數度衍 (四庫全書本)/卷14

數度衍　卷十四

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十四
　　桐城　方中通撰
　　開三乗方〈少廣之十一〉
　　開三乗方法
　　式積二千○一十五萬一千一百二十一問三乗方一面幾何曰六十七術列實從末位作㸃隔三位一㸃每一㸃為一商也初商六十自乗得三千六百再乗得二十一萬六千為隅法乗初商得一千二百九十六萬減實餘實七百一十九萬一千一百二十一以四乗隅法得八十六萬四千為方法另以初商自乗得三千六百以六乗之得二萬一千六百為上亷又將初商以四乗之得二百四十為下亷次商七自乗得四十九以七乗之
　　得三百四十三為隅法另以次商乗上亷得十五萬一千二百以七乗下亷得一千六百八十再以七乗之得一萬一千七百六十乃並八十六萬四千〈方法〉一十五萬一千二百〈丄亷乗數〉一萬一千七百六十〈下亷乗數〉三百四十三〈隅法〉共一百○二萬七千三百○三為下法乗次商得七百一十九萬一千一百二十一減實盡得方六十七又術列實平方開之四位商得一面四千四百八十九又以此數為實平方開之得一面六十七亦合
　　通曰式內所云以七乗之非次商七也與以四乗以六乗同為應用之率次商七蓋偶合耳
　　通曰三乗方形雖係長立方然亦大平方也今以小平方邊甲乙自乗得甲丁小平方形再乗得丙戊長方形此形內容甲丁
　　形者十也三乗得丙己大平方形此形內容甲丁形者百也丙申邉與甲丁形冪等故甲乙自乗得小平方丙甲自乗得大平方
　　三乗方帶縱諸變
　　一帶縱方亷開三乗法
　　式積一百○五億七千六百○六萬五千六百縱方四百七十三萬○六百四十縱一亷五十一萬一千九百○七縱二亷一千四百○六問方幾何曰一百二十術列實初商一百以乗縱一亷得五千一百一十九萬○
　　七百初商自乗得一萬以乗縱二
　　亷得一千四百○六萬初商自乗
　　再乗得一百萬為隅法乃並縱一
　　亷乗數縱二亷乗數隅法及縱方
　　共七千○九十八萬一千三百四
　　十為下法乗初商得七十億○九
　　千八百一十三萬四千減實餘實
　　三十四億七千七百九十三萬一千六百以二乗縱一亷乗數得一億○二百三十八萬一千四百以三乗縱二亷乗數得四千二百一十八萬以四乗隅法得四百萬並三數共得一億四千八百五十六萬一千四百為方法以初商自乗得一萬以六乗之得六萬又以初商三之得三百乗縱二亷得四十二萬一千八百並六萬及縱一亷得九十九萬三千七百○七為上亷初商四之得四百並縱二亷得一千八百○六為下亷次商二十以乗上亷得一千九百八十七萬四千一百四十以次商自乗得四百乗下亷得七十二萬二千四百又以次商自乗再乗得八千為隅法乃並方法上亷乗數下亷乗數隅法及縱方共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法乗次商得三十四億七千七百九十三萬一千六百減實盡得方一百二十
　　二帶縱亷益積開三乗方法
　　式實四百六十六萬五千六百縱方六十五萬二千三百二十益亷八千六百四十問方幾何曰一百二十術列實初商一百以乗益亷得八十六萬四千並縱方得一百五十一萬六千三百二十為益積之法乗初商得一億五千一百六十三萬二千為益實加入原積共一
　　億五千六百二十九萬七千六百
　　為通實乃以初商自乗再乗得一
　　百萬為隅法乗初商得一億減實
　　餘五千六百二十九萬七千六百
　　為次商之實以二乗益亷乗數得
　　一百七十二萬八千以四乗隅法
