欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第117卷

欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百十七卷

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百十七卷目錄

　算法部彙考九

　　算法統宗五〈衰分章第三〉

曆法典第一百十七卷

算法部彙考九

《算法統宗五》

衰分章第三

「衰」者，等也。物之混者求其等而分之，以物之多寡求 其出稅，以人戶等第求其差徭，以物價求貴賤高低 者也。

衰分歌

衰分法數不相平，須要分數一分成，將此一分為之 實，以乘各數自均平。

法曰：各列置衰，排列所求等次之位，副併共若干，為 法。以所分物總乘未併者。〈是前列衰〉各自為實，以法除之， 即得所問。

可約者，約分之；不盡者，以法命之。

一法：置所分物為實，併各衰為法除之，得一衰，以乘 各衰。

合率差分

今有銀一千二百兩買綾絹，議要「絹一停，綾二停。其 綾每匹價三兩六錢，絹每匹價二兩四錢，問二色併 價各若干？」

答曰：「綾二百五十匹，價九百兩；絹一百二十五匹， 價三百兩。」

《法》曰：置銀一千二百兩為實，另置綾價，以二因之，得 七兩二錢，併入絹價二兩四錢，共九兩六錢為法，除 之，得絹一百二十五匹，倍之，得綾一百五十匹。各以 原價乘之，合問。

今有銀一百二十一兩一錢七分五釐，糴米、麥、豆，議 要米一分，麥二分，豆三分；其米每斗九分二釐，麥每 斗八分五釐，豆每斗三分六釐，問三色併價各若干？ 答曰：「米三十二石七斗五升，價銀三十兩零一錢三 分；麥六十五石五斗，價銀五十五兩六錢七分五 釐；豆九十八石二斗五升，價銀三十五兩三錢七 分。」

法曰：置總銀為實，另置麥價，以二因之，得一錢七分。 又置豆價，以三因之，得一錢零八釐，米價九分二釐， 併三價，得三錢七分，為法。除實，得米數，二因得麥數， 三因得豆數。各以原價乘之，得各價。合問。

又法：先得米數，倍之，得麥數，加五，即豆數。

今有鰥寡孤獨四貧民、共給米二十四石、其鰥者四 分、寡者五分、孤者七分、獨者九分。問四民各該米若 干

答曰：「鰥者給米三石八斗四升，寡者給米四石八 斗，孤者給米六石七斗二升，獨者給米八石六 斗四升。」

法曰：置米為實，另置鰥四、寡五、孤七、獨九併之，共二 十五為法，除實，得九斗六升，為一衰之數。以各自衰 因之，合問。

今有甲乙丙丁四人，各出本銀七兩五錢，甲銀八色， 乙銀七色，丙銀六色，丁銀四色，共三十兩，入爐傾成 一錠。合夥不成，各欲分散，問各該若干？

答曰：「甲銀九兩六錢，乙銀八兩四錢，丙銀七兩 二錢，丁銀四兩八錢。」

《法》曰：併四人各出七兩五錢，共三十兩為法，另以四 人各原銀折作足色紋銀，甲得六兩，乙得五兩二錢 五分，丙得四兩五錢，丁得三兩四，共併得足色銀一 十八兩七錢五分為實。以法除實得六二五色。就以 此為法，以除各人折過足色銀，得分六二五色銀數 合問。

今有張三出本銀十九兩六錢四分，李四出本銀十 二兩三錢六分，共出本銀三十二兩，營運折了七兩 問各折若干。

答曰：「張三折銀四兩二錢九分六釐二毫五絲，李 四折銀二兩七錢零三釐七毫五絲。」

法曰：置折銀七兩為實，以共本銀三十二兩為法，除 之，得二錢一分八釐七毫五絲，乃是「一兩折數。」就以 此乘各人原本，合得各折數也。《合問》：〈按此法置張本銀李本銀列二

位各以七兩乘之，卻以三十二兩為法，歸除之，亦得。

〉

今有三色金，共二十兩，內九色四兩，七色七兩，五色 九兩，欲銷一處，問「成色若干？」

答曰：「六五成色。」

法曰：置九色四兩，以九因得三兩六錢；七色七兩，以 七因得四兩九錢；五色九兩，以五因得四兩五錢。併三位折赤金一十三兩為實，以原金二十兩為法，除 之，合問。

今有一人將桃二百七十五箇，一人將梨二百二十 箇，各欲換西瓜。其瓜每箇錢二十七文半，桃每箇三 文半，其梨每箇八文問，各換瓜若干？

《答》曰：「桃主該換瓜三十五箇，梨主該換瓜六十四 箇。」

法曰：置桃數，以價三文半乘，得九百六十二文半，為 實，以瓜價為法除之，得桃換瓜數。另置梨數，以價八 文因之，得一千九百六十文為實，以瓜價為法除之， 得梨換瓜數。合問：

「今有官米七十三石二斗，令三等人戶出之。」上等二 十五戶，每戶五分；中等四十戶，每戶三分；下等六十 戶，每戶一分。問各等戶米若干？

答曰：「上等每戶一石二斗，共三十石；中等每戶七 斗二升，共二十八石八斗；下等每戶二斗四升，共 一十四石四斗。」

法曰：置總米為實，另置上等二十五戶，五因得一百 二十五；中等四十戶，三因得一百二十；下等六十戶， 得六十。以三數併之，共得三百零五。為法，除之得二 斗四升，是下等一戶所出之數。三因得七斗二升，是 中等一戶所出數；五因得一石二斗，是上等一戶所 出數。各以戶數乘之，得各等共數。合問。

