律呂精義/內篇卷四

內篇卷四

○新舊法參校第六

古人算律有四種法：其一以黃鍾為十寸，每寸十分，共計百分；其二以黃鍾為九寸，每寸十分，共計九十分；其三以黃鍾為八寸一分，不作九寸；其四以黃鍾為九寸，每寸九分，共計八十一分。

其一出太史公《律書》《生鍾分》。

謹按：生鍾分者，三分損益之舊法也。一切算術，皆取法於河圖洛書。河圖十位，天地之體數也；洛書九位，天地之用數也。是故算律之術，或有約十而為九者，著其用也；或有約九而為十者，存其體也。下文約十為九，此章約九為十。先儒蓋未達，誤以九解之，恐非古人立法初意。若以十解之，尤簡易妙絕。

子一分【分字去聲。每條大經分字皆同。】

子，即黃鍾也。一分者，總為一段也，即是夏尺之一尺也。命黃鍾為一尺，故曰一分。《前漢書》《敘傳》曰：「元元本本，數始於一。產氣黃鍾，造計秒忽。」《律曆志》曰：「太極元氣，函三為一，行於十二辰，始動於子。」又曰：「算法用竹，徑一分，象黃鍾之一。」此皆古人命黃鍾為一尺之明證也。

醜三分二

醜指林鍾，其長乃一尺中三分之二。算法：置一尺為實，以二乘之，以三除之，得林鍾正律，長六寸六分六厘六毫六絲六忽六微六纖。寅九分八

寅即太蔟，其長乃一尺中九分之八。算法：置一尺為實，以八乘之，以九除之，得太蔟正律，長八寸八分八厘八毫八絲八忽八微八纖。下文仿此，故不細解。

卯二十七分一十六

卯指南呂，依法乘除，得南呂正律，長五寸九分二厘五毫九絲二忽五微九纖。辰八十一分六十四

辰即姑洗，依法乘除，得姑洗正律，長七寸九分○一毫二絲三忽四微五纖。巳二百四十三分一百二十八

巳指應鍾，依法乘除，得應鍾正律，長五寸二分六厘七毫四絲八忽九微七纖。午七百二十九分五百一十二

午即蕤賓，依法乘除，得蕤賓正律，長七寸○二厘三毫三絲一忽九微六纖。未二千一百八十七分一千○二十四

未指大呂，依法乘除，得大呂半律，長四寸六分八厘二毫二絲一忽三微○。求正律則倍之。申六千五百六十一分四千○九十六

申即夷則，依法乘除，得夷則正律，長六寸二分四厘二毫九絲五忽○七纖。酉一萬九千六百八十三分八千一百九十二

酉指夾鍾，依法乘除，得夾鍾半律，長四寸一分六厘一毫九絲六忽七微一纖。求正律則倍之。戌五萬九千○四十九分三萬二千七百六十八

戌即無射，依法乘除，得無射正律，長五寸五分四厘九毫二絲八忽九微五纖。亥一十七萬七千一百四十七分六萬五千五百三十六

亥指仲呂，依法乘除，得仲呂半律，長三寸六分九厘九毫五絲二忽六微三纖。求正律則倍之。

陽律即本位，故曰即某；陰呂指其衝，故曰指某未、酉、亥三位，所得加一倍。是皆舊說，而學者須知也。

臣按：此法，歷代律家蓋多錯解，先臣何瑭始發明之。古人四法中，宜以此為首，「元元本本，數始於一」故也。

其一，上文已見，茲不復載。但載乘除所得之數，謂之舊法，與新法並載之，參校同異云耳。舊法黃鍾長十寸【整一百分】

林鍾長六寸六分六厘六毫【有奇】太蔟長八寸八分八厘八毫【有奇】南呂長五寸九分二厘五毫【有奇】姑洗長七寸九分○一毫【有奇】

