钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第103卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百三卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百三卷目录

　测量部汇考四

　　诗经〈鄘风定之方中　大雅公刘〉

　　易纬〈通卦验〉

　　书纬〈考灵曜〉

　　淮南子〈天文训〉

　　隋书〈天文志〉

　　宋史〈律历志〉

　　宣和博古图〈周双螭表座　汉表座〉

　　元史〈天文志〉

　　新法历书一〈大测上〉

历法典第一百三卷

测量部汇考四

《诗经》

鄘风定之方中

定之方中，作于楚宫。揆之以日，作于《楚室》。

〈传〉定营室也。揆，度也。度日出日入，以知东西南视。定北准极，以正南北。室犹宫也。〈笺〉“定星昏中而正”，于是可以营制宫室，故谓之“营室。”“定昏中而正”，谓小雪时，其体与东壁连正四方。〈疏〉正义曰：此度日出日入，谓度其影也。故《公刘传》曰“考于日影”是也。其术则《匠人》云：“水地以县，置槷以悬，视以影。为规，识日出之影与日入之影。昼参诸日中之影，夜考之极星，以正朝夕。”注云：“于四角立植而悬以水，望其高下。高下既定，乃为位而平也。于所平之地中央树八尺之槷，以悬正之，视之以其影端，以至日”入。既则为规，测影两端之内，规之、规之交，乃其审也。度两交之间，中屈之以指槷，则南北正也。日中之影，最短者也。极星，谓北辰也。是揆日瞻星以正东西南北之事也。如《匠人》注度日出日入之影，不假于视定视极，而东西南北皆知之。此传“度日出入以知东西，视定极以正南北”者，《考工》之文，止言“以正朝夕”，无正南北之语，故规影之下，别言“考之极星”，是视极乃南北正矣。但郑因屈横度之绳，即可以知南北，故细言之，与此不为乖也。

大雅公刘

《笃公刘》，既溥既长，既景迺冈。相其阴阳，观其流泉。

〈传〉“既景乃冈，考于日景。”参之高冈，〈笺〉以日景定其经界于山之脊，观相其阴阳寒煖所宜，流泉浸润所及，皆为利民富国。〈疏〉“日影定其经界”者，民居田亩，或南或东，皆须正其方面，故以日影定之。

《易纬》

通卦验

冬至之日，树八尺之表，日中视其晷景长短，以占和 否。夏至影一尺四寸八分，冬至一丈三尺。

《书纬》

考灵曜

“日末影尺五寸，日短景”尺三寸。

《淮南子》

天文训

正朝夕，先树一表，东方操一表，却去前表十步以参 望，日始出北廉。日直入，又树一表于东方，因西方之 表以参望，日方入北廉，则定东方两表之中，与西方 之表，则东西之正也。日冬至，日出东南维，入西南维， 至春秋分，日出东中，入西中；夏至，出东北维，入西北 维，至则正南。欲知东西南北广袤之数者，立四表以 “为方，一里距先春分，若秋分十馀日，从距北表参望 日始出及旦，以候相应，相应则此与日直也。”辄以南 表参望之，以入前表数为法，除举广除，立表袤，以知 从此东西之数也。假使视日出入前表中一寸，是寸 得一里也。一里积万八千寸，得从此东万八千里。视 日方入入前表半寸，则半寸得一里。半寸而除一里， 积寸得三万六千里，除则从此西里数也。并之东西 里数也，则极径也。未春分而直，已秋分而不直，此处 南也。未秋分而直，已春分而不直，此处北也。分至而 直此处，南北中也。从中处欲知中南也。未秋分而不 直此处，南北中也。从中处欲知南北极远近。从西南 表参望日日，夏至始出，与北表参，则是东与东北表 等。正东万八千里，则从中北亦万八千里也。倍之，南 北之里数也。其不从中之数也，以出入前表之数益 损之，表入一寸，寸减日近一里；表出一寸，寸益远一 里。欲知天之高树，表高一丈，正南北相去千里，同日 度其阴，北表二尺，南表尺九寸，是南千里，阴短寸。南 二万“里则无景，是直日下也。阴二尺而得高一丈者南一而高五也。”则置从此南至日下里数，因而五之， 为十万里，则天高也。若使景与表等，则高与远等也。

