钦定古今图书集成
历象汇编第五十九卷

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钦定古今图书集成历象汇编历法典

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　历法总部汇考五十九

　　新法历书九〈交食历指〉

历法典第五十九卷

历法总部汇考五十九

新法历书九

交食历指一

或问：“日月薄蚀，是灾变乎﹖，非灾变乎﹖？若言是者，则躔度有常，上下百千万年如视掌耳，岂人世之吉凶亦可以筹算穷也？若言否者，则古圣贤戒惧修省，又复何说？”曰：“灾与变不同，灾与灾，变与变又各不同。如水旱虫蝗之属，伤害民物者，灾也。日月薄蚀，无患害可指。然以理揆之，日为万光之原，是生暄燠；月为夜光之首，是生湿润大圜之中”，惟是二曜相资相济，以生万有。若能施之体受其蔽亏，即所施之物成其阙陷矣。况一朔一望，两光盛长，受损之势将愈甚焉。是谓无形之灾，不可谓非灾也。夫晕珥彗孛之属，非凡所有者，异也。交食虽躔度有常，推步可致，然光明下济，忽焉掩抑。如月食入景深者，乃至倍于月体，日食既者乃至昼晦星见。嘻！其甚矣。是则常中之变，不可谓非变也。既属灾变，即宜视为谴告，侧身修省，是以有修德正事之训，有无敢驰驱之戒，兢业日慎，犹惧不塈矣。曰：“既称灾变，凡厥事应，可豫占乎？可豫备乎？”曰：从古历家不言事应。言事应者，天文也。天文之学，牵合傅会，傥过信其说，非惟无益，害乃滋大。欲辨真伪，总之能言其所以然者近是。如日月薄蚀，宜论其时、论其地。论时则正照者灾深，论地则食少者灾减。然月食天下皆同，宜专计时；日食九服各异，宜并记地矣。迨于五纬恒星，其与二曜各有顺逆乖违之性，亢害承制之理，方隅冲合之势。为其术者一一持之，有故然以为必然不爽，终不可得也。惟豫备一法，则所谓灾害者，不过水旱虫蝗、疾疠兵戎数事而已。诚以钦若昭事之衷，修勤恤顾畏之实，过求夙戒时至而救之者裕如，则所谓天不能使之灾，又何必征休咎于梓、裨，问祲祥于京、翼乎﹖？然则星历之家概求精密，尤勤于交食者何也？曰：太阴去人最近，饶“有视差。凡人目所见，人器所测，则视度而已。其实行度分，非人可见，非器可测。必以食甚时知为定望，与日正相对，从是知其实度，从是知其本行”，自馀行度渐可推算也。又因月食知地景为角体之形，月体过之，其距地同，而入景之浅深不同，可推日在其本，天行与地为不同心也。又因日食推月距地，时时不等，知其有本轮、有次轮也。又兼以日月食推日月体之大小及日月距地之远近也。别有度地之学，因月食可推地在天之最中，其四周皆以天为上，人则环居地面也。又因月食知地景为圆体，而居东者渐远渐后见食即非月食，以地为先后，特因各所见之时刻为先后也。因以推地为圆体，而水附于地，合为一球也。又以月食与子午线相距远近，知诸方之地经度也。若泯薄蚀于二曜，即造历者虽神明默成，无所措其意矣。是则交食者，密术之所繇生，故作者述者咸于此尽心焉。今撰《历指》，有《合论》，有分论。月食术稍简，以附《合论》之末。日食颇繁，釐为别卷，诸立成表，以类从焉。

界说

凡物体能隔他物之象，使不至目，则为“暗体。”若以体之一面受光，而光复透射出于彼面，则为“彻体。”〈如玻璃水晶是也〉

目所司存，惟光惟色，而色又随光发见，故解“彻体”，必以通光，解“暗体”必以其能隔他象。如月掩日而日全食，昼为之晦，恒星皆见。尔时太阳在外，体质明显，又坚密无比，光力甚厚，乃为月体所隔，不能映见微光可证。月乃全非彻体，而全为暗体。其彻体有二：通明之极，全无隔碍者为甚彻；虽则透光，而微杂昏蒙者，为“次彻。”

光在本体为原光，其出而显他物之象为照光。日有原光，地与月皆借之为光者，照光也。谓显他物之象者，因他物之势随施随受，有原先后，无时先后也。非如寒热燥湿之类，渐及于物，力尽而止。

《原光》以直径发照为最光，因而旁及者为次光。日光正照以直线至于物体，则为最光。有物隔之，旁周映射，则生次光。如云之上，日体所照，最光也。云之下，不复见日，而犹有光，是次光也。

满光者，原光之全体所发；少光者，原光之半体所发也。日未全出地，平上所生光为少光，全昇在上，则生满光。日未全食时，则存少光。既以复圆，即得满光景之四周有最光绕之，即景为次光。以景为明者，误也；以影为暗者，亦误也。称景为明暗之中，庶几近之。盖全无光，乃为暗。今至夜子初，人在地景至深之中，去最光极远，而近日之物尚能别识，即见景中犹存微光，不失为“次光”也。

最光所不及为“初景”，次光所不及，则为“次景。”景与光并行，光渐微，景渐厚，故“次景”与“最光”相反。若初景，即次光也。

最光全不及之处，则为“满景。”若受正照之微光，即为

图

缺景景与光正相反无景之极则为满光无光之极则为满景假如甲乙为施光之物丙为暗球从甲出正照之光过丙球左右其切丙之界者得甲戊及甲己从乙出光又得乙戊及乙丁其庚戊辛为最光全不及之处则满景也若庚

戊辛戊以外，则甲乙光体之多分，渐照之至乙丁甲己乃全光之界，即自戊至丁至己丙球之景渐薄以趋于尽矣。

“太阳光照月及地”第一。〈凡五章。〉

日月地三，球体大小不等。地为静体，日月则有诸种，行度则有高庳内外。其去地去人远近不等，法当以大小之比例及其相远相近之比例，推其施光受光之体势，乃得景之体势，因而得交食之体势盖！交食者生于景，景生于光，不寻其本而求其末，无法可得。其说五章

一曰：“有两球于此，一为暗体，一为明体，而小大等。即明者以半面施光，暗者以半面受光。”

如左图，甲为明球、乙为暗球，小大等即其径。丙丁及戊己各与甲乙线为直角，而丙丁与戊己等，即甲丙甲丁乙戊乙己与甲庚乙辛，皆以半径相等，而丙庚丁半球与戊辛己半球亦相等。今于明球之旁，从丙从丁出两切线至暗球之旁戊巳、戊己与丙丁为平行线，即丙戊与丁己亦平行线也。〈见几何一卷三十三题〉又因：

图

丙戊乙及丁己乙俱为直角即戊丙甲及己丁甲亦俱直角〈见几何一卷二十九题〉即丙戊。丁己线不能割两球，而止切两周于丙、于戊、于丁、于己，其所抱为丙庚丁、为戊辛己，是甲乙两球之各半也。若日、月、地三球相等，而月与地皆以半面受太

阳之光。如上所说，则定朔日食半地面宜皆见之，安得复有南北不等食分？望日，太阴全食时，才食既即生光，安得复有食甚时刻及既内分？今皆不然，可见三球无相等之球。

二曰“明体大，暗体小，则施光以小半，受光以大半。”

如左图，甲为明球，乙为暗球，作两切线，为丙己，为戊庚；从四切点作横线，为丙戊，为己庚，甲既大球，即己丙戊为锐角，丙己庚角为钝角。如曰不然，或皆为直。

图

角即庚戊丙戊庚己亦皆直角两切线必平行而乙球与甲球等〈见几何一卷二十八题〉必不然也，或己丙戊反为钝角，而丙己庚反为锐角，即两切线不能相交于癸，又不然也。今以两切线相交于癸，明己丙戊为锐角，丙己庚为钝角，即于丙丁。