今有軍二萬五千二百名，共支米、麥、豆三色，只云「四 人支米三石，七人支豆八石，九人支麥五石」，問各該 若干？

答曰：「米一萬八千九百石。麥一萬四千石，豆二 萬八千八百石。」

法曰：置軍數，列三位：一位以三因，得七萬五千六 百；以四除，得米一萬八千九百石；一位以五因，得 一十二萬六千；以九除，得麥一萬四千石；一位以 八因，得二十萬零一千六百；以七除，得豆二萬八千 八百石。合問。

今有官田一頃三十八畝，每畝科正米二斗，今要七 分本色米，三分折納細絲，每米一石折絲一斤，問各 納若干？

答曰：「米一十九石三斗二升，絲八斤四兩四錢八 分。」

法曰：置田數，以正米二斗乘，得二十七石六斗。置列 二位，一位以七乘，得米一十九石三斗二升；一 位以三乘，得八石二斗八升。以石變斤零二八用加 六，得兩錢之數，合問。

四六差分

法曰：各以四為首，用加五以求各衰首位。四就身， 加五得六，又加五得九，又加五得十三衰五分，又加 五得二十衰零二分五釐。如位。數多者，各加五以 生各衰倣此。

一法以首位為四，用四歸六，因以求各衰。〈不如加五捷徑〉 「二位」者：〈四　六〉併得十三位者。〈四　六　九〉併得十九 四位者。〈四　六　九　一十三衰半〉併得三十二衰，《五分》五位 者。〈四　六　九　十三衰五　二十衰二分五釐〉併得五十二衰，七分五 釐。各副并為法，除實得一衰，以乘各衰，《合問》。

今有金四千兩，令二等金戶四六納之。問各該若干？ 答曰：「上等戶該二千四百兩，下等戶該一千六百 兩。」

《法》曰：置總金為實，以六因得上戶，以四因得下戶。合 問。

今有米一千五百五十八石，令甲、乙丙三人四六納 之，問各該若干？

答曰：「甲，七百三十八石。乙，四百九十二石。丙，三 百二十八石。」

《法》曰：「置米為實，列。」〈丙四　乙六　甲九〉副併共得十九衰，為法， 除實得八十二石，為一差衰。以乘各人衰數，即「出納 數」也。

今將前米，令甲、乙、丙丁四等人戶作四六出納，問各 該若干。

《法》曰：「置米為實，列。」〈丁四　丙六　乙九　甲十三衰五分〉副併共得三 十二衰，五分為法，除實得若干，乃為「一衰」之數。以四 因得丁所該納數。列一衰，則以乘各人衰數，合得各 人所納數也。

又將前米令甲、乙、丙、丁、戊五等人戶，作四六納之，問 各該若干。

《法》曰：「置米為實，列。」〈戊四　丁六　丙九　乙十三衰五分　甲二十衰○二分五釐〉 副併得五十二衰，七分五釐為法，除實得若干，為一 衰之數。以此為則，以乘各人衰數，合得各人出納數 也。

今有米三百八十五石五斗二升，令二等人戶從上 四六出之。甲上等二十六戶，乙下等四十戶，問各戶 各若干。

答曰：上等每戶七石三斗二升，共計一百九十石零 三斗二升；下等每戶四石八斗八升，共計一百九十五石二斗。

法曰：置米為實，另以上等二十六戶，以六因得一百 五十六衰。又以下等四十戶，以四因得一百六十衰。 二共併之，得三百一十六衰。為法。除實，得一石二斗 二升，為一差衰。以六因得七石三斗二升，是上等一 戶出數。另以一衰數，以四因得四石八斗八升，是下 等一戶所出數。各以戶數乘之，合問。

二八差分

法曰：各以二為首，用四因以求各衰首位。二以四 因得八衰，又四因得三十二衰，又四因得一百二十 八衰，又四因得五百一十二衰。如位數多者，各以四 因以生各衰。

一法以首為二，用二歸八，因以求各衰。〈不如四因捷徑〉 「二位」者：〈二　八〉併得十三位者。〈二　八　三十二〉三共《併得 四十二四位》者。〈二　八　三十二　一百二十八〉四、「共併得一百 七十五位」者。〈二　八　三十二　一百二十八　五百一十二〉五共併，得 六百八十二衰，為法，除實得一分衰數以乘各衰， 今有金三千兩，令二等人戶二八納之。問各該若干？ 答曰：「上等戶二千四百兩，下等戶六百兩。」

《法》曰：置《總金》，列二位為實，一位以八因，得上等戶 所納之數，一位以二因，得下等戶所納之數。

若令三等人戶，作《二八》出之。

《法》曰：「置總金為實列。」〈丙二　乙八　甲三十二〉三共併，得四十二 衰為法。除實得若干，為一衰之數以為法。則以二衰 因得若干，為丙出金之數。又以八衰因得若干，為乙 出金之數。又以三十二衰乘之得若干，為甲出金之 數。《合問》：

