钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第126卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百二十六卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十六卷目录

　算法部汇考十八

　　新法历书〈比例规解〉

历法典第一百二十六卷

算法部汇考十八

《新法历书》

比例规解〈远西罗雅谷著〉

序目

天文、历法等学，舍度与数，则授受不能措其辞，故量 法、算法恒相发焉。其法种种不袭，而器因之。各国之 法与器，大同小异，如算法之或以书，或以盘珠，吾西 国犹以为未尽其妙也。近世设立筹法，似更超越千 古，至几何家用法，则筹有所不尽者，而量该之，不能 不藉以为用。今繇《几何》六卷六题推显比例，规尺一 器，其用至广，其法至妙，前诸法器不能及之。因度用 数开阖其尺，以规搘度，得算最捷。或加减、或乘除、或 三率，或开方之面与体，此尺悉能括之。又函表度、倒 景、直景、日晷、句股弦算、五金轻重诸法，及百种技艺， 无不赖之，功倍用捷，为造玛得玛第嘉最近之津梁 也。昔在上海，曾为徐宗伯造其尺而未暇译书，今奉 旨修历，兼用敝庠之法。思此小器，为用既广，曷敢秘 而不传？第中西文字绝不相同，倘因艰涩而辍译，是 坐令此器不得其用，不甚可惜哉！因草创成书，请教 宗伯。“此器之倘为用于世也，则润色之，增补之，定有 其时，而谷之不文，或见亮于天下后世也矣。”

论度数者，其纲领有二，一曰量法，一曰算法。所量所 算者，其节目有四焉：曰点，曰线，曰面，曰体，总命之曰 几何之学，而其法不出于比例。盖比例法又不出于 句股，第句股为正方角，而别有等角、斜角，句股不足 尽其理，故总名之曰“三角形。”此规名比例者，用比例 法也。器不越咫尺，而量法算法，若线，若面，若体，若弧 矢方圆诸法，凡度数所须，该括欲尽，斯亦奇矣。所分 诸线，篇中称引之说，特其指要各有本法，《本论》未及 详焉。若所从出与其致用，则三角形之比例而已。按 《几何原本》六卷四题云：“凡等角、三角形，其在等角旁 之各两腰线相与为比例，必等，而对等角之边为相 似之边。”六题云：“两三角形之一角等”，而对等，“角旁之 各两边比例等”，即两形为等，角形而对各，相似边之 角各等。作者因此二题，创为此器。今依左图解之。如：

图

“甲乙丙与丁乙戊大小两三角形，同用乙角即为等角，则甲乙与乙丙之比例若丁乙与乙戊，而对等角之边，如甲丙与丁戊为相似之边也。又显两形为等角形，而对各相似边之角各等也。” 今此规之枢心即乙角，两股即乙甲乙丙两腰，甲丙为底即与乙丁戊为等角形，而各相当之各角各边，其比例悉等矣。任张翕之，但取“大”

图

小两腰，其两底必相似也。或取两底，其两腰必相似也；或取此腰此底，其与彼腰彼底必相似也。以数明之，如甲乙大腰一百，乙丁小腰六十，而设甲丙大底八十，以求小底，丁戊即定尺，用规器量取，丁戊为度，向平分线取数，必四十八，不烦乘除矣。又如平方积一万，其根一百，求作别方，为大方四之三，即以一百为腰，分面线之。

四点为大底，次以三点为小腰，取小底为度，向平分 线得八十六半强，为小方根。自之约得七千五百，为 小方积，不烦开平方矣。又如立方积八千，其根二十， 求作大方倍元方，即以二十为小底，分体线之一点 为小腰，次以二点为大腰，取大底为度，于平分线得 二十五半，自之，再自之，约得一万六千，为大方积，不 烦开立方矣。篇中所言“某为腰，某为底”，设某数得某 数者，皆此类也。规凡二面，面有五线，共十线，其目如 左：

第一《平分线》：

第二。《分面线》。

第三更《面线》。

第四。《分体线》。

第五更《体线》，

第六。分《弦线》：

《第七节·气线》

第八时刻线：

第九表“心线第十五金线。

右比例十类之外，依《几何原本》，其法甚多。因一器难 容多线，故止设十线。其不为恒用者，姑置之稍广焉。 更具四法如左。

一，《平面形》之边与其积。

二、“《有形》五体之边与其积与其面”

