交食推步法/筭學發蒙

交食推步法
筭學發蒙
作者：李純之　金石悌

筭學發蒙

九九合數

一一如一。

一二如二。二二如四。

一三如三。二三如六。三三如九。

一四如四。二四如八。三四一十二。四四一十六。

一五如五。二五一十。三五一十五。四五二十。五五二十五。

一六如六。二六一十二。三六一十八。四六二十四。五六三十。六六三十六。

一七如七。二七一十四。三七二十一。四七二十八。五七三十五。六七四十二。七七四十九。

一八如八。二八一十六。三八二十四。四八三十二。五八四十。六八四十八。七八五十六。八八六十四。

一九如九。二九十八。三九二十七。四九三十六。五九四十五。六九五十四。七九六十三。八九七十二。九九八十一。

九歸除法

一歸如一進。見一進成十。〈假令實筭一而法筭一，則呼見一進成十，實筭三，則三度呼見一進成十之類。〉

二一添作五。〈實筭一而法筭二，則呼二見添作五，當變一作五。〉逢二進成十。

三一三十一。〈假令實筭一而法筭三，則呼三一三十一，當變一作三，而於次位加置一。〉三二六十二。逢三進成十。

四一二十二。四二添作五。四三七十二。逢四進成十。

五歸添一倍。〈假令實筭一而法筭五，則當變一作二，實筭二則變作四之類。〉逢五進成十。

六一下加四。〈假令實筭一而法筭六，則實筭次下之位加置四。〉六二三十二。六三添作五。六四六十四。六五八十二。逢六進成十。

七一下加三。七二下加六。七三四十二。七四五十五。七五七十一。七六八十四。逢七進成十。

八一下加二。八二下加四。八三下加六。八四添作五。八五六十二。八六七十四。八七八十六。逢八進成十。

九歸隨身下。〈假令實筭一而法筭九，則實筭次下之位加置一，實筭二則加置二之類。〉逢九進成十。

縱橫因_{筭法不過乘除。因與加亦乘也。減與開方亦除也。因則視法單位筭者用之。先從實首位筭起，次次乘之，從法位數，以十一、百二、千三、萬四位例而進位。}

因法縱橫與他別。〈「縱橫」，謂凡布筭一直一橫。「因法」居諸法之首，故特稱之。〉

自上而下是其術。〈「自上而下」，謂先自首位乘之，而次次下乘也。〉

只將一位十居前。〈「一位」，謂法單位也。「十居前」，謂呼十則變了本身，而作於前位也。〉

但遇呼如破身作。〈「如」，謂零數也。「破身作」，謂破本身而作呼如之數也。〉

◇今有粟二百一十六斗，每斗價錢五文。

問：該錢幾何？〈錢一千文爲一貫。〉

◦答曰：一貫○八十文。

◦法曰：置粟二百一十六斗爲實，以粟每斗價錢五文爲法，自上因之。布筭如後。

六斗𝍮：〈以法五文，呼實六斗。五六三十，變了本身六斗，於前位作三十。〈卽「十居前」。〉〉

一十𝍠：〈以法五文，呼實一十斗。一五如五，破本身一十斗，仍作五十。〈卽「呼如破身作」。〉〉

二百𝍪：〈先以法五文，呼實二百斗。〈「自上而下」，故從實首位筭起。〉二五一十，變了本身二百斗，於前位作一千。〈卽「十居前」。〉〉

留頭乘_{視法，首位二數以上，而位亦不單者用之。先從實末位筭起，次次乘之，從法首位數，以零一、十二、百三、千四位例而進位。}

留頭乘法且留頭。〈「留頭」，謂姑留法頭位，而先乘次位也。〉

自二而三次第呼。〈「自二而三」，謂留法頭位，而自第二位以下用乘也。〉

言十靠身如隔位。〈「靠」，倚也。「靠身」，謂置於實本身之次位也。「如隔位」，謂呼如則置於實本身之隔位也。〉

徧臨頭位破身鋪。〈「徧臨頭位」，謂徧乘次位以下，而後終臨頭位也。〉

◇今有沉香九斤七分五釐。每斤價錢四貫五百文。

問：該錢幾何？

◦答曰：四十三貫八百七十五文。

◦法曰：置沉香九斤七分五釐爲實，以沉香每斤價錢四貫五百文爲法，乘之，布筭如後；

五釐𝍭：〈先以法次位五百文，〈「自二而三」，故從法次位筭起。後倣此。〉呼實五釐。五五二十五。置二十於本身五釐之次位。置五於五釐之隔位。〈卽「言十靠身如隔位」。後倣此。〉次以法首位四貫，呼實五釐。四五二十。破本身五釐，仍作二十。〈卽「徧臨頭位破身鋪」。後倣此。〉〉

