GB 3102.11-1993 物理科學和技術中使用的數學符號

中華人民共和國國家標準
物理科學和技術中使用的數學符號
Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology
GB 3102.11-1993
1993年12月

本作品收錄於《GB 3102 量和單位》

替代 GB 3102.11-1986，1994年7月1日起實施

引言

本標準等效採用國際標準 ISO 31-11:1992《量和單位　第十一部分：物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》。

本標準是目前已經制定的有關量和單位的一系列國家標準之一，這一系列國家標準是：

GB 3100　國際單位制及其應用；

GB 3101　有關量、單位和符號的一般原則；

GB 3102.1　空間和時間的量和單位；

GB 3102.2　周期及其有關現象的量和單位；

GB 3102.3　力學的量和單位；

GB 3102.4　熱學的量和單位；

GB 3102.5　電學和磁學的量和單位；

GB 3102.6　光及有關電磁輻射的量和單位；

GB 3102.7　聲學的量和單位；

GB 3102.8　物理化學和分子物理學的量和單位；

GB 3102.9　原子物理學和核物理學的量和單位；

GB 3102.10　核反應和電離輻射的量和單位；

GB 3102.11　物理科學和技術中使用的數學符號；

GB 3102.12　特徵數；

GB 3102.13　固體物理學的量和單位。

上述國家標準貫徹了《中華人民共和國計量法》、《中華人民共和國標準化法》、國務院於 1984 年 2 月 27 日公布的《關於在我國統一實行法定計量單位的命令》和《中華人民共和國法定計量單位》。

本標準的特殊說明：

變量（例如 𝑥, 𝑦 等）、變動附標（例如 ∑_𝑖𝑥_𝑖 中的 𝑖）及函數（例如 𝑓, 𝑔 等）用斜體字母表示。點 𝐴、線段 𝐴𝐵 及 弧 𝐶𝐷 用斜體字母表示。在特定場合中視為常數的參數（例如 𝑎, 𝑏 等）也用斜體字母表示。

有定義的已知函數（例如 sin，exp，ln，Γ 等）用正體字母表示。其值不變的數學常數（例如 e = 2.718 281 8…，π = 3.141 592 6…，i² = −1 等）用正體字母表示。已定義的算子（例如 div，δ𝑥 中的 δ 及 d𝑓/d𝑥 中的 d）也用正體字母表示。

數字表中數（例如 351 204，1.32，7/8）的表示用正體。

函數的自變量寫在函數符號後的圓括號中，且函數符號與圓括號之間不留空隙，例如 𝑓(𝑥), cos(𝜔𝑡 + 𝜑)。如果函數的符號由兩個或更多的字母組成且自變量不含 +, −, ×, ⋅ 或 / 等運算時，括於自變量的圓括號可以省略，這時在函數與自變量符號之間應留一空隙，例如 ent 2.4，sin 𝜔𝑡，arcosh 2𝐴，Ei 𝑥

為了避免混淆，常採用圓括號。例如不應將 cos(𝑥) + 𝑦 或 (cos 𝑥) + 𝑦 寫成 cos 𝑥 + 𝑦 ，因為後者可能被誤解為 cos (𝑥 + 𝑦)。

當一個表示式或方程式需斷開、用兩行或多行來表示時，最好在緊靠其中符號 =, +, −, ±, ∓, ×, ⋅ 或 / 後斷開，而在下一行開頭不應重複這一符號。

用來表示某確定物理量的標量、矢量和張量與坐標系的選擇無關，儘管矢量或張量的分量與坐標系的選擇有關。

對「矢量 𝒂 的分量」即 𝑎_𝑥, 𝑎_𝑦 和 𝑎_𝑧 與「𝒂 的分矢量」即 𝑎_𝑥𝒆_𝑥, 𝑎_𝑦𝒆_y 和 𝑎_𝑧𝒆_𝑧 加以區別是重要的。

徑矢量的笛卡兒分量等同於徑矢量端點的笛卡兒坐標。

物理量中的矢量可寫成數值矢量與單位相乘的形式，

例：

分量 𝐹𝑥

│

數值矢量

╭┴╮

╭─┴─╮

𝑭

=

(

3

N

,

−2

N,

5

N

) =

(

3, −2, 5)

N

╱

╲

│

數值

單位

單位

這裡的單位 N 為標量，同樣的辦法也適用於二階和高階張量。

本標準的主要內容以表格形式列出。

如果在表格的同一項號中所給出的數學符號或表示式多於一個時，它們應是等同的。但在列出的順序中，總是將常用的數學符號、相應的名稱或表示式靠前列出。

在本表格備註一欄中給出的是符號的使用說明和應用示例。

在本標準中，將國際標準 ISO 31-11:1992《量和單位　第十一部分：物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》稱為 [1]，將原國家標準 GB 789-65《數學符號（試行草案）》稱為 [2]。

正文

1　主題內容與適用範圍

標準規定了物理科學和技術中使用的數學符號的含義、讀法和應用。

本標準規定物理科學、工程技術和有關的教學中一般常用的數學符號；過於專門的數學符號未列入。

2.1　幾何符號^[1]

項號	符號	意義或讀法	備註及示例
11-1.1	𝐴̅𝐵̅, 𝐴𝐵	［直］[2]線段 the line segment 𝐴𝐵	用 |𝐴𝐵|，𝐴𝐵 或小寫的拉丁字母表示該直線段的長。 矢量的表示參閱 11-12.1
11-1.2	∠	［平面］角 plane angle	參閱 GB 3102.1 的 1-1 及 1-1.a～1-1.d
11-1.3	𝐴𝐵⌒	弧 𝐴𝐵 the arc 𝐴𝐵	當 𝐴𝐵⌒ 為圓弧時，可用 𝐴𝐵⌒° 表示圓弧 𝐴𝐵［對應］的度數
11-1.4	π	圓周率 ratio of the circumference of 𝑎 circle to its diameter	圓周長與直徑的比，π = 3.141 592 6 ⋯
11-1.5	△	三角形 triangle
11-1.6	▱	平行四邊形 parallelogram
11-1.7	⊙	圓 circle
11-1.8	⟂	垂直 is perpendicular to
11-1.9	∥, ‖	平行 is parallel to	⋕ 用於表示平行且相等
11-1.10	∽	相似 is similar to
11-1.11	≌	全等 is congruent to