《隋书》

天文志

《周礼》大司徒职，“以土圭之法测土深，正日景，以求地 中。”此则浑天之正说，立仪象之大本。故云：“日南则景 短多暑，日北则景长多寒，日东则景夕多风，日西则 景朝多阴。日至之景尺有五寸，谓之地中。天地之所 合也，四时之所交也，风雨之所会也，阴阳之所和也。 然则百物阜安，乃建王国焉。”又《考工记》：“匠人建国，水 地以县，置槷以县，视以景。为规识日出之景与日入 之景。昼参诸日中之影，夜考之极星，以正朝夕。”按：土 圭正影，经文阙略，先儒解说，又非明审。祖暅错综经 注，以推地中，其法曰：“先验昏旦，定刻漏，分辰次。乃立 仪表于准平之地，名曰南表。漏刻上水，居日之中，更 立一表于南表影末，名曰中表，夜依”中表以望北极 枢而立北表，令参相直，三表皆以县准定，乃观三表 直者，其立表之地，即当子午之正。三表曲者地偏僻， 每观中表，以知所偏。中表在西，则立表处在地中之 西，当更向东求地中。若中表在东，则立表处在地中 之东也，当更向西求地中。取三表直者，为地中之正。 又以春秋二分之日，旦始出东方半体，乃立表于中 表之东，名曰“东表”，令东表与日及中表参相直，是日 之夕，日入西方半体。又立表于中表之西，名曰“西表”， 亦从中表西望，西表及日参相直，乃观三表。直者，即 地南北之中也。若中表差近南，则所测之地在卯酉 之南；中表差在北，则所测之地在卯酉之北。进退南 北，求“三表直正东西”者，则其地处中，居卯酉之正也。 〈地中〉

昔者周公测晷景于阳城，以参考历纪。其于《周礼》，“在 大司徒之职，以土圭之法测土深，正日景，以求地中。 日至之景尺有五寸，则天地之所合，四时之所交，百 物阜安，乃建王国。”然则日为阳精，元象之著然者也。 生灵因之动息，寒暑由其逓代，观阴阳之升降，揆天 地之高远，正位辨方，定时考闰，莫近于兹也。古法简 略，旨趣难究，术家考测，互有异同。先儒皆云，夏至立 八尺表于阳城，其影与土圭等。案《尚书考灵曜》称：“日 永景尺五寸，日短景尺三寸。”《易通卦验》曰：“冬至之日， 树八尺之表，日中视其晷景长短，以占和否。夏至景 一尺四寸八分，冬至一丈三尺。”《周髀》云：“成周土中。夏 至景一尺六寸，冬至景一丈三尺五”寸。刘向《鸿范传》 曰：“夏至景长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四 分，春秋二分景七尺三寸六分。”后汉《四分历》、魏《景初 历》、宋《元嘉历》《大明祖冲之历》，皆与《考灵曜》同。汉魏及 宋，所都皆别。四家历法，候景则齐。且纬候所陈，恐难 依据。刘向二分之景，直以率推，非因表候定其长短。 然寻晷景尺丈，虽有“大较，或地域不改，而分寸参差， 或南北殊方，而长短维一。盖术士未能精验，冯古所 以致乖。”今删其繁杂，附于此云。梁天监中，祖暅造八 尺铜表，其下与圭相连，圭上为沟，置水以取平正，揆 测日晷，求其盈缩。至大同十年，太史令虞𠚳又用九 尺表格，江左之景，夏至一尺三寸二分，冬至一丈三 尺七分；立夏、立秋二尺四寸五分；春分秋分五尺三 寸九分。陈氏一代，唯用梁法。齐神武以洛阳旧器，并 徙邺中，以暨文宣受终，竟未考验。至武平七年，讫于 景礼，始荐刘孝孙、张孟宾等于后主。刘张建表测景， 以考分至之气，草创未就，仍遇朝亡。周自天和以来， 言历者纷纷复出，亦验二至之景，以考历之精粗。及 高祖践极之后，大议造历。张胄元兼明揆测，言日长 之瑞，有诏司存，而莫能考决。至开皇十九年，袁充为 太史令，欲成胄元旧事，复表曰：“隋兴已后，日景渐长。 开皇元年，冬至之景，长一丈二尺七寸二分，自尔渐 短。至十七年冬至景一丈二尺六寸三分。四年冬至， 在洛阳，测景长一丈二尺”八寸八分。二年，夏至景一 尺四寸八分，自尔渐短。至十六年，夏至景一尺四寸 五分。其十八年冬至，阴云不测。元年、十七年、十八年， 亦阴云不测。《周官》以土圭之法正日景，日至之景，尺 有五寸。郑元云：“冬至之景，一丈三尺。”今十六年夏至 之景，短于旧五分，十七年冬至之景，短于旧三寸七 分。日去极“近，则景短而日长；去极远，则景长而日短； 行内道，则去极近；行外道，则去极远。”《尧典》云：“日短星 昴，以正仲冬。”据昴星昏中，则知尧时仲冬，日在须女 十度。以历数推之，开皇以来，冬至日在斗十一度，与 唐尧之代，去极俱近。谨案《元命包》云：“日月出内道，璇 玑得其常。天帝崇灵，圣王初功。”京房别对曰：“太平日 行上道，升平日行次道，霸代日行下道。伏惟大隋启 运，上感乾元，景短日长，振古希有。”是时，废庶人勇。晋 王广初为太子，充奏此事深合时宜。上临朝谓百官 曰：“景长之庆，天之祐也。今太子新立，当须改元，宜取 日长之意以为年号。”由是改开皇二十一年为仁寿