應鍾長五寸二分六厘七毫【有奇】蕤賓長七寸○二厘三毫【有奇】大呂長九寸三分六厘四毫【有奇】夷則長六寸二分四厘二毫【有奇】

夾鍾長八寸三分二厘三毫【有奇】無射長五寸五分四厘九毫【有奇】仲呂長七寸三分九厘九毫【有奇】其二出京房律準及《後漢志》。

新法十寸【整一百分】六寸六分七厘四毫【有奇】八寸九分○八毫【有奇】

五寸九分四厘六毫【有奇】七寸九分三厘七毫【有奇】五寸二分九厘七毫【有奇】七寸○七厘一毫【有奇】

九寸四分三厘八毫【有奇】六寸二分九厘九毫【有奇】八寸四分○八毫【有奇】五寸六分一厘二毫【有奇】

七寸四分九厘一毫【有奇】舊法黃鍾長九寸【每寸十分，餘律仿此。】林鍾長六寸

太蔟長八寸南呂長五寸三分小分三強姑洗長七寸一分小分一微強應鍾長四寸七分小分四微強

蕤賓長六寸三分小分二微強大呂長八寸四分小分三弱夷則長五寸六分小分二弱夾鍾長七寸四分小分九微強

無射長四寸九分小分九強新法九寸【每寸十分，整九十分。】六寸○○六毫【有奇】

八寸○一厘八毫【有奇】五寸三分五厘一毫【有奇】七寸一分四厘三毫【有奇】四寸七分六厘七毫【有奇】

六寸三分六厘三毫【有奇】八寸四分九厘四毫【有奇】五寸六分六厘九毫【有奇】七寸五分六厘八毫【有奇】

五寸○五厘一毫【有奇】仲呂長六寸六分小分六弱其三出《淮南子》及《晉書》《宋書》。舊法

黃鍾之數八十一【或云八寸十分一】林鍾之數五十四【或云五寸十分四】太蔟之數七十二【或云七寸十分二】南呂之數四十八【或云四寸十分八】

姑洗之數六十四【或云六寸十分四】應鍾之數四十三【《晉書》作一，誤。《宋書》作三，是。】蕤賓之數五十七【《晉》《宋》皆作七。蔡氏作六，誤。】

大呂之數七十六夷則之數五十一【《晉書》「一」字。《宋書》脫「一」字。】六寸七分四厘二毫【有奇】新法

八寸一分【整八十一分】五寸四分○六毫【有奇】七寸二分一厘六毫【有奇】四寸八分一厘六毫【有奇】

六寸四分二厘八毫【有奇】四寸二分九厘○【有奇】五寸七分二厘七毫【有奇】七寸六分四厘五毫【有奇】

五寸一分○二毫【有奇】夾鍾之數六十八【《晉書》作八，是。《宋書》作七，誤。】無射之數四十五仲呂之數六十

六寸八分一厘一毫【有奇】四寸五分四厘五毫【有奇】六寸○六厘八毫【有奇】

上層十二律，皆古人舊率，所謂三分損益者也；下層十二律，則新造密率，不用三分損益者也。凡算法歸除有不盡之數，然人目力所察至毫而止，絲忽雖有數，非目所及也。是故此條得毫而止，毫下細數但曰有奇，其詳則載諸第一卷中矣。

論曰：累黍造尺，不過三法，皆自古有之矣。曰橫黍者，一黍之廣為一分也。曰縱黍者，一黍之長為一分也。曰斜黍者，非縱非橫，而首尾相銜也。黃鍾之律，其長以橫黍言之，則為一百分，太史公所謂子一分【去聲】是也。以縱黍言之，則為八十一分【平聲】，《淮南子》所謂其數八十一是也。以斜黍言之，則為九十分，前、後《漢志》所謂九寸是也。今人宗九寸不宗餘法者，惑於《漢志》之偏見也。苟能變通而不惑於一偏，則縱橫斜黍皆合黃鍾矣。

