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历象汇编 第一百十卷

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　算法部汇考二

　　周髀算经〈卷上二〉

历法典第一百十卷

算法部汇考二

《周髀算经》

卷上二

春分之日夜分，以至秋分之日夜分极下常有日光。

《春秋分》者，昼夜等。春分至秋分，日内近极，故日光照及也。

秋分之日夜分，以至春分之日夜分极下，常无日光。

秋分至春分，日外远极，故“日光照不及也。”

故“春秋分之日，夜分之时，日所照适至”，极，阴阳之分 等也。冬至、夏至者，日道发敛之所生也，至昼夜长短 之所极。

发，犹往也。敛，犹还也。极，终也。

“《春秋》分”者，“阴阳之修，昼夜之象。”

修，长也。言阴阳长短之等。

昼者阳，夜者阴。

以明暗之差，为阴阳之象。

春分以至秋分，昼之象。

“北极” 下见日光也。日永主物生，故“象昼” 也。

秋分至春分，夜之象。

“北极” 下不见日光也。日短主物死，故象夜也。

故《春秋》分之日，中光之所照，北极，下夜半，日光之所 照，亦南至极。此日夜分之时也。故曰：“日照四旁，各十 六万七千里。”

“至极” 者，谓璇玑之际，为阳绝阴障。以日之时而日光有所不逮，故知日旁照十六万七千里，不及天中一万一千五百里也。

《人望》所见远近，宜如日光所照。

日近我一十六万七千里之内及我，我自见日，故为日出。日远我十六万七千里之外，日则不见我，我亦不见日，故为日入。是为日与。目见于十六万七千里之中，故曰“远近” 宜如日光之所照也。

从周所望，见北过极六万四千里。

自此以下诸言减者，皆置日光之所照，若人目之所见十六万七千里以除之，此除极至周，十万三千里。

臣鸾曰：求从周所望，见北过极六万四千里。法列《人目》，所极十六万七千里，以王城周去极十万三千里减之，馀六万四千里，即人望过极之数也。

南过冬至之日，三万二千里。

除冬至日中，去周十三万五千里。

臣鸾曰：求冬至日中三万二千里，法列《人目》所极十六万七千里。以冬至日中去王城十三万五千里减之，馀即过冬至日中三万二千里也。

夏至之日，中光南过冬至之日，中光四万八千里。

除冬至之日，中相去十一万九千里。

臣鸾曰：求夏至日中光南过冬至日中光四万八千里。法列日高照十六万七千里，以冬夏至日中相去一十一万九千里减之，馀即南过冬至之日中光四万八千里。

南过人所望见一万六千里。

夏至日中，去周万六千里。

臣鸾曰：“求夏至日中光南过人所望见万六千里，《法列王城》去夏至日中光南过人所望见万六千里，加日光所及十六万七千里，得十八万三千里。以人目所极十六万七千里减之，馀即南过人目所望见一万六千里也。”

北过周，十五万一千里。

除周夏至之日中，一万六千里。

臣鸾曰：求夏至日中光北过周十五万一千里。法列日光所及十六万七千里，以王城去夏至日中一万六千里减之，馀即北过周十五万一千里。

《北过极》，四万八千里。

除极，去夏至之日，十一万九千里。

臣鸾曰：求夏至日中光北过极四万八千里，法列日光所及十六万七千里，以北极去夏至夜半十一万九千里减之，馀即北过极四万八千里也。

冬至之夜半，日光南不至，人所见七千里。

倍日光所照里数，以减冬至日道，径四十七万六千里。又除冬至日中去周，十三万五千里。

《臣鸾》曰：“求冬至夜半日光南不至，人目所见七千里。” 法列日光十六万七千里，倍之得三十三万四。

千里，以减冬至日，道径四十七万六千里，馀十四万二千里。复以冬至日中去周十三万五千里减之，馀即不至。《人目》所见七千里。

不至极下七万一千里。

从极至夜半，除所照，十六万七千里。

臣鸾曰：“求冬至日光不至极下七万一千里。” 法列冬至夜半去极二十三万八千里，以日光一十六万七千里减之，馀即不至极下七万一千里。

夏至之日，中与夜半日光九万六千里，过极相接。

倍日光所照，以夏至日道径减之，馀即相接之数。臣鸾曰：“求夏至日中，日光与夜半相接九万六千里。法列：倍日光所照十六万七千里，得径三十三万四千里。以夏至日过径二十三万八千里减之，馀即日光相接九万六千里也。”