元年。此后百工作役，并加程课，以日长故也。皇太子

率百官诣阙陈贺。案日徐疾，盈缩无常，充等以为祥

瑞，大为议者所贬。又考灵曜、周髀、张衡、灵宪及郑元 注《周官》，并云：“日影于地，千里而差一寸。”案宋元嘉十 九年壬午，使使往交州测影，夏至之日，影出表南三 寸二分。何承天遥取阳城云：“夏至一尺五寸。”计阳城 去交州路当万“里，而影实差一尺八寸二分，是六百 里而差一寸也。”又梁大同中，二至所测，以八尺表率 取之，夏至当一尺一寸七分彊后魏信都芳注周髀 《四术》，称永平元年戊子，当梁天监之七年，见洛阳测 影，又见公孙崇集诸朝士共观秘书影，同是夏至日， 其中影皆长一尺五寸八分。以此推之，金陵去淮南 “北，略当千里，而影差四寸，则二百五十里而影差一 寸也。况人路迂回，山川登降，方于鸟道，所校弥多，则 《千里》之言，未足依也。”其揆测参差如此，故备论之。〈晷影〉

《宋史》

律历志

英宗《明天历》法升降分，《皇极》躔衰有陟降率，《麟德》以 日景差、陟降率、日晷景消息为之，义通轨漏。夫南至 之后，日行渐升，去极近，故晷短而万物皆盛；北至之 后，日行渐降，去极远，故晷长而万物寖衰。自《大衍》以 下，皆从《麟德》。今历消息日行之升降，积而为盈缩焉。 岳台日晷岳台者，今京师岳台坊地曰浚仪，近古候 景之所。《尚书·洛诰》称东土是也。《礼·玉人职》：“土圭长尺 有五寸，以致日”，此即日有常数也。《司徒职》“以圭正日 晷”，日至之景，尺有五寸，谓之地中，此即是地。土中致 日景，与土圭等。然表长八尺，见于周髀。夫天有常运， 地有常中，历有正象，表有定数。言日至者，明其日至 此也。景尺有五寸，与圭等者，是其景晷之真效。然夏 至之日，尺有五寸之景，不因八尺之表，将何以得？故 《经》见夏至日景者，明表有定数也。

【宣和博古图】

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【周双螭表座】

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右表座高一尺三寸七分，下径一尺九寸三分，重五 十五斤，无铭。《周官》：“置槷昼以参诸日中之景。”槷即表 也。是器形若大盘，上蟠双螭而仰其首，于两螭间又 出一筒，中通上下，是为表座。中通所以植槷，无欹侧， 以取其端焉。

【汉表座】

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右表座高四寸六分，深四寸二分，阔七寸一分，口径 一寸一分，重三斤九两。无铭。是器表座也，作三圜筒， 相合为一体，措之地，则一筒端立，可以立表，《周官》所 谓“槷”者，是器所以为测日之具也。

《元史》

天文志

“鲁哈麻、亦渺凹只，汉言春秋分晷影堂。”为屋二间，脊 开东西横罅，以斜通日晷，中有台，随晷影南高北下， 上仰置铜半环，刻天度一百八十，以准地上之半。天 斜倚锐首铜尺，长六尺，阔一寸六分，上结半环之中， 下加半环之上，可以往来窥运。侧望漏屋晷影，验度 数，以定春秋二分。鲁哈麻、亦木思塔馀，汉言冬夏 至“晷影堂也。”为屋五间，屋下为坎，深二丈二尺，脊开南北一罅，以直通日晷。随罅立壁，附壁悬铜尺，长一 丈六尺。壁仰画天度半规，其尺亦可往来，规运直望 漏屋晷影，以定冬夏二至。

《新法历书一》

大测上

《大测》者，测三角形法也。凡测算皆以此测彼，而此一 彼一不可得。《测九章》算多以三测一，独句股章以二 测一，则皆三角形也。其不言句股者，句与股交必为 直角。直角者，正方角也，遇斜角则句股穷矣。分斜角 为两直角，亦句股也，遇或不可得，分又穷矣。三角形 之理，非句股可尽，故不名句股也。句股之易测者，直 线也，平面也。测天则圜面曲线，非句股所能得也。故 有弧矢弦割圜之法。弧者曲线，弦矢者直线也。以弧 求弧，无法可得，必以直线曲弧相当相准，乃可得之。 相当、相准者，围径之法也。而围与径终古无相准之 率。古云：径一围三，实围以内二，径之六，弦非围也。祖 冲之密率云：“径七围二十二。”则其外切线也，非围也。 刘徽《密率》云：“径五十，围百五十七”，则又其内弦也，非 围也。或推至万万亿以上，然而小损即内弦，小益即 外切线也，终非围也。历家以句股、开方，展转商求累 时，方成一率，然不能离径一围三之法，即祖率已繁， 不复能用，况徽率乎？况万万亿以上乎？是以甚难而 实谬。今西法以周天一象限分为半弧，而各取其正 半弦。其术从二径六弦始，以次求得六宗率，皆度数 之正义，无可疑者。次用三要法相分相准以求各率， 而得各弧之正半弦。又以其馀弧之正弦为馀弦，以 馀弦减半径为矢。弧之外与正弦平行而交于割线 者为切线，以他半径截弧之一端而交于切线者为 割线。其与馀弦平行者，则馀切线也。即正割一线交 于馀切线而止者，馀割线也。以正弦减半径者，馀矢 也。总之为八线，其弧度分为五千四百，每一度分有 八线焉，合之为四万三千二百率也。其用之，则一形 中有三边三角，任有其三，可得其馀三也。凡测候所 得者，皆弧度分也。以此二三弧求彼一弧，“先简此弧 之某直线与彼弧之某直线，推算得数，简表即得彼 弧之度分，不劳馀力，不费晷刻，为之者劳，用之者逸。 方之句股开方以测圆者，甚易，而实是也。然则必无 差乎？”曰：“有之，或在其末位。如半径设十万，则所差者 十万分之一也；设千万，则所差者千万分之一也。历 家推演至微纤以下，率皆”弃去，即谓之“无差”亦可，故 论此法者，谓于推步术中为模范矣。测天者所必须 大于他测，故名《大测》。其《解义》六篇，谨列如左：

