极数定象答问
问曰：《易•系》称:参五以变，错综其数，通其变遂成天下之文，极其数遂定天下之象。极数者何数，定象者何象邪？荅曰：既言参五，则必以三、五为法矣。夫蓍之德圆，卦之德方。圆方，象也。数不极则象亦无以定。大衍之数五十，其用四十有九，此蓍数也。置四十九倍五十以乘之，又以四十九开方，以挂一减四十九乘之，两数相并，得五千二百三十六为实，乃以三乘之，五除之，得三千一百四十一六，是为圆径一千之周。其一术曰：置四十九开方，以挂一减四十九乘之，次以挂一加五十乘之，次以天地之数五十五乘之，得九十四万二千四百八十为实，乃以三除之，得三十一万四千一百六十，是为圆径十万之周。其一术曰：置四十九自乘，以挂一减之，以四十九开方乘之，次以挂一加五十乘之，次以天地之数五十五乘之，得四千七百十二万四千为实，乃以三五递除之，得三百十四万一千六百，是为圆径百万之周。是故三一四一六者，圆径一之周也。以五再乘其周，退二位得零七八五四者，圆径一之幂也。以倍三除其周，得零五二三六者，立圆径一之积也。乘除所得，数也。平圆立圆，象也。径午贯之，周外规之，文也。如是者为极其数以定圆，六十四云、八云，此卦数也。以八自乘，则六十四为平方。以四再自乘，则六十四为立方。以二再自乘，则八为立方。故一卦未有不为立方者也。今以三乘五，以五乘三，各得十五，相和为三之进位，以五除三之进位，得六，六鳖臑成一立方也。以三之进位除五，得零一六六不尽，一鳖臑之数也。鳖臑者，今日三角锥。邪解立方为两堑堵，故立方一，则堑堵零五。邪解堑堵为一阳马、一鳖臑，阳马于堑堵三之二，于立方三之一。鳖臑于堑堵三之一，于立方六之一。故立方一，则鳖臑零一六六不尽也。是故爻即鳖臑，三画之卦即堑堵，六画之卦即立方。一立方者，六鳖臑，故一卦得六爻。六十四立方者，三百八十四鳖臑，故六十四卦得三百八十四爻。爻之为文，《说文》以为象《易》六爻头交，今试邪解立方成两堑堵，此两堑堵者，一从右方上端邪解至左方下端，成一阳马、一鳖臑；一从左方下端邪解至右方上端，亦成一阳马、一鳖臑。以此复合为立方，则两鳖臑之大弦必午贯相交焉，此为六爻头交。和与乘除所得，数也。鳖臑立方，象也。大弦午贯，文也。且令六十四为平方，三五和，即其边矣。三五相乘，即其两廉一隅矣。令六十四为立方，三五较，以馀自乘，即其边矣。三自乘，即其平廉矣。五自倍，即其三长廉一隅矣。和较乘倍所得，数也。平方立方，象也。廉隅与方华离，文也。如是者为极其数以定方，极之定之，未有不以三五裁制者，苟充其例，以平面方圆相函三重，得外方圆幂而求内方圆幂，必以五退位再乘之。以立体方圆相函三重，得外方圆积而求内方圆积，必以三、三除之。〈以三、三除，即二十七除。〉至哉，参五之法，可与探幽洞微矣。
问曰:六十四者，平方立方之幂积皆有之，今上经三十卦，下经三十四卦，其数不均，何也？荅曰：以三乘五、五乘三相和，是上经三十卦也。以三五各自乘相和，是下经三十四卦也。是参五之至变也。
问曰:卦见方数，蓍不见圆数，何也？荅曰：夫圆周四一三一六者，二八、二八、五六、五六连琐之所成尔。此四数约之皆七也。而四十九约之亦七也。置四十九，以四千四百八十八乘之，则为圆周者七矣。然四十九不自圆，待与他数相乘而后圆，是以必错综之也。〈若用约率四十九开方，即圆径天地之数五十五。以二五除之，即圆周。四十九开方，以五十五退位乘之，即圆幂。四十九即同径之方幂。四十九开方，以乘四十九，即立方积。以十五除五十五，以乘四十九，即同径之立圆积。是亦待错综也。〉曰:今所据圆率者，刘徽密率也。于祖氏密率犹微赢，岂数有未极乎？曰：求祖氏率者，以三五递乘四十九，得七三五，就圆周末位，闲一位减之，即为三一四一五九二六五矣。祖氏圆率亦以七约其数也。〈以四四八八乘七，即刘氏圆周。以四四八七九八九五乘七，即祖氏圆周。〉虽然，圆率未有至密者也。推圆周者，其位至于钜万而无穷，无穷则不可以定象，故知《易》之所论圆率，以三一四一六为极。