△三黍四律古今同異考

古法下生者，三分減一。三分減一，則為二也，故用二因三歸。上生者，三分添一。三分添一，則為四也，故用四因三歸。

別法下生者，五十乘之，七十五除之。上生者，一百乘之，七十五除之。所得與古同，而算術不同。橫黍百分律依售法算黃鍾長十寸

舊法置黃鍾為實，下生者二因三歸，得林鍾。別法以五十乘之，七十五除之，亦得林鍾。林鍾長六寸六分六厘六毫六絲六忽六微六纖有奇舊法置林鍾為實，上生者四因三歸，得太蔟。

別法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。太蔟長八寸八分八厘八毫八絲八忽八微八纖有奇舊法置太蔟為實，下生者二因三歸，得南呂。別法以五十乘之，七十五除之，亦得南呂。

南呂長五寸九分二厘五毫九絲二忽五微九纖有奇舊法置南呂為實，上生者四因三歸，得姑洗。別法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。姑洗長七寸九分○一毫二絲三忽四微五纖有奇

舊法置姑洗為實，下生者二因三歸，得應鍾。別法以五十乘之，七十五除之，亦得應鍾。應鍾長五寸二分六厘七毫四絲八忽九微七纖有奇舊法置應鍾為實，上生者四因三歸，得蕤賓。

別法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤賓。蕤賓長七寸○二厘三毫三絲一忽九微六纖有奇舊法置蕤賓為實，上生者四因三歸，得大呂。別法以一百乘之，七十五除之，亦得大呂。

大呂長九寸三分六厘四毫四絲二忽六微一纖有奇舊法置大呂為實，下生者二因三歸，得夷則。別法以五十乘之，七十五除之，亦得夷則。夷則長六寸二分四厘二毫九絲五忽○七纖有奇

舊法置夷則為實，上生者四因三歸，得夾鍾。別法以一百乘之，七十五除之，亦得夾鍾。夾鍾長八寸三分二厘三毫九絲三忽四微三纖有奇舊法置夾鍾為實，下生者二因三歸，得無射。

別法以五十乘之，七十五除之，亦得無射。無射長五寸五分四厘九毫二絲八忽九微五纖有奇舊法置無射為實，上生者四因三歸，得仲呂。別法以一百乘之，七十五除之，亦得仲呂。

仲呂長七寸三分九厘九毫○五忽二微七纖有奇舊法置仲呂為實，上生者四因三歸，得黃鍾。別法以一百乘之，七十五除之，亦得黃鍾。黃鍾長九寸八分六厘五毫四絲○三微六纖有奇

比黃鍾正律少一分三厘四毫五絲九忽六微三纖有奇。斜黍九十分律依舊法算黃鍾長九寸舊法置黃鍾為實，下生者二因三歸，得林鍾。

別法以五十乘之，七十五除之，亦得林鍾。林鍾長六寸舊法置林鍾為實，上生者四因三歸，得太蔟。別法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。

太蔟長八寸舊法置太蔟為實，下生者二因三歸，得南呂。別法以五十乘之，七十五除之，亦得南呂。南呂長五十三分三厘三毫三絲三忽三微三纖有奇

舊法置南呂為實，上生者四因三歸，得姑洗。別法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。姑洗長七寸一分一厘一毫一絲一忽一微一纖有奇舊法置姑洗為實，下生者二因三歸，得應鍾。

別法以五十乘之，七十五除之，亦得應鍾。應鍾長四寸七分四厘○七絲四忽○七纖有奇舊法置應鍾為實，上生者四因三歸，得蕤賓。別法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤賓。