因明篇第一

《总论》：〈凡三十二条。〉

“三角形”者，一形而三边容有三角也，如左图甲乙丙。

图

为平面三角形丁戊己为球面三角形

三角形各以两边容一角此两边为角形之两腰第三边为角形之底

如上甲乙丙形若以甲乙甲丙为两腰则容乙甲丙角〈第二字为所指角〉乙、丙其底也。馀二同；丁、戊、己亦同。

图

各边向一角者名为对角如上甲乙线向丙角者名为对丙角甲丙向乙名为对乙角

角以何为尺度一弧之心在交点从心引出线为两腰而弧在两腰之间此弧即此角之尺度

如上乙甲丙角其尺度则

图

丁丙或戊己皆是其法甲为心其界或近如丁丙或远如戊己

大测法分圈三百六十为度度析百分〈中历〉或六十分。〈远西〉“分”，或百析为秒，递析为百，至纤而止。〈中历〉或析为六十秒，递析为六十，至十位而止。〈远西〉

圈愈大其度分亦愈大两弧之分数等其圈等弧亦等其圈不等弧亦不等其不等之两弧名相似弧如上丁丙虽小于戊己而同对甲角即同为若干度分之弧也

圈四分之一为九十度有弧不足九十度则其外

图

至九十者名馀弧亦曰较弧亦曰差弧

如甲丁弧四十度则丁至丙五十度为馀弧

有弧大于象限〈在九十以上〉名为《过弧》。

如甲乙弧大于甲丁过九十度则丁乙为过弧半圈界一百八十度有弧小于半圈则其外至百八十度者名为半圈之较弧

如甲乙弧小于甲乙丙半圈则乙丙为其较弧凡交角俱相等

如甲与乙丙与丁皆交角相等〈见几何第一卷十五题〉如戊与己，亦交角相等

；

图

角有二类一直角一斜角凡直角其度皆九十斜角有二类一锐角一钝角

钝角者其度大于象限锐角者其度小于象限角之馀与弧同理〈或曰较角或曰差角〉

有两角并在一线上为同

“方角并之，等于两直角。”如右图甲与乙，丙与丁，皆是 同方，两角等于两直角，故彼角为此角之较。

如前“乙角”，即甲之较，甲亦乙之较。

《三角》形：或三边等，或两边等，或三不等。

三角形，两腰等，其底线上两角亦等；底上两角等，则 两腰亦等。〈见几何一卷第五〉

《三边形》之“三角等”，则三边亦等。

《三角形》之角有二类，一为直角三边形，一为斜角三 边形。

直角三边形，形内止有一直角。

直角，三边形之对，直角边名弦，两腰名句股。

远西句股，俱各垂线互用之。

《斜角形》。其角皆斜。

斜角形有二类，一曰“锐角”，一曰“钝角。”

钝角形止有一钝角。

锐角形三，皆锐角。

《三角形》，有二类：一曰“平面上形”，一曰“球上形。”

《论平面上三角形》。〈凡十一条：〉

平面上三角形有三种：一直线，一曲线，一杂线。《大测》 所论，皆直线也。

凡等角两三边形，其在等角旁之各两腰线，相与为 比例，必等，而对等角之边为相似边。〈几何六卷第四题〉 凡两三角形，其角两边之比例等，即两形为等角形， 而对各相似边之角各等。〈几何六卷第五题〉