　　得四百萬為方法以初商自乗得一萬再以六乗之得六萬為上亷以初商四之得四百為下亷次商二十以乗益亷得十七萬二千八百加入倍亷〈即二乗益亷數〉共一百九十萬○八百又並縱方共二百二十五萬三千一百二十為益積之法乗次商得五千一百○六萬二千四百為益實加入次實共一億○七百三十六萬為通實乃以次商乗上亷得一百二十萬又以次商自乗得四百以乗下亷得十六萬又以次商自乗再乗得八千為隅法乃並方法上亷乗數下亷乗數隅法共五百三十六萬八千為下法乗次商得一億○七百三十六萬減實盡得方一百二十
　　三帶縱方亷減隅翻法開三乗方法
　　式實四百六十六萬五千六百縱方六十五萬二千三百二十縱亷八千六百四十問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得八十六萬四千初商自乗再乗得一百萬為隅法並縱亷乗數縱方共一百五十一萬六千三百二十以減隅法而
　　隅法止一百萬不足減反減並數一百萬餘五十一萬六千三百二十為負積乗初商得五千一百六十三萬二千加入原積共五千六百二十九萬七千六百為次商之實倍縱亷乗數得一百七十二萬八千以四乗隅法得四百萬為方法以初商自乗得一萬再以六乗之得六萬為上亷以初商四之得四百為下亷次商二十以乗縱亷得十七萬二千八百併入倍亷共一百九十萬○八百以次商乗上亷得一百二十萬又以次商自乗得四百乗下亷得十六萬又以次商自乗再乗得八千為隅法乃並方法上亷乗數下亷乗數隅法共五百三十六萬八千為通隅以縱亷共數一百九十萬○八百並縱方得二百五十五萬三千一百二十以減通隅餘二百八十一萬四千八百八十為下法乗次商得五千六百二十九萬七千六百減實盡得方一百二十通曰減法而後益實益實而後減法其餘實一也但開方諸法惟此初商益實次商減實耳
　　四亷隅減縱開三乗方法
　　式實八十五億五千二百五十五萬○四百縱方五千三百四十五萬三千四百四十縱一亷十八萬四千九百六十縱二亷五百七十八隅算二問方幾何曰一百三十六術列實初商一百乗縱一亷得一千八百四十
　　九萬六千為益縱初商自乗
　　得一萬乗縱二亷得五百七
　　十八萬為益隅初商自乗再
　　乗以隅算二乗之得二百萬
　　加益隅共七百七十八萬為
　　減縱以減縱方餘四千五百
　　六十七萬三千四百四十加
　　益縱共六千四百一十六萬九千四百四十為下法乗初商得六十四億一千六百九十四萬四千減實餘二十一億三千五百六十萬○六千四百為次商之實以二乗益縱得三千六百九十九萬二千為益縱方以三乗益隅得一千七百三十四萬為益隅之方以三乗初商得三百再乗縱二亷得十七萬三千四百為益隅之亷以四乗隅法二百萬得八百萬為方法以初商自乗得一萬再以六乗之得六萬又以隅算二乗之得十二萬為上亷以初商四之得四百又以隅算二乗之得八百為下亷次商三十以乗縱一亷得五百五十四萬八千八百併入益縱方共四千二百五十四萬○八百為益縱之亷以次商乗益隅之亷得五百二十萬○二千又以次商自乗得九百乗縱二亷得五十二萬○二百為益隅之隅乃並益隅之方益隅之亷乗數益隅之隅共二千三百○六萬二千二百為次商益隅以次商乗上亷得三百六十萬以次商自乗得九百乗下亷得七十二萬以次商自乗再乗得二萬七千再以隅算二乗之得五萬四千為正隅乃並方法上亷乗數下亷乗數正隅共一千二百三十七萬四千為次商隅法加次商益隅共三千五百四十三萬六千二百為減縱以減縱方餘一千八百○一萬七千二百四十加益縱之亷共六千○五十五萬八千○四十為下法乗次商得十八億一千六百七十四萬一千二百減實餘三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實以二乗五百五十四萬八千八百〈次商乗縱一亷之數〉得一千一百○九萬七千六百併入益縱方共四千八百○八萬九千六百為再益縱方以二乗益隅之亷乗數得一千○四十萬○四千以三乗益隅之隅得一百五十六萬○六百並此二乗數得一千一百九十六萬四千六百再並前益隅之方共二千九百三十萬○四千六百為再益隅之方並初次兩商得一百三十以三乗