《三有法五体与球》，或内或外两相容。

四、“随地造日晷求其节气”

《比例规造法》：〈一名《度数尺》，其式有二：〉

第一式

一，以簿铜板或厚纸作两长股，如图任，长一尺，上下 广如长八之一，两股等长、等广、股首上角为枢，以枢 心为心，从心出各直线，以尺大小定线数，今折中作 五线，两股之面共十线，可用十种比例之法，线行相 距之地，取足书字而止。尺首半规馀地，以固枢也。用 时张翕《游移》。

第二式

“一，以铜或坚木作两股，如图，厚一分以上，长任意。股 上两用之际，以为心规，馀地以安枢。其一规面与尺 面平，而空其中；其一剡规而入于彼尺之空，令密无 罅也。枢欲其无偏也；两尺并欲其无罅也。枢心为心， 与两尺之合线，欲其中绳也。”用则张翕，游移之。张尽， 令两首相就成一直线，可作长尺。或以两半直角相 就，成一直角，可作矩尺。

《比例矩》之类别有二种，一为“四锐定心规”，一为《四锐 百游规》。不解之，其造法颇难，为用未广，姑置之。

比例各线总图四

比例各线总图二

比例各线总图三

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第一平分线

分法

此线平分为一百或二百乃至一千，量尺之大小也。 分法：如取一百，先平分之为二，又平分为四，又各五 分之为二十，自此以上不容分矣。则用更分法，以元 分四复五分之，或以元分六复五分之。如左图甲乙 线分丙丁戊为元分之四。今更五分之，得己庚辛壬 元分与次分之较，为壬丙为戊己，皆甲乙二十分之 一，为元分五之一。

图

每数至十至百，各书字识之。

《论》曰：甲乙四与甲丙一，若甲己四与甲壬一，更之甲乙四与甲己四，若甲丙一与甲壬一，甲己为甲乙五之四。即甲壬为甲丙五之四，壬丙为甲丙五之一。又甲丁为十，甲辛为八，辛丁为甲丁十之二，或丙丁五之二，戊庚为丁戊五之三。又壬丙为甲丙五之一，必为甲壬四之一。〈《几何》五卷。〉

用法一

凡设一直线，任欲作几分，假如四分，即以设线为度 数，两尺之各一百以为腰，张尺以就度，令设线度为 两腰之底，置尺数，两尺之各二十五以为腰，敛规取 二十五两点间之度以为底，向线上简得若干数，即 所求分数。　凡言线者，皆直线。依几何原本、大小两 三角形之比例，则二十五与得线，若一百与设线也， 更之二十五与一百，得线与设线，皆若一与四也。 若求极微分，如一百之一，如上以一百为腰，设线为 底，置尺。次以九十九为腰，取底比设线，其较为百之 一。　若欲设线，内取零数，如七之三，即以七十为腰， 设线为底，置尺。次以三十为腰，敛规取底，即设线七 之三。〈置尺者置不复动下仿此〉

用法二

凡有线，求几倍之，以十为腰，设线为底，置尺如求七 倍，以七十为腰，取底即元线之七倍。若求十四倍，则 倍得线。或先取十倍，更取四倍并之。

用法三

有两直线，欲定其比例，以大线为尺末之数。〈尺百即百千即 千〉置尺敛规，取小线度于尺上，进退就其等数，如大 线为一百，小线为三十七，即两线之比例。若一百与 三十七可约者约之。

约法：以两大数约为两小数，其比例不异。如一百与三十约为十与三；

用法四

乘法与倍法相通。〈乘者求设数之几倍也〉如以七乘十三于腰 线取十三为度，七倍之，即所求数也。

用法五

设两线或两数。

凡言“数” 者，腰上取其分，或以数变为线，或以线变为数。

欲求一直线，而与元设两线为连比例。　若设大求 小，则以大设为两腰，中设为底，次以中设为两腰，得 小底，即所求如甲乙甲丙尺之两腰所设两数，为三 十，为十八。欲求其小比例，从心向两腰，取三十，如甲 辛甲己识之。敛规，取十八为度，以为底，如辛己次从。

