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历象汇编 第一百十七卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十七卷目录

　算法部汇考九

　　算法统宗五〈衰分章第三〉

历法典第一百十七卷

算法部汇考九

《算法统宗五》

衰分章第三

“衰”者，等也。物之混者求其等而分之，以物之多寡求 其出税，以人户等第求其差徭，以物价求贵贱高低 者也。

衰分歌

衰分法数不相平，须要分数一分成，将此一分为之 实，以乘各数自均平。

法曰：各列置衰，排列所求等次之位，副并共若干，为 法。以所分物总乘未并者。〈是前列衰〉各自为实，以法除之， 即得所问。

可约者，约分之；不尽者，以法命之。

一法：置所分物为实，并各衰为法除之，得一衰，以乘 各衰。

合率差分

今有银一千二百两买绫绢，议要“绢一停，绫二停。其 绫每匹价三两六钱，绢每匹价二两四钱，问二色并 价各若干？”

答曰：“绫二百五十匹，价九百两；绢一百二十五匹， 价三百两。”

《法》曰：置银一千二百两为实，另置绫价，以二因之，得 七两二钱，并入绢价二两四钱，共九两六钱为法，除 之，得绢一百二十五匹，倍之，得绫一百五十匹。各以 原价乘之，合问。

今有银一百二十一两一钱七分五釐，籴米、麦、豆，议 要米一分，麦二分，豆三分；其米每斗九分二釐，麦每 斗八分五釐，豆每斗三分六釐，问三色并价各若干？ 答曰：“米三十二石七斗五升，价银三十两零一钱三 分；麦六十五石五斗，价银五十五两六钱七分五 釐；豆九十八石二斗五升，价银三十五两三钱七 分。”

法曰：置总银为实，另置麦价，以二因之，得一钱七分。 又置豆价，以三因之，得一钱零八釐，米价九分二釐， 并三价，得三钱七分，为法。除实，得米数，二因得麦数， 三因得豆数。各以原价乘之，得各价。合问。

又法：先得米数，倍之，得麦数，加五，即豆数。

今有鳏寡孤独四贫民、共给米二十四石、其鳏者四 分、寡者五分、孤者七分、独者九分。问四民各该米若 干

答曰：“鳏者给米三石八斗四升，寡者给米四石八 斗，孤者给米六石七斗二升，独者给米八石六 斗四升。”

法曰：置米为实，另置鳏四、寡五、孤七、独九并之，共二 十五为法，除实，得九斗六升，为一衰之数。以各自衰 因之，合问。

今有甲乙丙丁四人，各出本银七两五钱，甲银八色， 乙银七色，丙银六色，丁银四色，共三十两，入炉倾成 一锭。合伙不成，各欲分散，问各该若干？

答曰：“甲银九两六钱，乙银八两四钱，丙银七两 二钱，丁银四两八钱。”

《法》曰：并四人各出七两五钱，共三十两为法，另以四 人各原银折作足色纹银，甲得六两，乙得五两二钱 五分，丙得四两五钱，丁得三两四，共并得足色银一 十八两七钱五分为实。以法除实得六二五色。就以 此为法，以除各人折过足色银，得分六二五色银数 合问。

今有张三出本银十九两六钱四分，李四出本银十 二两三钱六分，共出本银三十二两，营运折了七两 问各折若干。

答曰：“张三折银四两二钱九分六釐二毫五丝，李 四折银二两七钱零三釐七毫五丝。”

法曰：置折银七两为实，以共本银三十二两为法，除 之，得二钱一分八釐七毫五丝，乃是“一两折数。”就以 此乘各人原本，合得各折数也。《合问》：〈按此法置张本银李本银列二

位各以七两乘之，却以三十二两为法，归除之，亦得。

〉

今有三色金，共二十两，内九色四两，七色七两，五色 九两，欲销一处，问“成色若干？”

答曰：“六五成色。”

法曰：置九色四两，以九因得三两六钱；七色七两，以 七因得四两九钱；五色九两，以五因得四两五钱。并三位折赤金一十三两为实，以原金二十两为法，除 之，合问。

今有一人将桃二百七十五个，一人将梨二百二十 个，各欲换西瓜。其瓜每个钱二十七文半，桃每个三 文半，其梨每个八文问，各换瓜若干？

《答》曰：“桃主该换瓜三十五个，梨主该换瓜六十四 个。”

法曰：置桃数，以价三文半乘，得九百六十二文半，为 实，以瓜价为法除之，得桃换瓜数。另置梨数，以价八 文因之，得一千九百六十文为实，以瓜价为法除之， 得梨换瓜数。合问：

“今有官米七十三石二斗，令三等人户出之。”上等二 十五户，每户五分；中等四十户，每户三分；下等六十 户，每户一分。问各等户米若干？

答曰：“上等每户一石二斗，共三十石；中等每户七 斗二升，共二十八石八斗；下等每户二斗四升，共 一十四石四斗。”

法曰：置总米为实，另置上等二十五户，五因得一百 二十五；中等四十户，三因得一百二十；下等六十户， 得六十。以三数并之，共得三百零五。为法，除之得二 斗四升，是下等一户所出之数。三因得七斗二升，是 中等一户所出数；五因得一石二斗，是上等一户所 出数。各以户数乘之，得各等共数。合问。