若令四等人戶二八出納，只加上等四衰一百二十 八，四共併衰一百七十為法，除實得一衰之數，以乘 各衰，即得。

若五等，亦只加衰，用法如前。

三七差分

法曰：「各以三為首」，就以三因，或又三因，再三因，務求 得宜為首衰。卻用三歸七因，以求各衰。

二位者，首位三，次位七，併得十三位者，首位三，就 以三因得九為丙衰。卻以九用三歸七，因得二十一 為乙衰。再以二十一用三歸七，因得四十九為甲衰。 三位併得七十九衰四位者，首位三，以三因得九， 又三因得二十七為丁衰。卻以二十七用三歸七，因 得六十三為丙衰。卻以六十三用三歸七，因得一百 四十七為乙衰。卻以一百四十七用三歸七，因得三 百四十三為甲衰。四併得五百八十五位者，首位 三，以三因，又三因，再三因得八十一為戊衰。卻以戊 衰用三歸七，因得一百八十九為丁衰。卻以丁衰用 三歸七因得四百四十一為丙衰。卻以丙衰用三歸 七，因得一千零二十九為乙衰。卻以乙衰用三歸七 因得二千四百零一，為甲衰。「五併」共得四千一百四 十一，各以副併為法，除實得一衰數，以乘各衰，如位 數多者，皆以三因首位，用三歸七因，以求下位衰數。 今有金三千兩，令休績二縣金行鋪戶，三七上納，問 各該若干？

答曰：「休寧縣二千一百兩，績溪縣九百兩。」

法曰：置金數為實，以七因，即休邑納數；以三因，即績 邑納數。合問。

今有銀四百九十七兩七錢，令甲、乙、丙三人三七分 之問，各該若干。

答曰：「甲，三百零八兩七錢；乙一百三十二兩三錢。」

丙五十六兩七錢

《法》曰：「置總銀為實列。」〈丙九　乙二十一　甲四十九〉副併得七十九 衰，為法。除實得六兩三錢，為一衰數。以乘各衰，得各 人數，合問。

若令四人作三七分之。

《法》置「總銀」為實列。〈丁二十七　丙六十三　乙一百四十七　甲三百四十三〉副 併，得五百八十衰，為法。除實得若干，為一衰之數；以 乘各衰，得各人數。

若令五人作三七分之。

《法》置「總銀」為實列。〈戊衰八十一　丁一百八十九　丙四百四十一　乙一千零二十 九　甲二千四百零一〉副併得四千一百四十一衰，為法，除實 得若干，為一衰之數。就以此為法，以乘各衰，得數《合 問》。

折半差分

《法》曰：「以所分物折半為衰二位」者。〈一　二〉併得《三 三位》者。〈一　二　四〉併得七四位者。〈一　二　四　八〉併得《十 五》五位者。〈一　二　四　八　十六〉併得三十一，各副併為法， 除實。〈按此法加一倍法也首衰倍之得次衰又倍之得三衰四五同〉 今有錢五百九十四文，令甲乙二人折半分之，問各 該若干。

答曰：「甲三百九十六文，乙一百九十八文。」

《法》曰：「置總錢為實」，以〈甲二乙一〉併得「三衰」為法，歸實得一 百九十八文，為乙所得數；倍之，得三百九十六文，為 甲所得數。合問今有銀六百七十二兩，令三等人作折半分之，問各 該若干？

答曰：「甲，三百八十四兩，乙一百九十二兩，丙，九 十六兩。」

《法》曰：「置總銀為實，以」〈甲四　乙二　丙一〉併得七衰，為法，除實 得九十六兩，為丙所得數。以二因，得乙數，以四因，得 甲數。合問：

今有女子善織，初日遲，次日加倍，第三日轉速倍增， 第四日又倍增，織成絹六丈七尺五寸，問各日織若 干。

答曰：「初日織四尺五寸，次日織九尺，第三日織 一丈八尺，第四日織三丈六尺。」

《法》曰：「置絹為實列。」〈一　二　四　八〉併得十五為法。除實，得 初日織四尺五寸。倍之，得次日數，再倍，得第三日數， 又倍，得第四日數。《合問》：

遞減挨次差分

《法》曰：「置所分物者，挨次為衰」，各列置衰算之三位 者。〈一　二　三〉併得六四位者。〈一　二　三　四〉併得十五 位者。〈一　二　三　四　五〉併得十五六位者。〈一　二　三　四　五 六〉併得二十一，各副併為法，除實。

今有絹七百二十匹，令甲、乙丙三人依等挨次分之， 問各該若干。

答曰：「甲三百六十匹，乙二百四十匹，丙一百二 十匹。」

《法》曰：置絹為實，以〈甲三　乙二　丙一〉併得六衰，為法，除實得 一百二十匹，為丙所得數。以二因，得乙數，以三因得 甲數。合問。

今有銀九十二兩，分散四子，依等挨次分之，問各該 若干。

答曰：「長子三十六兩八錢，次子二十七兩六錢； 三子一十八兩四錢、四子九兩二錢。」

《法》曰：「置總銀為實。」〈以長子四　次子二　三子二　四子一〉副併得十衰， 為法，除實得九兩二錢，為四子，所得數，自下而上，各 加九兩二錢，合問。

今有金八兩一錢，欲挨次造套鍾五箇，問各重若干？ 答曰：「大號二兩七錢，二號二兩一錢六分，三號 一兩六錢二分，四號一兩零八分，五號五錢四 分。」

《法》曰：置金為實，以〈五　四　三　二　一〉副併得一十五衰，為 法，除實得五錢四分，為五號鍾重數。自下而上，各加 五錢四分合問。

若造禮樂射御，書數「六號杯。」

法置總金數，為實以。〈六　五　四　三　二　一〉副併得二十一 衰為法，除實得數字，杯重若干，自下而上各加數字， 號杯重若干，合問。

今有糧一千一百三十四石，令五等人戶挨次上納。 一等二十四戶，二等三十三戶，三等四十二戶，四等 五十一戶，五等六十戶，問各若干？

答曰：一等每戶十石零五斗，共計二百五十二石； 二等每戶八石四斗，共計二百七十七石二斗；三 等每戶六石三斗，共計二百六十四石六斗；四等 每戶四石二斗，共計二百一十四石二斗；五等每 戶二石一斗，共計一百二十六石。