之得三百九十以乗縱二亷得二十二萬五千四百二十為再益隅之亷以二乗上亷乗數得七百二十萬以三乗下亷乗數得二百一十六萬以四乗正隅得二十一萬六千並此三乗數得九百五十七萬六千再並前方法共一千七百五十七萬六千為再方法並初次兩商得一百三十自乗得一萬六千九百以六乗之得十萬○一千四百以隅算二乗之得二十萬○二千八百為再上亷以初次兩商四之得五百二十以隅算二乗之得一千○四十為再下亷三商六以乗縱一亷得一百一十萬○九千七百六十併入再益縱方共四千九百一十九萬九千三百六十為再益縱之亷以三商乗再益隅之亷得一百三十五萬二千五百二十以三商自乗得三十六以乗縱二亷得二萬○八百○八為再益隅之隅乃並再益隅之方再益隅之亷乗數再益隅之隅共三千○六十七萬七千九百二十八為三商益隅以三商乗再上亷得一百二十一萬六千八百以三商自乗得三十六乗再下亷得三萬七千四百四十以三商自乗再乗得二百一十六再以隅算二乗之得四百三十二為再正隅乃並再方法再上亷乗數再下亷乗數再正隅共一千八百八十三萬○六百七十二為三商隅法加三商益隅共四千九百五十萬○八千六百為減縱以減縱方餘三百九十四萬四千八百四十加再益縱之亷共五千三百一十四萬四千二百為下法乗三商得三億一千八百八十六萬五千二百減實盡得方一百二十
　　五帶縱負隅以二亷隅益積開三乗方法
　　式實三百億○六千七百五十六萬縱方一億○二十二萬五千二百縱一亷三十四萬六千八百縱二亷五
　　百七十八隅算二問方幾
　　何曰二百五十五術列實
　　初商二百乗縱一亷得六
　　千九百三十六萬為益縱
　　初商自乗得四萬以乗縱
　　二亷得二千三百一十二
　　萬為益隅初商自乗再乗
　　得八百萬以隅算二乗之得一千六百萬為正隅併入益隅共三千九百一十二萬又以初商乗之得七十八億二千四百萬為益實加入原積得三百七十八億九千一百五十六萬為通實以益縱加入縱方共一億六千九百五十八萬五千二百為下法乗初商得三百三十九億一千七百○四萬減實餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實以二乗益縱得一億三千八百七十二萬為益縱方以三乗益隅得六千九百三十六萬為益隅之方以三乗初商得六百乗縱二亷得三十四萬六千八百為益隅之亷以四乗正隅得六千四百萬為方法以初商自乗得四萬又以六乗之得二十四萬又以隅算二乗之得四十八萬為上亷以初商四之得八百以隅算二乗之得一千六百為下亷次商五十以乗縱一亷得一千七百三十四萬為益縱亷併入益縱方共一億五千六百○六萬為益縱以次商乗益隅之亷得一千七百三十四萬以次商自乗得二千五百乗縱二亷得一百四十四萬五千為益隅之隅乃並益隅之方益隅之亷乗數益隅之隅共八千八百一十四萬五千為益隅以次商乗上亷得二千四百萬以次商自乗得二千五百乗下亷得四百萬以次商自乗再乗得十二萬五千以隅算二乗之得二十五萬為隅法乃並方法上下亷各乗數隅法共九千二百二十五萬為正隅加益隅共一億八千○三十九萬五千以次商乗之得九十億○一千九百七十五萬為益實加入餘實共一百二十九億九千四百二十七萬為通實以益縱方一億五千六百○六萬並縱方得二億五千六百二十八萬五千二百為下法乗次商得一百二十八億一千四百二十六萬減實餘一億八千○一萬為三商之實以二乗益縱亷得三千四百六十八萬併入益縱方得一億七千三百四十萬為再益縱方以二乗益隅之亷乗數得三千四百六十八萬以三乗益隅之隅得四百三十三萬五千以前益隅之方合此二數共一億○八百三十七萬五千為再益隅方並初次兩商得二百五十而三之得七百五十乗縱二亷得四十三萬三千五百為再益隅之亷以二乗上亷乗數得四千八百萬以三乗下亷乗數得一千二百萬以四乗隅法得一百萬並此三數及前方法共一億二千五百萬為方法