勾股引蒙 (四庫全書本)/卷04

勾股引蒙　卷四

　　欽定四庫全書
　　勾股引蒙卷四
　　海寧　陳訏　撰
　　三角法
　　八線全圖
　　〈周天三百六十度兩分之為半
　　周四分之為一象限　每一象
　　限各九十度又名弧度　　六〉
　　凡正方角〈乙〉即直角即象限之角其所對弧必九十度
　　凡在一象限不及九十度者為鋭角〈如丙〉
　　凡過一象限多於九十度者為鈍角
　　凡言角以中一字為所指之角〈如甲乙癸〉
　　凡求某角者求其角之對弧度與分
　　凡求某角即本角之弧矢割切為正其外為餘凡半徑為全數為一○○○○○八線有增減半徑無増減常為十萬弧中旋轉可如如句
　　凡正角以半徑全數為正
　　凡鈍角以外角之正餘為正餘













　　直角〈即正方角一名勾股形〉
　　有角有邊求餘角餘邊〈直角之一〉
　　假如〈壬癸丁〉勾股形有丁角〈五十七度〉壬丁〈九十一丈八尺〉求餘角餘邊
　　先求癸丁邊
　　術曰以半徑全數比丁角之餘
　　若壬丁與癸丁句

　　一率〈原設〉半徑　　　　一○○○○○　為法二率〈原設句〉丁角〈五十七度〉餘　　五四四六四　〈相乗〉三率〈今有〉壬丁邊　　　九十一丈八尺　〈為實〉四率〈今所求句〉癸丁邊　　　五十丈　　〈法除實得所求〉右三率法後同　半徑即乙丁餘即甲丁
　　求壬癸邊
　　以半徑比丁角之正若壬丁與壬癸股
　　一率〈原設〉半徑　　　　一○○○○○
　　二率〈原設股〉丁角〈五十七度〉正　○八三八六七
　　三率〈今有〉壬丁邊　　　　九十一丈八尺
　　四率〈所求股〉壬癸邊　　　　七十七丈
　　求壬角
　　以丁角五十七度與象限九十度相減得餘三十三度為壬角
　　右例先得以求勾股
　　假如〈壬癸丁〉勾股形有丁角〈六十二度〉癸丁勾〈二十四丈〉求餘角餘邊
　　求壬角
　　以丁角〈六十二度〉與象限相減得餘〈二十八度〉為壬角　平面弧止容一正方角兩鋭角今既有勾股形〈癸〉則於一象限內減丁角之度其餘度自必壬角
　　戊丙丁勾股形以戊丙
　　切線為股丙丁半徑為
　　勾戊丁割線為是丁
　　角原有之線　今壬癸丁勾股形與戊丙丁勾股形既同丁角則其比例等
　　求壬丁邊
　　以半徑比丁角之割線若癸丁勾與壬丁
　　一率〈原設勾〉半徑　　　　　一○○○○○二率〈原設〉丁角〈六十二度〉割線　二一三○○五
　　三率〈今有勾〉癸丁邊　　　　二十四丈
　　四率〈所求〉壬丁邊　　　　五十一丈一尺
　　求壬癸邊
　　以半徑比丁角之切線若癸丁勾與壬癸股
　　一率〈原設勾〉半徑　　　　　一○○○○○二率〈原設股〉丁角〈六十二度〉切線　一八八○七三
　　三率〈今有勾〉癸丁邊　　　　二十四丈
　　四率〈所求股〉壬癸邊　　　　四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同
　　按半徑隨弧旋轉無有増減故可為為勾為股各隨比例之所取用視邊與線之縱橫小大為比例
　　有邊求角〈直角之二〉
　　假如〈壬癸丁〉勾股形有壬丁〈一百○二丈二尺〉癸丁勾〈四十八丈〉求二角一邊
　　求丁角
　　以丁壬比癸丁勾若半徑乙丁與丁角之餘甲丁