今有军二万五千二百名，共支米、麦、豆三色，只云“四 人支米三石，七人支豆八石，九人支麦五石”，问各该 若干？

答曰：“米一万八千九百石。麦一万四千石，豆二 万八千八百石。”

法曰：置军数，列三位：一位以三因，得七万五千六 百；以四除，得米一万八千九百石；一位以五因，得 一十二万六千；以九除，得麦一万四千石；一位以 八因，得二十万零一千六百；以七除，得豆二万八千 八百石。合问。

今有官田一顷三十八亩，每亩科正米二斗，今要七 分本色米，三分折纳细丝，每米一石折丝一斤，问各 纳若干？

答曰：“米一十九石三斗二升，丝八斤四两四钱八 分。”

法曰：置田数，以正米二斗乘，得二十七石六斗。置列 二位，一位以七乘，得米一十九石三斗二升；一 位以三乘，得八石二斗八升。以石变斤零二八用加 六，得两钱之数，合问。

四六差分

法曰：各以四为首，用加五以求各衰首位。四就身， 加五得六，又加五得九，又加五得十三衰五分，又加 五得二十衰零二分五釐。如位。数多者，各加五以 生各衰仿此。

一法以首位为四，用四归六，因以求各衰。〈不如加五捷径〉 “二位”者：〈四　六〉并得十三位者。〈四　六　九〉并得十九 四位者。〈四　六　九　一十三衰半〉并得三十二衰，《五分》五位 者。〈四　六　九　十三衰五　二十衰二分五釐〉并得五十二衰，七分五 釐。各副并为法，除实得一衰，以乘各衰，《合问》。

今有金四千两，令二等金户四六纳之。问各该若干？ 答曰：“上等户该二千四百两，下等户该一千六百 两。”

《法》曰：置总金为实，以六因得上户，以四因得下户。合 问。

今有米一千五百五十八石，令甲、乙丙三人四六纳 之，问各该若干？

答曰：“甲，七百三十八石。乙，四百九十二石。丙，三 百二十八石。”

《法》曰：“置米为实，列。”〈丙四　乙六　甲九〉副并共得十九衰，为法， 除实得八十二石，为一差衰。以乘各人衰数，即“出纳 数”也。

今将前米，令甲、乙、丙丁四等人户作四六出纳，问各 该若干。

《法》曰：“置米为实，列。”〈丁四　丙六　乙九　甲十三衰五分〉副并共得三 十二衰，五分为法，除实得若干，乃为“一衰”之数。以四 因得丁所该纳数。列一衰，则以乘各人衰数，合得各 人所纳数也。

又将前米令甲、乙、丙、丁、戊五等人户，作四六纳之，问 各该若干。

《法》曰：“置米为实，列。”〈戊四　丁六　丙九　乙十三衰五分　甲二十衰○二分五釐〉 副并得五十二衰，七分五釐为法，除实得若干，为一 衰之数。以此为则，以乘各人衰数，合得各人出纳数 也。

今有米三百八十五石五斗二升，令二等人户从上 四六出之。甲上等二十六户，乙下等四十户，问各户 各若干。

答曰：上等每户七石三斗二升，共计一百九十石零 三斗二升；下等每户四石八斗八升，共计一百九十五石二斗。

法曰：置米为实，另以上等二十六户，以六因得一百 五十六衰。又以下等四十户，以四因得一百六十衰。 二共并之，得三百一十六衰。为法。除实，得一石二斗 二升，为一差衰。以六因得七石三斗二升，是上等一 户出数。另以一衰数，以四因得四石八斗八升，是下 等一户所出数。各以户数乘之，合问。

二八差分

法曰：各以二为首，用四因以求各衰首位。二以四 因得八衰，又四因得三十二衰，又四因得一百二十 八衰，又四因得五百一十二衰。如位数多者，各以四 因以生各衰。

一法以首为二，用二归八，因以求各衰。〈不如四因捷径〉 “二位”者：〈二　八〉并得十三位者。〈二　八　三十二〉三共《并得 四十二四位》者。〈二　八　三十二　一百二十八〉四、“共并得一百 七十五位”者。〈二　八　三十二　一百二十八　五百一十二〉五共并，得 六百八十二衰，为法，除实得一分衰数以乘各衰， 今有金三千两，令二等人户二八纳之。问各该若干？ 答曰：“上等户二千四百两，下等户六百两。”

《法》曰：置《总金》，列二位为实，一位以八因，得上等户 所纳之数，一位以二因，得下等户所纳之数。

若令三等人户，作《二八》出之。

《法》曰：“置总金为实列。”〈丙二　乙八　甲三十二〉三共并，得四十二 衰为法。除实得若干，为一衰之数以为法。则以二衰 因得若干，为丙出金之数。又以八衰因得若干，为乙 出金之数。又以三十二衰乘之得若干，为甲出金之 数。《合问》：