並初次兩商自乗得六萬二千五百而六之得三十七萬五千又以隅算二乗之得七十五萬為上亷並初次兩商而四之得一千以隅算二乗之得二千為下亷三商五以乗縱一亷得一百七十三萬四千為再益縱亷並再益縱方得一億七千五百一十三萬四千為益縱方以三商乗再益隅之亷得二百一十六萬七千五百以三商自乗得二十五乗縱二亷得一萬四千四百五十為再益隅之隅乃並再益隅方再益隅亷乗數再益隅之隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅以三商乗上亷得三百七十五萬以三商自乗得二十五乗下亷得五萬以三商自乗再乗得一百二十五以隅算二乗之得二百五十為隅法乃並本叚方法上下亷乗數隅法共一億二千八百八十萬○二百五十為正隅加本叚益隅共二億三千九百三十五萬七千二百以三商乗之得十一億九千六百七十八萬六千為益實加入餘實得十三億七千六百七十九萬六千為通實以本叚益縱方並縱方得二億七千五百三十五萬九千二百為下法乗三商得十三億七千六百七十九萬六千減實盡得方二百五十五
　　通曰此以縱一亷益縱縱二亷益隅也
　　六帶縱負隅以二亷減縱開三乗方法
　　式實五十億○一千三百五十萬○四千縱方四千七百萬○一千六百縱一亷四千四百八十縱二亷六百四十隅算二問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱一亷得四十四萬八千為益縱之法初商自乗得一萬乗縱二亷得六百四十萬為減縱之法初商自乗再乗得一百萬乗隅算得二百萬為隅法以減縱之法減縱方餘四千○六十萬○一千六百加益縱之法得四千一百○四萬九千六百並隅法共四千三百○四萬九千六百為下法乗初商得四十三億○四百九十六萬減實餘七億○八百五十四萬四千為次商之實以二乗益縱之法得八十九萬六千為益縱之亷以三乗減縱之法得一千九百二十萬為減縱之方
　　以三乗初商得三百乗縱二亷得十九萬二千為減縱之亷以四乗隅法得八百萬為方法以初商自乗得一萬而六之得六萬又乗隅算得十二萬為上亷以初商四之得四百乗隅算得八百為下亷次商二十以乗縱一亷得八萬九千六百並益縱之亷得九十八萬五千六百為益縱之法以次商乗減縱之亷得三百八十四萬以次商自乗得四百乗縱二亷得二十五萬六千以並減縱之方減縱之亷乗數共二千三百二十九萬六千為減縱之法以次商乗上亷得二百四十萬以次商自乗得四百乘下亷得三十二萬以次商自乗再乗得八千乗隅算得一萬六千並方法上下亷乗數共一千○七十三萬六千為隅法以本叚減縱之法減縱方餘二千三百七十萬○五千六百加本叚益縱之法得二千四百六十九萬一千二百並本叚隅法共三千五百四十二萬七千二百為下法乗次商得七億○八百五十四萬四千減實盡得方一百二十
　　通曰如以減縱之法減縱方而縱方數少不足減則以益縱之法並縱方然後減之以其餘數並隅法不更加益縱之法矣
　　七帶縱方亷以二亷減縱開三乗方法
　　式實一十九億五千五百一十一萬九千六百八十縱方二千二百四十七萬二千六百四十縱一亷一十萬○六千九百二十九縱二亷六百五十四問方幾何曰七十二術列實初商七十乗縱一亷得七百四十八萬五千○三十為益縱之實初商自乗得四千九百乗縱二亷得三百二十萬○四千六百為減縱初商