此二题为《大测》之根本，不用开方，直以比例得之，法至简，用至大也。

如左图甲乙丙丁戊己两形，甲与丁，乙与戊，丙与己。

图

皆等角其旁各两腰之比例等者十与六若五与三也更之则十与五若六与三也反之则六与十若三与五也

凡两形中各对相当等角之边皆相似之边如甲丙对乙丁己对戊而乙戊为等角者即甲丙丁己为相似之边也

三角形之外角与相对之内两角并等〈几何一卷之三十二〉如上甲、乙、丙形之乙、甲两角，并与甲、丙、丁角等，三角形之三角，并等于两直角。

如上图丁己庚直角与乙角等其甲丙二角并与丁

图

己戊角等

平面上三角形止有一直角或一钝角其馀二必皆锐角

三边形内之第三角为前两角之馀角何者为前两角不满二直角故

直角旁之两腰其能与弦等能等者谓两腰上两方

图

形并与弦上方形等也〈几何一卷之四七〉

此理之用为先得二边以求第三边如甲乙丙形先得甲乙乙丙两边而求第三边法以甲乙三自之为九乙丙四自之为十六并得二十五与甲丙之实等开方得甲丙弦五若先得

图

直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙弦五而求乙丙则以甲丙自之得二十五乙甲自之得九相减之较十六开方得乙丙四直角形之两等边有数则其弦无数可推若弦有数则两等边无数可推如图甲乙甲丙各三自之

图

各九并之得十八乙丙上实十八开方得四馀实二分之或为八分之二或为九分之二八分之二则大于真率九分之二则小于真率其乙丙真率无数可得更细分之亦复不尽直角三边形之两锐角彼锐为此锐之馀

图

如乙丙二锐角丙为馀角为三角并等二直角此二锐应等一直角乙一角不足一直角故丙角为乙角与直角相减之较

平边三角形在圈内其各角之度数皆为其对弧度数之半

如上甲乙丙形三边等分

图

圈为三各弧俱一百二十度本形之三角等二直角并得一百八十则对弧百二十度倍于对角六十度也

平面两三角形在圈内同底两形之顶相连成一四边形此形内有两对角线则此形相对之各两边各

图

相偕为两直角形并与两对角线相偕为直角形等如上甲乙丙甲丁丙两三角形在甲乙丁丙圈内甲丙同底其顶乙丁相连成甲乙丁丙四边形形内有甲丁乙丙两对角线以此两线相偕为直角形次以乙丁甲丙两相对边以甲

乙丁丙两相对边，各相偕为直角形，题言“后两形”，并 与前一形等。

其用为先得五线以求第六线。〈多罗某之法〉

论《球上三角形》，〈凡二十条。〉

凡球上三角形，皆用大圈相交之角。

《大测》所用三角形之各弧，必小于大圈之半。

球大圈：分球为两平分，离于两极各九十度。

彼大圈过此大圈之极，此两圈必相交为直角，两大 圈相交为直角，必彼大圈过此大圈之极。

图

如甲丙大圈其极乙丁有乙戊丁己大圈过两极其交处如戊如己各成四直角

球上角之度必从交引出为两弧各九十度而遇一象限之弧两遇处相去之度即此角之大

如甲乙丙球上三角形欲

图

知甲角之大为几何度分不得用己庚弧为其尺度必从甲引出至乙至丙各为一象限之弧而戊丁亦大圈之一象限弧也丁戊弧与甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大为甲角之大球上角之两边引出之至相遇即两弧俱成半圈而