图

心取十八，如甲丁甲戊，即丁戊为连，比例之小率，得 十一有奇。　若设小求大，则反之，以中设为两腰，小 设为底，置尺以中设为度，进求其等数以为底，从底 向心得数即所求。如甲丁甲戊为两腰，丁戊为底。次 以甲丁为度，引之至辛至己而等，从辛从己向心，得 三十，即大率。论见《几何》？六卷十一题

凡言“等数” 者，“皆两腰上纵心” ，取两数等。下同。

用法六

凡有四率连比例，既有三率而求第四，或以前求后， 则丁戊为第一，率辛己甲丁甲戊为第二，又为第三， 而得辛甲为第四，若以后求前，则甲辛甲己为第一， 辛己甲戊甲丁为第二，又为第三，而得丁戊为第四。

“甲辛与辛己” ，若甲丁与“丁戊” 故也。

图

用法七

有断比例之三率，求第四，如一星行九日，得一十一度，今行二十五度，日几何，即用三率法，以元得一十一度为两腰，元行九日为底，置尺以二十

五度为两腰。取大底腰上数之，得二十日。〈十一之五〉为所

求日：

此正三率法，《九章》中名“异乘同除” 也。

图

用法八

句股形有二边而求第三法：于一尺取三十为内句，一尺取四十为内股，更取五十为底，以为内弦。即腰间角为直角。置尺若求弦，则以各相当之句股，进退取数各作，识于所得点两。

点相望，得外弦线，以弦向尺上取数，为外弦数。

言“内外” 者，以先定之句股成式为内甲乙丙是；以所设所得之他句股形为外甲戊己是。

若求句，于内股，上取外股作识，以设弦为度。从识向 句尺取外弦得点作识，从次识向心数之，得句。求股 亦如之。

下有开方术，为句股，本法可用。

用法九

若杂角形有一角，及各傍两腰求馀边，先以弦线法。

图

依设角作尺之腰间角，次用前法取之。〈见下二十一用四法。〉

用法十

有小图，欲更画大几倍之图，则尺上取元图之各线，加几倍，如前作之。

用法十一

此线上宜定两数，其比例若径与周，为七与二十二， 或七十一与二百二十三，即二十八数上书“径”，八十 六上书“周”，　有圈。求周径法，以元周为腰，设周为底。

图

次于元两径取小底得所求径　反之以径求周径为腰如前

用法十二

此线上定两数求为理分中末线之比例则七十二与四十二又三之一不尽为大分其小分为二十四又三之二弱　有一直线

欲分中末分，则以设线为度，依前数取之。〈几何六卷三十题〉

第二分面线

今为《一百不平分》，分法有二：一以算，一以量。

图

以算分

算法者，以枢心为心，任定一度，为甲乙十平分之，自之，得积一百　。今求加倍，则倍元积一百为二百，其方根为十四，又十四之九，即于甲乙十分线加四分半强而得甲丙，为倍面之。

图

边求三倍，则开三百之根，得十七有半，为甲丁。求五、六、七倍以上者，边法同。〈用方根表甚简易。〉

以量分

任取甲乙度，为直角方形之一边。求倍则于甲乙，引至丁截乙，丁倍于甲乙，次平分甲丁于戊，戊心甲界作半圈，从乙作乙己垂线，截圈于己，即己乙线为二百容形之一边。〈六卷二十六增〉求

三倍，则乙丁三倍于甲乙，四倍以上，法同于尺，上从 心取甲、乙，又从心取乙、己等线，成分面线。

试法

元线为一正方。〈直角方形省曰正方〉之边，倍之，得四倍容方之 边，否则不合。三倍之，得九倍。容方之边四倍，得十六， 五倍二十五。又取三倍之边，倍之，得十二。再加倍，得 二十七倍之边。再加倍，得四十八倍之边。再加倍，得 七十五倍之边。若五倍容形之边，倍之，得二十倍。容 形之边再加倍，得四十五倍。容形之边再加倍，得八。

图

十倍容形之边〈本边之论见几何六卷十三〉

用法一

有同类之几形

方圆三边多边等形容与容之比例若边与边其理具几何诸题

欲并而成一同类之形其容与元几形并之容等如

图

正方大小四形求作一大方其容与四形并等第一形之容为二二形之容为三三形之容为四有半四形之容为六又四之三其法从心至第二点为两腰以第一小形之边为底置尺次并四形之容得十六又四之一以为两腰取其