《法》曰：「置糧為實，第五等戶不動」，將四等戶數，以二因 得若干，又將三等戶數，以三因得若干，再將二等戶 數，以四因得若干，又將一等戶數，以五因得若干，併 五等數，共得五百四十衰為法，除實得二石一斗，是 第五等一戶所出數，以二因得四等一戶所出數，以 三因得二等一戶所出數，以四因得三等一戶所出 數，以五因得一等一戶所出數，各以戶數乘之，合問。 〈自五等起逓加二石一斗至一等止〉 今有米二百四十石，令甲、乙、丙、丁、戊五人遞差分之。 要將甲、乙二人數與丙、丁、戊三人數同，問各該若干？ 答曰：「甲六十四石，乙五十六石，丙四十八石。」

丁，四十石。戊、三十二石。

《法》置「總米」為「實列。」〈甲五　乙四　丙三　丁二　戊一〉又併甲五乙四 得九。又併丙三、丁二，戊一得六，減九，餘三。卻以前五 人衰內各增三甲得八，乙得七，丙得六，丁得五，戊得 四，副併得三十衰。為法，除實得八石，為一衰數。以乘 各人後增衰數，得各人所得數。合問。〈戊起逓加八數至甲止〉 或七人分者，要將甲乙丙三人，數與丁戊己庚四人 數同者。又云「三人分」者，要將甲得數與乙丙二人 所得數同者，俱倣前法算之。

今有金六十兩，令甲、乙、丙三人依等遞差五兩，問各 該若干。

答曰：「甲二十五兩，乙二十兩，丙一十五兩。」

法曰：置金六十兩，內減差，甲多丙十兩，乙多丙五兩， 共一十五兩，餘四十五兩為實。以三人為法，除之，得 丙金一十五兩。加五兩得二十兩，為乙所得；又加五 兩，為甲所得。合問。〈按凡算遞差者皆可互和折半故不必另立互和之法即以金六十

兩，用「三」 歸之，即得「乙」 數也。

〉今有俸米三百零五石、令五等官依品逓差。十三石

分之問各該若干

答曰：「正一品，八十七石。從一品，七十四石。正二 品，六十一石。從二品，四十八石。正三品，三十五 石。」

法曰：置五等於上，又列五等，減一，餘四以乘五，得二 十，折半得一十，為實。以每等差十三石乘之，得一百 三十石。以減總米三百零五石，餘一百七十五石，卻 以五等除之，得三十五石，是第五等。正三品俸米，加 十三石，是第四等。從二品俸米，又加十三石，是正二 品俸米。各品遞加十三，合問。〈按此法置總銀為實只用五歸即得正二品數

遞加則得從一品、正一品數；逓減則得從二品、正三品數也。

〉

今有官米二百六十五石，令三等人戶出之。上等二 十戶，每戶多中等七斗；中等五十戶，每戶多下等五 斗；下等一百一十戶。問每戶所出及逐等各若干？ 答曰：「上等每戶二石四斗，共四十八石；中等每戶 一石七斗，共八十五石；下等每戶一石二斗，共一 百三十二石。」

法曰：「置中等五十戶」，以每戶多下等五斗，因之得二 十五石。又置上等二十戶，以每戶多中等七斗，多下 等五斗，共一石二斗乘之，得二十四石，併二數共四 十九石，以減總米，餘二百一十六石為實，併三等戶 數，共一百八十為法，除實得一石二斗，是下等一戶 所出數。加五斗得一石七斗，是中等一戶所出數。又 加七斗，得二石四斗，是上等一戶所出數。各以戶數 乘之，《合問》。

帶分母子差分

「今有馬軍七人，給褲布四十八尺；步軍六人，給襖布 九十二尺。」今共給布一十二萬五千八百二十尺，問 各該若干？

答曰：「馬步軍各五千六百七十人，襖布八萬六千 九百四十尺，褲布三萬八千八百八十尺。」

法曰：「置分，母子互乘。」〈七人六人〉〈四十八　九十二〉以七人乘九 十二尺，得六百四十四尺。另以六人乘四十八尺，得 二百八十八尺，併之，得九百三十二尺為法。置布一 十二萬五千八百二十尺，卻以六人七人相乘，得四 十二而乘之，得五百二十八萬四千四百四十尺為 實。以法除之，得軍數各五千六百七十人。以四十八 乘，又用七歸得褲布。又以九十二乘軍數，用六歸，得 襖布合問。

今有昆仲三人。小弟謂長兄曰：「我年紀比汝四分之 三，次兄年紀比汝六分之五，我多八歲。」問三人歲數 各若干，

答曰：「長兄九十六歲，次兄八十歲，小弟七十二 歲。」

《法》曰：「置」〈六分四分〉〈之五之三〉以母四互乘子五，得二十，為 次兄之差。又以母六互乘子三，得十八，為小弟之差。 又以母四六相乘，得二十四，為長兄之差。另以二十 減去十八，餘二為法。先置長兄差二十四，以八歲乘 之，得一百九十二為實。以法二除之，得九十六，為長 兄之歲。另以次兄差二十，以八歲乘之，得一百六十 為實。以法二除之，得八十，為次兄之歲。另以小弟十 八，亦以八歲乘之，得一百四十四，為實。以法二除之， 得七十二，為小弟歲數。《合問》。

