翻译:論動體的電動力學

論動體的電動力學
作者：阿爾伯特·愛因斯坦
1905年6月30日
譯者：維基文庫

「論動體的電動力學」是阿爾伯特·愛因斯坦於1905年(愛因斯坦奇蹟年)於德國《物理年鑑》(Annalen der Physik)發表的第一篇狹義相對論論文，德文原文為"Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik. 17:891-921. (June 30, 1905)。本文譯自英文版"On the Electrodynamics of Moving Bodies"。

参阅维基百科中的：狹義相對論、经典电磁学

閲文言維基大典文：狹義相對論

奧林匹亞學院(德文：Akademie Olympia)的愛因斯坦（最右），攝於1903年——伯恩專利局時期，兩年後他寫下了幾篇皆為歷史鉅作的論文。

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PD-old-50-1923：原作地是德國。欧盟、德国、新加坡著作权法都是作者死后70年至年底期滿。

論動體的電動力學

阿爾伯特·愛因斯坦

1905年6月30日

如大眾所知馬克士威的電動力學——若按當前的普通看法——當運用在移動物體上，會導致不對稱性，而這不對稱性並非可見現象所固有。舉例而言：磁鐵與導體兩者間相互的電動力學作用。在這上面可觀察到的現象只和導體與磁鐵的相對運動有關，然而，慣常的觀點卻將這兩種狀況劃下鮮明的界線，這些物體中不是一個在動就是另一個在動。若是磁鐵在動而導體靜止，則磁鐵週遭會生成一個帶有特定能量的電場，在部分導體所坐落的位置產生一道電流。但若是磁鐵靜止而導體在動，則磁鐵週遭不會有電場生成。然而在導體中，我們會發現電動勢(electromotive force)，它並不帶有相應的能量，但卻可造成——假設我們所討論的這兩種情況中，相對運動是一樣的——前例中電力(electric force)所生一模一樣的路徑與強度的電流。

像這類的例子，再加上嘗試尋找相對於「光介質」的任何地球運動上的失敗，指出電動力學以及力學中的現象不具有性質是相應於絕對靜止概念的。相對地，它們指出，電動力學與光學的相同定律對所有參考系而言會是有效的，而力學方程式，如同已被展示的，在小量值且近似到第一階數量級時亦有良好的預測。¹我們會將猜想(conjecture)(其意涵此後稱作「相對性原理」)提升到基本假設(postulate)的位階，並引入另外一項基本假設，它是唯一看起來與前者相對立的，亦即，光在空無一物的空間中總是以一定速c傳播，此速度與光發射體的運動狀態無關。用這兩個假設就足夠得到一個簡單且無矛盾的動體電動力學理論，其所根據的是麥克斯韋針對靜止物體的理論。引入「光乙太」(luminiferous ether)這一項會被證明是不必要的，原因是在這即將要開發的觀點中，並不需要一個帶有特殊性質的「絕對靜止空間」，也不需要對空無一物的空間中一點分派一個速度向量，好使電磁過程在其中發生。

將要開發的理論是基於——如同所有的電動力學——剛體的運動學，既然任一這樣的理論其主張都必須與剛體(一堆座標系統)之間、時鐘之間，及電磁過程之間等關係有所關聯。對這種情況作了不充分的考慮是源於當前動體電動力學會遭遇到的根本困難。

I. 運動學部份

§ 1. 同時的定義

讓我們挑選一個座標系統使得其中的牛頓力學方程式可以維持有效。²為了要讓我們的陳述安排得更為精準，並且就字面上能與其它隨後要介紹的座標系統做個區分，我們稱它為「靜止系統」。

如果一個質點相對於此座標系統為靜止，它的位置則可以透過運用嚴密的測量標準以及歐幾里得幾何的方法來相對地定義，並可用卡氏座標表示。

如果我們要描述質點的運動，我們將它的座標值設為時間的函數。現在我們必須小心翼翼地謹記在心的是：這樣的數學描述並沒有物理意義，除非我們相當清楚透過「時間」我們了解了什麼。我們必須考慮到：在我們所有的判斷中，只要時間參與了一角，則這樣的判斷永遠是同時事件的判斷。若要舉例來說，當我說：「那班火車在7點抵達這裡。」我的意思是類似這樣：「我錶上的短針針尖在7，而火車抵達是同時的事件。」³