蕤賓長六寸三分二厘○九絲八忽七微六纖有奇舊法置蕤賓為實，上生者四因三歸，得大呂。別法以一百乘之，七十五除之，亦得大呂。大呂長八寸四分二厘七毫九絲八忽三微五纖有奇

舊法置大呂為實，下生者二因三歸，得夷則。別法以五十乘之，七十五除之，亦得夷則。夷則長五寸六分一厘八毫六絲五忽五微六纖有奇舊法置夷則為實，上生者四因三歸，得夾鍾。

別法以一百乘之，七十五除之，亦得夾鍾。夾鍾長七寸四分九厘一毫五絲四忽○九纖有奇舊法置夾鍾為實，下生者二因三歸，得無射。別法以五十乘之，七十五除之，亦得無射。

無射長四寸九分九厘四毫三絲六忽○六纖有奇舊法置無射為實，上生者四因三歸，得仲呂。別法以一百乘之，七十五除之，亦得仲呂。仲呂長六寸六分五厘九毫一絲四忽七微四纖有奇

舊法置仲呂為實，上生者四因三歸，得黃鍾。別法以一百乘之，七十五除之，亦得黃鍾。黃鍾長八寸八分七厘八毫八絲六忽三微三纖有奇比黃鍾正律少一分二厘一毫一絲三忽六微六纖有奇。

縱黍八十一分律依舊法算【不作九寸】

此法有二：出《史記》《律書》者，是三分損益法；出《淮南子》書者，非三分損益法，故律數頗不同，今並載之。其一出《史記》《律書》

原文誤字，朱熹蔡元定皆辨之已詳。茲不復載。但載乘除所得之數。黃鍾長八寸一分舊法置黃鍾為實，下生者二因三歸，得林鍾。別法以五十乘之，七十五除之，亦得林鍾。

林鍾長五寸四分舊法置林鍾為實，上生者四因三歸，得太蔟。別法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。太蔟長七寸二分

舊法置太蔟為實，下生者二因三歸，得南呂。別法以五十乘之，七十五除之，亦得南呂。南呂長四寸八分舊法置南呂為實，上生者四因三歸，得姑洗。

別法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。姑洗長六寸四分舊法置姑洗為實，下生者二因三歸，得應鍾。別法以五十乘之，七十五除之，亦得應鍾。

應鍾長四寸二分六厘六毫六絲六忽六微六纖有奇舊法置應鍾為實，上生者四因三歸，得蕤賓。別法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤賓。蕤賓長五寸六分八厘八毫八絲八忽八微八纖有奇

舊法置蕤賓為實，上生者四因三歸，得大呂。別法以一百乘之，七十五除之，亦得大呂。大呂長七寸五分八厘五毫一絲八忽五微一纖有奇舊法置大呂為實，下生者二因三歸，得夷則。

別法以五十乘之，七十五除之，亦得夷則。夷則長五寸○五厘六毫七絲九忽○一纖有奇舊法置夷則為實，上生者四因三歸，得夾鍾。別法以一百乘之，七十五除之，亦得夾鍾。

夾鍾長六寸七分四厘二毫三絲八忽六微八纖有奇舊法置夾鍾為實，下生者二因三歸，得無射。別法以五十乘之，七十五除之，亦得無射。無射長四寸四分九厘四毫九絲二忽四微五纖有奇