1. 幾何符號取材於［2］。
2. 行文中方括號內的文字表示可以略去或不讀，下同。
   

2.2　集合論符號

項號	符號	應用	意義或讀法	備註及示例
11-2.1	∈	𝑥 ∈ 𝐴	𝑥 屬於 𝐴；𝑥 是集合 𝐴 的一個元［素］ 𝑥 belongs to 𝐴; 𝑥 is an element of the set 𝐴	集合 𝐴 可簡稱為集 𝐴
11-2.2	∉	𝑦 ∉ 𝐴	𝑦 不屬於 𝐴；𝑦 不是集合 𝐴 的一個元［素］ 𝑦 does not belong to 𝐴; 𝑦 is not an element of the set 𝐴	也可用 也可用 ∈ ⃒ 或 ⋶
11-2.3	∋	𝐴 ∋ 𝑥	集 𝐴 包含［元］𝑥 the set 𝐴 contains 𝑥 (as element)
11-2.4	∋̷	𝐴 ∋̷ 𝑦	集 𝐴 不包含［元］𝑦 the set 𝐴 does not contain 𝑦 (as element)	也可用 ∋⃒ 或 ⋽
11-2.5	{,⋯,}	{𝑥₁, 𝑥₂, ⋯, 𝑥𝑛}	諸元素 𝑥₁, 𝑥₂, ⋯, 𝑥𝑛 構成的集 set with elements 𝑥₁, 𝑥₂, ⋯, 𝑥𝑛	也可用 {𝑥𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼}，這裡的 𝐼 表示指標集
11-2.6	{ | }	{𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑝(𝑥)}	使命題 𝑝(𝑥) 為真的 𝐴 中諸元［素］之集 set of those elements of 𝐴 for which the proposition 𝑝(𝑥) is true	例：{𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 ≤ 5} ，如果從前後關係來看，集 𝐴 已很明確，則可使用 {𝑥 | 𝑝(𝑥)} 來表示，例如： {𝑥 | 𝑥 ≤ 5} {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑝(𝑥)} 有時也可寫成 {𝑥 ∈ 𝐴 : 𝑝(𝑥)} 或 {𝑥 ∈ 𝐴; 𝑝(𝑥)}
11-2.7	card	card(𝐴)	𝐴 中諸元素的數目； 𝐴 的勢(或基數） number of elements in cardinac of 𝐴
11-2.8	∅		空集 the empty set
11-2.9	ℕ, 𝐍		非負整數集；自然數集 the set of positive integers and zero; the set of naturac numbers	ℕ = {0,1,2,3,⋯} 自 11-2.9 至 11-2.13 集內排除 0 的集，應上標星號或下標 + 號，例如，或 ℕ* 或 ℕ₊； ℕ𝑘 = {0,1,⋯,𝑘 − 1}
11-2.10	ℤ, 𝐙		整數集 the set of integers	ℤ = {⋯,−2,−1,0,1,2,⋯} 參閱 11-2.9 的備註
11-2.11	ℚ, 𝐐		有理數集 the set of rationac numbers	參閱 11-2.9 的備註
11-2.12	ℝ, 𝐑		實數集 the set of reac numbers	參閱 11-2.9 的備註
11-2.13	ℂ, 𝐂		複數集 the set of complex numbers	參閱 11-2.9 的備註
11-2.14	[ , ]	[𝑎, 𝑏]	ℝ 中由 𝑎 到 𝑏 的閉區間 closed intervac in ℝ from 𝑎 (included) to 𝑏 (included)	[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
11-2.15	] , ] ( , ]	]𝑎, 𝑏]	ℝ 中由 𝑎 到 𝑏（含於內）的左半開區間 left hacf-open intervac in ℝ from 𝑎 (excluded) to 𝑏 (included)	]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
11-2.16	[, [ [, )	[𝑎, 𝑏[ [𝑎, 𝑏)	ℝ 中由 𝑎（含於內）到 𝑏 的右半開區間 right hacf-open intervac in ℝ from 𝑎 (included) to 𝑏 (excluded)	[𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
11-2.17	] , [	]𝑎, 𝑏[ (𝑎, 𝑏)	ℝ 中由 𝑎 到 𝑏 的開區間 open intervac in Iℝ from 𝑎 (excluded) to 𝑏 (excluded)	]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
11-2.18	⊆	𝐵 ⊆ 𝐴	𝐵 含於 𝐴；𝐵 是 𝐴 的子集 𝐵 is included in 𝐴; 𝐵 is a subset of 𝐴	𝐵 的每一元均屬於 𝐴,也可以用 ⊂
11-2.19	⊊	𝐵 ⊊ 𝐴	𝐵 真包含於 𝐴；𝐵 是 𝐴 的真子集 𝐵 is properly included in 𝐴; 𝐵 is a proper subset of 𝐴	𝐵 的每一元均屬於 𝐴，但 𝐵 不等於 𝐴
11-2.20	⊈	𝐶 ⊈ 𝐴	𝐶 不包含於𝐴; 𝐶 不是𝐴的子集 𝐶 is not included in 𝐴; 𝐶 is not a subset of 𝐴	也可用 ⊄
11-2.21	⊇	𝐴 ⊇ 𝐵	𝐴 包含 𝐵［作為子集］ 𝐴 includes 𝐵 (as subset)	𝐴 包含了 𝐵 的每一元，也可用 ⊃ 𝐴 ⊇ 𝐵 與 𝐵 ⊆ 𝐴 的含義相同
11-2.22	⊋	𝐴 ⊋ 𝐵	𝐴 真包含 𝐵 𝐴 includes 𝐵 properly	𝐴 包含了 𝐵 的每一元，但 𝐴 不等於 𝐵。 𝐴 ⊋ 𝐵 與 𝐵 ⊈ 𝐴 的含義相同
11-2.23	⊉	𝐴 ⊉ 𝐶	𝐴 不包含 𝐶［作為子集］ 𝐴 does not include 𝐶 (as subset)	也可用 ⊅。 𝐴 ⊉ 𝐶 與 𝐶 ⊈ 𝐴 的含義相同
11-2.24	∪	𝐴 ∪ 𝐵	𝐴 與 𝐵 的併集 union of 𝐴 and 𝐵	屬於 𝐴 或屬於 𝐵 或屬於兩者的所有元的集。 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 參閱 11-3.2
11-2.25	⋃	𝑛 ⋃ 𝑖 = 1	諸集 𝐴₁, ⋯, 𝐴𝑛 的併集 union of 𝑎 collection of sets 𝐴₁, ⋯, 𝐴𝑛	𝑛 ⋃ 𝑖 = 1 = 𝐴₁ ∪ 𝐴₂ ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 至少屬於諸集 𝐴₁, ⋯, 𝐴𝑛 之一的所有元的集。 也可用 ⋃𝑛 𝑖 = 1,   ⋃ 𝑖 ∈ 𝐼 與 ⋃  𝑖 ∈ 𝐼 其中 𝐼 表示指標集
11-2.26	∩	𝐴 ∩ 𝐵	𝐴 與 𝐵 的交集 intersection of 𝐴 and 𝐵	所有既屬於 𝐴 又屬於 𝐵 的元的集。 𝐴 ∩ 𝐵={𝑥|𝑥 ∈ 𝐴∧𝑥 ∈ 𝐵} 參閱 11-3.1
11-2.27	⋂	𝐴𝑖 ⋂ 𝑛	諸集 𝐴₁, ⋯, 𝐴𝑛 的交集 intersection of 𝑎 collection of sets 𝐴₁, ⋯, 𝐴	𝑛 ⋂ 𝑖 = 1𝐴𝑖 = 𝐴₁ ∩ 𝐴₂ ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 共屬於諸集 𝐴₁, ⋯, 𝐴𝑛 的所有元的集。 也可用 ⋂𝑛 𝑖 = 1,   ⋂ 𝑖 ∈ 𝐼 與 ⋂  𝑖 ∈ 𝐼 其中 𝐼 表示指標集
11-2.28	∖	𝐴∖ 𝐵	𝐴 與 𝐵 之差；𝐴 減 𝐵 difference of 𝐴 and 𝐵; 𝐴 minus 𝐵	所有屬於 𝐴 但不屬於 𝐵 的元的集。 𝐴∖ B = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} 不用 𝐴 − 𝐵
11-2.29	∁	∁𝐴𝐵	𝐴 中子集 𝐵 的補集或余集 complement of subset 𝐵 of 𝐴	𝐴 中不屬於子集 𝐵 的所有元的集。 ∁𝐴𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} 如果行文中集 𝐴 已很明確，則常可省去符號 𝐴。 也可寫成 ∁𝐴𝐵 = 𝐴∖ 𝐵
11-2.30	( , )	(𝑎, 𝑏)	有序偶 𝑎, 𝑏；偶 𝑎, 𝑏 ordered pair 𝑎, 𝑏; couple 𝑎, 𝑏	(𝑎, 𝑏) = (𝑐,𝑑) 當且僅當 𝑎 = 𝑐 及 𝑏 = 𝑑 不與其他符號混淆時，也可用 〈𝑎, 𝑏〉
11-2.31	( ,⋯, )	(𝑎₁,𝑎₂,⋯,𝑎𝑛)	有序 𝑛 元組 ordered 𝑛-tuplet	也可用 〈𝑎₁,𝑎₂,⋯,𝑎𝑛〉
11-2.32	×	𝐴 × 𝐵	𝐴 與 𝐵 的笛卡兒積 cartesian product of 𝐴 and 𝐵	所有由 𝑎 ∈ 𝐴 與 𝑏 ∈ 𝐵 作成的有序偶 (𝑎, 𝑏) 的集。 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴∧𝑏 ∈ 𝐵} 𝐴×𝐴×⋯×𝐴 記成𝐴𝑛，其中 𝑛 為乘積中的因子數
11-2.33	Δ	Δ𝐴	𝐴 × 𝐴 中點對 (𝑥, 𝑥) 的集，其中 𝑥 ∈ 𝐴；𝐴 × 𝐴 的對角集 set of pairs (𝑥, 𝑥) of 𝐴 × 𝐴, where 𝑥 ∈ 𝐴; diagonac of the set 𝐴 × 𝐴	Δ𝐴 = {(𝑥, 𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐴} 也可用 id𝐴