图

戊弧内作负圈角必钝角矣于己壬庚内作负圈角必锐角矣〈见几何三卷三十一三十二题〉故丙丁戊，施光者不及半圈，己壬庚，受光者又不止半圈也。因此推知太阳照地，及太阴必各照其大半，而暗体所隔之日光渐远，又渐敛渐进，以趋于一处，

即景居暗球之背，不得不为“角体”之形矣。又因此推求望日先后，人目所见太阴受日之光不长不消者，久之而后生魄，此为何故？盖？亦因月体以大半受光，以小半入于人目，光不辄转，而魄未遽见，故未望时已见全光，已望后犹未失全光矣。

三曰“明体小，暗体大，则施光以大半，受光以小半。”

如前图反论之，可明太阴何以照地，而地何反隔日之光也

四曰“大施” 、小受愈相近，则施者之小半愈小，受者之大半愈大。

如左图“丙为小暗球”，甲与乙皆大明球，作庚未直线，过三球心，以交于左右切线。其乙球之两切线交于午，甲球之两切线交于未，即庚未长于乙午，而庚丁未与乙辛午两角，庚丁与乙辛两线皆相等，则庚未线与庚丁线之比例，大于乙午与乙辛，而丁庚未角大于辛乙午角也。〈见几何五卷八题〉又庚未线过三球之心，必截丁己辛癸两线为两平分，而庚甲丁乙子辛两

图

形内之甲与子皆为直角则其馀庚丁两角并乙辛两角并皆等一直角即两并率等〈几何一卷三十二题〉两并率之甲庚丁角大于子乙辛角，各减之，所存庚丁甲角，必小于乙辛子角矣。次以庚丁甲及乙辛子不等之两角，各减庚丁未及乙辛

午相等之两直角，所存甲丁未角更大于子辛午角。又丁戊己弧内作负圈角，必等于甲丁未角，辛壬癸弧内作负圈角，必等于子辛午角。辛壬癸弧之负圈角既小于丁戊己“弧之负圈角，则辛壬癸弧必大于丁戊己”弧〈几何三卷三十一三十二题〉夫“辰寅己与辛壬癸相似之弧也，丑寅卯与丁戊己”亦相似之弧也。

大小圈左右各有切线，其切点过分圈之线，其所分大小圈分各相似，其大小两弧亦相似。

“即辰寅己弧亦大于丑寅卯弧，可见明球在近比在远者尤能照小暗球之多分也。”因推知日全食而视为大者，日体去月体远故也。日全食而视为小者，日体去月体近故也。何以分远近？日与月俱有自行圈，与地不同心，其行于自行圈之上下为最高最庳，则为距地之远近，因而生景之大小也。日既全食矣，又何以分大小？月掩日至，既有时昼晦，恒星皆见，虫飞鸟栖，此为全食。而大月在日内，从中掩蔽，虽至食既，而其四周日光皆见，历家谓之“金环”，此为全食而小矣。若然者，日与月与地，相去或远或近之所繇生也。

五曰“小施” 、大受愈相远，则施者之大半加小，受者之小半渐大。

如左图甲乙皆为小明球，丙为大暗球，乙去丙远，于甲作各切线过三球心之直线皆如前。次从暗球心丙至各切点，作丙丁、丙己、丙庚、丙辛各半径，得丙丁为丁壬之垂线，丙庚为庚癸之垂线，而丁与庚皆为直角，丙丁与丙庚两线又等，则丙癸线与丙庚半径之比例，大于丙壬与丙丁，而丙庚癸角又大于丙丁壬角也。〈几何五卷八题〉《依》显丙辛癸角，亦大于丙己壬角，以

图

并前率为庚丙辛合角亦大于丁丙己合角而其弧庚戊辛必大于丁戍己可见小明球照大暗球愈远愈照其多分也今依本图设丙为地外切线〈癸辛也〉以内为《地景》。〈日光过丙大球所出景〉甲、乙两小球为月体。其两小球之小大既等，则同以外

切线为外光之界，或为内景之界。惟因月体循本轮行，时居上周如乙，则去地远；时居下周如甲，则去地近。以是月食之分数有多有寡。月居影厚处，如甲左右，则食多；月居影薄处，如乙左右，则食寡。故曰：“月食有多寡”者，亦相距或远或近之所繇生也。

《景之处所》第二；〈凡二章。〉

凡光以直线照物，体其无光之处，则有景之处也。欲于交食时求影所在，理不异此。盖月与地能出景者，不在其受光之面，或其左右，必于受光反对之面。《日》

图

光不照之地在日食则为月景之处在月食则为地景之处矣说二章

一曰景与光所居正相反

暗体得光于此面射景于彼面是景之中心与原光之心暗体之心参相对如一直线则暗体隔光于景

图

使原光之心恒居一线之末界其正相反之彼界其景之心在焉如曰不然设原光在甲其照及乙乙为暗体隔光生景据云景不射丙〈丙者与甲正相对之处〉为甲乙丙直线，而斜射丁则乙甲丁者角也，有角则有几何，凡几何，皆分之无穷，能出

直线至于无数，而皆至乙丁边。夫甲既为原光之体，

其所照必以直线出之。〈试诸仪器足以为证〉即乙丁皆在受光之地，何自能为乙暗体之景乎？因此明景与光，正在相反之两界。论暗体者，其受光之面，必向光所出之原界，其生景之面，必向景所射之彼界，亦正相反也。论日与月，独至两交之处而有食，亦依此理。

二曰“明暗两体，任一运动，景随之移。”

试以暗体移动，其所借之光，随处不一，即所生之景，亦随处不一。盖！景与“光”既如一直线，即暗体所居定。

图

为景之末界如直线之首首移而线尚不移则是曲线非直线也又试以明体移动设甲为明体乙为暗体乙丙为影则甲乙丙如一直线如曰明体甲移至丁丁仍照乙而乙尚射景至丙则丁乙丙犹直线也有是理乎

问：“太阳照室，仅通隙光，光照墙壁，奕奕颤动。太阳既自顺行，墙隙仍无变迁，则此颤动为从何来？或者光与景未必定为直线，而能微作曲势乎？”曰：“西古博物者亚利斯多，言空中尝有浮埃，轻而不坠，微而不显。庄周氏谓之野马，或亦称为白驹。幽室之内，原光既微，次光反厚，即显此物在于光中，纷入沓出，能乱光” 景之界，使目视景，絪缊浮动，而实非景动，乃景之界线，为浮埃所乱，致使其然也。更以气为证，今观太阳出地，地面以上多生蒙气，气在日体与人目之间，即见日之光界，亦如颤动。非独日也，日中晴朗，切视地面，光耀闪烁，如波浪然。炽炭在炉，炭之四周，火光煜煜，亦如颤动。凡若此者，一皆繇气而生。在日、在地、在炭，固无颤动之理。是以景必系于暗体，如轮必系于枢轴。光上景即下，光东景即西，必相对也，无相就也。故太阳照地，其光绕地一周，则景在其相冲之界，亦绕天一周。盖日光从其本天直射至于地面，而景在地之彼面，亦直射至于月天。第日体常依黄道中线，则地景亦常依黄道中线，而月行常出入黄道中线之内外，是以月体与地景不得恒相遇合，大都不合时多，合时少，故日月不食时多，食时少，以此。

《景之形势》第三。〈凡二章。〉

求食分之几何，必先求景之几何。“景几何”者，以日、月地之大，得景之形势；以日、月、地相距之远近分数，得景之变易，大小分数也。此所论则景之形势，后考其变易之势，得景分以定食分焉。凡二章。