图

两对角必等

如甲乙丙三角形从两腰各引出之至丁则甲丙丁甲乙丁两弧皆成半圈而甲与丁两角等

球上三角形有相对彼三角形与同底而对角等即彼形之两腰为此形两腰之馀腰

图

初腰不足一百八十度故后腰为半圈之馀

其彼此之同方两角亦等两直角而彼角为此角之馀角

如上甲乙丙三角形与相对之乙丙丁同乙丙底而甲乙两角等即乙丁为甲乙之馀弧丙丁为甲丙之

图

馀弧丁乙丙角为甲乙丙之馀角

为甲乙丙不足两直角故

乙丙丁角为甲丙乙之馀角

球上直角三边形或有一直角或二直角或三俱直角

图

球上三边形有一直角者或有两锐角或有两钝角或一钝一锐角

如上甲乙丙形甲为直角其乙丙为两锐角乙丁丙形丁为直角其乙丙为两钝角若丁戊己形则其戊为锐角其己为钝角甲戊己形则其戊为钝角其己

为《锐角》。

“球上直角三边形”，有两锐角，则其对直角之直角三 边形，有两钝角。

如前图，甲乙丙之甲直角，与乙丁丙之丁直角相对 者是。

球上直角，三边形，有两锐角，其三弧皆小于象限， 如前图甲乙丙是。

球上直角三边形，有两钝角，其两腰皆大于象限，而 第三弧必小于象限。

图

如前图乙丁丙是

球上直角三边形有一锐一钝角其锐角之相对三角形亦有一直角两锐角如上图丁乙丙三边形丙为直角丁为锐角乙为钝角即丁锐角之相对乙丙戊形其丙为直角

与乙丙丁并等两直角

图

其乙与戊为两锐角球上三边形有多直角其对直角之各弧皆为一象限

如甲为直角乙丙弧对之为一象限馀二同

此图为三直角题言多者以该二直角也

球上三边形有二直角若

图

第三为锐角即对角之弧小于象限若钝角即对角之弧大于象限

如上丁戊己形丁戊皆直角己为锐角即对己之丁戊弧小于象限甲乙丙形甲丙皆直角乙为钝角则对角之甲丙弧大于象限球上斜三角形有三类或

图

俱锐角或俱钝角或杂锐钝角

球上斜三角形俱锐角者其相对三角形有两钝角一锐角

如上甲乙丙形三皆锐角即相对丁乙丙形其乙丙为两钝角丁为锐角球上三边形俱钝角者其

图

相对三角形有两锐角一钝角

如上甲乙丙形三皆钝角即相对乙丙丁形其乙丙为两锐角丁为钝角球上三角形之三角并大于两直角

有二直角即大何况一直一钝以上

割圆篇第二

《总论》：〈凡二十六条。〉

三角形有六率，三角三边是也。测三角形者，于六率 中先得其三，而测其馀三也。

《测三角形》者，止测其线，非测其容。测或作推，或作解，下文通用。

《测三角形》，必藉同比例法。〈亦曰三率法〉同比例者四率，同 比例先有三而求第四也，故《三角形》之六率，其比例 欲定，其分数欲明。

《三角形》六率之比例，其中用弧者最为难定。何者？圆 线与直线之比例，从古至今，未有其法故

“三角形何以有弧？”曰：“球上三角形，其三边皆弧也，其 三角皆弧角也，即平面三角形。其可以直线测者，三 边耳。欲测其角，非弧不得。而弧为圆线，无数可测，故 测弧者必求其与弧相当之直线。”

与弧相当之直线者，割圆界而求其直线之分，与弧 分相当者是也。

割圆之直线有四：一曰弦，一名“通弦”，二曰“半弦”，皆在。

图

圆界内三曰切线在圆界外四曰割线在圆界之内外

弦者直线在圈内从此点至彼点分圈为两分凡弦皆对两弧一上一下如上图甲乙为弦分甲丙乙丁圈为两分甲丁乙为大分甲丙乙为小分则甲

图

乙弦上当甲丙乙小弧下当甲丁乙大弧

正弧者从弧作垂线至全径上

如上图从丁作甲乙之垂线若从丁直至戊则为通弦故丁丙为半弦

半弦又有二种有正弦有倒弦

图

正半弦是直线在半圈内从弧作垂线至径上分半圈为不等之两分一大弧一小弧此半弦者当小弧亦当大弧

当者为小弧之半弦亦为大弧之半弦

如上图从己弧下至甲乙全径上作己庚垂线分甲

丙乙半圈为不等两分，乙己弧为小分，己丙甲弧为 大分，则己庚为己乙小弧之半弦，又为己丙甲大弧 之半弦。

正半弦从一点作两半弦：第一为前半弦，第二为后 半弦，又为馀弧，弦又为较弦，又为差弦。

如前图，先论己庚即为前半弦，其己戊即为后半弦。 又为馀为较者，乙己丙弧九十度，乙己不足九十度， 则己丙为馀弧，亦为较弧，故己戊为馀弦较弦也。前 后两半弦，其能等于半径。

图

如上图庚己为前弦当乙己弧己戊为后弦当己丙馀弧戊己弦等于丁庚〈几何一卷三十四〉则丁己半径上方，与庚己己戊上两方并等，故云“两半弦之能等于半径。”

论曰其两半弦可互为垂线则己庚丁为直角而对

图

直角之弦己丁上方与句股上两方并等也〈几何一卷四十七〉

系直角三边形内有半径亦有一半弦即可求后半弦

法曰半径上方形实减半弦上方形实其较即后半弦上方形之实开方得后

图

半弦

如丙乙半径十甲乙前半弦六而有丙甲乙直角今求丙甲后半弦其法丙乙自之为百甲乙自之为三十六相减馀六十四即甲丙方之实平方法开之得八

两正弦之较与纪限左右

图

距等弧之半弦等〈六十度为纪限〉解曰：“甲乙丙象限内有丙己小弧，丙己戊丁大弧，丙戊弧为六十度，而戊己戊丁两弧等，其两半弦一为己辛，一为丁庚。两半弦之较为丁癸，题言丁癸较与己壬半弦、壬丁半弦各等。”论曰：“试作一己子线，则丁

己子成三边等角形，何也？此形中有子丁壬壬己子 两三角形，此两角形等又何也？子戊同腰，而丁壬壬” 己两腰等，则丁壬己壬两直角亦等，而丁子子己两 底亦等，子丁、己子己丁两角亦等，又丙戊弧既六十 度，其馀戊乙弧必三十度，其乙甲戊角为三十度角 甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子，即内外角等， 而丁子戊角亦三十度，戊子己角亦三十度，是丁子 己为六十度角也。丁与己与全子三角既等两直角。 〈一卷三十二〉则共为一百八十度。于中减全子角六十度。

图

则丁己两角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己巳子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必