　　一　　壬丁邊　　一百○二丈二尺
　　二　　癸丁邊　　○四十八丈
　　三　　半徑　　　一○○○○○
　　四　　丁角餘　四六九六六
　　以所得餘檢表得六十二度為丁角度
　　右壬角癸角俱止一邊無兩邊不能以邊比邊為以線比線之例惟丁角有兩邊故先求丁角得丁角而丁角度之八線即可為餘角之比例矣然丁角必求餘為四率者蓋若求正正切之股則壬癸無邊可例若求正割則雖可以癸丁邊比壬丁邊若餘〈甲丁〉與正割〈壬丁〉之例然餘尚未求得又無可為比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半徑與甲丁勾之丁角餘相比例也宣城梅定九氏曰得其角度則諸數歴然可於無句股中尋出勾股余亦曰知四率應求之線之故則一率二率三率瞭然可於無比例中尋出比例矣
　　求壬角
　　以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為壬角
　　求壬癸邊
　　以半徑比丁角之正若壬丁與壬癸股
　　一　　半徑　　　　一○○○○○
　　二　　丁角〈六十二度〉正　○八八二五九
　　三　　壬丁邊　　　一百○二丈二尺
　　四　　壬癸邊　　　○九十丈○二尺三寸右例以邊求角而先知方角故止用二邊此先有之邊是與勾故求壬癸邊之股者以壬丁邊之斜為比而正如股半徑旋轉如可線與線相比以為邊與邊相比之例也若先有者是股邊勾邊則求切線者以股邉為例而勾之比股者又可以半徑為勾如下求丁角法
　　假如壬癸丁三角形有壬丁邊一百○六丈壬癸邊九十丈癸丁邊五十六丈求角
　　求癸角
　　以壬丁大邊與丁癸邊相加得〈一百
　　六十二丈為總又相減得〉〈五十丈〉為較以
　　較乘總得〈八千一百丈〉為實以壬癸邊
　　〈九十丈〉為法除之仍得〈九十丈〉與壬癸
　　邊數等即知癸角為正方角
　　求丁角
　　以丁癸邊比壬癸邊若半徑與丁角切線
　　一　　丁癸勾　　五十六丈
　　二　　壬癸股　　九十丈
　　三　　半徑　　　一○○○○○
　　四　　丁角切線　一六○七一四
　　以所得切線檢表得五十八度○六分為丁角
　　有一角必有一弧每一弧必有八線今求丁角而壬癸邊如丁角弧之切線可以半徑相比故先以丁癸邊比壬癸邊為例若半徑與丁角之切線
　　求壬角
　　以丁角〈五十八度○六分〉與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角
　　右例亦以邊求角而先不知其為勾股形故兼用三邊










　　鋭角
　　有兩角一邊求餘角餘邊〈鋭角之一〉
　　假如〈乙丙丁〉鋭角有丙角〈六十度〉丁角〈五十度〉丙丁邊〈一百二十尺〉
　　求乙角
　　以丙角〈六十度〉丁角〈五十度〉相併得〈一百一十
　　度〉以減半周一百八十度餘七十度
　　為乙角
　　右丙角丁角有度而無邊乙角有邊
　　而無度先以兩角之度除半周而乙
　　角之弧度得矣既得乙角之度即可
　　以乙角之線比乙角相對之邊若他
　　角之線與他角之邊
　　求乙丁邊
　　以乙角正比丙丁邊若丙角正與乙丁邊一　　乙角〈七十度〉正　九三九六九
　　二　　丙丁邊〈即乙角對邊〉　一百二十尺
　　三　　丙角〈六十度〉正　八六六○三
　　四　　乙丁邊〈即丙角對邊〉　一百一十尺○六寸以前諸法俱線比線邊比邊互相為例此處以線比邊下求乙丙邊同
　　求乙丙邊
　　以乙角正比丙丁邊若丁角正與乙丙邊一　　乙角〈七十度〉正　九三九六九
　　二　　丙丁〈乙角對邊〉　　　一百二十尺
　　三　　丁角〈五十度〉正　七六六○四
　　四　　乙丙〈丁角對邊〉　　　○九十七尺八寸右例先有之邊在兩角之間也若先有之邊與一角相對亦同
　　有一角兩邊求餘角餘邊〈鋭角之二〉
　　假如〈甲乙丙〉鋭角形有丙角〈六十度〉甲丙邊〈八千尺〉甲乙邊〈七千○三十四尺〉
　　求乙角
　　以甲乙邊比甲丙邊若丙角正
　　與乙角正