七分𝍦：〈以法次位五百文，呼實七分。五七三十五。置三十於本身七分之次位。置五於隔位。次以法首位四貫，呼實七分。四七二十八。破本身七分，作二十。置八於次位。〉

九斤𝍱：〈以法次位五百文，呼實九斤。五九四十五。置四十於本身九斤之次位。置五於隔位。次以法首位四貫，呼實九斤。四九三十六。破本身九斤，作三十。置六於次位。〉

身外加_{視法首位帶一數者用之，而乘時不用一數。先從實末位筭起，次次乘之，從法首位數，以十一、百二、千三、萬四位例而進位。}

身外加法棄頭一。〈「棄頭一」，謂棄法首位一數而不用也。〉

二留三始十居側。〈「二留三始」，謂姑留法第二位，而始第三位以下用乘也。「十居側」，謂呼十則置於實本身之次位也。〉

自此以降與前同。〈「自此以降」，謂自三位至四位以下也。「與前同」，謂與前乘法同也。〉

却至本身添作得。〈「却至本身」，謂所留法第二位之十數，當實本身也。「添作得」，謂不破本身而加置之也。〉

◇今有羅三十四尺六寸，每尺價錢一百二十五文。

問：該錢幾何？

◦答曰：四貫三百二十五文。

◦法曰：置羅三十四尺六寸爲實，以羅每尺價錢一百二十五文爲法，加之。布筭如後。

六寸𝍥：〈先以法第三位五文〈「二留三始」，故從法第三位筭起。後倣此。〉，呼實六寸。五六三十。置三十於本身六寸之次位。〈卽「十居側」。後倣此。〉次以法第二位二十文，呼實六寸。二六十二。加置十於本身。置二於次位。〈卽「却至本身添作得」。後倣此。〉〉

四尺𝍬：〈以法第三位五文，呼實四尺。四五二十。置二十於本身四尺之次位。次以法第二位二十文，呼實四尺。二四如八。置八於本身四尺之次位。〉

三十𝍢：〈以法第三位五文，呼實三十尺。三五十五。置十於本身三十尺之次位。置五於三十尺之隔位。次以法第二位二十文，呼實三十尺。二三如六。置六於本身三十尺之次位。〉

商除_{視法，首位二數以上，而位亦不單者，用之，先從實首位筭起，次次除之。從法首位數，以零一十、二百、三千、四爲例，而退位。}

商除商筭我前居。〈「商除」，商量其可除與不及除也。「商筭」，所定商量之筭。「我」，謂所除之實。「我前居」，亦有隔位居者。〉

上數雖零下必推。

十位同商如次下。〈「十位同商」，謂假如四三七十二，則作商筭七十，同其實之位也。「如次下者」，謂置如數二於次下之位也。〉

法多實少退求之。〈「退求之」，謂實少不及減，則將本身之一筭，於次位，積置十筭而除之。〉

◇今有錢四十三貫八百七十五文，欲買沉香，每斤價錢四貫五百文。

問：該沉香幾何？

◦答曰：九斤七分五釐。

◦法曰：置錢四十三貫八百七十五文，爲實，以沉香每斤價錢四貫五百文，爲法，除之。布筭如後。

四十三貫八百七十五文𝍬𝍢𝍰𝍦𝍭：先以法四貫，呼實四十貫，逢四進成十。〈則商筭。〉而以法五百文，呼十。一五如五，減之，則實少不及減，故將四十貫位之一，筭於單貫位，積置十筭。〈卽「上盈下推」，「實少退求」。〉以法四貫，呼實三十貫，四三七十二，破本身三十貫，作七，置二於次位，〈卽「十位同商如次下」。後倣此。〉逢四進成十，又逢四進成十，得九。〈卽商筭。〉以法五百文，呼九。五九四十五，減於次位，得𝍱𝍢𝍫𝍦𝍭。以法四貫，呼實三貫。四三七十二，破本身三貫，作七，置二於次位，得七。〈卽商筭。〉以法五百文，呼七，五七三十五，減於次位，得𝍱𝍦𝍪𝍡𝍭。以法四貫，呼實二百文。四二添作五，破本身二百，仍作五得五。〈卽商筭。〉以法五百文，呼五。五五二十五，減於次位，恰盡。