一曰“二体相等，其景平行而无穷；明小暗大，其景渐展而无穷。”

图

论相等者证以平行之切线也如图甲乙两球等丙己丁戊为两球之切线与两球之径丙丁己戊遇于切点皆为直角则互为平行线又球等即径之长短亦等以遇丙己及丁戊无不为平行线也〈几何一卷三十三题〉若两球之周遭，切线无数，

图

皆同此论则引之至庚辛以迨无穷终平行终不能相遇而其形为长圆柱之无穷体

论明球小于暗球则推以三角形相似之比例也如图乙丙为小明球丁戊为大暗球两球之切线丁乙及戊丙引长之过小球必

图

相遇于甲成甲丁戊三角形又从丁戊底作己庚平行线在大球之外成庚甲己三角形与甲丁戊相似则甲己庚角与甲丁戊角相等其各边各角皆相似而甲丁与丁戊若甲己与己庚也反而更之己庚与丁戊若甲己与甲丁也甲

“己长与甲丁”，则己庚亦长；与丁戊愈远愈长，可见大球之景渐远、渐拓矣。〈几何六卷四题〉更论丁戊线之内外角，则在内者为锐角，在外者为钝角。故引切线向内，过小球必相遇；引之向外，愈远愈拓，终不相遇，而其形为无限长、无限广之角体。又因两球所居远近不同，景之张翕随而变易。故两球相近，即乙丙底线为小，其景愈狭，而乙甲丙角形愈短；两球相远，即底线为大，其景愈拓，而角形愈长也。

今验诸日食，有食分同而所历时刻不同者，月景之在地面，广狭不同也。月与日会，月在日与地之间，或月近地而日在远，则目之见界过月周至日体，其界广；日过迟，其见食时刻多。或月远地而日反近，则目之见界过月周至日体，其界狭；日过速，其见食时刻少也。姑以前图明之。目在甲乙丙为月体，丁戊为日体切线，甲丁及甲戊为目所见之界。若日在近为丁戊，即从丁过戊，道近行速，其食时寡。若在远为己庚，从己过庚，道远行迟，其食时多。皆太阳有不同心圈，而太阴又有小轮所繇生也。

二曰“日月、地三体大小不同” ；

“凡暗体出角景者，施光之体必大于暗体”，否者，其光不能照暗体之大半，而使其景渐小，以趋于尽也。试观月食时，月体近地则入大景，远地则入小景，愈远愈小，必至于尽，安得不信日体大于地体乎？设谓日体与地体或等则景宜亦等，或小则宜渐大，又当皆为无穷之景。遇望时，月体必不能出大景之外，不应 “有不食之望矣。有不食”者，是地景之益远益锐也。月食于地景之中，又有全而且久者，是月径更小于景，而景小于地也。地景之远而益锐者，是日大于地也。此以景理推论，三体之小大，略可明矣。若又以日体之大，推月地之景，则更有法可考其大小之比例也。昔人因太阳照地所生之景，及其远近，其视径时时不同，又以较于他体，得其实体之大。说见《月离历指》中。此独用视径定食时刻分之数。其论实体为景与食之原，略举一二如左：

《几何原本》论三角形，于一边之两界出两线，复作一三角形在其内，则内形两腰并之，必小于相对两腰。

图

而后两线所作角必大于相对角如图甲乙为太阳之径丙为目从远视之丁亦为目从近视之此所谓内外两三角形也今先以线论因内形之甲丁乙丁两腰小于相对之甲丙乙丙两腰则所作丁角比相对之丙角亦近于共用之

甲乙底近则见大，故丁目视甲乙日径，必见大于丙目所视之甲乙径也。次以角论，因内两线所作丁角，大于相对丙角，则此内角所对线，亦似大于外角所对线，而丁目所见之甲乙，大于丙目所见之甲乙也。此太阳视径不同之缘也。

求太阳实体之大苐谷，设最高、最庳之中处，得其距地一千一百五十。地半径全数十万。其半径一十五分三十秒，得正弦四百五十一。以三率算法推其全径，得地之全径五又七十五之一十四，如三百八十九与七十五也。又以其径与其周之比例，得太阳体之立方五千八百八十六万三千八百六十九，地球之立方四十二万一千八百七十五，其终数得一百四十弱，为太阳大于地之倍数也。此其“照月、照地生角体锐景”之原也。

《景之作用》第四。〈凡三章。〉

月与地，若各以其景相酬报然。如月望，则地景隔日光，令月不受照，有时失满光，有时全失光也。至月朔，则月体隔日光，令地不受照，有处射满景，有处留少光而已。《说三章》。

一曰月食于地景

月食在望，缘日月相对，其理明矣。独谓暗虚为地景者，或致疑焉。今解之，月对日受光，藉非日月之间有不通光之实体为其映蔽，则何繇阻日光之直照？若天体及空中之火，空中之气，皆通明透彻，不能作障，使月失光也。即金水二星亦是实体，有时居日月之间，然其景俱不及地，况能过地及月乎？则知能掩月者，惟有地体。一面受光，一面射景。而月体为借光之物，入此景中，无能不食，半进而半食矣，全进而全食矣。

二曰“日食” 者，月掩之。

《恒》言“月在内，去人近，日在外，去人远，故定朔时月体能掩日光是已。第金水二星亦皆时在日内，又皆不通光之实体，水星虽小，金星则大于月也，何独月能食日乎？”曰：“二星虽有时在日内，则去人甚远。远则视径见小，不能掩日百分之一二，而日光甚盛，所亏百之一二，非目力所及。且二星比月去日更近，所出锐” 角之景更短，不能及地面也。若月体之大，虽不及太白，而去地甚近，去日甚远，一指足蔽泰山，又何疑乎？由此言之，求一实不通光之体全掩日体者，惟月为能。又自西而东，不及三十日而周其行度，较于诸天最为疾速。故每望定朔，皆同经度，皆能有食。其不食者，繇距度不及交耳。

三曰：“因景之径，生多变易。”

“月以距度广狭为食分多寡：一因去交有远有近，去黄道中线有正有偏，一因入地景有浅有深故也。”今论其全食者，而大小迟疾，犹多变易，曾非一定。盖日在自行本天，月在小轮，相距远近往往不等。日距月近，较距远时更照月体之多，分从月体出景更短，其景至地更小，则日虽全食，月体见小历时亦速也。日与地亦然。以两体相距之远近为地景之大小。使月食时入于地景，在其近末之锐分，则暗虚之体见小，食分少，历时速。皆因三体之相距远近以生大小迟疾。地景、月景皆无一定之径，致令随时变易如此。若月景、地景二径之小大又自不等。故日食尽于食既而月，则食既以后尚有既内馀分。盖地景大于月景，故两食皆全，其亏复迟疾，无能不异矣。又月食天下皆同，日食则否。日食则此地速，彼地迟，此地见多，彼地见少，此地见偏南，彼地见偏北，无不异也。月食则凡居地面者，目所共见，其食分大小同，亏复迟疾同，经历时刻同。唯所居不同子午线者，则见食之时刻先后不同耳。盖月一入景，失去借光，更无处可见其光也。又概论天下日食，应多于月食，为二径折半，其近交时，加以南北视差，易相逮及。故论一方，则日食应少于月食，为月食共见，日食因地故。〈见后卷详之〉

《月在景之光色》第五。〈凡三章。〉

月既暗体，当全食时，一入地景，遂应失其借光，非复人目可见也。盖可见之物，悉无原光，必借外光以显其象，无外光即无从见，有此物，安从更显物色乎？今月居厚景，尚有微光可见，更发色象，或赤色、或青黑色、或杂色，此何从生？今略解之，凡三章。

一曰：“月不独食于地景。”