今有七人差等均錢，「甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七 十五文，問丙、丁各若干？」

答曰：「甲四十文乙，三十七文丙，三十四文丁。」

三十一文戊二十八文己二十五文庚二十

二文。

《法》曰：「置」〈二人三人〉〈七十七文　七十五文〉令母互乘子以二人乘 七十五文，得一百五十。另以三人乘七十七文，得二 百三十一文。以少減多，餘八十一，為一差之實。併分 母二人、三人得五，折半得二人半。以減總七人，餘四 人半。卻以分母二人、三人乘，得六，以乘四人半，得二 十七，為一差之法。餘實八十一，得三文，為一差數。置 《甲》《乙》，均七十七文，加二文，共八十文，折半得四十文 為「甲」，得數遞減，三文合問。

今有兵士三千四百七十四名，每三人支衫絹七十 尺，每四人支裙絹五十尺，問該總絹若干？

答曰：共絹一十二萬四千四百八十五尺，衫絹八 萬一千零六十尺，裙絹四萬三千四百二十五尺。 法曰：「置。」〈三人　四人〉〈七十尺　五十尺〉以三人互乘五十，得一百 五十。以四人互乘七十，得二百八十。併之，共四百三 十，乘兵士，得一百四十九萬三千八百二十為實。又 以三四相乘，得十二為法，除實得總絹數。另置兵士 總以七因三歸得衫絹數，以五因四歸得裙絹數。《合 問》。

互和減半差分

法曰：以〈一　三　五　七　九〉為陽位，〈二　四　六　八　十〉「為陰位」三 位者。〈三　五　七〉併得十五數四位者。〈二　四　六　八〉併得二 十數五位者。〈一　三　五　七　九〉併得二十五數，照位併而為法，除實得首尾二人共數，於內減甲多或丙少數， 餘數折半，得首尾數，加甲多或丙少數，為首數。 三位者互和首尾。甲、丙二人所得數折半，得中乙數。 《合問》

四位者，照前得首尾甲丁二人數，其中有乙丙二人， 不可折半得數，卻置甲多或丁少數，依例用三歸之 《合問》。

五位者，照依前得首尾甲戊二人數互和，首尾數折 半得中丙數，又互和丙戊數，折半得丁數。又互和丙 甲數，折半得乙數。如位數多者，皆以空位取之，併而 為法，除實得首尾數。〈四位者用三歸之六位者用五除之〉 今有白米一百八十石，令三人從上互和，減半分之， 只云「甲多丙米三十六石，問各該若干？」

答曰：「甲，七十八石，乙，六十石，丙，四十二石。」

《法》曰：置米一百八十石為實，以〈三　五　七〉併得一石五 斗為法。除實，得一百二十石，乃甲、丙二人首尾共數。 於內減甲多三十六石，餘八十四石折半，得丙四十 二石，加多三十六石，得甲米七十八石。互和甲、丙米 折半，得乙米六十石。《合問》。

今有銀二百四十兩，令四人從上互相減半分之，只 云「甲多丁一十八兩」，問各該若干？

答曰：「甲六十九兩，乙六十三兩，丙五十七兩。」

丁，五十一兩。

《法》曰：置銀為實，以〈二　四　六　八〉併得二兩為法，除實得 一百二十，乃甲、丁首尾二人共數。於內減甲多一十 八兩，餘一百零二兩折半，得丁銀五十一兩。加多一 十八，得甲銀六十九兩。惟乙丙二人不可併折，以甲 多一十八例用三歸之，得六兩，加入丁銀，得丙銀五 十七兩。又加六兩，得乙銀六十三兩。合問。

今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半 分之，只云「戊不及甲三十三貫六百文，問各該鈔若 干。」

答曰：甲，六十四貫四百文；乙，五十六貫；丙，四十 七貫六百文；丁，三十九貫二百文；戊，三十貫零 八百文。

《法》曰：「置鈔為實，以」〈一　三　五　七　九〉併得二貫五百文為 法，除之，得九十五貫二百文，乃首尾二人共數。於內 減戊不及甲鈔，餘六十一貫六百文折半，得戊鈔三 十貫八百文；仍加戊不及甲鈔三十三貫六百文，得 甲鈔六十四貫四百文。互和甲、戊鈔共九十五貫二 百文，折半，得丙鈔四十七貫六百文。又互和丙、戊鈔 共七十八貫四百文，折半，得丁鈔三十九貫二百文。 又互和甲丙鈔共一百一十二貫，折半得乙鈔五十 六貫。《合問》

今有五人，均銀四十兩，內甲得十兩四錢，戊得五兩 六錢，問乙、丙、丁次第均之，各該若干？

答曰：「乙九兩二錢，丙八兩，丁六兩八錢。」

法曰：併甲戊共一十六兩折半，得丙銀八兩；又併甲 丙共一十八兩四錢，折半，得乙銀九兩二錢；又併丙 戊共一十三兩六錢，折半，得丁銀六兩八錢。合問 假如前三人四六分物者，可將一等與二等所得數 併作一處，卻分為十分。此驗其一等原得數是六分， 其二等原得數是四分，再將二等與三等仍前考之， 其二等原得數，卻是六分，「三等」原得數，卻是四分也， 其二八三七，俱照此考驗無差

因《指明》等書不依古法，卻以十分之六誤為四六，以 十分之七為三七，以十分之八為二八，俱差矣，因差 而考之。

今有絹四百七十丈零一尺八寸四分，令三等人戶 作十分之六出之。上等二十五戶，中等三十戶，下等 四十八戶，問每戶各該若干？

答曰：上等每戶七丈八尺，共一百九十五丈；中等 每戶四丈六尺八寸，共一百四十丈零四尺；下等 每戶二丈八尺零八分，共一百三十四丈七尺八寸 四分。

法曰：置總絹為實，另置上等戶數，以一百因之，得二 千五百衰。中等戶數，以六十因之，得一千八百衰。下 等戶數，以三十六乘之，得一千七百二十八衰。併三 位共六千零二十八衰，為法，除實，得七丈八尺，是上 等一戶所出數。以六因，是中等一戶所出數，再以六 因，是下等一戶所出數。各以戶數乘之，合問。