等是丁癸与丁壬等，与《壬己》亦等。

《系题》两弧，各有其正半弦，两半弦至弧之点，在六十 度之左右，而距度点等。其前两正半弦之较，即后两 半弦。

如前图丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十 度，丙己之正半弦，己辛《简表》先得七千六百六十。丙 丁弧七十度，丁戊弧亦十度，丙丁弧之正半弦，为丁 庚先得九千三百九十六。今求丁戊弧之半弦，其法 以己辛、丁庚两半弦相减，得丁癸较一千七百三十。

图

六即丁戌弧十度之丁壬半弦〈此设数半径一万〉倒弦者，馀弦与全数之较本，名为“矢。”

如上图甲丙径以乙丁正半弦分径为二分一为甲丁一为丁丙其丁丙即乙丁正半弦之倒弦也矢有二有大有小

如前图，甲丁为大矢，与甲乙弧相当；丁丙为小矢，与 乙丙弧相当。

矢加于馀，半弦即半径。

如前图，乙己为乙丁正弦之馀，弦以加丁丙，即半径 为乙己，与丁戊等故。

“切线”者，弧之外有线为径，一端之垂线半径为底线， 而交于截弧之弦线。

“弦线” 者，句股之弦，非弧矢之弦也。

如上图戊丙弧，乙丙为半径，从丙出垂线至丁，又从

图

乙出线截戊丙弧于戊而与丁丙线交于丁即丁丙为切线而与戊丙弧相当也

割线者从心过弧之一端而交于切线

如上图乙戊丁线为割线与戊丙弧相当也故戊丙弧在三角形内其句为半

图

径其股为切线其弦为割线皆与戊丙弧相当之直线

又戊丙一弧其相当之直线有四一丁丙切线一乙丁割线一戊己正半弦一己丙矢

定割圆之数当作割圆线以立成表

图

一名三角形表一名度数表今名大测表

大测表不过一象限

古用弦则须半周

如上图用弦则乙丙弧必得乙丙弦乃至乙庚弧必得乙庚弦故百八十度之弧必得百八十度之弦也因此术既繁且难后从简

图

便则以半弦当之为各半弦可当上下两弧故不过一象限而足也

如上图辛壬半弦当乙壬小弧亦当壬己甲大弧庚己半弦当乙己小弧亦当己甲大弧且一象限之外无切线而亦无割线故用半圈之全不如象限之半

也。

《大测表》不止有各弧之各度数，亦有其各分数。

欲极详，亦可析分为十、为六也，但少用耳。

作《大测表》，先定半径为若干分，愈多愈细。

凡割圆四线，大抵皆不尽之数。无论全数不尽，即以 畸零法命其分，亦不能尽。故《大测表》不得谓其不差， 但所差甚少，不至半径全数中之一耳。

假如半径为千万，表中诸线中不至差千万分之一 分，自一以内，或半或大或少，不能无差而微乎微矣。 故作表中半径，必用极大之数，最少者一万以上，或 至百万，千万或至万万可也。

七位即千万，八位即万万。

定半径之全数，即可求一象限内各弧各度分之半 弦。以此半弦可求得其切线、割线。

凡半径用，数少即差多。

如“用千，则差千之一；用万，则差万之一。”

用极大之数即难推。

如用万万以上，数极繁矣。

“今定为几何则可？”曰：“凡半径之数，其中之小分与半 弧度分之小分，大约相等而上之，即是中数。”

假如欲测有分之弧，问半径应定几何分？曰：“一象限 九十度，每度六十分，则一象限五千四百分。”又《古率》 圆与径之比例，大略为二十二与七，则象限弧与半 径之比例。若十一与七。

如左图周二十二四分之则一，象限为五又半；径七 二，分之则三又半。此二比例有畸零之数，故各倍之 为十一与七也。

图

今用同比例法〈即三率法〉以象限十一为第一数，以半径七为第二数，以象限五千四百分为第三数，而求得第四数为三千四百三十六。故半径分为三千四百三十六，则半径之各分，略相等于一象限之各分五千四百也。故用大数最少。

图

一万为与五千相近用此乃可推有分之弧也欲推弧分之秒亦用此法其象限为三十二万四千秒依三率法十一与七若三十二万四千与二十○万六千一百八十二其半径细分与象限之分秒相等而上之必用百万

表原篇第三

表原者，作表之原本也。测圆无法，必以直线。直线与 圆相准不差，又极易见者，独有六边一率而已。古云 “径一围三”是也。然此六弧之弦，非六弧之本数。自此 以外，虽分至百千万亿，皆弦耳。故测弧必以弦。弦愈 细，数愈密，其法仍由六边之一准率始。自此又推得 五率，此六率皆相准不差，但后五率其理难见，推求 乃得，是名为《六宗率》。其法先定半径为若干数？〈今用一千 万〉则作圈内六种多边形。〈俱见几何第四卷〉推此六形各等 边之数，得此六数，即为六通弦，各当其本弧，因以为 作表原本。