论“通光者有二体：一谓物象遇甚澈之体易于通射，比于发象元处更加透明，则形若开而散焉。一谓物象遇次澈之体难于通射，比于发象元处少杂昏暗，则形若敛而聚焉。其遇甚澈者，如舟用篙橹，半在水中，发象上出，出于水面，所遇空明气之光，甚澈之体也，则其象散而斜射，视之若曲焉。其遇次澈者，如太” 阳入地平下，其光照地旁，本宜直上，乃所遇清蒙之气，次澈之体也，则其象合聚而射于地面。凡地平以上皆得其次光，为“朦胧”焉。〈即昧爽黄昏亦曰晨昏〉此两者皆以一物经繇两体，其势曲折，皆谓之“折照。”

图

若一物在一体之中，以一直线入目，谓之“直照。”

夫同是日光也，在地面之上，能折入于地景之根际，则自地面而上，何独不能折入于景之中际，至月体经行之处乎？如《图》甲为太阳，乙为地球，藉非清蒙气能迎太阳之光而成折照，则宜从子出光至丙，从丑出光至丁，切地面径过而复合于庚，为地景锐角也。今不其然，因清蒙气周绕地球，日光至丙至丁，遇其次澈之体，难于透射，则曲而内聚，止于戊己地面矣。而大圜中大气，无不受日之照光，光在壬癸者，遇于

图

蒙气即内敛，至于卯辰，此为初折，从卯辰切地而过。若遂以直线引之，即复合于辛，成卯辰、辛杂线三角形，为地之满景。自此以外，全景之中皆得太阳折照之光，与朦胧次光相类，而实为初景，能食望月之满光也。欲求满景之长，姑先依初折之光，引直线复出于蒙气之外。

“姑先” 云者，不宜遽引直线也。盖初折之光，至于卯辰，既抵地面，又复内敛，谓之次折，则两线之交，尚在辛点之内，今云然者，姑先明初折之理。《约定》乙

图

“辛” 之数，如“太阴” 之言“交” ，“泛” 言“平朔” 言本轮也。其次折之理，次二章详言之，求辛点以内之定距率矣。

而借苐谷所测《清蒙》差与多禄某所定地景角之大，得辛辰庚角三十四分。〈近地平之气差大率如此〉得卯庚辰全角，二十五分三十六秒。半之，为辛庚辰角，一十二分四十八秒。其相对之外角乙辛辰，为四十六分四十八秒。〈辛庚辰辛辰庚相对之两内角并〉次乙辛辰三角形。其乙辛辰角既得四十六分四十八秒，乙辰辛为切线，与垂线所作角必直角。此直角与乙辛边，如乙辛辰角与乙辰地半径，即得乙辛短线，长于地半径七十三倍。若论地之全景，乙庚线尚长三四倍也。夫月食于地景，必依其景之体势，显其食之貌象。今全景之中，既以地景兼蒙气之景，则并有初景，有满景，月入于中，随其所至，变易光色，无足异矣。或曰：“从古论食月者，全属地景。今云不止地景，而更加之气景，此为全景，方之地景，不亦愈长愈广乎？”则从上古以来，以地径度月体过景之数，以地径定日月之视径，以地径较日月之两高，以地径求日月之去地远近，悉皆乖舛，而当更定“新率，然乎，抑否乎？”曰：“不然。所论蒙气之景，谓太阳之光，因于此气，能令全景之中，分别厚薄，变易景中之色象，非谓地之径，因景而加大也。譬如眼镜，本无厚之体，徒以变易物象显其用耳。且气景之于地景，亦何能加长加大乎？计《清》《蒙》出地之高，不能过极高之山，极高之山，测其垂线，不能过千四”百步，大地之径则三万里，以高山之步数化为里数，而较地径则五千分之一耳。此气之厚，何能加于地径？而云设此论者，有妨于地径测量之法乎？

二曰：月体当食而成赤色，是气景所生。

“月全食时，其光色往往更迭变易。其初食既，与水生光，当此二际，则成赤色。夫月入地景，果必失光，宜为纯黑，不应复显他色。今赤色者，得无是其本光乎？”曰： “次光之物，惟无光之处能显其光，一遇大光之体，则次者之光泯矣。今以地景言之，月居其甚厚之际，即甚远于大光。果有自体之光，于此尤宜显著。乃今测” 之，则在浅见盛，在深见微，可证食时所见，非月体自有之光也。故应论定月能食于气景，如上所说矣。然食时亦能变易诸色，何以独言赤色？试观太阳下照，地面受之，论其本然，皓明无色，日地之间，或发昏蒙之气，即地面所见，时转为黄，时转为赤，皆因所遇之气，如玻璃映目，色青见青，色绿见绿也。今日照地，旁照光所过，清蒙之气因于斜穿而成厚体，月体所显光色尤深，成为赤色矣。试论其所以。

视学家有公论。“凡象斜射，次澈之体，以垂线为主，曲折通之，初入则聚折而向于垂线，既出则散折而离于垂线也。何谓垂线？盖于澈体之面，过受形之点作”

图

线下垂则是折照所向所离之线如图圆体甲戊乙方体甲丁戊皆次澈也当其面有斜照之光在丙至甲点而入至乙点而出则甲丁与丁乙皆为垂线照光至甲点而入必聚而折向于甲丁垂线至乙点而出必又散而折离于乙丁

图

或乙壬垂线若言光至乙点出或不照庚而更照己则是反照之光非折照之光也依此申言上章所推地球满景之长如图太阳之光遇于蒙气从壬癸折入作壬卯癸辰线为初折又从卯辰折出作卯午辰未线为次折以复合于己

“别生午己未杂线角形”，乃因乙己未角生己未辛及己辛未为外两角，并之，得乙己未内角一度二十○ 分四十八秒。今设从满景之角己出切线至地球辰，得乙己辰直三角形，则因乙己辰角一度二十○分。

乙己辰角比乙己未角差数甚微，略得四十八秒，故以算景之长，不论为数。

如前比例，得地满景之心，长于地半径四十三倍，比月最庳之入景处，近地一十一地半径也。

月最庳入景五十四，最高入景五十八。

今图月在景之形势，地球为甲乙内圈，其四周有气，为丙乙圈，气外切边之光复合于卯，是为全景。透气之光，自丙至戊，因戊以上，所照必聚，而止于地面，无从透达也。则光至丙，为太阳之外边，所照光至戊乃其近中体，所照以丙较戊更斜，从庚而来，入气处更曲，从辛来之光，已透气而复出更直。故令丙丁线割戊己线于壬，为丁己壬角形，是为“次光”，又为初景。其角形周遭为环体，抱满景而居全景之中也。丁己壬角形既尽于壬，而又展开至癸，左右相交，至丑寅愈

图

远，愈拓复出乎景矣。则丁己壬以内，壬丑寅以内，皆初景之所居也。因此设月体为子入景，正初景展拓之处，月食既正在其中，将复光亦如之。是故两时皆显赤色，食甚离于次景，入于满景，乃变青黑矣。