　　自乗再乗得三十四萬三千為隅法以減縱減縱方餘一千九百二十六萬八千○四十加益縱之實得二千六百七十五萬三千○七十並隅法共二千七百○九萬六千○七十為下法乗初商得一十八億九千六百七十二萬四千九百減實餘五千八百三十九萬四千七百八十為次商之實以二乗益縱之實得一千四百九十七萬○六十為益縱之亷以三乗減縱得九百六十一萬三千八百為減縱之方以三乗初商得二百一十乗縱二亷得十三萬七千三百四十為起下減亷以四乗隅法得一百三十七萬二千為方法以初商自乗得四千九百而六之得二萬九千四百為上亷以初商四之得二百八十為下亷次商二以乗縱一亷得二十一萬三千八百五十八並益縱之亷得一千五百一十八萬三千九百一十八為益縱之實以次商乗起下減亷得二十七萬四千六百八十為減縱之亷以次商自乗得四乗縱二亷得二千六百一十六以並減縱之方減縱之亷共九百八十九萬一千○九十六為減縱之實以次商乗上亷得五萬八千八百以次商自乗得四乗下亷得一千一百二十以次商自乗再乗得八為正隅以並方法上下亷乗數共一百四十三萬一千九百二十八為隅法以本叚減縱之實減縱方餘一千二百五十八萬一千五百四十四加本叚益縱之實共二千七百七十六萬五千四百六十二並本叚隅法共二千九百一十九萬七千三百九十為下法乗次商得五千八百三十九萬四千七百八十減實盡得方七十二廣諸乗方〈少廣之十二〉
　　開諸乗方説
　　凡積數若千以平面開之適得自乗之數者為開平方其立方乃開平再乘積也三乘方長立方也〈如以二自乗起者得兩立方以三自乗起者得三立方之類但以平方一邊之數為凖〉四乗方平靣立方也〈如長立方得兩方數則進作四立方如長立方得三方數則進作九立方〉五乗方大立方也〈如係二自乗起者有四立方則進並十六方為大方如係五自乗起者有二十五立方則進並一百二十五立方之類〉自此推之六乗方視三乘形七乘方視四乗形八乗方視五乘形餘乘倣此可至無窮今立捷法由平面至諸乗總一條理先以諸乗原委布圖乗母為原乗出之子為開
　　初商尋原圖
　　凡開方列位以㸃分叚者平方每二位㸃作一叚再乗方每三位一叚三乗方每四位一叚倣此推之至九乗則十位一叚
　　矣皆自尾小數起而先以最大數
　　之首叚撿上圖以尋其原即以原
　　數開之
　　如平方開者首數係四十九平
　　行橫查知七是原數用七自乗可
　　開若首叚數係六十四者即知八
　　是原數用八自乗可開若係六十
　　三者不及六十四一數仍以七開
　　之如再乗方開者首係二十七查知其原係三即以三自乗再乘開之若首叚係六十四者即知四是原數用四自乘再乗開之若係六十三仍以三開之如三乗方者首係八十一即知三是原數用三自乗再乗三乗開之
　　通曰商還原而如其積積還原而如其商也



　　如四乗方者首叚係一千○二十四即知四是原數如五乗方者首係一萬五千六百二十五即知五是原數




　　如六乘方者首叚係二十七萬九千九百三十六即知六是原數如七乗方者首叚係五百七十六萬四千八百○一即知七是原數雖千萬乗方其原皆可得也原數即初商也
　　次商用通率圖
　　右圖已得首位方法餘實倍方為亷平方者一倍再乗方者再倍三乗方者三倍四乗以上皆以本乗之數倣此倍之別立通率凡平方只一率為二○立方有二率為三○○為三○三乗方有三率為四○○○為六○○為四○〈一○為十両○為百〉自此以上諸乗倣此漸加而皆如後圖所推乃以方法之數乘之以乗出之數較餘實約得幾何母之幾何而即以其母為亷法也以首行所列之二為平方三為立方四為三乗方至十七則十
　　六乗方也他乗
　　倣此
　　首行之數自一
　　順列二行之數
　　承首行上格二
　　數積之如首行
　　三格是三二行
　　三格亦是三相
　　並得六故二行
　　之四格為六也
　　又如首行四格
　　是四二行四格
　　是六相併得一
　　十故二行之五
　　格為一○也三
　　行以至九行皆
　　然

　　三乗之四係
　　廻用
　　四乗之五五
　　乗之六與一
　　五皆廻用
　　六乗廻用二
　　位七乗廻用
　　三位

　　如前平方一乗者用一率曰二乃加一○為二○與方法相乗立方再乗者用兩率曰三曰三乃以右小數加一○為三○左大數加兩○為三○○而以三百乗方法其三乗方者用三率曰四曰六止兩數則又廻用右方之四為一率以補之曰四六四先以末位四加一○為四○次以六加兩○為六○○再以首位四加三○為四○○○乃以四千乗方法四乗方者廻用首行之五補足四率曰五曰一十曰一十曰五然後加○如右圖五乗方者廻用首行之六及二行之一十五補足五率也