今有粟一百六十八石四斗八升八合，令四等人戶 作十分之七出之，問每戶逐等各若干

答曰：第一等二十二戶，每戶二石，共四十四石；第 二等三十六戶，每戶一石四斗，共五十石零四斗； 第三等四十二戶，每戶九斗八升，共四十一石一斗 六升；第四等四十八戶，每戶六斗八升六合，共三 十二石九斗二升八合。

《法》曰：置總粟為實，另置一等戶，以一千因，得二萬二 千。第二等戶以七百因之，得二萬五千二百。第三等 戶以四百九十乘之，得二萬零五百八十。第四等戶以三百四十三乘之，得一萬六千四百六十四。併四 位，共八萬四千二百四十四衰為法，除實，得二石，是 第一等一戶所出數。以七因是二等一戶數，又七因 是三等，一戶數又七，因是四等，一戶數各以戶數乘 之，合問十分之七，即以七因以生各等，詳後解法。 今有官米二百二十五石三斗六升，令五等人戶作 十分之八出之，問每戶逐等各若干？

答曰：第一等四戶，每戶二石五斗，共一十石；第二 等八戶，每戶二石，共一十六石；第三等十五戶，每 戶一石六斗，共二十四石；第四等四十一戶，每戶 一石二斗八升，共五十二石四斗八升；第五等一 百二十戶，每戶一石零二升四合，共一百二十二石 八斗八升。

解法曰：「一等定率一萬，以八因之，得八千，為二等率。 又八因得六千四百，為三等率。又八因，得五千一百 二十，為四等率。又八因得四千零九十六，為五等率。」

前問十分之七倣此。即以七因定率。

《法》曰：置總米為實，另置第一等四戶，以一萬因之，得 四萬；第二等八戶，以八千因之，得六萬四千；第三等 十五戶，以六千四百乘之，得九萬六千；第四等四十 一戶，以五千一百二十乘之，得二十萬零九千九百 二十；第五等一百二十戶，以四千零九十六乘之，得 四十九萬一千五百二十。併五位，共九十萬零一千 四百四十衰為法，除實得二勺五抄，為一衰數。就以 此乘一等衰一萬，每戶該米二石五斗，以八因得二 石，是第二等一戶所出數。又八因得一石六斗，是三 等一戶數。又八因得一石二斗八升，是四等一戶數。 又以八因得一石零二升四合，是五等一戶數。各以 戶數乘之，《合問》：

匿價差分歌

匿價分身法更奇，多乘高物以為實。得價減總餘又 列，共物除餘低價知。低價添多為高價，各乘各物不 差池。學者能知此般算，三四物價也相宜。

今有銀一萬七千六百九十兩買馬騾一千匹，議要 馬七百匹，騾三百匹。其馬價多，騾價七兩七錢，問各 價若干？

答曰：「馬每匹價二十兩，騾每匹價一十二兩三錢。」 法曰：置馬七百匹，以多七兩七錢乘之，得五千三百 九十兩，以減總銀，餘一萬二千三百兩，以馬騾一千 為法，除之，得騾一十二兩三錢，加多七兩七錢，為馬 價合問。

今有銀二千九百二十八兩，共買綾一百五十匹，羅 三百匹，絹四百五十匹。只云：「綾匹價比羅匹價多四 錢七分，羅匹價比絹匹價多一兩三錢五分」，問三物 匹價各若干？

答曰：「綾價每匹四兩三錢二分，羅價每匹三兩八 錢五分，絹價每匹二兩五錢。」

法曰：列羅三百匹，以多絹價一兩三錢五分乘，得四 百零五兩。又列綾一百五十匹，以二項多價共一兩 八錢二分，乘得二百七十三兩併之，得六百七十八 兩。減總銀，餘二千二百五十兩為實，併綾、羅絹共九 百匹為法，除之，得二兩五錢，為每匹絹價；加多一兩 三錢五分，得羅匹價三兩八錢五分；又加多四錢七 分，得綾匹價四兩三錢二分，合問。

今有綾七尺，羅九尺，共價適等。只云「羅每尺價比綾 每尺價少錢三十六文，問各錢價若干？」

答曰：「綾每尺一百六十二文，羅每尺一百二十六 文。」

法曰：置羅九尺，以綾價三十六文乘之，得三百二十 四文為實。另以綾七尺、羅九尺相減，餘二尺為法。除 實，得綾尺價一百六十二文。另置綾七尺，以三十六 文乘之，得二百五十二文為實。仍將前法二尺為法 除之，得羅尺價一百二十六文。《合問》。

今有金九塊，銀十一塊，秤之適等，交換二塊，則餘金 比換銀多一十三兩，問金、銀各重若干？

答曰：金一塊，重三十五兩七錢五分；銀一塊重二 十九兩二錢五分；金九塊、銀十一塊，各共重三百 二十一兩七錢五分。

法曰：列金重一十三兩，折半，得六兩五錢，乘金九塊， 得五十八兩五錢為實。卻以金九、銀十一相減，餘二 為法，除實，得銀一塊，重二十九兩二錢五分數。另置 銀十一塊，以六兩五錢乘之，得七十一兩五錢為實。 仍以前二為法，除之，得金一塊，重三十五兩七錢五 分。合問。