在致力於「時間」的定義時，只要將「我錶上的短針位置」取代掉「時間」，看起來似乎可以克服一切困難。而事實上，當我們僅只關注的是定義錶所在位置的時間時，這樣的定義是令人滿意的；當我們要連結不同位置鎖發生的事件的時間序列，它就變得不再令人滿意，或者──意義相同的──要評估遠離錶處所發生的事件它們的時間。

當然，我們或許可以安於一位處在座標原點的錶旁的觀察者他決定的時間值，並以光訊號協調相應位置的錶針，每件要測量時間的事件發生時就放出光，並穿過空無一物的空間到達他。不過這樣的協同方式有缺點：它並非獨立於觀察者對錶或鐘的觀點，一如我們經驗上所知。我們將順著以下的思考方向到達一個更實際的決定方法。

如果在空間中A點有個時鐘，A處的觀察者可以決定毗鄰A事件的時間值，透過找出與這些事件同時的錶針位置。如果空間點B有另外一個時鐘與A處的鐘各方面都相似，則B處的觀察者可能能夠決定毗鄰B事件的時間值。不過若不做進一步假設，就不可能就時間而言，去比較A處的事件與B處的事件。我們至此也只定義了「A時間」與「B時間」而已。我們並沒有定義A和B的共同「時間」，因為後者根本無法定義，除非我們建立了這樣的定義：光從A行至B所花的「時間」等同於它從B行至A所花的「時間」。讓一束光在「A時間」啟程從A往B，在「B時間」它在B反射迴向A，並在「A時間」$t'_{A}$再次回到A。

按照定義，這兩個鐘對好了時，若

$t_{B}-t_{A}=t'_{A}-t_{B}$ 。

我們假設：對時同步(synchronism)的定義沒有任何矛盾，並且對任意數的點皆可行；此外下述關係是普適的──

1. 若B處的鐘與A處的鐘對時同步，則A處的鐘與B處的鐘也同步。
2. 若A處的鐘與B處的鐘對時同步，也與C處的鐘對時同步，則B處的鐘與C處的鐘也彼此同步。

如此，透過一些個想像性物理實驗的協助，我們已經安排妥當了所謂的不同位置的同步靜止鐘(synchronous stationary clocks)，並且也明顯地得到「同時的」(simultaneous)或「同步的」(synchronous)，以及「時間」方面的定義。一事件的「時間」是由事件位置的靜止鐘在事件發生時同時給出，而這個鐘是──確確實實地──在所有時間決定上，與一個特定靜止鐘同步。

與經驗相合地，我們更進一步的假設以下的量值

${\frac {2{\overline {AB}}}{t'_{A}-t_{A}}}=c$,

是一項通用常數──空無一物的空間中光的速度。

得到利用靜止系統中的靜止鐘定義出的時間事屬必要，而目前定義出適合於靜止系統的時間，我們稱它為「靜止系統的時間」。

§ 2. 論長度與時間的相對性

接下來的思想基於相對性原理（the principle of relativity）以及光速恆常性原理（the principle of the constancy of the velocity of light）。這兩項原理我們做如下定義：──

1. 無論這些變化如何參照兩個相互呈勻速移動的座標系，物理系統的本質變化所遵循的定律皆不變。
2. 每一道光線在「靜止座標系統」中皆以定速c移動，不論此射線是由靜止物體或移動物體所發射出來。因此

${\text{速 度}}={\frac {\text{光 行 徑}}{\text{時 間 間 隔}}}$

其中「時間間隔」的意義一如§ 1.中的定義。

設有一靜止的剛性桿；透過另一個也是靜止的測量桿，可測得此剛性桿有長度為l。假設桿子的軸沿著靜止系統的x軸放置，然後我們賦予它一個x軸方向上的勻速v。現在讓我們研究移動桿的長度，則可以透過以下兩種操作之一得知：──

(a)

持測量桿的觀察者隨著待測桿一同移動，並直接透過兩桿相疊來測量桿長——一如此三者處在靜止狀態時那樣。

(b)

在靜止系統中時鐘（時鐘已依照§1所定義進行同步）的某特定時刻t，觀察者可找到此桿兩端位於該靜止系統中的點。透過前面所用過的測量桿——但這次測量桿是靜止的了——可測得這兩點之間的差距，也就是一個長度，可以稱為「桿長」。