图

底为大形边其容与四形之容并等　若无容积之比例但设边如甲乙丙丁四方形其法从心至尺之第一点为两腰小形甲边为底置尺次以乙形边为度进退取等数得第二点外又四分之三即书二又四之三次丙形边为度得

三又五之一，丁形边，得四又六之五，并诸数及甲形 一，得十又二十之十九，向元定尺上进退取等数为 底，即所设四形同类等容之一大形边。〈此加形之法〉

图

用法二

设一形，求作他形，大于元形几倍？法曰：元形边为底，从心至第一点为腰，引至所求倍数点为大腰。取大底，即大形之边。〈此《乘形》之法。〉

用法三

若于元形求几分之几，以元形边为底，命分数为腰， 退至所求数为腰，取小底即得。　如正方一形，求别 作一正方，其容为元形。四之三，以大形边为底，第四 点为腰。〈即命分数〉次以第三点为“腰。”〈即得分数〉“得小底”，即《小形》 边。

此除形之法，若设一形之积，大而求其若干倍，小而求其若干分，则以原积当单数，用第一线求之。

用法四

有同类两形，求其较，或求其多寡，或求其比例若干。 法曰：“小形边为底，第一点为腰，置尺以大形之边为 度，进退就两等数以为腰，得两形比例之数。次于得 数减一”，所馀为同类他形之一边，此他形为两元形 之较。　如前图小形边为一，大形边为六，其比例为 一与六，则从一至六为较形边。〈此减形之法〉

用法五

有一形，求作同类之他形，但云两形之容积。若所设 之比例。法曰：“设形边为底”，比例之相当率为腰，次他 率为腰，取其底为他形之边。

用法六

有两数求其中比例之数。法曰：“先以大数变为线。”变 线者，于分度线上取其分与数等为度也，以为底，以

图

本线上之本数为腰，置尺次于小数上，取其底线变为数。变数者，于分度线上查得若干分也。此数为两元数中比例之数　，如前图二与八为两元数。先变八为线以为底，以本线之第八点为腰，置尺次于第二点上取。

其底线变为四数，则二与四，若四与八也。　若设两 线，不知其分，先于分度数线上查几分，法如前。

用法七

图

有长方求作正方，其积与元形等。法曰：长方两边变两数，求其中比例之数，变作线，即正方之一边与元形等积。

用法八

有数求其方根：设数或大或小，若大如一千三百二 十五，先于度线上取十分为度，以为底，以本线一点 为腰，即一正方之边，其积一百。次求一百，与设数之 比例，得十三倍，又四之一，以本线十三点强为腰，取 其底，于度线上查分，得三十五强，为设数之根。

第三更面线

分法

如有正方形，欲作圆形与元形之积等。置公类之容 积四三二九六四以开，方得六五八，正方边也。以开 三边形之根，得一千，为三边等形之一边。开五边之

图

根得五○二六边形之根为四○八七边形之根为三四五八边形之根为二九九九边形之根为二六○十边形之根为二三七十一边形之根为二一四十二边形之根为一九七圆形之径为七四二以本线为千平分而取各类之

数从心至末，取各数加本类之号。

言“平形” 者，有法之形，各边各角俱等。

用法一

有异类之形欲相并，先以本线各形之边为度，以为 底，以本类之号为腰。置尺取正方号之底线别书之， 末以各正方之边于分面线上取数合之，而得总边 也。

假如甲乙丙三异类形欲相并，先以三边号为腰甲， 一边为底，置尺取正方号四点内之底向分面线上

图

用十数为腰正方底为底于甲形内作方底线书十次五边号为腰乙一边为底如前取正方底向分面线得二十一半即于乙形内作方底线书之次圆号为腰径为底如前得十六弱并得四十七半弱　若欲相减则先通类如前法