若令四等人户二八出纳，只加上等四衰一百二十 八，四共并衰一百七十为法，除实得一衰之数，以乘 各衰，即得。

若五等，亦只加衰，用法如前。

三七差分

法曰：“各以三为首”，就以三因，或又三因，再三因，务求 得宜为首衰。却用三归七因，以求各衰。

二位者，首位三，次位七，并得十三位者，首位三，就 以三因得九为丙衰。却以九用三归七，因得二十一 为乙衰。再以二十一用三归七，因得四十九为甲衰。 三位并得七十九衰四位者，首位三，以三因得九， 又三因得二十七为丁衰。却以二十七用三归七，因 得六十三为丙衰。却以六十三用三归七，因得一百 四十七为乙衰。却以一百四十七用三归七，因得三 百四十三为甲衰。四并得五百八十五位者，首位 三，以三因，又三因，再三因得八十一为戊衰。却以戊 衰用三归七，因得一百八十九为丁衰。却以丁衰用 三归七因得四百四十一为丙衰。却以丙衰用三归 七，因得一千零二十九为乙衰。却以乙衰用三归七 因得二千四百零一，为甲衰。“五并”共得四千一百四 十一，各以副并为法，除实得一衰数，以乘各衰，如位 数多者，皆以三因首位，用三归七因，以求下位衰数。 今有金三千两，令休绩二县金行铺户，三七上纳，问 各该若干？

答曰：“休宁县二千一百两，绩溪县九百两。”

法曰：置金数为实，以七因，即休邑纳数；以三因，即绩 邑纳数。合问。

今有银四百九十七两七钱，令甲、乙、丙三人三七分 之问，各该若干。

答曰：“甲，三百零八两七钱；乙一百三十二两三钱。”

丙五十六两七钱

《法》曰：“置总银为实列。”〈丙九　乙二十一　甲四十九〉副并得七十九 衰，为法。除实得六两三钱，为一衰数。以乘各衰，得各 人数，合问。

若令四人作三七分之。

《法》置“总银”为实列。〈丁二十七　丙六十三　乙一百四十七　甲三百四十三〉副 并，得五百八十衰，为法。除实得若干，为一衰之数；以 乘各衰，得各人数。

若令五人作三七分之。

《法》置“总银”为实列。〈戊衰八十一　丁一百八十九　丙四百四十一　乙一千零二十 九　甲二千四百零一〉副并得四千一百四十一衰，为法，除实 得若干，为一衰之数。就以此为法，以乘各衰，得数《合 问》。

折半差分

《法》曰：“以所分物折半为衰二位”者。〈一　二〉并得《三 三位》者。〈一　二　四〉并得七四位者。〈一　二　四　八〉并得《十 五》五位者。〈一　二　四　八　十六〉并得三十一，各副并为法， 除实。〈按此法加一倍法也首衰倍之得次衰又倍之得三衰四五同〉 今有钱五百九十四文，令甲乙二人折半分之，问各 该若干。

答曰：“甲三百九十六文，乙一百九十八文。”

《法》曰：“置总钱为实”，以〈甲二乙一〉并得“三衰”为法，归实得一 百九十八文，为乙所得数；倍之，得三百九十六文，为 甲所得数。合问今有银六百七十二两，令三等人作折半分之，问各 该若干？

答曰：“甲，三百八十四两，乙一百九十二两，丙，九 十六两。”

《法》曰：“置总银为实，以”〈甲四　乙二　丙一〉并得七衰，为法，除实 得九十六两，为丙所得数。以二因，得乙数，以四因，得 甲数。合问：

今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增， 第四日又倍增，织成绢六丈七尺五寸，问各日织若 干。

答曰：“初日织四尺五寸，次日织九尺，第三日织 一丈八尺，第四日织三丈六尺。”

《法》曰：“置绢为实列。”〈一　二　四　八〉并得十五为法。除实，得 初日织四尺五寸。倍之，得次日数，再倍，得第三日数， 又倍，得第四日数。《合问》：

递减挨次差分

《法》曰：“置所分物者，挨次为衰”，各列置衰算之三位 者。〈一　二　三〉并得六四位者。〈一　二　三　四〉并得十五 位者。〈一　二　三　四　五〉并得十五六位者。〈一　二　三　四　五 六〉并得二十一，各副并为法，除实。

今有绢七百二十匹，令甲、乙丙三人依等挨次分之， 问各该若干。

答曰：“甲三百六十匹，乙二百四十匹，丙一百二 十匹。”

《法》曰：置绢为实，以〈甲三　乙二　丙一〉并得六衰，为法，除实得 一百二十匹，为丙所得数。以二因，得乙数，以三因得 甲数。合问。

今有银九十二两，分散四子，依等挨次分之，问各该 若干。

答曰：“长子三十六两八钱，次子二十七两六钱； 三子一十八两四钱、四子九两二钱。”

《法》曰：“置总银为实。”〈以长子四　次子二　三子二　四子一〉副并得十衰， 为法，除实得九两二钱，为四子，所得数，自下而上，各 加九两二钱，合问。

今有金八两一钱，欲挨次造套锺五个，问各重若干？ 答曰：“大号二两七钱，二号二两一钱六分，三号 一两六钱二分，四号一两零八分，五号五钱四 分。”

《法》曰：置金为实，以〈五　四　三　二　一〉副并得一十五衰，为 法，除实得五钱四分，为五号锺重数。自下而上，各加 五钱四分合问。

若造礼乐射御，书数“六号杯。”

法置总金数，为实以。〈六　五　四　三　二　一〉副并得二十一 衰为法，除实得数字，杯重若干，自下而上各加数字， 号杯重若干，合问。

今有粮一千一百三十四石，令五等人户挨次上纳。 一等二十四户，二等三十三户，三等四十二户，四等 五十一户，五等六十户，问各若干？

答曰：一等每户十石零五斗，共计二百五十二石； 二等每户八石四斗，共计二百七十七石二斗；三 等每户六石三斗，共计二百六十四石六斗；四等 每户四石二斗，共计二百一十四石二斗；五等每 户二石一斗，共计一百二十六石。