根據相對論原理，通過操作（a）發現的長度可稱為「運動系統中的桿長」，其等於靜止系統中的桿長l。

通過操作（b）發現的長度可稱為「從靜止系統中測得的移動桿長」。我們將基於我們的兩個原理來估計該長度，且我們定將發現它不同於l。

在公認的運動學中，我們默認這兩個操作所定義的長度相等。或者說：在時間 t 時，在幾何上，移動中的剛體可被靜止狀態下的同一物體取代。

時間的相對性

我們假設在桿的A、B兩端放置有兩個時鐘，他們已與靜止系統中的時鐘同步。亦即，這兩個時鐘的時間，與他們在靜止系統中的位置點的時間對應，從而使得此二時鐘與靜止系統同步。

我們進一步想像，在兩時鐘的位置有兩個觀察者隨之移動，並且這兩個觀察者將同步準則［譯註：應是指§1中建立的標準​​］應用到時鐘上。在$t_{A}$時刻，一道光線從A端射出，在$t_{B}$時刻被B端反射，又在$t'_{A}$時刻回到A端。考慮光速恆常性原理，我們有

$t_{B}-t_{A}={\frac {r_{AB}}{c-v}}$，

以及

$t'_{A}-t_{B}={\frac {r_{AB}}{c+v}}$，

其中，$r_{AB}$表示從靜止系統中測得的移動桿長。因此，時鐘處的觀察者會發現時鐘不同步，即使靜止系統中的肯定會稱時鐘相同步。故我們得知，我們無法對同步的概念賦予絕對的意義；而從一個系統來看，是同步的兩事件，從另一個與該系統相對移動中的系統來看，也不會同步。

§ 3. 靜止系統到勻速與之相對移動的系統間，座標系與時間的轉換理論

於靜止空間中，給定兩個座標系統：亦即，三條兩兩垂直的直線交會於一點，這樣的組合有兩個。讓此二座標系的x軸們互相重合，而y軸們與z軸們互相平行。在兩系統中，各給定一個剛體測量桿與一定數量的時鐘，且這些桿子與時鐘完全相同。

令兩系統之一（k）的原點，有一恆定速率朝向另一個系統（K）的x軸正向，且這種運動也被傳遞到它［譯註：系統k］的桿子與時鐘上。則靜止系統K的任意時刻$t$，會對應到運動系統的座標軸的一定位置上；而由於對稱性，我們可以假設，在任意時刻$t$，k的移動恆使它的座標軸與靜止系統的座標軸平行。（當我們說「$t$」時，指的永遠是靜止系統中的時刻）［譯註：靜態系統的時刻，下稱靜系時刻；相應地，運動系統中的時刻稱為動系時刻。］

假設測量空間時，我們使用靜止系統中的靜止測量桿，以及使用運動系統中的運動測量桿，如此我們可得到靜止系統中的座標$(x,y,z)$，及動態系統中的座標$(\xi ,\eta ,\zeta )$。透過靜止系統中的時鐘，使用§1中所描述的光訊號，我們可以為靜止系統中的每一點確定一個靜系時刻$t$，其中每個點都有一個時鐘。而也是透過運動系統中每個點之間的光訊號，並使用§1中所描述的方法，我們也可以為各點確定一個動系時刻$\tau$：其中每個點也都有一個時鐘，相對於動態系統為靜止。

對於每個靜止系統中，完全確定位置與時間的事件的每一組$(x,y,z,t)$數值，會有相應的一組$(\xi ,\eta ,\zeta ,\tau )$數值。現在目標是，要找到將這兩個數值相連結的方程組。

首先，顯然，由於時空的同質性，他們必然是線性方程。

若我們取$x'=x-vt$，則顯然在系統k中相對靜止的一個點上，我們會有一個獨立於時間的座標$(x',y,z)$。現在，我們欲將$\tau$看作$(x',y,z,t)$的函數並求值。為此，我們必須用方程式表示出，$\tau$不過是一個系統k中，一個已根據§1同步的靜止時鐘的時間。

設一道光線於$\tau _{0}$時刻從系統k的原點，沿x軸朝$x'$射出，並於$\tau _{1}$在該處，沿x軸朝運動系統的原點被反射回去，最後於$\tau _{2}$抵達。則我們必然能得出${\frac {1}{2}}(\tau _{0}+\tau _{2})=\tau _{1}$。或者，若我們此時［譯註：根據$\tau$為座標的函數的條件］插入$\tau$的引數，並在靜止系統中使用光速的恆常性原理，則上式可寫成：——