三曰“月体当食而成青黑色” ，是借光所生。

“月居食甚之中，时显杂色，时但青黑，皆须因光而见。若并无光，当纯黑色也。前已言既入此界，即无太阳入气折照之光，则所繇见色者，意或月体自有微光乎？”曰：“凡杂色之映见，皆不繇于纯光，纯光自当无色也。杂色所从著见者，必因湿气居其中间，如虹霓是已。若虹霓是湿云所映，无从可证。试以玻璃瓶满贮清水，别为密室，止穿一隙以达日光，瓶水承隙，则光透墙壁，亦成虹霓。”大气之体，本是热湿，因于地气时重时轻。若太阳之光从地旁过，而地景在湿气之中，则月体所至，生种种色，亦此理矣。若青黑色月在满景多见之，则因去光最远，所得希微之光，不足显其本体，故光色近于纯黑。果绝无光，又不能显此色矣。第所谓希微之光者，实非本光。如前言，人在地景最厚处，天光尚映，照之近日之物，略能别识。若月食时，则受光之天，去月体最为切近，而诸星环绕四周，皆有借光可照。月体较人在地面，尚为景之薄处，岂得无微光可借，聊显色象乎？何必假此疑为自有之本光？问：“合朔以后，月之下半未受日光，而月体微光亦显青黑之色。若无本光，此光又何从而生？”曰：“生明以后，魄显微光，然能去离月体，足知其非本光。去离者未至上弦，此光渐消渐不可见也。若实为本光，则上下弦前后深夜视之，比朔后之月尚近太阳者尤为窈黑，其本光愈宜显著。今为不然，深夜即无，初昏即有，其”为，此时地面反照之光，甚易明矣。

此论月为暗体。绝无本光。与《月离历指》四卷第二十六所论者不同。盖。西土原有此二说。不妨互存之。

《日月食有定时》第六。〈凡二章。〉

“日月交食皆有定时”者，在月则因地景，在日则因月景。景之推移，既随日躔所至，终古不爽。又月行本道所距黄道度分，亦有一定之法。是以一在定朔，一在定望，当食必食，多寡先后上下，千百世可知也。《说》二章

一曰地球在天心

日食恒在定朔、月食恒在定望者，何也？地球在天心故也。验诸日食，必两曜同居一线，而月在地与日之间，正隔日光于地。又验诸月食，令日月不相望于一直线两界之末，则终古无食也。设地不居天中，或偏近于黄道之上下左右，则食不在半周；而月食之冲，非太阳所在矣。〈古法以月食冲简知太阳所在〉如图“《甲》为地”，从甲心。

图

作乙丁丙戊圈为宗动天之地平则甲必为天之心也何者从乙出直线至丙丁至戊亦如之乙为东并为鹑首初度丙为西亦为星纪初度丁为鹑火戊为元枵皆初度也则有视学之公论三其一曰月所视物必从直线乃见之使目

图

在甲能遍见乙丁丙戊即甲乙甲丁甲丙甲戊皆直线也其二曰若光从一窥表出能射黄道正相对之两点必为径线此乙丙及丁戊能过甲亦如光过窥表甲能至黄道鹑首星纪等宫正相对之初度则乙丙及丁戊必为本圈之径

更试测日月定望时，得并在地平，此出彼没。若距度同，即日月略居其一径之两末，则乙丙及丁戊为圈径无疑也。其三曰：“凡圈中有多径线，交而相分，其两分线必等。”此两径乙丙及丁戊交而相分于甲，即甲乙甲丙，甲丁甲戊线皆相等。又几何？一卷第十七、三卷第三界说，皆言圈中一点所出多直线，至其界皆 “相等”，即此点定为圈之心。今甲点出甲、乙、甲、丙等直线，至乙丁丙、戊各界诸线皆相等，即甲必为本圈之心。因此推之，地球在天之心甚易明矣

二曰食之大小疏密，因月距度：

昔人测日月食必在正、中二交。月体去交渐远，则食分渐少，以至无食。何也？月以本体掩日，而日为之食；又以本体入于地景而自为食。故《恒言》日、月地居一直线之上则食，偏则否。三球之所以偏者有二：一则日体恒行黄道中线，地景恒在其正冲度分；一则月行常出入黄道中线。是故有时不入地景，则食与不食，皆因月行本道与日与景之距度多寡而已。若其距度较日、月景之二径折半，或大或等者，必不食也，小则必食也，愈小则食愈大也。但月与景之二径折半，大不过一度，日与月之二径折半，止三十馀分耳。故两交左右之距度，或在阳历，或在阴历，各有食限。不入食限者，虽遇朔望，无缘相及，故“一岁之中，不能多有食矣。”即入于食限，而去两交有远有近，则其距度有广有狭，即食分有寡有多，相因致然，不能齐一也。

《日月食合论》第七。〈凡一章。〉

日食与月食不同势，食日谓之障食，食月谓之“藏食。” 何谓“障食？”日为诸光之宗，月与星皆从受光焉。月之食日，非真食日也。《定朔》则地与月与日自下而上为一线相参直。月本暗体，今在日与地之间，以暗体之上半受光于日，以下半射景于地，如屏蔽然，特能下揜人目，而不能上侵日体，日之原光自若也。虽人见为食，而实非食也。何谓“藏食？定望”则日月相对，日光正照之，月体正受之，人目正视之。若于此际经度相及，适及两交，日与地与月亦为一线相参直，而地在日与月之闲，地既暗体，以其半体受光于日，以其半体射景于月。若月体全入于景中，则纯为晦魄，必待出于景际，然后苏而生明，如没而复出者然是则可谓真食也。总之，日月两曜，若同行一道之上，则每朔每望无不食矣。日月、地三体，若并不居一直线，则永无食矣。惟各行于一道，时及于两交，故日与月皆隔五月而一食，或六月而一食，岁岁大率有之。不食者半食于夜，日食则此方所见，他方所不见耳。其食也，日体恒居一直线之此界，其彼界则月体地体叠居焉。月居末界，即月面之日光食于地景矣；地居末界，

图

即地面之日光食于月景矣如上图甲为地己为日卯辰圈为黄道乙丙为白道其大距〈两距之最远〉五度弱二分，丁戊为两交。〈即龙头龙尾亦名罗㬋计都〉论《月食》：“日照地球，其光自庚辛至地切两旁过之，而复合于壬。自甲至壬角体之形为地景。地景

之心，恒随太阳而行。黄道中线若躔处去两交远，二径折半小于两道之距度分，月行本道，从旁相过，不能逮及，则不食矣。若正遇于两交，或交之左右，二径折半大于二道之距度分，则两相涉入，月为之食。其食分多”寡在距度广狭，距度广狭在去交远近也。论日食则人目所见，恒在地面，推得实会，仍须推其视会，若仅据实会，则是地心之见食，非地面之见食。凡有无多寡，加时先后，悉皆乖失矣。如《图丁》为月，或正居于两交，或在交之左右，日月二径之各半，合之小于距度分，则月能掩日，日为之食，不然则不食也。所谓“实会、视会兼推则合”者，地面所见，推食于地平以上，至天顶之正中，则独推实会，便为视会。自此以外，地面所见，先后大小迟疾渐次不同。如图人在地面，癸依丁月之径，适满太阳之庚辛径，则见为全食。若人在地面，子依丁月之径，乃见两切线所至为己寅，则月掩太阳，止于己庚，半径见为半食矣。大凡日欲食时，月不能离躔道一度强。自此以上，无缘相涉，故定朔之日，有食时少，无食时多也。〈以上原本历指卷九交食之一〉

《日月本行图》第一。〈凡二章。〉

日居本圈，月居本轮，行度参差，因而有交食，因而每食不同。此略图二曜本行，以明交食之原。《月离图》独言“朔望”者，交食时必在其本轮内圈之周也。

太阳本行图

甲为地球在天心，其大小之比例，难可计算。略言之，则地之与天，若尺土之与大地也。如图外大圈为黄道，与地同心；内圈为太阳本天，其心在乙。乙之离地心，依《苐谷》算为全数。十万分之三千五百八十四约。

图

之为百分之三有半也其最高今时在鹑首宫六度为丙太阳右行从辛过内一周天而复于辛为三百六十五日二十三刻三分四十八秒是谓岁实任躔某宫某度分皆以地心甲为主而地心所出直线至戊黄道指为太阳之实行