2.3　數理邏輯符號

項號	符號	應用	符號名稱	意義、讀法及備註
11-3.1	∧	𝑝 ∧ 𝑞	合取符號 conjunction sign	𝑝 和 𝑞
11-3.2	∨	𝑝∨ 𝑞	析取符號 disjunction sign	𝑝 或 𝑞
11-3.3	¬	¬ 𝑝	否定符號 negation sign	𝑝 的否定；不是 𝑝；非 𝑝
11-3.4	⇒	𝑝 ⇒ 𝑞	推斷符號 implication sign	若 𝑝 則 𝑞；𝑝 蘊含 𝑞 也可寫為 𝑞⇐𝑝 有時也用→
11-3.5	⇔	𝑝 ⇔ 𝑞	等價符號 equivacence sign	𝑝 ⇒ 𝑞 且 𝑞 ⇒ 𝑝；𝑝 等價於 𝑞 有時也用 ↔
11-3.6	∀	∀ 𝑥 ∈ 𝐴　𝑝(𝑥) (∀ 𝑥 ∈ 𝐴)　𝑝(𝑥)	全稱量詞 universac quantifier	命題 𝑝(𝑥) 對於每一個屬於 𝐴 的 𝑥 為真。 當考慮的集合 𝐴 從上下文看很明白時，可用記號 ∀ 𝑥　𝑝(𝑥)
11-3.7	∃	∃ 𝑥 ∈ 𝐴　𝑝(𝑥) (∃ 𝑥 ∈ 𝐴)　𝑝(𝑥)	存在量詞 existentiac quantifier	存在 𝐴 中的元 𝑥 使 𝑝(𝑥) 為真。 當考慮的集合 𝐴 從上下文看很明白時，可用記號 ∃ 𝑥　𝑝(𝑥)。 ∃! 或 ∃¹ 用來表示存在一個且只有一個元素使 𝑝(𝑥) 為真

2.4　雜類符號

項號	符號	應用	意義或讀法	備註及示例
11-4.1	＝	𝑎 ＝ 𝑏	𝑎 等於 𝑏 𝑎 is equal to 𝑏	≡ 用來強調這一等式是數學上的恆等［式］
11-4.2	≠	𝑎 ≠ 𝑏	𝑎 不等於 𝑏 𝑎 is not equal to 𝑏
11-4.3	≝	𝑎 ≝ 𝑏	按定義 𝑎 等於𝑏 或 𝑎 以 𝑏 為定義 𝑎 is definition equal to 𝑏	例：𝑝 ≝ 𝑚𝑣 式中 𝑝 為動量，𝑚 為質量，𝑣 為速度 也可用 ＝d
11-4.4	≘	𝑎 ≘ 𝑏	𝑎 相當於𝑏 𝑎 corresponds to 𝑏	例如在地圖上當 1 cm 相當於 10 km 長時，可寫成 1 cm ≘ 10 km
11-4.5	≈	𝑎 ≈ 𝑏	𝑎 約等於 𝑏 𝑎 is approximately equal to 𝑏	符號 ≃ 被用於「漸近等於」;參閱 11-6.11
11-4.6	∝	𝑎 ∝ 𝑏	𝑎 與 𝑏 成正比 𝑎 is proportional to 𝑏	在 [1] 中也用 〜
11-4.7	∶	𝑎 ∶ 𝑏	𝑎 比 𝑏 ratio of 𝑎 to 𝑏	選自 [2]
11-4.8	<	𝑎 < 𝑏	𝑎 小於 𝑏 𝑎 is less than 𝑏
11-4.9	>	𝑏 > 𝑎	𝑏 大於 𝑎 𝑏 is greater than 𝑎
11-4.10	⩽	𝑎 ⩽ 𝑏	𝑎 小於或等於 𝑏 𝑎 is less than or equal to 𝑏	不用 ≦
11-4.11	⩾	𝑏 ⩾ 𝑎	𝑏 大於或等於 𝑎 𝑏 is greater than or equal to 𝑎	不用 ≧
11-4.12	≪	𝑎 ≪ 𝑏	𝑎 遠小於 𝑏 𝑎 is much less than 𝑏
11-4.13	≫	𝑏 ≫ 𝑎	𝑏 遠大於 𝑎 𝑏 is much greater than 𝑎
11-4.14	∞		無窮［大］或無限［大］ infinity
11-4.15	～	𝑎 〜 𝑏	數字範圍 the range of numbers	這裡的 𝑎 和 𝑏 為不同的實數，例如 5〜10 表示由 5至10。 選自 [2]
11-4.16	.	13.59	小數點 decimal point	整數和小數之間用處於下方位置的小數點「.」分開。 參閱 GB 3101 的3.3.2
11-4.17	̇ ̇	3.123̇ 82̇	循環小數 circulator	即：3.123 823 82⋯
11-4.18	%	5%〜10%	百分率 percent	〜 前的 % 不應省略
11-4.19	( )		圓括號 parentheses
11-4.20	［ ］		方括號 square brackets
11-4.21	{ }		花括號 braces
11-4.22	⟨ ⟩		角括號 angle brackets
11-4.23	±		正或負 positive or negative
11-4.24	∓		負或正 negative or positive
11-4.25	max		最大 maximum
11-4.26	min		最小 minimum

2.5　運算符號

項號

符號，應用

意義或讀法

備註及示例

11-5.1

𝑎 + 𝑏

𝑎 加 𝑏
𝑎 plus 𝑏

11-5.2

𝑎 − 𝑏

𝑎 減 𝑏
𝑎 minus 𝑏

11-5.3

𝑎 ± 𝑏

𝑎 加或減 𝑏
𝑎 plus or minus 𝑏

11-5.4

𝑎 ∓ 𝑏

𝑎 減或加 𝑏
𝑎 minus or plus 𝑏

−(a ± b) = −(a ∓ b)

