交食推步法/筭学发蒙

交食推步法
筭学发蒙
作者：李纯之　金石悌

筭学发蒙

九九合数

一一如一。

一二如二。二二如四。

一三如三。二三如六。三三如九。

一四如四。二四如八。三四一十二。四四一十六。

一五如五。二五一十。三五一十五。四五二十。五五二十五。

一六如六。二六一十二。三六一十八。四六二十四。五六三十。六六三十六。

一七如七。二七一十四。三七二十一。四七二十八。五七三十五。六七四十二。七七四十九。

一八如八。二八一十六。三八二十四。四八三十二。五八四十。六八四十八。七八五十六。八八六十四。

一九如九。二九十八。三九二十七。四九三十六。五九四十五。六九五十四。七九六十三。八九七十二。九九八十一。

九归除法

一归如一进。见一进成十。〈假令实筭一而法筭一，则呼见一进成十，实筭三，则三度呼见一进成十之类。〉

二一添作五。〈实筭一而法筭二，则呼二见添作五，当变一作五。〉逢二进成十。

三一三十一。〈假令实筭一而法筭三，则呼三一三十一，当变一作三，而于次位加置一。〉三二六十二。逢三进成十。

四一二十二。四二添作五。四三七十二。逢四进成十。

五归添一倍。〈假令实筭一而法筭五，则当变一作二，实筭二则变作四之类。〉逢五进成十。

六一下加四。〈假令实筭一而法筭六，则实筭次下之位加置四。〉六二三十二。六三添作五。六四六十四。六五八十二。逢六进成十。

七一下加三。七二下加六。七三四十二。七四五十五。七五七十一。七六八十四。逢七进成十。

八一下加二。八二下加四。八三下加六。八四添作五。八五六十二。八六七十四。八七八十六。逢八进成十。

九归随身下。〈假令实筭一而法筭九，则实筭次下之位加置一，实筭二则加置二之类。〉逢九进成十。

纵横因_{筭法不过乘除。因与加亦乘也。减与开方亦除也。因则视法单位筭者用之。先从实首位筭起，次次乘之，从法位数，以十一、百二、千三、万四位例而进位。}

因法纵横与他别。〈“纵横”，谓凡布筭一直一横。“因法”居诸法之首，故特称之。〉

自上而下是其术。〈“自上而下”，谓先自首位乘之，而次次下乘也。〉

只将一位十居前。〈“一位”，谓法单位也。“十居前”，谓呼十则变了本身，而作于前位也。〉

但遇呼如破身作。〈“如”，谓零数也。“破身作”，谓破本身而作呼如之数也。〉

◇今有粟二百一十六斗，每斗价钱五文。

问：该钱几何？〈钱一千文为一贯。〉

◦答曰：一贯○八十文。

◦法曰：置粟二百一十六斗为实，以粟每斗价钱五文为法，自上因之。布筭如后。

六斗𝍮：〈以法五文，呼实六斗。五六三十，变了本身六斗，于前位作三十。〈即“十居前”。〉〉

一十𝍠：〈以法五文，呼实一十斗。一五如五，破本身一十斗，仍作五十。〈即“呼如破身作”。〉〉

二百𝍪：〈先以法五文，呼实二百斗。〈“自上而下”，故从实首位筭起。〉二五一十，变了本身二百斗，于前位作一千。〈即“十居前”。〉〉

留头乘_{视法，首位二数以上，而位亦不单者用之。先从实末位筭起，次次乘之，从法首位数，以零一、十二、百三、千四位例而进位。}

留头乘法且留头。〈“留头”，谓姑留法头位，而先乘次位也。〉

自二而三次第呼。〈“自二而三”，谓留法头位，而自第二位以下用乘也。〉

言十靠身如隔位。〈“靠”，倚也。“靠身”，谓置于实本身之次位也。“如隔位”，谓呼如则置于实本身之隔位也。〉

遍临头位破身铺。〈“遍临头位”，谓遍乘次位以下，而后终临头位也。〉

◇今有沉香九斤七分五釐。每斤价钱四贯五百文。

问：该钱几何？

◦答曰：四十三贯八百七十五文。

◦法曰：置沉香九斤七分五釐为实，以沉香每斤价钱四贯五百文为法，乘之，布筭如后；

五釐𝍭：〈先以法次位五百文，〈“自二而三”，故从法次位筭起。后仿此。〉呼实五釐。五五二十五。置二十于本身五釐之次位。置五于五釐之隔位。〈即“言十靠身如隔位”。后仿此。〉次以法首位四贯，呼实五釐。四五二十。破本身五釐，仍作二十。〈即“遍临头位破身铺”。后仿此。〉〉