冬至之日中与夜半日光不相及，十四万二千里，不 至极下七万一千里。

倍日光所照，以减冬至日道径，馀即不相及之数；半之，即各不至极下。

臣鸾曰：求冬至日光与夜半日不及十四万二千里，不至极下七万一千里。法列冬至日道径四十七万六千里，以倍日光所照三十三万四千里减之，馀即日光不相及十四万二千里，半之，即不至极下七万一千里也。

夏至之日：正东西望直周，东西日下至周，五万九千 五百九十八里半。

求之术：以夏至日道径二十三万八千里为弦，倍极去周十万三千里，得二十万六千里，为股，为之求勾。以股自乘，减弦自乘，其馀，开方除之，得勾一十一万九千一百九十七里有奇，半之，各得周半数。

臣鸾曰：“求夏至日正东西去，《周法》列《夏至》道径二十三万八千里，为弦，自相乘得五百六十六亿四千四百万，为弦实。更置极去周十万三千里，倍之为二十万六千里，为股，重张自相乘，得四百二十四亿三千六百万，为股实；以减弦实，馀一百四十二亿八百万，即勾实；以开方除之，得正东西去周一十一万九千” 一百九十七里二十三万八千三百九十五分里之七万五千一百九十一，半之，即周东西各五万九千五百九十八里半。《经》曰：“奇者，分也。” 若求分者，倍分母得四十七万六千七百九十，即一方得五万九千五百九十八里半、四十七万六千七百九十分里之七万五千一百九十一。本《经》无所馀算之次，因而演之也。

冬至之日正东，西方不见日。

“正东西方” 者，周之卯酉日，在十六万七千里之外，不见日。

以算求之，日下至周，二十一万四千五百五十七里 半。

求之术：以冬至日道径四十七万六千里为弦，倍极之，去周十万三千里，得二十万六千里为勾，为之求股，勾自乘，减弦之自乘，其馀，开方除之，得四十二万九千一百一十五里有奇，半之，各得东西数。

臣鸾曰：“求冬至正东西方不见日法：列冬至日道径四十七万六千里为弦，重张相乘得二千二百六十五亿七千六百万里，为弦实。更列极去周十万三千里，倍之得二十万六千里为勾，重张相乘得四百二十四亿三千六百万，以减弦实，馀一千八百四十一亿四十万，即股实，开方除之，得周直东西四十二万” 九千一百一十五里八十五万八千二百三十一分里之三十一万六千七百七十五半。即周一方，去日，二十一万四千五百五十七里半，亦倍分母，得一百七十一万六千四百六十二分里之三十一万六千七百七十五。

凡此数者，日道之发敛。

凡此上周径之数者，日道往还之所至，昼夜长短之所极。

冬至、夏至，观律之数，听钟之音。

观律数之生，听钟音之变，知寒暑之极，明代序之化也。

冬至昼，夏至夜。

冬至昼夜日道径：半之，得夏至昼夜日道径法：置冬至日道径四十七万六千，半之，得夏至日中。去夏至夜半二十三万八千里，以四极之里也。

差数及日光所还观之。

以差数之所及，日光所还，以此观之，则四极之穷也。

《四极径》八十一万里。

从极南至冬至日中二十三万八千里。又日光所照十六万七千里，凡径四十万五千里。北至其夜半亦然。故日径八十一万里。“八十一” 者，阳数之终。

日之所极

臣鸾曰：求四极径八十一万里。法列冬至日中去极二十三万八千里，复加冬至日光所极十六万七千里，得四十万五千里，北至其夜半亦然。并南北即是大径八十一万里。

周二百四十三万里。

三乘径即周

臣鸾曰：以三乘八十一万里，得周二百四十三万，自此以外，日所不及也。

从周至南，日照处三十万二千里。

半径除周，去极十万三千里。

臣鸾曰：“求周南三十万二千里。法列半径四十万五千，以王城去极十万三千里减之，馀即周南至日照处三十万二千里。”