11-5.5

𝑎𝑏, 𝑎 ⋅ 𝑏, 𝑎 × 𝑏

𝑎 乘以 𝑏
𝑎 multiplied by 𝑏

參閱 11-2.32, 11-12.b 及 11-12.7。

數的乘號用叉（×）或上下居中的圓點（⋅）。如出現小數點符號時，數的相乘只能用叉。

參閱 GB3101 的 3.1.3 和 3.3.3

11-5.6

𝑎/𝑏, 𝑎/𝑏, 𝑎𝑏⁻¹

𝑎 除以 𝑏 或 𝑎 被 𝑏 除
𝑎 divided by 𝑏

參閱 GB3101 的 3.1.3

11-5.7

𝑛
∑
𝑖 = 1

𝑎₁ + 𝑎₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛

也可記為
∑𝑛
𝑖 = 1𝑎_𝑖,  
∑
𝑖𝑎_𝑖, ∑ 
𝑖𝑎_𝑖, ∑ 
 𝑎_𝑖

∞
∑
𝑖 = 1𝑎_𝑖 = 𝑎₁ + 𝑎₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛 + ⋯

11-5.8

𝑛
∏
𝑖 = 1

𝑎₁ ⋅ 𝑎₂ ⋅ ⋯ ⋅ 𝑎_𝑛

也可記為
∏𝑛
𝑖 = 1𝑎_𝑖,  
∏
𝑖𝑎_𝑖, ∏ 
𝑖𝑎_𝑖, ∏ 
 𝑎_𝑖

∞
∏
𝑖 = 1𝑎_𝑖 = 𝑎₁ ⋅ 𝑎₂ ⋅ ⋯ ⋅ 𝑎_𝑛 ⋅ ⋯

11-5.9

𝑎^𝑝

𝑎 的 𝑝 次方或 𝑎 的 𝑝 次冪
𝑎 to the power 𝑝

11-5.10

𝑎^1/2, 𝑎 ^1 /2,
√𝑎, √𝑎

𝑎 的二分之一次方；𝑎 的平方根
𝑎 to the power 1/2; square root of 𝑎

參閱 11-5.11

11-5.11

𝑎^1/𝑛, 𝑎 ^1 /𝑛,

^𝑛√𝑎, √^𝑛𝑎

𝑎 的 𝑛 分之一次方；𝑎 的 𝑛 次方根
𝑎 to the power 1/𝑛;
𝑛th root of 𝑎

在使用符號 √ 或 √^𝑛 時，為了避免混淆，應採用括號把被開方的複雜表示式括起來

11-5.12

|𝑎|

𝑎 的絕對值；𝑎 的模
absolute value of 𝑎;
modules of 𝑎

也可用 abs 𝑎

11-5.13

sgn 𝑎

𝑎 的符號函數
signum 𝑎

對於實數 𝑎：

sgn 𝑎 =	⎧ ⎨ ⎩	1			當 𝑎 > 0
		0			當 𝑎 = 0
		−1			當 𝑎 < 0

對於複數 𝑎，參閱 11-9.7

11-5.14

𝑎̅, ⟨𝑎⟩

𝑎 的平均值
mean value of 𝑎

如果平均值的求法在文中不明了，則應指出其形成的方法。若 𝑎̅ 容易與 𝑎 的復共軛混淆時，就用 ⟨𝑎⟩

11-5.15

𝑛!

𝑛 的階乘
factorial 𝑛

𝑛 ≥ 1 時，

𝑛! = 𝑛
∏
𝑘 = 1𝑘 = 1 × 2 × 3 × ⋯ × 𝑛

𝑛 = 0 時，

𝑛! = 1

11-5.16

⎛
⎝𝑛
𝑝⎞
⎠, C𝑝
𝑛 

二項式係數；組合數
binomial coefficient 𝑛, 𝑝

⎛
⎝𝑛
𝑝⎞
⎠ = 𝑛!/𝑝!(𝑛 − 𝑝)!

11-5.17

ent 𝑎, 𝖤(𝑎)

小於或等於 𝑎 的最大整數；示性 𝑎
the greatest integer less than or equal to 𝑎；
characteristic of 𝑎

例：ent 2.4 = 2
ent (−2.4) = −3

有時也用 [𝑎]

2.6　函數符號

項號

符號，應用

意義或讀法

備註及示例

11-6.1

𝑓

函數 𝑓

function 𝑓

也可以表示為 𝑥↦𝑓(𝑥)

11-6.2

𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦, ⋯)

函數 𝑓 在 𝑥 或在（𝑥, 𝑦, ⋯）的值
value of the function 𝑓 at 𝑥 or at (𝑥, 𝑦, ⋯）respectively

也表本以 𝑥, 𝑦, ⋯ 為自變量的函數 𝑓

11-6.3

𝑓(𝑥)|𝑏
𝑎 

[𝑓(𝑥)]𝑏
𝑎 

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

這種表示法主要用於定積分計算

11-6.4

𝑔 ∘ 𝑓

𝑓 與 𝑔 的合成函數或複合函數
the composite function of 𝑓 and 𝑔

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

11-6.5

𝑥→𝑎

𝑥 趨於 𝑎
𝑥 tends to 𝑎

用 𝑥_𝑛→𝑎 表示序列 {𝑥_𝑛} 的極限為 𝑎

11-6.6

lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

lim_𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑥 趨於 𝑎 時 𝑓(𝑥) 的極限
limit of 𝑓(𝑥) as 𝑥 tends to 𝑎

lim_𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏 可以寫為：

𝑓(𝑥)→𝑏　當 𝑥→𝑎

右極限及左極限可分別表示為：
lim_{𝑥→𝑎⁺}𝑓(𝑥) 和 lim_{𝑥→𝑎⁻}𝑓(𝑥)

11-6.7

lim

上極限
superior limit

11-6.8

lim

下極限
inferior limit

11-6.9

sup

上確界
supremum

11-6.10

inf

下確界
infimum

11-6.7 至 11-6.10取材於 [2]

11-6.11

≃

漸近等於
is asymptotically equal to

例：

1/sin(𝑥 − 𝑎) ≃ 1/𝑥 − 𝑎　當 𝑥→𝑎

11-6.12

𝑂(𝑔((𝑥))

𝑓(𝑥) = 𝑂(𝑔(𝑥)) 的含義為 |𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)| 在行文所述的極限中有上界
|𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)| is bounded above in the limit implied by the context

當 𝑓/𝑔 與 𝑔/𝑓 都有界時，稱 𝑓 與 𝑔 是同階的

11-6.13

𝑜(𝑔(𝑥))

𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥)) 表示在行文所述的極限中 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)→0
𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)→0 in the limit implied by the context

11-6.14

∆𝑥

𝑥 的［有限］增量
(finite) increment of 𝑥

11-6.15

d𝑓/d𝑥

d𝑓/d𝑥

𝑓′

單變量函數 𝑓 的導［函］數或微商
derivative of the function 𝑓 of one variable

也可用 D𝑓。

即：d𝑓(𝑥)/d𝑥，
d𝑓(𝑥)d𝑥, 𝑓′(𝑥), D𝑓(𝑥)

如自變量為時間 𝑡，也可用 𝑓˙ 表示 d𝑓/d𝑡

11-6.16

⎛
⎝d𝑓/d𝑥⎞
⎠
𝑥 = 𝑎

(d𝑓/d𝑥)_{𝑥 = 𝑎}

𝑓′(𝑎)

函數 𝑓 的導［函］數在 𝑎 的值
value at 𝑎 of the derivative of the function 𝑓

也可用 d𝑓/d𝑥| 
𝑥 = 𝑎 或 D𝑓(𝑎)

11-6.17

d^𝑛𝑓/d𝑥^𝑛

d^𝑛𝑓/d𝑥^𝑛

𝑓_(𝑛)

單變量函數 𝑓 的 𝑛 階導函數
𝑛th derivative of the function 𝑓 of one variable

也可用 D^𝑛𝑓。

當 𝑛 = 2, 3 時，也可用𝑓″, 𝑓‴ 來代替 𝑓^(𝑛)。如自變量是時間 𝑡，可用 𝑓¨ 來代替 d²𝑓/d𝑡²

11-6.18

∂𝑓/∂𝑥

∂𝑓/∂𝑥

∂_𝑥𝑓

多變量 𝑥, 𝑦, ⋯ 的函數 𝑓 對於 𝑥 的偏微商或偏導數
partial derivative of the function 𝑓 of several variables 𝑥, 𝑦, ⋯ with respect to 𝑥

即： ∂𝑓(𝑥, 𝑦, ⋯)/∂𝑥, ∂𝑓(𝑥, 𝑦, ⋯)/∂𝑥, ∂_𝑥𝑓(𝑥, 𝑦, ⋯)

也可用 𝑓_𝑥 或 ⎛
⎝∂𝑓/∂𝑥⎞
⎠
𝑦⋯

D_𝑥 = 1/i∂_𝑥 等常用於 Fourier 變換

11-6.19

∂^{𝑚 + 𝑛}𝑓/∂𝑥^𝑛∂𝑦^𝑚

函數 𝑓 先對 𝑦 求 𝑚 次偏微商，再對 𝑥 求 𝑛 次偏微商；混合偏導數
𝑛th partial derivative of the function ∂^𝑚𝑓/∂𝑦^𝑚 of several variables 𝑥, 𝑦, ⋯ with respect to 𝑥；
mixed partial derivative