身外減_{視法，首位帶一數者，用之，而除時不用一數。先從實首位筭起，次次除之。從法首位數，以十一、百二、千三、萬四位例而退位。}

定身除法棄頭一。

自二而商仍實作。〈「仍實作」，因其實數而作商定也。〉

十減厥餘下減如。〈「厥餘」，謂商定本身而減其餘也。「下減如」，謂減如數於本身之次位也。〉

推盈退位同前術。〈「推盈退位」，謂首位雖可除而次位不及減，則將本身之一筭，於次位，積置十筭而除之。「前術」，指商除也。〉

◇今有錢四貫三百二十五文，欲買羅，每尺價錢一百二十五文。問：該羅幾何？

◦答曰：三十四尺六寸。

◦法曰：置錢四貫三百二十五文爲實，以羅每尺價錢一百二十五文爲法，除之。布筭如後。

四貫三百二十五文𝍣𝍫𝍡𝍤：先以法第二位二十文，〈「棄頭一數」，故從法第二位筭起。後倣此。〉呼實四貫，二四如八，減之，則實少不及減，故將四貫位之一筭，於次位，積置十筭〈卽「推盈退位」。〉，定實本身三。以法二十文呼，二三如六，減於次位，〈卽「下減如」。後倣此。〉得三。以法第三位五文，呼三，三五十五，減於次位，得𝍢𝍭𝍦𝍭。又定實本身四呼，二四如八，減於次位，得四。以法第三位五文，呼四，四五二十，減於次位，得𝍢𝍬𝍦𝍭，又定實本身六呼，二六十二，減十於本身，〈卽「十減厥餘」。〉減二於次位，得六。以法第三位五文，呼六，五六三十，減於次位，恰盡。

開平方_{縱橫實積內，欲知平方一面，當依此法用之。借一筭爲廉法，從實零位筭起，常超一位。超一位定十，又超一位定百，爲例。}

開平方術置廉法，

再進定十四爲百。

商上廉呼作從方，〈謂置商筭於實積之上，而以廉法呼商筭，而作從方也。〉

從商相唱除其實。

廉又呼商益從方，

從方一退廉超越。

置商益從復除之，

益從退超與前一。

◇今有積九十六萬四千三百二十四尺。

問：平方面幾何？

◦答曰：九百八十二尺。

◦法曰：置積九十六萬四千三百二十四尺爲實，開平方除之。布筭如後。

九十六萬四千三百二十四尺𝍨𝍮𝍣𝍫𝍡𝍬𝍩：先以廉法一筭，置四尺位下。〈從實零位筭起。〉再超至六萬尺之下，定百。乃上商九百尺，置於實積百位之上〈卽商上。〉。以廉法一筭呼上商九百尺，一九如九。置九萬於廉法之上、實積之下，名曰方法。〈卽廉呼作從方。〉以方法呼上商〈卽從商相唱。〉九百尺，九九八十一，除實積，餘〈一十五萬四千三百二十四尺〉又以廉法一筭，呼上商九百尺，一九如九。益方法萬位，〈卽廉又呼商益從方。〉得一十八萬。方法一退，廉法再退，〈卽從方一退廉超越。〉得𝍱𝍠𝍭𝍢𝍫𝍡𝍬𝍨𝍩。乃上商八十尺，置於實積十位之上。以廉法一筭，呼上商八十尺，一八如八。置八百於方法百位。〈卽置商益從。〉以方法呼上商八十尺，除實積，餘〈三千九百二十四尺〉。又以廉法一筭，呼上商八十尺。一八如八，益方法百位，得一萬九千六百。方法一退，廉法再退，得𝍱𝍧𝍢𝍱𝍡𝍬𝍠𝍱𝍮𝍩。乃上商二尺，置於實積零位之上。以廉法一筭，呼上商二尺。一二如二，置二於方法零位。以方法呼上商二尺，除實積，恰盡。

乘進除退

身外加減與縱橫，〈「縱橫」，謂因法也。〉

一其十而二其百。〈身外加法與因法，皆十一、百二爲例而進位，身外減法亦十一、百二爲例而退位。〉

留頭商除一步多，〈「一步多」，謂留頭乘法零一、十二爲例而進位，商除法亦零一十二爲例退位，故各多一步也。〉

乘除進退用斯法。〈乘則進位，除則退位。〉

假令：置羅三十四尺六寸爲實，以羅每尺價錢一百二十五文爲法，以身外加法加之，得錢四貫三百二十五文。〈法首位百，故進二位。〉

假令：置錢四貫三百二十五文爲實，以羅每尺價錢一百二十五文爲法，以身外減法減之，得羅三十四尺六寸。〈法首位百，故退二位。〉

假令：置粟二百一十六斗爲實，以粟每斗價錢五文爲法，以縱橫因法因之，得錢一貫〇八十文。〈法爲零，故不進位。〉

假令：置沉香九斤七分五釐爲實，以沉香每斤價錢四貫五百文爲法，以留頭乘法乘之，得錢四十三貫八百七十五文。〈法首位千，故進四位。〉

假令：置錢四十三貫八百七十五文爲實，以沉香每斤價錢四貫五百文爲法，以商除法除之，得沉香九斤七分五釐。〈法首位千，故進四位。〉

命日傍通

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