　　一　　甲乙邊　　　　七千○三十四尺
　　二　　甲丙邊　　　　八千尺
　　三　　丙角〈六十度〉正　八六六○三
　　四　　乙角　　正　九八四九六
　　檢表得八十度○三分為乙角
　　凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割線之低昻也今丙角斜邊長近俯乙角斜邊短近仰則乙角必大於丙角故以小邊比大邊亦若正小之比大而可得角也此以小比大也
　　求甲角
　　以丙角乙角相併得〈一百四十度○三分〉以減半周餘三十九度五十七分為甲角
　　求乙丙邊
　　以乙角之正比甲角之正若甲丙邊與乙丙邊
　　一　　乙角〈八十○度三分〉正　九八四九六二　　甲角〈三十九度五十七分〉正　六四二一二
　　三　　甲丙〈乙角對邊〉　　　　　八千尺
　　四　　乙丙〈甲角對邊〉　　　　　五千二百一十五尺乙角以乙丙為底其正從甲下垂故長甲角以甲丙為底正從乙下垂故短今乙丙邊小於甲乙甲丙之兩邊故以最大之邉比之先以最大之線比最小之線用乙角甲角之正為例也
　　右例有兩邊一角而角與一邊相對
　　假如〈甲乙丙〉鋭角形有甲丙邊〈四百尺〉乙丙邊〈二百六十一尺○八分〉丙角〈六十度〉角在兩邊之中不與邊對求甲乙邊
　　先求中長線分為兩勾股形
　　以半徑比丙角正若甲丙邊
　　與甲丁中長線
　　〈此下四則皆為求甲乙邊與甲全角故先求分形之邊及
　　分形之角〉
　　一　　半徑　　　　　一○○○○○
　　二　　丙角〈六十度〉正　　○八六六○三
　　三　　甲丙邊　　　　四百尺
　　四　　甲丁中長線　三百四十六尺四寸一分
　　求丙丁邊〈求中長線專為分邊而求〉
　　以半徑比丙角餘若甲丙邊與丙丁邊
　　一　　半徑　　　　一○○○○○
　　二　　丙角〈六十度〉餘　○五○○○○
　　三　　甲丙邊　　　四百尺
　　四　　丙丁邊　　　二百尺
　　求角者須先審四率之線應求某線而以邊之可比例者為一二率求邊者須先審二率應用某線可與四率之邊相比例而以一率三率比之蓋邊有定在而線則隨所比例而變其所取也如右求丙丁邊乃分邊而非乙丙之全邊妙在八線餘限於正而不越於正之外與丁丙分邊限於中長線甲丁不能越丁而至乙故二率取為比例而得丙丁之分邊
　　求乙丁邊
　　以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁
　　求丁甲乙分角
　　以甲丁中長線比乙丁分邊若半徑與甲分角切線
　　一　　甲丁中長線　三百四十六尺四寸一分二　　乙丁分邊　　○六十一尺○八分
　　三　　半徑　　　　一○○○○○
　　四　　甲分角切線　○一七六三三
　　檢切線表得一十度為甲分角
　　右求分角之線自必以分邊為例則所得之線乃分角之線而非甲全角之線惟切線即在角之對邊故分邊之線為分角之度
　　求甲乙邊
　　以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邊
　　一　半徑　　　　　一○○○○○
　　二　甲分角〈十度〉割線　一○一五四三
　　三　甲丁中長線　　三百四十六尺四寸一分
　　四　甲乙邊　　　　三百五十一尺七寸五分右甲分角以中長線為底則割線即甲乙邊
　　求甲全角
　　以丙角〈六十度〉之餘角三十度〈即分形甲丁丙之甲分角〉與求得甲分角〈一十度〉相併得四十度為甲全角
　　求乙角
　　以甲分角〈一十度〉減象限得八十度為乙角〈或併丙甲二角減半周同〉
　　右例有兩邊一角而角在兩邊之中不與邊對故用分形以取勾股
　　用切線分外角〈梅本新増〉
　　假如〈甲乙丙〉鋭角形有甲丙邊〈四百尺〉乙丙邊〈二百六十一尺○八分〉丙角六十度
　　求甲角
　　以甲丙邊乙丙邊相併為總相減為較又以丙角〈六十度〉減半周得外角〈一百二十度〉半之得半外角〈六十度〉檢其切線依三率法求得半較角以減半外角得甲角