11-6.20

∂(𝑢, 𝑣, 𝑤)/∂(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑢, 𝑣, 𝑤 對 𝑥, 𝑦, 𝑧 的函數行列式
Jacobian;
functional determinant of the functions 𝑢, 𝑣, 𝑤 with respect to 𝑥, 𝑦, 𝑧

即：	∂𝑢/∂𝑥	∂𝑢/∂𝑦	∂𝑢/∂𝑧
	∂𝑣/∂𝑥	∂𝑣/∂𝑦	∂𝑣/∂𝑧
	∂𝑤/∂𝑥	∂𝑤/∂𝑦	∂𝑤/∂𝑧

11-6.19 與 11-6.20 選自 [2]

11-6.21

d𝑓

函數 𝑓 的全微分
total differential of the function 𝑓

d𝑓(𝑥, 𝑦, ⋯) = ∂𝑓/∂𝑥d𝑥 + ∂𝑓/∂𝑦d𝑦 + ⋯

11-6.22

δ𝑓

函數 𝑓 的（無窮小）變分(infinitesimal) variation of the function 𝑓

11-6.23

∫𝑓(𝑥) d𝑥

函數 𝑓 的不定積分
an indefinite integral of the function 𝑓

11-6.24

𝑏
∫
𝑎𝑓(𝑥) d𝑥

∫𝑏
𝑎𝑓(𝑥) d𝑥

函數 𝑓 由 𝑎 至 𝑏 的定積分
definite integral of the function 𝑓 from 𝑎 to 𝑏

11-6.25

 
∬
𝐴

𝑓(𝑥, 𝑦) d𝐴

函數 𝑓(𝑥, 𝑦) 在集合 𝐴 上的二重積分
the double integral of function 𝑓 over set 𝐴

選自 [2]。

∫
𝐶, ∫
𝑆, ∫
𝑉, ∮ 分別用於沿曲線 𝐶，沿曲面 𝑆，沿體積 𝑉 以及沿閉曲線或閉曲面的積分

11-6.26

δ_𝑖𝑘

克羅內克 δ 符號
Kronecker delta symbol

δ𝑖𝑘 =	⎰ ⎱	1	當 𝑖 = 𝑘
		0	當 𝑖 ≠ 𝑘

式中 𝑖 與 𝑘 均為整數

11-6.27

ε_𝑖𝑗𝑘

勒維—契維塔符號
Levi-Civita symbol

ε_𝑖𝑗𝑘 =

⎧ ⎨ ⎩	1	若 𝑖𝑗𝑘 為 1,2,3 的偶排列
	−1	若 𝑖𝑗𝑘 為 1,2,3 的奇排列
	0	若 𝑖𝑗𝑘 為 1,2,3 的真重複排列

11-6.28

δ(𝑥)

狄拉克 δ 分布［函數］
Dirac delta distribution (function)

∫+∞
−∞𝑓(𝑥)δ(𝑥)d𝑥 = 𝑓(0)

11-6.29

ε(𝑥)

單位階躍函數；海維賽函數
unit step function;
Heaviside function

ε(𝑥) =	⎰ ⎱	1	當 𝑥 > 0
		0	當 𝑥 < 0

也可用 H(𝑥)

ϑ(𝑡) 用於時間的單位階躍函數

11-6.30

𝑓 ∗ 𝑔

𝑓 與 𝑓 的卷積
convolution of 𝑓 and 𝑔

𝑓 ∗ 𝑔(𝑥) = ∫+∞
−∞𝑓(𝑦)𝑔(𝑥 − 𝑦)d𝑦

2.7　指數函數和對數函數符號

項號	符號，表達式	意義或讀法	備註及示例
11-7.1	𝑎𝑥	𝑥 的指數函數（以 𝑎 為底） exponential function (to the base 𝑎) of 𝑥	比較 11-5.9
11-7.2	e	自然對數的底 base of natural logarithms	e = lim 𝑛→∞⎛ ⎝1 + 1/𝑛⎞ ⎠ 𝑛 = 2.718 281 8⋯
11-7.3	e, exp 𝑥	𝑥 的指數函數（以 e 為底） exponential function (to the base e) of 𝑥	在同一場合中，只用其中一種符號
11-7.4	log𝑎𝑥	以 𝑎 為底的 𝑥 的對數 logarithm to the base 𝑎 of 𝑥	當底數不必指出時，常用 log 𝑥 表示
11-7.5	ln 𝑥	ln 𝑥 = logₑ𝑥 𝑥 的自然對數 natural logarithm of 𝑥	log(𝑥)不能用來代替 ln 𝑥, lg 𝑥 lb 𝑥 或 logₑ𝑥, log₁₀𝑥, log₂𝑥
11-7.6	lg 𝑥	lg 𝑥 = log₁₀𝑥 𝑥 的常用對數 common (decimal) logarithm of 𝑥	參閱 11-7.5的備註
11-7.7	lb 𝑥	lb 𝑥 = log₂𝑥 𝑥 的以 2 為底的對數 binary logarithm of 𝑥	參閱 11-7.5的備註