舊法置無射為實，上生者四因三歸，得仲呂。別法以一百乘之，七十五除之，亦得仲呂。仲呂長五寸九分九厘三毫二絲三忽二微七纖有奇舊法置仲呂為實，上生者四因三歸，得黃鍾。

別法以一百乘之，七十五除之，亦得黃鍾。黃鍾長七寸九分九厘○九絲七忽六微九纖有奇比黃鍾正律少一分○九毫○二忽三微○有奇。其二出《淮南子》書

《晉》《宋》二《志》及蔡元定所引，互有誤字，上文已辨之，茲不載。黃鍾位子，其數八十一，主十一月，下生林鍾。

舊法置八十一分為實，下生者以五百乘之，得四萬○五百分，以七百四十九為法除之，得五十四分，為林鍾。餘數在半分以下，棄之不用。林鍾之數五十四，主六月，上生太蔟。

舊法置五十四分為實，上生者以一千乘之，得五萬四千分，以七百四十九為法除之，得七十二分，為太蔟。餘數在半分以下，棄之不用。太蔟之數七十二，主正月，下生南呂。

舊法置七十二分為實，下生者以五百乘之，得三萬六千分，以七百四十九為法除之，得四十八分，為南呂。餘數在半分以下，棄之不用。南呂之數四十八，主八月，上生姑洗。

舊法置四十八分為實，上生者以一千乘之，得四萬八千分，以七百四十九為法除之，得六十四分，為姑洗。餘數在半分以下，棄之不用。姑洗之數六十四，主三月，下生應鍾。

舊法置六十四分為實，下生者以五百乘之，得三萬二千分，以七百四十九為法除之，得四十二分，餘數在半分以上，收之作四十三分，為應鍾。應鍾之數四十三，主十月，上生蕤賓。

舊法置四十三分為實，上生者以一千乘之，得四萬三千分，以七百四十九為法除之，得五十七分，為蕤賓。餘數在半分以下，棄之不用。蕤賓之數五十七，主五月，上生大呂。

舊法置五十七分為實，上生者以一千乘之，得五萬七千分，以七百四十九為法除之，得七十六分，為大呂。餘數在半分以下，棄之不用。大呂之數七十六，主十二月，下生夷則。

舊法置七十六分為實，下生者以五百乘之，得三萬八千分，以七百四十九為法除之，得五十分，餘數在半分以上，收之作五十一分，為夷則。夷則之數五十一，主七月，上生夾鍾。

舊法置五十一分為實，上生者以一千乘之，得五萬一千分，以七百四十九為法除之，得六十八分，為夾鍾。餘數在半分以下，棄之不用。夾鍾之數六十八，主二月，下生無射。

舊法置六十八分為實，下生者以五百乘之，得三萬四千分，以七百四十九為法除之，得四十五分，為無射。餘數在半分以下，棄之不用。無射之數四十五，主九月，上生仲呂。

舊法置四十五分為實，上生者以一千乘之，得四萬五千分，以七百四十九為法除之，得六十分，為仲呂。餘數在半分以下，棄之不用。仲呂之數六十，主四月，極不生。

舊法以為極不生者，言不復上生黃鍾也。

論曰：三分損益，往而不返，其弊蓋由七五為法，法太過而實不及也。《史》《記》《漢書》所載律，皆三分損益；惟《淮南子》及《晉》、《宋書》所載此法，獨非三分損益，蓋與新法頗同。其所不同者，仲呂不復生黃鍾耳。是知新法非自古所未有，疑古有之，失其傳也。若夫半以上收之，半以下棄之，此理律曆家所共曉，故不論焉。

其四出《後漢志》《注》引《禮運》古《注》

《後漢志》《注》引《禮》《運》古《注》曰：「宮數八十一，黃鍾長九寸，九九八十一也。三分宮去一生徵，徵數五十四，林鍾長六寸，六九五十四也。三分徵益一生商，商數七十二，太蔟長八寸，八九七十二也。三分商去一生羽，羽數四十八，南呂長五寸三分寸之一，五九四十五又三分寸之一，為四十八也。三分羽益一生角，角數六十四，姑洗長七寸九分寸之一，七九六十三又九分寸之一，為六十四也。三分角去一生變宮。三分變宮益一生變徵。自此以後則隨月而變，所謂『還相為宮』。」臣按：右一節乃九分為寸之舊法也，語簡義精，為律學之切要。然今本《十三》《經》《禮記》《注》《疏》中無此文，不可考也。朱熹蔡元定皆宗九分為寸之法，而不引此為證，蓋未之詳考耳。

縱黍八十一分律依舊法算【命作九寸】

此法有二：出《周禮》《注》《疏》者，係漢鄭氏算法；出《性理大全》者，係宋蔡氏算法。二家律實同，而算法不同。其一出《周》《禮》《注》《疏》

鄞康成宗劉歆班固之說，以六陽律配乾六爻，以六陰呂配坤六爻。故謂黃鍾為初九，林鍾為初六，太蔟為九二，南呂為六二之類。同位象夫妻，指初九之與初六也；異位象母子，指初六之與九二也。此係穿鑿，今皆不取，隻取其算法雲。