附录
[编辑]一百九十二觚割圆之术，盖亦不始刘徽。太史《酷吏传》云:破觚而为圆。既引以为喻，必曾有其事矣。〈《九章》径一周三之率，在《方田篇》。度田但取大齐，故不用割圆所得之率。〉虽然，觚直而弧曲，虽絫析至千万觚，与圆周差至极微，终不可以为真圆。若如是求之，为功愈勤，其愚转甚矣。孔子曰：觚不觚，觚哉觚哉！盖古觞器皆同形，其为觚也，不以六觚八觚为式，析觚愈多，视之成圆，其实百千觚相櫕尔。〈旧说皆误，陈祥道直以觚为八觚，由未知觞器皆圆，觚愈分析，合之转近圆也。〉刘徽谓觚之细者，与圆合体，是亦言其大齐则然。故屡析六觚，至一百九十二觚之幂，即以消息增加为三一四一六，以是为圆径二之幂，即为圆径一之周，盖不欲竟以积觚为圆也。徽尚欲求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，裁其微分。裁其微分云者，亦不欲竟以积觚为圆也。虽然，展转析觚，其数无穷，于圆终不能满，知其不满而增周泰过，即有刘歆、王蕃之侈。不增则促，故祖冲之特开盈朒二限以相硙𥖪。盈限即圆外切诸觚之数，朒限即圆内容诸觚之数，朒限以制其过损，盈限以制其过增，其术始精严矣。今以圆内容三千零七十二觚求之，得径一周三一四一五九二一有奇，以圆内容六千一百四十四觚求之，得径一周三一四一五九二五一有奇，若以圆内容一万二千二百八十八觚求之，得径一周三一四一五九二六一九有奇，是即祖氏所谓朒限也。复以圆外切一万二千二百八十八觚求之，得径一周三一四一五九二七二有奇，是即祖氏所谓盈限也。盈朒之闲，径一周三一四一五九二六五，则祖氏所谓正数也。其必取盈朒之闲者，不欲以外切内容诸觚为圆也。〈析至圆内二万四千五百七十六觚，得径一周三一四一五九二六四五有奇。圆外二万四千五百七十六觚，得径一周三一四一五九二六七有奇。两相硙𥖪，正数亦在其闲。祖氏所谓盈朒限者，自指一万二千二百八十八觚言。然以后诸觚，必曾屡析，方能确定正数耳。〉
夫觚之不可为直，外切内容诸觚为圆周所界而不可以泯合，其势然也。清世割圆者，屡析六觚，至圆之外切内容各五百一十五亿三千九百六十万零七千五百五十二等边，两所得数，各四十位，其前九位，与祖氏圆周同，其次十位，亦自相同，则三一四一五九二六五三五八九七九三二三八是也。然其后二十一位，内外自有盈朒之数，以是观之，不得竟以积觚为圆明矣。夫内容诸觚，转析而周转大；外切诸觚，转析而周转小，故前十九位得相似，而后二十一位终不相似。若更析之，则内外相荡，其同者又不止十九位也。然位数愈增，则不同者复在其后矣。今此十九位者，㐹然不可动已。自二十位以次，盈朒之闲，必有正数在焉。而说者遽谓可以混一，则独断之见也。其后杜德美以屡乘屡除求圆周，不假句股割圆而数自合，世人惊其瑰奇，以为至当。然以其术推校，自二十位以次，倾于外切，是亦盈限而已矣。〈圆周盈朒之辨，在弟二十位，则作径须一万亿丈，方辨周中一忽二忽之较，是其径长为地球径二十四万有馀，谁作此器，谁具此明者，故算数可较，而实事难譣也。如欲以尺度量取差数，须自牦始。依祖氏圆周九位，尚须作径一千丈，始得以一牦之差，辨其盈朒二限，是亦不能作也。唯刘、祖二家圆率之差，但须作径十四丈，其差已差较一牦，如或可就。然作器用木，则片片补苴，中多罅隙，铸金陶土，工虽至精，边际不能无小小坳突，磨鑢平之，则或多所甐伤，是以终不可譣也。然则算家求数，必应精密，若以定象制器，但依刘氏圆率足矣。〉