2.8　三角函數^[1]和雙曲函數符號

項號	符號，表達式	意義或讀法	備註及示例
11-8.1	sin 𝑥	𝑥 的正弦 sine of 𝑥
11-8.2	cos 𝑥	𝑥 的餘弦 cosine of 𝑥
11-8.3	tan 𝑥	𝑥 的正切 tangent of 𝑥	也可用 tg 𝑥
11-8.4	cot 𝑥	𝑥 的餘切 cotangent of 𝑥	cot 𝑥 = 1/tan 𝑥
11-8.5	sec 𝑥	𝑥 的正割 secant of 𝑥	sec 𝑥 = 1/cos 𝑥
11-8.6	csc 𝑥	𝑥 的餘割 cosecant of 𝑥	也可用 cosec 𝑥 csc 𝑥 1/sin 𝑥
11-8.7	sin𝑚𝑥	sin 的 𝑚 次方 sin 𝑥 to the power 𝑚	選自 [2]。 其他三角函數和雙曲函數的 𝑚 次方的表示法類似
11-8.8	arcsin 𝑥	𝑥 的反正弦 arc sine of 𝑥	𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ 𝑥 = sin 𝑦, −π/2 ≤ 𝑦 ≤ π/2 反正弦函數是正弦函數在上述限制下的反函數
11-8.9	arccos 𝑥	𝑥 的反餘弦 arc cosine of 𝑥	𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ 𝑥=cos 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ π 反餘弦函數是餘弦函數在上述限制下的反函數
11-8.10	arctan 𝑥	𝑥 的反正切 arc tangent of 𝑥	也可用 arctg 𝑥 𝑦 = arctan 𝑥 ⇔ 𝑥 = tan 𝑦, −π/2 < 𝑦 < π/2 反正切函數是正切函數在上述限制下的反函數
11-8.11	arccot 𝑥	𝑥 的反餘切 arc cotangent of 𝑥	𝑦 = arccot 𝑥 ⇔ 𝑥 = cot 𝑦, 0 < 𝑦 < π 反餘切函數是餘切函數在上述限制下的反函數
11-8.12	arcsec 𝑥	𝑥 的反正割 arc secant of 𝑥	𝑦 = arcsec 𝑥 ⇔ 𝑥 = sec 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ π, 𝑦 ≠ π 反正割函數是正割函數在上述限制下的反函數
11-8.13	arccsc 𝑥	𝑥 的反餘割 arc cosecant of 𝑥	也可用 arccosec 𝑥。 𝑦 = arccsc 𝑥 ⇔ 𝑥 = csc 𝑦, −π/2 ≤ 𝑦 ≤ π/2, 𝑦 ≠ 0 反餘割函數是餘割函數在上述限制下的反函數。 對於 11-8.8 至 11-8.13 各項不採用 sin⁻¹ 𝑥，cos⁻¹ 𝑥 等符號，因為可能被誤解為(sin 𝑥)⁻¹, (cos 𝑥)⁻¹ 等
11-8.14	sinh 𝑥	𝑥 的雙曲正弦 hyperbolic sine of 𝑥	也可用 sh 𝑥
11-8.15	cosh 𝑥	𝑥 的雙曲餘弦 hyperbolic cosine of 𝑥	也可用 ch 𝑥
11-8.16	tanh 𝑥	𝑥 的雙曲正切 hyperbolic tangent of 𝑥	也可用 th 𝑥
11-8.17	coth 𝑥	𝑥 的雙曲餘切 hyperbolic cotangent of 𝑥	coth 𝑥 =1/tanh 𝑥
11-8.18	sech 𝑥	𝑥 的雙曲正割 hyperbolic secant of 𝑥	sech 𝑥 = 1/cosh 𝑥
11-8.19	csch 𝑥	𝑥 的雙曲餘割 hyperbolic cosecant of 𝑥	也可用 cosech 𝑥。 csch 𝑥 = 1/sinh
11-8.20	arsinh 𝑥	𝑥 的反雙曲正弦 inverse hyperbolic sine of 𝑥	也可用 arsh 𝑥。 𝑦 = arsinh 𝑥 ⇔ 𝑥 = sinh 𝑦 反雙曲正弦函數是雙曲正弦函數的反函數
11-8.21	arcosh 𝑥	𝑥 的反雙曲餘弦 inverse hyperbolic cosine of 𝑥	也可用 arch 𝑥。 𝑦 = arcosh 𝑥 ⇔ 𝑥 = cosh 𝑦, 𝑦 ≥ 0 反雙曲餘弦函數是雙曲餘弦函數在上述限制下的反函數
11-8.22	artanh 𝑥	𝑥 的反雙曲正切 inverse hyperbolic tangent of 𝑥	也可用 arth 𝑥。 𝑦 = artanh 𝑥 ⇔ 𝑥 = tanh 𝑦 反雙曲正切函數是雙曲正切函數的反函數
11-8.23	arcoth 𝑥	𝑥 的反雙曲餘切 inverse hyperbolic cotangent of 𝑥	𝑦 = arcoth 𝑥 ⇔ 𝑥 = coth 𝑦, 𝑦 ≠ 0 反雙曲餘切函數是雙曲餘切函數在上述限制下的反函數
11-8.24	arsech 𝑥	𝑥 的反雙曲正割 inverse hyperbolic secant of 𝑥	𝑦 = arsech 𝑥 ⇔ 𝑥 = sech 𝑦,𝑦 ≥ 0 反雙曲正割函數是雙曲正割函數在上述限制下的反函數
11-8.25	arcsch 𝑥	𝑥 的反雙曲餘割 inverse hyperbolic cosecant of 𝑥	也可用 arcosech 𝑥。 𝑦 = arcsch 𝑥 ⇔ 𝑥 = csch 𝑦, 𝑦 ≠ 0 反雙曲餘割函數是雙曲餘割函數在上述限制下的反函數。 對於反雙曲函數，不應使用 sinh⁻¹ 𝑥, cosh⁻¹ 𝑥 等符號，因為可能被誤解為(sinh 𝑥)⁻¹, (cosh 𝑥)⁻¹ 等

1. 在 [1] 中稱為圓函數。

2.9　複數符號

項號	符號，表達式	意義或讀法	備註及示例
11-9.1	i, j	虛數單位，i² = −1 imaginary unit	在電工技術中常用 j，參閱 GB 3102.5的 5-44.1 的備註
11-9.2	Re 𝑧	𝑧 的實部 real part of 𝑧
11-9.3	Im 𝑧	𝑧 的虛部 imaginary part of 𝑧	𝑧 = 𝑥 + i𝑦 其中：𝑥 = Re 𝑧, 𝑦 = Im 𝑧
11-9.4	|𝑧|	𝑧 的絕對值；𝑧 的模 absolute value of 𝑧; modulus of 𝑧	也可用 mod 𝑧
11-9.5	arg 𝑧	𝑧 的輻角；𝑧 的相 argument of 𝑧; phase of 𝑧	𝑧 = 𝑟ei𝜑 其中 𝑟 = |𝑧|，𝜑 = arg 𝑧, 即 Re 𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 Im 𝑧 = 𝑟 sin 𝜑
11-9.6	𝑧*	𝑧 的［復］共扼 (complex) conjugate of 𝑧	有時用 𝑧̅ 代替
11-9.7	sgn 𝑧	𝑧 的單位模函數 signum 𝑧	當 𝑧 ≠ 0 時，sgn 𝑧 = 𝑧/|𝑧| = exp(i arg 𝑧)； 當 𝑧 = 0 時，sgn 𝑧 = 0