次于分面线上相减。〈同上图〉

用法二

有一类之形，求变为他类之形，同积以元形边为度， 以为底，从心至本号点为腰，置尺，次以所求变形之 号为腰，得底即变形边。

用法三

凡设数求开各类之根，先于分面线求正方之根，次 以方根度为底本，线正方号为腰，置尺则所求形之 号之底线，即元数某类之根。

有法之平形，其边可名为“根” ，与方根相似。

用法四

若异类形，欲得其比例与其较，则先变成正方，依分 面线求之。

第四分体线

《线不平分》分法有二：一以算，一以量。

以算分

从尺心任定一度，为甲乙十平分自之，又自之，得积 一千，即定其线。为一千，即体之根。今求加一倍积体。

图

之根倍元积得二千开立方根得十二又三之一即于甲乙加二又三之一为甲丙乃倍体之边求三倍开三千数之立方根以上同

又捷法取甲乙元体之边四分之一加于甲乙元边得甲丙即倍体边又取甲

丙七分之一加于甲丙，得甲丁，乃三倍体之边。取甲 丁十分之一加于甲丁，得甲戊，乃三倍体之边。再分 再加如图。

图

试置元体之边二十八四之一，得七以加之，得三十 五。法曰“两根之实数。”即用再自之数，为一与二不远。 盖二十八之立实为二一九五，二倍之为四三九○ 四，比于三十五倍体边之实四二八七五，其差才○ 一○二九，约之为一千四百五十二分之一，不足为 差。若用三十六之四六六五六，其差为远。　又加倍 体七之一，得再倍体之边三十五，又七之一，七之一 者五也。以加之得四十，其实为六四○○○《元积》再 倍之数为六五八五六，较差才○一八五六或三十 五之一，可不入算也。若用四十一根之实，六八九二 一，其差为远。

又试倍边上之体，为体之八倍，即依图计零数至第 八位，为五之四，八之七，十一之十，十四之十，三，十七 之十六，二十之十九，二十三之二十二。用合分法合 之，得一、二○、四二，八○之六○、八、六○八，约之为一 ○七五○之五四三四与二之一不远，则法亦不远。 右两则皆用《开立方》之法，不尽数，难为定法。

以量分

先如图求四率连比例线之第二，盖元体之边与倍 体之边为三加之比例也。今求第二几何法曰：第二 线上之体与第一线上之体。若四率连比例线之第 四与第一，假如丙乙元体之边，求倍体之边，则倍丙。

图

乙得甲丁以甲丁乙丙作壬巳辛庚矩形于壬角之两腰引长之以形心为心如戊作圈分截引长线于子于午渐试之必令子午直线切矩形之辛角乃止即乙丙〈即辛庚〉午庚子己甲丁〈即壬庚〉为四率，连比例线用第二率，午庚为次体之

一边，其体倍大于元体。〈详双中率论〉　若甲丁为乙，丙之 三倍四倍，即午庚边上之体，大于元体亦三。四倍以 上仿此。　用前法，则元体之边倍之，得八倍体之边。 若三之，得二十七倍体之边，四之，得六十四倍体之 边，五之，得一百二十五倍体之边。

又取二倍体边，倍之得十六，再倍得一、二、八倍体之 边，本线上量体任用其边，其根，其面，其对角线，其轴 皆可。

用法一

设一体，求作同类体，大于元体，几倍法？以元体边为

底，从心至第一点为腰，置尺，次以所求倍数　为腰， 得大底，即所求大体边。　若设零数，如元体。设三，求 作七，以三点为初腰，七点为次腰。如上法。〈此乘体之法〉

用法二

有体求作小体，得元体之几分？如四分之一、四分之 三等法，以元体之边为底，命分数之点为腰，置尺，退 至得分数为小腰，得小底是所求分体边。〈此分体之法〉

用法三

有两体，求其比例，以小体边为底，第一点为腰，置尺， 次以大体边为底，就等数得比例之数也。不尽，则引 小体边于二点以下，以大边就等数两得数乃上，可 得比例之全数，而省零数。

用法四

有几同类之体，求并作一总体，　若有各体之比例， 则以比例之数合为总数，以小体边为底，一点以上 为腰，置尺于总数点内，得大底，即总体边。　若不知， 其比例先求之，次用前法。〈此加体之法〉

图

如图甲乙丙三立方体求，并作一大立方体，其甲根 一，乙三又四之三，丙六并得十，又四之三，以甲边为 底，本线一点以上为腰，置尺向外求十又四之三为 腰，取底为度，即所求总体之根。