周北至日照处，五十万八千里。

《半径》加周，《去极》，十万三千里。

臣鸾曰：求周去冬至夜半日北极照处五十万八千里，法列半道径四十万五千里，加周夜半去极十万三千里，得冬至夜半北极照去周五十万八千里。

东西各三十九万一千六百八十三里半。

求之术，以径八十一万里为弦，倍去周十万三千里，得二十万六千里为勾，为之求股，得七十八万三千三百六十七里有奇，半之，各得东西之数。臣鸾曰：“求东西各三十九万一千六百八十三里半。法列径八十一万里，重张自乘，得六千五百六十一亿，为弦实。更置倍周去北极二十万六千里为勾，重张自乘，得” 四百二十四亿三千六百万，以减弦实，馀六千一百三十六亿六千四百万，即股实。以《开方》除之，得股七十八万三千三百六十七里一百五十六万六千七百三十五分里之十四万三千三百一十一，半之，即得去周。三十九万一千六百八十三里半，分母亦倍之，得三百一十三万三千四百七十“分里之十四万三千三百一十一” 也。

周在天中，南十万三千里，故东西短，中径二万六千 六百三十二里有奇。

求矩中径二万六千六百三十二里有奇。法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有奇减之，馀即矩中径之数。

臣鸾曰：“求矩中径二万六千六百三十二里有奇。法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有奇减之，馀二万六千六百三十三里。取一里破为一百五十六万六千七百三十五，分减一十四万三千三百一十一，馀一百四十二万三千四百二十四，即径东西矩二万六千六百三十二里、一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。”

周北五十万八千里，冬至日十三万五千里。冬至日 道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里，日 光四极当周东西各三十九万一千六百八十三里 有奇。

此方圆之法。

此言“求圆于方” 之法。

方圆图

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万物周事，而圆方用焉。大匠造制，而规矩设焉。或毁 方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者，谓之圆方，圆 中为方者，谓之“方圆”也。

七衡图

七衡图注

赵君卿曰：“青图画者，天地合际，人目所远者也。天至高，地至卑，非合也。人目极观，而天地合也。日入青图画内，谓之日出出青图画外，谓之日入青图画之内外皆天也。北辰正居天中之央，人所谓东西南北者，非有常处，各以日出之处为东，日中为南，日入为西，日没为北。北辰之下，六月见日，六月不见日。从春分至秋分，六月常见日，从秋分至春分，六月常不见日。” 见日为昼，不见日为夜。所谓一岁者，即北辰之下，一书一夜。《黄图》画者，黄道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉，使青图在上不动，贯其极而转之，即交矣。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。内第一夏至，日道也；出第四春“秋分日道也。外第七，冬至日道也，皆随黄道。日冬至在牵牛，春分在娄，夏至在东井，秋分在角，冬至从南而北，夏至从北而南，终而复始也。”

“凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分一千里。” 凡用缯方八尺一寸，今用缯方四尺五分，分为二千 里。

方为《四极》之图，尽“七衡” 之意。

吕氏曰：“凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六 千里。”

吕氏，秦相吕不韦作《吕氏春秋》，此之义在《有始》第一篇，非周髀本文。《尔雅》云：“九夷、八狄、七戎、六蛮，谓之四海。” 言东西南北之数者，将以明车辙马迹之所至。《河图括地象》云：“而有君长之州九阻中国之文，德及而不治。” 又云：“八极之广，东西二亿二万三千五百里，南北二亿三万三千五百里。” 《淮南子地形训》云：“禹使大章步自东极至于西极，孺亥步自北极至于南极，而数皆然。” 或以广阔，将焉可步矣？亦后学之徒未之或知也。夫言亿者，十万曰亿也。

凡为日月运行之圆周。

“春秋分，冬夏至” ，璿玑之运也。

七衡周而六间，以当六月节，六月为百八十二日八 分日之五。

节。六月者，从冬至至夏至日百八十二日八分日之五，为半岁。六月节者，谓中气也，不尽其日也。此日周天，通四分一之，倍法四以除之，即得也。臣鸾曰：“求七衡，周而六间以当六月节，六月为一百八十二日八分日之五，此为半岁也。列周天三百六十五日四分日之一，通分内子得一千四百六十一为实。倍分母” 四为八，除实，得半岁一百八十二日八分日之五也。

“故日夏至在东井，极内衡；日冬至在牵牛，极外衡”也。

“《东井》《牵牛》” ，为长短之限，内外之极也。

衡复更终《冬至》。

冬至，日从外衡还黄道一周年，复于故衡，终于冬至。

故曰：“一岁三百六十五日四分日之一。”一岁，一内极， 一外极。

从冬至一内极及一外极度，终于星月，穷于次，是为“一岁。”