《法》曰：“置粮为实，第五等户不动”，将四等户数，以二因 得若干，又将三等户数，以三因得若干，再将二等户 数，以四因得若干，又将一等户数，以五因得若干，并 五等数，共得五百四十衰为法，除实得二石一斗，是 第五等一户所出数，以二因得四等一户所出数，以 三因得二等一户所出数，以四因得三等一户所出 数，以五因得一等一户所出数，各以户数乘之，合问。 〈自五等起逓加二石一斗至一等止〉 今有米二百四十石，令甲、乙、丙、丁、戊五人递差分之。 要将甲、乙二人数与丙、丁、戊三人数同，问各该若干？ 答曰：“甲六十四石，乙五十六石，丙四十八石。”

丁，四十石。戊、三十二石。

《法》置“总米”为“实列。”〈甲五　乙四　丙三　丁二　戊一〉又并甲五乙四 得九。又并丙三、丁二，戊一得六，减九，馀三。却以前五 人衰内各增三甲得八，乙得七，丙得六，丁得五，戊得 四，副并得三十衰。为法，除实得八石，为一衰数。以乘 各人后增衰数，得各人所得数。合问。〈戊起逓加八数至甲止〉 或七人分者，要将甲乙丙三人，数与丁戊己庚四人 数同者。又云“三人分”者，要将甲得数与乙丙二人 所得数同者，俱仿前法算之。

今有金六十两，令甲、乙、丙三人依等递差五两，问各 该若干。

答曰：“甲二十五两，乙二十两，丙一十五两。”

法曰：置金六十两，内减差，甲多丙十两，乙多丙五两， 共一十五两，馀四十五两为实。以三人为法，除之，得 丙金一十五两。加五两得二十两，为乙所得；又加五 两，为甲所得。合问。〈按凡算递差者皆可互和折半故不必另立互和之法即以金六十

两，用“三” 归之，即得“乙” 数也。

〉今有俸米三百零五石、令五等官依品逓差。十三石

分之问各该若干

答曰：“正一品，八十七石。从一品，七十四石。正二 品，六十一石。从二品，四十八石。正三品，三十五 石。”

法曰：置五等于上，又列五等，减一，馀四以乘五，得二 十，折半得一十，为实。以每等差十三石乘之，得一百 三十石。以减总米三百零五石，馀一百七十五石，却 以五等除之，得三十五石，是第五等。正三品俸米，加 十三石，是第四等。从二品俸米，又加十三石，是正二 品俸米。各品递加十三，合问。〈按此法置总银为实只用五归即得正二品数

递加则得从一品、正一品数；逓减则得从二品、正三品数也。

〉

今有官米二百六十五石，令三等人户出之。上等二 十户，每户多中等七斗；中等五十户，每户多下等五 斗；下等一百一十户。问每户所出及逐等各若干？ 答曰：“上等每户二石四斗，共四十八石；中等每户 一石七斗，共八十五石；下等每户一石二斗，共一 百三十二石。”

法曰：“置中等五十户”，以每户多下等五斗，因之得二 十五石。又置上等二十户，以每户多中等七斗，多下 等五斗，共一石二斗乘之，得二十四石，并二数共四 十九石，以减总米，馀二百一十六石为实，并三等户 数，共一百八十为法，除实得一石二斗，是下等一户 所出数。加五斗得一石七斗，是中等一户所出数。又 加七斗，得二石四斗，是上等一户所出数。各以户数 乘之，《合问》。

带分母子差分

“今有马军七人，给裤布四十八尺；步军六人，给袄布 九十二尺。”今共给布一十二万五千八百二十尺，问 各该若干？

答曰：“马步军各五千六百七十人，袄布八万六千 九百四十尺，裤布三万八千八百八十尺。”

法曰：“置分，母子互乘。”〈七人六人〉〈四十八　九十二〉以七人乘九 十二尺，得六百四十四尺。另以六人乘四十八尺，得 二百八十八尺，并之，得九百三十二尺为法。置布一 十二万五千八百二十尺，却以六人七人相乘，得四 十二而乘之，得五百二十八万四千四百四十尺为 实。以法除之，得军数各五千六百七十人。以四十八 乘，又用七归得裤布。又以九十二乘军数，用六归，得 袄布合问。

今有昆仲三人。小弟谓长兄曰：“我年纪比汝四分之 三，次兄年纪比汝六分之五，我多八岁。”问三人岁数 各若干，

答曰：“长兄九十六岁，次兄八十岁，小弟七十二 岁。”

《法》曰：“置”〈六分四分〉〈之五之三〉以母四互乘子五，得二十，为 次兄之差。又以母六互乘子三，得十八，为小弟之差。 又以母四六相乘，得二十四，为长兄之差。另以二十 减去十八，馀二为法。先置长兄差二十四，以八岁乘 之，得一百九十二为实。以法二除之，得九十六，为长 兄之岁。另以次兄差二十，以八岁乘之，得一百六十 为实。以法二除之，得八十，为次兄之岁。另以小弟十 八，亦以八岁乘之，得一百四十四，为实。以法二除之， 得七十二，为小弟岁数。《合问》。

今有七人差等均钱，“甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七 十五文，问丙、丁各若干？”

答曰：“甲四十文乙，三十七文丙，三十四文丁。”