用法五

大内减小所存，求成一同类之体，　先求其比例，次 以小体边为底。比例之小率，点以上为腰，置尺。次以 比例两率较数点上为腰，得较底即较体之边。〈此减体之 法〉

用法六

有同质、同类之两体，得一体之重，知他体之重。盖重 与重若容与容，先求两体之比例，次用《三率》法，某容 得某重若干，求某容得某重若干。

“同质” 者，金、铅、银、铜等；同体者，方、圆、长、立等。

用法七

有积数，欲开立方之根，　　置积与一千数求其比例。 次于平分线上取十分为底，本线一点以上为腰，置 尺次比例之大率，以上为腰，得大底。于平分线上取 其分，为所设数之立方根。如设四万，则四万与一千 之比例，为四十与一。如法于四十点内得大底线变 为分，得三十四强。　若所设积小不及千，则以一分 为底，一点或半点或四之一等数为腰，置尺设数内 求底而定其分。若用半点，用所设数之一；半用四之 一，亦用设数四之一。盖算法通变，或倍或分，不变比 例之理。

用法八

有两线，求其双中率。〈线数同理〉如三为第一率，二十四为 第四率。求其比例之中两率　法，求两率之约数，得 一与八，以小线为底，一点以上为腰，置尺，次八点以 上为腰，取大底，即第二率。有第二、第四，依平分线求 第三。

第五变体线

“变体”者，如有一球体，求别作立，方其容与之等。

分法

置公积百万，依《算法》开各类之根，则立方之根为一 百，四等面体之根为二○四，八等面体之根为一二。

图

八半十二等面体之根为五十二十等面体之根为七六　圆球之径为一二六　因诸体中独四等面体之边最大故本线用二百○四分平分之从心数各类之根至本数加字

开根法见测量全义六卷

用法一

有异类之体求相加，以各体之边为度，以为底本线。 本类之点以上为腰，置尺。次从立方点内取底别书 之。各书讫，依分体线法合之。

用法二

有异类之几体，求其容之比例。先以各体变而求同 容之立方边。次于分体线求其比例，乃所设体之比 例。若知一体之容数，因三率法求他体之容数。

第六。分《弦线》：〈亦曰《分圈线》。〉

图

分法有二

一法

别作象限圈分令半径与本线等长分弧为九十度各作识从一角向各识取度移入尺线从尺心起度各依所取度作识加字若尺身大加半度之点可作一百八十○度若身小

图

可六十度或九十度止

又法

用正弦数表取度分数半之求其正弦倍之本线上从心数之识之

如求三十度弦即其半十五度之正弦为二五九倍之得千分之五一九为三十度之弦从心

识之

用法一

有圈径设若干之弧。求其弦，以半径为底，六十度为 腰。置尺次以设度为腰，取底即其弦。移试元圈上，合 其弧　反之，有定度之弦。求元圈径，以设弧之弦为 底，设度为腰，置尺次取六十度为腰，取底即圈之半 径。

用法二

有全圈求作若干分法，以半径为底，六十度。〈其弦即半径也〉 为腰。置尺命分数为法，全圈为实而一，得数为腰。取 底《试元》圈上合所求分。〈此分圈之法〉　《约法》本线上先定 各分之点。如百二十为三之一，九十为四之一，七十 二为五之一，六十为六之一，五十一又七之三为七 之一，四十五为八之一，四十为九之一，三十六为十 之一，三十二。又十一之八为十一之一，三十为十二 之一，各加字。

用法三

凡作有法之平形，先作圈，以半径为底，六十度为腰， 置尺，次本形之号为腰，取底移圈上得分。

用法四

有直线角，求其度，以角为心，任作圈两腰间之弧度， 即其对角之度。〈有半径有弧求度如左〉

用法五

有半径设弧不知其度数：法以半径为底，六十度为 腰。置尺次以弧为度，就等数作底，其等数即弧度。反 之，设角度，不知其径及弧，求作图。其法：先作直线，一 界为心，任作圈分，以截线为底，六十度之弦线为腰。