2.10　矩陣符號

項號

符號，表達式

意義或讀法

備註及示例

11-10.1

𝑨

⎛ ⎜ ⎝	𝑨11	⋯	𝑨1𝑛	⎞ ⎟ ⎠
	⋮		⋮
	𝑨𝑚1	⋯	𝑨𝑚𝑛

𝑚 × 𝑛 型的矩陣 𝑨
matrix 𝑨 of type 𝑚 by 𝑛

也可用 𝑨 = (𝑨_𝑖𝑗)，𝑨_𝑖𝑗 是矩陣 𝑨 的元素；𝑚 為行數，𝑛 為列數。當 𝑚 = 𝑛 時，𝑨 稱為［正］方陣。矩陣元可用小寫字母表示。

也可用方括號代替矩陣表示中的圓括號

11-10.2

𝑨𝑩

矩陣 𝑨 與 𝑩的積
product of matrices 𝑨 and 𝑩

(𝑨𝑩)_𝑖𝑘 =  
∑
𝑗𝑨_𝑖𝑗𝐵_𝑗𝑘
式中 𝑨 的列數必須等於 𝑩 的行數

11-10.3

𝑬, 𝑰

單位矩陣
unit matrix

方陣的元素 𝐸_𝑖𝑘 = δ_𝑖𝑘，參閱 11-6.26

11-10.4

𝑨⁻¹

方陣 𝑨 的逆
inverse of the square matrix 𝑨

𝑨𝑨⁻¹ = 𝑨⁻¹𝑨 = 𝑬

11-10.5

𝑨^T, 𝑨̃

𝑨 的轉置矩陣
transpose matrix of 𝑨

(𝑨^T)_𝑖𝑘 = 𝐴_𝑘𝑖
也可用 𝐴′

11-10.6

𝑨^*

𝑨 的復共軛矩陣
complex conjugate matrix of 𝑨

(𝑨^*)_𝑖𝑘 = (𝐴_𝑖𝑘)^* = 𝐴 *
𝑖𝑘 

在數學中也常用 𝑨̅

11-10.7

𝑨^H, 𝑨^†

𝑨 的厄米特共軛矩陣
Hermitian conjugate matrix of 𝑨

(𝑨^H)_𝑖𝑘 = (𝐴_𝑘𝑖)^* = 𝐴 *
𝑘𝑖 

在數學中也常用 𝑨^*

11-10.8

det 𝑨

𝑨11	⋯	𝑨1𝑛
⋮		⋮
𝑨𝑚1	⋯	𝑨𝑚𝑛

方陣 𝑨 的行列式
determinant of the square matrix 𝑨

11-10.9

tr 𝑨

方陣 𝑨 的跡
trace of the square matrix 𝑨

tr 𝑨 =  
∑
𝑖𝐴_𝑖𝑖

11-10.10

‖ 𝑨 ‖

矩陣 𝑨 的範數
norm of the matrix 𝑨

矩陣的範數有各種定義，例如範數 ‖𝑨‖ = (tr(𝑨𝑨^H))^1/2

2.11　坐標系符號

項號	坐標	徑矢量及其微分	坐標系名稱	備 注
11-11.1	𝑥, 𝑦, 𝑧	𝒓 = 𝑥𝒆𝑥 + 𝑦𝒆𝑦 + 𝑧𝒆𝑧, d𝒓 = d𝑥 𝒆𝑥 + d𝑦 𝒆𝑦 + d𝑧 𝒆𝑧	笛卡兒坐標 cartesian coordinates	𝒆𝑥, 𝒆𝑦 與 𝒆𝑧 組成一標準正交右手系，見圖 1
11-11.2	𝜌, 𝜑, 𝑧	𝒓 = 𝜌𝒆𝜌(𝜑) + 𝑧𝒆𝑧, d𝒓 = d𝜌 𝒆𝜌(𝜑) + 𝜌 d𝜑 𝒆𝜑(𝜑) + d𝑧 𝒆𝑧	圓柱坐標 cylindrical coordinates	𝒆𝜌, 𝒆𝜑 與 𝒆𝑧 組成一標準正交右手系，見圖 3 和圖 4。 若 𝑧 = 0，則 𝜌 與 𝜑 成為極坐標
11-11.3	𝑟, 𝜃, 𝜑	𝒓 = 𝑟𝒆𝑟(𝜃,𝜑), d𝒓 = d𝑟 𝒆𝑟(𝜃,𝜑) + 𝑟 d𝜃 𝒆𝜃(𝜃,𝜑) + 𝑟 sin 𝜃 d𝜑 𝒆𝜑(𝜑)	球坐標 spherical coordinates	𝒆𝑟，𝒆𝜃 與𝒆𝜑 組成一標準正交右手系，見圖 3 和圖 5
註：如果為了某些目的，例外地使用左手坐標系（見圖2)時，必須明確地說出，以免引起符號錯誤

圖 1　右手笛卡爾坐標系			圖 2　左手笛卡爾坐標系
圖 1　右手笛卡爾坐標系			圖 2　左手笛卡爾坐標系
圖 3　𝑂𝑥𝑦𝑧 是右手坐標系		圖 4　右手柱坐標		圖 5　右手球坐標
圖 3　𝑂𝑥𝑦𝑧 是右手坐標系		圖 4　右手柱坐標		圖 5　右手球坐標

2.12　矢量和張量符號

項號	符號，表達式	意義或讀法	備註及示例
11-12.1	𝒂 𝑎⃗	矢量或向量 𝒂 vector 𝒂	這裡，笛卡兒坐標用 𝑥, 𝑦, 𝑧 或 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃ 表示，在後一種情況，指標 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 從 1 到 3 取值，並採用下面的求和約定：如果在一項中某個指標出現兩次，則表示該指標對 1,2,3 求和。 印刷用黑體 𝒂，書寫用 𝑎⃗
11-12.2	𝑎 |𝒂|	矢量 𝒂 的模或長度 magnitude of vector 𝒂	也可用 ‖ 𝒂 ‖
11-12.3	𝒆𝑎	𝒂 方向的單位矢量 unit vector in the direction of 𝒂	𝒆𝑎 = 𝒂/|𝒂| 𝒂 = 𝑎𝒆𝑎
11-12.4	𝒆𝑥, 𝒆𝑦, 𝒆𝑧 𝒊, 𝒋, 𝒌 𝒆𝑖	在笛卡兒坐標軸方向的單位矢量 unit vectors in the directions of the cartesian coordinate axes
11-12.5	𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧	矢量 𝒂 的笛卡兒分量 cartesian components of vector 𝒂	𝒂 = 𝑎𝑥𝒆𝑥 + 𝑎𝑦𝒆𝑦 + 𝑎𝑧𝒆𝑧 = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧), 𝑎𝑥𝒆𝑥 等為分矢量 𝒓 = 𝑥𝒆𝑥 + 𝑦𝒆𝑦 + 𝑧𝒆𝑧 為徑矢
11-12.6	𝒂 ∙ 𝒃	𝒂 與 𝒃 的標量積或數量積 scalar product of 𝒂 and 𝒃	𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂𝑥𝒃𝑥 + 𝒂𝑦𝒃𝑦 + 𝒂𝑧𝒃𝑧, 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑖𝑏𝑖 =   ∑ 𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖（參閱 11-12.1的備註）。 𝒂 ∙ 𝒂 = 𝒂² = |𝒂|² = 𝑎² 在特殊場合，也可用 (𝒂,𝒃)
11-12.7	𝒂 × 𝒃	𝒂 與 𝒃 的矢量積或向量積 vector product of 𝒂 and 𝒃	在右手笛卡兒坐標系中，分量 (𝒂 x 𝒃)𝑥 = 𝒂𝑦𝒃𝑧 − 𝒂𝑧𝒃𝑦， 一般 (𝒂 × 𝒃)𝑖 =   ∑ 𝑗  ∑ 𝑘ε𝑖𝑗𝑘𝑎𝑗𝑏𝑘 關於 ε𝑖𝑗𝑘，參閱 11-6.27
11-12.8	∇ ▽⃗	那勃勒算子或算符 nabla operator	也稱矢量微分算子。 ∇ = 𝒆𝑥∂/∂𝑥 + 𝒆𝑦∂/∂𝑦 + 𝒆𝑧∂/∂𝑧 = 𝒆𝑖∂/∂𝑖 也可用∂/∂𝒓
11-12.9	∇𝜑 𝐠𝐫𝐚𝐝 𝜑	𝜑 的梯度 gradient of 𝜑	也可用 grad 𝜑 ∇𝜑 = 𝒆𝑖∂𝜑/∂𝑥𝑖
11-12.10	∇ ∙ 𝒂 div 𝒂	𝒂 的散度 divergence of 𝒂	∇ ∙ 𝒂 = ∂𝑎 𝑖/∂𝑥 𝑖
11-12.11	∇ × 𝒂 𝐫𝐨𝐭 𝐜𝐮𝐫𝐥	𝒂 的旋度 curl of 𝒂	氣象學上稱為渦度。 也可用 rot 𝒂, curl 𝒂。 (∇ × 𝒂)𝑥 = ∂𝑎𝑧/∂𝑦 − ∂𝑎𝑦/∂𝑧, 一般(∇ × 𝒂)𝑖 =   ∑ 𝑗  ∑ 𝑘ε𝑖𝑗𝑘∂𝑎𝑘/∂𝑥𝑗 關於 ε𝑖𝑗𝑘，參閱 11-6.27
11-12.12	∇² Δ	拉普拉斯算子 Laplacian	Δ = ∂²/∂𝑥 + ∂²/∂𝑦 + ∂²/∂𝑧 若與 11-6.14 中有限增量的符號容易混淆時，就用 ∇²
11-12.13	□	達朗貝爾算子 Dalembertian	□ = ∂²/∂𝑥 + ∂²/∂𝑦 + ∂²/∂𝑧 − 1/𝑐² ∂²/∂𝑡² 式中 𝑐 為電磁波在真空中的傳播速度，參閱 GB 3102.6的6-6
11-12.14	𝑻	二階張量 𝑻 tensor 𝑻 of the second order	也用 𝑇⃗⃗
11-12.15	𝑇𝑥𝑥, 𝑇𝑥𝑦, ⋯,𝑇𝑧𝑧 𝑇𝑖𝑗	張量 𝑻 的笛卡兒分量 cartesian components of tensor 𝑻	𝑻 = 𝑇𝑥𝑥𝒆𝑥𝒆𝑥 + 𝑇𝑥𝑦𝒆𝑥𝒆𝑦 + ⋯, 𝑇𝑥𝑥𝒆𝑥𝒆𝑥 等為分張量
11-12.16	𝒂𝒃, 𝒂 ⊗ 𝒃	兩矢量 𝒂 與 𝒃 的並矢積或張量積 dyadic product ; tensor product of two vectors 𝒂 and 𝒃	即具有分量 (𝒂𝒃)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑏𝑗 而的二階張量
11-12.17	𝑻 ⊗ 𝑺	兩個二階張量 𝑻 與 𝑺 的張量積 tensor product of two tensors 𝑻 and 𝑺 of the second order	即具有分量 (𝑻 ⊗ 𝑺)𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑇𝑖𝑗𝑆𝑘𝑙 的四階張量
11-12.18	𝑻 ∙ 𝑺	兩個二階張量 𝑻 與 𝑺 的內積 inner product of two tensors of second order 𝑻 and 𝑺	即具有分量 (𝑻 ∙ 𝑺)𝑖𝑘 =   ∑ 𝑗𝑇𝑖𝑗𝑆𝑗𝑘 的二階張量
11-12.19	𝑻 ∙ 𝒂	二階張量 𝑻 與矢量 𝒂 的內積 inner product of a tensor of second order 𝑻 and a vector 𝒂	即具有分量 (𝑻 ∙ 𝒂)𝑖 =   ∑ 𝑗𝑇𝑖𝑗𝑎𝑗 的矢量
11-12.20	𝑻 ： 𝑺	兩個二階張量 𝑻 與 𝑺 的標量積 scalar product of two tensors of second order 𝑻 and 𝑺	即標量 𝑻 ： 𝑺 =   ∑ 𝑖  ∑ 𝑗𝑇𝑖𝑗𝑆𝑗𝑖 11-12.1 至 11-12.20註：矢量和張量往往用其分量的通用符號表示，例如矢量用 𝑎𝑖，二階張量用 𝑇𝑖𝑗，並矢積用 𝑎𝑖𝑏𝑗 等等，但這裡指的都是張量的協變分量，張量還具有其他形式的分量，如逆變分量、混合分量等