三十一文戊二十八文己二十五文庚二十

二文。

《法》曰：“置”〈二人三人〉〈七十七文　七十五文〉令母互乘子以二人乘 七十五文，得一百五十。另以三人乘七十七文，得二 百三十一文。以少减多，馀八十一，为一差之实。并分 母二人、三人得五，折半得二人半。以减总七人，馀四 人半。却以分母二人、三人乘，得六，以乘四人半，得二 十七，为一差之法。馀实八十一，得三文，为一差数。置 《甲》《乙》，均七十七文，加二文，共八十文，折半得四十文 为“甲”，得数递减，三文合问。

今有兵士三千四百七十四名，每三人支衫绢七十 尺，每四人支裙绢五十尺，问该总绢若干？

答曰：共绢一十二万四千四百八十五尺，衫绢八 万一千零六十尺，裙绢四万三千四百二十五尺。 法曰：“置。”〈三人　四人〉〈七十尺　五十尺〉以三人互乘五十，得一百 五十。以四人互乘七十，得二百八十。并之，共四百三 十，乘兵士，得一百四十九万三千八百二十为实。又 以三四相乘，得十二为法，除实得总绢数。另置兵士 总以七因三归得衫绢数，以五因四归得裙绢数。《合 问》。

互和减半差分

法曰：以〈一　三　五　七　九〉为阳位，〈二　四　六　八　十〉“为阴位”三 位者。〈三　五　七〉并得十五数四位者。〈二　四　六　八〉并得二 十数五位者。〈一　三　五　七　九〉并得二十五数，照位并而为法，除实得首尾二人共数，于内减甲多或丙少数， 馀数折半，得首尾数，加甲多或丙少数，为首数。 三位者互和首尾。甲、丙二人所得数折半，得中乙数。 《合问》

四位者，照前得首尾甲丁二人数，其中有乙丙二人， 不可折半得数，却置甲多或丁少数，依例用三归之 《合问》。

五位者，照依前得首尾甲戊二人数互和，首尾数折 半得中丙数，又互和丙戊数，折半得丁数。又互和丙 甲数，折半得乙数。如位数多者，皆以空位取之，并而 为法，除实得首尾数。〈四位者用三归之六位者用五除之〉 今有白米一百八十石，令三人从上互和，减半分之， 只云“甲多丙米三十六石，问各该若干？”

答曰：“甲，七十八石，乙，六十石，丙，四十二石。”

《法》曰：置米一百八十石为实，以〈三　五　七〉并得一石五 斗为法。除实，得一百二十石，乃甲、丙二人首尾共数。 于内减甲多三十六石，馀八十四石折半，得丙四十 二石，加多三十六石，得甲米七十八石。互和甲、丙米 折半，得乙米六十石。《合问》。

今有银二百四十两，令四人从上互相减半分之，只 云“甲多丁一十八两”，问各该若干？

答曰：“甲六十九两，乙六十三两，丙五十七两。”

丁，五十一两。

《法》曰：置银为实，以〈二　四　六　八〉并得二两为法，除实得 一百二十，乃甲、丁首尾二人共数。于内减甲多一十 八两，馀一百零二两折半，得丁银五十一两。加多一 十八，得甲银六十九两。惟乙丙二人不可并折，以甲 多一十八例用三归之，得六两，加入丁银，得丙银五 十七两。又加六两，得乙银六十三两。合问。

今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半 分之，只云“戊不及甲三十三贯六百文，问各该钞若 干。”

答曰：甲，六十四贯四百文；乙，五十六贯；丙，四十 七贯六百文；丁，三十九贯二百文；戊，三十贯零 八百文。

《法》曰：“置钞为实，以”〈一　三　五　七　九〉并得二贯五百文为 法，除之，得九十五贯二百文，乃首尾二人共数。于内 减戊不及甲钞，馀六十一贯六百文折半，得戊钞三 十贯八百文；仍加戊不及甲钞三十三贯六百文，得 甲钞六十四贯四百文。互和甲、戊钞共九十五贯二 百文，折半，得丙钞四十七贯六百文。又互和丙、戊钞 共七十八贯四百文，折半，得丁钞三十九贯二百文。 又互和甲丙钞共一百一十二贯，折半得乙钞五十 六贯。《合问》

今有五人，均银四十两，内甲得十两四钱，戊得五两 六钱，问乙、丙、丁次第均之，各该若干？

答曰：“乙九两二钱，丙八两，丁六两八钱。”

法曰：并甲戊共一十六两折半，得丙银八两；又并甲 丙共一十八两四钱，折半，得乙银九两二钱；又并丙 戊共一十三两六钱，折半，得丁银六两八钱。合问 假如前三人四六分物者，可将一等与二等所得数 并作一处，却分为十分。此验其一等原得数是六分， 其二等原得数是四分，再将二等与三等仍前考之， 其二等原得数，却是六分，“三等”原得数，却是四分也， 其二八三七，俱照此考验无差

因《指明》等书不依古法，却以十分之六误为四六，以 十分之七为三七，以十分之八为二八，俱差矣，因差 而考之。

今有绢四百七十丈零一尺八寸四分，令三等人户 作十分之六出之。上等二十五户，中等三十户，下等 四十八户，问每户各该若干？

答曰：上等每户七丈八尺，共一百九十五丈；中等 每户四丈六尺八寸，共一百四十丈零四尺；下等 每户二丈八尺零八分，共一百三十四丈七尺八寸 四分。

法曰：置总绢为实，另置上等户数，以一百因之，得二 千五百衰。中等户数，以六十因之，得一千八百衰。下 等户数，以三十六乘之，得一千七百二十八衰。并三 位共六千零二十八衰，为法，除实，得七丈八尺，是上 等一户所出数。以六因，是中等一户所出数，再以六 因，是下等一户所出数。各以户数乘之，合问。