　　一　　兩邊總　　　六百六十一尺○八分二　　兩邊較　　　一百三十八尺九寸三分三　　半外角切線　一七三二○五
　　四　　半較角切線　○三六三九七
　　檢切線表得二十度為半較角轉與半外角〈六十度〉相減得甲角四十度
　　求乙角
　　以甲丙二角相併共〈一百度〉以減半周得餘八十度為乙角
　　求甲乙邊
　　以甲角〈四十度〉正　六四二七九
　　比丙角〈六十度〉正　八六六○三
　　若乙丙邊　　　　　二百六十一尺○八分
　　與甲乙邊　　　　　三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角兩邊而角在邊中不與邊對之三角也但此不用求分邊分角之煩而徑求甲角之半較角葢一弧之中既有丙角則所餘之度皆甲乙之角為丙之外角應將外角中分為半外角以為甲乙兩角之地然甲角邊長鋭於乙角則乙角必大甲角必小又應於外角之半分出較角而後甲角始得其真在半外角既中分外角之半則此較角亦必中分較角之半為半較角故先以邊總比邊較為一二率蓋邊總如半外角之總猶之外角一百二十而半外角止六十也以邊較求甲角之半較角猶甲角小於乙角若干而此求得之較為小於乙角若干之半名半較角也所以求切線者蓋切線在各弧之貼際必與本角之底為直角形如勾股其線遇本角之割線而止今所求在所割之半較角則莫如半外角之切線比半較角之切線同在弧之貼際不煩更覓他線也梅刻増此一條簡捷巧便而所以然之理初學茫然為補圖明之如左

　　此平三角借弧以明其理
　　若弧三角所容三角不止
　　三個如平方立方有面體
　　之別後同

　　有三邊求角〈鋭角之三〉
　　假如〈甲乙丙〉鋭角形有乙丙邊〈二十丈〉甲丙邊〈一十七丈五尺八寸五分〉乙甲邊一〈十三丈○五寸〉
　　求兩勾相減之數為勾較
　　任以〈乙丙〉大邊為底從甲角作甲丁虛垂線至底分為兩勾股形
　　一甲丁丙形以甲丙邊為丁丙為勾一甲丁乙形以甲乙邊為丁乙為勾兩相併為總相減為較　兩勾相併〈即乙丙邊原數〉為勾總　求戊丙勾較
　　以勾總比總若較與勾較
　　一　　兩勾之總〈即乙丙〉　二十丈
　　二　　兩之總　　三十丈○六尺三寸五分三　　兩之較　　四丈五尺三寸五分四　　兩勾之較〈即丙戊〉　六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角無度則無線可比止乙至丙之勾似丙角之餘然餘長短必限於正今甲丁中垂線即丙角之正今若求丙角餘又多乙丁勾之長故先求勾較之丙戊既得勾較則可加分形之勾〈戊丁〉而得丁丙分邊與丙角之餘等以之比例而得丙角之餘即查表得丙角之度
　　求分形之兩勾
　　以勾較〈六丈九尺四寸六分〉減勾總〈二十丈即乙丙〉餘乙戊〈一十三丈○五寸四分〉半之得丁乙〈即戊丁〉六丈五尺二寸七分為甲丁乙分勾之形
　　又以戊丁〈六丈五尺二寸七分〉加勾較〈六丈九尺四寸六分　即戊丙〉得丁丙一十三丈四尺七寸三分為甲乙丙分勾之形
　　求丙角
　　以甲丙比丁丙勾若半徑與丙角餘
　　一　　甲丙邊　　一十七丈五尺八寸五分二　　丁丙分邊　一十三丈四尺七寸三分三　　半徑　　　一○○○○○
　　四　　丙角餘　○七六六一六
　　檢餘表得丙角四十度
　　求甲角
　　先求分形大半之甲角
　　以丙角〈四十度〉減象限餘五十度為〈丁甲丙〉分形甲角
　　次求分形小半之甲角
　　以甲乙比丁乙勾若半徑與分形甲角之正一　　甲乙邊　　　一十三丈○五寸
　　二　　丁乙分邊　　○六丈五尺二寸七分
　　三　　半徑　　　　一○○○○○
　　四　　甲分角正　○五○○一五
　　〈以甲丁為底則甲乙邊如半徑而乙丁邊如甲分角之正〉
　　檢正表得三十度為〈丁甲乙〉分形之甲角併分形兩甲角〈先得五十度次得三十度〉得共八十度為甲全角
　　求乙角
　　併丙甲二角共〈一百二十度〉以減半周得餘六十度為乙角