　　通曰凡補一位者止廻用首行之數補二位者則兼用二行之數補三位者則兼用三行之數也其加○之法每一位加一○毋論其數之原有○無○與夫原數之為零為幾十幾也
　　諸式
　　一乗方式〈即平方〉術實六百七十六萬五千二百○一初商二為方法以求亷法立二○為通率列中位列方法於左位以相乗得四十以較餘實之首二七約得六之一〈二二七六作二百七十六是二百七十內有六回四十也〉乃立六為亷法列於右位自乗得三十六為隅法附列乃以亷法六乗四十得二百四十並隅法三十六共二百七十六盡第二叚餘實五二○一併亷入方為二
　　十六列左乗通率二十得五百二十以較餘實得一又以一為亷法列右自乗仍是一為隅法共五二一而實不足減乃作五千二百○一盡第四叚商得二六○一也
　　又式　術若已得亷法而以乗通率反浮餘實或亷法相合而隅法又浮餘實者皆減其亷法以乗之如實二百八十九初商一除實餘實一百八十九次商以方法乗通率得二○以較餘實可用九除實一百八十而隅法八十一則浮原積是九不可用矣減一數用八仍不足除乃用七為亷法乗得一四除實一百四十尚餘四十九足除隅法故商得一十七也
　　再乘方式〈即立方〉術實二十三萬八千三百二十八尋原母六自乘再乘得二一六除實餘二萬二千三百二十
　　八以六為方法求亷法用二率曰三
　　十曰三百自下而上疊位以方六對
　　三○以方六自乘得三六對三○○
　　各列於左初乗以三六乗三○○得
　　一萬○八百以視餘實約得二之一乃立二為亷以對三○○復以亷二自乗得四又以二四相乗得八為隅皆列右以亷二乗一萬○八百得二萬一千六百再乗以六乗三○得一百八十又以四乗之得七百二十並初乗數及隅八共二萬二千三百二十八減實盡商得六十二也
　　又式　術若初商方法只係一數者通率無乗須並諸率除之如實一千三百三十一初商以一為方法除浄首實一千次並中位兩通率一除可淨即以一為亷法對通率三百亷
　　自乗仍得一對通率三十再乗仍得一為隅附列共並得三百三十一〈兩率一隅〉除實盡商得一十一也
　　通曰凡以一為方法者皆可以諸位通率並之以求也三乘方式　術實一千四百七十七萬六千三百三十
　　六尋原母六自乗再乗三乗得一
　　二九六除實餘一百八十一萬六
　　千三百三十六以六為方法求亷
　　用通率三位曰四十曰六百曰四
　　千方六自乗得三六再乗得二一
　　六自下而上對列初乗以二百一十六乗四千得八十六萬四千較餘實約二之一以二為亷自乗得四再乗得八三乗得十六自上而下對列乃以二乗八十六萬四千得一百七十二萬八千再乘以三十六乗六百得二萬一千六百以四乗得八萬六千四百三乗以六乗四十得二百四十以八乗得一千九百二十乃並三數及隅十六共合餘實商得六十二
　　四乗方式　術實九億一千六百一十三萬二千八百三十二尋原母六自乗至四乗得七七七六除實餘一億三千八百五十三萬二千八百三十二求亷用四位通率曰五十曰一千曰一萬曰五萬以方法六自乗得三十六再乗得二百一十六三乗得一千二百九十六自下而上對列初乘以一千二百九十六乗五萬得六
　　千四百八十萬以較餘實約得
　　二之一以二為亷自乗得四再
　　乗得八三乗得十六自上而下
　　對列又四乗得三十二為隅乃
　　以二乗六千四百八十萬得一
　　億二千九百六十萬次乗二百
　　一十六乗一萬得二百一十六萬以四乗得八百六十四萬三乘三十六乗一千得三萬六千以八乗得二十八萬八千四乗六乘五十得三百以十六乗得四千八百乃並四次乘數及隅共合餘實商六十二
　　五乗方式　術實五百六十八億○二十三萬五千五
　　百八十四尋原母六以其五