七分𝍦：〈以法次位五百文，呼实七分。五七三十五。置三十于本身七分之次位。置五于隔位。次以法首位四贯，呼实七分。四七二十八。破本身七分，作二十。置八于次位。〉

九斤𝍱：〈以法次位五百文，呼实九斤。五九四十五。置四十于本身九斤之次位。置五于隔位。次以法首位四贯，呼实九斤。四九三十六。破本身九斤，作三十。置六于次位。〉

身外加_{视法首位带一数者用之，而乘时不用一数。先从实末位筭起，次次乘之，从法首位数，以十一、百二、千三、万四位例而进位。}

身外加法弃头一。〈“弃头一”，谓弃法首位一数而不用也。〉

二留三始十居侧。〈“二留三始”，谓姑留法第二位，而始第三位以下用乘也。“十居侧”，谓呼十则置于实本身之次位也。〉

自此以降与前同。〈“自此以降”，谓自三位至四位以下也。“与前同”，谓与前乘法同也。〉

却至本身添作得。〈“却至本身”，谓所留法第二位之十数，当实本身也。“添作得”，谓不破本身而加置之也。〉

◇今有罗三十四尺六寸，每尺价钱一百二十五文。

问：该钱几何？

◦答曰：四贯三百二十五文。

◦法曰：置罗三十四尺六寸为实，以罗每尺价钱一百二十五文为法，加之。布筭如后。

六寸𝍥：〈先以法第三位五文〈“二留三始”，故从法第三位筭起。后仿此。〉，呼实六寸。五六三十。置三十于本身六寸之次位。〈即“十居侧”。后仿此。〉次以法第二位二十文，呼实六寸。二六十二。加置十于本身。置二于次位。〈即“却至本身添作得”。后仿此。〉〉

四尺𝍬：〈以法第三位五文，呼实四尺。四五二十。置二十于本身四尺之次位。次以法第二位二十文，呼实四尺。二四如八。置八于本身四尺之次位。〉

三十𝍢：〈以法第三位五文，呼实三十尺。三五十五。置十于本身三十尺之次位。置五于三十尺之隔位。次以法第二位二十文，呼实三十尺。二三如六。置六于本身三十尺之次位。〉

商除_{视法，首位二数以上，而位亦不单者，用之，先从实首位筭起，次次除之。从法首位数，以零一十、二百、三千、四为例，而退位。}

商除商筭我前居。〈“商除”，商量其可除与不及除也。“商筭”，所定商量之筭。“我”，谓所除之实。“我前居”，亦有隔位居者。〉

上数虽零下必推。

十位同商如次下。〈“十位同商”，谓假如四三七十二，则作商筭七十，同其实之位也。“如次下者”，谓置如数二于次下之位也。〉

法多实少退求之。〈“退求之”，谓实少不及减，则将本身之一筭，于次位，积置十筭而除之。〉

◇今有钱四十三贯八百七十五文，欲买沉香，每斤价钱四贯五百文。

问：该沉香几何？

◦答曰：九斤七分五釐。

◦法曰：置钱四十三贯八百七十五文，为实，以沉香每斤价钱四贯五百文，为法，除之。布筭如后。

四十三贯八百七十五文𝍬𝍢𝍰𝍦𝍭：先以法四贯，呼实四十贯，逢四进成十。〈则商筭。〉而以法五百文，呼十。一五如五，减之，则实少不及减，故将四十贯位之一，筭于单贯位，积置十筭。〈即“上盈下推”，“实少退求”。〉以法四贯，呼实三十贯，四三七十二，破本身三十贯，作七，置二于次位，〈即“十位同商如次下”。后仿此。〉逢四进成十，又逢四进成十，得九。〈即商筭。〉以法五百文，呼九。五九四十五，减于次位，得𝍱𝍢𝍫𝍦𝍭。以法四贯，呼实三贯。四三七十二，破本身三贯，作七，置二于次位，得七。〈即商筭。〉以法五百文，呼七，五七三十五，减于次位，得𝍱𝍦𝍪𝍡𝍭。以法四贯，呼实二百文。四二添作五，破本身二百，仍作五得五。〈即商筭。〉以法五百文，呼五。五五二十五，减于次位，恰尽。

