甲丁戊兩直角形各有戊丁邊有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁並之得乙甲象限矩度任用
第八題
因遠測高
一法曰知甲丙之遠乙上立象限作甲
乙丙形測之
二法曰不知甲丁之遠山上求樹求屋
作乙丙垂線各向丁立象限成乙丙丁
形意置甲丁地平平行線引乙丙垂線至甲正切線任用測之〈亦重表法〉
三法曰在山上知丙丁之遠測乙甲高
乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂線
及甲丙地平平行線正切線任用
測之
四法曰丁高之上欲測乙戊先求甲
丙次作丁戊乙形測之
五法曰次高戊上測最高乙甲於丁
戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙兩形測之
第九題
測井之深
深者立遠也去人而近地心測深與測高通人在物底為量高在物頂為量深
一法曰測井從口一邊垂線至底或
視口廣狹從口邊投之以石至底作
旋渦定其處如甲戊丙丁井甲戊口
丁丙底投石作旋渦得乙為視線之界戊立象限向乙
成甲戊乙直角形有甲戊邊戊角得
甲乙之深
二法曰不知井口於口邊立表表端
加象限作甲丁乙形測之
第十題
登山測谷之深
一法曰丁乙丙谷在於欲測甲乙之深於丙於丁各立象限成甲丙乙甲丁乙兩形測之
二法曰丙可到丁於丁於丙立象限
成丁丙乙角形有丁丙兩角有丁丙
邊用切線較得之
新法算書卷八十八
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