　　乗數除實餘一百○一億四
　　千四百二十三萬五千五百
　　八十四求亷用五位通率曰
　　六十曰一千五百曰二萬曰
　　一十五萬曰六十萬以方六
　　自乗再乗三乘四乘自下而
　　上對列初乘左首位乘中首位得四十六億六千五百六十萬以較餘實約得二之一以二為亷自乗再乗三乗四乗自上而下對列又五乗得六十四為隅乃以右首位乗所得較數得九十三億三千一百二十萬次乗左次位乗中次位又以右次位乗之得七億七千七百六十萬三乗左三位乗中三位又以右三位乗之得三千四百五十六萬四乗左四位乗中四位又以右四位乗之得八十六萬四千五乗左末位乗中末位又以右末位乗之得一萬一千五百二十並五次乗數及隅共合餘實商得六十二
　　六乗方式　術實三萬五千二百一十六億一千四百六十萬六千二百○八尋原母六以其六乗數除實餘七千二百二十二億五千四百六十萬○六千二百○八求亷用六位通率曰七十曰二千一百曰三萬五千曰三十五萬曰二百一十萬曰七百萬以方六自乗再乗三乗四乗五乗自下而上對列初乗左首位乘中首位得三千二百六十五億九千二百萬以較餘實約得二之一以二為廉自乘再乘三乘四乘五乗自上而下對列又
　　六乗得一百二十八為隅
　　乃以右首位乗所得較數
　　得六千五百三十一億八
　　千四百萬次乗左次位乗
　　中次位又乗右次位得六
　　百五十三億一千八百四
　　十萬三乗左三位乗中三
　　位又乗右三位得三十六
　　億二千八百八十萬四乘左四位乗中四位又乗右四位得一億二千○九十六萬五乗左五位乗中五位又乗右五位得二百四十一萬九千二百六乘左六位乗中六位又乗右六位得二十六萬八千八百並六次乗數及隅共合餘實商得六十二
　　七乗方式　術實四兆五千九百四十九萬七千二百九十八億六千三百五十七萬二千一百六十一尋原母一除實一兆餘實求亷用七位通率曰八十曰二千八百曰五萬六千曰七十萬曰五百六十萬曰二千八百萬曰八千萬方法一數無乗當並通率諸位以較餘
　　實而惟首次兩數同為
　　大數其餘小數不足為
　　多寡且從省只並首次
　　兩率開之並得一億○
　　八百萬以較餘實約可
　　用三然自乗之九乗中
　　次位其數浮當減用二
　　為亷自乗再乗三乗四
　　乗五乗六乗自上而下
　　對列又七乗得二百五十六為隅初乗右首位乗中首位得一億六千萬次乗右二位乗中二位得一億一千二百萬三乗右三位乗中三位得四千四百八十萬四乘右四位乗中四位得一千一百二十萬五乘右五位乗中五位得一百七十九萬二千六乘右六位乗中六位得一十七萬九千二百七乗右七位乗中末位得一萬○三百六十八乃並七次乗數及隅共三億二千九百九十八萬一千六百九十六以除餘實尚餘實二千九百五十一萬五千六百○二億六千三百五十七萬
　　二千一百六十一〈乗得三億從三兆除
　　起〉再商自首至尾以一叚開
　　之乃並亷入方共一十二自
　　乗再乗三乗四乗五乗六乗
　　自下而上對列於左初乗左
　　首位乗中首位得二千八百
　　六十六萬五千四百四十六
　　億四千萬以較餘實只可用
　　一以一為亷無乗隅亦是一
　　次乘左次位乗中次位得八十三萬六千○七十五億五千二百萬三乗左三位乗中三位得一萬三千九百三十四億五千九百二十萬四乗左四位乗中四位得一百四十五億一千五百二十萬五乘左五位乗中五位得九千六百七十六萬八千六乘左六位乗中六位得四十萬○三千二百七乗左末位乗中末位得九百六十乃並七次乗數及隅共合餘實商得一百二十一尋原之法平方可求立方之原兼平方立方可求多乗之原若三乗方者以平方開之得數又平方開之即得原矣五乗方者以平方開之得數又立方開之或先開立而後開平即得原矣六乗方者作四乗方開二次即得其原七乗方者作平方開三次即得其原八乗方者作立方開二次即得其原九乗方者先開平而後開四乗或先開四乗而後開平即得其原若十乗方者作四乗方開三次即得其原矣