貴賤差分歌

差分貴賤法尤精，高價先乘共物情。卻用都錢減今 數，餘留為實甚分明。別將二價也相減，用此餘錢為 法行。除了先為低物價，自餘高價物方成。

今有米麥五百石，共價銀四百零五兩七錢。只云：「米 每石價八錢六分，麥每石價七錢二分五釐」，問米麥 各若干答曰：「米三百二十石，價銀二百七十五兩二錢；麥 一百八十石，價銀一百三十兩零五錢。」

法曰：置米麥五百石，以米價八錢六分乘之，得四百 三十兩。減去共價，餘二十四兩三錢為實。以米價內 減麥價，餘一錢三分五釐為法。除之，得麥一百八十 石。卻以米麥五百石內減麥數，餘三百二十石為米 數。各以原價乘之，合問。

今有銀五十五兩五錢，共買銅、錫、鐵八萬三千零五 十兩。只云銀價相倣，每銀一錢買銅一百三十兩，每 銀一錢買錫一百五十兩，每銀一錢買鐵一百七十 兩，問三色各若干？〈此為三色差分〉

答曰：「銅二萬四千七百兩，價銀一十九兩；錫二萬 七千七百五十兩，價銀一十八兩五錢；鐵三萬零 六百兩，價銀一十八兩。」

法曰：置總銀，以三歸之，得一十八兩五錢，約錫為中。 以每銀一錢買一百五十兩乘，得錫二萬七千七百 五十兩，於總物內減訖，餘五萬五千三百兩。另置總 銀內減去一十八兩五錢，餘三十七兩，卻以銅一百 三十兩乘之，得四萬八千一百，減去五萬五千三百， 餘七千二百為實。另以銅鐵數相減，餘四十為法。除 實得鐵價一十八兩，又於三十七兩減去一十八兩， 餘一十九兩為銅價。各以每銀一錢買數乘之，合問 今有綾、羅、紗、絹一百六十匹，共價九十三兩，綾每匹 價九錢，羅每匹價七錢，紗每匹價五錢，絹每匹價三 錢。問四色各若干？

答曰：「綾三十五匹，該銀三十一兩五錢；羅四十匹， 該銀二十八兩；紗四十匹，該銀二十兩；絹四十 五匹，該銀一十三兩五錢。」

法曰：此四色差分，先置一百六十匹，以四除之，得四 十匹。就定中物、羅、紗二色及價，卻於一百六十匹內 減羅、紗共八十匹，餘八十匹；又於共價九十三兩內 減去羅價二十八兩，紗價二十兩，餘四十五兩。以貴 賤差分算之，置餘八十匹，以綾價九錢乘之，得七十 二兩，減去四十五兩，餘二十七兩為實。以綾價九錢 減絹價三錢，餘六錢為法。除之，得四十五匹為絹數。 卻於八十匹內減絹四十五匹，餘三十五匹為綾。各 以原價乘之，《合問》：

凡三色、四色差分之法，俱先定中等，惟留首尾二色， 以貴賤差分法算之，不拘五、六、七、八、九色者倣此。

《仙人換影歌》：〈又日：「貴賤相和。」 〉

「貴賤相和換影仙」，賤物互乘貴價錢，貴物互乘賤價， 訖相減，餘為長法。然先使總錢乘賤物，後用總物乘 賤錢，二數相減，餘為實，長法除之。《短法》言貴物貴價 各乘短物價分明皆得全。總內減貴餘為賤，不遇知 音不與傳。

今有錢四千九百九十五文，共買桃、梨五千個。只云 錢一十一文買桃九個，又錢四文買梨七個。問桃、梨 各若干？

答曰：「桃三千二百八十五個，該錢四千零一十五文。」

梨一千七百一十五個，該錢九百八十文。

《法》曰：列置。〈九箇十一文〉〈七箇四文〉〈五千箇四千九百九十五 文〉先以上十一互乘中七箇，得七十七箇。又以四文 乘九箇，得三十六箇。以少減多，餘四十一，為長法。 若求桃數價者，以中下互乘，置總錢，以七箇乘，得三 萬四千九百六十五箇。另置總果，以四文乘之，得二 萬，以減三萬四千九百六十五箇，餘一萬四千九百 六十五箇為實。以《長法》四十一除之，得三百六十五 箇，為短法。列二位，一位以九箇乘，得桃三千二百八 十五箇。一位以十一文乘，得桃價四千零一十五文。 於總內減桃數，餘者即梨數價也。若求梨數價者， 卻置總錢，以九箇乘之，又置總果，以十一文乘之，二 數相減，餘一萬零零四十五為實。仍以長法四十一 除之，得二百四十五，為《短法》。列二位，一位以七箇乘 得梨數；一位以四文乘得梨價。合問。〈求桃者以梨價求之求梨者以 桃價求之〉

今有牛羊一百隻，共價一百六十八兩只云：牛三隻 價銀一十二兩，羊四隻價銀一兩五錢，問牛、羊併價 各若干。

答曰：「牛三十六隻，價銀一百四十四兩；羊六十四 隻，價銀二十四兩。」

《法》曰：列置。〈牛三十二兩〉〈羊四一兩五錢〉〈共一百隻共一百六十 八兩〉先以上牛貴價一十二兩互乘賤物羊四隻，得四 十八兩。又以貴物牛三互乘賤物羊價一兩五錢，得 四兩五錢，以減四十八兩，餘四十三兩五錢，為長法。 次以中羊四互乘總價一百六十八兩，得六百七十 二。又置總物一百隻，以賤價一兩五錢乘之，得一百 五十，以減六百七十二，餘五百二十二為實。以《長法》 四十三兩五錢除之，得一兩二錢，為短法。列二位，一 位以貴物牛三乘之，得牛三十六隻。一位以牛貴價 一十二兩乘之，得一百四十四兩。以減總銀，餘得羊 價。合問今有大小魚一百斤，共價八錢七分五釐，只云大魚 二斤，價四分，小魚七斤，價五分。問大小魚及價各若 干？