其平行则又以本圜之乙心为主，故人在地所测之

实行，时速时迟。而太阳因最高在北任分，本圈则北为大半，故北六宫之日数多于南六宫几八日有奇也。

依此见求太阳之躔度必用两法：一者定其平行，如随乙丁己直线窥之，从乙心见黄道上之己点；二者定其实行，如随甲丁戊窥之，乃从地心见黄道上之戊点。先得其平行，又以加减求实行，而平实之差为戊己弧，以甲丁乙三角形求之，即得也。其自丙过秋分至庚两行之差，必减平行而得实行。自庚过辛春分至丙，则加于平行而得实行。若用表，则从丙最高起算，或从庚最庳起算。至日体之本度为引数，以求加减之度。

太阴朔望本行图

月离之术，依《歌白泥论》，“有本圜、有本轮、有次轮。”本轮之心依本圈之边满一转，即次轮之心依本轮之边得两转，故朔望时月体皆在次轮之最近。最近者，近于本轮之心也。因是不用次轮，但以最近处为界得。

图

圆圈月离历指谓为本轮之内圈此可名朔望之小轮也

假如丙丁戊为太阴朔望时之本圈则与地同心〈因无差故设为同心〉本轮为乙、丙、丁，其心在本圜之边。甲右距日，得每日十二度一十一分，其最高在乙，最庳在己。月

体则又居次之边，左行自乙至丙而己而丁，谓之“引数。”最外有黄道为辛、庚。若从地心出直线上至黄道，而次轮心正居此线之上，则所指者为太阴之平行度分也。又从地心出直线上至黄道，而月体正居此线之上，则所指者为太阴实行度分也。凡月转或在高、或在庳，正当一宫初度；〈乙也〉或“七宫初度。”〈己也〉则平行即是实行，过此必有两行之差。则以差数加减于平行度分，得其实行度分。又月在乙丙己半转，则以减得之，若在己丁乙半转，则以加得之，以在朔望。故平实行相距之极大差不过四度五十八分二十七秒。〈甲丙甲丁是也〉过此为两弦之差，则更少与交食，无与月离。历详之，若用不同心圈论，则并不用此本轮。其加减平行度分而得实行度分，理则一也。因日月以平实分本行，故平朔、平望时，两体未必正相合、正相对，凡实会之，或先或后，日月各以其平行直线相遇，而合为一直线，则是中会。

“《实会》中会。”视会第二。〈凡三章。〉

《测天约说》言“日月之行有隅照。”〈相距三之一〉有方照：〈相距四之一〉有六合照。〈相距六之一〉然悉无交食，而独相会。〈朔也亦名合会〉对相。〈望也亦名照会〉则能有食。故本篇所论者，止于“相会”“相对”也。抑会者，总名也。细言之，有实会，有中会，有视会，三者皆为推步之原。故言交食之术，必先言相会相对，言相会相对之理，必从“实会”“中会”始。

《实会》中会。以地心为主。

“实会”者，以地心所出直线上至黄道者为主，而日月五星两居此线之上，则实会也。即南北相距，非同一点，而总在此线正对之过黄极圈，亦为实会盖？过黄极圈者，过黄道之两极，而交会于黄道，分黄道为四直角者也。则从旁视之，虽地心各出一线，南北异纬，从黄极视之，即见地心所出二线，东西同经，是南北正对如一线也，是故谓之“实会。”若月与五星各居其本轮之周，地心所出线上至黄道，而两本轮之心俱当此线之上，则为月与五星之中会。日无本轮，本行圈与地为不同心，两心所出则有两线，此两线者若为平行线，而月本轮之心正居地心线上，则是日与月之中会也。盖！《实会》既以地心线射太阴之体为主，则此地心线过小轮之心，谓之“中会”矣。若以不同心圈之平行线论之，因日月各有本圈，即本圈心皆与地心。〈即黄道心〉有相距之度分，即日月循各本圈之周，右行所过黄道经度，必时时有差。〈与地不同心故也〉“其从地心出直线，过日月之体上至黄道，此所指者为日月之实行度分也。设从地心更出一平行直线，与木圈心所出直线偕平行而上至黄道，此所指者为日月之平行度分也。盖太阳心线与地心一线平行，太阴心线亦与地心一线平行，恒时多不相遇。至相遇时，两地心线合为一线，则是日月之中相会。若”太阳实行之直线与太阴实行之直线合为一线，则是日月之实相会。合会、“望会”，皆有中有实，其理不异。

先依小轮法作图甲，为地心，亦为黄道心，亦为太阴本圈心。

太阴与地同心者，为用本轮，故盖“本轮周” ，即太阴圈心绕地心之周，其理一也。

乙为太阳本圈心。〈与地不同心〉“太阳在丁，太阴在戊。”甲戊丁线直至黄道圈，得辛指日月实相会之度，如太阳

图

在丁太阴亦在甲辛直线上为庚而此线至黄道圈得丙即指日月实相望之度若太阴在癸与太阳不同一线之上乃过月本轮之心已而至黄道壬此直线之所指则日月中相会之度也如月在庚从地心出平行线甲子与甲壬太

图

阳平行为一线而至黄道子亦指日月中相望之度矣

次依不同心圈法如后图黄道与太阳之本圈皆同前独太阴无本轮而易为本圈其心与地心不同在甲乃在丙此亦以日月并居一直线为实会如太阳

图

在丁太阴在本圈之边戊地心所出甲戊丁线至辛则所指为实会而正对月体至黄道寅则所指为实望若中会中望则以平行线为主盖甲壬为地心所出直线既偕太阳本圈心所出过日体之直线乙丁为平行线又偕太阴本圈

“心所出过月体之直线，丙庚为平行线”，则是两偕行之直线合为一，甲壬而至黄道，故所指者为日月中相会之度也。其至相对之黄道上为癸，则所指者为日月中相望之度。设过此交会之时，太阴在丑，则月圈心出者为丙丑线，地心出者为甲己线，两线自偕为平行，而甲壬与乙丁自偕为平行，甲壬甲己不得合为一线矣。故地心所出之“两偕行”线，能合为一甲壬者，必指中交之度，为日月相会之共界也。

“实会” 、“中会” ，相距无定度。

“日月本圈各与地不同心，故两圈心所出直线各与地心所出直线，虽恒为平行线，而又与地心所出直线，其相距广狭恒无定数。设日在本圈之最高，月在本圈之最庳，其实行所至即平行，所至则中会即实会矣。或太阳在最庳，太阴在最高，或两最高、两最庳在黄道上同度，则中会、实会亦皆无距度也。惟日月” 去本圈之最高及最庳，右行渐远，则地心所出平行直线渐相去至半圈周，则甚相远而为实中两会之相距最大差。

图

假如甲为太阳之最高乙为太阴之最庳若太阳在甲太阴在乙即两本圈心及地心所出直线上至黄道皆合于甲乙线则实会无分于中会也若太阳至丙太阴至丁去最高各不甚远则地心所出辛平行线距本圈心所出直线亦

图

左右稍远即中会亦稍远于实会矣又使太阳在戊太阴在己则三直线相距更远而实会中会相距亦更远此则以太阳之引数九宫二度得戊辛弧二度三分一十五秒应减以太阴之引数八宫二十八度得辛庚弧四度五十八分

二十七秒应加，依法合之，得戊庚弧七度○一分四十二秒，为太阳、太阴实会相距数。

“实会” 中。会互相随。因有变易。

“实会”与“中会”，多不同时，或中会在先，实会在后；或实会在先，中会在后。惟“日月”各居其本圈之最高、或最庳、或一居最高、一居最庳，则中会不分于实会。〈因平行度乃正是实行度〉即不用加减度分，若彼此俱加于平行度，或俱减于平行度，而所加减之度分等，则中会亦不分于实会也。〈两均数相减若俱等无所试故〉又依《黄道右行》论之，使中会之时，太阳之实行在前，太阴之实行在后，则实会在前，中会必随而在后。〈月行速过中而得实会〉若中会时太阴在前，太阳在后，则实会必后于中会也。〈实会之后月乃过中〉若太阳与太阴，或皆在本轮中转之半周。〈从最高至最庳〉则两曜所得加减度，其一较狭者必在前也，或皆在本轮正转之半周。〈从过庳至最高〉则两加减度，其一较广者必在前也。若其不同在最高庳之间，而各居一半周，则过最高者在前，过最庳者反在后矣。