　　竒零諸乗開方法
　　式　術凡開方諸法以尋原為第一義即竒零中有母數子數俱有原可用者如平方九之四則以三之二為原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方〈七二〉之八亦以三之二為原以三自乗再乗得二十七以二自乗再乗得八也又如三乗方所得〈一八〉之〈六一〉亦以三之二為原以三自乗再乗三乗得八十一以二自乗再乗三乗得一十六也有二數並列子母不同而亦有原數可用者如四之二與九之八並列依對乗法兩母乗得三十六兩子乗得一十六是為〈六三〉之〈六一〉其平方之原為九之四以四九三十六四四一十六可用四為紐數者也有以全數帶竒零而亦有原可尋者如有全數二又〈七二〉之〈○一〉依化法化得〈七二〉之〈四六〉尋其立方之原為三之四以三再乗為二十七四再乗為六十四歸整得一又三之一也凡有原可尋則可開無原可尋則不可開必命分之母與得分之子各有原則可開若一有原一無原則不可開也尋原之術數之多者約之以至於寡如〈五四〉之〈○二〉約之為九之四其開平方之原即是三之二也如〈一八〉之〈四二〉約之為〈七二〉之八其開立方之原即是三之二也他一有原一無原者如九之六九有原六無原又如〈○二〉之〈一二〉則命分數與得分數俱無原皆不可開矣然數窮則變變則通不可開者又立法以開之如無原有數之最相近者可藉以為原即以本數析之又析而相近之原可得也析之之法多取進位平方或析一為十為百立方或析一為百為千數彌多者求彌宻其原亦彌近也彌近之數或稍多於所求或稍約於所求而皆可以為原者也如以五數為開平方是為無原而任借〈○一〉為之原以一十自乗得一百以五乗得　雖〈○一〉不為　之原乃其原之最近者有兩數其一為　以〈二二〉為原〈二十二自乗得四百八十四也〉此近而朒者其一為　以〈三二〉為原〈二十三自乗得五百二十九也〉此近而盈者何也試以所借〈○一〉為命分之母以〈二二〉為得分之子以〈○一〉之〈二二〉自乗〈此係整二又帶零一十之二〉所得　之內除四百為四整數餘〈四八〉為　之〈四八〉夫以四零　之
　　〈四八〉視二零〈○一〉之二猶五百與二十二之比例也試以所借〈○一〉為母以〈三二〉為子以〈○一〉之〈三二〉自乗〈此係整二又零一十之三〉得之　內除五百為五整數餘〈九二〉為　之〈九二〉夫以五零之〈九二〉視二零〈○一〉之三猶五百與二十三之比例也故五可以借一十也如以九數為開立方亦為無原而任借〈○一〉為　之原以九乗得　雖九千不以一十為原而其近原者亦有兩數一為　以〈○二〉為原此近而朒者一為以〈一二〉為原此近而盈者何也試以〈○一〉為母〈○一〉之〈○二〉係
　　整二數自乗再乗即得〈○一〉之八試以〈○一〉為母〈○一〉之〈一二〉係整二數零一十之一自乗再乗即得九零　之　也〈母一十自乗再乗得一千子整二化二十併入一為二十一自乘再乗得九千二百六十一以九千歸整得整九餘為一千之二百六十一也〉故〈○一〉可以為九借也如以〈○四〉數為四乗方亦為無原任借〈○一〉自乘至四乗得一十萬以一十乗之得四百萬用前法推衍其原之近者一為〈○二〉一為〈一二〉何也以〈○一〉為〈○二〉之母則〈○一〉之〈○二〉係整二數自乗至四乗為〈○一〉之〈二三〉以視〈○四〉近而朒以〈○一〉為〈一二〉之母則〈○一〉之〈一二〉係整二數零一十之一自乗再乗〈化整數並子法如前母四乗得一十萬子自乗再乗得九千二百六十一〉三乗四乗得整四十數零一十萬之八萬四千二百○一〈二十一以三乘得一十九萬四千四百八十一以四乗得四百○八萬四千二百○一內以四百萬還原得整四十數其零為八四二○一也〉以視〈○四〉近而盈故〈○一〉可以為四十借也









　　數度衍卷十四