答曰：「大魚一十二斤半，價銀二錢五分；小魚八十 七斤半，價」銀六錢二分五釐。

《法》曰：列〈大魚二斤價銀四分〉〈小魚七斤價銀五分〉〈總魚一百斤總價八錢七 分五釐〉先以上大魚價四分互乘中小魚七斤，得二錢 八分；又以大魚二斤互乘小魚價五分，得一錢；以少 減多，餘一錢八分，為長法。次以中小魚七斤互乘下 總價，得六兩一錢二分五釐；又以小魚價五分互乘 總魚一百斤，得五兩；以少減多，餘一兩一錢二分五 釐為實。以《長法》除之，得六分二釐五毫，為短法。列二 位，一位以二斤乘之，得大魚一十二斤半；一位以四 分乘之，得大魚價二錢五分。於總魚一百斤減去大 魚，餘得小魚。合問。

若求小魚者，置總價，以大魚二斤乘之，得一兩七錢 五分。又置總魚一百斤，以貴價四分乘之，得四兩，以 少減多，餘二兩二錢五分，仍用前長法一錢八分除 之，得一錢二分五釐，為短法。列二位，一位以七斤乘 之，得小魚八十七斤半。一位以五分乘之，得小魚價 六錢二分五釐。《合問》。

今有圓木大小二根，內大者一根，頭徑一尺二寸、梢 徑八寸，長二丈五尺；小者一根，頭徑一尺、梢徑七寸， 長二丈。共價銀四十九兩零八分。問大小木各價若 干。

答曰：「大木三十一兩二錢，小木一十七兩八錢八 分。」

法曰：先置大木頭，徑一尺二寸，自乘，得一百四十四 寸；又將梢徑八寸自乘，得六十四寸，併之，得二百零 八寸；以長二丈五尺乘之，得積五萬二千寸。又置小 木頭，徑一尺自乘，得一百寸；又將梢徑七寸自乘，得 四十九寸；併之，得一百四十九寸；以長二丈乘之，得 積二萬九千八百寸，併大小積共八萬一千八百寸 為法，以除原價四十九兩零八分，每寸派得六毫，就 以此為法，各乘大、小積，合問。

今有石，石中有玉，外方三寸，共重一十二斤十五兩。 只云「玉方一寸，重一十二兩，石方一寸重三兩」，問玉 石各重若干？

答曰：「玉一十四寸，重一十斤零八兩；石一十三寸， 重二斤七兩。」

法曰：置方三寸自乘，得九寸，再乘，得二十七寸。以《玉 率》重一十二兩乘之，得三百二十四兩。減共重一十 二斤十五兩，即二百零七兩。餘一百一十七兩為賤 實。以貴賤率，玉十二兩，石三兩相減，餘九兩為法。除 實，得石一十三寸。減共積二十七寸，餘得玉一十四 寸。以《玉率》一十二兩乘之，得一百六十八兩。另以石 一十三寸，以石率三兩乘之，得三十九兩，各以斤法 通之，得斤數《合問》。

今有客三次出外為商，俱得合利，每次歸還銀三百 兩，三次本利恰盡，問原本若干？

答曰：「二百六十二兩五錢。」

法曰：置銀三百兩，折半得一百五十，又加三百得四 百五十，又折半得二百二十五兩，又加三百得五百 二十五兩，又折半得原本二百六十二兩五錢。合問。

《物不知總》。〈又云：「韓信點兵也。」 〉

《孫子歌》曰：「三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子 團圓正半月，除百零五便得知。」

今有物不知數，只云「三數剩二箇，五數剩三箇，七數 剩二箇」，問共若干？

答曰：「共二十三箇。」

《法》曰：列〈三　五　七〉維乘。以三乘五，得一十五，又以七乘 之，得一百零五，為滿法數。列位。另以三乘五，得一十 五，為七數剩一之衰。又以三乘七，得二十一，為五數 剩一之衰。又以五乘七，得三十五，倍作七十，以三除 之，餘一，故用七十為三數剩一之衰。其三數剩二者， 剩一下七十，剩二下一百四十也。五數剩三者，剩一 下二十一，剩二下四十二，剩三下六十三也。七數剩 二者，剩一下十五，剩二下三十也。併之得二百三十 三，內減去滿數一百零五，又減一百零五，餘二十三 箇。《合問》。

今有客至，不知其數，只云「三人共飯，四人共羹」，通共 用碗二百零一隻問客併羹飯碗各若干。

答曰：「客五百一十六人，羹一百二十九碗，飯一 百七十二碗。」

法曰：置碗三百零一隻，以三人因之，得九百零三為 實。併三人、四人共七人為法，除之得羹碗一百二十 九隻，又以四因之，得客五百一十六人，以三除之，得 飯碗。《合問》。

今有客不知數，只云「二人共飯，三人共羹，四人共肉， 通共用碗六十五隻」，問客若干。

答曰：客六十人法曰「置。」〈二人　四人　三人〉維乘以二乘三，得六，以三乘四， 得一十二，又四乘二，得八，併之，得二十六，為法。另以 二乘三，得六，卻以四乘之，得二十四，以乘碗六十五， 得一千五百六十，為實。以法二十六除之，得客。《合問》。 〈維乘者四處順倒相乘也〉

右二條先用《合分》，後用互換也。。