黃鍾長九寸【每寸九分，餘律仿此。】

舊法置黃鍾長九寸為實，下生者二因得十八寸，三歸得六寸，為林鍾。林鍾長六寸

舊法置林鍾長六寸為實，上生者四因得二十四寸，三歸得八寸，為太蔟。太蔟長八寸

舊法置太蔟長八寸為實，下生者二因得十六寸，三歸得五寸而餘一，命作三分寸之一，為南呂。南呂長五寸三分寸之一

舊法置南呂長五寸，以分母三通之，得十五寸，納分子之一，共得十六寸，上生者四因得六十四寸為實，三因分母三得九為法，除之得七寸而餘一，命作九分寸之一，為姑洗。

姑洗長七寸九分寸之一

舊法置姑洗長七寸，以分母九通之，得六十三寸，納分子之一，共得六十四寸，下生者二因得一百二十八寸為實，三因分母九得二十七為法，除之得四寸而餘二十，命作二十七分寸之二十，為應鍾。

應鍾長四寸二十七分寸之二十

舊法置應鍾長四寸，以分母二十七通之，得一百○八寸，納分子之二十，共得一百二十八寸，上生者四因得五百一十二寸為實，三因分母二十七得八十一為法，除之得六寸而餘二十六，命作八十一分寸之二十六，為蕤賓。

蕤賓長六寸八十一分寸之二十六

舊法置蕤賓長六寸，以分母八十一通之，得四百八十六寸，納分子之二十六，共得五百一十二寸，上生者四因得二千○四十八寸為實，三因分母八十一得二百四十三為法，除之得八寸而餘一百○四，命作二百四十三分寸之一百○四，為大呂。

大呂長八寸二百四十三分寸之一百○四

舊法置大呂長八寸，以分母二百四十三通之，得一千九百四十四寸，納分子之一百○四，共得二千○四十八寸，下生者二因得四千○九十六寸為實，三因分母二百四十三得七百二十九為法，除之得五寸而餘四百五十一，命作七百二十九分寸之四百五十一，為夷則。

夷則長五寸七百二十九分寸之四百五十一

舊法置夷則長五寸，以分母七百二十九通之，得三千六百四十五寸，納分子之四百五十一，共得四千○九十六寸，上生者四因得一萬六千三百八十四寸為實，三因分母七百二十九得二千一百八十七為法，除之得七寸而餘一千○七十五，命作二千一百八十七分寸之一千○七十五，為夾鍾。

夾鍾長七寸二千一百八十七分寸之一千○七十五

舊法置夾鍾長七寸，以分母二千一百八十七通之，得一萬五千三百○九寸，納分子之一千○七十五，共得一萬六千三百八十四寸，下生者二因得三萬二千七百六十八寸為實，三因分母二千一百八十七得六千五百六十一為法，除之得四寸而餘六千五百二十四，命作六千五百六十一分寸之六千五百二十四，為無射。

無射長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四

舊法置無射長四寸，以分母六千五百六十一通之，得二萬六千二百四十四寸，納分子之六千五百二十四，共得三萬二千七百六十八寸，上生者四因得十三萬一千○七十二寸為實，三因分母六千五百六十一得一萬九千六百八十三為法，除之得六寸而餘一萬二千九百七十四，命作一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四，為仲呂。

仲呂長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四

舊法置仲呂長六寸，以分母一萬九千六百八十三通之，得十一萬八千○九十八寸，納分子之一萬二千九百七十四，共得十三萬一千○七十二寸，上生者四因得五十二萬四千二百八十八寸為實，三因分母一萬九千六百八十三得五萬九千○四十九寸為法，除之得八寸而餘五萬一千八百九十六，命作五萬九千○四十九分寸之五萬一千八百九十六，為黃鍾。