　　鈍角
　　有兩角一邊求餘角餘邊〈鈍角之一〉
　　假如〈乙丙丁〉鈍角形有丙角〈三十六度半〉乙角〈二十四度〉丁乙邊〈五十四丈〉
　　求丁角
　　以丙丁二角併共〈六十度半〉以減
　　半周得餘一百一十九度半為丁
　　鈍角
　　求乙丙邊
　　以丙角正比丁角正若乙丁邊與乙丙邊一　　丙角〈三十六度三十分〉正　五九四八二二　　丁角〈一百十九度三十分〉正　八七○三六
　　三　　乙丁邊　　　　五十四丈
　　四　　乙丙邊　　　　七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以鈍角度減半周用之凡鈍角同
　　求丁丙邊
　　以丙角正比乙角正若乙丁邊與丁丙邊一　　丙角〈三十六度三十分〉正　五九四八二二　　乙角〈二十四度〉正　四○六七四
　　三　　乙丁邊　　　　五十四丈
　　四　　丁丙邊　　　　三十六丈九尺二寸
　　凡鈍角以外角之正為正蓋即
　　此鈍角之外角也如圖丁為鈍角乙
　　丙為丁角所對之弧乙丁甲為丁角
　　之外角至於正皆以本角之勾為
　　底以割線〈半徑同〉與弧之相界處直線
　　垂下與本角之底為正方直角如圖
　　乙丁甲為丁角之外角乙丁如外角
　　之割線夘丁如外角之餘而夘乙
　　則外角之正也至如丙角以丙丁
　　為底其正丑丁近乙丁邊乙角以
　　乙丙為底其正子丁近乙丙邊也
　　補圖明之
　　有一角兩邊求餘角餘邊〈鈍角之二〉
　　假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分鈍角形〈此鈍角所對之弧度分〉甲丙邊四千尺甲乙邊三千五百一十七尺
　　〈前則用他角求鈍角此則用鈍角求他角〉
　　乙角為鈍角
　　甲丙為鈍角所對之弧度
　　乙丁為丙角正
　　甲戊為鈍角用外角之正
　　求丙角
　　以甲丙邊比甲乙邊若乙角正與丙角正
　　一　　甲丙邊　　　　　　四千尺
　　二　　甲乙邊　　　　　　三千五百一十七尺三　　乙角〈九十九度五十七分〉正　九八四九六〈即八十度三分正度〉四　　丙角　　正　八六六○三
　　檢表得丙角六十度
　　按乙角為鈍角其所用外角之正即鈍角九十九度五十七分減半周一百八十度所餘八十度○三分之外角其所有之正也〈每度六十分〉求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙邊比甲乙邊為例俱以長比短而縱與縱為同類
　　求甲角
　　併乙丙二角共一百五十九度五十七分以減半周得餘二十度○三分為甲角
　　求乙丙邊
　　以乙角之正比甲角正若甲丙邊與乙丙邊一　　乙角〈九十九度五十七分〉正　九八四六九二　　甲角〈二十度○三分〉正　三四二八四
　　三　　甲丙邊　　　　四千尺
　　四　　乙丙邊　　　　一千三百九十二尺右甲角正以甲丙為底乙已即甲角正與甲已為正方角此二則皆以大比小右例有兩角一邊而先有對角之邊若兩邊一角而邊在角之兩旁不與角對又另法如左
　　假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊〈一千○八十尺〉乙丙邊〈一千五百八十二尺〉乙角〈二十四度〉
　　丙戊為虛股　戊丁為虛勾
　　乙角乙丁為底丑丁為正　乙丁
　　即餘　丙角丙丁為底子丁為正
　　