2.13　特殊函數符號

項號	符號，表達式	意義或讀法	備註及示例
11-13.1	J𝑙(𝑥)	［第一類］柱貝塞爾函數 cylindrical Bessel functions (of the first kind)	即方程 𝑥²𝑦″ + 𝑥𝑦′ + (𝑥² − 𝑙²)𝑦 = 0 的特解 J𝑙(𝑥) = ∞ ∑ 𝑘 = 0(−1)𝑘(𝑥/2)𝑙 + 2𝑘/𝑘!Γ(𝑙 + 𝑘 + 1) 關於 Γ ，參閱 11-13.19
11-13.2	N𝑙(𝑥)	柱諾依曼函數；第二類柱貝塞爾函數 cylindrical Neumann functions; cylindrical Bessel functions of the second kind	N𝑙(𝑥) = lim 𝑘→𝑙J𝑘(𝑥)cos 𝑘π − J−𝑘(𝑥)/sin 𝑘π 也記做 Y𝑙(𝑥)
11-13.3	H(1) 𝑙 (𝑥) H(2) 𝑙 (𝑥)	柱漢開爾函數；第三類柱貝塞爾函數 cylindrical Hankel functions; cylindrical Bessel functions of the third kind	H(1) 𝑙 (𝑥) = J𝑙(𝑥) + iN𝑙(𝑥) H(2) 𝑙 (𝑥) = J𝑙(𝑥) − iN𝑙(𝑥)
11-13.4	I𝑙(𝑥) K𝑙(𝑥)	修正的柱貝塞爾函數 modified cylindrical Bessel functions	𝑥²𝑦″ + 𝑥𝑦′ − (𝑥² + 𝑙²)𝑦 = 0 的特解 I𝑙(𝑥)= i−𝑙J𝑙(i𝑥) K𝑙 = (π/2)i𝑙 + 1(J𝑙(i𝑥) + iN𝑙(i𝑥))
11-13.5	j𝑙(𝑥)	［第一類］球貝塞爾函數 spherical Bessel functions (of the first kind)	𝑥²𝑦″ + 2𝑥𝑦′ + [𝑥² − 𝑙(𝑙 + 1)]𝑦 =0　(𝑙 ≥ 0) 的特解 j𝑙(𝑥) = (π/2𝑥)1/2N𝑙 +1/2(𝑥)
11-13.6	𝑛𝑙(𝑥)	球諾依曼函數；第二類球貝塞爾函數 spherical Neumann functions; spherical Bessel functions of the second kind	𝑛𝑙(𝑥) = (π/2𝑥)1/2N𝑙 + 1/2(𝑥) 也記作 𝑦𝑙(𝑥)
11-13.7	h(1) 𝑙 (𝑥) h(2) 𝑙 (𝑥)	球漢開爾函數；第三類球貝塞爾函數 spherical Hankel functions; spherical Bessel functions of the third kind	h(1) 𝑙 (𝑥) = j𝑙(𝑥) + in𝑙(𝑥) = (π/2𝑥)1/2H(1) 𝑙 + 1/2 (𝑥) h(2) 𝑙 (𝑥) = j𝑙(𝑥) − in𝑙(𝑥) = (π/2𝑥)1/2H(1) 𝑙 + 1/2 (𝑥) 修正的球貝塞爾函數分別寫為 i𝑙(𝑥) 與 k𝑙(𝑥)；比較 11-13.4
11-13.8	P𝑙(𝑥)	勒讓德多項式 Legendre polynomials	(1 − 𝑥²)𝑦″ − 2𝑥𝑦′ + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0 的特解 P𝑙(𝑥) = 1/2𝑙𝑙! d𝑙/d𝑥𝑙(𝑥² − 1)𝑙 (𝑙 ∈ ℕ)
11-13.9	P𝑚 𝑙 (𝑥)	關聯勒讓德函數 associated Legendre functions	(1 − 𝑥²)𝑦″ − 2𝑥𝑦′ + [𝑙(𝑙 + 1) − 𝑚²/1 - 𝑥²]𝑦 = 0 的特解 P- 𝑙  = E(𝑘, π/2)　(0 < 𝑘 < 1) 為第二類完全橢圓積分
11-13.18	Π(𝑘, 𝑛, 𝜑)	第三類［不完全］橢圓積分 (incomplete) elliptic integral of the third kind	Π(𝑘, 𝑛, 𝜑) = 𝜑 ∫ 0ⅆ𝜃/(1 + 𝑛 sin²𝜃)√1 − 𝑘² sin²𝜃 Π(𝑘, 𝑛, π/2)　(0 < 𝑘 < 1) 為第三類完全橢圓積分
11-13.19	Γ(𝑥)	Γ（伽馬）函數 gamma function	Γ(𝑥) = ∫∞ 0𝑡𝑥 − 1e−𝑡ⅆ𝑡　(𝑥 > 0)
11-13.20	Β(𝑥, 𝑦)	Β（貝塔）函數 beta function	Β(𝑥, 𝑦) = ∫1 0𝑡𝑥 − 1(1 − 𝑡)𝑦 − 1 ⅆ𝑡 (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ; 𝑥 > 0, 𝑦 > 0) Β(𝑥, 𝑦) = Γ(𝑥)Γ(𝑦)/Γ(𝑥 + 𝑦)
11-13.21	Ei 𝑥	指數積分 exponential integral	Ei 𝑥 = ∫∞ 𝑥e−𝑡/𝑡ⅆ𝑡　(𝑥 ≠ 0)
11-13.22	erf 𝑥	誤差函數 error function	erf 𝑥 = 2/√π∫𝑥 0e−𝑡² ⅆ𝑡 erf(∞) = 1 erfc 𝑥 = 1 - erf 𝑥 稱為余誤差函數。 在統計學中，使用分布函數 Φ(𝑥) = 2/√π∫0 −∞e−𝑡²/2 ⅆ𝑡
11-13.23	ζ(𝑥)	黎曼（澤塔）函數 Riemann zeta function	ζ(𝑥) = 1/1𝑥 + 1/2𝑥 + 1/3𝑥 + ⋯ (x > 1)

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附加說明：

本標準由全國量和單位標準化技術委員會提出並歸口。

本標準由全國量和單位標準化技術委員會第七分委員會負責起草。

本標準主要起草人李志深。