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\left[\tau (0,0,0,t)+\tau \left(0,0,0,\left\{t+{\frac {x'}{c-v}}+{\frac {x'}{c+v}}\right\}\right)\right]\\=&\tau \left(x',0,0,t+{\frac {x'}{c-v}}\right)\end{aligned}}$

因此，當我們取無限小的值作為 $x'$，

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{c-v}}+{\frac {1}{c+v}}\right){\frac {\partial \tau }{\partial t}}={\frac {\partial \tau }{\partial x'}}+{\frac {1}{c-v}}{\frac {\partial \tau }{\partial t}}$

亦即

${\frac {\partial \tau }{\partial x'}}+{\frac {v}{c^{2}-v^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial t}}=0$

值得注意的是，除了座標原點，我們也可以選擇其他的點作為光線的起點，因此上述的等式對於所有$(x',y,z)$值皆成立。

當我們將類似的想法應用到y軸和z軸，同時考慮到從靜止系統中，我們看到的光線永遠以${\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$的速度沿著該軸移動，我們會得到：

${\frac {\partial \tau }{\partial y}}=0,{\frac {\partial \tau }{\partial z}}=0$。

由於$\tau$是一個線性函數，從這些等式我們可推得

$\tau =a\left(t-{\frac {v}{c^{2}-v^{2}}}x'\right)$。

其中$a$是一個目前我們未知的函數$\phi (v)$，而為了簡潔，我們假設在時刻$t=0$時，在系統k的原點，$\tau =0$>

藉由此結果，透過將「從移動系統中測量光速，它仍以速率$c$傳播」寫成公式（如光速的恆常性原理所要求，並使用相對性原理），我們可以簡單地求得$(\xi ,\eta ,\zeta )$的值。對於一道在$\tau =0$時刻，朝向$\xi$正向射出的光，

$\xi =c\tau$，亦即$\xi =ac\left(t-{\frac {v}{c^{2}-v^{2}}}x'\right)$。

而此時，從靜止系統中，我們測得這道光以速率$c-v$相對於k的原點移動。因此可得

${\frac {x'}{c-v}}=t$。

將上式代入$\xi$方程式中的$t$值，可得

$\xi =a{\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}x'$。

考慮光線沿另外兩個軸移動，則同理可證，

$\eta =c\tau =ac\left(t-{\frac {v}{c^{2}-v^{2}}}x'\right)$，

其中

${\frac {y}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}=t,x'=0$。

因此，

$\eta =a{\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}y,\zeta =a{\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}z$。

將$x'$的值皆以$x-tv$代入，則可得

${\begin{aligned}\tau &=\phi (v)\beta \left(t-vx/c^{2}\right),\\\xi &=\phi (v)\beta (x-vt),\\\eta &=\phi (v)y,\\\zeta &=\phi (v)z,\end{aligned}}$

其中

$\beta ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$，

而$\phi (v)$則是一個目前未知的$v$的函數。若對於運動系統的初始位置與$\tau$的零點不多做假設，那麼上述這四條等式右側須加上各自的一個常數。

現在，我們必須證明從運動系統中測量時，任何一道光都是用速率$c$傳播，正如同我們所假設的如靜止系統中一般——這是因為我們仍未證明光速的恆常性原理與相對性原理相容。

在$t=\tau =0$的時刻，兩座標系的原點重合。而我們從該處產生一個球形波，讓它在K系統中以速率$c$傳播。對任意一個此波剛好到達的點$(x,y,z)$，它必符合

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$。

透過我們在簡單計算後獲得的轉換公式，我們可以改寫上式

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=c^{2}\tau ^{2}$。

也就是說，從運動系統觀察，此波 依然是一個以速率$c$傳播的球形波。這說明我們的這兩個基本原理相容。

［譯註：未完待續］

原文腳註

1. 亨得里克·洛侖茲較早發表的論文在此刻不為本文作者(阿爾伯特·愛因斯坦)所知。
2. 即做一階近似。
3. 我們在此處不討論使兩個大約在同一地點的事件的同時性概念潛藏問題的不精確性，這不精確性只能透過抽象概念移除。
4. 此處的「時間」表示「靜止系統的時間」，也表示「處在討論地點處的移動鐘上針的位置」。

1923年重印版註解

英譯者註