　　先以半徑比乙角正若乙丙邊與丙戊邊
　　一　　半徑　　　　一○○○○○
　　二　　乙角〈二十四度〉正　○四○六七四
　　三　　乙丙邊　　　一千五百八十二尺四　　丙戊邊〈即虛垂線〉　○六百四十三尺
　　又以半徑比乙角餘若乙丙邊與乙戊
　　一　　半徑　　　　一○○○○○
　　二　　乙角〈二十四度〉餘　○九一三五五
　　三　　乙丙邊　　　一千五百八十二尺四　　乙戊邊〈即乙丁引長線〉　一千四百四十五尺右以原邊乙丁〈一千○八十尺〉與引長乙戊邊相減得丁戊〈三百六十五尺〉為形外所作虛勾股形之勾〈先得丙戊垂線為股原有邊之丁丙為〉
　　求丁丙邊
　　依勾股求法以丙戊股自乘〈四十一萬三千四百四十九尺〉丁戊勾自乘〈一十三萬三千二百二十五尺〉併之得數〈五十四萬六千六百七十四尺〉為實平方開之得七百三十九尺為丁丙邊
　　求丙角
　　以丁丙邊比丁乙邊若乙角正與丙角正一　　　丁丙邊　　　○七百三十九尺二　　　丁乙邊　　　一千○八十尺
　　三　　　乙角〈二十四度〉正　四○六七四
　　四　　　丙角　正　五九四四二
　　檢表得丙角三十六度二十九分
　　求丁角
　　以丙乙二角併之共〈六十度二十九分〉以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角
　　此三角形既有乙角度當先求丙角之鋭而後丁角之鈍可以半周相減即得但求丙角雖有乙丁邊可為丙角正之比例〈凡正必在本角相對之邊〉然丙丁無邊不能以邊比邊為乙角正比丙角正之例故又當先求丙丁邊但丙丁邊如勾股之斜當以勾股求法求之今丁戊無勾丙戊無股故先求丙戊邊以作虛股再求乙戊邊以作虛勾而後用勾股求法而得丙丁之邊三邊既得則每角之正必近本角所對之邊即可以所對之兩邊相比為兩角之正相比之例求之矣葢丙角以丙丁為底其正子丁近乙丁邊而乙角之正子丑近丙丁邊故必先得邊以為求線之比例也既先有乙角又求得丙角則丁角半周減之即得矣
　　右兩邊一角而角不與邊對
　　用切線分外角〈梅本新増〉
　　假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊〈五百四十尺〉丙乙邊〈七百九十一尺〉乙角〈二十四〉度