如图太阳在本圈，太阴在次轮，外圈为黄道，从地心

图

出直线至黄道而过本轮心所指者为日月两平行度之中会盖地心所出日月两平行线合为一线也若地心线从中会线之左右过日月两体而至黄道所指者为日月之实行度而两线相距之广即日月相距之度法应化为时刻

图

分以加以减于中会乃得实会也又日月平行同在甲或在乙加减度不同类〈一实在前一实在后〉则两率并之，得日月相距之度。若日月同在丙丁戊己，加减度同类。〈或都在前或都在后〉则两率相减之馀，为日月相距之度也。依本《图》论，日月在甲，则以太

阳之加减度加于平行，而得实行。〈在前故也〉太阴则减之，而得实行。〈在后故〉其所差时刻则以加于中会，得实会也。〈月过中而逐及于日故〉“日月在乙”，其加减度，则太阳用减。〈在后〉 “太阴”用“加。”〈在前〉其时刻则相减以得实会也。〈既会之后月乃过中〉若在丙，太阴之加减，度大，太阳小，皆减之。其时刻则加之，以得实会。〈月欲及日故〉若在丁，太阳之加减，度大，太阴小，亦皆减之。其时刻亦减之，而得实会。〈月已过日故〉若在戊，太阴之加减度大，太阳小，皆加之。〈皆过中故〉其时刻则减之，得实会。〈月已过日故〉若在己，太阴之加减度小，太阳大，皆加之。其时刻亦加之，得实会也。〈月欲及日故〉总论之“行度在《中会》”前即当加。〈甲日乙月戊己之日月〉“在《中仑》”后，即当“减。”〈甲月乙日丙丁之日月〉时刻月实行在日后，则当加。〈甲丙己是〉月实行在日前，则当减也。〈乙丁戊是〉

“《推中会实》，《会元法》”第三。〈凡五章。〉

日月同居黄道经度，分秒不异，是为“正相会。”正相会者，实朔也。日月相距正得黄道半周，分秒不异，是为正相对。正相对者，实望也。其推步之法，因二曜之实行度不同，其实行之变易，又时时不同，故先以平行求得其中相会、中相对，而后渐得其实相会、实相对焉，第中会之法以纪首。〈甲子为纪首〉以每年每日每时之平行度分推步易得耳。《实会法》必用《几何术》中三角形弧弦切割诸线，非是则无从可得。故今《交食历》中所列诸表，不过求中、“求实”两法，而求实甚难，不得不繁曲，不得不详密也。

求中会

“月行黄道，视日行甚速，其在后也能逐及于日；其既及也，又超于日前。其在朔也，有时隔日光于在下；其在望也，有时失光于地景。”求朔望法，先定太阳之平行度分，以求太阴距日之度分。若同居黄道经无距度分秒则为朔，若相距正得半周则为望。外此则中会在先，必减其已过之时刻而得中会。若中会在后，则加以不及之时刻，而得中会。

假如壬申年三月十六日癸丑，日月相望，求太阳平行，其纪首为“天启四年甲子天正冬至后第一日子正时”，太阳在九宫○度五十一分四十五秒，至本日癸丑午正时，得中积时，为八年一百三十五日六时，用太阳平行度。每年一十一宫二十九度四十五分四十一秒，每日五十九分八秒二十微，每小时二分二十七秒五十一微并得中积度，为三千○一十一度三十八分四十七秒。加纪首前宫度，得总数满平周。〈三百六十度〉去之，馀四十二度三十○分三十一秒，为本日午正时太阳躔大梁宫之平行度分。

次如前法，求同时太阴中积度分。一百二十九度三十七分二十二秒四十微，每日一十二度一十一分二十六秒四十一微，为太阴。自太阳平行度分加纪首前十度一十七分三十六秒五十三微，并得二千六百九十九度七分二十四秒，满平周去之，馀五宫二十九度七分二十四秒，为本日午正时月距太阳之经度分，以减半平周，为不及者五十二分三十六秒，未得正望。求其时，用不及度三十分二十八秒三十七微为一小时，其馀得时四十三分三十三秒为正中望，算外，得未初二刻一十三分三十三秒。

求引数

凡日月在最高或最庳，其实行与平行者无异。外此则不同行，而两行相距又无定数。故从最高右行，指其平行所至黄道之弧，为引数因之，以求太阳、太阴两处所差加减度。若太阴则从其本轮之最高起筭左行，为引数之弧也。第须先定日月在中会时之平行度。如前。太阳正午在大梁宫十二度三十分三十一秒一小时又行二分二十七秒五十一微，尚未至中会，须行四分一十五秒。〈并小时〉得中会时刻。以加前得数，其中会平行度，在本宫一十二度三十四分四十六秒，其正相对为太阴平行度分，则在大火宫矣若太阳平行度正合于最高，则无引数，亦无加减，过之即相减。不及，则于平行度外加一平周。〈三百六十度也〉而减最高，馀为引数。假如最高每年行四十五秒，从甲子至壬申年三月，得六分一十七秒，以加于纪首之最高，得三宫○五度五十六分五十八秒，并得三宫 ○六度○三分一十五秒，为太阳最高行度。因太阳平行度在二宫不及，加平周减之，得十宫○六度三十一分三十一秒，为太阳中会时。引数同时，依太阴每年之本行二宫二十八度四十三分八秒，每日行一十三度三分五十四秒，其中积得二千四百八十度五十九分五十三秒，加入纪首前六宫一十七度四十六分二十三秒，满平周去之，得五宫八度四十六分一十六秒，为太阴壬申年三月中会时之引数也。

求实会

法先求太阳加减度，依前所得最高及平行，作图外圈为黄道。从春分向左，计其平行度，从地心出直线指之。次从心又出一直线，至最高度，线上任取一点。

图

为太阳本圈心从太阳圈心又出直线与平行度之指线为平行线至黄道更从黄道心〈即地心〉出直线，过太阳体之心，至黄道，指其实行度也。

如图外圈为黄道其心甲出直线至丁即前所推太阳平行在大梁宫十二度

又出直线至三宫六度，为当会时之最高行度。内圈为太阳本圈。其心乙出直线，过太阳至己，更作甲丙直线，引至戊，指太阳之实行度，即戊己弧为加减度。应推丙角，用甲乙丙三角形，如法求之。

如图引数之馀弧，为丁辛或己辛，五十三度二十八分二十九秒。〈止论角故异弧同度〉即丙乙辛外角也。甲乙两心之差，为全数十万分之三五八四。今以弦线求加减度，先依甲乙线作甲乙庚直角三边形，用句股开方求弦线，其比例为甲丙线与甲庚丙角之正弦。若甲

图

庚线与甲丙庚角之正弦得一度三十六分五十五秒为太阳加减度若用切线则更省以全数加两心之差数得一○三五八四恒为第一率又相减得九六四一六为第二率引数之角随时不一半之而求切线为第三率如法求得

第四率为切线。查其本度分，以减半引数，馀为加减度。若本图则引数馀，弧之角半之，为二十六度四十四分一十四秒。其切线五○三九○为三率。如法得第四率，四六九○三，为二十五度九分四十一秒之切线。以减半引数，得一度三十六分三十三秒，为太阳加减度也。