今有粟一百六十八石四斗八升八合，令四等人户 作十分之七出之，问每户逐等各若干

答曰：第一等二十二户，每户二石，共四十四石；第 二等三十六户，每户一石四斗，共五十石零四斗； 第三等四十二户，每户九斗八升，共四十一石一斗 六升；第四等四十八户，每户六斗八升六合，共三 十二石九斗二升八合。

《法》曰：置总粟为实，另置一等户，以一千因，得二万二 千。第二等户以七百因之，得二万五千二百。第三等 户以四百九十乘之，得二万零五百八十。第四等户以三百四十三乘之，得一万六千四百六十四。并四 位，共八万四千二百四十四衰为法，除实，得二石，是 第一等一户所出数。以七因是二等一户数，又七因 是三等，一户数又七，因是四等，一户数各以户数乘 之，合问十分之七，即以七因以生各等，详后解法。 今有官米二百二十五石三斗六升，令五等人户作 十分之八出之，问每户逐等各若干？

答曰：第一等四户，每户二石五斗，共一十石；第二 等八户，每户二石，共一十六石；第三等十五户，每 户一石六斗，共二十四石；第四等四十一户，每户 一石二斗八升，共五十二石四斗八升；第五等一 百二十户，每户一石零二升四合，共一百二十二石 八斗八升。

解法曰：“一等定率一万，以八因之，得八千，为二等率。 又八因得六千四百，为三等率。又八因，得五千一百 二十，为四等率。又八因得四千零九十六，为五等率。”

前问十分之七仿此。即以七因定率。

《法》曰：置总米为实，另置第一等四户，以一万因之，得 四万；第二等八户，以八千因之，得六万四千；第三等 十五户，以六千四百乘之，得九万六千；第四等四十 一户，以五千一百二十乘之，得二十万零九千九百 二十；第五等一百二十户，以四千零九十六乘之，得 四十九万一千五百二十。并五位，共九十万零一千 四百四十衰为法，除实得二勺五抄，为一衰数。就以 此乘一等衰一万，每户该米二石五斗，以八因得二 石，是第二等一户所出数。又八因得一石六斗，是三 等一户数。又八因得一石二斗八升，是四等一户数。 又以八因得一石零二升四合，是五等一户数。各以 户数乘之，《合问》：

匿价差分歌

匿价分身法更奇，多乘高物以为实。得价减总馀又 列，共物除馀低价知。低价添多为高价，各乘各物不 差池。学者能知此般算，三四物价也相宜。

今有银一万七千六百九十两买马骡一千匹，议要 马七百匹，骡三百匹。其马价多，骡价七两七钱，问各 价若干？

答曰：“马每匹价二十两，骡每匹价一十二两三钱。” 法曰：置马七百匹，以多七两七钱乘之，得五千三百 九十两，以减总银，馀一万二千三百两，以马骡一千 为法，除之，得骡一十二两三钱，加多七两七钱，为马 价合问。

今有银二千九百二十八两，共买绫一百五十匹，罗 三百匹，绢四百五十匹。只云：“绫匹价比罗匹价多四 钱七分，罗匹价比绢匹价多一两三钱五分”，问三物 匹价各若干？

答曰：“绫价每匹四两三钱二分，罗价每匹三两八 钱五分，绢价每匹二两五钱。”

法曰：列罗三百匹，以多绢价一两三钱五分乘，得四 百零五两。又列绫一百五十匹，以二项多价共一两 八钱二分，乘得二百七十三两并之，得六百七十八 两。减总银，馀二千二百五十两为实，并绫、罗绢共九 百匹为法，除之，得二两五钱，为每匹绢价；加多一两 三钱五分，得罗匹价三两八钱五分；又加多四钱七 分，得绫匹价四两三钱二分，合问。

今有绫七尺，罗九尺，共价适等。只云“罗每尺价比绫 每尺价少钱三十六文，问各钱价若干？”

答曰：“绫每尺一百六十二文，罗每尺一百二十六 文。”

法曰：置罗九尺，以绫价三十六文乘之，得三百二十 四文为实。另以绫七尺、罗九尺相减，馀二尺为法。除 实，得绫尺价一百六十二文。另置绫七尺，以三十六 文乘之，得二百五十二文为实。仍将前法二尺为法 除之，得罗尺价一百二十六文。《合问》。

今有金九块，银十一块，秤之适等，交换二块，则馀金 比换银多一十三两，问金、银各重若干？

答曰：金一块，重三十五两七钱五分；银一块重二 十九两二钱五分；金九块、银十一块，各共重三百 二十一两七钱五分。

法曰：列金重一十三两，折半，得六两五钱，乘金九块， 得五十八两五钱为实。却以金九、银十一相减，馀二 为法，除实，得银一块，重二十九两二钱五分数。另置 银十一块，以六两五钱乘之，得七十一两五钱为实。 仍以前二为法，除之，得金一块，重三十五两七钱五 分。合问。