图

置尺次于本线取设度之弦线为腰得底以为度从截圈点取圈分即设度之弧再作线到心即半径成直线角如所求

因此有两法，可解三角形，省布数。详《测量全义》首卷。

《第七节·气线》〈一名《正弦线》。〉

分法

全数为一百平分，尺大可作一千。用正弦表，从心数。

图

各度之数每十度加字如三十度之正弦五十则五十数傍书三十二度之正弦五则五数傍书三

简法

第一平分线，可当此线。为各有百平分。则一线两傍。 一书分数字。一书“度数”字。

用法一

半径内有设弧。求其正弦。以半径为底，百为腰，置尺， 次以设度为腰，取底即其正弦。

用法二

凡造简平仪、平浑日晷等器，用此线甚简易。如《简平 仪》之下盘周天圈，其赤道线左右求作各节气线，先 定赤道线为春秋分，次于弧上取赤道左右各二十 三度半之弧，两弧相向作弦，以其半弦为底，本线百 数为腰，置尺次数，各节气离春秋分两节之数，寻本 线之相等数为腰，取底为度。移赤道线左右两旁作 直线，与相对之节气相连，为各节气线。

或于赤道线上及二至线上定时刻线之相距若干，亦可。

如欲定“立春、立冬、立夏、立秋。”

因四节离赤道之度等，故为“公度。”

法曰：立春至春分四十五度，则取本线四十五度内 之底线，移于仪上春分线左右。　若欲定小暑、小寒 之线，离秋分、春分各七十五度，则取七十五度内之 底线为度。移二分线左右，得小暑、小寒之线。

第八时刻线：〈一名《切线线》。〉

图

分法

切线之数无限为九十度之切割两线皆平行无界故今止用八十度于本线

立成表。上查八十度，得五六七，即本线作“五六七”平 分。次因各度数加字。

一度至十五，切线正弦微差，尺上不显，可即用正弦。

第九表《心线》。〈一名《割线线》。〉

分法

此线亦止八十度，依表查得五七五平分之，其初点 与四十五度之切线等。〈初点即全数故等〉次依《本表》加之。

用法一

有正弧或角。欲求其切线或割线法，以元圈之半径 为底，切线线四十五度之本数为腰，割线线则以○ 度○分为腰，置尺。次以设度为腰，取底为某度之切 线、割线。　反之，有直线，又有本弧之径。欲求设线之 弧若干度，以半径为度以为底。设弧之度数为腰，置 尺又设线为底。求本线上等数，即设线之弧。

用法二

《表度说》以表景长短求日轨高度分，今作简法用切。

图

线线，凡地平上立物，皆可当表，以表长为底，本线四十五度上数为腰，置尺，次取景长为底，求两腰之等数，即日轨高度分　。若用横表，法如前，但所得度分，乃日离天顶之度分也。安表法见本说。

用法三

地平面上作日晷法：先作子午直线，卯酉横线，令直 角相交，从交至横线端为底，就切线线上之八十二

图

度半为腰置尺次于本线七度半点内取底为度向卯酉线交处左右各作识为第一时分次递加七度半取底为度如前递作识为各时分

每“七度半者，如七度半、十五度、二十二度半，三十度、三十七度半，四十五度、五十二度半，六十度、六十七度半，七十五度、八十二度半。”

若求刻线，则递隔三度四十五分，而取底为度也。次 于元切线上，取四十五度线。〈四十五度之切线即全数〉为底割线。 初点为腰，置尺，次以本地北极高度数为腰，于本线 上取底为表，长于子午卯酉两线之交正立之。又取 北极高之馀度线为度于子午线上，从交点起向南， 得日晷心。从心向卯酉线上各时分点，作线为时线。 在子午线西者，加午前字，如巳辰卯。在子午线东者， 加午后字，如未申酉。

日晷图说

图

子午卯酉两线相交于甲甲酉为度以为底以切线之八十二度半为腰置尺递取七度半之底向甲左右作识如甲乙甲丙次取十五度线之底作第二识

如甲丁甲戊每识递加七度半，每识得二刻，则丁点 为午初，戊为未初，馀点如图。　次取甲己线上四十 五度之切线为底，割线之初点为腰，置尺取北极高 馀度。〈顺天府约五十〉之割线为度，从甲向南取辛，辛为心，从 心过乙丁等点作线，为时刻线。又割线上取北极高 度之线。〈顺天府约四十〉“为表长”，即“甲庚”也，表与面为垂线。