身外减_{视法，首位带一数者，用之，而除时不用一数。先从实首位筭起，次次除之。从法首位数，以十一、百二、千三、万四位例而退位。}

定身除法弃头一。

自二而商仍实作。〈“仍实作”，因其实数而作商定也。〉

十减厥馀下减如。〈“厥馀”，谓商定本身而减其馀也。“下减如”，谓减如数于本身之次位也。〉

推盈退位同前术。〈“推盈退位”，谓首位虽可除而次位不及减，则将本身之一筭，于次位，积置十筭而除之。“前术”，指商除也。〉

◇今有钱四贯三百二十五文，欲买罗，每尺价钱一百二十五文。问：该罗几何？

◦答曰：三十四尺六寸。

◦法曰：置钱四贯三百二十五文为实，以罗每尺价钱一百二十五文为法，除之。布筭如后。

四贯三百二十五文𝍣𝍫𝍡𝍤：先以法第二位二十文，〈“弃头一数”，故从法第二位筭起。后仿此。〉呼实四贯，二四如八，减之，则实少不及减，故将四贯位之一筭，于次位，积置十筭〈即“推盈退位”。〉，定实本身三。以法二十文呼，二三如六，减于次位，〈即“下减如”。后仿此。〉得三。以法第三位五文，呼三，三五十五，减于次位，得𝍢𝍭𝍦𝍭。又定实本身四呼，二四如八，减于次位，得四。以法第三位五文，呼四，四五二十，减于次位，得𝍢𝍬𝍦𝍭，又定实本身六呼，二六十二，减十于本身，〈即“十减厥馀”。〉减二于次位，得六。以法第三位五文，呼六，五六三十，减于次位，恰尽。

开平方_{纵横实积内，欲知平方一面，当依此法用之。借一筭为廉法，从实零位筭起，常超一位。超一位定十，又超一位定百，为例。}

开平方术置廉法，

再进定十四为百。

商上廉呼作从方，〈谓置商筭于实积之上，而以廉法呼商筭，而作从方也。〉

从商相唱除其实。

廉又呼商益从方，

从方一退廉超越。

置商益从复除之，

益从退超与前一。

◇今有积九十六万四千三百二十四尺。

问：平方面几何？

◦答曰：九百八十二尺。

◦法曰：置积九十六万四千三百二十四尺为实，开平方除之。布筭如后。

九十六万四千三百二十四尺𝍨𝍮𝍣𝍫𝍡𝍬𝍩：先以廉法一筭，置四尺位下。〈从实零位筭起。〉再超至六万尺之下，定百。乃上商九百尺，置于实积百位之上〈即商上。〉。以廉法一筭呼上商九百尺，一九如九。置九万于廉法之上、实积之下，名曰方法。〈即廉呼作从方。〉以方法呼上商〈即从商相唱。〉九百尺，九九八十一，除实积，馀〈一十五万四千三百二十四尺〉又以廉法一筭，呼上商九百尺，一九如九。益方法万位，〈即廉又呼商益从方。〉得一十八万。方法一退，廉法再退，〈即从方一退廉超越。〉得𝍱𝍠𝍭𝍢𝍫𝍡𝍬𝍨𝍩。乃上商八十尺，置于实积十位之上。以廉法一筭，呼上商八十尺，一八如八。置八百于方法百位。〈即置商益从。〉以方法呼上商八十尺，除实积，馀〈三千九百二十四尺〉。又以廉法一筭，呼上商八十尺。一八如八，益方法百位，得一万九千六百。方法一退，廉法再退，得𝍱𝍧𝍢𝍱𝍡𝍬𝍠𝍱𝍮𝍩。乃上商二尺，置于实积零位之上。以廉法一筭，呼上商二尺。一二如二，置二于方法零位。以方法呼上商二尺，除实积，恰尽。

乘进除退

身外加减与纵横，〈“纵横”，谓因法也。〉

一其十而二其百。〈身外加法与因法，皆十一、百二为例而进位，身外减法亦十一、百二为例而退位。〉

留头商除一步多，〈“一步多”，谓留头乘法零一、十二为例而进位，商除法亦零一十二为例退位，故各多一步也。〉

乘除进退用斯法。〈乘则进位，除则退位。〉

假令：置罗三十四尺六寸为实，以罗每尺价钱一百二十五文为法，以身外加法加之，得钱四贯三百二十五文。〈法首位百，故进二位。〉

假令：置钱四贯三百二十五文为实，以罗每尺价钱一百二十五文为法，以身外减法减之，得罗三十四尺六寸。〈法首位百，故退二位。〉

假令：置粟二百一十六斗为实，以粟每斗价钱五文为法，以纵横因法因之，得钱一贯〇八十文。〈法为零，故不进位。〉

假令：置沉香九斤七分五釐为实，以沉香每斤价钱四贯五百文为法，以留头乘法乘之，得钱四十三贯八百七十五文。〈法首位千，故进四位。〉

假令：置钱四十三贯八百七十五文为实，以沉香每斤价钱四贯五百文为法，以商除法除之，得沉香九斤七分五釐。〈法首位千，故进四位。〉

命日傍通

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