贵贱差分歌

差分贵贱法尤精，高价先乘共物情。却用都钱减今 数，馀留为实甚分明。别将二价也相减，用此馀钱为 法行。除了先为低物价，自馀高价物方成。

今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱。只云：“米 每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五釐”，问米麦 各若干答曰：“米三百二十石，价银二百七十五两二钱；麦 一百八十石，价银一百三十两零五钱。”

法曰：置米麦五百石，以米价八钱六分乘之，得四百 三十两。减去共价，馀二十四两三钱为实。以米价内 减麦价，馀一钱三分五釐为法。除之，得麦一百八十 石。却以米麦五百石内减麦数，馀三百二十石为米 数。各以原价乘之，合问。

今有银五十五两五钱，共买铜、锡、铁八万三千零五 十两。只云银价相仿，每银一钱买铜一百三十两，每 银一钱买锡一百五十两，每银一钱买铁一百七十 两，问三色各若干？〈此为三色差分〉

答曰：“铜二万四千七百两，价银一十九两；锡二万 七千七百五十两，价银一十八两五钱；铁三万零 六百两，价银一十八两。”

法曰：置总银，以三归之，得一十八两五钱，约锡为中。 以每银一钱买一百五十两乘，得锡二万七千七百 五十两，于总物内减讫，馀五万五千三百两。另置总 银内减去一十八两五钱，馀三十七两，却以铜一百 三十两乘之，得四万八千一百，减去五万五千三百， 馀七千二百为实。另以铜铁数相减，馀四十为法。除 实得铁价一十八两，又于三十七两减去一十八两， 馀一十九两为铜价。各以每银一钱买数乘之，合问 今有绫、罗、纱、绢一百六十匹，共价九十三两，绫每匹 价九钱，罗每匹价七钱，纱每匹价五钱，绢每匹价三 钱。问四色各若干？

答曰：“绫三十五匹，该银三十一两五钱；罗四十匹， 该银二十八两；纱四十匹，该银二十两；绢四十 五匹，该银一十三两五钱。”

法曰：此四色差分，先置一百六十匹，以四除之，得四 十匹。就定中物、罗、纱二色及价，却于一百六十匹内 减罗、纱共八十匹，馀八十匹；又于共价九十三两内 减去罗价二十八两，纱价二十两，馀四十五两。以贵 贱差分算之，置馀八十匹，以绫价九钱乘之，得七十 二两，减去四十五两，馀二十七两为实。以绫价九钱 减绢价三钱，馀六钱为法。除之，得四十五匹为绢数。 却于八十匹内减绢四十五匹，馀三十五匹为绫。各 以原价乘之，《合问》：

凡三色、四色差分之法，俱先定中等，惟留首尾二色， 以贵贱差分法算之，不拘五、六、七、八、九色者仿此。

《仙人换影歌》：〈又日：“贵贱相和。” 〉

“贵贱相和换影仙”，贱物互乘贵价钱，贵物互乘贱价， 讫相减，馀为长法。然先使总钱乘贱物，后用总物乘 贱钱，二数相减，馀为实，长法除之。《短法》言贵物贵价 各乘短物价分明皆得全。总内减贵馀为贱，不遇知 音不与传。

今有钱四千九百九十五文，共买桃、梨五千个。只云 钱一十一文买桃九个，又钱四文买梨七个。问桃、梨 各若干？

答曰：“桃三千二百八十五个，该钱四千零一十五文。”

梨一千七百一十五个，该钱九百八十文。

《法》曰：列置。〈九个十一文〉〈七个四文〉〈五千个四千九百九十五 文〉先以上十一互乘中七个，得七十七个。又以四文 乘九个，得三十六个。以少减多，馀四十一，为长法。 若求桃数价者，以中下互乘，置总钱，以七个乘，得三 万四千九百六十五个。另置总果，以四文乘之，得二 万，以减三万四千九百六十五个，馀一万四千九百 六十五个为实。以《长法》四十一除之，得三百六十五 个，为短法。列二位，一位以九个乘，得桃三千二百八 十五个。一位以十一文乘，得桃价四千零一十五文。 于总内减桃数，馀者即梨数价也。若求梨数价者， 却置总钱，以九个乘之，又置总果，以十一文乘之，二 数相减，馀一万零零四十五为实。仍以长法四十一 除之，得二百四十五，为《短法》。列二位，一位以七个乘 得梨数；一位以四文乘得梨价。合问。〈求桃者以梨价求之求梨者以 桃价求之〉

今有牛羊一百只，共价一百六十八两只云：牛三只 价银一十二两，羊四只价银一两五钱，问牛、羊并价 各若干。

答曰：“牛三十六只，价银一百四十四两；羊六十四 只，价银二十四两。”

《法》曰：列置。〈牛三十二两〉〈羊四一两五钱〉〈共一百只共一百六十 八两〉先以上牛贵价一十二两互乘贱物羊四只，得四 十八两。又以贵物牛三互乘贱物羊价一两五钱，得 四两五钱，以减四十八两，馀四十三两五钱，为长法。 次以中羊四互乘总价一百六十八两，得六百七十 二。又置总物一百只，以贱价一两五钱乘之，得一百 五十，以减六百七十二，馀五百二十二为实。以《长法》 四十三两五钱除之，得一两二钱，为短法。列二位，一 位以贵物牛三乘之，得牛三十六只。一位以牛贵价 一十二两乘之，得一百四十四两。以减总银，馀得羊 价。合问今有大小鱼一百斤，共价八钱七分五釐，只云大鱼 二斤，价四分，小鱼七斤，价五分。问大小鱼及价各若 干？