立表法：以表位甲为心，任作一圈。次立表，表末为心，又作圈。若两圈相合或平行，则表直矣。

用法四

先有表度，求作日晷，则以表长为底，割线上之北极 高度为腰，置尺。次以极高馀度为腰，取底为度，定日 晷之心。次用元尺于切线上，取每七度半之线如前。

凡言表长，以“垂表” 为主或垂线。

用法五

有立面向正南作日晷，法如前。但以北极高度求晷 心，以北极高之馀度为表，长。

又平晷之子午线，为此之垂线。书时刻，以平晷之卯为此之酉，各反之。

图

用法六

若立面向正东正西先用权线作垂线定表处即晷心从心作横线与垂线为直角　若面正东于横线下向北作象限弧若面正西于横线下向南作弧弧上从下数北极高之馀度为界从心过界作线为赤

道线。又以表长为底，切线线上之四十五度为腰，置

尺递取七度半之线，从心向外，于赤道上各作识，从 各识作线，与赤道为直角，则时刻线也。其过心之线， 向东晷为卯正线，向西晷为酉正线。　若欲加入节 气线法，以表长为度，从表位甲上取乙点为表心，从 心取赤道上各时刻点为度，以为底。以切线线之四 十五度为腰，置尺。又以二十三度半为小腰，取小底 为度于各时刻线上，从赤道向左向右各作识，为冬 夏至日景所至之界。　如左图。甲乙为卯酉正线，以

图

表长为度从甲取乙为表心以切线上之四十五度为腰甲乙为底置尺又以二十三度半为小腰取小底于本线上从赤道甲向左向右各作识即卯酉正时冬夏至之景界　次从表心向卯酉初刻线取赤道之交丙点为底切线之

四十五度为腰。置尺，以二十三度半为小腰，取小底 于丙左右各作识，为本时冬夏至之景界。次于各时 线，如上法各作二至景界讫，联之为本晷上冬夏二 至之景线。　次作二至前后各节气线，以节气线之 两至点为腰。〈即鹑首之次西历为巨蟹宫〉以各时线上赤道至两 至界为底，置尺。次以各节气为小腰，取小底为度。从 各线之赤道左右作识，如前法。

第十五金线

分法用下文各分率及分体线。

置金一度。

下方所列者，先造诸色体，大小同度权之，得其轻重之差，以为比例。

置水银一度又七十五分度之三十八。

置铅一度又二十三分度之一十五，

置银一度又三十一分度之二十六。

置铜二度又九分度之一，

置铁二度又八分度之三。

置锡二度又三十七分度之一。

先定金之方立体，其重一斤为一度。本线上从心向 外，任取一点为一度，即是金度。次以分体线第十点 为腰，此度为底。置尺依各色之本率，于分体线上取 若干度分之线为底，从心取两等腰，合于次底作点， 即某色之度点。

又法

取各率之分子，用通分法乘之。

得金四五九五九二五。

得水银六九二四《五二七》。

得铅，“八六二七四○○。”

得银八《四三一二一、二一七》

得铜九○○一四○○。

得铁一○九一四○《七五》。

得钖一一七九九○○○。

次以各率开立方，求各色之根。

得金，一，六六弱。

得水银，一九一弱。

得铅二○二。

得银二○四。

得铜二一三。

得铁，二，《二二》。

得锡，二二八。

若金立方重一斤，其根一百六十六弱，用各色之根 率为边成立方，即与金为同类。〈皆为立方〉同《重》。〈皆为一斤〉之体 也。

今本线用此，以二二八为末点，如各率分各色之根 数加号。

石体轻重不等，故不记其比例。

用法一

有某色某体之重，欲以他色作同类之体而等重。求 其大小。法：以所设某色某体之一边为度，以为底。以 本线本色点为腰置尺，次以他色号点为腰，取底即 所求他体之边。

用法二

若等体等大求其重法：以所设体之相似一边为度， 以为底。置尺于他色号点取其底，两底并识之。次于 分体线上，先以设体之重数为腰，以先设体之底为 底。置尺以次得他体之底为底，进退求相等数为腰， 即他体之重。

用法三

有异类之体，求其比例，先依更体线通为同类，次如 前法