三十日十六分日之七月，一外极，一内极。

欲分一岁为十二月，一衡间当一月，此举中相去之日数。以此言之，月行二十九日九百四十分日之四百九十九，则过周天一日，而与月合宿。论其入内外之极，六归粗通，未心得也。日光言内极，月光言外极，日阳从冬至起，月阴从夏至起，往来之始。《易》曰：“日往则月来，月往则日来。” 此之谓也。此数置一百八十二日八分日之五，通分内子五。以六间乘分母以除之，得三十。以三约法得十六，约馀得七。

臣鸾曰：“求三十日十六分日之七” ，法列半岁一百八十二日八分日之五，通分内子得一千四百六十一，为实。以六间乘分母八，得四十八，除实得三十日，不尽二十一，更置法实求等数，平于三，即以约法得十六，约馀得七，即是从中气相去三十日十六分日之七也。

是故一衡之间万九千八百三十三里。三分里之一 即为百步。

此数夏至、冬至相去十一万九千里，以六间除之，得矣。法与馀分皆半之。

臣鸾曰：“求一衡之间一万九千八百三十三里三分里之一，法置冬至、夏至相去十一万九千里，以六间除之，即得法与馀分，半之，得也。”

欲知次衡径，倍而增内衡之径。

倍一衡间数，以增内衡。

二之以“增内衡径。”

二乘所倍一衡之间数，以增内衡径，即得三衡径。

次衡放此

次至皆如数

内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里，分 为三百六十五度。四分度之一度，得一千九百五十 四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三 十三。

通周天四分之一为法，又以四乘衡周为实。实如法得一百步，不满法者十之，如法得十步，不满法者十之，如法得一步，不满者以法命之。至七衡皆如此。

臣鸾曰：求内衡度法：置夏至径二十三万八千里，以三乘之，得内外衡周七十一万四千里。以周天分母四乘内衡周，得二百八十五万六千里为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得一千九百五十四里，不尽一千二百六，即而三之，为三千六百十八，以法除之得二百步，不尽六百九十六步上，十之，如法而得四十步，不尽一千一百一十六。复上十之，如法而一，得七步，不尽九百三十三，即是一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三。

次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步，周 八十三万三千里，分里为度，度得二千二百八十里 百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。

通周天四分之一为法，四乘衡周为实。实如法得里数，不满者求步数，不尽者命分。

臣鸾曰：“求第二衡法：列一衡间一万九千八百三十三里少半里，倍之，得三万九千六百六十六里太半里。增内衡径二十三万八千里，得第二衡径二十七万七千六百六十六里二百步” ，是三分里之二。又以三乘之，步满三百成一里，得二衡，周八十三万三千里。以《周天》分母四乘周，得三百三十三万二千为实。更置周天三百六十五度四分度之一，通分内子得一千四百六十一为法。除之得二千二百八十里。不尽九百二十，以三百乘之，得二十七万六千，复以前法除之，得一百八十八步，不尽一千三百三十二，即是度得二千二百八十里一百八十八步一千四百六十一分步之一千三百三十二。

次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步，周 九十五万二千里分为度，度得二千六百六里百三 十步千四百六十一分步之二百七十。

《通周天》四分之一为法，四乘衡周为实。实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。

臣鸾曰：“求第三衡法：列倍一衡间得三万九千六百六十六里三分里之二，增第二衡径二十七万七千里六百六十六里二百步，即三分里之二，得第三衡径三十一万七千三百三十三里一百步。” 以三乘径、步，步满三百成里，得周九十五万二千里。又以分母四乘周，得三百八十万八千为实。以周天分一千四百六十一为法。以除实得二千六百六里，不尽六百三十四，以三百乘之，以法除之，得一百三十步，不尽二百七十，即是度得二千六百六里一百三十步一千四百六十一分步之二百七十。

次四衡径三十五万七千里，周一百七万一千里分 为度，度得二千九百三十二里七十一步千四百一 十分步之六百六十九。

《通周天》四分之一为法，四乘衡周为实。实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。

臣鸾曰：“求第四衡法：列倍一，衡间三万九千六百六十六里三分里之二，增第三衡径三十一万七千三百三十三里一百步，步满三百成里，得径三十五万七千里。以三乘之，得周一百七万一千里；以分母乘之，得四百二十八万四千里为实。” 以周天分一千四百六十一除之，得二千九百三十二里，不尽三百四十八，以三百乘之，以法除之，得七十一步，不尽六百六十九，即是度得二千九百三十二里七十一步一千四百六十一分步之六百六十九。

次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步，周 一百一十九万里分为度，度得三千二百五十八里 十二步千四百六十一分步之千六十八。