答曰：“大鱼一十二斤半，价银二钱五分；小鱼八十 七斤半，价”银六钱二分五釐。

《法》曰：列〈大鱼二斤价银四分〉〈小鱼七斤价银五分〉〈总鱼一百斤总价八钱七 分五釐〉先以上大鱼价四分互乘中小鱼七斤，得二钱 八分；又以大鱼二斤互乘小鱼价五分，得一钱；以少 减多，馀一钱八分，为长法。次以中小鱼七斤互乘下 总价，得六两一钱二分五釐；又以小鱼价五分互乘 总鱼一百斤，得五两；以少减多，馀一两一钱二分五 釐为实。以《长法》除之，得六分二釐五毫，为短法。列二 位，一位以二斤乘之，得大鱼一十二斤半；一位以四 分乘之，得大鱼价二钱五分。于总鱼一百斤减去大 鱼，馀得小鱼。合问。

若求小鱼者，置总价，以大鱼二斤乘之，得一两七钱 五分。又置总鱼一百斤，以贵价四分乘之，得四两，以 少减多，馀二两二钱五分，仍用前长法一钱八分除 之，得一钱二分五釐，为短法。列二位，一位以七斤乘 之，得小鱼八十七斤半。一位以五分乘之，得小鱼价 六钱二分五釐。《合问》。

今有圆木大小二根，内大者一根，头径一尺二寸、梢 径八寸，长二丈五尺；小者一根，头径一尺、梢径七寸， 长二丈。共价银四十九两零八分。问大小木各价若 干。

答曰：“大木三十一两二钱，小木一十七两八钱八 分。”

法曰：先置大木头，径一尺二寸，自乘，得一百四十四 寸；又将梢径八寸自乘，得六十四寸，并之，得二百零 八寸；以长二丈五尺乘之，得积五万二千寸。又置小 木头，径一尺自乘，得一百寸；又将梢径七寸自乘，得 四十九寸；并之，得一百四十九寸；以长二丈乘之，得 积二万九千八百寸，并大小积共八万一千八百寸 为法，以除原价四十九两零八分，每寸派得六毫，就 以此为法，各乘大、小积，合问。

今有石，石中有玉，外方三寸，共重一十二斤十五两。 只云“玉方一寸，重一十二两，石方一寸重三两”，问玉 石各重若干？

答曰：“玉一十四寸，重一十斤零八两；石一十三寸， 重二斤七两。”

法曰：置方三寸自乘，得九寸，再乘，得二十七寸。以《玉 率》重一十二两乘之，得三百二十四两。减共重一十 二斤十五两，即二百零七两。馀一百一十七两为贱 实。以贵贱率，玉十二两，石三两相减，馀九两为法。除 实，得石一十三寸。减共积二十七寸，馀得玉一十四 寸。以《玉率》一十二两乘之，得一百六十八两。另以石 一十三寸，以石率三两乘之，得三十九两，各以斤法 通之，得斤数《合问》。

今有客三次出外为商，俱得合利，每次归还银三百 两，三次本利恰尽，问原本若干？

答曰：“二百六十二两五钱。”

法曰：置银三百两，折半得一百五十，又加三百得四 百五十，又折半得二百二十五两，又加三百得五百 二十五两，又折半得原本二百六十二两五钱。合问。

《物不知总》。〈又云：“韩信点兵也。” 〉

《孙子歌》曰：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子 团圆正半月，除百零五便得知。”

今有物不知数，只云“三数剩二个，五数剩三个，七数 剩二个”，问共若干？

答曰：“共二十三个。”

《法》曰：列〈三　五　七〉维乘。以三乘五，得一十五，又以七乘 之，得一百零五，为满法数。列位。另以三乘五，得一十 五，为七数剩一之衰。又以三乘七，得二十一，为五数 剩一之衰。又以五乘七，得三十五，倍作七十，以三除 之，馀一，故用七十为三数剩一之衰。其三数剩二者， 剩一下七十，剩二下一百四十也。五数剩三者，剩一 下二十一，剩二下四十二，剩三下六十三也。七数剩 二者，剩一下十五，剩二下三十也。并之得二百三十 三，内减去满数一百零五，又减一百零五，馀二十三 个。《合问》。

今有客至，不知其数，只云“三人共饭，四人共羹”，通共 用碗二百零一只问客并羹饭碗各若干。

答曰：“客五百一十六人，羹一百二十九碗，饭一 百七十二碗。”

法曰：置碗三百零一只，以三人因之，得九百零三为 实。并三人、四人共七人为法，除之得羹碗一百二十 九只，又以四因之，得客五百一十六人，以三除之，得 饭碗。《合问》。

今有客不知数，只云“二人共饭，三人共羹，四人共肉， 通共用碗六十五只”，问客若干。

答曰：客六十人法曰“置。”〈二人　四人　三人〉维乘以二乘三，得六，以三乘四， 得一十二，又四乘二，得八，并之，得二十六，为法。另以 二乘三，得六，却以四乘之，得二十四，以乘碗六十五， 得一千五百六十，为实。以法二十六除之，得客。《合问》。 〈维乘者四处顺倒相乘也〉

右二条先用《合分》，后用互换也。。