“《宗率》一　圈内六边等” ，切形求边数。

《几何原本》四卷十五，题言六边等形在圈内者，其各 边俱与半径等。半径既定为千万，即边亦千万。凡边 皆弦也。圈分三百六十度，此各弦相当之弧各六十 度，各与千万相当矣。相当者千万，即六十度弧之弦 也。

如左乙丙圈内有六边等形，其半径甲乙既定为千

图

万即乙丙弦为六边形之一边亦千万而相当之乙丙弧六十度

宗率二　内切圈直角方形求边数

几何四卷第六言一线在圈内对一象限为方形边其上方形等于两半径上方形并〈几何一卷四七〉此句股法。

图

也故用两半径之实并而开方而得本形边

如上乙丙圈内方形甲乙为半径句股法甲乙甲丙上两方并与乙丙上方等即以之开方而得乙丙边今两半径上方形并为二○○○○○○○○○○○○○○

此数为二百万，万万○旁作“点” 者，万也，末○为单数。

以开方得其边一千四百一十四万二千一百九十 六，此为乙丙弧之弦也。乙丙弧为四分圈之一九十 度，则乙丙弧数为乙丙九十度弦相当之数。

“《宗率》三　圈内三边等” ，切形求边数。

《几何》十三卷十二题言三边等形。内切圈其各边上 方形，三倍于半径上方形。

“丁乙方” 与“丙丁” 丙乙两方等，而四倍于丙丁形则

图

丙乙为丁乙四之三而三倍于丙丁

如上图乙丙圈甲乙为半径乙丙上方三倍大于甲乙上方即三因半径上方为三○○○○○○○○○○○○○○

此数为三百万万万有奇

图

开方得一千七百三十二万○五○八弱

宗率四　圈内十边等切形求边数

几何十三卷九题言以比例分半径为自分连比例线其大分则十边等形之一边

如上图甲乙半径与戊己

图

等用自分连比例法

几何六卷三十称理分中末线

分为大小分其大分为丁己与十边形之乙丙边等盖戊己线与己癸等己癸线既两平分于庚则戊己己庚线上两方并与庚戊上方等〈几何一卷四十七〉今以庚

戊上方开得庚戊线为一千一百一十八万○四百 三十○。次减去己庚五百万，馀六百一十八万○四 百三十○，即丁己线，亦即乙丙弦。而乙丙弦为全圈 十分之一，得三十六度，是乙丙为三十六度弧之弦。

《宗率》五　圈内五边等，切形求边数。

《几何十三卷》第十题言“圈内五边等切形”，其一边上 方形与六边等形、十边等形之各一边上方形并等 也。

如左圈内，甲乙戊为五边等形，甲丙己为六边等形。

图

甲丁乙为十边等形题言甲丁甲丙上两方并与甲乙上方等者前言甲丙半径为千万甲丁线为六百一十八万○四百三十○各自之并得数开方得甲乙线为一千一百七十五万五千七百○四弱其弧五分全圈得七十二即甲

乙为七十二度弧之弦，

宗率六　圈内，十五边等，切形求边数。

《几何四》卷十六题言“圈内从一点作一三边等形，又 作一五边等形”，同以此点为其一角，从此角求两形 相近之第一差弧，即十五边形之一边。

如左图，从甲点作甲乙丙三边形，甲丁戊五边形，求 得两形相近之第一差为乙戊，即十五边等形之一 边，乃丁乙全差之半，其数先有三边形之乙丙，一百 二十度之弦，为一千七百三十二万○五百○八弱

图

又有五边形之戊子七十二度之弦为一千一百七十五万五千七百○四弱则乙庚六十度之正弦为乙丙之半得八百六十六万○二百五十四弱戊辛三十六度之正弦为戊子之半得五百八十七万七千八百五十二两相减馀

为乙癸，得二百七十八万二千四百○二。夫乙己半 径上方，减壬乙六十度之正弦，乙庚上方，馀己庚依 开方法为五百万。己子半径上方，与己辛三十六度 之正弦辛子上两方并等，依前法亦得己辛八百○ 九万○一百七十○己辛己庚两相减，馀为庚辛，得 三百○九万○一百七十○，庚辛即戊癸也。既得乙 癸二百七十八万二千四百○二。今得戊癸三百○ 九万○一百七十○，用句股术，求得乙戊弦为四百 一十五万八千二百三十四，为十五边等形之一边。 其乙戊弧为全圈十五分之一，得二十四，则乙戊为 二十四度弧之相当弦

六题总表

边　　　弧度　　　　　　弦数：

三　　　一百二十　　　　一、七三、二○五○八 四、　　　九十　　　　　　一四一四二一九六、 五、　　　七十二　　　　　一一、七五五七○四、 六　　　六十

十　　　三十六　　　　　六一八○三四○ 十五　　二十四　　　　　四一五八二三四， 既得全数，今推半弧。〈即半角〉半弦：

弧度　　半弦：

六十　　八，六六○二五四。

四十五　七○七，一○九八。

三十六　五八，七七八五二。

三十　　五○○○○○○。

十八　　三○，九○《一七○》。

十二　　二○七九一一七。〈以上原本卷一。〉