次求太阴加减度按《西历》近世名家，先有歌白泥，后有苐谷，从前所论会法，两家之说略同，至论太阴，则苐谷之术更为精密。今先言旧法，次言密法。

图

旧法曰如图黄道内作同心圈从太阳平行度越半周而定太阴平行度之一点从心出直线至此点必为本圈之过心线而指本轮之心次从本轮最高左旋查其引数又从黄道心作一直线过太阴体两线所至黄道间得一弧此弧

为太阴之加减度也。〈加减度即名均数〉

假如太阴平行度在大火宫正对太阳，其引数自戊左行至丙未，及半周，月体在丙，两直线并出甲，甲乙戊指平行度，甲丙己指实行度，戊己弧为所求加减度，其求之者，甲乙丙三角形也。若用句股法，则自丙至丁，下垂线开方，求得甲丙弦，则甲丙线与甲丁丙角，若丙丁线与丁甲丙角也。如用切线，则甲乙全数十万。本轮之半径，乙丙八六○○相加得一○，八六 ○○相减得九，一四○○又半引数求其切线，如恒法即得均度之切线矣。以此推步交食，未免彻差。苐谷新法更为详密，鲜不合者，今诸列表悉用此术，故应说其义，指如下文。

密求实会。〈苐谷法：〉

《月离历》指论太阴之本行，故备晦朔弦望。此说交会，故图说止于朔望也。太阴交会仅用三圈，一为本天，一为本轮，一为次轮。本天即本圈也，与地同心，负本轮之心，其半径当十万，则本轮之半径得五千八百。从最高左旋，负次轮之心，如次轮心从最高丁行至

图

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己，其自行度即表中所名“引数”，用以求加减度，加减度即均数也。若本轮在子或寅，则月体在庚，自行在一宫初度，或六宫末度，则无引数可计，亦无均度可求矣。若本轮在丑，则月体在丙，自行得三宫初度，为交会时之极大差。欲得此数，用甲乙丙三角形求之，甲乙线为全数，乙己与巳丙相加，得乙丙为八千七百，甲乙丙角系自行之象限，必为直角。依前法以切线求乙甲丙均度角，必得四度五十八分有奇。若自轮在卯为十宫，月体在辛，必用两三角形，乃得均度。

图

其一为甲卯辛形。所求均度为卯甲辛角，形中特有全数，无从得角。宜先推卯己辛三角形。形有本轮之半径，卯己有次轮之半径，己辛有引数馀弧之倍角，卯己辛。如法推得卯辛线及己卯辛角，以减于引数，得其馀弧之数，为甲卯辛角。因此可求卯甲辛角为均度也。更论次轮之周，月体循而右旋其半径仅得本轮半径之半，以较全数，得十万之二千九百，两半径并得八千七百，为会时所用之数。以推最大均度，太阴在次轮从最近庚起算恒倍本轮行如丁己为

图

本轮之一象限而太阴行小轮从庚至丙得半周是自行得半周太阴行全周故前言本轮在子在寅月体至庚悉无加减数也今依图求太阴均度如前设得其自行五宫八度四十六分一十六秒距太阳半周其经度在大火宫一十

二度则本轮在乙，从地心引直线，为甲乙全数。从乙出直线至自行之限，丙必与中最高线，甲戊为平行线，而定引数为庚丙倍引数。从最近右旋，得太阴在次轮。丁从乙至丁，引乙丁直线，则得乙丙丁三角形。其乙丙丙丁两线，为两小轮之半径，乙丙丁角为倍引数。〈辛壬丁是〉之馀角。〈丁辛弧是〉即可求丙乙丁角与乙丁直线也。又甲乙丁三角形，欲求乙甲丁均度之角，以切线算之，宜先得己乙丁角，以偕全数及乙丁线，乃得其所包角矣。法见下文。

如图求丙乙丁角倍引数。〈辛壬丁也〉得三百一十七度三十二分，三十二秒馀。〈丁辛〉四十二度二十七分二十八秒，为乙、丙、丁角，其馀角：〈乙丁两角也〉总而半之，得六十八度四十六分一十六秒，其切线得二五七四三○为三率，两轮之半径相加得八七○○为一率，相减馀二九○○为二率，算得第四率，切线八五八一○。其弧四十度三十八分，以减前总馀角之半数，得二十八度○八分一十六秒，为丙乙丁角也。次求乙丁线，则丙乙丁角之正弦。〈四七一六○〉与丙丁。〈二九○○〉若乙、丙、丁。

图

角之正弦〈六七五○五〉与乙丁线算，得四一二九。次以甲乙丁大三角形求均度，先得己乙丙角。〈引数之馀未满半周〉以加丙乙丁角，得己乙丁角四十九度二十二分，其馀角〈甲丁两角〉总而半之，得六十五度一十九分。查切线二一七五八二为三率，以乙

丁线加全数，共一○四一二九为一率，相减得九五

八七一为二率，算得第四率切线二○○三二○。其弧六十三度二十八分一十七秒，以减前六十五度一十九分，馀一度五十分四十三秒，为所求太阴均度，与列表合。

今以两所得均度求实会时，查图视均度，或以加于平行度，或以减于平行度，即见太阴距对处若干，或过之或不及，则以其相距之度分化为时刻，依前法或加或减，于中会时刻，必近于实会时刻。

如前推壬申三月月食，其会时太阳之平行在实行后，则以均度加于平行，得实行。太阴之平行在实行前，则以均度减实行。又以二实行相较，见太阴视正相对。不及者三度二十七分三十八秒，化为二十七刻三分四十五秒。以加前中会算外，得实会在戌正二刻二分一十八秒。

复求实会时

日月之两实行，变动不居，非一圆形能尽其理几何？家欲径测径推，无法可得。故须先用平行，以渐推其实行，顾又非一推可遽合也。盖初用之引数，其所指者，《中会》之引数，非《实会》之引数，则其加减度所推实时，特近于实时，非正实时也。法宜更求中《实会》之间日月自行度分，依加减时法，或加或减，于前之平自行，乃得次引数。求其均度。复查二曜实相距度，化为时刻，或加或减于中会时刻，乃得正实时刻。若三推之终，所得时刻分秒，不异于次，得即《合天》无疑矣。假如前得差二十七刻三分四十五秒，其间太阳复平行一十六分四十七秒，以加初平行，得一宫一十二度五十一分三十三秒，减其最高。〈最高不动即用前数〉得自行一十宫，六度四十八分一十七秒馀弧。〈至满周〉五十三度一十一分四十二秒，半之而求切线，得五○○ 七○为三率，以全数加不同心差为一率，相减为二率，算得四率，四六六○五。其弧一度三十六分三十四秒，为太阳次均度也。

太阴中实会之距时间，〈即前二十七刻有奇〉复平行三度二十七分二十八秒，以加前经度，总得经度七宫一十六度二分二十四秒，为本轮居本圈之处，而本轮此时

图

间亦向右自行三度四十二分三十一秒以加前自行得次自行五宫一十一度二十八分四十七秒即次引数也为次轮心居本轮周之处倍之得太阴居次轮周之度也借前图则乙丙丁角今为三十五度二分二十六秒馀角〈乙丁两角〉

总而半之，得七十二度二十八分四十七秒，其切线三一六七六八为三率，一二率如前算，得一○五五八八，其弧四十六度三十三分，以减前半弧七十二度二十八分四十七秒，得二十五度五十五分二十二秒，为丙乙丁角。次求乙丁线，则此角之正弦四三七一六为一率，丙丁半径为二率，乙丙丁角之正弦五七四一六为三率，算得三八○八，为乙丁直线也。今求均度，以自行馀之甲乙丙角并丙乙丁角，为己乙丁角四十三度二十六分三十五秒，馀者〈甲丁两角〉总。