黃鍾長八寸五萬九千○四十九分寸之五萬一千八百九十六，比黃鍾正律少五萬九千○四十九分寸之七千一百五十三。以上諸律出於《周禮》《注》《疏》，漢鄭康成之算術也。

其二出《性理大全》

古法與蔡元定算法不同，是故名為別法。法雖不同，而算出之數則同焉。今並列之，以便參考。黃鍾長九寸

舊法置黃鍾之率十七萬七千一百四十七為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得九寸。別法置黃鍾長一尺為實，九因一遍退位，命作九寸。林鍾長六寸

舊法置林鍾之率十一萬八千○九十八為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得六寸。別法置林鍾長六寸六分六厘六毫六絲六忽六微六纖為實，九因一遍，命作六寸。

太蔟長八寸

舊法置太蔟之率十五萬七千四百六十四為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得八寸。

別法置太蔟長八寸八分八厘八毫八絲八忽八微八纖為實，九因一遍，命作八寸。南呂長五寸三分

舊法置南呂之率十萬○四千九百七十六為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得五寸；餘六千五百六十一為實，以分法二千一百八十七除之，得三分；共得五寸三分。別法置南呂長五寸九分二厘五毫九絲二忽五微九纖為實，九因一遍至寸位住，得五寸；又九因一遍至分位住，得三分；共得五寸三分。

姑洗長七寸一分

舊法置姑洗之率十三萬九千九百六十八為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得七寸；餘二千一百八十七為實，以分法二千一百八十七除之，得一分；共得七寸一分。別法置姑洗長七寸九分○一毫二絲三忽四微五纖為實，九因一遍至寸位住，得七寸；又九因一遍至分位住，得一分；共得七寸一分。

應鍾長四寸六分六厘

舊法置應鍾之率九萬三千三百一十二為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得四寸；餘一萬四千五百八十為實，以分法二千一百八十七除之，得六分；餘一千四百五十八為實，以厘法二百四十三除之，得六厘；共得四寸六分六厘。

別法置應鍾長五寸二分六厘七毫四絲八忽九微七纖為實，九因一遍至寸位住，得四寸；又九因一遍至分位住，得六分；又九因一遍至厘位住，得六厘；共得四寸六分六厘。

蕤賓長六寸二分八厘

舊法置蕤賓之率十二萬四千四百一十六為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得六寸；餘六千三百一十八為實，以分法二千一百八十七除之，得二分；餘一千九百四十四為實，以厘法二百四十三除之，得八厘；共得六寸二分八厘。

別法置蕤賓長七寸○二厘三毫三絲一忽九微六纖為實，九因一遍至寸位住，得六寸；又九因一遍至分位住，得二分；又九因一遍至厘位住，得八厘；共得六寸二分八厘。

大呂長八寸三分七厘六毫

舊法置大呂之率十六萬五千八百八十八為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得八寸；餘八千四百二十四為實，以分法二千一百八十七除之，得三分；餘一千八百六十三為實，以厘法二百四十三除之，得七厘；餘一百六十二為實，以毫法二十七除之，得六毫；共得八寸三分七厘六毫。

別法置大呂長九寸三分六厘四毫四絲二忽六微一纖為實，九因一遍至寸位住，得八寸；又九因一遍至分位住，得三分；又九因一遍至厘位住，得七厘；又九因一遍至毫位住，得六毫；共得八寸三分七厘六毫。

夷則長五寸五分五厘一毫

舊法置夷則之率十一萬○五百九十二為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得五寸；餘一萬二千一百七十七為實，以分法二千一百八十七除之，得五分；餘一千二百四十二為實，以厘法二百四十三除之，得五厘；餘二十七為實，以毫法二十七除之，得一毫；共得五寸五分五厘一毫。

別法置夷則長六寸二分四厘二毫九絲五忽○七纖為實，九因一遍至寸位住，得五寸；又九因一遍至分位住，得五分；又九因一遍至厘位住，得五厘；又九因一遍至毫位住，得一毫；共得五寸五分五厘一毫。