《通周天》四分之一为法，四乘衡周为实。实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。

臣鸾曰：“求第五衡法：列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，增第四衡径三十五万七千里，满三百成里，得第五衡径三十九万六千六百六十六里二百步。” 以三分乘径，得周一百一十九万里。又以分母四乘周，得四百七十六万为实。以周天分一千四百六十一为法，除之得三千二百五十八里。不尽六十二，以三百乘之，以法除之，得十二步，不尽一千六十八，即是度得三千二。

百五十八里十二步、一千四百六十一分步之一千六十八。

次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步，周 一百三十万九千里分为度，度得三千五百八十三 里二百五十四步千四百六十一分步之六。

通周天四分之一为法，四乘衡周为实。实如法得一里。不满法者求步，不尽者命分。

臣鸾曰：“求第六衡法：列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，以增第五衡径三十九万六千六百六十六里一百步” ，又三乘径，得周一百三十万九千里。又以分母四乘周，得五百二十三万六千为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得三千五百八十三里。不尽一千二百三十七，以三百乘之，以法除之，得二百五十四步，不尽，六即是度得三千五百八十三里二百五十四步一千四百六十一分步之六。

次七衡径四十七万六千里，周一百四十二万八千 里分为度，得三千九百九里一百九十五步千四百 六十一分步之四百五。

《通周天》四分之一为法，四乘衡周为实。实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。

臣鸾曰：“求第七衡法：列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，增第六衡径四十三万六千三百三十三里一百步，得第七衡径四十七万六千里。” 以三乘之，得周一百四十二万八千里；以分母四乘之，得五百七十一万二千为实。以周天分一千四百六十一为法，除之得三千九百九里。不尽九百五十一，又以三百乘之，所得以法一千四百六十一除之，得一百九十五步，不尽四百五，即是度得三千九百九里一百九十五步一千四百六十一分步之四百五。

其次曰冬至，所北照，过北衡十六万七千里。

《冬至》十一月，日在牵牛，径在北方，因其在北，故言“照过北衡。”

为径八十一万里。

倍所照增七衡径

周二百四十三万里。

三乘倍增七衡周

分为三百六十五度。四分度之一度，得六千六百五 十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百 二十七。过此而往者，未之或知。

过八十一万里之外

《或知》者，或疑其可知，或疑其难知，此言上圣不学而 知之。

上圣者，智无不至，明无不见。《考灵曜》曰：“微式出冥，唯审其形。” 此之谓也。

“故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日 晷长，夏至日晷短，日晷损益，寸差千里。”故“冬至、夏至 之日，南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周 二百四十三万里，分为度度，得六千六百五十二里 二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七”， 此度之相去也。

臣鸾曰：“求冬至日所北照十六万七千里，并南北日光得三十三万四千里。增冬至日道径四十七万六千里，得八十一万里，三之，得周二百四十三万。以《周天》分母四乘之，得九百七十二万里为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得六千六百五十二里，不尽一千四百二十八，以三百乘之，得四十三万八” 千四百，复以法除之，得二百九十三步，不尽三百二十七，即是度得六千六百五十二里二百九十三步一千四百六十一分步之三百二十七。

其南北游日：六百五十一里一百八十二步、一千四 百六十一分步之七百九十八。

术曰：置十一万九千里为实，以半岁一百八十二日 八分日之五为法。

半岁考，从外衡去内衡，以为法，除相去之数，得一日所行也。

而通之。

通之者，数不合齐，以法等得相通入以八乘也。

得九十五万二千，为实。

通十一万九千里

所得，一千四百六十一，为法，除之。

《通》百八十二日八分日之五也。

实如法得一里；不满法者，三之，如法得百步。

一里三百步，当以三百乘而言之。三之者，不欲转法，便以一位为百实，故从一位命为“百。”

不满法者，十之，如法得十步。

上下用三百乘，故此十之便以位为十实，故从一位命为十。

不满法者，十之，如法得一步

复“十之” 者。但以一位为实。故从一位命为一。

不满法者，以法命之。

位尽于一步故以法命其馀分，为残步。

臣鸾曰：“求南北游法：置冬至十一万九千里，以半岁日分母八乘之，得九十五万二千为实。通半岁一百八十二日八分日之五，得一千四百六十一，以除得六百五十一里，不尽八百八十九，以三百乘之，得二十六万六千七百，复以法除之，得一百八十二步，不尽七百九十八，即得日南北游日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八。” 。