　　求丙角
　　以〈丁乙丙乙〉兩邊相併為總相減為較又以〈乙〉角〈二十四度〉減半周得外角〈一百五十六度〉半之得半外角〈七十八度〉
　　以邊總比邊較若半外角切線與半較角切線一　　兩邊之總　　一千三百三十一尺二　　兩邊之較　　○二百五十一尺
　　三　　半外角切線　四七○四六三
　　四　　半較角切線　○八八七一九
　　檢表得半較角〈四十一度三十五分〉以減半外角〈七十八度〉得餘〈三十六度二十五分〉為丙角
　　求丁角
　　併乙丙二角共〈六十度二十五分〉以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角
　　求丁丙邊
　　以丙角正比乙角正若乙丁邊與丁丙邊一　　丙角〈三十六度二十五分〉正　五九三六五二　　乙角〈二十四度〉正　四○六七四
　　三　　乙丁邊　　　　五百四十尺
　　四　　丁丙邊　　　　三百六十九尺九寸八
　　分
　　右新増一則亦角在兩邊之中不與邊對與前三角形無異亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁邊先補虛勾虛股以求丙丁邊邊得而丙角之線可比例以求丙角其法詳此新増法竟求丙角而求丙丁邊反在求得丙角之後更簡捷矣其邊總邊較半外角切線與半較角切線補圖明之如左
　　〈甲庚癸為半周子庚為半徑
　　甲壬為乙角度壬辛癸為外角
　　壬辛為半外角子夘為半外角割
　　線壬夘為半外角切
　　線己丑為半較角切
　　線己辛為半較角〉
　　新式三邊求角〈鈍角之三〉
　　假如〈乙丙丁〉鈍角形有乙丙邊〈三百五十尺〉乙丁邊〈六百○七尺〉丁丙邊〈三百尺〉
　　右有邊無角
　　術自乙角作虛垂線至甲又引丁丙線橫出遇於甲而成正方形為乙甲丁勾股形又橫線至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛為兩勾之總丁丙邊為兩勾之較乙丁邊為大形〈乙甲丁〉之乙丙邊為小形〈乙甲辛即乙甲丙〉之兩相併為總相減為較
　　先求勾總
　　此因將求丁角度而三角無度則無線可比唯丙丁句似丁角餘然丁角以乙丁為半徑則乙甲為正而餘應自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之餘故必先求甲丁勾始與丁角餘相等然欲求甲丁勾又必先求勾總以為分形之勾股而後甲丁之勾可比得丁角之餘以查表而得丁角也
　　一　　勾較〈即丁丙邊〉　　　三百尺
　　二　　較〈即乙丁邊減乙丙之餘〉二百三十二尺
　　三　　總〈即乙丁乙丙二邊相併〉　九百八十二尺四　　勾總〈即丁辛〉　　七百五十九尺四寸以勾較〈三百尺〉減所得勾總〈七百五十九尺四寸〉餘數〈四百五十九尺四寸〉半之得數〈二百二十九尺七寸〉為小形之勾甲丙
　　以甲丙小形之勾加丁丙較〈三百尺〉得數〈五百二十九尺七寸〉為大形之勾甲丁
　　求丁角
　　以乙丁比丁甲勾若半徑與丁角之餘一　　乙丁　　　六百○七尺
　　二　　甲丁勾　　　五百二十九尺七寸
　　三　　半徑　　　　一○○○○○
　　四　　丁角餘　　○八七二六五
　　檢表得丁角二十九度一十四分
　　求丙角〈用乙甲丙小形〉
　　鈍角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此鈍角丙之外角割線
　　以甲丙勾比乙丙若半徑與丙角之割線一　　甲丙勾　　　二百二十九尺七寸二　　乙丙　　　三百七十五尺
　　三　　半徑　　　　一○○○○○
　　四　　丙角割線　　一六三二五六
　　檢表得丙角〈五十二度一十四分〉為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜實即丙角之割線至於求丁角求丙角俱以半徑為三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半徑可勾可股可顧隨所取用耳
　　求乙角
　　併丁丙二角所得度分共〈一百五十七度〉以減半周得餘二十三度為乙角
　　右例鈍角形三邊求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邊為底從鈍角分中長線同鋭角之三
　　補圖　　　　　乙丙丁三角形　乙己為丙角
　　弧度　乙辛為丙外角　丙戊
　　即〈乙丙〉為丙外角割線　乙壬壬
　　辛為外角之丁角乙角
　　乙甲即中長線　乙甲丙即小
　　形勾股　乙甲丁即大形勾股
　　乙丙即虛勾虛股之　戊辛
　　為切線
　　右鈍角用割線宣城梅定九先生新増此式為割線求度分之法蓋割線乃象限中所割各度之線必與切線相遇以為増減割線割於弧內切線切於弧外彼増此減彼減此増如前鈍角之二己辛為半較角其切線即從己之弧外起今外角乙辛即從辛之弧外起此新式之用割線視前法無異也至鈍角之所以用外角者蓋大圜兩分之為半周四分之為象限凡象限止九十度而自一度至四十四度為平度自四十五度至八十九度為髙度其髙度之正線即平度之餘線而髙度之餘線即平度之正線故四十四與四十五同表四十三與四十六同表以至○度○分則與八十九度六十分同表此作八線表者因髙度平度如測望之直景倒景相反而實相通為此省文也今凡鈍角度必過象限之外在八線無半弧之表可查則用外角之線度以減半弧而所餘之度即鈍角所對之弧度明矣此因八線表而立鈍角用外角之法也
　　勾股引䝉卷四