夾鍾長七寸四分三厘七毫三絲

舊法置夾鍾之率十四萬七千四百五十六為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得七寸；餘九千六百七十五為實，以分法二千一百八十七除之，得四分；餘九百二十七為實，以厘法二百四十三除之，得三厘；餘一百九十八為實，以毫法二十七除之，得七毫；餘九為實，以絲法三除之，得三絲；共得七寸四分三厘七毫三絲。

別法置夾鍾長八寸三分二厘三毫九絲三忽四微三纖為實，九因一遍至寸位住，得七寸；又九因一遍至分位住，得四分；又九因一遍至厘位住，得三厘；又九因一遍至毫位住，得七毫；又九因一遍至絲位住，得三絲；共得七寸四分三厘七毫三絲。

無射長四寸八分八厘四毫八絲

舊法置無射之率九萬八千三百○四為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得四寸；餘一萬九千五百七十二為實，以分法二千一百八十七除之，得八分；餘二千○七十六為實，以厘法二百四十三除之，得八厘；餘一百三十二為實，以毫法二十七除之，得四毫；餘二十四為實，以絲法三除之，得八絲；共得四寸八分八厘四毫八絲。

別法置無射長五寸五分四厘九毫二絲八忽九微五纖為實，九因一遍至寸位住，得四寸；又九因一遍至分位住，得八分；又九因一遍至厘位住，得八厘；又九因一遍至毫位住，得四毫；又九因一遍至絲位住，得八絲；共得四寸八分八厘四毫八絲。

仲呂長六寸五分八厘三毫四絲六忽

舊法置仲呂之率十三萬一千○七十二為實，以寸法一萬九千六百八十三除之，得六寸；餘一萬二千九百七十四為實，以分法二千一百八十七除之，得五分；餘二千○三十九為實，以厘法二百四十三除之，得八厘；餘九十五為實，以毫法二十七除之，得三毫；餘十四為實，以絲法三除之，得四絲，餘二不盡；共得六寸五分八厘三毫四絲，餘二不盡。

別法置仲呂長七寸三分九厘九毫○五忽二微七纖為實，九因一遍至寸位住，得六寸；又九因一遍至分位住，得五分；又九因一遍至厘位住，得八厘；又九因一遍至毫位住，得三毫；又九因一遍至絲位住，得四絲；又九因一遍至忽位住，得六忽；共得六寸五分八厘三毫四絲六忽。

以上諸律出於《性理大全》，宋蔡元定之算法也。

論曰：古人算律之妙，二種而已。一以縱黍之長為分，九分為寸，九寸為黃鍾，凡八十一分，取象洛書之九自相乘之數焉，此《淮南子》之所載也。一以橫黍之廣為分，十分為寸，十寸為黃鍾，凡一百分，取象河圖之十自相乘之數焉，此太史公之所記也。二術雖異，其律則同，蓋縱黍之八十一分適當橫黍之一百分耳，本無九十分為黃鍾者也。至於劉歆班固乃以九十分為黃鍾，推原其誤，蓋自京房始也。房時去古未遠，明知古法九分為寸，以其布筭頗煩，初學難曉，乃變九而為十；恐人不曉其意，故云：「不盈寸者十之，所得為分。」此創始之辭也。至歆則又以九分乘九十分，得八百一十分，命為黃鍾積實，欲牽合於黃鍾一龠之數。夫古曆法以二十九日，九百四十分之四百九十九為朔餘算法，除之得五十三刻有奇。落下閎以八十一分之四十三為朔餘算法，除之亦得五十三刻有奇。若以八百一十為法除之，止得五刻有奇，不滿朔餘之數。是閎曆以八十一分為法，取象黃鍾一龠之長，非謂積實也。則黃鍾決無長九十分、積八百一十分之理矣。淮南子、太史公、落下閎此三人，前漢律曆之學無出其右者，皆謂黃鍾九寸即是八十一分，世儒不信何也？朱熹、蔡元定始能表章九分為寸之法，有功律學亦多，但未勘破王莽劉歆班固之謬，是猶有遣憾焉。